Systémové modelování. Lineární programování - Definice modelu a jeho grafické řešení

6. Lineární optimalizační modely. Definice modelu, jeho vlastnosti a omezení. Možnosti řešení optimalizačních modelů. Praktické aplikace. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a vlastnostmi jiného celku modelu. Model je záměrně zjednodušený obraz skutečnosti vytvořený pomocí zvolených zobrazovacích prostředků. Typy modelů z hlediska záměru Normativní modely Ukazují optimální, žádoucí stav systému Deskriptivní modely Popisují systém a jeho chování, neobsahují kritérium Koncepční modely Popisují koncepci nově navrhovaného systému Typy modelů z hlediska reprezentace Ikonické (materiální) modely stroje a předměty; zařízení pracující na principu analogie. Symbolické modely grafické; slovní - verbální; matematické modely operačního výzkumu. Prvky matematických modelů Proměnné a konstanty - modelují prvky systému o endogenní, stavové - zobrazují charakteristiky vnitřního stavu systému; o exogenní, vstupní nebo výstupní - zobrazují vztahy systému a okolí. Rovnice a nerovnice o zobrazují vazby systému. Funkce a relace o popisují chování a další vlastnosti systému. Systém Tvoří most mezi realitou a modelem Záměrně zjednodušený obraz reality Systém je neprázdná, účelově definovaná třída prvků a vazeb mezi nimi, která spolu se svými vstupy a výstupy vykazuje jako celek ve svém vývoji kvantifikovatelné vlastnosti a chování. Nelze opomenout o účel; o strukturu: prvky, hranice, okolí, vazby; o chování: y = T(x). - 1 - Systémové modelování definice systému OBJEKT SYSTÉM MODEL implementace řešení Vybrané E-M modely Matematické programování optimalizační modely Distribuční modely Teorie grafů, modely projektového řízení Modely konfliktních situací Vícekriteriální rozhodování Strukturní analýza Stochastické modely Simulační modely Modely systémové dynamiky Lineární programování - Definice modelu a jeho grafické řešení Vybrané aplikace Optimalizace výrobních programů Směšovací úlohy, řezné plány Rozvrhy směn Jiné oblasti operačního výzkumu o teorie her; o dopravní úlohy; o plánování projektů; o apod. Model lineárního programování Cíl: nalézt vázaný extrém lineární funkce více proměnných, který vyhovuje daným lineárním omezujícím podmínkám Komponenty modelu proměnné; omezující podmínky; účelová (kriteriální) funkce; podmínky nezápornosti. kvantifikace modelu verifikace modelu - 2 - konstrukce modelu interpretace výsledků

Proměnné Rozhodovací (strukturní) proměnné Značí se x i Zachycují počet realizací daného procesu Vyjadřují se ve vhodných jednotkách o z hlediska cíle rozhodování; o z hlediska výpočtů. Omezující podmínky Vymezují přípustné kombinace hodnot proměnných Základní typy omezujících podmínek o kapacitní ; o požadavkové ; o určení =. Účelová funkce Vyjádřena jako skalární součin jednotkových cen proměnných a jejich hodnot Základní typy účelových funkcí o minimalizační; o maximalizační. Podmínky nezápornosti Požadujeme pro všechny proměnné Zajišťují praktickou aplikovatelnost řešení Matematický zápis Sestavení modelu Identifikace proměnných o podle cíle řešení úlohy; o hledejte otázku proměnné by ji měly zodpovědět. Jednotky proměnných o volba jednotky - opět podle cíle řešení úlohy; o rozměr jednotky - aby se s proměnnými dobře pracovalo. Identifikace omezujících podmínek (OP) o z textu zadání; o vše, co rozhodovatele limituje při rozhodování; o rovněž OP mají svoje jednotky. Účelová funkce o přímo popisuje cíl rozhodování; o opět nezapomínáme na jednotky. Podmínky nezápornosti Grafické řešení modelu LP Prostor řešení o nejvýše dvě rozhodovací proměnné; o libovolný počet omezujících podmínek. Prostor požadavků o libovolný počet rozhodovacích proměnných; o nejvýše dvě omezující podmínky. Prostor řešení Proměnné osy souřadnic Omezující podmínky o kapacitní, požadavkové poloroviny; o určení přímky. Podmínky nezápornosti 1. kvadrant Účelová funkce mapa spojnic kombinací proměnných s konstantní hodnotou ÚF Možné výsledky Optimální řešení existuje o právě jedno optimální řešení; o nekonečně mnoho optimálních řešení. Optimální řešení neexistuje o žádné přípustné řešení; o hodnota účelové funkce může neomezeně růst nebo klesat. Vlastnosti a omezení modelu LP Linearita o Aditivita (sčitatelnost) o Spojitost o Neomezená záměna faktorů o Libovolná dělitelnost Deterministický charakter Statický charakter Specifická řešení modelu LP Přípustné řešení Optimální řešení Alternativní řešení Suboptimální řešení Bázické řešení - 3 - - 4 -

Bázické řešení modelu LP Vektorový prostor Báze vektorového prostoru Kanonická báze vektorového prostoru Řešení soustavy lineárních rovnic Řešení soustavy lineárních rovnic s parametrem Bázické řešení modelu lineárního programování Základní věty LP Optimální řešení úlohy LP leží vždy na hranici množiny přípustných řešení. Má-li úloha LP přípustné řešení, má i přípustné bázické řešení. Má-li úloha LP optimální řešení, má i optimální bázické řešení. Má-li úloha LP více než jedno optimální bázické řešení, je optimálním řešením i jejich lineární konvexní kombinace. Prostor požadavků Podmínka použití: model musí být v rovnicovém tvaru Realizujeme pomocí tzv. doplňkových proměnných takto: o kapacitní podmínky přičteme hodnotu doplňkové proměnné k levé straně OP o požadavkové podmínky od levé strany OP hodnotu doplňkové proměnné odečteme o podmínky určení rovnice, žádná transformace není potřeba Doplňkové proměnné o přebírají jednotku omezující podmínky; o neovlivňují ÚF, vždy jim přiřazujeme nulovou sazbu; o rovněž musí být nezáporné. Řešení modelu LP v PP Eliminujeme různé ocenění proměnných v účelové funkci vydělíme matici A koeficienty v účelové funkci Zobrazíme v grafu míru uspokojení požadavků příslušnou proměnnou (v hodnotovém vyjádření) Zakreslíme vektor požadavků a zjistíme, které kombinace proměnných tento požadavek mohou uspokojit Nalezneme tu kombinaci proměnných, která daný požadavek uspokojí co nejlevněji (MIN) resp. co nejdráže (MAX) Vypočteme z původních podmínek hodnoty proměnných v optimálním řešení a hodnotu účelové funkce. Použité symboly a značení Proměnné o x strukturní proměnné; o d doplňkové proměnné; o p pomocné proměnné. Omezující podmínky Ax b o A = (a ij ) matice soustavy; o b vektor pravých stran. - 5 - Účelová funkce z = c.x o c cenové koeficienty proměnných (jednotkové ceny) Simplexový algoritmus Splnění podmínek simplexového algoritmu Výchozí bázické řešení Test optima (vstupu) Test přípustnosti báze (výstupu) Přechod na nové řešení Jordanovou eliminační metodou Podmínky simplexového algoritmu Nezápornost složek vektoru pravých stran o stačí zkontrolovat; o pokud není splněna, lze příslušné omezující podmínky vynásobit hodnotou (-1). Matice soustavy v kanonickém tvaru o krok 1: rovnicový tvar modelu; o krok 2: kanonický tvar modelu. Rovnicový tvar Nerovnice vyrovnáme na rovnice Doplňkové proměnné o značíme d, indexujeme číslem omezující podmínky; o přebírají jednotky omezující podmínky; o v účelové funkci ohodnocujeme nulovou sazbou; o požadujeme jejich nezápornost. Přidáváme do omezujících podmínek o kapacitních s kladným znaménkem (rezerva); o požadavkových se záporným znaménkem (překročení požadavku). Kanonický tvar Nerovnice vyrovnáme na rovnice (doplňkové proměnné) Zajistíme úplnou jednotkovou submatici Pomocné proměnné o značíme p, indexujeme číslem omezující podmínky; o přebírají jednotky omezující podmínky; o v účelové funkci ohodnocujeme nevýhodnou (prohibitivní) sazbou; o požadujeme jejich nezápornost. Pomocné proměnné Přidáváme do omezujících podmínek o požadavkových; o typu určení; o vždy s kladným znaménkem. Interpretace kolik jednotek zbývá do splnění omezení; řešení s kladnou hodnotou pomocné proměnné je proto automaticky nepřípustné. - 6 -

Výchozí bázické řešení Sestavení výchozí simplexové tabulky Identifikace bázických a nebázických proměnných Určení hodnot proměnných ve výchozím bázickém řešení Určení hodnoty účelové funkce Test optimality Existuje bázické řešení s lepší hodnotou ÚF? Záměna proměnných v bázi Koeficient z j c j o záporný: hodnota ÚF se zvyšuje; o kladný: hodnota ÚF se snižuje; o nulový: proměnná nemá vliv na hodnotu ÚF. Řešení je optimální o minimalizace: z j c j 0 pro všechna j; o maximalizace: z j c j 0 pro všechna j. Klíčový sloupec: maximální hodnota z j c j z těch, které porušují podmínku optimality Příklad Farma se rozhoduje o vyhrazení části své půdy pro pěstování pšenice, ječmene a žita. o tyto plodiny mají obsadit celkem právě 140 hektarů; o potřeba chlévského hnoje je 40; 15 a 20 t/ha, k dispozici je maximálně 3000 t hnoje; o odhadované zisky v tis. Kč/ha jsou pro jednotlivé plodiny 1; 1 a 2 (bráno po řadě), je požadováno dosáhnout alespoň 200 tis. Kč zisku. Farma chce minimalizovat dopady na životní prostředí, které vyjadřuje v jednotkách zátěže (JZ/ha) a které jsou pro jednotlivé plodiny 7; 2 a 4. Na jaké ploše by měly být vysety jednotlivé plodiny? Výpočet v simplexové tabulce Test přípustnosti I nové řešení musí splňovat podmínky SA Nezáporné složky vektoru b Známe klíčový sloupec (z testu optima) Určíme klíčový řádek podle podílů, kde k je index klíčového sloupce Pouze pro a ij > 0 Minimum z těchto podílů určuje klíčový řádek Nové řešení Jeden krok Jordanovy eliminační metody Přesun jednotkového vektoru pod proměnnou, která vstupuje do báze Průsečík klíčového řádku a klíčového sloupce = klíčový prvek Klíčový řádek vydělíme klíčovým prvkem Od ostatních řádků odečteme vhodný násobek NOVÉHO klíčového řádku Interpretace výsledku Rozdělení proměnných na bázické a nebázické Hodnoty všech proměnných o zápis vektorem bázického řešení; o zápis vektorem obecného řešení. Hodnota účelové funkce Matice báze B, inverzní matice báze B -1 Relativní nevýhodnost nebázických proměnných duální (stínové) ceny Interpretace výsledku Rozdělení proměnných na bázické a nebázické Hodnoty všech proměnných Hodnota účelové funkce Relativní nevýhodnost nebázických proměnných duální (stínové) ceny - 7 - - 8 -

Dualita lineárních modelů Princip: otočení úhlu pohledu o 90 o Tvorba duálního modelu Postoptimalizační úvahy Tvorba nebázického řešení o maximální hodnota nebázické proměnné. Analýza stability báze vzhledem ke složkám vektoru pravých stran Analýza citlivosti řešení vzhledem ke změnám cenových koeficientů o nebázických proměnných; o bázických proměnných. Suboptimální řešení Sousední bázické řešení Zařazení nebázické proměnné do báze Interpretace o rozhodovací proměnná přidání aktivity; o doplňková proměnná změna omezení. Změny o maximální hodnota do hodnoty testu přípustnosti; o změna účelové funkce o součin duální hodnoty a počtu zařazovaných jednotek proměnné. Dualita lineárních modelů Matice koeficientů A v primárním modelu a matice A T v duálním Vektor pravých stran b v primárním modelu a vektor cen b v duálním Vektor cen c v primárním modelu a vektor pravých stran c v duálním Největší problém: typ omezení a podmínky nezápornosti proměnných Vztahy dvojice duálně sdružených modelů Primární úloha má optimální řešení x o právě tehdy, když má duální úloha optimální řešení y o. Navíc platí c T x o = b T y o. Nechť má primární úloha přípustné řešení x a duální úloha přípustné řešení y, pro která platí c T x = b T y, pak jsou tato řešení optimálními řešeními obou úloh. Věta o dualitě Pro dvojici duálně sdružených úloh platí buď: obě úlohy mají přípustná řešení, pak mají i optimální řešení nebo jedna z úloh přípustné řešení nemá, pak druhá nemá optimální řešení (buď také nemá přípustné řešení nebo má neomezenou účeovou funkci) Simplexová metoda Ověření podmínek simplexového algoritmu Výchozí bázické řešení Test optimality Test přípustnosti Přechod na nové řešení Interpretace výsledku - 9 - Inverzní matice báze Základ pro všechny postoptimalizační úvahy Značíme B -1 Umožní spočítat výslednou tabulku z výchozí v jednom kroku Zjistíme z výsledné tabulky na místech, kde ve výchozí tabulce byly jednotkové vektory Interval stability pravých stran Pro jednu konkrétní složku b i Cíl: aby výsledné řešení zůstalo přípustné Vyjádříme parametricky jako b i + λ Musí platit B -1 b 0 Hledáme přípustné hodnoty parametru λ Ekvivalentně o dolní mez změny test přípustnosti pro i-tý sloupec matice B -1 pro kladné hodnoty; o horní mez změny test přípustnosti pro i-tý sloupec matice B -1 pro záporné hodnoty. Interval stability cen Pro jednu konkrétní složku c i Cíl: aby výsledné řešení zůstalo optimální Vyjádříme parametricky jako c j + ν Hledáme přípustné hodnoty parametru ν, aby platil test optimality o pro nebázickou proměnnou zhoršení neomezené, zlepšení nejvýše o hodnotu testu optima; o pro bázickou proměnnou podle poměrů testu optimality a hodnot v řádku bázické proměnné. - 10 -

Praktické aplikace modelů LP Výrobní program Směšovací úlohy Řezné plány Plán směn Směšovací úlohy Také nutriční, výživové, apod. Cíl: Hledání optimální směsi produktů různých vlastností a cen Krmné dávky Dietní přípravky pro lidskou výživu Surové ropné produkty pro různé druhy prodávaných paliv Složky barev Řezné plány Obecně: úlohy o dělení Hledání racionálního způsobu dělení Dodržení podmínek o Počet kusů apod. Kritérium o Minimalizace spotřebovaného materiálu o Minimalizace odpadu, který vzniká při dělení (řezání) ocele, kůže apod. z plátu, desky, tyče, roury apod. základního materiálu Směnové rozvrhy Minimalizace počtu pracovníků ve směnách při dodržení požadavků v jednotlivých hodinách a umožnění odpracovat nepřerušovanou směnu. Program Linkosa Doplněk MS Excel Řeší modely LP pomocí simplexové metody Poskytuje následující výstupy o optimální řešení; o matice alfa; o stabilita pravých stran; o stabilita cen. Studijní materiál č. 1 Cíl modelu lineárního programování nalézt řešení splňující omezující podmínky, v němž kriteriální funkce nabývá požadovaného extrému (MIN, MAX) Prvky lineárního optimalizačního modelu: Proměnné- zachycují počet realizací, v grafu= osy souřadnic Omezující podmínky, které popisují reálná omezení hledaných rozhodnutí Typy omezujících podmínek - nerovnice (kapacitní</požadavkové>), graf= polorovina - rovnice (podmínky určení =), graf= přímka Účelová nebo kriteriální funkce, která popisuje cíl, kritérium hledaného rozhodnutí. Podmínky nezápornosti, v grafu= 1. kvadrant Úlohy řešitelné lineárním optimalizačním modelem: Optimalizace výrobní struktury optimální rozsahy výrobních procesů. Alokační problémy rozdělení zdrojů na pořízení určitých objektů. Směšovací problémy nalezení optimálních množství jednotlivých složek směsi. Problémy dělení materiálů = úlohy o řezných plánech optimální volba způsobu dělení materiálu. Distribuční problémy optimalizace distribuce zboží.postupy řešení: Grafická metoda řeší úlohy LP se 2 proměnnými a určitým počtem omezujících podmínek Postup grafického řešení: 1) Formulace matematického modelu proměnné, omezující podmínky, podmínky nezápornosti, účelová a kriteriální funkce. 2) Grafické vyjádření množiny přípustných řešení. 3) Grafické vyjádření účelové fce. 4) Nalezení extrému (minimum, maximum) účelové fce. Prostor řešení prostor, ve kterém leží všechny přípustná řešení problému. Konvexní množina množina bodů, pro kterou platí, že s každými jejími dvěma různými body do ní patří také všechny body úsečky určené těmito body. Konvexní polyedr omezená konvexní množina. Polyedrický kužel neomezená konvexní množina. Případy řešení úloh lineárního programování: Množina přípustných řešení je prázdná model nemá řešení. Množina přípustných řešení je konvexní polyedr model má optimální řešení. Množina přípustných řešení je neomezená = polyedrický kužel účelová funkce může v jednom směru nabývat libovolně velkých nebo malých hodnot. Simplexový algoritmus - 11 - - 12 -

Simplexová metoda univerzální metoda pro řešení úloh lineárního programování Podmínky použití SA: 1. Matice musí být v kanonickém tvaru (lze upravit=>2kroky >1.krok vyrovnáním nerovnic na rovnice (dosazením doplňkových proměnných, ohodnocujeme 0 sazbou a) do kapacitních proměnných s +=>vzniká rezerva/b) požadavkové s - => překročení požadavku) >2.krok zajistit jednotkovou submatici (přidáním pomocných proměnných s vysokou prohibitivní sazbou, do požadavkových a určujících podmínek pouze, vždy s +) 2. Nezápornost vektoru pravých stran (lze vynásobit -1) Postup: 1. Sestavení simplexové tabulky 2. Určení bazických (mají pod sebou jednotkový vektor 1/0/0), nebazických proměnných a výpočet účelové fce 3. Test optimality (zda existuje bazické řešení s lepší hodnotou účelové fce)- k MAX beru čísla s -, k MIN s +) 4. Test přípustnosti (i nové řešení musí splňovat podmínky SA), použití pro nově vybraný sloupec vstupující do báze, vyberu k němu klíčový řádek=> který bázi opustí 5. Jordanova eliminační metoda (2 kroky- 1. Vydělíme klíčový řádek klíčovým prvkem=> na místě klíčového prvku mám 1 2. Do klíčového sloupce chci dostat 0, abych dostala bazickou proměnnou) 6. Rozbor výsledků Možnosti výsledků: 1. Právě 1 optimální řešení= řešení je přípustné (v bázi není pomocná proměnná, 0 pod bazickými řešeními a +/ - pod nebazickými) 2. Nekonečně mnoho opt.řešení= řešení přípustné, pod alespoň 1 nebazickou je také 0 3. Neexistuje přípustné řešení= neexistuje další lepší varianta ale řešení je nepřípustné (v bázi je stále pomocná proměnná) Postoptimalizační úpravy-za kteroukoliv nebázickou proměnou můžeme dosadit podle potřeby hodnou nenulovou; upravenému řešení blízkému optimu se říká suboptimální řešení (subvarianta); hodnota z je horší; můžeme stanovit možné změny ve výsledné tabulce, tzn. určit interval stability řešení (interval spolehlivosti řešení) při zachování přípustnosti báze Klasifikace optimalizačních modelů Podle počtu kritérií jednokriteriální vícekriteriální Podle typu kritéria maximalizační/minimalizačni model cílový model Podle typu použitých funkcí lineární optimalizační modely, nelineární optimalizační modely minimalizační model - 13 - Podle charakteru množiny přípustných řešení a účelové funkce konvexní optimalizační modely nekonvexní optimalizační modely Studijní materiál č. 2 Rozhodování představuje dynamický vědomý proces výběru jedné z možných alternativ,kterou lze dosáhnout požadovaného cíle. Rozhodovací proces je činnost řídících pracovníků, při níž usilují dojít k závěrům a rozhodnutím. Fáze rozh. procesu: 1. Identifikace problému 2. Analýza a řešení problému 3. Výběr řešení Úlohou LP ve standardní formě je nalezení řešení soustavy m lineárních rovnic o n proměnných (přičemž m < n) za podmínek: Množina bodů se nazývá konvexní, jestliže splňuje podmínku: patří-li do ní dva různé body, patří do ní také všechny body úsečky určené oběma body. Množina přípustných řešení úlohy LP je konvexní množina s konečným počtem vrcholů. Obecný postup LP 1. Provést analýzu problému, tj. definovat činnosti, vystupujíc a vstupující činitele, zvolit kritérium optimality 2. Určit proměnné, jejich věcný smysl a měrnou hodnotu 3. Vyjádřit pomocí lineárních rovností nebo nerovností omezení vyplývající z čerpaných zdrojů a stanovených požadavků 4. Vyjádřit zvolené kritérium optimality jako lineární funkci proměnných úlohy Grafické řešení úlohy LP Postup 1. Matematická formulace úlohy LP 2. Grafické vymezení množiny přípustných řešení 3. Grafické zobrazení průběhu účelové funkce 4. Nalezení extrému (maxima,minima) účelové funkce (UF) Průnikem všech polorovin je konvexní polyedr, jehož vnitřní a hraniční body x1, x2 vyhovují zároveň všem nerovnicím úlohy. Konvexní polyedr představuje množinu všech přípustných řešení úlohy. - 14 -

Situace při grafickém řešení: a) množina příp. řešení je prázdná, podmínky si odporují (jsou nekonzistentní) Simplexová metoda: = obecná metody pro řešení úloh LP, která je založena na řešení soustav lineárních nerovnic a rovnic. Lze jí řešit matematické modely LP upravené do kanonického tvaru. byla objevena za 2. sv. války G. Dantzigem b) 1 optimální řešení a to ve vrcholu konvex. polyedru (tj. v krajním bdě) vím, že je to jedno ze zákl. řešení c) nekonečně mnoho řešení každý bod je optim. řešení z ÚF protíná konv. polyedr ve 2 vrcholech a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m aij = koeficient u proměnných; kvantifikuje činnosti i = index řádkový (i = 1,2 m) j = index sloupcový (j = 1,2 n) xj = proměnná (představuje VF) bi = pravá strana omezení (kapacity, požadavky) cj = cenový index (cena, sazba za jednotku) Postup řešení: 1) formulace problému (zadání úlohy) 2) sestavení matematického modelu (proměnné, omez. podmínky ) Matematický model: x1 + x2 10 (využití o.p.) x1,2 0 z = x1 + 2x2 max x1 + 4x2 28 (využití stroj.h.) x1 2 (plod. A) d) úloha nemá konečné optim. řešení (shora neomezená) mohu najít zmin, ale nenajdu zmax Strukturní proměnné - definovány při formulaci úlohy (x1, x2) - mají v ÚF vždy reálnou sazbu (c1, c2) - vyjadřují hledanou úroveň aktivit 3) převedení nerovností na rovnice - pomocí doplňkových proměnných (přídatných, fiktivních proměnných) - průběžně je číslujeme dál Základní věta LP ÚF v modelu LP nabývá svého extrému na hranici konvexní množiny přípustných řešení (ve vrcholu konvexního polyedru) Lineární programování je nejpoužívanějším typem optimalizačních úloh. Tyto úlohy jsou charakteristické tím, že se z množiny přípustných variant řešení pomocí vhodně zvolené metody vybírá řešení, které se z hlediska daných podmínek a zvoleného optimalizačního kritéria jeví jako nejvýhodnější (optimální). L P podmínka kapacitní (rozdíl mezi L a P vyjadřuje nevyužitou kapacitu doplňková proměnná je typu rezerva L + d.p.) L P podmínka požadavková (rozdíl mezi L a P vyjadřuje přebytek nad stanovený požadavek doplňková proměnná typu překročení L d.p.) L=P podmínka určení (rovnice) x1 + x2 + x3 = 10 x1,2,3,4,5 0 z=x1+2x2+0x3+0x4-0x5 max x1 + 4x2 +x4 = 28 x3,4 nevyužití o.p., str.h. x1 -x5 = 2 x5.. překročení min. požadavku Doplňkové proměnné - v ÚF vždy nulové sazby - 15 - - 16 -

4) převedení rovnic na kanonický tvar - obecně zapsáno: (A,E)x=b - kanonická bázická proměnná je ta, která má u sebe 1 z jednotkové matice - dělá se přidáním nových proměnných číslovaných průběžně dál Pomocné proměnné - užívají se pouze pro vytvoření jednotk. matice a nemají ekonomickou interpretaci - nesmí být ve výsledném řešení, proto jim dáváme nevýhodnou (prohibitivní) sazbu v ÚF (ta zajistí jejich vyloučení z báze) - sazba u pom. prom.: maxim. úloha (hodně nízká ( a o 1 řád vyšší než ostatní ceny)) minim. úloha (hodně velká ( a o 1 řád vyšší než ostatní ceny)) - užití pom. prom.: v případě požadavkové podmínky (L P) L d.p. + p. p. v případě rovnice (L=P) L + p. p. x1 + x2 + 1x = 10 x1,2,3,4,5,6 0 z=x1+2x2+0x3+0x4-0x5-10x6 max x1 + 4x2 +1x4 = 28 x1 - x5 + 1x6= 2 Jednotková matice je tvořena jed. vektory doplňk. a pomocných proměnných; báze se nazývá umělá a úloha rozšířená; řešení rozšířené soustavy je současně řešením původní úlohy, jsou-li hodnoty pomoc. proměnných rovny nule Bázické proměnné x3, x4, x6; Nebázické x1, x2, x5!!řešení vyčtené: x3 = 10 x1 x2 (Za nebázické proměnné dáme O x4 = 28 x1 4x2 dostaneme výchozí program (kolikrát, kt. x6 = 2 x1 + x5 proces mám dělat) x1 = 0 (ha pl. A), x2 = 0 (ha pl. B), x3 = 10 (nevyuž. o.p.), x4 = 28 (nevyuž. str.h.), x5 = 0 (překročen. min. požadavku), x6 = 2 (nemá interpretaci) vektor základního řešení x 0 = (0, 0, 10, 28, 0, 2) T vektor obecného řešení: 5) sestavení výchozí simplexové tabulky - přepsání soustavy do tabulky Ceny 1 2 0 0 0-10 (ÚF) b Ω c B x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 0 x 3 1 1 1 0 0 0 10 10 (10/1) 0 x 4 1 4 0 1 0 0 28 28 (28/1) -10 x 6 1 0 0 0-1 1 2 2 (2/1) z j - c j -11-2 0 0 0 0-20 Hodnota ÚF 6) aplikace simplexového algoritmu (nalezení optimálního řešení) 1 test optima (kritérium vstupu) a) zjišťuji zda nalezené řešení je optimální vypočteme hodnoty kriteriálního řádku zj cj = c B α j cj (pod jednotkovým vektorem by měla vyjít vždy 0). optimální řešení je tehdy, když jsou v kriteriálním řádku hodnoty: kladné či nulové při max záporné či nulové při min b) určí proměnnou, která je výhodná pro zařazení do báze v následujícím kroku - vybereme z těch proměnných, které nesplňují tu podmínku zj cj 0 (max); zj cj 0 (min), kde absol. hodnota zj-cj je největší /-11/; /-2/ /-11/ určuje klíčový sloupec a tím i proměnnou vstupující do báze 2 test přípustnosti (kritérium výstupu) - zajišťuje, aby nové řešení zůstalo nezáporné a) vypočteme podíly β k (pravé strany) ke kl. složkám klíčového sloupce další báze bude přípustná b) určí proměnnou, kterou z báze vyřadíme vybíráme z podílu min. ten určí klíčový řádek a tím i vystupující proměnnou V průsečíku kl. sloupce a kl. řádku je klíčový prvek a na tom místě chci 1. Pomocí eliminační metody přejdeme do nové báze a postup opakujeme tak dlouho, až kriteriální řádek obsahuje: kladné či nulové při max; záporné či nulové při min - 17 - - 18 -

7) rozbor výsledků (vysvětlení vektoru základního a obecného řešení) Výsledná simplexová tabulka Ceny 1 2 0 0 0-10 (ÚF) b c B x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 0 x 5 0 0 4/3-1/3 1-1 2 2 x 2 0 1-1/3 1/3 0 0 6 1 x 1 1 0 4/3-1/3 0 0 4 z j - c j 0 0 2/3 1/3 0 10 16 základní proměnné: x1, x2, x5 vektor základního řešení: x 0 = (4,6,0,0,2,0) T nezákl. proměnné: x3, x4, x6 vektor obecného řešení: Kriteriální řádek - vyjadřuje hodnoty ÚF a duální ceny (= stupeň výhodnosti procesu na jednotkové úrovni v poměru k řešení) - u zákl. proměnných vždy zj-cj = 0 - u nezákl. proměnných duální ceny I.druhu (pod nebázickými struktur. prom.) - vyjadřují oč se zhorší hodnota ÚF při její realizaci na jednotkové úrovni duální ceny II.druhu (pod nebázickými dopl. prom.) - vyjadřují stupeň výhodnosti k ÚF (oceňuje vstupy při zvýšení disp. množství se může zvýšit hodnota ÚF) Př.: z4-c4 = 6 zvýšení o 1 ha plochy zvýšení o 6 jednotek ÚF zj-cj = 0 pod nebázickou proměnnou jedná se o alternativní řešení, má stejnou hodotu ÚF, ale liší se strukturou řešení Vektory koeficientů - u základ. proměnných jednotkový vektor (proměnné jsou v bázi) - u nezákl. proměnných vektor nám udává změnu vektoru b při realizaci nebázické proměnné na jednotkové úrovni Dá se z něj vyčíst, jak se změní optim. řešení, budeme-li realizovat procesy, které nejsou optimální x3, x4 = tj. vytváření rezervy Změna ÚF = z = z x3(z3-c3) Základní (bázické) proměnné a) Strukturní - vyjadřují hodnoty hledaného optima - má u sebe 1 z jednotkového vektoru b) Doplňkové - vyjadřují nadbytečnost zdrojů (tj. nevyužité rezervy u kapacitní podmínky, a překročené požadavky u požadavkové podmínky) - ukazují jak byly splněny omezující podmínky (pokud jsou v bázi byla podmínka splněna jako nerovnost) (není-li v bázi splněna jako rovnost) Nezákladní (nebázické) proměnné - považují se rovny nule a) Strukturní - v optimálním programu se nerealizují, jejich cena byla natolik nevýhodná, že se neprosadila do optim. programu b) Doplňkové - hodnota = 0 tj. omezující podmínka je splněna jako rovnice (požadavek je přesně splněn, kapacita je využita) Postoptimalizační rozbor - za kteroukoliv nebáz. proměnnou můžeme dle potřeby dosadit hodnotu nenulovou - upravenému řešení blízkému optimu se říká suboptimální řešení = SUBVARIANTA - hodnota ÚF je sice horší, ale reálnější vzhledem k praxi - můžeme stanovit možné změny ve výsledné tabulce (tj. můžeme určit interval spolehlivosti či stability řešení) při zachování přípustnosti báze Postup: 1. Model LP upravíme pomocí doplňkových, resp. pomocných proměnných do kanonického tvaru 2. provede se zápis modelu do simplexové tabulky 3. provede se test optima a přechod na nové základní přípustné řešení 4. postup se opakuje až do nalezení optima Kontroly správnosti výsledku: a) Kontrola pomocí matice transformace v každé simplexové tabulce nalezneme matici transformace B -1 původní matice jednotkové B- 1 * B = E (jednotková matice) b) Kontrola pomocí lineární kombinace vektorů Klasifikace omezujících podmínek Omezující podmínky v modelec LP můžeme rozdělit: a) kapacitní (=<) př. spotřeba nesmí přesáhnout kapacitu b) garanční (požadovaná) => př. spotřeba alespoň 2 ks denně c) bilanční >=< d) určení =, př. počet výrobků musí být právě 10 vždy pod sloupci - 19 - - 20 -

Klasifikace proměnných a) rozhodovací proměnné standardní označení x1, x2, b) doplňkové proměnné rozlišujeme typu: rezerva (u kapacitní podmínky) překročení (u garanční podmínky) c) pomocné proměnné k pomocným proměnným přiřazujeme v ÚF prohibitivní ceny MODEL LP DUALITA Dualita je vztah mezi dvěma vektorovými prostory. Ke každé úloze LP se dá přiřadit jiná úloha LP. Obě úlohy mají tytéž parametry, ale s jinou ekonomickou interpretací. Omezující podmínky je-li proměnná xj nezáporná, korespondující podmínka duální úlohy je nerovnice typu => je-li proměnná xj volná, korespondující podmínka duální úlohy je rovnice 1. Symetrická dualita Primární úloha Duální úloha Ax b y 0 x 0 A T y c c T y = z max b T y = f min 2. Nesymetrická dualita Primární úloha Duální úloha Ax = b y = s.l. x 0 A T y c c T x = z max b T y = f min Základní věta o dualitě Primární úloha D 0 má právě tehdy konečné maximální řešení, má-li konečné minimální řešení i odpovídající duální úloha D 1. Extremální hodnoty obou úloh se navzájem rovnají, tj. platí z max = f min. POSTOPTIMALIZAČNÍ ANALÝZA Suboptimální řešení = takový vektor řešení, který obdržíme z vektoru obecného řešení volbou určitého kladného čísla za alespoň jednu nezákladní strukturní proměnnou Alternativní řešení = řešení rovnocenné z hlediska hodnoty ÚF. Získá se zařazením příslušné nezákladní proměnné do řešení, tj. volbou určitého kladného čísla za tu nezákladní proměnnou ve vektoru obecného řešení, které odpovídá nulová duální hodnota tj. zj-cj=0. 1) linearita (pro zobrazování procesů využíváme lineárních funkcí) princip spočívá v neměnné kombinaci vztahu mezi vstupem a výstupem z linearity vyplývají: - proporcionalita (= multiplikativní vlastnost) chci-li zdvojnásobit objem činnosti musíme zdvojnásobit i všechny toky do činnosti (bi = aijxj 2bi=2aijxj) množství produkce či spotřeby je lin. fcí příslušné proměnné (znázorňuje ji přímka) spotřeba zdroje (bi) je součin měrné spotřeby (aij) a množ. vstupu (xj) - 21 - - aditivita (sčitatelnost) = všechny stejné položky můžeme sčítat chci znát celkové množství škrobových jednotek (dostaneme je součtem škr. jednotek v jednotlivých krmivech) - spojitost (libovolná dělitelnost) = perfektní substituce čili zaměnitelnost 2) deterministický charakter stálost, neměnnost všech parametrů (během výpočtu se parametry neměnní) statický charakter (LM nemá zahrnut faktor času, předpokládá stejné opakování výr. cyklů na stejné úrovni (průměrný roční ideální cyklus). Studijní materiál č. 3 Přehled standardních matematických modelů a modelových technik - matematické programování - dynamické programování - modely hromadné obsluhy - modely zásob - modely obnovy - Markovovy řetězce - síťové modely - heuristické/stochastické programování - simulační modely - metody větví a hranic - rozhodovací modely - modely teorie her - systému pro podporu rozhodování - expertní systémy Matematické modelování - model = záměrně zjednodušený obraz reality - základní typy modelů: - ikonické fyzikální replika reálného systému, jsou přesné nebo zjednodušené, ve zmenšeném nebo zvětšeném měřítku (model stroje) - analogické mechanické a elektronické analogy systémů plány měst, mapy - matematické soustavy funkcí, soustavy rovnic, soustavy funkcionálů, simulace systému hromadné obsluhy (v management science (viz ot. 10) se používají výhradně tyto) - základní složky : 1. proměnné a konstanty 2. matematické struktury 3. řešení 1. proměnné a konstanty - identifikované (pojmenované) konkrétní vlastnost reálního objektu => má název a míru - neidentifikované (pomocné) pro formalizaci matematického zápisu, chod algoritmů - 22 -

- rozhodovací proměnné představují nejdůležitější procesy systému, nazývají se aktivity nebo entity - vstupní proměnné a konstanty; výstupní proměnné a konstanty (endogenní a exogenní) - nekontrolovatelné proměnné a konstanty procesy, jejichž míry nelze zjistit (velikost míry inflace v nestandardních podmínkách) a nelze je popsat ani pomocí prpsti nebo fuzzy míry - výsledné proměnné a konstanty udávají hodnoty řešení, popisují výslednou informaci 2. matematické struktury (omezující podmínky) v matematickém modelu, dle použitého matemat. aparátu: - analytické struktury objekty z odvětví matematické analýzy soustavy rovnic, funkce - geometrické model popsán grafickými prostředky: body, přímky, roviny, křivky - topologické modely vytvářeny pomocí objektů matemat. Teorie grafu - arteficiální struktury modely popsány prvky programovacího jazyka - kvalitativní model popsán pomocí kvalitativních rovnic, kvalitativních nerovností nebo vágně 3. řešení matematického modelu, dle cílů modelování: - přípustné, nepřípustné vyhovuje nebo nevyhovuje soustavě omezujících podmínek - maximální, minimální splňuje maximaliz. nebo minimaliz. cílovou podmínku - optimální vyhovuje nejlépe požadovanému cíli dle představ a požadavků - výchozí zadané odhadem nebo sestrojené jednoduchým algoritmem - výsledné může být vybráno jako optimální, může jich být ale i nekonečně mnoho - alternativní je dle předem zadaných kriterií rovnocenné s jiným řešením - aproximativní vyhovuje omezujícím podmínkám přibližně Klasifikace matematických modelů modely deskriptivní - k zobrazení prvků a vztahů v systému a analýza základních vlastností systému - nezajímá nás určité cílové chování, ale pouze systém sám o sobě - slouží k zobrazení prvků a vztahů v systému a k analýze základních vlastností systému - odvodíme další vlastnosti systému, určíme stabilní stav, vliv změn na jeho chování - např. simulační model, rovnice nabídky a poptávky, soustava diferenciálních rovnic modely normativní - k analýze a řízení systému tak, aby byl splněn nějaký cíl - zajímá nás cílové chování systému - bývá doplněn tzv. cílovou (účelovou) funkcí - součástí je extremní řešení, které dává návod, jak požadovaného cíle dosáhnout (pokud je jejich cílem nalezení optimálního řešení, nazývají se optimalizační) modely deskriptivní i normativní jsou dále děleny dle typu systému, k jehož modelování slouží, nebo podle typu matematických složek, které obsahují: - statické nebere zřetel na časový vývoj modelu týká se urč. intervalu - dynamické analyzuje systém v průběhu času - dynamizované vyjadřuje časový prvek ve statickém modelu pomocí speciálních modelových technik dynamický model by byl složitý - 23 - - deterministické proměnné, konstanty a funkce v modelu jsou deterministické (nenáhodné) - stochastické alespoň jedna proměnné, konstanta nebo fce v modelu je náhodná - fuzzy některé proměnné, konstanty a funkce jsou fuzzy Výhody použití matematických modelů 7 S matematického modelu - Simulace => úspora času => operace, které probíhají v reálném čase po léta, mohou být simulovány pomocí modelu během několika sekund. - Simplicita => jednodušší manipulace s modelem než s realitou. = >cena za chybné rozhodnutí při práci s modelem je nepatrné v porovnání s realitou - Spolehlivost = > možnost kalkulace rizika spojeného s rozhodnutím - Spořivost = > cena za analýzu chování systému pomocí modelu je mnohem menší než cena za analýzu reálného systému - Sebevzdělávání => modelováním se uživatel učí - Selektivita = > možnost analýzy a posouzení velkého množství alternativ řešení Systémové modelování 1. formulace problému - je třeba rozhdnout, zda se jedná o problém standardní, již řešený nebo nový, zda model bude statický, dynamický... 2. zavedení systému realita je složitá, je třeba ji vymezit a pro účely modelu zjednodušit => definujeme na realitě systém (prvky, vazby, vstupy, výstupy) 3. konstrukce modelu 4. testování modelu 5. kvantifikace modelu naplnění modelu konkrétními údaji a daty 6. výpočet modelu 2 metody analytická (řešení soustavy rovnic), numerická (simulace na počítači) 7. interpretační analýza převod výsledků do reálného systému 8. syntéza poznatků 9. implementace Význam systémového modelování - zjištění informací o chování systému; - urychlení, usnadnění a racionalizace procesu rozhodování; - umožňuje variantní řešení; - odstraňuje nebezpečí vzniku ztrát v důsledku chybného rozhodnutí Studijní materiál č. 4 Alokační problémy-cílem je co nejlépe umístit omezené zdroje a nalézt optimální vazby mezi zdroji a potřebami Lineární modely - LP stalo jednou z nejrozšířenějších metod využívaných při manažerském rozhodování. - 24 -

Lineární model obsahuje proměnné, omezující podmínky a účelovou funkci. úloha LP má 3 části: 1) soustava omezujících podmínek (m rovnic o n proměnných; m<n)ax=b 2) podmínka nezápornosti řešení x j 0 3)účelová(kriteriární fce)-hledáme extrém z=c T *x=min/max Různé formy zápisu modelu LP: rozepsaný tvar, vektorový tvar, sumátorový tvar, maticový tvar Postupy řešení: Grafická metoda řeší úlohy LP se 2 proměnnými a konečným počtem omezujících podmínek, v praxi málo využívaná Postup: 1) formulace matematického modelu (soustava nerovnic, účelová fce) 2) grafické vymezení množiny přípustných řešení (průnikem je konvexní polyedr) 3) grafické zobrazení průběhu účelové fce-graficky představuje soustavu rovnoběžných přímek o parametru z 3) nalezení extrému (minimum, maximum) účelové fce. Optimálnímu řešení maximalizační úlohy odpovídá vrchol polyedru, kterým prochází přímka účelové fce a přitom zůstává co nejdále od počátku. Množina přípustných řešení úlohy LP je konvexní množina s konečným počtem vrcholů: Simplexová metoda využívá vlastností soustav lin.rovnic a nerovnic, je to algoritmus je založen na Jordanově eliminační metodě pro řešení soustavy lineárních rovnic je odvozena z Dantzigovy věty(je-li dána úloha LP AX=b, x 0, z=c T *x a je-li x optimálním řešením této úlohy, potom x je některé bázické řešení soustavy omezujících podmínek, tj. x=x 0 ) POSTUP: 1) formulace problému 2) sestavění matemat. modelu 3) převedení nerovností na rovnice pomocné doplňkové proměnné a) omez.podm L P(kapacitní podmínka) +dp-nevyužitá kapacita(rozdíl mezi L a P) b) L P požadavková podmínka, -dp o kolik jsme překročili min. požadavek; doplňkové proměnné mají nulové sazby 4) převedení soustavy rovnic ne kanonický tvar (A,E)x=b; přidáme pomocné proměnné používají se pro vytvoření jednotkové matice E, nemají ekonomickou interpretaci; nesmí být ve výsledném řešení, proto jim přidáme nevýhodnou(prohibitivní) sazbu ta zajistí jejich vyloučení z báze; sazba u pom.prom.-max-volíme sazbu hodně malou, MIN-hodně velká 5) sestavení výchozí siplexové tabulky 6) aplikace simplexového algoritmu (nalezení opt.řešení) test optima a test přípustnosti tyto testy zajišťují, aby bázické řešení bylo nezáporné a zlepšovala se hodnota účelové fce až do nalezení extrému(optima) Test optima:a) zjišťujeme zda nalezené řešení je optimální- - 25 - vypočteme zj-cj=cb*αj-cj= - platí-li pro nebázické proměnné *zj-cj 0 u MAX a zj-cj 0 u MIN a pomocné proměnné jsou vyřazeny z báze, dosáhli jsme konečného optima(max: optimum pokud v kriteriálním řádku pouze 0 prvky) b)určí proměnnou, kterou je výhodné zařadit do báze v násl.kroku-vybereme z proměnných, kt.nesplňují podm.* kde rozdíl v absolutní hodnotě je největší-tato hodnota určí klíčový sloupec a tím i prom.vstupující do báze; Test přípustnosti(kritérium výstupu)a)zajišťuje, aby nové řešení zůstalo nezáporné (β/α>0) b)určí proměnnou, kt.z báze vyřadíme(min z β/α>0); V průsečíku sloupce a řádku vzniká tzv. klíčový prvek na jeho místě bude jednička (a ostatní prvky v jeho sloupci budu nulovat) pomocí Jordanovy eliminační metody přejdeme do nové báze a postup opakujeme tak dlouho, až kriteriální řádek obsahuje kladné(záporné)a nulové prvky u MAX(u MIN) 7) rozbor výsledku Postoptimalizační úpravy-za kteroukoliv nebázickou proměnou můžeme dosadit podle potřeby hodnou nenulovou; upravenému řešení blízkému optimu se říká suboptimální řešení(subvarianta); hodnota z je horší; můžeme stanovit možné změny ve výsledné tabulce, tzn. určit interval stability řešení (interval spolehlivosti řešení) při zachování přípustnosti báze Analýza citlivosti: - postup zjišťování rozsahu změn údajů ve výchozí tabulce(bi,cj)bez změny struktury opt.řešení(bez změny báze) Čím větší je možný rozsah přípustných změn, tím stabilnější je řešení a naopak Dualita: - ke každé úloze LP lze přiřadit tzv. duální úlohu, k maximalizační úloze LP minimalizační duální LP a naopak - extremní hodnoty obou úloh se navzájem rovnají - klasifikujeme je podle typu omezujících podmínek na tři typy duálních modelů: symetrické duální modely, nesymetrické a smíšené Studijní materiál č. 5 Rozhodování představuje dynamický vědomý proces výběru jedné z možných alternativ, kterou lze dosáhnout požadovaného cíle. Rozhodovací proces je činnost řídících pracovníků, při níž usilují dojít k závěrům a rozhodnutím. FÁZE ROZHODOVACÍHO PROCESU 1. Identifikace problému 2. Analýza a řešení problému 3. Výběr řešení CÍL MODELU LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Nalézt řešení splňující omezující podmínky, v němž kriteriální funkce nabývá požadovaného extrému (MIN, MAX) - 26 -

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lineární programování je nejpoužívanějším typem optimalizačních úloh. Tyto úlohy jsou charakteristické tím, že se z množiny přípustných variant řešení pomocí vhodně zvolené metody vybírá řešení, které se z hlediska daných podmínek a zvoleného optimalizačního kritéria jeví jako nejvýhodnější (optimální). PRVKY LINEÁRNÍHO OPTIMALIZAČNÍHO MODELU Proměnné - zachycují počet realizací o V grafu= osy souřadnic Omezující podmínky, které popisují reálná omezení hledaných rozhodnutí o Typy omezujících podmínek - nerovnice (kapacitní</požadavkové>), Graf= Polorovina - rovnice (podmínky určení =), Graf= Přímka Účelová nebo kriteriální funkce, která popisuje cíl, kritérium hledaného rozhodnutí. Podmínky nezápornosti, v grafu= 1. kvadrant ÚLOHY ŘEŠITELNÉ LINEÁRNÍM OPTIMALIZAČNÍM MODELEM Optimalizace výrobní struktury optimální rozsahy výrobních procesů. Alokační problémy rozdělení zdrojů na pořízení určitých objektů. Směšovací problémy nalezení optimálních množství jednotlivých složek směsi. Problémy dělení materiálů = úlohy o řezných plánech optimální volba způsobu dělení materiálu. Distribuční problémy optimalizace distribuce zboží. OBECNÝ POSTUP LP 1. Provést analýzu problému, tj. definovat činnosti, vystupujíc a vstupující činitele, zvolit kritérium optimality 2. Určit proměnné, jejich věcný smysl a měrnou hodnotu 3. Vyjádřit pomocí lineárních rovností nebo nerovností omezení vyplývající z čerpaných zdrojů a stanovených požadavků 4. Vyjádřit zvolené kritérium optimality jako lineární funkci proměnných úlohy GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOHY LP - POSTUP 1. Matematická formulace lohy LP (proměnné, omezující podmínky, podmínky nezápornosti, účelová a kriteriální funkce) 2. Grafické vymezení množiny přípustných řešení 3. Grafické zobrazení průběhu účelové funkce Nalezení extrému (maxima, minima) účelové funkce (UF) PROSTOR ŘEŠENÍ prostor, ve kterém leží všechny přípustná řešení problému. Úlohou LP ve standardní formě je nalezení řešení soustavy m lineárních rovnic o n proměnných (přičemž m < n) za podmínek: o Množina bodů se nazývá konvexní, patří-li do ní dva různé body, patří do ní také všechny body úsečky určené oběma body. o Množina přípustných řešení úlohy LP je konvexní množina s konečným počtem vrcholů. Průnikem všech polorovin je konvexní polyedr, jehož vnitřní a hraniční body x1, x2 vyhovují zároveň všem nerovnicím úlohy. Konvexní polyedr představuje množinu všech přípustných řešení úlohy. KONVEXNÍ MNOŽINA Množina bodů, pro kterou platí, že s každými jejími dvěma různými body do ní patří také všechny body úsečky určené těmito body. Konvexní polyedr omezená konvexní množina. Polyedrický kužel neomezená konvexní množina. PŘÍPADY ŘEŠENÍ ÚLOH LINEÁRNÍHO POGRAMOVÁNÍ Množina přípustných řešení je prázdná model nemá řešení. Množina přípustných řešení je konvexní polyedr model má optimální řešení. Množina přípustných řešení je neomezená = polyedrický kužel účelová funkce může v jednom směru nabývat libovolně velkých nebo malých hodnot SIMPLEXOVÁ METODA univerzální metoda pro řešení úloh lineárního programování obecná metody pro řešení úloh LP, která je založena na řešení soustav lineárních nerovnic a rovnic. Lze jí řešit matematické modely LP upravené do kanonického tvaru. byla objevena za 2. sv. války G. Dantzigem a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m aij = koeficient u proměnných; kvantifikuje činnosti - i = index řádkový (i = 1,2 m), j = index sloupcový (j = 1,2 n) xj = proměnná (představuje VF) bi = pravá strana omezení (kapacity, požadavky) cj = cenový index (cena, sazba za jednotku) Podmínky použití SA 1. Matice musí být v kanonickém tvaru (lze upravit=>2kroky >1.krok vyrovnáním nerovnic na rovnice (dosazením doplňkových proměnných, ohodnocujeme 0 sazbou a) do kapacitních proměnných s +=>vzniká rezerva/b) požadavkové s - => překročení požadavku) >2.krok zajistit jednotkovou submatici (přidáním pomocných proměnných s vysokou prohibitivní sazbou, do požadavkových a určujících podmínek pouze, vždy s +) 2. Nezápornost vektoru pravých stran (lze vynásobit -1) - 27 - - 28 -

POSTUP ŘEŠENÍ: 1. Formulace problému (zadání úlohy) 2. Sestavení matematického modelu (proměnné, omez. podmínky ) 3. Převedení nerovností na rovnice 4. Převedení rovnic na kanonický tvar 5. Sestavení výchozí simplexové tabulky 6. Aplikace simplexového algoritmu (nalezení optimálního řešení) o Test optima (kritérium vstupu): a) zjišťuji zda nalezené řešení je optimální b) určí proměnnou, která je výhodná pro zařazení do báze v následujícím kroku o Test přípustnosti (kritérium výstupu) - zajišťuje, aby nové řešení zůstalo nezáporné 7. Rozbor výsledků (vysvětlení vektoru základního a obecného řešení) MOŽNOSTI VÝSLEDKŮ 1. Právě 1 optimální řešení o Řešení je přípustné (v bázi není pomocná proměnná, 0 pod bazickými řešeními a +/ - pod nebazickými) 2. Nekonečně mnoho optimální řešení o Řešení přípustné, pod alespoň 1 nebazickou je také 0 3. Neexistuje přípustné řešení o Neexistuje další lepší varianta ale řešení je nepřípustné (v bázi je stále pomocná proměnná) Postoptimalizační úpravy Za kteroukoliv nebázickou proměnou můžeme dosadit podle potřeby hodnou nenulovou; Upravenému řešení blízkému optimu se říká suboptimální řešení (subvarianta); Hodnota z je horší; Můžeme stanovit možné změny ve výsledné tabulce, tzn. určit interval stability řešení (interval spolehlivosti řešení) při zachování přípustnosti báze Úlohy řešitelné lineárním optimalizačním modelem: Optimalizace výrobní struktury optimální rozsahy výrobních procesů. Alokační problémy rozdělení zdrojů na pořízení určitých objektů. Směšovací problémy nalezení optimálních množství jednotlivých složek směsi. Problémy dělení materiálů = úlohy o řezných plánech optimální volba způsobu dělení materiálu. Distribuční problémy optimalizace distribuce zboží. Studijní materiál č. 6 Model lineárního programování: Záměrně zjednodušený obraz skutečnosti. Cíl modelu lineárního programování: Nalézt optimální řešení splňující všechny omezující podmínky, přičemž je respektován cíl účelové funkce, a to nalezení buď maxima, nebo minima. - 29 - Komponenty modelu lineárního programování: Proměnné: x 1,x 2, x 3, x 4, Omezující podmínky: Kapacitní ( ), Požadavková ( ), Určení (=) Účelová funkce: Minimalizační, nebo maximalizační Podmínky nezápornosti: Určené pro všechny proměnné, sloužící k zamezení toho, aby se nevyrobilo například -5 aut, apod. Zajišťují praktickou aplikovatelnost řešení. Praktická aplikace: Uvedeno na příkladech Optimalizace výrobních programů: Kolik vyrobit kusů výrobku A a kolik výrobku B pro dosažení maximálního zisku, minimálních nákladů, maximálních tržeb, Směšovací úlohy: Slouží k nalezení optimálního množství jednotlivých složek přípravku. (Například kolik gramů jednotlivých složek přípravku vitamínu A, vitamínu C, sacharidu a cukru použít pro maximalizaci energetické hodnoty přípravku.) Rozvrhy směn: Slouží k nalezení optimálního časového rozvrhu v případě, že člověk má více prací. (Kolik hodin chodit do které práce, pro dosažení maximálního zisku.) Řezné plány: Na kolik tyčí různých délek je třeba rozřezat dlouhé tyče pro dosažení maximálního zisku, případně pro dosažení minimálního odpadu. Alokační problémy: Jak správně rozdělit zdroje na pořízení určitých objektů. Případně jak správně zainvestovat určitý finanční obnos třeba do akcií, podílových fondů, hypotečních zástavních listů, nebo nemovitosti pro dosažení maximálního zisku, případně minimálního rizika. Možnosti řešení lineárních modelů: Prostor řešení, Prostor požadavků, Simplex Prostor řešení: Grafická metoda, využívá proměnné x 1, x 2 jako osy grafu. Může mít maximálně dvě proměnné. Počet omezujících podmínek není omezen. Prostor požadavků: Grafická metoda, využívá omezující podmínky OP 1, OP 2 jako osy grafu. Může mít maximálně dvě omezující podmínky. Počet proměnných není omezen. Simplexový algoritmus: Může mít neomezeně proměnných i omezujících podmínek. Jedná se o univerzální metodu na řešení modelů lineárního programování, se kterou se dají řešit i modely řešitelné pomocí prostoru řešení a prostoru požadavků. Před použitím simplexového algoritmu je nutné rovnice z nerovnicového tvaru převést do kanonického tvaru, přičemž je zároveň potřeba vyrovnat je na rovnice s pomocí doplňkových proměnných (d) a pomocných proměnných (p) Podmínky použití Simplexového algoritmu: Matice musí být v kanonickém tvaru a musí být splněna nezápornost vektoru pravých stran, Možnosti grafického výstupu modelů lineárního programování: Má právě jedno optimální řešení Má nekonečně mnoho optimálních řešení Má přípustné řešení, ale hodnota účelové funkce není omezena Nemá žádné přípustné řešení - 30 -

Možnosti výstupu Simplexového algoritmu: Právě 1 optimální řešení Nekonečně mnoho optimálních řešení: Alternativní řešení (Pod nebazickou proměnnou je 0 v testu optima) Neexistuje přípustné řešení: Mezi bazickými proměnnými je pomocná proměnná (Může nastat v případě, kdy některý z požadavků nelze splnit například z nedostatku surovin potřebných pro výrobu.) Dualita: Slouží k převodu prostoru řešení na prostor požadavků a naopak. Postoptimalizace: Slouží ke zjištění možných změn ve výsledné tabulce za podmínky zachování téže báze řešení. Například ke stanovení intervalu stability cen, nebo intervalu stability vektoru pravých stran. Studijní materiál č. 7 Téma 1: Úvod do EMM. Modely lineárního programování, prostor řešení 1) Co je to modelování? Proveďte klasifikaci modelů podle alespoň jednoho hlediska. Ke každému typu modelů uveďte příklad. Modelování= způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a vlastnostmi jiného celku modelu Model= zjednodušený obraz skutečnosti vytvořený pomocí zvolených zobrazovacích prostředků o Model obecně chápeme jako zobrazení rysů skutečnosti, které jsou podstatné z hlediska sledování cíle Typy modelů z hlediska záměru - Normativní modely - Ukazují optimální, žádoucí stav systému - Deskriptivní modely - Popisují systém a jeho chování, neobsahují kritérium Koncepční modely - Popisují koncepci nově navrhovaného systému Modely z hlediska reprezentace: (stačí umět jen jedno hledisko+příklad) 1) Ikonické (materiální) modely stroje a předměty Zařízení pracující na principu analogie (zkoumání podobnosti, nebo stejných vlastností různých objektů) 2) Symbolické modely Grafické Slovní verbální Matematické modely operačního výzkumu - 31-2) Co je to systém? Jaký je jeho význam v procesu systémového modelování? Systém= tvoří most mezi realitou a modelem. Je zjednodušeným obrazem zkoumaného objektu - Systém je neprázdná, účelově definovaná třída prvků a vazeb mezi nimi, která spolu se svými vstupy a výstupy vykazuje jako celek ve svém vývoji kvantifikovatelné vlastnosti a chování, Nelze opomenout: účel; strukturu: prvky, hranice, okolí, vazby; chování: y = T(x). 3) Uveďte podstatu a význam (možnosti aplikace) modelů lineárního programování Modely LP umožňují řešení speciální skupiny optimalizačních úloh a používají se zejména v rozhodovacích situacích, kdy je možno realizovat větší počet činností v různých kombinacích a je třeba stanovit pro nás nejvýhodnější optimální kombinaci těchto činností Předpokládá se, že jejich realizace je omezena dispozičním množstvím výrobních kapacit (zdrojů) a různými požadavky, které jsou na činnosti kladeny (omezující podmínky) CÍL: nalézt vhodnou kombinaci více proměnných, která vyhovuje daným lineárním omezujícím podmínkám 4) Uveďte a stručně popište komponenty modelů lineárního programování Potřebujeme je, abychom mohli sestavit model a) Proměnné=> Zachycují počet realizací daného procesu Značí se x i Je třeba určovat jednotky! b) Omezující podmínky Vymezují přípustné kombinace hodnot proměnných Základní typy omezujících podmínek: o kapacitní o požadavkové o určení = c) Účelová funkce Vyjádřena jako skalární součin jednotkových cen proměnných a jejich hodnot Základní typy účelových funkcí: Určuje kritérium, čeho chceme v modelu dosáhnout o Minimalizační => Z (MIN) o Maximalizační => Z (MAX) d) Podmínky nezápornosti Požadujeme pro všechny proměnné => Nezapomínat na ně!!! Zajišťují praktickou aplikovatelnost řešení=> REÁLNOST! - 32 -

5) Uveďte a stručně charakterizujte dva základní způsoby grafického řešení modelů lineárního programování. Za jakých podmínek je možné je použít? Obr2 úloha má nekonečně mnoho řešení: a) Prostor řešení= tento způsob používáme při malých modelech, které mají nejvýše 2 proměnné a neomezený počet omezujících podmínek b) Prostor požadavků= tento způsob používáme při modelech, které mají neomezený počet proměnných a nejvýše 2 omezující podmínky Podmínka použití: model musí být v rovnicovém tvaru. To realizujeme pomocí tzv. doplňkových proměnných (d): u kapacitní přičítáme, u požadavkové odečítáme: Když tam bude (požadavkové) => tak odečítám -d Když (kapacitní) => tak přičítám +d Když = tak žádná transformace není potřeba => už to rovnice je PŘ: 0,9x1+ 0,1x2 6 75x1 + 30x2 850 Přepíšu do rovnice: 0,9x1+ 0,1x2 - d1= 6 75x1+ 30x2 +d2= 850 Obr3- úloha má jedno optimální řešení: 6) Uveďte 4 možné výsledky řešení modelů lineárního programování a znázorněte je graficky v prostoru řešení 1) Optimální řešení neexistuje a) Model nemá žádné přípustné řešení -> nemá řešení b) Model má přípustné řešení, ale hodnota účelové funkce může neomezeně růst nebo klesat 2) Optimální řešení existuje c) Model má právě jedno optimální řešení d) Model má nekonečně mnoho optimálních řešení Obr1 úloha nemá řešení: Obr4- Úloha nemá konečné optimální řešení, účelová funkce může na neomezené množině přípustných řešení nabývat libovolně velkých hodnot: - 33 - - 34 -

Téma 2: Grafické řešení modelu LP v prostoru požadavků. Bázická a nebázická řešení 1) Uveďte a stručně komentujte základní vlastnosti modelů lineárního programování Linearita o Aditivita (sčitatelnost) o Spojitost o Neomezená záměna faktorů o Libovolná dělitelnost Deterministický charakter: charakter náhodných proměnných Statický charakter: neobsahuje charakter náhodných proměnných 2) Charakterizujte pojmy: přípustné řešení, optimální řešení, alternativní řešení, suboptimální řešení v kontextu modelů lineárního programování. Přípustné řešení= jakékoli řešení, které splnuje všechny omezující podmínky (ale nemusí být tím nejlepším řešením) Optimální řešení= Řešení, které nejlépe vyhovuje zadanému cíli. Je to takové řešení, kterým přechodem na jiné přípustné řešení už není možné zvýšit hodnotu účelové fce, může být jediné nebo alternativní = přípustné řešení, které maximalizuje nebo minimalizuje účelovou funkci Alternativní řešení= V případě, že úloha LP nemá jednoznačné řešení, ale má jich nekonečně mnoho, jedná se o alternativní řešení = když je alespoň jeden z koeficientů u nezákladních proměnných roven nule Nebázické řešení= takové řešení, kdy se za nebazické proměnné položí určité hodnoty a získají se konkrétní hodnoty i pro bazické proměnné. Nevím přesně co po nás chtějí tím jak se bazické řešení reprezentuje graficky, ale v grafu jsou bazickým řešením, podle mě, ty proměnné, které vyšly jako optimální řešení 4) Co je to degenerované řešení modelu lineárního programování? Jak se degenerované řešení reprezentuje graficky? Degenerované řešení= takové řešení, kde alespoň jedna z bazických proměnných má nulovou hodnotu. Takové řešení obsahuje více než n-m nulových složek Pokud je počet nenulových položek menší než počet nezávislých rovnic 5) K čemu slouží základní věty lineárního programování? Jaké mají důsledky pro hledání optimálního řešení modelu LP? Základní věty LP: Optimální řešení úlohy LP leží vždy na hranici množiny přípustných řešení. Má-li úloha LP přípustné řešení, má i přípustné bázické řešení. Má-li úloha LP optimální řešení, má i optimální bázické řešení. Má-li úloha LP více než jedno optimální bázické řešení, je optimálním řešením i jejich lineární konvexní kombinace Suboptimální (nepřesné) řešení= není optimální, ale hodnota účelové funkce se optimu blíží Hodnota účelové funkce se vždy zhorší=> při maximalizaci se zmenší, při minimalizaci se zvětší 3) Co je to bázické a nebázické řešení modelu lineárního programování? Jak se bázické řešení reprezentuje graficky? Bázické (základní) řešení= vektorový prostor Takové řešení, kdy všechny nebázické proměnné jsou rovny 0 a hodnoty bazických proměnných jsou pak jednoznačně určeny ze soustavy Takové řešení, ve kterém nejvýše m proměnných nabývá kladné hodnoty. Tyto proměnné označujeme bazické. V matici soustavy jim přísluší jednotkové vektory a nabývají hodnot odpovídající složky vektoru pravých stran vektor, jehož nenulové složky odpovídají bazickým vektorům=> nebazické jsou tedy rovny 0 Má-li úloha LP přípustné řešení, má i přípustné bázické řešení. Má-li úloha LP optimální řešení, má i optimální bázické řešení. Má-li úloha LP více než jedno optimální bázické řešení, je optimálním řešením i jejich lineární konvexní kombinace. - 35 - - 36 -

6) Uveďte 4 možné výsledky řešení modelů lineárního programování a znázorněte je graficky v prostoru požadavků. Téma 3: Simplexový algoritmus 1) Uveďte dvě základní podmínky pro aplikovatelnost simplexového algoritmu. Jaký je jejich význam, proč je jejich splnění nutné? Nezápornost složek vektoru pravých stran (b) o stačí zkontrolovat o pokud není splněna, lze příslušné omezující podmínky vynásobit hodnotou (-1). Matice soustavy v kanonickém tvaru o krok 1: rovnicový tvar modelu o krok 2: kanonický tvar modelu 2) Popište postup převodu modelu z nerovnicového do rovnicového tvaru. Proč tento krok při řešení modelu lineárního programování provádíme? 1) Model nemá přípustné řešení (MINIMALIZAČNÍ ÚLOHA) 2) Model má právě jedno optimální řešení (MINIMALIZAČNÍ ÚLOHA) 3) Alternativní optimální řešení (MINIMALIZAČNÍ ÚLOHA) 4) Model má přípustné řešení, ale hodnota účelové funkce může neomezeně růst nebo klesat (MAXIMALIZAČNÍ ÚLOHA) 7) Uveďte, jak v prostoru požadavků určíte přípustné řešení modelu lineárního programování a jak vyberete řešení optimální. Dokumentujte rovněž graficky. Pokud jde o MIN. nákladů Hledám 2 proměnné x, které mi protnou přímku b V grafu je více přípustných řešení, například x4, x1 (podmínka protnutí přímky b je tu splněna), další přípustné řešení jsou znázorněny v grafu -> Jako přípustné řešení se nebere například x1,x3 (neprotínají přímku b) Pokud chci najít optimální řešení pro MIN., musím najít proměnné x, které jsou nejdále od 0 => v tomto grafu to je X2,X3 Optimálním řešením může být ale také jen jedna z proměnných - 37 - Při řešení úlohy LP vždy nejprve získáme výchozí základní přípustné řešení. K tomu je potřeba mít omezující podmínky úlohy ve tvaru soustavy lineárních rovnic v kanonickém tvaru. Jelikož omezující podmínky v úloze LP bývají zpravidla ve tvaru nerovnic, je prvním krokem převod této soustavy lineárních nerovnic (SLN) na soustavu lineárních rovnic (SLR) Matice soustavy musí obsahovat jednotkovou submatici, kterou tvoří koeficienty základních proměnných (kanonický tvar) Nerovnice vyrovnáme na rovnice K tomu potřebujeme: doplňkové proměnné o značíme d, indexujeme číslem omezující podmínky o nahrazují,,a = o v účelové funkci ohodnocujeme 0 sazbou o požadujeme jejich nezápornost Přidáváme do omezujících podmínek o kapacitních s kladným znaménkem (rezerva); o požadavkových se záporným znaménkem (překročení požadavku) - 38 -

PŘ: X1+x2+x3 100 X1 20 5x1+4x2+x3 300 Z (max)= 8x1+6x2+x3 Převod: X1+x2+x3+d1=100 X1+d2=20 5x1+4x2+x3+d3=300 Z(max)= 8x1+6x2+x3+0d1+0d2+0d3 3) Popište postup převodu modelu z rovnicového do kanonického tvaru. Proč tento krok při řešení modelu lineárního programování provádíme? - provádíme, protože jednou z podmínek pro aplikaci simplexového algoritmu je, že matice soustavy musí být v kanonickém tvaru (tvoří koeficienty základních proměnných), abychom mohli využít Jordanovu eliminační metodu. Nerovnice vyrovnáme na rovnice (doplňkové proměnné) Zajistíme úplnou jednotkovou submatici Pomocí pomocných proměnných o indexujeme číslem omezující podmínky o v účelové funkci ohodnocujeme nevýhodnou (prohibitivní) sazbou o požadujeme jejich nezápornost 4) Uveďte a stručně popište typy proměnných v modelech lineárního programování. Ke každému typu proměnných uveďte příklad interpretace Typy: o o o x strukturní proměnné Udávají úroveň jednotlivých procesů modelu (objem výroby obou druhů směsí) d doplňkové proměnné doplňková proměnná má ekonomickou interpretaci Udávají rozdíl mezi pravou a levou stranou omezujících podmínek (nevyužitá kapacita surovin) rezerva, zbylé peníze p pomocné proměnné Přidává se do požadavkových omezujících podmínek Vždy s kladným znaménkem Interpretace: kolik jednotek zbývá do splnění omezení 5) Uveďte a stručně popište typy omezujících podmínek v modelech lineárního programování. Ke každému typu uveďte příklad použití Exogenní (vnější) vazby systému a) určení =. Pěstuji pšenici, ječmen a žito, a chci aby celková rozloha byla právě 140 ha => x1+x2+x3=140 b) kapacitní ; omezení maximální kapacity (skladu, materiálu, času, ) c) požadavkové ; omezení minimálních požadavků kladených na model (minimální množství výrobků, které je potřeba vyrobit) Endogenní (vnitřní) vazby systému a) Bilanční x1 + x2 x3 = 0 o Vyrovnaná bilance o Bilance s neúplným krytím o Bilance s přebytkem b) Poměrové Fi/ Fk c) Poměrově přípustkové delta / delta 6) Prezentujte obecnou simplexovou tabulku. Jaké informace simplexová tabulka poskytuje? Koeficienty strukturních a doplňkových proměnných zapíšeme do vstupní simplexové tabulky První sloupec tabulky obsahuje proměnné, které jsou v bázi (struktura báze). V bázi jsou proměnné, jejichž vektory tvoří jednotkovou matici Hodnoty bazických proměnných zjistíme v posledním sloupci tabulky (b - vektor pravých stran). Poslední řádek tabulky (indexní řádek označený písmenkem Z)obsahuje anulovanou rovnici účelové funkce 7) Popište účel, princip a postup provedení testu optimality v simplexové tabulce TEST OPTIMALITY: jestli právě tyto bazické proměnné jsou optimálním řešením Počítáme skalární součin Zj-Cj(cena) Pod jednotkovým vektorem musí vyjít 0 Aby výsledek byl optimální, musí vyjít čísla v indexovém řádku=> Pro MAX.-> kladné, pro MIN. -> záporné PRO MAX. PRO MIN. KLADNÉ ZÁPORNÉ Ale jelikož většinou optima nevyjde, musím počítat dál (určím si klíčový sloupec a vypočítám test přípustnosti=> klíčový řádek, přechod na nové řešení atd.) - 39 - - 40 -

8) Popište účel, princip a postup provedení testu přípustnosti v simplexové tabulce cílem je získat nové bázické řešení, které i nadále bude splnovat podmínky pro aplikaci simplexového algoritmu Proměnná, která je nadepsána v záhlaví klíčového sloupce se stane v dalším kroku základní, tedy vstoupí do báze Ten řádek, kde vyjde podíl nejnižší, označíme jako klíčový řádek Proměnná v řádku, ke kterému přísluší nejnižší podíl z báze vystoupí. Úpravami musíme dostat do klíčového pole 1 a nad a pod něj 0, pomocí Gauss- Jordanovy eliminační metody. Klíčový pole= Pivot> číslo které mi protne klíčový sloupec a řádek Téma 4: Interpretace výsledku, dualita 1) Uveďte způsob, jak v simplexové tabulce identifikujete bázické a nebázické proměnné. Rovněž uveďte, jak určíte hodnoty všech proměnných v daném bázickém řešení. - Bázické proměnné: jejich sloupec v matici soustavy je tvořen jednotkovým vektorem, v prvním levém sloupci se nachází vektor cen proměnných, které jsou v bázi a v druhém sloupci se nachází názvy těchto bázických proměnných - Nebázické proměnné: (ty ostatní, netvoří bázi, neobsahují jednotkový vektor) nebo-li parametry, pokládáme je rovny nule (jejich hodnotu), bázické proměnné proto nabývají hodnot vektoru pravých stran. 2) Co je to matice báze a inverzní matice báze v modelech lineárního programování? Jak tyto matice určíme a jaký je jejich význam? Matice báze - značíme ji B, jednotkové vektory ve výsledné tabulce, zapsané jak byly v původní výchozí tabulce Inverzní matice báze - značíme B-1, základ pro všechny postoptmalizační úvahy - její význam spočívá v tom, že umožnuje spočítat výslednou tabulku z výchozí v jednom kroku (kdybychom např. potřebovali něco upravit, nemusíme počítat odzačátku) - zjistíme ji z výsledné tabulky na místech, kde ve výchozí tabulce byly jednotkové vektory 3) Co jsou to duální ceny proměnných? Jak je určíme a interpretujeme? - najdeme je na kriteriálním řádku Zj-Cj, vyjadřují nevýhodnost nebazických proměnných - určují jak se změní hodnota účelové funkce, když do řešení zařadíme danou proměnnou na jednotkové úrovni - duální cena proměnné např. X1= 2 znamená to, že kdybychom do řešení zařadili proměnnou X1 na jednotkové úrovni, hodnota účelové funkce by se zhoršila o 2 miliony korun - 41-4) Určete obsah vektoru bázického řešení a vektoru obecného řešení modelu lineárního programování. Uveďte příklady obou vektorů. Zápis vektorem bázického řešení - např. XB = (0,0,b1,0,b2,b3), obsahuje všechny proměnné jak jdou za sebou od X1,X2, Xn, přes d1,d2.dn až po p1, p2.pn, s tím že všechny nebázické proměnné zapisujeme s jejich nulovou hodnotou a bázické s hodnotou vektoru pravých stran b Zápis vektorem obecného řešení - pomocí něj přepisujeme výsledek do podoby parametrického řešení, jednotlivé proměnné (parametry) zapisujeme přímo nýzvy a bázické proměnné vyjadřujeme pomocí proměnných nebázických 5) Co je to dualita modelů lineárního programování? Uveďte alespoň jeden příklad, kdy nám teorie duality výrazně zjednodušuje řešení úlohy. - dualita je vztah mezi dvěma vektorovými prostory. V případě úloh LP se dualita projevuje tak, že ke každému modelu LP se dá přiřadit jeho duální verze, která má tytéž parametry, jako původní model, ale s jinou interpretací. - duality se využívá zejména při analýze výsledků, kdy tvz. duální ceny poskytují důležité informace pro rozhodování - princip: otočení úhlu pohledu o 90 - matice koeficientu A v primárním modelu a matice AT v duálním (transponovaná matice- řádky jsou sloupce, sloupce řádky) - vektor pravých stran b v primárním modelu a vektor cen b v duálním modelu - vektor cen c v primárním modelu a vektor pravých stran c v duálním modelu 6) Popište vztahy mezi prvky duálně sdružených úloh. - primární úloha má optimální řešení X0 právě tehdy, když má duální úloha optimální řešení Y0 - Pro dvojici duálně sdružených úloh platí buď: 1. obě úlohy mají přípustné řešení, pak mají i optimální řešení 2. jedna z úloh přípustné řešení nemá, pak druhá nemá optimální řešení (bud také nemá přípustné řešení nebo má neomezenou účelovou funkci) 7) Co říká základní věta o dualitě? Jaký je její význam? Má-li jedna z dvojice sdružených úloh optimální řešení, má optimální řešení i úloha druhá a optimální hodnoty obou účelových funkcí jsou stejné. Může-li hodnota účelové funkce jednoho se sdružených problému růst nebo klesat neomezeně, pak druhý problém nemá přípustné řešení. Pro dvojici duálně sdružených úloh platí buď: 1. obě úlohy mají přípustné řešení, pak mají I optimální řešení 2. jedna z úloh přípustné řešení nemá, pak druhá nemá optimální řešení (bud také nemá přípustné řešení nebo má neomezenou účelovou funkci) - význam: v důsledku vět o dualitě stačí vyřešit pouze jednu z duálně sdružených úloh, protože řešení druhé úlohy lze z tohoto řešení odvodit - 42 -

V duálním modelu je třeba do omezujících podmínek přidat pomocné proměnné, aby matice soustavy byla v kanonickém tvaru. V optimálním řešení jsou pomocné proměnné mimo bázi. Téma 5 a 6: Postoptimalizační analýza, praktické aplikace 1) Uveďte postup stanovení nebázického řešení modelu LP. Jak určíte maximální hodnotu, kterou může nebázická proměnná nabýt? Co víte o optimálnosti nebázických řešení? - hodnota nebázické proměnné v bázickém řešení je rovna nule, zajímá nás na jaké maximální úrovni můžeme nebázickou proměnnou do řešení zařadit, aby řešení zůstalo přípustné, to je aby všechny hodnoty vektoru pravých stran zůstaly nezáporné mluvíme o intervalu přípustných hodnot nebázické proměnné - Dolní mez tohoto intervalu je kvůli podmínkám nezápornosti rovna nule, abychom zjistili horní mez využijeme testu přípustnosti, při zařazování výhodné proměnné do báze tento test určuje maximální přípustnou hodnotu této proměnné - vyčíslení vlivu této proměnné: vynásobíme hodnotou zařazované proměnné příslušný sloupec v simplexové tabulce a výslednou hodnotou opravíme hodnoty bázických proměnných - změnu hodnoty účelové funkce určíme jako záporný součin hodnoty zařazované proměnné a její duální ceny - kdybychom zařazovali nebázickou doplnkovou proměnnou měníme jeden z původních parametrů modelu, maximální hodnota této proměnné je minimum z podílu sloupce proměnné a vektoru b - zhoršují hodnotu účelové funkce Př. Chceme zařadit proměnnou x3 (investování do TV) -zjistíme maximální hodnotu (interval) od 0 do hodnoty testu přípustnosti -test přípustnosti pro proměnnou x3 vydělíme jednotlivé koeficienty vektoru pravých stran b s koeficienty pod danou proměnnou. Z podílů vybereme minimum. Chceme zařadit hodnotu x3= 2 mil. Kč -změní se nám hodnoty pravých stran -postup: musíme koeficienty pod x3 vynásobit 2 a pak převést na opačnou stranu (tzn.změnit znaménko), poté odečteme od sloupce pravých stran (b) již vynásobené koeficienty pro x3 Chceme do řešení zařadit proměnnou d1 a vytvořit tedy suboptimální řešení, zařadím např. d1=3 -musím dát pozor z jaké podmínky čerpán proměnnou a změním koeficient pravé strany (př. Měla jsem x1 + x2 + x3 + d1 = 11 pravá strana nebude 11 ale 8), teď musím zjistit zda je tato změna přípustná -provedu test přípustnosti pro sloupec d1, pokud je vybrané minimum z podílů větší než hodnota zařazované d1 změna by nebyla přípustná -u doplňkových se ale dá jít i na druhou stranu tedy spočítat d1 = -3 2) Bylo rozhodnuto zařadit do optimálního řešení nový proces (nebázickou strukturní proměnnou). Popište postup, jak určíte vliv této změny na další parametry modelu (hodnoty bázických proměnných a účelové funkce). - přidáme další aktivitu do výsledného řešení a rozšíříme si spektrum realizovaných aktivit - určíme maximální hodnotu zařazované proměnné, tak že provedeme test přípustnosti pro příslušný sloupec z těchto podílů vybereme minimum to je maximální hodnota proměnné, kterou můžeme do báze zařadit, aby zůstala danná báze přípustná - vyčíslení vlivu této proměnné: vynásobíme hodnotou zařazované proměnné příslušný sloupec v simplexové tabulce a výslednou hodnotou opravíme hodnoty bázických proměnných - změnu hodnoty účelové funkce určíme jako záporný součin hodnoty zařazované proměnné a její duální ceny 3) Po provedené optimalizaci modelu LP došlo ke změně kapacity jednoho zdroje. Popište postup, jak určíte vliv této změny na další parametry modelu (hodnoty bázických proměnných a účelové funkce). - Postoptimalizační úvahy Tvorba nebazického řešení Maximální hodnota nebazické proměnné Analýza stability báze vzhledem ke složkám vektoru pravých stran Analýza citlivosti řešení vzhledem ke změnám cenových koeficientů Nebazických proměnných; Bazických proměnných 4) K čemu slouží analýza stability báze vzhledem ke složkám vektoru pravých stran? Popište rámcově způsob jejího provedení. - zkoumáme pro jednu konkrétní složku bi - zkoumáme jak je možné složku bi měnit aby výsledné řešení zůstalo přípustné Interval stability pravých stran Pro jednu konkrétní složku b i Cílem je, aby výsledné řešení zůstalo přípustné Vyjádříme parametricky jako b i + λ Musí platit B -1 b 0 Hledáme přípustné hodnoty parametru λ Ekvivalentně: Dolní mez změny- test přípustnosti pro i-tý sloupec matice B -1 pro kladné hodnoty; Horní mez změny- test přípustnosti pro i-tý sloupec matice B -1 pro záporné hodnoty Najdeme ve sloupci všechny prvky kde jsou záporné hodnoty a pro ně provedeme test přípustnosti s tím, že příimáme hodnotu z těchto podílů, kde je absolutní hodnota minimální Př. Interval stability pravých stran: zkoumáme pro jednu konkrétní složku sloupce b -danou měřenou složku sloupce b si vyjádříme parametricky jako Bi + λ - 43 - - 44 -

Např. si vybereme první složku vektoru pravých stran B1= 11 Ptáme se v jakém intervalu se může pohybovat, aby řešení zůstalo přípustné v téže bázi (ve vektoru pravých stran nebylo záporné číslo) Vyjádříme si hodnotu parametricky 11 +λ Inverzní matice původní vektor b 2-1 -0,5 11+λ 0 B -1 = 2 0-0,5 x(krát) 2 >= 0-1 0 0,5 30 0 -uděláme test přípustnosti pro první sloupec inverzní matice jelikož jsme si vybrali 1.složku z vektoru b -provedeme tedy podíl koeficient z vektoru pravých stran (z výsledku) děleno 1.sloupec inverzní matice výsledkem je lambda dolní mez v intervalu. Vyjde nám číslo např. 5, což znamená že první složku vektoru pravých stran můžeme snížit maximálně o pět -dále provádíme znovu test přípustnosti ale jen pro záporné prvky výsledkem je číslo, složku pravých stran můžeme zvýšit maximálně o jeho hodnotu 5) K čemu slouží analýza citlivosti řešení vzhledem ke změnám cenových koeficientů? Popište rámcově způsob jejího provedení, rozlište postup pro bázické a nebázické proměnné. Interval stability cen Pro jednu konkrétní složku c i Cílem je, aby výsledné řešení zůstalo optimální Vyjádříme parametricky jako c i +v Hledáme přípustné hodnoty parametru v, aby platil test optimality Pro nebazickou proměnnou- zhoršení neomezené, zlepšení nejvýše o hodnotu testu optima (v řádku Zj-Cj) Pro bazickou proměnnou- podle poměrů testu optimality a hodnot v řádku bazické proměnné. Jedná se o podíl duální ceny dané proměnné v řádku Zj-Cj a jejích koeficientem MAX= (Zj-Cj)/ αij >0 snížení MIN= (Zj-Cj) / αij <0 snížení <0 zvýšení >0 zvýšení Př. Zařazujeme bazickou x1= 6 (ocenění) Max-provedeme podíl pro dolní mez v pro kladné hodnoty a řekne nám o kolik maximálně můžeme snížit dolní mez (vybíráme maximum) -podíl pro záporné hodnoty o kolik můžeme jít max. nahoru (vybíráme minimum) Min- dolní mez podíl pro záporné hodnoty, vybíráme maximum -horní mez podíl pro kladné hodnoty, vybíráme minimum 6) Uveďte a stručně popište podstatu úlohy o výrobním programu a směšovací úlohy jako praktické aplikace modelu LP. 1. Výrobní program v případě, že jsou zdroje pro výrobu omezené pak je potřeba vědět jak zdroje optimálním způsobem přidělit jednotlivým výrobkům tak aby celkové množství (zisk) byl maximální, nebo minimalizace nákladů (v zemědělství typické osevní postupy) 2. Směšovací úlohy chceme optimálním způsobem dosáhnout smíchání nějakých komponent, tak abychom dostali výsledný produkt s požadovanými vlastnostmi a celý směsný plán byl co nejlevnější Směšovací úlohy -také nutriční, výživové apod. -cílem je najít optimální směs produktů různých vlastností a cen Krmné dávky Dietní přípravky pro lidskou výživu Surové ropné produkty pro různé druhy prodávaných paliv Složky barev 7) Uveďte a stručně popište podstatu úlohy o řezných plánech a plánování směn jako praktické aplikace modelu LP. 1. Řezné plány obecně úlohy o dělení, chceme získat počet nějakých přířezů z předem daného polotovaru. Kritérium je minimalizace spotřebovaného materiálu, minimalizace odpadu, který vzniká při dělení (řezání) ocele, kůže apod. z plátu, desky, tyče, roury apod. 2. Plánování směn minimalizace počtu pracovníků ve směnách při dodržení požadavků v jednotlivých hodinách a umožnení odpracovat nepřerušovanou směnu. Řezné plány Obecně: úlohy o dělení Hledání racionálního způsobu dělení Dodržení podmínek- počet kusů apod. Kritérium Minimalizace spotřebovaného materiálu Minimalizace odpadu, který vzniká při dělení (řezání) ocele, kůže apod., z plátu, desky, tyče, roury apod. základního materiálu Příklad: Řezný plán Ze základního materiálu- tyče 50 cm se má zhotovit alespoň: 350 kusů 20 cm dílů 180 kusů 10 cm dílů 220 kusů 5 cm dílů Cílem je minimalizovat počet použitých tyčí. Směnové rozvrhy Minimalizace počtu pracovníků na směnách Při dodržení požadavků v jednotlivých hodinách a Umožnění odpracovat nepřerušovanou směnu Optimalizace směn pro průvodčí Průvodčí pracují 8 hodin nepřetržitě a mohou zahajovat směnu v 0, 4, 8, 12, 16, 20 hodin. V jednotlivých časových úsecích je třeba dodržet požadavky na počet průvodčích ve službě. Rozhodněte, kolik osob má nastupovat do služby v jednotlivých hodinách, aby celkový počet pracovníků byl minimální. - 45 - - 46 -

7. Dopravní a přiřazovací úlohy. Okružní dopravní problém. x i1 + x i2 + + x in a i i = 1, 2,, m omezení kapacit dodavatelů Ekonomicko matematické metody I. Jednostupňová dopravní úloha x 1j + x 2j + + x mj b j j = 1, 2,, n zajištění požadavků odběratelů Vybrané aplikace Mezipodniková doprava o existuje více dodavatelů identického produktu; o existuje více odběratelů identického produktu. Vnitropodniková doprava o svoz homogenní produkce do skladů; o rozvoz homogenních zdrojů do výroby; o apod. Model JDÚ Cíl: nalézt co nejvýhodnější plán přepravy Obvykle minimalizace nákladů Přeprava substrátu od více dodavatelů k více odběratelům Předpoklad homogenity substrátu Komponenty modelu Dodavatelé o nabízejí předmět přepravy; o maximální kapacity. Odběratelé o poptávají předmět přepravy; o minimální požadavky. Dopravní trasy o slouží k dopravě přepravovaného substrátu; o ohodnoceny nákladovými sazbami přepravy; o nelze přepravovat záporné množství; o některé mohou být uzavřené. Účelová funkce o minimalizují se přepravní náklady; o součin přepravovaného množství a ceny za přepravu jedné jednotky. Matematický zápis modelu x ij množství přepravovaného produktu od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteli a i kapacita i-tého dodavatele b j požadavek j-tého odběratele c ij cena za přepravu jednotky produktu od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteli x ij 0 nezápornost přepravovaného množství z = c 11 x 11 + c 12 x 12 + + c mn x mn min. kritérium minimalizace celkových nákladů Uzavřená trasa prohibitivní sazba v účelové funkci Postup řešení JDÚ Vyvážení požadavků a kapacit Nalezení přípustného výchozího bázického řešení Testování optimality aktuálního řešení Není-li řešení optimální, přechod k novému přípustnému řešení, jinak konec Zpět k testu optimality, atd. Vyváženost systému Rovnost součtu kapacit dodavatelů a součtu požadavků spotřebitelů Převis na straně nabídky fiktivní odběratel Převis na straně poptávky fiktivní dodavatel Kapacita (požadavek) = rozdíl N a P Přepravní sazby = 0 Výchozí bázické řešení Přípustnost o díky vyváženosti zajištěna přirozeně Rozměr báze o počet podmínek = m + n; o lineární závislost soustavy OP snižuje rozměr báze o jednu proměnou, tj. na m + n - 1; o pozor na degenerované řešení. Metody pro nalezení bázického řešení o metoda severozápadního rohu; o indexová metoda; o Vogelova aproximační metoda. Nutné vědomosti Komponenty modelu Matematický zápis modelu Obecný postup řešení Pojem vyváženosti dopravního modelu Nalezení výchozího řešení o metoda severozápadního rohu; o metoda indexová; o Vogelova aproximační metoda. - 47 - - 48 -

Degenerace v dopravní úloze Počet obsazených polí je menší než m + n - 1 Dopad: nelze určit hodnoty všech duálních proměnných u i a v j Řešení: fiktivní obsazení některého z polí fiktivní hodnotou ε o ε hodnota limitně se blížící nule; o nelze na pole, která s již obsazenými vytváří uzavřený obvod. Test přípustnosti Dantzigovy uzavřené obvody Na nově obsazované pole přidáváme, na ostatních polích střídavě ubíráme a přidáváme Nikde nesmí být záporné množství, proto přesouváme minimum z polí, kde ubíráme Nesmíme rozhodit splnění omezujících podmínek, proto přičítáme (odčítáme) stejné množství Metoda MODI Založena na teorii duality Hledání duálně přípustného řešení Primární model x i1 + + x in = a i i = 1, 2,, m //u i x 1j + + x mj = b j j = 1, 2,, n //v j z = c 11 x 11 + c 12 x 12 + + c mn x mn MIN x ij 0 Duální model u i + v j c ij i = 1,, m, j = 1,, n z = a 1 u 1 + + a m u m + b 1 v 1 + + b n v n MAX u i, v j libovolné Řešení je optimální, pokud jsou splněna všechna omezení duálního modelu Test optimality postup Výpočet duálních hodnot u i a v j Ve vhodné řadě zvolíme u i nebo v j rovno nule Ve všech ostatních řadách dopočítáme u i a v j tak, aby pro všechna obsazená pole platilo, že u i + v j = c ij Řešení je optimální, pokud pro všechna neobsazená pole platí, že u i + v j c ij 0 Lze jen pro nedegenerované řešení! Interpretace výsledku Optimální přepravní plán o hodnoty proměnných; o hodnota účelová funkce. Analýza perspektivity tras o posouzení výhodnosti nebázických tras; o hodnoty u i + v j c ij. Analýza propustnosti tras o posouzení využitelnosti nebázických tras; o pomocí Dantzigových uzavřených obvodů. Dopravní úloha Cíl: nalézt co nejvýhodnější plán přepravy substrátu od primárních dodavatelů k finálním odběratelům Počet rozměrů úlohy o počet faktorů, o nichž rozhodujeme; o dvourozměrná pouze trasy (odkud kam); o třírozměrná trasy, vozidlo (odkud kam čím). Počet stupňů úlohy o počet dopravních uzlů na cestě od primárního dodavatele k finálnímu spotřebiteli. Dvoustupňová dopravní úloha První stupeň: primární dodavatelé mezisklady Druhý stupeň: mezisklady finální odběratelé - 49 - - 50 -

Dvoustupňová dopravní úloha Zakázané způsoby přepravy o mezi mezisklady navzájem; o od dodavatelů přímo k odběratelům; o řešení: prohibitivní sazby daným trasám. Řešení dvoustupňové dopravní úlohy Lze převést na jednostupňovou dopravní úlohu Mezisklady mají obě role o spotřebitelé v 1. stupni úlohy; o dodavatelé ve 2. stupni úlohy. Ceny tras o Dodavatelé mezisklady: reálné sazby; o Dodavatelé spotřebitelé: prohibitivní sazby; o Mezisklady mezisklady: na diagonále 0, jinak prohibitivní sazby; o Mezisklady spotřebitelé : reálné sazby. Optimální dimenzování meziskladů v programu Dumkosa Modifikace zadání DDÚ Přidělení dostatečně velkých kapacit všem meziskladům Nový propočet modelu Odečtení optimální velikosti všech meziskladů z výsledného řešení DUMKOSA výstupy Optimální řešení o ALT-0 existence alternativního řešení. o EPS optimální řešení je degenerované. - 51 - Perspektivita tras o Udává duální cenu příslušné proměnné. o Míra zhoršení hodnoty účelové funkce při realizaci nebázické proměnné na jednotkové úrovni. Propustnost tras o Udává maximální možné množství materiálu, které je možné převézt po dané trase, aniž by došlo k narušení primární přípustnosti řešení modelu. Další dopravní modely Vybrané aplikace Přiřazovací úlohy o jakékoliv přiřazení objektů v poměru 1:1; o rozvržení produkce do regionů, pracovníků na pracoviště, přidělení obslužných míst, apod. Okružní dopravní problém o problém listonoše; o problém obchodního cestujícího; o kurýrní služby; o trasy zájezdů cestovních kanceláří, apod. Přiřazovací problém Cíl: nalézt optimální přiřazení objektů v poměru 1:1 Komponenty modelu o dodavatelé (zdroj přiřazení), celkově m; o odběratelé (cíl přiřazení), celkově m; o matice sazeb nákladů přiřazení. Silně degenerovaná úloha Maďarská metoda Maďarská metoda Primární redukce o cílem je dostat alespoň jeden nulový prvek v každém řádku i sloupci matice sazeb; o od každé řady odečítáme hodnotu minimálního prvku. Výběr nezávislých nul, konstrukce krycích čar o nula je nezávislá, je-li jediná v řádku nebo sloupci; o krycí čáru vedeme přes řadu, která je kolmá na řadu nezávislé nuly. Test optimality o nezávislých nul = počet krycích čar = m, řešení je optimální. Sekundární redukce Je-li počet krycích čar menší než m o vybereme minimum z nepřeškrtnutých prvků; o toto minimum odečteme od nepřeškrtnutých polí; o 1x přeškrtnutá pole necháme beze změny; o 2x přeškrtnutá pole k těmto minimum přičteme. Zpět k výběru nezávislých nul - 52 -

Okružní dopravní problém (ODP) Cíl modelu: nalézt takovou hamiltonovskou kružnici v grafu, která bude z hlediska celkového ocenění nejvýhodnější. Komponenty modelu o navštěvovaná místa; o trasy mezi navštěvovanými místy; o ocenění tras, obvykle vzdáleností mezi místy. Klasifikace úloh ODP Jednookruhový ODP o klasický problém obchodního cestujícího. Víceokruhový ODP o vícenásobný problém obchodního cestujícího pevný počet okruhů; o trasovací problém kapacitní omezení rozvozu. Problém čínského listonoše o cílem je projít nikoliv všechny uzly, ale hrany. Kombinované problémy o s různým dodatečným kapacitním, požadavkovým nebo časovým omezením. Možnosti řešení ODP Neexistuje obecný algoritmus pro nalezení optimálního řešení jakéhokoliv ODP Pro malé úlohy: metoda hrubé síly Pro větší úlohy: aproximační metody o metody vytvářející řešení; se sekvenčním postupem; s paralelním postupem; o metody zlepšující řešení. Metoda nejbližšího souseda Stanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhu Přejde se k místu, které je nejbližší místu aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli) Postup se opakuje tak dlouho, dokud se nevrátíme do výchozího místa Prověřit všechna místa jako výchozí Vogelova aproximační metoda Výpočet diferencí mezi dvěma nejvýhodnějšími trasami v každém řádku i sloupci úlohy Výběr řady s maximální diferencí Výběr nejvýhodnější trasy z této řady a její zařazení do okruhu Aktualizace náčrtku Zákaz všech tras, které již není možno použít Návrat k bodu 1 Nestandardní situace Diference ve dvou nebo více řadách budou shodné o porovnáme obsazovaná pole a vybereme to s minimální sazbou. - 53 - Trasy mezi všemi místy nemusí existovat o lze vyřešit prohibitivní sazbou. Místo 1 Místo 2 Místo 3 dif. Místo 1 --- 19 22 6 Místo 2 7 --- 13 6 Místo 3 15 100 --- 3 dif. 6 5 1 Víceokruhový trasovací problém Nejčastější rozšíření úlohy o kapacitní podmínky Typický příklad: použití více dopravních prostředků pro rozvoz homogenního substrátu Nutno přidat nové vstupy: o požadavky navštěvovaných míst na dopravu substrátu; o kapacity vozidel zajišťujících dopravu. Cíle řešení: o nalezení co nejvýhodnějšího počtu okruhů; o nalezení co nejvýhodnějšího pořadí míst v jednotlivých okruzích; o vše s ohledem na minimalizaci celkových nákladů na přepravu. Mayerova metoda Nevyřeší problém úplně, pouze rozdělí místa do jednotlivých okruhů Algoritmus o vyber uzel nejvzdálenější od centra z dosud nezařazených a založ okruh; o k tomuto uzlu vyber nejbližší nezařazené místo a přidej ho do okruhu; o přidávej další místa, která jsou nejblíže jakémukoliv místu právě tvořeného okruhu, dokud stačí kapacita vozidla; o zpět k bodu 1. Pořadí míst v okruzích lze stanovit např. metodou VAM Studijní materiál č. 1 Jednostupňová dopravní úloha Aplikace: mezipodniková (existuje více dodavatelů/spotřebitelů) a vnitropodniková doprava Komponenty 1. dodavatelé, omezuji je maximální kapacity 2. odběratelé, omezeni minimálními požadavky 3. trasy (ohodnoceny např.vzdáleností) 4. účelová fce (minimalizuje náklady)= součin ceny za jednotku a množství přepravených jednotek Postup řešení: 1. Vyvážení systému (převis na straně nabídky=fiktivní odběratel/poptávky=dodavatel) 2. Nalezení výchozího bazického řešení - obsadíme m + n 1 políček 1. metoda Severozápadního rohu (SZR) 2. indexová metoda 3. Voglova aproximační metoda (VAM) - 54 -

3. Test optima - používá se modifikovaná distribuční metoda, která zajišťuje, že nalezené řešení je optimální; zij cij musí být nekladné, aby bylo řešení optimální 4. Postooptimalizační metody - uskutečňuje se graficky, přímo v dopravní tabulce pomocí Dantzigových uzavřených obvodů, zij cij > 0 při minimalizaci, zij cij < 0 při maximalizaci Metoda SZR funguje nezávisle na cenách, nalezne bazické řešení bez ohledu na výhodnost, ze severozápadního rohu postupně dosazujeme nejvyšší možnou hodnotu ze sloupce a řádku Indexová metoda hladová metoda=>přednostně vybírá políčka s výhodnějšími cenovými sazbami, fiktivní pole až na konec, začínáme od minimálních reálných sazeb (indexů-značí cenovou sazbu) a postupuji k poli s nejhorším indexem Voglova aproximační metoda obsazujeme políčka podle rozdílů mezi nejvýhodnějším a 2.nejvýhodnějším indexem v řádku a sloupci=> počítá aktuální hrozící ztráty, začínáme od pole s největším rozdílem a nejlepší sazbou, po každém dosazení přepočítávám diferenci Dantzingovy uzavřené obvody - Je to grafické schéma, které znázorňuje přesuny zboží mezi jednotlivými trasami v dopravním systému a zajišťuje přechod z jednoho bazického řešení k jinému. Je to lomená čára, která vychází z neobsazené buňky, lomí se v obsazených a končí v původní buňce. Buňky, ve kterých se obvod lomí, označujeme střídavě znaménky + a podle toho, zda příslušnou hodnotu xij k trase přidáváme nebo z trasy odebíráme. Aby nové řešení bylo bazické, tj. obsahovalo opěr m+n-1 kladných hodnot cij, volíme za přesunovanou hodnotu xij minimální z hodnot xij na rozích uzavřeného obvodu označených znaménkem -. Vícestupňová DÚ předpokládá nikoliv přímou přepravu, nýbrž mezisklady; jsou-li známy dopravní sazby mezi všemi stanicemi, vzniká otázka, jak rozvrhnout dopravu daného zboží od dodavatelů přes mezisklady ke spotřebitelům, aby celkové náklady za přepravu byly minimální Přiřazovací úlohy Úlohy s cílem přiřazení objektů v poměru 1:1 Aplikace: rozvržení produkce do regionů, pracovníků na pracoviště, přidělení obslužných míst, apod. Kompontenty 1. dodavatelé= zdroj přiřazení (budou přiřazováni) 2. odběratelé= cíl přiřazení (stejný počet jako dodavatelů) 3. matice sazeb= shrnuje náklady přiřazení Postup řešení Maďarská metoda: -pracuje pouze s maticí sazeb, kterou pomocí redukcí upravuje do podoby, kdy dokáže určit řešení 1. Primární redukce: cílem je získat alespoň jeden nulový prvek v každém řádku a sloupci (odečtením minima sloupce/řádku) 2. Výběr nezávislých nul: samostatná nula v řádku/sloupci => konstrukce krycích čar: kolmo na nezávislou nulu (tím zakážeme všechny ostatní nuly v daném sloupci/řákdu) 3. Test optimality: nezávislé nuly= počtu krycích čar= počtu dodavatelů/odběratelů 4. Sekundární redukce: neplatí li test optima 5. Výpočet účelové fce: sečtením původních hodnot matice v místech, kde po redukcích zůstaly nezávislé nuly - 55 - Okružní dopravní problém (=problém listonoše, nebo obchodního cestujícího) =potřebuji najít nejlepší způsob, kdy z jednoho místa vyjdu a obejdu předem stanovené cíle a vrátím se zpět do výchozího místa Aplikace: kurýrní služby, trasy cestovek Typy okružního dopravního problému Jednookruhový ODP klasický problém obchodního cestujícího Víceokruhový ODP vícenásobný problém obchodního cestujícího pevný počet kruhů, trasovací problém kapacitní omezení rozvozu, cílem je nalézt nejhodnější pořadí míst v jednotlivých okruzích s min. náklady Problém čínského listonoše cílem je projít nikoliv všechny uzly, ale hrany (cílem projít všechny ulice, ne přímo adresy) Kombinované problémy s různým dodatečným kapacitním, požadavkovým nebo časovým omezením Možnosti řešení: Neexistuje obecný algoritmus pro nalezení optima - pro malé úlohy= metoda hrubé síly (tzn.projdu všechny možnost a vyberu nejlepší) - pro velké= aproximační metody (metoda nejbližšího souseda, vogelova aproximační metoda) Vogelova metoda upravená pro okružní problém=> Zákaz všech tras, které již není možno použít Metody nejbližšího souseda, která je asi vůbec nejjednodušší metodou (Stanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhu. Přejde se k místu, které je nejbližší místu aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli). Postup se opakuje tak dlouho, dokud se nevrátíme do výchozího místa. Prověřit všechna místa jako výchozí.) Studijní materiál č. 2 Distribuční úlohy patří do skupiny úloh LP. Mezi ně zařazujeme jednoduché a dvoustupňové úlohy, přiřazovací úlohy.. JEDNOSTUPŇOVÁ DOPRAVNÍ ÚLOHA Je dáno m dodavatelů D1, D2, Dm a n spotřebitelů S1, S2,, Sn. Cílem úlohy je najít takový plán přepravy, při kterém budou celkové přepravní náklady minimální. Zabývá se uspořádáním přepravy stejnorodého materiálu od dodav. ke spotř. Dopravní tabulka S 1 S 2 S n a i D 1 C 11 C 12 C 1n a 1 D 2 C 21 C 22 C 2n a 2 D m C m1 C m2 C mn a m b j b 1 b 2 b n Platí di = sj - tj. tzv. vyváženost úlohy - 56 -

Postup řešení: 1. Nalezení výchozího bazického řešení obsadíme m + n 1 políček metoda Severozápadního rohu (SZR) Habrova frekvenční indexová metoda Voglova aproximační metoda (VAM) 2. Test optima používá se modifikovaná distribuční metoda (MODI), která zajišťuje, že nalezené řešení je optimální; zij cij musí být nekladné, aby bylo řešení optimální 3. Zlepšení řešení uskutečňuje se graficky, přímo v dopravní tabulce pomocí Dantzigových uzavřených obvodů zij cij > 0 při minimalizaci zij cij < 0 při maximalizaci Metoda SZR Dopravní tabulka má právě jeden severozápadní roh (buňku); obsadíme tuto buňku max. možným množstvím zboží xij a požadavek vypustíme z dalších úvah (vyškrtneme) V nově vzniklé tabulce opakujeme krok první. Algoritmus končí, když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. Indexová metoda V dopravní tabulce najdeme nejmenší cenu a buňku, která tuto cenu obsahuje, obsadíme max. množstvím zboží xij; dodavatele, resp. spotř. jehož kapacitu jsme vyčerpali, vyškrtneme z tabulky V nově vzniklé tabulce opakujeme krok 1 až do té doby, než jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. Voglova aproximační V každém řádku a v každém sloupci určíme rozdíly mezi dvěma nejvýhodnějšími cenami; nazveme je řádkové, resp. sloupcové diference. V řadě s největší diferencí se vyhledá buňka s nejvýhodnější cenou a obsadí se max. přípustným množstvím zboží xij. (vyškrtáváme postupně políčka) V nově vzniklé tabulce se opakuje krok 1. a 2, než jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. Nejvýhodnější cena nejmenší cena při minimalizaci největší cena při maximalizaci Habrova frekvenční Dopravní úloha je zadána prvky a,b,c a tyto vstupní informace jsou zapsány v dopravní úloze. Ke každé buňce DiSj spočteme Habrovy frekvence Fij, i=1,2,,m; j = 1,2,,n. Pomocí indexové metody se hledá výchozí řešení tak, že místo buňky s nejvýhodnější sazbou se obsazuje buňka s nejvýhodnější frekvencí. Algoritmus končí, když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. - 57 - Dantziguv test optimality v dopravní úloze musí platit: u i + v j = c ij, (i,j) náleží Z u i + v j < c ij, (i,j) nenáleží Z Dantzingovy uzavřené obvody Změnu báze provádíme v dopravní úloze pomocí grafického schématu v dopravní tabulce, který naznačuje, jak provést přesuny zboží po jednotlivých trasách, aby se vytížila trasa s nižšími přepravními náklady a přitom se nenarušily požadavky a kapacity spotřebitelů a dodavatelů Je to grafické schéma, které znázorňuje přesuny zboží mezi jednotlivými trasami v dopravním systému a zajišťuje přechod z jednoho bazického řešení k jinému. Je to lomená čára, která vychází z neobsazené buňky, lomí se v obsazených a končí v původní buňce. Buňky, ve kterých se obvod lomí, označujeme střídavě znaménky + a podle toho, zda příslušnou hodnotu xij k trase přidáváme nebo z trasy odebíráme. Aby nové řešení bylo bazické, tj. obsahovalo opěr m+n-1 kladných hodnot cij, volíme za přesunovanou hodnotu xij minimální z hodnot xij na rozích uzavřeného obvodu označených znaménkem -. Degenerace v dopravních úlohách a její odstraňování Říkáme, že řešení je degenerované, když počet kladných hodnot xij je menší než m + n 1. Když je počet kladných hodnot xij relativně mnohem menší, říkáme, že v řešení došlo k silné degeneraci. K degeneraci může dojít ve dvou případech a) Degenerace při konstrukci výchozího řešení vzniká, když při obsazování trasy zároveň vyčerpáme kapacitu dodavatele i zároveň uspokojíme požadavek spotřebitele => vyškrtáme z tabulky zároveň řádek i sloupec. Degeneraci odstraníme když u jednoho z nich, př. u dodavatele nepatrně zvýšíme jeho kapacitu, např. č. ε>0; číslo ε je tak malé, že z hlediska praxe nemá význam, ale z hlediska algoritmu způsobí, že dodavateli zůstane ještě ε jednotek zboží a tedy jej nemusíme vyškrtávat z tabulky. b) Degenerace při přesunech po Dantzigových uzavřených obvodech Vzniká tehdy, když v rozích označených zápornými znaménky jsou alespoň dvě stejné nejmenší hodnoty xij. Potom se vynulují dvě buňky místo jedné a tím se sníží počet obsazených tras v novém řešení pod počet m + n 1 ŔEŠENÍ NEVYVÁŽENÝCH DOPRAVNÍCH ÚLOH V tabulce se to projeví přidáním tzv. fiktivního dodavatele nebo přidáním tzv. fiktivního spotřebitele. Fiktivní dodavatel nebo fiktivní spotřebitel mají nulové sazby a jejich kapacita nebo požadavek e roven rozdílu mezi sumárním objemem požadavků a sumárním objemem kapacit. DVOUROZMĚRNÁ DOPRAVNÍ ÚLOHA (s meziskladem) V oblasti jsou Dodavatelé D1, D2,, Dm, kteří mají nějaký materiál v kapacitách a1, a2,, am. Tento materiál se má dopravit přes mezisklady M1, M2,, Mn o kapacitách b1, b2,, bn k finálním skladům S1, S2,, Sr, jejichž požadavky jsou p1, p2,, pr Aby měla úloha smysl, musí platit, že přísun materiálu, do kteréhokoliv meziskladu se rovná odsunu materiálu z tohoto meziskladu. - 58 -

- vícestupňová dopr. úloha (doprava s tranzitem předpokládá nikoliv přímou přepravu, nýbrž mezisklady; jsou-li známy dopravní sazby mezi všemi stanicemi vzniká otázka, jak rozvrhnout dopravu daného zboží od dodavatelů přes mezisklady ke spotřebitelům, aby celkové náklady za přepravu byly minimální) D dodává xij se sazbou cij do meziskladu a z meziskladu se dodává yjk za cenu cjk spotřebiteli. Σxij (přepravované zboží D MS) + xi (nevyužitá kap. D) = ai (kapacita D) Σxij (přepravované zboží D MS) + yj (nevyužitá kap. MS) = bj (kapacita MS) Σyjk (přepravované zboží MS S) + yj (nevyužitá kap. MS) = bj (kapacita MS) Σyjk (přepravované zboží MS S) = Pk (požadavky S) z = ΣΣc ij x ij + ΣΣc jk y jk Min - předpokládá se nevyvážená úloha a kapacity meziskladů by měly být největší - v případě vyvážené úlohy (D=MS=S) se úloha rozdělí na 2 jednostupňové a každá se vyřeší zvlášť 2stupňová úloha nevyvážená MS1 MS2 MSn D1 x 11 c 11 Dm x mn c mn am F fiktivní řádek nulová cena (nevyužití MS) - S1 y 11 P1 c 11 Sr y rn c rn Pr b1 b2 bn Počet obsazených polí (bázických proměnných) musí být : D + 2MS + S Počet všech proměnných: strukturní + doplňkové a) kapacity D > požadavky S počet strukturních proměnných: (D*MS)+(MS*S) počet doplňkových proměnných: (D + MS) M1 M2 M3 F 0 D1 D2 F 0 0 0 0 a1 0 0 b) kapacity D < požadavky S počet strukturních proměnných: (D*MS) + (MS*S) počet doplňkových proměnných: (MS + S) M1 M2 M3 F 0 S1 S2 S3 F 0 0 0 0 - všechny úlohy 2stupňové lze převést na 1stupňové (program DUMKOSA) - program sám dodá fiktivní řádek v případě S>D nebo fiktivní sloupec v případě D >S Postup: A) Konstrukce výchozího řešení Provádí se pomocí některé z aproximačních metod a to nejdříve pro dolní část tabulky a pak pro horní část tabulky B) Test optimality získáme pomocí vět o dualitě: je-li i-té řádkové omezení splněno jako ostrá nerovnost, tj. yi>0, položíme ui=0 je-li j-té políčko v i-tém řádku horní části tabulky obsazeno, ui + vj = cij je-li j-té sloupcové omezení splněno jeko ostrá nerovnost, tj. qj>0, vj = - vj je-li j-té políčko k-tého řádku dolní části tabulky obsazeno, vj + wk = cjk Splňují-li takto vypočtená duální čísla soustavu nerovností je řešení optimální. C) Přechod na lepší řešení Není-li splněna nerovnost (i) nebo (1), obsadíme příslušné pole ve fiktivním sloupci Fi Není-li splněna nerovnost (s), obsadíme příslušné pole ve fiktivním řádku Fj 0 0 0-59 - - 60 -

PŘIŘAZOVACÍ ÚLOHY jsou zvláštním případem dopravních úloh, rozdíly mezi dopravní úlohou a úlohou přiřazovací jsou následující: Kapacity ai i požadavky bj jsou jedničky Řešení obsahuje pouze m = n = 5 nenulových hodnot xij = 1, tj. je silně degenerované Postup řešení: 1. Redukce matice cen v každém řádku matice vybereme nejmenší prvek a odečteme jej od všech prvků v tomto řádku v každém sloupci řádkově redukované matice vybereme nejmenší prvek a odečteme jej od všech prvků tohoto sloupce 2. Výběr nezávislých nul nula v matici cen je silně nezávislá, je-li sama v řádku i sloupci matice nula v matici cen je slabě nezávislá, je-li sama pouze v řádku, nebo sama pouze v sloupci Nejprve vybereme silně nezávislou nulu; dáme ji do rámečku a řádek i sloupec matice, ve kterých leží, vyškrtneme. Hledáme další silně nezávislé nuly. Poté vybíráme slabě nezávislé nuly a jejich výběr končí, když z matice cen nelze vybrat žádnou slabě nezávislou nulu. 3. Kontrola správnosti výběru nezávislých nul Aplikujeme větu König-Egerváryho: Maximální počet nezávislých nul, které lze vybrat z redukované matice cen, je roven minimálnímu počtu čar, kterými lze pokrýt všechny nulové prvky v matici 4. Transformace redukované matice cen Vybereme nejmenší nepokrytý prvek odečteme jej od všech nepokrytých prvků přičteme jej ke všem dvakrát pokrytým prvky jednou pokryé ponecháme beze změny 5. Kroky 2, 3, 4 se opakují, dokud není nalezeno m nezávislých nul 6. Optimálního řešení bylo dosaženo, když bylo vybráno m nezávislých nul; umístění nezávislým nul udává optimální řešení úlohy v původní matici cen. Dopravní úlohy: Studijní materiál č. 3 Jednostupňová dopravní úloha: Dopravní úloha LP je úloha, kdy hledáme minimum (maximum) lineární funkce m n i= 1 j= 1 c ij x ij = z min = ai, xij = b j, xij 0, a to za podmínek:. Toto je dopravní úloha lineárního programování speciálně jednostupňová dopravní úloha. x ij Formulace dopravní úlohy: Je dáno m dodavatelů D 1, D 2,.D m a n spotřebitelů S 1, S 2, S n. Dodavatelé mají kapacity zboží a 1.a m a spotřebitelé mají požadavky na zboží o velikosti b 1.b n. Cena přepravy jednotky zboží mezi dodavatelem a spotřebitelem je rovna ceně c ij. Cílem úlohy je najít takový plán přepravy, při kterém budou celkové přepravní náklady minimální. Neznámá je značena x ij. Dopravní tabulka: Všechny informace popisující výše uvedený dopravní systém se zapisují do tzv. dopravní tabulky, v níž se provádí i vlastní výpočet DÚ. Musí platit, že součet kapacit dodavatelů se rovná součtu kapacit požadavků. Suma a i se rovná sumě b j. Do sloupce a i se zapisují kapacity dodavatelů. Do jednotlivých řádků se do pravého horního rohu zapisují hodnoty C ij (cena přepravy jednotky zboží mezi dodavatelem a spotřebitelem) a hledané hodnoty X ij (přepravovaná množství- je-li X ij = 0, hodnotu nezapisujeme). Řádek b j - řádek pro zápis součtu požadavků a spotřebitelů. Ve sloupci a i se uvádí kapacity jednotlivých dodavatelů. Musí platit, že součet kapacit dodavatelů se rovná součtu kapacit požadavků. Suma a i se rovná sumě b j. Pokud spotřebitelé požadují více, než je celk. kapacita dodavatelé, přidáme nový řádek, tzv. fiktivního dodavatele, který doplní požadavky spotřebitelů. Druhou část SOP formulujeme také jako nerovnici. - 61 - - 62 -

Princip řešení dopravní úlohy: Algoritmus řešení dopravní úlohy je typu step by step a spočívá v provádění tří základních kroků: 1) Konstrukce výchozího bazického nezáporného řešení Toto řešení obsahuje právě m+n-1 kladných složek v matici X; zbývající hodnoty x ij =0. 4 metody pro konstrukci výchozího řešení DÚ: - metoda severozápadního rohu (metoda SZR) - indexová metoda - Vogelova aproximační metoda (metoda VAM) - Habrova frekvenční metoda 2) Test optimality výchozího řešení Provádí se na podkladě vět o dualitě a spočívá ve zjištění rozdílů: z ij -c ij, které musí být nekladné, aby řešení X=(x ij ) bylo optimální (minimální). Jestliže je nějaký z těchto rozdílů kladný, můžeme příslušnou proměnnou xij zařadit do báze a hodnota účelové funkce se zlepší (sníží). 3) Přechod k lepšímu řešení, tj. změna báze Tehdy, když testované kritérium nebylo optimální. Zařazovanou proměnnou určuje maximální rozdíl z ij -c ij Změna báze se provádí pomocí Dantzingových uzavřených obvodů přímo v dopravní tabulce. Degenerace v DÚ: Vzniká v tom případě, kdy při řešení dopravní úlohy vyškrtneme zároveň řádek i sloupec, čímž se nám sníží počet kladných hodnot x ij a nemá již m+n-1 řešení. Degeneraci můžeme odstranit: - Degenerace při konstrukci výchozího řešení: když máme škrtnout zároveň dodavatele i spotřebitele v DÚ, pak u jednoho z nich mírně navýšíme kapacitu (ε), kdy toto číslo je tak malé, že z hlediska praxe nemá význam, ale způsobí, že vyškrtneme jen řádek či jen sloupec, čímž odstraníme degeneraci. - Degenerace při přesunech po Dantzingových uzavřených obvodech: Vzniká tehdy, když v rozích označených zápornými znaménky jsou alespoň dvě stejné nejmenší hodnoty x ij, pak se vynulují dvě buňky místo jedné, degeneraci odstraníme tak, že jednu buňku necháme vynulovanou a ve druhé opět navýšíme nepatrně kapacitu, čímž se zbavíme degenerace. Řešení nevyvážených dopravních úloh: Nevyvážená dopravní úloha se v praxi vyskytuje nejčastěji, spočívá v tom, že v ní není stejný počet součtu kapacit dodavatelů a součtu požadavků spotřebitelů. Tento problém se řeší přidáním fiktivního dodavatele či fiktivního spotřebitele tak, aby se sumy těchto kapacit a požadavků navzájem rovnaly. Fiktivnímu řádku či sloupci přiradíme hodnoty c ij rovny nule. Úlohu dále řešíme obvyklým způsobem. - 63 - Dvourozměrná dopravní úloha: Dvoustupňový dopravní model je složitější typ dopravního systému, v praxi se často používá. Obecně platí, že čím je rozsah dopravního systému větší, tím je řešení složitější. Používá se zejména v logistice. Dodavatelé D 1,..D m, kteří mají materiál v kapacitách a 1, a m, ten se má dopravit přes mezisklady M 1, M n o kapacitách b 1, b n k finálním skladům S 1, S r, jejichž požadavky jsou p 1, p r. Náklady na přepravu jednotky materiálu jsou konstantní a činí C ij při přepravě od dodavatele D i k meziskladu M j a d jk při přepravě z meziskladu M j k finálnímu skladu S k. Vzhledem k velikosti kapacit jednotlivých prvků systému nastávají tyto případy: 1) Platí-li Σa i =Σb j =Σp k, pak se jedná o úlohu vyváženou a tu můžeme řešit jako dvě nezávislé dopravní úlohy. 2) Je-li celková kapacita meziskladu menší než kapacita dodavatelů a požadavky spotřebitelů, řeší se dvě jednostupňové úlohy. 3) Je-li úloha nevyvážená tak, že kapacita meziskladů je největší, řešíme dopravní úlohu pomocí speciálního algoritmu. Předpokladem je, že: - požadavky spotřebitelů jsou menší než celkový objem finálních spotřebitelů, a proto po ukončení rozvozu zůstávají dodavatelům nevyčerpané kapacity, - kapacity meziskladů jsou větší než celkový objem kapacit dodavatelů i celkový objem kapacit finálních spotřebitelů a mají proto také nevyužité některé kapacity, - dále platí, že přísun materiálu do kteréhokoliv meziskladu se rovná odsunu z tohoto meziskladu. Minimalizace dopravních nákladů bude dosaženo, pokud se přepraví pouze nejmenší nutné množství materiálu, kterým je možno naplnit požadavky spotřebitelů. Matematický model: Každý dodavatel odevzdá nejvýše objem své kapacity. Každý mezisklad dostává nejvýše svůj požadavek. Každý mezisklad, který se stává dodavatelem pro finálního spotřebitele, odevzdá nejvýše svůj objem. Požadavky finálních skladů musí být plně uspokojeny. Převážená množství materiálu jsou nezáporná. Celkové náklady na přepravu musí být minimální. Tyto omezující podmínky obsahují nerovnice, které se upraví na rovnice pomocí doplňkových proměnných, které vyjadřují nevyužité kapacity dodavatelů a meziskladů. Jedná se o dvě jednostupňové modely dodavatel-mezisklad a mezisklad-spotřebitel. Jde o nesymetrickou dopravní úlohu. Řešení dvoustupňové úlohy: - Konstrukce výchozího řešení - Test optimality - Přechod na lepší řešení Kroky b) a c) se opakují dokud není nalezeno optimální řešení. - 64 -

Přiřazovací úloha: Jedná se o zvláštní případ dopravních úloh, které je možno formulovat jako dopravní úlohu nebo jako úlohu teorie grafů. Jde o nejjednodušší distribuční model o stejném počtu řádků a sloupců, u něhož se všechny okrajové hodnoty rovnají jednotce. Takovýto problém je několikanásobně degenerovaný. Byla vyvinuta tzv. maďarská metoda, která místo původní úlohy řeší úlohu se zredukovanou maticí sazeb a tím se značně urychlí řešení. Postup řešení úlohy: 1. redukce matice cen, 2. výběr nezávislých nul, 3. kontrola správnosti nezávislých nul, 4. transformace redukované matice cen, 5. kroky 2,3,4 se opakují, dokud není nalezeno m nezávislých nul, 6. optimální řešení bylo dosaženo, když bylo vybráno m nezávislých nul; umístění nezávislých nul udává optimální řešení úlohy v původní matici cen. Redukce matice cen spočívá ve 2 krocích a to řádkové a sloupcové redukci, výběr nezávislých nul spočívá v určení silně nezávislých nul, které jsou v řádku i sloupci samy a slabě nezávislých nul, které jsou buď ve sloupci nebo řádku samy. Vybereme nezávislé nuly a vyškrtáváme sloupce, či řádky nebo obojí dle síly nul, výběr končí, když už nelze vybrat ani žádnou slabě nezávislou nulu. Kontrola správnosti výběru nezávislých nul se provádí pomocí König-Egerváryho věty, kdy maximální počet nezávislých nul, které lze vybrat z redukované matice cen, je roven minimálnímu počtu čar, kterými lze pokrýt všechny nulové prvky v matici. Jde o tzv. krycí čáry. Redukci matice cen provádíme: vybereme nejmenší nepokrytý prvek a odečteme jej od všech nepokrytých prvků, přičteme jej ke všem dvakrát pokrytým a prvky jednou pokryté ponecháme bezezměny. Řešení obsahuje m=n nenulových hodnot x ij! Optimální řešení je tedy, jestliže máme m=n nezávislých nul a na místě těchto nul budou hodnoty x ij optimální řešení i v původní matici cen. Studijní materiál č. 4 Distribuční úlohy patří do skupiny úloh LP. Mezi ně zařazujeme jednoduché a dvoustupňové úlohy, přiřazovací úlohy JEDNOSTUŇOVÁ DOPRAVNÍ ÚLOHA APLIKACE: Mezipodniková doprava mezi DOD a ODB - (existuje více dodavatelů/spotřebitelů identického produktu) Vnitropodniková doprava - (svoz, rozvoz homogenních zdrojů do výroby) Cílem úlohy je najít takový plán přepravy, při kterém budou celkové přepravní náklady minimální. Je dáno m dodavatelů D1, D2, Dm a n spotřebitelů S1, S2,, Sn. Zabývá se uspořádáním přepravy stejnorodého materiálu od dodavatele ke spotřebiteli. - 65 - KOMPONENTY 1. Dodavatelé nabízejí předmět přepravy; omezuje je maximální kapacity shoda (nemůže dodat víc, než má) 2. Odběratelé poptávají předmět přepravy; omezeni minimálními požadavky - zdola 3. Trasy slouží k dopravě přepravy substrátu; nelze přepravovat záporné množství; 4. Účelová funkce minimalizuje přepravné náklady; součin ceny za jednotku a množství přepravených jednotek DOPRAVNÍ TABULKA Všechny informace popisující výše uvedený dopravní systém se zapisují do tzv. dopravní tabulky, v níž se provádí i vlastní výpočet DÚ. Do sloupce a i se zapisují kapacity dodavatelů. Do jednotlivých řádků se do pravého horního rohu zapisují hodnoty C ij (cena přepravy jednotky zboží mezi dodavatelem a spotřebitelem) a hledané hodnoty X ij (přepravovaná množství- je-li X ij = 0, hodnotu nezapisujeme). Řádek b j - řádek pro zápis součtu požadavků a spotřebitelů. Ve sloupci a i se uvádí kapacity jednotlivých dodavatelů. Musí platit, že součet kapacit dodavatelů se rovná součtu kapacit požadavků. Suma a i se rovná sumě b j. Pokud spotřebitelé požadují více, než je celk. kapacita dodavatelé, přidáme nový řádek, tzv. fiktivního dodavatele, který doplní požadavky spotřebitelů. Druhou část SOP formulujeme také jako nerovnici. POSTUP ŘEŠENÍ Algoritmus řešení dopravní úlohy je typu step by step a spočívá v provádění tří základních kroků: 1) Konstrukce výchozího bazického nezáporného řešení o Toto řešení obsahuje právě m+n-1 kladných složek v matici X; zbývající hodnoty x ij =0. o 4 metody pro konstrukci výchozího řešení DÚ: - Metoda severozápadního rohu (metoda SZR) - Indexová metoda - Vogelova aproximační metoda (metoda VAM) - Habrova frekvenční metoda 2) Test optimality výchozího řešení o Provádí se na podkladě vět o dualitě a spočívá ve zjištění rozdílů: z ij -c ij, které musí být nekladné, aby řešení X=(x ij ) bylo optimální (minimální). o Jestliže je nějaký z těchto rozdílů kladný, můžeme příslušnou proměnnou xij zařadit do báze a hodnota účelové funkce se zlepší (sníží). 3) Přechod k lepšímu řešení, tj. změna báze o Tehdy, když testované kritérium nebylo optimální. o Zařazovanou proměnnou určuje maximální rozdíl z ij -c ij o Uskutečňuje se graficky, přímo v dopravní tabulce pomocí Dantzigových uzavřených obvodů zij cij > 0 při minimalizaci zij cij < 0 při maximalizaci - 66 -

Dantziguv test optimality v dopravní úloze - musí platit: u i + v j = c ij, (i,j) náleží Z, u i + v j < c ij, (i,j) nenáleží Z Dantzingovy uzavřené obvody Změnu báze provádíme v dopravní úloze pomocí grafického schématu v dopravní tabulce, který naznačuje, jak provést přesuny zboží po jednotlivých trasách, aby se vytížila trasa s nižšími přepravními náklady a přitom se nenarušily požadavky a kapacity spotřebitelů a dodavatelů Je to grafické schéma, které znázorňuje přesuny zboží mezi jednotlivými trasami v dopravním systému a zajišťuje přechod z jednoho bazického řešení k jinému. Je to lomená čára, která vychází z neobsazené buňky, lomí se v obsazených a končí v původní buňce. Buňky, ve kterých se obvod lomí, označujeme střídavě znaménky + a podle toho, zda příslušnou hodnotu xij k trase přidáváme nebo z trasy odebíráme. Aby nové řešení bylo bazické, tj. obsahovalo opěr m+n-1 kladných hodnot cij, volíme za přesunovanou hodnotu xij minimální z hodnot xij na rozích uzavřeného obvodu označených znaménkem -. DEGENERACE V DÚ Vzniká v tom případě, kdy při řešení dopravní úlohy vyškrtneme zároveň řádek i sloupec, čímž se nám sníží počet kladných hodnot x ij a nemá již m+n-1 řešení. DEGENERACI MŮŽEME ODSTRANIT 1. Degenerace při konstrukci výchozího řešení: o Když máme škrtnout zároveň dodavatele i spotřebitele v DÚ, pak u jednoho z nich mírně navýšíme kapacitu (ε), kdy toto číslo je tak malé, že z hlediska praxe nemá význam, ale způsobí, že vyškrtneme jen řádek či jen sloupec, čímž odstraníme degeneraci. 2. Degenerace při přesunech po Dantzingových uzavřených obvodech: o Vzniká tehdy, když v rozích označených zápornými znaménky jsou alespoň dvě stejné nejmenší hodnoty x ij, pak se vynulují dvě buňky místo jedné, degeneraci odstraníme tak, že jednu buňku necháme vynulovanou a ve druhé opět navýšíme nepatrně kapacitu, čímž se zbavíme degenerace. ŘEŠENÍ NEVYVÁŽENÝCH DOPRAVNÍCH ÚLOH Nevyvážená dopravní úloha se v praxi vyskytuje nejčastěji, spočívá v tom, že v ní není stejný počet součtu kapacit dodavatelů a součtu požadavků spotřebitelů. Tento problém se řeší přidáním fiktivního dodavatele či fiktivního spotřebitele tak, aby se sumy těchto kapacit a požadavků navzájem rovnaly. Fiktivnímu řádku či sloupci přiradíme hodnoty c ij rovny nule. Úlohu dále řešíme obvyklým způsobem. ČTYŘI METODY 1. METODA SZR Dopravní tabulka má právě jeden severozápadní roh (buňku); Obsadíme tuto buňku max. možným množstvím zboží xij a požadavek vypustíme z dalších úvah (vyškrtneme). - 67 - V nově vzniklé tabulce opakujeme krok první. Algoritmus končí, když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. 2. INDEXOVÁ METODA V dopravní tabulce najdeme nejmenší cenu a buňku, která tuto cenu obsahuje, obsadíme max. množstvím zboží xij; dodavatele, resp. spotř. jehož kapacitu jsme vyčerpali, vyškrtneme z tabulky. V nově vzniklé tabulce opakujeme krok 1 až do té doby, než jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. Přednostně vybírá políčka s výhodnějšími cenovými sazbami, fiktivní pole až na konec, začínáme od minimálních reálných sazeb (indexů-značí cenovou sazbu) a postupuji k poli s nejhorším indexem 3. VOGLOVA APROXIMAČNÍ V každém řádku a v každém sloupci určíme rozdíly mezi dvěma nejvýhodnějšími cenami; nazveme je řádkové, resp. sloupcové diference. V řadě s největší diferencí se vyhledá buňka s nejvýhodnější cenou a obsadí se max. přípustným množstvím zboží xij. (vyškrtáváme postupně políčka). V nově vzniklé tabulce se opakuje krok 1. a 2, než jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. Obsazujeme políčka podle rozdílů mezi nejvýhodnějším a 2.nejvýhodnějším indexem v řádku a sloupci=> počítá aktuální hrozící ztráty, začínáme od pole s největším rozdílem a nejlepší sazbou, po každém dosazení přepočítávám diferenci Nejvýhodnější cena: nejmenší cena při minimalizaci, největší cena při maximalizaci 4. HABROVA FREKVENČNÍ Dopravní úloha je zadána prvky a,b,c a tyto vstupní informace jsou zapsány v dopravní úloze. Ke každé buňce DiSj spočteme Habrovy frekvence Fij, i=1,2,,m; j = 1,2,,n. Pomocí indexové metody se hledá výchozí řešení tak, že místo buňky s nejvýhodnější sazbou se obsazuje buňka s nejvýhodnější frekvencí. Algoritmus končí, když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. Dvourozměrná dopravní úloha (s meziskladem) V oblasti jsou Dodavatelé D1, D2,, Dm, kteří mají nějaký materiál v kapacitách a1, a2,, am. Tento materiál se má dopravit přes mezisklady M1, M2,, Mn o kapacitách b1, b2,, bn k finálním skladům S1, S2,, Sr, jejichž požadavky jsou p1, p2,, pr. Aby měla úloha smysl, musí platit, že přísun materiálu, do kteréhokoliv meziskladu se rovná odsunu materiálu z tohoto meziskladu. D dodává xij se sazbou cij do meziskladu a z meziskladu se dodává yjk za cenu cjk spotřebiteli. Σxij (přepravované zboží D MS) + xi (nevyužitá kap. D) = ai (kapacita D) Σxij (přepravované zboží D MS) + yj (nevyužitá kap. MS) = bj (kapacita MS) - 68 -

Σyjk (přepravované zboží MS S) + yj (nevyužitá kap. MS) = bj (kapacita MS) Σyjk (přepravované zboží MS S) = Pk (požadavky S) z = ΣΣc ij x ij + ΣΣc jk y jk Min Předpokládá se nevyvážená úloha a kapacity meziskladů by měly být největší. V případě vyvážené úlohy (D=MS=S) se úloha rozdělí na 2 jednostupňové a každá se vyřeší zvlášť PŘIŘAZOVACÍ ÚLOHY Jakékoliv přiřazení objektů v poměru 1:1; Rozvržení produkce do regionů, pracovníků na pracoviště, přidělení obslužných míst, apod. Jsou zvláštním případem dopravních úloh, rozdíly mezi dopravní úlohou a úlohou přiřazovací jsou následující: Kapacity ai i požadavky bj jsou jedničky Řešení obsahuje pouze m = n = 5 nenulových hodnot xij = 1, tj. je silně degenerované KOMPONENTY 1. dodavatelé= zdroj přiřazení (budou přiřazováni) 2. odběratelé= cíl přiřazení (stejný počet jako dodavatelů) 3. matice sazeb= shrnuje náklady přiřazení POSTUP ŘEŠENÍ 1. Redukce matice cen v každém řádku matice vybereme nejmenší prvek a odečteme jej od všech prvků v tomto řádku v každém sloupci řádkově redukované matice vybereme nejmenší prvek a odečteme jej od všech prvků tohoto sloupce 2. Výběr nezávislých nul nula v matici cen je silně nezávislá, je-li sama v řádku i sloupci matice nula v matici cen je slabě nezávislá, je-li sama pouze v řádku, nebo sama pouze v sloupci Nejprve vybereme silně nezávislou nulu; dáme ji do rámečku a řádek i sloupec matice, ve kterých leží, vyškrtneme. Hledáme další silně nezávislé nuly. Poté vybíráme slabě nezávislé nuly a jejich výběr končí, když z matice cen nelze vybrat žádnou slabě nezávislou nulu. 3. Kontrola správnosti výběru nezávislých nul Aplikujeme větu König-Egerváryho: o Maximální počet nezávislých nul, které lze vybrat z redukované matice cen, je roven minimálnímu počtu čar, kterými lze pokrýt všechny nulové prvky v matici 4. Transformace redukované matice cen Vybereme nejmenší nepokrytý prvek odečteme jej od všech nepokrytých prvků přičteme jej ke všem dvakrát pokrytým prvky jednou pokryté ponecháme beze změny 5. Kroky 2, 3, 4 se opakují, dokud není nalezeno m nezávislých nul 6. Optimálního řešení bylo dosaženo, když bylo vybráno m nezávislých nul; umístění nezávislým nul udává optimální řešení úlohy v původní matici cen. - 69 - OKRUŽNÍ PROBLÉM CÍL MODELU Cílem je najít posloupnost míst, ve které se každé místo vyskytuje právě jedenkrát (jen počáteční se objeví i na konci), tak aby součet vazeb byl minimální. Nalézt co nejlepší trasu, pomocí které navštívíme všechna požadovaná místa a nakonec se vrátíme zpět MOŽNOSTI ŘEŠENÍ Pro řešení neexistuje efektivní algoritmus, který by nalezl matematické optimum (počet omezujících podmínek roste exponenciálně s rostoucím počtem míst) používají se aproximační metody VAM pro okružní problém - upravená pro okružní problém=> Zákaz všech tras, které již není možno použít Mayerova metoda Metoda nejbližšího souseda - která je asi vůbec nejjednodušší metodou (Stanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhu. Přejde se k místu, které je nejbližší místu aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli). Postup se opakuje tak dlouho, dokud se nevrátíme do výchozího místa. Prověřit všechna místa jako výchozí.) Klasifikace úloh ODP - Jednookruhový ODP o klasický problém obchodního cestujícího - Víceokruhový ODP o vícenásobný problém obchodního cestujícího pevný počet okruhů; o trasovací problém kapacitní omezení rozvozu - Problém čínského listonoše o cílem je projít nikoliv všechny uzly, ale hrany - Kombinované problémy o s různým dodatečným kapacitním, požadavkovým nebo časovým omezením. Studijní materiál č. 5 Jednostupňová dopravní úloha (JDÚ): Slouží k nalezení nejvýhodnějšího plánu přepravy identického produktu (substrátu) mezi dodavateli (D 1, D 2,...) a spotřebiteli (S 1, S 2,...) s cílem ujetí co nejnižší celkové vzdálenosti, případně s co nejnižšími přepravními náklady. Praktické využití JDÚ je například ve vnitropodnikové dopravě, mezinárodní přepravě, atp. Komponenty modelu: Dodavatelé (Kapacity dodavatelů), spotřebitelé (Požadavky spotřebitelů), dopravní trasy (Ohodnocené například vzdálenostmi, nebo náladovými sazbami přepravy), účelová funkce (Minimalizační, počítá se jako součin přepravovaného množství a ceny za přepravu jedné jednotky) - 70 -

Metody sloužící k nalezení výchozího řešení: Metoda severozápadního rohu: Nalezne výchozí řešení bez ohledu na výhodnost, políčka vyplňujeme od severozápadního rohu. Indexová metoda: Políčka vyplňujeme od nejvýhodnějších cenových sazeb (vzdáleností), přičemž fiktivní trasy bereme až nakonec. Vogelova aproximační metoda: Bere v potaz aktuální hrozící ztráty. Políčka vyplňujeme podle největších řádkových i sloupcových diferencí (Rozdíl dvou nejmenších čísel v řádku i sloupci) z nichž se následně volí nejnižší sazba trasy. Dantzigův uzavřený obvod: Slouží k optimalizaci JDÚ pomocí metody MODI (Modifikovaná dopravní úloha) Dvoustupňová dopravní úloha: Nejedná se o přímou přepravu mezi dodavateli a spotřebiteli. Dvoustupňová dopravní úloha je doplněna ještě o mezisklady. V prvním stupni se jedná o přepravu mezi dodavateli a mezisklady a ve druhém stupni přepravy se jedná o přepravu z meziskladů ke spotřebiteli. Úloha o optimálním dimenzování meziskladů: Slouží k nastavení optimální kapacity meziskladů za účelem minimalizace celkové ujeté vzdálenosti. Přiřazovací úlohy (Maďarská metoda): Jedná se o silně degenerovanou úlohu s cílem přiřazení v poměru 1:1 a zároveň s cílem minimalizace například nákladů, sloužící například k rozvržení produkce do regionů, pracovníků na pracoviště, rozvržení zakázek mezi jednotlivé pracovníky, atp. Komponenty modelu: Dodavatelé, odběratelé, matice sazeb Okružní dopravní problém (ODP): Cílem je nalézt takovou Hamiltonovskou kružnici v grafu, která bude z hlediska celkového ocenění nejvýhodnější. (Snaží se nalézt nejkratší/nejlevnější způsob, kdy z výchozího místa se postupně navštíví všechna ostatní místa a nakonec se vrátí do výchozího bodu.) Komponenty modelu: Navštěvovaná místa, trasy mezi navštěvovanými místy, ocenění tras obvykle vzdálenostmi mezi místy. Metody ODP: Metoda nejbližšího souseda, Vogelova aproximační metoda v ODP (VAM), Mayerova metoda Praktické využití: Plánování trasy výletů nabízených cestovními kancelářemi, kurýrní služby. Typy ODP: Jednookruhový ODP: Klasický problém obchodního cestujícího - 71 - Víceokruhový ODP: Mayerova metoda - Vícenásobný problém obchodního cestujícího, kde je dán pevný počet okruhů a kapacitní omezení rozvozu. Nevyřeší problém úplně, pouze rozdělí místa do jednotlivých okruhů. Pro dořešení ODP by bylo třeba nalézt pořadí míst v daných okruzích například pomocí metody VAM, nebo metodou nejbližšího souseda. Problém čínského listonoše: Cílem je projít všechny hrany (ulice), nikoliv uzly (adresy) Kombinované problémy: S různým dodatečným kapacitním, požadavkovým, nebo časovým omezením Téma 7: Jednostupňová dopravní úloha I Studijní materiál č. 6 1) Uveďte podstatu a komponenty jednostupňové dopravní úlohy. - Cíl: nálezt co nejvýhodnější plán přepravy stejnorodého produktu od dodavatelů ke spotřebitelům - Obvykle minimalizace nákladů - Dopravní úloha je založena na faktu, že existuje více dodavatelů identického produktu. Dopravní úlohou řešíme jak co možno nejlépe provést přepravu mezi jednotlivými dodavateli a odběrateli. Komponenty: 1. Dodavatelé nabízejí předmět přepravy, maximální kapacity 2. Odběratelé poprtávají předmět přepravy, minimální požadavky 3. Dopravní trasy slouží k dopravě přepravovaného produktu, jsou ohodnoceny nákladovými sazbami přepravy, nelze přepravovat záporné množství, některé mohou být uzavřené 4. Účelová funkce minimalizují se přepravní náklady, součin přepravovaného množství a ceny za přepravu jedné jednotky 2) Co je to vyváženost modelu jednostupňové dopravní úlohy? Jak se provádí? Je to vyrovnání mezi kapacitami dodavatelů a požadavky odběratelů. Provádí se proto, aby všechny vztahy a omezující podmínky mohli být považovány za podmínky typu rovnice. Provádíme ji pomocí fiktivního sloupce nebo fiktivního řádku, které nám vlastně dopomáhají k tomu, aby se nám tyto dva vztahy rovnaly. 1. Převis na straně nabídky fitkivní odběratel 2. Převis na straně poptávky fiktivní dodavatel 3) Stručně popište princip metody severozápadního rohu v modelu jednostupňové dopravní úlohy. K čemu se tato metoda používá, jak dobré výsledky poskytuje? Funguje na tom principu, že zkrátka nalezne nějaké výchozí bazické řešení bez ohledu na ceny jednotlivých tras. Postupuje z levého horního rohu do pravého spodního rohu, přičemž obsahuje políčka maximálně možnými sazbami. - KVALITNĚ NEJHORŠÍ METODA, PRO JEDNODUCHÉ DÚ - 72 -

4) Stručně popište princip indexové metody v modelu jednostupňové dopravní úlohy. K čemu se tato metoda používá, jak dobré výsledky poskytuje? - tzv. hladová metoda - Indexová metoda je založena na postupu obsazování polí podle nejmenších indexů. Tzn. začíná od nejmenšího tedy nejvýhodnějšího indexu v tabulce. - nevýhoda: na konci může zůstat 1 nebo více nevýhodných políček 5) Stručně popište princip Vogelovy aproximační metody v modelu jednostupňové dopravní úlohy. K čemu se tato metoda používá, jak dobré výsledky poskytuje? Tato metoda se rozhoduje podle největší diference v příslušných řádcích a sloupcích (diference = nejvýhodnější druhá nejvýhodnější tedy nejmenší sazba). Tzn. vybereme nejvyšší diference (nezáleží zda ve sloupci nebo v řádku) a zde v tomto řádku nebo sloupci vybereme nejvýhodnější index, kde obsadíme maximálně možnou sazbu. Snaží se vlastně zamezit největším ztrátám. - NEJSPOLEHLIVĚJŠÍ METODA 6) Co je to degenerace v modelu jednostupňové dopravní úlohy? Jak vzniká, jak se určuje a jak se odstraňuje? Ověřujeme to vzorcem m+n-1 = počtu námi obsazených políček. Pokud se to nerovná, úloha je degenerovaná a musíme jí odstranit. Odstraníme ji tak, že do tabulky libovolně napíšeme velmi malou kladnou hodnotu, kterou značíme epsilon s podmínkou, že ji musíme vložit tak, aby netvořila uzavřený dantzigův obvod s ostatními prvky v tabulce. Téma 8 a 9: Jednostupňová dopravní úloha II, dvoustupňová úloha 1) Uveďte princip metody MODI při řešení modelu jednostupňové dopravní úlohy. - založena na teorii duality - touto metodou se provádí test optimality - jde o výpočet duálních hodnot ui a vj, tak že ve vhodné řadě zvolíme ui nebo vj rovno nule a dopočítáme s hodnotou sazby - Ve všech ostatních řadách dopočítáme ui a vj tak, aby pro všechna obsazená pole platilo, že ui + vj = cij Cij cena políčka v pravém horním rohu - Řešení je optimální, pokud pro všechna neobsazená pole platí, že ui + vj cij 0 - Lze jen pro nedegenerované řešení!! - když řešení není optimální vybereme pole které má tuto hodnotu nejvyšší a je vhodné ho zařadit pomocí Danzigova uzavřeného obvodu - 73-2) Co je to Danzigův uzavřený obvod? K čemu slouží při řešení modelu jednostupňové dopravní úlohy? - pomocí něj se přechází na lepší řešení, změna báze se provádí přímo v dopravní tabulce - při minimalizační úloze vybereme políčko s nejvyšší hodnotou testu optimality - hodnoty v levém horním rohu pole, levý horní roh spočítáme podle vzorce ui+vj cij (cij = cena pole-pravý horní roh) - pro toto pole sestavíme Dantzigův uzavřený obvod, je znázorněn lomenou čarou, vychází z námi určeného prázdného pole, které chceme obsadit, lomí se v obsazených polích a končí zpět ve výchozím prázdném poli, pole kde se obvod lomí označíme střídavě znaménky + a -, začínáme v prázdném poli +, poté vybereme nejmenší hodnotu z těch u kterých je a touto hodnotu projdeme celým obvodem, podle znamének ji přičítáme, nebo odčítáme - znovu test optimality a znovu Danzigův uzavřený obvod, až do nalezení optimálního řešení 3) Co je to perspektivita dopravních tras? Jak se analýza perspektivity provádí? - hodnota testu optimality v optimálním řešení, počítá se u nerealizovaných tras - určuje míru zhoršení účelové funkce při realizaci tohoto spoje (čím je toto číslo menší, tím je spoj výhodnější) - Výpočet: Rij = ui + vj Cij - u optimálních a alternativních spojů je perspektivita rovna nule 4) Co je to propustnost dopravních tras? Jak se analýza propustnosti provádí? - určuje maximální možné množství produktu, které může být na spoji přepraveno - u optimálních (realizovaných) spojů se propustnost rovná přímo přepravovanému množství produktu - u nerealizovaných spojů se propustnost rovná hodnotě, kterou je možno přesunout po Dantzigově uzavřeném obvodu sestrojenému k tomuto spoji 5) Uveďte podstatu a komponenty jednostupňové dopravní úlohy. - Cíl: nálezt co nejvýhodnější plán přepravy stejnorodého produktu od dodavatelů ke spotřebitelům - Obvykle minimalizace nákladů - Vycházíme z předpokladu, že k přepravě používáme stejný druh dopravních prostředků, mezi každým dodavatelem a spotřebitelem existuje pouze jedna dopravní cesta, po které je možné přepravovat libovolné množství produktu a náklady na přepravu jsou přímo úměrné množství přepravovaného produktu Komponenty 1. Dodavatelé nabízejí předmět přepravy, maximální kapacity 2. Odběratelé poprtávají předmět přepravy, minimální požadavky - 74 -

3. Dopravní trasy slouží k dopravě přepravovaného produktu, jsou ohodnoceny nákladovými sazbami přepravy, nelze přepravovat záporné množství, některé mohou být uzavřené 4. Účelová funkce minimalizují se přepravní náklady, součin přepravovaného množství a ceny za přepravu jedné jednotky 6) Jaký je rozdíl mezi počtem rozměrů a počtem stupňů dopravní úlohy? Navrhněte a stručně popište možnou praktickou aplikaci alespoň dvou dopravních úloh, které se liší počtem stupňů i rozměrů. Počet rozměrů úlohy - počet faktorů, o nichž rozhodujeme; - dvourozměrná pouze trasy (odkud kam); - třírozměrná trasy, vozidlo (odkud kam čím). Počet stupňů úlohy - počet dopravních uzlů na cestě od primárního dodavatele k finálnímu spotřebiteli. - Dvoustupnovou dopravní úlohu převedeme na dvě úlohy jednostupnové - mezi dodavatele a spotřebitele vložíme M tzv. mezisklady (mezispotřebitel) D M - S Mezisklady mají obě role - spotřebitelé v 1. stupni úlohy; jde se od dodavatelů k meziskladům ( spotřebitelům ) - dodavatelé ve 2. stupni úlohy; jde se od meziskladů ( dodavatelů ) ke spotřebitelům - v 1. stupni musíme vozit od dodavatelů D jen do meziskladů M, za S dáme prohibitivní sazby v absolutní hodnotě minimálně o 2 řády vyšší, abychom zajistili, že se nebude vyplatit dovážet, pro dodavatele mezisklady dáme ceny tras reálné sazby - v 2. stupni se na diagonále ve 3. kvadrantu (tam jsou z mezisklady do mezisklady) dávají 0, na ostatních místech opět prohibitivní sazba, tentokrát vozíme z meziskladů ke spotřebitelům (u nich dáváme reálné sazby) Zakázané způsoby přepravy - mezi mezisklady navzájem; - od dodavatelů přímo k odběratelům; - řešení: prohibitivní sazby daným trasám. Optimální dimenzování meziskladů - Modifikace zadání DDÚ - Přidělení dostatečně velkých kapacit všem meziskladům - Nový propočet modelu - Odečtení optimální velikosti všech meziskladů z výsledného řešení Téma 10: Další dopravní modely 1) Uveďte podstatu a komponenty přiřazovací úlohy. - cílem nalézt jakékoliv optimální přiřazení objektů 1:1 - rozvržení produkce - 75 - Komponenty 1. dodavetelé obecněji zdroj přiřazení objekty které jsou přiřazovány, celkově m 2. odběratelé obecněji cíl přiřazení těchto cílů je celkově m 3. matice sazeb shrnuty náklady jednotlivých přiřazení, tzn. jak drahé je přidělení jednoho dodavatelského objektu k jednomu objektu odběratelskému, narozdíl od jednostupnové dopravní úlohy zajímá nás pouze využití nebo nevyužití dané trasy, ptž počet přepravovaných jednotek zde nemá smysl ten bude vždy jednotkový, vždy jde o jednoho dodavatele, jednoho zdroje k jednomu cíli - úloha je silně degenerovaná, ptž máme přiřazení 1:1, v tabulce obsazeno nikoliv m+n-1 polí ale pouze m polí - pro propočty těchto úloh tzv. madarská metoda 2) K čemu slouží maďarská metoda? Stručně popište její princip. - k výpočtům přiřazovacích úloh, kde je cílem nalézt jakékoli optimální přiřazení objektů 1:1 - např. rozvržení produkce do regionů, pracovníků na pracoviště atd. - matice musí být čtvercová!!! Princip: 1. Primární redukce matice sazeb nejmenší koeficient se odčítá od ostatních a) řádková redukce b) sloupcová redukce 2. Nalezení nezávislých 0 ty jsou dvou typů a) silně nezávislé sama v řádku i sloupci b) slabě nezávislé sama v řádku nebo sloupci - když nalezneme nezávislé nuly vedeme krycí čáry - u silně nezávislých krycí čáru kde chceme, většinou v řádku či sloupci kde je nejnižší koeficient - u slabě nezávislých v řádku či sloupci kde je 0 více než jedna - musíme nalézt dostatek nul (každý řádek I sloupec) když ne tak sekundární redukce - když není žádná slabě ani silně-můžeme vzít jakoukoli alternativní řešení (hodnota úf stejná), jinak vždy začínáme silně nezávislou 3. Sekundární redukce - vybereme nejmenší koeficient, který není pokryt čarou a kde jsou koeficienty překryty jednou čarou hodnota zůstane, kde není překryt (škrtlý) tam vybranou nejmenší hodnotu odečteme, kde jsou škrtlé dvěma čarami tam přičítáme a pokračujeme jako předtím Z = sečteme fixní sazby kde jsou vybrané 0, dosazujeme čísla z 1. matice (původní) 3) Uveďte podstatu a komponenty okružního dopravního problému. - tzv. problém listonoše, nebo obchodního cestujícího - aplikace hlavně v oblasti kurýrních služeb, zásilkových služeb, také pro racionalizaci tras okruhových zájezdů, cestovní kanceláře - Cíl modelu: nalézt co nejlepší trasu, pomocí které navštívíme všechna požadovaná místa a nakonec se vrátíme zpět - 76 -

Komponenty modelu: - znát navštěvovaná místa - znát trasy mezi navštěvovanými místy - ocenění tras, obvykle vzdáleností mezi místy 4) Uveďte a stručně charakterizujte základní typy okružních dopravních problémů. Metoda nejbližšího souseda: - Stanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhu - Přejde se k místu, které je nejbližší místu aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli) ani se nesmí předčasně uzavřít okruh - Postup se opakuje tak dlouho, dokud se nevrátíme do výchozího místa - Prověřit všechna místa jako výchozí pro zlepšení hodnoty účelové funkce Vogelova aproximační metoda - zachován výpočet diferencí mezi dvěma nejvýhodnějšími trasami v každém řádku i sloupci úlohy - Výběr řady s maximální diferencí ošetření rizika neobsazení nejvýhodnější trasy - Výběr nejvýhodnější trasy z této řady a její zařazení do okruhu, abychom eliminovali přílišné zhoršení účelové funkce - než přepočítáme diference, musíme zákázat všechny trasy, které již není možno použít, tzn. všechny trasy které vedou z nalezeného místa, do nalezeného místa + jednu trasu, která by nám předčasně uzavírala okruh - Výběr řady s maximální diferencí ošetření rizika neobsazení nejvýhodnější trasy - Výběr nejvýhodnější trasy z této řady a její zařazení do okruhu, abychom eliminovali přílišné zhoršení účelové funkce - než přepočítáme diference, musíme zákázat všechny trasy, které již není možno použít, tzn. všechny trasy které vedou z nalezeného místa, do nalezeného místa + jednu trasu, která by nám předčasně uzavírala okruh 7) Kde a k čemu se používá Mayerova metoda? Stručně popište její princip. - používá se ve víceokruhových okružních dopravních problémech, přeprava musí být rozdělena do více okruhů např. kvůli nedostatečné kapacitě, je tedy třeba naplánovat několik okruhů tak aby každý začínal a končil v centrálním místě Princip - začínáme v centrálním místě a jedeme do místa, které je nejvzdálenější, pak již pokračujeme metodou nejbližšího souseda (tj. do míst, která jsou nejblíž) až dokud např. nevyčerpáme kapacitu, vrátíme se a opět začínáme v centrálním místě, jedeme opět nejdál a pak metodou nejbižšího souseda, ale pouze do míst kde jsme nebyli v prvním okruhu - nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli) ani se nesmí předčasně uzavřít okruh Mayerova metoda - začínáme v centrálním místě a jedeme do místa, které je nejvzdálenější, pak již pokračujeme metodou nejbližšího souseda (tj. do míst, která jsou nejblíž) až dokud např. nevyčerpáme kapacitu, vrátíme se a opět začínáme v centrálním místě, jedeme opět nejdál a pak metodou nejbižšího souseda, ale pouze do míst kde jsme nebyli v prvním okruhu - nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli) ani se nesmí předčasně uzavřít okruh 5) Kde a k čemu se používá metoda nejbližšího souseda? Stručně popište její princip. - používá se v okružních dopravních problémech k nalezení co nejlepší trasy, pomocí které navštívíme všechna požadovaná místa a nakonec se vrátíme zpět Princip - Stanoví se výchozí místo pro tvorbu okruhu - Přejde se k místu, které je nejbližší místu aktuálnímu (nesmí se do výchozího ani tam, kde už jsme byli) ani se nesmí předčasně uzavřít okruh - Postup se opakuje tak dlouho, dokud se nevrátíme do výchozího místa - Prověřit všechna místa jako výchozí pro zlepšení hodnoty účelové funkce 6) Popište modifikaci Vogelovy aproximační metody pro řešení okružních dopravních problémů. - zachován výpočet diferencí mezi dvěma nejvýhodnějšími trasami v každém řádku i sloupci úlohy - 77 - - 78 -

8. Modely teorie grafů. Metody projektového řízení. TEORIE GRAFŮ Teorie grafů Graf je matematická struktura, která zobrazuje vzájemné vztahy mezi objekty z dané množiny Nezaměňovat s grafem matematické funkce! Neorientovaný graf Neorientovaný graf je uspořádaná dvojice G = (V,E) V je množina vrcholů E je množina hran (spojnic mezi vrcholy) Hrana je určena neuspořádanou dvojicí vrcholů G=({A, B, C, D, E}, {(A,B), (D,A), (B,D), (B,C), (B,E), (C,D)} Orientovaný graf Orientovaný graf je uspořádaná dvojice G = (V, A) V je množina vrcholů A je množina hran (spojnic mezi vrcholy) Hrana je určena uspořádanou dvojicí vrcholů Orientovaná hrana Hrana je směrována z x do y e = (x,y) x označujeme jako předchůdce y, x je výchozí bod y označujeme jako následovníka x, y koncový bod Ohodnocený graf Graf, který má hrany a/nebo uzly ohodnoceny kvantitativními parametry Ohodnocení představuje například o vzdálenost, o čas, o náklady, o apod. Souvislý graf Graf je souvislý, pokud mezi všemi dvojicemi vrcholů existuje cesta o Nesouvislý graf vypadá jako dva a více samostatných grafů, ale všechny uzly a hrany jsou považovány za jeden graf Sled, tah, cesta, cyklus Sled je posloupnost uzlů a hran, která spojuje dva vybrané uzly Tah je sled, který nepoužívá žádnou hranu více než jednou Cesta je tah, který nepoužívá žádný uzel více než jednou Cyklus je cesta, která začíná a končí ve stejném uzlu Síť je graf, který je souvislý; orientovaný; acyklický; má jeden počáteční a jeden koncový uzel. Prohledávání grafů Metody neinformovaného prohledávání o systematické, ale mechanické prohledávání; o prohledávání do hloubky nebo do šířky. Metody informovaného prohledávání o dána nezáporná hodnotící funkce f o gradientní algoritmus prosté řazení uzlů v zásobníku podle f o paprskové prohledávání hladiny uzlů, vždy zařazujeme k nejperspektivnějích Informované prohledávání Dijkstrův algoritmus o uspořádané prohledávání, viz hledání nejkratší cesty Algoritmus A o modifikovaná hodnotící funkce o f(i) = g(i) + h(i) o problém: obvykle přesně neznáme, nutno nahradit odhady Základní úlohy teorie grafů Minimální kostra grafu Nejkratší cesta v grafu Maximální tok v síti Okružní dopravní problém Nejdelší (kritická) cesta v grafu Další využití: řešení úloh ve stavových prostorech Minimální kostra Minimální délky větví síťového propojení počítačů Kostra: souvislý graf s minimálním počtem hran Princip: přidáváme hrany podle ohodnocení tak, aby netvořily kružnici - 79 - - 80 -

Nejkratší cesta v grafu Nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy Síť cest Některé cesty nemusí existovat Postup řešení o vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se lze dostat z uzlu aktuálního; o přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž jsme ještě nebyli; o algoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místa. Maximální tok v síti Proputnost produktovodů Ford Fulkersonova věta o Maximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezu Algorimus pro nalezení maximálního toku v síti Nasycená cesta o Vpřed nelze zvýšit průtok o Vzad průtok lze snížit Výchozí tok je nulový Najdeme nenasycenou cestu Zvýšíme tok Konec nelze-li nalézt nenasycenou cestu PROJEKTOVÉ ŘÍZENÍ Vybrané aplikace Jedinečné projekty o stavebnictví; o software; o... Typové projekty o výrobní linky; o nahrávání videopřednášek; o Definice projektu Projekt je soubor provázaných činností, které je třeba provést k dosažení stanoveného cíle. Činnost o základní jednotka projektu; o např. kopání základů domu, cesta Praha - Brno, pracovní směna, ale i zahájení projektu, odpočinek. Zdroj o faktor zabezpečující činnost, v průběhu projektu se využívá nebo spotřebovává; o např.: Zedník, Řidič, Vedoucí projektu, ale i Osobní automobil, Kancelář nebo písek, PHM. - 81 - Graf Vizuální reprezentace projektu Dvojice {U,V} o U..množina vrcholů U={u 1,u 2,,u n }; o V..množina neuspořádaných dvojic prvků {u i,u j } z U.. tj. hrana. Typy grafů o konečný x nekonečný; o souvislý x nesouvislý (resp. spojitý x nespojitý); o orientovaný x neorientovaný; o cyklický x acyklický. Cesta v grafu o posloupnost navazujících hran mezi uzly u i a u j ). Síť je graf, který je spojitý; orientovaný; acyklický; má jeden počáteční a jeden koncový uzel. Metoda kritické cesty (CPM) Pro hranově orientované grafy, konjunktivě deterministická Umožňuje zjistit o celkovou dobu trvání projektu; o termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů; o časové rezervy pro uzly a činnosti; o kritickou cestu. Grafické zobrazení činností Algoritmus metody CPM Tvorba hranově orientovaného grafu Výpočet nejdříve možných počátků činností Výpočet nejpozději přípustných počátků činností Určení kritických činností a kritické cesty Výpočet časových rezerv činností a uzlů - 82 -

Výpočet časových rezerv Příklad PERT Rezerva celková R 12 = t 1 2 -t 0 1 - t 12 Rezerva nezávislá R 12 = t 0 2 -t 1 1 - t 12 Rezerva volná R 12 = t 0 2 -t 0 1 - t 12 Rezerva zvláštní R 12 = t 1 2 -t 1 1 - t 12 Rezerva interferenční R 12 = t 1 2 -t 0 1 Metoda PERT Program Evaluation and Review Technique o Graf AOA Deterministická struktura, ale doba trvání úkolů je náhodnou veličinou o aij optimistický odhad doby trvání činnosti (i, j); o bij pesimistický odhad doby trvání činnosti (i, j); o mij nejpravděpodobnější (normální) odhad doby trvání činnosti (i, j). Očekávaná doba trvání, střední hodnota doby trvání činnosti 2 2 b a Odhad rozptylu σ e = t 6 Dále analogicky s CPM, počítáme se středními hodnotami! Výsledky aplikace metody o očekávaná kritická cesta; o střední hodnoty a rozptyly časových parametrů činností; o pravděpodobnost dokončení projektu před/po stanoveném termínu. - 83 - t e ij a + 4m + b = 6 ij ij ij Studijní materiál č. 1 Graf = množina, která se skládá z bodů a jejich spojnic. Body se nazývají uzly a jejich spojnice hrany, zobrazuje vzájemné vztahy mezi objekty množiny Základní typy grafů - Konečný a nekonečný - je-li počet uzlů konečný = konečný graf a naopak - Orientovaný a neorientovaný - hranám lze přisuzovat určitý směr, který vyznačujeme šipkou. Takové hrany se nazývají orientované - Ohodnocený-hrana/uzel je ohodnocen kvantitativním parametrem (čas, vzdálenost, náklady) - Souvislý mezi všemi dvojicemi vrcholů existuje cesta Sled = posloupnost hran/uzlů grafu, která spojuje 2vybrané uzly Cesta= každý uzel použije právě 1 Tah= sled, který nepoužívá žádnou hranu více než jednou Cyklus= cesta, která začíná a končí v stejném uzlu Síť = graf, který je konečný, souvislý, orientovaný, acyklický, ohodnocený, v němž existuje pouze jeden uzel počáteční a pouze jeden uzel koncový. Jsou-li hrany grafu ohodnoceny časovými údaji, hovoříme o síťovém diagramu. Základní úlohy teorie grafů: Minimální kostra grafu:souvislý graf s minimálním počtem hran, netvoří cyklus Nejkratší cesta v grafu Okružní dopravní problém Maximální tok v síti: propustnost=>max tok =minimálnímu řezu Nejdelší (kritická) cesta v grafu Další využití: řešení úloh ve stavových prostorech - 84 -

Projektové řízení Kritická cesta: nejdelší, je tvořena kritickými činnostmi (nemají rezervy, jejich zpoždění ohrozí celý projekt) Postup: 1.formalizace problému do síťového grafu 2. očíslovat vazby 3. výpočet kritické cesty rezervy Metody řešení: CPM: nositeli činností jsou hrany, následující činnost může začít až když jsou všechny předchozí splněny, nepřipouští žádný nahodilý prvek, umožňuje zjistit : celkovou dobu trvání projektu; termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů; časové rezervy pro uzly a činnosti; kritickou cestu PERT: stochastická metoda, cílem metody je takové uspořádání činností, které zajišťuje dodržení termínu s největší pravděpodobností, doba trvání není dána přesně- ale s určitou pravděpodobností (optimistický, pesimistický a pravděpodobný odhad), rizika: Studentův syndrom>vše na poslední chvíli=přetížení na konci, první Parkinsonův zákon=skryté čas.rezervy Studijní materiál č. 2 Graf = množina, která se skládá z bodů a jejich spojnic. Body se nazývají uzly a jejich spojnice hrany. Uzly se označují symboly u 1, u 2, u n a hrany, které spojují uzel u i s uzlem u j symbolem (i,j). Základní typy grafů Konečný a nekonečný je-li počet uzlů konečný = konečný graf a naopak Orientovaný a neorientovaný graf hranám lze přisuzovat určitý směr, který vyznačujeme šipkou. Takové hrany se nazývají orientované Ohodnocený graf Hranově ohodnocený graf = každé hraně grafu je přiřazeno alespoň jedno číslo. Jsou-li určité hodnoty přiřazeny uzlům, je graf uzlově ohodnocený Souvislý graf je graf, mezi jeho všemi dvojicemi uzlů existuje alespoň jedna cesta, tj. v němž souvisí každé jeho dva uzly Multigraf je graf, v němž mezi některou dvojicí uzlů existuje v jendom směru větší počet hran než jedna - 85 - Cesta v grafu = taková posloupnost orientovaných hran grafu, kdy vždy následující hrana začíná v uzlu, v němž končí hrana předcházející. Řetězcem nazýváme cestu sestavenou z neorientovaných hran. Cyklem nazýváme takovou cestu, která začíná a končí ve stejném uzlu. Acyklický graf neobsahuje žádný cyklus. Síť = graf, který je konečný, souvislý, orientovaný, acyklický, ohodnocený v němž existuje pouze jeden uzel počáteční a pouze jeden uzel koncový. Jsou-li hrany grafu ohodnoceny časovými údaji, hovoříme o síťovém diagramu. Incidenční matice je čtvercová matice A = (aij) sestrojená takto: existuje-li v grafu hrana (i,j), položíme prvek matice aij = 1, jestliže taková hrana neexistuje, položíme aij = 0. OPTIMÁLNÍ SPOJENÍ MÍST je dáno n bodů u1,u2,, un v rovině. Jsou známy vzdálenosti hij mezi libovolnými body ui a uj. Množinu bodů je třeba mezi s sebou propojit spojnicemi tak, aby celková délka spojnic hij byla minimální 1. Body u1 un se navzájem propojí spojnicemi, které se ohodnotí čísly hij vyjadřujícími vzdálenost mezi bodem (uzlem) i a j. 2. jednotlivé hrany se zapíší do tabulky podle rostoucí vzdálenosti 3. Vybereme dvě hrany s minimálním ohodnocením hij a zařadíme je do stromu 4. vybrané hrany se dále neuvažují a vybírají se další hrany s minimálním ohodnocením hij, ale tak, aby již netvořily s již vybranými hranami cyklus. 5. Algoritmus končí, je-li vybráno a zakresleno (n-1) hran, kde n jepočet uzlů grafu. NEJKRATŠÍ CESTA V GRAFU Pro počáteční uzel u 0 cesty se položí v o = 0 a hrany, které incidují s uzlem uo se vypustí z úvahy. Pro určení hodnoty vj se použ. vztah vj = min (vi + hij). Minimum se hledá přes všechna i, pro které je vi definováno a pro všechna j, pro které vj dosud definováno není. Je-li dosaženo minima např. pro j = q, pak položíme v = q v g = min (v i + h ij ) = v i + h iq Algoritmus končí, jsou-li všechna čísla určena pro všecny uzly, tedy i číslo vn koncového uzlu un., které udává délku nalezené nejkratší cesty mezi uzlem u0 a un. TOKY V SÍTÍCH Tok po hraně = takové množství substrátu, které projde hranou (i, j) za časovou jednotku. Tok v síti = neboli úhrnný průtok sítí; množina toků ve všech hranách sítě. Platí-li xij < kij, říkáme, že hrana je nenasycená platí-li xij = kij, říkáme, že hrana je nasycená Rozdíl kij xij se nazývá zbytková kapacita hrany Kapacita uzlů je též omezená, ale v mnoha případech ji považujeme za neomezenou - 86 -

Hodnota maximálního průtoku v dané síti se rovná kapacitě minimálního řezu Řez sítě = množina všech hran, které spojují uzly množiny U1 s uzly množiny U2 Každému řezu lze přiřadit číslo k(r) kapacitu řezu, kterou lze vyjádřit jako součet kapacit všech hran řezu, tj. k (R) = k ij Minimální řez = řez, který ze všech možných řezů oddělujících uo od un má nejmenší kapacitu. Minimální řez tvoří některé nasycené hrany v síti, v níž byl nalezen maximální průtok. Ford Fullkersonův algoritmus pro nalezení maximálního toku v síti maximální průtok (propustnost = kapacita hrany; xij hledané množství, které může projít hranou za časovou jednotku; předpoklady pro řešení: tok vznikající v poč. uzlu sítě je kladný tok, který by proudil z koncového do sítě bude záporný množství vtoku do uzle se rovná toku vycházejícímu z uzlu (= v uzlu se tok neztrácí) - postup pro určení max. toku úloha LP - základní věta teorie toku = hodnota max. průtoku v síti = kapacitě minimálního řezu (mezi průtokem a řezem je duální vztah) - kapacita řezu je dána součtem kapacit všech hran řezu - minimální řez = ze všech řezů má minimální kapacitu - Ford-Fullkersonův algoritmus SÍŤOVÁ ANALÝZA Používá se k zobrazení projektů složených z řady činností, které na sebe navazují a vzájemně se podmiňují. Cílem SA je analyzovat soubor činností z hlediska doby jejich trvání a návazností, určit kritickou cestu - existují 2 metody řešení: CPM metoda kritické cesty - vychází z deterministického pojetí trvání cesty, tj. je neměnná, stálá, konstantní - hledá limitující posloupnost operací, tj. nejdelší cestu v projektu (čekám až tu nejdelší cestu udělám) - 3 možnosti zobrazení projektu: síťový diagram, incidenční matice, lineární diagram - PERT technika hodnocení a rozboru programu vychází ze stochastického pojetí doby trvání cesty (funkce náhodné veličiny) - dobu trvání činnosti tij pouze odhadujeme s jistou P je možné očekávat i realizaci projektu s větší či menší P ve stanovených termínech - doba trvání činnosti je stanovena na základě 3 časových odhadů: optimistický odhad (nejkratší možná doba trvání činnosti za ideálních podmínek) nejpravděpodobnější odhad (doba trvání za normálních podmínek = modus) pesimistický odhad (nejdelší možné trvání za extrémně nepříznivých podmínek) - 87 - Studijní materiál č. 3 Grafem rozumíme množinu, která se skládá z bodů a jejich spojnic. Body se nazývají uzly (u 1, u 2, u n ) a jejich spojnice hrany (i,j). Základní typy grafů: - konečný graf: je-li počet uzlů konečný, - nekonečný graf: není-li počet uzlů konečný, - orientovaný graf: hranám lze přisuzovat určitý směr, který je vyznačen šipkou, takové hrany se nazývají orientované a graf je orientovaným také, - neorientovaný graf: bez určení směru hran, - ohodnocený graf: hranově ohodnocený graf je takový, kdy každé hraně grafu je přiřazeno alespoň jedno číslo, jsou-li určité hodnoty přiřazeny uzlům, mluvíme o uzlově ohodnoceném grafu, - cesta v grafu: jde o posloupnost orientovaných hran v grafu, kdy řetězcem nazýváme cestu sestavenou z neorientovaných hran a cyklem nazýváme takovou cestu, která začíná a končí ve stejném uzlu. Acyklický graf neobsahuje žádný cyklus (konečný graf je acyklický právě tehdy, můžeme-li jeho uzly očíslovat 1,2,3, n tak, že pro každou hranu (i,j) je splněn vztah i<j. - souvislý graf: je graf, mezi jehož všemi dvojicemi uzlů existuje alespoň jedna cesta (řetěz), tj. v němž souvisí každé jeho dva uzly. - graf typu stromu: je souvislý graf, který neobsahuje žádný cyklus, - multigraf: je graf, v němž mezi některou dvojicí uzlů existuje v jednom směru větší počet hran než jedna, - sítě. Síť: Síť je graf, který je konečný, souvislý, orientovaný, acyklický, ohodnocený v němž existuje pouze jeden uzel počáteční a pouze jeden uzel koncový. Jsou-li hrany grafu ohodnoceny časovými údaji, hovoříme o síťovém diagramu. Incidenční matice: Je čtvercová matice A=(a ij ) sestrojená takto: je-li v grafu hrana (i,j), položíme prvek matice a ij =1, jestliže taková hrana neexistuje, položíme a ij =0. Matice acyklického grafu má obsazena pole pouze nad hlavní diagonálou. Optimální propojení míst: Jedná se o konstrukci souvislého grafu s minimálním počtem hran, tj. graf typu stromu. Množinu daných bodů je třeba navzájem propojit mezi sebou tak, aby celková délka spojnic Σh ij byla minimální. Jednotlivé hrany se zapíší do tabulky dle rostoucí vzdálenosti, vybereme 2 hrany s minimálním ohodnocením h ij a zařadíme je do stromu,vybíráme dále hrany s minimálním ohodnocením ale tak, aby netvořily s již vybranými cyklus. Algoritmus končí tehdy, jestliže je vybráno n-1 hran, kdy n je počet uzlů v grafu. Nejkratší cesta v grafu: Vyhledávání nejkratší cesty mezi dvěma místy patří mezi nejčastější úlohy teorie grafů. - 88 -

Formulace problému: máme hranově ohodnocený graf,kdy každá hrana má přiřazeno číslo h ij >0. Úkolem je nalézt takovou cestu mezi zvolenými uzly, pro kterou bude cellkvá dékla cesty minimální. Pro řešení existuje několik algoritmů. Upravený Ford-Fulkersonův algoritmus: spočívá v přiřazování proměnných v i jednotlivým uzlům grafu podle těchto pravidel: - pro počáteční uzel u 0 cesty se položí v 0 =0 a hrany, které incidují s uzlem u 0 se vypustí z úvahy. - pro určení hodnoty v j se užije vztah: v j =min(v i +h ij ) - proměnné v i, jejichž hodnoty byly již jednou stanoveny, se již dále nebudou měnit, proto jakmile určíme proměnnou v i uzlů u i, není nutné v dalších výpočtech uvažovat ty hrany, které do uzlu u i také vstupují. - algoritmus končí, jsou-li určena všechna čísla v i, pro všechny uzly, které dává dékku nalezené nejkratší cesty. Toky v sítích: Úlohy o komunikačních systémech (silniční sítě, apod.) většinou řeší problém nalezení maximálního průtoku danou sítí a jsou obecnějším případem aplikace teorie sítí. Předpokládáme síť o (n+1) uzlech a hranách (i,j), které spojují některé dvojice těchto uzlů. Každé hraně lze přiřadit nezáporné celé číslo k ij >0 udávající kapacitu hrany (propustnost). Je-li kapacita obou směrech stejná, pak k ij =k ji. Definice: Tokem x ij po hraně (i,j) se nazývá takové množství substrátu, které projde hranou za časovou jednotku. Definice: Tokem v síti, čili úhrnným průtokem rozumíme množinu toků (x ij ) ve všech hranách sítě. Tok v hraně nemůže překročit její kapacitu ve shodném směru. Je-li xij<k ij, pak je hrana (i.j) nenasycená, platí-li x ij =k ij, pak je nasycená. Rozdíl k ij -x ij se nazývá zbytková kapacita hrany. Kapacita uzlů je též omezená. Obecný postup pro určení maximálního toku: - Σx 0j >0, tj. tok vystupující z počátečního uzlu do sítě je kladný, - Σx ik =Σx kj, jde o zachovávací rovnici toku, kdy pro každý k-tý vnitřní uzel musí platit, že tok, která do něj vchází se rovná toku, který z něj vychází, - Σx oj =Σx in tj. úhrnný tok, který vychází z počátečního uzlu u 0 se rovná úhrnnému toku, který vchází do koncového uzlu u n. V síti vyhledáváme plný tok, tj. takový, aby každá cesta do vstupu k výstupu obsahovala alespoň jednu nasycenou hranu. Hodnota maximálního průtoku v dané síti se rovná kapacitě minimálního řezu. Minimální řez je řez, který ze všech možných řezů oddělujících u 0 od u n má nejmenší kapacitu. Minimální řez tvoří některé nasycené hrany v síti, v níž byl nalezen maximální průtok. Nalezení maximálního toku v síti: Ford Fulkersonův algoritmus (pro orientovanou síť) postup: - sestrojí se libovolné výchozí řešení, tj. vybere se nějaký tok, který se nechá proudit sítí, - určí se propustnost nalezené cesty, provede se tzv. test optima, - zlepšení řešení, - postup se opakuje tak dlouho, dokud již nelze koncový uzel sítě označit. Určení maximálního toku pomocí modifikovaného Ford-Fulkersonova algoritmu: Do řádku vypisujeme uzly do nichž vede hrana s k ij >0. Postup: - do tabulky vypíšeme matici kapacit s tím, že pod hlavní diagonálu matice se místo kapacit vypíší velikosti toků hranami, - vycházíme z nulového toku v síti, v incidenční matici postupujeme zleva doprava, nad jednotlivé sloupce zapisujeme index uvažovaného řádku, jestliže se v něm nachází kladný koeficient k ij, tím zapisujeme index uzlu, ze kterého lze nenasycenou hranou dospět do uvažovaného uzlu, - po označení posledního n-tého sloupce vyhledáme jeden z nenasycených řetězů z počátečního do koncového uzlu, pokud nenalezneme žádný nenasycený řetěz, algoritmus končí, - po nalezení nenasyceného řetězu postupujeme zpět od koncového k počátečnímu uzlu dle indexů a vyhledáme minimální kapacitu hrany na tomto řetězci, - zredukujeme matici kapacit tak, že od všech kapacit řetězu odečteme kapacitu minimální a současně připočteme tuto kapacitu ke všem prvkům symetrickým podle hlavní diagonály. Síťová analýzy: Síťové diagramy umožňují lépe a názorněji zachytit návaznosti a vztahy vyskytující se v každém projektu. Byly vyvinuty metody projektového plánování, které představují metodologii pro časové sladění věcných návazností daného projektu. Projektem rozumíme soubor dílčích operací (činností) vzájemně podmíněných a realizovaných v předem stanoveném technologickém nebo organizačním sledu, které směřují ke splnění daných cílů. Základem každého projektu je jeho grafické znázornění pomocí síťového grafu. Grafické znázornění základních prvků síťového grafu: 1) Uzly, které vyjadřují okamžik zahájení resp. ukončení nějaké pracovní operace 2) Činnosti, které vyjadřují určité dílčí operace, resp. práce. Činnosti se znázorňují pomocí hran grafu, tj. orientovanými úsečkami: - Reálná činnost, která probíhá v čase a spotřebovává náklady - Fiktivní činnost, která neprobíhá v čase a nespotřebovává náklady slouží k vyjádření závislostí mezi reálnými činnostmi - Technologická činnost (čekací), která probíhá v čase, ale nespotřebovává náklady - 89 - - 90 -

- Předběžná činnost, která se vyskytuje pouze před počátečním uzlem sítě, jde o pomocnou činnost vyjadřující dobu od zahájení prací na projektu až do vlastního zahájení. Síťový diagram musí obsahovat vždy jen jeden uzel počáteční a jeden koncový! Jestliže má projekt několik počátečních a koncových uzlů, je nutno jej upravit (normalizovat) s použitím fiktivního uzlu i fiktivních činností. Metoda CPM: = critical path method, pracuje s deterministickým modelem, je vhodná pro řešení známých problémů, které již byli řešeny např. v jiné situaci. Postup při použití metody CPM předpokládá postupnou realizaci těchto kroků: 1. Formulace modelu CPM, tj. provede se plánování postupu jednotlivých prací projektu pomocí síťového diagramu a jeho analýza z hlediska vzájemné návazností a časové náročnosti jednotlivých činností, 2. určí se doby trvání činností a propočtou se dílčí termíny uzlů a činností, 3. hledá se kritická cesta (nejdelší cesta v síti) a provede se její analýza, 4. vypočtou se časové rezervy uzlů a činností, jejichž využití může zlevnit projekt. Metoda PERT: Modely PERT mají stochastický charakter a při jejich konstrukci se využívá pouček matematické statistiky. Stochastický přístup, který se uplatňuje při konstrukci modelů PERT, předpokládá: - doba trvání činnosti není známa a může se pouze odhadnout s jistou pravděpodobností, - v důsledku toho může v některých uzlech vznikat časová rezerva s menší nebo větší pravděpodobností - dosažení předem stanoveného termínu dokončení projektu je rovněž více či méně pravděpodobné. Cílem modelů PERT je takové uspořádání činností, které by zajistilo pravděpodobné dodržení termínu dokončení projektu dostatečně vysokou. Studijní materiál č. 4 GRAF Množina, která se skládá z bodů a jejich spojnic. Body se nazývají uzly a jejich spojnice hrany. Uzly se označují symboly u 1, u 2, u n Hrany, které spojují uzel u i s uzlem u j symbolem (i,j) ZÁKLADNÍ TYPY GRAFŮ 1. Konečný a nekonečný: je-li počet uzlů konečný = konečný graf a naopak 2. Orientovaný a neorientovaný graf: hranám lze přisuzovat určitý směr, který vyznačujeme šipkou. Takové hrany se nazývají orientované - 91-3. Ohodnocený graf: Hranově ohodnocený graf = každé hraně grafu je přiřazeno alespoň jedno číslo. Jsou-li určité hodnoty přiřazeny uzlům, je graf uzlově ohodnocený 4. Souvislý graf: je graf, mezi jeho všemi dvojicemi uzlů existuje alespoň jedna cesta, tj. v němž souvisí každé jeho dva uzly 5. Multigraf: je graf, v němž mezi některou dvojicí uzlů existuje v jendom směru větší počet hran než jedna Sled = posloupnost hran/uzlů grafu, která spojuje 2vybrané uzly Cesta= každý uzel použije právě 1 Tah= sled, který nepoužívá žádnou hranu více než jednou Cyklus= cesta, která začíná a končí v stejném uzlu CESTA V GRAFU Taková posloupnost orientovaných hran grafu, kdy vždy následující hrana začíná v uzlu, v němž končí hrana předcházející. Řetězcem nazýváme cestu sestavenou z neorientovaných hran. Cyklem nazýváme takovou cestu, která začíná a končí ve stejném uzlu. Acyklický graf neobsahuje žádný cyklus. SÍŤ Graf, který je konečný, souvislý, orientovaný, acyklický, ohodnocený v němž existuje pouze jeden uzel počáteční a pouze jeden uzel koncový. Jsou-li hrany grafu ohodnoceny časovými údaji, hovoříme o síťovém diagramu. INCIDENČNÍ MATICE Je čtvercová matice A = (aij) sestrojená takto: o existuje-li v grafu hrana (i,j), položíme prvek matice aij = 1, o jestliže taková hrana neexistuje, položíme aij = 0. OPTIMÁLNÍ SPOJENNÍ MÍST Je dáno n bodů u1,u2,, un v rovině. Jsou známy vzdálenosti hij mezi libovolnými body ui a uj. Množinu bodů je třeba mezi s sebou propojit spojnicemi tak, aby celková délka spojnic hij byla minimální 1. Body u1 un se navzájem propojí spojnicemi, které se ohodnotí čísly hij vyjadřujícími vzdálenost mezi bodem (uzlem) i a j. 2. jednotlivé hrany se zapíší do tabulky podle rostoucí vzdálenosti 3. Vybereme dvě hrany s minimálním ohodnocením hij a zařadíme je do stromu 4. vybrané hrany se dále neuvažují a vybírají se další hrany s minimálním ohodnocením hij, ale tak, aby již netvořily s již vybranými hranami cyklus. 5. Algoritmus končí, je-li vybráno a zakresleno (n-1) hran, kde n jepočet uzlů grafu. NEJKRATŠÍ CESTA V GRAFU Pro počáteční uzel u 0 cesty se položí v o = 0 a hrany, které incidují s uzlem uo se vypustí z úvahy. - 92 -

Pro určení hodnoty vj se použije vztah vj = min (vi + hij). Minimum se hledá přes všechna i, pro které je vi definováno a pro všechna j, pro které vj dosud definováno není. Je-li dosaženo minima např. pro j = q, pak položíme v = q v g = min (v i + h ij ) = v i + h iq Algoritmus končí, jsou-li všechna čísla určena pro všecny uzly, tedy i číslo vn koncového uzlu un., které udává délku nalezené nejkratší cesty mezi uzlem u0 a un. TOKY V SÍTÍCH Tok po hraně = takové množství substrátu, které projde hranou (i, j) za časovou jednotku. Tok v síti = neboli úhrnný průtok sítí; množina toků ve všech hranách sítě. Platí-li xij < kij, říkáme, že hrana je nenasycená platí-li xij = kij, říkáme, že hrana je nasycená Rozdíl kij xij se nazývá zbytková kapacita hrany Kapacita uzlů je též omezená, ale v mnoha případech ji považujeme za neomezenou Hodnota maximálního průtoku v dané síti se rovná kapacitě minimálního řezu Řez sítě = množina všech hran, které spojují uzly množiny U1 s uzly množiny U2. Každému řezu lze přiřadit číslo k(r) kapacitu řezu, kterou lze vyjádřit jako součet kapacit všech hran řezu, tj. k (R) = k ij Minimální řez = řez, který ze všech možných řezů oddělujících uo od un má nejmenší kapacitu. Minimální řez tvoří některé nasycené hrany v síti, v níž byl nalezen maximální průtok. Ford Fullkersonův algoritmus - pro nalezení maximálního toku v síti maximální průtok (propustnost = kapacita hrany) xij hledané množství, které může projít hranou za časovou jednotku; předpoklady pro řešení: tok vznikající v poč. uzlu sítě je kladný tok, který by proudil z koncového do sítě bude záporný množství vtoku do uzle se rovná toku vycházejícímu z uzlu (= v uzlu se tok neztrácí) Základní věta teorie toku = hodnota max. průtoku v síti = kapacitě minimálního řezu (mezi průtokem a řezem je duální vztah) Kapacita řezu je dána součtem kapacit všech hran řezu SÍŤOVÁ ANALÝZA Používá se k zobrazení projektů složených z řady činností, které na sebe navazují a vzájemně se podmiňují. Cílem SA je analyzovat soubor činností z hlediska doby jejich trvání a návazností, určit kritickou cestu. Metody: ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE GRAFŮ Minimální kostra grafu: souvislý graf s minimálním počtem hran, netvoří cyklus Nejkratší cesta v grafu Okružní dopravní problém Maximální tok v síti: propustnost=>max tok =minimálnímu řezu Nejdelší (kritická) cesta v grafu Další využití: řešení úloh ve stavových prostorech PROJEKTOVÉ ŘÍZENÍ Kritická cesta - nejdelší, je tvořena kritickými činnostmi (nemají rezervy, jejich zpoždění ohrozí celý projekt) - Pro hranově orientované grafy, konjunktivě deterministická - Umožňuje zjistit celkovou dobu trvání projektu; termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů; časové rezervy pro uzly a činnosti; kritickou cestu. Postup - Tvorba hranově orientovaného grafu - Výpočet nejdříve možných počátků činností - Výpočet nejpozději přípustných počátků činností - Určení kritických činností a kritické cesty - Výpočet časových rezerv činností a uzlů Metoda CPM: critical path method, pracuje s deterministickým modelem, je vhodná pro řešení známých problémů, které již byli řešeny např. v jiné situaci. Postup při použití metody CPM předpokládá postupnou realizaci těchto kroků: 5. Formulace modelu CPM, tj. provede se plánování postupu jednotlivých prací projektu pomocí síťového diagramu a jeho analýza z hlediska vzájemné návazností a časové náročnosti jednotlivých činností, 6. určí se doby trvání činností a propočtou se dílčí termíny uzlů a činností, 7. hledá se kritická cesta (nejdelší cesta v síti) a provede se její analýza, 8. vypočtou se časové rezervy uzlů a činností, jejichž využití může zlevnit projekt. 3 možnosti zobrazení projektu: síťový diagram incidenční matice lineární diagram Metoda PERT: Modely PERT mají stochastický charakter a při jejich konstrukci se využívá pouček matematické statistiky. Technika hodnocení a rozboru programu - 93 - - 94 -

Stochastický přístup, který se uplatňuje při konstrukci modelů PERT, předpokládá: - doba trvání činnosti není známa a může se pouze odhadnout s jistou pravděpodobností, - v důsledku toho může v některých uzlech vznikat časová rezerva s menší nebo větší pravděpodobností - dosažení předem stanoveného termínu dokončení projektu je rovněž více či méně pravděpodobné - Dobu trvání činnosti tij pouze odhadujeme s jistou P je možné očekávat i realizaci projektu s větší či menší P ve stanovených termínech. Doba trvání činnosti je stanovena na základě 3 časových odhadů: optimistický odhad (nejkratší možná doba trvání činnosti za ideálních podmínek) nejpravděpodobnější odhad (doba trvání za normálních podmínek = modus) pesimistický odhad (nejdelší možné trvání za extrémně nepříznivých podmínek) Cílem modelů PERT je takové uspořádání činností, které by zajistilo pravděpodobné dodržení termínu dokončení projektu dostatečně vysokou. Studijní materiál č. 5 V grafu se nachází uzly (body, kolečka) a hrany (spojnice mezi kolečky) Základní typy grafů: Konečný a nekonečný (Je-li počet uzlů konečný), Orientovaný a neorientovaný (Hranám lze přisuzovat určitý směr), Ohodnocený graf (Graf, který má hrany nebo uzly ohodnoceny), Souvislý graf (Mezi všemi dvojicemi uzlů existuje alespoň jedna cesta) Sled: Posloupnost uzlů a hran, která spojuje dva vybrané uzly Tah: Sled, který nepoužívá žádnou hranu více než jednou Cesta: Tah, který nepoužívá žádný uzel více než jednou Cyklus: Cesta, která začíná a končí ve stejném uzlu Graf typu síť: Graf, který je souvislý, orientovaný, acyklický, má jeden počáteční a koncový uzel. Používá se například při metodě CPM. Incidenční matice: Čtvercová matice, zachycující vztahy sousednosti vrcholů a hran. Prohledávání grafů: Metody neinformovaného prohledávání: Nemají k dispozici žádné vhodné znalosti, které by jim umožnily urychlit cestu k cíli. Jsou tak odsouzeny k systematickému procházení všech uzlů, dokud nenaleznou řešení. Systematické, ale mechanické prohledávání, prohledávání do hloubky a do šířky Metody informovaného prohledávání: Mají k dispozici znalosti, které jim umožní odhadnout, jak daleko se nachází řešení. Paprskové prohledávání (Uspořádané prohledávání, při kterém se vždy pokračuje v prohledávání z nejslibnějšího uzlu, a nejméně slibné větve se ořezávají). Dijkstrův algoritmus (Uspořádané prohledávání, sloužící pro nalezení nejkratší cesty v grafu) Modely teorie grafů: Minimální kostra grafu: Slouží pro nalezení optimálního propojení míst, kdy je potřeba projet všechny zadané uzly, s použitím minimálního počtu hran. Graf nesmí být cyklus. Využití v praxi je například pro optimalizaci železničních tras s cílem minimalizace nákladů. Druhým příkladem může být natahování kabeláže elektrických sítí. Nejkratší cesta v grafu: Slouží pro nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy, přičemž není nutné projet pro řešení všechny místa. K nalezení nejkratší cesty v grafu se využívá Dijkstrův algoritmus. Maximální tok v síti: Slouží pro nalezení maximálního toku v síti za určitou časovou jednotku. Může dojít k situaci, že hrana je nasycená (potom je zbytková kapacita hrany rovna 0), nebo nenasycená (potom je zbytková kapacita hrany větší než 0) Praktické využití je při zjišťování kapacity vodovodů, kanalizací, atp. Pomocí maximálního toku v síti se dá nalézt nejslabší článek (nasycenou hranu) ve vodovodním potrubí a dá se provést případná optimalizace a zlepšit tak celkovou propustnost vody v potrubí. Ford-Fulkersonova věta: Maximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezu. Metody projektového řízení (CPM a PERT): Využití ve stavebnictví, tvorbě Softwaru. Síťová analýza: Používá se k zobrazení projektů složených z řady činností, které na sebe navazují a vzájemně se podmiňují. Cílem síťové analýzy je analyzovat soubor činností z hlediska doby jejich trvání a návazností a následně určit kritickou cestu. Projekt: Soubor provázaných činností, které je třeba provést k dosažení stanoveného cíle. Činnost: Základní jednotka projektu (např. kopání základů domu, odpočinek, cesta Praha- Ostrava, zahájení projektu, ) Zdroj: Faktor zabezpečující činnost, v projektu se využívá nebo spotřebovává (např. zedník, řidič, vedoucí projektu, osobní automobil, pohonné hmoty, ) CPM (Critical path method): Pro hranově orientované grafy, konjunktivně deterministická (Neměnná a stálá. Musí být realizovány všechny činnosti, které dané činnosti předchází. Nemá intervalové hodnoty, tzn., že všechny činnosti musí trvat přesně danou dobu.) Umožňuje zjistit celkovou dobu trvání projektu, termíny nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů, časové rezervy pro uzly a činnosti, kritickou cestu (nejkratší možná doba na realizace projektu.) - 95 - - 96 -

Celková rezerva: Největší časová rezerva. Udává počet časových jednotek, o které je možné dobu trvání činnosti prodloužit, nebo její nejdříve možný začátek oddálit, aniž se tím ovlivní termín ukončení celého projektu. Nezávislá rezerva: Nejmenší časová rezerva. Čerpání nezávislé rezervy neovlivní žádnou jinou činnost projektu, která jako jediná může být záporná. Zvláštní rezerva: Část celkové rezervy, jejíž čerpání neovlivňuje časové pozice žádné z předcházejících činností. Volná rezerva: Část celkové rezervy, jejíž čerpání neovlivňuje časové pozice žádné z následujících činností. Udává počet časových jednotek, o které lze dobu trvání činnosti prodloužit. Interferenční rezerva: Pomáhá určit kritickou cestu. Určuje možnost zdržení v daném uzlu, aby nedošlo ke zpoždění projektu. PERT (Program evaluation and review technique): Technika hodnocení a rozboru programu, vycházející ze stochastického pojetí doby trvání cesty. Graf AOA. Deterministická struktura, ale doba trvání úkolů je náhodná veličina. Optimistický odhad doby trvání činnosti, pesimistický odhad doby trvání činnosti, nejpravděpodobnější odhad doby trvání činnosti. Výsledky aplikace metody: Očekávaná kritická cesta, střední hodnoty a rozptyly časových parametrů činností, pravděpodobnost dokončení projektu před/po stanoveném termínu. Rozhodovací modely, teorie her. Rozhodovací proces: Proces řešení problému s více než jednou variantou. Snaží se o nalezení nejvýhodnější varianty. Fáze rozhodovacího procesu: Intelligence, Design, Choice, Implementation (Řešení reálného problému) Téma 11: Modely teorie grafů Studijní materiál č. 6 1) Co rozumíme termínem "graf" v teorii grafů? Jaký je rozdíl mezi orientovaným a neorientovaným grafem? Grafem rozumíme uspořádanou dvojici, která se skládá z množiny uzlů (vrcholů) a množiny hran, přičemž hrany jsou dvojice uzlů Graf je matematická struktura, která zobrazuje vzájemné vztahy mezi objekty z dané množiny Orientovaný graf - máli všechny hrany orientované - Hrana je určena uspořádanou dvojicí vrcholů Neorientovaný graf - máli všechny hrany neorientované - Hrana je určena neuspořádanou dvojicí vrcholů - G=({A, B, C, D, E}, {(A,B), (D,A), (B,D), (B,C), (B,E), (C,D)} - 97-2) Charakterizujte a odlište pojmy "sled", "tah", "cesta" a "cyklus" v teorii grafů. - Sled je posloupnost uzlů a hran, která spojuje dva vybrané uzly - Tah je sled, který nepoužívá žádnou hranu více než jednou - Cesta je tah, který nepoužívá žádný uzel více než jednou - Cyklus je cesta, která začíná a končí ve stejném uzlu 3) Popište princip neinformovaného prohledávání grafů. Uveďte a stručně popište vybranou metodu neinformovaného prohledávání grafu. Metody neinformovaného prohledávání tzv. slepé - systematické, ale mechanické prohledávání; - prohledávání do hloubky (nejdříve se expanduje uzel s maximální hloubkou) nebo do šířky (nejdříve se expanduje uzel s minimální hloubkou) - nemají k dispozici žádné vhodné znalosti o stavovém prostoru, které by jim umožnily urychlit cestu k cíli. Jsou tak odsouzeny k systematickému procházení všech uzlů, dokud nenaleznou řešení. Jednotlivé algoritmy se od sebe liší jen způsobem, jakým toto systematické procházení provádějí. 4) Popište princip informovaného prohledávání grafů. Uveďte a stručně popište vybranou metodu informovaného prohledávání grafu. Metody informovaného prohledávání - dána nezáporná hodnotící funkce f - gradientní algoritmus - prosté řazení uzlů v zásobníku podle f - paprskové prohledávání - hladiny uzlů, vždy zařazujeme k nejperspektivnějích - dle charakteru úlohy je v nich možné definovat hodnotící funkci f, která pro každý uzel stromu řešení určí jeho ohodnocení Dijkstrův algoritmus - Nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy - Síť cest (Síť je graf, který je souvislý; orientovaný; acyklický; orientovaný;má jeden počáteční a jeden koncový uzel) - Některé cesty nemusí existovat Postup řešení - Vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se lze dostat z uzlu aktuálního - Přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž jsme ještě nebyli a pokračujeme stejně - Algoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místa 5) Charakterizujte úlohu o hledání minimální kostry grafu, stručně popište princip jejího řešení. - neorientovaný, souvislý, konečný a hranově ohodnocený graf - cílem je najít kostru s minimálním součtem ohodnocení hran - řeší např. Kruskalův algoritmus Postup - připojujeme hrany od nejmenších, vezmem vždy tu nejmenší hranu a zapracujeme ji do řešení, ale nesmí vzniknout cyklus (križnice), hrany které by tvořili cyklus do řešení nezahrnujeme - celkovou délku kostry zjistíme tak, že sečteme ohodnocení hran, které jsou zahrnuty v řešení - 98 -

6) Charakterizujte úlohu o hledání nejkratší cesty v grafu, stručně popište princip jejího řešení. - nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy - orientovaný (může být I neorientovaný), kladně hranově ohodnocený graf - nejpoužívanější pro řešení této úlohy je Dijkstrův algoritmus - incidenční matice v ní zapsány délky hran a odkud kam vedou Postup řešení - Vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se lze dostat z uzlu aktuálního - Přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž jsme ještě nebyli a pokračujeme stejně - Algoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místa 7) Charakterizujte úlohu o hledání maximálního toku v síti, stručně popište princip jejího řešení. - konečný,, souvislý, hranově ohodnocený graf - ohodnocení hran udává (narozdíl od předchozích úloh) množství jednotak, které mohou být po hraně přepraveny (nikoliv její délku, nebo vzdálenost mezi jejími uzly) - proputnost produktovodů - Ford Fulkersonova věta- Maximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezu Postup - vyjdeme z nulového toku - začneme úplně odshora a najdeme cestu, která je úplně nahoře a zjistíme kolik jsme schopni touto cestou propustit vezmeme minimální propustnost čímž nasytíme trasu - a přesuneme se k další cestě, konec nastává nelze-li nalézt nenasycenou cestu Nasycená cesta - vpřed nelze zvýšit průtok - vzad lze snížit průtok Téma 12: Modely projektového řízení 1) Co je to projekt? Uveďte vybranou definici a proveďte rozbor jejích klíčových slov. - Projekt je soubor provázaných činností, které je třeba provést k dosažení stanoveného cíle - soubor nějakých činností, tyto činnosti jsou navzájem provázané, je dáno kterou činnost je třeba udělat dříve - projekt musí vycházet ze zadání (přesně specifikovaný cíl), čeho chce projekt dosáhnout - Pro řešení metodou kritické cesty využíváme tzv. síťový graf, který se skládá z uzlů a orientovaných hran. Hrany odpovídají jednotlivým dílčím činnostem úkolu. Danou činnost jednoznačně určují počáteční a koncový uzel, kterými je každá činnost ohraničena 2) Charakterizujte pojmy "činnost" a "zdroj" v projektovém řízení. Vždy uveďte příklady z praxe. Činnost - základní jednotka projektu; určitá aktivita, kterou je třeba vykonat - např. kopání základů domu, cesta Praha - Brno, pracovní směna, ale i zahájení projektu, odpočinek. (různé činnosti- fyzická, vykonání cesty, realizace pracovní směny atd.) - 99 - Zdroj - faktor zabezpečující činnost, popřípadě v průběhu projektu se využívá nebo spotřebovává; - např.: Zedník, Řidič, Vedoucí projektu, ale i Osobní automobil, Kancelář nebo písek, PHM. 3) Charakterizujte graf typu síť, dokumentujte rovněž graficky. Síť - je graf, který je spojitý (existuje cesta mezi všemi dvojcemi prvků), konečný, orientovaný (musí být dána orientace všech hran v grafu), acyklický (nesmí tvořit žádný cyklus), má jeden počáteční a jeden koncový uzel (spíše praktický požadavek, abychom věděli kde začít a kde skončit) když se stane, že existuje více činností kterým nic nepředchází je třeba je spojit do nějakých uzlů, které budou reprezentovat fiktivní začátek (fiktivní uzel nebo fiktivní hrana) Příkladem sítě je telefonní síť, rozvod plynu, kanalizace 4) Uveďte podstatu a vlastnosti metody CPM. Jaké informace nám umožňuje zjistit? - metoda kritické cesty CPM pro hranově orientované grafy, konjunktivně deterministická tzn. konjunktivní = musí být realizovány všechny činnosti, které dané činnosti předchází, kdyby byl v nějakém bodě souběh více činností, musí se počkat na tu nejpomalejší z nic, deterministická = všechny časové údaje považujeme za pevně dané, nedovolíme žádný prvek náhodnosti (nahodilosti) Umožňuje zjistit: - celkovou dobu trvání projektu - termínů nejdříve možné a nejpozději přípustné doby realizace uzlů - časové rezervy pro uzly a činnosti; říkají nám, jak se můžeme zdržet v určitém uzlu, nebo protáhnout určitou činnost - kritickou cestu posloupnost činností s nulovou časovou rezervou, zdržení by znamenalo zpoždění celého projektu - 100 -

5) Popište způsob provedení časové analýzy v metodě CPM. - Tvorba hranově orientovaného grafu - Výpočet nejdříve možných počátků činností, začneme ve výchozím (tam je 0 začiná v čase 0), poté postupujeme vpřed a načítáme doby jednotlivých činností, které na dané cestě jsou, když nastane souběh, čekáme na tu co trvá déle, když se dostaneme nakonec, poznáme dobu trvání celého projektu, ta je v posledním uzlu - výpočet směrem vzad, Výpočet nejpozději přípustných počátků činností, odčítáme doby trvání jednotlivých činností, při souběhu přebíráme minimální hodnotu (aby nedošlo k prodloužení projektu) končíme u prvního uzlu, správnost si potvrdíme tím, že nám tam vyjde 0 - Určení kritických činností a kritické cesty - Výpočet časových rezerv činností a uzlů Časové rezervy uzlu - interferenční pomáhá určit kritickou cestu (tam kde je nulová interferenční hodnota vede kritická cesta) - výpočet: ti1 ti0 - možnost zdržení se v daném uzlu, aby nedošlo ke spoždění projektu 6) Co je to kritická cesta v grafu projektu? Popište způsob, jak ji určíte. - kritické činnosti určíme tak, že spočítáme jejich celkovou časovou rezervu, což je rozdíl nejpozději přípustné doby realizace jétého uzlu nejdříve možná doba realizace itého uzlu celková doba trvání činnosti jestliže vyjde tato hodnota 0 znamená to, že činnost je kritická a patří do kritické cesty - kritická cesta vede přes uzly s nulovou rezervou (přes kritické činnosti), posloupnost činností s nulovou časovou rezervou, zdržení by znamenalo zpoždění celého projektu - celková rezerva když vyjde 0 jde o kritickou činnost 7) Uveďte význam, interpretaci a způsob výpočtu jednotlivých rezerv činností a uzlů v metodě CPM. - vhodné určit pro nekritické činnosti, jakou rezervu mají (co se týče hodnot I typu), aniž by se opozdil projekt - ty co tvoří kritickou cestu, mají všechny rezervy činností nulové Celková rezerva Cij - největší časová rezerva při jejímž vyčerpání se činnost stává kritickou - výpočet: tj1 ti0 tij (tij=celková doba trvání činnosti) Nezávislá rezerva - nejmenší časová rezerva - výpočet: tj0 ti1 tij - čerpání této rezervy neovlivní nic jiného než rezervu dané činnosti, jako jediná může být záporná Volná časová rezerva - výpočet: tj0 ti0 tij - část celkové rezervy, která vyjadřuje, že její čerpání neovlivnuje časové pozice žádné z následujících činností v sítovém diagramu - udává počet časových jednotek, o který lze dobu trvání činnosti prodloužit Zvláštní časová rezerva - výpočet: tj1 ti1 tij - její využití může snižit časovou rezervu následujících činností, ale nemá vliv na činnosti předcházející - 101 - - 102 -

9. Rozhodovací modely, teorie her. Ekonomicko-matematické metody II Rozhodování a rozhodovací modely Vybrané aplikace - Řízení na všech jeho úrovních - Zemědělství - Hazardní hry - Běžná každodenní rozhodnutí Problém k zamyšlení - Lze systematicky bohatnout - hraním na hracích automatech? - sázením na sportovní události? - hraním rulety? - hraním pokeru? - sázením v číselných loteriích? Rozhodovací proces - Proces řešení rozhodovacích problémů - proces volby výběru rozhodnutí - Má dvě stránky - věcnou: co řešíme; - procedurální: jak postupujeme. - Postupy mohou být - normativní: snaha najít nejlepší řešení; - deskriptivní: snaha popsat systém a analyzovat jeho ukazatele. Fáze rozhodovacího procesu - Intelligence - zkoumání reality, identifikace a definice problému, definice systému - Design - konstrukce modelu, shromáždění dat, návrhy řešení - Choice - výběr řešení modelu - Implementation: řešení reálného problému Teorie rozhodování - Cíl: volba nejlepšího rozhodnutí - Rozhodnutí - činí inteligentní rozhodovatel; - činěno nyní. - Výsledek rozhodnutí - ovlivněn působením neovladatelného faktoru; - znám v budoucnu. Komponenty modelu - Alternativy rozhodnutí - Stavy okolností - Rozhodovací kritérium - Vektor rizika (je-li znám) Jistota, riziko a nejistota - Rozhodování za jistoty - pravděpodobnost realizace jistého stavu okolností je rovna 1 a pravděpodobnosti ostatních stavů okolností jsou rovny nule. - Rozhodování za rizika - pravděpodobnosti realizace stavů okolností jsou odhadovány či známy. - Rozhodování za úplné nejistoty - pravděpodobnosti realizace stavů okolností jsou neznámé nebo je za neznámé považujeme. Rozhodovací tabulka Rozhodovací strom Modely konfliktních situací - Teorie her - konflikt inteligentních hráčů; oběma stranám záleží na výsledku. - Teorie rozhodování - hra proti neinteligentnímu hráči; protihráči nezáleží na výsledku; hry proti přírodě. - 103 - - 104 -

Příklad Počet návštěvníků víkendové kulturní akce záleží na tom, jaké bude počasí. Stánkař ví, že si u něj v průměru koupí každý návštěvník 1 párek. Zisk z každého prodaného párku je 10 Kč. Pokud mu ale nějaké párky zbudou, ztráta z každého neprodaného párku je 5 Kč. Kolik párků si má stánkař nakoupit před víkendovou akcí, aby maximalizoval zisk? Výběr alternativ - Rozhodování za jistoty - Rozhodování za nejistoty - maximaxové pravidlo - Waldovo - maximinové pravidlo - Hurwitzovo pravidlo - Savageovo pravidlo minimální ztráty - Laplaceovo pravidlo nedostatečné evidence - Rozhodování za rizika - pravidlo EMV - očekávané hodnoty výplaty - pravidlo EOL - očekávané možné ztráty - pravděpodobnost dosažení aspirační úrovně Modely teorie her Vybrané aplikace - Manažerské rozhodování - Strategie podnikání - Sportovní utkání - Malé hry Dominance alternativ - Dominance podle výplat - nejsilnější typ dominance - min(v aj ) max(v bj ) A dominuje B podle výplat - Dominance podle stavů okolností - v aj v bj pro všechna j A dominuje B podle stavů okolností - Dominance podle pravděpodobností - profil rizika Profil rizika Problém stánkaře - Doplnění: podle předpovědi počasí byly stanoveny pravděpodobnosti nastání jednotlivých stavů okolností takto: - 105 - Konfliktní situace - Teorie her - konflikt inteligentních hráčů; - oběma stranám záleží na výsledku. - Teorie rozhodování - hra proti neinteligentnímu hráči; - protihráči nezáleží na výsledku; - hry proti přírodě. Teorie her - Cíl: volba nejlepšího chování v rámci konfliktu - Hra probíhá v čase - hra partie strategie tah; - opakuje se x neopakuje se; - dva nebo více hráčů; - vytvářejí x nevytvářejí koalice; - s konečným x nekonečným počtem strategií; - s konstantním (nulovým) x nekonstantním součtem. Komponenty modelu - Dva hráči - Množina strategií každého hráče - Kritérium hry - výplaty pro každou dvojici strategií; - výplatní matice; - nulový, konstantní, nekonstantní součet. - 106 -

Normální tvar hry Rozvinutý tvar hry Řešení v oboru čistých strategií Výplatní matice Příklad Dvě televizní stanice se rozhodují, jaký typ programu nasadit do hlavního vysílacího času v určitý den, kdy se na televizi dívá 5 mil. diváků. V tabulce jsou výsledky průzkumu počet diváků z těch 5 mil., kteří by se dívali na televizní stanici A v případě kombinací jednotlivých pořadů: Řešitelnost hry - Základní věta teorie maticových her Každá maticová hra je řešitelná - existují optimální strategie hráčů a cena hry. - Strategie zaručující nejlepší možný výsledek hráčů, když neudělají chybu - Čistá strategie - jednoznačně určená strategie hráče - Smíšená strategie - pouze relativní četnost použití strategie při opakování hry - Čistá strategie je speciální případ smíšené strategie, vektor s = (0,, 0, 1, 0,., 0) Postup řešení her - Stanovení strategií hráčů a sestavení výplatní matice - Pokus o řešení hry v oboru čistých strategií - Pokud hra nemá sedlový bod, řešení hry v oboru smíšených strategií Postup - Nalezení dolní ceny hry - Nalezení horní ceny hry - Pokud se ceny rovnají, existuje alespoň jeden sedlový bod, tj. hra má řešení v oboru čistých strategií Řešení v oboru smíšených strategií - Neexistence sedlového bodu - V případě opakování konfliktu je nutné strategie střídat - Cíl: nalézt optimální relativní četnosti používání jednotlivých strategií - Prostředek: pomocný model lineárního programování - vzpomínáte si, z čeho se skládá model LP? Konstrukce modelu LP principy - Vždy konstruujeme z hlediska jednoho hráče - Nutná podmínka: kladné hodnoty ve výplatní matici - pokud nejsou, přičteme k celé matici vhodnou konstantu - Pro hráče 1 (má strategie v řádku): - proměnné: relativní četnosti volby strategií r i ; - podmínky: každá strategie má přinést výhru alespoň w; - účelová funkce: w MAX - podmínky nezápornosti. - Úprava do tvaru vhodného pro výpočet (viz tabule) - Výsledky - hráč 1: hodnoty bázických rozhodovacích proměnných; - hráč 2: duální ceny nebázických doplňkových proměnných; - nezapomenout na zpětnou transformaci. - 107 - - 108 -

Konstrukce modelu LP příklad Pro takto upravené zadání a hráče 1 (televizi A): 1,3x 1 + 1,8x 2 + 1,7x 3 1 2x 1 + 4x 2 + 1x 3 1 1,5x 1 + 0,5x 2 + 3x 3 1 z = x 1 + x 2 + x 3 MIN x 1, x 2, x 3 0 Studijní materiál č. 1 Rozhodovací proces = proces řešení problému s více než 1 variantou, cílem je určení budoucího stavu systému, přičemž varianty určují možný způsob jednání. Kritériem je hledisko posouzení výhodnosti variant. Aplikace: hazardní hry, strategie podnikání, zavádění nového výrobku Teorie her konflikt inteligentních hráčů=> oběma stranám záleží na výsledku. Teorie rozhodování hra dvou inteligentních hráčů hra proti neinteligentnímu hráči=>protihráči nezáleží na výsledku hry proti přírodě Modelové matematické prostředky pro tvorbu variant 1. Jestliže je m alternativ a n stavů okolností, vzniká matice rozměru m x n => výplatní či rozhodovací tabulkou 2. rozhodovací stromy - zobrazuje graficky postup rozhodování. Uzly se rozlišují na uzly rozhodovací možnostní, které zobrazují okamžik výběru alternativ a situační, které zobrazují okamžik realizace stavů okolností. Hrany se dělí na hrany zobrazující alternativy (vystupující z rozhodovacích uzlů) a zobrazující stavy okolností (vystupující ze situačních uzlů) Rozhodování za podmínek: nejistoty- znamená, že rozhodovatel nemá žádné informace o tom, jaký stav okolností nastane a) Maximaxový přístup (optimistické vyhledává výhru pro každou alternativu a opět vybírá maximum) b) Waldovo kritérium (maximinový přístup) pesimistický (v každé řádce vyberu minimum a z nich max) c) Hurwitzovo kritérium (kombinace předchozích, vážený průměr nejlepších a nejhorších výplat pro každou strategii, najdu v každé řádce max a min a spočítám max*míra spolehlivosti + min*(1-míra spolehlivosti) d) Savagovo kritérium (pesimistické, hledáme minimum z max. ztrát, sestavíme matici ztrát (ztráta oproti nejlepšímu výsledku) v každém sloupci vyberu max a odečtu všechna ostatní čísla) e) Laplaceovo kritérium: s užitím výpl. tab. (max. aritmetického průměru řádků z výplatní (původně zadané) matice, s užitím tab. ztrát (min aritmetického průměru řádků z matice ztrát) jistoty - rozhodovatel ví, který stav okolností nastane, nejdřív nutno určit vektor pravděpodobností stavu, v každém sloupci vyberu max a násobím tímto vektorem rizika- rozhodovatel je schopen částečně určit s určitou pravděpodobností, který stav okolností nastane - 109 - - 110 -

Dominance podle: výplat: min 1 alternativy je stále lepší než max druhé stavu okolností: dominující alternativa bude podle všech okolností mít lepší hodnoty pravděpodobností: s jakou pravděpodobností mi alternativa přinese alespoň danou výplatu, použiji matici rizika Matice ztrát - Savageovo kritérium hodnotí strategii inteligentního hráče z hlediska ztrát, ke kterým by došlo, jestliže by nebyla použita nejlepší strategie pro každou strategii přírody. Jedná se o použití Waldova kritéria pro matici ztrát. Prvky této matice jsou ztráty, ke kterým dojde při špatné volbě strategie inteligentního hráče pro každou strategii přírody. Teorie her -cílem je volba nejlepšího chování, probíhá v čase, 2nebo více hráčů, vytvářejí/ nevytvářejí koalice hra se skládá z jednotlivých partií, v těch volí hráči různé strategie, v nich se zvolí správná posloupnost tahů Základní komponenty modelu: Alternativy rozhodnutí, Stavy okolností, Rozhodovací tabulka - výplaty pro kombinace alternativa/stav okolností Typy modelů: Hra v normálním tvaru (daný výplatní maticí)také označovaná jako strategická hra. V takovéto hře se všichni hráči rozhodují najednou (současně), popisuje hru výčtem hráčů, jejich strategií a výplatními funkcemi. Hra v rozvinutém tvaru jde o tahovou hru. V této hře se hráči rozhodují postupně nejprve se rozhodne a jedná první, potom se rozhodne a jedná další hráč. Zobrazuje hru pomocí stromu a každou strategii jako posloupnost tahů. Každá hrana představuje tah, každá úroveň hran představuje možné tahy jednoho hráče. Každý uzel zobrazuje určitou možnou pozici hry. Maticové hry jsou hry dvou inteligentních hráčů s konečným počtem strategií a nulovým součtem (jeden hráč vyhrává právě takovou částku, kterou druhý prohrává). Každá maticová hra je řešitelná - existují optimální strategie hráčů a cena hry. Inteligentní hráči, kteří se hry účastní, hrají cílevědomě, první hráč maximalizuje svoji výhru a druhý hráč minimalizuje svoji prohru. Hledání optimální strategie. Studijní materiál č. 2 Rozhodovací modely rozhodovací proces = proces řešení problému s více než 1 variantou, cílem je určení budoucího stavu systému, přičemž varianty určují možný způsob jednání. Kritériem je hledisko posouzení výhodnosti variant Modelové matem. prostředky pro tvorbu variant: rozhodovací výplatní tabulky (jde s nimi dobře numericky počítat) rozhodovací stromy (názornost, navazovacích vztahů) Rozhodovací situace probíhá za: za jistoty rozhodování snadné, známe všechny stavy světa za rizika známe P jaké důsledky nám varianty mohou přinést - ani nejlépe stanovená pravděpodobnost není jistota - pro volbu opt. varianty se užívá očekávaných hodnot = teoretické veličiny, které nahrazují konkrétní veličiny (umožňují porovnat mezi sebou jednotl. varianty) - OHV (očekávaný hodnota výplaty je váženým aritmetickým průměrem výplat odpovídajících každé alternativě, kde vahami jsou pravděpodobnosti každého stavu okolností - vybíráme Σpj*vij max) - OHZ (očekávaná hodnota ztráty vychází se z matice ztrát, pomocí P jednotlivých stavů okolností se pro jednotlivé alternativy vypočítají vážené aritmetické průměry těchto ztrát - vybíráme Σpj*zij min) - Dodatečné info (nejčastěji se vztahují k P stavů okolností, umožňují potvrdit nebo zpřesnit jejich odhady, případně doplňují info o rozhodovací situaci tak, aby se rozhodnutí za rizika přiblížilo rozhodnutí za jistoty. - Očekávaná hodnota spolehlivé info = rozdíl mezi očekávanou hodnotou výplaty za podmínek jistoty (=vážený aritm. průměr maximálních výplat pro každý stav okolností, kde vahou jsou p jejich realizace) a očekávanou hodnotou výplaty za podmínek rizika - Stabilita rozhodnutí (posuzuje se podle velikosti změn řešení v důsledku změn ve výchozích podmínkách úlohy) za nejistoty neznáme P jednotl. stavů světa (neexistuje jediné doporučené pravidlo volby optim. rozhodnutí) Přístup rozhodovatele k riziku - kvantifikaci vztahu rozhodovatele k riziku umožňuje teorie užitku (konstrukce užitkové funkce = funkce utility) - základ teorie užitku vytvořil Bernoulli (18. st.) - každé variantě z uvažované množiny lze přiřadit reálné číslo označované jako utilita (užitek). Na základě těchto utilit lze pro libovolnou variantu stanovit její očekávanou utilitu. - subjekt preferuje variantu s vyšší očekávanou utilitou (Neumann, Mongerstern) - 111 - - 112 -

Postup při využití utility: 1. pro dané kritérium rozhodování se konstruuje fce utility 2. pro každou variantu se určí jistotní ekvivalent (= min částka, za níž je rozhodovatel ochoten provést určité rozhodnutí) 3. varianty se uspořádají dle velikosti očekávaného užitku (střední hodnotou) utility TEORIE HER - zabývá se modelováním konfliktním situací (protichůdné názory stran) - účastníkovi konfliktu se říká hráč: inteligentní (zainteresován na výsledku hry) neinteligentní (příroda; nezajímá se o výsledek hry, jen ovlivňuje výsledky inteligentních hráčů) tah = zvolený zásah hráče do hry strategie = souhrn pravidel (předpis), který jednoznačně určuje postup hráče, kdy je na tahu strategie (urč. způsob chování hráče při hře) - souhrn všech možných strategií tvoří množinu či prostor strategií což = rozhodovací prostor - hra, kdy 1. hráč maximalizuje výhru a 2. minimalizuje prohru = optimální strategie: čistá (ryzí) = hráč dosáhne cíle jedinou strategií (sedlový prvek) smíšená hráč volí svoji strategii náhodně podle uspořádané matice pravděpodobnosti hra konečná každý z hráčů má k dispozici jen konečný počet strategií nekonečná opačný případ s nulovým součtem jeden hráč vyhrává právě takovou částku, kterou druhý prohrává s nenulovým součtem opačný případ cena hry - zaručená výhra hráče, které dosahuje při optim. strategii - 113 - MATICOVÝE HRY (hry dvou inteligentních hráčů) - nejjednodušším typem jsou maticové hry, tj. konečné hry 2 hráčů s nulovým součtem (můžeme mat. hry popsat tzv. výplatní maticí (to, co 1. vyhraje 2. prohraje a naopak) - řádky výplatní matice jsou pro strategie 1. hráče (r1.rm) - sloupce výplatní matice jsou pro strategie 2. hráče (s1 sn) - prvky výplatní matice (aij) vyjadřují výhry či prohry: + 1. hráč vyhraje a současně 2. prohraje - 1. hráč prohraje a současně 2. vyhraje 0 při volbě urč. strategie nedochází k výplatě hra je nerozhodně dominování - redukování výplatní matice (dominující str. pro všechny stavy má vyšší výplatu); (dominovaná str. pro všechny stavy existuje jiná varianta s lepšími výplatami lze vynechat Hra je vyřešena, jestliže: a) byly nalezeny optim. strategie pro oba hráče b) nalezneme cenu hry Řešíme metodou Minimax v oboru čistých strat.: B1 B2 B3 min A1 5 4 6 4 A2 3 5 7 3 A3 8 3 2 2 max 8 5 7 B chce minimalizovat svou prohru Při strategii hr A1 má zaručenou min. výhru 4 volí min z max aij = v (horní cena hry) Hráč A volí max z min aij = v (dolní cena hry) Platí-li pro některou hru, že se dolní a horní cena hry sobě rovnají, pak nutně existuje v matici sedlový prvek největší ve svém sloupci a současně nejmenší ve svém řádku. (Sedlový prvek určuje optimální čistou strategii obou hráčů a zároveň je cenou hry). Smíšené strategie základní věta teorie her: Každá maticová hra má řešení ve smíšených strategiích. (von Neumann) Nemá-li hra sedlový prvek musí platit, že dolní cena hry je menší než horní cena hry (hráč A bude náhodně střídat své strategie známe P s jakou bude strategii volit a řešení hledáme pomocí úlohy LP (z technických důvodů zařídíme, aby výplatní matice byla kladná (přičteme k matici hodnotu α; α = min z řad v absol. hodnotě + 1 (!!! až se celé dopočítá musí se toto α odečíst, abychom dostali řešení původní hry. (Lineární model (duální úlohy): - max. výhru w dostaneme jako min její převrácené hodnoty - na pr. straně jsou proměnné (w) = neznámá výše výhry provedeme substituci (rovnice vydělíme w a za ri (P strategie) dosadíme xi (xi=ri/w) - 114 -

- cena hry = střední hodnota přičtená hodnota ( v=w-α) - hledané vektory optimální smíšené strategie určíme zpětnou transformací (Vektor x je pravděpodobnostní vektor (smíšená strategie hráče A), vektor y je pravděpod. vektor (smíšená strategie hráče B).) HRY PROTI PŘÍRODĚ (hry inteligentního a neinteligentního hráče) - zvláštní případ mat. her, kdy strategie 1. hráče (= jeho rozhodnutí) se nazývají alternativy a strategie 2. hráče (situace, za které se dělá rozhodnutí) se nazývají stavy okolností (strategie přírody ovlivňuje výsledek hry, aniž by chtěla prvního hráče poškodit) - v hrách proti přírodě volí strategie pouze inteligentní hráč - řešení her s přírodou závisí na tom jaké máme informace o hře, rozlišujeme: za jistoty (P blízká 1 prakticky se nevyskytuje) za rizika (0<P<1) nejčastější; používá se vektor rizika p a pro jeho složky platí, že součet p dává 1. za nejistoty není nic známo o volbě strategie přírody (není příliš častá, P blízká 0) Rozhodování za nejistoty f) Maximaxový přístup (spoléhá na štěstí vyhledává výhru pro každou alternativu a opět vybírá maximum g) Waldovo kritérium (maximinový přístup) pesimistický přístup pojištění proti riziku ( v každé řádce vyberu minimum a z min. hodnot vyberu max) h) Hurwitzovo kritérium (kombinace obou předchozích (míra optimismu)) =vypočítáme vážený průměr nejlepších a nejhorších výplat pro každou strategii najdu v každé řádce max a min a spočítám max*míra spolehlivosti + min*(1-míra spolehlivosti) i) Savagovo kritérium (hledáme minimum z max. ztrát sestavíme matici ztrát (ztráta oproti nejlepšímu výsledku) v každém sloupci vyberu max a odečtu všechna ostatní čísla) j) Laplaceovo kritérium: s užitím výpl. tab. (max. aritmetického průměru řádků z výplatní (původně zadané) matice s užitím tab. ztrát (min aritmetického průměru řádků z matice ztrát) Rozhodování za jistoty - nejdřív nutno určit vektor pravděpodobností stavu - v každém sloupci vyberu max a násobím tímto vektorem Rozhodování za rizika Bayesův princip s užitím výplatní tabulky (skalární součin vektoru pravděpodobností stavů a hodnot v řádku výplatní matice) (výplatní tabulka maximální hodnota) s užitím tabulky ztrát (skalární součin vektoru pravděpodobností stavů a hodnot v řádku matice ztrát) (matice ztrát minimální hodnota) - 115 - Podstatu teorie rozhodování tvoří hry proti přírodě, které jsou jedním z typů hospodářských her. Hráčem A je rozhodovatel, hráčem B jsou všechny možné reálné stavy okolností (nejsou v žádném vztahu vůči rozhodovateli, neuplatňují žádnou strategii, jsou indiferentní). Strategie uplatňovaná hráčem A se nazývá alternativa. (Alternativy se navzájem vylučují, stejně tak i stavy okolí). Tak jako v teorii her má uplatnění určité strategie hráče A a určité strategie hráče B výsledek určitou výhru či prohru, má i každá alternativa za odpovídajícího stavu okolností výsledek, kterým je určitý hospodářský efekt. Tím bývá výnos či zisk nebo náklad či ztráta, nejčastěji v peněžním vyjádření. Stejně jako v teorii her se i v teorii rozhodování tento hospodářský efekt nazývá výplatou. Rozhodovací modely: Studijní materiál č. 3 Klasický model teorie rozhodování je odvozen z modelů her proti přírodě. Dva obecné přístupy:rozhodovací tabulky a rozhodovací stromy Stavy okolností Alternativy Rozhodovací tabulky - rozhodovací model má následující strukturu: s 1 s 2 s n a 1 v 11 v 12 v 1n a 2 v 21 v 22 v 2n a m v m1 v m2 v m3 Jestliže je m alternativ a n stavů okolností, vzniká výplatní matice rozměrů m x n, která se nazývá výplatní nebo rozhodovací tabulkou, kde: a 1,.., a m jsou všechny možné alternativy ze kterých si rozhodovatel vybírá s 1,, s n jsou všechny možné stavy okolností, za nichž by byla možná rozhodnutí realizovaná v ij jsou příslušné výplaty výsledek, který přínáší rozhodovateli zvolená strategie Rozhodovací stromy -zobrazují postup rozhodování graficky. Uzly rozhodovacího stromu se rozlišují na uzly: a) rozhodovací možnostní, které zobrazují okamžik výběru alternativ b) situační, které zobrazují okamžik realizace stavů okolností Hrany rozhod.stromu se dělí na: a) zobrazující alternativy (vystupující z rozhodovacích uzlů b) zobrazující stavy okolností (vystupující ze situačních uzlů) - 116 -

Každá hrana stavu okolností rozhodovacího stromu může být ohodnocena pravděpodobností realizace tohoto stavu. Listy rozhodovacího stromu jsou pak ohodnoceny výplatami jednotlivých alternativ za určitých stavů okolností. výhody: možnost zobrazit dodatečná resp. následná rozhodnutí (následné rozhodnutí = opatření, kterým se mohou korigovat dopady vybrané alternativy) Řešení: Používají se prakticky stejné postupy jako pro řešení modelů her s přírodou, zde se však klade důraz na ekonomickou analýzu. Kriterium, či pravidlo pro volbu určité alternativy závisí nejen na dosažitelných výplatách, ale řídí se i záměrem a přístupem rozhodovatele k problému. Stupně rozhodovaní: 1. za podmínek jistoty 2. za podmínek úplé nejistoty(maximum, minimum, maxmin) 3. za podmínek rizika (očekávaná hodnota výplaty EMV) Teorie her: Metody teorie her nejsou příliš aplikačně rozvinutou disciplínou. Zabývají se studiem konfliktních situací, ve kterých důsledek rozhodnutí je závislý nejen na našem rozhodnutí, ale i dalších faktorech. Teorie her se zabývá rozborem situací, ve kterých jednají dva nebo více subjektů často podle protichůdných cílů. Konfliktní situace všechny situace, ve kterých jde o střet zájmů účastníků konfliktu může být:a) antagonistický konflikt úspěch každého z hráčů je možný pouze na úkor úspěšnosti ostatních hráčů b) neantagonistický konflikt mají všichni účastníci možnosti více či méně realizovat svoje cíle Strategie hráče určitý způsob hráčova chování v průběhu jedné partie hry, lze je chápat jako posloupnost určitých kroků v průběhu hry - tahy Prostor (množina) strategií souhrn všech možných strategií hráče. Jsou-li množiny strategií jednotlivých hráčů konečné = konečné hry, je-li množina strategií alespoň jednoho hráče nekonečná, jde o nekonečnou hru. Výplata hry výsledek hry jednotlivých hráčů v závislosti na jimi vybraných strategiích. Pro každého hráče je definována výplatní funkce, která přiřadí velikost výplaty tohoto hráče. Bude-li výplata představovat zisk hráče, každý hráč bude volit takovou strategii, aby maximalizoval svůj zisk. Dělení her dle vztahu výplatních fcí: a) konstantní či nulový součet součet plateb jednotlivých hráčů pro všechny možné kombinace jejich strategií je konstatní respekt. Nulový b) nekonstantní nulový součet Model hry v rozvinutém tvaru zobrazuje strategie jako posloupnosti tahů, je možno formalizovat pomocí stromu, každá hrana představuje určitý tah, každá úroveň hran představuje možné tahy jednoho hráče a každý uzel zobrazuje pozici hry. 1.hráč má dvě strategie (po každém z jeho dvou prvních tahů následuje jediný nebo druhý tah) 2.hráč má čtyři strategie (na dva jeho první tahy navazují opět dva jeho druhé tahy) Model hry v rozvinutém tvaru pro složitější situace s mnoha možnými různými tahy může být velice rozsáhlý a nepřehledný Hráč každý účastník konfliktu je v teorii her nazýván hráčem (hry dvou hráčů a hry více hráčů) Charakteristika hráčů: a) inteligentní hráč je zainteresován na výsledku hry a hraje tak, aby vyhrál b) neinteligentní hráč (příroda) vystupují pouze jako náhodný mechanismus, který ovlivňuje výsledky inteligentních hráčů Další dělení her: 1) kooperativní (koaliční) při hře tvoří hráči koalice, v nichž jednají v souladu se zájmy koalice 2) nekooperativní (nekoaliční) každý hráč jedná samostatně s ohledem na svoje cíle, anta- gonistické konflikty Hra je modelem konfliktní situace, obsahuje její pravidla, způsoby jejího řešení a možné výsledky, jestliže se konflikt neopakuje, skládá se hra z jediné partie. - 117 - Model hry v normální tvaru pro složitější situace, pro každého hráče je formulována množina jeho strategií a výplatní funkce, která každé kombinaci strategií přiřadí výplatu hry. Pro předchozí obrázek by model hry obsahoval tyto prvky: a. hráči H1 a H2, b. množina strategií prvního hráče R={R 1, R 2 }, c. množina strategií druhého hráče S={S 1,S 2,S 3,S 4 }, d. výplaty prvního hráče a ij pro i=1,2 a j=1,,4, e. výplaty druhého hráče b ij pro i=1,2 a j=1,,4. - 118 -

Maticové hry: - nejjednodušším typem her - hry dvou hráčů s konečným počtem strategií a nulovým součtem (je-li výplata jednoho hráče 10 musí být výplata druhého hráče 10) = výplatní funkce obou hráčů jsou opačné - tyto hry nazýváme maticové proto, že k jejich popisu stačí jediná matice (řádky odpovídají strategiím prvního hráče, sloupce strateg.druhého hráče a jednotlivé prvky matice a ij pak výplatě prvního hráče, výplata druhého hráče je rovna a ij ) Maticové hry inteligentních hráčů: - oba hráči, kteří se hry účastní, hrají cílevědomě chtějí maximalizovat svoji výplatu - každý hráč hledá takovou svoji strategii, aby si pro každou strategii protihráče zajistil nejvyšší možnou výhru, resp. nejnižší možnou prohru = takovouto strategii nazýváme optimální strategie resp.řešení hry = výplata jež dosáhnou při této strategii se nazývá cena hry a) řešení v oboru čistých strategií hráč dosáhne svého cíle pouze pomocí jediné své strategie (ať se hra opakuje nebo je hrána pouze jedenkrát, optimální chování hráče je dáno právě touto jedinou strategií) b) řešení v oboru smíšených strategií hráč se nemůže řídit pouze jedinou ze svých strategií, smíšená strategie je charakterizována vektorem pravděpodobností, jehož každý prvek vyjadřuje pravděpodobnost použití příslušné čisté strategie hráče. Jestliže se partie mnohonásobně opakuje, pak se relativní četnosti použití jednotlivých strategií musí blížit pravděpodobnostem smíšené strategie. Jestliže hra obsahuje pouze jednu partii, není pojem smíšené strategie již tak zřejmý. Nelze říci, že by hráč měl použít strategii s nejvyšší pravděpodobností, pak by totiž ve skutečnosti jednal podle strategie čisté. Hry proti přírodě: - je zvláštním případem maticových her - funkci jednoho z hráčů (zpravidla druhého) však přebírá příroda, nebo-li hráč, kterému je výsledek hry lhostejný - strategie 1.hráče nabývají charakteru rozhodnutí, strategie přírody se projevují v realizaci určitých skutečnosti, tj. souhrnu objektivně existujících okolností, které ovlivní výsledek hry - účastník hry proti přírodě je spíše rozhodovatelem než hráčem - řešení her s přírodou závisí na tom, jaké informací o hře máme musíme znát strategie prvního hráče i přírody, umět sestavit výplatní matici, umět odhadnout výplaty hry - protože příroda není inteligentní hráč nelze ve většině případů předem na základě výplat hry odhadnout strategii, kterou použije Hra za jistoty strategie přírody je známa. Výběr strategie prvního hráče nečiní žádné potíže, ví jak se zachová protihráč. Prakticky tato možnost nenastává je pouze teoretická! Hra za nejistoty o volbě strategií přírody není známo vůbec nic. Volba strategie prvního hráče je velmi obtížná v tom smyslu, že výsledek hry je zcela nejistý. Hra za rizika je to nejčastější situace, ve které jsou známy pravděpodobnosti, s nimiž příroda uplatňuje svoje strategie. Vektor pravděpodobností nazýváme vektorem rizika. - 119 - Protože teorie her s přírodou je jádrem teorie rozhodování a tato teorie je popsána v následující kapitole, uvedeme zde jen stručně postupy řešení tohoto typu her. Studijní materiál č. 4 Rozhodovací proces: Proces řešení problému s více než jednou variantou. Snaží se o nalezení nejvýhodnější varianty. Fáze rozhodovacího procesu: Intelligence, Design, Choice, Implementation (Řešení reálného problému) Teorie rozhodování: Hra proti neinteligentnímu hráči, kde neinteligencí je myšleno, že protihráči nezáleží na výsledku. (Hra proti přírodě, počasí, ) Praktická aplikace: Zemědělství, Hazardní hry, Běžná každodenní rozhodnutí, Řízení na všech jeho úrovních Komponenty modelu: Alternativy rozhodnutí, stavy okolností, rozhodovací kritérium, vektor rizika (je-li znám) Rozhodovací strom: Zobrazuje grafický postup rozhodování Rozhodovací tabulka: Matice výplat, nebo matice ztrát. Rozhodování za jistoty: Víme, co se stane a podle toho přizpůsobíme naše rozhodnutí. Rozhodování za rizika: Pravděpodobnosti realizace stavů okolností jsou odhadovány. EMV (Expected monetary value): Očekávané možné výplaty. EOL (Expected oportunity loss): Očekávané ztráty ušlé příležitosti. Pravděpodobnost dosažení aspirační úrovně Rozhodování za nejistoty: Pravděpodobnosti realizace stavů okolností jsou neznámé. Optimistická pravidla: Maximaxové pravidlo, Hurwitzovo pravidlo Pesimistická pravidla: Waldovo pravidlo, Hurwitzovo pravidlo, Savageovo pravidlo Ostatní pravidla: Laplaceovo pravidlo Dominance alternativ: Dominance podle výplat (nejsilnější typ dominance), dominance podle stavů okolností, dominance podle pravděpodobností (profil rizika) Matice ztrát: Počítána z matice výplat. Ztráty jsou myšleny spíše jako ušlé zisky. Teorie her: Hra proti inteligentnímu hráči, kde inteligencí je myšleno, že protihráči záleží na výsledku. (Šachová partie, marketingové strategie dvou konkurenčních firem, ) Praktická aplikace: Manažerské rozhodování, strategie podnikání, sportovní utkání - 120 -

Typy her: Hra s konstantním součtem, hra s nekonstantním součtem (možnost kooperace nebo nekooperace), hra s nulovým součtem Komponenty modelu: Dva hráči, množina strategií každého hráče, kritérium hry (výplaty pro každou dvojici strategií, výplatní matice, nulový, konstantní, nekonstantní součet) Tvary hry: Normální tvar hry (tabulka), nebo rozvinutý tvar hry (schéma, zobrazující posloupnosti tahů jednotlivých hráčů a reakce protihráčů.) Základní věta teorie maticových her: Každá maticová hra je řešitelná existují optimální strategie hráčů a cena hry. Typy strategií: Čistá strategie: Jednoznačně určená strategie každého hráče. Smíšená strategie: Pouze relativní četnost použití strategií při opakování hry. V tomto případě neexistuje sedlový bod. Postupuje se tak, že se normální tvar hry převede do modelu lineárního programování, který by se dále řešil simplexovým algoritmem. Pro získání nejlepšího možného výsledku je nutno použít kombinaci více strategií. Cena hry: Dolní cena hry (volba strategie druhým hráčem - sloupec), Horní cena hry (volba strategie prvním hráčem řádek) Inteligentní hráči: Hrají cílevědomě, první hráč maximalizuje svojí výhru a druhý hráč minimalizuje svoji prohru. Každý hráč hledá takovou strategii, aby si pro každou strategii protihráče zajistil nejvyšší možnou výhru, respektive nejnižší možnou prohru. Strategie, které toto hráčům zajistí, se nazývají optimální strategie. 1) Teorie rozhodování Studijní materiál č. 5 1. Uveďte stručný popis libovolného praktického problému, který by bylo možné řešit pomocí rozhodovacího modelu. Zdůvodněte, proč je použití tohoto modelu v dané situaci adekvátní. Zemědělec se rozhoduje, jakou odrůdu pšenice ozimé má zasít, jeho výnosy vychází z odolnosti vůči mrazům a škůdcům. Jedná proti neinteligentnímu hráči přírodě a rozhoduje se buď za rizika anebo za nejistoty, proto je daná situace tohoto modelu adekvátní. 2. Co je to rozhodovací proces? Stručně popište jeho jednotlivé fáze. Rozhodovací proces je postup řešení rozhodovacích problémů, ve kterých je nutno zvolit jedno rozhodnutí z více možných variant řešení. Rozhodovací proces je multidisciplinární problém. Metody jeho řešení jsou závislé na jeho věcné a procedurální stránce. - 121 - Fáze rozhodovacího procesu: Intelligence zkoumání reality, identifikace a definice problému, definice systému. Design konstrukce modelu, shromáždění dat, návrhy řešení. Choise výběr řešení modelu (Implementation řešení reálného problému). 3. Klasifikujte konfliktní situace. Co rozumíme pojmem inteligence hráče? Konfliktní situace jsou situace, ve kterých dochází ke střetu zájmů jednotlivých účastníků konfliktu. Konfliktní situace rozdělujeme na teorie her a teorie rozhodování. V teorii her dochází ke konfliktu inteligentních hráčů, oběma stranám záleží na výsledku. V teorii rozhodování je hra proti neinteligentnímu hráči protihráči nezáleží na výsledku. Hra proti přírodě. Inteligence hráče zainteresování hráče na výsledku hry. (inteligentní a neinteligentní hráč) 4. Co je podstatou modelů teorie rozhodování? Uveďte a stručně popište komponenty těchto modelů. Podstatou je volba nejlepšího rozhodnutí. Rozhodovací model obsahuje alternativy rozhodnutí, stavy okolností a výplaty. Alternativy rozhodnutí možná rozhodnutí pro řešení problému. Stavy okolností situace, které ovlivňují výsledky jednotlivých alternativ. Výplaty alternativ ohodnocení jejich výsledků při daném stavu okolností. Rozhodovací kritérium podle jakého hlediska vybíráme. Vektor rizika je-li znám vycházíme z toho, že jednotlivé varianty rozhodování je třeba posuzovat a hodnotit z hlediska budoucích situací, za nichž bude varianta rozhodnutí realizovaná. Nejčastěji se možnost, že určitá situace nastane, vyjadřuje pomocí pravděpodobnosti. Vektor rizika je vektor právě těchto pravděpodobností. 5. Odlište případy rozhodování za jistoty, za úplné nejistoty a za rizika. Ke každému případu uveďte praktický příklad. Rozhodování za jistoty pravděpodobnost realizace jistého stavu okolností je rovna 1 a pravděpodobnosti ostatních stavů okolností jsou rovny nule. Tato situace je spíše výjimečná a ve většině situací se s ní při rozhodování nesetkáme. Příklad: Majitel pozemků ví, jaký v budoucnu bude o pozemky zájem. - 122 -

Rozhodování za úplné nejistoty pravděpodobnosti realizace stavů okolností jsou neznámé nebo je za neznámé považujeme. Pro výběr rozhodnutí používá rozhodovatel postupy, které závisí na jeho míře optimismu či pesimismu. Maximaxový přístup, Waldovo kritérium, Savageovo kritérium, Bernoulli-Laplaceovo kritérium a Hurwitzovo kritérium. Příklad: Stánkař neví, jaké bude počasí na akci, ale předpokládá lepší či horší, záleží to na jeho míře optimismu a pesimismu. Rozhodování za rizika pravděpodobnosti realizace stavů okolností jsou odhadovány či známy. Rozhodovatel mívá často k dispozici více či méně věrohodné zprávy (informace) o budoucím stavu, pak z toho tedy může vyvodit přibližné pravděpodobnosti budoucí realizace jednotlivých stavů okolností (buď podle expertů nebo podle sebe). Může také používat zkušenosti z minulých období. Informace o pravděpodobnostech stavů, které nastanou, předpokládáme, že jsou známy, tedy, že je znám vektor rizika. Očekávaná hodnota výplaty (Bayesův princip), Očekávána možná ztráta a pravděpodobnost dosažení aspirační úrovně. Příklad: Stánkař neví, jaké bude počasí na akci, tedy neví, jaké bude mít tržby. 6. Co je to rozhodovací tabulka a rozhodovací strom? Jaké informace obsahují? Rozhodovací tabulka je maticovou formou zápisu rozhodovacího modelu. Jedná se o matici rozměru m x n, kde je m alternativ a n stavů okolností, prvky jsou jednotlivé výplaty v ij. 7. Jaké znáte typy dominance v rozhodovacích modelech? Ke každému typu uveďte stručnou charakteristiku a způsob, jak jej v rozhodovacím modelu zjistíte. Dominance podle výplat nejsilnější typ dominance, min (v aj ) max (b bj )-> A dominuje B podle výplat. Vezmeme nejmenší hodnotu dominující alternativy a největší hodnotu dominované alternativy. Pokud je nejmenší hodnota dominující alternativy větší než největší hodnota dominované alternativy, tak se jedná o dominanci podle výplat. S1 S2 S3 A1 10 8 7 A2 5 5 4 7 >5 => A dominuje B podle výplat Dominance podle stavů okolností v aj v bj pro všechna j -> A dominuje B podle stavů okolností. Dominující alternativa musí být všechny hodnoty výplat větší nebo stejné než dominovaná hodnota, aby šlo o dominanci podle stavů okolností. S1 S2 S3 A1 10 8 7 A2 9 5 4 A dominuje B podle stavů okolností. Dominance podle pravděpodobností profil rizika. Z tabulky výplat, kde musí být určené i hodnoty pravděpodobností (riziko), si vezmeme každou hodnotu a určíme s jakou hodnotou pravděpodobnosti tam je. Po té zakreslíme do grafu profil rizika. 8. Co je to profil rizika alternativy? Jak se vyjadřuje a jakou informaci poskytuje? Rozhodovací strom grafická forma rozhodovacího modelu. Rozhodovací strom je grafické zobrazení rozhodovacího problému. Uzly rozhodovacího stromu se rozlišují na uzly rozhodovací a situační. Hrany se rozdělují na hrany alternativ vystupující z rozhodovacích uzlů R a hrany stavů okolností vystupující ze situačních uzlů S. Výplatami v ij pro příslušnou kombinaci alternativa/stav okolností jsou ohodnoceny listy rozhodovacího stromu. Profil rizika je graf kumulativní pravděpodobnosti. Tento graf umožňuje globální pohled na pravděpodobnosti dosažení určité velikosti výplat jednotlivými alternativami. Na základě jeho analýzy lze odpovědět na dvě otázky: S jakou pravděpodobností dosáhnou jednotlivé alternativy určité hodnoty? Jakou minimální výplatu je možné očekávat u jednotlivých alternativ s danou pravděpodobností? Vyjadřuje se graficky, kde jsou zaznamenány na ose x výplaty a na ose y rizika, tedy pravděpodobnosti. 9. Jaká znáte pravidla pro rozhodování za rizika? Uveďte jejich stručnou charakteristiku. Co vše potřebujete znát k tomu, abyste je mohli aplikovat? Očekávaná hodnota výplaty Bayesův princip. Očekávaná hodnota výplaty (EMV) = vážený aritmetický průměr všech výplat každé alternativy. Váhami jsou pravděpodobnosti realizace jednotlivých stavů okolností. Pokud je kritérium v rozhodovací situaci maximalizace výplaty, bude vybrána alternativa s maximální EMV. Potřebujeme znát výplaty všech alternativ, pravděpodobnosti realizace jednotlivých stavů okolností. - 123 - - 124 -

Očekávaná možná ztráta (EOL) = vážený aritmetický průměr ztrát každé alternativy, kde váhami jsou pravděpodobnosti realizace jednotlivých stavů okolností v matici ztrát. Podle tohoto pravidla bude vybrána alternativa s minimální hodnotou EOL. Potřebujeme znát ztráty každé alternativy a pravděpodobnosti realizace jednotlivých stavů okolností. Pravděpodobnost dosažení aspirační úrovně porovnávání pravděpodobností, s nimiž jednotlivé alternativy budou poskytovat alespoň určitou hodnotu výplaty. Nejvýhodnější alternativa vybraná na základě pravděpodobnosti, s jakou bude její výplata lepší než požadovaná úroveň výplaty. Potřebujeme znát výplaty všech alternativ, dosaženou aspirační úroveň a pravděpodobnosti realizace jednotlivých stavů okolností. 10. Jaká znáte rozhodovací pravidla pro rozhodování za nejistoty vhodná pro optimistického rozhodovatele (alespoň 2)? Stručně popište jejich princip a zdůvodněte, proč jsou optimistická. Maximaxový přístup optimistický rozhodovatel, který je ochotný riskovat, je přesvědčený, že odvážnému štěstí přeje. Zvolí alternativu, která přinese nejlepší výplatu, bez ohledu na to, že může nastat i velmi nepříznivý stav okolností a výsledek rozhodnutí může být podstatně odlišný od výsledku optimisticky očekávaného. Optimistická jsou proto, že výsledkem je nejlepší alternativa. 11. Jaká znáte rozhodovací pravidla pro rozhodování za nejistoty vhodná pro pesimistického rozhodovatele (alespoň 2)? Stručně popište jejich princip a zdůvodněte, proč jsou pesimistická. Waldovo kritérium (maximinový přístup) používá pesimista, který je přesvědčený, že je lepší něco než nic. Jeho nejvýhodnější alternativou je alternativa, která je chápána jako nejlepší z nejhorších. Nevyhledává úplně nejlepší alternativu, ale pouze tu, která bude nejméně špatná. Při maximalizaci tedy vybírá minimální výplaty pro každou alternativu a pak z těchto výplat vybere maximální výplatu => ta je tedy nejvýhodnější. Savageovo kritérium (princip minimaxové ztráty) jedná se o použití Waldova kritéria v matici ztrát. 12. Jaká znáte rozhodovací pravidla pro rozhodování za nejistoty vhodná pro rozhodovatele s neutrálním postojem k riziku (alespoň 2)? Stručně popište jejich princip a zdůvodněte jejich neutralitu k riziku. Laplaceovo kritérium princip nedostatečné evidence. Rozhodování za podmínek je převedeno na rozhodování za podmínek rizika s pravděpodobnostním vektorem, jehož složky mají hodnotu 1/n. Nejvýhodnější alternativa je taková, jejíž průměr je při maximalizaci největší ze všech alternativ. Vezmeme tedy všechny alternativy a postupně uděláme jejich průměry ve všech stavů okolností. - 125 - Hurwitzovo kritérium vychází z očekávání nejlepších a nejhorších výsledků každé alternativy. Určí se tzv. optimisticko-pesimistický index. Tento index se pohybuje mezi hodnotami 0 a 1. Tento index vyjadřuje očekávaný podíl nejlepší a nejhorší výplaty každé varianty. Maximální výplata alternativy je vynásobena mírou optimismu a k tomu je přičtena míra pesimismu * nejmenší hodnota výplaty alternativy. Nejvýhodnější alternativa ze všech alternativ je taková, když při maximalizaci je maximální. 13. Co je to matice ztrát? Co vyjadřuje a jak se určí její prvky? Matice ztrát je rozhodovací matice, jejíž prvky jsou ztráty, ke kterým dojde při špatné volbě strategie inteligentního hráče pro každou strategii přírody. Při maximalizaci se v každém sloupci výplatní matice vyhledají maximální výplaty a od nich se postupně odečtou ostatní výplaty ve sloupci. V matici ztrát jsou maximální výplaty označeny nulou a ostatní výplaty jsou rozdíly mezi max. výplatou a danou výplatou v kladném čísle. 2) Teorie her 1. Uveďte stručný popis libovolného praktického problému, který by bylo možné řešit pomocí modelu teorie her. Zdůvodněte, proč je použití tohoto modelu v dané situaci adekvátní. Fotbalové utkání, zde jsou proti sobě inteligentní hráči, jejichž záměrem je výhra. Každá strana má strategie, které různě kombinuje proti inteligentnímu hráči. Hra probíhá v čase. Výsledek rozhodnutí je ovlivněn chováním druhého inteligentního hráče, v tomto případě protihráče. Je znám poté, co oba hráči realizují své strategie. 2. Jaké znáte typy modelů teorie her? Uveďte klasifikaci těchto modelů včetně stručného popisu podle alespoň dvou hledisek. Hry se opakují nebo se neopakují. Hru hrají dva nebo více hráčů. Hráči vytváří koalice, hráči nevytvářejí koalice. Hra s konečným počtem strategií nebo hra s nekonečným počtem strategií. Hra s konstantním (nulovým) součtem nebo s nekonstantním součtem. z hlediska výplat S nulovým součtem výhra jednoho je prohrou druhého, posčítání zisků a ztrát = 0 S konstantním součtem na začátku je dán balík benefitů a hráči hrají tak, aby měli, co nejvíce z tohoto balíku. S nekonstantním součtem omezení nejsou, součet výplat všech hráčů dohromady v čase je libovolný, záleží pouze na použitých strategiích. 3. Uveďte a stručně popište základní komponenty modelu teorie her. Dva hráči aktéři hry Množina strategií každého hráče stanovení každé strategie pro každého práče Kritérium hry výplaty pro každou dvojici strategií Výplatní matice tabulka, řádky a sloupce strategie hráčů a na průsečících jsou hodnoty výplat. Nulový, konstantní, nekonstantní součet. - 126 -

4. Co je to model hry v normálním a rozvinutém tvaru? Jaké informace obsahují a jak je reprezentují? Model hry v normálním tvaru vyjadřuje výplatní matice. Obsahuje strategie hráčů a jejich výplaty. První hráč má m strategií a druhý hráč má n strategií. Výplatní matice ve tvaru m x n. Většinou jsou v tabulce zapsány pouze výplaty prvního hráče, tedy toho, který má strategie v řádcích. Výplaty druhého se dopočítají. Při nulovém součtu když má první hráč kladnou výplatu, tak druhý hráč má zápornou a opačně, vždy nám součet musí dát nulu. A pokud má první hráč výplatu 0, tak se jedná o remízu, kdy druhý hráč má také nulu. Konstantní součet první hráč přesná výplata, výplata druhého hráče se vypočítá tak, že známe celkový počet benefitu a víme kolik, si vzal první hráč, zbytek náleží druhému hráči. Model hry v rozvinutém tvaru se nazývá strom hry. Kořen stromu je zahájení hry nejčastěji prvním hráčem, použije strategie a dále udělá tah druhý hráč a použije své strategie. Na listech jsou po kombinaci nasazených strategiích právě výplaty hráčů. 5. Co říká základní věta maticových her? Jakým způsobem je třeba chápat termín optimální strategie? Každá maticová hra je řešitelná existují optimální strategie hráčů a cena hry. Vždy známe doporučení pro hráče a umíme určit, jak dopadne hra podle výplat. Optimální strategie strategie zaručující nejlepší možný výsledek hráčů, když neudělají chybu. 6. Co je to čistá strategie a smíšená strategie? Je možné, abychom se ve hře chovali přesně podle doporučení naší optimální čisté strategie a přesto prohráli? Proč? Čistá strategie jednoznačně určená strategie hráče. Pokud nastane tato situace, tak jednej tak. Používá se pouze jedna strategie. Pokud uděláme chybu anebo druhý hráč zvolí ještě lepší čistou strategii. Hra nemá řešení v oboru čistých strategiích, používá se tedy smíšená strategie. Smíšená strategie je pouze relativní četnost použití strategie při opakování hry. Je stanoveno, v kolika případech se má použít jaká strategie. Vyjadřuje se pomocí pomocného modelu lineárního programování. Čistá strategie je zvláštní forma smíšené strategie. 7. Co je to sedlový bod hry? Jak jej hledáme? Musí mít každá hra sedlový bod? Sedlový bod je průsečík maximálních výplat obou hráčů. Stanoví se dolní cena hry- pro prvního hráče, druhý hráč nechá hrát s co nejmenšími výplatami prvního hráče (vyberou se nejmenší a z těch pak maximum) a horní cena hry-slouží pro 2. hráče, který vybírá ze sloupců největší číslo a z těch pak vybere minimum, vybírá nejhorší hodnoty pro 1. hráče, pro 2. hráče ovšem nejoptimálnější. Protože mu jde o to, aby měl první hráč, co nejmenší zisk. Pokud se dolní cena hry rovná horní ceně hry, tak má hra sedlový bod. Hra má sedlový bod právě tehdy, když má řešení v oboru čistých strategií. ke stejnému výsledku, stejné očekávané ceně hry v(výhře/prohře). - 127-10. Vícekriteriální rozhodování, vícekriteriální analýza variant a vícekriteriální optimalizace. Vícekriteriální rozhodování Vybrané aplikace - Výběr a nákup užitných předmětů nebo služeb - Výběr pracovníků na pracovní místo - Výběrová řízení na veřejné zakázky - Hodnocení efektivnosti - Stanovení pořadí závodníků ve vícebojích Typy modelů - Vícekriteriální optimalizační model - přípustná řešení jsou vymezena pouze implicitně (omezujícími podmínkami); - optimalizace podle dvou a více účelových funkcí; - příklad: optimalizace portfolia. - Model vícekriteriální analýzy variant - všechny přípustné varianty lze explicitně vypsat; - vybíráme podle dvou a více kritérií; - příklady: podle stanoveného cíle (viz dále). Cíl řešení modelů VAV - Nalezení jediné kompromisní varianty, kompromisního řešení - Nalezení určitého počtu kompromisních variant - Rozdělení množiny řešení na efektivní a neefektivní - Uspořádání všech řešení od nejlepšího k nejhoršímu Komponenty modelu - varianty a i, i = 1, 2, m; - kritéria f j, j = 1, 2, n; - kriteriální matice Y = (y ij ); - váhy kritérií v j, j = 1, 2,, n. - 128 - Maticový zápis modelu Varianty speciální případy Kompromisní varianta - termín optimální řešení obvykle nemá smysl; - přijatelné rozhodnutí, relativně výhodný kompromis. Dominovaná varianta - jedna varianta dominuje druhou, pokud je podle všech kritérií hodnocena alespoň tak dobře jako varianta dominovaná a alespoň v jednom kritériu je ostře lepší; - a r dominuje a s (y r1, y r2,, y rn ) (y s1, y s2,, y sn ) j: y rj >y sj. Ideální a bazální varianta - ideální varianta H = (h 1,, h n ) je varianta složená z nejlepších hodnot všech kritérií současně; - bazální varianta D = (d 1,, d n ) je varianta složená z nejhorších hodnot všech kritérií současně.

Kritéria klasifikace - Podle směru preference - maximalizační kritérium; - minimalizační kritérium. - Podle vyjádření preference - měřitelná (objektivní); - neměřitelná (subjektivní). Váhy kritérií - Vyjadřují relativní důležitost kritéria - Zapisují se číselně ve formě normalizovaného váhového vektoru - Normalizace: - b j je kvantitativně vyjádřená informace od uživatele, viz dále - Výsledek: desetinná čísla z intervalu od 0 do 1, součet je roven jedné - Interpretace: jaký díl ze 100 % připadá na dané kritérium - NEJSOU DŮLEŽITÉ ROZDÍLY MEZI VAHAMI KRITÉRIÍ, ALE POMĚRY VAH Grafické zobrazení - Hvězdicové (polygonální) zobrazení - Každé kritérium má svoji osu - špatné hodnoty u středu; - dobré hodnoty ke kraji. - Spojením pozic varianty na osách kritérií vzniká její polygon - Lze využít pro posouzení dominovanosti variant Informace o preferenci objektů - Inter a intra kriteriální preference - preference jednotlivých kritérií; - hodnocení variant podle každého kritéria. - Základní typy informací o preferenci objektů - žádná informace; - nominální informace aspirační úrovně; - ordinální informace kvalitativní uspořádání; - kardinální informace kvantitativní. - 129 - Žádná informace - Možné pouze pro váhy kritérií - Princip: kritérium je tím důležitější, čím více přispívá k rozlišení variant - Nevýhoda: nutno znát kriteriální matici v okamžiku stanovení vah kritérií - Entropická metoda Nominální informace - Pracujeme s aspiračními hodnotami kritérií - Aspirační úroveň: nejhorší přípustná hodnota kritéria, aby varianta byla akceptovatelná - Vhodné pro redukci rozsáhlých souborů variant (předvýběr) - Princip práce: experimentování s hodnotami, aby zůstal požadovaný počet variant - Metody práce s aspiračními úrovněmi - konjunktivní metoda; - disjunktivní metoda. Ordinální informace - Metoda pořadí - objekty ohodnotíme pořadovými čísly podle preferencí; - stejná preference objektů průměrná pořadová čísla; - pořadová čísla převedeme na bodové hodnocení; - bodové hodnocení normalizujeme. - Metoda kvalitativního párového porovnání - objekty porovnáváme párově - každý s každým; - preference se vyjadřuje pouze stupni lepší x horší ; - ekvivalence se vyjadřuje stupněm stejné. - Zápis preference - tabulka párového porovnání (hodnoty 1 0,5 0); - Fullerův trojúhelník (zvýraznění preferovaného objektu). - Odvození vah - podklad: počet vítězných porovnání ; - váhy: normalizace. Kardinální informace - Bodovací metoda - objekty ohodnotíme bodově na stanovené škále; - stejná preference objektů stejné bodové hodnocení; - bodové hodnocení normalizujeme. - Saatyho metoda - založena na párovém porovnání důležitosti objektů; - provádí se v Saatyho matici. - Stupnice - 1 rovnocennost; - 3 slabá preference; - 5 silná preference; - 7 velmi silná preference; - 9 absolutní preference. - Saatyho matice čtvercová, reciproční - Váhy normalizovaný geometrický průměr řádků Saatyho matice - 130 -

Vícekriteriální analýza variant výběr kompromisní varianty Konfigurace modelu VAV - Chybný postup (viz různé BP) - Začnu definicí kritérií. Zvolím si jich aspoň 10, nezapomenu vymezit kritérium Ostatní faktory. Stanovím jim důležitost podle vlastního uvážení alespoň ve třech různých sadách vah. Vezmu software a model propočítám podle všech metod, které tam najdu (aspoň 5). Použiju všechny sady vah. Všechny výsledky sečtu dohromady a mám nejobjektivnější dosažitelný výsledek, který doporučím k realizaci. - Takhle v žádném případě ne!!! Konfigurace modelu VAV Intelligence - Správný postup: nutno respektovat fáze rozhodovacího procesu - Intelligence - charakteristika zkoumaného objektu; - popis nedostatků současného stavu; - identifikace problému a cíle jeho řešení. - Výstupy pro VAV - cíl rozhodování; - profil rozhodovatele. Konfigurace modelu VAV Design - Stanovení kritérií rozhodování - musí vycházet z cíle řešení problému. - Na soubor kritérií klademe tyto požadavky - úplnost: nesmí být zanedbán žádný důležitý aspekt rozhodování; - operacionalita: každé kritérium musí mít jasně stanovený obsah a míru; - vyloučení duplicit: každý důležitý aspekt rozhodování je reprezentován právě jedním kritériem; - minimální rozsah: vyloučit kritéria s vahou blížící se nule, ale ne na úkor úplnosti souboru kritérií. - Stanovení vah kritérií - musí vycházet z cíle řešení problému; - musí vycházet z profilu rozhodovatele; - stačí jedna sada, pokud je to přípustné, lze ve fázi Choice doplnit analýzou citlivosti. - Nejlépe Saatyho metodou nebo aspoň metodou bodovací, metodu pořadí používat pouze v nouzi - Stanovení metody výběru kompromisní varianty - Volba závisí na - informaci o preferenci mezi variantami a kritérii; - rozsahu souboru variant a kritérií; - míře snahy eliminovat lidský faktor při provedení výběru. - Konfigurace metody výběru - vyžaduje-li volbu parametrů; - hodnoty parametrů musí vycházet z profilu rozhodovatele. - Stanovení množiny variant - pro každou variantu musí být uvedena stručná charakteristika; - varianta musí být ohodnocena z hlediska všech kritérií. - 131 - - Výstup fáze design pro VAV - model VAV připravený k aplikaci vybrané metody. Konfigurace modelu VAV Choice - Propočet modelu pomocí zvolené metody - Pokud je to přípustné lze dále - provést analýzu citlivosti vzhledem ke změnám vah; - v případě nejednoznačného výsledku ověřit doporučení pomocí jiného přístupu (nutno opakovat fázi Design). - Výstup fáze Choice pro VAV - varianta doporučená k realizaci. Přehled metod - Metoda aspiračních úrovní - nominální informace; - iterační, práce s nastavením aspiračních úrovní; - vhodná pro předvýběr v případě rozsáhlé úlohy. - Metoda pořadí - ordinální informace; - konstrukce matice pořadových čísel; - vhodná pro orientační určení okruhu dobrých variant. - Metoda bodovací - kardinální informace; - konstrukce matice bodových hodnocení; - nutné dodržet stejné bodové stupnice pro všechna kritéria; - vhodná pro stanovení kompromisní varianty v případě, že není možnost použití objektivnější metody. Pokročilé metody VAV - Funkce užitku - Metoda váženého součtu - Metoda bazické varianty - Minimalizace vzdálenosti od ideální varianty - Metoda TOPSIS - Analýza preferenčních vztahů - Metoda PROMETHEE - Metoda AHP - Mezní míra substituce - Metoda postupných substitucí Užitek, funkce užitku - Každé ohodnocení varianty je možno vyjádřit ve formě užitku, který tato varianta přináší - Dílčí hodnoty užitku lze sloučit do celkového užitku varianty a podle toho varianty vybírat - Metody jsou poměrně objektivní, pracují s předloženými daty bez zásahu uživatele - 132 -

Dílčí funkce užitku - Dílčí funkce užitku převádí ohodnocení řešení do intervalu 0, 1 - Může mít různý průběh Metoda váženého součtu - Založená na lineární funkci užitku - Vytvoříme normalizovanou kriteriální matici dílčích užitků R = (r ij ), jejíž prvky získáme pomocí vzorce yij dj rij = h d j j Příklad Pokročilé koncepty výběru kompromisní varianty Pokročilé metody VAV - Funkce užitku - Metoda váženého součtu - Metoda bazické varianty - Minimalizace vzdálenosti od ideální varianty - Metoda TOPSIS - Analýza preferenčních vztahů - v hierarchii - metoda AHP - podle preferenčních funkcí - metoda PROMETHEE - Mezní míra substituce - Metoda postupných substitucí Příklad Vyberte nejlepší automobil podle ceny, objemu zavazadlového prostoru a spotřeby. - Pro jednotlivé varianty vypočteme celkový užitek k u(a ) = Metoda bazické varianty - Normalizujeme kriteriální hodnoty vzhledem k vybrané (bazické) hodnotě y B - Maximalizační kritérium - Minimalizační kritérium i ij B j - Pro jednotlivé varianty vypočteme celkový užitek r ij r ij j= 1 = = y y u( a ) i v r y y j ij B j ij k = j= 1 v r j ij Příklad - 133 - Metoda TOPSIS - Snaha najít řešení, které je - co nejdále od bazální varianty; - co nejblíže ideální variantě. - Normalizace kriteriální matice r ij = i= 1 2 ij - Nikdy nepřevádět povahu kritérií min --> max - Zohlednění vah kritérií v normalizované matici - Stanovení ideální a bazální varianty H a D - Výpočet vzdáleností všech variant od ideální varianty - Výpočet vzdáleností všech variant od bazální varianty m y ij w = r v y ij ij j k + i = ij j j= 1 d ( w h ) k i = ij j j= 1 d ( w d ) 2 2-134 -

- Stanovení relativní vzdálenosti variant od bazální varianty c Metoda TOPSIS - příklad i = d d i + i + di Metoda AHP příklad Kvantifikace 3. úrovně Saatyho metoda Analytický hierarchický proces (Metoda AHP) - Základem je hierarchická struktura úlohy Cíl analýzy Úroveň 1 Metoda PROMETHEE - Založena na vyhodnocování vztahů mezi všemi dvojicemi variant z hlediska všech kritérií - Pro každé kritérium je zvolena preferenční funkce a její parametry Kritérium 1 Kritérium 2 Kritérium n Úroveň 2 Varianta 1 Varianta 2 Varianta m Úroveň 3 - Lze přidat další úrovně (např. subkritéria, experty) - Metoda založená na postupném rozvrhu vah - vychází ze stanovené hierarchické struktury problému; - prvky na vyšší úrovni hierarchie předávají svoji váhu k rozdělení prvkům na nižší úrovni hierarchie. - Velice dobře umožňuje pracovat s neměřitelnými kritérii - Pracná pro rozsáhlejší úlohy Metoda AHP příklad: Hierarchie úlohy - Pro každou dvojici variant a všechna kritéria určíme intenzitu preferencí - Pro j-té kritérium - P j (a r, a s ) = Q(d j ), pokud je hodnocení varianty a r lepší než hodnocení varianty a s ; - P j (a r, a s ) = 0, pokud nikoliv. - Globální preferenční index (GPI): P(a r, a s ) = Σv j.p j (a r, a s ) - Stanovení uspořádání variant: čistý tok - kladný tok průměr hodnot řádků matice GPI; - záporný tok průměr hodnot sloupců matice GPI; - čistý tok rozdíl mezi kladným a záporným tokem. - 135 - - 136 -

Metoda PROMETHEE příklad Volba preferenčních funkcí - cena: č. 5, p = 50, q = 25; - kufr: č. 3, p = 30; - spotřeba: č. 3, p = 0,6. Metoda postupných substitucí - Princip: vyplatí se dát více/méně peněz za lepší/horší užitné vlastnosti produktů a služeb? - Indiferenční křivka: spojnice bodů variant se stejnou hladinou preference - Porovnáváme varianty vždy podle dvou kritérií - řídící kritérium vyřazujeme z hodnocení; - ekvivalizované kritérium sloučení informací z obou kritérií, používáme pro další hodnocení. - Pro n kritérií potřebujeme n-1 kroků - Volba dvojice kritérií - Stanovení základní indiferenční křivky - Ekvivalizace hodnot řídícího kritéria - Vyloučení řídícího kritéria z rozhodování - Ekvivalizované kritérium vstupuje do dalšího hodnocení - Ukončení: zůstalo pouze 1 kritérium Vícekriteriální optimalizace Vybrané aplikace Prakticky vše je možné hodnotit vícekriteriálně - zemědělství produkční x mimoprodukční funkce; - investice výnos x rizikovost; - projektové řízení čas x náklady; - dopravní problémy čas x spotřeba paliva; - apod. Vícekriteriální rozhodování - Vícekriteriální optimalizační model - množina přípustných řešení je nekonečná. - Model vícekriteriální analýzy variant - množina přípustných řešení je konečná. Vícekriteriální optimalizace - Cíl: nalézt řešení, které bude co nejlepší z hlediska více kritérií - Kritéria mohou být protichůdná řešení není optimální, pouze kompromisní - Technicky se jedná o model vícekriteriálního lineárního programování Zápis modelu T z ( x) = c x MAX 1 T z ( x) = c x MAX 2... T z ( x) = c x MAX k 1 2 k Ax b x 0 Hledání kompromisu - Parciální optimalizace nalezení dílčích optimálních řešení - Stanovení ideální a bazální varianty - Různé přístupy k hledání kompromisního řešení - agregace kriteriálních funkcí; - převod kriteriálních funkcí na omezující podmínky; - cílové programování. Příklad problém investora Investor se rozhoduje o rozložení investice o výši maximálně 10 mil. Kč mezi akcie a podílové fondy (PF). Požaduje nakoupit akcie za minimálně 1 mil. Kč a minimálně 2 mil. Kč uložit do PF. Investor předpokládá výnos z investice 1 Kč do akcií ve výši 6 hal., z investice 1 Kč do PF ve výši 4 hal. Investor si dále ohodnotil rizikovost 1 Kč investované do akcií dvěma body (do PF jedním bodem). Jak má investor rozložit investici, aby za daných podmínek maximalizoval výnos a zároveň minimalizoval rizikovost svého portfolia? - 137 - - 138 -

12 Model problém investora 11 10 x 1 akcie (mil. Kč) 9 x 2 podílové fondy (mil. Kč) 8 7 x 1 + x 2 10 (mil. Kč) 6 x 1 1 (mil. Kč) 5 4 x 2 2 (mil. Kč) 3 z 1 = 6x 1 + 4x 2 MAX (10 tis. Kč) 2 1 z 2 = 2x 1 + x 2 MIN (mil. b.) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1, x 2 0 Parciální optimalizace - Dílčí optimální řešení - optimalizace podle jednotlivých kriteriálních funkcí (bez ohledu na funkce ostatní); - výsledky zapisujeme do kriteriální tabulky. - Ideální hodnoty kritérií -> ideální varianta - Bazální hodnoty kritérií-> bazální varianta Agregace kriteriálních funkcí investor Varianta 1 váhy 1:1 Normalizace (6; 4) 10 (0,6; 0,4) (2; 1) 3 (2/3; 1/3) Váhy 1.(0,6; 0,4) = (0,6; 0,4) 1. (2/3; 1/3) = (2/3; 1/3) Povaha a agregace z A1:1 = +(0,6; 0,4) - (2/3; 1/3) z A1:1 = -0,067x 1 + 0,067x 2 MAX Parciální optimalizace investor Ideální varianta H = (56; 4) Bazální varianta D = (14; 18) Agregace kriteriálních funkcí investor Varianta 2 váhy 1:3 Normalizace (6; 4) 10 (0,6; 0,4) (2; 1) 3 (2/3; 1/3) Váhy 1.(0,6; 0,4) = (0,6; 0,4) 3. (2/3; 1/3) = (2; 1) Povaha a agregace z A1:3 = +(0,6; 0,4) - (2; 1) z A1:3 = -1,4x 1-0,6x 2 MAX z A1:3 = 1,4x 1 + 0,6x 2 MIN Agregace kriteriálních funkcí - Součtová agregace nutno ošetřit 3 aspekty - Různé jednotky kriteriálních funkcí - normalizace cenových koeficientů proměnných. - Váhy kriteriálních funkcí - není nutný normalizovaný vektor vah; - násobíme jimi normalizované cenové koeficienty. - Povaha kriteriální funkce - maximalizační funkce přičítáme; - minimalizační funkce odčítáme; - výsledná funkce je maximalizační. - 139 - - 140 -

Převod kriteriálních funkcí na omezující podmínky - Převod všech kriteriálních funkcí na omezení kromě jedné - Levá strana omezující podmínky - dána předpisem kriteriální funkce. - Stanovení hodnoty pravé strany - v intervalu daném ideální a bazální hodnotou daného kritéria. - Stanovení typu omezení - maximalizační funkce požadavková OP; - minimalizační funkce kapacitní OP. - Kompromisní řešení optimalizace podle kriteriální funkce nepřevedené na omezení Převod kritéria na omezení investor Investor je ochoten přijmout riziko do výše 12 mil. bodů. Nová omezující podmínka 2x 1 + x 2 12 (mil. bodů) Optimalizujeme výnos z 1 = 6x 1 + 4x 2 MAX (10 tis. Kč) - jednostranné: penalizujeme pouze horší než cílové hodnoty, ale překročení cílů nám nevadí; - s váhami: váhy použijeme jako cenové koeficienty odchylkových proměnných. Cílové programování investor Stanovené cíle Cílové omezující podmínky z 1 = 40 (10 tis. Kč) 6x 1 + 4x 2 + n 1 - p 1 = 40 (10 tis. Kč) z 2 = 12 (mil. bodů) 2x 1 + x 2 + n 2 - p 2 = 12 (mil. b.) Nová kriteriální funkce (oboustranná penalizace odchylek) z = n 1 + n 2 + p 1 + p 2 MIN Nová kriteriální funkce (jednostranná penalizace odchylek) z = n 1 + p 2 MIN Nová kriteriální funkce (oboustranná penalizace odchylek s váhami 1:3) z = n 1 + 3n 2 + p 1 + 3p 2 MIN Nová kriteriální funkce (jednostranná penalizace odchylek s váhami 5:2) z = 5n 1 + 2p 2 MIN x 1, x 2, n 1, n 2, p 1, p 2 0 Cílové programování - investor Stanovené cíle 1 z 1 = 40 (10 tis. Kč) z 2 = 12 (mil. bodů) Nová kriteriální funkce z = n 1 + n 2 + p 1 + p 2 MIN x 1, x 2, n 1, n 2, p 1, p 2 0 Stanovené cíle 2 z 1 = 48 (10 tis. Kč) z 2 = 10 (mil. bodů) Nová kriteriální funkce z = n 1 + n 2 + p 1 + p 2 MIN x 1, x 2, n 1, n 2, p 1, p 2 0 Cílové programování - Stanovení cíle pro všechny kriteriální funkce - z intervalu daného ideální a bazální hodnotou daného kritéria. - Minimalizace odchylek od zvolených cílů - nedosažení: odchylkové proměnné n; - překročení: odchylkové proměnné p. - Cílové omezující podmínky - levá strana: předpis kriteriální funkce a odchylkové proměnné; - pravá strana: cíl; - typ podmínky: určení (právě rovno). - Nové kritérium: minimalizace odchylek od cílů - oboustranné: z = n + p min; - 141 - Lze takto vyřešit graficky 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-142 - Cíl riziko Přímky cílů se neprotínají v množině přípustných řešení Cíl výnos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graficky obtížné, nutno simplexem

Studijní materiál č. 1 Vícekriteriální rozhodování = v praxi jsme nuceni řešit z více úhlů (hledisek, ÚF) obtížné vybrat tu správnou, Cíl řešení z hlediska více kritérií: 1. nalezení nejlepší varianty, 2. seřazení variant dle hledisek (od nejlepší k nejhorší) Aplikace:výběr a nákup užitných předmětů, výběr pracovníků, veřejné zakázky =>Vícekriteriální analýza variant - množina přípustných řešení je konečná Cíle: nalezení jediné přijatelné varianty, nebo určitého počtu, uspořádání variant Základní komponenty: - Varianty jednotlivé konkrétní rozhodovací možnosti (a1-ap) - Kritéria - hlediska hodnocení variant (f1-fk) - Kriteriální (rozhodovací) matice - hodnocení variant podle kritérií (y11-ypk) - Váhy kritérií - vyjadřují relativní důležitost kritérií Pojmy: bazální varinta= složená z nejhorších hodnot kritérií / ideální varianta= z nejlepších dominance řešení= převaha 1 varianty nad 2. (dominující musí být alespoň v 1 kritériu lepší, v ostatních aspoň nastejno) Grafické zobrazení: Hvězdicové zobrazení (špatné hodnoty u středu, dobré u kraje) Typy informací a řešení: 1. žádná informace kritérium je tím důležitější, čím víc pomáhá k rozlišení variant Stanovíme si pořadí důležitosti dosažení cíle (nejdůležitější dáme 1 tomu přiřadíme nejvíc bodů váhy se vypočtou přidělené body / Σ všech udělených bodů). 2. nominální informace 1. => Metoda aspiračních úrovní= nejhorší přípustná hodnota kritéria, aby byla varianta akceptovatelná, ostatní vyřazujeme- předvýběr 3. ordinální informace kvalitativní uspořádání 1. => Metoda pořadí: objekty ohodnotíme pořadovými čísly podle preferencí, pořadová čísla převedeme na bodové hodnocení, bodové hodnocení normalizujeme 4. kardinální informace kvantitativní: 1. => Bodovací metoda: objekty ohodnotíme bodově na stanovené škále, stejná preference objektů > stejné bodové hodnocení, bodové hodnocení normalizujeme 2. =>Saatyho metoda: založena na párovém porovnání důležitosti, pomocí standardizované stupnice (rovnocennost)1-9 (absolutní preference) =>Vícekriteriální optimalizační model - množina přípustných řešení je nekonečná - množina variant je vyjádřena soustavou omezujících podmínek a množina kritérií je vyjádřena kriteriálními funkcemi - při řešení úloh jsou různé požadavky na výsledky (jejich podobu) - nejčastěji chceme získat jediné řešení, které vznikne kompromisem mezi kritérii (protichůdnými, kompromisní řešení a závisí na preferenci uživatele) - Řešení nazýváme parciální optimalizace nalezení dílčích optimálních řešení Řešení úloh vícekriteriálního LP Metoda aspiračních úrovní Metoda pořadí Metoda bodovací - 143 - Metoda AHP (analytického hierarchického procesu)= základem rozdělení do úrovní, dle hierarchie, na vrcholu je cíl, 2.úroveň kritéria-s určitou váhou, 3.úroveň varianty (rozdělit váhu kritéria: Saatyho maticí, bodovací metodou) Hodnocení dle užitku (subjektivní) =>Vícekriteriální optimalizace Nejlepší řešení z hlediska více kritérií= hledání kompromisu (parciální optimalizace, sestavení bazální a ideální variantou, přes kriteriální funkci) Studijní materiál č. 2 Vícekriteriální rozhodování = v praxi jsme nuceni řešit z více úhlů (hledisek, ÚF) obtížné vybrat tu správnou Cíl řešení z hlediska více kritérií: 1. nalezení nejlepší varianty 2. seřazení variant dle hledisek (od nejlepší k nejhorší) Klasifikace úloh vícekriter. rozhodování (dle způsobu zadání množiny přípustných variant) 1) vícekriteriální hodnocení variant (komplexní) - množina var. zadána explicitně - je dán konečný seznam variant a hledisek 2) úlohy vektorové optimalizace - množina variant zadána implicitně specifikací omezujících podmínek Základní pojmy: Rozhodovací matice: Y = Rozhodovací kritéria Varianty f1 f2 fk x1 y11 y1k xp yp1 ypk Optimální varianta: je-li v množině x jediná nedominovaná varianta ta nejlepší varianta tu vybereme Ideální varianta: hypotetická nebo reálná, dosahuje-li ve všech kritériích současně nejlepší hodnoty (horní) Bazální varianta: protějšek ideální (dolní) Kompromisní varianta varianta z množiny A, která má od ideální varianty nejmenší vzdálenost Nedominovaná varianta varianta ai dominuje variantu aj, jestliže platí yi1 yj1; varianty, pro které neplatí vztah jsou nedominované množina všech nedominovaných variant A N.!!! Pro hledání opt. varianty je důležité, aby všechna kritéria byla stejného typu (tj., Min, Max) pokud je jedno například min převedeme na max pomocí nové stupnice jako úsporu ve srovnání s nejhorší variantou - 144 -

Modelování preferencí uživatele vyjádření uživatelových představ, kterému kritériu dává přednost: 3 přístupy: aspirační úroveň (= uživatel si zadá hodnoty, které chce dosáhnout, aby mohl realizovat variantu) ordinální informace o kritériích (= předpokládají seřazení kritérií podle stupně důležitosti Kardinální informace o kritériích ve formě vah (= předpokládají konstrukci vah, které přiřazujeme každému kritériu. Čím je kritérium důležitější, tím větší je jeho váha Metody pro konstrukci vah: 1. metoda pořadí vyžaduje ordinární info (nejsme schopni číselně ohodnotit preference) Stanovíme si pořadí důležitosti dosažení cíle (nejdůležitější dáme 1 tomu přiřadíme nejvíc bodů váhy se vypočtou přidělené body / Σ všech udělených bodů). 2. bodovací metoda uživatel je schopen kvantitativně přiřadit body 3. Metoda párového srovnání kritérií - uživatel postupně srovnává každá dvě kritéria mezi s sebou (tzv. metoda binární komparace). Srovnán se provádí pomocí tzv. Fullerova trojúhelníku 4. metoda kvantitativního párového srovnání (Saatyho metoda) Tato metoda slouží k určení vah kritérií, hodnotí-li je pouze jeden expert. Ten porovná každou dvojici kritérií a hodnocení vyplní do tzv. Saatyho matice S následujícím způsobem: jsou-li i-té a j-té kritérium rovnocenná, je sij=1, preferuje-li slabě i-té kritérium před j-tým, je sij=3, preferuje-li silně i-té kritérium před j-tým, je sij=5, při velmi silné preferenci je sij=7, při preferenci absolutní dokonce sij=9. Je možné používat mezistupně (hodnoty 2, 4, 6, 8). Je-li preferováno j-té kritérium před i-tým, zapíší se do Saatyho matice převrácené hodnoty (sij=1/3 při slabé preferenci..). Na diagonále Saatyho matice jsou tedy jedničky (každé kritérium je samo sobě rovnocenné). Z řádků matice se vypočtou geometrické průměry, tj. všechna čísla v řádku se vynásobí a ze součinu se provede k-tá odmocnina. Nakonec se geometrické průměry řádků sečtou a každý z nich se tímto součtem vydělí. Dostanou se tak váhy, jejichž suma je rovna 1. Úprava kriteriální matice na tvar, kry všechna kritéria jsou maximalizační Z Vytvoření normalizované matice R = (rij), jejíž prvky se získají z kriteriální matice Y pomocí transformačního vzorce rij = (Yij - Dj) / (Hj Dj) Vypočte se užitek z varianty ai podle vztahu u (ai) = vj rij kde v = (v1,, vk), je vektor vah kritérií Varianty se uspořádají podle klesajících hodnot funkce užitku. Varianty, která dosáhla maximální hodnot užitku je vybrána jako nejlepší Další metody řešení úloh vícekriteriálního hodnocení variant a) Metoda váženého součtu Vychází z principu maximalizace užitku K b) Metoda TOPSIS založena na principu minimalizace vzdálenosti od ideální varianty. jako nejlepší vybírá tu, která je nejblíže k ideální variantě a nejdále od bazální varianty. - 145 - - 146 -

Metody vícekriteriálního hodnocení variant 1) metody s kardinální informací o kritériích princip: maximalizace užitku metoda váženého součtu (AHP) princip: minimalizace vzdálenosti od ideální varianty metoda TOPSIS 2) metody s ordinární informací o kritériích princip: zadání pořadí důležitosti ORESTE 3) metody s informací o aspiračních úrovních kritérií princip: heuristické prohledávání množiny variant PRIAM 4) metody založené na párovém srovnávání variant princip: stanovení prahů citlivosti AGRAPREF, ELECTRA známe všechny varianty implicitně stanoveny varianty (pomocí omezujících podmínek lineární vektorová optimalizace) Vícekriteriální optimalizace - patří do skupiny spojitých vícekriteriálních optimalizačních modelů - množina variant je vyjádřena soustavou omezujících podmínek a množina kritérií je vyjádřena kriteriálními funkcemi (= úlohy LP s více ÚF) - při řešení úloh jsou různé požadavky na výsledky (jejich podobu) - nejčastěji chceme získat jediné řešení, které vznikne kompromisem mezi kritérii (protichůdnými kompromisní řešení a závisí na preferenci uživatele) Řešení úloh vícekriteriálního LP 1) metody vycházející z dílčí optimalizace a pak se hledá kompromisní řešení - vyřešíme tolik modelů, kolik je kritérií (ÚF) a výsledky zapíšeme do kriteriální matice jako dílčí optim. řešení; na diagonále leží ideální varianta (nejlepší hodnoty ze všech) a bazální řešení (tj. nejhorší hodnoty v jednotlivých sloupcích) 2) jednotl. kriteriální funkce se agregují do jediné globální kriteriální funkce - nejjednodušší způsob řešení - agreg. ÚF ztrácí ekonomickou interpretaci (nevýhoda) - agregace konvexní lineární kombinací kritérií (přidělují se váhy a příslušná lineární kombinace kritérií je konvexní provedeme součtovou agregaci Př.: z max = 1600x1 + 2600x2 z min = 250x1 + 40x2 3) úprava kriteriálních funkcí na omezující podmínky - kteroukoliv krit. fci můžu převést na omez. podmínku a platí to i obráceně - když ÚF je max tak to formulujeme jako požadavkovou podm.: L P min kapacitní podm.: L P 4) úlohy cílového programování - pro ÚF určíme cílovou úroveň a smyslem optimalizace je vyhledat kompromisní řešení, které se k této úrovni co nejvíce přiblíží - minimalizace odchylek od cílových hodnot = to je pak ÚF - metody cílového program. mají 2 typy proměnných: strukturní umělé odchylkové (d +, d - ) představují odchylky v kladném směnu d + (označujeme p proměnné typu překročení = o kolik je skutečná hodnota vyšší než cílová) d - (označujeme n proměnné typu nedosažení) Př.: chceme max zisku z ideální varianty 62800 chceme min zat. ŽP z ideální varianty 1250 to chceme dosáhnout, spočítám o kolik se budu lišit z 1.ÚF (maximalizační) vytvořím omezující podmínku: 1600x1 + 2600x2 + n1 = 62800 n1 nedosažení ideální varianty (p1 nepřichází v úvahu nemůžu překročit ideální variantu) z 2.ÚF (minimalizační) vytvořím omezující podmínku: 250x1 + 40x2 p2 = 1250 (n2 nedosažení nepřichází v úvahu) p2 překročení ideální varianty tyto dvě nové om. podmínky přidáme k soustavě om. podmínek + z min = n1 + p2 (z min = min odchylek) 5) ostatní metody - interaktivní metody vícekrit. optimalizace (metoda ALOP je založena na principu prohledávání množiny hodnot kriteriálních funkcí úlohy stavového prostoru; závisí na průběžné komunikaci s uživatelem, jemuž nabízí směry postupu. Rozhodovatel vybírá směr prohledávání. Výsledkem je trajektorie tentativních aspiračních úrovní a získání kompromisního řešení). - iterační postupy vektorové optimalizace (metoda STEM) (založena na dialogu rozhodovatele a řešitele, který sdělí rozhod. přibližné řešení ten předá řešiteli info zpřesněné řešení opakuje se dokud není rozhodovatel ochoten řešení přijmout. součtová agregace s vahami 1:10 tj. 2 kritérium je 10x důležitější (max-min) 1/11*1600 10/11*250 = -81,81 (koeficient pro x1) 1/11*2600 10/11*40 = 200 (koeficient pro x2) z max = -81,81x1 + 200x2-147 - - 148 -

Studijní materiál č. 3 Vícekriteriálnost je podstatným rysem každého rozhodování. Úloha vícekriteriálního rozhodování je rozhodovací úloha v níž se důsledky rozhodnutí posuzují podle více kriterií. Podle způsobu zadání množiny přípustných variant lze rozlišovat úlohu: - vícekriteriálního hodnocení variant, kdy je množina variant zadána ve formě konečného seznamu variant - vícekriteriální optimalizace (vektorová optimalizace), kdy je množina variant teoreticky nekonečně velká a je implicitně vyjádřena soustavou omezujících podmínek. Vícekriteriální hodnocení variant: Každou úlohu vícekriteriálního hodnocení variant lze charakterizovat kriteriální maticí. V matici Y=(y ij ) sloupce odpovídají kritériím a řádky hodnoceným variantám. Pokud nebude uvedeno jinak, budeme předpokládat, že všechna kritéria jsou maximalizační. Nedominovaná varianta (efektivní varianta): Varianta a i dominuje variantu a j tehdy, jestliže všechny hodnoty v uvažovaném řádku a i jsou větší nebo rovné hodnotám řádku a j, aneb (y i1, y i2,, y ik )>= (y j1, y j2,, yj k ). Optimální varianta: Je varianta jednoznačně doporučená k realizaci. Ideální varianta: Je hypotetická nebo reálná varianta, která dosahuje ve všech kriteriích současně nejlepší možné hodnoty. Bazální varianta: Má všechny hodnoty kriterií na nejnižším stupni, je to opak ideální varianty. Kompromisní varianta: Je to varianta z množiny A (množina obsahující množinu nedominovaných variant), která má od ideální varianty nejmenší vzdálenost. Grafické znázornění variant: Je vhodné pro názornou ilustraci úvah, které vedou k výběru optimální varianty. Dělí se na dva způsoby grafického znázorněné: - hvězdicovité - polygonní Modelování preferencí uživatele: Modelování preferencí (výhod, předností) mezi kriterii představuje vyjádření představ uživatele, čemu dává přednost. V podstatě jsou možné tři přístupy modelování preferencí kritérií a to pomocí: - Aspirační úroveň. Uživatel zadá hodnoty (prahy), kterých by alespoň měla dosáhnout varianta hodnocená podle jednotlivých kritérií. - Ordinální informace. Ty předpokládají seřazení kritérií podle stupně důležitosti. - 149 - - Kardinální informace. Ty předpokládají konstrukci vaz, které přiřazujeme každému kritériu. Vektor vah : v=(v 1, v 2, v k ), Σv i >=0, kdy kritérium je tím důležitější, čím je větší jeho váha. Metody pro konstrukci vah: Jednotlivé metody pro stanovení vah kritérií mají subjektivní charakter a liší se svojí složitostí a náročností na typ informací, které je třeba pro jejich určení znát. - Metoda pořadí důležitosti: Vyjadřuje pouze ordinální informaci, kdy je třeba porovnat kritéria podle důležitosti z hlediska dosažení stanoveného cíle. Nejdůležitějšímu kritériu je přiřazeno číslo k, nejméně důležitému 1 a vypočtou se váhy jednotlivých kritérií. - Bodové hodnocení: Předpokládá kvantitativní ohodnocení důležitosti kritérií pomocí bodovací stupnice, která vyjadřuje podle potřeby několik stupňů hodnocení. - Párové srovnání kritérií: Uživatel postupně srovnává každá dvě kritéria mezi sebou, srovnání se provádí pomocí tzv. Fullerova trojúhelníku, dle kterého se stanoví váhy jednotlivých kritérií. - Saatyho metoda: Jde o metodu kvantitativního párového srovnání kritérií. Další metody řešení úloh vícekriteriálního hodnocení variant - Metoda váženého součtu (WSA): Vychází z principu maximalizace užitku, ale předpokládá lineární funkci užitku. Skutečnost, že varianta a i dosáhla podle kritéria f j určité hodnoty kriteriální matice y ij, přináší uživateli jistý užitek, který měříme pomocí funkční hodnoty dílčí funkce užitku (utility) u (a i ). Funkční hodnoty leží v intervalu <0,1> a čím je varianta výhodnější, tím je vyšší hodnota funkce užitku. - Metoda TOPSIS: Je založena na principu minimalizace vzdálenosti od ideální varianty, jako nejlepší vybírá tu variantu, která je nejblíže k ideální variantě a nejdále od bazální varianty. Vektorová optimalizace: Vektorová optimalizace se zabývá řešením úloh, ve kterých se předpokládá, že množina variant je nekonečná. Obecně mohou být varianty popsány jako různé možné hodnoty vícerozměrného stavového vektoru a množina přípustných variant jako množina řešení soustavy nerovností. Budeme brát v úvahu více než jedno kritérium, obdržíme úlohu s několika kriteriálními funkcemi. Metody řešení úloh vícekriteriální optimalizace: - první skupina metod se vyznačuje tím, že jednotlivé kriteriální funkce pomocí vhodně zvoleného operátoru agregují do jedné globální kriteriální funkce. Tím se vícekriteriální úloha převádí na klasickou úlohu s jedinou kriteriální funkcí. 1. agregace na základě součinů koeficientů kriteriálních funkcí 2. agregace pomocí součtové, resp. rozdílové funkce 3. agregace pomocí konvexní lineární kombinace 4. agregace pomocí lineární lomené funkce - Do druhé skupiny zahrnujeme metody, při kterých se vychází z dílčí optimalizace a pak se vhodně zvolenými postupy pokračuje ve výpočtu vyhovujícího kompromisního řešení. - 150 -

- Třetí skupina zahrnuje metody vhodné pro řešení specifických úloh cílového programování. Charakteristické je to, že pro každou uvažovanou kriteriální funkci se předem zadává požadovaná úroveň, které by měla dosáhnout. Smyslem optimalizace je nalezení takového kompromisního řešení, které se k této úrovni co nejvíce přiblíží. - Do čtvrté skupiny zahrnujeme všechny ostatní postupy. Mezi ně patří iterační metody vektorové optimalizace, ty jsou založeny na dialogu mezi vyhodnocovatelem a řešitelem. (např. metoda STEM) Studijní materiál č. 4 Vícekriteriální rozhodování: Rozhodování podle více kritérií, kde cílem je vybrat nejlepší variantu (kompromisní řešení), případně seřadit varianty od nejlepší po nejhorší. Typy variant: Optimální varianta, ideální varianta, bazální varianta, kompromisní varianta, nedominovaná varianta Vícekriteriální analýza variant: Cílem VAV je nalezení jediné přijatelné varianty, nebo určitého počtu, případně uspořádání variant Komponenty modelu: Varianty, kritéria, kriteriální matice, váhy kritérií Metody stanovení vah: Metody vyžadující ordinální informaci: Metoda pořadí, metoda Fullerova trojúhelníku Metody vyžadující kardinální informaci: Metoda bodovací, Saatyho metoda Metody VAV: Metoda váženého součtu, metoda bazické varianty, metoda AHP, metoda aspiračních úrovní, metoda TOPSIS, metoda PROMETHEE, Vícekriteriální optimalizace: Vycházejí z podstaty příkladů lineárního programování, hlavní změna je v tom že mají dvě účelové funkce. Pomocí vícekriteriální optimalizace se snažíme nalézt jediné řešení, které vznikne kompromisem mezi kritérii. Metody vícekriteriální optimalizace: Agregace kriteriální funkce, cílové programování, převod účelové funkce na omezující podmínku, grafické řešení Studijní materiál č. 5 3) Vícekriteriální analýza variant - modelování preferencí rozhodovatele 1. Uveďte alespoň tři různé oblasti aplikace modelů vícekriteriální analýzy variant. Popište konkrétní případy. Výběr a nákup užitných předmětů nebo služeb předměty, které potřebujeme déle elektronika, záleží na kvalitě, ceně, různých parametrech. Výběr pracovníků na pracovní místo obsazení jednoho pracovníka na dané místo Výběrová řízení na veřejné zakázky řídí se podle zákona Stanovení pořadí závodníků ve vícebojích stanovíme podle výkonů jednotlivých účastníků v různých disciplínách, kdy nemůžeme výkony jednoduše sčítat. 2. Uveďte a stručně popište základní typy modelů vícekriteriálního rozhodování. Jaký je mezi nimi rozdíl? Vícekriteriální optimalizační model Přípustná řešení jsou vymezena pouze implicitně (omezujícími podmínkami) Optimalizace podle dvou a více účelových funkcí Příklad: optimalizace portfolia Množina přípustných řešení je nekonečná. Cílem je nalezení takového řešení z množiny přípustných řešení, v němž je dosaženo požadovaného extrému jednotlivých kritérií. Model vícekriteriální analýzy variant Všechny přípustné varianty lze explicitně vypsat Vybíráme podle dvou a více kritérií Množina přípustných řešení je konečná. Cílem je najít variantu, která je podle všech kritérií celkově hodnocena co nejlépe, variantu kompromisní, případně seřadit varianty od nejlepší po nejhorší nebo vyloučit neefektivní varianty. Rozdíl je ve vymezení přípustných řešení či v charakteru množiny variant. 3. Uveďte a popište alespoň tři různé cíle řešení modelů vícekriteriální analýzy variant. Ke každému cíli uveďte praktický příklad. Nalezení jediné kompromisní varianty, kompromisního řešení z celé konečné skupiny variant potřebujeme vybrat jedinou přípustnou variantu jeden pracovník na jedno pracovní místo, nákup jednoho auta Nalezení určitého počtu kompromisních variant bude dána kvóta s počtem studentů, kolik se musí vzít na vysokou školu a budeme brát uchazeče, kteří prošli přes výběrové řízení do tak dlouhé doby, dokud nezaplníme danou kvótu. Rozdělení množiny řešení na efektivní a neefektivní - Uspořádání všech řešení od nejlepšího k nejhoršímu úplné uspořádání variant, všechny varianty ohodnoceny pořadovými čísly, příkladem je stanovení závodníků ve víceboji. - 151 - - 152 -

4. Z čeho se skládá model vícekriteriální analýzy variant? Stručně popište všechny jeho komponenty. Varianty jednotlivé konkrétní rozhodovací možnosti a 1, a 2. a p Kritéria hlediska hodnocení variant, f 1, f 2, f k, maximalizační a minimalizační povaha Kriteriální matice ohodnocení variant kritérii, y 11 y pk, může obsahovat kvalitativní i kvantitativní hodnoty, Váhy kritérií hodnoty, které vyjadřují relativní důležitost jednoho kritéria v porovnání s kritérii ostatními. Součet vah všech kritérií je roven jedné. Udává, jak je důležité dané kritérium oproti ostatním. 5. Co je to kompromisní varianta v modelu vícekriteriální analýzy variant? Proč nepoužíváme termín optimální varianta? Kompromisní varianta = přijatelné rozhodnutí, relativně výhodný kompromis, varianta, která bude vyhovovat všem kritériím. Termín optimální varianta nepoužíváme, protože obvykle nemá smysl. Při řešení v modelu vícekriteriální analýzy variant se hledá kompromis mezi protichůdnými kritérii. 6. Co je to dominance v modelu vícekriteriální analýzy variant? Jak ji zjišťujeme? Dominance je vztah mezi dvěma variantami. Vyjadřuje převahu jedné varianty (dominující) nad druhou variantou (dominovanou). Dominance v modelu vícekriteriální analýzy variant je právě tehdy, když jedna varianta je podle všech kritérií hodnocena alespoň tak dobře jako druhá varianta a je alespoň v jednom kritériu ostře lepší než ta druhá. Lepší varianta se nazývá dominující varianta a druhá varianta, která je horší se nazývá dominovaná. Dominanci zjistíme tak, že vezmeme hodnoty kriteriální matice jedné a druhé varianty a porovnáme je mezi sebou. Hodnoty jedné musí být stejně dobré, ale alespoň jedna hodnota musí být ostře lepší než u druhé varianty. U maximalizačního kritéria musí být hodnota dominující varianty stejná nebo větší než hodnota dominované varianty. U minimalizačního kritéria musí být dominující alespoň v jednom kritériu lepší, v tomto případě tedy menší. 7. Popište pojmy ideální varianta a bazální varianta v modelech vícekriteriální analýzy variant. Jak tyto varianty zjistíme? Jaký mají tyto varianty význam pro další řešení úlohy? Ideální varianta H je varianta složena z nejlepších hodnot všech kritérií současně. Variantu zjistíme tak, že vybere nejlepší hodnotu z kriteriální matice od každého kritéria a v případě bazální varianty vybereme nejhorší hodnoty všech kritérií. Bazální varianta D = varianta složena z nejhorších hodnot všech kritérií současně. Nejhorší hodnoty z kriteriální matice u každého kritéria. Hypotetické hodnoty, které nemají pro rozhodování význam, protože neexistují, ale určí nám prostor, ve kterém se můžeme pohybovat. My si je pro další řešení vyčleníme, protože některé metody s těmito variantami pracují. 8. Uveďte a stručně popište základní typy informací o preferenčních vztazích mezi objekty. Žádná informace Platí to pouze pro váhy kritérií, kdybychom neměli žádnou informaci o alternativách, tak nemůžeme úlohu řešit. Pokud máme kriteriální matici, ale nemáme žádnou informaci o vahách kritérií, tak si je můžeme nějakým způsobem stanovit. Princip: kritérium je tím důležitější, čím více přispívá k rozlišení variant. Pokud máme kritérium, podle něhož varianty jsou hodnoceny úplně stejně - > takové kritérium je pro nás nedůležité, proto ho můžeme vyřadit, jelikož nám neudává žádnou důležitou informaci o alternativách. Váha kritéria by byla nulová. Čím větší rozdíl mezi kriteriálními hodnotami, tím větší implicitní váha kritéria. Nevýhoda nutno znát kriteriální matici v okamžiku stanovení vah kritérií. Entropická metoda Nominální informace aspiračních úrovně Pracujeme s aspiračními hodnotami kritérií Aspirační úroveň: nejhorší přípustná hodnota kritéria, aby varianta byla akceptovatelná Vhodné pro redukci rozsáhlých souborů variant (předvýběr), ne pro malé soubory Princip práce: experimentování s hodnotami, aby zůstal požadovaný počet variant Metody práce s aspiračními úrovněmi *konjunktivní metoda přijatá varianta musí splňovat všechny aspirační úrovně kritérií *Disjunktivní metoda přijatelná varianta splňovala alespoň jednu aspirační úroveň kritérií Ordinální informace kvalitativní uspořádání Metoda pořadí - Objekty ohodnotíme pořadovými čísly podle preferencí - Stejná preference objektů průměrná pořadová čísla - Pořadová čísla převedeme na bodové hodnocení nejdůležitější kritérium má tolik bodů, kterých je objektů - Bodové hodnocení normalizujeme jednotlivá hodnocení podělený jejich součtem, součet dá hodnotu 1 a jsou to váhy kritérií. Odstupy mezi objekty jsou stejné, odstup mezi prvním a druhým je stejný jako mezi druhým a třetím Kardinální informace kvantitativní Odstupy jsou rozdílné Bodovací metoda - objekty ohodnotíme bodově na stanovené škále - stejná preference objektů stejné bodové hodnocení - bodové hodnocení normalizujeme - dokáže zohlednit odstup mezi kritérii - 153 - - 154 -

Saatyho metoda - založena na párovném porovnání důležitosti objektů -provádí se v Saatyho matici Stupnice 1 rovnocennost 3 slabá preference 5 silní preference 7 velmi silná preference 9 absolutní preference Saatyho matice čtvercová, reciproční Do řádků preferujícího kritéria dáme celé číslo a do řádku preferovaného kritéria jeho převrácenou hodnotu. Váhy normalizovaný geometrický průměr řádků Saatyho matice 9. Co je to aspirační úroveň kritéria? Jakými metodami lze s aspiračními úrovněmi kritérií pracovat? Aspirační úroveň kritéria nejhorší přípustná hodnota kritéria, aby varianta byla akceptovatelná Metody: konjunktivní (přijatelná varianta musí splňovat všechny aspirační úrovně kritérií) a disjunktivní (přijatelná varianta musí splňovat alespoň jednu aspirační úroveň kritérií) 10. Uveďte a popište výhody a nevýhody odvozování preferenčních vztahů mezi objekty pomocí metody pořadí. Uveďte konkrétní příklad problému, ve kterém byste doporučili metodu pořadí použít. Výhody Objektivní hodnocení Nevýhody odstupy mezi objekty jsou stejné, nevyjádřím nám to přesný důraz na jednotlivá kritéria. Metoda pořadí se používá tehdy, když důležitost hodnotí více expertů, koupě věci. 11. Uveďte a popište výhody a nevýhody odvozování preferenčních vztahů mezi objekty pomocí bodovací metody. Uveďte konkrétní příklad problému, ve kterém byste doporučili bodovací metodu použít. Výhody odstupy mezi kritérii jsou rozdílné, dokáže zohlednit jejich důležitost Nevýhody musí být už předem stanoveno, kolik můžeme dát nejvíce bodů nejdůležitějšímu kritériu a máme představu o důležitosti mezi kritérii. Bodovací metoda když kritéria hodnotí více expertů, přesnější než metoda pořadí. - 155-12. Uveďte a popište výhody a nevýhody odvozování preferenčních vztahů mezi objekty pomocí Saatyho metody. Uveďte konkrétní příklad problému, ve kterém byste doporučili Saatyho metodu použít. Výhody Musí splňovat požadavek konzistence, máme přesnější výsledky než předešlé metody. Nevýhody při špatném stanovení odhadu poměrů vah se stává, že Saatyho matice je nekonzistentní. Saatyho metoda určení vah kritérií, hodnotí-li je pouze jeden expert 4, 5) Vícekriteriální analýza variant - výběr kompromisní varianty 1. Uveďte hlavní chyby, kterých se třeba se vyvarovat při konstrukci modelu vícekriteriální analýzy variant. Začátek definice kritérií, zvolení si jich alespoň 10 a vymezení kritéria Ostatní faktory. Stanovení důležitosti kritérií podle vlastního uvážení alespoň ve třech různých sadách vah. Propočítání modelu pomocí software podle všech metod, které tam najdeme (alespoň 5). Použití všech sad vah. Všechny výsledky se sečtou dohromady a máme nejobjektivnější dosažitelný výsledek, který se doporučí k realizaci. 2. Uveďte obsah a výstupy fáze Intelligence při konstrukci modelu vícekriteriální analýzy variant. Obsah: Charakteristika zkoumaného objektu, popis nedostatků současného stavu, identifikace problému a cíle jeho řešení. Výstupy: cíl rozhodování, profil rozhodovatele. 3. Uveďte obsah a výstupy fáze Design při konstrukci modelu vícekriteriální analýzy variant. Stanovení kritérií rozhodování musí vycházet z cíle řešení problému Na soubor kritérií klademe tyto požadavky * úplnost: nesmí být zanedbán žádný důležitý aspekt rozhodování * operacionalita: každé kritérium musí mít jasně stanovený obsah a míru * vyloučení duplicit: každý důležitý aspekt rozhodování je reprezentován právě jedním kritériem * minimální rozhas: vyloučit kritéria s vahou blížící se nule, ale ne na úkor úplnosti souboru kritérií Stanovení vah kritérií - Musí vycházet z cíle řešení problému - Musí vycházet z profilu rozhodovatele - Stačí jedna sada, pokud je to přípustné, lze ve fázi Choice doplnit analýzou citlivosti - 156 -

Nejlépe Saatyho metodou nebo aspoň metodou bodovací, metodu pořadí používat pouze v nouzi Stanovení metody výběru kompromisní varianty Volba závisí na: *informaci o preferenci mezi variantami a kritérií *rozsahu souboru variant a kritérií *míře snahy eliminovat lidský faktor při provedení výběru Konfigurace metody výběru vyžaduje-li volbu parametrů, hodnoty parametrů musí vycházet z profilu rozhodovatele Stanovení množiny variant pro každou variant musí být uvedena stručná charakteristika Varianta musí být ohodnocena z hlediska všech kritérií Pro jednotlivé varianty spočítáme celkový užitek Metoda bazické varianty Normalizujeme kriteriální hodnoty vzhledem k vybrané (bazické) hodnotě y B Výstup: Model VAV připravený k aplikaci vybrané metody 4. Uveďte obsah a výstupy fáze Choice při konstrukci modelu vícekriteriální analýzy variant. Propočet modelu pomocí zvolené metody Pokud je to přípustné lze dále: *provést analýzu citlivosti vzhledem ke změnám vah *v případě nejednoznačného výsledku ověřit doporučení pomocí jiného přístupu (nutno opakovat fázi Design) Výstup: varianta doporučená k realizaci 5. Uveďte a charakterizujte požadavky, které klademe na množinu kritérií v modelu vícekriteriální analýzy variant. Na množinu kritérií klademe tyto požadavky: Úplnost: nesmí být zanedbán žádný důležitý aspekt rozhodování Operacionalita: Každé kritérium musí mít jasně stanovený obsah a míru Vyloučení duplicit: Každý důležitý aspekt rozhodování je reprezentován právě jedním kritériem Minimální rozsah: vyloučení kritéria s vahou blížící se nule, ale ne na úrok úplnosti souboru kritérií. Zástupci: metoda bazické varianty, metoda váženého součtu. 7. Popište princip výběru kompromisní varianty v modelu vícekriteriální analýzy variant, který je založen na měření vzdálenosti od ideální varianty. Uveďte zástupce této třídy metod. Metoda TOPSIS Snaha najít, řešení, které je co nejdále od bazální varianty, co nejblíže ideální variantě. Normalizace kriteriální matice: 6. Popište princip výběru kompromisní varianty v modelu vícekriteriální analýzy variant, který je založen na práci s funkcí užitku. Uveďte zástupce této třídy metod. Každé ohodnocení varianty je možno vyjádřit ve formě užitku, který tato varianta přináší. Dílčí hodnoty užitku lze sloužit do celkového užitku varianty a podle toho varianty vybírat. Metody jsou poměrně objektivní, pracují s předloženými daty bez zásahu uživatele. Metoda váženého součtu Založená na lineární funkci užitku Vytvoříme normalizovanou kriteriální matici dílčích užitků R = (r ij ), jejíž prvky získáme pomocí vzorce - 157 - - 158 -

9. Popište princip výběru kompromisní varianty v modelu vícekriteriální analýzy variant, který je založen na práci informací o mezní míře substituce kriteriálních hodnot. Uveďte zástupce této třídy metod. Metoda postupných substitucí Princip: vyplatí se dát více/méně peněz za lepší/horší užitné vlastnosti produktů a služeb? Indiferenční křivka: spojnice bodů variant se stejnou hladinou preference. Porovnáváme varianty vždy podle dvou kritérií: Řídící kritérium vyřazujeme z hodnocení Ekvivalizované kritérium sloučení informací z obou kritérií, používáme pro další hodnocení. 8. Popište princip výběru kompromisní varianty v modelu vícekriteriální analýzy variant, který je založen na práci preferenčními relacemi mezi variantami. Uveďte zástupce této třídy metod. V hierarchii metoda AHP Metoda založená na postupném rozvrhu vah -vychází ze stanovené hierarchické struktury problému -prvky na vyšší úrovni hierarchie předávají svoji váhu k rozdělení prvkům na nižší úrovni hierarchie. Výhoda - Velice dobře umožňuje pracovat s neměřitelnými kritérii Nevýhoda - Pracná pro rozsáhlejší úlohy Podle preferenčních funkcí metoda PROMETHEE Založena na vyhodnocování vztahů mezi všemi dvojicemi variant z hlediska všech kritérií Pro každé kritérium je zvolena preferenční funkce a její parametry Pro každou dvojici variant a všechna kritéria určíme intenzitu preferencí Pro j-té kritérium: P j (a r, a s ) = Q(d j ), pokud je hodnocení varianty a r lepší než hodnocení varianty a s. P j (a r,a s ) = 0, pokud nikoliv. Stanovení uspořádání variant: čistý tok Kladný tok průměr hodnot řádků matice GPI Záporný tok průměr hodnot sloupců matice GPI Čistý tok rozdíl mezi kladným a záporným tokem. Pro n kritérii potřebujeme n-1 kroků Volba dvojice kritérií Stanovení základní indiferenční křivky Ekvivalizace hodnot řídícho kritéria Vyloučení řídícího kritéria z rozhodování Ekvivalizované kritérium vstupuje do dalšího hodnocení Ukončení: zůstalo pouze 1 kritérium 7) Vícekriteriální optimalizace 1. Uveďte praktický příklad použití modelu vícekriteriální optimalizace a zdůvodněte, proč je použití tohoto modelu v daných podmínkách adekvátní. Zemědělství produkční x mimoprodukční funkce Investice výnos x rizikovost Projektové řízení čas x náklady Dopravní problémy čas x spotřeba paliva Nelze vypsat přípustná řešení, pouze jsou omezeny podmínkou. 2. Popište podstatu modelů vícekriteriální optimalizace. Jak nazýváme řešení, které pomocí tohoto modelu získáme? Cíl: nalézt řešení, které bude co nejlepší z hlediska více kritérií Kritéria mohou být protichůdná řešení není optimální, pouze kompromisní Nepoužíváme optimální řešení, protože nemá řešení, které vyhovuje všem kritériím. Technicky se jedná o model vícekriteriálního lineárního programování Kompromisní řešení řešení, které pomocí tohoto modelu získáme 3. Uveďte a stručně popište komponenty modelu vícekriteriální optimalizace. Proměnné Omezující podmínky Účelové funkce Podmínky nezápornosti - 159 - - 160 -

4. Uveďte a stručně charakterizujte alespoň tři přístupy k hledání kompromisního řešení v modelech vícekriteriální optimalizace. Agregace kriteriálních funkcí Převod kriteriálních funkcí na omezující podmínky Cílové programování můžeme použít i u modelu s jedním kritériem, když nám nestačí použít max. nebo min. 5. Co je to parciální optimalizace v modelech vícekriteriální optimalizace? Jak se provádí a jakou informaci nám poskytují její výsledky? Parciální optimalizace - Nalezení dílčích optimálních řešení. Optimalizace podle jednotlivých kriteriálních funkcí (bez ohledu na funkce ostatní) Výsledky zapisujeme do kriteriální tabulky. Po sestavení modelu (stanovení proměnných, omezujících podmínek, účelových funkcí a podmínek nezápornosti) si sestavíme graf, kde zakreslíme omezující podmínky a po té si zakreslíme účelové funkce optimální. Sestavíme si tabulku s optimálními účelovými funkcemi v řádcích a ve sloupcích jsou proměnné a pak účelové funkce z1.z k. Dopočítáme chybějící proměnné a účelové funkce. Po té z tabulky vybereme ideální a bazální variantu. Nestanoví nám přímo kompromisní variantu, ale určí nám intervaly, ve kterých se řešení má pohybovat. 6. Co je to ideální varianta a bazální varianta v modelech vícekriteriální optimalizace? Jak je zjistíme? Ideální variant je tvořena z ideálních hodnot kritérií (nejlepší hodnota ve všech kritérií) Bazální varianta bazální hodnoty kritérií (nejhorší hodnota ze všech kritérií) Vycházíme z parciální optimalizace, kdy si sestavíme model, sestavíme si řešení graficky, do grafu si zakreslíme optimální účelové funkce a proměnné. Po té si sestavíme tabulku s optimálními účelovými funkcemi a dopočítáme proměnné, které neznáme a účelové funkce. Vybereme nejlepší hodnoty všech účelových funkcí pro ideální variantu a pro bazální vybereme nejhorší hodnoty účelových funkcí. 7. Na jakém principu je založena agregace kriteriálních funkcí v modelech vícekriteriální optimalizace? Jaké aspekty musíme ošetřit při konstrukci agregované kriteriální funkce? Agregace dávat něco dohromady. Sloučení všech funkcí do jedné. Součtová agregace nutno ošetřit 3 aspekty Různé jednotky kriteriálních funkcí normalizace cenových koeficientů proměnných. Normalizaci uděláme tak, že sečteme proměnné a každou proměnnou vydělíme zvlášť jejich součtem. Váhy kriteriálních funkcí není nutný normalizovaný vektor vah, Násobíme jimi normalizované cenové koeficienty. Povaha kriteriální funkce maximalizační funkce přičítáme; minimalizační funkce odečítáme; výsledná funkce je maximalizační. - 161-8. Na jakém principu je založen převod kriteriálních funkcí na omezující podmínky v modelech vícekriteriální optimalizace? Jak se tento převod provádí? Převod všech ÚF na omezující podmínky kromě jedné Stanovení hodnoty pravé strany v intervalu daném ideální a bazální hodnotou daného kritéria. Stanovení typu omezení maximalizační funkce požadavková OP, Minimalizační funkce kapacitní OP. Zúží se nám možná množina řešení, máme více omezujících podmínek. Kompromisní řešení optimalizace na zbylou účelovou funkci 9. Na jakém principu je založeno cílové programování v modelech vícekriteriální optimalizace? Jak se konstruují cílové omezující podmínky? Stanovení cíle pro všechny ÚF z intervalu daného ideální a bazální hodnotou daného kritéria. Minimalizace odchylek od zvolených cílů - Nedosažení: odchylkové proměnné n, - Překročení: odchylkové proměnné p. Pro všechny ÚF cílové omezující podmínky. Levá strana: předpis kriteriální funkce a odchylkové proměnné; Pravá strana: cíl; Typ podmínky: určení (právě rovno) Nová ÚF: z = n+ p -> min (minimalizace odchylek od cílů) Jednostranné: penalizujeme pouze horší než cílové hodnoty, ale překročení cílů nám nevadí; S váhami: váhy použijeme jako cenové koeficienty odchylkových proměnných. 10. Jakým způsobem se zohledňují různé váhy kriteriálních funkcí v modelech cílového programování? Jaký je rozdíl mezi jednostrannou a oboustrannou penalizací odchylek od zadaných cílů? Nedosažení daného cíle, zhoršení účelové funkce o váhu kritéria. Váhy jsou použity jako cenové koeficienty odchylkových proměnných. U jednostranných si stanovíme, že penalizujeme pouze horší než cílové hodnoty, ale překročení cílů nám nevadí. U oboustranných bereme nedosažení i překročení. Nová účelová funkce je minimalizace. Minimalizace odchylek od cílů. - 162 -

11. Modely pro hodnocení efektivnosti. Modely DEA Vybrané přístupy k hodnocení efektivnosti. Metoda DEA. Praktické aplikace - Řízení lidských zdrojů - Měření výkonnosti organizace nebo její části - Výkon státní správy - Mezinárodní srovnávání Pojem efektivnosti - Musíme vždy vědět, jakou efektivnost zkoumáme - Základem je koncept 3E - Economy dělat věci hospodárně; - Efficiency dělat věci účinně; - Effectiveness dělat věci účelně. - Dál se budeme zabývat zejména měřením účinnosti - hospodárnost přidělení zdrojů a jejich šetření; - účelnost dána strategickou úrovní řízení. Metoda DEA - Data Envelopment Analysis - Hodnotí poměr vstupy/výstupy - Měří efektivnost objektů (tzv. produkčních jednotek) v rámci daného souboru - rozděluje jednotky na efektivní a neefektivní; - porovnává jednotky vzhledem k nejlepším jednotkám; - udává, v čem a jak zlepšit neefektivní jednotky, aby se staly efektivními. Metoda DEA komponenty - Produkční jednotky (DMU 1 - DMU p ) jednotlivé hodnocené objekty varianty - Vstupy (X 1 X m ) minimalizační kritéria - Výstupy (Y 1 Y n ) maximalizační kritéria - Spotřeba vstupů (x 11 x pm ) a produkce výstupů (y 11 y pn ) kriteriální matice - Technická efektivnost DMU (φ 1 - φ p ) agregované kritérium účinnosti transformace Metoda DEA - vstupní údaje - Jednotka je efektivní, jestliže spotřebovává relativně malé množství vstupů k produkci relativně velkého množství výstupů - Pro všechny produkční jednotky počítáme relativní technickou efektivnost n j= 1 Φk =, k = 1,2,... p m v x i= 1 u y jk ik jk ik - jako poměr vážené sumy vstupů a vážené sumy výstupů - Váhy nastavujeme tak, aby φ k bylo maximální - Efektivnost jednotek dále ovlivňuje zvolený typ výnosů z rozsahu - Výnosy z rozsahu mohou být - konstantní; - rostoucí; - klesající; - nerostoucí; - neklesající; - proměnlivé. Základní typy modelů DEA - S konstantním výnosem z rozsahu - CCR autoři Charnes, Cooper, Rhodes; - lineární výnos z rozsahu; - vstupově nebo výstupově orientovaný. - S proměnlivým výnosem z rozsahu - BCC autoři Banker, Charnes, Cooper; - po částech lineární výnos z rozsahu; - opět vstupově nebo výstupově orientovaný. - Dále se budeme zabývat pouze modely CCR Virtuální jednotka a peer jednotky - Vždy se určují vzhledem k vybrané produkční jednotce - Virtuální jednotka hypotetická (někdy reálná) efektivní jednotka, která vyjadřuje efektivní spotřebu vstupů a produkci výstupů pro neefektivní jednotku - Peer jednotky reálné efektivní jednotky, jejichž vážený součet určuje danou virtuální jednotku Metoda DEA pojetí efektivnosti - Relativní míra efektivnosti vážená suma výstupů efektivnost = vážená suma vstupů - 163 - - 164 -

Vstupově orientovaný model CCR Matematický zápis modelu - Každá produkční jednotka má svůj vlastní model - Pro H-tou produkční jednotku: - Po úpravě model lineárního programování - Stále pro H-tou produkční jednotku: Příklad Šest obchodních zástupců uzavřelo za sledované období kontrakty ve stejné výši 5 mil. Kč. Jejich mzdy a celková najetá vzdálenost za sledované období jsou v tabulce: Řešení příkladu tis. Km 7 6 Dolejšová 5 4 3 2 Anděl Cink Eliášová Burda Fulínová Φ n H jh = jh j = 1 m ih i= 1 u u v,v ih n jh j = 1 m ih i = 1 y x jk ik u v 0 y x jh ih MAX 1 pro k = 1, 2,..., p Φ m = i= 1 jh j = 1 ih ih i= 1 m u H v,v v x ih ih n x u = 1 ik jh 0 + y jh n j = 1 MAX u jh y jk 0 pro k = 1, 2,..., p 1 Zjistěte, kteří obchodní zástupci hospodařili se svými zdroji efektivně. U neefektivních navrhněte krácení zdrojů. Vstupově orientovaný model CCR - Hledá efektivní množství vstupů odpovídající daným výstupům - Pro každou jednotku stanoví individuální váhy vstupů a výstupů - jednotka maximalizuje svůj koeficient technické efektivnosti Φ H ; - váhy nemohou být záporné; - při použití tohoto souboru vah pro všechny jednotky nesmí být žádný koeficient technické efektivnosti větší než jedna. - 165-0 0 10 20 30 40 tis. Kč Výsledek modelu - Efektivnost zkoumané jednotky - Φ H = 1, potom je jednotka efektivní; - Φ H < 1, potom je jednotka neefektivní. - Váhy vstupů hodnoty proměnných v i - Váhy výstupů hodnoty proměnných u j - Peer jednotky viz nebázické doplňkové proměnné - Virtuální jednotka - lineární kombinace peer jednotek; - koeficienty jejich duální ceny. Příklad V dalším období pracovali obchodní zástupci s následujícími parametry: Zhodnoťte efektivnost vynaložených nákladů na činnost těchto zástupců. - 166 - Model LP pan Anděl Φ = 4u MAX 1 11 20v + 5v = 1 11 21 20v 5v + 4u 0 11 21 11 28v 3v + 5u 0 11 21 11 20v 3v + 5u 0 11 21 11 17v 6v + 5, 5u 0 11 21 11 32v 5v + 8u 0 11 21 11 40v 2v + 5u 0 11 21 11 u, v, v 0 11 11 21

Model LP pan Anděl Linkosa Výsledek pan Anděl Linkosa Matematický zápis modelu - Každá produkční jednotka má opět svůj vlastní model - Pro H-tou produkční jednotku: - Po úpravě model lineárního programování - Stále pro H-tou produkční jednotku: Kompletní výsledky Interpretace pro pana Anděla Efektivnost = 70% Peer jednotky: Cink, Dolejšová Virtuální jednotka: - mzda: 13 970 Kč - najeto: 3 510 Km Φ H m j= 1 m j= 1 ih ik i= 1 n u jh vih xih i= 1 = MIN n u y v x u jh jk jh, v 0 ih y jh 1 pro k = 1,2,..., p H ih ih i= 1 n j= 1 m jh m Φ = v x MIN jh = 1 v x + u y 0 pro k = 1, 2,..., p u ih ik jh jk i= 1 j= 1 jh u, v 0 ih y n Výstupově orientovaný model CCR - Někdy nám až tak nezáleží na zdrojích, ale chceme odpovídající výkon - Hledá se tedy efektivní množství výstupů odpovídající daným vstupům - Pro každou jednotku se stanoví individuální váhy vstupů a výstupů - jednotka minimalizuje svůj koeficient technické efektivnosti Φ H ; - váhy nemohou být záporné; - při použití tohoto souboru vah pro všechny jednotky nesmí být žádný koeficient technické efektivnosti menší než jedna. Výsledek modelu - Koeficient efektivnosti zkoumané jednotky - Φ H = 1, potom je jednotka efektivní; - Φ H > 1, potom je jednotka neefektivní. - Váhy vstupů hodnoty proměnných v i - Váhy výstupů hodnoty proměnných u j - Peer jednotky viz nebázické doplňkové proměnné - Virtuální jednotka - lineární kombinace peer jednotek; - koeficienty jejich duální ceny. Příklad Uznejte obchodním zástupcům jejich vstupy ve II. období, ale prověřte jejich efektivnost z hlediska uzavřených kontraktů Neefektivním obchodním zástupcům určete výkon odpovídající efektivnímu vynaložení zdrojů Model LP pan Anděl Φ = 20v + 5v MIN 1 11 21 4u = 1 11 20v 5v + 4u 0 11 21 11 28v 3v + 5u 0 11 21 11 20v 3v + 5u 0 11 21 11 17v 6v + 5,5u 0 11 21 11 32v 5v + 8u 0 11 21 11 40v 2v + 5u 0 11 21 11 u, v, v 0 11 11 21-167 - - 168 -

Model LP pan Anděl Linkosa Výsledek pan Anděl Linkosa Kompletní výsledky Studijní materiál č. 1 Interpretace pro pana Anděla Efektivnost = 143% (měl by zvýšit výstup o 43%) Peer jednotky: Cink, Dolejšová Virtuální jednotka: - kontrakty: 5,74 mil. Kč Metoda DEA - výhody a nevýhody Výhody - individuální model pro každou jednotku; - dobře interpretovatelné výsledky; - nevyžaduje agregovatelnost vstupů a výstupů; - dobře si poradí s měkkými faktory (sociální, environmentální, apod.) jako vstupy a výstupy. Nevýhody - platnost výsledků je omezena na danou skupinu objektů; - nezkoumá se efektivnost teoretická, ale praktická; - náročné na ruční zpracování výpočtu (odpadá při použití vhodného softwaru). EFEKTIVNOST záleží na tom, jakou zkoumáme Koncept 3E Efficacy (dělat věci hospodárně, neplýtvat zdroji) Efficiency (dělat věci účinně, co nejlépe) Effectiveness (dělat věci účelně, poměr vstupů a výstupů) Měření: Hospodárnost (použití zdrojů) Účelnost (co, jak dělat, aby to bylo v souladu s cíli organizace) MĚŘENÍ EFEKTIVNOSTI POTÍŽE Jak ji měřit, jak měřit vstupy a výstupy a jak je porovnávat? Pro koho ji měřit, kdo a proč tyto ukazatele potřebuje a jak s nimi naloží? Měřit současnou efektivnost nebo více záleží na jejím trendu? Použít jednokriteriální metodiku nebo vícekriteriální? Lze porovnávat výsledek podniku s oborovým standardem? APLIKACE: Řízení lidských zdrojů, Měření výkonnosti organizace nebo její části Zavedení inovací FINANČNÍ UKAZATELE PRO HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI PODNIKU 1. Jednorozměrné celá řada ukazatelů (rentabilita, likvidita, ). Význam má spíše jejich vývoj v čase a analýza příčin jejich hodnot. 2. Vícerozměrné (př. Altamanův test), agregace vybraných hledisek, výsledky jsou obvykle jen velmi orientační. 3. Ekonomická přidaná hodnota (EVA) bere v úvahu náklady ušlé příležitosti, EVA = čistý zisk z operativní činnosti podniku vážené náklady kapitálu METODIKA PRO HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI Balanced Scorecard - Založeno na vícekriteriálním hodnocení. Čtyři pohledy finanční, zákaznický, interní proces, inovace. Metodiku je nutno nastavit podle individuálních potřeb podniku. Princip: žádný pohled nesmí převážit pohledy ostatní. EFQM Vícekriteriální Sleduje devět oblastí (vedení, politika a strategie, lidé, partnerství a zdroje, procesy, výsledky směrem k zákazníkům, výsledky směrem k zaměstnancům, výsledky směrem ke společnosti, klíčové výsledky). Různé oblasti mají různou váhu, dána maximálním počtem bodů, které je možno získat. Maximum 1000 bodů, dobré alespoň 500. Lze graficky vyjádřit - pavučinový model. METODA DEA (Data envelope analysis) Hodnotí poměr vstupy /výstupy (účinnost transformace). Měří efektivnost objektů (tzv. produkčních jednotek) v rámci daného souboru o Rozděluje jednotky na efektivní a neefektivní o Porovnává jednotky vzhledem k nejlepším jednotkám, o Udává, v čem a jak zlepšit neefektivní jednotky, aby se staly efektivními. - 169 - - 170 -

ZÁKLADNÍ KOMPONENTY Produkční jednotky jednotlivé hodnocené objekty (varianty) Vstupy minimalizační kritéria / Výstupy maximalizační kritéria Spotřeba vstupů a produkce výstupů kriteriální matice Technická efektivnost- agregované kritérium účinnosti transformace (slouží ke klasifikaci) EFEKTIVNOST PODLE METODY DEA Jednotka je efektivní, jestliže spotřebovává relativně malé množství vstupů k produkci relativně velkého množství výstupů.(podíl relativních výstupů/ relat.vstupy) Pro všechny produkční jednotky počítáme relativní technickou efektivnost jako poměr vážené sumy vstupů a vážené sumy výstupů. Váhy nastavujeme tak, aby tech.efektivnost byla max. Efektivnost jednotek dále ovlivňuje zvolený typ výnosů z rozsahu (konstantní, rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, proměnlivé) MODELY BCC s proměnlivým výnosem z rozsahu po částech lineární výnos z rozsahu, opět vstupově nebo výstupově orientovaný CCR lineární výnos z rozsahu, vstupově (Hledá efektivní množství vstupů odpovídající daným výstupům) nebo výstupově orientovaný (Hledá se tedy efektivní množství výstupů odpovídající daným vstupům, chceme odpovídající výkon) VÝHODY A NEVÝHODY MODELŮ DEA Výhody individuální model pro každou jednotku, dobře interpretovatelné výsledky, dobře si poradí s měkkými faktory (sociální, environmentální) jako vstupy a výstupy. Nevýhody platnost výsledků je omezena na danou skupinu objektů, nezkoumá se efektivnost teoretická ale praktická, náročné na ruční zpracování výpočtu (odpadá při použití vhodného softwaru) Studijní materiál č. 2 Metoda DEA (Data envelope analysis): Hodnocení vstupů a výstupů měřením efektivnosti v rámci daného souboru, rozděluje jednotky na efektivní a neefektivní, porovnává jednotky vzhledem k nejlepším jednotkám, udává v čem a jak zlepšit neefektivní jednotky, aby byly efektivní. Výhody metody DEA: Individuální model pro každou jednotku, dobře interpretovatelné výsledky, nevyžaduje agregovatelnost vstupů a výstupů - 171 - Nevýhody metody DEA: Platnost výsledků je omezena na danou skupinu objektů, nezkoumá se efektivnost teoretická, ale praktická, náročné na ruční zpracování výpočtu (odpadá při použití vhodného softwaru) Komponenty modelu: Produkční jednotky (varianty), vstupy, výstupy, kriteriální matice, technická efektivnost Pojetí efektivnosti podle metody DEA: Jednotka je efektivní, jestliže spotřebovává relativně malé množství vstupů k produkci relativně velkého množství výstupů. Efektivnost jednotek dále ovlivňuje zvolený typ výnosů z rozsahu (konstantní, rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, proměnlivé) Modely: BCC: S proměnlivým výnosem z rozsahu (po částech lineární výnos z rozsahu) CCR: S konstantním výnosem z rozsahu (lineární výnos z rozsahu) Virtuální jednotka: Hypotetická efektivní jednotka, která vyjadřuje efektivní spotřebu vstupů a produkci výstupů pro neefektivní jednotku Peer jednotka: Reálné efektivní jednotky, jejichž vážený součet určuje danou virtuální jednotku Vstupově orientovaný model CCR: Hledá efektivní množství vstupů odpovídající daným výstupům Výstupově orientovaný model CCR: Hledá efektivní množství výstupů odpovídající daným vstupům 6) Hodnocení efektivnosti, metoda DEA Studijní materiál č. 3 1. Uveďte alespoň 3 různé oblasti aplikace metod pro měření efektivnosti. Ke každé z nich uveďte praktický příklad. Řízení lidských zdrojů hodnocení výkonosti pracovníků Měření výkonnosti organizace nebo její části Výkon státní správy hodnocení výkonosti státní správy, jednotlivých úřadů Mezinárodní srovnávání srovnávání v rámci států z různých hledisek 2. Co rozumíme pojmem efektivnost? Charakterizujte alespoň 3 významy tohoto pojmu a ke každému z nich uveďte praktický příklad. Musíme vždy vědět, jakou efektivnost zkoumáme. Základem je koncept 3E Efficacy dělat věci hospodárně nevynakládat větší úsilí, než je nezbytně nutné, neplýtvat náklady Efficiency dělat věci účinně dělat věci nejlépe, jak je možné Effectiveness dělat věci účelně nedělat to, co není potřeba, ale zároveň dělat to, co je potřeba. - 172 -

Měření účinnosti -hospodárnost přidělení zdrojů a jejich šetření -účelnost dána strategickou úrovní řízení Hodnocení efektivnosti otázky *Způsob měření vstupů a výstupů *Uživatele hodnocení pro koho měřit, kdo a proč tyto ukazatele potřebuje a jak s nimi naloží *Zaměření analýzy v čase *Metodika počet hledisek (jednokriteriální fin. analýza x vícekriteriální) Existence oborových standardů benchmarking (srovnávání podniku s nějakými jinými podniky, nejlépe s těmi, co jsou na špičce v oboru) 3. Na jakém principu je založena metoda DEA? Jaké informace poskytuje? Hodnotí poměr vstupy/výstupy Měří efektivnost objektů (tzv. produkčních jednotek) v rámci daného souboru -rozděluje jednotky na efektivní a neefektivní -porovnává jednotky vzhledem k nejlepším jednotkám -udává, v čem a jak zlepšit neefektivní jednotky, aby se staly efektivními 4. Uveďte a stručně popište základní komponenty modelu DEA. Produkční jednotky (DMU 1 - DMU p ) jednotlivé hodnocené objekty varianty (ve VAV) Vstupy (X 1 -X m ) minimalizační kritéria (ve VAV) Výstupy (Y 1 -Y n ) maximalizační kritéria (ve VAV) Spotřeba vstupů (x 11 -x pm ) a produkce výstupů (y 11 -y pn ) kriteriální matice (ve VAV) Technická efektivnost DMU (fí1 - fíp)-agregované kritérium účinnosti transformace výsledek, podle kterého můžeme dále jednotky klasifikovat 5. Uveďte, jakým způsobem chápe efektivnost metoda DEA. Relativní míra efektivnosti Efektivnost = vážená suma výstupů/vážená suma vstupů Jednotka je efektivní, jestliže spotřebovává relativně malé množství vstupů k produkci relativně velkého množství výstupů. 6. Co jsou to výnosy z rozsahu? Jaké typy výnosů z rozsahu se používají v metodě DEA? Jak jejich volba ovlivňuje efektivnost produkčních jednotek? Výnosy z rozsahu stav, kdy máme určité vstupy (práce, půda, kapitál) a z nich tvoříme nějaký výstup. Výnosy z rozsahu mohou být: konstantní, rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající a proměnlivé. Základní typy modelů DEA S konstantním výnosem z rozsahu = CCR autoři Charnes, Cooper, Rhodes -lineární výnos z rozsahu -vstupově nebo výstupově orientovaný S proměnlivým výnosem z rozsahu BCC autoři Banker, Charnes, Cooper Po částech lineární výnos z rozsahu Opět vstupově nebo výstupově orientovaný 7. Co je to virtuální jednotka a peer jednotka v modelech DEA? Jakou informaci nám poskytuje? Tyto jednotky se vždy určují vzhledem k vybrané produkční jednotce. Virtuální jednotka hypotetická (někdy reálná) efektivní jednotka, která vyjadřuje efektivní spotřebu vstupů a produkci výstupů pro neefektivní jednotku. Peer jednotky reálné efektivní jednotky, jejichž vážený součet určuje danou virtuální jednotku. 8. Charakterizujte vstupově orientovaný model CCR. Hledá efektivní množství vstupů odpovídající daným výstupům. Pro každou jednotku stanoví individuální váhy vstupů a výstupů. - jednotka maximalizuje svůj koeficient technické efektivnosti fí H - váhy nemohou být záporné - při použití tohoto souboru vah pro všechny jednotky nesmí být žádný koeficient technické efektivnosti větší než jedna Efektivnost jednotka dále ovlivňuje zvolený typ výnosů z rozsahu. - 173 - - 174 -

9. Charakterizujte výstupově orientovaný model CCR. Někdy nám až tak nezáleží na zdrojích, ale chceme odpovídající výkon Hledá se tedy efektivní množství výstupů odpovídající daným vstupům. Pro každou jednotku se stanoví individuální váhy vstupů a výstupů -jednotka minimalizuje svůj koeficient technické efektivnosti fí H -váhy nemohou být záporné -při použití tohoto souboru vah pro všechny jednotky nesmí být žádný koeficient technické efektivnosti menší než jedna. 10. Uveďte a popište hlavní výhody a nevýhody modelů DEA (alespoň 2 výhody a 2 nevýhody). Výhody: Individuální model pro každou jednotku Dobře interpretovatelné výsledky Nevyžaduje agregovatelnost vstupů a výstupů Dobře si poradí s měkkými faktory (sociální, environmentální, apod.) jako vstupy a výstupy Nevýhody: Platnost výsledků je omezena na danou skupinu objektů Nezkoumá se efektivnost teoretická, ale praktická Náročné na ruční zpracování výpočtu (odpadá při použitý vhodného softwaru) - 175 - - 176 -

12. Stochastické procesy. Markovské řetězce a modely hromadné obsluhy. Stochastické procesy I. Základní pojmy, Bernoulliho posloupnost, Markovské řetězce Vybrané aplikace Obecně: všude, kde působí faktor náhody Odhad pravděpodobnosti poruchy nebo pojistné události Obnova a zálohování poruchových částí strojů Výpočty v pojišťovnictví Prognózy volebních výsledků, účinnosti marketingových kampaní Definice stochastického procesu Stochastický proces je funkce dvou proměnných, jedna z nich je náhodná a druhá nenáhodná. teplota pondělí X(t) = F(t,e) 2 e náhodný jev 1 t nenáhodná veličina (obvykle čas) 0 Realizace stochastického procesu Realizace náhodného procesu je nenáhodná funkce. (nahoře ve spojitém čase, dole v diskrétním čase) e = e 0 (, ) = x( t) F t e 0-1 0 5 10 15 20 25-2 -3-4 -5-6 -7 2 1-2 -3-4 -5-6 -7 teplota pondělí 0-1 0 5 10 15 20 25 Nejdůležitější parametry Střední hodnota=střední hodnotě odpovídajícího průseku Rozptyl =rozptylu odpovídajícího průseku Pulsace=centrovaný stochastický proces Korelační funkce o { ( )}, x ( t) E X t { } o 2 ( ) 2 D{ X ( t) } = E ( X ( t) x ( t )) = E X t ( ) ( ) X = X t x t { } ( 1, 2 ) ( 1) ( 1) ( 2 ) ( 2 ) o o = E{ X ( t1 ) X ( t2 )} k t t = E X t x t X t x t = (, ) Normovaná korelační funkce=korelační koeficient r t t Členění stochastických procesů Příklady stochastických procesů 1 2 = σ k ( t1, t2 ) ( t ) σ ( t ) 1 2 4 2 Průsek stochastického procesu Průsek stochastického procesu je náhodná veličina. Má střední hodnotu a rozptyl. 0 0 8 16 24 teplota pondělí -2 teplota úterý teplota středa -4-6 t = t 0 F t e = X t ( ) ( ) 0, -8 Definice pravděpodobnosti Rozvoj: od 17 stol. (hazardní hry) Míra očekávatelnosti výskytu náhodného jevu m P( A) = n - 177 - - 178 -

Klasická (Laplaceova) definice: o konečný počet různých výsledků; o všechny výsledky jsou stejně možné; o žádné dva výsledky nemohou nastat současně. Statistická definice: o N náhodných pokusů; o výskyt jevu A v K případech. P( A) Další definice: o geometrická definice, o Kolmogorova definice, Vyjádření pravděpodobnosti Relativní četnost o desetinným číslem p <0; 1>; o v procentech. Šance (odds) o poměr pravděpodobností nastání a nenastání jevu; o 1:1, 2:5, atd., obecně x:y. Vztah mezi relativní četností a šancí x p = x + y Úzké spojení s teorií rozhodování o princip EMV bude fungovat vždy; o pro orientační propočty je někdy šance vhodnější. Pravděpodobnost a rozhodování Šance na zisk výplaty (Pay-off odds, lze spočítat) o Získání benefitu (výplaty) V 0 je závislé na náhodném jevu A, který nastane s pravděpodobností p(a), a podmíněno investicí W Šance s dodatečnou výplatou (Implied pay-off odds, spekulativní) o Získání benefitu (výplaty) V 0 je závislé na náhodném jevu A, který nastane s pravděpodobností p(a), a podmíněno investicí W. V případě nastání jevu A lze kalkulovat s dodatečnou výplatou ve výši V 1, tj. celkem poté realizujeme výplatu V = V 0 + V 1 Šance s dodatečnou ztrátou (Reverse implied pay-off odds, spekulativní) o Získání benefitu (výplaty) V 0 je závislé na náhodném jevu A, který nastane s pravděpodobností p(a), a podmíněno investicí W. V případě nastání jevu A však musíme kalkulovat s dodatečnými náklady ve výši V 1, tj. celkem poté realizujeme výplatu V = V 0 - V 1 Výpočty Pay-off odds o Porovnáme odds PROTI a poměr výplaty a investice o Pokud odds PROTI > V 0 /W, investici zamítneme K N Implied pay-off odds (spekulativní) o Pokud odds PROTI > V 0 /W, investici zatím nezamítneme o Vypočteme nutnou celkovou výplatu V > odds PROTI * W o Dodatečná výplata V 1 = V V 0 o Pokud usoudíme, že jsme schopni ji získat, investici přijmeme Reverse implied pay-off odds (spekulativní) o Pokud odds PROTI < V 0 /W, investici zatím nepřijmeme Zvážíme dodatečná rizika a možnosti ztrát Obvykle vede na nový model Příklady Tržní cena ojetého automobilu ve funkčním stavu je 35 tis. Kč. Porouchal se motor, oprava bude stát 15 tis. Kč, ale pravděpodobnost úspěchu opravy je pouze p = 2/3. Vyplatí se nechat si auto opravit? Dvě politické strany (A, B) se ucházejí o přízeň stejné skupiny voličů. Současný stav je 60/40 pro A. Strana B uvažuje o zveřejnění kompromitující informace na leadera A (pravdivost informace p = 0,6). V případě neprokázání pravdivosti informace riskuje znechucení 20% bodů svých voličů, kteří by určitě přešli k A. V případě pravdivosti 10% bodů voličů A určitě přejde k B a další voliči spíše přejdou k B. Je výhodné informaci zveřejnit? Investor má 10 000 EUR. Může investovat ihned s čistým výnosem 1,4% p.a. při inflaci Eurozóny 1,3%, nebo může spekulovat na vydání nové emise státních dluhopisů ČR (p = 0,9) a investovat s čistým výnosem 2% p.a. při inflaci 1,4%. Vyplatí se investorovi počkat? Řešení příkladů Oprava automobilu o Odds proti: 1:2 = 0,5 < pay-off odds 35/15 = 1,3 nechat opravit Volby o Odds proti: 4:6 = 0,67 > pay-off odds 10/20 = 0,5 nezveřejňovat, ale: o Otázka: Kolik dalších voličů bychom museli získat, aby se to vyplatilo? Je to reálné? o n/20 > 0,67 n > 13,33 Pokud reálně dokážeme získat další 3,33% bodu voličů, informaci se vyplatí zveřejnit. Investor o Odds proti: 1:9 = 0,11 > pay-off odds 0,6/0,1 = 6 počkat, ale: o Nehrozí devalvace/zvýšení inflace CZK? o Těžko spočítat s rozumnou spolehlivostí. Bernoulliho posloupnost n počet nezávislých pokusů celkem k počet pokusů při nichž nastane jev A k p pravděpodobnost, že nastane jev A q=1-p pravděpodobnost, že jev A nenastane Pravděpodobnost, že se jev A uskuteční právě k-krát je: n k n k p { A} = p q ; q = 1 p k - 179 - - 180 -

Příklad 1 Hod mincí Vypočítejte pravděpodobnost, že při 10 hodech minci padne právě 5x orel. p pravděpodobnost, že padne orel při jednotlivém hodu q pravděpodobnost, že nepadne orel 10 5 5 p5 { orel } = 0,5.0,5 = n k n k pk { A} = p q ; q = 1 p k Bernoulliho posloupnost - příklad 1 Pravděpodobnosti, že orel padne 0-10x 5 10.9.8.7.6 = 0,03125.0,03125 = 0,246 1.2.3.4.5 0,25 0,2 Příklad - Klíčivost semen Uvažujme klíčivost kukuřice 96%. Jaká je pravděpodobnost, že z 10 zasetých semen jich vyklíčí 9? n=10; k=9; p=0,96; q=0,04 Řešení: = 0,277 Z 10 zasetých semen vyklíčí 9 s pravděpodobností 27,7%. pp., že vyklíčí právě 10 semen, je 0,66. pp., že vyklíčí alespoň 9 semen, je 0,94. Markovské řetězce Markovská vlastnost Stav v okamžiku n+1 závisí pouze na stavu v okamžiku n. Podmíněná pravděpodobnost přechodu p ij Pravděpodobnost přechodu ze stavu i v okamžiku n do stavu j v okamžiku n+1 0,15 0,1 0,05 Matice přechodu Markovského řetězce Vždy čtvercová Součet řádků se rovná 1 P p11 p12 K p1n p p K p M M M M pn 1 pn2 K pnn 21 22 2n = 0 0 2 4 6 8 10 Příklad 2: Hod kostkou Vypočítejte pravděpodobnost, že při 3 hodech kostkou padne alespoň jedna šestka. p pravděpodobnost, že padne šestka při jednotlivém hodu q pravděpodobnost, že nepadne šestka Budeme sčítat pravděpodobnosti, že padne 1, 2 nebo 3 šestky. n k n k pk { A} = p q k p p 1 { padne } 2 { padne } 1 2 3 1 2 3 1 5 1 25 6 = = 3.. = 0,3472 1 6 6 6 36 2 1 3 1 5 1 5 6 = = 3.. = 0,0694 2 6 6 36 6 3 0 3 1 5 1 p3 { padne 6} = 1..1 0, 0046 3 = = 6 6 216 p + p + p = 0, 4212-181 - Vektor absolutních pravděpodobností Vektor pravděpodobností jednotlivých stavů v určitém okamžiku V okamžiku 0: vektor počátečních pravděpodobností ( 1 2 n ) ( ) ( ) ( ) ( ) p m = p m, p m,..., p m, m = 0,1,2,... Výpočty absolutních pravděpodobností vektor absolutních pravděpodobností (řádkový) násobíme maticí přechodu: - 182 - ( ) ( ) p(1) = p 0 P p(2) = p 1 P M ( ) p( n) = p n 1 P

Příklad 1: Oprava stroje Stroj může být buď v provozu (stav P), nebo v opravě (stav O). Pravděpodobnost, že se stroj během dne porouchá je 0,2. Pravděpodobnost, že stroj bude během dne opraven je 0,7. Na začátku sledování je stroj v provozu. Regulární řetězec konverguje limitní pravděpodobnosti existují Určete, jaké povahy jsou následující stavy: Výpočet limitních pravděpodobností Některé řetězce se po určitém počtu kroků dostanou do stavu, kdy se v dalších okamžicích nemění = konvergují. Jejich stav je potom na čase nezávislý. Limitní pravděpodobnosti - příklad p p n+ 1 1 n+ 1 2 1 2 = p p 0 = 0,8 p 0 = 0,2 p + 0,7 p + 0,3 p 0,2 p + 0,7 p = 0 0,2 p 0,7 p = 0 1 1 11 12 11 = p 12 p = p p 1 1 1 p = p p 1 n 1 n 1 + p p 2 2 21 22 21 22 + p p 2 2 2 + p p n 2 p + p p 2 n 2 Možné stavy Markovských řetězců Absorpční stav pokud se do něj Markovský řetězec jednou dostal, nemůže se dostat do jiného stavu Trvalý stav systém se do něj vrací s pravděpodobností 1 Přechodný stav pravděpodobnost návratu do tohoto stavu je menší než 1 Trvalý nulový stav trvalý stav se nazývá nulový, jestliže počet kroků pro návrat má nekonečně velkou střední hodnotu (nazývá se také rekurentní nulový) Trvalý nenulový stav trvalý stav, pro než má počet kroků pro návrat konečnou střední hodnotu pokud návrat může nastat kdykoliv, jedná se o ergodický stav pokud návrat může nastat po určitém počtu kroků, jedná se o periodický stav Ergodický stav stav, který je trvalý, není nulový a není periodický Nepodstatný stav přechod ze stavu s i do stavu s j je možný přechod opačným směrem není možný Podstatný stav stav, který není nepodstatný vzájemně dosažitelné stavy jsou sousledné Uzavřená třída skupina vzájemně dosažitelných stavů Regulární řetězec všechny stavy jsou ergodické a tvoří jednu uzavřenou třídu takový řetězec je nerozložitelný Rozložitelný řetězec změnou pořadí stavů lze vytvořit jednotkovou submatici nebo submatice Příklad 2 - Výpočet limitních pravděpodobností: Je daná matice přechodu Soustava rovnic 0,2 p 0,7 p = 0 p + p = 1 7 2 p1 = ; p2 = 9 9 Jednu z rovnic (1),(2),(3) můžeme vynechat z důvodu lineární závislosti např. (1) a řešíme soustavu tří rovnic o třech neznámých 1 1 2 2 p = 0, 9 p + 0,5 p + 0,1p 1 1 2 3 p = 0,05 p + 0,4 p + 0,5 p 2 1 2 3 p = 0,05 p + 0,1p + 0,4 p 3 1 2 3 1 = p + p + p 1 2 3-183 - - 184 -

Příklad 3 - Dva identické stroje Pro zlepšení spolehlivosti stroje byl instalován ještě jeden identický stroj, který se ale v případě fungování prvního stroje nepoužívá. Na konci každého pracovního dne se provozovaný stroj kontroluje. Pravděpodobnost poruchy během dne je 0,1 a nezávisí na době, po jakou byl nepřetržitě v provozu. Oprava trvá vždy přesně dva dny. Porouchaný stroj se nahrazuje záložním pokud tento není také porouchaný. Spočítejte pravděpodobnost, že budou oba stroje ve stavu porucha. Postup: 1. Přesná definice možných stavů systému: 2. Sestavení matice přechodu 3. Výpočet absolutních pravděpodobností pro n dní 4. Zhodnocení, zda řetězec konverguje, vektor limitních pravděpodobností. s1 oba stroje v provozu s2 jeden stroj 1. den v opravě, druhý stroj v provozu s3 jeden stroj 2. den v opravě, druhý stroj v provozu s4 jeden stroj 1. den v opravě, druhý stroj 2. den v opravě Matice podmíněných pravděpodobností přechodu Výsledek limitní pravděpodobnosti - Ergodické pravděpodobnosti: p=(0,8108;0,0901;0,0901;0,0090) - Oba stroje ve stavu porucha odpovídá stavu s4 a jeho dlouhodobá pravděpodobnost je 0,9%. Aplikace Markovských retězců:modely prosté obnovy - Stále stejný počet jednotek v souboru - Porouchaná jednotka se neopravuje nahrazuje se novou - Během jednoho časového kroku jednotka buď: ai 0, i = 1, 2,..., T - Zestárne ai = 1, i = T + 1, T + 2,... - Selže a je nahrazena novou T a = 1-185 - i i= 1 a = 0 0 r = 1 0 r = 0 r T T 1 = a T r = a + a +... + a, i = 0,1,..., T 1 i i+ 1 i+ 2 T r r = a, i = 0,1,..., T 1 i 1 i i V T = i= 1 ia Matice přechodu Průměrná věková struktura i i= 0 Model obnovy: příklad V call-centru pracuje 50 osob. Zaměstnanci se často mění a nikdo tam nevydrží víc než 4 roky. Nábor nových zaměstnanců se provádí průběžně a náklady se odhadují na 20000,- Kč na získání a zaučení nového zaměstnance. Jaké jsou průměrné náklady na nábor za jeden rok V T 1 = stav r i 0 1 2 3 K T 1 0 a r 0 0 K 0 a r 1 1 2 2 1 0 0 K 0 a r 1 1 3 3 2 0 0 K 0 2 2 a T 2 0 0 0 r T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 1 0 0 0 K 0 q Roční počet odcházejících Matice přechodu: Průměrná životnost: r r r r M M M M M M M N 1 r r,,..., V V V N Nr Nr V V V 1 T 1 = 1 T 1 =,,..., - 186 - K r r 1+0,2+0,1+0,05=1,35 Počet přijatých každý rok: 1/1,35=0,74 0,74*50=37 Náklady: 37*20 000= 740 000 Kč