O NĚKTERÝCH SUMAČNÍCH TECHNIKÁCH A MOŽNOSTECH JEJICH VYUŽITÍ PŘI VZDĚLÁVÁNÍ BUDOUCÍCH UČITELŮ MATEMATIKY ÚVOD
|
|
- Richard Veselý
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 O NĚKTERÝCH SUMAČNÍCH TECHNIKÁCH A MOŽNOSTECH JEJICH VYUŽITÍ PŘI VZDĚLÁVÁNÍ BUDOUCÍCH UČITELŮ MATEMATIKY DANIEL TYR ABSTRAKT Čláe se zabývá oečými součty zejméa sumacemi zahrující ombiačí čísla Autor uvádí zámé i méě zámé sumačí techiy Lze je rozdělit do dvou supi techiy proveditelé bez užití algebraicého softwaru a techiy proveditelé algebraicým softwarem (sumačí algoritmy) Způsoby staoveí hledaého součtu jsou demostrováy a vhodě zvoleých příladech ěteré z ich lze řešit užitím aparátu středošolsé matematiy bez utosti dalších matematicých zalostí Ostatí vyžadují záladí zalosti matematicé aalýzy algebry či dovedost ovládat algebraicý software Obsah čláu je urče studetům učitelství matematiy (budoucím učitelům) Autor se zamýšlí zda při sumaci může počítač ějaou měrou přispět řešiteli úlohy a pouazuje a obtížost staoveí hledaého součtu bez pomoci počítače ve srováí s užitím sumačího algoritmu ÚVOD Něteré oečé součty lze vyčíslit užitím předepsaé uiverzálí procedury Příladem jedoho taového součtu je suma Ta je zvláští tím že vyazuje jistou ( 4)( 5) telesopicou vlastost vitře sumy se zhroutí sám do sebe Korétěji řečeo po rozladu sumadu a součet parciálích zlomů můžeme psát ( 4)( 5) Zmiňovaou uiverzálí procedurou zde máme a mysli dva roy: provést rozlad a parciálí zlomy poté odečíst sobě odpovídající si výrazy Dodejme že a staoveí výše uvedeého součtu v otextu studetových dovedostí lze ahlížet jao a produt tzv procedurálí zalosti Za jistý protipól procedurálí zalosti považujeme tzv oceptuálí zalost Pousme se rozdíly mezi těmito dvěma pojmy vysvětlit ásledující citací: Koceptuálí zalost bývá spojováa či ztotožňováa s hlubším porozuměím podstatě učiva zatímco procedurálí zalost má představovat spíše zalost postupů a algoritmů jíž lze dosáhout i bez porozuměí [5] str 83 Vrátíme-li se výše uvedeému příladu sumy můžeme shrout že e staoveí její hodoty bohatě postačila procedurálí zalost Pozameejme že matematicý software se bez příslušého algoritmu (chápejme jej jao aalogii lidsé procedurálí zalosti) eobejde V tomto čláu se budeme zabývat eje běžými lidsými procedurami ale i dvěma sumačími algoritmy jmeovitě Gosperovým a Zeilbergerovým Uážeme že Zeilbergerův algoritmus může posloužit studetovi ejeom jao další (ová) procedurálí zalost ale i jao ástroj terý posyte studetovi líčovou iformaci (orétě jistou ombiatoricou Received by the editors 8 Mathematics Subject Classificatio A9 A35 33F Key words ad phrases Koečé součty ombiačí čísla Gosperův algoritmus Zeilbergerův algoritmus 6
2 NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 63 idetitu) terá může ásledě být využita vyřešeí obtížější úlohy To ovšem ezameá že by aším záměrem bylo pooušet se rozvíjet a vymezovat oceptuálí zalost v otextu sumace ýbrž ombiovat procedury lidsé s těmi počítačovými Samozřejmě lidsé metody sumace mají svá omezeí ovšem e atoli rozsáhlá jao mají metody počítačové algebry Kdyoliv má algebraicý software provést ějaou sumaci či itegraci podstatou jeho čiosti je převedeí problému (sumace či itegrace) a problém polyomů s imiž ásledě pracuje Lze potom a jeho práci ahlížet jao a užití hrubé síly protože polyomy mohou být vysoých stupňů emusí mít v daou chvíli určey všechy oeficiety apod Z těchto důvodů je pro člověa užití sumačího algoritmu epraticé (či ědy dooce emožé) vůli vysoé výpočetí áročosti Přesto se sumačími algoritmy zde zabývat budeme ovšem pro urychleí dílčích výpočtů použijeme algebraicý software jao algebraicou alulaču s jejíž pomocí apř vyřešíme soustavu rovic porováme oeficiety dvou polyomů upravíme výraz apod V tomto čláu se zaměříme především a sumy jejichž sumady obsahují ombiačí čísla orétě a sumu a sumu NĚKTERÉ ŠKOLSKÉ ZPŮSOBY STANOVENÍ HODNOTY KONEČNÉHO SOUČTU S biomicou větou se sezamují již studeti a středí šole připomeňme ji Věta Biomicá věta [4] str 66 Pro všecha omplexí čísla a aždé přirozeé číslo platí a b ( a b ) Důaz se provede matematicou iducí viz apř [3] str 59 Pomocí této věty a volby a b obdržíme idetitu Pozameejme že sížeím idexu o číslo zísáváme další idetitu Tu využijeme při řešeí ásledující úlohy Úloha Staovme hodotu součtu! ( )! Nejprve upravme sumad pišme Tedy musí ( )!! ( )!( )! platit rovost Dále pišme: a b Stojí za povšimutí že ovšem hodota tohoto součtu je ám již zámá užitím biomicé věty jsme zjistili že je rova Shrňme že platí
3 64 DANIEL TYR Hodotu hledaého součtu jsme staovili užitím aparátu středošolsé matematiy což ale ještě ezameá že sumace zahrující ombiačí čísla je vždy jedoduše proveditelá Již je a této poměrě sadé úloze je vidět že řešitel musel provést jistou sytézu ěolia dílčích pozatů včetě výpočtů (srovejme se sumačími algoritmy při jejich použití stačí počítat přesě dle staoveého postupu viz ap či ap 3) Existuje i řada dalších (a poěud složitějších) sumačích techi zájemce odazujeme a [] a [3] Navíc je uto podotout že zhruba od devadesátých let miulého století máme dispozici ještě jedu (počítačovou) sumačí techiu Zeilbergerův algoritmus Jím se budeme zabývat ve třetí apitole Vraťme se ještě součtu Uážeme ja staovit jeho hodotu techiou využívající derivováí podle [3] str 59 Nejprve vša připomeňme že dle biomicé věty platí a b ( a b ) Tetorát položme de x budeme považovat za proměou V tom případě vztah zísává podobu (4) Obě stray rovice Poud yí zvolíme a b x (5) x x ( x ) yí zderivujeme podle proměé dostáváme potom podle (6) obdržíme x ( x) Jeliož zřejmě platí můžeme yí psát Tímto je úloha vyřešea použitý postup byl rátý a elegatí Položme si otázu: Co dybychom obě stray rovice místo derivováí itegrovali? Odpověď: Obdržíme jiou (další) (5) ombiatoricou idetitu Uažme výpočet eboť itegraci použijeme v úloze 8 Podle (5) pišme x dx ( x ) dx po itegraci dostáváme x ( x) C Určíme ostatu C vhodou volbou Poud položíme vztah zísá podobu x x x C odtud C / ( ) Poud yí taové C dosadíme do (7) a ásledě zvolíme x zísáváme ombiatoricou idetitu Podejme ráté shrutí: Sumačí techia využívající derivováí resp itegrováí se může jevit elegatí jedoduše použitelá a avíc třeba i zábavá eboť jde o experimetováí se (7) (3) (4) (5) (6) (7)
4 NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 65 vzorcem uvedeém v biomicé větě což by zvídavějšího studeta učitelství matematiy mohlo zaujmout Pozameejme že tato techia je sice silě spjata s pojmem fučí (speciálě mociá) řada přesto je možé techiu využívat bez obezámeí studeta s tímto pojmem eboť zde postačí umět derivovat resp itegrovat daý výraz Ke zvládutí této techiy již samozřejmě estačí aparát středošolsé matematiy (pomieme-li ěterá gymázia a terých se ještě vyučují zálady matematicé aalýzy) Pojďme yí předložit jedu záludější úlohu a ásledě uázat ja počítač může pomoci při jejím vyřešeí Úloha 8 Staovme hodotu součtu Podle biomicé věty víme že platí a b ( a b ) Pozameejme že sumad obsahuje ombiačí číslo ombiačí číslo Můžeme rozmýšlet apř tato: zatímco v zadáí úlohy se objevuje Možá že místo biomicé věty což je v podstatě tvrzeí o jedom oečém součtu by pomohla ějaá jiá věta o jemu podobém součtu Ja si ale pomoci? Neašla by se ějaá aalogie biomicé věty? Co dybychom zali hodotu součtu a b? V deší době eí již převapující že počítačová techia zvláde odpovědět a posledí uvedeou otázu Použijeme olie alulátor WolframAlpha zadáme Sum[Biomial[]*a^(-)*b^(){}] Za malou chvíli obdržíme výslede viz ásledující obráze: OBRÁZEK Výpočet hodoty oečého součtu alulátorem WolframAlpha Pomocí počítače jsme tedy obdrželi idetitu a b ( a b) ( a b) Obdobě jao v úloze položme a b x de budeme považovat za proměou V tom případě dostáváme Na staoveí idetity již alezl počítač má velý podíl Zeilbergerovův algoritmus Přesěji řečeo teto algoritmus aleze reuretí vyjádřeí poslouposti f ( ) a b Následě vzorec pro tý čle poslouposti f ( ) tj pravou strau rovice a obrázu výše je možé alézt Petovšeovým algoritmem zájemce o jeho studium odazujeme a [4] x (9)
5 66 DANIEL TYR ( ) ( ) x x x Obě stray rovosti zusme itegrovat Pišme ( ) ( ) x dx x x dx po itegraci obdržíme () x ( x) ( x) C () Určíme ostatu C vhodou volbou Položíme-li dostaeme C odtud Dosazeím této ostaty do () obdržíme C Zvolíme-li yí x x x x ( x) ( x) a dosadíme jej do rovosti vychází () () GOSPERŮV ALGORITMUS Ralph William Gosper jr vytvořil v roce 978 algoritmus určeí poslouposti částečých součtů číselé řady terý představil prostředictvím čláu Decisio procedure for idefiite hypergeometric summatio [5] V této práci uvádí (a doazuje) ásledující větu: Věta Každou eulovou racioálí fuci u v lze zapsat ve tvaru jsou polyomy splňující podmíu j u p q de v p r gcd q r pro všecha ezáporá celá Tato věta představuje jedo z líčových tvrzeí o polyomech se terými Gosperův algoritmus pracuje Pozameejme že podle [7] [6] ebo též dle [] trojici polyomů q r azýváme regulárí reprezetace podílu u / v splňují-li polyomy q r výše uvedeou podmíu Od rou 978 byl Gosperův algoritmus ěolia odboríy eje studová ale taé byl jejich vlastími postupy odvozová (a dooce i zobecňová) Moho matematiů zabývajících se tímto algoritmem používá odlišou symboliu ež použil R W Gosper ve svém čláu Výše uvedeou větu uveďme pomocí té symboliy terou poládejme za ejpoužívaější Věta Nechť K je omutativí těleso s ulovou charateristiou Každou eulovou racioálí a( ) c( ) fuci r ( ) lze zapsat ve tvaru r ( ) de a( ) b( ) c( ) jsou polyomy ad b( ) c( ) tělesem K splňující podmíu a b h gcd ( ) ( ) pro všecha ezáporá celá h p p q j r Zrata gcd zameá greatest commo divisor (ejvětší společý dělitel)
6 Forma zápisu racioálí fuce NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 67 r ( ) uvedeá v této větě se azývá Gosperova reprezetace racioálí fuce Dále je potřeba zmíit že utým (ioli vša postačujícím) předpoladem úspěšé práce Gosperova algoritmu je požadave aby sumadem byla tzv hypergeometricá posloupost Vyslovme příslušou defiici Defiice 3 Posloupost t r ( ) se azývá hypergeometricá právě dyž pro všecha ezáporá celá lze podíl dvou ásledujících čleů poslouposti t t vyjádřit ve tvaru t u ( ) t v( ) de jsou polyomy [6] Pozameejme že z defiice vyplývá jeda sutečost posloupost u( ) v( ) hypergeometricá právě dyž podíl je racioálí fucí proměé Jedím z úolů algoritmu je otestovat zda uživatelem zadaá posloupost (sumad) splňuje defiici 3 a v ladém případě zapsat podíl ve tvaru terý vyžaduje věta Pojďme yí stručě vysvětlit práci Gosperova algoritmu dle [] Algoritmus hledá řešeí rovice t / t t / t t z z de je předem zadaá hypergeometricá posloupost Poud je avíc posloupost hypergeometricá algoritmus staoví vzorec pro její tý čle V tom případě je ale již velmi t sadé určit hodotu součtu t Nyí totiž můžeme psát: t ( z z ) z z z z z3 z z z z z z z Jiými slovy záme-li proložíme orétí úlohou Úloha 4 Ozačme t z ic již ebráí v určeí hodoty součtu Staovme hodotu součtu ( 4)( 5) t a vypočteme podíl ( 4)( 5) t racioálí fuce tudíž polyomy a( ) b( ) c( ) taové že platí t 4 t t je z Další výlad Ihed je vidět že teto podíl je 6 je hypergeometricá Dále podle věty algoritmus žádá zavést t a( ) c( ) t b( ) c( ) de a b h gcd ( ) ( ) pro všecha ezáporá celá h V aší úloze eí těžé Gosperovu reprezetaci uhodout položíme-li a( ) 4 b( ) 6 a ( ) gcd 4 6 h) pro c sutečě platí aždé ezáporé celé Samozřejmě polyomy a( ) b( ) c( ) lze určit algoritmicy viz [] str 8 Z odvozeí Gosperova algoritmu (zájemce jej aleze v [] ap 5) vyplývají ještě dvě sutečosti: I hypergeometricé řešeí z rovice z z t je ve tvaru b( ) x( ) z t de c ( ) h II x ( ) je polyom splňující podmíu a( ) x( ) b( ) x( ) c( )
7 68 DANIEL TYR Abychom určili posloupost x ( ) z musíme tedy ejprve staovit polyom x ( ) To provádíme ve dvou rocích pomocým algoritmem Step 3 (viz [] str 86) vypočítáme jeho stupeň d d poté polyom zapsaý v obecém tvaru x( ) c c cd dosadíme do rovice a( ) x( ) b( ) x( ) c( ) a porováím oeficietů přísl moci alezeme jeho oeficiety c i tedy polyom Přispějme si ápovědou že v aší úloze algoritmus Step 3 dává výslede d x ( ) je ultého stupě Proto položme x( ) c de c Dosazeím polyomů x( ) a( ) b( ) c( ) do rovice a( ) x( ) b( ) x( ) c( ) dostaeme ( 4) c ( 5) c po rozásobeí obdržíme posloupost z pišme: Odtud sado vypočteme z c b ( ) x ( ) ( 5)( ) t c( ) ( 4)( 5) ( 4) z / 4 a aoec dostáváme: t z z ( 4)( 5) 4 4 4( 4) Nyí již můžeme určit Shrňme že algoritmus zvládl vešerou svou práci terou bylo potřeba vyoat Říáme že tato suma t je gosperovsy sčitatelá [6] Poud algoritmus svou práci ezvláde řeeme že daá suma je gosperovsy esčitatelá [6] Příladem taové sumy je pomocý algoritmus hledající stupeň polyomu x ( ) dává výslede ( ) Zde což je epřípusté eboť stupeň polyomu emůže být záporý V matematice je moho gosperovsy esčitatelých sum mezi ě patří zejméa ty jejichž sumady obsahují ombiačí čísla Naštěstí matemati Doro Zeilberger sestrojil algoritmus terý si poradí eje s aždou gosperovsy sčitatelou řadou ale dooce i s moha gosperovsy esčitatelými řadami Gosperův algoritmus byl v roce 3 prezetová Haou Mahelovou v její disertačí práci Klasicé a počítačové sčítáí číselých řad v íž autora podrobě algoritmus popsala a uvedla moho řešeých příladů jeho použití zájemce odazujeme a [] 3 ZEILBERGERŮV ALGORITMUS Teto algoritmus jehož autorem je zámý matemati Doro Zeilberger byl představe a začátu devadesátých let dvacátého století prostředictvím čláů The Metheod of Creative Telescopig [] a A fast algorithm for provig termiatig hypergeometric idetities [] Zeilbergerův algoritmus a rozdíl od Gosperova estaoví hodotu hledaého součtu ale pouze jeho reuretí vyjádřeí To je výsledem jeho práce dle [] Např suma (tou jsme se již zabývali v apitole tohoto čláu) má reuretí vyjádřeí ve tvaru ( ) Poud yí položíme f ( ) reuretí vyjádřeí můžeme zapsat v přehledějším tvaru f ( ) ( ) f ( ) de f ( ) je posloupost V aší úloze eí těžé alézt
8 vzorec pro tý čle poslouposti NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 69 f ( ) že sumad obvyle začíme F ( ) v ašem případě sumy výpočet provedeme v dalším textu Pozameejme bychom zapsali F ( ) Ještě ež uvedeme líčovou defiici a větu pojďme uázat odvozeí jedoho užitečého vztahu Mějme ějaý sumad a předpoládejme že splňuje rovost de FG Ozačme obou stra rovosti F ( ) a ( ) F ( ) a ( ) F ( ) G( ) G( ) jsou disrétí fuce proměých f ( ) F( ) tudíž je (3) od do a a( ) a( ) jsou polyomy eurčité (3) f ( ) F( ) Předpoládejme že sumace je proveditelá Můžeme tedy psát a( ) F( ) a( ) F( ) G( ) G( ) Nyí staovíme hodotu pravé stray rovosti G( ) G( ) (3) počítejme: G( ) G( ) G( 3) G( ) G( ) G( ) G( ) G( ) G( ) G( ) Díy provedeí tohoto výpočtu a volbě tvaru Jaá je hodota sumy f ( ) F( ) můžeme yí vztah (3) a( ) f ( ) a( ) F( ) G( ) G( ) F( ) vysytující se a levé straě rovosti (33) (3) zapsat ve (33)? Odpověď je převapivě jedoduchá výpočtu použijeme počtářsý tri vypůjčit si a vrátit Pišme: F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) F( ) F ( ) F ( ) f ( ) F ( ) Rovost (33) je tedy možé zapsat ve tvaru a ( ) f ( ) a ( ) f ( ) F( ) G( ) G( ) po drobé úpravě obdržíme a ( ) f ( ) a ( ) f ( ) G( ) G( ) a ( ) F ( ) (34) Vztah představuje reuretí vyjádřeí pro sumu Pozameejme že stejou ideu odvozeí lze použít v situaci v íž středem ašeho zájmu je (34) f ( ) suma F( ) a předpolad že její sumad F ( ) splňuje rovost a ( ) F ( ) a ( ) F ( ) a ( ) F( J ) G( ) G( ) pro fixí ezáporé celé číslo J Výsledý vztah po sumaci této rovosti od do aleze zájemce v [8] str 3 Nyí pojďme představit jedu třídu disrétích fucí J
9 7 DANIEL TYR Defiice 3 Ryze hypergeometricá fuce [] str 64 Disrétí fuce se azývá ryze hypergeometricá (proper hypergeometric term) jestliže může být vyjádřea ve tvaru de P je polyom F ( ) x M ( ai bi ci )! F ( ) P( ) x je omplexí číslo i M i ( u v w )! ai bi ui vi i i i jsou specificá celá čísla tj čísla terá ejsou závislá a ; ai a dalších dodatečých parametrech M M jsou ezáporá specificá celá čísla Čláe [9] avíc dodává že ci w i jsou omplexí čísla Pozameejme že v ěterých publiacích apř v [8] str ebo [9] str 59 je defiováa ryze hypergeometricá fuce pomocí gamma fuce Tou se v tomto čláu zabývat ebudeme a adále se omezíme a situace ve terých jsou celá čísla Přílad 3 Podejme ěoli uáze Napřílad fuce hypergeometricá eboť ji lze zapsat ve tvaru F ( ) c w x i i 5 4 F( ) 6 i i i i ( ui vi wi )! i je ryze ( a b c )! (5 4)! ( a b c )! 6 6 (5 3)!( )! ( u v w )!( u v w )! de P( ) x 6 M M a 5 b 4 c u 5 v w 3 u v w Taé fuce fuce a je ryze hypergeometricá eboť ji lze zapsat ve tvaru eí ryze hypergeometricá poud a ( )!!! je parametr Ai fuce Ovšem pozor eí ryze hypergeometricá eboť ji elze zapsat ve tvaru vyžadovaém defiicí 3 Dalším důležitým pojmem je ulová hodota ryze hypergeometricé fuce Defiice 33 Nulová hodota ryze hypergeometricé fuce (zformulováo dle [] str 64) Řeeme že disrétí fuce F ( ) splňující defiici 3 abývá ulové hodoty v bodě ( ) jestliže žádé z čísel a i bi ci i z čísel u i vi wi i M M eí záporé celé a avíc platí: Aspoň jedo je záporé celé ebo P( ) Přílad 34 Položme F ( ) Podle defiice 3 je tato fuce ryze! ( a b c )! hypergeometricá eboť platí F( ) ( )!( )! ( u v w )!( u v w )! de a u v b c w v w Podle defiice 3 apř dostáváme: F (3 7) eboť číslo 37 4 tj číslo u v w je záporé celé
10 F (6 5) NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 7 eboť číslo 6 ( 5) 6 tj číslo u v w je záporé celé Nyí zformulujeme líčovou větu Zeilbergerova algoritmu Věta 35 O telesopicém reuretím vyjádřeí pro daou sumu [] str 5 Nechť F ( ) je ryze hypergeometricá Potom existuje etriviálí reuretí vyjádřeí pro sumu f ( ) F( ) ve tvaru J a j ( ) F( j ) G( ) G( ) j (35) de G( ) / F ( ) je racioálí fuce proměých Důaz aleze zájemce v [] str 5 my se vša zaměříme a vysvětleí výzamu této věty Zeilbergerův algoritmus startuje svou práci volbou J Poud je pous alezeí předpisu pro fuci eúspěšý algoritmus svou práci očí a ásleduje volba G( ) J Poté algoritmus opět zouší alézt fuci G( ) splňující vztah (35) Poud se ai teď práce algoritmu evydaří tj při volbě eexistuje etriviálí reuretí vyjádřeí ve tvaru (35) ásleduje volba Tímto azačeým postupem vysvětlujeme jedu z předostí algoritmu poud jistá volba čísla eí ta správá (dostatečě vysoá) ještě to ezameá že algoritmus eí schope ajít reuretí vyjádřeí ve tvaru aopa jisté vyjádřeí řádu J J J J existuje a je etriviálí je-li sumad F ( ) (35) ryze hypergeometricá fuce ja sděluje věta 35 Taé stojí za povšimutí že volba J impliuje předpolad a ( ) F ( ) G( ) G( ) terý ápadě připomíá rovici t z z jejíž hypergeometricé řešeí hledá Gosperův algoritmus ja jsme již zmíili ve druhé apitole tohoto čláu Jiými slovy volba ve své podstatě představuje apliaci Gosperova algoritmu a sumad F ( ) zadaý uživatelem Bohužel moho sumadů teré obsahují ombiačí čísla emají etriviálí reuretí vyjádřeí při volbě tj příslušá suma je gosperovsy esčitatelá V tomto čláu jsme již ěolirát zmiňovali sumu f ( ) Připomeňme že i tato je gosperovsy esčitatelá tj Zeilbergerův algoritmus při volbě očí svou práci ozámeím No recurrece of order was foud Zvolíme-li ásledě J máme štěstí reuretí vyjádřeí sumy je alezeo Uažme tuto situaci v programu Maple : J f ( ) J J z OBRÁZEK Uáza reuretího vyjádřeí sumy f () v prostředí Maple Ja se ale algoritmus dopracoval uvedeému výsledu? Uážeme v ásledující úloze
11 7 DANIEL TYR Úloha 36 Nalezeme reuretí vyjádřeí sumy f ( ) Řešeí: Již víme viz Obráze že volba je edostačující proto položme a ozačme F ( ) Podle věty 35 volbou předpoládáme že sumad F ( ) má reuretí vyjádřeí ve tvaru a ( ) F ( ) a ( ) F ( ) G( ) G( ) de a( ) a( ) G( ) jsou polyomy a J G( ) J J je disrétí fuce Oba tyto polyomy i předpis fuce bude zapotřebí určit Položme t a( ) F ( ) a( ) F ( ) Nyí a apliujeme Gosperův algoritmus tj vypočítáme podíl vychází t / t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a t ( ) a ( ) ( ) a ( ) Hledáme Gosperovu reprezetaci výše uvedeého podílu ta má být ve tvaru t (36) t t P ( ) P( ) P ( ) P( ) 3 gcd ( ) ( ) pro všecha ezáporá celá čísla h Teorie říá viz [] str 8 de P P h 3 že polyomy a( ) a( ) jsou zahruty pouze v polyomu P ( ) P ( ) ( ) a ( ) ( ) a ( ) Sutečě tato volba polyomu Zusme tedy položit P ( ) je v pořádu eboť dle í zísáváme P( ) ( ) a( ) ( ) a( ) což je v souladu se vztahem (36) Tudíž dle aší volby P ( ) se dále abízí položit P ( ) a P ( ) 3 Musíme ovšem respetovat podmíu esoudělosti polyomů P( ) P3( h) V aší úloze máme štěstí je totiž zřejmé že při teréoli volbě čísla h 3 jsou polyomy P ( ) P ( h) esoudělé Výpočet pomocí softwaru 3 provést tato: Mathematica bychom mohli OBRÁZEK 3 Zavedeí výrazu t a sumadu F() výpočet podílu t + / t OBRÁZEK 4 Zavedeí polyomů P () P 3() a P() tj staoveí Gosperovy reprezetace
12 NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 73 Poračujme v užití Gosperova algoritmu Připomeňme že jedím z jeho úolů bylo staovit polyom splňující podmíu a( ) x( ) b( ) x( ) c( ) viz druhá apitola tohoto x ( ) čláu I tato podmía má svou aalogii Zeilbergerův algoritmus žádá alézt polyom splňující podmíu P ( ) x( ) P ( ) x( ) P( ) 3 x ( ) (37) Opět si přispějeme ápovědou že v aší úloze je polyom x ( ) ultého stupě položme proto x( ) c de c zapisovat zráceě obdržíme a a Pro lepší přehledost textu budeme polyomy Dosazeím polyomů ( ) ( ) 3( ) ( ) a( ) a( ) x P P P do rovice c c c a a a a a Porováím oeficietů u příslušých moci proměé rovic: : c a Z prví rovice soustavy ihed plye soustavy dostaeme c a c : c c a a a a a c Jeliož víme že Pojďme provést rátou reapitulaci volba x( ) a a ( ) P( ) ( )( ) ( ) adále zísáváme ásledující soustavu Dosazeím taového a a do druhé rovice (37) je polyom eurčité abízí se položit c dává: t af ( ) af ( ) ( ) Přidejme uázy výše provedeých výpočtů v prostředí Mathematica : OBRÁZEK 5 Nalezeí vztahů mezi polyomy a a c OBRÁZEK 6 Volba c = + zavedeí a a vyplývající z této volby
13 74 DANIEL TYR Opět se vraťme e Gosperovu algoritmu samotému v předchozí apitole tohoto čláu bylo ostatováo že: b( ) x( ) Hypergeometricé řešeí rovice je ve tvaru z t c ( ) Toto tvrzeí ve spojitosti se Zeilbergerovým algoritmem má svou aalogii ahlédeme že ryze hypergeometricé řešeí G( ) rovice G( ) G( ) t bude ve tvaru z z z t P ( ) ( ) 3 x G( ) t P ( ) Dosazeím P ( ) ( ) ( ) 3 x P t do vztahu (38) obdržíme ( ) G( ) ( ) ( ) po úpravách výrazu a pravé straě lze psát ( )! G( ) ( )!( )! Pozameejme že fuci G( ) je možé v prostředí Mathematica (38) (39) zavést ásledově: OBRÁZEK 7 Zjedodušeí vztahu (38) a ásledá delarace fuce G() Připomeňme že rovice (34) tj a f ( ) a f ( ) G( ) G( ) a F ( ) představuje reuretí vyjádřeí pro sumu pravé straě počítejme: f ( ) F( ) Určíme čley vysytující se a ( )! Podle (39) dostáváme G( ) ( ) ( )!( )! ( )! ( )! dále obdržíme G ( ) ( )!( )!!( )! ovšem tato hodota je ulová ve smyslu defiice 33 Můžeme tedy psát G ( ) Naoec dostáváme af ( ) ( ) ( ) Shrňme že pravá straa rovice (34) je ulová eboť platí G( ) G( ) a F ( ) ( ) ( ) Krátý výpočet pomocí softwaru Mathematica :
14 NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 75 Závěrem ještě do rovice OBRÁZEK 8 Kalulace pravé stray rovice (34) (34) ostatovat že reuretí vyjádřeí sumy f ( ) je ve tvaru dosadíme polyomy a ( ) a a můžeme ( ) f ( ) f ( ) (3) OBRÁZEK 9 Zobrazeí rovice (3) Tímto výsledem očí práce Zeilbergerova algoritmu Poud bychom chtěli ještě zát hodotu součtu zbývá rovici vyřešit V ašem případě to ale eí vůbec těžý f ( ) úol pojďme jej provést Z rovice (3) (3) vyplývají ásledující rovosti: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( 3) f (4) 4 f (3) 3 f (3) 3 f () f () f () Počet těchto vypsaých rovostí je Poud je mezi sebou vyásobíme obdržíme 4 3 f ( ) f ( ) f ( ) f (3) f () f ( ) f ( ) f () f () 3 po ráceí dostaeme f ( ) ( ) f () odtud f ( ) f () Zbývá určit počátečí podmíu f () Jeliož máme zavedeo f ( ) stačí položit a obdržíme f() Bude tedy platit f ( ) Závěrem ještě přidejme uázu výpočtu pomocí Mathematica :
15 76 DANIEL TYR OBRÁZEK Nalezeí řešeí f () rovice (3) ZÁVĚR Sumace v ichž figurují ombiačí čísla představují rozsáhlou problematiu patrě i v otextu vzděláváí V této souvislosti má středošolsá sumace velé omezeí eboť cetrem zájmu je zde pouze biomicá věta a ásledá volba čísel a b Ovšem budoucí učitel matematiy (vysoošolsý studet) může zísat začý adhled ad sumací eboť je vybave aparátem difereciálího a itegrálího počtu Domíváme se že poud avíc zapojíme do problematiy sumace s ombiačími čísly výpočetí techiu otevírají se budoucímu učiteli matematiy dvě ové cesty: ) Studet může hodotu oečého součtu staovit přímo užitím techiy uvedeé v ap 3 přičemž pro vysoou áročost dílčích výpočtů bude potřebovat umět ovládat algebraicý software terý využije jao algebraicou alulaču ) Studet může počítačem objevit potřebou ombiatoricou idetitu (viz úloha 8) a ásledě ji využít e staoveí hodoty oečého součtu techiou derivováí resp itegrováí LITERATURA [] PETKOVŠEK Maro Herbert S WILF a Doro ZEILBERGER A=B Wellesley Mass: A K Peters c996 ISBN [] HERMAN Jiří Jaromír ŠIMŠA a Rada KUČERA Metody řešeí matematicých úloh Praha: Státí pedagogicé aladatelství 99 ISBN [3] LARSON Lore C Problem-solvig through problems New Yor: Spriger-Verlag c983 ISBN X [4] CALDA Emil a Václav DUPAČ Matematia pro gymázia: ombiatoria pravděpodobost a statistia Praha: Jedota česých matematiů a fyziů 993 ISBN [5] GOSPER R W Decisio procedure for idefiite hypergeometric summatio Proceedigs of the Natioal Academy of Scieces [olie] () 4-4 [cit 8--4] DOI: 73/pas754 ISSN Dostupé z: < [6] HORA Jaroslav O ěterých otázách souvisejících s využíváím programů počítačové algebry ve šole - III díl Plzeň: Pedagogicé cetrum Plzeň 74 s ISBN [7] WINKLER Fraz Polyomial Algorithms i Computer Algebra Viea: Spriger Viea 996 ISBN [8] BO NA Milós Hadboo of eumerative combiatorics Boca Rato: CRC Press/Taylor & Fracis Group 5 ISBN [9] KOEPF Wolfram Hypergeometric Summatio A Algorithmic Approach to Summatio ad Special Fuctio Idetities Spriger Uiversitext Series 4 XII 53 pp ISBN [] MAHNELOVÁ Haa Klasicé a počítačové sčítáí číselých řad Plzeň 3 Disertačí práce (PhD) Západočesá uiverzita v Plzi Faulta pedagogicá Katedra výpočetí a didaticé techiy 3-9-3
16 NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 77 [] ZEILBERGER Doro The method of creative telescopig Joural of Symbolic Computatio [olie] 99 (3) 95-4 [cit 8--4] DOI: 6/S747-77(8)844- ISSN Dostupé z: < [] ZEILBERGER Doro A fast algorithm for provig termiatig hypergeometric idetities Discrete Mathematics [olie] 99 8() 7- [cit 8--4] DOI: 6/-365X(9)9-7 ISSN 365X Dostupé z: < [3] WILF Herbert S a Doro ZEILBERGER Ratioal Fuctios Certify Combiatorial Idetities Joural of the America Mathematical Society [olie] 99 3() [cit 8--4] DOI: 37/99986 ISSN Dostupé z: < [4] PETKOVŠEK Maro Hypergeometric solutios of liear recurreces with polyomial coefficiets Joural of Symbolic Computatio[olie] 99 4(-3) [cit 8--3] DOI: 6/747-77(9)938-6 ISSN Dostupé z: < [5] VONDROVÁ Naďa a Miroslav RENDL Kriticá místa matematiy záladí šoly v řešeích žáů V Praze: Uiverzita Karlova aladatelství Karolium 5 ISBN KATEDRA MATEMATIKY PEDAGOGICKÁ FAKULTA JIHOČESKÉ UNIVERZITY ČESKÁ REPUBLIKA address : da58@cetrumcz
Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
Více6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.
Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.
Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceS k l á d á n í s i l
S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících
Více2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných
- 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme
Více8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více3. část: Teorie hromadné obsluhy. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
3. část: Teorie hromadé obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. Zálady teorie pravděpodobosti Náhodý pous je děj, jehož výslede eí ai při dodržeí všech předepsaých podmíe předem zám. Náhodý jev je výsledem áhodého
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
VíceKOMBINATORIKA VE VZTAHU K VYUČOVÁNÍ MATEMATICE NA 1. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY
Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, Smoleice 0. 4.-. 4. 005 KOMBINATORIKA VE VZTAHU K VYUČOVÁNÍ MATEMATICE NA. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY JAROSLAV BERÁNEK Katedra matematiy, Pedagogicá faulta, Masaryova
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
Více1. Přirozená topologie v R n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceNové symboly pro čísla
Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceOd unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu
Od uimodálích posloupostí arozeiovému paradoxu Atoí Slaví, Praha Abstrat. Koečá posloupost reálých čísel se azývá uimodálí, poud ji lze rozdělit a elesající a erostoucí úse. V textu se zaměříme především
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
Více8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VíceNázev školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
VíceRegrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n
Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
VíceSTATISTIKA. Základní pojmy
Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Více1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál
Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia
VíceZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Více66. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Liberec, března 2017
66. ročí matematicé olympiády III. olo ategorie A Liberec, 26. 29. březa 2017 MO 1. Na hromádce leží 100 očíslovaých diamatů, z ichž 50 je pravých a 50 falešých. Pozvali jsme svérázého zalce, terý jediý
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
Více( x) ( lim ( ) ( ) 0
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Poslouposti a řady ucí Bodová overgece poslouposti ucí Deiice (odová overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a odově a
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VíceSPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.
SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Úloha 3 - Fiacováí stavebích úprav Rozhodli jsme se pro stavebí úpravy v bytě. Po zhotoveí rozpočt a tyto úpravy jsme zjistili, že ám chybí ještě 30 000,-Kč. Máme možost si tto část
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
Více