Příkldy k přednášce - Diskrétní modely spojitýc systémů Micel Šebek Automtické řízení 08 6-4-8
Automtické řízení - Kybernetik robotik Protože obecný regulátor (systém) můžeme relizovt sestvou s integrátory n us () s n + + s+ Cs () = = n e() s bs + + bs+ b n 0 0 odvodíme diskrétní proximci pro jeden (kždý) integrátor us () Cs () = es () = t ut ( ) = u(0) + e( τ) dτ s 0 Odvození metod proximce us () b0 0 s b s bn n s bn ys () Výstup z jednu vzorkovcí periodu je et () e k u( k) e( k + ) ( ) k u( k + ) k + t k+ u( k + ) = u( k) + e( τ) dτ Různé populární metody různě proximují integrál použitím odnot v diskrétníc okmžicíc vzorkování k Micel Šebek Pr-ARI--08
Automtické řízení - Kybernetik robotik Nárdě derivce přímou diferencí odpovídá v tomto grfu nárd červené plocy zeleným obdélníkem k+ k e( τ) dτ e( k) uk ( + ) = uk ( ) + = u( k) + e( k) Použitím z-trnsformce k+ k e( τ) dτ et () Metod přímé diference e k e( k + ) ( ) e( k) k k + t zuz ( ) = uz ( ) + ez ( ) uz ( ) = s ez ( ) z z s z Metod se tké nzývá Eulerov proximce Micel Šebek Pr-ARI--0 3
Metod zpětné diference Automtické řízení - Kybernetik robotik Nárdě derivce zpětnou diferencí odpovídá v tomto grfu nárd červené plocy zeleným obdélníkem k+ k e( τ) dτ e( k + ) uk ( + ) = uk ( ) + Použitím z-trnsformce k+ k e( τ) dτ = u( k) + e( k + ) et () e k e( k + ) ( ) e( k + k) k k + t zu( z) = u( z) + ze( z) u( z) z = s ez ( ) z z z s z z Micel Šebek Pr-ARI--0 4
Metod Tustinov neboli bilineární Automtické řízení - Kybernetik robotik Bilineární Tustinově trnsformci odpovídá v tomto grfu nárd červené plocy zeleným licoběžníkem k+ e ( τ) dτ [ e ( k ) + e ( k + )] k u( k + ) = u( k) + k+ e( τ) dτ = u( k ) + e k k Použitím z-trnsformce zu( z) = u( z) + e( z) + ze( z) uz ( ) z+ = ez ( ) z k [ ( ) + e ( + )] et () z+ s z e k e( k + ) ( ) k e( k) k + obs zelenéo licoběžníku e k e k [ ( ) + ( + )] z z s = z+ + z t Micel Šebek Pr-ARI--0 5
Automtické řízení - Kybernetik robotik Vlstnosti proximcí Řád Všecny tyto trnsformce zcovávjí řád systému tedy i počet pólů Aproximce vyššíc řádů se neužívjí proto, že by řád zvyšovly Alising Pozor n stroboskopický efekt: regulátor nesprávně reguje n nesprávně vzorkovný (lised) signál: porucu nebo referenci Může pomoci nti-lising filter : Pk VF signály nepůsobí cybně, jsou neviditelné Ale filtr přidává fázové zpoždění potenciálně destbilizuje CL Stbilit OL Je-li C(s) stbilní, je stbilní i C(z)? Porovnání dále. Podobně minimální fáze Stbilit CL: I když je při předběžném návru spojitý CL systém nvržen jko stbilní, po připojení proximovnéo diskrétnío regulátoru stbilní být nemusí Musíme vypočítt diskrétní model soustvy se vzorkovčem ZOH, spojit o s diskrétním regulátorem testovt toto CL spojení n diskrétní stbilitu! Micel Šebek Pr-ARI--0 6
Stbilit spojitéo regulátoru jeo proximce (OL) Automtické řízení - Kybernetik robotik Přímá diference spojitý diskrétní s z = e + s Re s< 0 Re s< 0 z = + s z < + s < 0 Stbilní spojitý regulátor s módy (póly) VF nebo slbě tlumenými má nestbilní diskrétní proximci Micel Šebek Pr-ARI--08 7
Automtické řízení - Kybernetik robotik Zpětná diference Stbilit spojitéo regulátoru jeo proximce (OL) z = 0 s Stbilit zcován I když má spojitý málo tlumené módy, diskrétní je nemá s = z 0 Tustinov metod + s z z =, s = s z + Nejen že zcová stbilitu ( minimální fázovost) Zobrzení stbilní oblsti je one-to-one, proto se užívá nejčstěji 0 Micel Šebek Pr-ARI--0 8
Automtické řízení - Kybernetik robotik Ručně Cs () s z s = + z Tustinov metod: Numerický příkld ( ) = + z C + Tustin ( z) = = ( ) z + + z + z V Mtlbu CSTbx: >> =;=4;C=./(+s) C = ----- + s >> CTustin=cd(tf(C),,'tustin') Trnsfer function: 0.8 z + 0.8 ----------- z + 0.6 Smpling time: 4 Micel Šebek Pr-ARI--0 9
Příkldy Automtické řízení - Kybernetik robotik Spojitý regulátor s přenosem Aproximujeme přímou diferencí Zpětnou diferencí Cs () = + s ( ) Cforwrd z = = z + z + A Tustinovou metodou C Tustin ( z) ( ) z Cbckwrd z = = z + z( + ) z ( z + ) = = z + ( + ) z + z + Micel Šebek Pr-ARI--0 0
Automtické řízení - Kybernetik robotik Spojitý regulátor s přenosem Cs () = s + ( 0.s+ )( 0.0+ s) Aproximujeme: přímá diference zpětná diference tustin >> C=(s+)/((0.*s+)*(0.0*s+));=.05; >> fs=/,fn=fs/,oms=*pi*fs,omn=*pi*fn 0 = 0.0500, fs = 0, fn = 0, oms = ^, omn = 63 >> S=(z-)/; >> Cpd=(S+)/((0.*S+)*(0.0*S+)),props(Cpd,); Cpd = 50(z-0.9500) / (z+4.0000)(z-0.5000) >> S=(z-)./*z; >> Czd=(S+)/((0.*S+)*(0.0*S+)),props(Czd,); >> Ctu=cd(tf(C),,'tustin') Trnsfer function: 5.857 z^ + 0.857 z - 5.57 ---------------------------- z^ - 0.74 z - 0.57 >> bode(tf(c),tf(cpd),tf(czd),ctu) Mgnitude (db) Pse (deg) 40 35 30 5 0 5 0 5 0-5 -0 90 45 Bode Digrm Příkldy -45 0-0 0 0 0 Frequency (rd/s) Tustinov proximce: nejlepší, ž n okolí Nyquistovy frekvence! ωs = ω = 63rd s N Micel Šebek Pr-ARI--0
Automtické řízení - Kybernetik robotik Metod MPZ Metod slděnýc nul pólů - MPZ (Mtced pole-zero) s i vycází ze vztu mezi póly/nulmi zi = e spojitéo vzorkovnéo signálu použitéo zde n impulsní crkteristiku regulátoru Nvíc, je-li to možné, přidáváme nuly v z =, tj. členy ( z + ) do čittele, což vede k zprůměrování součsné předcozí odnoty Metod je jednoducá prktická, i když ne moc podložená Postup MPZ. vypočti nuly póly spojitéo regulátoru C(s) s i. sestv C(z) tk, by pro jeo nuly póly pltilo zi = e 3. je-li to možné, přidej do čittele členy ( z +) tk, by se stupeň čittele = stupeň jmenovtele 4. nstv zesílení C(z) pro nulové nebo nízké frekvence stejné jko bylo zesílení v C(s) Micel Šebek Pr-ARI--0
Metod MPZ Automtické řízení - Kybernetik robotik MPZ pro s+ Cs () = KC s + b z e C ( z) = K z e MPZ D b zi = e s i C(0) = K = C () = K b! e e C MPZ D b e K = K b e b D C MPZ pro s+ z e ( z+ )( z e ) C( s) = KC CMPZ,( z) = KD CMPZ ( z) = K b D b s( s+ b) ( z )( z e ) ( z )( z e ) e K = K b e b D C Micel Šebek Pr-ARI--0 3
Příkld: ZOH Automtické řízení - Kybernetik robotik rs () ys () rz ( ) yz ( ) Cz ( ) ZOH Gs () Cz ( ) Gz ( ) pro spojitý přenos Gs () je diskrétní přenos = s + ( ( ) ) Gz = z = ss ( + ) ( e ( z ) ( )( ) = α =, z α z α = e ) z e z { } t = = e e k ss ( + ) s s+ k z z { e } = z z e = z e z ( e ) z = ( z )( e z ) >> sdf(cd(tf(/(s+)),,'zo')) ns = 0.63 ---------- reduced (z-0.3679) Micel Šebek Pr-ARI--0 4
Příkld Automtické řízení - Kybernetik robotik rs () ys () Cz ( ) FOH Gs () rz ( ) yz ( ) Cz ( ) Gz ( ) Gs () = s { } { } 3 3 { } 3 3 Gs () t ( k) 3 3 z( z + 4z + ) = = 4 ( k ) = { k } = 4 s s 3! 6 6 6 6 ( z ) pro spojitý přenos npřed vypočteme Pk je diskrétní přenos Gz ( ) = 3 ( z ) zz ( + 4z+ ) z z z = 6 ( z ) 6 ( z ) ( + 4 + ) 4 >> Gz=cd(tf(/s^),,'fo') Trnsfer function: 0.667 z^ + 0.6667 z + 0.667 ------------------------------ z^ - z + Smpling time: >> Gzp=sdf(Gz) Gzp = 0.667(z+3.73)(z+0.679) -------------------------- (z-)(z-) Micel Šebek Pr-ARI--0 5
Příkld Automtické řízení - Kybernetik robotik >> D=5/(s+5);DD=zpk(D); T=/5; >> DDtustin=cd(DD,T,'tustin'), DDmpz=cd(DD,T,'mtced'),... DDzo=cd(DD,T,'zo'),DDfo=cd(DD,T,'fo'),... Zero/pole/gin: 0.486 (z+) ------------- Smpling time: 0.066667 (z-0.743) Zero/pole/gin: 0.8347 ---------- Smpling time: 0.066667 (z-0.765) Zero/pole/gin: 0.8347 ---------- Smpling time: 0.066667 (z-0.765) Zero/pole/gin: 0.4959 (z+0.8949) ------------------ Smpling time: 0.066667 (z-0.765) >> bode(dd,ddtustin,ddmpz,ddzo,ddfo) >> omegs=*pi/t omegs = 94.478 Micel Šebek Pr-ARI--0 6
Automtické řízení - Kybernetik robotik Porovnání frekvenčníc crkteristik Gs () ω s 5 = s + 5 = 5 s 94 rd ω s 4 Tustin FOH MPZ ZOH spojitý všecny OK si do ω = ω 4 N s ω N = ω s 4 MPZ ZOH Tustin FOH spojitý ω N = ω s Micel Šebek Pr-ARI--0 7 7
Diskretizce stvovéo modelu: odvození Automtické řízení - Kybernetik robotik Diskrétní stvový model soustvy + tvrovcío členu 0. řádu u( k) ZOH ut () x = Ax + Bu y = Cx + Du yt () Y() s y( k) u( k) x = + Fx + Gu y = Cx + Du k k k k k k y( k) Při odvození diskrétnío modelu vyjdeme z modelu spojitéo x = Ax + Bu y = Cx + Du Je-li tento systém v čse t0 ve stvu xt ( 0), pk v čse t t0 je ve stvu x t = e xt + e Buτ dτ A( t t0 ) A( t τ ) () ( 0) ( ) t0 kde pro výpočet musíme znát vstup v celém intervlu t [ t, t 0 ) Micel Šebek ARI--0 8
Automtické řízení - Kybernetik robotik Diskretizce stvovéo modelu: odvození Při ledání diskrétnío modelu nás zjímá, jký závisí stv v čse k n stvu v čse t k z předpokldu ZOH, tj. konstntnío vstupu uk = u( τ), τ [ tk, tk+ ) běem celéo intervlu mezi vzorkováními Oznčíme-li = t t použijeme předcozí vzoreček, dostneme k+ x t = e x t + e Bu τ dτ A( t ) ( ) ( ) k t k k t k + + A ( k) k+ τ + ( ) tk t A e x t e dτbut = + k+ A( tk+ τ ) ( k) ( k) tk ( ) Aν ν 0 A = e xt ( ) + e d But ( ) k Protože výstupní rovnici vzorkování nezmění, dostneme diskrétní model k t x( tk+ ) = Fx( tk) + Gut ( k) y( t ) = ( t ) + Du( t ) k k k k ν = τ F = e t k + A t + ( ) A Cx G = e ν dν 0 B Micel Šebek ARI--0 9
Výpočet mticové exponenciály Automtické řízení - Kybernetik robotik Existuje mnoo metod pro výpočet mticové exponenciály jejío integrálu Rozkld exponenciály v Tylorovu řdu ( ) A ν ν 0 A F= e, G = e d B 3 i i+ A A A A V = e ν dν = I+ + + + + F = I + AV, G = VB 0! 3! ( i + )! Přes Jordnův tvr (vlstní čísl) { λ } A= V dig V i Cyly-Hmiltonův teorém Mtlbská funkce expm Pdéo proximce λi { } A e = V dig e V >> expmdemo >> expmdemo3 >> expmdemo Micel Šebek ARI--0 0
Příkld Automtické řízení - Kybernetik robotik Pro spojitý systém. řádu periodu vzorkování je x = αx+ βu F A = = e e α ( ) αν β ( αν e dν β e ) 0 G = = α Tkže diskrétní popis vzorkovnéo systému se ZOH je α β ( ) ( ) ( αν xk+ = e xk + e ) uk ( ) α Micel Šebek ARI--0
Příkld Automtické řízení - Kybernetik robotik Pro dvojitý integrátor se stvovým popisem vzorkovný s periodou je F e I A A 0 0 x () t = () t + ut () 0 0 x yt = [ ] () 0 x() t 0 0 0 0 0 0 0 A = = + + + = + + + = Aν ν G = e Bdν = dν = 0 0 Tkže diskrétní popis vzorkovnéo systému (se ZOH) je x( k+ ) = ( k) + uk ( ) 0 x [ ] yk ( ) = 0 x( k) Micel Šebek ARI--0
N úvod: CL stbilit při spojitém diskrétním řízení Automtické řízení - Kybernetik robotik Při návru emulcí: CL stbilit spojitéo řízení nezručuje CL stbilitu diskrétnío řízení! Musíme testovt diskrétní stbilitu! Ukážeme to n P regulátoru - nejjednodušším možném. Ten ni neproximujeme, le použijme přímo jk je i pro diskrétní řízení Ps () =, 0 s+ > Pro soustvu, regulátor při spojitém řízení je CL crkteristický polynom Cs () = kp c () s = s + + k Nyní stejný regulátor použijme při diskrétním řízení Cz () = Cs () = kp Pro nlýzu diskrétnío přípdu použijeme diskrétní model soustvy (spojitá soustv + vzorkovč + tvrovč ZOH) CL P e Pz ( ) = z e Výsledný CL crkteristický polynom je teď ( ) c z z e = + ( e ) k CL P Micel Šebek Pr-ARI--06 3
N úvod: CL stbilit při spojitém diskrétním řízení Automtické řízení - Kybernetik robotik spojitý přípd ccl() s = s + + k je nestbilní právě když k P P 0.4 0.3 0. 0. 0-0. = Root Locus k = 0 p k = p diskrétní přípd CL je nestbilní právě když.5 Nyquist Digrm spojité řízení c ( z) z e = + ( e ) kp + e k nebo P kp e Nyquist Digrm.5.5-0. -0.3-0.4-6 -5-4 -3 - - 0 Imginry Axis 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 k P = 0 k = - -.5 - -0.5 0 0.5.5 P Imginry Axis 0.5 0-0.5-0.5 0 0.5 - spojitý přípd má nekonečné GM -.5 - -0.5 0 0.5.5.5 3 k P =[,, 3] Rel Axis.5 -.5 -.5 - -0.5 0 0.5.5.5 3 Micel Šebek Pr-ARI--06 4 Rel Axis diskrétní diskrétní má konečné GM
Automtické řízení - Kybernetik robotik CL stbilit při spojitém diskrétním řízení Rozdíl je ve vzorkování + ZOH! ZOH vnáší - zrub řečeno - doprvní zpoždění Srovnej 0.8 Nyquist Digrm Ps () = s + PZOH () s = e s + s Což má GM konečné! Imginry Axis 0.6 0.4 0. 0-0. =, = System: csd Gin Mrgin (db):.6 At frequency (rd/s): 3.67 Closed loop stble? Yes Proto je lépe s tím počítt už při spojitém návru -0.4-0.6-0.8 - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Rel Axis Micel Šebek Pr-ARI--06 5
Automtické řízení - Kybernetik robotik Problém okmžitéo výpočtu v předcozíc příkldec: stupeň čittele v z = stupeň jmenovtele v z tedy diferenční rovnice regulátoru je u(k) + členy s k-, = ce(k) + členy s k-, k-, tkový číslicový regulátor musí počítt okmžitě, tedy zpoždění plynoucí z nenulové doby výpočtu je znedbáno to je prkticky přijtelné jen pokud výpočetní čs < /0, jink musí mít diskrétní regulátor spoň zpoždění krok stupeň čittele v z < stupeň jmenovtele v z (dostneme o třeb tk, že v MPZ metodě stupeň nedorovnáme) nebo to zpoždění musíme přidt do soustvy nejde o doprvní zpoždění, je to jen způsob indexování Micel Šebek Pr-ARI--0 6