Kvantová mechanika cvičení s návody a výsledky. Wiki Skriptum FJFI

Kvantová mechanika cvičení s návody a výsledky Wiki Skriptum FJFI Ladislav Hlavatý, Libor Šnobl a Martin Štefaňák 8. září 7

Kapitola Klasická mechanika a statistická fyzika Cvičení Napište rozdělovací funkci Gaussova pravděpodobnostního rozdělení. Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro In, a, b) := Zapamatujte si jej pro n=,,!) Návod: Rozdělovací funkce Normalizace: Momenty: definice R x n e ax +bx dx, n Z, a, b C, Re a >. ρx) = Ne x α) σ. ρx)dx = N πσ =, tj. N = πσ. x α) n ρ = N Výsledky se liší pro n liché, resp. sudé: Hledaný vzorec: R x α) n e x α) σ dx. x α) n+ ρ =, x α) n ρ = σ n n )!! In, a, b) = n b n I, a, b) = π a n b n e b Cvičení Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny? 4a

Návod: Hp, q) = p M + Mω q Pohybové rovnice tj. q = H p, ṗ = H q, q = p M, ṗ = Mω q. Řešení: qt) = A sinωt + α), pt) = AωM cosωt + α), Rovnice pro fázové trajektorie získáme vyloučením času z pohybových rovnic, jsou určeny hodnotou energie p A ω M + q A =. Cvičení 3 Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení klasického jednorozměrného oscilátoru s energií E v intervalu x, x + dx)? Co potřebujeme znát, chceme-li tento pravděpodobnostní výrok změnit v deterministickou předpověd? Návod: ρx)dx = Je vhodné si ověřit normalizaci doba strávená v intervalu x, x + dx půlperioda x x ρx)dx =, x = = E Mω. dx vx) T/ = dx π E Mω x. K deterministické předpovědi potřebujeme znát polohu a rychlost či hybnost v jednom časovém okamžiku tj. počáteční podmínku). Cvičení 4 Necht statistická rozdělovací funkce stavů klasického mechanického oscilátoru je dána Gibbsovou formulí Spočtěte střední hodnotu energie. Návod: Normalizace: Z R R e kt p wp, q) = Z e Hp,q) kt. M + Mω q ) dp dq =, tj. Z = πkt ω Střední hodnota energie: p Z M + ) Mω q e kt p M +Mω q ) dp dq = kt

Kapitola de Broglieova vlna Cvičení 5 Určete vlnovou délku elektromagnetického záření, jehož zdrojem je elektron - pozitronová anihilace v klidu e + + e γ + γ. Návod: Ze zákona zachování energie je energie fotonu rovna E = m e c =.5 MeV, vlnová délka pak je λ = c = ch ν m ec =.4 m. Cvičení 6 Určete vlnovou délku de Broglieovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti µg pohybující se rychlostí zvuku. Návod: Kyslík: E = 5 kt =,4 J T = 3 K), p = m O E =..., z de Broglieho vztahů pak plyne λ = h p =,4 m. Částice: obdobně λ =,95 8 m. Cvičení 7 Podle de Broglieovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku m =. kg) rychlostí,5 m/s oknem o rozměrech.5 m. Návod: Z Vlnění, optiky... je známo θ =λ/l, kde L je šířka štěrbiny, po dosazení,3 3 rad, resp. 9 33 rad. Cvičení 8 Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony, aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů. nm? Návod: Z podmínky λ =, nm nalezneme přibližně v = 7,3 6 ms. Cvičení 9 Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou ψ p,e x, t) = Ae ī h p x Et), v oblasti x, x ) y, y ) z, z )? Návod: Protože ψ x, t) = A = konst., je pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou úměrná objemu uvažované oblasti. 3

Kapitola 3 Volná částice Cvičení Pomocí Fourierovy transformace určete řešení Schrödingerovy rovnice pro volnou částici, které v čase t = má tvar kde Re A >, B C 3, C C. ψ x, ) = g x) = C exp[ Ax + B x] 3.) Návod: Při řešení používáme Fourierovu transformaci FT) ve tvaru ψ p, t) = π h) 3 R 3 e i h p x ψ x, t)d 3 x, která převede Schrödingerovu rovnici na obyčejnou diferenciální rovnici. řádu v čase Řešení této rovnice je i h ψ t = p M ψ. ψ p, t) = e ī h M t ψ p, ), 3.) p kde ψ p, ) je FT počáteční podmínky ψ x, ), tj. ψ p, ) = π h) 3 Řešení v proměnné x získáme inverzní FT ψ x, t) = kde χt) = + ia h M t. π h) 3 R 3 R 3 e i h p x ψ x, )d 3 x = C A h) e B i 3 h p) 4A i e h p x ψ p, t)d 3 p = Cχt) 3/ B e 4A e A [ x B/A)] χt), 3.3) 4

Cvičení Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení 3.3) z příkladu? Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí šířka vlnového balíku pro elektron lokalisovaný s přesností cm a pro částici s hmotností gram, jejíž těžiště je lokalizováno s přesností 6 m? Návod: Je zapotřebí spočítat ψx, t) [ x B/A)] e A χt) nezajímá nás časový vývoj normalizace, i v dalším počítání je vhodné vynechávat celkové faktory nezávisející na x). Odvod te si a využijte e z = e Rez. Pro určení střední kvadratické odchylky atd. porovnejte výsledek s tvarem Gaussovy rozdělovací funkce a najdete x t) = Re B ReA + h M Im B t h ImA M ReA Re B t, σ t) = 4ReA + h M ReA t + h ImA) M ReA t h M ImA ReA t. Neurčitost polohy je stejná ve všech směrech, tj. x j ) = σt). Vlnový balík se může po konečnou dobu zužovat, pokud je ImA. Pro A > se pouze rozšiřuje, vztahy se zjednoduší na x t) = Re B A + h M Im B t, σ t) = 4A + h M A t. Zdvojnásobení: pro elektron cca 3 s, pro částici cca let. Cvičení Částice s hmotností m a hybností p letí kolmo proti stěně se dvěma štěrbinami v bodech ±x. Šířka štěrbin je σ. Ve vzdálenosti d od štěrbin je stínítko. Určete hustotu pravděpodobnosti nalezení částice na stínítku. Předpokládejte, že po průchodu horní, resp. spodní štěrbinou, je stav částice možné popsat vlnovým balíkem se střední hodnotou polohy ±x a střední kvadratickou odchylkou rovnou σ. Návod: Vlnová funkce popisující stav částice po průchodu štěrbinami je superpozicí vlnových balíků ψx, t) = ψ x, t) + ψ x, t), ψ, x, t) = e x x ) 4σ χt) = e x x ) σ i h M t) 4σ 4 + h t M ). Doba letu částice od štěrbin na stínítko je t = dm. Hustota pravděpodobnosti nalezení p částice v místě x na stínítku je tedy rovna ψx, t = dm p ) = ψ x) + ψ x) = ψ x) + ψ x) + ψ x)ψ x) + ψ x)ψ x). 5

První dva členy odpovídají situaci jen s horní resp. spodní) štěrbinou ) ψ, x) = e x x ) hd σ, σ = σ +. 4pσ Zbylé dva členy jsou zodpovědné za interferenci ) ψ x)ψ x) + ψ x)ψ x) = e x +x 4 hdpxx σ cos 4p σ 4 + h. d 6

Kapitola 4 Pravoúhlá potenciálová jáma Cvičení 3 Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní nekonečně hluboké potenciálové jámě t.j. v potenciálu V x) = pro x < a a V x) = pro x > a. Nalezněte příslušné vlastní funkce. Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro x a. Návod: Uvnitř jámy má vlnová funkce tvar vlnové funkce pro volnou částici. Z podmínek na okrajích ψ a) = = ψa) dostáváme soustavu homogenních rovnic, požadavek nulovosti jejího determinantu dává rovnici pro energii, výsledek je E n = M Vlastní funkce jsou včetně normalizace) ) nπ h, n N. a ψ n x) = ) nπ sin a a x a). Cvičení 4 Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní potenciálové jámě t.j. v potenciálu V x) = V < pro x < a a V x) = pro x > a. Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro x R. Návod: Nejprve si ukažte, že pro potenciály ve tvaru sudé funkce lze z libovolné vlastní funkce Hamiltoniánu ψx) sestavit ne nezbytně různou) vlastní funkci ψ x) a odvod te, že vlastní funkce lze v tomto případě volit sudé a liché. Využijte podmínek navázání spojitost a spojitost. derivací) vlnových funkcí pro volnou částici v bodě x = a tím je díky symetrii splněna i podmínka v x = a, jinak bychom měli 4 rovnice pro 4 konstanty) Výsledkem jsou následující vztahy pro sudý η = ξ tan ξ 7

a lichý případ η = ξ cot ξ, kde jsme označili ξ = a ME + V ), h η = Pro proměnné ξ a η navíc platí ME h ξ + η = M h V a = β = konst. Energie částice v konečné potenciálové jámě jsou tedy určeny průsečíky kružnice ξ +η = β a křivek η = ξ tan ξ, η = ξ cot ξ. Počet řešení n je dán poloměrem kružnice, tj. hloubkou a šířkou potenciálové jámy. Platí vztah n a π < MV h n π. 8

Kapitola 5 Harmonický oscilátor Cvičení 5 Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem H n z) = ) n e z dn dz n e z Návod: Stačí ukázat, že pravá strana splňuje rovnici u = zu nu. Po dosazení zadaného tvaru H n z) do u = zu nu využijte vhodně Leibnizova pravidla na n + )-ní derivaci součinu z.e z = d dz e z ) a upravte. Shodnost definic pak plyne z věty o jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic ještě porovnejte koeficient u nejvyšší mocniny z, aby bylo zaručeno splnění stejné počáteční podmínky). Cvičení 6 Ukažte, že platí vztah n= H n x) ξ n = exp [ x x ξ) ]. n! Návod: Ověřte, že ) n e x e x = n exp[x x ξ) ] dx n ξ n ξ=, n. d n Cvičení 7 Použitím vytvořující funkce ze cvičení 6 ukažte, že H n x)h m x)e x dx = n n!π / δ nm. R Ukažte, že odtud plyne ortonormalita vlastních funkcí harmonického oscilátoru. Návod: R H n x)h m x)e x dx = n m ξ n ρ m R e x x ξ) e x x ρ) e x dx ξ,ρ= = n ξ n m ρ m πe ξρ ξ,ρ= = n n!π / δ nm. 9

Cvičení 8 Mějme lineární harmonický oscilátor s vlastní frekvencí ω = h/m. Napište explicitní tvar vlastních funkcí hamiltoniánu ψ n x) odpovídající energii hωn + ) pro n =,,. Určete příslušné hustoty pravděpodobnosti nalezení oscilátoru bodě x. Nakreslete grafy těchto rozdělení a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě. Jak vypadá hustota pravděpodobnosti, pokud je oscilátor ve stavu popsaném superpozicí ψx) = cψ x) + i ψ x)). Výsledek: n = : ψ x) = 4 π e x, n = : ψ x) = 4 π xe x, n = : ψx) = 4 π x )e x. Příslušné rozdělení polohy oscilátoru je dáno kvadrátem absolutní hodnoty vlnové funkce. V grafech je počet maxim roven stupni příslušného Hermiteova polynomu +. Pro zadanou superpozici dostaneme hustotu pravděpodobnosti ψx) = 3 π + x )e x.

Kapitola 6 Moment hybnosti Cvičení 9 Spočítejte komutátory [ˆL j, ˆQ k ], [ˆL j, ˆP k ], [ˆL j, ˆL k ], kde ˆL j = ε jkl ˆQk ˆPl. Výsledek: [ˆL j, ˆQ k ] = i hε jkl ˆQl, [ˆL j, ˆP k ] = i hε jkl ˆPl, [ˆL j, ˆL k ] = i hε jkl ˆLl, tj. operátory ˆ Q, ˆ P, ˆ L jsou tzv. vektorové operátory kvantová analogie vektorů x, p, l, tj. objektů se správnými transformačními vlastnostmi vzhledem ke grupě rotací prostoru SO3)). Cvičení Jak vypadají operátory ˆQ j, ˆPj, ˆLj, j =,, 3 x, y, z ve sférických souřadnicích? Návod: Operátory ˆQ j vzniknou dosazením definice sférických souřadnic, např. ˆQ = r cos ϕ sin θ. Pro výpočet operátorů ˆP j je vhodné využít pravidla pro derivaci složené funkce ψ x j = ψ r r x j + ψ ϕ φ x j + ψ θ θ x j a dosadit za r x j atd. z definice sférických souřadnic. Výsledek je ˆP = i hcos ϕ sin θ r sin ϕ r sin θ ϕ ˆP 3 = i hcos θ r sin θ r + cos θ cos ϕ r θ ) θ ), ˆP =... výsledky pro ˆL j jsou uvedeny ve slabikáři. Nezapomínejte na správný postup při skládání operátorů např. x = x id x), pro názornost si lze na konci všech x x x operátorových identit představit vlnovou funkci, a pak postupovat jako při derivování složené funkce.

Cvičení S použitím vzorců pro jednotlivé složky momentu hybnosti ukažte, že operátor ˆL má ve sférických souřadnicích tvar [ ˆL = h sin θ ϕ + sin θ Návod: Naučte se skládat násobit) operátory! sin θ )]. θ θ Cvičení Ukažte, že vzájemně komutují operátory Ĥ ˆP M + V x ), ˆL3 a ˆL. Návod: Přejděte do sférických souřadnic. Cvičení 3 Kvantové tuhé těleso např. dvouatomová molekula) s momentem setrvačnosti I volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie a určete příslušné vlastní funkce. Návod: Ĥ = h d viz princip korespondence a klasickou kinetickou energii I I dϕ ϕ ). Řešením stacionární Schrödingerovy rovnice nalezneme řešení ve tvaru ψϕ) = Ae iαϕ + Be iαϕ, α =... a z požadavku jednoznačnosti ψϕ) = ψϕ + π) najdeme možné hodnoty energie E m = m h, m Z. Odpovídající vlastní funkce jsou ψ I m ϕ) = π e imϕ. Cvičení 4 Najděte explicitní tvar kulových funkcí pro stavy s, p, d a určete příslušné pravděpodobnosti nalezení částice v daném prostorovém úhlu. Výsledek: Kulové funkce jsou určeny vztahem Y l,m θ, ϕ) = ) m l + ) l m)! 4π l + m)! P l m cos θ)e imϕ, kde P m l jsou přidružené Legendreovy polynomy Pak už snadno nalezneme P m l t) = t ) m l l! d l+m dt l+m t ) l. l = : Y, θ, ϕ) = 4π l = : Y, θ, ϕ) = 3 sin 8π θeiϕ, Y, θ, ϕ) = 3 cos θ, Y 4π, θ, ϕ) = 3 sin θe iϕ 8π l = : Y, θ, ϕ) = 5 3π sin θe iϕ, Y, θ, ϕ) = 5 cos θ sin 8π θeiϕ, Y, θ, ϕ) = 5 3 6π cos θ ), Y, θ, ϕ) = 5 cos θ sin 8π θe iϕ, Y, θ, ϕ) = 5 3π sin θe iϕ.

Pravděpodobnost nalezení pod daným prostorovým úhlem je rovna Y l,m θ, ϕ) sin θ. Výsledné rozdělení nezávisí na úhlu ϕ a je stejné pro kvantové číslo m a m. Nakreslete si grafy nejlépe trojrozměrné na počítači). Cvičení 5 Napište všechny vlnové funkce harmonického oscilátoru pro stavy s energiemi 3 hω, 5 hω a 7 hω, které jsou současně vlastní funkce ˆL, ˆL 3. Oscilátor má vlastní frekvenci ω = h/m. Návod: Společné vlastní funkce Ĥ, ˆL, ˆL 3 mají tvar ψ n,l,m r, θ, ϕ) = K nl r l e r l+ L n r )Y l,m θ, ϕ), kde L β nz) jsou zobecněné Laguerrovy polynomy L β nz) = n! ez β dn z e z z n+β). dz n Normalizační konstanta je rovna K nl = 4 n+l n! π n + l + )!!. Výsledky jsou následující: E = 3 hω : n = l = m = ψ,,r, θ, ϕ) = E = 5 hω : n =, l =, m =,, e r π 3 4 E = ψ,, = re r π 3 sin θe iϕ, ψ,, = re r 4 π 3 cos θ, ψ,, = re r 4 π 3 sin θe iϕ 4 7 hω : n =, l = m = ψ,, = n =, l =, m =,,,, ) 3 3 π 3 4 r e r ψ,, = 3 r e r sin θe iϕ, ψ,, = π 4 ψ,, = 3 r e r cos θ ), 3π 4 ψ,, = 3 r e r π 4 r e r cos θ sin θe iϕ π 3 4 ψ,, = r e r cos θ sin θe iϕ π 3 4 sin θe iϕ 3

Kapitola 7 Posunovací operátory Cvičení 6 Napište operátor ˆL vyjádřený pomocí posunovacích operátorů ˆL ± a ˆL 3. Výsledek: ˆL = ˆL + ˆL + ˆL 3 hˆl 3 = ˆL ˆL+ + ˆL 3 + hˆl 3. Cvičení 7 Posunovací operátory momentu hybnosti působí na kulové funkce způsobem Spočítejte koeficienty α ± lm. ˆL ± l, m = α lm ± l, m ±, Návod: Snadno lze nalézt s využitím předchozího cvičení α lm ± obložte předchozí výsledek l, m a l, m a uvědomte si, že kulové funkce jsou vlastní funkce ˆL, ˆL3 ). Výsledek je α + lm = h [ll + ) mm + )], α lm = h [ll + ) mm )]. Fáze α ± lm neplyne z algebry operátorů, závisí na konkrétní volbě fází Y l,m, pro standardní volbu uvedenou ve slabikáři jsou α ± lm reálné. Cvičení 8 Kreační a anihilační operátory jsou pro lineární harmonický oscilátor zavedeny způsobem Mω â ± = h ˆQ i Mω ˆP ). Ukažte, že platí vztahy [â, â + ] = ˆ, Ĥ = hω â + â + ) = hω â â + ), [Ĥ, â ±] = ± hωâ ±. 4

Cvičení 9 Kreační a anihilační operátory působí na vlastní funkce operátoru energie harmonického oscilátoru způsobem â ± n = α ± n n ±. Spočítejte koeficienty α ± n. Ukažte, že platí následující vztahy â + â n = n n, n = ân +. n! Návod: Obložte Ĥ = hωâ â + ), resp. Ĥ = hωâ +â + ) vlastní funkcí harmonického oscilátoru obdobně jako v předchozím cvičení), výsledek: α + n = n +, α n = n. Ohledně fáze platí stejný komentář jako výše. V druhé části využijte Ĥ = hωâ +â + ) a právě spočítané koeficienty α ± n. Cvičení 3 Najděte vlastní vektory anihilačního operátoru jednorozměrného harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí ω = h/m koherentní stavy). Návod: Vlastní vektory jsou řešení rovnice Řešení existuje pro každé α C a má tvar x + d ) ψ α x) = αψ α x). dx ψ α x) = C α e x α). Normovací konstantu C α můžeme zapsat ve tvaru Velikost C α určíme z normovací podmínky C α = C α e iϕα, ϕ α R. = ψ α, ψ α ) C α = 4 π e Imα). Fázi normovací konstanty ϕ α vhodně zvolíme ve cvičení 36). 5

Kapitola 8 Výsledky měření Cvičení 3 Elektron v atomu vodíku je v základním stavu. Jaké jsou střední hodnoty složek polohy a hybnosti elektronu? Jaká je jeho střední vzdálenost od jádra? Návod: Vlnová funkce základního stavu elektronu je ψx, y, z) = Ce x +y +z a. Snadno zjistíme, že všechny střední hodnoty složek polohy a hybnosti jsou nulové, jak lze ostatně očekávat ze symetrie vlnové funkce. Pokud jde o střední vzdálenost elektronu od jádra, musíme nejprve najít příslušnou hustotu pravděpodobnosti. Funkci ψx, y, z) je třeba převést do sférických souřadnic, vzít absolutní hodnotu na druhou, vynásobit jakobiánem a vyintegrovat přes prostorové úhly. Hustota pravděpodobnosti nalezení elektronu ve vzdálenosti r od jádra je pak rovna Střední vzdálenost elektronu od jádra je r ψ = wr) = 4 r e r a 3 a. rwr)dr = 3 a. Cvičení 3 Částice na přímce je ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψx) = Ce x x ) 4σ + ī h px. Určete střední hodnoty a střední kvadratické odchylky polohy a hybnosti. 6

Výsledek: ˆQ ψ = x, ψ ˆQ = σ, ˆP ψ = p, ψ ˆP = h σ Stav tedy mimimalizuje relace neurčitosti. Cvičení 33 Ukažte, že v jednorozměrném případě podmínka [ <  > ψ iα ˆB < ˆB > ψ )]ψ =, α R pro operátory  = ˆQ, ˆB = ˆP je integrodiferenciální rovnicí, jejímiž jedinými řešeními jsou funkce ψx) = C exp[ Ax + Bx], A > Návod: Prozatím si označte ˆQ ψ = x, ˆP ψ = p a najděte řešení patřičné diferenciální rovnice xψ x ψ iα i h x ψ p ψ) =. Na závěr určete vztah mezi α, integrační konstantou a x, p nalezením středních hodnot ˆQ ψ, ˆP ψ a jejich porovnáním s x, p využijte výsledky cvičení 3). Cvičení 34 Určete pravděpodobnostní rozdělení hybností volné částice popsané vlnovou funkcí 3.3). Jaká je střední hodnota a střední kvadratická odchylka hybnosti částice? Specifikujte výsledky pro případ A >. Jak v tomto přípapě závisí na čase součin středních kvadratických odchylek polohy a hybnosti? Výsledek: Rozdělení hybností částice ve stavu ψ je dáno vztahem w ψ p) = ψ p, ψ) = ψ p), kde ψ p jsou zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti normované k δ-funkci. Skalární součin je vlastně Fourierovou transformací funkce ψ x). Tu jsme počítali v příkladě ), viz. vztah 3., takže máme ψ p, t) e ī h p M t t) e B h ī p) 4A. Rozdělení hybností pak dostaneme stejným postupem jako v příkladě ). Výsledkem je Gaussovo normální rozdělení w ψ p) e p p ) p), kde střední hodnota p a variance p) hybnosti mají tvar p = h ImB ImA ) ReA Re B, p) = h A ReA. 7

Ani jeden z výsledků nezávisí na čase, jak lze očekávat z faktu, že pro volnou částici je hybnost integrálem pohybu. Neurčitost hybnosti je stejná ve všech směrech, tj. p j ) = p). V případě A > se vztahy zjednodušší na p = him B, p) = h A. Neurčitost polohy jsme počítali v příkladě, součin v čase t je roven xt)) p) = h + 4A h M t = h χt). Pro A > tedy stav minimalizuje relace neurčitosti v čase t =. Cvičení 35 Lineární oscilátor s vlastní frekvencí ω = h/m je ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψx) = Cx e x 3 5 S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné hω, resp. hω, hω, hω? Jaká je střední hodnota energie oscilátoru? Čemu je rovna střední hodnota hybnosti? Návod: Snadno zjistíme, že stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu ψ = ψ + 3 3 ψ. Lze tedy naměřit energie hω a 5 hω s pravděpodobnostmi P = a P 3 =. Energii hω 3 nelze naměřit není ve spektru). Střední hodnota energie je rovna Ĥ ψ = 6 hω. Střední hodnotu hybnosti můžeme bud počítat přímo integrací v x-reprezentaci, nebo využít zápis operátoru ˆP pomocí posunovacích operátorů. Výsledek je nula. Cvičení 36 Lineární oscilátor s vlastní frekvencí ω = h/m je v koherentním stavu s amplitudou α. S jakou pravděpodobností naměříme hodnotu energie rovnu n + ) hω? Jaká je střední hodnota energie oscilátoru? Návod: Pravděpodobnost naměření hodnoty n + ) hω je dána výrazem P n = n α. S použitím vztahu n = ân + n! dostaneme pro amplitudu pravděpodobnosti n α = αn n! α = αn n! 4 π C α R e x e x α) dx = αn e Imα) e iϕα e α n! 8

takže pravděpodobnost naměření energie n + ) hω je P n = α n e α. n! Pravděpodobnost je tedy dána Poissonovým rozdělením s parametrem λ = α. Odtud už snadno určíme střední hodnotu energie Ĥ α = hω α + ). Stejný výsledek lze získat i rozepsáním hamiltoniánu pomocí posunovacích operátorů. Zvolíme-li fázi koherentního stavu jako ϕ α = ReαImα, zjednoduší se skalární součin n α do tvaru n α = αn n! e α. Koherentní stav pak můžeme rozložit do báze vlastních vektorů hamiltoniánu způsobem α = e α n= α n n! n. Pro tuto volbu fáze je normovací konstanta koherentního stavu rovna C α = 4 e α α. π Cvičení 37 Isotropní oscilátor s vlastní frekvencí ω = h/m je ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψx) = Ce x +i p x. S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné 5 hω? 5 Návod: Nezapomeňte, že energie hω třírozměrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spočítat pravděpodobnosti přechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavů příslušných k této energii a pak je sečíst. Výsledná pravděpodobnost: p p e. Cvičení 38 Necht částice je popsána vlnovou funkcí ψx, y, z) = x + y + z) exp α x + y + z ). Jaké hodnoty kvadrátu momentu hybnosti můžeme naměřit? Jaké hodnoty z-ové složky momentu hybnosti můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jakou vlnovou funkcí popíšeme stav částice, pokud naměříme hodnotu L z = h? Návod: zapište ψ pomocí kulových funkcí. 9

Návod: Převed te vlnovou funkci do sférických souřadnic. Funkce má tvar fr)ψθ, ϕ). Úhlová část vlnové funkce je lineární kombinací kulových funkcí s l = Ψ = + i 3 Y + 6 Y i 3 Y, lze tedy naměřit jen l =. Projekce momentu hybnosti do osy z mohou nabývat hodnot L z = h,, h, s pravděpodobnostmi P = 5, P = 6, P = 5. Po naměření hodnoty L z = h stav částice popíšeme vlnovou funkcí gr, θ, ϕ) = Y θ, ϕ)e αr. Cvičení 39 Necht částice je ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψ = 4π) / e iϕ sin θ + cos θ)gr). Jaké hodnoty L z můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota L z v tomto stavu? Jaká je střední hodnota x-ové složky momentu hybnosti? Návod: Úhlová část vlnové funkce je superpozice kulových funkcí Y a Y. Lze tedy naměřit L z = a L z = h s pravděpodobnostmi P = 3 a P = 3. Střední hodnota L z je 3 h. Pro výpočet střední hodnoty x-ové složky momentu hybnosti je vhodné rozepsat ˆL x pomocí posunovacích operátorů ˆL ± viz. cvičení 6). Výsledek je ˆL x Ψ = 3 h. Cvičení 4 Uvažujte systém s Hilbertovým prostorem H = C 3 a hamiltoniánem Ĥ daným maticí i H = ε i. Systém je ve stavu popsaném vektorem ψ = i, i, )T. Jaké hodnoty energie můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota energie? Návod: Spektrum Ĥ tvoří vlastní čísla E = ε, E = E 3 = ε, příslušné vlastní vektory jsou φ = i, φ = i, φ 3 =.

Můžeme tedy naměřit energii ε nebo ε s pravděpodobnostmi pe = ε) = φ ψ = 8, pe = ε) = φ ψ + φ 3 ψ = 7 8. Střední hodnotu energie můžeme spočítat dvěma způsoby Ĥ ψ = ψ Ĥ ψ, resp. Ĥ ψ = pe = ε)ε + pe = ε) ε), v obou případech je výsledek 3ε. 4

Kapitola 9 Časový vývoj Cvičení 4 Lineární harmonický oscilátor s hmotností M = h/ω je v čase t = ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψx, ) = C + x)e x. Určete, jaké hodnoty energie můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností. V jakém stavu je oscilátor v čase t >? Jak se mění střední hodnota polohy oscilátoru s časem? Návod: Stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu ψ) = ψ + ψ ). Můžeme tedy naměřit energie E = hω a E = 3 hω s pravděpodobnostmi P = P =. Časový vývoj vlastních vektorů známe, stav oscilátoru v čase t je potom ψt) = e i ω t ψ + e i 3ω t ψ ). Pro určení závislosti střední hodnoty polohy na čase je vhodné přepsat operátor polohy pomocí kreačního a anihilačního operátoru. Výsledek je ˆQ t) = cosωt). Cvičení 4 Necht částice s hmotností M v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky a je v čase t = popsána vlnovou funkcí, ) ) π π ψx, ) =, pro x > a, ψx, ) = sin a x a) + sin a x a), pro x < a. Jaká je pravděpodobnost, že částice se v čase t bude nacházet v intervalu a, )? V jakém čase je tato pravděpodobnost minimální, resp. maximální.

Návod: ψx, ) je superpozice stacionárních stavů, viz. příklad 3 ψx, ) = ψ x) + ψ x)). Snadno naleznete časový vývoj ψx, t), pak stačí prointegrovat ψx, t) přes a, ) a normovat. Výsledek je P a,) t) = 4 3 3π cos π ht ), 8M a t min =, P min = 3 8π 6π, t max = 8Ma π h, P max = 3 + 8π 6π. Cvičení 43 Lineární oscilátor s vlastní frekvencí ω = h/m je v čase t = v koherentním stavu s amplitudou α R. V jakém stavu je v libovolném čase t >? Jak vypadá příslušná vlnová funkce v x-reprezentaci. Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti nalezení oscilátoru v bodě x? Jak se mění střední hodnota a střední kvadratická odchylka polohy oscilátoru s časem? Návod: Z výsledku příkladu 36) plyne Odtud snadno dostaneme výsledek α = e α n= α n n! n. αt) = e i ωt αe iωt. Stav tedy zůstává koherentní, s časem se pouze mění fáze jeho amplitudy αt) = αe iωt. Vlnová funkce v x-reprezentaci má tedy tvar ψ α x, t) = ψ αt) x) = 4 e α e iωt ) e x αe iωt ). π Pro hustotu pravděpodobnosti v bodě x pak dostaneme po zahození všech členů nezávislých na x) ψ α x, t) e x α cos ωt). Je to Gaussovo normální rozdělení, jeho šířka se s časem nemění x) = σ = ). Střední hodnota polohy oscilátoru v čase t je rovna ˆQ α t) = x t) = α cos ωt). Cvičení 44 Určete časový vývoj střední hodnoty a střední kvadratické odchylky hybnosti lineárního oscilátoru s vlastní frekvencí ω = h/m. Oscilátor je v čase t = v koherentním stavu s amplitudou α R. 3

Návod: Z předchozího příkladu víme že αt) = αe iωt globální fáze je irelevantní). Operátor ˆP stačí rozepsat pomocí posunovacích operátorů, pak už snadno nalezneme výsledek P α t) = hα sin ωt). Střední hodnoty polohy a hybnosti tedy sledují klasickou trajektorii, jak lze ostatně očekávat z Ehrenfestových teorémů. Podobným způsobem pro střední kvadratickou odchylku hybnosti dostaneme p) = h. Koherentní stavy lineární harmonického oscilátoru tedy minimalizují Heisenbergovy relace neurčitosti. Na rozdíl od volné částice to platí v libovolném čase. Cvičení 45 Jak se s časem mění střední hodnota polohy částice v libovolném stavu ψ) v elektromagnetickém poli? Návod: d dt ˆQ j = ī h [Ĥ, ˆQ j ] =... = M ˆP j eâj ˆV j. Výsledek odpovídá dle principu korespondence nikoliv překvapivě) výsledku v klasické mechanice. 4

Kapitola Spin Cvičení 46 Určete tvar matic operátorů projekce spinu do osy x, y, z v bázi společných vlastních vektorů Ŝz a Ŝ pro spin. Návod: Spin je moment hybnosti. Společné vlastní vektory Ŝz a Ŝ jsou, a, splňující Ŝ z, ± = ± h, ±, Ŝ, ± = 3 4 h, ±. Ŝ z je v bázi svých vlastních vektorů reprezentováno diagonální maticí S z = h ). Matice S x a S y určíme pomocí posunovacích operátorů Ŝ ± = Ŝx ± iŝy, jejichž působení na kety, ± známe viz. příklad 7). Matice posunovacích operátorů mají tvar S + = ), S = S + = Odtud už snadno získáme matice operátorů Ŝx a Ŝy. Výsledek lze zapsat ve tvaru S j = h σ j, ). kde σ j jsou Pauliho matice ) σ =, i i ), ). 5

Cvičení 47 Ukažte explicitně, že S = 3 4 h. Porovnejte tento výsledek s ˆL. Návod: Pro výpočet je vhodné použít komutační a antikomutační relace pro Pauliho matice [σ i, σ j ] = iε ijk σ k, {σ i, σ j } = δ ij, ze kterých plyne vztah σ i σ j = ) [σ i, σ j ] + {σ i, σ j } = δ ij + iε ijk σ k. Porovnání s ˆL - odpovídající l pro spin je, tj. spin elektronu je poločíselný. Cvičení 48 Napište vlnovou funkci ψ x, ξ) základního stavu elektronu ve vodíku s hodnotou z ové, resp. x ové, resp. y ové složky spinu rovné h/. Návod: Bez spinu je základní stav popsán vlnovou funkcí ψ r) = Ce r a. Protože Ĥ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou energii, jako když spin neuvažujeme, a odpovídající vlastní vektor má tvar ψ,i r) = Ce r a a, b) T. Koeficienty a, b určíme tak, aby to byl současně vlastní vektor odpovídající složky spinu Ŝi. Výsledek: ψ,z+ r) = Ce r a ), ψ,x+ r) = C e r a ), ψ,y+ r) = C e r a Cvičení 49 Jakým vektorem z C můžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že má kladnou zápornou) projekci spinu do směru n = sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)? i ) Návod: Hledáme vlastní vektory operátoru cos θ sin θe iϕ n σ = sin θe iϕ cos θ ) s vlastními čísly ±. Řešení je včetně normalizace) ψ n+ = e i ϕ cos θ e i ϕ sin θ ), ψ n = e i ϕ sin θ e i ϕ cos θ ). Cvičení 5 Necht pro volnou částici se spinem / je naměřena hodnota z ové složky spinu s z = h/. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu do směru n daného prostorovými úhly θ, ϕ, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota projekce spinu do směru n? 6

Návod: Stav spinu po měření do osy z je dán vektorem ψ z+ =, ) T. Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné záporné) hodnoty projekce spinu do směru n je dána skalárním součinem ψ z+ s příslušným vlastním vektorem viz. předchozí příklad). Pravděpodobnosti jsou nezávislé na úhlu ϕ, výsledek je P + = + cos θ), P = cos θ). Střední hodnota je rovna n ˆ S z+ = h cos θ. Cvičení 5 Částice se spinem / je umístěna v konstantním magnetickém poli B =,, B). V čase t = byla naměřena hodnota x-ové složka spinu částice + h/. Jakým vektorem bude popsán stav částice v čase t >? S jakou pravděpodobností nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její x-ové složky spinu + h/ resp. h/)? Jak se s časem mění střední hodnota projekce spinu do osy x? Návod: Hamiltonián částice je roven Ĥ = µ B σ = µ Bσ 3. Jeho vlastní čísla jsou µ B, příslušné vlastní vektory ψ z±. Stav v čase t > je dán jako řešení Schrödingerovy rovnice s počáteční podmínkou Ĥψ = i h ψ t, ψt = ) = ψ x+ = V našem případě tak dostaneme označíme ω = µ B h ) ) = ψ z+ + ψ z ). ψt) = ) e iωt ψ z+ + e iωt ψ z = e iωt e iωt Pravděpodobnosti naměření kladné záporné) projekce spinu do osy x v čase t jsou rovny P + = ψ x+, ψt)) = + cos ωt)), P = ψ x, ψt)) = cos ωt)). Střední hodnota projekce spinu do osy x v čase t je Ŝx t) = h P + P ) = h cosωt). 7 ).

Cvičení 5 Ukažte, že pokud výraz exp[i a σ] definujeme pomocí řady pak platí i a σ) n exp[i a σ] :=, n= n! a σ exp[i a σ] = cos a ) + i sin a ). a Návod: Spočtěte nejprve a σ) a povšimněte si, že je to násobek jednotkové matice, pak sumu rozdělte na součet přes sudé a liché indexy. Cvičení 53 Částice se spinem / je umístěna v konstantním magnetickém poli B = B,, ). V čase t = byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu + h/. S jakou pravděpodobností nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu + h/? Jak se s časem mění střední hodnota projekce spinu do osy z? Návod: Počáteční stav spinu je popsán vektorem ) ψt = ) = ψ z+ =. V čase t > má řešení Pauliho rovnice v homogenním magnetickém poli tvar ī ψt) = exp h µ σ Bt ) ψ). V našem případě dostaneme označíme ω = µ h B) ψt) = cosωt) + i sinωt)σ ) ψ) = cosωt) i sinωt) Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné projekce spinu do osy y v čase t je dána skalárním součinem ψt) a ψ y+. Výsledná pravděpodobnost je rovna ). P Sy= h = + sin ωt)). Střední hodnota projekce spinu do osy z v čase t je Ŝz t) = h ψ t)σ z ψt) = h cosωt). Cvičení 54 Najděte energie a vlnové funkce základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných částic se spinem, respektive /, v poli isotropního harmonického oscilátoru. 8

Návod: Spin : základní stav - E = 3 hω, nedegenerovaný. excitovaný stav - E = 4 hω, degenerace 3 Spin /: základní stav - E = 3 hω, nedegenerovaný. excitovaný stav - E = 4 hω, degenerace Cvičení 55 Uvažujte soustavu dvou různých částic se spinem. Jaké jsou možné hodnoty celkového momentu hybnosti soustavy? Napište vlastní vektory Ĵ a Ĵ3 pomocí stan- dardních bazí, ± pro jednotlivé spiny. Návod: Operátor celkového momentu hybnosti je Ĵ k = Ŝ) k + Ŝ) k, kde Ŝj) k je operátor spinu j-té částice Ŝ ) k = Ŝk, Ŝ ) k = Ŝk. Společné vlastní vektory Ĵ a Ĵ3 splňují vztahy Ĵ j, m = h jj + ) j, m, Ĵ 3 j, m = m h j, m. Pro dva spiny může j nabývat hodnot j = a j =. Odpovídající vlastní vektory se získají postupem pro skládání momentů hybnosti, mají následující tvar j =, =,,,, =,, +,, ),, =,,, j =, =,,,, ). 9

Cvičení 56 Uvažujte soustavu dvou různých částic se spinem. Jejich hamiltonián je dán vztahem Ŝ) Ĥ = ε h + Ŝ) + Ŝ) + Ŝ) + S ˆ) Najděte možné hodnoty energie a příslušné vlastní vektory. ) ˆ S ). Návod: Můžeme zkonstruovat matici hamiltoniánu, která má tvar H = ε h a vyřešit úlohu na vlastní čísla. Elegantnější postup je využít skládání momentů hybnosti. Pomocí vztahu Ĵ = Ŝ) + S ˆ) ˆ S ) + Ŝ), snadno přepíšeme hamiltonián do tvaru Ĥ = ε Ĵ h Ĵ ) 3. Odtud už je vidět, že vlastní vektory celkového momentu hybnosti j, m jsou i vlastní vektory hamiltoniánu, Ĥ j, m = ε jj + ) m ) j, m. Tento vztah platí pro jakoukoli velikost spinů částic. Pro dva spiny jsou možné hodnoty j, m uvedeny v předchozím příkladě. Příslušné energie E j,m pak jsou E, = E, = ε, E, = ε, E, =. 3

Kapitola Poruchová teorie Cvičení 57 Uvažujte systém s Hilbertovým prostorem H = C 4. K původnímu hamiltoniánu daného maticí 5 3 H = E 3 3 přidáme poruchu tvaru H = E Určete vlastní čísla celkového hamiltoniánu Ĥ = Ĥ + εĥ,. a porovnejte je s výsledkem poruchového výpočtu do. řádu. Návod: Vlastní čísla neporušeného hamiltoniánu jsou E ) = 5E, E ) = 3E, kde E ) je nedegenerovaná, E ) má degeneraci 3. Odpovídající vlastní vektory jsou vektory standardní báze φ =, φ =, φ 3 =, φ 4 = 3

Přesná vlastní čísla celkového hamiltoniánu jsou rovna E = 5E, E = 3E, E 3 = 3 ε)e, E 4 = 3 + ε)e. Pro poruchový výpočet musíme použít zvlášt postup pro prostou vlastní hodnotu E ) a pro degenerovanou hodnotu E ). V případě prosté vlastní hodnoty E ) dostaneme do. řádu poruchového rozvoje E ε) = E ) + ε φ Ĥ φ = 5E. Pro degenerovanou hodnotu musíme nejprve určit matici operátoru poruchy v podprostoru odpovídajícím hodnotě E ), H E ) = φ i Ĥ φ j ), i, j =, 3, 4. V tomto případě dostaneme Vlastní čísla této matice jsou H E ) = E E. Odtud dostaneme energie E ) do. řádu λ =, λ = E, λ 3 = E. E ε) = E ) + ελ = 3E, E 3 ε) = E ) + ελ = 3 ε) E, E 4 ε) = E ) + ελ 3 = 3 + ε) E.. řád poruchové teorie zde dává přesné výsledky. Cvičení 58 Lineární harmonický oscilátor je v homogenním gravitačním poli. Určete energie oscilátoru do. řádu poruchového rozvoje. Návod: Porucha je Ĥ = F ˆQ. Při výpočtu maticových elementů n Ĥ m je vhodné rozepsat operátor polohy pomocí posunovacích operátorů. První oprava n-té hladiny = n Ĥ n je rovna nule. Oprava druhého řádu je pro všechny hladiny stejná E ) n E ) n = j n j Ĥ n E n E j = F Mω. 3

Energie oscilátoru v homogenním poli jsou do druhého řádu rovny E n = n + ) hω F Mω. Ve skutečnosti je to přesný výsledek, protože celkový hamiltonián lze upravit na čtverec Ĥ = ˆP M + Mω ˆQ + F ˆQ = ˆP M + Mω ) F ˆQ + F Mω Mω. Cvičení 59 Najděte v. řádu poruchové teorie energii základního stavu atomu helia. Návod: Neporušený systém... elektrony v poli jádra. Porucha... elektrostatická interakce mezi elektrony Ĥ = ẽ / x ) x ). Základní stav neporušeného Ĥ zdůvodněte a ověřte normalizaci) φ x ), x ), ξ ), ξ ) ) = ψ ) x ), ξ ) )ψ ) x ), ξ ) ) x ), ξ ) ) x ), ξ ) ) )), kde ψ α) x, ξ) = π / Z/a) 3/ exp Zr/a)δ ξ,α, ξ = ±. Při výpočtu E ) = φ Ĥ φ využijte viz Formánek: úvod do kvantové teorie) a x y = R l= r R ) l P l cos θ), P l n n ) = 4π l + l m= l r < R, r = x, R = y, x y = rr cos θ Y lm n )Y lm n ), n j =. Integrály pro m, resp. l vymizí proč?), zbývá provést triviální integraci přes úhly a per partes v r, r. Výsledek: E ) = 5ẽ 4a, E = E ) + E ) +... 74, 8eV. 33