Euklidovský prostor Základní pojmy: bod, přímka rovina Základní vztahy: bod leží na přímce přímka prochází bodem bod leží v rovině rovina prochází bodem bod inciduje s přímkou přímka inciduje s bodem bod inciduje s rovinou rovina inciduje s bodem přímka leží v rovině přímka inciduje s rovinou (rovina prochází přímkou rovina inciduje s přímkou Základní vlastnosti Axiomy incidence I 1. Dvěma různými body prochází jediná přímka. I 2. Na každé přímce leží alespoň dva body. [ 2;3 ] y = 4x 5 I 3. Existují alespoň tři body, které neleží na jedné přímce. 3= 4 2 5 pravda Axiomy uspořádání U 1. Jestliže Cµ AB, pak A; B; C jsou tři navzájem různé body téže přímky a platí také Cµ BA U 2. Ke každým dvěma různým bodům A; B existuje alespoň jeden bod C tak, že Cµ BA U 3. Pro každé tři různé body téže přímky platí, že právě jeden z nich leží mezi zbylými dvěma. U 4. (Paschův: Jsou-li EFG ; ; nekolineární body p je přímka, která neprochází body EFG ; ; a na které leží bod M µ EF. Pak existuje bod N, který leží na p a platí buď Nµ EG, anebo Nµ FG Axiomy shodnosti S 1: Shodnost úseček je reflexivní, symetrická a tranzitivní S 2: Nechť AB je úsečka CD polopřímka. Pak na CD leží právě jeden bod E tak, že AB CE. S 3: Nechť Cµ AB; C' µ A' B' ; AC A' C' ; CB C ' B'. Pak AB A' B'. S4: Shodnost úhlů je reflexivní, symetrická a tranzitivní S5: Pro každý AVB a každou polorovinu A' V ' M existuje jediná polopřímka V ' B ' tak, že AVB A' V ' B' Velikost (délka úsečky, vzdálenost bodů * Délka každé úsečky je kladná * Délky shodných úseček jsou si rovny * Je-li Cµ AB, pak AC + CB = AB * Existuje úsečka délky jedna. A (Archimedův axiom: Nechť A0B 0; AB jsou libovolné úsečky. Na polopřímce AB sestrojme posloupnost P0; P1;...; P;... = { P} tak, že P 0 = A; PkP k + 1 A0B 0. Pak existuje n tak, že Bµ APn. k k k Axiom rovnoběžnosti E (Euklidův axiom: Bodem A neležícím na přímce p prochází právě jedna přímka a, která leží v rovině pa a s přímkou p nemá společný žádný bod.
Modely euklidovského prostoru Syntetický euklidovské konstrukce pravítko, kružítko (PK geometrie Konstrukce čtverce analytický (analytická geometrie bod [ a1; a 2] průsečík přímek y = k1x+ q1 y = k x+ q 2 1 1 1 2 2 rektifikace kružnice průsečík kružnic ( ( kvadratura kruhu ( ( zdvojení krychle x m + y n = r x m + y n = r
Euklidovský prostor Incidence Uspořádání Shodnost Rovnoběžnost Spojitost I1. I2. I3.. U1. U2. U3. U4. S1 S2 S3 S4 S5 S6 A E D (Dedekindův axiom + šest dalších axiomů incidence: I4: Každými třemi body, které neleží na jedné přímce, prochází právě jedna rovina I5: V každé rovině leží alespoň jeden bod I6: Jestliže v rovině leží dva různé body téže přímky, pak v této rovině leží celá přímka I7: Jestliže bod leží na přímce a tato přímka v rovině, pak bod leží v této rovině I8: Existují alespoň čtyři body, které neleží v jedné rovině I9: Jestliže dvě roviny mají společný bod, mají společnou přímku, která tímto bodem prochází.
Vektorový prostor Syntetický model množina všech orientovaných úseček se společným počátkem Analytický model množina všech uspořádaných dvojic resp. trojic reálných čísel u = ( u ; u v = ( v; v ( u1; u2 ( v1; v2 ( u1 v1; u2 v2 ( u ; ( ; u + v = + = + + c u = c u = c u c u u = ( u ; u ; u v = ( v; v ; v ( u1; u2; u3 ( v1; v2; v3 ( u1 v1; u2 v2; u3 v3 ( u ; ( ; u + v = + = + + + c u = c u = c u c u Afinní prostor = vektorový prostor, ke kterému se přidá množina bodů Syntetický model Analytický model (axiomy I, U, R, Sp B A B= b; b = a; a + u ; u = a + u ; a + u = +u [ ] [ ] ( [ 1 1 ] B= [ a1; a2; a3] + ( u1; u2; u3 = [ a1+ u1; a2 + u2; a3+ u3] u = B A u = ( u1; u2 = [ b1; b2 ] [ a1; a2 ] = ( b1 a1; b2 a2 u = [ b; b ; b ] [ a; a ; a ] = ( b a; b a ; a b 1 1 3 3 a = A O a = [ a1; a2] [ 0;0 ] = ( a1; a2 u = [ a1; a2; a3] [ 0;0;0 ] = ( a1; a2; a3 p X = A+ t u ; t p [ x1; x2] = [ a1+ t u1; a2 + t u2] x1 = a1+ t u1 x2 = a2 + t u2 p A; u
Euklidovský prostor = afinní prostor, který umí měřit úsečky (axiomy I, U, S, R, Sp Syntetický model Analytický model u = ( u1; u2 ; = ( v1; v2 u = ( u ; u ; u ; = ( v; v ; v v ; u v = uv 1 1+ uv v ; u v = uv 1 1+ uv + uv 3 3. uu + uu = u + u u = u u = uu uu uu u u u AB = B A = 1 1 2 1 1+ + 3 3 = 1+ 2+ 3 ( b a ; b a = ( b a + ( b a = = + + 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 3 3 ( b a ; b a ; b a ( b a ( b a ( b a u v u v =0 Euklidovský prostor - zavedení souřadnic Syntetický model Analytický model u = ( u1; u2 ; = ( v1; v2 u = ( u ; u ; u ; = ( v; v ; v v ; u v = uv 1 1+ uv v ; u v = uv 1 1+ uv + uv 3 3 uu + uu = u + u u = u u = uu uu uu u u u 1 1 2 1 1+ + 3 3 = 1+ 2+ 3 ( b a + ( b a AB = B A = + + u v u v =0 1 1 2 1 1 3 3 ( b a ( b a ( b a p X = A + t u; t p A; u x O; i y O; j O;; i j ( ; u = u i + u j = u u [ ; ] A = O+ a = O+ a i + a j = a a
Projektivní rovina - syntetický model Projektivní rovina - syntetický model
Projektivní rovina - syntetický model Projektivní rovina - syntetický model
Projektivní rovina - analytický model Projektivní bod = množina všech směrových vektorů přímky vlastní body ( 1; 2; A ( 1; 2; B ( A= k a = k a a ω B= k b = k b b ω ω 0 C = k c = k c1; c2; ωc výběr reprezentanta vlastního bodu: ( kc kc kω C = 1; 2; C ; k 0; ω C 0 euklidovský reprezentant C = ( c1; c2;1 E bod s kartézskými souř. C = [ c; c ] v 2 nevlastní body ( 1; 2;0 ( ; ;0 D= k d = k d d ω = 0 E = k e = k e1 e2 Projektivní rovina - analytický model (shrnutí 1. Vlastní bod A= k = k ( a a ω možno reprezentovat euklidovským reprezentantem = ( a ; a ;1 v euklidovské rovině a 1; 2; A ; ωa 0 A homogenní souřadnice mu odpovídá bod A [ a ; a ] = kartézské souřadnice 2. Nevlastní bod = směr, V k k ( v v ω možno reprezentovat libovolným nenulovým vektorem = ( v; v ;0 v euklidovské rovině libovolný = v = 1; 2; V ; ω V = 0 v homogenní souřadnice směrový vektor = ( v; v v kartézské souřadnice Značení: euklidovská rovina E 2 projektivní rovina E 2
Podobně: projektivní prostor - analytický model 1. Vlastní bod A= k = k ( a a a ω možno reprezentovat euklidovským reprezentantem = ( a ; a ; a ;1 v euklidovské rovině a 1; 2; 3; A ; ωa 0 A homogenní souřadnice mu odpovídá bod A [ a ; a ; a ] = kartézské souřadnice 2. Nevlastní bod = směr, V k k ( v v v ω možno reprezentovat libovolným nenulovým vektorem = ( v; v ; v ;0 v euklidovské rovině libovolný = v = 1; 2; 3; V ; ω V = 0 v homogenní souřadnice směrový vektor = ( v; v ; v v kartézské souřadnice Značení: euklidovský prostor E 3 projektivní prostor E 3 v afinní rovině (prostoru Bod a vektor v projektivní rovině (prostoru A + u = X X = A + u [ a; a ] + ( u; u = [ a + u ; a + u 1 1 ] = [ x; x ] ( a; a ;1 + ( u ; u ;0 = ( a + u; a + u ;1 1 1 = ( x; x ;1 Součet bodu a vektoru je vektor X A =u A X = u [ x1; x2] [ a1; a2] = ( x1 a1; x2 a2 = ( u1; u2 ( x1; x2;1 ( a1; a2;1 = ( x1 a1; x2 a2;0 = ( u1; u2;0 Rozdíl dvou bodů je vektor ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c ( a ; a ;1 + c ( a ; a ;1 +... + c ( a ; a ;1 = ( x; y; c + c +... + c c + c +... + c 1 n = 1 11 2 n n1 n2 n c1a1+ c2a2 + c3a3 +... + ciai +... + cnan= B c + c +... + c 1 n = Afinní kombinací bodů je bod ( (( + (( + + ( ( = ( ( c t a ; a ;1 c t a ; a ;1... c t a ; a ;1 x t ; x t ;1 1 11 2 n n1 n2 Afinní kombinace bodů určená funkcemi jedné proměnné v CAD systému křivka určená řídicím polygonem. Tři (čtyři projektivní souřadnice rovinná (prostorová křivka. c1( u, v ( a11; a12; a13;1 +... + cn( u, v ( an 1; an2; an2;1 = ( x1( u, v ; x2( u, v ; x3( u, v ;1 Afinní kombinace bodů určená funkcemi dvou proměnných v CAD systému křivka určená řídicím polygonem