1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem"

Transkript

1 Kvaternon 2/204, MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ JAROSLAV HRDINA a PETR VAŠÍK Abstrakt. Následuící text pokrývá eden z cyklů přednášek předmětu Aplkovaná algebra pro nženýry (0AA) na FSI VUT. Text vznkl př třetím běhu tohoto předmětu ve školním roce 204/205. Jeho cílem e demonstrovat prncpy teore her na příkladě matcových her a představt některé nženýrské aplkace.. Úvod Cílem teore her e popsat stuac, která nás zaímá, ako hru. Klasckým případem e takzvané vězňovo dlema, které může být zformulované například následuícím způsobem. Polce zadržela dva podezřelé, Andree a Bohuslava a drží e odděleně. Důkazy, které prot nm polce má sou bohužel nepřímé a nestačí k odsouzení. Pokud se žádný z podezřelých nepřzná budou oba dva odsouzení en za drobné přestupky, každý na dva roky. Pokud ale eden z nch udá druhého a ten bude mlčet, bude udavač volný a druhý dostane deset let. Pokud se udaí navzáem dostanou každý trest ve výš šest let. Takto zadaná hra e hrou dvou hráčů {A, B} a e plně popsaná následuící matcí ( ) 2 0 M =, 0 6 kde hráč A vybírá řádek a hráč B sloupec. Hodnota ve vybraném řádku a sloupc e pak platbou (výší trestu) hráče A a matce plateb hráče B e matce M T. Proto, abychom mohl používat matematcký aparát, musíme asně defnovat, co znamenaí pomy, které budeme př popsování používat. Rozhodování výběr edné z více varant. Rozhodovací stuace stuace, ve které e potřeba vykonat rozhodování. Výsledek výběr varant vede k určtým výsledkům, které mohou být z hledska zámu rozhoduícího se subektu horší nebo lepší. Raconální účastník rozhoduící se subekt vychází z pozorování možných výsledků a uslue o výběr (v stém smyslu) nelepší varanty. Indferentní (neraconální) účastník subekt pro který e lhostený výsledek rozhodovací stuace (počasí,...). 200 MSC. Prmární 9A05; Sekundární 9A80. Klíčová slova. teore her, matcové hry. Práce byla podporována proektem A-Math-Net - Síť pro transfer znalostí v aplkované matematce (CZ..07/2.4.00/7.000).

2 80 J. HRDINA a P. VAŠÍK Předpokládáme, že rozhodovací stuace má alespoň ednoho raconálního účastníka a hledáme odpověď, aké rozhodování raconálního účastníka můžeme pokládat v dané rozhodovací stuac za optmální. Dělení rozhodovacích stuací:. (a) Rozhodovací stuace se skalárním ohodnocením (rozhodnutí e možné hodnott ednou charakterstkou). (b) Rozhodovací stuace s vektorovým ohodnocením (rozhodnutí e možné hodnott více charakterstkam). 2. (a) Rozhodovací stuace s edním (nutně raconálním) účastníkem. (b) Rozhodovací stuace s více (alespoň edním raconálním) účastníky. 3. (a) Nekonflktní rozhodovací stuace (s edním účastníkem a skalárním ohodnocením (matematcké programování)). (b) Konflktní rozhodovací stuace (s větším počtem raconálních účastníků případně alespoň edním ndferentním, nebo s vektorovým ohodnocením (ech kombnace)). Teore her řeší konflktní rozhodovací stuace s větším (ne edním) počtem raconálních účastníků a se skalárním ohodnocením. Jako další musíme zavést formalsmus, který nám umožní zformulování matematckého modelu. Uvažueme následuící obekty: množnu raconálních účastníků Q = {, 2,..., n}, množnu ndferentních účastníků R = {, 2,..., m}. Množnu alternatv rozhodování raconálního účastníka q P X q = {X q,..., X kq q }. Množnu možných stavů vznklých v důsledku působení ndferentního účastníka r R Y r = {Yr,..., Yr lr } a výsledek rozhodovací stuace n m V = X Y. = Zsk q tého účastníka na úkor tého účastníka, pro (x, y) V realzueme vektorem M q (x, y) M q (x, y) =., Mq n (x, y) kde M q : V R. Defnce.. Matematckým modelem rozhodovací stuace v normálním tvaru nazýváme následuící záps: { } Q = {,..., n} X,..., X n M,..., M n. R = {,..., m} Y,..., Y m Defnce.2. Raconální účastník q Q se chová tak, že pokud = M s q (x, y ) M s q (x 2, y 2 ), s =,..., n

3 a alespoň pro edno s platí: MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 8 M s q (x, y ) > M s q (x 2, y 2 ), pak upřednostňue alternatvu (x, y ) před (x 2, y 2 ). Některé způsoby, ak e možné teor her dělt, sou následuící:. (a) Hry dvou hráčů. (b) Hry n hráčů. 2. (a) Konečná hra - konečné množny strategí. (b) Nekonečná hra - množna strategí alespoň ednoho hráče e nekonečná. 3. (a) Hra s konstantním součtem plateb (x, y) V, Mq(x, y) = c. q Q q (b) Hra s nulovým součtem plateb (x, y) V, Mq(x, y) = 0. q Q q 4. (a) Nekooperatvní hry hry bez možnost uzavírat koalce. (b) Koalční hry hry s možnost uzavírat koalce. Tématem tohoto textu sou především matcové hry, ale záemce o další parte teore her můžeme odkázat na klascké monografe [5, 4, 3]. Ve slovenštně e možné ke studu použít například knhu [2]. Z nternetových zdroů v češtně doporučueme []. 2. Matcové hry Většnu pomů, se kterým budeme pracovat budeme postupně demonstrovat na následuícím příkladě. Dvě energetcké společnost, označme s e W a G chtěí postavt elektrárnu poblíž ednoho ze čtyř měst A, B, C, D, které sou od sebe vzdáleny následuícím způsobem: A 0 B 20 C 60 D 00 Každé domnantní pokrytí odpovídá právě proporconální délce úseku. Pokud například společnost W postaví elektrárnu v bodě B a společnost G v bodě C, bude společnost W domnantní na úseku AB a na půlce úseku BC (to dělá 40% celého území), kdežto společnost G bude domnantní na úseku CD a na půlce úseku BC (to dělá ale 60% území). Elektrárna musí být umístěna v ednom z bodů A, B, C, D. Jako první musíme ze slovního zadání vytvořt matematcký model, t. Q = {, 2}, R = X = (X = A, X 2 = B, X 3 = C, X 4 = D) X 2 = (X2 = A, X2 2 = B, X2 3 = C, X2 4 = D) V = X X 2

4 82 J. HRDINA a P. VAŠÍK M (X, X2 ) = 50 M (X, X2 2 ) = 0 M (X, X2 3, ) = 30 M (X, X2 4 ) = 50 M (X 2, X2 ) = 90 M (X 2, X2 2 ) = 50 M (X 2, X2 3, ) = 40 M (X 2, X2 4 ) = 60 M (X 3, X2 ) = 70 M (X 3, X2 2 ) = 60 M (X 3, X2 3, ) = 50 M (X 3, X2 4 ) = 80 M (X 4, X2 ) = 50 M (X 4, X2 2 ) = 40 M (X 4, X2 3, ) = 20 M (X 4, X2 4 ) = 50 M 2 (X, X2 ) = 50 M 2 (X2, X2 2 ) = 90 M 2 (X, X2 3, ) = 70 M 2 (X, X2 4 ) = 50 M 2 (X 2, X2 ) = 0 M 2 (X 2, X2 2 ) = 50 M 2 (X 2, X2 3, ) = 60 M 2 (X 2, X2 4 ) = 40 M 2 (X 3, X2 ) = 30 M 2 (X 3, X2 2 ) = 40 M 2 (X 3, X2 3, ) = 50 M 2 (X 3, X2 4 ) = 20 M 2 (X 4, X2 ) = 50 M 2 (X 4, X2 2 ) = 60 M 2 (X 4, X2 3, ) = 80 M 2 (X 4, X2 4 ) = 50 U příkladu energetckých společností máme tedy dva hráče a zsk ednoho znamená automatcky ztrátu druhého. Takové hře se říká antagonstcká hra dvou hráčů a není těžké s představt, že e možné takovou hru reprezentovat matcí: Hrám, které lze reprezentovat matcí, se říká matcové hry. Formálně e matcová hra konečná hra dvou hráčů s konstantním (nulovým) součtem. To, že e hru dvou hráčů s konstantním součtem možné reprezentovat en matcí plateb prvního hráče M, plyne přímo z následuícího faktu. Pokud e hra s konstantním součtem, platí M (x, y) + M 2 (x, y) = c a e tedy možné vyádřt matc plateb druhého hráče pomocí matce plateb prvního hráče: M 2 (x, y) = c M (x, y). V našem příkladě se edná o matcovou hru s konstantním součtem, kde c = 00. Defnce 2.. Hrou dvou hráčů v normální formě s konstantním součtem (matcovou hru) nazýváme hru { Q = {, 2} X, Y M(x, y) c }, kde matcí plateb rozumíme matc M = M(x, y ) M(x, y n )... M(x m, y ) M(x m, y n ) Z defnce e asné, že nedává smysl uvažovat možnou spoluprác hráčů (čím víc eden získá tím víc druhý ztratí). Takové hry se nazývaí antagonstcké (nekooperatvní). Matcová hra se tedy hrae tak, že první hráč vybírá řádek a druhý hráč sloupec. Příslušné číslo v matc e pak platba prvního hráče. Defnce 2.2. Stratege =,..., m a =,..., n nazýváme čsté stratege prvního a druhého hráče. Pokud první hráč volí tou čstou strateg, potom může s určtostí zabezpečt, že eho platba bude alespoň mn a..

5 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 83 Vzhledem k tomu, že chce ale zabezpečt co možná nevyšší platbu, uvažue přnemenším o platbě mn a. Druhý hráč chce mnmalzovat platbu prvního hráče, ta však nebude vyšší než a druhý hráč tedy volí strateg mn a a. Z toho tedy vyplývá, že volbou čsté stratege může první hráč zabezpečt, že eho platba nebude nžší než mn a, přčemž druhý hráč může vhodnou volbou stratege zastt, aby eho platba nebyla vyšší než mn a Pokud by tyto úvahy obou hráčů nebyly ve sporu znamenalo by to, že svou volbou zaručí, že případná změna prothráčovy stratege by pro prothráče nebyla výhodná a může se tedy spolehnout, že prothráč strateg nezmění. Můžeme říct, že kdo pak uhne, tak s nepolepší. V příkladě s energetckým společnostm se edná o matcovou hru s matcí plateb: Máme tedy: mn a = 0 mn a 2 = 40 mn a 3 = 50 mn a 4 = 20 a = 90 a tentokrát a 2 = 60 mn a = mn a 3 = 50 a = 50, mn a = 50 a 4 = 80 mn a = 50 exstue tedy čstá optmální stratege a de o strateg, kdy s obě energetcké společnost postaví elektrárnu u steného města, a to na místě C. Toto dává smysl následuícím defncím: Defnce 2.3. Sedlovým bodem matce A = (a ) nazýváme takový eí prvek a pro který platí mn a = mn a. Defnce 2.4. Takové stratege 0, 0, že ( 0, 0 ) e sedlový bod matce plateb A, nazýváme čstým optmálním strategem prvního a druhého hráče v matcové hře. Číslo v = a 0 0 nazýváme hodnotou této hry. Troc ( 0, 0, v) nazýváme řešením matcové hry v čstých strategích. Uvedeme s příklad hry, která sce není matcová, ale demonstrue edno z úskalí tohoto přístupu. Následuící příklad e v lteratuře uváděný ako Braessův paradox. V následuícím dagramu se deset hráčů (aut) rozhodue estl poede ze startu do cíle přes bod A, nebo bod B. Například pokud 6 aut poede přes bod A a čtyř přes

6 84 J. HRDINA a P. VAŠÍK bod B. Doba průezdu přes bod A bude 6, přes bod B bude 4. Tato stratege není rovnovážné, pokud edno auto proížděící bodem A svou strateg změní místo 6 dorazí do cíle za 5 a tím s polepší. Rovnovážná stratege e 5 a 5 a celková doba průezdu každého auta e stená a e to 5. start 0 x x B cíl Všmněme s ak by se stuace změnla pokud bychom graf doplnl o vysokorychlostní zkratku mez body A a B, bez úmy na obecnost í ohodnotíme nulou. Rozdělení 5 a 5 ž není rovnovážné, pokud edno z aut edoucí horní cestou využe spoku klesne eho doba průezdu z 5 na. start 0 0 x x B cíl Jedná rovnovážná stuace e v tomto případě taková, že všechny auta využí rychlostní spoky. Doba průezdu každého auta tím ale vzroste z 5 na 20. V lteratuře e toto uváděno ako paradox v tom smyslu, že zdánlvé vylepšení dopravní sítě vede paradoxně ke zpomalení dopravy a v dopravních sítích větších měst e tato stuace př plánování dopravy řešena. Ve skutečnost se ale edná o případ hry kdy e sedlový prvek matce, t rovnovážná stratege e odlšný od optmální stratege. Toto formalzue takzvaná Míra anarche defnovaná ako podíl rovnovážné a optmální. V našem případě e to 20 5 = 4 3 a čím více se tato hodnota lší od čísla o to více e tento systém nestablní. Věta 2.5. Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y a předpokládeme že exstuí velčny Potom mn mn f(x, y), mn A A 0 0 y Y x X f(x, y) mn y Y x X f(x, y). f(x, y). Důkaz. Z defnce mnma a ma víme, že pro lbovolné zadané x X platí a pro lbovolné zadané y Y platí Proto pro všechna x X a y Y platí mn y Y mn f(x, y) f(x, y) y Y f(x, y) f(x, y). x X f(x, y) f(x, y). x X Vzhledem k tomu, že pravá strana nerovnce nezávsí na x X tedy mn f(x, y) f(x, y). x X

7 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 85 A vzhledem k tomu, že levá strana nerovnce nezávsí na y Y, dostaneme celkem mn f(x, y) mn y Y x X f(x, y). Defnce 2.6. Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y. Sedlovým bodem této funkce vzhledem k množně X Y nazýváme takový bod (x 0, y 0 ) X Y, že pro všechny x X a y Y platí f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y). Věta 2.7 (Věta o sedlovém bodu). Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y a nechť exstuí velčny x X mn y Y f(x, y) a mn y Y x X f(x, y). Pak funkce f(x, y) má sedlový bod na množně X Y právě tehdy, když platí mn f(x, y) = mn y Y x X f(x, y). Navíc pokud (x 0, y 0 ) e sedlový bod funkce f(x, y) na množně X Y, pak mn f(x, y) = mn y Y x X f(x, y) = f(x 0, y 0 ). Důkaz.. Nechť (x 0, y 0 ) X Y e sedlový bod funkce f(x, y). Pak podle Defnce 2.6. pro všechna x X a y Y platí f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y). Z toho vyplývá, že x X f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) mn y Y f(x 0, y). Vzhledem k tomu, že obecně platí a mn y Y x X f(x, y) x X f(x, y 0) mn f(x 0, y) y Y protože f(x 0, y 0 ) e sedlový bod, platí mn y Y x X Současně podle Věty 2.5. platí A tedy celkem mn mn mn f(x, y) f(x, y) mn f(x, y) = mn mn y Y x X y Y x X f(x, y), f(x, y). f(x, y). f(x, y). Z důkazu e zřemé, že se výraz také musí rovnat f(x 0, y 0 ). 2. Nechť e splněna rovnost ve znění věty. Dále předpokládeme, že funkce mn y Y f(x, y) nabývá svého ma v bodě x 0 X a funkce x X f(x, y) svého mnma v bodě y 0 Y, t. platí mn f(x 0, y) = y Y mn f(x, y 0) = mn x X y Y x X f(x, y), f(x, y).

8 86 J. HRDINA a P. VAŠÍK Ukážeme, že dvoce (x 0, y 0 ) X Y e sedlovým bodem funkce f(x, y). Na základě předpokladu o splnění rovnost máme Z defnce mnma vyplývá a z defnce ma Celkem mn f(x 0, y) = f(x, y 0). y Y x X mn f(x 0, y) f(x 0, y 0 ), y Y f(x, y 0) f(x 0, y 0 ). x X f(x, y 0 ) x X f(x, y 0) = x X f(x, y 0) f(x 0, y 0 ), pro všechna x X. Analogcky f(x 0, y) mn y Y f(x 0, y) = x X f(x, y 0) f(x 0, y 0 ), pro všechna y Y, a tedy (x 0, y 0 ) X Y e z defnce sedlovým bodem. Všmněme s eště edné důležté vlastnost matcových her. Pokud e některý řádek matce ve všech sloupcích větší než ný, nemá pro prvního hráče smysl příslušnou strateg hrát. Defnce 2.8. Řekneme, že vektor a = (a,, a n ) T domnue (ostře) vektoru b = (b,, b n ) T, pokud pro všechna =,, n platí a b (a > b ). Věta 2.9. Optmální stratege hráčů v matcové hře se nezmění, pokud k matc plateb přpočteme lbovolnou konstantu ξ nebo pokud matc plateb vynásobíme lbovolnou kladnou konstantou β. Na závěr kaptoly s ukážeme příklad hry pro kterou sedlový bod v čstých strategích neexstue. Příklad 2.0. Měme dva frekvenční generátory generuící stený perodcký výstup. První generátor do sgnálu kódue nformac kterou chceme přenést. Druhý generátor se snaží vyslat sgnál s opačnou frekvencí. První generátor může vyslat opačný sgnál bez nformace f. Cílem prvního generátoru e sgnál přenést, druhého vyrušt. Pokud oba zvolí f sgnál se zesílí a zsk prvního hráče ohodnotíme 4 pokud oba zvolí f sgnál se nevyruší ale příemce pozná, že e vysílač rušen a zsk prvního hráče ohodnotíme 2. Pokud sou frekvence opačné sgnál se vyruší a zsk prvního hráče ohodnotíme 3. Jde tedy o matcovou hru s matcí plateb ( f f) f 2 3 f 3 4 a konstantou c = 0. V tomto příkladě máme tedy mn a = 3, mn a 2 = 3, mn a = 3, a = 2, a 2 = 4, mn a = 2. Platí tedy mn a < mn a a čstá optmální stratege neexstue.

9 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ Smíšené optmální stratege Pokud nemá matcová hra čstou optmální strateg, platí mn a < mn a. V tomto případě se př opakování hry, t. př ednotlvých partích, bude první druhý hráč snažt opakovat čsté stratege s takovou pravděpodobností, aby v průměru první hráč získal více než en mn a a druhý hráč se snaží zastt, aby první získal méně než mn a. Tady každý hráč přřazue každé své čsté strateg určtou pravděpodobnost, s akou í bude používat. Defnce 3.. Smíšenou strategí prvního hráče nazýváme m rozměrný vektor x = (x,..., x m ) T, pro který platí m x =, x 0. = Smíšenou strategí druhého hráče budeme nazývat n rozměrný vektor pro který platí Množny y = (y,..., y n ) T, y =, y 0. = S m = {x E m, S n = {y E n, m x =, x 0}, = y =, y 0} nazýváme množnou smíšených strategí prvního a druhého hráče. = Každá čstá stratege odpovídá smíšené Defnce 3.2. Funkc x = (0,..., 0,, 0,..., 0) T. E(x, y) = m = = a x y = x T Ay defnovanou pro x S m a y S n nazýváme funkcí střední hodnoty platby v matcové hře. Steným úvaham odvodíme, že první hráč volbou smíšené stratege může docílt toho, že střední hodnota eho platby bude nžší než mn E(x, y), y S m x S n přčemž druhý hráč může zastt, aby střední hodnota plateb prvního byla nžší než mn E(x, y). y S m x S n

10 88 J. HRDINA a P. VAŠÍK Víme, že pro každou funkc platí a pokud platí rovnost exstue sedlový bod. mn E(x, y) mn E(x, y) y S m y S m x S n x S n mn E(x, y) = mn E(x, y), y S m y S m x S n x S n Defnce 3.3. Nechť (x, y) e sedlový bod funkce E(x, y) vzhledem k S m S n. Vektory x respektve ȳ nazýváme optmálním smíšeným strategem prvního respektve druhého hráče v příslušné matcové hře a číslo v = E( x, ȳ) nazýváme hodnotou této hry. Troc ( x, ȳ, v) nazýváme řešením matcové hry ve smíšených strategích. Vrátíme se opět k příkladu 2.0, t. k matcové hře s matcí plateb ( ) 2 3, 3 4 přčemž už víme, že čstá optmální stratege neexstue a hra má řešení pouze ve smíšených strategích x = ( 7 2, 5 2 )T a ȳ = ( 7 2, 5 2 )T. Toto řešení teď en ověříme, hodnota hry e: E( x, ȳ) = ( 7 2, 5 ( ) ( ) 2 ) 2 5 = , pokud první hráč strateg změní, nepolepší s (an s nepohorší ale to z defnce sedlového bodu neřešíme) E(x, ȳ) = (x, x 2 ) ( ) ( ) ( ) = (x, x 2 ) 2 = 2 2 x 2 x 2 = 2 (x + x 2 ) = 2, pokud změní druhý hráč strateg, také s nepolepší: E( x, y) = ( 7 2, 5 ( ) ( ) ) y = 3 4 y 2 2. Pro nalezení řešení hry ve smíšených strategích budeme potřebovat aparát lneárního programování. Úloha lneárního programování e úloha mnmalzovat, nebo malzovat lneární polynom na něaké množně určené lneárním nerovncem, například malzovat funkc x + x 2 za podmínek x 0, x 2 0 a Matcově, malzovat x + 2x 2 4, 4x + 2x 2 2, x + x 2. ( ) ( ) x, x 2

11 za podmínek MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 89 2 ( ) x 2, x 2 ( x ) x 2 ( 0 0). Defnce 3.4. O následuící dvoc úloh lneárního programování, říkáme, že sou duální:. malzovat c T x za podmínek Ax b a x 0, 2. mnmalzovat y T b za podmínek y t A c T a y 0, kde c, x R n, b, y R m a A Mat(m, n). Duální problém k našemu příkladu e mnmalzovat funkc 4y + 0y 2 + y 3 za podmínek y 0, y 2 0, y 3 0 a y + 4y 2 y 3, 2y + 2y 2 + y 3. Věta 3.5 (J. von Neuman, J. Nash). Pro každou matcovou hru platí mn E(x, y) = mn E(x, y), y S m y S m x S n x S n a tedy exstue sedlový bod funkce E(x, y) na množně S m S n. Tedy každá hra má řešení ve smíšených strategích. Důkaz. Zformulueme s dvě duální úlohy lneárního programování: Maxmalzovat ω za podmínek: m a x + ω 0,, = m x =, = x 0, Mnmalzovat u za podmínek: a y + u 0,, = y =, = y 0 pro =,, m, =,, n. Tyto dvě úlohy sou duální a to z hledska lneárního programování znamená, že maí stenou množnu přípustných řešení (t. řešení, která splňuí dané nerovnost) a současně, pokud exstue optmální řešení edné, exstue optmální řešení druhé

12 90 J. HRDINA a P. VAŠÍK a výsledná hodnota účelové funkce e stená. Pokud zvolíme za příslušná a prvky matce hry, dostaneme optmální řešení, které bude rovno sedlovému bodu funkce E(x, y), a tedy optmální strategí příslušné matcové hry. Poznameneme nakonec, že toto řešení není dané ednoznačně. Bez důkazu uvádíme následuící dvě věty: Věta Pokud ve hře s matcí plateb A = (a ) typu m n platí, že pro něaké k ( k m) exstuí čísla α ( k) taková, že pro všechna =,..., n máme α =, k α a a k, k potom exstue optmální stratege prvního hráče x S m, eíž složkou e x 0 = Pokud ve hře s matcí plateb A = (a ) typu m n platí, že pro něaké t ( t n) exstuí čísla β ( t) taková, že pro všechna =,..., m máme β =, t β a a t, t potom exstue optmální stratege druhého hráče x S n, eíž složkou e ȳ 0 = 0. Například v matcové hře s matcí plateb exstue k = 3, α = α 2 = 2 takové, že pro všechna =, 2, 3 platí α a +α 2 a 2 a 3. Exstue tedy optmální stratege pro kterou e x 3 = 0. Z důkazu Nashovy věty víme, že optmální smíšená stratege matcové hry s matcí A e optmálním řešením dvoce úloh lneárního programování. Potřebueme ale tyto úlohy převést na tvar, který umíme řešt. Jako výchozí úlohu použeme Mnmalzovat u za podmínek: a y + u 0, = y =, = y 0. pro =,, m, =,, n. Z předešlých vět víme, že matc plateb můžeme přčtením vhodné konstanty upravt tak, aby a 0, tedy hodnota účelové funkce u e kladná a můžeme nerovnost dělt beze změny směru nerovnost.

13 zavedeme substtuc q = y u MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 9 Mnmalzovat u za podmínek: y a u + 0, = = y y u = u, u 0. a dostaneme Mnmalzovat u za podmínek: a q, = q = u, = q 0. Mnmalzovat funkc u e to samé ako malzovat funkc n = q a dostáváme výsledný tvar: Maxmalzovat q za podmínek: = a q, = q 0 tedy tvar, který umíme řešt ak uvdíme v další kaptole. 4. Smplexová metoda Úlohu lneárního programování můžeme chápat ako nalezení extrému (ma nebo mnma) lneární funkce více proměnných př vedleších podmínkách, které sou vyádřeny lneárním rovncem nebo nerovncem. Exstue několk formulací základní úlohy lneárního programování, my budeme pracovat s následuícím omezuícím podmínkam: a x + a 2 x a n x n b, a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2, a m x + a m2 x a mn x n b m, kde m < n a x 0. Jako první krok doplníme soustavu o pomocné proměnné x, x m tak, aby platla následuící soustava rovnc: a x + a 2 x a n x n + x = b,

14 92 J. HRDINA a P. VAŠÍK a 2 x + a 22 x a 2n x n + x 2 = b 2, a m x + a m2 x a mn x n + x m = b m, kde m < n a b 0. Všmněme s, že soustava má řešení: x = x n = 0, x = b,, x n = b m. Proměnné x,, x m sou ale pomocné a řešení v základních proměnných e x = x n = 0. Našm cílem e malzovat funkc z = c x + c n x n + d, přčemž pro naše řešení x = = x n = 0 e hodnota účelové funkce rovna d. Přdáme s ako další řádek soustavy účelovou funkc z c x c n x n = d, tím ale přdáme eště ednu proměnnou z (kterou chceme malzovat). Matce soustavy pak vypadá následovně: 0 a a 2 a n 0 0 b 0 a 2 a 22 a 2n 0 0 b a m a m2 a mn 0 0 b m c c 2 c n d Zamysleme se teď nad tím, ak naít né řešení. Máme soustavu m rovnc o m+n neznámých takovou, že n proměnných e základních. Další řešení můžeme získat tak, že pomocí řádkových elementární úprav vynulueme něaký další sloupec. Abychom se rozhodl který, musíme se podívat na poslední řádek soustavy z c x c 2 x 2 c n x n = d. Protože všechna x sou kladná můžeme zvýšt hodnotu účelové funkce z en pokud vybereme takové c, které e kladné, tedy takový prvek matce který e záporný. V našem algortmu pak vybereme to nemenší číslo (číslo s nevětší absolutní hodnotou), protože u něho e předpoklad, že účelovou funkc zvýšíme nevíce. Vybraný sloupec bychom pak chtěl přdat k ednotkové matc, ale eště nevíme, vůč kterému řádku budeme sloupec nulovat. Představme s tedy, ak budou vypadat příslušná řešení pro x = 0, k pokud zanedbáme pomocné proměnné x : x = b a k x k, x 2 = b 2 a 2k x k,. x m = b m a mk x k. S ohledem na podmínky nezápornost musí platt: x k b a k.

15 Vybereme řádku s nemenším podílem MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 93 x k mn b a k = b s a sk pro =, 2,..., m, t. předpokládáme, že nemenší podíl e v s té řádce soustavy. Proměnnou x k nazýváme vstupuící proměnnou a proměnnou x s vystupuící proměnnou. Na závěr s všechno ukážeme na příkladu. Maxmalzute z = 4x + 2x 2 za podmínek x 3x 2 9, 2x + 3x 2 8, 2x x 2 0, kde x 0. Smplexová matce má tvar Záporné hodnoty v posledním řádku sou dvě, -4 a -2, vybereme tu menší, podělíme sloupec pravých stran příslušným koefcenty (pokud sou kladné) a dostaneme: Vybereme ten nemenší podíl, tedy 0 2 a nulueme druhý sloupec vzhledem k podtržené dvoce ve třetím řádku Po provedení příslušných řádkových elementárních úprav tedy dostaneme Zlepšené řešení e x = 5, x 2 = 0, x = 4, x 2 = 8, x 3 = 0 a hodnota účelové funkce e z = 20. V posledním řádku e už en edno záporné číslo -4. Opět porovnáme podíly

16 94 J. HRDINA a P. VAŠÍK a vyberme druhý řádek Výsledné řešení e a hodnota účelové funkce e z = 28. x = 6, x 2 = 2, x = 9, x 2 = 0, x 3 = 0 5. Algortmus Výchozí úloha pro matcovou hru s matcí plateb {a } e Maxmalzovat q za podmínek: = a q, = q 0. Pokud q = (q,..., q n ) e lbovolné optmální řešení, pak q x = m = q e optmální smíšenou strategí prvního hráče a číslo u = e hodnotou v příslušné matcové hře. m = q 6. Příklad Měme dva roboty označené symbolem a 2 na šachovnc, kteří sou v základní poloze vz obrázek: A B C D E F G H A B C D 2 E F G H Tabulka. Výchozí pozce.

17 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 95 Každý z těchto robotů má 8 možností pohybu na políčka označená A až H. Oba robot se současně pohnou, následně změříme ech vzdálenost. Tu defnueme takto:. Vzdálenost dvou políček se společnou stranou e Vzdálenost dvou políček se společným vrcholem e. 3. Vzdálenost dvou políček bez společného vrcholu nebo strany e délka nekratší cesty mez nm, přčemž délka ednoho celého políčka př průchodu horzontálně nebo vertkálně e 2 a př průchodu dagonálně e 3. Zda políčko procházíme horzontálně, vertkálně nebo dagonálně se rozhodue podle způsobu vstupu do tohoto pole. Úkolem robota e vzdalovat se od robota 2 a naopak. Tabulku vzdáleností mez pozcem robotů tedy lze chápat ako defnc výplatní funkce robota, bude tedy dána matcí: Q = A B C D E F G H A B C D E F G H Budeme-l hledat rovnovážný stav mez čstým strategem, vyde nám: mn mn Q = 4, Q = 5. Neexstue tedy čstá optmální stratege. Budeme-l uvažovat pravděpodobnostní rozšíření této hry, budeme za strateg považovat vektor x = (x,..., x 8 ) s vlastostm n = x = a x 0 pro všechna =,..., 8. Budeme tedy úlohu řešt dle předchozího algortmu ako úlohu lneárního programování, kde a budou prvky matce plateb A. Vzhledem k velkost matce nademe řešení pomocí něakého softwaru, konkrétně vyde což vede na strateg x = q 8 = q = q = ( 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0), 0 { / 0 / 0+ / 0 = / 2 pro =, 3 0 pro = 2, 4,..., 8 Optmální smíšenou strategí tedy bude vektor x = ( / 2, 0, / 2, 0, 0, 0, 0, 0) a hodnotou hry e u = 8 = q = 5.

18 96 J. HRDINA a P. VAŠÍK To znamená, že robot se pohne s pravděpodobností / 2 na pozc A nebo se stenou pravděpodobností na pozc C a eho vzdálenost od robota 2 bude 5. Tato stratege dává smysl, protože dostává robota co nedále od robota 2. Zamysleme se nad tím, ak tuto hru řešt bez použtí počítače. Všmneme s například, že 4. až 8. řádek e domnován 3. řádkem, lze e tedy z matce vypustt. Steně 4. až 8. sloupec domnuí sloupce až 3. Zůstane tedy pouze matce 3 3, konkrétně Q = Snadno zkontrolueme, že an zde není optmální čstá stratege. Nyní provedeme pravděpodobnostní rozšíření a řešíme úlohu lneárního programování malzovat funkc z = q + q 2 + q 3 za podmínek: Úvodní smplexová tabulka bude tvaru q q 2 q 3 p, p 2, p ,. Po elmnac vzhledem k prvku ve čtverečku dostaneme / 0 3 / / / 5 6 / / 6 / / 2 6 / / 6 / 6. 0 / 6 / / 6 / 6 Posledním krokem e elmnace vzhledem k prvku ve čtverečku, čímž dostaneme 0 0 / 2 3 / / / 6 0 / 2 5 / / 2 0 / 5 0 / 6 / / 0 0 / 2 6 / 5 Tím elmnace končí, protože poslední řádek už neobsahue žádná záporná čísla. Řešením tedy e vektor ( / 0, 0, / 0 ) a optmální smíšenou strategí e vektor ( / 2, 0, / 2 ), tedy řešení stené. Uvažueme-l tuto hru ako hru s konstantním součtem 0, tedy hodnoty nevětší možné vzdálenost, pak z pohledu robota 2 získáme matc plateb B ako rozdíl

19 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 97 R = 0 Q. Po pravděpodobnostním rozšíření a vyřešení úlohy lneárního programování vyde ako rovnovážná smíšená stratege vektor (0, / 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Robot 2 se tedy s pravděpodobností pohne na pozc B, což odpovídá čsté strateg. Toto řešení opět dává smysl, protože posunue robota 2 co neblíže k robotov. V dalším kole bude základní pozce robotů následuícího tvaru: A B C D E F G H A B C D 2 E F G H Tabulka 2. Výchozí pozce 2. Funkce plateb tedy bude realzována matcí A B C D E F G H A B C D E F G H V tomto případě exstue čstá rovnovážná stratege, a to (C,C) s hodnotou hry 5. Pokud tímto způsobem rozebereme další možná výchozí postavení, například stuac v rozích, lze určt pohyb robotů po celé šachovnc tak, aby se robot nesrazl a přtom s byl stále co neblíž. V nženýrství se například řeší podobný problém - zachování vdtelnost ednoho obektu pro obekt ný, a to například v prostředí s překážkam ve vdtelnost. Pokud bychom chtěl naš hru modfkovat tímto směrem, zamezl bychom vstup na některá políčka šachovnce. 7. Výpočtová prostředí Pro řešení matcových her můžeme použít všechna standardní výpočtová prostředí. V prostředí Mathematca R e možné použít proceduru LnearProgrammng a v prostředí Matlab R proceduru lnprog. Vyřešíme příklad z předešlé kaptoly v prostředí Matlab R, ale protože lnprog standardně pracue s duální úlohou lneárního programování než e naše zadání, úlohu malzovat funkc z = q +

20 98 J. HRDINA a P. VAŠÍK q 2 + q 3 za podmínek q q 2 q 3 q, q 2, q 3 0. musíme převést na duální úlohu úlohu mnmalzovat funkc z = r + r 2 + r 3 za podmínek: r r 2, r 3 r, r 2, r 3 0. Protože prostředí lnprog pracue se omezuícím podmínkam tvaru Ax b, lb x ub e zadání úlohy kód tvaru: f = [; ; ];, A = [ 4, 5, 6; 6, 4, 5; 6, 5, 4]; b = [ ; ; ]; lb = zeros(3, ); Pomocí příkazu [x] = lnprog(f,a,b,[],[],lb); dostaneme výsledek x = , což e po normování (0.486, 0.026, 0.486). To přblžně odpovídá hodnotě vypočtené ( 2, 0, 2 ). Reference [] Magdalena Hykšová: Teore her a optmální rozhodování, onlne texty, her/. [2] Mchal Chobot, Akkuĺ Turnovcová: Metody rozhodovana v konflktných stuácách a za neurčtost, Alfa, Bratslava, 980. [3] J. González-Díaz, I. García-Jurado, M. G. Festras-Janero: An Introductory Course on Mathematcal Game Theory, AMS Graduate Studes n Mathematcs 4, 200. [4] J. McKnsey: Introducton to the Theory of Games, The Rand Seres, Stanford Unversty, 952. [5] M. J. Osborne, A. Rubnsten: A Course n Game Theory, The MIT Press, 994. Jaroslav Hrdna, Ústav matematky, Fakulta stroního nženýrství, Vysoké učení techncké v Brně, Techncká 2, Brno, Česká republka, e-mal: Petr Vašík, Ústav matematky, Fakulta stroního nženýrství, Vysoké učení techncké v Brně, Techncká 2, Brno, Česká republka, e-mal:

1. Nejkratší cesta v grafu

1. Nejkratší cesta v grafu 08. Nekratší cesty. Úloha obchodního cestuícího. Heurstky a aproxmační algortmy. Metoda dynamckého programování. Problém batohu. Pseudopolynomální algortmy 1. Nekratší cesta v grafu - sled e lbovolná posloupnost

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY . přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti

Teorie her a ekonomické rozhodování. 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti Teore her a ekonomcké rozhodování 10. Rozhodování př stotě, rzku a neurčtost 10.1 Jednokrterální dskrétní model Jednokrterální model rozhodování: f a ) max a Aa, a,..., a ( 1 2 f krterální funkce (zsk,

Více

APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU

APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APPLICATION OF MATHEMATICAL PROGRAMMING IN DESIGNING THE STRUCTURE OF THE DISTRIBUTION SYSTEM Martn Ivan 1 Anotace: Prezentovaný

Více

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce . meznárodní konference Řízení a modelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonomcká fakulta, katedra Fnancí 8. - 9. září 200 Metody vícekrterálního hodnocení varant a ech využtí př výběru produktu

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2 ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2013 Radka Luštncová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Název bakalářské práce: Aplkace řezných

Více

TGH13 - Teorie her I.

TGH13 - Teorie her I. TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jejím změřením

vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jejím změřením Operátor hustoty Popsueme-l vývo uzavřeného kvantového systému, vystačíme s většnou s pomem čstého stavu. Jedná se o vektor v Hlbertově prostoru H, který e danému kvantovému systému přdružen. Na daném

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Statistická energetická analýza (SEA)

Statistická energetická analýza (SEA) Hladna akustckého tlaku buzení harmonckou slou [db] Statstcká energetcká analýza (SA) V současné době exstue řada způsobů, ak řešt vbroakustcké problémy. odobně ako v ných odvětvích nženýrství, také ve

Více

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

{ } SYNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ 1. NEALGEBRAICKÉ METODY

{ } SYNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ 1. NEALGEBRAICKÉ METODY SNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ. NEALGEBRAICKÉ METOD a) GINSBURGOVA METODA Využívá tzv. korespondencí mez vstupním a výstupním slovem př dané vstupní a výstupní abecedě. Jnak řečeno, vyhodnocuí se ednotlvé odezvy

Více

ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ

ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ THE TIME COORDINATION OF PUBLIC MASS TRANSPORT ON SECTIONS OF THE TRANSPORT NETWORK Petr Kozel 1 Anotace: Předložený příspěvek

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2. . Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN ROBUST 000, 7 4 c JČMF 00 BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN Abstrakt. Poukážeme na možnost rozhodování pomocí Bayesova prncpu. Ten vychází z odhadu podmíněné pravděpodobnosta z předpokladu dsjunktního rozkladu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda

10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda @112 10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad:

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA)

ANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA) NLÝZ OZPYLU (nalyss of Varance NOV) Používá se buď ako samostatná technka, nebo ako postup, umožňuící analýzu zdroů varablty v lneární regres. Př. použtí: k porovnání středních hodnot (průměrů) více než

Více

Procesy paralelně komunikujících gramatických systé mů

Procesy paralelně komunikujících gramatických systé mů Procesy paralelně komunkuících gramatckých systé mů Pokroč lá témata z teoretckénformatky á věrečný proekt Autor: Ivan chwarz Abstrakt: Tato prá ce se zabý vá paralelně komunkuícím gramatcký m systé my

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ

Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ 1/28 Klasfkace a predkce Roman LUKÁŠ 2/28 Základní pomy Klasfkace = zařazení daného obektu do sté skupny na základě eho vlastností Dvě fáze klasfkace: I. Na základě trénovacích vzorů (u nchž víme, do aké

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam

Více

2. Posouzení efektivnosti investice do malé vtrné elektrárny

2. Posouzení efektivnosti investice do malé vtrné elektrárny 2. Posouzení efektvnost nvestce do malé vtrné elektrárny Cíle úlohy: Posoudt ekonomckou výhodnost proektu malé vtrné elektrárny pomocí základních metod hodnocení efektvnost nvestních proekt ako sou metoda

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Diplomová práce. 2014 Michal Běloch

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Diplomová práce. 2014 Michal Běloch VŠB - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra aplkované matematky Dplomová práce 204 Mchal Běloch VŠB - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Numerické metody optimalizace

Numerické metody optimalizace Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

Dvou-maticové hry a jejich aplikace

Dvou-maticové hry a jejich aplikace Dvou-maticové hry a jejich aplikace Obsah kapitoly. Hry s konstantním součtem Hra v normálním tvaru (ryzí strategie) Smíšené strategie. Hry s nekonstantním součtem Nekooperativní hra Dvou-maticová hra

Více

Analýza nahraditelnosti aktivního systému úsekového měření rychlosti pasivním systémem P. Chmelař 1, L. Rejfek 1,2, M.

Analýza nahraditelnosti aktivního systému úsekového měření rychlosti pasivním systémem P. Chmelař 1, L. Rejfek 1,2, M. Ročník 03 Číslo II Analýza nahradtelnost aktvního systému úsekového měření rychlost pasvním systémem P. Chmelař, L. Refek,, M. Dobrovolný Katedra elektrotechnky, Fakulta elektrotechnky a nformatky, Unverzta

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

9. Soustava lineárních rovnic

9. Soustava lineárních rovnic @097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,

Více

Úvod do teorie her. podzim 2010 v.1.0

Úvod do teorie her. podzim 2010 v.1.0 Úvod do teorie her podzim 2010 v.1.0 1 Obsah 1 Matematická teorie her 3 1.1 Matematický model.................................. 3 1.2 Maticové hry...................................... 6 1.3 Bi maticové

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více