APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU

Transkript

1 APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APPLICATION OF MATHEMATICAL PROGRAMMING IN DESIGNING THE STRUCTURE OF THE DISTRIBUTION SYSTEM Martn Ivan 1 Anotace: Prezentovaný článek se zaývá aplkací matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému. Příspěvek e rozdělen do tří částí. Úvodní část se zaývá teoretckým východsky a přlížení dané prolematky. Následuící část e věnována ednotlvým modelům a ech podronému popsu. V závěru sou uvedeny softwarové produkty pro řešení této prolematky. Klíčová slova: dstruční systém, účelová funkce, proměnné, omezuící podmínky. Summary: The presented paper deals wth the applcaton of a mathematcal programmng n desgnng the structure of the dstruton system. Ths paper s dvded nto three parts. The ntroductory part deals wth theoretcal startng ponts and approach of ssue. The next secton s devoted to ndvdual states models and detaled descrpton. Fnally are gven the software products to address ths ssue. Key words: dstruton system, specal-purpose functons, varales, lmtng condtons. 1. ÚVOD Dstruční systémy oecně se zaývaí čnnostm souvseícím s materálovým toky a navazuící komsonářskou čnností. Tuto část logstckého systému e možno chápat ako spoovací článek mez výroou a spotřetel. Jedním z hlavních úkolů dstručních systémů e dodat zákazníkov požadované zoží př co nevyšší efektvtě. Př plánování dstruce zoží se tedy v podstatě edná o vytvoření optmálního poměru mez dodacím služam, které e schopen podnk naídnout neo které konečný zákazník požadue a vznkaícím náklady. Analogcky může ýt rozhodováno v stuacích, kdy se má rozhodovat o reorganzac ž provozovaného dstručního systému. Př vytváření (reorganzac) dstručního systému e třea vydat určtá rozhodnutí, na nchž e pochoptelně závslá celková efektvta systému. Efektvta dstručního systému se zpravdla vyadřue prostřednctvím nákladů na zaštění 1 Ing. Martn Ivan, Vysoká škola áňská Techncká unverzta Ostrava, Fakulta stroní, Insttut dopravy, 17. lstopadu 15, Ostrava Porua, Tel.: , E-mal: martn.van.st@vs.cz Ivan - Aplkace matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému 104

2 chodu systému, tzn. neude-l chod systému vhodně zorganzován, udou náklady na zaštění chodu systému vyšší, než e nezytně nutné, což má pochoptelně na efektvtu daného systému přímý dopad. Pro podporu správného rozhodování exstue v současnost celá řada metod, ednou z nevýznamněších skupn podpůrných metod sou metody matematckého programování. Matematcké programování se zaývá prolematkou vytváření matematckých modelů rozhodovacích prolémů a ech řešením. Základem celého řešícího procesu metodam matematckého programování e správně funguící matematcký model. 2. MATEMATICKÝ MODEL DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU V této kaptole ude pozornost věnována tvorě matematckého modelu dstručního systému. K řešení ude použto metod lneárního programování. Je to proto, že v lneárním programování e díky exstenc unverzálních řešících metod možno řešt různé typy rozhodovacích úloh, přčemž ech rozsahy mohou ýt značné, vz [1]. V dalším textu ude dále pozornost věnována ednomu typu dstručního systému, systému, ve kterém dstruce zoží proíhá kyvadlovým ízdam. Dalším typům dstručních systémů ude pozornost věnována v některém z dalších čísel tohoto časopsu. Př tvorě lneárních matematckých modelů ylo vycházeno ze základních doporučení pulkovaných v [2] neo [3]. Postup sestavy matematckého modelu dstručního systému e závslý na celé řadě faktorů. Jednak e to soups omezení, která e třea v reálném chodu dstručního systému dodržovat, důležtým aspektem př formulac matematckého modelu e formulace optmalzačního krtéra. V kontextu skutečností uvedených dosud udou také v předloženém příspěvku modely uspořádány. Pulkované modely udou pro potřey předloženého článku rozděleny následovně: a) základní varanta dstručního systému, ) modely v rozšířené varantě s nutností zásoování zákazníků přes mezsklady - ez možnost přímého zásoování konečných zákazníků z prmárního zdroe (dále en PZ), c) modely v rozšířené varantě s komnací možnost přímého zásoování zákazníků z PZ a možnost zásoování zákazníků prostřednctvím mezskladů. Dále se u každého typu prolému předpokládá exstence mnmálně ednoho přípustného řešení. Je zapotřeí uvést, že všechny hodnoty vstupních údaů se uvažuí ke stenému časovému odoí, v předloženém článku to ude odoí ednoho roku. V následuícím textu udou ednotlvé varanty modelů dstručních systémů podroně popsány [4] Základní varanta dstručního systému Základní varanta dstručního systému představue přímou dstruc mez PZ a ednotlvým konečným zákazníky. Pro sestavení matematckého modelu e třea mít k dspozc následuící vstupní nformace: Ivan - Aplkace matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému 105

3 polohu PZ a polohy zákazníků v dopravní sít, požadavky konečných zákazníků za zvolené časové odoí, vzdálenost mez PZ a ednotlvým konečným zákazníky, kapacta vozdla prováděícího osluhu zákazníků (pro zednodušení e uvažován homogenní vozdlový park z hledska kapacty). Rekaptulace vstupních hodnot: J množna konečných zákazníků d 0 vzdálenost z PZ ke konečnému zákazníkov J [km] požadavek konečného zákazníka J [ o rok ] k 1 kapacta vozdla osluhuícího relace PZ koneční zákazníc [o] c 1 náklady na uetí vzdálenost ednoho klometru vozdlem s kapactou k 1 [ p km ] kde zkratkou o sou vyádřeny oemové ednotky zoží, zkratkou p peněžní ednotky. V případě základní varanty dstručního systému e rozhodování trvální, matematcký model, ako takový, není zapotřeí sestavovat. Množna přípustných řešení osahue edno řešení, které e zároveň optmálním řešením. Hodnota účelové funkce - roční náklady na provoz dstručního systému se vypočítá ze vztahu (1): f ( x) = c1 d 0 (1) k J 1 Př uvedeném způsou rozhodování není třea vytvářet soustavu omezuících podmínek. Je zřemé, že všchn koneční zákazníc udou zásoován (tedy přřazen) z PZ. Další typy rozhodnutí se v úloze nevyskytuí. V současné doě se tento způso dstruce vyskytue v případech, kdy e z hledska vynaložených ročních fnančních nákladů na provoz dstručního systému výhodněší provádět přímou dstruc. Vola základní varanty dstručního systému tak přchází v úvahu zeména v případech, kdy nesou koneční zákazníc, přílš prostorově rozptýlen vztažmo k poloze PZ. Matematcké modelování dstručních systémů, ve kterých se uvažue s vyudováním mezskladů, e poněkud složtěší. V některých případech však může ýt rozhodování o volě základní varanty dstručního systému dskutalní (zeména máme-l možnost vyudovat mezsklady). Podronost o způsou rozhodování pro tyto případy udou uvedeny v souvslost s rozšířenou varantou dstručního systému osahuící komnac možností přímého zásoování a zásoování prostřednctvím mezskladu. Ivan - Aplkace matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému 106

4 2.2. Rozšířená varanta dstručního systému s nutností zásoování zákazníků přes mezsklady (ez možnost přímého zásoování konečných zákazníků z PZ) Je druhou varantou způsou zásoování zákazníků. Př tvorě matematckého modelu uvedeného typu e třea ve srovnání se základní varantou uvažovat s dalším vstupním nformacem: polohy lokalt, v nchž se rozhodue o možnost umístění mezskladu; kapacta mezskladu za určté časové odoí, ude-l v dané lokaltě vyudován; vzdálenost mez všem místy rozhoduícím z hledska struktury dstručního systému (PZ, lokaltam, s nmž se uvažue pro vyudování skladu a konečným zákazníky); náklady souvseící s provozem mezskladu; kapacty vozdel (e-l uvažováno s vozdly více typů); náklady na uetí vzdálenost ednoho klometru ednotlvým typy vozdel. Rekaptulace vstupních hodnot: I J množna lokalt, ve kterých se uvažue s vyudováním mezskladů množna konečných zákazníků d 0 vzdálenost z PZ do lokalty I [km] d vzdálenost z lokalty I ke konečnému zákazníkov J [km] f roční náklady na provoz mezskladu I [ p rok ] roční požadavek konečného zákazníka J [ o rok ] q kapacta mezskladu, ude-l vyudován v lokaltě I [o] k 1 kapacta vozdla osluhuícího relace PZ - mezskladem [o] k 2 kapacta vozdla osluhuícího relace mezsklady koneční zákazníc [o] c 1 náklady na uetí vzdálenost ednoho klometru vozdlem s kapactou k 1 [ c 2 náklady na uetí vzdálenost ednoho klometru vozdlem s kapactou k 2 [ p km ] p km ] V řešené varantě ž není rozhodování tak trvální, ak tomu ylo v základní varantě. Pro potřey rozhodování e zapotřeí zavést do úlohy proměnné, kterým udou ednotlvá rozhodnutí modelována. V rámc řešené varanty e zapotřeí provést rozhodnutí dvoího typu ve kterých lokaltách udou vyudovány mezsklady a akým způsoem udou těmto lokaltám přřazen koneční zákazníc. V úloze tedy naleznou uplatnění dvě skupny proměnných: x valentní proměnná modeluící rozhodnutí, zda ude č neude konečný zákazník J přřazen lokaltě I Ivan - Aplkace matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému 107

5 y valentní proměnná modeluící rozhodnutí, zda ude č neude v lokaltě I vyudován mezsklad V souladu s oecně uznávanou konvencí ude hodnota 1 odpovídat kladnému rozhodnutí a hodnota 0 zápornému rozhodnutí. T. ude-l platt x = 0, konečný zákazník J neude přřazen lokaltě I, ude-l platt x =1, konečný zákazník J ude přřazen lokaltě I. Analogcky, ude-l platt y =0, v lokaltě I neude vyudován mezsklad, ude-l platt y =1, v lokaltě I ude vyudován mezsklad. Př uvažované rozšířené varantě ž musí ýt vytvořen matematcký model osahuící účelovou funkc a soustavu omezuících podmínek. Hodnota účelové funkce musí reprezentovat celkové náklady souvseící s provozem dstručního systému. Omezuící podmínky musí zastt: ednoznačnost přřazení konečného zákazníka J lokaltě I, nepřekročení kapacty mezskladu v lokaltě I, korektní provázanost rozhodnutí modelovaných proměnným x a y, olgatorní podmínky. Matematcký model rozšířené varanty dstručního systému s nutností zásoování zákazníků přes mezsklady má tvar: mn f ( x, y) = f y + ( c1 d 0 + c2 d ) x (2) k k I I J 1 2 za podmínek I J x = 1 pro všechna J (3) x q pro všechna I (4) x y pro všechna I, J (5) Exstue ekvvalentní tvar omezuící podmínky (5) x n J { 0,1} y pro všechna I, kde n J (6) x pro všechna I; J (7) { 0,1} y pro všechna I (8) Funkce (2) reprezentue účelovou funkc. Omezuící podmínky (3), echž počet v modelu odpovídá počtu zákazníků, zastí, že každý zákazník J ude přřazen právě edné lokaltě I. Omezuící podmínky (4), echž počet v modelu odpovídá počtu lokalt, zastí, že kapacta skladu (ude-l vyudován) v žádné lokaltě I neude překročena. Omezuící podmínky (5) a (6) sou vzáemně zastuptelné a zašťuí, že pokud neude v lokaltě I Ivan - Aplkace matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému 108

6 vyudován sklad, neude této lokaltě přřazen žádný zákazník J a pokud ude lokaltě I přřazen zákazník J, ude v této lokaltě vyudován sklad. Počty omezuících podmínek (5) a (6) sou různé. Počet omezuících podmínek (5) odpovídá součnu počtu lokalt a počtu zákazníků, počet omezuících podmínek (6) odpovídá počtu lokalt. Omezuící podmínky (7) a (8) sou olgatorní podmínky. Počet podmínek (7) odpovídá součnu počtu lokalt a počtu zákazníků, počet omezuících podmínek (8) odpovídá počtu lokalt Rozšířená varanta dstručního systému s komnací přímého zásoování z PZ a prostřednctvím mezskladů Poslední varanta dstručního systému, které ude v předloženém článku věnována pozornost, e komnací oou předchozích možností. Na základě tohoto matematckého modelu lze zstt, zda e výhodněší provádět osluhu konečných zákazníků J přímo z PZ, neo realzovat zásoování zákazníků J přes mezsklady, č oa způsoy vzáemně komnovat. Jedná se tedy o neoecněší ze všech tří varant. Vychází se z oou předchozích modelů, které e třea doplnt o další vstupní nformace, ako sou: vzdálenost mez PZ a ednotlvým konečným zákazníky J; náklady na přepravu edné ednotky zoží mez PZ a konečným zákazníkem J, na eden klometr; určení typu vozdla, které ude přímé zásoování konečných zákazníků z PZ provádět (v dalším textu se uvažue, že přímé zásoování ude provádět právě eden typ vozdla, a to vozdlo s kapactou k 1 ). Rekaptulace vstupních hodnot: I množna lokalt, ve kterých se uvažue s vyudováním skladů doplněná o PZ (PZ e přčleněn ndex 0) J množna zákazníků d 0 vzdálenost z PZ do lokalty I [km] d vzdálenost z lokalty I ke konečnému zákazníkov J [km] f roční náklady na provoz mezskladu I [ p rok ] roční požadavek konečného zákazníka J [ o rok ] q kapacta mezskladu, ude-l vyudován v lokaltě I [o] k 1 kapacta vozdla osluhuícího relace PZ - mezskladem [o] k 2 kapacta vozdla osluhuícího relace mezsklady koneční zákazníc [o] c 1 náklady na uetí vzdálenost ednoho klometru vozdlem s kapactou k 1 [ p km ] c 2 náklady na uetí vzdálenost ednoho klometru vozdlem s kapactou k 2 [ p km ] e 0 vzdálenost PZ od konečného zákazníka J [km] Soustava proměnných ude totožná ako v případě rozšířené varanty (), ve srovnání s touto varantou však přudou do úlohy proměnné modeluící rozhodnutí, zda ude č neude konečný zákazník zásoován přímo z prmárního zdroe. Proměnné modeluící uvedený typ rozhodnutí udou tedy: Ivan - Aplkace matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému 109

7 x 0 valentní proměnná modeluící, zda ude č neude konečný zákazník J zásoován z PZ, x 0 =1 konečný zákazník J ude zásoován z PZ, x 0 =0 konečný zákazník J neude zásoován z PZ. Matematcký model př varantě (c) se od matematckého modelu př varantě () ude lšt ak v účelové funkc, tak v soustavě omezuících podmínek, konkrétně v podmínkách zašťuících ednoznačné přřazení každého zákazníka ednomu stanovšt, odkud ude zásoován. Hodnota účelové funkce musí př varantě (c) reprezentovat celkové náklady souvseící s provozem dstručního systému. Omezuící podmínky musí zastt: ednoznačnost přřazení konečného zákazníka J lokaltě I, nepřekročení kapacty mezskladu v lokaltě I, korektní provázanost rozhodnutí modelovaných proměnným x a y, olgatorní podmínky. Matematcký model rozšířené varanty dstručního systému osahuící ak možnost zásoování zákazníků přes mezsklady, tak možnost přímého zásoování, má tvar: mn f ( x, y ) = c1 e0 x0 + f y + ( c1 d0 + c2 d ) x J k1 I {} 0 I {} 0 J k1 k2 za podmínek x = 1 pro všechna J (10) I J x q pro všechna I-{0} (11) x y pro všechna I {0}; J (12) J x n y { 0,1} { 0,1} pro všechna I {0}, kde (9) n J (13) x pro všechna I; J (14) y pro všechna I {0} (15) Funkce (9) reprezentue účelovou funkc. Omezuící podmínky (10), echž počet v modelu odpovídá počtu zákazníků, zastí, že každý zákazník J ude přřazen právě edné lokaltě I, ve které může ýt vyudován sklad neo PZ. Omezuící podmínky (11), echž počet v modelu odpovídá počtu lokalt, zastí, že kapacta skladu (ude-l vyudován) v žádné lokaltě I neude překročena. Omezuící podmínky (12) a (13) sou, analogcky ako v případě varanty (), vzáemně zastuptelné a zašťuí, že pokud neude v lokaltě I {0} vyudován sklad, neude této lokaltě přřazen žádný zákazník J a pokud ude lokaltě I {0} přřazen zákazník J, ude v této lokaltě vyudován sklad. Počty omezuících podmínek (5) a (6) sou různé. Počet omezuících podmínek (12) odpovídá součnu počtu lokalt a počtu zákazníků, počet omezuících podmínek (13) odpovídá počtu lokalt. Omezuící podmínky (14) a (15) sou olgatorní podmínky. Počet podmínek (14) Ivan - Aplkace matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému 110

8 odpovídá součnu počtu lokalt rozšířeného o prmární zdro a počtu zákazníků, počet omezuících podmínek (8) odpovídá počtu lokalt. Rozšířené varanty () a (c) e pochoptelně možné podle potřey rozšřovat o další doplňuící omezení. Příkladem může ýt omezení, které má zastt, že náklady na provoz skladů nepřekročí fnanční lmt, který má provozovatel systému k dspozc. V případě varanty () y yl model doplněn o podmínku (16) f y F (16) I ve které symol F reprezentue dsponlní náklady, které má provozovatel vyčleněny na provozování skladů. V případě varanty (c) y podmínka (16) přešla do tvaru (17). I f {} 0 y F (17) 3. ZÁVĚR Uvedený článek e věnován tvorě tří varant matematckých modelů umožňuících efektvní návrh struktury dstručního systému. Př tvorě matematckých modelů e třea znát určté vstupní nformace a následně e vhodně popsat. Dalším krokem e sestavení účelové funkce, která v souvslost s tvorou dstručního systému představue roční náklady na provoz celého systému. Př řešení sestavených matematckých modelů sou pak tyto náklady mnmalzovány. Po sestavení účelové funkce e třea do modelu doplnt omezuící podmínky, echž účelem e vymezt množnu přípustných řešení úlohy. K řešení navržených modelů lze využít různé software ako např. MS Excel neo Xpress-IVE. POUŽITÁ LITERATURA [1] JANÁČEK, J. Matematcké programování. Žlna: Žlnská unverzta, s. ISBN [2] JANÁČEK, J. Optmalzace na dopravní sít. Žlna: Žlnská unverzta, s. ISBN [3] TEICHMANN, D. Matematcký model ednokomodtního dvoustupňového dstručního systému ez kapactních omezení mezskladů [onlne]. Poslední revze [ct ]. Dostupné z: < [4] IVAN, M. Aplkace matematckého modelu př návrhu optmální struktury dstručního systému. Písemná práce k doktorské zkoušce z předmětu Teore dopravy. Ivan - Aplkace matematckého programování př návrhu struktury dstručního systému 111