Teorie signálů poskytuje společný teoretický základ pro řadu různých oborů:

Transkript

1 eorie sigálů poskyuje společý eoreický základ pro řadu růzých oborů: elekomuikačí echika radioechika akusika seismologie biomedicícké ižeýrsví eergeika chemické echologie elekroické zpracováí řeči, hudby a obrazu

2 Sezam doporučeé lieraury. J. Uhlíř, P. Sovka, Číslicové zpracováí sigálů, ČVU Praha,. J. Pospíšil, Aalýzy a přeosové aspeky sigálů, UP Olomouc (skripum), Yeug, R. W., A irs Course i Iormaio heory, Spriger, New York, USA 4. Ago, A., Užiá maemaika pro elekroechické ižeýry, SNL Praha Youg, P. H., Elecroic commuicaio echiques, Ch.E.Merrill Publ. Comp. ad Bell - Howel Comp. Columbus Eriger, Z., Skleář, J., Sigály a sousavy, VU Bro (skripum) Levi, B.R., eorie áhodých procesů a její aplikace v radioechice, SNL Praha Hoer, V., Úvod do eorie sigálů, SNL Praha Bajcsy, J., Víovec, J., elemeria a preos údajov, Ala Braislava a SNL Praha 988. Bogr, J., Čajka, J., Šebesa, V., eorie přeosu zpráv, SNL Praha 975

3 y() y() Sigál je časový průběh určié deermiovaé ebo áhodé yzikálí veličiy. Klasiikace: Spojiý sigál je deiová pro všechy hodoy ezávislé proměé Diskréí sigál ezávislá proměá abývá pouze celočíselých hodo Aalogový sigál je přímým obrazem yzikálích jevů (apř. sigál z mikroou) Číslicový (digiálí) sigál sigál vyjádřeý koečou řadou číslic

4 y() y() Sigál deermiisický popsá ukcí ebo poslouposí, jejíž každou hodou lze pro daý časový okamžik přesě vypočía (zpravidla podle ějakého maemaického předpisu) Sigál áhodý elze urči, jakých hodo abude v jedolivých časových okamžicích - hodoy jsou ierpreováy jako sousava áhodých proměých ebo je průběh sigálu popsá saisickými charakerisikami (sř. hodoa, sř. kvadraická hodoa, rozpyl, auokorelačí ukce, spekrálí husoa, koherečí ukce) y=*si()

5 Sigály periodické: exisuje >... perioda, y() = y(+) pro všecha základí perioda... ejmeší z period Periodický sigál je součem harmoických sigálů, přičemž poměr libovolých dvou rekvecí je racioálí číslo. možos vyjádřeí pomocí ourierovy řady Neí-li poměr rekvecí harmoických složek racioálí, jedá se o éměř periodický sigál. y( ) A si( ) Sigály s koečou eergií (apř. sigály vziklé vyjmuím jedé periody z periodického sigálu, sigály s koečou dobou rváí) Sigály s ekoečou eergií (apř. áhodé sacioárí sigály, periodické a éměř periodické sigály)

6 x() x() Komplexí expoeciála x() = Ce a, a, C... komplexí čísla a, C reálá reálá expoeciála (klesající, rosoucí) apř. při popisu přechodých dějů v elekrických obvodech a = kosaí sigál a... ryze imagiárí periodický sigál základí perioda = /,... základí úhlová rekvece sigálu reálá čás komplexí expoeciály harmoický sigál příklad sigálu s komplexími hodoami a, C: x Ce x j r Ce cos - expoeciálě lumeý siusový sigál x() = Ce a r x Ce cos.5 a = -, C = C =, =, = /6, r = -,

7 x() x().5 Jedokový skok (Heavisideova ukce) x() = pro x() = pro > - eí spojiý v bodě = Jedokový impulz (Diracova dela ukce) pro pro d ilusračí gra:

8 x() x() Jedokový skok (Heavisideova ukce) x[] = pro < x[] = pro Jedokový impuls (Diracova dela ukce) x[] = pro x[] = pro = příklad užií souči sigálu s impulsí ukcí dává hodou sigálu v čase pomocí hodoy v čase ula x[] [] = x[] [] obecě: x[] [- ] = x[ ] [] př.: vyjádřeí jedokového skoku x k k

9 Sigál může slouži k přeosu sděleí (zprávy, isrukce, iormace) sdělovací sigál Sdělovací kaál prosředí, ve kerém probíhá přeos sdělovacího sigálu z vysílače do přijímače Spojeí přeos sděleí od odesílaele k příjemci; spojeí může podléha rušeí a zkresleí Rušeí souhr vějších a viřích rušivých vlivů, včeě šumu, keré působí a sdělovací sousavu sále i za epříomosi sigálu Zkresleí vziká pouze při přeosu sigálu přeosovou sousavou

10 Odesílael působí sděleím a símací měič (apř. mikroó), jehož výsupem je primárí (ízkorekvečí) sigál. Vysílač převáří primárí sigál v sekudárí (vysokorekvečí) sigál vhodý k dalšímu přeosu (modulace, užií kódového klíče). V přijímači se sdělovací sigál převádí zpě a sděleí (demodulace)

11 Sdružovač zařízeí pro uspořádáí jedolivých sděleí ve společý mohocesý sigál Rozdělovač vyčleňuje jedolivá sděleí do pařičých sdělovacích ces Přeslech rušeí sigály sousedích sdělovacích ces ežádoucím přechodem eergie z jedé do druhé sdělovací cesy eorie sdělováí suduje přeos a zpracováí deermiovaých a áhodých sdělovacích sigálů a při om sleduje hledisko vlivu zkresleí a rušeí.

12 Reálý periodický sigál s() lze rozloži ve ourierovu řadu: j s a e a e j... komplexí ourierova ampliuda... základí úhlová rekvece... možia orogoálích ukcí a a e j a / s ( ) e / j d a... reálá ourierova ampliuda... ourierova áze

13 cos si B A B s / / )d ( s B / / d )si ( s A / / d )cos ( s B Dílčí reálé ourierovy ampliudy:

14 Reálá periodická ukce s() je schopa ourierovy aalýzy, jesliže splňuje Dirichleovy podmíky:. s() má ejvýše koečý poče espojiosí. s() má ejvýše koečý poče exrémů 3. je splěa podmíka absoluí iegrovaelosi ukce s() a iervalu (- /, /) Sředí výko sigálu P / s / ( )d a a... ourierovy ieziy; výkoové ourierovo spekrum

15 Jedorázový impulz - vykazuje koečou eergii: - koečá doba rváí impulzu se evyžaduje s( ) d - předpokládá se splěí Dirichleových podmíek - limií případ periodického sigálu: a / s ( ) e / j j s a e, / d a d, d j s( ) e d a a - přímá ourierova rasormace s( ) π j a e d - ourierův iegrál - zpěá ourierova rasormace d

16 Jiý zápis přímé a zpěé ourierovy rasormace: s( ) S S e jπ d j π S ( ) s s e d Vlasosi :. Liearia (pricip superpozice). Změa měříka času 3. Dualia 4. Posu v čase 5. Posu ve rekvečí oblasi ag bh ag bh k k s k S S s( ) jπ s S ( e - ) j S π s( ) e

17 6. Plocha impulzu 7. Plocha spekra 8. Spekrum -é derivace s( )d S S ( )d s s j S 9. Spekrum komplexě sdružeé ukce s S * *. Spekrum sudé a liché ukce S s cosπ d j s siπ d

18 Deiičí vzahy pro kovoluci: Kovoluce má výzam při popisu časově ivariaích lieárích sysémů pomocí impulzové odezvy. Kovolučí eorém: y y x g y h x g x h d k k y k x y x H G h g H G h g

19 Sředí výko jedorázového impulzu je ulový: P lim / s / d Celková eergie impulzu: W d s d S P d Rayleighův eorém závislos mezi celkovou eergií W a ampliudovým ourierovým spekrem S jedorázových impulzů S... spekrálí husoa eergie

20 . Jedokový impulz. Jedokový skok (Heavisideova ukce) 3. Obdélíkový impulz 4. Kosaí sigál 5. Gaussovský impulz 6. Harmoický sigál s koečou dobou rváí

21 s() S() s s hcos( π ), pro /, pro osaí hodoy / S h si π π si π π h =, =, =

22 π cos A s * j e A a a a S - dva jedokové impulzy ásobeé kosaami - periodický sigál rozložíme ve ourierovu řadu a S

23 Posloupos jedokových impulzů opakujících se s periodou : Čárové spekrum: a / / e j d S - ve rekvečí oblasi jde opě o posloupos impulzů

24 s Kovoluce sigálu s() a jedokového impulzu ( ): s d s s d - vede k posuuí sigálu o Kovoluce sigálu s() s ekoečou poslouposí jedokových impulzů v bodech : s d s d s s -kovoluce jedorázového impulzu s poslouposí () jedokových impulzů vede k vyvořeí periodické poslouposi jedorázových impulzů Aplikace: určeí ourierova spekra periodické poslouposi jedorázových impulzů S S s

25 - výpoče rasormačího iegrálu - provedeí časových derivací sigálu - využií vzahu mezi ourierovým spekrem jedorázového impulzu a jeho periodické poslouposi -umerický výpoče diskréí ourierova rasormace S k si -rychlá ourierova rasormace - mohé součiy se během výpoču opakují s s s i k S i s s i s s e ki j e s s ki j Příklad: ourierova rasormace rojúhelíkového impulzu

26 Korelace je měříkem podobosi mezi dvěma sigály, keré jsou vzájemě posuuy o čas Vzájemá korelace (vzájemá korelačí ukce) -obecě eí komuaiví (arozdíl od kovoluce) Vzájemá korelačí ukce pro dva reálé periodické sigály: Souvislos korelace s kovolucí -položíme-li = -y, lze odvodi h g h g R gh ) ( ourierova rasormace vzájemé korelačí ukce: h g h g R gh d d H G R gh * / / / / d d gh h g h g R

27 Auokorelace měříkem rychlosi změ hodo sigálu v čase g() = h() R gg g g d g g d Plaí - je sudou ukcí R gg R g gg ourierovo spekrum: d - eí obsažea iormace o ázi G R gg Auokorelačí ukce je periodická pro periodický sigál (podobě pro vzájemou korelaci)

28 Sdělovací sousava produkuje alespoň jede výsupí sigál jako odezvu a alespoň jede vsupí sigál Přeosové charakerisiky vzahy mezi vsupími a výsupími sigály 4 ypy aalogových přeosových sousav: - s více vsupy a více výsupy - s více vsupy a jedím výsupem - s jedím vsupem a jedím výsupem - s jedím vsupem a více výsupy Charakerisická přeosová rovice sousavy s jedím vsupem a jedím výsupem: b y b y ( ) ( )... b y b y a x a x... a x a ( m) ( m) m m x sousava lieárí, elieárí, časově proměá x() X H h() y() Y

29 Odezva v časové oblasi je vyjádřea kovolucí impulzí odezvy h() a vsupího sigálu: y h x d h x h()... impulzí odezva odezva lieárí přeosové sousavy (LPS) a jedokový impulz () Normovací podmíka: h d Sabilia LPS: výsupí sigál je ohraičeý, jesliže je ohraičeý vsupí sigál h d d

30 Odezva ve rekvečí oblasi Y X H H h... ukce přeosu, přeosová ukce H H e j( ) Expoeciálí var přeosové ukce: H... modul ( )... áze Logarimické vyjádřeí ukce přeosu Z l H l H j a j Z... logarimická míra přeosu a... zisk a log H db

31 Sériové spojeí LPS H H H H H H Paralelí spojeí LPS H H H H

32 Lieárí zkresleí Podmíka pro ezkresleý lieárí přeos: - ve rekvečí oblasi: j H H Lieárí zkresleí - ampliudové - ázové Ke y K, H Korekce ampliudového a ázového zkresleí C H j H Ke H Ke H C j x X Kx kos kos H H C y Y

33 - elze zavés ukci přeosu - odezva se saovuje řešeím elieárí charakerisické přeosové diereciálí rovice - umerické řešeí (apř. meoda liearizace) - popis sousavy algebraickou rovicí, převodími charakerisikami - eplaí pricip superpozice Nelieárí zkresleí harmoického sigálu - koeicie harmoického zkresleí k Y Y Y 3... ebo k Y Y Y Y Y i... max. hodoa i-é harmoické složky výsupího sigálu vzájemé působeí více harmoických sigálů iermodulačí zkresleí čásečé polačeí elieárího zkresleí pomocí zv. kompadoru

34 Absoluí úroveň výkou sigálu w db log P P w Np l P P P = mw... reerečí výko Relaiví úroveň výkou sigálu w rel w M w Úlum sousavy b w w Míra zisku b w w

35 Charakerisické ukce a veličiy Disribučí ukce (jedorozměrá, -rozměrá) Husoa pravděpodobosi (jedorozměrá, -rozměrá) Momey áhodého procesu - obecý mome s-ého řádu - sředovaý (cerovaý) mome s-ého řádu Auokorelačí ukce Kovariačí ukce Vzájemá korelačí ukce Vzájemá kovariačí ukce Maice korelačích ukcí Časové paramery realizací áhodých procesů - sředí hodoa v čase - auokorelačí ukce v čase - vzájemá korelačí ukce v čase

36 Sacioaria v užším smyslu disribučí ukce se eměí při změě počáku, od ěhož počíáme čas Sacioaria v širším smyslu sř. hodoa je kosaa a auokorelačí ukce závisí je a časovém posuuí Regulárí áhodý proces charakerisické ukce a veličiy (časové paramery) jsou pro všechy realizace sejé Sacioaria a reguláros jsou ezávislé. Ergodicia áhodého procesu sředí hodoa přes soubor realizací je rova časové sředí hodoě -charakerisické ukce a veličiy lze vyšeři aalýzou jedié realizace

37 Spekrálí husoa výkou S xx () áhodého procesu X() Spekrálí husoa výkou s xx () realizace x() áhodého procesu Sacioárí áhodý proces Wieerovy-Chičiovy rovice

38 Rušeí - diskréí (selekiví) - impulzové - šumové (rušeí lukuačím šumem) - souvislá řada ahodilých impulzů ahodilé ampliudy - souvislé a široké spekrum - projevuje se lukuacemi char. hodo sigálu ) Šumy elekrických obvodů a) epelý šum - původ v epelém pohybu elekroů ve vodiči u š 4kRB R rezisace B šířka rekvečího pásma, v ěmž šum sledujeme modelováí áhradí zdroj šumového apěí (sériově) - áhradí zdroj šumového proudu (paralelě) i š 4kGB P š U š 4R

39 b) Výsřelový šum - v elekrokách, epravidelá emise elekroů z kaody (při ízké eploě) i aš m ei a B I a... sředí hodoa aodového proudu m... zahruje vliv prosorového áboje v elekroce B... šířka rekvečího pásma - podobě pro riodu, bipolárí razisor ad. ) Gaussovský šum - vykazuje gaussovskou disribuci hodo - uplaěí cerálího limiího eorému - husoa pravd. - pro diodu i, k G B x x xm x x e aš 4 k i - disribučí ukce x x x e vmx x dv - vyjádřeí pomocí chybové ukce x x er x m x er u u v e dv

40 3) Bílý šum -sacioárí a ergodický áhodý proces vykazující kosaí spekrálí husou výkou v celém rozsahu rekvecí S xx N kos N... šumový výko vzažeý k rekvečímu pásmu Hz ekvivaleí eploa šumu Auokorelačí ukce B xx Přeos lieárí přeosovou sousavou e Auokorelačí ukce šumu a výsupu ideálí dolí propusosi H H pro pro B B N k N B yy Pš kb S yy N N H si πb B πb

41 Spolehlivos přeosu - pravděpodobos, že sděleí bude přeeseo bez závad q s s pr s... užiečý provozí čas jakos přeosu evybočí z předem zadaých mezí pr... celkový provozí čas p s = q s... pravd. arušeí sděleí Poměr sigálu k šumu SNR S N P Pš Odsup šumu od sigálu Šumové číslo r log SNRx Sx / Nx SNR S y / N y y P Pš Průměré zesíleí výkou A S S y x N y Ak B e

42 Výsledé šumové číslo při sériovém spojeí dvou přeosových sousav A Výsledé šumové číslo při sériovém spojeí více přeosových sousav A A A A A A Ekvivaleí eploa šumu přeosové sousavy s - eploa ikivího zdroje šumu a vsupu přeosové sousavy Plaí: e s

43 Číslicový (digiálí) sigál koečá řada číslic vyskyujících se v určiých časových okamžicích časové iervaly (-) až... jedokové iervaly Digiálí sigál je věšiou vyjádře pomocí biárích číslic (biů)... a -velký podíl ízkých rekvecí ve spekru číslicového sigálu sigál eí možé přeáše v jeho základím rekvečím pásmu - posu spekra k vyšším rekvecím pomocí modulace

44 NRZ evracející se k ule - uipolárí - bipolárí RZ vracející se k ule Pseudoerárí sigály mají ři úrově - sequece polariy corol - ime polariy corol Diereciálí sigál

45 -číslicové sigály jsou odolé vůči šumům - přeos prosředicvím číslicových kaálů Volba varu biárího číslicového sigálu - ideálí obdélíkový impulz kosaí doby rváí, vzdáleos mezi impulzy - spekrum je ekoečě široké - průběh ypu (si x)/x, x = / - ourierovo spekrum obdélíkové, v rozsahu B = /() - NEVÝHODY: - sigál elze geerova - zv. mezisymbolová iererece kompromis: lichá symerie spekra vzhledem k bodu = B

46 Deiováí prahové hodoy pro saoveí hodo a Předp. - sacioárí gaussovský šum o ulové sředí hodoě, popsá prom. v - bipolárí číslicový sigál ypu NRZ, hodoy A, A chyba deekce P = P(y < ), přiom byla vysláa hodoa P A erc v P = P - plaos i pro jié reprezeace biárích číslicových sigálů - předpoklad sacioárího gaussovského šumu je příliš silý

47 Auokorelačí ukce, R xx, R A xx Spekrálí husoa výkou S xx si A - velký podíl malých rekvecí ve spekru

48 Skládá se: kodér, moduláor, číslicový přeosový kaál, demoduláor, obovovací zařízeí, dekodér Chybovos číslicového kaálu se elimiuje kódováím (užií kodéru a dekodéru) - přidáí adbyečých biů - po přeosu je sigál zkresle a obsahuje šum obovovací zařízeí, dekodér maemaický model: chybová posloupos A... odeslaá posloupos B... přijaá posloupos B A E... operace eekvivalece Saoveí přeosem esovací poslouposi

49 . Čeos chyb podíl poču chybých biů a celkového poču biů - může kolísa s časem - shlukováí. Disribučí ukce čeosi chyb pravd., že áhodě proměá čeos chyb eí věší ež daá hodoa čeosi p - odhaluje příomos shluků 3. Disribučí ukce bezchybých iervalů pravd., že áhodě proměý ierval mezi dvěma chybami má délku meší ež daá zvoleá hodoa - užiečé při volbě délky kódového slova 4. Koeicie shlukováí kvaiaiví míra shlukováí ezávislých chyb p (-a) pravd. výskyu alespoň jedé chyby v kódovém slově délky 5. Disribučí ukce shluků chyb pravd., že husoa chyb eklese pod určiou zvoleou hodou h. Husoa chyb poměr poču chyb ve shluku a délky shluku 3. Sředí asymerie chyb vysihuje symerii číslicové přeosové sousavy - sejá čeos obou ypů chyb... asymerie je ulová