Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková Ivana Úloha (úroveň ) Předpokládané znalosti: práce s kalkulačkou, grafy funkcí, funkce kosinus, řešení rovnic Zadání Na kalkulačce nastavte režim pro výpočet hodnot goniometrických funkcí v radiánech. Zvolte libovolné x 0 0;, pomocí kalkulačky určete hodnotu funkce f : y cos x0, poté f: : y coscos x0, f3 : y coscos cos x0, Takto pokračujte ve výpočtu f : n do chvíle, kdy se výsledek na kalkulačce již nezmění. Postup opakujte ještě dvakrát a porovnejte všechny tři výsledky. Na základě předešlých výpočtů určete řešení rovnice x cos x s přesností na 3 desetinná místa. Zakreslete do jednoho obrázku grafy funkce f : y cos x; g : y x a ověřte výsledek. K řešení použijte např. http://funkce.argh.cz *) *) (http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/daniel_mica/index.html)
Řešení Po konečném počtu kroků se na kalkulačce dostaneme k výsledku 0,739, který se dále (vzhledem ke konečnému počtu míst na kalkulačce) nemění. Počet kroků, po kterém získáme tuto hodnotu, závisí na volbě x, která je náhodná. 0 Zjevně jsme získali hodnotu x, pro kterou platí : x n n cos x n cos xn Do jednoho grafu zakreslíme funkce f : y cos x a g : y x. Najdeme jejich průsečík, jehož x-ová souřadnice je řešením hledané rovnice. 0,739 0,739 cos 0,739 Odpověď: Řešením rovnice x cos x(s přesností na 3 desetinná místa) je x 0,739. Metodické poznámky Je možno zadat jako soutěž kdo nejrychleji najde řešení.
Úlohu obtížnosti jsou schopni vyřešit pomocí kalkulačky i nejslabší studenti, měla by je však motivovat k úvahám o dalších souvislostech graf funkce, řešení rovnice. Úloha (úroveň ) Předpokládané znalosti: goniometrické funkce, goniometrické rovnice, vztahy mezi goniometrickými funkcemi Zadání: Nechť pro reálná čísla, 0; platí současně sin cos ; sin cos 0. Rozhodněte, které z čísel ; je větší. Své řešení zdůvodněte. Výsledek znázorněte na grafu funkce f : y sin x cos x. Řešení: Z rovnic vypočítáme vyhovující argumenty, 0; a porovnáme je. Nejprve řešíme první rovnici: sin cos. K úpravě levé strany využijeme toho, že pro každé reálné číslo platí cos sin, dále použijeme známý vzorec x y x y sin x sin y sin cos a postupně dostaneme sin sin sin cos sin cos sin cos sin Po úpravě dostáváme rovnici sin 3 k k kde k je libovolné celé číslo. Závěr pro první rovnici: 3, odkud Pro 0; má rovnice dvě řešení, buď 0, a nebo Řešení druhé rovnice:, tedy k k,. sin cos 0. Ze zadání plyne, že cos 0, můžeme tedy rovnici vydělit cos a upravit do sin 3 tvaru tg. Odtud k, kde k je libovolné celé číslo. cos Závěr pro druhou rovnici:
Pro 0; má však rovnice jediné řešení 3. 3 Protože <, pro, 0; platí. Závěr: Z čísel ;, která vyhovují zadání úlohy, je větší číslo. Řešení vidíme i na grafu. y = cos x y = sin x + cos x y = sin x Metodické poznámky V úloze jsou využita řešení dvou typových goniometrických rovnic. V závěru je třeba se vrátit k jednotlivým řešením a porovnat je. Lze využít i jiný postup úpravy rovnice (např. obdoba úlohy 3c). Úloha 3 (úroveň 3) Předpokládané znalosti: goniometrické funkce, goniometrické rovnice, úpravy výrazů. Zadání Nechť pro libovolné reálné číslo x a pro reálné číslo t ; platí rovnost t sin x cos x. a) Vyjádřete sin x cos x jako funkci proměnné t. b) S využitím výpočtu z části úlohy a) vypočítejte hodnotu výrazu sin x cos x pro t sin x cos x. c) Vyřešte rovnici sin x cos x a ověřte výpočet části úlohy b) dosazením kořenů této rovnice do výrazu sin x cos x. Řešení a) Výraz x cos x sin upravíme na tvar sin x sin x cos x cos x sin x cos x = sin x cos x sin x = sin x cos x sin x cos x = =. Dosadíme-li za t sin x cos x, bude sin x cos x sin xcos x sin x t, tedy t sin = sin t x, odkud x cos x t t
Závěr části a) Pro libovolné reálné číslo x a pro reálné číslo t ; a zároveň t sin x cos x platí t t t sin x cos x=. b) Dosadíme do výrazu Závěr části b) t t hodnotu Pro t má výraz sin x cos x hodnotu.. t a vypočítáme c) Nejprve vypočítáme kořeny rovnice sin x cos x. Obě strany rovnice vynásobíme číslem sin cos a využijeme znalost součtového vzorce sin x cos y cos x sin y sin( x y), takže postupně dostaneme sin x cos x, sin x cos cos x sin, tedy sin x, odkud x k, tj. x k, kde k je libovolné celé číslo. Dosadíme-li výše vypočítané hodnoty do výrazu sin x cos x, dostaneme postupně sin x sin k, sin x cos x Závěr části c) cos x cos k, Hodnoty vypočítané v části b) i c) se shodují, pro sin x cos x je sin x cos x Metodické poznámky Nabízené řešení předpokládá schopnost studentů využít zkušeností s úpravami výrazů a goniometrickými vzorci tak, že dokáží zadání upravit na tvar, který vede k známým vztahům. Jedná se o úlohu náročnější na přemýšlení, k jejímu vyřešení však lze vystačit se znalostmi a dovednostmi získanými na základě výuky podle z RVP S výbornými studenty lze v části a) diskutovat, proč musí platit t ;. Rovnici v části c) lze řešit i jinými způsoby, vždy převedením na jednu goniometrickou funkci, např. využitím známých vztahů cos sin nebo cos sin. V druhém případě je však nutno dát pozor na neekvivalentní úpravy a nezapomenout na zkoušku.. 5
Na závěr je vhodné zdůraznit, že v částech b), c) ověřujeme řešení pro jednu konkrétní hodnotu, což nelze zaměnit s důkazem pro všechna reálná čísla. Zdroj: Archiv autora Obrazový materiál: Dílo autora s využitím http://funkce.argh.cz/ http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/daniel_mica/index.html a Kalkulačka z Microsoft Windows 7 Autor: Ivana Ondráčková; ondrackova@gjkt.cz 6