VYSOKÉ ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKLTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE MODL 4 JEDNODCHÁ ZOBRAZENÍ STDIJNÍ OORY RO STDIJNÍ ROGRAMY S KOMBINOVANO FORMO STDIA
Mateatická kartgrafie Mdul 4 Milslav Švec Brn 007 - (38) -
Obsah OBSAH Úvd...5. Cíle...5. žadvané znalsti...5.3 Dba ptebná ke studiu...5.4 Klívá slva...5 Jednduchá zbrazení...6 3 Kuželvá zbrazení...6 3.. Kuželvé zbrazení ekvidistantní v plednících...7 3.. Kuželvé zbrazení ekvivalentní...8 3..3 Kuželvé zbrazení knfrní...0 4 Válcvé zbrazení...6 4. Válcvé zbrazení ekvidistantní v plednících...8 4. Válcvé zbrazení ekvivalentní...9 4.3 Válcvé zbrazení knfrní... 4.4 Válcvé prjekce...4 4.5 rvnání válcvých zbrazení v nrální plze...7 5 Aziutální zbrazení...9 5. Zbrazení ekvidistantní v plednících...30 5. Aziutální zbrazení ekvivalentní...3 5.3 Aziutální knfrní zbrazení...3 5.4 Aziutální prjekce...34 5.5 Srvnání aziutálních zbrazení...36 6 Závr...38 6. Shrnutí...38 6. Studijní praeny...38 6.. Sezna pužité literatury...38 6.. Sezna dplkvé studijní literatury...38 6..3 Odkazy na další studijní zdrje a praeny...38-3 (38) -
Úvd Úvd. Cíle Mateatická kartgrafie patí k základní terretický pedt studijních prgra gedézie a kartgrafie. Vytváí pedpklady pr zvládnutí becných a praktických úlh jak becné gedézie tak pedevší becné kartgrafie. Mduly pedtu jsu kncipvány jak ucelené celky. est na sebe tereticky navazují. Opra Mateatická kartgrafie je tvena tit duly: Referenní plchy a suadnicvé systéy Kartgrafická zkreslení Kartgrafické zbrazení Jednduchá zbrazení Nepravá aziutální zbrazení. žadvané znalsti edt vyžaduje dbré ateatické základy. Jedná se zvládnutí základ ateatické analýzy pedevší diferenciálníh ptu jedné a více prnných integrálníh ptu základ diferenciálních rvnic a nkterých partií deskriptivní a diferenciální geetrie..3 Dba ptebná ke studiu edt je vyuván jak pvinný v první rníku navazujícíh agisterskéh studijníh prgrau Gedézie a kartgrafie v rzsahu hdiny pednášky a hdiny cviení za týden tedy celke 39 hdin za seestr. Jak u každéh teretickéh pedtu se pedpkládá alesp stelná asvá zátž pi sastudiu..4 Klívá slva Mateatická kartgrafie referenní plcha zbrazení apa elipsid suadnicvé sustavy - 5 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 Jednduchá zbrazení Obecn: jednduchá zbrazení jsu ppsána zbrazvacíi rvnicei typu ρ f ρ f X nv X nd ( ) ε nv z F( ) ( Š) ε nd z F( Š) Y Y g g ( ) z G( ) ( Š) z G( Š) Kule rvina nrální plha plární suadnice Kule rvina becná plha plární suadnice Kule rvina nrální plha pravúhlé suadnice Kule rvina becná plha pravúhlé suadnice Dsledke jednduchých vztah jsu jednduché brazy pledník a rvnbžek nap. pr knst. je ρ knst. tzn. že braze rvnbžky je kružnice. 3 Kuželvá zbrazení V X V A B λ C S r ϕ r ϕ ρ ε S ρ r r C A O Y J Základní pledník základní rvnbžka Zbrazvací rvnice kuželvéh zbrazení: pr referenníplchu elipsidicku pr referenníplchu kulvu neb pr referenníplchu elipsidicku ρ f ρ f ρ ρ pr referenníplchu kulvu ρ ( ϕ ) ε n ( ) ε nv ρ + F + F λ ( ϕ ϕ ) ε nλ ( ) ε nv Zkreslení v plednících a rvnbžkách - 6 (38) -
Kuželvá zbrazení d ρ p M dϕ d ρ nρ p r Rd R cs A p cs A + r sin A pr ω r sin r p + p ρ n r N cs ϕ Zkreslení jsu pr nrální plhu funkcei puze zepisné šíky brazy zepisných rvnbžek jsu ekvidefrátai ravúhlé suadnice X ρ ρ cs ε Y ρ sin ε 3.. Kuželvé zbrazení ekvidistantní v plednících Musí platit Odtud d ρ M dϕ. ρ ϕ d ρ M dϕ ρ ϕ. pr elipsid ρ ρ pr kuli ρ ρ ϕ s ϕ ( ) ε nv + R ε nλ rení knstant zbrazení. Hledáe pdínku pi níž bude délkvé zkreslení ve zvlené rvnbžce iniální (rvn jedné) ρ R ctg n sin tleaiv zbrazení (. stl. n. l.) Bnnev zbrazení (8. stl.) A ρ V - 7 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4. Knstanty ρ n žee urit z pdínky aby se dv rvnbžky ϕ a ϕ zbrazvanéh pásu nezkreslvaly cs n R ρ cs [( ) cs ( ) cs ] Zbrazení l Íslev cs cs (Jsef Niclaus l Ísle 8. stl.) V 3.. Kuželvé zbrazení ekvivalentní žívají se puze pr apy alých ítek staí uvažvat kulvu referenní plchu. d ρ nρ latí p. r. R d R cs integraci R ρ sin + k ε n i vlb základní rvnbžky platí R ρ ρ + n R cs p r nρ ω sin r r + nv ( sin sin ) nρ R cs ε nv. - 8 (38) -
Kuželvá zbrazení rení knstant n ρ. Tený kužel V ρ R ctg n sin Zkreslení délky je u rvnbžek vtší než jedna puze pr je rvn jedné. A ρ. Sený kužel edpkládáe že se nezkreslují rvnbžky V cs cs n ( sin sin) R + cs ρ R sin n n sin (Albersv zbrazení 9. stl.) 3. Má-li se zbrazvat úzeí se zepisný póle platí r ρ p 0 je R ρ p + n R ρ sin45 n. Dále žee vlit již jen jednu knstantu n. a) r tený kužel je n sin45 k tg. V tt pípad se však dtykvá rvnbžka zkresluje ( ) n sin. - 9 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 Nezkresluje se rvnbžka pr niž platí Nevhdné pr zbrazení pásu. cs45 n. b) r sený kužel pžadujee aby se nezkreslvala stední rvnbžka pásu s j. ak (Labertv zbrazení) n cs45 3..3 Kuželvé zbrazení knfrní staující pdínku knfrity je p r. Tedy d ρ M dϕ nρ N csϕ. - 0 (38) -
Kuželvá zbrazení - (38) - Separací prnných a dsazení za M N dstanee ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ρ ρ cs sin d d e e n integraci s využití izetrické šíky q je celke ( )( ) ( )( ) λ ε ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ n e e e e ne n + + + + sin sin sin sin. 45 tg 45 tg r kulvu referenní plchu je analgicky nv n + + ε ρ ρ 45 tg 45 tg Zkreslení pi kulvé referenní plše je 0 cs cs ω ρ ρ R n R n r p rení knstant. Tený kužel: i vlb j s +
Mateatická kartgrafie Mdul 4 je zkreslení na severní kraji pásu vtší než na jižní. Nejvhdnjší je vlit základní rvnbžku tak aby byla tat zkreslení stejná: nρs nρ j R css R cs j. Odtud lg css lg cs j n sin j s lg tg + 45 lg tg + 45 n j s -0 0 +0 0 0 30 0 5 0 0 06 0 0 05 09 05 777 30 0 40 0 35 0 03 038 30 0 04 936 05 999 40 0 50 0 45 0 04 35 40 0 04 735 06 9 50 0 60 0 55 0 06 7 50 0 04 483 06 75 60 0 70 0 65 0 09 300 60 0 04 34 07 495 70 0 80 0 75 0 6 589 70 0 03 573 09 460. Existuje celá ada dalších etd jak snížit výše uvedená zkreslení vlba rvnbžek s iniální zkreslení výpet iniálníh zkreslení rzbre zkreslení v jedntlivých bdech aj. žití kuželvéh knfrníh zbrazení v eskslvensku Besselv elipsid je knfrn zbrazen na Gaussvu kuli ϕ λ V tyt suadnice jsu pak knfrn zbrazeny na kuželvu plchu becn plženu. Osa tenéh kužele nejlépe se piykajícíh úzeí eskslvenska prtíná kulvu plchu v kartgrafické pólu k 59 4 46969 V k 4 3 3475 Zepisná délka V k dpvídá délce na elipsidu λ k 4 30. - (38) -
Kuželvá zbrazení Tent eridián je základní pledníke pr kuželvé zbrazení eskslvenska a jeh braz je zvlen za su X pravúhlé katastrální sustavy s pátke v braze vrchlu kužele. važujee-li prseík základní kartgrafické rvnbžky Š 78 30 se základní pledníke V na kuli jehž suadnice na elipsidu jsu ϕ 48 5 λ 4 30 je braz tht prseíku v rvin vzdálen d pátku rvinných suadnic 98 0390046. Bd V padne dalek i republiku a sa X je výchdn d eskslvenska jsu pravúhlé suadnice X Y všech bd eskslvenska kladné. r užití becných vzrc pr kuželvé zbrazení se pevedu zepisné kulvé suadnice V na kartgrafické Š D. 90 - k S V 90 - Š K 90 - Š J +Y K V 0 ρ ε ρ Š +X - 3 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4-4 (38) -
- 5 (38) - Kuželvá zbrazení
Mateatická kartgrafie Mdul 4 4 Válcvé zbrazení Zbrazení válcvé v nrální plze: rvník a všechny rvnbžky se zbrazují jak snva rvnbžných píek brazy pledník tví snvu píek vzájen stejn dlehlých rvnbžných a klých na brazy pledník. Na pláš válce se zbrazí rvnbžky jak pvrchvé kružnice pledníky jak pvrchvé píky. S C B V d dv O A D V 0 +Y C B dy dx O A D +X Zbrazvací rvnice válcvéh zbrazení pr referenní plchu elipsidicku pr referenní plchu kulvu X X ( ) ( ) nλ Y f ϕ nv Y f ledníky a rvnbžky jsu hlavníi paprsky s extréníi hdntai délkvéh zkreslení. Zkreslení v pledníku a rvnbžce - 6 (38) -
Válcvé zbrazení pr elipsid dy n p r M dϕ N csϕ pr kuli dy n p r R d R cs ω A p cs A + r sin A pr sin r r + p p Ekvidefrátai jsu brazy rvnbžek. r tený válec se nezkresluje rvník a platí pr elipsid pr kuli r r a N csϕ cs (ty- r sený válec prtínající referenní plchu ve dvu rvnbžkách t rvnbžky se nezkreslují) platí pr elipsid pr kuli r r N csϕ N csϕ cs cs i válcvé zbrazení pásu ezi dva rvnbžkai s j ±ϕ lze zkreslení snížit na plvinu zavedení senéh válce aby zkreslení na rvníku byl tlik enší než jedntka klik vtší než jedntka je na krajvých rvnbžkách. r nezkreslenu rvnbžku pak platí cs i zbrazení pásu na jedné plkuli je cs cs s + cs cs j css cs + cs j s Knstanta n se dá urit z pdínky která rvnbžka se na ap neá zkreslvat. - 7 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 4. Válcvé zbrazení ekvidistantní v plednících dínka ekvidistance v plednících nezkreslený rvník X RV Y R p r cs ω sin tg nezkreslená rvnbžka X R cs V Y R p r cs cs rtže se nezkresluje rvník a pledníky je braze gegrafické sít tvercvá sí (kvadratická apa) Marinv (r. 00 n. l.) zbrazení. Ekvidistantní válcvé zbrazení v transverzální plze byl užit pr katastrální apy a gedetické výpty Cassinih (8. stl.) neb Sldnerv zbrazení. V Rakusku-hersku využit pr katastrální apy :880. S a a x 90 dx 90 B x y + dy ds h x h x a O 90. J +X dy x y x h h x a x a O a +Y - 8 (38) -
Válcvé zbrazení Hlavní kružnice a a a x klé k základníu eridiánu kartgrafické pledníky Kartgrafické rvnbžky h h x Tansverzální gegrafická apa Zkreslení v kartgrafické pledníku a kartgrafické rvnbžce a cs α h α + sin y y cs cs R R V Rakusku-hersku byl zvlen pr snížení zkreslení suadnicvých sustav v echách je su X pledník prcházející bde Gusterberg u Kresünsteru v Rakusku na Mrav a ve Slezku pledník jducí vží sv. Štpána ve Vídni. α 4. Válcvé zbrazení ekvivalentní Kulvá referenní plcha se zbrazuje na nrální válcvu plchu. dy cs p r R d cs pr nezkreslenu rvnbžku. - 9 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 S V B O B A V 0 +Y B Y X O A +X Odtud becné rvnice Zkreslení X R cs. V Y R sin cs cs cs ω cs cs p r sin cs cs cs + cs r 0 je X RV p Y cs Rsin r cs ω cs sin + cs ω tg Zbrazení se nazývá izcylindrické Labertv (8. stl.) sin tg - 0 (38) -
Válcvé zbrazení 4.3 Válcvé zbrazení knfrní Staí pdínka a dtud p r pr elipsid X aλ p r Y ϕ a lntg + a N csϕ 45 + a N csϕ esinϕ esinϕ e ω 0 pr kuli X RV p r Y R ln tg cs + 45 cs ω 0 Zbrazení se nazývá Mercatrv (6. stl.) a užívá se pr nání a letecké apy prtže lxdra se v n zbrazuje jak píka. r gedézii je dležité knfrní válcvé zbrazení transverzální (Gaussv) latí X y x Y R ln tg 45 R cs y R Gaussv zbrazení á prti Cassinivu zbrazení veliké pednsti pr gedézii v knfrit. - (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 Gaussv knfrní zbrazení elipsidu v pledníkvých pásech a jeh užití v eskslvensku Zbrazení elipsidu pí d rviny Gauss-Krüger eridiální pruhy stejné šíky se zbrazují sastatn. Válce se dtýkají elipsidu pdél zvlených stedních pledník pás. λ dλ p d ϕ + dϕ ϕ C A α ds B O rvník - (38) -
Válcvé zbrazení +X p C X dx dy d α O rvník +Y Meridiánvá knvergence +X p γ r C Y γ µ r X O +Y Zbrazení se využívá v šestistupvých pásech. Délkvé zkreslení na krajích šestistupvéh pásu nepesáhne 00057 a je zanedbatelné na tpgrafických apách :0000 a eších ítek. Dležitý úkle Gaussva knfrníh zbrazení pledníkvých pás elipsidu je stanvení pevdních vztah ezi suadnicvýi sustavai susedních pás tabulky. - 3 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 4.4 Válcvé prjekce Geetrické zbrazení z bdu na válcvu plchu. S Y R C r c J K c - 4 (38) -
Válcvé zbrazení. Sted prjekce K c leží na zeské se Knstanty r c že vlit. Nap. pr r R c 0 je r ( c + R sin ) X rv Y R cs r R + csin p R cs r r R cs ω r p sin + p r c X RV Y R tg ω p sin r cs cs tg. Sted prítání K c leží v rvin rvníku X R cs. V sin Y R( c + R cs ) c + R cs p ( c + R cs ) ( c + R cs ) cs r pr cs ω r p sin r + p R + c cs S R e C K c e c J - 5 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 Knstanty a c žee vlit. r c R je X p r R cs. V + cs cs Y cs r T je tzv. Gallva steregrafická prjekce. r c 0 je X R cs p. V cs cs Má-li být válec tený bude pr 0 r i X RV Y R R ( + cs ) p cs Y r R cs cs cs ( c + R) tg tg sin c + R cs c dstáváe izcylindrické stejnplché zbrazení. c R je X RV Y R tg p T je tzv. Braunva steregrafická prjekce. cs r cs - 6 (38) -
Válcvé zbrazení 4.5 rvnání válcvých zbrazení v nrální plze Zbrazení tvercvé p Izcylindrické Knfrní ω 0 Steregrafická prjekce Gallva 30 Steregrafická prjekce Braunva 0 30 60 90 Zkreslení r ω p r ω p r p r ω p r ω 000 0 00 000 000 0 00 000 000 0933 0866 0808 4 6 000 000 000 0 00 55 8 4 0866 55 6 6 55 333 000 000 000 0 00 07 55 38 4 6 000 38 57 0500 000 73 44 000 4000 44 73 55 8 53 333 000 667 3 04 80 00 0000 80 00 866 80 00 000 80 00-7 (38) -
Aziutální zbrazení 5 Aziutální zbrazení Aziutální zbrazení se pužívá v becné plze pi kulvé referenní plše je speciální pípade kuželvých zbrazení. D S h a K ψ Š C h K O p J a p X Kartgrafický pól K( k V k ) definuje systé kartgrafických pledník a (aziutální kružnice) a rvnbžek h (hrizntální kružnice). Obraze kartgrafických pledník je svazek píek s vrchle K. Obraze kartgrafických rvnbžek jsu kružnice stedu K a plru ρ který závisí puze na kartgrafické šíce Š nahrazujee ji u aziutálních zbrazení dplke ψ 90 Š. Rvnice zbrazení ρ f ( ψ ) ε D r pravúhlé suadnice platí X ρ cs ε Y ρ sinε Kartgrafické pledníky a rvnbžky jsu rtgnální systée a platí tedy a d ρ Rdψ ω sin h h h ρ dε Rsinψ d D a a ρ Rsinψ a h - 9 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 5. Zbrazení ekvidistantní v plednících d ρ Rdψ ψ 0 ρ staující pdínka tedy separací d ρ Rdψ a integrací (pi splnní pdínky 0) platí rtže ρ a Rψ ε D h ψ sinψ ω ψ sinψ sin ψ + sinψ ψ > sinψ kartgrafické rvnbžky se na ap prdlužují. Zbrazení se nazývá stelv (6. stl.) užívá se v letectví seisice apd. prtže nezkresluje aziut rtdry a udává skutenu sféricku vzdálenst ezi libvlný bde a stede apy. - 30 (38) -
Aziutální zbrazení Hvzdicvé zbrazení (eterannv) 5. Aziutální zbrazení ekvivalentní Základní pdínka ρ R ( R ) ρ d ρ sinψ dψ dtud ψ k + 4R sin. Má-li být pr ψ 0 ρ 0 vlíe Zbrazvací rvnice ψ ρ R sin ε D ψ a cs h ψ cs ψ cs ω sin ψ + cs k R. - 3 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 Zbrazení se nazývá Labertv (8. stl.) 5.3 Aziutální knfrní zbrazení latí pt pdínka knfrity tedy a h 0 d ρ Rdψ ρ Rsinψ. Odtud integrací (pi vlb ψ ) dstáváe zbrazvací rvnice ψ ρ R tg ψ cs ε D ω 0 4ψ cs - 3 (38) -
Aziutální zbrazení Steregrafická prjekce každá kružnice se prítá jak kružnice (neb píka kružnice s nulvu kivstí) význa v gedézii a kartgrafii. Zkreslení se dá jednduše vyjádit pcí suadnic rvinných + tg ψ cs ψ + X 4 + Y Veliké zkreslení plšné u knfrníh zbrazení a úhlvé u ekvivalentníh vedl k hledání kprisních pdínek pr integraní knstantu. R Nap. Breusigv zbrazení - ρ je geetrický prr bu zbrazení Airyh zbrazení - ρ je uren z pdínky aby integrál p {( ) + ( ) } a pes zbrazvanu plchu byl iniální h d p - 33 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 5.4 Aziutální prjekce Obecné zbrazvací rvnice aziutálních prjekcí ρ a RE sinψ c + Rcsψ ε D E( R + ccsψ ) E h ( c + Rcsψ ) c + Rcsψ π K ρ h B ψ R C E c K c žívají se i petvené rvnice pr pravúhlé suadnice RE X c + Y c + R ( csk sin + sink cs cs V ) R( sin sin + cs cs cs V ) RE cs sin V ( sin sin + cs cs cs V ) k k k k Vlba knstanty c (neb E) rtgrafická prjekce steregrafická prjekce gnónická prjekce externí prjekce c c R c 0 c > R - 34 (38) -
Aziutální zbrazení Ortgrafická prjekce c ρ a Rsinψ csψ ε D h csψ ω sin tg ψ Steregrafická prjekce c R ψ ρ R tg ε D a h ψ cs 4ψ cs ω 0 Gnónická prjekce c 0 ρ R tgψ ε D a cs ψ h csψ 3 cs ψ sin ω tg ψ - 35 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 Externí prjekce c > R ρ vede ke knstant c 707068R dínka nap. ρ ψ 90 ψ 45 zbrazení de la Hirev. Dvjitá Slvjevva prjekce ψ ρ 4R tg ε D 4 a ψ h ψ ψ cs cs cs 4 4 ψ 4ψ cs cs 4 ω sin tg ψ 4 5.5 Srvnání aziutálních zbrazení Zbrazení ψ 0 30 60 90 stelv a Steregrafické ω 0 Stejnplché ω h a h a h ω 000 0 00 000 000 000 000 0 00 04 38 07 49 0966 035 3 58 09 0 0 5 333 778 0866 55 6 6 57 5 39 000 4000 0707 44 38 57-36 (38) -
Aziutální zbrazení Vyrvnávací 000 08 086 6 Breusigv h ω 000 000 0 00 053 07 57 4 347 7 39 68 6 6 Ortgrafické a 000 0866 0500 0000 h ω 0 00 8 4 38 57 80 00 Gnónické a h ω 000 000 000 0 00 55 333 540 8 4 000 4000 8000 38 57 80 00 De la Hirev a h 000 000 000 03 05 066 030 7 63 099 586 473 ω 0 00 09 9 59 30 7 Slvjevva dvjitá prjekce a h 000 000 000 07 053 07 07 38 37 7 657 94 0 00 59 8 6 9 46 ω - 37 (38) -
Mateatická kartgrafie Mdul 4 6 Závr 6. Shrnutí Nejbsáhlejší dul pedtu. Chrakterizuje nejdležitjší jednduchá zbrazení: kuželvá válcvá a aziutální. Odvzuje jejich charakteristiky a uvádí píklady pužití. 6. Studijní praeny 6.. Sezna pužité literatury [] Hjvec V. a kl. Kartgrafie GK raha 987 6.. Sezna dplkvé studijní literatury [] Daniš M. Valk J. Mateatická kartgrafia SVŠT Bratislava 987 [3] Srnka E. Mateatická kartgrafie VAAZ Brn 977 [4] Böh J. Mateatická kartgrafie VŠT Brn 95 6..3 Odkazy na další studijní zdrje a praeny [5] http://dg.tuwien.ac.at/havlicek/karten.htl [6] http://www.3dsftware.c/ [7] http://athwrld.wlfra.c/maprjectin.htl [8] http://en.wikipedia.rg/wiki/categry:cartgraphic_prjectins - 38 (38) -