2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI"

Transkript

1 . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme často určt a záladě přesých formulí, jao apřílad rychlost, dráhu a tla ve fyzce, objem oule v matematce, atd.). Nezřída se vša setáváme s procesy, jejchž přesý výslede předem určt ejde, eboť podléhají celé řadě epatrých, často eměřtelých ebo dooce ezjsttelých vlvů. Ty jsou příčou toho, že avzdory zachováí stejých vstupích podmíe může teto proces (apř. hod ostou) dávat poaždé jé výsledy. Tyto procesy, teré azýváme stochastcé, jsou předmětem studa dvou matematcých dscplí - teore pravděpodobost a matematcé statsty... NÁODNÝ POKUS, NÁODNÝ JEV Záladím pojmy teore pravděpodobost jsou áhodý pous a áhodý jev. Náhodý pous (NP) - je aždý děj, jehož výslede eí předem jedozačě urče podmíam, za terých probíhá. Navíc se předpoládá, že je, alespoň teoretcy, eomezeě opaovatelý. Př: hod ostou, hod mcí, losováí Sporty, oupě ového auta, Záladí prostor Ω - je moža všech možých výsledů NP taová, že po provedeí NP astae právě jede prve Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6} NP hod mcí; Ω = {rub,líc} NP oupě ového auta; Ω = {bezporuchové,poruchové} Elemetárí jev - je aždý prve Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6}; =, =,, 6 = 6 NP hod mcí; Ω = {rub,líc}; = rub, = líc Náhodý jev A - je aždá podmoža Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6}; A = {}, A = {,4,6}, - jev emožý eastae dy (A = Ø) - jev jstý (oz. I ) astae vždy (I = Ω) - jev opačý jevu A (oz. A ) astae právě tehdy, dyž eastae jev A ( A = Ω Jelož áhodé jevy jsou podmožam záladího prostoru Ω, lze zavést relace mez jevy a operace s jevy pomocí symboly zámé z teore mož. Relace mez jevy ) Jev A je podjev jevu B - začíme A B A B : ( ( -

2 - z astoupeí jevu A plye astoupeí jevu B ) Rovost jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - jev A astae právě tehdy dyž astae jev B Jevy A a B jsou eslučtelé (dsjutí) emohou astat současě ( A B Ø) Jevy A, =,, jsou avzájem (po dvou) eslučtelé jsou eslučtelé všechy dvojce jevů A, A j pro j Jevy A,, A tvoří úplý systém eslučtelých jevů jsou po dvou eslučtelé a jejch sjedoceím je moža Ω. Operace s jevy ) Sjedoceí jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - astoupeí aspoň jedoho z jevů A a B (A ebo ) Prů jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - společé astoupeí jevů A a B (A a zároveň 3) Rozdíl jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - astoupeí A a současé eastoupeí B Přílad..: Mějme áhodý pous hod dvěma ostam, červeou a modrou. Záladí prostor Ω pa lze zapsat tato: Ω = {(,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Moža Ω má celem prvů, jsou to elemetárí jevy = (,), = (,),, = (6,6). Předpoládejme, že prví (resp. druhé) číslo udává počet o a červeé (resp. a modré) ostce. Každý z elemetárích jevů pa lze zapsat slovy, apř. = padla jedča a červeé a dvoja a modré ostce. Jao přílady áhodých jevů s zde můžeme uvést tyto:

3 A pade šesta a červeé; A = {(6,), (6,),, (6,6)} 6 prvů A pade jedča a modré; A = {(,), (,),, (6,)} 6 prvů A 3 pade šesta a červeé a zároveň jedča a modré; A 3 = A A ={(6,)} prve A 4 pade šesta a červeé ebo jedča a modré; A 4 = A A = {(6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (,), (,), (3,), (4,), (5,)} prvů A 5 pade šesta a červeé a zároveň epade jedča a modré; A 5 = A A = = {(6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 5 prvů A 6 a červeé epade šesta; A 6 = A (jev opačý jevu A ; A 6 = Ω - A ) 30 prvů A 7 pade součet ; A 7 = Ω (jev jstý) prvů A 8 pade součet > ; A 8 = Ø (jev emožý) 0 prvů A 9 pade a obou ostách sudé číslo; A 9 = {(,), (,4), (,6), (4,), (4,4), (4,6), (6,), (6,4), (6,6)} 9 prvů A 0 pade a obou ostách lché číslo; A 0 = {(,), (,3), (,5), (3,), (3,3), (3,5), (5,), (5,3), (5,5)} 9 prvů A pade a jedé ostce sudé a zároveň a druhé lché číslo; A = {(,), (,4), (,6), (3,), (3,4), (3,6), (5,), (5,4), (5,6), (,), (,3), (,5), (4,), (4,3), (4,5), (6,), (6,3), (6,5)} 8 prvů Všměme s, že jevy A 9 a A 0 jsou eslučtelé (emohou astat současě; A 9 A 0 Ø), ale ejsou sobě opačé (A 9 A0). Netvoří tedy úplý systém eslučtelých jevů, protože jejch sjedoceím eí moža Ω. Úplý systém eslučtelých jevů tvoří trojce jevů A 9, A 0, A (jsou to jevy avzájem eslučtelé a A9 A0 A= Ω) a rověž dvojce jevů A, A 6... PRAVDĚPODOBNOST, JEJÍ DEFINICE A VLASTNOSTI ) Klascá (Laplaceova) defce pravděpodobost Defce..: Je-l záladí prostor Ω = {,,, } oečá eprázdá moža elemetárích jevů, teré mají stejou šac výsytu, pa pravděpodobost, že př realzac m áhodého pousu astae jev A, je, de m je počet výsledů přízvých jevu A a je počet všech možých výsledů. Přílad..: V souladu s lascou defcí pravděpodobost mají jevy z Příladu... ásledující pravděpodobost: 6 P ( A ), 6 6 P ( A ), 6 P ( A 3 ), P ( A 4 ),..., 8 P ( A ) Přílad..: V oloě osm vozdel jedou tř červeé automobly. Jaá je pravděpodobost, že červeá vozdla jedou bezprostředě za sebou? Řešeí: Ozačme jev A... 3 červeá vozdla jedou bezprostředě za sebou. 3

4 Každé auto má stejou šac být a lbovolé pozc, proto pro výpočet pravděpodobost použjeme lascou defc pravděpodobost. Počet všech možostí, ja lze uspořádat všech 8 vozdel, odpovídá permutac z 8 prvů, tz. 8! Nyí musíme určt počet přízvých možostí (tj. 3 červeá za sebou a ostatích 5 lbovolě). 3 červeá auta mohou být za sebou a 6 růzých pozcích (prví z trojce může být v oloě a jedé z pozc -6), v aždé pozc mohou být uspořádáa 3! způsoby, tz. pro uspořádáí červeých aut dostáváme 6 3! možostí. Ke aždé této možost exstuje 5! způsobů, ja uspořádat auta zbývající, tz. že všech přízvých možostí je m 63!5!. 63!5! 6 Pravděpodobost jevu A je tedy: P ( 0, 07. 8! 56 ) Geometrcá defce pravděpodobost Defce..: V rově (resp. a přímce ebo v prostoru) je dáa oečá oblast Ω a její podmoža A. Pravděpodobost jevu A, terý spočívá v tom, že áhodě zvoleý bod v A oblast Ω leží v oblast A, je P (, de A, Ω jsou míry oblastí A a Ω. Přílad..3: Jaá je pravděpodobost, že meteort dopade a pevu, víme-l, že peva má rozlohu m a moře m? 49 Řešeí: P ( 0, 9 49 Přílad..4: Dva zámí se domluví, že se sejdou a určtém místě mez 3. a 4. hodou, přčemž doba čeáí je 0 mut. Jaá je pravděpodobost, že se př této dohodě setají? Řešeí: Ozačme A zámí se setají, ( jev, jehož pravděpodobost ás zajímá) x čas příchodu osoby a, y čas příchodu osoby b. Potom {[ x, y]: 0 x 60 0 y 60}, ( moža všech možých případů) A {[ x, y]: x - y 0}. ( moža všech případů přízvých jevu Možy A a Ω můžeme grafcy zázort jao plochy v rově, ja to vdíme a Obr.... Obr...: y A Ω x

5 V souladu s geometrcou defcí má pa jev A pravděpodobost A P ( 0, ) Statstcá defce pravděpodobost Defce..3: Nechť A je hromadý jev. Nastae-l teto jev v pousech právě f rát, f defujeme jeho pravděpodobost vztahem lm. Číslo f se azývá absolutí f četost jevu A a číslo relatví četost jevu A a v pousech. Přílad..5: V áhodě vybraé supě 40 mužů ve věu let se vysytl rzový fator "zvýšeý cholesterol" (jev ve 37 případech. Odhaděte pravděpodobost výsytu jevu A v této věové supě mužsé populace. 37 Řešeí: P ( ~ 0, Axomatcá (Kolmogorovova) defce pravděpodobost Axomatcá defce pravděpodobost vychází z toho, že pravděpodobost je objetví vlastost áhodého jevu, terá ezávsí a tom, zda j umíme ebo eumíme měřt. Je přtom dostatečě obecá, taže lascá, geometrcá a statstcá defce pravděpodobost jsou jejím specálím případy. Defce..4: Jevové pole a je moža všech růzých podmož záladího prostoru Ω, terá splňuje tyto podmíy:. I leží v a (jev jstý je prvem a),. leží-l A a B v a, pa A B, A B, A-B, A, B leží v a. Přílad..6: Nechť je dá záladí prostor Ω = {a, b, c, d} a áhodé jevy A = {a} a B = {c, d}. Vytvořte co ejmeší jevové pole, teré bude obsahovat áhodé jevy A a B. Řešeí: Jevové pole musí obsahovat Ω a Ø. S aždým jevem obsahuje opačý jev, musí tedy obsahovat jevy Ā = {b, c, d}, B = {a, b}. S aždým áhodým jevy obsahuje jejch prů a sjedoceí: A B = C = {a, c, d}, A B = Ø. S áhodým jevem C musí obsahovat jev ěmu opačý: C = {b}. Pomocí opačého jevu, sjedoceí a průu už žádý další áhodý jev edostaeme, tedy a ={Ø,{a}, {b}, {a, b}, {c, d}, {b, c, d}, {a, c, d}, Ω}. 5

6 Defce..4: Nechť a je jevové pole. Pravděpodobost jevu A je reálé číslo, pro ěž platí:. 0, A a ( axom ezáporost). I) = ( axom jedoty) 3. jsou-l A, A,..., A,... a avzájem eslučtelé jevy, potom platí: A A... A...) = A ) + A ) A ) +... ( axom adtvty) Vlastost pravděpodobost Věta..: (o vlastostech pravděpodobost). Ø) = 0. A ) = - 3. Jestlže A B, pa 4. Jestlže A B, pa B - = - 5. A = + - A B ) Přílad..7: Jaá je pravděpodobost, že př hodu dvěma ostam pade a) součet 6, b) součet růzý od 6, c) a obou ostách sudé číslo, d) a obou ostách sudé číslo a zároveň součet 6, e) a obou ostách sudé číslo ebo součet 6. Řešeí: Záladí prostor Ω áhodého pousu hod dvěma ostam byl popsá v Příladě.., víme tedy, že má celem prvů. Ozačme jevy, jejchž pravděpodobost ás zajímají, po řadě A, B, C, D a E. Řešeí vychází z lascé pravděpodobost a Věty..: 5 a) P ( b) c) d) e) 5 B A 9 P ( C) D C A; D) 9 5 E C A E) C C) C 3.3. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST A NEZÁVISLÉ JEVY Defce.3.: Podmíěá pravděpodobost jevu A jevem B (ebo tay pravděpodobost jevu A za předpoladu resp. podmíy, že astal jev, se začí P ( A a defuje se tato: 6

7 A A, de P ( 0. Pozáma: ) Pro B : 0 se podmíěá pravděpodobost jevu A jevem B edefuje ) Defčího vzorce se často užívá ve tvaru A A 3) Nastoupeí jevu B může změt šac astoupeí ěterých jých jevů. Vezměme s apřílad áhodý pous hod ostou a jevy: A padlo číslo 6, A padlo číslo, B padlo číslo < 5. Pravděpodobost jevů A a A jsou: P ( A ) A ), ale podmíěé pravděpodobost 6 těchto jevů jevem B jsou P ( A 0; A 4. Nastoupeí jevu B tedy zmešlo šac jevu A (a hodotu 0) a aopa zvětšlo šac jevu A (a hodotu 0,5). 4) Poud jev B eměí šac astoupeí jevu A, říáme, že jev A a jevu B ezávsí. Poud ezávsí jev A a jevu B, ezávsí rověž jev B a jevu A a oběma jevům říáme ezávslé. Defce.3.: Platí-l A, azýváme jevy A a B ezávslé. Pozáma: ) Nezávslost jevů A a B zameá, že astoupeí jedoho z těchto jevů emá žádý vlv a astoupeí jevu druhého ) Jevy A a B jsou ezávslé A 3) Jsou-l A a B eslučtelé jevy s eulovým pravděpodobostm, pa jsou závslé Přílad.3.: Ověřte, že př hodu dvěma ostam je jev A a prví ostce padlo číslo 5, ezávslý a jevu B a druhé ostce padlo číslo < 3. Řešeí: 6 6 A A 6 jevy A a B jsou ezávslé Přílad.3.: ážeme dvěma ostam. Vypočítejte pravděpodobost toho, že a) dyž a. ostce padlo číslo, padl součet větší ež 6, b) dyž a obou ostách padlo sudé číslo, padl součet větší ež 9. Řešeí: Zavedeme-l ásledující ozačeí: A padl součet větší ež 6, B a. ostce padlo číslo, A padl součet větší ež 9, B a obou ostách padlo sudé číslo, máme za úol vypočítat podmíěé pravděpodobost P A B ) a P A B ). ( ( 7

8 Záladí prostor Ω áhodého pousu hod dvěma ostam jž záme z Příladu... Je tedy zřejmé, že: - v případě a) máme dva přízvé případy z šest možých, tz. P ( A B ), v případě b) máme tř přízvé případy z devít možých, tz. P ( A B ). 9 3 Defce.3.3: Jevy A,..., A jsou vzájemě ezávslé, jestlže pro aždou jejch podmožu platí, že pravděpodobost průu zastoupeých jevů je rova souču jejch pravděpodobostí. Pozáma: ) Jsou-l jevy A,..., A vzájemě ezávslé, jsou taé po dvou ezávslé. Opačé tvrzeí ovšem eplatí. Přílad.3.3: Jaá je pravděpodobost, že a hrací ostce pade třrát za sebou pěta? Řešeí: Je zřejmé, že př opaovaém hodu ostou jsou jedotlvé hody a sobě ezávslé (výslede žádého hodu emá vlv a to, co pade příště). Zavedeme-l ozačeí: A pade třrát za sebou pěta, A pade pěta v. hodu, A pade pěta ve. hodu, A 3 pade pěta ve 3. hodu, potom platí: A A A3 ) A ). A ). A3 ) 0, Pravděpodobost, že ve třech po sobě jdoucích hodech ostou pade třrát pěta, je 0,5%..4. ÚPLNÁ PRAVDĚPODOBNOST A BAYESOVA VĚTA Věta.4.: (o úplé pravděpodobost) Mějme úplý systém vzájemě eslučtelých jevů platí: A ) ). Důaz: Je zřejmé, že lbovolý jev,...,. Pa pro lbovolý jev A A můžeme vyjádřt jao sjedoceí eslučtelých ( jevů A ),( A ),...,( A ), tedy A ( A ). Jelož pravděpodobost sjedoceí eslučtelých jevů je rova součtu jejch pravděpodobostí, platí A ). Do tohoto vztahu už je dosadíme A ) A ). ) (plye z defce podmíěé pravděpodobost) a dostáváme uvedeý vztah. 8

9 Obr..4.: 3 A 5 4 Přílad.4.: V prodejě jsou výroby 3 podů v počtech 450, 850 a 000 usů. Zmetovtost dodáve jedotlvých podů je po řadě 4%, 3% a 5%. Určete pravděpodobost toho, že výrobe áhodě vybraý z těchto 300 usů je zmete. Řešeí: Zaveďme pro jevy z ašeho příladu ásledující ozačeí: A... vybraý výrobe je zmete,... výrobe byl dodá -tým podem, A... výrobe je zmete, za předpoladu že byl dodá -tým podem. Ze zadáí víme, že P ( ), P ( ), P ( A ) 0,04, P ( A ) 0,03, P ( A 3) 0,05. Z věty o úplé pravděpodobost pa vyplývá, že P ) 0,04 0,03 0,05 0, ( A ) P ( 3), Pravděpodobost toho, že výrobe áhodě vybraý z těchto 300 usů je zmete, je tedy 4,%. Věta.4.: (Bayesova) Mějme úplý systém vzájemě eslučtelých jevů platí: A ) ),,..,. A ) ),..., a lbovolý jev A. Pa Pozáma: Vzorec uvedeý ve Větě.4. se azývá Bayesův vzorec. Vyplývá z defce podmíěé pravděpodobost, jejímž užtím dostáváme A ) ), a z věty o úplé pravděpodobost, jejíž vzorec dosadíme do jmeovatele. Přílad.4.: V továrě a výrobu eletrocých součáste pracují tř stroje, přčemž. stroj produuje 0%,. stroj 30% a 3. stroj 50% všech součáste. Zmetovtost součáste je u jedotlvých strojů po řadě %, % a 3%. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá 9

10 součásta vyrobeá tímto závodem je zmete? Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraý výrobe, terý je zmete, byl vyrobe. strojem? Řešeí: Zaveďme pro jevy z ašeho příladu ásledující ozačeí: A... áhodě vybraá součásta je zmete,... áhodě vybraá součásta byla vyrobea -tým strojem, A... áhodě vybraá součásta je zmete, poud byla vyrobea -tým strojem. Ze zadáí víme, že P ( ) 0,0, P ( ) 0, 30, P ( 3) 0, 50, P ( A ) 0,0, P ( A ) 0,0, P ( A 3) 0,03, ás zajímá P ( a. P ( vypočteme z věty o úplé pravděpodobost: 3 P ( A ) ) 0,0.0,0 0,0.0,30 0,03.0,50 0,03 Pravděpodobost toho, že áhodě vybraá součásta je zmete, je tedy,3%. vypočteme užtím Bayesovy věty: A ) ) 0,0.0,30 3 0, 6 0,0.0,0 0,0.0,30 0,03.0,50 A ) ) Pravděpodobost toho, že áhodě vybraý výrobe, terý je zmete, byl vyrobe. strojem, je 6,%. 0

11 Přílady procvčeí: Ke aptole.:. Volíme áhodě trojcferý ód. Jaá je pravděpodobost, že má a) všechy cfry růzé, b) aspoň dvě cfry stejé?. Písmea K, K, O, O, S sládací abecedy sládáme áhodě za sebou. Jaá je pravděpodobost, že jsme složl slovo KOKOS? 3. Jaá je pravděpodobost, že př hodu dvěma ostam pade a) součet 0, b) součet 8? 4. Marášové arty dělím a polovu. Jaá je pravděpodobost, že a) v obou polovách je stejý počet červeých a čerých aret, b) v jedé z polov jsou tř esa? 5. Staovte pravděpodobost výhry ve Sportce v -tém pořadí (pro =,..., 5). 6. Jaá je pravděpodobost, že se ve supě 0 osob ajdou aspoň, teré mají arozey ve stejý de? 7. ody, teré ebyly včas atažey, se po určté době zastavly. Jaá je pravděpodobost, že se velá ručča achází mez šestou a devítou? 8. Na zastávu MD přjíždí autobus aždých 7 mut a zdrží se 0,5 muty. Jaá je pravděpodobost, že přjdu a zastávu a autobus zasthu? 9. V osudí jsou 4 čeré a 6 modrých oulí. Náhodě vybereme supu pět oulí. Jaá je pravděpodobost, že ve vybraé supě budou a) oule čeré a 3 modré, b) aspoň 3 oule čeré? 0. Studet je přprave a 5 ze 30 zušebích otáze. Jaá je pravděpodobost, že s u zoušy vytáhe otázy, teré zá?. V rabc je 6 hracích oste očíslovaých od do 6. Jaá je pravděpodobost, že př jejch postupém vytažeí dostaeme z jejch čísel rostoucí posloupost?. Obča čeá doma a telegram, terý může být doruče dyol mez 6. a 0. hodou. Urč pravděpodobost toho, že ebude čeat déle ež hody. Ke aptole.3:. V urě je 5 bílých a 7 čerých ulče. Vytáheme ulčy, přčemž po prvím tahu se

12 ulča do ury a) vrací, b) evrací. Jaá je pravděpodobost, že obě vytažeé ulčy budou bílé?. Uvažujme 3 přístroje zapojeé a) paralelě, b) sérově. Selháí jedotlvých přístrojů echť jsou ezávslé jevy s pravděpodobostm p, p, p 3. Urč pravděpodobost selháí obou le. 3. V továrí hale pracuje ezávsle a sobě 6 automatů. Pravděpodobost, že automaty ebudou v průběhu směy potřebovat opravu, jsou po řadě 0,8; 0,75; 0,95; 0,9; 0,7; 0,85. Urč pravděpodobost toho, že v průběhu směy a) a jede automat ebude potřebovat opravu, b) aspoň jede automat ebude potřebovat opravu, c) aspoň jede automat bude potřebovat opravu. 4. Tř střelc střílí ezávsle a sobě a tetýž cíl. Pravděpodobost zásahů jedotlvých střelců jsou 0,8; 0,7 a 0,6. Každý vystřelí po jedé střele. Jaá je pravděpodobost, že cíl a) zasáhou všch tř, b) ezasáhe a jede, c) zasáhe aspoň jede, d) zasáhe právě jede. 5. Urč, jaá je pravděpodobost, že př pět ezávslých, po sobě jdoucích hodech ostou pade a) šesta př. a 4. hodu, př ostatích e, b) šesta př. hodu a př ostatích lché číslo, c) šesta právě dvarát. 6. Pravděpodobost arozeí chlapce je 0,55. Urč pravděpodobost toho, že mez čtyřm po sobě arozeým dětm budou a) prví dva chlapc a další dvě děvčata, b) právě dva chlapc. 7. Z celové produce závodu je 4% zmetů a z dobrých je 75% stadardích. Urč pravděpodobost toho, že áhodě vybraý výrobe je stadardí. 8. Z výrobů určtého druhu dosahuje 95% předepsaou valtu. V jstém závodě, terý vyrábí 80% celové produce, vša předepsaou valtu dosahuje 98% výrobů. Mějme áhodě vybraý výrobe předepsaé valty. Jaá je pravděpodobost, že byl vyrobe ve vzpomíaém závodě? 9. Dva střelc střílí současě a terč. Pravděpodobost zásahu prvím z ch je 0,7, druhým 0,8. Jaá je pravděpodobost, že prví střelec zasáhe a současě druhý me? 0. Př zásahu cíle se rozsvítí žárova. Urč pravděpodobost, že se žárova rozsvítí, jestlže a terč současě vystřelí dva střelc, jejchž pravděpodobost zásahu jsou 0,7 a 0,9.

13 . Studet A, B a C sládají přjímací zoušu. Jejch šace a úspěch odhadujeme po řadě a 70, 40 a 60%. Jaá je pravděpodobost, že a) všch tř uspějí, b) a jede euspěje, c) uspěje je studet A, d) uspěje právě jede z ch, e) euspěje je studet B, f) uspějí právě dva. Ke aptole.4:. Ze 3 sérí výrobů, teré obsahují postupě 00, 50 a 00 usů, vybereme áhodě jede výrobe. Urč pravděpodobost toho, že je valtí, víme-l, že pravděpodobost valtího výrobu je u prví sére 0,8, u druhé sére 0,9 a u třetí sére 0,7.. Ve studjí supě je 5 studetů. Pravděpodobost složeí zoušy v prvím termíu je u 6 studetů rova 0,9, u 7 studetů 0,6 a u studetů 0,. Urč pravděpodobost toho, že áhodě vybraý studet složí zoušu v. termíu. 3. V teréí soutěž zůstalo 8 motocylů začy A s 80% spolehlvostí a 6 motocylů začy B s 70% spolehlvostí. Posledí de edojel do cíle jede motocyl. Jaá je pravděpodobost, že byl začy A? 4. Ve společost je 45% mužů a 55% že. Vysoých ad 90 cm je 5% mužů a % že. Náhodě vybraá osoba je vyšší ež 90 cm. Jaá je pravděpodobost, že je to žea? 5. Meza VŠB zaoupla chladče z. závodu, 0 chladče z. závodu a 8 chladče z 3. závodu. Pravděpodobost, že chladča je výboré jaost, pochází-l z. závodu, je 0,9, z. závodu 0,6 a z 3. závodu 0,9. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá chladča bude výboré jaost? 6. Součásty, ze terých se motují stroje, dodávají tř závody. Je zámo, že prví má 0,3% zmetů, druhý 0,% zmetů a třetí 0,4% zmetů. Prví závod dodal 000, druhý 000 a třetí 500 součáste. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá součásta bude zmete? 3

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č. Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

9 Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika

9 Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika 9 Kombatora, teore pravděpodobost a matematcá statsta Te, do argumetue průměrým platem, e s velou pravděpodobostí vysoce adprůměrý vůl s hluboce podprůměrým vzděláím (Mloslav Drucmüller) 9. Kombatora Kombatora

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti . Úvod do základích pojmů teore pravděpodobost. Úvodí pojmy Větša exaktích věd zobrazuje své výsledky rgorózě tj. výsledky jsou získáváy a základě přesých formulí a jsou jejch terpretací. Příkladem je

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II Faulta pedagogcá Techcá uverzta v Lberc DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II Doc. RNDr. Mroslav Koucý CSc. Lberec 4 Úvod Dsrétí ateata resp. její zálady patří jž tradčě ez stadardí téata předášeá a Techcé uverztě v

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOTI

ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOTI Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOTI Iva Křvý OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 004 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Iva Křvý ÚVOD. PROSTOR ELEMENTÁRNÍCH JEVŮ 3.. Náhodé pokusy

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy Paralelí soustava Vstup a a Výstup a Vstup a Výstup a a obrázek : Blokové schéma a graf paralelí soustavy paralelí soustava je v bezporuchovém stavu je-l v bezporuchovém stavu prvek (tzv. adbytečé spojeí

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. 9. tematický okruh: Připrav se a státí maturití zoušu z MATEMATIKY důladě, z pohodlí domova a olie PRACOVNÍ SEŠIT 9. tematicý oruh: KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA vytvořila: RNDr. Věra Effeberger eperta a olie

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charatersty a parametry áhodýh velč Úolem této aptoly je zavést pomoý aparát, terým budeme dále popsovat pomoí jedoduhýh prostředů áhodé velčy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo haratersty áhodé

Více

Pro orientaci v této problematice jsme se seznámili s nkolika novými pojmy:

Pro orientaci v této problematice jsme se seznámili s nkolika novými pojmy: Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí 8 LIMITNÍ VTY Lmtí vty jsou tvrzeí, terá jsou dležtá pro pops pravdpodobostích model v pípad rostoucího potu áhodých pous.. ro oretac v této problematce jsme se sezáml

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304 935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

HYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem.

HYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem. HYPTEČNÍ ÚVĚR Spláceí úvěru stejým splátkam - kostatí auta ÚLHA 1: Mladý maželský pár s dostačujícím příjmy (tz. a získáí hypotéčího úvěru) se rozhodl postavt s meší rodý domek. Podle předběžé kalkulace

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více