1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem"

Transkript

1 Kvaternon 2/204, MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ JAROSLAV HRDINA a PETR VAŠÍK Abstrakt. Následuící text pokrývá eden z cyklů přednášek předmětu Aplkovaná algebra pro nženýry (0AA) na FSI VUT. Text vznkl př třetím běhu tohoto předmětu ve školním roce 204/205. Jeho cílem e demonstrovat prncpy teore her na příkladě matcových her a představt některé nženýrské aplkace.. Úvod Cílem teore her e popsat stuac, která nás zaímá, ako hru. Klasckým případem e takzvané vězňovo dlema, které může být zformulované například následuícím způsobem. Polce zadržela dva podezřelé, Andree a Bohuslava a drží e odděleně. Důkazy, které prot nm polce má sou bohužel nepřímé a nestačí k odsouzení. Pokud se žádný z podezřelých nepřzná budou oba dva odsouzení en za drobné přestupky, každý na dva roky. Pokud ale eden z nch udá druhého a ten bude mlčet, bude udavač volný a druhý dostane deset let. Pokud se udaí navzáem dostanou každý trest ve výš šest let. Takto zadaná hra e hrou dvou hráčů {A, B} a e plně popsaná následuící matcí ( ) 2 0 M =, 0 6 kde hráč A vybírá řádek a hráč B sloupec. Hodnota ve vybraném řádku a sloupc e pak platbou (výší trestu) hráče A a matce plateb hráče B e matce M T. Proto, abychom mohl používat matematcký aparát, musíme asně defnovat, co znamenaí pomy, které budeme př popsování používat. Rozhodování výběr edné z více varant. Rozhodovací stuace stuace, ve které e potřeba vykonat rozhodování. Výsledek výběr varant vede k určtým výsledkům, které mohou být z hledska zámu rozhoduícího se subektu horší nebo lepší. Raconální účastník rozhoduící se subekt vychází z pozorování možných výsledků a uslue o výběr (v stém smyslu) nelepší varanty. Indferentní (neraconální) účastník subekt pro který e lhostený výsledek rozhodovací stuace (počasí,...). 200 MSC. Prmární 9A05; Sekundární 9A80. Klíčová slova. teore her, matcové hry. Práce byla podporována proektem A-Math-Net - Síť pro transfer znalostí v aplkované matematce (CZ..07/2.4.00/7.000).

2 80 J. HRDINA a P. VAŠÍK Předpokládáme, že rozhodovací stuace má alespoň ednoho raconálního účastníka a hledáme odpověď, aké rozhodování raconálního účastníka můžeme pokládat v dané rozhodovací stuac za optmální. Dělení rozhodovacích stuací:. (a) Rozhodovací stuace se skalárním ohodnocením (rozhodnutí e možné hodnott ednou charakterstkou). (b) Rozhodovací stuace s vektorovým ohodnocením (rozhodnutí e možné hodnott více charakterstkam). 2. (a) Rozhodovací stuace s edním (nutně raconálním) účastníkem. (b) Rozhodovací stuace s více (alespoň edním raconálním) účastníky. 3. (a) Nekonflktní rozhodovací stuace (s edním účastníkem a skalárním ohodnocením (matematcké programování)). (b) Konflktní rozhodovací stuace (s větším počtem raconálních účastníků případně alespoň edním ndferentním, nebo s vektorovým ohodnocením (ech kombnace)). Teore her řeší konflktní rozhodovací stuace s větším (ne edním) počtem raconálních účastníků a se skalárním ohodnocením. Jako další musíme zavést formalsmus, který nám umožní zformulování matematckého modelu. Uvažueme následuící obekty: množnu raconálních účastníků Q = {, 2,..., n}, množnu ndferentních účastníků R = {, 2,..., m}. Množnu alternatv rozhodování raconálního účastníka q P X q = {X q,..., X kq q }. Množnu možných stavů vznklých v důsledku působení ndferentního účastníka r R Y r = {Yr,..., Yr lr } a výsledek rozhodovací stuace n m V = X Y. = Zsk q tého účastníka na úkor tého účastníka, pro (x, y) V realzueme vektorem M q (x, y) M q (x, y) =., Mq n (x, y) kde M q : V R. Defnce.. Matematckým modelem rozhodovací stuace v normálním tvaru nazýváme následuící záps: { } Q = {,..., n} X,..., X n M,..., M n. R = {,..., m} Y,..., Y m Defnce.2. Raconální účastník q Q se chová tak, že pokud = M s q (x, y ) M s q (x 2, y 2 ), s =,..., n

3 a alespoň pro edno s platí: MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 8 M s q (x, y ) > M s q (x 2, y 2 ), pak upřednostňue alternatvu (x, y ) před (x 2, y 2 ). Některé způsoby, ak e možné teor her dělt, sou následuící:. (a) Hry dvou hráčů. (b) Hry n hráčů. 2. (a) Konečná hra - konečné množny strategí. (b) Nekonečná hra - množna strategí alespoň ednoho hráče e nekonečná. 3. (a) Hra s konstantním součtem plateb (x, y) V, Mq(x, y) = c. q Q q (b) Hra s nulovým součtem plateb (x, y) V, Mq(x, y) = 0. q Q q 4. (a) Nekooperatvní hry hry bez možnost uzavírat koalce. (b) Koalční hry hry s možnost uzavírat koalce. Tématem tohoto textu sou především matcové hry, ale záemce o další parte teore her můžeme odkázat na klascké monografe [5, 4, 3]. Ve slovenštně e možné ke studu použít například knhu [2]. Z nternetových zdroů v češtně doporučueme []. 2. Matcové hry Většnu pomů, se kterým budeme pracovat budeme postupně demonstrovat na následuícím příkladě. Dvě energetcké společnost, označme s e W a G chtěí postavt elektrárnu poblíž ednoho ze čtyř měst A, B, C, D, které sou od sebe vzdáleny následuícím způsobem: A 0 B 20 C 60 D 00 Každé domnantní pokrytí odpovídá právě proporconální délce úseku. Pokud například společnost W postaví elektrárnu v bodě B a společnost G v bodě C, bude společnost W domnantní na úseku AB a na půlce úseku BC (to dělá 40% celého území), kdežto společnost G bude domnantní na úseku CD a na půlce úseku BC (to dělá ale 60% území). Elektrárna musí být umístěna v ednom z bodů A, B, C, D. Jako první musíme ze slovního zadání vytvořt matematcký model, t. Q = {, 2}, R = X = (X = A, X 2 = B, X 3 = C, X 4 = D) X 2 = (X2 = A, X2 2 = B, X2 3 = C, X2 4 = D) V = X X 2

4 82 J. HRDINA a P. VAŠÍK M (X, X2 ) = 50 M (X, X2 2 ) = 0 M (X, X2 3, ) = 30 M (X, X2 4 ) = 50 M (X 2, X2 ) = 90 M (X 2, X2 2 ) = 50 M (X 2, X2 3, ) = 40 M (X 2, X2 4 ) = 60 M (X 3, X2 ) = 70 M (X 3, X2 2 ) = 60 M (X 3, X2 3, ) = 50 M (X 3, X2 4 ) = 80 M (X 4, X2 ) = 50 M (X 4, X2 2 ) = 40 M (X 4, X2 3, ) = 20 M (X 4, X2 4 ) = 50 M 2 (X, X2 ) = 50 M 2 (X2, X2 2 ) = 90 M 2 (X, X2 3, ) = 70 M 2 (X, X2 4 ) = 50 M 2 (X 2, X2 ) = 0 M 2 (X 2, X2 2 ) = 50 M 2 (X 2, X2 3, ) = 60 M 2 (X 2, X2 4 ) = 40 M 2 (X 3, X2 ) = 30 M 2 (X 3, X2 2 ) = 40 M 2 (X 3, X2 3, ) = 50 M 2 (X 3, X2 4 ) = 20 M 2 (X 4, X2 ) = 50 M 2 (X 4, X2 2 ) = 60 M 2 (X 4, X2 3, ) = 80 M 2 (X 4, X2 4 ) = 50 U příkladu energetckých společností máme tedy dva hráče a zsk ednoho znamená automatcky ztrátu druhého. Takové hře se říká antagonstcká hra dvou hráčů a není těžké s představt, že e možné takovou hru reprezentovat matcí: Hrám, které lze reprezentovat matcí, se říká matcové hry. Formálně e matcová hra konečná hra dvou hráčů s konstantním (nulovým) součtem. To, že e hru dvou hráčů s konstantním součtem možné reprezentovat en matcí plateb prvního hráče M, plyne přímo z následuícího faktu. Pokud e hra s konstantním součtem, platí M (x, y) + M 2 (x, y) = c a e tedy možné vyádřt matc plateb druhého hráče pomocí matce plateb prvního hráče: M 2 (x, y) = c M (x, y). V našem příkladě se edná o matcovou hru s konstantním součtem, kde c = 00. Defnce 2.. Hrou dvou hráčů v normální formě s konstantním součtem (matcovou hru) nazýváme hru { Q = {, 2} X, Y M(x, y) c }, kde matcí plateb rozumíme matc M = M(x, y ) M(x, y n )... M(x m, y ) M(x m, y n ) Z defnce e asné, že nedává smysl uvažovat možnou spoluprác hráčů (čím víc eden získá tím víc druhý ztratí). Takové hry se nazývaí antagonstcké (nekooperatvní). Matcová hra se tedy hrae tak, že první hráč vybírá řádek a druhý hráč sloupec. Příslušné číslo v matc e pak platba prvního hráče. Defnce 2.2. Stratege =,..., m a =,..., n nazýváme čsté stratege prvního a druhého hráče. Pokud první hráč volí tou čstou strateg, potom může s určtostí zabezpečt, že eho platba bude alespoň mn a..

5 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 83 Vzhledem k tomu, že chce ale zabezpečt co možná nevyšší platbu, uvažue přnemenším o platbě mn a. Druhý hráč chce mnmalzovat platbu prvního hráče, ta však nebude vyšší než a druhý hráč tedy volí strateg mn a a. Z toho tedy vyplývá, že volbou čsté stratege může první hráč zabezpečt, že eho platba nebude nžší než mn a, přčemž druhý hráč může vhodnou volbou stratege zastt, aby eho platba nebyla vyšší než mn a Pokud by tyto úvahy obou hráčů nebyly ve sporu znamenalo by to, že svou volbou zaručí, že případná změna prothráčovy stratege by pro prothráče nebyla výhodná a může se tedy spolehnout, že prothráč strateg nezmění. Můžeme říct, že kdo pak uhne, tak s nepolepší. V příkladě s energetckým společnostm se edná o matcovou hru s matcí plateb: Máme tedy: mn a = 0 mn a 2 = 40 mn a 3 = 50 mn a 4 = 20 a = 90 a tentokrát a 2 = 60 mn a = mn a 3 = 50 a = 50, mn a = 50 a 4 = 80 mn a = 50 exstue tedy čstá optmální stratege a de o strateg, kdy s obě energetcké společnost postaví elektrárnu u steného města, a to na místě C. Toto dává smysl následuícím defncím: Defnce 2.3. Sedlovým bodem matce A = (a ) nazýváme takový eí prvek a pro který platí mn a = mn a. Defnce 2.4. Takové stratege 0, 0, že ( 0, 0 ) e sedlový bod matce plateb A, nazýváme čstým optmálním strategem prvního a druhého hráče v matcové hře. Číslo v = a 0 0 nazýváme hodnotou této hry. Troc ( 0, 0, v) nazýváme řešením matcové hry v čstých strategích. Uvedeme s příklad hry, která sce není matcová, ale demonstrue edno z úskalí tohoto přístupu. Následuící příklad e v lteratuře uváděný ako Braessův paradox. V následuícím dagramu se deset hráčů (aut) rozhodue estl poede ze startu do cíle přes bod A, nebo bod B. Například pokud 6 aut poede přes bod A a čtyř přes

6 84 J. HRDINA a P. VAŠÍK bod B. Doba průezdu přes bod A bude 6, přes bod B bude 4. Tato stratege není rovnovážné, pokud edno auto proížděící bodem A svou strateg změní místo 6 dorazí do cíle za 5 a tím s polepší. Rovnovážná stratege e 5 a 5 a celková doba průezdu každého auta e stená a e to 5. start 0 x x B cíl Všmněme s ak by se stuace změnla pokud bychom graf doplnl o vysokorychlostní zkratku mez body A a B, bez úmy na obecnost í ohodnotíme nulou. Rozdělení 5 a 5 ž není rovnovážné, pokud edno z aut edoucí horní cestou využe spoku klesne eho doba průezdu z 5 na. start 0 0 x x B cíl Jedná rovnovážná stuace e v tomto případě taková, že všechny auta využí rychlostní spoky. Doba průezdu každého auta tím ale vzroste z 5 na 20. V lteratuře e toto uváděno ako paradox v tom smyslu, že zdánlvé vylepšení dopravní sítě vede paradoxně ke zpomalení dopravy a v dopravních sítích větších měst e tato stuace př plánování dopravy řešena. Ve skutečnost se ale edná o případ hry kdy e sedlový prvek matce, t rovnovážná stratege e odlšný od optmální stratege. Toto formalzue takzvaná Míra anarche defnovaná ako podíl rovnovážné a optmální. V našem případě e to 20 5 = 4 3 a čím více se tato hodnota lší od čísla o to více e tento systém nestablní. Věta 2.5. Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y a předpokládeme že exstuí velčny Potom mn mn f(x, y), mn A A 0 0 y Y x X f(x, y) mn y Y x X f(x, y). f(x, y). Důkaz. Z defnce mnma a ma víme, že pro lbovolné zadané x X platí a pro lbovolné zadané y Y platí Proto pro všechna x X a y Y platí mn y Y mn f(x, y) f(x, y) y Y f(x, y) f(x, y). x X f(x, y) f(x, y). x X Vzhledem k tomu, že pravá strana nerovnce nezávsí na x X tedy mn f(x, y) f(x, y). x X

7 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 85 A vzhledem k tomu, že levá strana nerovnce nezávsí na y Y, dostaneme celkem mn f(x, y) mn y Y x X f(x, y). Defnce 2.6. Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y. Sedlovým bodem této funkce vzhledem k množně X Y nazýváme takový bod (x 0, y 0 ) X Y, že pro všechny x X a y Y platí f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y). Věta 2.7 (Věta o sedlovém bodu). Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y a nechť exstuí velčny x X mn y Y f(x, y) a mn y Y x X f(x, y). Pak funkce f(x, y) má sedlový bod na množně X Y právě tehdy, když platí mn f(x, y) = mn y Y x X f(x, y). Navíc pokud (x 0, y 0 ) e sedlový bod funkce f(x, y) na množně X Y, pak mn f(x, y) = mn y Y x X f(x, y) = f(x 0, y 0 ). Důkaz.. Nechť (x 0, y 0 ) X Y e sedlový bod funkce f(x, y). Pak podle Defnce 2.6. pro všechna x X a y Y platí f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y). Z toho vyplývá, že x X f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) mn y Y f(x 0, y). Vzhledem k tomu, že obecně platí a mn y Y x X f(x, y) x X f(x, y 0) mn f(x 0, y) y Y protože f(x 0, y 0 ) e sedlový bod, platí mn y Y x X Současně podle Věty 2.5. platí A tedy celkem mn mn mn f(x, y) f(x, y) mn f(x, y) = mn mn y Y x X y Y x X f(x, y), f(x, y). f(x, y). f(x, y). Z důkazu e zřemé, že se výraz také musí rovnat f(x 0, y 0 ). 2. Nechť e splněna rovnost ve znění věty. Dále předpokládeme, že funkce mn y Y f(x, y) nabývá svého ma v bodě x 0 X a funkce x X f(x, y) svého mnma v bodě y 0 Y, t. platí mn f(x 0, y) = y Y mn f(x, y 0) = mn x X y Y x X f(x, y), f(x, y).

8 86 J. HRDINA a P. VAŠÍK Ukážeme, že dvoce (x 0, y 0 ) X Y e sedlovým bodem funkce f(x, y). Na základě předpokladu o splnění rovnost máme Z defnce mnma vyplývá a z defnce ma Celkem mn f(x 0, y) = f(x, y 0). y Y x X mn f(x 0, y) f(x 0, y 0 ), y Y f(x, y 0) f(x 0, y 0 ). x X f(x, y 0 ) x X f(x, y 0) = x X f(x, y 0) f(x 0, y 0 ), pro všechna x X. Analogcky f(x 0, y) mn y Y f(x 0, y) = x X f(x, y 0) f(x 0, y 0 ), pro všechna y Y, a tedy (x 0, y 0 ) X Y e z defnce sedlovým bodem. Všmněme s eště edné důležté vlastnost matcových her. Pokud e některý řádek matce ve všech sloupcích větší než ný, nemá pro prvního hráče smysl příslušnou strateg hrát. Defnce 2.8. Řekneme, že vektor a = (a,, a n ) T domnue (ostře) vektoru b = (b,, b n ) T, pokud pro všechna =,, n platí a b (a > b ). Věta 2.9. Optmální stratege hráčů v matcové hře se nezmění, pokud k matc plateb přpočteme lbovolnou konstantu ξ nebo pokud matc plateb vynásobíme lbovolnou kladnou konstantou β. Na závěr kaptoly s ukážeme příklad hry pro kterou sedlový bod v čstých strategích neexstue. Příklad 2.0. Měme dva frekvenční generátory generuící stený perodcký výstup. První generátor do sgnálu kódue nformac kterou chceme přenést. Druhý generátor se snaží vyslat sgnál s opačnou frekvencí. První generátor může vyslat opačný sgnál bez nformace f. Cílem prvního generátoru e sgnál přenést, druhého vyrušt. Pokud oba zvolí f sgnál se zesílí a zsk prvního hráče ohodnotíme 4 pokud oba zvolí f sgnál se nevyruší ale příemce pozná, že e vysílač rušen a zsk prvního hráče ohodnotíme 2. Pokud sou frekvence opačné sgnál se vyruší a zsk prvního hráče ohodnotíme 3. Jde tedy o matcovou hru s matcí plateb ( f f) f 2 3 f 3 4 a konstantou c = 0. V tomto příkladě máme tedy mn a = 3, mn a 2 = 3, mn a = 3, a = 2, a 2 = 4, mn a = 2. Platí tedy mn a < mn a a čstá optmální stratege neexstue.

9 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ Smíšené optmální stratege Pokud nemá matcová hra čstou optmální strateg, platí mn a < mn a. V tomto případě se př opakování hry, t. př ednotlvých partích, bude první druhý hráč snažt opakovat čsté stratege s takovou pravděpodobností, aby v průměru první hráč získal více než en mn a a druhý hráč se snaží zastt, aby první získal méně než mn a. Tady každý hráč přřazue každé své čsté strateg určtou pravděpodobnost, s akou í bude používat. Defnce 3.. Smíšenou strategí prvního hráče nazýváme m rozměrný vektor x = (x,..., x m ) T, pro který platí m x =, x 0. = Smíšenou strategí druhého hráče budeme nazývat n rozměrný vektor pro který platí Množny y = (y,..., y n ) T, y =, y 0. = S m = {x E m, S n = {y E n, m x =, x 0}, = y =, y 0} nazýváme množnou smíšených strategí prvního a druhého hráče. = Každá čstá stratege odpovídá smíšené Defnce 3.2. Funkc x = (0,..., 0,, 0,..., 0) T. E(x, y) = m = = a x y = x T Ay defnovanou pro x S m a y S n nazýváme funkcí střední hodnoty platby v matcové hře. Steným úvaham odvodíme, že první hráč volbou smíšené stratege může docílt toho, že střední hodnota eho platby bude nžší než mn E(x, y), y S m x S n přčemž druhý hráč může zastt, aby střední hodnota plateb prvního byla nžší než mn E(x, y). y S m x S n

10 88 J. HRDINA a P. VAŠÍK Víme, že pro každou funkc platí a pokud platí rovnost exstue sedlový bod. mn E(x, y) mn E(x, y) y S m y S m x S n x S n mn E(x, y) = mn E(x, y), y S m y S m x S n x S n Defnce 3.3. Nechť (x, y) e sedlový bod funkce E(x, y) vzhledem k S m S n. Vektory x respektve ȳ nazýváme optmálním smíšeným strategem prvního respektve druhého hráče v příslušné matcové hře a číslo v = E( x, ȳ) nazýváme hodnotou této hry. Troc ( x, ȳ, v) nazýváme řešením matcové hry ve smíšených strategích. Vrátíme se opět k příkladu 2.0, t. k matcové hře s matcí plateb ( ) 2 3, 3 4 přčemž už víme, že čstá optmální stratege neexstue a hra má řešení pouze ve smíšených strategích x = ( 7 2, 5 2 )T a ȳ = ( 7 2, 5 2 )T. Toto řešení teď en ověříme, hodnota hry e: E( x, ȳ) = ( 7 2, 5 ( ) ( ) 2 ) 2 5 = , pokud první hráč strateg změní, nepolepší s (an s nepohorší ale to z defnce sedlového bodu neřešíme) E(x, ȳ) = (x, x 2 ) ( ) ( ) ( ) = (x, x 2 ) 2 = 2 2 x 2 x 2 = 2 (x + x 2 ) = 2, pokud změní druhý hráč strateg, také s nepolepší: E( x, y) = ( 7 2, 5 ( ) ( ) ) y = 3 4 y 2 2. Pro nalezení řešení hry ve smíšených strategích budeme potřebovat aparát lneárního programování. Úloha lneárního programování e úloha mnmalzovat, nebo malzovat lneární polynom na něaké množně určené lneárním nerovncem, například malzovat funkc x + x 2 za podmínek x 0, x 2 0 a Matcově, malzovat x + 2x 2 4, 4x + 2x 2 2, x + x 2. ( ) ( ) x, x 2

11 za podmínek MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 89 2 ( ) x 2, x 2 ( x ) x 2 ( 0 0). Defnce 3.4. O následuící dvoc úloh lneárního programování, říkáme, že sou duální:. malzovat c T x za podmínek Ax b a x 0, 2. mnmalzovat y T b za podmínek y t A c T a y 0, kde c, x R n, b, y R m a A Mat(m, n). Duální problém k našemu příkladu e mnmalzovat funkc 4y + 0y 2 + y 3 za podmínek y 0, y 2 0, y 3 0 a y + 4y 2 y 3, 2y + 2y 2 + y 3. Věta 3.5 (J. von Neuman, J. Nash). Pro každou matcovou hru platí mn E(x, y) = mn E(x, y), y S m y S m x S n x S n a tedy exstue sedlový bod funkce E(x, y) na množně S m S n. Tedy každá hra má řešení ve smíšených strategích. Důkaz. Zformulueme s dvě duální úlohy lneárního programování: Maxmalzovat ω za podmínek: m a x + ω 0,, = m x =, = x 0, Mnmalzovat u za podmínek: a y + u 0,, = y =, = y 0 pro =,, m, =,, n. Tyto dvě úlohy sou duální a to z hledska lneárního programování znamená, že maí stenou množnu přípustných řešení (t. řešení, která splňuí dané nerovnost) a současně, pokud exstue optmální řešení edné, exstue optmální řešení druhé

12 90 J. HRDINA a P. VAŠÍK a výsledná hodnota účelové funkce e stená. Pokud zvolíme za příslušná a prvky matce hry, dostaneme optmální řešení, které bude rovno sedlovému bodu funkce E(x, y), a tedy optmální strategí příslušné matcové hry. Poznameneme nakonec, že toto řešení není dané ednoznačně. Bez důkazu uvádíme následuící dvě věty: Věta Pokud ve hře s matcí plateb A = (a ) typu m n platí, že pro něaké k ( k m) exstuí čísla α ( k) taková, že pro všechna =,..., n máme α =, k α a a k, k potom exstue optmální stratege prvního hráče x S m, eíž složkou e x 0 = Pokud ve hře s matcí plateb A = (a ) typu m n platí, že pro něaké t ( t n) exstuí čísla β ( t) taková, že pro všechna =,..., m máme β =, t β a a t, t potom exstue optmální stratege druhého hráče x S n, eíž složkou e ȳ 0 = 0. Například v matcové hře s matcí plateb exstue k = 3, α = α 2 = 2 takové, že pro všechna =, 2, 3 platí α a +α 2 a 2 a 3. Exstue tedy optmální stratege pro kterou e x 3 = 0. Z důkazu Nashovy věty víme, že optmální smíšená stratege matcové hry s matcí A e optmálním řešením dvoce úloh lneárního programování. Potřebueme ale tyto úlohy převést na tvar, který umíme řešt. Jako výchozí úlohu použeme Mnmalzovat u za podmínek: a y + u 0, = y =, = y 0. pro =,, m, =,, n. Z předešlých vět víme, že matc plateb můžeme přčtením vhodné konstanty upravt tak, aby a 0, tedy hodnota účelové funkce u e kladná a můžeme nerovnost dělt beze změny směru nerovnost.

13 zavedeme substtuc q = y u MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 9 Mnmalzovat u za podmínek: y a u + 0, = = y y u = u, u 0. a dostaneme Mnmalzovat u za podmínek: a q, = q = u, = q 0. Mnmalzovat funkc u e to samé ako malzovat funkc n = q a dostáváme výsledný tvar: Maxmalzovat q za podmínek: = a q, = q 0 tedy tvar, který umíme řešt ak uvdíme v další kaptole. 4. Smplexová metoda Úlohu lneárního programování můžeme chápat ako nalezení extrému (ma nebo mnma) lneární funkce více proměnných př vedleších podmínkách, které sou vyádřeny lneárním rovncem nebo nerovncem. Exstue několk formulací základní úlohy lneárního programování, my budeme pracovat s následuícím omezuícím podmínkam: a x + a 2 x a n x n b, a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2, a m x + a m2 x a mn x n b m, kde m < n a x 0. Jako první krok doplníme soustavu o pomocné proměnné x, x m tak, aby platla následuící soustava rovnc: a x + a 2 x a n x n + x = b,

14 92 J. HRDINA a P. VAŠÍK a 2 x + a 22 x a 2n x n + x 2 = b 2, a m x + a m2 x a mn x n + x m = b m, kde m < n a b 0. Všmněme s, že soustava má řešení: x = x n = 0, x = b,, x n = b m. Proměnné x,, x m sou ale pomocné a řešení v základních proměnných e x = x n = 0. Našm cílem e malzovat funkc z = c x + c n x n + d, přčemž pro naše řešení x = = x n = 0 e hodnota účelové funkce rovna d. Přdáme s ako další řádek soustavy účelovou funkc z c x c n x n = d, tím ale přdáme eště ednu proměnnou z (kterou chceme malzovat). Matce soustavy pak vypadá následovně: 0 a a 2 a n 0 0 b 0 a 2 a 22 a 2n 0 0 b a m a m2 a mn 0 0 b m c c 2 c n d Zamysleme se teď nad tím, ak naít né řešení. Máme soustavu m rovnc o m+n neznámých takovou, že n proměnných e základních. Další řešení můžeme získat tak, že pomocí řádkových elementární úprav vynulueme něaký další sloupec. Abychom se rozhodl který, musíme se podívat na poslední řádek soustavy z c x c 2 x 2 c n x n = d. Protože všechna x sou kladná můžeme zvýšt hodnotu účelové funkce z en pokud vybereme takové c, které e kladné, tedy takový prvek matce který e záporný. V našem algortmu pak vybereme to nemenší číslo (číslo s nevětší absolutní hodnotou), protože u něho e předpoklad, že účelovou funkc zvýšíme nevíce. Vybraný sloupec bychom pak chtěl přdat k ednotkové matc, ale eště nevíme, vůč kterému řádku budeme sloupec nulovat. Představme s tedy, ak budou vypadat příslušná řešení pro x = 0, k pokud zanedbáme pomocné proměnné x : x = b a k x k, x 2 = b 2 a 2k x k,. x m = b m a mk x k. S ohledem na podmínky nezápornost musí platt: x k b a k.

15 Vybereme řádku s nemenším podílem MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 93 x k mn b a k = b s a sk pro =, 2,..., m, t. předpokládáme, že nemenší podíl e v s té řádce soustavy. Proměnnou x k nazýváme vstupuící proměnnou a proměnnou x s vystupuící proměnnou. Na závěr s všechno ukážeme na příkladu. Maxmalzute z = 4x + 2x 2 za podmínek x 3x 2 9, 2x + 3x 2 8, 2x x 2 0, kde x 0. Smplexová matce má tvar Záporné hodnoty v posledním řádku sou dvě, -4 a -2, vybereme tu menší, podělíme sloupec pravých stran příslušným koefcenty (pokud sou kladné) a dostaneme: Vybereme ten nemenší podíl, tedy 0 2 a nulueme druhý sloupec vzhledem k podtržené dvoce ve třetím řádku Po provedení příslušných řádkových elementárních úprav tedy dostaneme Zlepšené řešení e x = 5, x 2 = 0, x = 4, x 2 = 8, x 3 = 0 a hodnota účelové funkce e z = 20. V posledním řádku e už en edno záporné číslo -4. Opět porovnáme podíly

16 94 J. HRDINA a P. VAŠÍK a vyberme druhý řádek Výsledné řešení e a hodnota účelové funkce e z = 28. x = 6, x 2 = 2, x = 9, x 2 = 0, x 3 = 0 5. Algortmus Výchozí úloha pro matcovou hru s matcí plateb {a } e Maxmalzovat q za podmínek: = a q, = q 0. Pokud q = (q,..., q n ) e lbovolné optmální řešení, pak q x = m = q e optmální smíšenou strategí prvního hráče a číslo u = e hodnotou v příslušné matcové hře. m = q 6. Příklad Měme dva roboty označené symbolem a 2 na šachovnc, kteří sou v základní poloze vz obrázek: A B C D E F G H A B C D 2 E F G H Tabulka. Výchozí pozce.

17 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 95 Každý z těchto robotů má 8 možností pohybu na políčka označená A až H. Oba robot se současně pohnou, následně změříme ech vzdálenost. Tu defnueme takto:. Vzdálenost dvou políček se společnou stranou e Vzdálenost dvou políček se společným vrcholem e. 3. Vzdálenost dvou políček bez společného vrcholu nebo strany e délka nekratší cesty mez nm, přčemž délka ednoho celého políčka př průchodu horzontálně nebo vertkálně e 2 a př průchodu dagonálně e 3. Zda políčko procházíme horzontálně, vertkálně nebo dagonálně se rozhodue podle způsobu vstupu do tohoto pole. Úkolem robota e vzdalovat se od robota 2 a naopak. Tabulku vzdáleností mez pozcem robotů tedy lze chápat ako defnc výplatní funkce robota, bude tedy dána matcí: Q = A B C D E F G H A B C D E F G H Budeme-l hledat rovnovážný stav mez čstým strategem, vyde nám: mn mn Q = 4, Q = 5. Neexstue tedy čstá optmální stratege. Budeme-l uvažovat pravděpodobnostní rozšíření této hry, budeme za strateg považovat vektor x = (x,..., x 8 ) s vlastostm n = x = a x 0 pro všechna =,..., 8. Budeme tedy úlohu řešt dle předchozího algortmu ako úlohu lneárního programování, kde a budou prvky matce plateb A. Vzhledem k velkost matce nademe řešení pomocí něakého softwaru, konkrétně vyde což vede na strateg x = q 8 = q = q = ( 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0), 0 { / 0 / 0+ / 0 = / 2 pro =, 3 0 pro = 2, 4,..., 8 Optmální smíšenou strategí tedy bude vektor x = ( / 2, 0, / 2, 0, 0, 0, 0, 0) a hodnotou hry e u = 8 = q = 5.

18 96 J. HRDINA a P. VAŠÍK To znamená, že robot se pohne s pravděpodobností / 2 na pozc A nebo se stenou pravděpodobností na pozc C a eho vzdálenost od robota 2 bude 5. Tato stratege dává smysl, protože dostává robota co nedále od robota 2. Zamysleme se nad tím, ak tuto hru řešt bez použtí počítače. Všmneme s například, že 4. až 8. řádek e domnován 3. řádkem, lze e tedy z matce vypustt. Steně 4. až 8. sloupec domnuí sloupce až 3. Zůstane tedy pouze matce 3 3, konkrétně Q = Snadno zkontrolueme, že an zde není optmální čstá stratege. Nyní provedeme pravděpodobnostní rozšíření a řešíme úlohu lneárního programování malzovat funkc z = q + q 2 + q 3 za podmínek: Úvodní smplexová tabulka bude tvaru q q 2 q 3 p, p 2, p ,. Po elmnac vzhledem k prvku ve čtverečku dostaneme / 0 3 / / / 5 6 / / 6 / / 2 6 / / 6 / 6. 0 / 6 / / 6 / 6 Posledním krokem e elmnace vzhledem k prvku ve čtverečku, čímž dostaneme 0 0 / 2 3 / / / 6 0 / 2 5 / / 2 0 / 5 0 / 6 / / 0 0 / 2 6 / 5 Tím elmnace končí, protože poslední řádek už neobsahue žádná záporná čísla. Řešením tedy e vektor ( / 0, 0, / 0 ) a optmální smíšenou strategí e vektor ( / 2, 0, / 2 ), tedy řešení stené. Uvažueme-l tuto hru ako hru s konstantním součtem 0, tedy hodnoty nevětší možné vzdálenost, pak z pohledu robota 2 získáme matc plateb B ako rozdíl

19 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 97 R = 0 Q. Po pravděpodobnostním rozšíření a vyřešení úlohy lneárního programování vyde ako rovnovážná smíšená stratege vektor (0, / 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Robot 2 se tedy s pravděpodobností pohne na pozc B, což odpovídá čsté strateg. Toto řešení opět dává smysl, protože posunue robota 2 co neblíže k robotov. V dalším kole bude základní pozce robotů následuícího tvaru: A B C D E F G H A B C D 2 E F G H Tabulka 2. Výchozí pozce 2. Funkce plateb tedy bude realzována matcí A B C D E F G H A B C D E F G H V tomto případě exstue čstá rovnovážná stratege, a to (C,C) s hodnotou hry 5. Pokud tímto způsobem rozebereme další možná výchozí postavení, například stuac v rozích, lze určt pohyb robotů po celé šachovnc tak, aby se robot nesrazl a přtom s byl stále co neblíž. V nženýrství se například řeší podobný problém - zachování vdtelnost ednoho obektu pro obekt ný, a to například v prostředí s překážkam ve vdtelnost. Pokud bychom chtěl naš hru modfkovat tímto směrem, zamezl bychom vstup na některá políčka šachovnce. 7. Výpočtová prostředí Pro řešení matcových her můžeme použít všechna standardní výpočtová prostředí. V prostředí Mathematca R e možné použít proceduru LnearProgrammng a v prostředí Matlab R proceduru lnprog. Vyřešíme příklad z předešlé kaptoly v prostředí Matlab R, ale protože lnprog standardně pracue s duální úlohou lneárního programování než e naše zadání, úlohu malzovat funkc z = q +

20 98 J. HRDINA a P. VAŠÍK q 2 + q 3 za podmínek q q 2 q 3 q, q 2, q 3 0. musíme převést na duální úlohu úlohu mnmalzovat funkc z = r + r 2 + r 3 za podmínek: r r 2, r 3 r, r 2, r 3 0. Protože prostředí lnprog pracue se omezuícím podmínkam tvaru Ax b, lb x ub e zadání úlohy kód tvaru: f = [; ; ];, A = [ 4, 5, 6; 6, 4, 5; 6, 5, 4]; b = [ ; ; ]; lb = zeros(3, ); Pomocí příkazu [x] = lnprog(f,a,b,[],[],lb); dostaneme výsledek x = , což e po normování (0.486, 0.026, 0.486). To přblžně odpovídá hodnotě vypočtené ( 2, 0, 2 ). Reference [] Magdalena Hykšová: Teore her a optmální rozhodování, onlne texty, her/. [2] Mchal Chobot, Akkuĺ Turnovcová: Metody rozhodovana v konflktných stuácách a za neurčtost, Alfa, Bratslava, 980. [3] J. González-Díaz, I. García-Jurado, M. G. Festras-Janero: An Introductory Course on Mathematcal Game Theory, AMS Graduate Studes n Mathematcs 4, 200. [4] J. McKnsey: Introducton to the Theory of Games, The Rand Seres, Stanford Unversty, 952. [5] M. J. Osborne, A. Rubnsten: A Course n Game Theory, The MIT Press, 994. Jaroslav Hrdna, Ústav matematky, Fakulta stroního nženýrství, Vysoké učení techncké v Brně, Techncká 2, Brno, Česká republka, e-mal: Petr Vašík, Ústav matematky, Fakulta stroního nženýrství, Vysoké učení techncké v Brně, Techncká 2, Brno, Česká republka, e-mal:

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21 Příklad 1 Soutěž o nelepší akost výrobků obeslali čtyři výrobci A, B, C, D celkem 26 výrobky. Porota sestavila toto pořadí (uveden pouze původ výrobku od nelepšího k nehoršímu): Pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Evaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method

Evaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra fzk Vhodnocování nterferogramů metodou Fourerov transformace Evaluaton of Interferograms Usng a Fourer-Transform Method dplomová práce Studní

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

Metody volby financování investičních projektů

Metody volby financování investičních projektů 7. meznárodní konference Fnanční řízení podnků a fnančních nsttucí Ostrava VŠB-T Ostrava konomcká fakulta katedra Fnancí 8. 9. září 00 Metody volby fnancování nvestčních projektů Dana Dluhošová Dagmar

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

2 Rozhodovací problém

2 Rozhodovací problém Rozhodovaí problém Rozhodovaí problém je problém s víe možným řešením. Jde tedy o problémy se kterým se setkáváme v běžném žvotě. Základním krokem každého rozhodování je proes volby, tedy poszování jednotlvýh

Více

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU ŘÍZENÍ OTÁČEK AYNCHONNÍHO MOTOU BEZ POUŽITÍ MECHANICKÉHO ČIDLA YCHLOTI Petr Kadaník ČVUT FEL Praha, Techncká 2, Praha 6 Katedra elektrckých pohonů a trakce e-mal: kadank@feld.cvut.cz ANOTACE V tomto příspěvku

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84)

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84) Numercké výpočty ve světovém geodetckém referenčním systému 984 (WGS84) prof. Mara Ivanovna Jurkna, DrSc. CNIIGAK, Moskva prof. Ing. Mloš Pck, DrSc. Geofyzkální ústav ČAV, Praha Vojenský geografcký obzor,

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Retailový a korporátní credit scoring

Retailový a korporátní credit scoring Masarykova unverzta Přírodovědecká fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Eva Krečová Retalový a korporátní credt scorng Vedoucí práce: Mgr. Martn Řezáč, Ph.D. Studní program Aplkovaná matematka Studní obor Fnanční

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

Modelování montážní linky

Modelování montážní linky Modelování montážní linky Geza Dohnal 1. Montážní linka S rozvoem hromadné výroby e velice těsně spoen rozvo a automatizace výrobních a montážních linek. Tyto linky se od sebe obecně liší ednak topologií

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1 Měření paralelní kompenzace v zapojení do trojúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže

1 Měření paralelní kompenzace v zapojení do trojúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže 1 Měření paralelní kompenzace v zapoení do troúhelníku a do hvězdy pro symetrické a nesymetrické zátěže íle úlohy: Trofázová paralelní kompenzace e v praxi honě využívaná. Úloha studenty seznámí s vlivem

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Assessment of the Sensitivity of the Regulatory Requirement for Credit Risk. Posouzení citlivosti regulatorního kapitálu na kreditní riziko

Assessment of the Sensitivity of the Regulatory Requirement for Credit Risk. Posouzení citlivosti regulatorního kapitálu na kreditní riziko Assessment of the Senstvty of the Regulatory Requrement for Credt Rsk Posouzení ctlvost regulatorního kaptálu na kredtní rzko Josef Novotný 1 Abstract The paper s devodet to concept of Captal adequacy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Nástroje pro analýzu dat

Nástroje pro analýzu dat 7 Nástroje pro analýzu dat V té to ka pi to le: Ověřování vstupních dat Hledání řešení Řešitel Scénáře Citlivostní analýza Rychlá analýza Kapitola 7 Nástroje pro analýzu dat Součástí Excelu jsou nástroje

Více

Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou

Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou Řšní Navrovýc-Stoksovýc rovnc mtodou končnýc prvků Lbor Črmák prosnc 2009 Označní: Abstrakt Txt obsauj klasckou a varační formulac 2D-úloy nstlačtlnéo nstaconárnío proudění, pops prostorové dskrtzac mtodou

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002 Ná dní konference s mezná dní účastí INŽ ENÝ RSÁ MECHANIA 00 1. 16. 5. 00, Svratka, Č eská republka PODRITICÝ RŮ ST TRHLINY VE SVAROVÉ M SPOJI OMORY PŘ EHŘÍVÁ U Jan ouš, Ondřej Belak 1 Abstrakt: V důsledku

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Výsledný graf ukazuje následující obrázek.

Výsledný graf ukazuje následující obrázek. Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Jednotlivé historické modely neuronových sítí

Jednotlivé historické modely neuronových sítí Jednotlivé historické modely neuronových sítí Tomáš Janík Vícevrstevná perceptronová síť opakování Teoretický model obsahue tři vrstvy perceptronů; každý neuron první vrstvy e spoen s každým neuronem z

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

Kajot Casino Ltd. Popis hry Joker 27

Kajot Casino Ltd. Popis hry Joker 27 Joker 27 Joker 27 Popis a pravidla Joker 27 je hra se třemi kotouči. Zobrazený výsledek se skládá ze tří řad po třech symbolech (každý kotouč zobrazuje tři symboly). Náhledy Uvedený obrázek představuje

Více

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ Prof. Ing. Mloš Mařík, CSc. BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ RESUMÉ: Jedním z důležtých a přtom nepřílš uspokojvě řešených problémů výnosového oceňování podnku je kalkulace

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání Monografie Deset přednášek teorie statistického a strukturního roponávání Michail I. Schlesinger, Václav Hlaváč Praha 1999 Vydavatelství ČVUT 1. přednáška Bayesovská úloha statistického rohodování 1.1

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více