Funkce komplexní proměnné a integrální transformace. David Horák, Nina Častová

Transkript

1 Fukce komplexí proměé a iegrálí raormace David Horák, Nia Čaová

2 Požadavky bodů.e eorie, příklady bodů.e eorie, příklady bodů. projek a Four. řadu bodů. projek a obraeí, reidua apod. 4 bodů celkem, miimum bodů 6 bodů kouška 5 bodů prémie ajímavé příklady 5bodů - celkem

3 Lieraura Bouchala: Fukce komplex. proměé uč. ex Čaová: - Fukce reálé a komplexí proměé (.a. kap.) - Fourierova řada a orogoálí yémy ukcí (3., 4. kap.) - Základy iegrálích raormací (5., 6., 7. kap.) Galajda, Schroeer: Fukcie komplex. promeej a operáorový poče Horák: Sylaby, předášky, programy

4 Výamé ooboi Goried Wilhelm Leibi, , Leoard Euler, , Carl Friedrich Gau, , Ogy Lui Cauchy, , Niel Herik Abel, 8-89, Georg Friedrich Berhard Riema,86-866, Karl Theodor Wilhelm Weierra,85-83, Jea Bapie Joeph Fourier, , Pierre Simo de Laplace, Haar, Walh, Rademacher, Daubechay, Mala, Fejer, Hakel, Hammig, Barle...

5 Moivace čaově-rekvečí aalýa WFT Ko-čka le-e dí - rou, pe ok - em, e-bu-de-li pr - še, e - mo - kem

6 Moivace čaově-rekvečí aalýa WFT i 3,. 8 i 3, 3 6. i 33,,, 6π 3, π π, 4π 3 4π, 6π, π π, 4π 3 4π, 6π Sigál FT (Fourier.r. -ampl.p.) WFT (Okei Four.r.) FT{ } ( ω ) ˆ( ω) iω F e d de { } ˆ iω iω WFT F ωτ, ( ωτ, ) τ e d g( τ ) e d R R

7 Moivace kompree obráků WT D waveleová r. WFT adapivím okem de WT { } F( a, τ) ψ ( a, τ) d ψ τ d a D waveleová raormace R R JPEG, MPEG, MP3, MP4 - reeráy

8 Moivace řešeí diereciál. rovic LT Lieárí diereciálí rovice koaími koeiciey a počáečí podmíky: ( ) y a y a y a y, L ( ) y c, y c, L,y c. a k (k,,,..., ) jou reálé koay (a ), () je adaá ce, k íž exiuje L-obra, yy() je hledaá ce, o íž předpokládáme, že k í exiuje L-obra y (k) y (k) () jou derivace k-éhořádu, k ímž akéž exiuje L-obra L(DR) DR Y() y() Laplaceova raormace: LT ( ) { } F. e d,

9 Rovia komplexích číel - opakováí ( x,y) Re i Im x i y i imagiárí jedoka y iy b (a,b) ib aib ϕ ϕ a x a x Obr..a Obr..b

10 Rovia komplexích číel C ebo rovia (oevřeá Gauova rovia) ( x, y ), ( x, y) Re i x i y Im ( co ϕ i i ϕ ) e iϕ ϕ Arg arg x y abolu.hodoa-modul áe { ϕ R : (co ϕ i i ϕ )} argume k.č. ϕ Arg ( π, π ] hlaví hodoa argumeu { } algebraický - ložkový goiomerický expoeciálí var k.č. ϕ e i co ϕ i i ϕ Eulerův vah { π } Arg arg k, k Z

11 Čílo komplexě družeé e i ϕ ϕ arg ϕ ( π, π] a-ib i ϕ e ; arg arg

12 Sereograická projekce (rošířeá Gau. rovia, uavřeá Gau. rovia) Rovia komplexích číel C - oevřeá Gauova rovia - uavřeá Gauova rovia { } C C Severí pól P: Nedeiujeme operace:,,,

13 ε-okolí (kruhové) bodu: U C, ε > (, ε ) { C < ε } : čié (ryí, precové,redukovaé) ε-okolí U (, ε ) U (, ε ) { } Okolí bodů ε-okolí bodu U, C : ( ε ) < ε

14 Poloupo komplexích číel { }, x i y, C { } x ( x x x,...) { } y y, y,..., y,...,,..., x R, y R. lim lim lim x ( x iy ) x i y lim x, lim y y.

15 Komplexí ukce reálé proměé : R C ( D W) { } D R W C ( ) ( ) x ( ) i y ( ), D x ( ) Re, y ( ) Im, D y Limia v bodě - bod e acháí v okolí U,ε lim ε x Spojio v bodě lim ( ) ( ) δ -δ

16 Po.: Geom. výam komplex. ce reálé proměé je křivka v Gau. roviě, jejíž orieace je dáa ouhlaě parameriaci. Příklad: x x y y r R rep. ( π, π ] i re rco iri ± ic ± ic a co ib i, ae be kružice elipa Po.: Geom. výam. derivace je ečý vekor y v bodě ( ) lim de ( ). τ () α x Obr..5

17 Iegrál: eurčiý,určiý a evlaí d Re iim d x d i y d b b b d x d i y d a a a d x d i y d

18 Základí pojmy iegrovaelo cí Deiice: Fce () je a iervalu I [a,b] iegrovaelá kvadráem ( druhou mociou), jeliže exiují - j. mají koečou b b hodou iegrály a d, d. Možiu ěcho cí ačíme L (I), rep. L ebo L. Deiice: Možia všech cí iegrovaelých a iervalu I voří lieárí proor cí a ačíme ho L(I). Věy: Každá alepoň po čáech pojiá ce a iervalu [a,b] je a omo iervalu iegrovaelá kvadráem. b Plaí, že je-li L [a,b], pak exiuje i iegrál ( ) d a říkáme, že ce () je a [a,b] aboluě iegrovaelá. a a

19 Příklady iegrovaeloi cí i i i ( ) L [, ], ( ) L (, ], ( ) L(, ], i,. 4 L ( ] Příklad: Rohodi, da je iegrovaelá kvadráem a [,] Řešeí: Vypočeme iegrály d d d lim, u ( ) u lim u u d [ l ], Takže () je v iervalu [,] iegrovaelá, ale eí v omo iervalu iegrovaelá kvadráem, j. L [,] ale L [,].. i [ ] i L,, L(, ]. i 3 ( ) L(, ]. 4, 3 a přílušých iervalech jou aboluě iegrovaelé a edy iegrovaelé kvadráem

20 Základí pojmy (kap.4) kalárí ouči Deiice: Nechť ce, g,. L [a,b], pak kalárí ouči ěcho dvou cí a daém iervalu deiujeme:, g, de b b a b ( ).g ( ) d ( ).g ( )d d d a b a a oač. Plaí: a) c,g c,g, de c je libovolá koaa, b) h,g,g h,g, de ce h() L [a,b], c),g g, *, de g, * ječílo komplexí družeé k,g. d), e) Schwarova-Buňakovkého erovo:,g g.

21 Norma, orogoálí a oroormálí yémy Deiice: Normou ce L [a,b] roumíme čílo,, pro keré: a) >, přičemž jediě ehdy, je-li () ulová ce. b) c c, de c je koaa. c) g g, rojúhelíkové pravidlo, de ce,g L [a,b]. Normu ce chápeme edy jako vdáleo éo ce od ce ulové. Deiice: Fce L [a,b], g L [a,b] e aývají orogoálí a [a,b] plaí-li, že jejich kalárí ouči je rove ule: b *,g. g ( ). { } [ a,b] Deiice: Syém cí L orogoálí každé dvě jeho ce: je orogoálí a [a,b], jou-li b a *. d m, m m, ( m ). Deiice: Je-li každá ce () orog. yému ormovaá () pro aýváme eo yém oroormovaý ebo oroormálí: b * m, m, m. d m, a a

22 Orogoálí a oroormálí yémy - příklady Příklad : Syém cí e i pro,±, ±, je a iervalu [,π] orogoálí eí však oroormálí. e i a adaém iervalu áleží prooru L : π π π π e i i i i d ko. e d, e e d d π, yém cí a adaém iervalu je orogoálí:, m π e i e im d, Příklad : Syém cí e i a iervalu [,π] eí orogoálí: π m i im, m e e d, m. m Příklad 3: Syém cí e i pro,±, ±, je a [,π] π i i orogoálí eí oroormálí: Syém cí bude oroormálí: m., e i e i e e e d π e i π i π

23 Deiice: Nechť { } je poloupo cí L [a,b] pro. Exiuje-li ce L [a,b] aková, že lim pak Kovergece poloupoi cí b a d říkáme, že poloupo cí { } koverguje v průměru k a iervalu [a,b] koverguje ve mylu ředí kvadr. odchylky koverguje v ormě L. Po.: Saiická charakeriika-odpovídá diperi ; eac. procey Skuečě, je-li lim lim při Deiice: Poloupo cí { ()} koverguje a možiě M ejoměrě k ukci (), plaí-li: pro ε >, že pro >, M, ε Po.: Výam deiice lim maxr lim max M M <

24 { } Fukčířady Deiice: Nechť je poloupo komplexích cí, poom ukčířada je maemaický předpi o ( ) ( )... ( ) ( ) Příklady číchřad:... Mociéřady Taylorova Laureova Fourierovařada ( ) c ( ) ( )! a a a ; c ϕ, c kde, ϕ. iω iω C e, C () e d T T α α

25 Kovergece ukčích řad Bodová (aboluí, relaiví) Cauchyova C, rep., R a ) l i m S S, S k k Cearova b ) l i m S S, S k ( ) ( ) ( ) k Na možiě M (a iervalu) aboluí: relaiví ejoměrá: M ( ) je koverg. M Výam éo deiice:, j. počíajíc jiým e gray cí blíží k obě i v bodě, kde je ejvěší vdáleo mei imi. lim max v ormě L : lim pro M

26 Zobecěá Fourierovařada Deiice: Nechť poloupo cí {φ ()},,,, a uavřeém iervalu voří oroormálí yém L (I) (j.φ () L (I) pro, φ ), echť další ce () L (I) je aková, že a iervalu I plaí vah c ϕ, c kde, ϕ. Řada e aývá obecěá Fourierova řada přílušá k ci () a iervalu I. Po.: Geomerický výam koeicieů koeiciey c,ϕ jou projekce () a přílušou báovou φ. Klaická Fourierova řada v komplexím varu je peciálím případem obecěé Fourierovyřady. T α T α iω iω C e, C () e d

27 Aproximačí vlaoi Fourierova polyomu a Fourierovýchřad, kovergece v ormě L. Úkol: urči polyom T (), kerý ejlépe aproximuje daou ci () a určiém iervale I v ormě L při voleém orogoálím (oroormálím) yému báových ukcí. Předpoklady (jedodušší hledika přehledoi):.{φ ()},,,, - oroormálí yém báových ukcí (reálých).. () je reálá ukce reálé proměé. 3. T akϕ k - aproximující polyom, a,a, je poloupo k reálých koeicieů. 4. Koeiciey určíme podmíky b b mi ( ) T ( ) T d akϕk ( ) d I a a

28 Chceme dokáa: k k k a k k k a mi c k ϕ ϕ Důka: k k k k k k k k k T a a, a ϕ ϕ ϕ k k k k k k a c a a a,, ϕ k k k k k k k k. c c a c a a c c Je evideí, že.,,...,,, je-li, mi mi k c a a T k k k k k a T k ϕ Závěr: Na iervalu I [a,b] má e všech polyomů -ého upě v bái {φ ()},,,, ejmeší ředí kvadraickou odchylku od ce právě polyom Fourierovými koeiciey.

29 Periodické ukce Připomeuí: Periodické ce: (T)(), T R, Z Má-li ce () periodu T, pak ce ϕ()(ω) má periodu T/ω, kde ω R. Jedoduché periodické ce: a co(ω)b i(ω), A i(ω ± ϕ), A co(ω ± ϕ), e iω exp(iω), a, b, ϕ jou reálé koay; ω, A jou reálé kladé koay. je reálá proměá T π ω ω π T π L

30 FŘ v komplexím varu: Fourierovařada (kap.3) i ω C e, R FŘ v reálém varu: a a co( ω) b i( ω), R, A co ( ω ϕ ) Na FŘ e díváme jako a bodovou repreeaci ce. Tao předava vikla v práci Fouriera (87-8) při aalýe rovic vedeí epla. Rok 854 e pokládá a ačáek ouavého ropracováí eorie FŘ (Georg F.B. Riema)

31 C a C Fourierovy koeiciey Four. koeiciey Fourierova raormace a iervalu: C a ib, C a α T a C C Re C T α b i T α T T α T α ( ) d co ( ω ) α T d ( C C ) Im C ( ) i ( ω ) α iω ( ) e d, Z, Eulerovy - Fourierovy ormule: ( ib ) iω iω iω iω C e C C e C ( C e C e ). T C [ C ( co( ω) i i( ω) ) C ( co( ω) i ( ω) )] i α C ( C C ) co( ω) i( C C ) i( ω). d

32 Klaická FŘ v C jako pec.případ obecěé FŘ Důka: Zavedeme oačeí: g () e iω. Syém cí {g ()} { e iω },,±, ±, voří a vé periodě T orogoálí yém: g,, g m e iω, e iωm, m, v L iω iω [,T] e T e T, T. Oroormálí yém cí a periodě T : { ϕ } g g e Koeiciey FŘ v oroorm. ouavě báových cí oačíme malým c : g iω c, ϕ,,g,e. T T T iω g Doadíme c, e do obecěé FŘ: cϕ c, T T g iω,g,g g C g C e, T T T kde T ω i C,g e d. T T iω T

33 Dirichleovy podmíky. () je periodická ebo periodicky rošířielá ce,. () je a adaém iervale (periodě) alepoň po čáech pojiá, 3. () má a iervale koečý poče exrémů (koaíčái () e euvažují); 4. ()je deiovaá v krajích bodech iervalu (j. abývá v ich koečých hodo) ebo exiují přílušé jedoraé limiy ce v ěcho bodech. Poačující podmíka: Fce () je a iervalu T aboluě iegrovaelá. ~ () - periodické pokračováí (prodloužeí) () ( kt) pro ( α, α T) [ ( α ) ( α T) ] pro α a α T, k Z, kt R. Bodová kovergece FŘ, Gibbův jev, bod pojioi % ( kt ) ( ) ( T ), bod epojioi překmi přibližě 8% velikoi koku a každou rau pricip lokaliace FŘ: kovergece či divergece FŘ ce plňující Dirichleovy podmíky je v bodě ávilá poue a chováí éo ce v okolí ohoo bodu

34 Spekra Jedoraé: { A,ϕ }, (),,,... ampliudové: {A },,,, áové: A a C a b,, A C, {ϕ },,, ϕ -arg C (-π,π]. Dvouraé: { C,ϕ }, Z(\{}) ampliudové: { C }, Z áové: {ϕ }, Z\{} ϕ -arg C rep. arg C [-π,π] Pro áe ϕ eí deiováa

35 Jedoraé pekrum : {A,ϕ } Dvouraé pekrum : { C,ϕ } Je-li aalyovaá () v ()i v () komplexí ce eulovou imagiáríčáí pak plaí, že koeiciey FŘ C a C - ejou komplexě družeé. Důledkem oho je, že ampliudové pekrum eí udé a áové eí liché.

36 Zadáí: Roviň ve FŘ ci Příklad (), (, ), ( ) ;, [, ) Řešeí: π.aalýa - ověřeí podmíek pro FŘ : T, T.Harmoická aalýa(dekompoice, roklad) a) Výpoče koeicieů FŘ. b) Aalýa pekra. 3. Aproximace Fourier. řadou (yéa) ~ π ω π - 3 4

37 d e d e d e T c i i i π π ω i e i e d e i i pare per i π π π π π., i i e i e i i π π π π π π 4 d d d e T c FŘ v komplexím varu:., 4 ~ R e i i π π π FŘ v reálém varu:. Im,, Re C b a C a π π., i co 4 ~ R π π π π

38 Seaveí jedoraého ampliudového a áového pekra: A A a a b b b g ϕ, ϕ ( π, π ], a a,,, A ( ) ( ) π b π g ϕ. kvadra: arcg π ϕ π.377 a π Tabulka pro jedor. (dvour.) pekrum:. π... 4, 4 π 4 π ϕ aa (, / pi). 377 a b c.5.-i.59 i.8 c A ϕ r a d π

39 Fourierovyřady udých cí (koiovářada) () deiovaá v iervalu [-L,L] je udá, j. (-)() L L π a co ( ω ) d co ( ω ) d, T L, ω,,,,... L L L L L b i( ω) d,,,... L L ~ a a co( ω), R Fourierovyřady lichých cí (iovářada) () deiovaá v iervalu [-L,L] je lichá, j. (-)-(), L L b i ω d i( ω) d,,,... L L L L a co( ω) d,,,... L L ~ b i, ( ω ) R

40 ~ Přeá hodoa periodického pokračováí ( kt ), k, ±, ±,... Koeicie (harmoického) kreleí charakeriuje poměr mei domiaí a celkovou iormací: Např: Ad A d A d rep. rep. Ak A k A k k A d k, k d A k rep. k A d k, k d A k rep. k A d k, k d V praxi e čao používá výpoče ředí hodoy a adaém iervalu, apř. ředího výkou period. veličiy (), použiím Parev. rovoi P T α T d C C C, α A k Výkoové pekrum { C } Eekiví hodoa V P

41 Fukce:, (, ), ( ) ;, [, ) T,ω π Příklad () Sudá ce:,, T 4, ω π / (, ), (, ],[, ) (x) - - x Lichá ce: (), ( ), T 4, ω π / (, ), (, ],[, ) - -

42 ~ Fourierův polyom, 5 harmoických ~ ~ ukce ukce uda im e ime

43 Přibližéřešeí úlohy při epřeě adaých ebo vypočeých le eavi ve varu regulariačího operáoru: ~ i R( c, δ ) r(, α ) c e c e α Zde je regulariačíčiiel, je paramer regulariace. r,α α( δ) Ukážeme, že při vhodě voleém r,α proce umace FŘ je abilí ve mylu, že malým měám v adáí c v ormě L odpovídají malé ~ měy v ormě C. Čiiel r,α může mí apř. var α (,α) r Tichoovova regulariace α,,,8 α, rep. obecě k i c, α,k, k α r R(α ),6,4,, α, α, α,5

44 Tichoovova regulariace - Příklad,5,,5,,5, -,5,,,3,4,5,6,7 (),8,9,5,,5,,5, -,5,,,3,4,5,6,7 (),8,9,5,,5,,5, -,5,,,3,4,5,6,7 (),8,9,5,,5,,5, -,5,,,3,4,5,6,7 (),8,9 ( ),, ;. 5 (, 5 ; ) i ω C e 3 % chyba od ředí hodoy F. koe. i ω C e, α i ω ( ) C e α

45 Příklad: Rohoděe, da ce () je iegrovaelá kvadráem a iervalu [,] Řešeí: Vypočeme iegrály i ( ) ( i) ( ) ( i) d lim 3 u u CVIČENÍ d 3 3, i i u ( ) u ( ) 3 d 5 lim 3 Takže ce () je v iervalu [,] iegrovaelá a iegrovaelá kvadráem, j. L [,], L [,].. Příklad: Ověře, že yém cí: /, co, i,,co, i, je a iervalu [-π ; π] orogoálí, ale eí oroormálí. Řešeí: Fce vořící eo yém jou a adaém iervalu iegrovaelé kvadráem. K omu ačí urči /, co, i. Výpočem áledujících iegrálů e ado převědčíme, že ao ouava cí je orogoálí a iervalu [-π ; π]: π π π π i d ; co d ; i co d ; i( m) co d ; π π i π π ( m) i d ; co( m) co π π d, pro m, ( m ). π π Daá ouava cí eí však oroormálí, proože již pro prví ci / je π d 4 π. π d 3 5.

46 CVIČENÍ Příklad: Zjiěe, da yém vořeý cemi e i pro,±, ±, je a iervalu [-π, π] orogoálí. Řešeí: Zde, a rodíl od předchoího příkladu, při vyvořeí kalárího oučiu dvou cí iegrovaelých kvadráem (ověře), muíme ví v úvahu ukce komplexě družeé: π i im, m e e d, m. To ameá, že poloupo cí { e i } voří a daém iervalu orogoálí yém. Proože π i, poom poloupo cí e i i i e e e d π π π voří oroormálí yém a iervalu [-π, π]. π Příklad: Deiuje adaý předpi kalárí ouči? Příklad: Výroba orogoálí báe Gram-Schmidův proce

47 CVIČENÍ Příklad: Najděe ampliudové a áové pekrum adaé Fourierovy řady:

48 CVIČENÍ Příklad: Ověř, da adaou ci le roviou ve FŘ, akreli její oučový gra a alei 4. čle ampliudového a áového pekra.

49 CVIČENÍ Příklad: Všiměme i, že ce a i a iervalu I(-π,π) eplňují Dirichleovy podmíky: ce () v bodě, kerý paří do I, má bod epojioi. druhu, ce () v okolí ohoo bodu má ekoečý poče exrémů.

50 CVIČENÍ Příklad: Nechť ce v()e i i()ico(), [,π/]. Seavme FŘ a ukažme, že ampliudové pekrum eí udé a áové eí liché. Řešeí: Zde v() je ce periodicky rošiřielá periodou Tπ/. Je řejmé, že Rev() i() a Imv() co() jou ce reálé a iegrovaelé a adaém iervalu a ukce v() je iegrovaelá kvadráem a iervalu, j. v L [,π/]. Tedy le eavi a adaém iervalu FŘ kovergeí v ormě L. Vypočeme koeiciey: C π 4i ( ) π i i i 4i ( i) ( e e d, C e e d C π ( 4) π π ( 4) π π i). FŘ ce v() bude: 4i 4i 4i C e C C e e π π 4 4 ( i) ( i) e 4i C Jak vidíme, koeiciey FŘ C a C - ejou komplexě družeé, edy ampliudové pekrum eí udé a áové eí liché. Např.: ( i) ( i) 3π π C 3π 5π 3π 5π 4 4, C C, C, C C,argC, argc argc arg

51 Sumace řad Deiice: Meoda umace je regulárí, plňuje li podmíku: má-li řada Σa,,, Cauchyův ouče S, pak i obecěý ouče éo řady muí bý rový S. Nechťřada Σa,,, má Cauchyův ouče S a a řada Σb,,, má Cauchyův ouče S b. Meoda umace je lieárí, plaí-li pro obecěý ouče řady: a b S S. a b Přehled: (oučůřad). Klaický (Cauchyův). ve mylu Ceàra a Fejera 3. Abel-Poioův 4. Hölderovy

52 Klaický (Cauchyův) ouče řady Deiice: Cauchyho ouče je deiová jako limia poloupoi čáečých oučůřady. Nechť S Σa k, k,, je čáečý ouče řady, pak ouče řady je de S lim S Příklad:. Víme, že řada Σ/,,, je geomerická, kovergeí a její Cauchyův ouče bude: ( ) edy S lim S, kde S lim, j. S k k. Naproi omu řada Σ(-),,, je divergeí, jelikož, pro k ( udé) lim Sk, pro ( liché), k k j. eexiuje vlaí limia poloupoi čáečých oučůřady..

53 Ceàrův (Fejerův) ouče řady Deiice: Ceàrův ouče je deiová jako limia poloupoi arimeických průměrů čáečých oučůřady: S de lim S S... S lim k Příklad:. Víme, že Cauchyův ouče řady Σ/,,, je. Sk, kde S k k k Ceàrův ouče bude: ( ) edy S lim S S... S S lim lim k Vidíme, že Ceàrův ouče řady je ejý jako Cauchyův ouče.. Řada Σ(-),,, je ve mylu Cauchyových oučů divergeí, avšak ve mylu Ceàrových oučů je kovergeí a její ouče je rove arimeickému průměru limi pro udé a liché :... S lim lim S k. k..

54 Abel-Poioův ouče řady Deiice:Nechť je řada Σa x,,, kovergeí a x (,) a echť x lim S ( x) S <, pak říkáme, že řada Σa x,,, je kovergeí v bodě x a její ouče e rová právě éo limiě. Jiými lovy pro x doaeme číelou řadu Σa,,,, kerá je kovergeí a její ouče bude S. Příklad:. Souče řady Σ/,,, i v omo případě bude. Seavíme ejdříve mociou řadu Σ(x/),,,, kerá je kovergeí a x <, edy i a x (,). Předpi pro výpoče ouču řady v oboru x kovergece bude: x x S( x) a edy lim S( x) lim. x x x x x Souče ve mylu Abel-Poioa je, je ejý jako Cauchyův i Ceàrův.. Souče řady Σ(-),,, vypočeme obdobě: lim x S x x ( x) lim. x Zde je ouče ve mylu Abel-Poioa ejý jako ouče Ceàrův.

55 Hölderovy oučy řady Vah mei Cauchyovými a Ceàrovými oučy, Hölderovy oučy: Nechť řada Σa,,, je kovergeí, pak čáečý ouče je S Σa k, k,, a Cauchyův ouče řady bude: ( S ) de lim Ceàrův ouče je deiová áledově: S lim de S lim k S S... S lim lim am lim [ a ( a a ) ( a a a3 )... S ] k m a ( ) a ( ) a3... a lim k ak lim k ak, k de [ ] k h(,k) k je váhový koeicie. Při Ceàrův. S () přejde v Cauchyův S (). Poámka: Neexiuje li Ceàrův ouče S () (Ceàrův ouče. řádu), le podobě deiova Ceàrovy oučy vyšších řádů (Hölderovy oučy). a k. h(k,),,,8,6,4, h () h () ( r ) (,k ) h (3) h (4), k h k r

56 Příklad: Nechť (), [-π,π]. () Pomocí FŘ určee ouče číeléřady: () Použiím Parevalovy rovoi ouče číeléřady : Řešeí: Fce () a adaém iervalu je udá, L [-π,π], edy le eavi Fourierovu řadu a adaém iervalu. π π π 4 b,, a d a cod,. π 3 π ~ π () Fčí hodoa v je, j. 3 4 co, π π ( ) π 4 co R. π () Použijeme pro výpoče ouču druhéřady Parevalův vorec: π π π π π d π π 4 4 8π π 9..

57 Komplexí ukce komplexí proměé Deiice: Zobraeí (raormaci), jehož pomocí je každému komplex. čílu D (určiým pravidlem ) přiřaeo alepoň jedo komplex. čílo W, aýváme komplex. cí komplex. proměé (ručě komplexí ce) a apiujeme x iy u iv w je komplexí eávilá proměá a voří deiičí obor D, w je komplex. ávilá proměá, vořící obor čích hodo W w() u(x,y), v(x,y) jou reálé ce y v D C rep. C W C rep. C P x P u a) rovia b) w rovia

58 iϕ e arg Algebraický var ce: ( π ϕ ϕ π, ] u iv Re u( x,y) Im v( x,y) w Expoeciálí var ce: w iϑ w e Fukce ϑ arg w Fce jedoačé : lieárí, mociá, expoeciálí, goiomerické, hyperbolické Fce mohoačé: Arg, odmocia, logarimická, iverí k jedoačým

59 Příklad:, DC-{} x iy y i x y u( x y) ; v( x, y) 4. xiy x x y x, ebo iϕ e iϕ e ( ), arg ϑ ϕ iϕ e Úečka: π y x, x [, ] -i,, arg ϕ 4 Obra úečky: π ( ), arg ϑ ϕ Re, Im x y y x xy y

60 de a je komplex. koaa expoeciálí var: Lieárí obraeí a iα i ϕ iυ a a e e we, Too obraeí realiuje operace: Prodloužeí ebo kráceí vdáleoi obrau bodu od počáku ouřadic (dilaace a >, korakce a < )...ejolehlo Oočeí vekoru, pojujícího bod počákem úhel arga charakeriuje oočeí vekoru kolem počáku: a b lieárí obraeí pouuím (ejolehlo, roace, ralace)

61 Kvadraické obraeí ( ) w Re w u x, y x y Im w v( x, y) xy w ( ) e iϕ w e iϑ w, arg w ϑ ϕ

62 w, C - { } realiuje dvě operace: iveri a rcadleí podle reálé oy. ϑ iϕ i expoeciálí var ( ) e w e, ϕ arg Ivere a rcadleí ϑ arg w Obr. (a)

63 Derivace ce v bodě ( ) lim de Cauchyovy-Riemaovy podmíky: u v v u ( ) i i x x y y Geomerický výam prví derivace: (holomorí,aalyická) Fce je regulárí v ( ) K > ( ) K < arg ( ) dilaace korakce úhel oočeí ( ). U( ) v jehož bodech má ce derivaci y α u x l rovia v y u y τ l x v x α v γ w w rovia τ L β τ l u Obr..5

64 Příklad: Řešeí: a) e, C Ukážeme, že ao ce je regulárí v C. ( co y i i y) x iy x e e e e x x u e co y, v e i y x x b) C-R podmíky: u x e co y, u y e i y x x v x e i y, v y e co y ěcho vahů doaeme: x u x v y e co y, x u v e y c) Fce u,v jou pojié a R y x i a plňují C-R podmíky, edy e, ( ) e e má v každém bodě derivaci, edy je a C regulárí.

65 . Ověřeí, da ce je regulárí popř. kde. Seavi regulárí ci, áme-li její regulárí rep. imagiáríčá. Příklad: Základí úlohy Re x ( x iy) Fce eí regulárí a žádé možiě, C-R podmíky jou plěy. má derivaci je v iolovaém bodě a eexiuje jeho okolí (oevř. možia) v jehož každém bodě by exiovala derivace. Příklad: Seav regulárí ci, je-li ( 4 ) x,y xy y C i x y x Im v x,y x y x i i c, c R

66 Koormí obraeí Deiice: Vájemě jedoačé obraeí oboru D a obor D realiovaé cí w e aývá koormí v bodě, plňuje-li áledující podmíky : úhly dvou libovolých křivek proíajících e v bodě při obraeí ůávají ejé (co do velikoi a orieace) - koervaimu úhlů koeicie úměroi doi malých úeček ůává koaí lim w ko l L α α L w l rovia w rovia Obr..6

67 Věa (poačující podmíka pro koormo obraeí v bodě). Nechť ce w je regulárí (aalyická) v bodě D C a pak obraeí realiovaé je koormí..lieárí pouuím w a b ( ) a, C. Kvadraické w, C ( ), C - { }, 3. Iverercadleí w, C -{ } C-{ }

68 4. Zobraeí expoeciálí w e, ( ) e C C e e x iy e x e expoeciálí ce je periodická periodou πi: iy e x ( co y i i y) π e i co π i i π i i e π e e π e obra možiy D: { C : x y [,π ) } v y we π x u Obr..4

69 5. Goiomerické ukce i ( i i e e ), i Neplaí!!! i ( i i co e e ) i g, cog co co i co ( ) 6. Hyperbolické ukce ( i h e e ) ( coh e e ) ( ) ( ) ih gh, cogh coh coh ih ( ) ( )

70 Někeré mohoačé komplexí ce Mohoačé ce vikají jako ce iverí k cím jedoačým periodickým..základí mohoačá ce: Arg arg k π, k Z { } (-π ] Arg arg kπ ϕ kπ, k Z, ϕ, π ϕ arg je hlaví hodoa ce Arg.Odmocia je deiováa jako iverí ce k ci mocié: w e ϕ i k π 3.Logarimická ce je ce iverí k ci expoeciálí: w e. L l kπ i l iarg kπ i l i k Z, arg, 3π π π Arg (-π π] Např.: L ( i) l i i( arg ( i) k ) l i k i, k Z 4 3π Hlav.hodoa: l (--i) l i i 4,

71 Iegrál ukce komplexí proměé Deiice: Nechť K je hladká orieovaá křivka, kerá e acháí v jedoduše ouvilé oblai D C a echť x i y je pojiá komplexí ce, deiovaá ve všech bodech křivky K, [ a, b ], dále u iv u ( x, y), v( x, y) jou reálé ce dvou reálých eávilých proměých. Pak d ( u iv)( dx idy) ( udxvdy) i ( vdx udy) K ( a ) ( b) K je počáečí bod křivky K, je kocový bod křivky K. Komplexí iegrál ce komplexí proměé: K K K b d [ ( )] ( ) d a x i y [ ab, ]

72 Příklad: K Im ( ) K je orieovaá úečka, pojující bod (počáečí bod ) bodem i (kocový bod). Řešeí: Parameriujeme orieovaou úečku: d [, ] dy dx y x, x d dx idy ( i)dx Pak ( x i y) y ( i) y ( i) x Im I ( i ) dx ( i) Im d x x K ( ) i dx 3

73 Příklad: d K, kde K je orieovaá kružice e ředem v bodě o poloměru R:, orieovaá ouhlaě parameriací. Řešeí: Rovici kružice apíšeme ve varu:, pak i Ri e R R e i [, π ] K d K d π R i e R e i i d π i Obdobě:,, Z K d ( ) K d

74 Základí (udameálí) Cauchyho iegrálí věa Věa: Nechť ce () je regulárí v jedoduše ouvilé oblai D, pak pro každou orieovaou po čáech hladkou křivku K, ležící v éo oblai iegrál ( )d eávií a iegračí ceě K (ávií jeom a K počáečím a kocovém bodě křivky K: ( ) d ( ) d K Iegrál po uavřeé křivce K: K ( ) d y y K B K B A A D D x K x a) b)

75 Pricip deormace křivky K d d Tao rovo plaí i v případě, kdy yo iegrály ejou ulové. V om případě je důležié, aby obla mei křivkou K a K eobahovala igulárí body, j. ukce () v éo oblai je regulárí, pak K K d d, K K d d K K K K K γ D γ a) b)

76 Rošířeá Cauchyho věa (Cauchyho věa pro víceáobě ouvilou obla) Věa: Mějme dáu ()-áobě ouvilou obla D ohraičeou křivka-mi K (vější hraice) a K,K...,K (viří hraice). Dále buď () ukce regulárí a oblai D i a jejích hraicích. Jou-li viří hraice orieováy hodě a přiom opačě vhledem k hraici vější, je ouče všech iegrálů po křivkách K i (i,l,...,) rove ule. K ( ) d ( ) d ( ) K i K i d K K K K γ γ a) b) Obr..3

77 Cauchyho iegrálí ormule Věa: Nechť je dáa ce () regulárí a oblai D a po čáech hladká kladě orieovaá, jedoduchá, uavřeá křivka K, ležící i e vým viřkem v D. Pak pro každý bod, ležící uviř křivky K, plaí: K d πi K γ r Po.: K ( ) ( ) d d d γ γ

78 Příklad:, křivka K : Řešeí: Fce je regulárí v C, bod leží uviř adaé kružice K, proo je možo aplikova Cauch. iegrálí ormuli: d i I K 3 i e [ ] π π, 3 i [ ] π π π π ii i i d i I i K Příklad:, K: kladě orieovaá kružice d I K. 3 Řešeí: Jmeovael má dva ulové body, keré leží uviř křivky K). Dle rošířeé Cauchyho věy plaí i i i I I d d d I K K K π π π i i i d I K π π π 3 3 i i i d I K π π π 3 4 3

79 Věa o vyšších derivacích regulárí ce Věa: Nechť ce () je regulárí uviř a a jedoduché, uavřeé, po čáech hladké, kladě orieovaé křivce K, ležící v D C. Pak () má ve viřím bodě (ležícím uviř křivky K ) derivace vyšších řádů (a o všech): ( ) ( )! π i ( ) K d Po.: ( ) d π i! K ( ) ( )

80 Příklad: co K ( ) d 3, K je libovolá uavřeá, áporě orieovaá, po čáech hladká křivka opaá kolem bodu i. Řešeí: Dle výše uvedeé věy K co ( ) d π i 3! ( ) Tedy: K co, ( co) co, e ii e ii e ( i) co i coh co ( ) 3 d e ( π i coh ) πi coh

81 Příklad:, K je uavřeá, kladě orieovaá kružice: d i i K 4 Řešeí: má igulárí body, ležící uviř křivky K: Na ákladě rošířeé Cauchyho věy doaeme i i g 4 i, i I I i d i d i i d i i K K K π i i i i d i i I K π π! 4 4 i i i i i i d i I i K 4 4 π π π

82 Řady v komplexím oboru Číeléřady v komplexím a reálém oboru (opakováí) Deiice: Nechť maemaický předpi { c } je poloupo komplexích číel, poom e aývářada komplexích číel ebo číelářada v komplexím oboru. o c c... c... c Souče prvích čleů e aývá čáečým oučem řady: o k S c c c... c k. - Cauchyho ouče řady: S lim S - Nuá podmíka kovergece číeléřady: - Zbyek kovergeířady: R S S c de lim c k c k

83 Někerá kriéria kovergece číelých řad. Srovávací. Limií podílové (d Alemberovo) 3. Limií odmociové 4. Iegrálí 5. Leibiovo Odhad byku kovergeířady.. a a R, kde q q a a R a, kde a > pro. a

84 Deiice: Nechť { } je poloupo cí L [a,b] pro. Exiuje-li ce L [a,b] aková, že lim pak Kovergece poloupoi cí b a d říkáme, že poloupo cí { } koverguje v průměru k a iervalu [a,b] koverguje ve mylu ředí kvadr. odchylky koverguje v ormě L. Po.: Saiická charakeriika-odpovídá diperi ; eac. procey Skuečě, je-li lim lim při Deiice: Poloupo cí { ()} koverguje a možiě M ejoměrě k ukci (), plaí-li: pro ε >, že pro >, M, ε Po.: Výam deiice lim maxr lim max M M <

85 { } Fukčířady Deiice: Nechť je poloupo komplexích cí, poom ukčířada je maemaický předpi o ( ) ( )... ( ) ( ) Příklady číchřad:... Mociéřady Taylorova Laureova Fourierovařada ( ) c ( ) ( )! a a a ; c ϕ, c kde, ϕ. iω iω C e, C () e d T T α α

86 Kovergece ukčích řad Bodová (aboluí, relaiví) Cauchyova C, rep., R a ) l i m S S, S k k Cearova b ) l i m S S, S k ( ) ( ) ( ) k Na možiě M (a iervalu) aboluí: relaiví ejoměrá: M ( ) je koverg. M Výam éo deiice:, j. počíajíc jiým e gray cí blíží k obě i v bodě, kde je ejvěší vdáleo mei imi. lim max v ormě L : lim pro M

87 . Fčířada je kovergeí v bodě, exiuje-li v omo bodě limia poloupoi čáeč. oučů, j. číelářada je kovergeí. <. Je-li čířada kovergeí v každém bodě oblai M, říkáme, že čí řada je kovergeí a M. Obor M je obor kovergece. 3. Součem čířady je ce S, M C. 4. Čáečým oučem čířady je ce S, M C 5. Fčířada koverguje aboluě, koverguje-li řada aboluích hodo jejích čleů. ( ) < 6. Fčířada je ejoměrě kovergeí a M, je-li ejoměrě kovergeí a M poloupo jejich čáečých oučů,,,.. k k S

88 K pooueí ejoměré kovergece e ejčaěji používá kriérium Weierraovo (rovávací kriérium): N ( ) Věa: Jou-li čley, čířady ce regulárí a oblai M, přiom řada je ejoměrě kovergeí a každé možiě M, ležící i e vou hraicí uviř M, poom plaí:. Souče éo řady S je rověž regulárí ukce a M. Můžeme uo řadu iegrova a derivova čle po čleu.. Derivováím řady S ( ) ( ) čle po čleu obdržíme opě řadu ejoměrě kovergeí v M S S, (plaí pro derivaci libovolého řádu). 3. Sejoměrě kovergeířadu regulárích cí le čle po čleu iegrova, j. pro všecha plaí, M ( ξ ) dξ S ( ξ ) dς

89 Deiice: Nechť předpi { c } Mociéřady je poloupo komplex.číel, pak maemaický e aývá mociářada. c c { } Zde jou koeiciey mociéřady, je řed kovergece. Mociářada v bodě přílušáčíelářada koverg. číelářada Základí vlaoi mociéřady ( ) ( ) je kovergeí právě ehdy, je-li koverg. c a je aboluě kovergeí, je-li c ( ) < c c lim lim c c Oborem kovergece mociéřady je viřek kruhu: < c lim A c < Mociářada je koverg. vždy alepoň v jedom bodě, a o ve ředu kovergece R R

90 Prví Abelova věa: Koverguje-li mociářada v bodě koverguje aboluě v kruhu <,, pak Druhá Abelova věa: Koverguje-li mociářada v ěkerém bodě a kružici, pak koverguje ejoměrě a aboluě a celém poloměru, vedeém daým bodem. Důledek: Je-li poloměr kovergece mociéřady R >, pak ao řada koverguje ejoměrě v libovolém kruhu o poloměru r < R. Souče S c éo řady je v kruhu < r regulárí ce. Mociou řadu le v jejím oboru ejoměré kovergecečle po čleu derivova (iegrova) ím, že ouče ovéřady je derivací (iegrálem) ouču řady původí; derivováím (iegrováím) e obor kovergece eměí.

91 Příklad: Řešeí: Najdeme obor kovergece řady a určíme její ouče. ) Sřed kovergece je bod ; obor kovergece : lim R ( ) Řada je kovergeí aboluě a ejoměrě pro r, r < ) Řadu S uviř kruhučle po čleu derivujeme: S S... řada geomerická mající ouče 3) Pro určeí ouču původířady poledí vah iegrujeme a použijeme je hl. hodou iegrálu S ( ξ) dξ dξ l l l ξ S < Souče řady je ce S l pro každé. Např. bod leží uviř kruhu <, ouče řady je S l l Bod q 3 eleží v oboru kovergece, edy řada je divergeí. < 3 3

92 S Příklad: Obor aboluí a ejoměré kovergece:. <. S Oačíme S ). S S 3) Řadu uviř oboru kovergece iegrujeme: S d d S S ξ ξ ξ ξ ξ S 3 / 3 3 S S Řešeí: ) Sřed kovergece je. 3 S S / / ) ( lim R

93 Taylorovařada (Taylorův rovoj) Věa: Každou regulárí a oblai < R le a éo oblai roviou v kovergeí Taylorovuřadu podle moci ( ): ( ) ( ) ( ) ( )! a... koeiciey Taylorovyřady.! Dle věy o vyšších derivacích: ( ) ( )!! πi ( ) d ( ) a! πi K K d

94 T. ř. ukce určíme: dle deiice a rovojem elemeárích ukcí : e, ( ) i, co, použiím ámých rovojů: použiím geomerickéřady: e! i i ( ) e co i i, ( ) ( ) ( )! co! i!! ( ) i e ( ) i!

95 Příklad: Taylorovařada ce ( ) Řešeí: ( ) a < 3, řed kovergece : Upravíme oba číace ce ak, aby měly ormu ouču geomer. řady : a a q q ( ) ( ) q ( ) q ( ) [ 3 3 3]( )

96 Laureovařada (Laureův rovoj) a a a ; r < < R, ( ) a ( ) je reguláríčá, kovergeí a < a a je hlavíčá, kovergeí a > r Úplá Laureovařada je aboluě a ejoměrě kovergeí a průiku oborů kovergece vé hlav. a regulár. čái, edy a meikruží r < < R, de r < R. Součem je regulárí ce. Pro regulár. čá LŘ koeiciey jou a ( ) ( ) Pro hlavíčá LŘ ele ako vyjádři koeiciey, jelikož bod pro hlavíčá je igulárím bodem.! y R r R x

97 Věa: Každá ce () regulárí uviř meikruží může bý a éo oblai vyjádřea kovergeí Laureovouřadou. Koeiciey Laureovyřady jou daé vahem:, a πi K ( ) d, r < < R, r < R Křivka K je uavřeá, po čáech hladká, kladě orieovaá ak, že celá leží v oblai kovergece, edy v meikruží LŘ e ředem v bodě. Po.: Pro výpoče koeicieů e epoužívá iegrálí vorec vhledem k obížím při výpoču iegrálu, ale aplikují e ejčaěji ámé jedoduché rovoje ebo geomerickéřady.

98 Příklad: a L L L!!! eí ředem kovergece, ale je ředem rovoje.! je reguláríčá LŘ, jeřada geomerická a předavuje Taylorův rovoj e ředem v bodě. Souče éo řady exiuje je pro < : S ( ).! je hlavíčá LŘ, kerá je kovergeí v celé Gauově roviě výjimkou bodu, kerý je bodem igulárím. Hlavíčá LŘ předavuje rovoj ce e a oblai >. Výledým oborem kovergece bude < < Souče řady je a e

99 Příklad: ; < < ), ) < < mociy, ), 3, 3 je přímo rovoj dle moci je ouče geom.ř., < < q LŘ: a 3 > ) ) < < mociy, 3 je přímo rovoj dle moci (-) je ouče geom.ř., < q. 3 3 LŘ: ) 3 > mociy, 3 je přímo rovoj dle moci (-), > < q. 3 3 LŘ:

100 Reidua Deiice: Reiduem ce () v bodě je koeicie jejího C Laureova rovoje v okolí ohoo bodu. Píšeme Re a. K Laureovařada ce (): Iegrujeme po křivce K: a ( ) d a d a d a π i a "Zbykem" při iegrováí je jediý eulový iegrál: Re a d πi K Reiduum v evlaím bodě: Re a d π i K K K

101 .pro odraielý igulárí bod: Re Příklad:,. pro -áobý pól ce () v bodě..pro jedoduchý pól, g a) ( ) Re i Re d πi πi K K ( ) a ( ) b) g Re h Vlaoi L Příklad: ( ), i g h 3i 3i Re ( ) ( ) ( ) 3!! 4 5! Re d lim d de ) g ( ) h( ), h( ) lim ( ) 3 i 3 lim ( 3i) 6i i i 3i 3 ( 3i ) Re 3i ( 3i ) 3i 6i a 6i Re 3i d g ( )

102 .. pro -áobý pól Příklad: ( ) 3e, Re a π i K d π i 3e lim Re lim ( ) 3e Re [ ] 3e 3e a 3e Re 3e K g ( ) d g ( ) ( ) 3. pro podaě igulárí bod: je uo () roviou v kovergeí LŘ e ředem v bodě. Příklad: ( ) e, i ( ) e,! e Re a. i i i i e i i e e e, i i i ee e e! i! Re a e i.78i i. i i! i i 3! 3 ( i) ( i) i 3...,

103 Reiduová věa: Nechť K je kladě orieovaá, po čáech hladká uavřeá křivka, ležící v oblai D. Nechť dále ce () má v oblai D koečý poče igulárích bodů (m bodů), ichž žádý eleží a křivce K. Pak plaí: m, d πi Re K přičemž jou igulárí body ležící uviř křivky K. Věa o ouču reiduí: Má-li ce () v rošířeí Gauově roviě koečý poče igulárích bodů, pak ouče reiduí ve všech ěcho bodech (včeě reidua v ekoeču) je rove ule. Teo vah le použí jak pro pól (), ale aké - což je výamé - pro odraielý igulárí bod v ekoeču; v omo případě je řeba klá. Zde e projeví ak, že a rodíl od vlaích odraielých bodů emá odraielá igularia v ekoeču auomaicky a áledek ulovou hodou reidua.

104 , K je kladě orieovaá kružice. K d e I 4 3, ± 3 jou póly. řádu. je pól.řádu Sigulárí body leží uviř iegračí křivky: 4 Re 4 Re 4 Re 4 e e e i d e I K π i e e i e e e i d e I K π π π Re e Příklad:

105 Laplaceova raormace Připomeuí (kap. 5) (Pierre Simo de Laplace, ) Připomeuí: Jedoroměrá iegrálí raormace je obraeí (pokud exiuje) deiovaé vahem: ( ) K( ) F, I () je komplexí ce reálé proměé: : R C, aývá e origiálem éž předměem ebo vorem. F() je aalyická (regulárí)ce komplexí proměé F: C C, aývá e obraem origiálu. K(,) e aývá jádro raormace, plaí K: [R C] C. d

106 Laplaceova raormace - Deiice Deiice: Laplaceova raormace ce plňující podmíky kovergece L. iegrálu je deiováa: F ( ) ( ) Komplexí ce reálé proměé (), [, ) je origiál. Aalyická ce F() komplexí proměé Re i Im σi ω je Laplaceovým obraem. Iegrál a pravé raě e aývá Laplaceův iegrál, K(,) e - je jádro raormace, Deiičím oborem obrau F() je možia všech komplex.číel, pro ěž koverguje evlaí iegrál. Podmíky kovergece Laplaceova iegrálu:. () muí bý alepoň po čáech pojiá v iervalu [, ).. ormálě le de. obor prodlouži a áporé hodoy : () pro <. 3. () muí mí pro [, ), ohraičeý rů idexem růu σ <σ, j. muí plai vah () Me σ, kde M a σ jou reálé koay..e d,

107 () Omeeý rů, idex růu Me σ Im () Re σ Obr. 5.. Deiice: Nechť σ i{σ R: σ > σ }. Čílo σ e aývá idex růu ebo úečka kovergece a ce (), pro íž plaí 3.podmíka () Me σ, e aývá ce expoeciálího řádu idexem růu σ. Poámka: Deiičím oborem a oborem aalyičoi (regulariy) Laplaceova obrau je komplexí polorovia Reσ >σ. Tedy ce F() je aalyickou cí, exiuje-li σ akové reáléčílo, že pro σ > σ Laplaceův iegrál aboluě koverguje (obor kovergece).

108 Příklad Heaviideova ce η ( ),, <,. a () a a> Obr Daá ce plňuje všechy 3 podmíky:. je pojiá v iervalu (, ),. pro < 3. ce má ohraičeý rů: L { η } F( ) e d η ( ), <, σ η M e, de M, σ. u u lim e u lim u e Fce F() je regulárí (aalyická) pro Reσ>, Laplaceův iegrál koverguje pro všecha, pro ěž plaí Reσ>σ, j. σ.

109 . Lieáro (věa o lieariě Laplaceovy raormace). Podobo (věa o měě měříka) 3. Tlumeí (věa o ubiuci) 4. Pouuí doprava (věa o ralaci) 5. Derivováí origiálu podle parameru 6. Derivováí origiálu 7. Derivováí obrau 8. Iegrováí origiálu 9. Iegrováí obrau. Limií věy Základí vlaoi a věy LT Prví limií věa (podmíka kovergece). Druhá limií věa (počáečí hodoa). Třeí limií věa (koečá hodoa).

110 . Lieáro (věa o lieariě LT) Deiice: Nechť i jou origiály a F i jou jejich obray (i,,3,,), edy L{ ()}F (), L{ ()}F (),..., L{ ()}F (), pak ce a a a je origiál a L-obra ce bude L a i i aifi i i kde a i (i,,...,) jou komplexí koay. ( ), Slovy: obrau lieárí kombiace origiálů (vorů) odpovídá lieárí kombiace jejich obraů e ejými koeiciey. Důka: K důkau použijeme deiičí vah Laplaceova iegrálu a věy o lieariě iegrálu: L a i i i i i i i a e d a e d af( ). i

111 . Podobo (věa o měě měříka) Deiice: Nechť je origiál a F je její obra, j. L{()}F(), α > je reálá koaa, pak L{ ( α ) } F α α Důka: Výpočem deiičího vahu Laplaceova iegrálu doaeme: u α L{ ( α) } ( α) e d ( u) e du F α α α (ubiuce α u)

112 3. Tlumeí (věa o ubiuci) Deiice: Tuo vlao le lovy ormulova ako: áobíme-li origiál expoeciálí cí e α, viká v obrae pouv komplexí proměé o hodou α, α je komplexí koaa. Tedy, je-li L{()}F(), α je komplexí koaa, pak α L e F α { } Důka: K ověřeí ám opě poačí jedoduchý výpoče. ( α ) L e e e d e d F, Re () Re. { α } α α σ α > Poámka: Náev "lumeí" ukauje a ouvilo yikálími ději (výra e σ, kde σreα, předavuje apř. při kmiavém pohybu a podmíky Reα < v. lumící akor).

113 Příklad Najdeme obra ce e α η, R α je komplex. ko. a) Na ákladě deiice: u α α u { } e α α e L e e e d lim lim α u α α α b) a ákladě věy o lumeí přímo doaeme: u α u e de lim pro Re > Re α. u α { e α η } L, α Re > Re α

114 Najdeme L-obra ce i( ), iα i ( iα iα e e ) Příklad dle věy o lieariě a áledově a dle věy o lumeí doaeme : { iα} { iα} α L i α ( L e L e ). i i iα iα α α Re > η max Najdeme L-obra ce α e i, ω η ( Reα, α ) Re ω R { α L e i } ω ω, Re σ > Re α. α ω

115 Použiím věy o podoboi (věa o měě měříka) urči L-obra ce Příklad i( α ) η, víme - li, že L-obra ukce i( ), je L i, η Re > Řešeí: Věa o podoboi: L α α { ( α ) } F α L( i α ), α α α Re > max ( Reα, α ) Re

116 4. Pouuí doprava (věa o ralaci) Deiice: Nechť L{()}F(), pak pouuí proměé v origiále o koaí reálou hodou τ > e projeví vyáobeím obrau F výraem e τ : τ L ( τ) { } e F( ) Důka: Seavíme a vypočeme Laplaceův iegrál: τ τ τ τ L e d e d e d; { ( τ )} ( τ ) ( τ ) ( τ ) τ Prví iegrál je, poěvadž je rova iegrovaá ce-dle předpokladů při kladém τ je pro < τ, ( τ ) ( τ ) pro τ; ve druhém iegrálu provedeme ubiuci -τ u, pak { ( τ )} () () (-τ) τ Obr.5.5 ( u τ ) τ u τ L u.e du e u.e du e F

117 L-obra ce Příklad i( ϕ ) η Řešeí: Použiím věy o pouuí doprava a výledku předchoího příkladu: α L i. α i( α ) η, ( α ) i( ) η, α L i. i( ϕ) η ϕ e L ( i ). ( ϕ ) Re >

118 a. L-obra periodické ukce Příklad,,, <, T T τ, T τ < < ( ) T,, ±, ±,.... () τ T T T T 3T τ τ Řešeí:. Origiál a.periodě je rodíl dvou cí: p () () η, (-τ) ( ) ( ) τ η τ. Dle věy o lieár.: { }. Obra a.periodě: 3. Obra a 3.periodě: τ { } { } L L L τ, τ { } ( τ L p e e ), Re >. p { } T L p e τ e, Re >. { 3 } ( T L p e τ ) e, Re >. τ τ

119 . Obra a -é periodě { } ( τ ) ( ) T L.p e e, Re >. Obra periodické ce použiím period (věa o lieariě) a áledově pomocí limiího přechodu: { } ( ) ( ) T ( ) T ( ) T L lim e τ e τ e e τ e τ e e L τ Příklad ( ) ( T T 3T e e e e L). T ( T T ) L T e < Re >, e e. e L { } τ e. T e

120 Příklad Sejý výledek doaeme, budeme-li poupova áledově:.nechť exiuje L-obra periodické ce: L{()}G().. L-obra pouué periodické ce: L{(-T)}G()e -T. 3. L-obra ce a prví periodě bude: L{()}- L{(-T)} G()(-e -T ). 4. Oačíme-li L-obra ce a prví periodě F(), pak L-obra period. ce bude F( ) G( ) L{ } per. e T Náš příklad: Jelikož L-obra ce uvažovaé a prví periodě je L, { } ( τ ) e pak τ ( T ) ( τ ) e G e e G( ) L{ }. T e Re >.

121 4. Pouuí doleva (věa o předihu) Poor!!! Pouuí doleva, j. pro ci adaou pro < -τ ( τ) τ > τ pro τ, () (τ) () -τ τ L τ e d { ( τ) } τ ( uiuce τ u) u e u e du Příklad: L-obra ukce η, při pouuí doleva bude η τ η τ { } L e d ( uiuce τ u ) τ τ τ τ τ τ e e e e d e

122 5. Derivováí origiálu podle parameru Deiice: Nechť ce (,x) je origiál idexem růu σ, plňující podmíku: σ σ (,x) < M e, (,x) < M e. Zde [, ), x je reálý paramer x [,l], l je reálá koaa a Laplaceův iegrál má var F,x,x e d. Předpokládejme exieci derivací { } x x F x (, x) F (, x), F, pak parciálí derivace origiálu a obrau podle polečého parameru x jou určey vahem: L x x x x

123 Dle věy o derivováí podle parameru určíme Laplaceův obra ce coω η. iω Řešeí: Víme, že { } L ω ω Zde ω je reálý paramer, podle ěhož derivujeme origiál i obra: ω ω L{ co ω} L ( iω ), Re >. ω ω ω ω { } Příklad ( ω ) ( ) ω L co ω, Re >.

124 Deiice: Má-li ce () pro [, ) pojiou derivaci () a je-li F() její L- obra, pak plaí: L L { } ( ) F Důka: Provedeme výpoče Laplaceova iegrálu per pare: { } u e d lim e e d F ( ) u o Oačeí: lim ( u ) L u, { } F ( ) Deiice: Má-li () pojié derivace do -éhořádu včeě a F() je její L-obra, pak L-obra přílušé -é derivace ce () bude: L 6. Derivováí origiálu { ( ) } ( ) F L Důka: Teo výledek e odvouje úplou maemaickou idukcí.

125 Odvodíme a ákladě věy o derivaci origiálu L-obra ce: ( ) co ω η ( ). ω Řešeí: Víme, že L { i ω } L co ω ω d L ω ω ( iω ) L{ ω co ω} i d ω ω Příklad d d { L i ω L co L i } ω ω ω ω d d d ω 3 ω L ( iω ) i ω co d ω ω Ověřeí a ákladě věy o liěariě: 3 d { } ω ω ω L i ω L i ω ω d ω ω { }. ω

126 Poor!!! Věa o derivováí origiálu plaí je pro pojié ce (), keré mají pojié všechy derivace až do řádu (-) včeě a iervalu (, ). Neí-li plě eo předpoklad, vah pro výpoče bude ložiější. Má-li () v bodě a epojio. druhu (kok), j. budou koečé limiy Tedy L { } e d e d lim a ( a ); lim ( a ), [ e ] a ( a ) e ( ) e d lim a a ( a ) e e d F( ) ( ) S( a) e, a kde S(a)(a) - (a-). Výpoče obou iegrálů byl provede meodou per pare. a a a vorec bude mí avíc jede čle, charakeriující eo kok. a e d

127 Deiice: Nechť ce () je origiál úečkou kovergece σ a F() je její L- obra, pak i ce () je origiál úečkou kovergece σ a pro její L- obra plaí {. } F ( ) L Po.: Derivováí obrau podle proměé je ekvivaleí áobeí origiálu áporou proměou.. Důka: Fce () plňuje podmíky pro kovergeci Laplaceova iegrálu, j. exiuje L{()}F(). Pak L 7. Derivováí obrau d d { } e d e d F ( ) Po.: Úplou maemaickou idukcí le dokáa, že -á derivace obrau (jeliže exiuje): L F { }

128 Příklad Určee Laplaceův obra mocié ce, j. { } L,, N Řešeí: Víme, že Laplaceův obra Heaviideovy ce je Použiím věy o derivováí obrau : L { } η L { } { } L η, 3 { 3 } 3! L η { 3 4 } 3! L η, 4, η L η ( ) { }. Tedy obecě: { }! L η, Re >.

129 Deiice: Nechť () je origiál a je ce pojiá v iervalu [, ), přičemž L{()}F(), pak plaí Důka: Zaveďme oačeí { } L ( u ) du F ( ) u du g,. g() je ce horí mee (origiál), g(), L{g()}G() (). { } ( ) ( 3) L g L G g G. Jelikož L{()}F() doáváme použiím vorců ()-(3): G ( ) F ( ) 8. Iegrováí origiálu Na ákladě věy o derivováí origiálu: L L ( u ) du { g ( )} G ( ) F ( ).

130 Najdeme L-obra ce Řešeí: Víme, že u ( ) e du,. Příklad u u e d u e e,. α L { e }, R e > R e α L { e }, R e >. α Dle věy o iegrováí origiálu: L u du ( ), Re >. Výledek můžeme ověři výpočem iegrálu áledým použiím věy o lieároi: L L { u du e } ( ), Re >.

131 9. Iegrováí obrau Deiice: Má-li ce () obra F() a ce pak L ( ) g F ( q ) dq, de horí me u iegrálu chápeme ak, že Req. má obra G( ), Důka: Podle věy o derivováí obrau plaí dle věy o lieároi L. L { } G ( ), ( ) L{ } G ( ) F Výledek iegrujeme v meích, použiých ve ěí věy F q dq G q dq lim G q G G, Req. de lim G q Req (. Limií věa )

132 Najdeme obray cí: Řešeí: Víme, že L i { i },, i du,. Dle věy o iegrováí obrau bude iu i π L dq lim arc g q arc g arc g arc cog ( ). q Req Příklad. Použiím věy o iegrováí origiálu doaeme: u. L { i } L i u u du arcco cg ( ). de ce i() je v. iuiegrál. Je ámo, že iuiegrál emá primiiví ukci a přiom exiuje L-obra éo ce.

133 Deiice: (podmíka kovergece). Nechť () je ce idexem růu σ, j. σ σ ( ) < Me a echť σ Re γ> je přímka, kerá e acháí v komplexí poloroviě vpravo od Pak L-obra () j. F() aboluě a ejoměrě koverguje k v poloroviě σ Re γ j. lim F Im. Limií věy.limií věa ( ) lim F( ). σ γ Re

134 ( ) pak plaí lim F ( ) ( ). lim,. Limií věy.limií věa Deiice:(počáečí hodoa). Nechť () je origiál a F() je její L- obra, echť exiuje koečá Důka: Nechť F() je L-obraem ce (), j. L{()}F(). Dle věy o derivováí origiálu plaí { } F( ) L prví limií věy doaeme: L{ ()} pro, pak ( ( )) ( ) lim F lim F.

135 Deiice: (koečá hodoa). Nechť F() je L-obraem ce (), j. L{()}F(), pak lim L F ( ) lim ( ) Důka: Na ákladě věy o derivováí origiálu plaí Pro bude. Limií věy 3.limií věa { } F( ) ( ) lim L { } lim F ( ) ( ), ( ) lim e d lim F d lim limf lim F ( ) lim.

136 Zpěá Laplaceova raormace (kap. 6.) Úloha aleeí origiálu a ákladě obrau obecě eí jedoačá, edy je uo aovi podmíky, a kerých k obrau F() bude exiova origiál (), obraeí bude vájemě jedoačé : () F(). Věa: (Iegrálí vyjádřeí pěé L-raormace) Nechť ce () je origiálem a F() jejím L-obraem. Poom v libovolém bodě, v ěmž je ce () pojiá, plaí Riemaův- Melliův vorec γ i Im F ( ) e d, πi γ i kde Re i Im σ i ω, pak γ i F γ i γ iω ω γ iω ( ) e d lim F( ) e d. σ γ Re

137 γ i.bereme v úvahu je hlaví hodou iegrálu v. p. F ( ) e γ i (valeur pricipale), F() v komplexí roviě C má koečý poče iolovaých igulárích bodů ležících v poloroviě Re<σ.. F() je regulárí ce v poloroviě Re γ, γ >σ včeě bodu v ekoeču, de σ je idex růu. 3. F() vyhovuje podmíce, že lim F..limií věa, F() koverguje ejoměrě v poloroviě Re γ, γ >σ. d γ i 4. Exiuje kovergeí iegrál F ( ) γ i d

138 Má-li ce F() poue iolovaé igulárí body (v praxi e redukují vemě a póly), přičemž igulárí body leží vždy alevo od přímky Reγ, pak π i i F i r i π π π i k r γ Výpoče m e d lim F( ) e d Re F( ) kde m je poče iolovaých igulárích bodů. [ ] e, i γ k Jelikož ce e je regulárí, j. emá žádé igulárí body, pak origiál le vypočía pro > e vahu: F( ) [ ] [ ] e ReF e,. k Re > k k k

139 Najdeme origiál () k ci F Příklad ( ) Řešeí: Origiál je πi γ i ( ) γ i e d Přímka γ e acháí v poloroviě Re>. Fce e / má jede jedoduchý pól v bodě. Iegrál vypočeme pomocí reidua: π i e ( ).Re e,. i L π Tedy origiálem je jedoková (Heaviideova) ce: η,.

140 Najdeme origiál () ce F Příklad ( ) ( ) 4. Řešeí: Fce F() má igulárí body:, ± i, 3, F() je aalyická pro Re>. Body, ± i jou jedoduché póly, bod 3 je pól. řádu. F ( ) ( ) 4 ( i)( i) Origiál: γ i ( ) F ( ) e d e d π i π i ( i )( i γ i K ) γre >.

141 3 e d ( )( ) Re e π i i i ( i)( i K ) ( ) ( ) e ( i) e i i Re e i 4 4 4i 8 Re i ( ) e ( 4) i ( ) e i ( i) 4 ( 4i) i e i 8 i ( i ) e, i ( i ) e, ( ) e ( ) e e ( ) e ( 4) ( ) e 3 Re. ( 4) 4 ( 4) 4 Pak: 3 i i ( i i ) ( i i ) i i e i e e e e e i i ( ) i co,

142 Po.: Jou-li α i β a α -i β dva komplexě družeé póly, pak pro ouče reidua v ěcho bodech bude plai Re Pro áš příklad: A m ( ) ( ) B i e Re A m ( ) ( ) B e Re Re A m ( ) ( ) B e. e e e e ( ) ( ) Re Re i 4 i 4 i i i i 8 i e i e i ( ) e i Re Re Re ( i ) e ( i co ). i i 8 4 i.

143 Po.: Roložíme ukci F() a parciálí lomky: Vypočeme koeiciey: A /4, B /, C -/4, D -/. Na ákladě íkaých koeicieů doaeme obra ve varu. F D C B A 4 4 Pro Re > ce F() je regulárí, pak použiím ámých vahů origiál bude. i co Bereme-li v úvahu, že jme deiovali jedokovou (Heaviideovu) ci pro, pak i áš výledek řešeí bude plai pro.

144 Použií LT při řešeí diereciál. rovic Lieárí diereciálí rovice koaími koeiciey a ( ) y a y a y a y, L počáečí podmíky: ( ) y c, y c, L,y c. a k (k,,,..., ) jou reálé koay (a ), () je adaá ce, k íž exiuje L-obra, yy() je hledaá ce, o íž předpokládáme, že k í exiuje L-obra y (k) y (k) () jou derivace k-éhořádu, k ímž akéž exiuje L-obra L(DR) DR Y() y() Laplaceova raormace: LT ( ) { } F. e d,

145 Hlaví eapy řešeí LDR (ouavy LDR) L(DR) DR Y() y(). Saovíme předpoklady pro řešeí a ověříme plěí podmíek. Oačeí: Y() je L-obra ce y(), F ( ) L{ } je L-obra ce (). Na ákladě předpokladů eavíme L-obray y (k) ().. Seavíme L-obra LDR (ouavy LDR) a ákladě věy o lieariě. Tímo obraem bude rovice algebraická (ouava algebr. rovic). 3. Naleeme řešeí éo algebraické rovice (ouavy). Řešeím bude Y(), j. L-obra ce y(). 4. Traormujeme aleeý obra Y() pě a origiál y(). 5. Nakoec provedeme korolu řešeí.

146 Robor algorimu při podmíce. Fce () a y() muí plňova vlaoi origiálu, j.přílušé Laplaceovy iegrály muí bý kovergeí. Pro () j. pravou rau DR je uo plěí podmíek ověři a pak eavi L-obra ce (), j. F() L{()}. Pro y() plěí ěcho podmíek budeme předpokláda.. Použiím věy o derivováí origiálu ajdeme L-obray jedolivých derivací ce y(): L L { y } Y( ) y( ) Y( ) c, { y } Y( ) y( ) y ( ) Y( ) c c, ( ) { } Y c c c c Y k Ly L k c k.

147 Dle věy o lieároi eavíme L-obra daé DR : a { } { a y L a y} L L Doaeme algebraickou rovici -ého upě pro obra Y(): ( Y c L c ) L a ( Y( ) c ) a Y( ) F( ). 3. L-obra řešeí DR: Y( ) F ( a c c c ) L L ac. a a L a a Ve jmeovaeli je mohočle -ého upě (charak. polyom): o k B ( ) a k k V čiaeli je ouče F()P - (), kde P ( a ) c L c c L a c c a c je polyom upě ejvýše -, jehož koeiciey jou ávilé a počáečích hodoách c, c,..., c -.

148 Pak L-obra řešeí DR bude : B ( ) F P Y, Re > σ. 4. Parikulárířešeí DR y() určíme jako origiál k Y(), j. y() L - {Y()}, : a) pomocí reidua, b) rokladem a parciálí lomky, c) užiím kovoluce. 5. Nakoec provedeme korolu řešeí a ověřeí počáečích podmíek. Po.: Poup řešeí v praxi je uo dopli o ěkeré dílčí meikroky, pojeé buď e peciálím adáím pravé ray () DR ebo ím, že počáečí podmíky ejou vááy a ulový bod.

149 Určíme parikulárířešeí DR: Příklad y y y e 3 3 a ) y y ; b ) y y Řešeí: a). Aalýa je polečá pro obě adáí. Ověřeí plěí podmíek pro pravou rau DR () e 3 : () je pojiá a iervalu [, ), pro < doplíme (), j () e 3 η (), η () je Heaviideova ce, () má ohraičeý rů: e 3 M e σ, de ačí voli M a σ > 3 (libovolá reálá koaa věší ež 3), apříklad σ 4, σ 3. Skuečě e 3 < e 4. Podmíky jou plěy, eď eavíme L-obra ce: { η } e L e, Re >

150 Předpokládáme, že pro y(), y (), y"() exiují L obray. Nechť Y() je L-obra ce y(), j. Y() L {y()}. Použiím věy o derivováí origiálu, eavíme L-obray. a. derivace y(): { } ( ) L y Y y, { } ( ) ( ) L y Y y y.. Pro počáečí podmíky a) y y : { } { } L y Y, L y Y. Použiím věy o lieariě eavíme L-obra adaé DR: 3 Y Y Y. 3

151 3. L-obra řešeí je Y ( ) ( 3)( 3 ) ( 3)( )( ) de B () -3 je charakeriický polyom. řádu. 4. Fce Y() bude regulárí pro Re > 3. Výpoče origiálu y() : i) pomocí reidua, ii) rokladem a parciálí lomky. i) Obra Y() má 3 jedoduché póly,, 3. Polyom v čiaeli je A (), jmeovael je B 3 () (-)(-)(-3). Výledek (origiál): ebo: e 3 3 y Re e e e,. k k ( )( )( 3) ( 3 ) η y e e e, R.

152 ii) rokladem a parciálí lomky doaeme ejý výledek: A B C Y ( ) A, B, C 3 y e e e, Ověřeířešeí: 3 3 y e 4e 3e,. Po doaeí do původí DR doaeme: Ověřeí počáečích podmíek: y e 8e 9e, LS y y y e, PS e LS PS. y e e e, y e 4e 3e.

153 Určíme parikulárířešeí původí DR: Řešeí: b) y y y e 3 3 b ) y y. Aalýa ůala bee měy. Nechť Y() je L-obra ce y(), j. Y() L {y()}. Na ákladě věy o derivováí origiálu: { } Y( ) y( ) Y( ) L y { } Y y y Y( ). L y. L-obra adaé DR: 3. L-obra řešeí je: Y, Y 3 Y Y 3 ( 3 3 ) ( 3) ( 3)( )( )

154 Y ( ), Re > 3. 3 Po.: Obra le eavi přímo použiím charakeriického polyomu: B () -3. Seavíme polyomy P () -3, P (). Pak Y( ) F( ) P y P y B Y ( 3 3 ) ( 3) ( )( )( 3) Y ( ), Re > 3. 3