10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

Transkript

1 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor = 6 zaměstaců Budeme sledovat číselý statstcý za zaměstaců: hrubé měsíčí mzdy v ts Kč v měsíc srpu 0: Řešeí: 0, 4, 0, 0, 4, 0 Přílad má ěol zvláštostí a abízí zajímavé řešeí: Průměrou mzdu samozřejmě můžeme počítat podle vztahu pro artmetcý průměr prostý Můžeme využít tříděí podle jedoho espojtého číselého zau Když roztřídíme mzdy apřílad od ejžší po ejvyšší, pa vdíme, že ěteré hodoty zaů se opaují Využjeme toho, že součet stejých zaů je rove souču zau počet opaujících se zaů ts Kč Zobecěí: Vdíme že: mzda 0 ts Kč se vysytuje, mzda 4 ts Kč se vysytuje, mzda 0 ts Kč se vysytuje Ozačíme číselé zay (mzdy v ts Kč) a jm odpovídající četost (olrát se mzdy vysytují) tato:

2 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa Hodota = 0 ts Kč vysytuje s četostí (vahou) =, Hodota = 4 ts Kč se vysytuje s četostí (vahou) =, Hodota = 0 ts Kč se vysytuje s četostí (vahou) = Když dosadíme do předchozího vzorce místo čísel proměé za: o číselé zay = 0, = 4, = 0, o četost (váhy) =, =, = s uvědomíme, že estují = růzé číselé zay (mzdy v ts Kč), pa můžeme průměr počítat podle vzorce pro vážeý artmetcý průměr: Poud je počet růzých číselých zaů obecě, pa obecý vzorec pro vážeý artmetcý průměr je: Defce vážeého artmetcého průměru Máme statstcý soubor o prvcích (apř pracovíů, prasat apod) Prvy mají vlastost číselé statstcé zay, teré abývají hodot,, (apř mzdy, hmotost prasat apod) Nebol máme růzých prvů, z chž ěteré prvy se ěolrát se opaují Hodota se vysytuje s četostí (vahou), Hodota se vysytuje s četostí (vahou), Hodota se vysytuje s četostí (vahou) Vážeý artmetcý průměr hodot zaů, se počítá podle vztahu

3 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa Přtom platí, že počet prvů souboru je rove součtu četostí: K zamyšleí Jaý je rozdíl mez prostým artmetcým průměrem a vážeým artmetcým průměrem? (Rozdíl je v četostech Četost u prostého artmetcého průměru jsou ) Může hodota průměru ležet pod mmem č ad mamem? o Ne, vždy je mez mmem a mamem V příladu 0 je průměrá mzda ts Kč a je mez ejžší mzdou 0 ts Kč a ejvyšší mzdou 0 ts Kč o Průměr ale eí uprostřed mez mmem a mamem V příladu 0 eí průměrá mzda 5 ts Kč, ale je strže a ts Kč vlvem toho, že velá váha zau 0 ts Kč váha zau 4 ts Kč, což strhe průměr pod střed tervalu Velé váhy jaoby strhávají průměr sobě Př výpočtu vážeého artmetcého průměru je častou chybou záměa a o jsou číselých statstcé zay, ze terých se staoví průměr, o jsou četost, olrát se za opauje (ědy to mohou být váhy, vz pozděj) 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR ZE TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO NESPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU Láta, terá byla probíraá v předchozích odstavcích, je vlastě vážeý artmetcý průměr počítaý ze tříděí podle jedoho espojtého číselého zau Probereme ještě a příladech Přílad 04 Soubor o rozsahu = 0 studetů jsme roztřídl podle pololetích záme ze statsty Zámu = měl = 4 studet, zámu = mělo = 5 studetů, zámu = mělo = 0 studetů, zámu 4 = 4 měl 4 = studet Jaá byla průměrá záma ze statsty? Řešeí: Jž u středě velého souboru s roztříděým zay oceíme výhodu vážeého artmetcého průměru

4 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 4 Vážeý artmetcý průměr hodot zaů, se počítá podle vztahu: U ás počet růzých statstcých zaů (počet růzých záme) je = 4: , Průměrá pololetí záma ze statsty je, Tabula malé orgazace V dalších příladu budeme používat tabulu malé orgazace 0 Předpoládejme, že pracoví podu Alfa Blatá, terý spravuje podovou databáz, eportoval do tabulového procesoru všechy pracovíy podu s ěterým sledovaým atrbuty (vlastostm), teré jsou vypsaé v tabulce 0 Tabula 0: Zaměstac malé orgazace Alfa Blatá Číslo pracovía Příjmeí Pohlaví Ttul Stav Počet vyžvovaých dětí Pracoví ategore Hrubá měsíčí mzda za červe Zbývá dí dovoleé Adam 0 Dělí Bartoš Dělí Beeš 4 Dělí Bera 0 Provozí Bláha Ig Techcý Bohuš 0 Dělí Bouše Dělí Boušová Hospodářsý 000 5

5 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 5 9 Bůbal Dělí Bureš 4 Techcý Burešová 0 Provozí Burgerová Dělí Čerá 0 Dělí Daě Dělí Dlas 0 Dělí Dobeš Dělí Drobí RNDr Bc Hospodářsý Erb Dělí Fchter Dělí Gál Hospodářsý Gott 6 Dělí Havel 0 Hospodářsý Házová 0 Dělí Hejral 0 Techcý Hrubí 4 Dělí Hubač Dělí Hupová Provozí Hus JUDr Hospodářsý Jada Dělí Jaů 0 Dělí Jaů Provozí Jarý Dělí Jřec Dělí Joáš Dělí Kobosl Hospodářsý Korousová Dělí Kos Dělí Koucý Dělí Kulíše Dělí Lahodý Dělí

6 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 6 4 Lahodová Dělí Líbeová Mgr 0 Hospodářsý Lí Dělí La Doc Hospodářsý Líý Mgr Techcý Mahel Dělí Masary Dělí Mocová Dělí Moravec Techcý Nezval Dělí Nohavca Techcý Nová 5 Dělí Nová Dělí Nováová 0 Dělí Odráš 4 Dělí Prádler Hospodářsý Rus Techcý Svoboda Techcý Tatar Techcý Tomšů 4 Techcý Celem Vysvětlvy: Pohlaví Kód muž žea Stav Kód svobodý/á vdaá/žeatý vdova/vdovec rozvedeý/á 4

7 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa Přílad 05 Pracoví, terý spravuje podovou databáz, eportoval do tabulového procesoru všechy pracovíy podu Alfa Blatá s ěterým sledovaým atrbuty (vlastostm), teré jsou vypsaé v tabulce 0: Zaměstac malé orgazace Alfa Blatá a) V aptole Tříděí podle jedoho espojtého číselého zau jsme z tabuly 0 roztřídl zaměstace dle počtu vyžvovaých dětí Výslede je v tabulce 94 Tabulu 94 upravíme a tabulu vhodou pro výpočet průměrého počtu vyžvovaých dětí a jedoho zaměstace metodou vážeého artmetcého průměru b) Učíme sloví pops pro průměrý počet vyžvovaých dětí Tab 94: Tříděí pracovíů frmy Alfa Blatá dle počtu vyžvovaých dětí Počet dětí Počet pracovíů absolutě v % umulatvě umulatvě v % 0 0,0 0,0 4, 6 4, 9, 45 5,0 9 5, , , 58 96, 5, 59 98, 6, 60 00,0 Celem 60 00,0 Řešeí: Ad a) V aptole Tříděí podle jedoho espojtého číselého zau jsme z tabuly 0 roztřídl zaměstace dle počtu vyžvovaých dětí Výslede je v tabulce 94 Tabulu 94 upravíme a tabulu vhodou pro výpočet průměrého počtu vyžvovaých dětí a jedoho zaměstace metodou vážeého artmetcého průměru Pro potřeby výpočtu průměrého počtu dětí upravíme tabulu 94 a ovou tabulu 0 tato:

8 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 8 Můžeme přdat sloupec Ide, což je de v a Napřílad: o pro = je = 0 a =, o pro = je = a = 4, atd, vz tabula 0 Z tabuly 94 opíšeme sloupec Počet dětí Protože to jsou číselých statstcé zay, ze terých se staoví průměr, můžeme ještě doplt symbol Z tabuly 94 opíšeme sloupec Počet pracovíů absolutě" Můžeme vyechat slovo "absolutě" a protože to je četost, doplíme Přdáme sloupec Souč Tím spočítáme čtatele vzorce pro vážeý artmetcý průměr: V řádu Celem potřebujeme součet četost a součet součů V řádu Celem součet hodot emá výzam, dáme symbol "" Upraveá tabula pro výpočet vážeého artmetcého průměru je ásledující: Tab 0: Tříděí pracovíů frmy Alfa Blatá dle počtu vyžvovaých dětí Ide Počet dětí Počet pracovíů Souč Průměrý počet vyžvovaých dětí a jedoho pracovía se spočítá podle vztahu pro vážeý artmetcý průměr, de ejvyšší hodota deu je rova = :

9 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa , Ad b) Učíme sloví pops pro průměrý počet vyžvovaých dětí Průměrý počet vyžvovaých dětí a jedoho pracovía je, Úol 0 Pracoví, terý spravuje podovou databáz, eportoval do tabulového procesoru všechy pracovíy podu Alfa Blatá s ěterým sledovaým atrbuty (vlastostm), teré jsou vypsaé v tabulce 0: Zaměstac malé orgazace Alfa Blatá a) V aptole Tříděí podle jedoho espojtého číselého zau jsme měl za úol z tabuly 0 roztřídt zaměstace dle počtu zbylých dí dovoleé Výslede je v tabulce 0 Tabulu 0 upravíme a tabulu vhodou pro výpočet průměrého počtu zbylých dí dovoleé a jedoho zaměstace metodou vážeého artmetcého průměru b) Učíme sloví pops pro průměrý počet zbylých dí dovoleé Tab 0: Tříděí pracovíů frmy Alfa Blatá dle počtu zbylých dí dovoleé Počet zbylých dí dovoleé Počet pracovíů absolutě v % umulatvě umulatvě v % 6 0,0 6 0, ,0 5 5,0 5 0,0 45,0 6 4, 4 68, 9 5,0 50 8, 8 6 0,0 56 9, 9 4 6, 60 00,0 Celem 60 00,0

10 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVA- LOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI V mulé aptole jsme počítal vážeý artmetcý průměr ze tříděí podle jedoho espojtého číselého zau Podobě lze odhadout vážeý artmetcý průměr ze tříděí podle jedoho spojtého číselého zau, teré vede tervalovému rozděleí četost Problematu s probereme a příladech Přílad 06 Pracoví, terý spravuje podovou databáz, eportoval do tabulového procesoru všechy pracovíy podu Alfa Blatá s ěterým sledovaým atrbuty (vlastostm), teré jsou vypsaé v tabulce 0: Zaměstac malé orgazace Alfa Blatá a) V aptole Tříděí podle jedoho spojtého číselého zau jsme z tabuly 0 roztřídl zaměstace podle hrubé mzdy a tříd za měsíc červe Výslede je v tabulce 95 íže Tabulu 95 upravíme a tabulu 04 vhodou pro odhad průměré hrubé mzdy za měsíc červe metodou vážeého artmetcého průměru b) Učíme sloví pops pro odhad průměré hrubé mzdy za měsíc červe 0 c) Porováme hrubou měsíčí mzdu spočítaou z tervalového rozděleí četost se mzdou ze sutečých hrubých mezd Tab 95: Tříděí pracovíů frmy Alfa Blatá podle hrubé mzdy za červe 0 Iterval mezd Počet pracovíů dolí mez uzavřeá horí mez otevřeá absolutě v % umulatvě umulatvě v % , 4 6, , 5, ,0 4 0, , 5 86, , 5 95, , 59 98, , 60 00,0 Celem 60 00

11 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa Řešeí: Ad a) V aptole Tříděí podle jedoho spojtého číselého zau jsme z tabuly 0 roztřídl zaměstace podle hrubé mzdy za měsíc červe Výslede je v tabulce 95 Tabulu 95 upravíme a tabulu 04 vhodou pro odhad průměré hrubé mzdy za měsíc červe metodou vážeého artmetcého průměru Úpravu tabuly 95 a ovou tabulu jsme prováděl v předchozí aptole, yí j učíme stejě Jedý problém avíc je, že místo hodot zaů máme terval (u ás terval mezd) Přepoládáme, že průměr hodot (mezd) v aždém tervalu je rove středu tervalu (mezd) Každý terval ahradíme středem tervalu Střed tervalu se určí jao průměr horí a dolí meze tervalu o Napřílad střed tervalu <9 000, 500) se určí jao: o Ostatí středy tervalu jsou vypočítáy v tabulce 04 Tabula 04 vypadá tato: Tab 04: Tříděí pracovíů frmy Alfa Blatá podle hrubé mzdy za červe 0 Ide Dolí mez mzdy uzavřeá Horí mez mzdy otevřeá Střed tervalu mezd Počet pracovíů Souč

12 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa Je zřejmé, že dyž ahradíme terval jeho středem, vzá zde epřesost, protože evíme, zda původí hodoty mezd leží spíše u dolí, aebo spíše u horí meze aždého tervalu Výpočet, ebo spíše odhad průměré mzdy, provedeme stejě jao u vážeého artmetcého průměru: U ás je = růzých tervalů mezd, proto má vzorec pro výpočet vážeého artmetcého průměru tvar: Po dosazeí středů tervalů mezd a četostí : Průměrou hrubou mzdu stačlo z tabuly spočítat jao podíl součtů v řádu Celem : Ad b) Učíme sloví pops pro odhad průměré hrubé mzdy za měsíc červe 0 Průměrá hrubá mzda ve frmě Alfa Blatá za měsíc červe 0 je odhadem 0 65 Kč Ad c) Porováme hrubou měsíčí mzdu spočítaou z tervalového rozděleí četost se mzdou ze sutečých hrubých mezd Spočítejme hrubou mzdu ze sutečých hodot z tabuly 0

13 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa U ás je = 60 pracovíů a mzdy osadíme z tabuly 0: Průměrá hrubá mzda ve frmě Alfa Blatá za měsíc červe 0 je přesě Kč Vdíme, že mzda spočítaá z tervalového rozděleí četost je opravdu je odhadem, od sutečé průměré mzdy trochu lší Úol 0 Pracoví, terý spravuje podovou databáz, eportoval do tabulového procesoru všechy pracovíy podu Alfa Blatá s ěterým sledovaým atrbuty (vlastostm), teré jsou vypsaé v tabulce 0: Zaměstac malé orgazace Alfa Blatá a) V aptole Tříděí podle jedoho spojtého číselého zau jsme z tabuly 0 měl za úol roztřídt zaměstace dle hrubé mzdy za červe s tím, že počet tervalů mezd jsme zvoll = 8 Vytvoříme ta 8 tříd zaměstaců Vytvořeou tabulu upravíme a tabulu vhodou pro odhad průměré hrubé mzdy za měsíc červe metodou vážeého artmetcého průměru b) Učíme sloví pops pro odhad průměré hrubé mzdy za měsíc červe 0 c) Porováme hrubou měsíčí mzdu spočítaou z tervalového rozděleí četost se mzdou ze sutečých hrubých mezd s odhadem mzdy, terý vyšel v příladu 06 Tab 95: Tříděí pracovíů frmy Alfa Blatá podle hrubé mzdy za červe 0 dolí mez uzavřeá Iterval mezd horí mez otevřeá Počet pracovíů absolutě v % umulatvě umulatvě v % , 4 6, , 5, ,0 4 0, , 5 86, , 56 9, , 58 96, , 59 98, , 60 00,0 Celem 60 00,0

14 Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 4 PŘÍKLADY V EXCELU Propočítejte s přílady: 4ArtmetcyPrumerVazeyNereseels zde je eřešeý přílad 4ArtmetcyPrumerVazeyReseels zde je te samý přílad řešeý 4ArtmetcyPrumerVazeyUolls zde je ový eřešeý přílad 4ArtmetcyPrumerVazeyZIRCNereseels zde je eřešeý přílad 4ArtmetcyPrumerVazeyZIRCReseels zde je te samý přílad řešeý 4ArtmetcyPrumerVazeyZIRCUolls zde je ový eřešeý přílad OPAKOVACÍ OTÁZKY Napíšeme pomocí sumačí symboly bez í vztah pro vážeý artmetcý průměr a objasíme všechy uvedeé velčy Jaým způsobem se užje vážeý artmetcý průměr př výpočtu odhadu průměru s užtím tervalového rozděleí četost?