7 LIMITNÍ VTY. as ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl:
|
|
- Ivana Bartošová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7 LIMITNÍ VTY as e studu aptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umt formulovat a používat lmtí vty aproxmovat já rozdleí rozdleím ormálím
2 Výlad: V této aptole adefujeme tvrzeí (lmtí vty), terá jsou dležtá pro pops pravdpodobostích model v pípad rostoucího potu áhodých pous. 7. Defce záladích pojm 7.. Kovergece podle pravdpodobost (stochastcá overgece) Kovergece podle pravdpodobost e ostat a Je dáa posloupost áhodých vel { } (,,., ) a reálé íslo a (a R). Jestlže pro aždé > 0 platí: lm a < ε ( ) (jestlže pravdpodobost, že abude hodoty z tervalu (a-; a+) overguje pro jedé (pro lbovol malé )), pa íáme, že posloupost áhodých vel { } overguje a podle pravdpodobost. Kovergece podle pravdpodobost áhodé vel Tato overgece je zobecím pedcházejícího pípadu. Je dáa posloupost áhodých vel { } a áhodá vela. Jestlže pro aždé > 0 platí: lm < ε ( ) (jestlže pravdpodobost, že abude hodoty z tervalu (-; +) overguje pro jedé (pro lbovol malé )), pa íáme, že posloupost áhodých vel { } overguje áhodé vel podle pravdpodobost. 7.. Kovergece v dstrbuc Je dáa posloupost áhodých vel { },posloupost dstrbuích fucí áhodých vel { }-{F (x)} a áhodá vela, terá má dstrbuí fuc F(x). Jestlže: lm ( x) F( x), F pa íáme, že posloupost áhodých vel { } overguje áhodé vel v dstrbuc a F(x) azýváme asymptotcou dstrbuí fucí. Koverguje-l posloupost áhodých vel { } áhodé vel v dstrbuc, zameá to, že pro dostate velá mžeme dstrbuí fuc áhodé vely aproxmovat (tz. s jstou chybou ahradt) asymptotcou dstrbuí fuc F(x)
3 ílad: Jestlže posloupost áhodých vel { } overguje v dstrbuc rozdleí N(µ, σ ), (íáme taé, že áhodá vela má asymptotcy ormálí rozdleí), pa lm F x µ ( x) F( x) Φ σ (tz. pro velá mžeme dstrbuí fuc áhodé vely aproxmovat dstrbuí fuc ormálí áhodé vely a tu po stadardzac ajít v tabulách). 7. ebyševova erovost Je-l lbovolá áhodá vela se stedí hodotou E a oeým rozptylem D ( ) ( D < ), pa ebyševova erovost odhaduje (velce hrub) pravdpodobost odchyly áhodé vely od její stedí hodoty. ε > 0 : ( E ε ) D ε Následující vztah reprezetuje aplac ebyševovy erovost pro pípad, dy chceme odhadout pravdpodobost, že áhodá vela je od své stedí hodoty vzdáleá o více ež - ásobe smrodaté odchyly (za dosadíme.): σ, > 0 : ( E σ ) ešeý pílad: Odhadte pravdpodobost, že áhodá vela je od své stedí hodoty vzdáleá o více ež 3. ešeí: σ > 0 : 3 ( E 3 σ ) ( 0,) Hledaá pravdpodobost eperauje %. (Je to opravdu hrubý odhad, srovejte s s pravdlem 6 sgma platým pro ormálí rozdleí.) ešeý pílad: ravdpodobost vyrobeí zmetu je 0,5. Odhadte pravdpodobost, že p vyrobeí 000 výrob bude zmet
4 ešeí:... poet zmet v 000 výrobcích, proto: B ( 000 ;0,5) E. p 500; D. p. ( p) 50; σ D 50 ravdpodobost, že poet zmet bude v rozmezí 400 až 600 lze vyjádt ve tvaru: ( 400 < < 600) ( 500 < 00) ( ) Vyjádíme-l s povoleou odchylu od stedí hodoty (00) jao ásobe smrodaté odchyly ( 50 ), mžeme z ebyševovy erovost zjstt, že: ( ) , 05 z ehož lze jedoduše odvodt, že: ( 400 < < 600) > 0, 975 (Je-l ( ) 0, 05, pa ( ) > 0,975 ( 0,05) ppomeme, že jde o velce hrubý odhad., ). Zovu s Výlad: 7.3 Záo velých ísel Jao záo velých ísel ozaujeme tvrzeí o overgec prmru v posloupost áhodých vel. Záo velých ísel:,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým stedím hodotam E E E µ. Jestlže defujeme jao:. j; j N, pa posloupost { } overguje podle pravdpodobost. ( µ ) p, tj. lm ( µ < ε )
5 Všmme s, že,,, emusí mít stejé rozdleí, a zárove emáme žádé požadavy a jejch rozptyl Slý záo velých ísel Nastává-l tato overgece s pravdpodobost, mluvíme o slém záou velých ísel. Slý záo velých ísel:,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým stedím hodotam E E E µ. Jestlže defujeme jao:. j; j N, pa posloupost { } overguje podle pravdpodobost soro jst: ( lm µ ) 7.3. Slabý záo velých ísel Slabý záo velých ísel posthuje (oprot slému záou velých ísel) slabší formu overgece (overgece odchyle prmru od jeho stedí hodoty), máme p m vša taé slabší požadavy a ezávslost áhodých vel. Slabý záo velých ísel:,,, jsou eorelovaé áhodé vely se stejým stedím hodotam E E E µ a oeým rozptyly, pa: ε > 0 : lm ( E ) < ε rvodce studem: Následující pasáž je vováa dazu platost záoa velých ísel (pro zájemce): Víme, že: E E E µ D D σ D
6 Je-l:. j; j N, pa a zálad vlastostí stedí hodoty a rozptylu mžeme tvrdt, že: E ( µ ) µ, ( ) σ σ D D ε > 0 : E ε, ε ebyševova erovost íá, že: ( ) D ε což mžeme zapsat tatéž jao: ε > 0 : ( E < ε ) Aplujeme-l tuto erovost a áhodou velu σ, dostaeme: ε 0 : ( µ ε ) σ > <, po úprav: ε > 0 : ( µ < ε ) ε V dalším rou uríme lmtu pro z výše uvedeého výrazu: lm ε σ ( ) µ < ε lm ε ( µ < ε ) lm, což zameá, že posloupost { } overguje podle pravd-podobost Výlad: Dsledem záoa velých ísel je Beroullho vta Beroullho vta Beroullho vta íá, že relatví etost sledovaého jevu stochastcy overguje (overguje podle pravdpodobost) jeho pravdpodobost. To ám umožuje expermetál odhadovat ezámou pravdpodobost pomocí pozorovaé relatví etost (vz. lascá defce pravdpodobost). Beroullho vta: Nech,,... jsou ezávslé áhodé vely s alteratvím rozdleím (poet úspch v jedom pousu) s parametrem p (pravdpodobost úspchu), jestlže defujeme jao:
7 . j; j N, pa p ( p) Jelož výraz a levé stra pedstavuje relatví etost výsytu uvažovaé událost v posloupost pous, mžeme p velém potu pous odhadovat pravdpodobost astoupeí jaé událost relatví etostí výsytu této událost v posloupost pous. rvodce studem: A opt zde máme objasí matematcého pozadí výše uvedeé vty. Odvozeí Beroullho vty: Víme, že: A( p) E E E p ( p) D D D p. Je-l: j j ; N, pa B( ; p) Jestlže defujeme jao: (souet alteratvích áhodých vel s parametrem p (poet úspch v jedom pousu) je bomcou áhodou velou s parametry a p (poet úspch v pousech). j j ; N, pa ozauje relatví etost výsytu událost a podle záoa velých ísel posloupost { } (relatví etost) overguje podle pravdpodobost pravdpodobost p (stedí hodot E ), tz. že pro velá mžeme pravdpodobost odhadovat relatví etostí. p ( p), tj. lm ( p < ε )
8 Výlad: 7.4 Cetrálí lmtí vta V pedcházejícím výladu jsme se zmíl o tom, že mmoád dležté postaveí mez rozdleím má rozdleí ormálí. Je tomu ta mmo jé proto, že ormálímu rozdleí se za urtých podmíe blíží já rozdleí áhodých vel. O áhodých velách, jež overgují v dstrbuc ormálímu rozdleí (áhodé vely, jejchž dstrbuí fuce pro velá overguje dstrbuí fuc ormálího rozdleí), íáme, že mají asymptotcy ormálí rozdleí. Kovergecí rozdleí ormálímu rozdleí se zabývá cetrálí lmtí vta, terá má dv dílí formulace: Ldebergovu-Lévyho vtu a Movreovo- Laplaceovu vtu Ldebergova-Lévyho vta odle této vty má pro dost velé souet prmr áhodých vel se stejým rozdleím, stejým prmrem a stejým rozptylem pblž ormálí rozdleí. Ldebergova-Lévyho vta Jestlže,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým (lbovolým) rozdleím, stejým stedím hodotam E E E µ a se stejým (oeým) rozptyly D D D, pa platí: σ Y σ µ lm ( Y < u) Φ ( u ) (Y má asymptotcy ormálí rozdleí N(0,), ( ( u) Φ( u) v dstrbuc rozdleí N(0,)) FY Z této vty bezprosted vyplývá, že pro dostate velá platí: ), tj. Y overguje. E µ ; D σ, rozdleí áhodé vely lze aproxmovat rozdleím N ( µ ; σ ) asymptotcy ormálí rozdleí, N( µ;σ )., tj. má
9 odobý závr platí pro :. E µ µ ; D σ σ rozdleí áhodé vely lze aproxmovat rozdleím asymptotcy ormálí rozdleí, N µ ; σ. N µ ; σ, tj. má ešeý pílad: Dlouhodobým przumem bylo zjšto, že doba potebá objeveí a odstraí poruchy stroje má stedí hodotu 40 mut a smrodatou odchylu 30 mut. Jaá je pravdpodobost, že doba potebá objeveí a opraveí 00 poruch eperoí 70 hod? ešeí:... doba potebá objeveí a odstraí -té poruchy Víme, že: E 40 mut a D 30 mut, rozdleí áhodé vely ezáme... celová doba do objeveí sté poruchy 00 Na zálad Ldebergovy-Lévyho vty víme, že souet áhodých vel se stejým rozdleím (emusíme vdt jaým), stejým stedím hodotam a stejým rozptyly mžeme aproxmovat ormálím rozdleím s parametry: µ E, σ D, proto: N ( 00 40;00 30 ) Nyí jž eí problém urt hledaou pravdpodobost (esmíme je zapomeout a užíváí stejých jedote, v ašem pípad mut (70h 400 mut): ( < 400 ) F( 400) Φ Φ( 0,67) 0,
10 ešeý pílad: Žvotost eletrcého holícího stroju Adam má expoecálí rozdleí se stedí hodotou roy. Urete pravdpodobost, že prmrá žvotost 50-t prodaých stroj Adam bude vyšší ež 7 msíc. ešeí:... žvotost -tého holícího stroju Adam λ... prmrá žvotost 50-t stroj Adam Exp E roy λ ro D λ 4 ro Z Ldebergovy-Lévyho vty víme, že: N µ ; σ V ašem pípad: 50 4 N; Nyí, dyž záme rozdleí prmré žvotost 50-t stroj Adam, mžeme ešeí doot (7 msíc,5 ro):,5 (,5) (,5) > F Φ Φ(,53) 0,937 0, Výlad: Specálím pípadem tvrzeí o overgec soutu stej rozdleých áhodých vel (se stejým prmrem a stejým rozptylem) rozdleí ormálímu je Movreova - Laplaceova vta
11 7.4. Movreova-Laplaceova vta Tato vta vyjaduje overgec bomcého rozdleí ormálímu rozdleí. Staí s uvdomt, že bomcá áhodá vela je soutem alteratvích áhodých vel (ezávslé áhodé vely se stejým rozdleím, stejou stedí hodotou a stejým rozptylem) a tudíž spluje pedpolady Ldebergovy-Lévyho vty. roto j lze pro µ p; σ p p dostate velá aproxmovat orm. rozdleím s parametry: ( ) Movreova-Laplaceova vta Nech B( ; p) ; E p; D p( - p), potom pro velá platí, že: U p N(0,), p( p) tj. ja eeo: pro dostate velá : N( p p( p) ) ;. Aproxmace bomcého rozdleí ormálím se zlepšuje s rostoucím rozptylem. omr dobré výsledy dává tato aproxmace v pípad, že: 7.5 Aplace cetrálí lmtí vty p ( p) > 9 ebo m { p ; ( p) } > 5 Cetrálí lmtí vta se šroce využívá pro vtšu rozdleí Aproxmace rozdleí výbrové relatví etost ormálím rozdleím Máme-l Beroullho pous, p terých astae výsyt jaé událost, mžeme urt výbrovou relatví etost p: p,, π D π π ). Na zálad Ldebergovy-Lévyho vty mžeme ostatovat, že souet alteratvích áhodých vel se stejým stedím hodotam a stejým rozptyly mžeme aproxmovat rozdleím ormálím s parametry: µ E π σ D π π. de mají alteratví rozdleí s parametrem ( A( π ) E, ( ), ( ) N ( π ; π ( π )) (Ke stejému závru dojdeme a zálad Movreovy-Laplaceovy vty, uvdomíme-l s, že souet alteratvích áhodých vel má rozdleí bomcé.)
12 Zárove z Ldebergovy-Lévyho vty vyplývá, že prmr áhodých vel (výbrovou relatví etost p) lze taé aproxmovat ormálím rozdleím, tetorát s parametry: D ( ) µ E π, π π σ. p N π ( π ) π, Na zálad stadardzace (pevodu a ormovaé ormálí rozdleí) pa mžeme taé íc, že: p π N (0,) π ( π ) 7.5. Aproxmace ossoova rozdleí ormálím rozdleím Taé ossoovo rozdleí mžeme ahradt rozdleím ormálím v pípad, že asový terval ( 0 ;t) je dostate velý a tudíž je dostate velý oeávaý poet událost (stedí hodota) t: o λt, E λt, D λt ( ) pa pro dostate velé t platí, že mžeme aproxmovat ormálím rozdleím s parametry: µ λt, σ λt : N λ t, λt ( ) Obdob platí, že prmrý poet výsytu událost za asovou jedotu lze aproxmovat ormálím rozdleím: Y... poet výsytu událost za asovou jedotu, Y t, pa áhodou velu Y, daou jao fuc áhodé vely, lze aproxmovat ormálím rozdleím, Uvažujeme-l, že lze aproxmovat ormálím rozdleím, N( λ t, λt) λ jehož parametry jsou: µ λt λ, σ λt : t t t λ Y Nλ, t využtí této aproxmace s uvdomme, že prmrý poet událost (Y) mžeme vztahovat lbovolé ohraeé oblast (eje asové) ap. ploše
13 rvodce studem: Tato pasáž je opt vováa zájemcm o hlubší pochopeí studovaé problematy. ro mžeme ossoovo rozdleí aproxmovat ormálím? Teto daz je obdobý jao daz ossoovy vty (odvozeí pravdpodobostí fuce ossoova rozdleí): Uvažujme ossov proces, terý je pozorová v prbhu asu t. edpoládejme, že rychlost výsytu událostí je. otom pravdpodobost výsytu událostí bhem tervalu (0;t) bude úmrá hodot t. Nyí rozdlíme terval dély t a subterval stejé dély (t/). Výsyt událostí v aždém z tchto subterval bude ezávslý a pravdpodobost výsytu událostí bhem jedoho tohoto malého tervalu bude úmrá hodot (.(t/)). oud je dostate velé íslo, pa déla tervalu (t/) bude dostate malá - atol, že pravdpodobost výsytu více ež jedé událost v tomto tervalu je tém ulová a pravdpodobost výsytu jedé událost je úmrá (.(t/)). Nech je poet výsytu událost v -tém subtervalu. Je zejmé, že má alteratví rozdleí s parametrem p.(t/). t A λ ; E t t t λ ; D λ λ Je-l defováa jao poet výsytu událost bhem asového tervalu (0;t), pa má tato áhodá vela ossoovo rozdleí s parametrem t. o ( λt) Zárove mžeme áhodou velu vyjádt jao souet áhodých vel, a tudíž j mžeme podle cetrálí lmtí vty aproxmovat ormálím rozdleím: ( λt) λt E E λ t; D D lm λt λt λt lm N( λt;λt) - 0 -
14 Výlad: 7.6 Oprava a spojtost Chceme-l urovat pravdpodobost výsytu dsrétí áhodé vely a tervalu (resp. b b b ; ), pop. pravdpodobost, že áhodá vela abude orétí hodoty, zavádí se pro pesjší výpoet tzv. oprava a spojtost. Oprava a spojtost bude prezetováa v ásledujícím ešeém píladu. (a;, resp. ( a; ), resp. ( ) a; b ešeý pílad: Na telefoí ústedu je apojeo 3000 úastí. Každý z ch bude volat telefoí ústedu bhem hody s pravdpodobostí 0%. Jaá je pravdpodobost, že bhem ásledující hody zavolá ústedu: a) práv 300 úastí? b) více ež 30 úastí? c) mez 00 a 450 úastíy(vet)? ešeí: poet úastí volajících ústedu bhem ásledující hody (z 3000) Z defce áhodé vely je zejmé, že má bomcé rozdleí: B( 3000;0, ) jehož pravdpodobostí fuce je: ( ) p ( ) p ! 300 0, ! 300! ada) ( ) ( ) ( ) ( ) 300 ( ) , 0, 0, 9, Zde arážíme a problém. S pomocí alulay edoážeme urt žádý z výše uvedeých fatorál. roto v tomto pípad provedeme alespo pblžý výpoet (aproxmac). Z Movreovy-Laplaceovy vty víme, že bomcé rozdleí mžeme aproxmovat rozdleím ormálím: Movreova-Laplaceova vta: Nech B( ; p) ; E p; D p( - p) N( p; p( p) ), pa dostate velá :
15 V ašem pípad: B ( 3000 ;0,) ; E , 300; D , 0,9 70, proto mohu aproxmovat ormálím rozdleím s parametry 300; 70 N(300;70) Nyí musíme vyešt ješt jedu omplac. aproxmac dsrétí áhodé vely spojtou dochází tomu, že výpoet pravdpodobostí fuce elze jedoduše provést (pravdpodobostí fuce spojté áhodé vely je ulová). roto se provádí tzv. oprava a spojtost. ( 300 ) 0 Je-l defováo jao poet úastí volajících bhem ásledující hody ústedu, mžeme tvrdt, že pravdpodobost, že píští hodu bude volat 300 úastí je stejá jao pravdpodobost, že bude volat alespo 99,5 a mé ež 300,5 úastí. (V tervalu 99,5;300,5 ) je pouze 300 úastí.) ( 99,5 < 300,5) ( 300 ) ( 99,5 < 300,5) jž eí pro spojtou áhodou velu ulová a ta mžeme provést aproxmaí výpoet. Této úprav se íá oprava a spojtost. ( 300) ( 99,5 < 300,5) ( < 300,5) ( < 99,5) F Φ ( 300,5) F( 99,5) ( 0,03) Φ( 0,03) Φ( 0,03) [ Φ( 0,03) ] Φ( 0,03) 0,5 0,04 300, ,5 300 Φ Φ adb) ( > 30) ( 0,) ( 0,) - ( 0,) ( 0,) I zde astává problém. Vdíme, že vyísleí píslušých sout (sum) by ám zabralo spoustu asu (poud bychom to vbec s pomocí alulay doázal). roto v tomto pípad pstoupíme pblžému výpotu (aproxmac). Nyí mžeme provést pblžý výpoet: ( > 30) ( 30) N(300;70) Zovu astává problém zpsobeý aproxmací dsrétího rozdleí spojtým a proto zde pstoupíme oprav a spojtost:
16 ( > 30 ) ( 30) ( < 30,5) 30,5 300 ( > 30 ) F(30,5) Φ Φ( 0,64) 0,739 0, 6 70 adc) ( ) ( 0,) ( 0,) Opt máme ve výše uvedeém vztahu velý poet sítac a vysoé fatorály, proto hledáme pblžý výslede pomocí cetrálí lmtí vty (Movreovy-Laplaceovy vty). Zárove zde budeme provádt opravu a spojtost: ( ) ( 450) ( < 00) ( < 450,5) ( < 00) F Φ ( 450,5) F( 00) ( 9,6 ) Φ( 6,09) Φ( 9,6 ) [ Φ( 6,09) ] Φ( 9,6 ) + Φ( 6,09) + 450, Φ Φ oužtá aproxmace ám dává velm dobré výsledy (velm blízé suteým), protože je spla podmía, že: ( p) > 9 7 > 9. p ( ) ešeý pílad: Seretáa etra píše a stroj rychlost 50 úhoz / m. této rychlost udlá prmr 3 chyby za 0 mut. Jaá je pravdpodobost, že p 30-t mutovém dtátu udlá více ež 0 chyb? ešeí: Defujme s áhodou velu jao poet chyb v dtátu (za 30 mut). Tato áhodá vela (poet událost v asovém tervalu) má ossoovo rozdleí s parametrem t 9 (prmrý poet chyb za 30 mut, E D). 0 9! o( 9) 0 9 0! 0 9 0! 9 9 ( > 0) ( 0) e e ,706 0, 94 0 Teto výpoet byl poud pracý. roveme srovávací výpoet pomocí cetrálí lmtí vty: 9!
17 Víme, že ossoovu áhodou velu s parametrem t mžeme aproxmovat pro dostate velá t ormálím rozdleím s parametry: t, t. a: N( 9;9) ( > 0) ( 0) ( < 0,5) F( 0,5) Φ Φ( 0,5) 0,69 0,309 0,5 9 9 Vyhodoceí aproxmace pro teto pípad: Aproxmaí postup byl mohem rychlejší, výsledy obou postup se ám lší o,5%, což je as 5% -í chyba (0,05/0,94). Výlad: Oprava a spojtost (u pravdpodobostí fuce): Je-l dsrétí áhodá vela, pa: ( a) ( a 0,5 < a + 0,5) Hodota 0,5 ve výše uvedeém vztahu je dáa dohodou. Teoretcy bychom mohl tuto a a 0,3 < a + 0,. omplac vyešt apílad tato: ( ) ( ) Obec oprava a spojtost: osouzeí vhodost použtí opravy a spojtost provádíme vždy p ešeí orétího píladu dsledým pevodem pravdpodobost výsytu áhodé vely a jaém tervalu a vztah mez dstrbuím fucem v píslušých bodech. Shrutí: V této aptole jsme se voval lmtím vtám, tj. tvrzeím, terá jsou dležtá pro pops pravdpodobostích model v pípad rostoucího potu áhodých pous.. ro oretac v této problematce jsme se sezáml s ola ovým pojmy: Jestlže posloupost áhodých vel overguje podle pravdpodobost áhodé vel, pa: ε > 0 : lm < ε ( )
18 Jestlže posloupost áhodých vel { } overguje áhodé vel v dstrbuc, pa: lm ( x) F( x), F F(x) v tomto pípad azýváme asymptotcou dstrbuí fucí. Velce hrubý odhad pravdpodobost odchyly áhodé vely od její stedí hodoty ám umožuje ebyševova erovost: ε > 0 : D ε ( E ε ) Chceme-l odhadout pravdpodobost, že odchyla áhodé vely od její stedí hodoty je ásobem smrodaté odchyly ( σ ), pa použjeme upraveou verz ebyševovy erovost, dy za dosadíme.: σ, > 0 : ( E σ ) Kovergec prmru v posloupost ezávslých vel se zabývá záo velých ísel, terý íá, že prmr ezávslých áhodých vel se stejým stedím hodotam overguje podle pravdpodobost jejch stedí hodot. Dsledem záoa velých ísel je Beroullho vta. Beroullho vta íá, že relatví etost sledovaého jevu overguje podle pravdpodobost jeho pravdpodobost. To ám umožuje expermetál odhadovat ezámou pravdpodobost pomocí pozorovaé relatví etost (vz. lascá defce pravdpodobost). Kovergecí rozdleí ormálímu rozdleí se zabývá cetrálí lmtí vta, terá má dv dílí formulace: Ldebergovu-Lévyho vtu a Movreovo-Laplaceovu vtu. Ldebergova-Lévyho vta íá, že pro dost velé má souet prmr áhodých vel se stejým rozdleím, stejým prmrem a stejým rozptylem pblž ormálí rozdleí: Jestlže,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým (lbovolým) rozdleím, stejým stedím hodotam E E E µ a se stejým (oeým) rozptyly D D D, pa platí: σ N ( µ ; σ ) N µ ; σ Movreova-Laplaceova vta vyjaduje overgec bomcého rozdleí ormálímu rozdleí: Nech B( ; p), pa: pro dostate velá : N( p; p( p) )
19 emž pomr dobré výsledy dává tato aproxmace v pípad, že: p ( p) > 9 ebo m { p ; ( p) } > 5 Mez dležté aplace cetrálí lmtí vty pa patí možost aproxmace výbrové relatví etost ormálím rozdleím: ( π ) π p Nπ ;, možost aproxmace ossoova rozdleí rozdleím ormálím: Nech o( λt) rozdleím s parametry: N( λ t, λt), pa pro dostate velé t mžeme aproxmovat ormálím a možost aproxmace prmrého potu událost za asovou jedotu ormálím rozdleím: λ Nech Y je prmrý poet výsytu událost za asovou jedotu, pa: Y Nλ, t Na závr zbývá ppomeout, že chceme-l dostat co ejlepší výsledy p aproxmac dsrétího rozdleí rozdleím spojtým, ezapomeeme p výpotech a opravu a spojtost
20 Otázy. Vysvtlete pojmy: overgece podle pravdpodobost, overgece v dstrbuc.. Co je to ebyševova erovost a ja j mžeme využít? 3. Vysvtlete záo velých ísel s ohledem a relatví etost výsytu jaé událost v posloupost pous (Beroullho vta)? 4. Co íá cetrálí lmtí vta (Ldebergova-Lévyho vta, Movreova-Laplaceova vta)? 5. Ja mžeme použít cetrálí lmtí vtu aproxmac rozdleí ossoova (popípad bomcého) rozdleím ormálím? 6. Ja mžeme pomocí cetrálí lmtí vty aproxmovat výbrovou relatví etost? 7. Kdy se používá oprava a spojtost?
21 Úlohy ešeí. Farmá prodává brambory po oších. Váha oše má logartmco-ormálí rozdleí se stedí hodotou 7,80 g a smrodatou odchylou,76 g. Jaá je pravdpodobost, že celová váha pt oš brambor bude vyšší ež 90 g?. Zamstac jstého podu mají áro a jede de pl hrazeé emocesé msí. Jestlže víme, že zamstac s vybírají cca 0,78 dí msí ( a zamstace ) a v podu pracuje 0 zamstac, jaá je pravdpodobost, že s zamstac píští msíc budou ároovat více ež 95 dí? 3. V továr a výrobu žárove bylo p výstupí otrole zjšto, že žvotost žárovy je (600 ± 50) hod. Jaá je pravdpodobost, že vybereme-l áhod 00 žárove, ta jejch prmrá žvotost bude žší ež 560 hod? 4. Majtel osu a tramvajové zastávce odhadul, že 5% záazí s upuje hamburger. Ve stedu aupovalo v daém osu 375 záazí. Jaá je pravdpodobost, že bylo prodáo více ež 65 hamburger? 5. Místí frma ompletuje poítae C. rmrá doba potebá sestaveí jedoho poítae je 35 mut. Ve frm se ompletováím se pracuje 8 hod de, 0 dí msí. Jaá je pravdpodobost, že píští msíc zamstac sestaví: a) více ež 300 poíta b) mez 50 a 75 poíta 6. Frma Y se zabývá výrobou moblích telefo. 5% výrob je p výstupí otrole vyazeo v dsledu výrobích vad. Jaá je pravdpodobost, že v otrolí sér 500 telefo bude: a) mé ež 30 vadých us b) mez.5% a 7.5% vadých us 7. ed volbam je v populac státu 5% pízvc oalích stra. Jaá je pravdpodobost, že przum veejost rozsahu 500 uáže espráv pevahu opozce? 8. ravdpodobost zásahu letícího cíle stelcem je 0,95. Jaá je pravdpodobost, že poet zásahu ve 00 pousech bude alespo 97? 9. zásahu jádra atomu urtého prvu dojde s pravdpodobostí 0% vyzáeí jsté ástce. a) Kolem jaé stedí hodoty bude olísat poet vyzáeých ástc p zásahu 00 jader? b) Odhadte terval, v mž se bude pohybovat poet vyzáeých ástc p zásahu 00 jader s pravdpodobostí 99,9%
22 ešeí:. Φ( 0,5) 0, 40. Φ(,79) 0, Φ(,6 ) 0, Φ(,34 ) 0, 090 (aplováa oprava a spojtost) 5. a) Φ(,58 ) 0, 057 b) ( 0,04) + Φ(,47 ) 0, 445 (aplováa oprava a spojtost) Φ (aplováa oprava a spojtost) 6. a) Φ (,03) 0, 848 b) Φ(,56) 0, Φ(,55 ) 0, Φ( 0,9) 0, a) E 0 ; σ 3 < < 9 0, b) ( )
Pro orientaci v této problematice jsme se seznámili s nkolika novými pojmy:
Ig. Marta Ltschmaová Statsta I., cveí 8 LIMITNÍ VTY Lmtí vty jsou tvrzeí, terá jsou dležtá pro pops pravdpodobostích model v pípad rostoucího potu áhodých pous.. ro oretac v této problematce jsme se sezáml
Více7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl:
7 LIMITNÍ VĚTY Čas ke studu kaptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umět formulovat a používat lmtí věty aproxmovat já rozděleí rozděleím ormálím - 96 - Výklad: V této kaptole adefujeme
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VícePřednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
VícePo prostudování tohoto odstavce budete umt porozumt konstrukci F-pomru rozhodovat se pomocí testu zvaného analýza rozptylu
0. AOVA Aalýza rozptylu as e studu aptoly: 60 mut Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umt porozumt ostruc F-pomru rozhodovat se pomocí testu zvaého aalýza rozptylu zostruovat tabulu AOVA provést
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VíceMetodika: Goniometrický tvar komplexního ísla, binomická rovnice
! " #$ % # & ' ( ) * + ), - Idvduálí výuka matematka Vít Ržka, kvte Metodka: Goometrcký tvar komplexího ísla, bomcká rovce Úvod Téma goometrcký tvar komplexího ísla je možé probírat soubž s výkladem pojmu
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceRegrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n
Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =
Více2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme
VíceDigitální učební materiál
Dgtálí učebí materál Číslo projetu CZ..07/.5.00/34.080 Název projetu Zvaltěí výuy prostředctvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové atvty III/ Iovace a zvaltěí výuy prostředctvím ICT Příjemce podpory Gymázum,
Více6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY
6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Rozdleí áhodé veliiy je edis, terým defiujeme ravdodobost jev, jež lze touto áhodou veliiou osat. Záladím rozdleím oisujícím výbry bez vraceí je hyergeometricé
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
Vícea další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.
Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu
Více3. cvičení 4ST201 - řešení
cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
Více1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků
1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,
VíceStatistická rozdělení
Úvod Statstcá rozděleí Václav Adamec vadamec@medelu.cz Náhodá proměá: matematcá velča, jejíž hodot osclují. Produt áhodého procesu lze charaterzovat fucí Hodot proměé v oboru přípustých hodot Rozděleí
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceVýsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
VíceNáhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.
Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.
VíceNárodní informační středisko pro podporu kvality
Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí
Více10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI
Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více[ jednotky ] Chyby měření
Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá
VíceSTATISTICKÁ ANALÝZA. Doc. RNDr. Zden k Karpíšek, CSc. P ehledový u ební text pro doktorské studium. Vysoké u ení technické v Brn
Vysoké ueí techcké v Br Fakulta strojího žeýrství STATISTICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. Pehledový uebí tet pro doktorské studum BRNO 008 Pedášející: Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. Cetrum pro
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charatersty a parametry áhodýh velč Úolem této aptoly je zavést pomoý aparát, terým budeme dále popsovat pomoí jedoduhýh prostředů áhodé velčy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo haratersty áhodé
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceU. Jestliže lineární zobrazení Df x n n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Víceje hustota pravdpodobnosti nebo pravdpodobnostní funkce náhodného výbru X (X 1, X 2,, X n ). , jako odhad. Nech f ( x;θ)
7. as ke studu: 90 mut Cíl: Na úvod této kaptoly se sezámíte s odlšým pohledem a metodu mamálí vrohodost a dále se pak udete vovat základm Bayesovy dukce. Sezámíte se s pojmy aprorí a aposterorí rozdleí,
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
Více3. cvičení 4ST201. Míry variability
cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VícePŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI
PŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI Přílad 0.6 Pracoví, terý spravuje podovou databáz, eportoval do tabulového procesoru všechy pracovíy podu Alfa Blatá s ěterým sledovaým
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti a teorie grafů
Vysoá šola báňsá Techcá uverzta Ostrava Faulta strojí Zálady teore pravděpodobost a teore grafů Autoř : Doc. Ig. Mluše Vítečová, CSc., Bc. řdal etr, Ig. Koudela Tomáš Ostrava 006 Obsah Obsah SEZNAM OUŽITÉHO
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
Více- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.
MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít
EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH as ke studu kaptoly: mut Cíl: Po prostudováí této kaptoly budete umt použít základí pojmy eploratorí (popsé) statstky typy datových promých statstcké charakterstky a grafckou
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceSoustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.
Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:
VíceNáhodným (stochastickým) procesem nazveme zobrazení, které každé hodnot X t. Promnná t má ve vtšin pípad význam asu. je spojitá,
8 as e studu: 9 mut Cíl: Sezámíte se se záladím omy z teore áodýc roces, Marovovým rocesy, rocesy rst a zá Nauíte se osovat vícestavové systémy omocí ravdodobostí ecod a ravdodobostí stav VÝKLAD 8 Náodé
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
Více9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:
9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí
Více9 Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika
9 Kombatora, teore pravděpodobost a matematcá statsta Te, do argumetue průměrým platem, e s velou pravděpodobostí vysoce adprůměrý vůl s hluboce podprůměrým vzděláím (Mloslav Drucmüller) 9. Kombatora Kombatora
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
VíceLABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:
Vícea) Hypotézy o parametru jedné populace (o stední hodnot, mediánu, rozptylu, relativní
TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ a ke tudu kaptoly: 8 mut Cíl Po protudováí tohoto odtavce budete: zát základí pojmy a prcpy tetováí hypotéz zát kocepc klackého tetu umt rozhodovat pomocí tého tetu výzamot umt pooudt
Více2 HODINY. - jedná se o další velmi dležitou množinu bod urité vlastnosti. P: Narýsuj si kružnici k se stedem S a polomrem 6 cm.
T H A L E T O V A K R U Ž N I E 2 HODINY - jedná se o další velmi dležitou množinu bod urité vlastnosti P: Narýsuj si ružnici se stedem S a polomrem 6 cm. 1. Sestroj libovolný prmr ružnice Krajní body
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2
SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých
VíceStatistické charakteristiky (míry)
Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Více4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema
4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceDomácí práce z p edm tu D01M6F Statistika
eské vysoké u eí techcké Fakulta Elektrotechcká Domácí práce z p edm tu D0M6F Statstka Test dobré shody Bradá Marek 4.ro ík Ak. rok 004/00, LS M6F Test dobré shody Obsah Zadáí...3 Hypotéza...3 3 Zj t é
Více!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.
Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více12. Neparametrické hypotézy
. Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Více10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VíceS1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák
SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk
Více