VÝPOČET VLASTNÍCH FREKVENCÍ RÁMU MODELOVÁNÍ MECHANICKÝCH SOUSTAV Martin Bílek 0.3.05
Brdový list Náběh Horní činek Krajnice Nosný drát Nítěnka Dolní činek Závěs 5.5.05
Výpočet vlastních frekvencí pružně uloženého nosníku Uvažujeme-li prizmatický nosník s konstantní hodnotou tuhosti a zanedbáme-li vliv příčných sil rotační setrvačnosti na průhyb nosníku, lze odvodit hodnotu vlastní frekvence následovně. Řešíme-li případ pružného nosníku zatíženého jeho hmotností, dostáváme rovnici jeho průhybové čáry ve tvaru: w(x)= C coshx+c sinhx+c 3 cosx+c 4 sinx () kde 4 m () 5.5.05 3
Výpočet vlastních frekvencí pružně uloženého nosníku w(x)= C coshx+c sinhx+c 3 cosx+c 4 sinx () Jestliže souřadnice x vhodně kombinujeme, můžeme definovat tzv. Krylovovy funkce [S(x), T(x), U(x), V(x)]. S U x coshx cosx Tx sinhx sinx x coshx cosx Vx sinhx sinx Derivováním přecházejí tyto funkce jedna v druhou (až na multiplikativní konstantu). Nyní můžeme rovnici () popsat následujícím tvarem využívajícím Krylovovy funkce: w x A.S( x) B.T( x) C.U( x) D.V( x) kde x je bezrozměrná veličina vztažená na délku nosníku, která se mění v intervalu <0,>. 5.5.05 4
Výpočet vlastních frekvencí pružně uloženého nosníku Na obrázku jsou zobrazeny: tuhosti k,k pružné podpory v místech a. Tuhosti c,c tuhost proti natočení konce nosníku v místech a. Derivací rovnice (5) podle x dostáváme postupně vztahy pro jednotlivé deformační a silové veličiny nosníku. w x A.S( x) B.T( x) C.U( x) D.V( x) (5) 5.5.05 5
Výpočet vlastních frekvencí pružně uloženého nosníku Využijeme-li rovnic získaných v předchozím kroku derivací, tak s použitím okrajových podmínek dostáváme rovnici (6) z jejichž kořenů je možno určit vlastní frekvence nosníku. 0 (U -TV)+ 9 (H +H )(UV-ST)- 8 H H (T -V )- 7 (K +K )(TU-SV)+ + 6 (K H +K H )(S -V )+ 6 (K H +K H )(S -TV)+ 5 H H (K +K )(ST- -UV)+ 4 K K (T -V )+ 3 K K (H +H )(TU-SV)- K K H H (TV-U )=0 (6) kde hodnoty K, K, H, H, znamenají vztahy: k L k K L c H L c H L K 5.5.05 6
Výpočet vlastních frekvencí pružně uloženého nosníku Rovnice je obecným řešením frekvenční rovnice, kterou můžeme řešit jakýkoliv případ brdového listu. Těmito rovnicemi můžeme řešit např. dlouhé listy, využívající středových výztuh. Je nutné pouze znát přesné hodnoty jednotlivých tuhostí k, k, c, c. 0 (U -TV)+ 9 (H +H )(UV-ST)- 8 H H (T -V )- 7 (K +K )(TU-SV)+ + 6 (K H +K H )(S -V )+ 6 (K H +K H )(S -TV)+ 5 H H (K +K )(ST- -UV)+ 4 K K (T -V )+ 3 K K (H +H )(TU-SV)- K K H H (TV-U )=0 k L K k L K c L H c L H 5.5.05 7
Výpočet vlastních frekvencí pružně uloženého nosníku V případě zjednodušeného rámu listu, který řešíme, můžeme předpokládat tuhosti k,k=. Celou rovnici (6) proto můžeme vydělit součinem K,K. Uvažujeme-li hodnotu tuhosti c=c=c dostáváme (7) vztah pro výpočet kruhových frekvencí rámu listu. (T V cl ) (UT SV) c E L I (U VT ) 0 (7) S U x coshx cosx Tx sinhx sinx x coshx cosx Vx sinhx sinx 5.5.05 8
Modifikace předchozího řešení na analýzu brdového listu Vzhledem k předchozímu teoretickému rozboru pružně uloženého nosníku je možné rozdělit brdový list na dva pružně uložené nosníky. Pro výpočet vlastních frekvencí činků je důležité stanovit hodnotu tuhosti c pružiny vytvářející moment M působící v místech spoje s krajnicí proti směru natočení nosníku (činku) a tím zjednodušit výpočet rámu listu na výpočet dvojice pružně uložených nosníků. Celková tuhost c se skládá z tuhosti c s (spoj krajnice a činku) a z tuhosti c k (krajnice, druhý činek). Tyto dvě tuhosti jsou řazeny sériově. Celková tuhost uložení nosníku s chováním činku při dané tuhosti spoje a typu krajnice se proto zjistí pomocí vztahu: c c s c k c c c s.c k c s k 5.5.05 9
Algoritmus výpočtu vlastních frekvencí je následující:. Na základě daného jednotkového zatížení určíme natočení činku v místě spoje a moment M, který toto natočení způsobil.. Vypočítáme tuhost c k 3. Spočítáme celkovou tuhost uložení nosníku pomocí vztahu (8) 4. Vyřešením frekvenční rovnice (5) spočítáme hodnotu (.) 5. Dosazením hodnoty (.) do rovnice (3) vypočítáme vlastní frekvenci rámu brdového listu. 5.5.05 0
Výpočet vlastních frekvencí: * 4,8 4,6 4,4 4, 4 3,8 Průběh změny hodnoty. měnímeli tuhost proti natočení konců nosníku při změně hodnoty kvadratického momentu průřezu v ohybu I nosníku. Hodnoty jsou spočteny pro nosník délky m s hodnotou I=64000 mm 4 vyrobený z hliníku (E=73000 MPa). 3,6 3,4 3, 50000 mm4 00000 mm4 00000 mm4 400000 mm4 800000 mm4 3 E+04 E+05 E+06 E+07 E+08 E+09 E+0 E+ E+ Tuhost spoje [Nmm.rad-] 5.5.05
Výpočet vlastních frekvencí: * 4,8 4,6 4,4 4, 4 3,8 Průběh změny hodnoty. měníme-li tuhost proti natočení konců nosníku při změně délky nosníku. Hodnoty jsou spočteny pro nosník délky m s hodnotou I=64000 mm 4 vyrobený z hliníku (E=73000 MPa). 3,6 3,4 500 mm 50 mm 3000 mm 3, 3 E+05 E+06 E+07 E+08 E+09 E+0 E+ Tuhost spoje [Nmm.rad-] 5.5.05
Výpočet vlastních frekvencí: Graf nám zobrazuje změnu dynamického chování rámu listu v intervalu tuhostí, kdy se jedna hraniční hodnota tuhosti blíží spoji kloubovému (c s =enm.rad - ) a druhá případu, kdy je využito spoje, který se svým charakterem blíží spoji vetknutím (c s =e9nm.rad - ). Vyjádřeno jiným způsobem: přenáší-li nám spoj nulově nebo stoprocentně moment mezi krajnicí a činkem. Změna vlastní frekvence brdového listu při změně I krajnice a tuhosti spoje 5.5.05 3
Shrnutí základních poznatků Analyzujeme-li získané závislosti, docházíme k následujícím důležitým závěrům: v obou případech zůstávají minimální a maximální hodnoty křivek neměnné. Minimální hodnota se asymptoticky blíží případu uchycení kloubem. Maximální hodnota se asymptoticky blíží případu vetknutí. zvyšujeme-li hodnotu tuhosti nosníku (činku) dosahujeme totožných hodnot (.) u vyšších tuhostí c (inflexní bod křivky se posunuje k vyšším tuhostem spoje) zvyšujeme-li délku nosníku, posouváme inflexní bod křivky směrem k nižším hodnotám tuhosti spoje (totožných hodnot (.) dosahujeme u nižších tuhostí c) Vliv parametru I nosníku na posun křivky je řádově vyšší než vliv délky nosníku. 5.5.05 4
Děkuji za pozornost 5.5.05 5