Modelování proudění na rozhraní tří fází vznikajícím při částečném smáčení povrchu tekutinou

Transkript

1 Modelování rodění na rozhraní tří fází vznkaícím ř částečném smáčení ovrch tektno (On a Flow Modellng at a Trle-hase Interface Arsng rng Partal Wettng) Jakb Adamec Vedocí ráce: Ing. Tomáš Hyhlík, Ph.. Abstrakt Stde se zabývá nmerckým řešením rodění tektny ve 2 mkrooblast, která vznká ř částečném smáčení ovrch tektno. Tato oblast má tvar zahntého klín, na ehož konc se nachází rozhraní tří fází (tzv. gas-lqd-sold contact lne ). Úloha e řešena metodo konečných rvků v rogram Matlab. Pro zadané okraové odmínky e zobrazeno výsledné ole rychlost a tlak. Klíčová slova metoda konečných rvků, Stokesovo rodění, rozhraní tří fází, contact lne, smáčení ovrch tektno 1. Úvod a rozbor úlohy V tomto článk e kázáno řešení rodění v mkrooblast tvar klín metodo konečných rvků. V [1] e rezentován výzkm vyařování tektny nacházeící se na sbstrát do atmosféry. Vyařování e v tomto říadě vyvoláno zahříváním sbstrát nad satrační telot (Obr. 1 vlevo). Tento ev lze sledovat naříklad ř vyařování kaek smáčeících ovrch toného tělesa. Př dobrém smáčení ovrch tektno (ro malý úhel ϑ) vznká mkrooblast tvar klín na eímž okra se nachází tzv. vaor-lqd-sold contact lne. Tato oblast vznká také nař. ř smáčení stěny kaláry (Obr. 1 vravo). V obo říadech nás zaímá tvar a zakřvení hrance mez kalno a lynem. Na Obr. 2 e zobrazen řešený mkroregon. Zakřvení ve směr aralelním s rozhraním lyn-tektna e zanedbáno a úloha e tak defnována ako dvorozměrná. Obr. 1. Vlevo: Ilstrace vyařování tektny ř smáčení ovrch tektno Vravo: Smáčení stěny kaláry tektno

2 Cílem této ráce e řírava CF model, který by mohl být ožt ř řešení výše zmíněného roblém. Obr. 2. Mkrooblast v okolí contact lne Výočetní oblast zobrazená na Obr. 2 e defnována základním rozměry L, H a úhly ϑ 1 a ϑ 2. Úhly ϑ defní tvar rozhraní mez body B a C. élka oblast e 10-6 m. Prodění bde defnováno ako nestlačtelné, s važováním vskozty a bez važování setrvačných účnků (Stokesovo rodění). Prvním krokem řešení e dskretzace výočtové oblast na konečné rvky (elementy). 2. Stokesovo rodění a alkace Galerknovy metody Rovnce osící rodění tektny so rovnce kontnty, rovnce blance hybnost a rovnce zachování energe. olňícím rovncem ak so stavová rovnce a rovnce defnící teelný tok. Uvažeme-l velčny vyadřící vlastnost tektny ako konstantní, lze řešt energetcko rovnc nezávsle na rovncích kontnty a blance hybnost. ále, važeme-l rodění ro do značné míry malá Re, může být v rovnc blance hybnost zanedbán člen zahrnící setrvačné účnky. Získáme tak Stokesovo rovnce osící lížvé rodění 2 MO 0 (1) 0 (2) Zde MO q x e tzv. modfkovaný tlak zahrnící vlv gravtace. Rozdělme nyní oblast rodění ohrančeno křvko (sado křvek) C na konečné rvky tvořící výočetní síť. Pole tlak a rychlost so aroxmována dvěma různým sadam tvarových fnkcí N G a 1 N G. (3) so odovídaící zlové hodnoty rychlost a odovídaící hodnoty tlak v zlech. Pro odvození konečně rvkových rovnc e ožta standardní Galerknova metoda (ang. Galerkn roecton). Rovnc blance hybnost romítneme na tvarové fnkce ro rychlost 2 dxdy N G (4) 1 0, ro 1, 2,...,. ále romítneme rovnc kontnty na tvarové fnkce ro tlak dxdy 0 N G (5), ro 1, 2,...,. Lalaceho oerátor v (4) řevedeme dle ravdla ro dervac sočn na výraz obsahící oze rvní dervace, a ten dále ravíme omocí Gassovo-Ostrogradského věty. Výsledkem e 2 dxdy n d l dxdy C (6)

3 Podobně ravíme člen s tlakem a získáme dxdy nd l dxdy Alkací oerátor nabla na (3) získáme C N G 1 Sbsttcí výrazů (6), (7) a (8) do (4) získáme (7) (8) NG NG C n C n 1 1 dl d l... NG NG dxdy dxdy 0 Obdobně ravíme rovnc kontnty do výsledného tvar N G 1 (9) dxdy 0 (10) Rovnce (9) a (10) lze zasat v komaktním tvar ako NG NG NG NG R Q 0 (11) N G 0 (12) 1 Tyto rovnce lze zasat ako lneární systém a řešt ro zadané okraové odmínky nmercky t zlový troúhelníkový element a ntegrál nad elementem Výočtová síť bde tvořena šestzlovým troúhelníkovým elementy. Obecný troúhelník tvořený body x 1 až x 6 ve sktečné rovně xy e maován na rovnoramenný troúhelník v arametrcké rovně ξη (vz. Obr. 3). Obr. 3. Maování troúhelínového element z rovny xy do rovny ξη Maování z rovny xy do rovny ξη e zrostředkováno fnkcí 6 E x x, (13) 1 Na bázové fnkce ψ (ξ, η) e kladen ožadavek, aby ψ = 1 na -tém zl element a ψ = 0 na ostatních ět zlech, t.,,, 1, 2,...,6 (14)

4 Bázové fnkce ψ hledáme ve tvar 2 2, a b c d e f (15) Koefcenty a f lze získat z odmínek (ξ 1, η 1 ) = (0, 0), (ξ 2, η 2 ) = (1, 0),, (ξ 6, η 6 ) = (0, β). Integrál něaké fnkce f(x, y) nad troúhelníkem v rovně xy lze oté sočítat ednodše v arametrcké rovně ξη ako f x, y dxd y f, h dd (16) S kde koefcent hs det J (17) Jakobán z rovny xy do arametrcké rovny ξη e x x J (18) y y 4. Výočtová oblast a síť Obr. 4. Tvar hrance gas-lqd Tvar oblast e defnován body P 0, P 1 a P 2 Bézerovy kvadratcké křvky. T sem zvoll ako očáteční aroxmac ředokládaného tvar hrance. Body P 1 a P 2 defní délk L a výšk H oblast. Sořadncem bod P 0 ak lze rčt zaoblení hrance gas-lqd a tak velkost úhlů ϑ 1 a ϑ 2 (Obr. 3). Parametrcká rovnce kvadratcké Bézerovy křvky e C t t 1 t P 0 (19) ále byla na římkových hrancích oblast řdána možnost defnovat oměr délky rvního a osledního nterval mez hrančním body (rato = x 1st / x Last ), lze tak ravt dělení hrance hrančním body. élk oblast sem zvoll ako L = 10-6 m a výšk ako H = L/2. Příklad sítě s 256 elementy e zobrazen na Obr. 5. V 6. Katole zabývaící se samotným výočtem e orovnáno řešení na různě emných sítích. 5. Okraové odmínky Obr. 6. Okraové odmínky Na vstní hranc Γ bde defnována vstní hodnota rychlost analytcko fnkcí. Na hranc Γ s,mez body A a C, bde nastavena nlová tečná a normálová složka rychlost ( t = 0, n = 0). Tato odmínka odovídá nerostné stěně. Na zakřvené hranc Γ o, mez body B a C, e defnována volná hrance. Jako tektn sem zvoll vod ř 25 C. Jeí vlastnost ř této telotě so vedeny v Tablce 1. Pro zvoleno hodnot Re = 0,01 a L char = L sem rčl odovídaící rychlost rodění v oblast (vz. (20)).

5 Obr. 5. Výočetní síť s 256 rvky (rato = 2, ϑ 1 = 36.9, ϑ 2 = 77.5 ) Re 0,018, L ,7 10 m s 6 (20) Tablka 1. Vlastnost vody ř 25 C Vlastnost vody (25 C) Hstota ρ [kg m -3 ] 997,0979 ynamcká vskozta μ [kg m -1 s -1 ] Knematcká vskozta ν [m 2 s -1 ] Analytcko fnkcí na vst Γ bde arabola defnící velkost rychlost v závslost na sořadnc y, t. = f(y). Maxmální hodnota e max = f(h/2) = -0,09 m s -1. Pro y = 0 a y = H e = 0 m s Výočet Tvar mkrooblast e defnován nastavením arametrů ϑ 1 = 36.9, ϑ 2 = 77.5 a rato = 2. Po zadání výše zmíněných okraových odmínek byl sštěn samotný výočet, ehož výsledkem e ole tlaků a ole vektorů rychlostí v zlech sítě. Výočet sem ro orovnání rovedl na několka sítích s různým očtem elementů. V Tablce 2 e veden očet elementů a zlů ožtých sítí, a rozměr matce A řešeného lneárního systém rovnc, obecně zasaného ako A X = B. Na obrázcích 7, 8 a 9 so zobrazena ole vektorů rychlost ro tř řešené sítě.na obrázcích 10, 11 a 12 so ak zobrazena ole tlak. Na obrázcích 13, 14 a 15 e zobrazeno rozložení odchylek olí tlak mez řešením na různých sítích. Na obrázcích 16, 17 a 18 so ak zobrazeny odchylky olí velkost rychlost. Barevná škála e ravena ro rozsah (f max, f mn ) => (0, 1). Tablka 2. Požté sítě Síť Počet elementů Počet zlů Rozměr matce A x x x 5 313

6 Obr. 7. Pole vektorů rychlost, síť 1, 64 rvků, max = m s -1 Obr. 8. Pole vektorů rychlost, síť 2, 256 rvků, max = m s -1

7 Obr. 9. Pole vektorů rychlost, síť 3, 1024 rvků, max = m s -1 Obr. 10. Pole tlak, síť 1, 64 rvků, max = Pa, mn = Pa

8 Obr. 11. Pole tlak, síť 2, 256 rvků, max = Pa, mn = Pa Obr. 12. Pole tlak, síť 3, 1024 rvků, max = Pa, mn = Pa

9 Obr. 13. Odchylka olí tlak řešených na sítích 2 a 1, max = Pa Obr. 14. Odchylka olí tlak řešených na sítích 3 a 1, max = Pa

10 Obr. 15. Odchylka olí tlak řešených na sítích 3 a 2, max = Pa Obr. 15. Odchylka olí velkost rychlost řešených na sítích 2 a 1, max = m s -1

11 Obr. 15. Odchylka velkost rychlost řešených na sítích 3 a 1,, max = m s -1 Obr. 15. Odchylka velkost rychlost řešených na sítích 3 a 2,, max =2, m s -1

12 7. Závěr. Tento článek se zabýval rmárně říravo FEM (fnte element method) model rodění v mkrooblast vznkaící ř smáčení ovrch tektno. o tohoto model byly mlementovány ožadované okraové odmínky a roveden výočet, ehož výsledkem bylo ole tlak a ole rychlost rodění. Vytvořený model bde dále ožt ro úloh, eímž cílem bde stanovení tvar zaoblené hrance mez lynem a tektno (zde označované ako Γ o ). Číselným výsledkem takové úlohy, orovnatelným s exermentem, ak bde úhel ϑ 2. V [2] e ro tto úloh defnována dferencální rovnce, která e následně řešena teračně. Naším cílem bde řešt takto defnovaný roblém za účast tzv. Proer Orthogonal ecomoston Radal Bass Fncton network (PO-RBF network). Požté symboly ϑ [, rad] kontaktní úhel ϑ 1, ϑ 2 [, rad] úhly defnící tvar oblast H [m] výška oblast L [m] délka oblast MO [Pa] modfkovaný tlak [Pa] tlak [m s -1 ] rychlost rodění ν [m 2 s -1 ] knematcká vskozta μ [kg m -1 s -1 ] dynamcká vskozta ρ [kg m -3 ] hstota N G [1] očet globálních zlů ro rychlost N G [1] očet globálních zlů ro tlak [m s -1 ] rychlost v -tém zl sítě [Pa] tlak v -tém zl sítě ϕ [-] -tá tvarová fnkce ro rychlost ϕ [-] -tá tvarová fnkce ro tlak δ [-] Kronekerovo delta J [-] Jakobán z rovny xy do rovny ξη t [-] arametr Bézerovy křvky C(t) [m] Bézerova křvka P [m] -tý bod Bézerovy křvky Γ [-] vstní hrance výočtové oblast Γ o [-] výstní hrance výočtové oblast Γ s [-] nerostná hrance výočtové oblast rato [-] oměr velkostí rvního a osledního nterval mez okraovým body na hranc Γ s Re [-] Reynoldsovo číslo Ψ [-] -tá tvarová fnkce aroxmící něako velčn nad konečněrvkovým elementem Požtá lteratra [1] C. Pozrdks, Introdcton to Fnte and Sectral Element methods sng MATLAB, Chaman & Hall/CRC, ISBN-10: [2] V. Janeček, V. S. Nkolayev, Contact lne modellng at artal wettng drng evaoraton drven by sbstrate heatng, 2012