ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí Newonův zákon - zákon akce a reakce 3 Řešení pohbové rovnice 3 Přímé řešní pohbové rovnice 3 Příklad 3 Řešení 3 Obrácené řešení pohbové rovnice 4 Příklad 1 4 Řešení 1 4 Příklad 5 Řešení 5 Co je o dnamika? Zaímco kinemaika je čás mechanik, kerá popisuje pohb hmoných objeků, dnamika je čás mechanik, kerá se zabývá příčinami pohbu a příčinami změn pohbu hmoných objeků (hmoného bodu nebo ělesa) Příčinou pohbu a jeho změn je síla, a proo je síla nejdůležiější veličinou dnamik Dnamika vužívá kinemaické veličin, jako jsou poloha nebo rchlos, jen v druhoně v souvislosech Základní veličin dnamik Základní veličin dnamik jsou hmonos, hbnos a síla Hmonos Hmonos je skalární veličina, kerá vjadřuje míru servačných a graviačních vlasnosí ělesa Je o jedna ze 7 základních veličin fzik Základní jednokou hmonosi je kg Hbnos Hbnos p je vekorová veličina, kerá vjadřuje míru servačných účinků a míru graviačních účinků ělesa dané hmonosi m Hbnos závisí na hmonosi m a rchlosi v Pavel Schauer 009-1 (6) - Dnamika hmoného bodu-úvod
ělesa, směr hbnosi je sejný jako směr rchlosi Definice hbnosi je p m v ( 1 ) Jednoka hbnosi je kgms -1 Síla Síla je vekorová fzikální veličina, kerá vjadřuje míru vzájemného působení ěles Síla má za následek buďo změnu pohbového savu ěles nebo jejich deformaci Pokud chceme sílu definova obecně i pro relaivisickou fziku, musíme sílu definova jako časovou derivaci hbnosi ělesa p dp F ( ) V klasické mechanice (v případech, kd lze zanedba změnu hmonosi při pohbu) přejde dp d p d( m v ) rovnice F na var F m a, ed F m a ( 3 ) Rovnice ( ) a ( 3 ) předsavují druhý Newonův zákon síl Jednoka síl je newon, N=kgms - Newonov pohbové zákon Newonov pohbové zákon jsou fzikální zákon formulované Isaacem Newonem Popisují vzah mezi pohbem ělesa a silami, keré na oo ěleso působí Newon zavedl celkem ři pohbové zákon, keré voří základ klasické dnamik To zákon umožňují urči jaký bude pohb ělesa v inerciální vzažné sousavě (viz Inerciální a neinerciální sousav), jsou-li znám síl působící na ěleso Po zahrnuí zdánlivých sil jsou Newonov pohbové zákon použielné i v neinerciálních sousavách První Newonův zákon - zákon servačnosi Těleso servává v pohbu rovnoměrném přímočarém nebo klidu, pokud není nuceno silovým působením jiných ěles (ed vnější silou) eno sav změni Teno zákon lze formulova pomocí fzikálních veličin síl a hbnosi: Pokud na ěleso nepůsobí vnější síla, jeho hbnos se nemění F 0 p kons ( 4 ) Druhý Newonův zákon - zákon síl Jesliže na ěleso působí výsledná síla F, pak se ěleso pohbuje se zrchlením a, keré je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmonosi ělesa dp F m a nebo obecněji F ( 5 ) Tao rovnice je známá jako pohbová rovnice Jak rozebereme později, ve varu ( 5 ) plaí pohbová rovnice jen pro hmoný bod nebo pro ranslační (posuvný) pohb uhého ělesa Pavel Schauer 009 - (6) - Dnamika hmoného bodu-úvod
Třeí Newonův zákon - zákon akce a reakce A B Jesliže ěleso A působí na ěleso B silou F A, poom F A F B ěleso B působí na ěleso A sejně velkou ale opačnou silou F B, ed plaí obr 1 K řeímu Newonovu zákonu, Sílu F F A F B A nazýváme akce a sílu F ( 6 ) akce a reakce B nazýváme reakce Třeí Newonův zákon předsavuje základ čási fzik, kerou nazýváme saika Před dalším sudiem si přečěe Inerciální a neinerciální sousav Řešení pohbové rovnice Věšinu úloh, kd máme nají souvislos mezi příčinou pohbu, j působící silou a popisem pohbu, j polohou, rchlosí, zrchlením, řešíme s vužiím pohbové rovnice Eisují dvě úloh: Přímé řešení pohbové rovnice Jesliže známe rajekorii, můžeme urči působící sílu Tao úloha je jednoduchá (dvojí derivování polohového vekoru podle času) Posup řešení: 1 Zvolíme souřadný ssém Jelikož máme zadaný polohový vekor r, derivováním podle času najdeme rchlos v a zrchlení a 3 Sílu najdeme přímým dosazením zrchlení F m a 4 Napíšeme ři (nebo dvě) skalární rovnice pro F, F, F Tím je úloha vřešena r F v Příklad Hmoný bod o hmonosi m = 10 kg se pohbuje po kružnici o poloměru r = m, přičemž jeho dráha závisí na 3 čase podle vzahu s k, kde k = 0,005 ms -3 Určee velikos výsledné síl F působící na hmoný bod, úhel α, kerý svírá vekor síl s vekorem rchlosi, úhlovou rchlos ω a úhlové zrchlení ε v čase = 10 s obr K příkladu pohb po kružnici Řešení 4 ds v 9k dv v 3k, an, a 6k r r Nejdříve určíme rchlos v, normálové, ečné a celkové zrchlení hmoného bodu jako Pro výslednou sílu, úhlovou rchlos a úhlové zrchlení hmoného bodu poé plaí v 3k -1 a 6k - F m a 11,6 N, 0, 75 s, 0, 15 s r r r r Pavel Schauer 009-3 (6) - Dnamika hmoného bodu-úvod
Úhel, kerý svírá směr výsledné síl se směrem rchlosi poom vpočeme ze vzahu a 6r cos 0, 58, 75 o 03' a 6 36r 81k Obrácené řešení pohbové rovnice Jesliže známe síl působící na ěleso F, F, 1, Fn, můžeme nají hodno kinemaických veličin a, v, r Tao úloha je obráceným řešení pohbové rovnice Posup řešení: 1 Zvolíme inerciální nebo neinerciální souřadný ssém Najdeme reálně působící síl F, F, n 1, Fn a jejich výslednici F F k 3 Pokud jsem zvolili neinerciální souřadný ssém, k výslednici reálných sil připočíáme zdánlivé síl F 4 Zrchlení najdeme podílem a F F, souřadnice zrchlení a m m, a m Fz az m 5 Tím jsme našli zrchlení a úlohu převedli na kinemaický problém, kerý je řešen v Kinemaice hmoného bodu, v odsavci Přímočarý pohb a Křivočarý pohb k1 G F N G G Příklad 1 Kvádr sklouzl dolů po nakloněné rovině dlouhé 5 m rovnoměrně zrchleným pohbem za s Součiniel smkového ření kvádru bl 0,35 Určee úhel sklonu nakloněné rovin vzhledem k vodorovné rovině Řešení 1 obr 3 K příkladu nakloněná rovina Teno příklad rozebereme podrobněji, proože jeho pochopení umožní vřeši všechn příklad kurzu Fzika, kde hledáme neznámý paramer pohbu na základě znalosi působících sil a opačně Jde o silové řešení problému (na rozdíl od energeického řešení) Posup je následující: 1 Zavedení souřadného ssému: Na obr 3 je souřadný ssém zvolen ak, ab osa bla oožná s směrem přímočarého pohbu ěžišě ělesa,osa bude kolmá k pohbu Souřadný ssém je v klidu a je ed inerciální Nalezení a vjádření působících sil: Modře zakreslené síl na obr 3 jsou všechn reálné síl působící na ěleso Zeleně jsou zakreslené souřadnice graviační síl, kerou jedinou musíme rozloži Osaní síl mají směr souřadných os Takže souřadnicový zápis reálných sil je: G ( G sin; G cos ), N ( 0; N ), F ( F ; 0) Celková síla působící na ěleso je vekorový souče reálných sil F G F N Souřadnice celkové síl ed bude F G sin F, kde N 0 Po dosazení za G mg a za Pavel Schauer 009-4 (6) - Dnamika hmoného bodu-úvod
F G m g cos dosaneme mg sin m g cos F 3 Sesavení pohbové rovnice: Pohbovou rovnici sačí řeši ve směru pohbu, ed ve směru os V jiných směrech nenasává pohb Budeme ed řeši pohbovou rovnici F mg sin m g cos m a 4 Nalezení závislosi zrchlení na sklonu: Závislos zrchlení ělesa na nakloněné rovině na sklonu rovin získáme jednoduchou úpravou pohbové rovnice, dosaneme a g (sin cos ) Toéž zrchlení získáme z kineického zadání, kdž ěleso urazí dráhu 5 m za,5 s, pomocí rovnice z kinemaik je souřadnice rovnoměrně zrchleného pohbu s nulovou počáeční rchlosí a nulovou 1 počáeční polohou a, odkud a, 5 ms - 5 Porovnání zrchlení a nalezení výsledku: Vjdeme z g sin g cos, cos převedeme na sin úpravou cos 1 sin a dosazením známých hodno g 9, 81 ms, 0, 35, a a, 5 ms dosaneme kvadraickou rovnici 11, sin 0, 510sin 0, 058 0 Kvadraická rovnice má kořen sin = 0,548 a sin = -0,094 Zavrhneme záporný kořen, proože úhel nakloněné rovin není o záporný, proo je výsledek 33, Úhel sklonu nakloněné rovin vzhledem k vodorovné rovině je 33, o m G G 1 m 1 N G 1 G 1 Příklad Za jak dlouho ujede na nakloněné rovině vozík o hmonosi 10 kg dráhu s = 45 m? Vozík je spojen se závažím hmonosi 30 kg visícím přes kladku o Sklon nakloněné rovin je 30 (obr 4) Řešení obr 4 K příkladu nakloněná rovina s kladkou Snaže se maimálně porovna řešení příkladu s řešením příkladu 1 Pokud najdee společné mšlenk, naučili jse se obrácené řešení pohbové rovnice 1 Zavedení souřadného ssému: Na obr 4 je souřadný ssém zvolen ak, ab osa bla oožná s směrem přímočarého pohbu ěžišě ělesa,osa bude kolmá k pohbu Souřadný ssém je v klidu a je ed inerciální Nalezení a vjádření působících sil: Modře zakreslené síl na obr 3 jsou všechn reálné síl působící na ěleso Zeleně jsou zakreslené souřadnice graviační síl, kerou jedinou musíme rozloži Osaní síl mají směr souřadných os Takže souřadnicový zápis reálných sil je: G1 ( G1 sin; G1 cos ), N ( 0; N ), G ( G ; 0) Celková síla působící na ěleso je vekorový souče reálných sil F G1 G N Souřadnice celkové síl ed bude F G 1 sin G, kde N 0 Po dosazení za G1 m1g a za G m g dosaneme F m g m g 1 sin 3 Sesavení pohbové rovnice: Pohbovou rovnici sačí řeši ve směru pohbu, ed ve směru os V jiných směrech nenasává pohb Obě ělesa se pohbuje jako jeden Pavel Schauer 009-5 (6) - Dnamika hmoného bodu-úvod
ssém o hmonosi m1 m se zrchlením a a rchlosí v Nesesavujeme ed dvě pohbové rovnice, ale jednu Budeme řeši pohbovou rovnici F m1 g sin m g ( m1 m) a 4 Nalezení závislosi zrchlení na čase: Zrchlení ělesa na nakloněné rovině g ( m1 sin m) dosaneme úpravou poslední rovnice na a Toéž zrchlení m1 m získáme z kinemaik z rovnoměrně zrchleného přímočarého pohbu s nulovou 1 počáeční rchlosí a nulovou počáeční polohou a a g ( m1 sin m) ( m1 m) Porovnáním dosaneme výsledek m m g ( m sin m ) Dosazení numerických hodno již proveďe sami 1 1 Pavel Schauer 009-6 (6) - Dnamika hmoného bodu-úvod