5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich."

Transkript

1 Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme toto zobrazeí fukcí (zobrazeí jsme v. kapitole ozačovali velkým F, fukci ozačujeme většiou malými písmey f, gh,,...). Ve středoškolské matematice přitom pracujeme s tzv. reálou fukcí jedé reálé proměé (tj. A, B jde o zobrazeí v možiě všech reálých čísel, čísla kompleí euvažujeme). Je-li číslu A fukcí f přiřazeo číslo y B, píšeme [, y] f ebo častěji y = f( ). Číslo azýváme vzor proměá (podroběji ezávisle proměá), číslo y obraz fukčí hodota (popř. závisle proměá). Možiu všech vzorů azýváme defiičím oborem oz. D( f ), možiu všech obrazů oborem hodot fukce f oz. H( f ). Dvě fukce f; f jsou si avzájem rovy právě tehdy, když se rovají jejich defiičí obory [tj. D( f) = D( f) ] a pro každé D( f) = D( f) je f( ) = f( ). Fukce slouží k matematickému vyjádřeí závislosti dvou veliči. Tyto závislosti (fukce) můžeme vyjádřit tabulkou, rovicí ebo grafem. Dříve ež přejdeme k ěkterým příkladům, zopakujme ěkteré důležité pojmy: Pravoúhlou soustavou souřadic v roviě rozumíme dvojici avzájem kolmých číselých os. Jejich průsečík azýváme počátkem souřadé soustavy (začíme obvykle O). Číselé osy azýváme souřadými osami a začíme obvykle, y, přičemž osa je obvykle vodorová orietovaá zleva doprava, osa y svislá orietovaá zdola ahoru. Souřadou soustavu, kde velikost jedotek a obou osách bude stejá, budeme začit Oy,, a azývat kartézskou souřadou soustavou (podle fracouzského filozofa a matematika Reé Descarta lat. Cartesiaus). Souřadé osy rozdělí roviu a čtyři pravé úhly kvadraty. Ty číslujeme většiou římskými číslicemi. Prví kvadrat je ohraiče kladými poloosami, další ásledují v kladém směru proti směru chodu hodiových ručiček. Souřadice bodu v roviě: Každému bodu L v roviě s kartézskou soustavou Oy,, přiřaďme uspořádaou dvojici čísel [, y ] takto: číslo je souřadice paty L kolmice spuštěé z bodu L a osu, číslo y je souřadice paty L kolmice spuštěé z bodu L a osu Moji epřátelé jsou hloupí pseudovědci, kteří se slepě drží Aristotela a které věda zajímá je proto, aby dobře vypadali v talárech a měli za to dobrý plat. Kdyby žil Aristoteles des, byl by prví, kdo by se obrátil proti zaslepecům, kteří stojí a jeho slovech. (Galileo Galilei) 8

2 y (souřadice bodu a přímce viz kpt..4.). Naopak každé uspořádaé dvojici [, y ] reálých čísel přiřadíme bod L takto: Sestrojíme body L = [ ], L = [ y] y, z bodu L vztyčíme kolmici l a osu, z L kolmici l a osu y. Bod L ajdeme pak jako průsečík těchto kolmic, tj. L l l. Říkáme, že bod L má v soustavě Oy,, souřadice [, y ], píšeme L = [, y].. Příklad: Automobil má v ádrži 4 litrů bezíu a spotřebuje 8 litrů a km. Vyjádřete možství bezíu v ádrži jako fukci ujeté vzdáleosti. Řešeí: Zde možství bezíu v ádrži závisí a ujeté vzdáleosti, proto je ujetá vzdáleost ezávisle proměá ( ), možství bezíu v ádrži je pak závisle proměá ( y ). S daým možstvím paliva ujedeme maimálě km, defiičím oborem je tedy možia D( f ) = ;, možství paliva v ádrži může abýt hodot H( f ) = ;4. Tabulka zachycuje ěkteré hodoty ezávisle a závisle proměé, apř: 4 y Rovice y = 4, 8 Graf: Grafem fukce rozumíme možiu všech bodů roviy, jejichž souřadice vyhovují její rovici 8

3 . Vlastosti fukcí Lichá fukce D( f): f( ) = f( ) Sudá fukce D( f): f( ) = f( ) graf je souměrý podle počátku soustavy graf je souměrý podle osy y, apříklad: souřadic, apříklad: f : y = ; D( f ) = ; f : y = ; 4 H( f ) = ; ). D( f ) = ; H( f ) = ; K tomu, aby pro každé D( f) mohlo platit f ( ) = f( ), resp. f ( ) = f( ), musí obě fukčí hodoty f ( ); f( ) eistovat. Pro lichou i sudou fukci musí tedy být [ D( f) ] [ D( f) ]. Samotý defiičí obor liché resp. sudé fukce je souměrý podle počátku, resp. podle osy y. Je-li I D( f ) iterval, pak fukce f () je a tomto itervalu klesající pokud s rostou- cím klesá y, rostoucí pokud s rostoucím roste také y (apř. fukce g : y = je a I = ( ; klesající, a I = ; ) rostoucí), mootoí je fukce, která je buď rostoucí ebo klesající, erostoucí pokud s rostoucím eroste y, eklesající pokud s rostoucím eklesá y. erostoucí : eklesající : = ( ) f : y = ( ) f : y 4 4 8

4 . Elemetárí fukce Přímá úměrost: Je každá fukce a defiovaá rovicí f : y = k ; k {}. Grafem přímé úměrosti je přímka procházející počátkem. Lieárí fukce: Je každá fukce a daá rovicí f : y = k + q; kq ;. V případě k = dostaeme fukci kostatí. Grafem lieárí fukce je přímka, která je růzoběžá s osou y. Nepřímá úměrost: Je každá fukce defiováa rovicí k f : y = ; k ; D( f) = H( f) = {}. Grafem je rovoosá hyperbola (připoje graf pro k = ). Kvadratická fukce: Je každá fukce defiováa rovicí f : y =. Grafem je parabola. D( f ) = ; H( f ) = ; ) 8

5 . Příklad: Z pole o výměře 6 hektarů se sklidilo 68 t cukrovky. Kolik tu by se sklidilo z hektarů, předpokládáme-li stejý hektarový výos? Řešeí: a) Čím větší plochu osejeme, tím více cukrovky sklidíme. Možství cukrovky y je tedy přímo úměré oseté ploše, tedy y = k. Víme, že pro = 6 je y = 68, pro kostatu y 68 k úměrosti dostáváme k = = =. Pro = dostáváme y = k = = 6. 6 Z hektarů by se sklidilo tedy 6 tu cukrovky. Toto řešeí je tzv. řešeí přechodem přes jedotku (kostata úměrosti zde má výzam hektarového výosu, tj. možství cukrovky sklizeého z jedoho hektaru). Úlohu však můžeme řešit také trojčlekou, tj. rovostí dvou poměrů: b) 68 = = = Příklad: Kiha má 6 stra po 4 řádcích. Kolik stra bude mít v ovém vydáí, bude-li a stráce 6 stejě dlouhých řádků? Řešeí: a) Čím kratší budou stráky, tím jich bude více. Počet stra y je tedy epřímo úměrý k jejich délce, tedy y =. Víme, že pro = 4 je y = 6, pro kostatu k úměrosti k 4 dostáváme k = y = 4 6 = 4. Pro = 6 dostáváme y = = = 4. 6 Nové vydáí bude tedy mít 4 stra. I toto řešeí je přechodem přes jedotku. Kostata úměrosti v tomto případě vyjadřuje počet řádků kihy, tedy počet stra v případě, že a každé z ich by byl jediý řádek. Také epřímou úměrost můžeme řešit trojčlekou: b) Proceta a promile: 6 ha...68 t ha... t 4 řádků... 6 stra 6 řádků... stra = = = Speciálí úlohy a přímou úměrost jsou úlohy a proceta a promile. Proceto je jeda setia, promile pak jeda tisícia celku (základu). V těchto úlohách se volí reálé číslo z jako základ (%, popř. ), počet procet, popř. promile p a příslušá část základu č. Na ižších stupích jsme rozlišovali tři typy úloh a proceta: určováí základu, určováí počtu procet a určováí části základu (procetové části). Všechy tyto úlohy jsou však úlohami a přímou úměrost čím větší je počet procet, tím větší je procetová část. 84

6 . Příklad: Chceme získat g pětiprocetího roztoku soli ve vodě. Kolik vody a kolik soli potřebujeme? Řešeí: Určíme apř. možství vody, možství soli pak sado dopočítáme. Pětiprocetí roztok obsahuje 9% vody a % soli: Pro vodu tedy máme: %... g 9 %... g 9 9 = = = 4, K získáí předepsaého roztoku budeme potřebovat 4, g vody a 7, g soli. 4. Příklad: V kolika gramech vody je třeba rozpustit 8 g soli, máme-li získat devítiprocetí roztok? Řešeí: 8 g soli tvoří 9% roztoku, hledaé možství vody pak zbylých 9%: 9 %...8 g 9 %... g = = = K získáí předepsaého roztoku budeme potřebovat 8 g vody..4 Fukce prostá a iverzí V kpt. jsme hovořili o prostém zobrazeí. Pojmem fukce ozačujeme speciálí zobrazeí, kde defiičím oborem i oborem hodot jsou číselé možiy. Tedy: Zobrazeí F (fukce f ) je prosté (prostá) právě tehdy, když každý prvek y jeho (jejího) oboru hodot H( F ) [ H( f )] je obrazem právě jedoho prvku jeho (jejího) defiičího oboru DF ( ) [ D( f )]. U fukcí používáe většiou ásledující ekvivaletí (rovoceou) defiici: Fukce f je prostá právě tehdy, když pro každé ; D( f) ; platí f ( ) f( ). Fukce prostá a mootoí: Často se setkáváme s ázorem, že fukce mootoí a prostá je jedo a totéž. To ovšem eí pravda, jak se přesvědčíme ásledujícím příkladem: 8

7 . Příklad: Sestrojme graf fukce defiovaé takto: 4 pro < f : y = pro 4 Tato fukce je prostá, eboť každá dvě růzá ; mají skutečě dvě růzé fukčí hodoty f ( ); f ( ). Neí však mootoí, eboť a itervalu ( ;) klesá, kdežto a itervalu ; ) roste (viz graf a předchozí straě). Každá mootoí fukce je prostá, ale tuto větu elze obrátit e každá prostá fukce je mootoí. Mootoost fukce je podmíka dostačující k tomu, aby fukce byla prostá, ale eí to podmíka utá. Iverzí fukce: Mějme fukci f : y = f( ) s defiičím oborem D( f ) a oborem hodot H( f ). Tato fukce přiřazuje každému vzoru D( f) právě jede obraz y H( f), pro který je y = f( ). Sestrojme předpis (ozačme ho f ), který aopak každému obrazu y H( f) přiřadí vzor D( f) tak, že = f ( y). Jestliže je původí fukce f prostá, pak předpis f je opět fukcí, tj. každému y H( f) přiřazuje právě jedo D( f). Tuto fukci pak azýváme fukcí iverzí k fukci f. Mějme v kartézské soustavě Oy,, sestroje graf prosté fukce y = f( ). Uvažujme kartézskou souřadou soustavu Oy, ', ' týmž počátkem, kde kladá poloosa ' splye s kladou poloosou y a kladá poloosa y ' splye s kladou poloosou. Pak graf fukce y = f( ) v soustavě Oy,, splye s grafem fukce = f ( y) v soustavě Oy, ', '. Většiou však sestrojujeme graf fukce f v původí soustavě Oy,,, což odpovídá vzájemé záměě proměých ; y. Fukčí předpis platí: = f ( y) pak přejde a tvar y = f ( ). Pro fukci f iverzí k fukci f pak Defiičí obor fukce f se rová oboru hodot fukce f, tj. D( f) = H( f ). Obor hodot fukce f se rová defiičímu oboru fukce f, tj. H( f) = D( f ). Pro každé D( f) H( f = ) a každé y H( f) D( f = ) je y = f( ) f : = f ( y). Grafy fukcí f ; f sestrojeé v téže kartézské souřadé soustavě jsou souměrě sdružeé podle přímky y = (osy I. a III. kvadratu).. Příklad: Sestrojme fukci iverzí k fukci z předchozího příkladu. Řešeí: Protože fukce f je prostá, můžeme iverzí fukci sestrojit. Fukce je defiovaá a možiě D( f ) = ( ;) ; ) =. Pro ( ;) je 4 ( ;), pro ; ) ; ). Oborem hodot fukce f je možia ( ) ( ;) ; ) je 4 iverzí fukci f tak máme: D f = H f =, H f ( ) ( ) H f = =. Pro = D f =. ( ) ( ) Fukčí předpis fukce f získáme záměou proměých ve fukčím předpisu fukce f. Pro ( ;) tedy máme 86

8 4 4 4 f : = y = y = y pro ; ) je y f : = y = 4 y = 4 4 Graf fukce f je souměrý s grafem fukce f podle přímky y = (a obrázku vlevo je graf fukce f sestroje světlejší barvou). Zřejmě pod dojmem představy, že u iverzí fukce je všecho aopak, studeti často tvrdí, že pokud fukce f klesá, fukce f roste a aopak. Ovšem tak tomu eí. Jak je patré už z pohledu a připojeý obrázek, a itervalu ( ;) obě fukce současě klesají a a ; ) obě současě rostou. Platí věty: Fukce Fukce f klesá právě tehdy, když klesá fukce f. f roste právě tehdy, když roste fukce f.. Příklad: Sestrojme iverzí fukci k fukci f : y =. Řešeí: Daá fukce je defiováa a celé možiě, a celém defiičím oboru však eí prostá, eboť apř. f( ) = f() = 4. Pokud tedy chceme iverzí fukci sestrojit, je třeba defiičí obor zúžit tak, aby a tomto zúžeém oboru fukce byla prostá. Fukce f : y = a itervalu ( ; klesá, a ; ) roste, a těchto itervalech je tedy prostá. Lze tedy sestrojit iverzí fukci ke dvěma růzým fukcím, a to k fukci a k fukci f : y = ; D( f ) = ; ). f : y = ; D( f ) = ( ; 87

9 Pro fukci f : y = ; D( f) = ( ; máme H( f ) = ; ). Fukčí předpis fukce k í iverzí je f : = y a je třeba vyjádřit y. Pro číslo y řešíme tedy kvadratickou rovici s parametrem, která má obecě dva růzé reálé kořey y =±. Musíme si ovšem uvědomit, že D( f ) = H( f ) = ; ), tj. číslo je ezáporé); y H( f ) = D( f ) = = ( ; číslo y je ovšem záporé (rovici y = řešíme a itervalu y ( ; ). V tom případě ovšem vyhovuje pouze jedo řešeí, a to y =. Je tedy f y =. Pro fukci f : y = ; D( f) = ; ) je opět H( f ) = ; ). Fukčí předpis fukce f opět vychází z předpisu f : = y, tetokrát ovšem je D( f ) = H( f) = ; ) ( je opět kladé), ale y H( f ) = D( f ) = ; ) ( y je tetokrát kladé), je tedy f y =. : :. Fukce epoeciálí a logaritmická Epoeciálí fukce: Je fukce určeá rovicí f : y = a ; kde a > ; a. Podmíka a > je utá k tomu, aby mocia byla defiováa pro každé reálé, tj. D( f ) =. Pro a = by se jedalo o kostatí fukci : f y =. Oborem hodot je ( ) ( ; ). Příklad: Sestrojme grafy fukcí f : y = ; f : y =. f : y = : y H f =. 4 = = 4 8 f : y = 4 y = Epoeciálí fukci o základu a =, tj. y =, azýváme dekadickou epoeciálí fukcí. Zvláště důležitá je epoeciálí fukce y = e [ y = ep( ) ], jejímž základem je číslo a = e= (Eulerovo číslo). oboru, a to pro ( ;) = a je mootoí a celém svém defiičím Logaritmická fukce: Epoeciálí fukce y a klesající, pro a ( ; ) rostoucí. Je tedy možo k í sestrojit fukci iverzí: y f : = a ; kde a > ; a. Protože ( ) H( f ) = ;, je ( ) D f = ; ( ) = D f =. Tato fukce přiřazuje každému ( ; ) D( f ) = H( f) = ; ; H( f ) ( ) číslo y, a které je třeba umocit daý základ a, abychom obdrželi hodotu ezávisle

10 proměé. Tato fukce se azývá logaritmická fukce se základem a, začíme ji log a. Místo y f : = a tedy píšeme f : y = log a. Pro a = píšeme místo log většiou je log (dekadický logaritmus), pro a= e=, píšeme místo log e většiou l ebo lg (přirozeý logaritmus). Vlastosti logaritmické fukce: je mootoí, tudíž prostá, tj. pro každé je log log ; pro (;) a ; je rostoucí. a a a je klesající, pro ( ) 89

11 Platí apř. log =, eboť = ; log = eboť = ; log =, eboť = ; log = eboť = ; log =, eboť = ; log = eboť = ; log =, eboť = ; log = eboť = ; log =, eboť log =, eboť = = ; log = eboť ; log = log = log =, eboť Pro každé X a každé A (;) ( ; ) je = ; log = eboť = ; = = =. log A X X = A. log Je-li tedy apř. a log = a ; a y loga loga y y = a, pak y = a a a podle pravidel o počítáí loga + loga y s mociami je y = a. Položíme-li však yí y = X ; a = A; log + log y = Y, je podle předchozího rámečku: a a Y X = A Y = log X loga loga y y = a + a + a y = a y a + a y = a y A log log log ( ) log log log ( ) Podobě bychom odvodili další vlastosti: Nechť a > ; a a y> ; jsou libovolá kladá reálá čísla. Pak log a( y) = loga + loga y; log = log log y a a a r y ; log = r log ( r ) a a Je-li r = ; kde {}, pak z posledího vzorce dostáváme log a = loga. Příklady: Pro přípusté hodoty upravme pomocí výše uvedeých pravidel: ) ) ) log ( ) = log + log + log ( ) = + log + log ( ) 7 log = log 7 + log log ( + ) = + log log ( + ) ( + ) ( ) ( + ) l = ( ) l( + ) l 9

12 4) 4 log4 log4 4 log4 log4 log4 log4 log4 log4 r = + + r = + + r Naopak: ) 6) 7) 8) 6 + log4 log 4( + ) = log4 6 + log4 = log4 + + a a ( a ) a 6 a l a+ l( a ) l( a+ ) 6 l a = l = l a ( a ) 6 a ( a+ ) 4 ( r ) (4 r ) (6 r) + + = = 4 ( r ) log r log 4r 4log r 4log 6r log r r r r = log = log = log( r ) = log 6 r r r c d E cd E log c+ log d + log E log S log ρ = log = log S ρ S ρ Neřešeé úlohy: 4 ) log( y ) ) log ) log y 4) log + y ) ( log8.log ) 4 4 z 6) log + log a+ ( log b+ log c) 7) log +.(logl log log g) Výsledky ) log + 4log + log y ) log + log log 4log 4 ) log + log y log z 4) 8 l log + log( + y) ) log 6) log(a bc ) 7) log 6 g.6 Epoeciálí a logaritmické rovice Epoeciálí rovice je každá rovice, ve které je ezámá v epoetu ějaké f ( ) g( ) mociy. Nejjedodušší epoeciálí rovice jsou rovice tvaru a = a, kde a > ; a. Rovají-li se základy moci, musí se rovat i jejich epoety, tato rovice je tedy ekvivaletí s rovicí f ( ) = g( ) viz př.. Dále jsou to rovice ejrůzějších tvarů, které však lze úpravami využívajícími vlastosti moci převést a předchozí případ (viz př. ).. Příklad:. Příklad:. Příklad: , 7 = 8 = = 6 ( ) 4( ) = 6, 4, + + = + 4 = + ( ) = 4( ) 6 = 6,= 4, 7 = = 7; = = 9

13 4. Příklad:. Příklad: = = ( ) = = 7 7 ( ) 8 ( + ) (7 ) ( ) ( + ) (7 ) = + = = /: 8 8 = + = ( ) = = = 4; = f ( ) g( ) Dále jsou to rovice tvaru a = b, a b. V ěkterých případech je možo tuto rovici r( ) s( ) upravit a tvar a = a a řešit předchozím způsobem (viz př. 6). Pokud e, je třeba řešit logaritmováím (viz. př. 7). Následují opět rovice ejrůzějších tvarů, které lze a tvar f ( ) g( ) a = b převést a řešit logaritmováím (viz př. 8). Pozor! Logaritmováí rovice epatří k ekvivaletím úpravám. Součástí tohoto řešeí je tedy zkouška. Některé epoeciálí rovice lze substitucí převést a rovice algebraické (viz př. 9). 6. Příklad: 7. Příklad Zkouška: 6 = 7 / 7 = log L = = log 7 = 7 log = log 6 6+ log ( 7) = ( )log= log log L = log = ( ) = log log = log = log L = log = ( log ) = log P = log = log log P = log log log L = log P L = P 8. Příklad: 9. Příklad: = = = 4 4 subst. 9 = y 4 ( + ) = 4(4 ) y y+ 7 = 9 = 6 4 ( y )( y 9) = 6 y = ; y = 9 = 4 9 ze subst. 9 = y 9 = = 7 = 4 ze subst. 9 = y 9 = 9 = (log log 4) = log 7 log log 7 = log log 4 9

14 (chybějící zkoušky zde poecháme čteáři jako cvičeí). Logaritmické rovice: jsou rovice, v ichž se vyskytují logaritmy výrazů s ezámou. Nejjedodušší logaritmickou rovicí je rovice log a = b, a >, a, b, b která má řešeí = a. Další rovice řešíme obvykle úpravou a tvar log a f ( ) = log a g( ), a pak řešíme tzv. delogaritmováím, tj. úpravou a tvar f ( ) = g( ). Často lze vhodou substitucí převést logaritmickou rovici a rovici algebraickou. Pozor! Ai delogaritmováí rovice eí ekvivaletí úpravou. Součástí tohoto řešeí je tedy zkouška. Příklad : log( ) = log(4 ) log( ) log(4 ) ( ) 4 = = 4 + 4= 4 = Příklad : log ( ) = = log = log log = log = log =± = ; = Zkouška L () log( ) log log log 9 P() = log(4 ) = log 9 L() = P() L( ) = log( ) = log( 4) L( ) eí defiováa = = = = = eí kořeem možia řešeí K = {} Zkouška ( ) log ( ) L() = log = log = P() = L() = P() log L( ) = log ( ) = log ( ) = log = P = L = P ( ) ( ) možia řešeí K = {; } Příklad : log (log ) log log(log ) = log log log(log ) = log = = log(log ) = log = = = Zkouška L() = (log) = log L() eí defiováa = eí kořeem log L( ) = (log) = = P () = L() = P() možia řešeí K = {} 9

15 Příklad 4: Zkouška log log log log log L() = + = + = + = / log log P() = + = log log L() = P() + = log log log L( ) = + = + = subst = y P() = y y+ = L() = P() y = ; y = log log log ( ) subst = L = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) log log = log L( ) = + = + = subst log = log = = log log = log log = log =± = ; = ( ) P = ( ) = ( ) L P možia řešeí K = {;; } Neřešeé úlohy: Vypočtěte: ) log 6 ) ) log 6) ) log 4 7) 4) log 6 8) Řešte rovice: log4 6 9) 8 log6 6 ) 4 log6 6 ) log ) log log ) log 8 6 log 4) log 6 8 log ) log log 6 6) log log 7) 8) 9) ) ) ) ) = 6 9) log = 8 = 6 ) log = ) = ) = log = log = + 79 = 8 ) log = log 9 = = 64 ) 4) log = 4 log log( + ) log( + ) = log(+ ) 94

16 4) ( ) = 6) + log( + 7) log( 7) log ) = ) = 8 4 = 6) ( + ) = 8) log( ) log(+ ) = log ) + + = + + 9) log 4 + log = l l 8) 4 4 = 4) e e + 4e = 6 Výsledky: ) 4 ) ) 4) 8 ) 4 6) 7) 8) 9) ) 4 ) ) ) eí defiová 4) eí defiová ) eí defiová 6) 7) 4 8) 7 9). ) ). ). ) 4) ; ). 6) 9 7).7 8) 9). ) ) ) > ; ) 4) ) 6) 7) 8) emá řešeí 9) 4) 4e.7 Oblouková míra a orietovaý úhel V kpt..4 jsme stručě uvedli stupňovou míru úhlů, která však mohdy evyhovuje. Uvedeme tedy i tzv. míru obloukovou. Její jedotkou je jede radiá (rad). Před jeho defiicí je však třeba uvést tzv. středový úhel: Úhel ω = ASB, jehož vrcholem je střed kružice a ramea procházejí krajími body oblouku AB, azýváme středový úhel příslušý tomuto oblouku. Úhel má velikost jedoho radiáu právě tehdy, když je shodý se středovým úhlem kružice, jejíž poloměr je rove délce příslušého oblouku. Má-li kružice poloměr r = (tzv. jedotková kružice), pak velikost úhlu v radiáech je číselě přímo rova délce příslušého oblouku. Jedotka radiá je ve fyzikálím slova smyslu jedotkou bezrozměrou (vziká jako podíl dvou délek ). V matematice se většiou vyechává a velikost úhlu se tak udává je reálým číslem. Také my budeme tuto jedotku výslově zapisovat pouze výjimečě. Budeme-li chtít zdůrazit, že velikost úhlu α je zadáa v radiáech, budeme psát arc α ( arcus alfa ). Převod stupňů a radiáy a aopak: Uvažujme jedotkovou kružici. Ta má délku l =. Plý úhel má tedy velikost radiáů. Zároveň je zřejmé, že teto plý úhel je součtem čtyř pravých úhlů a ve stupňové míře má tedy velikost α = 4 9 = 6. Je tedy rad = 6. Velikost úhlu v radiáech (ozačme arc α ) je přímo úměrá velikosti úhlu ve stupích (ozačme α ): 6... α... arc α α arc α 8 arc α α = 6 α = arc α = α α arc α = arc α =

17 Příklady: 8 ) arc = =,7... rad ) arc 8 = =,4... rad , ) arc 4 ' = arc 4, =, rad ) rad = = 7,9 78 = 7 7'4'' Velikosti ěkterých úhlů se ve výpočtech vyskytují velmi často, proto je dobré si je rychle uvědomit: stupě radiáy 6 4 Orietovaý úhel: Orietovaým úhlem v roviě rozumíme uspořádaou dvojici polopřímek se společým počátkem. Prví z polopřímek je počátečí rameo, druhá kocové rameo, společý počátek polopřímek pak vrchol orietovaého úhlu. Orietovaý úhel AVB budeme začit AVB. Vzhledem k tomu, že rozlišujeme počátečí a kocové rameo orietovaého úhlu, je AVB BVA. Velikost orietovaého úhlu AVB azýváme každé reálé číslo α + k ; k (v obloukové míře) popř. α + k 6 ; k (ve stupňové míře), kde α (popř. α ) určíme takto: a) Je-li VA = VB, je α = (popř. α = ) b) Je-li VA VB, je α ( α ) velikost eorietovaého úhlu, který vzike otáčeím počátečího ramee VA do polohy kocového ramee VB, a to proti směru chodu hodiových ručiček v obloukové (ve stupňové) míře. Směr proti směru chodu hodiových ručiček považujeme za kladý. Velikost α ( α ) azýváme základí velikostí orietovaého úhlu. Další velikosti α + k ( α + k 6 ) si můžeme představit jako polohu kocového ramee VB po k otáčkách..8 Goiometrické fukce Uvažujme kartézskou souřadou soustavu O ; ; s počátkem O. Ozačme J obraz jedičky a ose. Dále libovolý orietovaý úhel s vrcholem O, počátečím rameem OJ a velikostí (v obloukové míře). Sestrojme jedotkovou kružici k (tj. kružici o poloměru r = ) se středem v bodě O. Ozačme M = [ m; m] průsečík této kružice s kocovým rameem orietovaého úhlu. Pro každé pak můžeme defiovat fukci 96

18 sius: si = m pro každé ; H( f ) = ;, kosius: cos = m pro každé ; H( f ) = ;. Dále defiujeme tages: si tg = cos pro každé { k + } ( ) ; H( f ) =, k cos kotages: cotg = si pro každé { k} ; H( f ) =. k Přímo z defiice pro každé plye: a tedy si cos + =, si cos =, cos si =. Zaméka hodot goiometrických fukcí kvadrat I II III IV iterval ; ; ; ; si + + cos + + tg + + cotg

19 Důležité hodoty goiometrických fukcí 6 4 si cos tg edef edef cotg edef edef edef Dále je cotg cos si si tg k cos si( ) = cos + ; cos( ) si = + Fukce sius je lichá si = si( ) kosius sudá cos = cos( ) tages lichá tg = tg( ) kotages lichá cot g = cot g( ) = = = pro každé { k } V zápisu dalších vlastostí budeme potřebovat dvě hodoty ezávisle proměé. Abychom emuseli používat idey (apř. při ozačeí ; ) ebo aby edocházelo k záměě se 98

20 závisle proměou (apř. při začeí ; y ), budeme argumety goiometrických fukcí ozačovat řeckými písmey ( α, β...) tak, jak je to obvyklé v řadě aplikací. Odvoďme ěkteré další vlastosti, které záme ze středí školy: V kapitole 7. zopakujeme, že pro skalárí souči dvou vektorů u = ( u; u) ; v = ( v; v) platí: u v = u v cosϕ = = uv + uv. Speciálě pro vektory o souřadicích u = (cos α;si α) ; v = (cos β;si β ), které mají jedotkovou velikost a které svírají úhel α β, pak dostáváme u v = cos( α β) = cosαcosβ + siαsiβ, tedy cos( α β) = cosαcos β + siαsi β Dosadíme-li za β hodotu β, máme cos[ α ( β)] = cos( α + β) = cosαcos( β) + siαsi( β). Protože cos( β ) = cos β; si( β) = si( β), máme cos( α + β) = cosαcos β siαsi β. Dále využijeme vlastosti si( ) = cos + pro = α + β : si( α + β) = cos ( α + β) + = cos α + + β = cos α + cos β + si α + si β Protože však cos α + = siα a si α + = cosα, je si( α + β) = siαcos β + cosαsi β. Dosadíme-li za β hodotu β, máme si( α β) = siαcos( β) + cosαsi( β), tedy si( α β) = siαcos β cosαsi β Sečtěme vzorce pro si( α + β ) a si( α β ) si( α + β) + si( α β) = siαcos β α + β α β a dosaďme za α a za β : α + β α β α + β α β α + β α β si + + si = si cos, α + β α β tedy siα + si β = si cos. Podobě odečteím těchto vzorců dostaeme α + β α β siα si β = cos si. Ze vzorců pro cos( α + β ) a cos( α β ) podobě dostaeme: α + β α β cosα + cos β = cos cos ; α + β α β cosα cos β = si si. Položíme-li α = β, dostáváme ze vzorce pro si( α + β ) : si( α + α) = siαcosα + cosαsiα, 99

21 tedy si α = siαcosα. Podobě ze vzorce pro cos( α + β ) cos( α + α) = cosαcosα siαsiα α α α cos = cos si. α Dosadíme-li do vzorce pro cos α za α hodotu, dostaeme α α α α cos = cosα = cos si = si, α si tedy Koečě α α cosα α cosα cosα = si si = si =. α α cosα + cosα α + cosα cos = si = = cos =. Shrňme tedy ejdůležitější vztahy mezi fukcemi sius a kosius: si α = siαcosα α = α α cos cos si α cosα si = α + cosα cos = si( α + β) = siαcos β + cosαsi β cos( α + β) = cosαcos β siαsi β si( α β) = siαcos β cosαsi β cos( α β) = cosαcos β + siαsi β α + β α β siα + si β = si cos α + β α β siα si β = cos si α + β α β cosα + cos β = cos cos α + β α β cosα cos β = si si Příklady: Upravme výrazy ) v v v v + = v v v + v v+ = cos si ( ) si( )cos( ) cos si( )si( ) si cos = cos v( si v)( si v) + si vcos v+ = cos vsi v+ si vcos v+ = (si vcos v+ ) ) si z cos z+ si z cos z ( + tg z)cos z = + cos z cos z = = = cos z cos z cos z + = + = + = sicos+ = tg + cotg si cos si + cos + cos si si cos ) = si cos + si + cos = (si + cos ) = si + cos

22 4) ) (si b cos b) (si b cos b) + + = si b si b cosb cos b si b si b cosb cos b si b cos b = = + = si d si d si d( + cos d) + si d( cos d) + = = cos d + cos d ( cos d)( + cos d) si d( + cos d + cos d) si d = = = cos d si d si d si v si vcosv si vcosv si v tg v + cos v = si v+ cos v+ cos v si v = cos v = cos v = 6) si z+ si z si z+ si zcos z si z( + cos z) = = = + cosz+ cosz si z+ cos z+ cos z+ cos z si z cos z+ cos z si z( + cos z) si z = = = tg z cos z(+ cos z) cosz 7) 8) 9) cosα + cosα cos α cos α α α 4 si si cos α = = = = tgα = + cosα cosα cosα cosα cosα α α cos si α si cos si lépe : subst = : = = tg = tgα cos si cos cos( α + β) + cos( α β) cosαcos β siαsi β + cosαcos β + siαsi β = = cos( α + β) cos( α β) cosαcos β siαsi β cosαcos β siαsi β = cosα cosβ cotgαcotgβ siαsiβ = cos( α + β) + cos( α β) cos + cos y Nebo: subst. α + β = ; α β = y : = = cos( α + β) cos( α β) cos cos y + y y cos cos cosαcos β = = = cotgαcotgβ + y y si si siαsi β ) si + si + si + si 7 (si 7+ si ) + (si + si ) = = cos + cos+ cos+ cos 7 (cos 7+ cos ) + (cos+ cos ) si cos + si cos = = cos cos + cos cos si 4 cos + si 4 cos si 4 (cos + cos ) = = = tg4 cos 4 cos + cos 4 cos cos 4 (cos + cos ) Bez výpočtu t určeme hodoty zbývajících goiometrických fukcí, víme-li, že t ; :

23 ) 4 cost = si t = = = = 9 9 sit si t = tgt = = = = cost cotgt = = tgt ) tgt =,8 : Je zřejmě cotgt = tgt =,8 = 4. Připomeňme, že t ;. Dále je tedy: Neřešeé úlohy: Upravte: tgt =,8 si t =,8 cost si t =,8 si t si t =,64 si t si t =,64,64si t =,64 si t =, 64 6, 64si, 64 si t = si t = = = t cost = si cost = cost = cost = 6 4 cost = cost = 4 cost = 4 4 cost = 4 t ) cos( u)cosu si usi( u) si p ) + cos p ) + +tg +cotg 4) si a si acos a ) + si c + si c si f si g 6) cos f cos g cos u 7) si u+ cosu 8) + cos t sit α cos 9) α α si + cos 4 4 α (ávod: subst. = )

24 si( α + β) + si( α β) ) si( α + β) si( α β) si + si 4+ si 6+ si8 ) cos + cos 4+ cos 6+ cos8 ) cos( + z)si + cos + z si si z cos si si( + z) ) Bez výpočtu r určete hodoty zbývajících goiometrických fukcí, víte-li, že r ; : a) si r =.4 b) cos r =. c) tg. r = d) 8 cotg r = Výsledky: ) ) cos p ) 4) si a ) 6) 7) cosu si u 8) cotg t 9) cos c α α si + cos ) tgαcotgβ ) tg ) ) a) cos r = ; tg r = ; cotg r = b) si r = ; tg r = ; cotg r = c) si r = ; cos r = ; cotg r = d) si r = ; cos r = ; tg r = Goiometrické rovice Goiometrická rovice je každá rovice, v íž se ezámá vyskytuje v goiometrických výrazech. Nejjedodušší jsou rovice tvaru si = a ; cos = a ; tg = a ; cot g = a. Perioda siu a kosiu je. Určíme tedy ejdříve všecha řešeí a itervalu ; ) a ke každému řešeí připojíme periodu k; k. Perioda fukcí tages a kotages je. U těchto fukcí určíme všecha řešeí a itervalu ; ) a ke každému řešeí připojíme periodu k ; k.. Příklad: Řešme goiometrickou rovici si = Řešeí: Určíme kořey v itervalu ; ), a to buď pomocí jedotkové kružice (viz připojeý obrázek) ebo pomocí grafu fukce sius. Fukce sius je kladá v I. a II. kvadratu, tj. = ; 6 = = =. K oběma řešeím je třeba 6 6 připojit periodu, tj. = + k ; k, 6 = + k; k. 6. Příklad: Řešme goiometrickou rovici cos =. Řešeí: Opět určíme ejprve kořey v itervalu ; ). Hodota fukce kosius má být záporá. V tom případě je výhodé vyjít z řešeí rovice

25 cosα = α =, které zakreslíme buď do jedotkové kružice ebo do grafu kosiu. Fukce kosius je záporá ve II. a III. kvadratu, tj. = α = = (II. kvadrat) 4 a = + α = + = (III. kvadrat). K oběma řešeím opět připojíme periodu, tj. = + k; k, 4 = + k; k. Pozor! V přijímacích testech se občas objevují rovice typu si =, resp. cos = apod. Tyto rovice studeti často zaměňují s rovicemi si =, resp. cos( ) = a uvádějí řešeí =, resp. = ( popř. = + k, resp. = + k ). Obor hodot fukce sius i kosius je H( f ) = ; a ; ; ;. Rovice si = ; cos = proto emají řešeí. V rovicích typu si f ( ) = a; cos f ( ) = a; tg f ( ) = a; cot g f ( ) = a zavádíme substituci f ( ) = z, čímž tyto rovice převedeme a předchozí případ.. Příklad: Řešme rovici tg 4 =. Řešeí: Zavedeme substituci 4 = z a řešíme ejdříve rovici tg z =. Je-li tg α =, pak v I. kvadratu je α =. Fukce tages má periodu a je záporá ve druhém kvadratu. Převodem hodoty α = do II. kvadratu po vzoru předchozích příkladů a připojeím periody je z = + k. V použité substituci tedy je 4 = + k 4 = + + k 4= + k k =

26 Složitější rovice lze často vhodou substitucí převést a rovice algebraické. Pokud se v rovici vyskytuje více goiometrických fukcí, převádíme je a fukci jediou. 4si cos 4. Příklad: Řešme rovici. Příklad: Řešme rovici + = si cos + si = si cos Řešeí: Řešeí: 4si cos si cos + si = + = si cos si + si + si = 4si cos si si + si = + = sicos cos subst. si = y si cos si y + y = + = si cos cos cos y = ; y =. si cos si = si cos si cos si = si cos Návratem k použité substituci se řešeí rozpade a dva případy: si cos si = cos si = cos + si si = = + k, si = si = = + k 6 = +k = + k. 6 = + k. 4 Neřešeé úlohy: Řešte rovice: ) cos = ) tg = ) cot g= 4) si = ) si = si 6 6) cos = cos 7) + si = si 8) tg + = + tg 9) cos = + cos ) 4cos + 4cos = ) si + si = ) cotg + 4cos = ) si + si = tg 4) si + si si = Výsledky: 7 ) = + k ; = + k ) = + k ) = + k 4) = + k ) = + k ; = + k 6) = + k ; = + k 7) = + k ; = + k 8) = + k 9) = + k ; = + k ) = + k ; 6

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

23. Mechanické vlnění

23. Mechanické vlnění 3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více