Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek"

Transkript

1 Sírk příkldů do IFJ Petr Zemek 11. ledn 2012

2 Osh Předmluv 1 1 Aeedy, řetěze jzyky 3 2 Úvod do překldčů 5 3 Modely regulárníh jzyků 6 4 Speiální konečné utomty 8 5 Lexikální nlýz 10 6 Modely ezkontextovýh jzyků 11 7 Syntktiká nlýz shor dolů 13 8 Syntktiká nlýz zdol nhoru 15 9 Syntxí řízený překld Optimlize, generování ílového kódu Vlstnosti regulárníh jzyků Vlstnosti ezkontextovýh grmtik Turingovy stroje Chomského hierrhie 21 Řešení příkldů 22 Litertur 36

3 Předmluv Tento text slouží jko pomoný mteriál pro studenty předmětu Formální jzyky překldče (IFJ) klářského studijního progrmu Informční tehnologie n Fkultě informčníh tehnologií VUT v Brně. Jeho ílem je poskytnout studentům příkldy, n kterýh si mohou vyzkoušet své nyté znlosti. Oshuje řdu příkldů z kždé proírné olsti, včetně jejih řešení. Pokud v textu nrzíte n hyu, neváhejte mi poslt emil n Předmět emilu v ideálním přípdě zčínejte prefixem "IFJ sírk: ". V přípdě dotzů lze využít fórum předmětu ve WISu (preferovná vrint, protože váš dotz může zjímt víe studentů). Nezpomeňte vždy zmínit, o kterou verzi textu (= dtum n přední strně) se jedná, yhom předešli nesrovnlostem. Doufám, že vám text přinese užitek. Petr Zemek, 11. ledn 2012 Použití struktur Kždá kpitol oshuje příkldy k jednomu proírnému témtu. Číslování kpitol y mělo sedět s rozvržením přednášek n [3], le jelikož se pořdí přednášek může změnit, nelze to stoproentně zručit. V závěru dokumentu je osženo řešení příkldů. Při řešení příkldů lze postupovt od prvního po poslední. Příkldy oznčené hvězdičkou (viz dále) lze při prvním řešení vyneht. Použitá terminologie, konvene note vyhází z přednášek předmětu IFJ [3] knihy, n které je tento předmět zložen [2]. Pokud yl příkld převzán, je u něj vždy uveden referene n původní zdroj. Použité konvene, které se mohou lišit od přednášek: místo několik hrn z jednoho stvu do druhého je použit jediná hrn, kde jednotlivé symoly jsou odděleny čárkou. Význm hvězd u příkldů: oznčuje příkldy, u kterýh je tře zpřemýšlet nd ráme předmětu IFJ, le které y měli studenti, kteří proírné láte rozumí, v pohodě vyřešit; oznčuje příkldy, k jejihž vyřešení je tře mít znlosti mimo předmět IFJ, ez nihž nemusí ýt příkld pro student IFJ řešitelný v konečném čse. 1

4 Poděkování N tomto místě yh htěl poděkovt všem, kteří se svými postřehy, poznámkmi rdmi zsloužili o zkvlitnění tohoto textu. Dále yh htěl poděkovt studentům, kteří n vičeníh pokládli zjímvé otázky, které tvořily motivi u řdy příkldů. V neposlední řdě yh htěl poděkovt své přítelkyni, která mi yl oporou. Tento dokument neyl finnován z žádného grntu ni výzkumného záměru vznikl ve volném čse. Historie revizí Jelikož ude tento dokument čsto ktulizován, uvádím seznm proěhlýh revizí. Dtum Popis revize Zjednodušeno řešení příkldu 6.3. Z nápd děkuji Rde Škvřilové Doplněno zdání příkldu 8.2 (doplněny hyějíí závorky v množině terminálů). Z nhlášení hyy děkuji Mihlu Strigzdovi Oprveno řešení příkldu Z nhlášení hyy děkuji Jiřímu Honovi Oprveno řešení příkldu 8.1. Z nhlášení hyy děkuji Mtúšovi Fedorkovi Oprveno řešení příkldu 7.4 uprveno zdání příkldu 7.5. Z nhlášení hyy děkuji Jkuu Jeřákovi Oprveno řešení příkldů Z nhlášení hy děkuji Fridolínu Pokornému Doplněno zdání příkldu 8.2 (speifike priority operátorů) oprveno jeho řešení. Z nhlášení hy děkuji Fridolínu Pokornému Doplněno zdání příkldu 6.6. Z postřeh děkuji Fridolínu Pokornému Oprveno číslo řešení u příkldu 1.9. Z nhlášení hyy děkuji Mihlu Strigzdovi Zjednodušeno řešení příkldu 3.4. Z postřeh děkuji Fridolínu Pokornému Zjednodušeno řešení příkldu 3.3. Z postřeh děkuji Dávidu Antolíkovi Oprveno řešení odu (k) v příkldu 1.7. Z nhlášení hyy děkuji Fridolínu Pokornému Oprveno zdání odu (h) v příkldu 1.6. Z nhlášení hyy děkuji Lukáši Svtému Oprveno řešení odu (e) v příkldu 1.6. Z nhlášení hyy děkuji Ldislvu Szántovi jednomu studentovi n vičení, jehož jméno ohužel nevím Sjednoen průměr uzlů v přehodovýh grfeh konečnýh utomtů (kosmetiká změn) Zveřejněn první verze. 2

5 Kpitol 1 Aeedy, řetěze jzyky Pokud není řečeno jink, uvžujte u všeh příkldů eedu Σ = {,, }. Příkld 1.1. Jkou délku mjí řetěze, ε? Příkld 1.2. Jké jsou reverze řetězů, ε? Příkld 1.3. Určete všehny prefixy řetěze. Které z nih jsou vlstní? Příkld 1.4. Určete všehny sufixy řetěze. Které z nih jsou vlstní? Příkld 1.5. Určete všehny podřetěze řetěze. Které z nih jsou vlstní? Příkld 1.6. Určete: () () 3 =? () ε 4 =? () εε =? (d) ε =? (e) {}{, }{} =? (f) {} =? (g) {} + {ε} =? (h) Σ {,, } =? (i) {,, } {} =? (j) {, } 2 =? (k) {,, } 3 =? (l) {,,, } {, } =? (m) Σ =? Příkld 1.7. Určete: () =? () + =? () 3 =? (d) =? (e) =? (f) {} =? (g) {} =? (h) {ε} =? (i) {ε} + =? (j) {ε} =? (k) {ε} =? (l) {ε} 5 =? Příkld 1.8 ( ). Opere symetriký rozdíl ( ) dvou množin je definován jko množin, která oshuje prvky, které jsou uď v první množině, neo ve druhé množině, le ne v oou zároveň. Nehť L 1 L 2 jsou dv jzyky nd Σ. 3

6 () Definujte formálně symetriký rozdíl L 1 L 2 (s využitím náležitosti do množiny ). () Definujte formálně symetriký rozdíl L 1 L 2 pouze pomoí operí sjednoení rozdílu dvou množin. Příkld 1.9 ( ). Mějme jzyk Je L konečný? L = { n > 2 existují,, 1 tkové, že n + n = n} 4

7 Kpitol 2 Úvod do překldčů Příkld 2.1. Vypište seřďte fáze překldu, jk jdou typiky z seou n logiké úrovni. 5

8 Kpitol 3 Modely regulárníh jzyků Pokud není řečeno jink, uvžujte u všeh příkldů eedu Σ = {,, }. Příkld 3.1. Rozhodněte, které z následujííh výrzů jsou pltné regulární výrzy (uvžujte i konvene zvedené n přednáškáh). Pokud není výrz pltným regulárním výrzem, zdůvodněte proč. () () 3 () (d) d (e) + (f) ε (g) (h) ε (i) ε ε (j) (k) Σ Příkld 3.2. Určete, které jzyky znčí následujíí regulární výrzy. () + + =? () + + ε =? () ( + + ) =? (d) =? (e) ( + ε) =? (f) ( + ) =? Příkld 3.3. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze oshujíí lihý (nenulový) počet znků 1. Příkld 3.4. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze oshujíí jko podřetěze 101. Příkld 3.5. Vytvořte regulární výrz nd eedou Σ = {, }, znčíí jzyk oshujíí právě řetěze, které oshují jko podřetěze. Příkld 3.6. Vytvořte regulární výrz nd eedou Σ = {, }, znčíí jzyk oshujíí právě řetěze, které neoshují jko podřetěze. Příkld 3.7. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze neoshujíí podřetěze 11. Příkld 3.8. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá prázdný jzyk ( ). 6

9 Příkld 3.9. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze zčínjíí prefixem 010. Příkld Vytvořte regulární výrz nd eedou Σ = {, }, znčíí jzyk oshujíí právě řetěze končíí sufixem. Příkld Převeďte regulární výrz ( + ) n konečný utomt (použijte lgoritmus z přednášek). Příkld Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě neprázdné řetěze sudé délky neoshujíí 1. Příkld 3.13 ( ). Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze oshujíí stejný počet znků 0 1. Příkld 3.14 ( ). Převeďte následujíí konečný utomt nd eedou Σ = {,, } n ekvivlentní regulární výrz

10 Kpitol 4 Speiální konečné utomty Pokud není řečeno jink, uvžujte u všeh příkldů eedu Σ = {,, }. Příkld 4.1. Převeďte zdný konečný utomt n deterministiký Příkld 4.2. Převeďte zdný konečný utomt n deterministiký. 0 1 ε 2 ε 3 Příkld 4.3. Převeďte zdný deterministiký konečný utomt n ekvivlentní deterministiký konečný utomt ez nedostupnýh neukončujííh stvů Příkld 4.4. Převeďte zdný deterministiký konečný utomt n úplný konečný utomt. 8

11 Příkld 4.5. Převeďte zdný úplný konečný utomt n doře speifikovný konečný utomt , 3,,,, 5 Příkld 4.6. Převeďte zdný úplný konečný utomt n doře speifikovný konečný utomt. 1 2, 3, Příkld 4.7. Převeďte zdný doře speifikovný konečný utomt n minimální ,,, 9

12 Kpitol 5 Lexikální nlýz Příkld 5.1. Jký je rozdíl mezi tokenem lexémou? 10

13 Kpitol 6 Modely ezkontextovýh jzyků Příkld 6.1. Vytvořte ezkontextovou grmtiku generujíí jzyk { n n n 1 } Příkld 6.2. Vytvořte ezkontextovou grmtiku generujíí jzyk { w reversl(w) w {, } } Příkld 6.3. Vytvořte zásoníkový utomt přijímjíí jzyk { w w {0, 1} +, w oshuje stejný počet 0 1 } Typ přijímání si zvolte. Příkld 6.4. Vytvořte ezkontextovou grmtiku generujíí jzyk { m m n m, n 0} { m n n m, n 0 } Příkld 6.5. Vytvořte zásoníkový utomt přijímjíí jzyk { w reversl(w) w {, } } Typ přijímání si zvolte. Příkld 6.6. Ze zdné grmtiky G vytvořte oený syntktiký nlyzátor shor dolů. G = ( {S, A, B, C, D}, {,, }, P, S ) kde P oshuje následujíí prvidl: S ABC A BC C D D B ε Ukžte přijetí řetěze. Příkld 6.7. Z grmtiky G z příkldu 6.6 vytvořte oený syntktiký nlyzátor zdol nhoru. Ukžte přijetí řetěze. Příkld 6.8 ( ). Vytvořte ezkontextovou grmtiku generujíí jzyk { i j k i, j, k 0, i j neo j k neo i k } 11

14 Příkld 6.9 ( ). Vytvořte deterministiký zásoníkový utomt přijímjíí jzyk { w reversl(w) w {, } } Typ přijímání si zvolte. Příkld 6.10 ( ). Vytvořte zásoníkový utomt přijímjíí jzyk { ww w {, } } Typ přijímání si zvolte. 12

15 Kpitol 7 Syntktiká nlýz shor dolů Příkld 7.1. Uvžujte grmtiku pro ritmetiké výrzy G expr3 z přednášek [3] z ní vytvořenou LL tulku. Proveďte prediktivní syntktikou nlýzu řetěze i + i. Jké dvě informe jsou výsledkem prediktivní syntktiké nlýzy? Jk je tomu v tomto příkldu? Příkld 7.2. Uvžujte grmtiku kde P oshuje následujííh šest prvidel: G = ( {S, A, B, C}, {,, }, P, S ) 1: S ABC 2: A 3: A B 4: B B 5: B 6: C Vytvořte z G LL tulku. Je G LL grmtik? Příkld 7.3. Uvžujte grmtiku G vytvořenou tulku z příkldu 7.2. Určete levý rozor pro řetěze. Příkld 7.4. Uvžujte grmtiku kde P oshuje následujííh šest prvidel: G = ( {S, A, B, C}, {,, }, P, S ) 1: S AB 2: A BC 3: A ε 4: B B 5: B ε 6: C ε Vytvořte z G LL tulku. Je G LL grmtik? Příkld 7.5. Uvžujte grmtiku G z příkldu 7.4. Určete levý rozor pro řetěze. Příkld 7.6. Uvžujte grmtiku G = ( {X, Y, Z}, {,, }, P, X ) kde P oshuje následujíí čtyři prvidl: 13

16 X Y X Y Z Z Použitím fktorize (vytýkání) trnsformujte G n ekvivlentní LL grmtiku H. Příkld 7.7. Uvžujte grmtiku G = ( {X, Y, Z}, {,, }, P, X ) kde P oshuje následujíí čtyři prvidl: X XZ X Z Y Y Y ε Trnsformujte G n ekvivlentní grmtiku H ez levé rekurze. 14

17 Kpitol 8 Syntktiká nlýz zdol nhoru Příkld 8.1. Podle grmtiky pro výrzy preedenční tulky z přednášek [3] proveďte syntktikou nlýzu řetěze i (i + i). Jké dvě informe jsou výsledkem preedenční syntktiké nlýzy? Jk je tomu v tomto příkldu? Příkld 8.2. Mějme ezkontextovou grmtiku kde P oshuje následujííh pět prvidel: G = ( {S}, {,,, i, (, )}, S, P ) 1: S S S 2: S S S 3: S S S 4: S (S) 5: S i Operátor má vyšší prioritu než operátory. Operátor má vyšší prioritu než. Operátory jsou levě soitivní, operátor je prvě soitivní. Vytvořte pro tuto grmtiku preedenční tulku. Příkld 8.3. Uvžujte grmtiku G preedenční tulku z příkldu 8.2. Určete prvý rozor pro řetěze i i (i i). Příkld 8.4. Uvžujte grmtiku pro ritmetiké výrzy G expr1 LR tulku z přednášek [3]. Proveďte podle ní LR syntktikou nlýzu řetěze i + i. Jký je jeho prvý rozor? 15

18 Kpitol 9 Syntxí řízený překld Příkld 9.1. Vysvětlete hlvní myšlenku syntxí řízeného překldu. Příkld 9.2. Vyjmenujte tři zákldní metody generování třídresného kódu (3AK). 16

19 Kpitol 10 Optimlize, generování ílového kódu Příkld Rozdělte následujíí kód n zákldní loky. L1: L2: L3: L4: int = 0; += 1; printf("%d", ); if ( < 5) goto L1; = rnd(); if ( > 10) goto L2; printf("%d", ); Příkld Uvžujte následujíí kód. swith () { se 1: = * * ; rek; se 2: = * + ; rek; se 3: = - * ; rek; se 4: = / * ; rek; defult: = 2 * * ; rek; } N tento kód yl plikován optimlize snížení velikosti progrmu (došlo k nhrzení výrzu * z konstntu), jejíž výsledkem je následujíí kód. onst int AB = * ; swith () { se 1: = AB * ; rek; se 2: = AB + ; rek; se 3: = - AB; rek; se 4: = / AB; rek; defult: = 2 * AB; rek; } Je tto optimlize v tomto přípdě korektní? Zdůvodněte. 17

20 Příkld Mějme následujíí posloupnost instrukí. 1: v = / 2: w = v - 3: u = w * 4: d = u + w Proměnné,, d jsou progrmátorské, zylé proměnné jsou pomoné. Vytvořte vyplňte pro tuto posloupnost tulku zákldního loku. 18

21 Kpitol 11 Vlstnosti regulárníh jzyků Příkld Npište znění pumping lemm pro regulární jzyky. Příkld Vysvětlete, proč pomoí pumping lemm pro regulární jzyky nelze dokázt, že dný jzyk je regulární. Příkld 11.3 ( ). Pomoí pumping lemm dokžte, že jzyk není regulární. L = { ww w {, } } Příkld 11.4 ( ). Konstrukčně dokžte, že pro kždé dv konečné utomty M 1 M 2 pltí, že K = L(M 1 ) L(M 2 ) je regulární. Konstrukčně znmená, že sestrojíte konečný utomt, který přijímá K. Příkld 11.5 ( ). Konstrukčně dokžte, že pro kždé dv konečné utomty M 1 M 2 pltí, že K = L(M 1 )L(M 2 ) je regulární. Konstrukčně znmená, že sestrojíte konečný utomt, který přijímá K. Příkld 11.6 ( ). Konstrukčně dokžte, že pro kždé dv konečné utomty M 1 M 2 pltí, že K = L(M 1 ) L(M 2 ) je regulární. Konstrukčně znmená, že sestrojíte konečný utomt, který přijímá K. Příkld 11.7 ( ). Dokžte, že tříd regulárníh jzyků je uzvřen vůči reverzi. Nápověd: Ukžte, že pro kždý konečný utomt M lze sestrojit tkový konečný utomt, který přijímá reversl ( L(M) ) 19

22 Kpitol 12 Vlstnosti ezkontextovýh grmtik Příkld 12.1 ( ). Převeďte následujíí grmtiku n ekvivlentní grmtiku v Chomského normální formě. G = ( {S, B, C}, {,, }, P, S ) kde P oshuje prvidl S CB B CCCC C Příkld 12.2 ( ). Převeďte následujíí grmtiku n ekvivlentní grmtiku v Greihové normální formě. G = ( {S, A, B}, {, }, P, S ) kde P oshuje prvidl S BA A B B Příkld Npište znění pumping lemm pro ezkontextové jzyky. Příkld 12.4 ( ). Vysvětlete, proč pomoí pumping lemm pro ezkontextové jzyky nelze dokázt, že dný jzyk je ezkontextový. Příkld 12.5 ( ). Dokžte, že tříd ezkontextovýh jzyků je uzvřen vůči reverzi. Nápověd: Ukžte, že pro kždou ezkontextovou grmtiku G lze sestrojit tkovou ezkontextovou grmtiku, která generuje reversl ( L(G) ) 20

23 Kpitol 13 Turingovy stroje Chomského hierrhie Příkld 13.1 ( ). Neformálně popište Turingův stroj, který přijímá jzyk { n n n n 0} (Stčí popst prinip, n jkém stroj přijímjíí tento jzyk funguje.) Příkld 13.2 ( ). Vytvořte neomezenou grmtiku, která generuje jzyk { ww w {, } } Příkld 13.3 ( ). Vytvořte neomezenou grmtiku, která generuje jzyk { n n n 1 } Příkld 13.4 ( ). Vytvořte prvou lineární grmtiku, která generuje jzyk { }{ } {, } Příkld 13.5 ( ). Vymyslete příkld jzyk, který () ptří do třídy jzyků typu 3; () ptří do třídy jzyků typu 2, le neptří do třídy jzyků typu 3; () ptří do třídy jzyků typu 1, le neptří do třídy jzyků typu 2. Příkld 13.6 ( ). Vytvořte kontextovou grmtiku, která generuje nenulová Fioniho čísl [6] v unárním zkódování (tzn. 1 = 0, 2 = 00, 3 = 000, 5 = td.). 21

24 Řešení příkldů Kpitol 1 Řešení příkldu 1.1. = 5, = 1 ε = 0 Řešení příkldu 1.2. reversl() =, reversl() = reversl(ε) = ε Řešení příkldu 1.3. Prefixy jsou ε,,,. Vlstní prefixy jsou. Řešení příkldu 1.4. Sufixy jsou,,, ε. Vlstní sufixy jsou. Řešení příkldu 1.5. Podřetěze jsou ε,,,,,,,,,,,,,,,. Vlstní podřetěze jsou,,,,,,,,,,,,,. Řešení příkldu 1.6. () () 3 = () ε 4 = ε () εε = ε (d) ε = (e) {}{, }{} = {, } (f) {} = (g) {} + {ε} = {} (h) Σ {,, } = (i) {,, } {} = {,, } (j) {, } 2 = {,,, } (k) {,, } 3 = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } (l) {,,, } {, } = {} (m) Σ = Řešení příkldu 1.7. () = {ε} () + = () 3 = (d) = (e) = (f) {} = (g) {} = {} (h) {ε} = {ε} (i) {ε} + = {ε} (j) {ε} = {ε} (k) {ε} = (l) {ε} 5 = {ε} 22

25 Řešení příkldu 1.8. () L 1 L 2 = {x x L 1 zároveň x / L 2, neo x L 2 zároveň x / L 1 } () L 1 L 2 = (L 1 L 2 ) (L 2 L 1 ) Řešení příkldu 1.9. Ano, L je končený. Dokone pltí, že L =. Vyplývá to ze slvné Velké Fermtovy věty [5]. Kpitol 2 Řešení příkldu 2.1. lexikální nlýz, syntktiká nlýz, sémentiká nlýz, generování vnitřního kódu, optimlize, generování ílového kódu Kpitol 3 Řešení příkldu 3.1. () pltný () 3 nepltný (monin není v definii regulárníh výrzů) () pltný (d) d nepltný (d / Σ) (e) + pltný (f) ε pltný (g) nepltný (rozdíl není v definii regulárníh výrzů) (h) ε pltný (i) ε ε nepltný ( ε není v definii regulárníh výrzů) (j) pltný (k) Σ nepltný (Σ / Σ) Řešení příkldu 3.2. () + + = {,, } () + + ε = {} () ( + + ) = {,, } (d) = {} (e) ( + ε) = {ε} (f) ( + ) = {, } {} Řešení příkldu S L Řešení příkldu q ,

26 Řešení příkldu 3.5. ( + ) ( + ) Řešení příkldu 3.6. ( + ) ( + ε) Řešení příkldu q0 1 0 q1 Řešení příkldu 3.8. q0 Řešení příkldu ,1 0 q Řešení příkldu ( + ) Řešení příkldu ε 1 ε ε ε 7 ε ε 4 ε 5 ε 8 ε 9 ε Řešení příkldu q0 0 L 0 0 S Řešení příkldu Tkový konečný utomt neexistuje (potřeovli yhom nekonečný počet stvů). Řešení příkldu ( + ) Kpitol 4 Řešení příkldu

27 {1} {2,3} {1,3} {4} {3,4} Řešení příkldu 4.2. {0,2,3} {0} {2,3} Řešení příkldu Řešení příkldu ,, 2,,, 1, Řešení příkldu ,,, 3 Řešení příkldu 4.6. Zdný utomt je již doře speifikovný konečný utomt. 25

28 Řešení příkldu 4.7.,,, {1}, {2,5} {4} {3} Kpitol 5 Řešení příkldu 5.1. Lexém je lexikální jednotk dného progrmovího jzyk, npř. identifikátor, eločíselná konstnt, operátor sčítání, pod. Token je konkrétní reprezente lexémy, npř. identifikátor fox či eločíselná konstnt 6. Dá se řít, že token je lexém s přípdnými triuty. Kpitol 6 Řešení příkldu 6.1. G = ( {S}, {, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S S S. Řešení příkldu 6.2. G = ( {S}, {, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S S, S S S ε. Řešení příkldu 6.3. Automt přijímá konovým stvem (nví má v konovém stvu vždy prázdný zásoník). 1/ε,0 0/ε,1 1/11,1 0/00,0 S/S1,1 S/S0,0 q0 S/S0,0 S/S1,1 q1 S/ε,ε qf Řešení příkldu 6.4. G = ( {S, X, Y, Z, W }, {,, }, P, S ), kde P oshuje následujíí prvidl: S XY ZW X X ε Y Y ε Z Z ε W W ε Řešení příkldu 6.5. Automt přijímá konovým stvem (nví má v konovém stvu vždy prázdný zásoník). 26

29 S/S, S/S, /ε, /ε, S/SS,ε 0 1 S/ε,ε 2 S/ε,S qf Řešení příkldu 6.6. Zásoníkový utomt přijímjíí vyprázdněním zásoníku M = ( {s}, {,, }, {S, A, B, C, D,,, }, R, s, S, ) kde R oshuje následujíí prvidl: s s s s s s Ss CBAs As CBs Bs s Cs Ds Ds s Řetěze je přijt následujíí posloupností přehodů: Ss CBAs [Ss CBAs] CBCBs [As CBs] CBCs [Bs s] CBDs [Cs Ds] CBDs [s s] CBDs [s s] CBs [Ds s] CBs [s s] CBs [s s] Cs [Bs s] Cs [s s] Ds [Cs Ds] Ds [s s] Ds [s s] s [Ds s] s [s s] s [s s] Řešení příkldu 6.7. Rozšířený zásoníkový utomt přijímjíí konovým stvem M = ( {s, f}, {,, }, {S, A, B, C, D,,,, #}, R, s, #, f ) kde R oshuje následujíí prvidl: #Ss f s s s s s s ABCs Ss BCs As s Bs Ds Cs s Ds 27

30 Řetěze je přijt následujíí posloupností přehodů: #s #Bs [s Bs] #Bs [s s] #Bs [s s] #Bs [s s] #BDs [s Ds] #BCs [Ds Cs] #As [BCs As] #As [s s] #ABs [s Bs] #ABs [s s] #ABs [s s] #ABs [s s] #ABs [s s] #ABDs [s Ds] #ABCs [Ds Cs] #ABCs [s s] #Ss [ABCs Ss] f [#Ss f] Řešení příkldu 6.8. Stčí zručit, že se ude lišit počet neo počet. Grmtik proto n zčátku provede rozdvojení do dvou větví, kde v první se zručí, že počet ude různý, ve druhé se zručí, že počet ude různý. Dále se v kždé větvi provede dlší rozdvojení, kde v prvním ude počet jednoho symolu menší než počet druhého, ve druhé větvi nopk (npř. v první větvi se zručí, že počet ude menší než počet, ve druhé větvi se zručí, že počet ude větší než počet ). Řešením je kde P oshuje následujíí prvidl: G = ( {S 1, S 1, S 2, S 2, ā,,, A 1, A 1, B 1, B 1, A, C}, {,, }, P, S ) S S 1 S 1 S 2 S 2 ā ε ε ε A A ε C C ε S 1 A 1 C A 1 āa 1 ε S 1 A 1C A 1 A 1 ε S 2 AB 1 B 1 B 1 ε S 2 AB 1 B 1 B 1 ε Řešení příkldu 6.9. Tkový deterministiký zásoníkový utomt neexistuje. Řešení příkldu Tkový zásoníkový utomt neexistuje. Kpitol 7 Řešení příkldu

31 Zásoník Vstup Prvidlo $E i + i$ 1: E T E $E T i + i$ $E T F i + i$ 4: T F T $E T F i + i$ 8: F i $E T i i + i$ $E T +i$ 6: T ε $E +i$ 2: E +T E $E T + +i$ $E T i$ 4: T F T $E T F i$ 8: F i $E T i i$ $E T $ 6: T ε $E $ 3: E ε $ $ Výsledkem prediktivní syntktiké nlýzy je (1) informe, zd yl nlýz úspěšná, čili zd lze vstupní řetěze vygenerovt dnou grmtikou, (2) levý rozor. V tomto příkldu syntktiká nlýz proěhl úspěšně levý rozor je Řešení příkldu 7.2. Ano, G je LL grmtik. Řešení příkldu Řešení příkldu 7.4. Ne, G není LL grmtik. Řešení příkldu $ S 1 A B 4 5 C 6 $ S 1 1 A 2 2, 3 B C 6 Řešení příkldu 7.6. H = ( {X, X, Y, Z}, {,, }, P, X ), kde P oshuje následujíí prvidl: X X X Y X ε Y Z Z Řešení příkldu 7.7. H = ( {X, X, Y, Z}, {,, }, P, X ), kde P oshuje následujíí prvidl: 29

32 X X X ZX X ε Z Y Y Y ε Kpitol 8 Řešení příkldu 8.1. Zásoník Opere Vstup Prvidlo $ < i (i + i)$ $ < i > (i + i)$ 4: E i $E < (i + i)$ $ < E < (i + i)$ $ < E < ( < i + i)$ $ < E < (< i > +i)$ 4: E i $ < E < (E < +i)$ $ < E < (< E+ < i)$ $ < E < (< E+ < i > )$ 4: E i $ < E < (< E + E > )$ 1: E E + E $ < E < (E = )$ $ < E < (E) > $ 3: E (E) $ < E E > $ 2: E E E $E $ Výsledkem preedenční nlýzy je (1) informe, zd yl nlýz úspěšná, čili zd lze vstupní řetěze vygenerovt dnou grmtikou, (2) prvý rozor. V tomto příkldu syntktiká nlýz proěhl úspěšně prvý rozor je Řešení příkldu 8.2. ( ) i $ > < < < > < > > > < < > < > > > < < > < > ( < < < < = < ) > > > > > i > > > > > $ < < < < < Řešení příkldu Řešení příkldu 8.4. Zásoník Stv Vstup Ake Prvidlo $, 0 0 i + i$ α[0, i] = s5 $, 0 i, 5 5 +i$ α[5, +] = r6, β[0, F ] = 3 6: F i $, 0 F, 3 3 +i$ α[3, +] = r4, β[0, T ] = 2 4: T F $, 0 T, 2 2 +i$ α[2, +] = r2, β[0, E] = 1 2: E T $, 0 E, 1 1 +i$ α[1, +] = s6 $, 0 E, 1 +, 6 6 i$ α[6, i] = s5 $, 0 E, 1 +, 6 i, 5 5 $ α[5, $] = r6, β[6, F ] = 3 6: F i $, 0 E, 1 +, 6 F, 3 3 $ α[3, $] = r4, β[6, T ] = 9 4: T F $, 0 E, 1 +, 6 T, 9 9 $ α[9, $] = r1, β[0, E] = 1 1: E E + T $, 0 E, 1 1 $ α[1, $] = 30

33 Prvý rozor řetěze i + i je Kpitol 9 Řešení příkldu 9.1. K prvidlům v grmtie jsou přiřzeny tzv. sémntiké ke, které jsou vykonávány při pliki dného prvidl při syntktiké nlýze. Mezi tyto ke ptří npř. generování vnitřního kódu, práe s tulkou symolů či jkákoliv jiná ke, která je potře. Smotný překld je tudíž řízen syntxí progrmu, která udává ke, které se provedou. Řešení příkldu 9.2. (1) Syntktiký nlyzátor vytvoří strktní syntktiký strom, který je převeden n (3AK). (2) Syntktiký nlyzátor vytvoří postfixovou reprezenti progrmu, která je převeden n 3AK. (3) Syntktiký nlyzátor vytvoří 3AK přímo. Kpitol 10 Řešení příkldu První zákldní lok: int = 0; Druhý zákldní lok: L1: += 1; printf("%d", ); Třetí zákldní lok: L2: if ( < 5) goto L1; Čtvrtý zákldní lok: = rnd(); Pátý zákldní lok: L3: if ( > 10) goto L2; Šestý zákldní lok: L4: printf("%d", ); Řešení příkldu Není, protože výsledný kód není funkčně ekvivlentní původnímu (výsledek výrzu = / * se oeně může lišit od výsledku výrzu = / AB;, protože v prvním přípdě se provede nejdříve dělení pk ž násoení, le ve druhém přípdě se dělí vynásoená hodnot). 31

34 Řešení příkldu Řádek Instruke Stv Dlší použití 1 v = /,,v:l :N; :3; v:2 2 w = v -,w:l; v:d,v:n; w:3 3 u = w *,u,w:l :N; u,w:4 4 d = u + w d:l; u,w:d d,u,w:n Kpitol 11 Řešení příkldu Nehť L je regulární jzyk. Pk existuje k 1 tkové, že pokud z L z k, pk existují u, v w tkové, že z = uvw jsou splněny následujíí tři vlstnosti: (1) v ε, (2) uv k, (3) pro kždé i 0 pltí, že uv i w L. Řešení příkldu Protože pumping lemm předstvuje pouze nutnou podmínku pro to, y dný jzyk yl regulární. Jinými slovy, kždý regulární jzyk tuto podmínku splňuje, le existují i některé ne-regulární jzyky, které ji tktéž splňují. Řešení příkldu Postupujte odoně jko v řešeníh příkldů v mteriáleh ke třetímu demonstrčnímu vičení [3]. Řešení příkldu Nehť M 1 = (Q 1, Σ 1, R 1, s 1, F 1 ) M 2 = (Q 2, Σ 2, R 2, s 2, F 2 ) jsou dv konečné utomty. Bez újmy n oenosti můžeme předpokládt, že Q 1 Q 2 = (množiny stvů oou utomtů jsou disjunktní) že o utomty jsou úplné. Sestrojme konečný utomt M = ( Q, Σ, R, s, F ) kde Q = Q 1 Q 2 {s}, kde s je nový stv, Σ = Σ 1 Σ 2, R = R 1 R 2 {s s 1, s s 2 }, F = F 1 F 2. Zřejmě L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ). Rigorózní důkz identity L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Řešení příkldu Nehť M 1 = (Q 1, Σ 1, R 1, s 1, F 1 ) M 2 = (Q 2, Σ 2, R 2, s 2, F 2 ) jsou dv konečné utomty. Bez újmy n oenosti můžeme předpokládt, že Q 1 Q 2 = (množiny stvů oou utomtů jsou disjunktní) že o utomty jsou úplné. Sestrojme konečný utomt M = ( Q, Σ, R, s 1, F 2 ) kde Q = Q 1 Q 2, Σ = Σ 1 Σ 2, 32

35 R = R 1 R 2 {f s 2 f F 1 }. Zřejmě L(M) = L(M 1 )L(M 2 ). Rigorózní důkz identity L(M) = L(M 1 )L(M 2 ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Řešení příkldu Nehť M 1 = (Q 1, Σ 1, R 1, s 1, F 1 ) M 2 = (Q 2, Σ 2, R 2, s 2, F 2 ) jsou dv konečné utomty. Bez újmy n oenosti můžeme předpokládt, že Q 1 Q 2 = (množiny stvů oou utomtů jsou disjunktní) že o utomty jsou úplné. Ide důkzu je tková, že udeme zároveň simulovt o utomty, řetěze přijmeme, pokud y jej přijl jk M 1, tk M 2. Sestrojme konečný utomt M = ( Q, Σ, R, s, F ) kde Q = Q 1 Q 2 ( oznčuje krtézský součin [4]), Σ = Σ 1 Σ 2, R = { (p 1, p 2 ) (q 1, q 2 ) p 1 q 1 R 1, p 2 q 2 R 2 }, s = (s 1, s 2 ) F = { (f 1, f 2 ) f 1 F 1, f 2 F 2 }. Zřejmě L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ). Rigorózní důkz identity L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Řešení příkldu Nehť M = (Q, Σ, R, s, F ) je konečný utomt. Bez újmy n oenosti můžeme předpokládt, že M je úplný. Sestrojme konečný utomt kde Q = Q {s }, kde s je nový stv, R = {q p p q R}, F = {s}. N = ( Q, Σ, R, s, F ) Zřejmě L(N) = reversl ( L(M) ). Rigorózní důkz identity L(N) = reversl ( L(M) ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Kpitol 12 Řešení příkldu G = ( {S, B, C, ā, C, CC }, {,, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S C B C Cā ā B CC CC CC CC C Řešení příkldu G = ( {S, A, B, ā, }, {, }, P, S ), kde P oshuje prvidl 33

36 S āba ā A B B Řešení příkldu Nehť L je ezkontextový jzyk. Pk existuje k 1 tkové, že pokud z L z k, pk existují u, v, w, x y tkové, že z = uvwxy jsou splněny následujíí tři vlstnosti: (1) vx ε, (2) vwx k, (3) pro kždé i 0 pltí, že uv i wx i y L. Řešení příkldu Protože pumping lemm předstvuje pouze nutnou podmínku pro to, y dný jzyk yl ezkontextový. Jinými slovy, kždý ezkontextový jzyk tuto podmínku splňuje, le existují i některé ne-ezkontextové jzyky, které ji tktéž splňují. Řešení příkldu Nehť G = (N, T, P, S) je ezkontextová grmtik. Sestrojme ezkontextovou grmtiku H = (N, T, P, S), kde P = {A reversl(x) A x P } Zřejmě L(H) = reversl ( L(G) ). Rigorózní důkz identity L(H) = reversl ( L(G) ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Kpitol 13 Řešení příkldu Turingův stroj nejdříve zkontroluje, zd je vstup tvořen posloupností následovnou posloupností končíí posloupností. Pokud tomu tk není, pk vstup zmítne. Po kontrole se přesune zpět n zčátek vstupu. Nyní přepíše nejlevější n A, poté nejlevější n B, nkone nejlevější n C. Pokud některý z těhto přepisů nelze provést (npř. hyí ), pk vstup zmítne. Toto se opkuje tk dlouho, dokud se n vstupu nevyskytují žádné symoly,, ož znmená, že vstup yl korektní, stroj vstupní řetěze přijme. V opčném přípdě vstup zmítne (npř. přeývjí symoly ). Řešení příkldu G = ( {S, A, A, X, X, X, X ε }, {, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S AXA AX AX AX X ε X A XA X A XA X ε A ε X X X X X X X X X X X X X ε X ε X ε X ε Neformálně, G funguje tk, že po kždém vygenerovném symolu vlevo od A se pomoí X vygeneruje příslušný symol vlevo od A. Pokud se npř. vygeneruje, pk se X změní n X. Toto X se pk přesune od A ž k A. Po vygenerování před A se X změní zpět n X, přesune se zpátky k A, může ýt vygenerován dlší symol. Po ukončení generování dojde ke zrušení všeh tří neterminálů A, X A. Řetěze lze vygenerovt následovně: 34

37 S AXA AX A AXA AX A AX A AXA AXA AX A AX A AX A AXA AXA AXA X ε A X ε A X ε A X ε A Řešení příkldu Jelikož je kždá ezkontextová grmtik zároveň neomezenou grmtikou, tk řešením je grmtik G = ( {S}, {, }, P, S ) kde P oshuje prvidl S S S. Řešení příkldu G = ( {S, X}, {,, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S X X X Řešení příkldu () Npř. { n n 0} neo {,, }. () Npř. { n n n 0} neo { w reversl(w) w {, } }. () Npř. { n n n n 0} neo { ww w {, } }. Řešení příkldu G = ( {S, A, B, B r, C}, {0}, P, S ), kde P oshuje následujíí prvidl: S CS B r CA BC CB ABC CB r AB r A 0 B 0 B r 0 Řešení je převzto z [1] (v tomto článku je tktéž vysvětleno, jk G funguje). 35

38 Litertur [1] Holzer, M.; Rossmnith, P.: A simpler grmmr for Fioni numers. The Fioni Qurterly, ročník 35, č. 5, 1996: s Dostupné n URL: [2] Medun, A.: Automt nd Lnguges: Theory nd Applitions. Springer, Londýn, 2000, ISBN [3] Medun, A.; Lukáš, R.: Přednášky z předmětu Formální jzyky překldče [online]. 2011, [it ]. Dostupné n URL: [4] Wikipedi: Crtesin produt [online]. 2011, [it ]. Dostupné n URL: [5] Wikipedi: Fermt s Lst Theorem [online]. 2011, [it ]. Dostupné n URL: [6] Wikipedi: Fioni numer [online]. 2011, [it ]. Dostupné n URL: 36

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka

Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Tehniká dokumente ng Lukáš Proházk Tém: hlvní část dokumentu, orázky, tulky grfy 1) Osh hlvní části dokumentu ) Orázky, tulky grfy ) Vzore rovnie Hlvní část dokumentu Hlvní část dokumentu je řzen v následujíím

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Teorie jazyků a automatů I

Teorie jazyků a automatů I Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen

Více

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku? Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí 3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

H - Řízení technologického procesu logickými obvody

H - Řízení technologického procesu logickými obvody H - Řízní tchnologického procsu logickými ovody (Logické řízní) Tortický úvod Součástí řízní tchnologických procsů j i zjištění správné posloupnosti úkonů tchnologických oprcí rozhodování o dlším postupu

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ

Více

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23 10. Suffixové stromy V této kpitole popíšeme jednu pozoruhodnou dtovou strukturu, pomocí níž dokážeme prolémy týkjící se řetězců převádět n grfové prolémy řešit je tk v lineárním čse. Řetězce, trie suffixové

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Prostorové nároky... 35. Zatížení... 37 Velikost zatížení... 37 Směr zatížení... 37. Nesouosost... 40. Přesnost... 40. Otáčky... 42. Tichý chod...

Prostorové nároky... 35. Zatížení... 37 Velikost zatížení... 37 Směr zatížení... 37. Nesouosost... 40. Přesnost... 40. Otáčky... 42. Tichý chod... Vol typu ložisk Prostorové nároky... 35 Ztížení... 37 Velikost ztížení... 37 Směr ztížení... 37 Nesouosost... 40 Přesnost... 40 Otáčky... 42 Tichý chod... 42 Tuhost... 42 Axiální posuvnost... 43 Montáž

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

písemná a ústní část porozumění látce + schopnost formalizace

písemná a ústní část porozumění látce + schopnost formalizace Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Orgnizční záležitosti Přednášk: n weu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk/utomty) Proč chodit n přednášku? Cvičení: dozvíte

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Projekt: Digitální učení mteriály e škole registrční číslo projektu CZ.1.07/1..00/4.07 Příjeme: Střední zdrotniká škol Vyšší odorná škol zdrotniká Huso 71 60 České Budějoie Náze

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu Studijní informční systém Elektronický zápis předmětů rozvrhu V odoí elektronického zápisu předmětů proíhá tzv. předěžný zápis. Student má předměty zpsné ztím pouze předěžně může je po celé odoí elektronického

Více

LOGOMANUÁL. informace a doporučení k užití logotypu Singing Rock. Verze 1.5 Česky. Lukáš Matěja +420 775 282 064 lukas.mateja@singingrock.

LOGOMANUÁL. informace a doporučení k užití logotypu Singing Rock. Verze 1.5 Česky. Lukáš Matěja +420 775 282 064 lukas.mateja@singingrock. LOGOMANUÁL informce doporučení k užití logotypu Singing Rock V přípdě dotzů kontktujte nšeho grfického designer. Lukáš Mtěj +420 775 282 064 luks.mtej@singingrock.cz Verze 1.5 Česky ZAKLADNÍ LOGOTYP Zákldní

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.)

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.) Lomené výrz (čítání, odčítání, náoení, dělení, rozšiřování, kráení, ) Lomené výrz jo výrz ve tvr zlomk, v jehož jmenovteli je proměnná, npříkld r ( ) ( ) 9 Počítání lomenými výrz má podoné vltnoti jko

Více

Maturitní příklady 2011/2012

Maturitní příklady 2011/2012 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky

Více

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže H r í ř á d pro čjovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g n i z e soutěže I-1. Vymezení soutěže Soutěž je pořádán pro družstv složená z hráčů, kteří hrjí go pro zpestření svého volného čsu htějí změřit

Více

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor Dtmining AA (Above Averge) kvntifikátor Jn Burin Lbortory of Intelligent Systems, Fculty of Informtics nd Sttistics, University of Economics, W. Churchill Sq. 4, 13067 Prgue, Czech Republic, burinj@vse.cz

Více

ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU. Vladimír VANĚK- Bohumil NOVÁK

ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU. Vladimír VANĚK- Bohumil NOVÁK The Mthemtis Edution into the 1 st Century Projet Proeedings of the Interntionl Conferene The Deidle nd the Undeidle in Mthemtis Edution Brno, Czeh Repuli, Septemer 3 ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI. František Prášek

SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI. František Prášek SYLABUS MODULU UPLATNĚNÍ NA TRHU PRÁCE DÍLČÍ ČÁST II BAKALÁŘSKÝ SEMINÁŘ + PŘÍPRAVA NA PRAXI Frntišek Prášek Ostrv 011 1 : Sylbus modulu Upltnění n trhu práce, dílčí část II Bklářská práce + příprv n prxi

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Evropská unie Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropská unie Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropská unie Evropský soiální fon Prh & EU: Investujeme o vší uounosti ávrh čítče jko utomtu Osh ÁVRH ČÍAČE JAKO AUOMAU.... SYCHROÍ A ASYCHROÍ AUOMA..... Výstupy utomtu mohou ýt přímo ity pměti stvu.....

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc.

PLANETOVÉ PŘEVODY. Pomůcka do cvičení z předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pavel Sedlák, CSc. PLANETOVÉ PŘEVODY Pomůck do cvičení předmětu Mobilní energetické prostředky Doc.Ing. Pvel Sedlák, CSc. Pro pochopení funkce plnetových převodů jejich kinemtiky je nutné se senámit se ákldy především kinemtikou

Více

Word praktická cvičení

Word praktická cvičení Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: Informční.. Ing. Andre komunikční (podle ooru Květen 03 Modrovská tehnologie změření) Název zprovného elku: Textový proesor Word prktiká vičení Word prktiká vičení Tento

Více

1 Logické řízení (prof. Ing. Jiří Tůma, CSc.)

1 Logické řízení (prof. Ing. Jiří Tůma, CSc.) Logiké řízení Logiké řízení (prof. Ing. Jiří Tům, CS.) Tento způso řízení je zložen n vou stveh ovláného prvku voustvové informi o řízené soustvě. Prktiké oznčení těhto stvů je násleujíí: zpnuto / vpnuto,

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Montazni navod. 6'x8' - TwinWall Glazing. Approx. Dim. 248x185x209cm / 97¾"x72¾"x82¼" 13.01_Czech_74085

Montazni navod. 6'x8' - TwinWall Glazing. Approx. Dim. 248x185x209cm / 97¾x72¾x82¼ 13.01_Czech_74085 Montzni nvod 6'x8' - TwinWll Glzing Approx. Dim. 2488509cm / 97¾"x72¾"x82¼" 13.01_Czech_74085 CZ DŮLEŽITÉ Předtím, než zčnete sestvovt tento skleník, si pečlivě přečtěte tyto pokyny. Uchovávejte tyto pokyny

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

7.2.10 Skalární součin IV

7.2.10 Skalární součin IV 7.2.10 Sklární sočin IV Předpokld: 7209 Pedgogiká poznámk: Tto hodin je kontet čebnie zláštní. Obshje d důkz jeden příkld z klsiké čebnie. Všehn tři zdání jso znčně obtížná ždjí nápd, proto je řeším normálně

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební mteriál Projekt: Digitální učební mteriály ve škole, registrční číslo projektu CZ..07/.5.00/.057 Příjemce: třední zdrvotnická škol Vyšší odborná škol zdrvotnická, Husov, 7 60 České Budějovice

Více

Montazni navod. Mythos 6'x8' - TwinWall Glazing 248x185x209cm / 96¾"x72¾"x82¼" Pomoc zákazníkûm a linka podpory Mobile: 00420-739-661-428

Montazni navod. Mythos 6'x8' - TwinWall Glazing 248x185x209cm / 96¾x72¾x82¼ Pomoc zákazníkûm a linka podpory Mobile: 00420-739-661-428 Montzni nvod Mythos 6'x8' - TwinWll Glzing 2488509cm / 96¾"x72¾"x82¼" Czech_71190 Pomoc zákzníkûm link podpory Moile: 00420-739-661-428 www.plrmpplictions.com CZ DŮLEŽITÉ Předtím, než zčnete sestvovt tento

Více

2 Formální jazyky a gramatiky

2 Formální jazyky a gramatiky 2 Formální jazyky a gramatiky 2.1 Úvod Teorie formálních gramatik a jazyků je důležitou součástí informatiky. Její využití je hlavně v oblasti tvorby překladačů, kompilátorů. Vznik teorie se datuje přibližně

Více

Rozdělení spojitých veličin

Rozdělení spojitých veličin Rozdělení spojitých veličin Frekvenční distriuční funkce spojité náhodné veličiny (NV) Rovnoměrné spojité rozdělení Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Normální normovné rozdělení Logritmicko -

Více

150 mm 150 mm. 150 mm

150 mm 150 mm. 150 mm Stručný návod k osluze Zčínáme DCP-9020CDW Nejprve si prosím přečtěte dokument Příručk ezpečnosti výroku. Následně můžete njít informe o nstvení instli v tomto dokumentu (Stručný návod k osluze). Chete-li

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR Aktuální informce Ústvu zdrvotnických informcí sttistiky České repuliky Prh 8.1.2004 1 Zhouný novotvr ledviny mimo pánvičku v ČR Počet hlášených onemocnění zhouným novotvrem ledviny mimo pánvičku (dg.

Více

Stereochemie. Přednáška č. 3

Stereochemie. Přednáška č. 3 Stereochemie Přednášk č. 3 Nomenkltur sloučenin obshujících centrum chirlity jednoduchou osu symetrie Typ molekuly prvek symetrie bcd žádný bc σ bb 2 + σ b 3 +3σ 4 3 + 3 2 + 6σ Molekuly typu bb b b b b

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Studijní materiál PASCAL

Studijní materiál PASCAL Obsh Studijní mteriál PASCAL /76 Obsh Obsh Algoritmus 5 Vlstnosti lgoritmu 5 Metod návrhu lgoritmu 5 3 Rekurzivní lgoritmy 5 4 Překldč jeho struktur 6 4 Druhy překldčů 6 4 Hlvní části překldče 6 Jzyk Pscl

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

AUTOMATY VE VYHLEDÁVÁNI cvičeni

AUTOMATY VE VYHLEDÁVÁNI cvičeni Czech Technicl University in Prgue Fculty of Informtion Technology Deprtment of Theoreticl Computer Science AUTOMATY VE VYHLEDÁVÁNI cvičeni Bořivoj Melichr Evropský sociální fond. Prh & EU: Investujeme

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

Rovinné nosníkové soustavy III Příhradový nosník

Rovinné nosníkové soustavy III Příhradový nosník Stvení sttik,.ročník klářského stui Rovinné nosníkové soustvy III Příhrový nosník Rovinný klouový příhrový nosník Skl rovinného příhrového nosníku Pomínk sttiké určitosti příhrového nosníku Zjenoušená

Více

Zjednodušená styčníková metoda

Zjednodušená styčníková metoda Stvní sttik, 1.ročník klářského stui Rovinné nosníkové soustvy III Příhrový nosník Zjnoušná styčníková mto Rovinný klouový příhrový nosník Skl rovinného příhrového nosníku Pomínk sttiké určitosti příhrového

Více

Syntaxí řízený překlad

Syntaxí řízený překlad Syntaxí řízený překlad Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 27. listopadu 2008 Definice Překlad z jazyka L 1 do jazyka L 2 je definován množinou

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

VTA OBRÁCENÁ K PYTHAGOROV VT VÝPOET DÉLEK STRAN V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU. (2 hodiny)

VTA OBRÁCENÁ K PYTHAGOROV VT VÝPOET DÉLEK STRAN V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU. (2 hodiny) VTA OBRÁCENÁ K PYTHAGOROV VT VÝPOET DÉLEK TRAN V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU ( hodiny) Nejpre si pro osžení zopkujeme geometriké znní Pythgoroy ty: Osh tere sestrojeného nd peponou proúhlého trojúhelníku se

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ Ing. Igor Neckř APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ posluchč doktorského studi oboru Soudní inženýrství FAST VUT v Brně E-mil: inec@volny.cz Přednášk n konferenci znlců ÚSI

Více

Kam jezdí formani AGENTURA OCHRANY PŘÍRODY A KRAJINY

Kam jezdí formani AGENTURA OCHRANY PŘÍRODY A KRAJINY Km jezdí formni S otv jsme vyšli, už potkáváme formn Šknderu. Jede s povozem plně nloženým dlouhými kmeny, který táhnou dv silní koně, o grošái. Zstvil u nás, prý jestli neheme svézt. Dnes jedu jenom do

Více

Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2006, ročník VI, řada stavební

Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2006, ročník VI, řada stavební Sorník vědekýh prí Vysoké školy áňské - Tehniké univerzity Ostrv číslo, rok 2006, ročník VI, řd stvení Ivet SKOTNICOVÁ ZMĚNY VE VÝPOČTOVÝCH METODÁCH TEPELNĚ TECHNICKÝCH NOEM Astrt The rtile desries the

Více

ČESKY. Návod k elektroinstalaci 2-žilového kabelu mezi ovládací jednotkou a motorem. m mm 2. 0-20 2 x 0,75 0-50 2 x 1,50

ČESKY. Návod k elektroinstalaci 2-žilového kabelu mezi ovládací jednotkou a motorem. m mm 2. 0-20 2 x 0,75 0-50 2 x 1,50 Návod k elektroinstlci 2-žilového kelu mezi ovládcí jednotkou motorem Veďte kel od ovládcí jednotky k oknu. Poznámk: Následujte tulku pro výěr správné velikosti kelu. Pro zpojení k motoru: Následujte návod

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Rovinné nosníkové soustavy Gerberův nosník

Rovinné nosníkové soustavy Gerberův nosník Stvení sttik, 1.ročník klářského stui Rovinné nosníkové soustvy Gererův nosník Spojitý nosník s vloženými klouy - Gererův nosník Kter stvení mehniky Fkult stvení, VŠB - Tehniká univerzit Ostrv Sttiky neurčité

Více

SMLOUVA O DÍLO. METRONOME s.r.o. se sídlem:

SMLOUVA O DÍLO. METRONOME s.r.o. se sídlem: SMLOUVA O DÍLO Číslo smlouvy Objedntele: DIL/40/01/001605/2008 uzvřená níže uvedeného dne, měsíce roku podle ustnovení 536 násl. zákon č. 513/1991 Sb., obchodní zákoník, v pltném znění (dále jen Smlouv

Více

Virtuální počítač. Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor. PGS K.

Virtuální počítač. Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor. PGS K. Virtuální počítač Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor Virtuální počítač Překladač Překladač : Zdrojový jazyk Cílový jazyk Analytická část:

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN pevné látky jsou chrkterizovány omezeným pohybem zákldních stvebních částic (tomů, iontů, molekul) kolem rovnovážných poloh PEVNÉ LÁTKY krystlické morfní KRYSTAL pevné

Více