ELEKTŘIN MGNETIZMUS III Elektický potenciál Obsah 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL 31 POTENCIÁL POTENCIÁLNÍ ENERGIE 3 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL V HOMOGENNÍM POLI 4 33 ELEKTRICKÝ POTENCIÁL ZPŮSOENÝ ODOVÝMI NÁOJI 5 331 POTENCIÁLNÍ ENERGIE V SOUSTVĚ NÁOJŮ 6 34 SPOJITÉ ROZLOŽENÍ NÁOJE 8 35 ODVOZENÍ ELEKTRICKÉHO POLE Z ELEKTRICKÉHO POTENCIÁLU 8 351 GRDIENT EKVIPOTENCIÁLY 9 36 SHRNUTÍ 15 37 LGORITMUS VÝPOČTU ELEKTRICKÉHO POTENCIÁLU 16 38 ŘEŠENÉ ÚLOHY 18 39 TÉMTICKÉ OTÁZKY 31 NEŘEŠENÉ ÚLOHY
3 Elektický potenciál 31 Potenciál a potenciální enegie Z klasické mechaniky je známo, že přitažlivá síla, kteá působí na částici o hmotnosti m ve vzdálenosti od středu Země, je nepřímo úměná čtveci této vzdálenosti podle vztahu mm Fg G ˆ, (311) kde G = 6,67 1 11 N m /kg je gavitační konstanta a ˆ je jednotkový vekto směřující adiálně vnějším směem Země je zde chápána jako homogenní koule o hmotnosti M Odpovídající gavitační pole, kteé je definováno jako gavitační síla působící na jednotku hmotnosti, je vyjádřeno vztahem Fg GM g m ˆ (31) Povšimněte si, že g závisí výhadně na M, hmotnosti vytvářející pole, a, vzdálenosti od M Ob 311 Uvažujme pohyb částice o hmotnosti m vlivem gavitace (viz obázek 311) Páce vykonaná gavitací při pohybu m z místa do místa je GmM GmM 1 1 W F ds d GmM (313) g g Výsledek W g nezávisí na délce dáhy, kteou částice uazila, ale výhadně na poloze koncových bodů a Důležitý je ozdíl mezi pací vykonanou polem W g a pací vykonanou vnějšími silami W ext, například Vámi Oba výazy se liší opačným znaménkem, Wg Wext V blízkosti zemského povchu je gavitační pole g přibližně konstantní o velikosti g GM/ E 9,8m/s, kde E je polomě Země Páce vykonaná přitažlivostí při pohybu objektu z výšky y do výšky y (viz obázek 31) je Wg Fgds mg cos ds mg cos ds mg dy mg( y y ) (314) y y Výsledek opět nezávisí na celkové dáze, je funkcí výhadně změny svislé výšky y y
Ob 31: Pohyb objektu o hmotnosti m z do Z výše uvedeného příkladu je zřejmé, že pokud se bude objekt pohybovat po uzavřené křivce, a vátí se znovu do místa, kde pohyb započal, výsledná páce vykonaná polem bude nulová Říkáme, že přitažlivá síla je konzevativní (zachovává se) Obecněji: síla F je konzevativní, pokud je její dáhový integál po uzavřené křivce nulový: F d s (315) Výklad konzevativní síly bývá často spojen s úvodem do koncepce potenciální enegie U Změna potenciální enegie přiřazená konzevativní síle působící na objekt, kteý se pohybuje z bodu do bodu, je definována jako U U U F d s W, (316) kde W je páce vykonaná silou na objektu V případě gavitace, kde W = W g, a ze vztahu (313), je možné psát potenciální enegii takto: GmM Ug U, (317) kde U je konstanta závislá na vztažném (efeenčním) bodě Refeenční bod je výhodné zavést tak, aby konstanta U byla nulová V případě gavitace můžeme vztažný bod zvolit v nekonečnu a pak U ( ) Jelikož U g závisí na volbě vztažného bodu, fyzikální význam má pouze ozdíl potenciálních enegií U g V blízkosti zemského povchu, kde je gavitační pole g přibližně konstantní, mění předměty svoji potenciální enegii v závislosti na změně výšky h podle vztahu U g = +mgh a páce vykonaná gavitací je ovna W g = mgh Další pojem, kteý souvisí s potenciální enegií je potenciál Z U získáme gavitační potenciál jako U g Vg g / m d d m F sg s (318) Fyzikálně znamená V g záponou páci vykonanou na jednotce hmotnosti gavitací při přemístění částice z bodu do bodu Náš popis elektostatických dějů je značně podobný gavitaci Elektostatická síla F e, získaná z Coulombova zákona, je také nepřímo úměná čtveci vzdálenosti nabitých objektů a je také konzevativní Zavedení elektického pole E je analogické poli gavitačnímu g Rozdíl elektických potenciálů mezi dvěma body a definujeme také obdobně: 3
e V F / q ds Eds (319) kde q je zkušební náboj Rozdíl potenciálů V je oven páci vykonané na jednotkovém zkušebním náboji q při změně jeho polohy z do, za předpokladu, že při tom nezmění svoji kinetickou enegii Znovu je potřeba zdůaznit, že elektický potenciál nesmí být zaměněn za elektickou potenciální enegii Tyto dvě veličiny jsou k sobě vztaženy takto: U q V (311) Jednotkou elektického potenciálu v soustavě SI je volt (V): 1 volt = 1 joule/coulomb (1 V = 1 J/C) (3111) Pacujeme-li se systémy v měřítku atomů nebo molekul, je joule (J) příliš velkou jednotkou Mnohem častěji se poto zde užívá elektonvolt (ev), kteý je definován jako enegie získaná (nebo pozbytá) pohybujícím se elektonem při půchodu ozdílem potenciálů o velikosti jednoho voltu: 19 19 1eV 1,61 C 1V 1,6 1 J (311) 3 Elektický potenciál v homogenním poli Uvažujme náboj +q pohybující se po přímce v homogenním elektickém poli E E ˆ ( j ), jak je ukázáno na obázku 31 nalevo Ob 31: Nalevo náboj q se pohybuje po přímé dáze v homogenním elektickém poli E Napavo těleso hmotnosti m se pohybuje po přímé dáze v homogenním gavitačním poli g Jelikož je dáha ovnoběžná s E, lze ozdíl potenciálů mezi body a vypočítat takto: V V V E d s E d s E d (31) Je zřejmé, že bod má nižší potenciál než bod Ve skutečnosti směřují silokřivky elektického pole vždy od vyššího potenciálu k nižšímu Změna potenciální enegie je U U U qe d Pokud je náboj kladný, je výsledný ozdíl potenciální enegie záponý, z čehož vyplývá, že při pohybu kladného náboje ve směu pole se jeho potenciální enegie snižuje To také odpovídá gavitační analogii zobazené na 31 napavo, kde těleso o hmotnosti m při pádu ve směu pole g ztácí svoji potenciální enegii (U = mgd) Co se stane, když dáha z bodu do není ovnoběžná s E, ale je skloněna o úhel, jak je nakesleno na obázku 3? V takovém případě vypočteme potenciálový ozdíl podle vztahu 4
E s E s cos (3) V V V d E s E y Ob 3: Potenciálový ozdíl způsobený homogenním elektickým polem Povšimněme si, že na obázku 3 směřuje osa y dolů Opět vidíme, že pohyb ve směu pole E snižuje elektický potenciál Co se bude dít s potenciálem, pokud postupně pojdeme dáhu C? V tom případě se bude potenciálový ozdíl skládat ze dvou složek, každý po jeden úsek dáhy: V V V (33) C Při pohybu z do C bude změna potenciálu VC E y Následně, při dáze z C do, bude potenciálový ozdíl nulový ( V C ), potože tato část dáhy je kolmá na smě pole E Stejný výsledek získáme, pokud tuto část dáhy vypustíme Můžeme to učinit jen díky tomu, že pole E je konzevativní Povšimněte si, že po dáze C je páce konána jen podél části dáhy C, kteá je ovnoběžná se směem pole V bodech a C je elektický potenciál shodný ( V VC ) Ze vztahu U q V vyplývá, že k pohybu náboje z C do není zapotřebí žádné páce Všechny body podél dáhy spojující C s jsou na téže ekvipotenciální linii Podobnější budou ekvipotenciály pobíány v kapitole 35 33 Elektický potenciál způsobený bodovými náboji Vypočtěme ozdíl potenciálu mezi dvěma body a způsobený nábojem +Q Elektické pole vytvořené nábojem Q je E ( Q/4 ), ˆ kde ˆ je jednotkový vekto mířící do bodu, kde sledujeme pole C Ob 331: Rozdíl potenciálů mezi dvěma body vytvořený bodovým nábojem Q Podle obázku 331, ze kteého je zřejmé, že ˆ ds dscos d, dostaneme Q Q Q 1 1 V V V ˆ ds d (331) 4 4 4 5
Znovu je nutno zdůaznit, že ozdíl potenciálů je závislý výhadně na koncových bodech dáhy, nezávisí na dáze, kteá je spojuje Stejně jako v případě gavitace, je fyzikálně smysluplný jen ozdíl elektického potenciálu Můžeme vybat jeden efeenční bod a v něm zvolit nulový potenciál Z paktických důvodů je často výhodné uvažovat efeenční bod v nekonečnu, pak elektický potenciál v bodě P vypočteme jako VP P E d s (33) Podle tohoto vztahu je elektický potenciál ve vzdálenosti od bodového náboje Q oven 1 Q V() 4 (333) Pokud je přítomno více bodových nábojů, lze při využití pincipu supepozice a získat celkový elektický potenciál jako součet potenciálů jednotlivých bodových nábojů: 1 qk qk V() ke (334) 4 V tabulce uvádíme souhnné poovnání gavitace a elektostatiky: Gavitace hmotnost m k k k k Elektostatika náboj q mm qq gavitační síla Fg G ˆ Coulombova síla F e ke ˆ gavitační pole g F g /m elektické pole E F e /q ozdíl potenciální enegie U F g d s ozdíl potenciální enegie U F e d s gavitační potenciál Vg g d s elektický potenciál Ve E d s GM Q potenciál zdoje M: Vg potenciál zdoje Q: Ve ke U mgd (konstantní g) Ue qed (konstantní E) g 331 Potenciální enegie v soustavě nábojů Pokud je soustava uspořádána do učité konfiguace vnějšími činiteli, pak platí vztah U W W ext Změna potenciální enegie soustavy bude ovna páci, kteou je nutno vynaložit vnějšími činiteli na vytvoření dané konfiguace nábojů Jednoduchým příkladem je vyzdvižení tělesa o hmotnosti m do výšky h Páce vykonaná vnějším činitelem (například Vámi) je +mgh (gavitační pole vykonalo páci mgh) Představme si, že přemístíme náboje z nekonečna tak, aby na konci pohybu byly v klidu Začněme se dvěma náboji q 1 a q Potenciál jimi vytvořený v bodě P bude V 1 (viz obázek 33) 6
Ob 33: Dvojice bodových nábojů ve vzdálenosti 1 Páce W vykonaná vnějším vlivem při přemístění duhého náboje q z nekonečna do bodu P je W = q V 1 (K přemístění pvního náboje nebyla spotřebována žádná páce, W 1 = ) Jelikož V q /4, kde 1 je vzdálenost měřená od q 1 do P, dostáváme: 1 1 1 U 1 qq W 1 4 (335) 1 1 Pokud jsou náboje q 1 a q souhlasně nabité, bude nutno vynaložit kladnou páci na překonání elektostatického odpuzování a potenciální enegie soustavy bude kladná, U 1 > V opačném případě, pokud mají náboje nesouhlasné znaménko, je U 1 < z důvodu přitahování mezi náboji Ob 333: Soustava tojice bodových nábojů K připojení třetího náboje q 3 do soustavy bude zapotřebí vynaložit páci q3 q1 q W3 q3( V1V) 4 13 3 Potenciální enegie výsledného seskupení bude 1 qq 1 qq 1 3 qq3 U W W U U U 4 1 13 3 3 1 13 3 (336) (337) Rovnice ukazuje, že celková potenciální enegie je součtem příspěvků jednotlivých dvojic nábojů Snadno povedeme zobecnění po soustavu o N nábojích: N N 1 qq i j U, (338) 4 i1 j1 ji kde podmínka j > i vylučuje dvojí započítání téhož páu Duhou možností je započítat každý pá dvakát a výsledek vydělit dvěma: ij 7
N N 1 qq N N N i j 1 1 qj 1 U qi qv i ( i), 8 i1 j1 ij i1 4 j1ij i1 ji ji (339) kde výaz v závoce, neboli V( i ), je potenciál v místě i (zde je náboj q i ) vytvořený všemi ostatními náboji 34 Spojité ozložení náboje Pokud je náboj ozložený spojitě, lze potenciál v bodě P nalézt sčítáním příspěvků jednotlivých difeenciálních elementů náboje dq Ob 341: Spojité ozložení náboje Uvažujme ozložení náboje ukázané na obázku 341 Máme-li efeenční bod s nulovým potenciálem v nekonečnu, elektický potenciál vytvořený nábojem dq v bodě P je Sečtením příspěvků všech difeenciálních elementů dostaneme 1 dq dv (341) 4 1 dq dv 4 (34) 35 Odvození elektického pole z elektického potenciálu V ovnici (319) jsme zavedli vztah mezi E a V Uvažujeme-li dvojici bodů, kteé jsou od sebe vzdáleny malou vzdáleností ds, bude výsledný difeenciální vztah dv Eds (351) V katézských souřadnicích je E E ˆiE ˆj E kˆ, dss ˆis ˆj s k ˆ a vztah (351) přejde na odkud máme x y z x y z dv ExdxEydy Ezdz, (35) V V V Ex, Ey, Ez x y z (353) 8
Zaveďme difeenciální veličinu, kteá se nazývá gadient neboli opeáto nabla : ˆ ˆ i j k ˆ (354) x y z Elektické pole je možno za pomoci gadientu napsat ve tvau ˆ ˆ ˆ V ˆ V ˆ V ˆ ˆ E ˆ ˆ E xieyjezk i j k i j k V V, x y z x y z E V (355) Všimněme si, že gadient působí na skalá (elektický potenciál) a výsledkem je vekto (elektické pole) Matematicky je elektické pole E záponě vzatým gadientem elektického potenciálu V Fyzikálně záponé znaménko znamená úbytek, tedy elektické pole míří ve směu úbytku potenciálu V Pokud je náboj ozložen sféicky symeticky, pak je výsledné elektické pole funkcí adiální vzdálenosti, tedy E E ˆ V tomto případě je dv Ed Pokud je potenciál V() znám, získáme E jako ˆ dv E E ˆ (356) d Například elektický potenciál vytvořený bodovým nábojem q jev() q/4 Užitím předchozího vztahu učíme jednoduše elektické pole ˆ E ( q/4 ) 351 Gadient a ekvipotenciály Předpokládejme dvouozměný systém s elektickým potenciálem V(x, y) Křivky učené konstantní hodnotou V(x, y) nazýváme ekvipotenciálními liniemi Příklad ekvipotenciálních linií je na obázku 351 Ob 351: Ekvipotenciální linie Ve třech ozměech máme ekvipotenciální povchy (plochy), kteé jsou definovány vztahem V( x, y, z) konst Ze vztahu E V můžeme dokázat, že smě E je vždy kolmý na ekvipotenciály v každém jejich bodě Následuje důkaz po dvouozměný posto Zobecnění po tříozměný případ je zřejmé Důkaz: Podle obázku 35, nechť potenciál v bodě P(x, y) je V(x, y) Nakolik se V změní v sousedním bodě P(x+dx, y+dy)? Rozdíl zapíšeme jako 9
dv V( xdx, y dy, z dz) V( x, y, z) V V V V V( x, y) dx dy V( x, y) dx dy x y x y (357) Ob 35: Změna V při přemístění z jedné ekvipotenciální linie na duhou Za pomoci vektou přemístění dsdxˆidyˆj přepíšeme dv jako V ˆ V ˆ dv dx ˆ dy ˆ ( V ) d d x i y j i j s E s (358) Poběhne-li přesun ds ve směu tečny k ekvipotenciále pocházející bodem P(x, y), pak je dv =, potože V je všude na této linii konstantní Z toho vyplývá, že E je kolmé na ds podél celé ekvipotenciální linie Tedy E je kolmé k ekvipotenciále Na obázku 353 je zobazeno několik příkladů ekvipotenciálních linií Ve třech ozměech by ekvipotenciální povchy měly tytéž vlastnosti Z ovnice (358) je také zřejmé, že změna potenciálu dv je maximální ve směu gadientu V : Fyzikálně to znamená, že gadient dv max V ds V vždy míří ve směu maximální změny funkce V (359) Ob 353: Ekvipotenciální linie a elektické silokřivky Nalevo homogenní pole E, upostřed bodový náboj, napavo elektický dipól Vlastnosti ekvipotenciálních ploch lze shnout následovně: i) Silokřivky jsou kolmé k ekvipotenciálám a směřují od vyšších k nižším potenciálům ii) Ekvipotenciální plochy vytvářené bodovými náboji mají tva soustředných kulových ploch Pokud je zdojem konstantní pole, mají tva ovin kolmých na silokřivky iii) Tečná složka pole podél ekvipotenciálního povchu je nulová, ve všech ostatních případech je nutno po přemístění náboje po povchu vykonat nenulovou páci iv) Pohybem náboje po ekvipotenciální ploše se nevykonává žádná páce 1
Po ekvipotenciální plochy je užitečná podobnost s topogafickou mapou (Obázek 354) Každá vstevnice na mapě znázoňuje stejnou výšku nad mořem Matematicky vyjádřeno, z = f(x, y) = konst Gavitační potenciál při povchu Země je V g = gz a poto zobazené křivky odpovídají gavitačním ekvipotenciálám Příklad 31: Rovnoměně nabitá tyč Ob 354: Topogafická mapa Mějme nevodivou tyč délky mající ovnoměně ozloženou hustotu náboje Najděte elektický potenciál v místě P, kteé leží v kolmé vzdálenosti y nad středem tyče Ob 355: Nevodivá tyč délky s ovnoměně ozloženou hustotou náboje Řešení: Uvažujme difeenciální element délky dx, kteý je nositelem náboje dq dx, jak je nakesleno na obázku 355 Poloha tohoto elementáního zdoje je ( x,), přičemž bod P, ve kteém sledujeme pole je umístěn na ose y a má souřadnice (, y) Vzdálenost mezi dx a P je 1/ ( x y ) Příspěvek uvažovaného elementu k potenciálu je dán jako 1 dq 1 dx dv 4 4 ( x y ) 1/ Potenciál V je v nekonečnu nulový, celkový potenciál vytvořený tyčí je tedy / dx / ln 1/ / ( x y ) / V x x y 4 4 kde jsme při integaci použili vztah ( /) ( /) y ln, 4 ( /) ( /) y (351) 11
dx x y ln x x y ) Vykeslení V( y)/ V, kde V /4v závislosti na y/ je na obázku 356: Ob 356: Elektický potenciál podél osy pocházející středem nevodivé tyče Odpovídající elektické pole lze získat jako E y V / y y y ( /), v souladu s výsledkem získaným z ovnice (19) V limitě potenciál na výazně jednodušší tva y přechází odvozený y 1 1 ( /) ( /) y V ln ln 4 ( /) ( /) y 4 y 1 1 ln ln ln 4 y / 4 y y Příklad 3: Rovnoměně nabitý pstenec (3511) Uvažujme ovnoměně nabitý pstenec o poloměu R a hustotě náboje (obázek 357) Jaký je elektický potenciál ve vzdálenosti z od středu pstence na středové ose? Ob 357: Nevodivý pstenec o poloměu R s ovnoměnou hustotou náboje 1
Řešení: Uvažujme malý difeenciální element d Rd na pstenci Element je nositelem náboje dq d Rd a jeho příspěvek k elektickému potenciálu v místě P je 1 dq 1 Rd dv 4 4 R z Elektický potenciál v místě P od celého pstence bude 1 R 1 R 1 Q V dv d 4 (351) 4 4 R z R z R z kde jsme povedli substituci Q R za celkový náboj pstence Podle ovnice (351), můžeme složku E z elektického pole psát v souladu s ovnicí (114) jako V limitě po z E z V 1 z 4 Qz R z 3/ R se potenciál blíží potenciálu bodového náboje: Příklad 33: Rovnoměně nabitý kotouč 1 Q V 4 z (3513) Uvažujme ovnoměně nabitý kotouč s poloměem R a plošnou hustotou náboje ležící v ovině xy Jaký je elektický potenciál ve vzdálenosti z od středu kotouče na středové ose? Ob 343: Nevodivý kotouč o poloměu R a hustotě náboje σ Řešení: Uvažujme mezikuží o poloměu a šíři d Náboj mezikuží je dq d d od P, ve kteém sledujeme pole, je umístěn na ose z ve vzdálenosti z mimo ovinu kotouče 1/ Podle obázku je vzdálenost bodu P od mezikuží ( z ) Z toho lze vypočítat příspěvek elektického potenciálu v P jako 1 dq 1 d dv 4 4 z Sečtením všech mezikuží dostaneme po potenciál celého kotouče 13
V limitě po z R máme R d z V R z z 4 (3514) a potenciál se limitně blíží bodovému náboji: 1/ R R, R z z 1 z 1 z z R 1 1 Q V z 4 z 4 z Podle očekávání je ve velké vzdálenosti potenciál nevodivého nabitého kotouče k neozeznání od potenciálu bodového náboje Q Sovnání potenciálu bodového náboje a kotouče je vykesleno na obázku 344 Ob 344: Poovnání potenciálů nevodivého nabitého kotouče a bodového náboje Elektický potenciál je zde vyjádřen v jednotkách V Q/4 R Povšimněte si, že elektický potenciál ve středu disku (z = ) je konečný a jeho hodnota je V R Q R 1 Q V (3515) C R 4 R Potenciál ve středu představuje páci potřebnou k přenesení jednotkového náboje z nekonečna do středu kotouče Elektické pole v bodě P dostaneme ze vztahu (3514): E z V z z z z R z, (3516) což je v souladu se vztahem (118) V limitním případě R z přejde tato ovnice na vztah E /, což je elektické pole nekonečně velké nevodivé desky z Příklad 33: Výpočet elektického pole z elektického potenciálu Vyjděme z elektického potenciálu vytvořeného učitým ozložením náboje, kteé lze v katézských souřadnicích zapsat ve tvau V( x, y, z) x y xyz C, 14
kde, a C jsou konstanty Jaké je elektické pole odpovídající tomuto potenciálu? Řešení: Elektické pole nalezneme pomocí vztahu (353): V Ex xy yz, x V Ey x yxz, y E z V xy z Hledané elektické pole tedy je E( xy yz) ˆi ( xy xz) ˆj xyk ˆ 36 Shnutí Síla F je konzevativní, pokud je její integál po uzavřené křivce nulový F d s Změna potenciální enegie odpovídající působení konzevativní síly F na objekt pohybující se z do je U U U F d s Rozdíl elektického potenciálu V mezi body a v elektickém poli E je učen jako V V V U/ q E ds Jeho velikost odpovídá páci potřebné k přemístění jednotkového náboje q z bodu do beze změny kinetické enegie Elektický potenciál vyvolaný bodovým nábojem Q je ve vzdálenosti od náboje 1 Q V() 4 Po více nábojů lze využít pincip supepozice a výsledný elektický potenciál je pak 1 Qk V() 4 Potenciální enegie přiřazená dvojici jednotlivých nábojů q 1 a q vzdálených 1 je 1 qq 1 U 4 k 1 Z elektického potenciálu V lze pomocí gadientu získat elektické pole E V V katézských souřadnicích lze jednotlivé složky zapsat takto: V V V Ex, Ey, Ez x y z Elektický potenciál vytvořený spojitě ozloženým nábojem učíme ze vztahu 1 dq V 4 k 15
37 lgoitmus výpočtu elektického potenciálu V této kapitole ukážeme, jak lze vypočítat elektický potenciál nejen po diskétní i spojité ozložení náboje Opoti elektickému poli, kteé je vektoovou veličinou, je elektický potenciál veličinou skalání Po diskétní ozložení náboje využíváme pincip supepozice a sčítáme jednotlivé příspěvky: qk V() ke k Po spojité ozložení náboje musíme učit hodnotu integálu Integaci povedeme v následujících kocích: k dq V() ke (1) Začneme výpočtem elementu potenciálu dv ke dq/ () Rozepíšeme element náboje dq jako dl dq d dv (délka) (plocha) (objem) v závislosti na způsobu, zda je náboj ozložen lineáně, plošně nebo v postou (3) Substituujeme dq do vztahu po dv (4) Zvolíme vhodnou souřadnicovou soustavu a vyjádříme difeenciální element (dl, d nebo dv ) a podle zvolené souřadnicové soustavy (viz tabulka 1) (5) Přepíšeme dv za pomoci integační poměnné (6) Dokončíme integaci a obdžíme V Pvní možností, jak pacovat s výsledkem získaným po integaci potenciálu V je výpočet elektického pole ze vztahu E V Je-li náboj ozpostřen v konečné oblasti postou, lze obdžený výsledek ve velké vzdálenosti od nábojů poovnat s polem bodového náboje Zvolíme-li bod P velmi daleko od nábojů, bude se pole chovat jako pole bodového náboje, kteé je nepřímo úměné čtveci vzdálenosti a potenciál bude nepřímo úměný vzdálenosti 16
V tabulce níže je popsaný postup aplikován na výpočet elektického potenciálu náboje ozloženého ovnoměně na tenké tyči, pstenci a kotouči 1) obázek Nabitá tyč Nabitý pstenec Nabitý kotouč ) vyjádření dq pomocí hustoty náboje dq dx dq dl dq d 3) substituce dq do vztahu po dv dv dx dl ke dv ke dv ke d 4) Přepis a difeenciálního elementu do vhodných souřadnic dx dl Rd x y R z d d z 5) přepis dv dv k dx e x y dv k Rd e R z dv ke d z 6) Integace V y V ln 4 y V k e R Q z V R z z 7) výpočet E z potenciálu E y V y / y y 3/ E 1 4 z V z R Qz z z z z R z E z V z 8) limita bodového náboje po E E y kq y y e ; E z kq z z R e ; E z kq z z R e ; 17
38 Řešené úlohy 381: Elektický potenciál tvořený soustavou dvou nábojů Uvažujme dvojici nábojů podle obázku 381 Stanovte elektický potenciál libovolného bodu na ose x a nalezený vztah vykeslete Řešení: Ob 381: Elektický dipól Elektický potenciál lze najít za pomoci pincipu supepozice V libovolném bodě na ose x platí 1 q 1 ( q) q 1 1 V( x) 4 x a 4 xa 4 xa xa Tento výaz lze přepsat do bezozměného tvau V( x) 1 1, V x x 1 1 a a kde jsme označili V q/4 a Vykeslení bezozměného elektického potenciálu v závislosti na x/a je na obázku 38 Ob 38 Z gafu je zřejmé, že V(x) diveguje v bodech xa / 1, kde jsou ozmístěny náboje 38: Elektický potenciál dipólu Uvažujme elektický dipól umístěný v ose y, jak je ukázáno na obázku 383 Nalezněte elektický potenciál V v bodě P v ovině xy, a z něho vypočtěte elektické pole dipólu 18
Ob 383 Z pincipu supepozice je potenciál v místě P oven V 1 q q Vk 4, k kde a acos V limitě a platí 1/ 1 1 1 1 1 a a cos 1 a a cos a potenciál dipólu můžeme přibližně vyjádřit jako q 1 1 q 1a a 1a a V 1 cos 1 cos 4 4 q acos pcos ˆ p 4 4 4 kde p aqˆj je elektický dipólový moment Ve sféických souřadnicích je opeáto gadientu oven 1 ˆ 1 ˆ ˆ sin Vzhledem k tomu, že potenciál je funkcí jak, tak, bude mít elektické pole složky ve směu ˆ a ˆ Využitím E V dostaneme V pcos 1 V psin E, E, E 4 3 3, 383: Elektický potenciál anuloidu Mějme anuloid s ovnoměně ozpostřenou hustotou náboje, jak je ukázáno na obázku 384 Nalezněte elektický potenciál v bodě P ležícím na ose symetie 19
Řešení: Ob 384: nuloid s ovnoměným ozložením náboje Vybeeme malý difeenciální element d ve vzdálenosti od bodu P Množství náboje obsažené v d je dáno vztahem dq d dd Příspěvek tohoto elementu k celkovému potenciálu v bodě P je Integováním přes celý anuloid dostaneme 1 dq 1 d d dv 4 R 4 z b b dd d a z a z V b z a z 4 4 kde jsme využili známého integálu sds s z s z Povšimněte si, že v limitě a a b R po potenciál dostaneme V R z z, což odpovídá výsledku získanému po nevodivý kotouč o poloměu R uvedenému v ovnici (3514) 384: Náboj pohybující se v blízkosti nabitého vodiče Tenká tyč je umístěna podél osy z od z = d do z = +d Tyč je nositelem kladného náboje Q ovnoměně ozpostřeného po celé délce tyče d s hustotou náboje = Q/d (a) Vypočtěte elektický potenciál v bodě z > d podél osy z (b) Jak se mění potenciální enegie, když se elekton pohybuje mezi z = 4d do z = 3d? (c) Pokud elekton začíná pohyb v bodě z = 4d, kde je v klidu, jaká bude jeho ychlost v bodě z = 3d?,
Řešení: (a) Po zjednodušení zavedeme nulový potenciál v nekonečnu, V( ) = Uvažujme infinitezimální element náboje dq dz umístěný ve vzdálenosti z na ose z Příspěvek k elektickému potenciálu v bodě z > d je pak dv 4 dz z z Integováním podle celé délky vodiče pak získáme výsledný vztah zd dz z d V ln 4 z z 4 z d zd (b) Využijeme výsledku získaného v (a), elektický potenciál v místě z = 4d je 4d d 5 V( z 4 d) ln ln 4 4d d 4 3 Obdobně elektický potenciál v místě z =3d je 3d d V( z 3 d) ln ln 4 3d d 4 Rozdíl elektického potenciálu mezi těmito dvěma body je pak 6 V V( z 4 d) V( z 3 d) ln 4 5 S využitím skutečnosti, že ozdíl elektického potenciálu je oven změně potenciální enegie jednotkového náboje, dostaneme kde q = e je náboj elektonu e 6 U qv ln, 4 5 (c) Započne-li elekton svůj pohyb z klidu v bodě z = 4d, pak je změna jeho kinetické enegie ovna 1 WK mv Ze zákona zachování enegie bude změna enegie kinetické enegie ovna fin e 6 WK U ln 4 5 Snadno již učíme velikost ychlosti v bodě z = 3d: v fin e 6 ln 4 m 5 1
39 Tématické otázky 1 Jak se liší elektický potenciál od elektické potenciální enegie? Homogenní elektické pole je ovnoběžné s osou x V jakém směu zde můžeme pohybovat nábojem, aniž by bylo zapotřebí dodávat náboji vnější páci? 3 Je bezpečné zůstat v automobilu s kovovou kostou při bouřce? Vysvětlete 4 Poč jsou ekvipotenciální plochy vždy kolmé na smě elektických siloča? 5 Elektické pole uvnitř duté, ovnoměně nabité koule, je nulové Lze z toho vyvodit, že je uvnitř koule nulový i potenciál? 31 Neřešené úlohy 311: Kychle Kolik páce vyžaduje umístění osmi shodných nábojů, každého o velikosti q, do ohů kychle o haně a? 31: Tojice nábojů Tojice nábojů o velikosti q = 3 1 18 C a q 1 = 6 1 6 C je umístěna podle obázku 311 na ose x Vzdálenost mezi q a q 1 jsou a =,6 m Ob 311 (a) Jakou silou působí na q zbývající dva náboje q 1? (b) Jaké je elektické pole v počátku soustavy způsobené dvojicí nábojů q 1? (c) Jaký je elektický potenciál vyvolaný dvojicí nábojů q 1 v počátku soustavy? 313: Páce vykonaná na nábojích Dva náboje q 1 =3 µc a q = 4 µc jsou na počátku ve vzdálenosti = cm Vnějším vlivem je tato vzdálenost změněna na fin = 5 cm (a) Jaká páce byla vykonána elektickým polem při změně polohy nábojů? Je to páce kladná nebo záponá? (b) Jaká páce byla vykonána vnějším činitelem při změně polohy nábojů? Je to páce kladná nebo záponá? (c) Jaká je potenciální enegie počátečního stavu soustavy, když jsou náboje od sebe vzdáleny cm? (d) Jaká je potenciální enegie konečného stavu soustavy, když jsou náboje od sebe vzdáleny 5 cm? (e) Jaká je změna potenciální enegie mezi počátečním a konečným stavem soustavy?
314: Výpočet pole E z potenciálu V V části postou předpokládejme elektický potenciál daný vztahem 3 Eaz 3/ V( x, z, y) V E z, x y z kde a je konstanta s ozměem délky Nalezněte postoové složky x, y, z elektického pole 315: Elektický potenciál tyče Tyč délky L leží v ose x, počátek soustavy je zvolen v levém konci tyče Tyč je neovnoměně nabitá s hustotou náboje x, kde je kladná konstanta (a) Jaký musí být ozmě konstanty? (b) Vypočtěte elektický potenciál v bodě Ob 31 (c) Vypočtěte elektický potenciál v bodě, kteý leží ve vzdálenosti b od středu tyče ve směu osy y kolmo na tyč 316: Elektický potenciál Předpokládejte, že je elektický potenciál v části postou zadaný takto: V( x, y, z) V exp( k z)cos( kx) Učete elektické pole v obecném bodě postou Načtněte elektické silokřivky v ovině xz 317: Výpočet elektického pole z elektického potenciálu Předpokládejme poměnný elektický potenciál podél osy x znázoněný gaficky na obázku 313 Potenciál se ve směu os y a z nemění Učete elektické pole E x Neuvažujte půbeh v kajních bodech (a) Učete inteval, ve kteém má E x největší absolutní hodnotu [5 V/m, v intevalu ab] (b) Učete inteval, ve kteém má E x nejmenší absolutní hodnotu [ V/m v intevalu cd] (c) Vykeslete E x jako funkci x (d) Jaké je ozložení náboje, jímž je vytvořen výsledný potenciál? Jak jsou náboje ozmístěny? [Nabité plochy podél osy x ozpostíající se z bodů b, c, d, atd ve směu yz 3
Povšimněte si, že plošný náboj velikosti vždy vytváří nespojitosti v nomálové složce elektického pole o velikosti / ] Ob 313 318: Elektický potenciál a elektická potenciální enegie Náboje q, +q a q jsou ozmístěny ve vcholech pavoúhlého ovnoamenného tojúhelníka podle obázku 314 Ob 314 (a) Jaký je elektický potenciál v bodě P, kteý je upostřed přepony na spojnici +q a q, předpokládáme-li V = v nekonečnu? [ q/ a] (b) Jaká je potenciální enegie U takto ozložené tojice nábojů? Jaký je význam znaménka enegie? [ q /4 a, záponé znaménko značí páci, kteá byla vynaložena vnějším činitelem na přemístění nábojů z nekonečna do zobazené sestavy] (c) Do sestavy se pomalu blíží z nekonečna čtvtý náboj +3q, kteý se umístí v bodě P Kolik páce bude potřeba vynaložit na tento pooces? Jaké bude její znaménko? [ 3 q / a, páce je kladná, byla dodána vnějším činitelem, kteý přemístil náboj z nekonečna] 319: Elektické pole, potenciál a enegie Tojice nábojů, +5Q, 5Q, a +3Q je ozmístěna na ose y v polohách y = +4a, y =, a y = 4a od P leží na ose x v poloze x = 3a 4
(a) Kolik enegie bylo spotřebováno na vytvoření soustavy nábojů? (b) Jaké jsou x, y, a z složky elektického pole E v bodě P? (c) Jakou hodnotu má elektický potenciál V v bodě P, předpokládáme-li V = v nekonečnu? (d) Čtvtý náboj +Q je do bodu P přemístěn z nekonečna Jaké jsou x, y, a z složky síly F, kteou na něj působí původní tojice nábojů? (e) Kolik páce vykonal vnější činitel na přemístění náboje +Q z nekonečna do bodu P? 5