2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI"

Transkript

1 . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme často určt a záladě přesých formulí, jao apřílad rychlost, dráhu a tla ve fyzce, objem oule v matematce, atd.). Nezřída se vša setáváme s procesy, jejchž přesý výslede předem určt ejde, eboť podléhají celé řadě epatrých, často eměřtelých ebo dooce ezjsttelých vlvů. Ty jsou příčou toho, že avzdory zachováí stejých vstupích podmíe může teto proces (apř. hod ostou) dávat poaždé jé výsledy. Tyto procesy, teré azýváme stochastcé, jsou předmětem studa dvou matematcých dscplí - teore pravděpodobost a matematcé statsty... NÁODNÝ POKUS, NÁODNÝ JEV Záladím pojmy teore pravděpodobost jsou áhodý pous a áhodý jev. Náhodý pous (NP) - je aždý děj, jehož výslede eí předem jedozačě urče podmíam, za terých probíhá. Navíc se předpoládá, že je, alespoň teoretcy, eomezeě opaovatelý. Př: hod ostou, hod mcí, losováí Sporty, oupě ového auta, Záladí prostor Ω - je moža všech možých výsledů NP taová, že po provedeí NP astae právě jede prve Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6} NP hod mcí; Ω = {rub,líc} NP oupě ového auta; Ω = {bezporuchové,poruchové} Elemetárí jev - je aždý prve Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6}; =, =,, 6 = 6 NP hod mcí; Ω = {rub,líc}; = rub, = líc Náhodý jev A - je aždá podmoža Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6}; A = {}, A = {,4,6}, - jev emožý eastae dy (A = Ø) - jev jstý (oz. I ) astae vždy (I = Ω) - jev opačý jevu A (oz. A ) astae právě tehdy, dyž eastae jev A ( A = Ω Jelož áhodé jevy jsou podmožam záladího prostoru Ω, lze zavést relace mez jevy a operace s jevy pomocí symboly zámé z teore mož. Relace mez jevy ) Jev A je podjev jevu B - začíme A B A B : ( ( -

2 - z astoupeí jevu A plye astoupeí jevu B ) Rovost jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - jev A astae právě tehdy dyž astae jev B Jevy A a B jsou eslučtelé (dsjutí) emohou astat současě ( A B Ø) Jevy A, =,, jsou avzájem (po dvou) eslučtelé jsou eslučtelé všechy dvojce jevů A, A j pro j Jevy A,, A tvoří úplý systém eslučtelých jevů jsou po dvou eslučtelé a jejch sjedoceím je moža Ω. Operace s jevy ) Sjedoceí jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - astoupeí aspoň jedoho z jevů A a B (A ebo ) Prů jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - společé astoupeí jevů A a B (A a zároveň 3) Rozdíl jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - astoupeí A a současé eastoupeí B Přílad..: Mějme áhodý pous hod dvěma ostam, červeou a modrou. Záladí prostor Ω pa lze zapsat tato: Ω = {(,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Moža Ω má celem prvů, jsou to elemetárí jevy = (,), = (,),, = (6,6). Předpoládejme, že prví (resp. druhé) číslo udává počet o a červeé (resp. a modré) ostce. Každý z elemetárích jevů pa lze zapsat slovy, apř. = padla jedča a červeé a dvoja a modré ostce. Jao přílady áhodých jevů s zde můžeme uvést tyto:

3 A pade šesta a červeé; A = {(6,), (6,),, (6,6)} 6 prvů A pade jedča a modré; A = {(,), (,),, (6,)} 6 prvů A 3 pade šesta a červeé a zároveň jedča a modré; A 3 = A A ={(6,)} prve A 4 pade šesta a červeé ebo jedča a modré; A 4 = A A = {(6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (,), (,), (3,), (4,), (5,)} prvů A 5 pade šesta a červeé a zároveň epade jedča a modré; A 5 = A A = = {(6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 5 prvů A 6 a červeé epade šesta; A 6 = A (jev opačý jevu A ; A 6 = Ω - A ) 30 prvů A 7 pade součet ; A 7 = Ω (jev jstý) prvů A 8 pade součet > ; A 8 = Ø (jev emožý) 0 prvů A 9 pade a obou ostách sudé číslo; A 9 = {(,), (,4), (,6), (4,), (4,4), (4,6), (6,), (6,4), (6,6)} 9 prvů A 0 pade a obou ostách lché číslo; A 0 = {(,), (,3), (,5), (3,), (3,3), (3,5), (5,), (5,3), (5,5)} 9 prvů A pade a jedé ostce sudé a zároveň a druhé lché číslo; A = {(,), (,4), (,6), (3,), (3,4), (3,6), (5,), (5,4), (5,6), (,), (,3), (,5), (4,), (4,3), (4,5), (6,), (6,3), (6,5)} 8 prvů Všměme s, že jevy A 9 a A 0 jsou eslučtelé (emohou astat současě; A 9 A 0 Ø), ale ejsou sobě opačé (A 9 A0). Netvoří tedy úplý systém eslučtelých jevů, protože jejch sjedoceím eí moža Ω. Úplý systém eslučtelých jevů tvoří trojce jevů A 9, A 0, A (jsou to jevy avzájem eslučtelé a A9 A0 A= Ω) a rověž dvojce jevů A, A 6... PRAVDĚPODOBNOST, JEJÍ DEFINICE A VLASTNOSTI ) Klascá (Laplaceova) defce pravděpodobost Defce..: Je-l záladí prostor Ω = {,,, } oečá eprázdá moža elemetárích jevů, teré mají stejou šac výsytu, pa pravděpodobost, že př realzac m áhodého pousu astae jev A, je, de m je počet výsledů přízvých jevu A a je počet všech možých výsledů. Přílad..: V souladu s lascou defcí pravděpodobost mají jevy z Příladu... ásledující pravděpodobost: 6 P ( A ), 6 6 P ( A ), 6 P ( A 3 ), P ( A 4 ),..., 8 P ( A ) Přílad..: V oloě osm vozdel jedou tř červeé automobly. Jaá je pravděpodobost, že červeá vozdla jedou bezprostředě za sebou? Řešeí: Ozačme jev A... 3 červeá vozdla jedou bezprostředě za sebou. 3

4 Každé auto má stejou šac být a lbovolé pozc, proto pro výpočet pravděpodobost použjeme lascou defc pravděpodobost. Počet všech možostí, ja lze uspořádat všech 8 vozdel, odpovídá permutac z 8 prvů, tz. 8! Nyí musíme určt počet přízvých možostí (tj. 3 červeá za sebou a ostatích 5 lbovolě). 3 červeá auta mohou být za sebou a 6 růzých pozcích (prví z trojce může být v oloě a jedé z pozc -6), v aždé pozc mohou být uspořádáa 3! způsoby, tz. pro uspořádáí červeých aut dostáváme 6 3! možostí. Ke aždé této možost exstuje 5! způsobů, ja uspořádat auta zbývající, tz. že všech přízvých možostí je m 63!5!. 63!5! 6 Pravděpodobost jevu A je tedy: P ( 0, 07. 8! 56 ) Geometrcá defce pravděpodobost Defce..: V rově (resp. a přímce ebo v prostoru) je dáa oečá oblast Ω a její podmoža A. Pravděpodobost jevu A, terý spočívá v tom, že áhodě zvoleý bod v A oblast Ω leží v oblast A, je P (, de A, Ω jsou míry oblastí A a Ω. Přílad..3: Jaá je pravděpodobost, že meteort dopade a pevu, víme-l, že peva má rozlohu m a moře m? 49 Řešeí: P ( 0, 9 49 Přílad..4: Dva zámí se domluví, že se sejdou a určtém místě mez 3. a 4. hodou, přčemž doba čeáí je 0 mut. Jaá je pravděpodobost, že se př této dohodě setají? Řešeí: Ozačme A zámí se setají, ( jev, jehož pravděpodobost ás zajímá) x čas příchodu osoby a, y čas příchodu osoby b. Potom {[ x, y]: 0 x 60 0 y 60}, ( moža všech možých případů) A {[ x, y]: x - y 0}. ( moža všech případů přízvých jevu Možy A a Ω můžeme grafcy zázort jao plochy v rově, ja to vdíme a Obr.... Obr...: y A Ω x

5 V souladu s geometrcou defcí má pa jev A pravděpodobost A P ( 0, ) Statstcá defce pravděpodobost Defce..3: Nechť A je hromadý jev. Nastae-l teto jev v pousech právě f rát, f defujeme jeho pravděpodobost vztahem lm. Číslo f se azývá absolutí f četost jevu A a číslo relatví četost jevu A a v pousech. Přílad..5: V áhodě vybraé supě 40 mužů ve věu let se vysytl rzový fator "zvýšeý cholesterol" (jev ve 37 případech. Odhaděte pravděpodobost výsytu jevu A v této věové supě mužsé populace. 37 Řešeí: P ( ~ 0, Axomatcá (Kolmogorovova) defce pravděpodobost Axomatcá defce pravděpodobost vychází z toho, že pravděpodobost je objetví vlastost áhodého jevu, terá ezávsí a tom, zda j umíme ebo eumíme měřt. Je přtom dostatečě obecá, taže lascá, geometrcá a statstcá defce pravděpodobost jsou jejím specálím případy. Defce..4: Jevové pole a je moža všech růzých podmož záladího prostoru Ω, terá splňuje tyto podmíy:. I leží v a (jev jstý je prvem a),. leží-l A a B v a, pa A B, A B, A-B, A, B leží v a. Přílad..6: Nechť je dá záladí prostor Ω = {a, b, c, d} a áhodé jevy A = {a} a B = {c, d}. Vytvořte co ejmeší jevové pole, teré bude obsahovat áhodé jevy A a B. Řešeí: Jevové pole musí obsahovat Ω a Ø. S aždým jevem obsahuje opačý jev, musí tedy obsahovat jevy Ā = {b, c, d}, B = {a, b}. S aždým áhodým jevy obsahuje jejch prů a sjedoceí: A B = C = {a, c, d}, A B = Ø. S áhodým jevem C musí obsahovat jev ěmu opačý: C = {b}. Pomocí opačého jevu, sjedoceí a průu už žádý další áhodý jev edostaeme, tedy a ={Ø,{a}, {b}, {a, b}, {c, d}, {b, c, d}, {a, c, d}, Ω}. 5

6 Defce..4: Nechť a je jevové pole. Pravděpodobost jevu A je reálé číslo, pro ěž platí:. 0, A a ( axom ezáporost). I) = ( axom jedoty) 3. jsou-l A, A,..., A,... a avzájem eslučtelé jevy, potom platí: A A... A...) = A ) + A ) A ) +... ( axom adtvty) Vlastost pravděpodobost Věta..: (o vlastostech pravděpodobost). Ø) = 0. A ) = - 3. Jestlže A B, pa 4. Jestlže A B, pa B - = - 5. A = + - A B ) Přílad..7: Jaá je pravděpodobost, že př hodu dvěma ostam pade a) součet 6, b) součet růzý od 6, c) a obou ostách sudé číslo, d) a obou ostách sudé číslo a zároveň součet 6, e) a obou ostách sudé číslo ebo součet 6. Řešeí: Záladí prostor Ω áhodého pousu hod dvěma ostam byl popsá v Příladě.., víme tedy, že má celem prvů. Ozačme jevy, jejchž pravděpodobost ás zajímají, po řadě A, B, C, D a E. Řešeí vychází z lascé pravděpodobost a Věty..: 5 a) P ( b) c) d) e) 5 B A 9 P ( C) D C A; D) 9 5 E C A E) C C) C 3.3. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST A NEZÁVISLÉ JEVY Defce.3.: Podmíěá pravděpodobost jevu A jevem B (ebo tay pravděpodobost jevu A za předpoladu resp. podmíy, že astal jev, se začí P ( A a defuje se tato: 6

7 A A, de P ( 0. Pozáma: ) Pro B : 0 se podmíěá pravděpodobost jevu A jevem B edefuje ) Defčího vzorce se často užívá ve tvaru A A 3) Nastoupeí jevu B může změt šac astoupeí ěterých jých jevů. Vezměme s apřílad áhodý pous hod ostou a jevy: A padlo číslo 6, A padlo číslo, B padlo číslo < 5. Pravděpodobost jevů A a A jsou: P ( A ) A ), ale podmíěé pravděpodobost 6 těchto jevů jevem B jsou P ( A 0; A 4. Nastoupeí jevu B tedy zmešlo šac jevu A (a hodotu 0) a aopa zvětšlo šac jevu A (a hodotu 0,5). 4) Poud jev B eměí šac astoupeí jevu A, říáme, že jev A a jevu B ezávsí. Poud ezávsí jev A a jevu B, ezávsí rověž jev B a jevu A a oběma jevům říáme ezávslé. Defce.3.: Platí-l A, azýváme jevy A a B ezávslé. Pozáma: ) Nezávslost jevů A a B zameá, že astoupeí jedoho z těchto jevů emá žádý vlv a astoupeí jevu druhého ) Jevy A a B jsou ezávslé A 3) Jsou-l A a B eslučtelé jevy s eulovým pravděpodobostm, pa jsou závslé Přílad.3.: Ověřte, že př hodu dvěma ostam je jev A a prví ostce padlo číslo 5, ezávslý a jevu B a druhé ostce padlo číslo < 3. Řešeí: 6 6 A A 6 jevy A a B jsou ezávslé Přílad.3.: ážeme dvěma ostam. Vypočítejte pravděpodobost toho, že a) dyž a. ostce padlo číslo, padl součet větší ež 6, b) dyž a obou ostách padlo sudé číslo, padl součet větší ež 9. Řešeí: Zavedeme-l ásledující ozačeí: A padl součet větší ež 6, B a. ostce padlo číslo, A padl součet větší ež 9, B a obou ostách padlo sudé číslo, máme za úol vypočítat podmíěé pravděpodobost P A B ) a P A B ). ( ( 7

8 Záladí prostor Ω áhodého pousu hod dvěma ostam jž záme z Příladu... Je tedy zřejmé, že: - v případě a) máme dva přízvé případy z šest možých, tz. P ( A B ), v případě b) máme tř přízvé případy z devít možých, tz. P ( A B ). 9 3 Defce.3.3: Jevy A,..., A jsou vzájemě ezávslé, jestlže pro aždou jejch podmožu platí, že pravděpodobost průu zastoupeých jevů je rova souču jejch pravděpodobostí. Pozáma: ) Jsou-l jevy A,..., A vzájemě ezávslé, jsou taé po dvou ezávslé. Opačé tvrzeí ovšem eplatí. Přílad.3.3: Jaá je pravděpodobost, že a hrací ostce pade třrát za sebou pěta? Řešeí: Je zřejmé, že př opaovaém hodu ostou jsou jedotlvé hody a sobě ezávslé (výslede žádého hodu emá vlv a to, co pade příště). Zavedeme-l ozačeí: A pade třrát za sebou pěta, A pade pěta v. hodu, A pade pěta ve. hodu, A 3 pade pěta ve 3. hodu, potom platí: A A A3 ) A ). A ). A3 ) 0, Pravděpodobost, že ve třech po sobě jdoucích hodech ostou pade třrát pěta, je 0,5%..4. ÚPLNÁ PRAVDĚPODOBNOST A BAYESOVA VĚTA Věta.4.: (o úplé pravděpodobost) Mějme úplý systém vzájemě eslučtelých jevů platí: A ) ). Důaz: Je zřejmé, že lbovolý jev,...,. Pa pro lbovolý jev A A můžeme vyjádřt jao sjedoceí eslučtelých ( jevů A ),( A ),...,( A ), tedy A ( A ). Jelož pravděpodobost sjedoceí eslučtelých jevů je rova součtu jejch pravděpodobostí, platí A ). Do tohoto vztahu už je dosadíme A ) A ). ) (plye z defce podmíěé pravděpodobost) a dostáváme uvedeý vztah. 8

9 Obr..4.: 3 A 5 4 Přílad.4.: V prodejě jsou výroby 3 podů v počtech 450, 850 a 000 usů. Zmetovtost dodáve jedotlvých podů je po řadě 4%, 3% a 5%. Určete pravděpodobost toho, že výrobe áhodě vybraý z těchto 300 usů je zmete. Řešeí: Zaveďme pro jevy z ašeho příladu ásledující ozačeí: A... vybraý výrobe je zmete,... výrobe byl dodá -tým podem, A... výrobe je zmete, za předpoladu že byl dodá -tým podem. Ze zadáí víme, že P ( ), P ( ), P ( A ) 0,04, P ( A ) 0,03, P ( A 3) 0,05. Z věty o úplé pravděpodobost pa vyplývá, že P ) 0,04 0,03 0,05 0, ( A ) P ( 3), Pravděpodobost toho, že výrobe áhodě vybraý z těchto 300 usů je zmete, je tedy 4,%. Věta.4.: (Bayesova) Mějme úplý systém vzájemě eslučtelých jevů platí: A ) ),,..,. A ) ),..., a lbovolý jev A. Pa Pozáma: Vzorec uvedeý ve Větě.4. se azývá Bayesův vzorec. Vyplývá z defce podmíěé pravděpodobost, jejímž užtím dostáváme A ) ), a z věty o úplé pravděpodobost, jejíž vzorec dosadíme do jmeovatele. Přílad.4.: V továrě a výrobu eletrocých součáste pracují tř stroje, přčemž. stroj produuje 0%,. stroj 30% a 3. stroj 50% všech součáste. Zmetovtost součáste je u jedotlvých strojů po řadě %, % a 3%. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá 9

10 součásta vyrobeá tímto závodem je zmete? Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraý výrobe, terý je zmete, byl vyrobe. strojem? Řešeí: Zaveďme pro jevy z ašeho příladu ásledující ozačeí: A... áhodě vybraá součásta je zmete,... áhodě vybraá součásta byla vyrobea -tým strojem, A... áhodě vybraá součásta je zmete, poud byla vyrobea -tým strojem. Ze zadáí víme, že P ( ) 0,0, P ( ) 0, 30, P ( 3) 0, 50, P ( A ) 0,0, P ( A ) 0,0, P ( A 3) 0,03, ás zajímá P ( a. P ( vypočteme z věty o úplé pravděpodobost: 3 P ( A ) ) 0,0.0,0 0,0.0,30 0,03.0,50 0,03 Pravděpodobost toho, že áhodě vybraá součásta je zmete, je tedy,3%. vypočteme užtím Bayesovy věty: A ) ) 0,0.0,30 3 0, 6 0,0.0,0 0,0.0,30 0,03.0,50 A ) ) Pravděpodobost toho, že áhodě vybraý výrobe, terý je zmete, byl vyrobe. strojem, je 6,%. 0

11 Přílady procvčeí: Ke aptole.:. Volíme áhodě trojcferý ód. Jaá je pravděpodobost, že má a) všechy cfry růzé, b) aspoň dvě cfry stejé?. Písmea K, K, O, O, S sládací abecedy sládáme áhodě za sebou. Jaá je pravděpodobost, že jsme složl slovo KOKOS? 3. Jaá je pravděpodobost, že př hodu dvěma ostam pade a) součet 0, b) součet 8? 4. Marášové arty dělím a polovu. Jaá je pravděpodobost, že a) v obou polovách je stejý počet červeých a čerých aret, b) v jedé z polov jsou tř esa? 5. Staovte pravděpodobost výhry ve Sportce v -tém pořadí (pro =,..., 5). 6. Jaá je pravděpodobost, že se ve supě 0 osob ajdou aspoň, teré mají arozey ve stejý de? 7. ody, teré ebyly včas atažey, se po určté době zastavly. Jaá je pravděpodobost, že se velá ručča achází mez šestou a devítou? 8. Na zastávu MD přjíždí autobus aždých 7 mut a zdrží se 0,5 muty. Jaá je pravděpodobost, že přjdu a zastávu a autobus zasthu? 9. V osudí jsou 4 čeré a 6 modrých oulí. Náhodě vybereme supu pět oulí. Jaá je pravděpodobost, že ve vybraé supě budou a) oule čeré a 3 modré, b) aspoň 3 oule čeré? 0. Studet je přprave a 5 ze 30 zušebích otáze. Jaá je pravděpodobost, že s u zoušy vytáhe otázy, teré zá?. V rabc je 6 hracích oste očíslovaých od do 6. Jaá je pravděpodobost, že př jejch postupém vytažeí dostaeme z jejch čísel rostoucí posloupost?. Obča čeá doma a telegram, terý může být doruče dyol mez 6. a 0. hodou. Urč pravděpodobost toho, že ebude čeat déle ež hody. Ke aptole.3:. V urě je 5 bílých a 7 čerých ulče. Vytáheme ulčy, přčemž po prvím tahu se

12 ulča do ury a) vrací, b) evrací. Jaá je pravděpodobost, že obě vytažeé ulčy budou bílé?. Uvažujme 3 přístroje zapojeé a) paralelě, b) sérově. Selháí jedotlvých přístrojů echť jsou ezávslé jevy s pravděpodobostm p, p, p 3. Urč pravděpodobost selháí obou le. 3. V továrí hale pracuje ezávsle a sobě 6 automatů. Pravděpodobost, že automaty ebudou v průběhu směy potřebovat opravu, jsou po řadě 0,8; 0,75; 0,95; 0,9; 0,7; 0,85. Urč pravděpodobost toho, že v průběhu směy a) a jede automat ebude potřebovat opravu, b) aspoň jede automat ebude potřebovat opravu, c) aspoň jede automat bude potřebovat opravu. 4. Tř střelc střílí ezávsle a sobě a tetýž cíl. Pravděpodobost zásahů jedotlvých střelců jsou 0,8; 0,7 a 0,6. Každý vystřelí po jedé střele. Jaá je pravděpodobost, že cíl a) zasáhou všch tř, b) ezasáhe a jede, c) zasáhe aspoň jede, d) zasáhe právě jede. 5. Urč, jaá je pravděpodobost, že př pět ezávslých, po sobě jdoucích hodech ostou pade a) šesta př. a 4. hodu, př ostatích e, b) šesta př. hodu a př ostatích lché číslo, c) šesta právě dvarát. 6. Pravděpodobost arozeí chlapce je 0,55. Urč pravděpodobost toho, že mez čtyřm po sobě arozeým dětm budou a) prví dva chlapc a další dvě děvčata, b) právě dva chlapc. 7. Z celové produce závodu je 4% zmetů a z dobrých je 75% stadardích. Urč pravděpodobost toho, že áhodě vybraý výrobe je stadardí. 8. Z výrobů určtého druhu dosahuje 95% předepsaou valtu. V jstém závodě, terý vyrábí 80% celové produce, vša předepsaou valtu dosahuje 98% výrobů. Mějme áhodě vybraý výrobe předepsaé valty. Jaá je pravděpodobost, že byl vyrobe ve vzpomíaém závodě? 9. Dva střelc střílí současě a terč. Pravděpodobost zásahu prvím z ch je 0,7, druhým 0,8. Jaá je pravděpodobost, že prví střelec zasáhe a současě druhý me? 0. Př zásahu cíle se rozsvítí žárova. Urč pravděpodobost, že se žárova rozsvítí, jestlže a terč současě vystřelí dva střelc, jejchž pravděpodobost zásahu jsou 0,7 a 0,9.

13 . Studet A, B a C sládají přjímací zoušu. Jejch šace a úspěch odhadujeme po řadě a 70, 40 a 60%. Jaá je pravděpodobost, že a) všch tř uspějí, b) a jede euspěje, c) uspěje je studet A, d) uspěje právě jede z ch, e) euspěje je studet B, f) uspějí právě dva. Ke aptole.4:. Ze 3 sérí výrobů, teré obsahují postupě 00, 50 a 00 usů, vybereme áhodě jede výrobe. Urč pravděpodobost toho, že je valtí, víme-l, že pravděpodobost valtího výrobu je u prví sére 0,8, u druhé sére 0,9 a u třetí sére 0,7.. Ve studjí supě je 5 studetů. Pravděpodobost složeí zoušy v prvím termíu je u 6 studetů rova 0,9, u 7 studetů 0,6 a u studetů 0,. Urč pravděpodobost toho, že áhodě vybraý studet složí zoušu v. termíu. 3. V teréí soutěž zůstalo 8 motocylů začy A s 80% spolehlvostí a 6 motocylů začy B s 70% spolehlvostí. Posledí de edojel do cíle jede motocyl. Jaá je pravděpodobost, že byl začy A? 4. Ve společost je 45% mužů a 55% že. Vysoých ad 90 cm je 5% mužů a % že. Náhodě vybraá osoba je vyšší ež 90 cm. Jaá je pravděpodobost, že je to žea? 5. Meza VŠB zaoupla chladče z. závodu, 0 chladče z. závodu a 8 chladče z 3. závodu. Pravděpodobost, že chladča je výboré jaost, pochází-l z. závodu, je 0,9, z. závodu 0,6 a z 3. závodu 0,9. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá chladča bude výboré jaost? 6. Součásty, ze terých se motují stroje, dodávají tř závody. Je zámo, že prví má 0,3% zmetů, druhý 0,% zmetů a třetí 0,4% zmetů. Prví závod dodal 000, druhý 000 a třetí 500 součáste. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá součásta bude zmete? 3

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti DLUHOISY - dlouhodobý obchodovatelý ceý papír - má staoveou dobu splatost - vyadřue závaze emteta oblgace (dlužía) vůč matel oblgace (věřtel) Tříděí z hledsa doby splatost - rátodobé : splatost do 1 rou

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

1 STATISTICKÁ ŠETŘENÍ

1 STATISTICKÁ ŠETŘENÍ STATISTICKÁ ŠETŘENÍ Záladem aždého tattcého zoumáí jou údaje (data). Lze je zíat v záadě dvěma způoby. Buď je převzít z ějaého zdroje ebo je am zjtt. Seudárí data údaje, teré převezmeme z růzých zdrojů;

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Téma 5: Analýza závislostí

Téma 5: Analýza závislostí Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí Chb měřeí Druh chb

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso 3.3 Soustav s a sových oetů soustava s a oetů sesupeí s a oetů s působících a těeso váští případ: svae s (paps všech s soustav se potíají v jedo bodě) soustava ovoběžých s (paps všech s soustav jsou aváje

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil 3.3.3 Rová soustava s a oetů s Předpoady Všechy síy soustavy eží v edé rově. Všechy oety sou oé a tuto rovu. *) Souřadý systé voíe ta, že rova - e totožá s rovou s. y O *) Po.: Sový oet ůžee ahradt dvocí

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy e-mail: seda@fme.vutbr.cz Abstrat

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

Fraktálová komprese. Historie

Fraktálová komprese. Historie Fraktálová komprese Hstore Prví zmíky o tzv. fraktálové kompres jsem ašel kdys v bezvadé a dodes aktuálí kížce!! Grafcké formáty (Braslav Sobota, Já Mlá, akl. Kopp), kde však šlo spíše o adšeý úvod a pak

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

SPOŘENÍ. Spoření krátkodobé

SPOŘENÍ. Spoření krátkodobé SPOŘENÍ Krátkodobé- doba spořeí epřesáhe jedo úrokové období (obvykle 1 rok). Úroky jsou přpsováy a koc doby spořeí. Jedotlvé složky jsou úročey a základě jedoduchého úročeí. Dlouhodobé doba spořeí bude

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Všeobecné instrukce pro instalaci, použití a údržbu

Všeobecné instrukce pro instalaci, použití a údržbu Všeobecé istruce pro istalaci, použití a údržbu SPORÁKY PLYNOVÉ MODELY CG-2002 CG-1502 CG-1002 2 3 4 5 Tabula techicých parametrů (č. 1) VNĚJŠÍ ROZMĚRY ROZMĚRY TROUBY POČET Ů NOMINÁLNÍ SPOTŘEBA CELKOVÝ

Více

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu Apliace margiálích áladů Oceňováí ztrát v distribučím rozvodu Učebí text předmětu MES Doc. Ig. J. Vastl, CSc. Celové ročí álady a ztráty N P ( T ) z z sj z wj Kč de N z celové ročí álady a ztráty *Kč+

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Jednoduchá lineární závislost

Jednoduchá lineární závislost Jedoduchá leárí závlot Regreí fuce: ),...,, ( 0 m f Předpolad: Fuce je leárí v parametrech: ) (... ) 0 ( 0 f f m m f 0 ()... f m () regreor 0... m regreí parametr určujeme METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Regreí

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

2. Směsi, směšování a ředění roztoků, vylučování látek z roztoků

2. Směsi, směšování a ředění roztoků, vylučování látek z roztoků 2. Sě ěšováí a ředěí roztoů vyučováí áte z roztoů Sožeí ě áte ůžee vyadřovat poocí hototích zoů edotvých áte (ože ě). Hototí zoe -té ožy e defová ao poěr eí hotot hotot ě : (2) Pode záoa zachováí hotot

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Dvourozměrná tabulka rozdělení četností

Dvourozměrná tabulka rozdělení četností ANALÝZA ZÁVILOTÍ - zouáí závlot dvou evet více poěých, ěřeí íl této závlot, atd - cíle je hlubší vutí do podtat ledovaých jevů a poceů, přblížeí tzv příčý ouvlote Dvouozěá tabula ozděleí četotí - je eleetáí

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více