( x) ( lim ( ) ( ) 0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "( x) ( lim ( ) ( ) 0"

Transkript

1 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Poslouposti a řady ucí Bodová overgece poslouposti ucí Deiice (odová overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a odově a zapisujeme ěterým z avzájem evivaletích symolů a, lim a, lim ( ) ( ) a, ( ) ( ) a, právě dyž overguje číselá posloupost ( ) číslu ( ), tj platí-li ěterý z dále uvedeých, vzájemě evivaletích výroů (platí-li jede, platí i všechy ostatí) ( lim ( ) ( ) ), () ( lim ( ) ( ) ), () ( ε ) ε ( ) ( ) <, (3) ( ( ) ( ) ε pro s v ) ε < (4) Fuce se azývá limití uce poslouposti a možiě Možia se azývá oor overgece poslouposti, je-li tvořea všemi ody S, pro teré je číselá posloupost ( ) overgetí Symol a užíváme ve smyslu posloupost je a (odově) overgetí, tj jao zratu za výro : ( a ) K ozačeí poslouposti se používají i jié symoly, apř, { }, { } apod Bodová overgece poslouposti ucí je dáa overgecí číselých posloupostí ( ), teré jsou určey výěrem odů S Pro vyšetřováí odové overgece poslouposti ucí je tudíž možé použít vše, co lze použít pro vyšetřováí overgece číselé poslouposti Přílad Je dáa posloupost ucí ( ) Fuce echť jsou deiováy a s hodotami v Vyšetřeme oor overgece poslouposti ucí a staovme limití uci [ ]

2 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Klademe si otázu, pro jaá čísla má číselá posloupost oečou limitu Podoou otázu jsme již řešili v příladu 9 při vyšetřováí geometricé řady, můžeme převzít výsledy Jestliže <, je lim lim, tj lim Iterval (,) tedy patří do ooru overgece poslouposti Jestliže >, je lim poslouposti, eoť lim, limití uce má a itervalu (,) hodotu lim, tj čísla > epatří do ooru overgece emůže ýt oečá Je-li, je ( ) ( ) a lim ( ) eeistuje, číslo epatří do ooru overgece poslouposti Je-li, je () a lim Číslo tedy patří do ooru overgece poslouposti, limití uce má v odě hodotu Oorem overgece poslouposti je tedy iterval (,, pro limití uci platí (,) ( ), () Na dále uvedeém orázu jsou aresley gray ěolia čleů poslouposti a modře je vyzače gra limití uce Všiměme si, že všechy čley poslouposti jsou spojité uce ( ), zatímco limití uce spojitá eí, je deiováa v odě ale eí v odě spojitá Přílad Uvažujme posloupost reálých ucí, uce jsou deiováy vztahy [ ]

3 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí pro (, ), ( ) jide v Pa posloupost overguje odově a celé možiě, limití uce je ulová Je-li totiž, pa ( ) a tudíž lim ( ) lim Je-li <, pa eistuje taové, že <, pa pro je ( ) a tudíž opět lim ( ) Všiměme si, že lim lim a tudíž lim, zatímco lim, je tedy Z uvedeých příladů vyplývá, že emůžeme říci moho o vlastostech limití uce a záladě vlastostí ucí V příladu, ač všechy uce ( ) jsou spojité, limití uce spojitá eí V příladu, ač všechy uce měly itegrály rovy jedé,, limití uce měla itegrál ulový Tato epřeositelost vlastostí z čleů a limití uci ( ) lim ( ) je typicou vlastostí odové overgece Je proto užitečé studovat jié typy overgece, teré y dovolovaly říci více o vlastostech limití uce a záladě vlastostí čleů poslouposti Kovergece je závislá a tom, ja jsou deiováy metricé či topologicé vlastosti prostoru ucí, tj a tom, ja je v ěm deiováa vzdáleost, ja jsou deiováy systémy oolí U odové overgece, ač se jedá o poslouposti ucí, je prolém převede a overgeci číselé poslouposti () Spojitost uce v odě je ovšem určováa chováím uce v jistém oolí odu a ioliv je hodotou () Nemůže ýt proto převapeím, že se spojitost právě u odové overgece epřeáší a limití uci V ásledujícím odstavci zavedeme jiý druh overgece, terý více ere v úvahu chováí uce jao celu Stejoměrá overgece poslouposti ucí Deiice (stejoměrá overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a stejoměrě, udeme používat symolicý zápis a, platí-li jede z dále uvedeých vzájemě evivaletích výroů (platí-li jede, platí i druhý) [ 3 ]

4 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ( ε ) ε ( ) ( ) <, (5) lim, (6) de h sup h( ) je tzv suprémová orma uce h a, D( h) Symol a užíváme ve smyslu posloupost overguje stejoměrě a, tj jao zratu za výro : ( a ) Uažme, že výroy (5), (6) jsou evivaletí Nechť platí (5) Zvolme ε, podle (5) eistuje taové, že pro je ( ) ( ) < ε, odtud sup ( ) ( ) ε, tj lim Nechť platí (6) Zvolme ε, podle (6) eistuje taové, že pro je < ε Protože ( ) ( ) sup ( ) ( ), máme ( ) ( ) < ε, tj platí (5) Porovejme deiice odové a stejoměré overgece Hodí se tomu ormule (3) a (5), teré se liší je přesuem vatiiátoru, ja je vyzačeo íže: ( ε ) ε ( ) ( ) <, ε ( < ε ) ( ) ( ) U odové overgece číslo, rom závislosti a ε, může ýt závislé i a volě odu, zatímco u stejoměré overgece je závislé pouze a ε Teto jemý rozdíl mezi odovou a stejoměrou overgecí má vša zásadí důsledy Jestliže je u stejoměré ( ) ( ) < ε splě pro všechy ody a overgece výro ( ) číslo je závislé pouze a ε a ezávislé a, mohli jsme přejít suprémové ormě v (6), terá lépe vystihuje podstatu věci Suprémová orma a možiě umožňuje deiovat vzdáleost ρ dvou ucí ěžým způsoem ρ (, g) g a dovoluje chápat uce jao ějaé ody prostoru a terém je deiováa vzdáleost (metricý prostor) Máme-li deiováu vzdáleost dvou ucí a možiě, podívejme se, co zameá oolí uce o poloměru ε Je to možia ucí U(, ε ), pro terou platí U (, ε ) { g g < ε} Ja uazuje dále uvedeý oráze, gray ucí, teré patří do ε-oolí uce, leží v pásu šířy ε jehož středová čára je gra uce [ 4 ]

5 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ε ε g g U (, ε ) Pozáma (vlastosti suprémové ormy) Nechť, g : S, S, λ Pa platí: a, (7) g g, (8) < λ λ λ, (9) Re( ), Im( ), Re( ) Im( ) () (7) Jestliže, potom ( ) sup ( ) Odtud a (8) platí ( ) g( ) ( ) g( ) sup ( ) sup g( ) g Odtud sup ( ) g( ) g, tj platí (8) (9) Jestliže λ a < eo λ, pa platí λ sup λ ( ) sup λ ( ) λ sup ( ) λ () Nechť u jv, u, v : S Potom u( ) u( ) jv( ) ( ), v( ) u( ) jv( ) ( ) pro všecha, odtud sup u( ) sup ( ), sup v( ) sup ( ), tj u, v Komiací (8), (9) dostaeme u jv u j v u v Důslede Ze stejoměré overgece vyplývá overgece odová Přesěji, mějme posloupost ucí : S, S Potom platí: a a () Nechť Jeliož ( ) ( ) a lim, je utě lim ( ) ( ), tj ( lim ( ) ( ) ), tj podle () a [ 5 ]

6 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Přílad 3 Vyšetřeme stejoměrou overgeci poslouposti ucí ( ) Podle důsledu, poud posloupost : S overguje a stejoměrě ějaé uci, overguje téže uci odově Podle příladu overguje posloupost ( ) odově a itervalu (, uci, pro terou platí (,) ( ), () (a) Nejprve uažme, že posloupost ( ) overguje stejoměrě uci a aždém eprázdém uzavřeém itervalu, terý leží v itervalu (,) Nechť tedy a, (,) Na itervalu (,) je limití uce ulová, počítejme, sup ( ) a, sup a, a ma{ a, } Protože a <, <, je lim ma{ a, } a tedy lim, tudíž a a, (,) a, () Na eprázdých itervalech (, (,), a,), a, už posloupost ucí ( ) stejoměrě eoverguje Platí totiž (, taže lim Odoě (, a, a,) a,) sup (, a,) sup, tj opět lim, lim, lim, a Věta (stejoměrá limita spojitých ucí je spojitá uce) Nechť : S, S ( ) Jestliže uce jsou spojité a a a, potom je spojitá a Nechť, a, pa platí: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Máme tedy ( ) ( ) ( ) ( ) (i) Zvolme liovolě ε Protože Protože a, eistuje taové, že je spojitá v odě, eistuje oolí U( ) taové, že ε U ( ) ( ) ( ) < Podle (i) pa dostáváme pro U ( ) erovost ( ) ( ) Odtud plye spojitost uce a ε < ( ) ( ) < ε ε 4 ε, tj je spojitá v odě 4 [ 6 ]

7 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Deiice 3 (BC podmía stejoměré overgece) Posloupost ucí : S, S splňuje a Bolzaovu Cauchyovu podmíu stejoměré overgece (rátce BC podmíu stejoměré overgece) právě dyž je posloupost ucí : S cauchyovsá vzhledem suprémová ormě, tj platí-li alespoň jeda z dále uvedeých vzájemě evivaletích podmíe (platí-li jeda, platí i druhá): ( ε ) & m ε m m <, () ( ε ) ε p < (3) p Platí-li () a položíme-li pro liovolé p, m : p, :, dostaeme (3) Platí-li (3) a je-li ε liovolé, eistuje ε taové, že p ( p < ) Pa ovšem pro liovolá čísla m,, taová, že m,, eistují p, p, taová, že m p, p Odtud plye podle (3) a pozámy m ε ε ε p p p p < p p Věta (BC ritérium stejoměré overgece) Posloupost ucí : S, S overguje stejoměrě a právě dyž splňuje BC podmíu stejoměré overgece a Nechť a Zvolme ε Podle (6) eistuje taové, že ε < Odtud pro liovolé p platí p p p < ε ε ε, tj platí (3) Nechť platí BC podmía Pa podle (3), vzhledem erovosti p ( ) ( ) p, splňuje číselá posloupost ( ) BC podmíu overgece číselé poslouposti pro aždé, eistuje proto limita lim ( ) pro aždé, ozačme ji ( ) : lim ( ) Nyí uažme, že Podle () eistuje a, tj lim Zvolme ε taové, že m, ( m, m < ε ) ( m ) m, m, ( ) ( ) < ε Odtud ( lim m ( ) ( ) ε ), avša lim m ( ) ( ) m m lim ( ) ( ) ( ) ( ), tj platí ( ( ) ( ) ε ), pa m m ovšem ( sup ( ) ( ) ε ), tj ( ε ), tj lim, tj [ 7 ]

8 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Řady ucí V tomto odstavci uvedeme deiice a ěteré oecé vlastosti eoečých řad ucí Můžeme postupovat stručěji, záladí myšley yly již ormulováy u eoečých číselých posloupostí a řad a v předchozích odstavcích pro poslouposti ucí Deiice 4 (eoečé řady ucí) Nechť, s jsou poslouposti ucí,, s : S a jsou svázáy vztahy s, eo evivaletě s, s s Pa platí: Neoečá řada ucí (učí řada) je symol, (4) terý lze zapsat v moha evivaletích ormách, podoě jao u řad číselých Posloupost ucí s se azývá posloupost částečých součtů řady (4), hodota s se azývá tý částečý součet řady (4) Fuce :, S se azývá součet řady (4) a právě dyž s a (odová overgece) Používáme zápis a, eo (4) součet (oečý) a, říáme, že a overguje (odově) a Má-li řada Možia se azývá oor overgece řady (4), je-li tvořea všemi ody S, pro teré je číselá posloupost s( ) overgetí, tj pro teré posloupost ucí s overguje odově a Je-li součet řady (4) a jejím ooru overgece, deiujeme : Říáme, že řada (4) overguje stejoměrě e svému součtu a právě dyž s a V tom případě píšeme a Říáme, že řada (4) overguje asolutě a právě dyž řada (odově) overguje a Říáme, že řada (4) overguje asolutě stejoměrě a právě dyž řada overguje stejoměrě a [ 8 ]

9 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Přílad 4 Vyšetřete oor overgece řady reálé proměé, předpoládáme, že ( ) jsou reálé uce Podle Cauchyova limitího ritéria dostaeme lim lim Podle tohoto ritéria je řada overgetí (asolutě) pro čísla, pro terá je < a divergetí pro čísla, pro terá > Zývá vyšetřit řadu v rajích odech itervalu (,) Je-li, jedá se o zámou divergetí harmoicou řadu Je-li, jedá se o overgetí (easolutě) alterující řadu, ja plye z Leiizova ritéria overgece Oorem overgece daé řady je tedy iterval,) Deiice 5 (BC podmía stejoměré overgece pro řady ucí) Nechť : S, S Řada, s, splňuje BC podmíu stejoměré overgece a právě dyž platí alespoň jede z dále uvedeých vzájemě evivaletích výroů (platí-li jede, platí i druhý) ε m ( m & s s < ε ), (5) p m ε p < ε (6) Evivalece podmíe (5), (6) se doazuje stejě jao v deiici 3 Věta 3 (BC ritérium stejoměré overgece pro řady ucí) Nechť : S, S Řada overguje stejoměrě svému součtu a právě dyž a splňuje BC podmíu stejoměré overgece pro řady ucí Řada splňuje BC podmíu (6) a právě dyž posloupost částečých součtů s splňuje BC podmíu (3) pro poslouposti, tj podmíu (5), terážto je podle věty evivaletí stejoměré overgeci poslouposti s a, což podle deiice 4 je evivaletí stejoměré overgeci řady a [ 9 ]

10 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Věta 4 (vlastosti overgece odové, asolutí, stejoměré, asolutě stejoměré) Nechť : S, S (a) Jestliže řada () Jestliže řada stejoměrě a overguje asolutě a pa overguje a overguje asolutě stejoměrě a pa overguje asolutě i (c) Kovergece řady ompleích ucí (odová i stejoměrá) je overgecí po složách Platí tedy a a a a a, (7) Re( ) a & Re( ) Im( ) a, (8) j Im( ) a, (9) a a, () a a, () Re( ) a & Im( ) a () Pro zvoleé tvrzeí (7), (8) a (9) plyou z podoých tvrzeí věty 97 pro číselé řady Tvrzeí () plye z tvrzeí () důsledu ormulovaého pro posloupost částečých součtů K důazu () stačí ověřit, že z platosti BC podmíy (6) pro řadu platost BC podmíy (6) pro řadu liovolé : plye p p sup ( ) ( ) p p p p ( ) Platí ásledující erovosti pro p sup ( ) p, pa ovšem platí ( ) < ε ( ) < ε, z čehož plye doazovaé tvrzeí plye p Dále odtud [ ]

11 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Protože p ( ) dostáváme erovosti p p p Re( ( )) p Re( ) p p j Im( ( )), podle () pozámy p, p Im( ) p a Re( ) Im( ), ze terých vyplývá, že řada splňuje BC podmíu stejoměré overgece právě dyž tuto podmíu splňují oě řady Re( ), Im( ) Věta 5 (Weierstrassovo ritérium stejoměré overgece) Nechť : S, S Jestliže eistuje posloupost a : taová, že (a) ( ) a pro s v, () řada a overguje, potom (c) a Pozáma Podle (c) tedy řada overguje asolutě i stejoměrě overguje asolutě stejoměrě, tj podle věty 4 Pro dostatečě velé a liovolé platí pro > ( ) a, a tedy pro liovolé p máme p p ( ) a, odtud sup ( ) Jestliže číselá řada s ezáporými čley BC podmíu pro číselé řady Na záladě odvozeé erovosti splňuje BC podmíu (6) řada p p p a a podle předpoladu () overguje, splňuje p, tedy podle věty 3 platí (c) p a [ ]

12 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Přílad 5 cos( ) Uažte, že řada overguje asolutě stejoměrě a, tedy i asolutě a stejoměrě cos( Je zřejmé, že ) pro všecha a číselá řada overguje, apřílad cos( ) podle itegrálího ritéria overgece Podle věty 5 odtud plye a a tedy cos( ) cos( ) ja a podle (), ta a podle () Výzam stejoměré overgece vyiá ejlépe v dále ormulovaých větách Věta 6 (itegrace čle po čleu řady ucí reálé proměé) Nechť : I je posloupost ucí deiovaých a itervalu I, a, I Jestliže (a) () a I, eistují a, potom (c) (d) eistuje, a a a a Protože řady ompleích ucí jsou podle (8), (resp ()) overgetí, (resp stejoměrě overgetí) a I právě dyž jsou overgetí, (resp stejoměrě overgetí) a I řady, jejich čley jsou reálé a imagiárí části poslouposti, podoě eistece itegrálu ompleí uce reálé proměé je evivaletí eisteci itegrálů z reálé a imagiárí části dotyčé uce, můžeme ez ztráty oecosti předpoládat, že uce jsou reálé Doázaá tvrzeí pa automaticy platí pro oě složy ompleích ucí a tedy pro samoté ompleí uce Stručě řečeo, itegrály a sumace v (a), (), (c), (d) jsou itegrály a sumace po složách Mějme tedy : I Nejprve uažme, že platí (c) Nechť s, podle předpoladu (a) s I Dále ( ) s ( ) s I, odtud plye I s ( ) s ( ) s ( ) s I (i) I I Bez újmy a oecosti předpoládejme a < Ja y se postupovalo v případě a je totiž zřejmé Nechť, D {,,, m } je ějaé děleí itervalu a,, uvažujme ějaý iterval I, děleí D Pa podle (i) platí i s ( I ) s i ( I ) sup ( I ) sup s ( I ) s (ii) I I [ ]

13 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Z předpoladu () vyplývá omezeost ucí s a I a podle (i) i omezeost uce, tj supréma a iima v (ii) jsou oečá čísla Násoíme-li erovosti (ii) délou itervalu I a vzilé erovosti sečteme pro,, m, dostaeme erovosti pro dolí a horí Riemaovy itegrálí součty S( s, D) s ( a) S(, D) S (, D) S ( s, D) s ( a) Odtud plye I I S (, D) S(, D) S ( s, D) S( s, D) s ( a) (iii) I Zvolme yí ε Protože s, eistuje ide I taový, že ε s ( a) < I Protože podle () itegrál eistuje, eistuje tudíž taové děleí D, pro teré je s a S ( s, D) S( s, D) < ε Z erovostí (iii) pa vyplývá, že pro aždé ladé ε eistuje děleí D taové, že S (, D) S(, D) < ε, tj platí (c) Víme-li, že eistuje, z erovostí (i) dostaeme itegrací a s ( ) d s ( a ) ( ) d s ( ) d s ( a ) I, I a a a a a I odtud plye ( ) d s ( ) d s ( a ) a, tj a Jeliož s, plye odtud lim ( ) d s ( ) I d lim s( ) d ( ) d a, což se mělo doázat a Věta 7 (derivace podle reálé proměé řady ucí čle po čleu ) Nechť : I je posloupost ucí deiovaých a itervalu I Jestliže (a) jsou spojitě dierecovatelé a I, () I taové, že ( ) overguje, (c) a aždém omezeém itervalu J, J I, potom (d) (e) ( ) a I, a aždém omezeém itervalu J, J a I I, [ 3 ]

14 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Protože řady ompleích ucí jsou podle (8), (resp ()) overgetí, (resp stejoměrě overgetí) a I právě dyž jsou overgetí, (resp stejoměrě overgetí) a I řady, jejich čley jsou reálé a imagiárí části posloupostí,, podoě spojitost a eistece derivace ompleí uce reálé proměé je evivaletí spojitosti a eisteci derivace z reálé a imagiárí části dotyčé uce, můžeme ez ztráty oecosti předpoládat, že uce jsou reálé Doázaá tvrzeí pa automaticy platí pro oě složy ompleích ucí a tedy pro samotou ompleí uci Stručě řečeo, spojitost, derivace, overgece a sumace v (a), (), (c), (d), (e), () je spojitost, derivace, overgece a sumace po složách Mějme tedy : I Ozačme g( t) ( t) Fuce g je deiováa a itervalu I, aždý od t I zároveň patří do ějaého omezeého itervalu J, apřílad J I U ( t), a terém podle (c) řada derivací overguje stejoměrě a tedy overguje odově Fuce g je spojitá v aždém odě t I Nechť t I, podle (c) a I U ( t), tj podle věty je uce g spojitá a I U ( t), tj v aždém odě možiy I U ( t), tj v odě t, terý do I U ( t) patří Nyí uážeme, že platí ( ) Nechť, I, de od vyhovuje podmíce () Pa eistuje omezeý iterval J taový, že, J Protože g je spojitá uce a I, eistuje itegrál g ( t ) dt ( t) dt Na posledí itegrál apliujme větu 6, předpolady jsou splěy a itervalu J, eoť eistují, protože jsou spojité Dostaeme ( ) ( ) overguje podle () Máme tedy a J a itegrály ( t) dt ( t) dt ( t) dt ( ) ( ), posledí ro je možý, protože ( ) Řada g ( t ) dt ( ) ( ), de I je liovolé (i) ( ) tedy overguje pro všecha I a rovici (i) můžeme derivovat podle, protože g je spojitá a I Dostaeme rovost ( ) Zývá ověřit stejoměrou overgeci g( ) ( ), to je vša doazovaá a aždém omezeém itervalu J, J I Podle věty a deiice 4 stačí uázat, že posloupost částečých součtů [ 4 ]

15 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí s je cauchyovsá vzhledem ormě J Nechť J je omezeý iterval, J I Pa eistuje omezeý iterval K taový, že J K I a K Platí sm( ) s( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( sm s)( ) ( s m s )( ξ ) ( sm s)( ), de ξ leží podle Lagrageovy věty mezi a Protože, K a K je iterval, leží ody,, a ξ pro aždé J v itervalu K a tedy platí ( s m s )( ξ ) sup ( s s )( ξ ) sup s s diam( K), de diam( K) sup y je tzv ξ K m K m K, y K průměr možiy K, v ašem případě je to oečé číslo rové délce itervalu K Pro aždé J platí tedy erovost s ( ) s ( ) s s diam( K) ( s s )( ), tj s m J m m K s s s diam( K) s ( ) s ( ) (ii) m K m m Protože číselá posloupost s ( ) je podle () cauchyovsá vzhledem ormě daé asolutí hodotou a s je podle (c) cauchyovsá vzhledem suprémové ormě, K ε daému ε lze ajít taové, že pro m, platí sm( ) s( ) < a ε s s diam( K) <, tj podle (ii) ε m, N m K m, sm s J < ε, tj s je cauchyovsá vzhledem ormě což se mělo J uázat Přílad 6 Staovte součet řady ( ) ( ) pro (i) Hlaví idea itegrováím přeměíme zadaou řadu a řadu geometricou, jejíž součet je zám Formálě provedeý výpočet vypadá tato: () t ( ) d t t t t t t () ( ) d t ( ) d t t ( ) d ( ) (3) t, pro t < Potom d ( t) dt ( ) d d t dt t ( t) (ii) y výpočet měl smysl, je potřea prověřit jedotlivé roy výpočtu Je třea prověřit, zda je rovicí ( ) ( ) deiováa vůec ějaá uce v oolí odu Podle d lemertova ritéria asolutí overgece platí pro lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) Řada tedy overguje pro < a diverguje pro > (overgeci v, terou jsme vyloučili, je sadé ověřit zvlášť ) [ 5 ]

16 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Jestliže, potom lim ( ), tudíž eí splěa utá podmía overgece, řada je tedy divergetí pro Oorem overgece řady a tedy i deiičím oorem uce je proto iterval (,) Dále je třea prověřit, zda eistuje itegrál z uce a ějaém oolí v rou () a zda je možá záměa itegrace a sumace v rou () Uážeme, že jsou splěy předpolady věty 6 a aždém uzavřeém itervalu J, (,) Pro liovolé J platí ( ) sup ( ) ( ) Jeliož číselá řada J apřílad podle d lemertova ritéria overgetí, je řada ucí ( ) je ( ) stejoměrě overgetí a J podle Weierstrassova ritéria Jeliož pro aždé t (,) eistuje taové, že t, J, (,), jsou splěy předpolady věty 6, itegrál v () eistuje a záměa itegrace a sumace v () je možá Zývá uázat, že eistuje derivace itegrálu podle horí meze v rou (3) Taová derivace eistuje v aždém odě spojitosti uce Uažme, že uce je spojitá a itervalu (,) Protože čley řady (i) jsou spojité uce ( ) ( ) a řada (i) stejoměrě overguje a aždém itervalu J, (,), je součet řady spojitá uce a itervalu J podle věty apliovaé a posloupost částečých součtů řady (i) Jeliož pro aždé t (,) eistuje taové, že t, J, (,), je uce spojitá v aždém odě t itervalu (,) V předchozím příladu yl výpočet poměrě složitě zdůvodňová Bylo to dáo tím, že jsme se a uvedeou řadu dívali jao a řadu s oecými čley a ija jsme evyužívali atu, že čley řady yly jedoduché mocié uce ( ) ( ) V ásledující apitole uážeme, že v případě řad tohoto typu lze postupovat daleo jedodušeji Mocié řady Deiice 6 (mociá řada) Nechť a : ;, c Potom učí řada a( c) a a( c) a( c) (3) se azývá mociá řada Je to eoečá řada ucí se čley ( ) ( ) a c, čley poslouposti a jsou tzv oeiciety mocié řady, číslo c se azývá střed řady V mociých řadách vždy lademe ( ) a ( c) a, tj vždy Věta 8 (záladí pozaty o overgeci mocié řady) Nechť a : ;, c Pa pro mociou řadu a ( ) c platí: () Řada vždy overguje ve svém středu, tj v odě c [ 6 ]

17 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí () Jestliže řada overguje v odě, pa overguje asolutě v aždém odě pro terý platí c < c (3) Jestliže řada diverguje v odě, pa diverguje v aždém odě pro terý platí c > c c c overguje diverguje () Je-li c, pa a ( c) a ( ) c c a, řada tedy overguje () Nechť řada overguje v odě Jestliže c, pa možia všech pro teré c < c je prázdá a tedy tvrzeí () platí Jestliže c, pa řada v odě splňuje utou podmíu overgece, tj lim a ( c), odtud plye a( c) < pro s v Vezměme yí taové, že c < c Pat lze c c psát a( c) a ( c) pro s v Protože geometricá řada c c c je overgetí, eoť c c c <, je overgetí i řada a ( c) podle srovávacího ritéria pro číselé řady, věta 98 (3) Jestliže řada diverguje v odě a c > c potom utě diverguje i v odě Kdyy v odě overgovala, musela y overgovat i v podle odu () Věta 9 (poloměr overgece mocié řady) Nechť c,, a, r, Ozačme: K( c, r) { c r} uzavřeý ruh v se středem v odě c a poloměrem r, K ( c, r) { c < r} vitře ruhu K( c, r ), oor overgece mocié řady, tj a ( ) c overguje Pa eistuje číslo r, taové, že platí K ( c, r) K( c, r) (4) [ 7 ]

18 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Číslo r, se azývá poloměr overgece mocié řady a ( ) c Položme r sup{ c }, uažme, že tato deiovaé číslo r je poloměrem overgece mocié řady, tj že platí (4) Nejprve ověřme platost levé iluze v (4) Vezměme y K ( c, r) { c < r}, potom y c < r Z vlastosti supréma vyplývá eistece čísla taového, že y c < c, podle věty 6 tvrzeí () mociá řada overguje v odě y, odtud plye y, tj K ( c, r) Uažme sporem platost pravé iluze (4) Nechť K( c, r ), pa eistuje y taové, že y K( c, r), tj y c > r Jeliož y a r sup{ c } platí y c r Podtržeé erovosti dávají spor Pozáma Nechť r je poloměr overgece mocié řady (3) Pa platí: r právě dyž řada overguje pouze ve svém středu, oor overgece je možia {c} r právě dyž řada overguje asolutě v celém, oor overgece je tedy r (, ) právě dyž řada v odech c < r overguje asolutě a v odech c > r diverguje Přílad 7 Staovte střed a poloměr overgece mocié řady (34) Pomocí apřílad d lemertova ritéria pro 3 4 dostaeme lim ( ) ( ) lim (34) (34) 3 4 lim 3 4 Podle tohoto ritéria řada overguje asolutě pro ta, pro ěž < 3 4 < a diverguje v těch odech, v ichž 3 4 > Nerovosti je možé vyjádřit evivaletě ve tvaru < c < r a c > r ze terého sado zjistíme střed a poloměr overgece řady Tedy < 3 4 < 4 4 < < Odtud plye: Střed overgece řady je číslo c, poloměr overgece 3 3 řady je číslo r 3 (Mociá řada vždy overguje ve svém středu, tj oor overgece 4 jistě osahuje všechy ody pro ěž < ) 3 3 Zoumaou řadu je možé hed zpočátu upravit do tvaru overgece c ihed zřejmý, tedy (34) a ( c), ze terého je střed ( ) Přílad 8 Staovte střed a poloměr overgece mocié řady! [ 8 ]

19 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Pomocí d lemertova ritéria pro dostaeme lim ( ) ( )! lim ( )! lim < Řada tedy podle d lemertova ritéria overguje asolutě v aždém odě {}, zde pro poloměr overgece lademe r Z tvaru řady!! ( ) vidíme, že středem overgece je číslo (Protože je střed overgece, řada overguje asolutě v celé ompleí roviě ) Přílad 9 Staovte střed a poloměr overgece mocié řady Pomocí d lemertova ritéria dostaeme lim ( ) ( )! lim ( )!! lim ( ) D lemertovo limití ritérium můžeme použít v případě, dy eistuje limita lim ( ), tj jistě je v těch odech, ve terých je zlome ( ) ( ) ( ) deiová pro s v Proto lim ( ), eoť jsme museli předpoládat, že Jestliže tedy, pa lim ( ) > a tedy řada diverguje v aždém eulovém odě V odě ( ) ovšem řada overguje, protože je střed overgece V tomto případě lademe pro poloměr overgece r Následující věta sumarizuje způsoy overgece mocié řady Věta (způsoy overgece mocié řady) Nechť c, a, Nechť r (, je poloměr overgece mocié řady (3) Ozačme: K( c, r) { c r} uzavřeý ruh v se středem v odě c a poloměrem r, K ( c, r) { c < r} vitře ruhu K( c, r ), platí tedy speciálě K( c, ) K ( c, ) Pa pro mociou řadu platí: a ( ) c, a( c) a K ( c, r), (5) ( ) a c a K ( c, r), (6) a( c) a K( c, r ) r (, r), (7) a ( ) c a K( c, r ) r (, r) (8) [ 9 ]

20 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Podle (7) z asolutí overgece plye overgece, tj z (5) plye (6) a podle () z asolutě stejoměré overgece plye stejoměrá overgece, tj z (7) plye (8) Dále uažme, že z (7) plye (5) a z (8) plye (6) Nechť platí (7) Vezměme liovolý prve K ( c, r) Pa eistuje r (, r) taové, že K c r (, ) Protože a( c) a K( c, r ), podle () K( c, r ) a tedy a ( c) (6) Máme tedy doázáy dále uvedeé impliace: a( c) a, tj platí (5) Odoě se doáže, že z (8) plye (7) (5) (8) (6) Stačí doázat (7) a máme tím doázáa všecha ostatí tvrzeí Nechť r (, r) Jestliže r (, r), pa pro aždé K( c, r ) můžeme psát: a ( c) a r ( c) r a r (i) Jeliož r je poloměr overgece a c r K ( c, r), řada, podle pozámy, overguje asolutě v odě, tj řada a ( c) a( c r c) ar overguje Ze vztahu (i) a z Weierstrassova ritéria, věta 5, máme a( c) a K( c, r ) Pozáma 3 p Nechť a, p, c, a lim, potom mocié řady p a ( ) c, a ( ) p c, mají stejý poloměr overgece Nechť r (, je poloměr overgece řady vlevo Vezměme K ( c, r) { z z c < r}, potom eistuje r (, ) taové, že c < r < r Pa ovšem c r K ( c, r) a řada vlevo (podle pozámy ) asolutě overguje v odě, tj [ ]

21 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí a( c r c) a r řada a ( c) overguje Jestliže řada a r overguje, potom utě posloupost a r je omezeá, tj eistuje M taové, že ( a r M ) Pa pro čley řady vpravo lze psát ( c) r a p ( c) a p r M p r ( c) (i) vša řada s čley M p r ( c), tj řada M p ( c) r c limitího d lemertova ritéria, lim M p r M p r lim p p c r c r, overguje, apřílad podle ( ) ( c) < Ze srovávacího ritéria a erovostí (i) vyplývá overgece (asolutí) řady vpravo Doázali jsme tedy tvrzeí K ( c, r) a p ( c) overguje (ii) Jestliže poloměr overgece řady vpravo je r, pa podle (ii) a (4) máme r r vša řada vlevo se dá zapsat ve tvaru a ( c) a ( ) p q c, de čísla q p q splňují podmíu lim, potom ovšem stejým způsoem uážeme, že r r, platí tedy rovost r r q Je zřejmé, že má-li jeda řada ulový poloměr overgece, emůže mít druhá řada poloměr overgece ladý Věta (derivováí a itegrováí mocié řady) Nechť a,, c, a r (, je poloměr overgece mocié řady ( ) a ( ) c Pa pro aždé K ( c, r) platí: ( ) ( ) ( ) ( )( ), (9) a c a c a c a ( t) dt a( t c) dt ( c) c c (3) Poloměr overgece mocié řady se derivováím a itegrováím eměí [ ]

22 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí (a) Uvažme ejprve variatu reálé proměé, tj echť, c a derivaci chápejme ve smyslu derivace podle reálé proměé Za těchto předpoladů můžeme využít již doázaá tvrzeí, tj větu 6 a větu 7 Doažme (9) Protože ( ) a ( c) jsou spojitě dierecovatelé a ( c r, c r), mociá řada vždy overguje ve svém středu a podle věty ( ) a ( c) a ruhu overgece K( c, r ) o oečém poloměru r < r, tj a aždém oečém itervalu J ( c r, c r), (oečý iterval J ( c r, c r) vždy leží v ějaém ruhu K( c, r ) ), jsou tím splěy předpolady věty 7 a tvrzeí (9) z í ihed vyplývá Doažme (3) Podle věty a ( ) c a ruhu overgece K( c, r ) o oečém poloměru r < r, tj a ějaém oečém itervalu I ( c r, c r) terý osahuje ody t, c I Z věty 6 pa ihed vyplývá (3) () Tvrzeí (9), (3) mohou ýt doázáa přímo pro ompleí proměou Nechť tedy a,, c Nejprve uažme, že ( c) a, ( c) a Platí Dále odtud ( ) a ( c) ( ) ( c) c a a( c) a a ( c) a ( c c) a a ( c) ( c) a ( c) Protože řada overguje podle (i) pro aždé K ( c, r), uce, (i) a ( c) a ( c) ( ) a ( c ) jsou spojité a a aždé K ( c, r) je zároveň prvem K( c, r ) pro ějaé < r < r, přičemž ( ) a c a K c r (, ), je podle věty uce spojitá a g( ) a ( c) K( c, r ), tj je spojitá v odě c Pa platí lim a ( c) lim g( ) c a c c ( ) a a c Odtud oečě lim ( ) a g ( c ) a c ( c) lim c c ( ) ( ) c Platí tedy (9) v odě c c g( c ) lim a a ( c) c Uažme dále, že (9) platí i v liovolém odě y K ( c, r), y c Jestliže y K ( c, r), eistuje oolí U( y) taové, že U ( y) K ( c, r) Vezměme liovolé U ( y), pa platí ( ) ( ) a c ( ) a y y c a ( y) ( y c) Ve výpočtu yla [ ]

23 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí použita iomicá věta Dodeiujeme-li omiačí číslo ta, že <, lze psát () ( ) a ( y) ( y c) a ( y) ( y c) a ( y) ( y c) ( y) a ( ) ( ) y c yc ( ) y Fuci se tedy podařilo zapsat jao mociou řadu se středem v odě y, podle předchozího výpočtu je ( y) ( yc) a ( y c) ( ) ( ) yc a y c ( ) a y c Ve zytu důazu se udeme věovat zdůvoděí, proč v rou () výpočtu je možá záměa sumačích symolů Uvažujme zoecěou řadu a ( y) ( y c), podle (, ) věty 96 uážeme, že je overgetí Protože y K ( c, r), y c, U ( y) K ( c, r), U ( y), od c y c y leží v K ( c, r), viz dále uvedeý oráze U( y) y c y c y c r K ( c, r) Protože řada ( ) a c je podle věty asolutě overgetí a K ( c, r), řada a c overguje Ozačme M : a c a ( ) y c y Nyí echť J, J je oečá možia Pa eistuje číslo taové, že J {,,, } {,,, } Platí a ( y) ( y c) (, ) J a y y c a y y c (, ) {,, } {,, } a y y c a ( y y c ) [ 3 ]

24 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí a ( ) y y c M Zoecěá řada a ( y) ( y c) je tedy (, ) podle věty 96 overgetí (asolutě), podle věty 97 (sčítáí řady po locích) můžeme ideovou možiu liovolě rozložit Rozložme ejprve, de {(, ) }, pa dostaeme a ( y) ( y c) (, ) m m am ( y) ( y c) a ( y) ( y c) ( m, ) a ( y) ( y c), což je výraz před rovostí () Dále rozložme B, de B {(, ) }, yí dostaeme a ( y) ( y c) (, ) m m a ( y) ( y c) a ( y) ( y c) (, m) B m a ( y) ( y c), což je výraz za rovostí () Oa výrazy jsou ale součtem jedé a téže overgetí zoecěé řady, jsou si tedy rovy Důaz vztahu (3) v ompleím ooru vyžaduje ejprve deiovat itegrál, což je předmětem pozdějších urzů matematiy Nyí si jede z možých způsoů pouze azačíme Itegrál ( t ) dt v ompleím ooru je itegrál řivový, ve výraze (3) c stačí, chápeme-li jej jao itegrál přes úseču spojující ody c a ve směru od c do Tvoří-li ody D {,, }, děleí úsečy c a jsou-li a úsečce c vyráy ody ξ i ta, že ξ i leží mezi i - a i, viz oráze, je itegrál deiová jao limita itegrálích součtů pro stále se zjemňující děleí (tj pro ν ( D) ma i i, ν ( D) ), poud tato limita ezávisí a i {,, } výěru odů děleí i a a výěru odů ξ i, v tom případě píšeme ( ) lim ( )( ) t dt ξ c i i i ν ( D) i ξ ξ c ξ [ 4 ]

25 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Stejě jao v reálé aalýze dá se doázat, že uce F( ) ( t) dt je primitiví ucí e spojité uci, v ašem případě a ruhu overgece K ( c, r), tj F ( ) ( ) K ( c, r), avíc F( c ) Podle již doázaého vztahu (9) pro uci a platí ( ) ( a ) G ( c) a G( ) ( c) c ( )( c) a( c) ( ), opět G( c ) Odtud plye rovost G F, tj platí (3) Důslede Nechť a, c, a mociá řada r (, ( ) a ( ) c má ladý poloměr overgece (a) Pa a ruhu K ( c, r) má uce všechy derivace a platí ( ) ( )! ( ) a! ( c) (3) ( () Z rovice (3) vyplývá ) ( c) a!, tj oeiciety mocié řady (3) s ladým poloměrem overgece jsou jedozačě určey jejím součtem, eoť ( ) ( c)! a (3) (c) Jestliže tedy pro dvě mocié řady s ladými poloměry overgece platí ( ) a ( ) c, g( ) ( ) c a g a ějaém oolí U ( c), pa a a g a společém ooru overgece (d) Mociá řada s oeiciety (3) se azývá Taylorova řada uce se středem v odě c Čley poslouposti částečých součtů Taylorovy řady jsou zámé Taylorovy polyomy (e) Z oecé teorie ucí ompleí proměé vyplývá, že má-li ějaá ompleí uce ompleí proměé derivaci (podle ompleí proměé) a ějaém oolí odu c, má tam pa derivace (podle ompleí proměé) všech řádů a je součtem své Taylorovy řady (a svém ooru overgece) (e) Má-li ějaá reálá uce reálé proměé všechy derivace v odě c, pa pro tuto uci lze sestavit Taylorovu řadu Tato řada ovšem emusí overgovat uci Je vidět, že v reálém ooru je situace poěud složitější Platí ásledující tvrzeí [ 5 ]

26 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Věta (Taylorova řada reálé uce) Nechť uce má všechy derivace a ějaém oolí U ( c, r), odu c, ( ) r Nechť a : je taová posloupost, že U ( c, r) ( ) a r Jestliže lim a! pa ( ) ( c)! ( ) ( c) U ( c, r) Stačí uázat, že lim ( ) s ( ) pro všecha U ( c, r) Pro aždé U ( c, r) uce splňuje a itervalu c,, případě, c, předpolady Taylorovy věty pro liovolé, ( ) ( c)! s( ) ( c) je Taylorův polyom, rozdíl ( ) s ( ) je tzv zyte po -tém čleu Taylorovy řady Podle Taylorovy věty se teto zyte dá vyjádřit ve tvaru ( ) s ( ) ( ) ( ξ ) ( )! ( c), de číslo ξ leží mezi čísly, c, tj leží v oolí U ( c, r ) ( ) ( ξ ) ( )! c Pa platí pro liovolé U ( c, r) erovosti ( ) s( ) ( ) ( ) ( ξ ) ( )! r a ( )! r r Jestliže yí lim a!, pa ovšem a ( )! r lim, a tedy lim ( ) s ( ) Pozáma 4 () Posloupost a : ve větě splňující podmíu ( ) ( ) ( ) U ( c, r) ( ) a eistuje právě dyž sup ( ) pro všecha Pa můžeme volit ( ) U ( c, r ) a U ( c, r ) U ( c, r ) ( ) () Jestliže eistuje ostata M taová, že U ( c, r) ( ) M, je uce ve větě součtem své Taylorovy řady V tomto případě ostatí posloupost a M splňuje předpolady věty a lim r r a! lim M! Posledí limita je ulová apřílad podle toho, že řada r! je podle d lemertova ritéria overgetí a tudíž r splňuje utou podmíu overgece, lim! Přílad Příladem ucí majících omezeé derivace všech řádů společou ostatou a splňujících ta podmíu () pozámy 4 v liovolém oolí uly jsou elemetárí uce ( ) ep( ) e, si, cos, sih, cosh Pro jejich derivace dostáváme ep (), ( ) si () ( ) sih () ( ), si () ( ),, ( ) cosh (), ( ) cos () ( ), ( ) cosh () Platí tedy ( ) cos () ( ), sih (), e 3 4! 6 4, (33) [ 6 ]

27 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ( )! 6 54, (34) si( ) ( ) 4 6 ( )! 4 7, (35) cos( ) ( ) ( )! 6 54 sih( ), (36) 4 6 ( )! 4 7 cosh( ) (37) Řady uvedeé v příladu slouží moha účelům, zejméa je účelé považovat je přímo za deiice jedotlivých elemetárích ucí, eje v reálém ale i v ompleím ooru Přestože jsme se již setali s odvozováím růzých vlastostí uvedeých elemetárích ucí, apřílad s tím, že jsou spojité, mají všechy derivace ap, odvozeí těchto vlastostí ylo často založeo a ituici, ějaém geometricém ázoru (apřílad ěteré vlastosti goiometricých ucí yly odvozey z vlastostí ružice), eo yly vlastosti ucí postulováy ez důazů V příladu 9 již yla vzpomeuta Moivrova ormule, dále odtud vyplývá eistece derivací a záladí vztahy, apřílad ( ) si ( ) cos(), odoě lze odvodit cos ( ) si( ), sih ( ) cosh( ), cosh ( ) sih( ), lim si( ) lim ( 6 54 ) lim( ) , eoť aždá mociá řada je spojitou ucí a vitřu svého ruhu overgece Uvedeé řady mohou sloužit výpočtu hodot ucí s liovolou přesostí Přílad Staovme ze vztahu (33) hodotu čísla e s chyou meší ež ychom mohli chyu sáze odhadout, přejděme reciproé hodotě Číslo /e je pa dáo alterující řadou ( ) ( ) pro íž platí jedoduchý odhad chyy s s a, de s V tomto e! případě dostáváme Z vlastostí alterující řady dále víme, že posloupost e s ( )! s je elesající a m s je erostoucí, proto sm e s Z posledí erovosti volou m dostáváme odhad s s, tj, tedy e e 3 e 3 s Rověž pro 3 z mootoie posloupostí s, m s, vyplývá Z erovosti odhademe, oli ude potřea sečíst čleů řady, aychom dosáhli e s ( )! požadovaé přesosti aproimace Ozačme ε ( )!, erovost e s ε přepišme evivaletě do tvaru s ε s ε, odtud e, tj s ε s s sε s e s ε s ε ε e Chya aproimace tedy eude větší ež! s ε s ε s ε [ 7 ]

28 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ε ε Požadujeme tedy ( ) ε ( ) ε 3 ε dostaeme ( ) 3 ε 3 ε Pro vychází ( ) 696 Sečtěme tedy čleů řady, tj s s ude hledaá aproimace čísla e s chyou meší ež, Pro ε 3, potom hodota ( )! 7 Numericý výpočet dává s , s Pro porováí uveďme hodotu e s přesostí a 5 míst, e Odtud vypočteá chya aproimace čií 3 c Při sestavováí Taylorových řad postupujeme podle vzorce a! je výjimečě Taylorovy řady ývají pro moho elemetárích ucí taelováy, můžeme jejich sestavováí využívat itegrováí a derivováí a rověž operací součtu, rozdílu a součiu mociých řad Deiice 7 (operace s mociými řadami) Nechť a,,, c, λ, echť ( ) ( ) ( ) a ( ) c, ( ) g( ) ( ) c ( g ) jsou mocié řady s poloměry overgece po řadě r, r, Říáme, že řada: g ( a )( ) c je součtem mociých řad ( ) a ( g ), ( a )( ) c je rozdílem mociých řad ( ) a ( g ), c ( ) c je součiem mociých řad ( ) a ( g ), poud λa ( ) c je λ-ásoe mocié řady ( ) a, c Pro poloměry overgece těchto řad platí (začeí je zřejmé): mi{ r, r } r, r, r, r g g g g r λ, rλ r λ Dále platí ( a )( c) ( ) g( ), (38) ( a )( c) ( ) g( ), (39) [ 8 ]

29 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí λa( c) λ ( ), (4) c( c) ( ) g( ) (4) Každá z těchto rovostí platí v těch odech, pro teré je deiováa její pravá straa U posledí rovice (4) je potřea avíc předpoládat, že alespoň jeda z řad ( ), ( g ) v odě overguje asolutě (což je ovšem uvitř ruhu overgece řady splěo, viz věta ) Jestliže resp g ozačuje oor overgece řady ( ) resp ( g ), pa pravá straa rovice pro součet a rozdíl je deiováa v aždém odě průiu g Je-li g, pa odpovídající poslouposti částečých součtů overgují, tj s ( ) ( ), s g ( ) g( ) g g a tedy overgují poslouposti s ( ) s ( ) ( ) g( ), s ( ) s ( ) ( ) g( ), g viz důslede 9 Platí s ( ) ± s ( ) a ( c) ± ( c) ( a ± )( c) ± g ± g s ( ), tedy s ( ) ( ) ± g( ) Platí tedy rovice (38) a (39) Zároveň odtud plye iluze pro oory overgece g ± g Uvážíme-li, že podle věty 9 platí K ( c, r ) K( c, r ), K ( c, r ) K( c, r ), máme K ( c, r ) K ( c, r ) g g K ( c,mi{ r, r }) g g g ± K( c, r ± ), de K ( c, r ) K ( c, r ) g g K( c, r ± ), tj mi{ r, r } r, r g g g g g K ( c,mi{ r, r }) Odtud plye Jestliže λ, pa řada (4) má ulové čley a tedy overguje v celém ooru, proto r λ, a tedy utě r r λ λ Jestliže λ, pa z rovostí s ( ) λ ( ) λs ( ) λ ( ) λ λ s ( ) ( ) vyplývá, že s ( ) λ ( ) právě dyž s ( ) ( ), tj λ, tedy r r λ Nechť resp g ozačuje oor asolutí overgece řady ( ) resp ( g ) Podle věty 97 pro platost rovice (4) je uté, ay alespoň jeda z řad ( ), ( g ) overgovala asolutě, tj rovice (4) platí v odech g, eo g Podle (5) i v tomto případě K ( c, r ), K ( c, r ), tj opět K ( c, r ) K ( c, r ) g g ( g ) ( g ) g K( c, r g ), de K ( c, r ) K ( c, rg ) K ( c,mi{ r, rg }) Odtud plye K ( c,mi{ r, rg }) K( c, r g ), tj mi{ r, rg } r g g g g Přílad Uveďme ěteré další Taylorovy řady ( ) arctg( ), pro < (4) [ 9 ]

30 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Stačí uvážit, že arctg( ) dt a staovit Taylorovu řadu uce Vyjdeme-li ze t vztahu pro součet geometricé řady t ( ) t pro ( ) t dt q q, pro t q <, dosazeím t < Máme tedy podle (3) arctg( ) dt ( ) t q t dostaeme , pro l( ) ( ) Protože l( ) dt, opět využijme vztahu dostaeme t ( ) t dt t q q, pro < (43) q <, dosazeím q ( ) t pro t < Opět podle (3) l( ) t dt ( ) t dt ( ) pro < t l( ) ( ), pro < (44) Podle předchozího výsledu a (39) máme l( ) l( ) l( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Přílad 3 Při hledáí Taylorovy řady racioálí uce využíváme atu, že ryze lomeou racioálí uci můžeme rozložit a součet parciálích zlomů z ichž pro aždý lze staovit Taylorovu řadu pomocí ormule pro součet geometricé řady a derivováí Uažme, že pro Taylorovu řadu se středem c, c a, uce ( ) platí: ( a) ( a ) ( c) (45) ( ) ( ca) Nejprve staovme řadu pro Platí a ( ) ( ca) a c c a c a c ca ( c ) ca ca ca ( ) ( c), pro c < Dále je potřea rovici a ( c) -rát ( ca) ( ) d d d derivovat Dostaeme a ( ) d c Platí ( ca) d ( )! d a ( a ) d, ( c) d c ( ) ca [ 3 ]

31 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí ( )! pro, potom! ( ( )! ) c ( a ) ( )! ( ca) ( )! ( c), odtud ( a ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( )!! ( c) ca ( c) ( ca) ( ca) ( c) Přílad 4 5 Staovte vzorec pro -tou derivaci uce ( ) v odě Podle vztahu (3) stačí 6 sestavit Taylorovu řadu se středem v odě c Nejprve uci rozložíme a součet 5 5 parciálích zlomů Dostaeme Jedotlivé zlomy vyjádříme 6 ( 3)( ) 3 řadou postupem z předchozího příladu Mohli ychom rovou použít tam odvozeý vzorec (45), odvozeí je vša ta jedoduché, že ho raději zopaujeme Dostaeme ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 5 Potom Odtud dostáváme výslede ( 3)( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) Odoě ( ) 4 () ( )! ( ) 5, tedy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) ( )( ) 4 Z Taylorových řad můžeme zísávat součty číselých řad vhodým výěrem argumetu, eo vyšetřováím hodot a hraici overgečího ruhu K tomu účelu se hodí dále ormulovaá věta Věta 3 (elova věta) Nechť a,, c, echť řada a ( ) c má ladý a oečý poloměr overgece r Nechť pro ějaé α řada overguje i v hraičím odě ruhu overgece c j re α Pa řada součet j ( c re α ) a ( ) c overguje stejoměrě a úsečce { c te jα t, r } a její ( ) a ( ) j c je a této úsečce spojitou ucí, tj zejméa lim ( c te α ) j ar e α t r Přílad 5 π Platí [ 3 ]

32 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Podle (4) je a ruhu overgece < ( ) arctg( ) Podle Leiizova ritéria řada overguje i v hraičím odě Potom () () ( ) lim lim arctg( ) (3) arctg() π 4 ( ) () Použita elova věta, () použit vztah (4), (3) použita spojitost uce arctg Pozáma K výpočtu čísla π se řada ehodí, overguje příliš pomalu Přílad 6 Platí Podle (43) je a ruhu overgece < l() (46) l( ) ( ) Podle Leiizova ritéria řada overguje i v hraičím odě Potom 3 4 () () lim ( ) lim l( ) (3) l() ( ) () Použita elova věta, () použit vztah (43), (3) použita spojitost uce l Přílad 7 Platí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l() (47) Tuto rovost dostaeme přímým dosazeí do vztahu (44) za 3 Řada (47) ovšem overguje daleo rychleji, ež (46) [ 3 ]

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

9. Číselné posloupnosti a řady

9. Číselné posloupnosti a řady 9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitálí učebí mateiál Číslo pojetu CZ07/500/34080 Název pojetu Zvalitěí výuy postředictvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové ativity III/ Iovace a zvalitěí výuy postředictvím ICT Příjemce podpoy Gymázium

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Od unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu

Od unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu Od uimodálích posloupostí arozeiovému paradoxu Atoí Slaví, Praha Abstrat. Koečá posloupost reálých čísel se azývá uimodálí, poud ji lze rozdělit a elesající a erostoucí úse. V textu se zaměříme především

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

Dvojný integrál. Dvojný integrál na obdélníkové oblasti

Dvojný integrál. Dvojný integrál na obdélníkové oblasti Dvojý itegrál Zatímo itegračím oborem jeorozměrého itegrálu bl iterval, u vojého itegrálu je třeba raovat s vojrozměrými obor. Může to být obélíová oblast, ale i složitější útvar jao ař. ruh, ruhová výseč

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č. Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více