Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Sbírka příkladů do IFJ. Petr Zemek"

Transkript

1 Sírk příkldů do IFJ Petr Zemek 11. ledn 2012

2 Osh Předmluv 1 1 Aeedy, řetěze jzyky 3 2 Úvod do překldčů 5 3 Modely regulárníh jzyků 6 4 Speiální konečné utomty 8 5 Lexikální nlýz 10 6 Modely ezkontextovýh jzyků 11 7 Syntktiká nlýz shor dolů 13 8 Syntktiká nlýz zdol nhoru 15 9 Syntxí řízený překld Optimlize, generování ílového kódu Vlstnosti regulárníh jzyků Vlstnosti ezkontextovýh grmtik Turingovy stroje Chomského hierrhie 21 Řešení příkldů 22 Litertur 36

3 Předmluv Tento text slouží jko pomoný mteriál pro studenty předmětu Formální jzyky překldče (IFJ) klářského studijního progrmu Informční tehnologie n Fkultě informčníh tehnologií VUT v Brně. Jeho ílem je poskytnout studentům příkldy, n kterýh si mohou vyzkoušet své nyté znlosti. Oshuje řdu příkldů z kždé proírné olsti, včetně jejih řešení. Pokud v textu nrzíte n hyu, neváhejte mi poslt emil n Předmět emilu v ideálním přípdě zčínejte prefixem "IFJ sírk: ". V přípdě dotzů lze využít fórum předmětu ve WISu (preferovná vrint, protože váš dotz může zjímt víe studentů). Nezpomeňte vždy zmínit, o kterou verzi textu (= dtum n přední strně) se jedná, yhom předešli nesrovnlostem. Doufám, že vám text přinese užitek. Petr Zemek, 11. ledn 2012 Použití struktur Kždá kpitol oshuje příkldy k jednomu proírnému témtu. Číslování kpitol y mělo sedět s rozvržením přednášek n [3], le jelikož se pořdí přednášek může změnit, nelze to stoproentně zručit. V závěru dokumentu je osženo řešení příkldů. Při řešení příkldů lze postupovt od prvního po poslední. Příkldy oznčené hvězdičkou (viz dále) lze při prvním řešení vyneht. Použitá terminologie, konvene note vyhází z přednášek předmětu IFJ [3] knihy, n které je tento předmět zložen [2]. Pokud yl příkld převzán, je u něj vždy uveden referene n původní zdroj. Použité konvene, které se mohou lišit od přednášek: místo několik hrn z jednoho stvu do druhého je použit jediná hrn, kde jednotlivé symoly jsou odděleny čárkou. Význm hvězd u příkldů: oznčuje příkldy, u kterýh je tře zpřemýšlet nd ráme předmětu IFJ, le které y měli studenti, kteří proírné láte rozumí, v pohodě vyřešit; oznčuje příkldy, k jejihž vyřešení je tře mít znlosti mimo předmět IFJ, ez nihž nemusí ýt příkld pro student IFJ řešitelný v konečném čse. 1

4 Poděkování N tomto místě yh htěl poděkovt všem, kteří se svými postřehy, poznámkmi rdmi zsloužili o zkvlitnění tohoto textu. Dále yh htěl poděkovt studentům, kteří n vičeníh pokládli zjímvé otázky, které tvořily motivi u řdy příkldů. V neposlední řdě yh htěl poděkovt své přítelkyni, která mi yl oporou. Tento dokument neyl finnován z žádného grntu ni výzkumného záměru vznikl ve volném čse. Historie revizí Jelikož ude tento dokument čsto ktulizován, uvádím seznm proěhlýh revizí. Dtum Popis revize Zjednodušeno řešení příkldu 6.3. Z nápd děkuji Rde Škvřilové Doplněno zdání příkldu 8.2 (doplněny hyějíí závorky v množině terminálů). Z nhlášení hyy děkuji Mihlu Strigzdovi Oprveno řešení příkldu Z nhlášení hyy děkuji Jiřímu Honovi Oprveno řešení příkldu 8.1. Z nhlášení hyy děkuji Mtúšovi Fedorkovi Oprveno řešení příkldu 7.4 uprveno zdání příkldu 7.5. Z nhlášení hyy děkuji Jkuu Jeřákovi Oprveno řešení příkldů Z nhlášení hy děkuji Fridolínu Pokornému Doplněno zdání příkldu 8.2 (speifike priority operátorů) oprveno jeho řešení. Z nhlášení hy děkuji Fridolínu Pokornému Doplněno zdání příkldu 6.6. Z postřeh děkuji Fridolínu Pokornému Oprveno číslo řešení u příkldu 1.9. Z nhlášení hyy děkuji Mihlu Strigzdovi Zjednodušeno řešení příkldu 3.4. Z postřeh děkuji Fridolínu Pokornému Zjednodušeno řešení příkldu 3.3. Z postřeh děkuji Dávidu Antolíkovi Oprveno řešení odu (k) v příkldu 1.7. Z nhlášení hyy děkuji Fridolínu Pokornému Oprveno zdání odu (h) v příkldu 1.6. Z nhlášení hyy děkuji Lukáši Svtému Oprveno řešení odu (e) v příkldu 1.6. Z nhlášení hyy děkuji Ldislvu Szántovi jednomu studentovi n vičení, jehož jméno ohužel nevím Sjednoen průměr uzlů v přehodovýh grfeh konečnýh utomtů (kosmetiká změn) Zveřejněn první verze. 2

5 Kpitol 1 Aeedy, řetěze jzyky Pokud není řečeno jink, uvžujte u všeh příkldů eedu Σ = {,, }. Příkld 1.1. Jkou délku mjí řetěze, ε? Příkld 1.2. Jké jsou reverze řetězů, ε? Příkld 1.3. Určete všehny prefixy řetěze. Které z nih jsou vlstní? Příkld 1.4. Určete všehny sufixy řetěze. Které z nih jsou vlstní? Příkld 1.5. Určete všehny podřetěze řetěze. Které z nih jsou vlstní? Příkld 1.6. Určete: () () 3 =? () ε 4 =? () εε =? (d) ε =? (e) {}{, }{} =? (f) {} =? (g) {} + {ε} =? (h) Σ {,, } =? (i) {,, } {} =? (j) {, } 2 =? (k) {,, } 3 =? (l) {,,, } {, } =? (m) Σ =? Příkld 1.7. Určete: () =? () + =? () 3 =? (d) =? (e) =? (f) {} =? (g) {} =? (h) {ε} =? (i) {ε} + =? (j) {ε} =? (k) {ε} =? (l) {ε} 5 =? Příkld 1.8 ( ). Opere symetriký rozdíl ( ) dvou množin je definován jko množin, která oshuje prvky, které jsou uď v první množině, neo ve druhé množině, le ne v oou zároveň. Nehť L 1 L 2 jsou dv jzyky nd Σ. 3

6 () Definujte formálně symetriký rozdíl L 1 L 2 (s využitím náležitosti do množiny ). () Definujte formálně symetriký rozdíl L 1 L 2 pouze pomoí operí sjednoení rozdílu dvou množin. Příkld 1.9 ( ). Mějme jzyk Je L konečný? L = { n > 2 existují,, 1 tkové, že n + n = n} 4

7 Kpitol 2 Úvod do překldčů Příkld 2.1. Vypište seřďte fáze překldu, jk jdou typiky z seou n logiké úrovni. 5

8 Kpitol 3 Modely regulárníh jzyků Pokud není řečeno jink, uvžujte u všeh příkldů eedu Σ = {,, }. Příkld 3.1. Rozhodněte, které z následujííh výrzů jsou pltné regulární výrzy (uvžujte i konvene zvedené n přednáškáh). Pokud není výrz pltným regulárním výrzem, zdůvodněte proč. () () 3 () (d) d (e) + (f) ε (g) (h) ε (i) ε ε (j) (k) Σ Příkld 3.2. Určete, které jzyky znčí následujíí regulární výrzy. () + + =? () + + ε =? () ( + + ) =? (d) =? (e) ( + ε) =? (f) ( + ) =? Příkld 3.3. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze oshujíí lihý (nenulový) počet znků 1. Příkld 3.4. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze oshujíí jko podřetěze 101. Příkld 3.5. Vytvořte regulární výrz nd eedou Σ = {, }, znčíí jzyk oshujíí právě řetěze, které oshují jko podřetěze. Příkld 3.6. Vytvořte regulární výrz nd eedou Σ = {, }, znčíí jzyk oshujíí právě řetěze, které neoshují jko podřetěze. Příkld 3.7. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze neoshujíí podřetěze 11. Příkld 3.8. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá prázdný jzyk ( ). 6

9 Příkld 3.9. Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze zčínjíí prefixem 010. Příkld Vytvořte regulární výrz nd eedou Σ = {, }, znčíí jzyk oshujíí právě řetěze končíí sufixem. Příkld Převeďte regulární výrz ( + ) n konečný utomt (použijte lgoritmus z přednášek). Příkld Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě neprázdné řetěze sudé délky neoshujíí 1. Příkld 3.13 ( ). Vytvořte konečný utomt nd eedou Σ = {0, 1}, který přijímá právě řetěze oshujíí stejný počet znků 0 1. Příkld 3.14 ( ). Převeďte následujíí konečný utomt nd eedou Σ = {,, } n ekvivlentní regulární výrz

10 Kpitol 4 Speiální konečné utomty Pokud není řečeno jink, uvžujte u všeh příkldů eedu Σ = {,, }. Příkld 4.1. Převeďte zdný konečný utomt n deterministiký Příkld 4.2. Převeďte zdný konečný utomt n deterministiký. 0 1 ε 2 ε 3 Příkld 4.3. Převeďte zdný deterministiký konečný utomt n ekvivlentní deterministiký konečný utomt ez nedostupnýh neukončujííh stvů Příkld 4.4. Převeďte zdný deterministiký konečný utomt n úplný konečný utomt. 8

11 Příkld 4.5. Převeďte zdný úplný konečný utomt n doře speifikovný konečný utomt , 3,,,, 5 Příkld 4.6. Převeďte zdný úplný konečný utomt n doře speifikovný konečný utomt. 1 2, 3, Příkld 4.7. Převeďte zdný doře speifikovný konečný utomt n minimální ,,, 9

12 Kpitol 5 Lexikální nlýz Příkld 5.1. Jký je rozdíl mezi tokenem lexémou? 10

13 Kpitol 6 Modely ezkontextovýh jzyků Příkld 6.1. Vytvořte ezkontextovou grmtiku generujíí jzyk { n n n 1 } Příkld 6.2. Vytvořte ezkontextovou grmtiku generujíí jzyk { w reversl(w) w {, } } Příkld 6.3. Vytvořte zásoníkový utomt přijímjíí jzyk { w w {0, 1} +, w oshuje stejný počet 0 1 } Typ přijímání si zvolte. Příkld 6.4. Vytvořte ezkontextovou grmtiku generujíí jzyk { m m n m, n 0} { m n n m, n 0 } Příkld 6.5. Vytvořte zásoníkový utomt přijímjíí jzyk { w reversl(w) w {, } } Typ přijímání si zvolte. Příkld 6.6. Ze zdné grmtiky G vytvořte oený syntktiký nlyzátor shor dolů. G = ( {S, A, B, C, D}, {,, }, P, S ) kde P oshuje následujíí prvidl: S ABC A BC C D D B ε Ukžte přijetí řetěze. Příkld 6.7. Z grmtiky G z příkldu 6.6 vytvořte oený syntktiký nlyzátor zdol nhoru. Ukžte přijetí řetěze. Příkld 6.8 ( ). Vytvořte ezkontextovou grmtiku generujíí jzyk { i j k i, j, k 0, i j neo j k neo i k } 11

14 Příkld 6.9 ( ). Vytvořte deterministiký zásoníkový utomt přijímjíí jzyk { w reversl(w) w {, } } Typ přijímání si zvolte. Příkld 6.10 ( ). Vytvořte zásoníkový utomt přijímjíí jzyk { ww w {, } } Typ přijímání si zvolte. 12

15 Kpitol 7 Syntktiká nlýz shor dolů Příkld 7.1. Uvžujte grmtiku pro ritmetiké výrzy G expr3 z přednášek [3] z ní vytvořenou LL tulku. Proveďte prediktivní syntktikou nlýzu řetěze i + i. Jké dvě informe jsou výsledkem prediktivní syntktiké nlýzy? Jk je tomu v tomto příkldu? Příkld 7.2. Uvžujte grmtiku kde P oshuje následujííh šest prvidel: G = ( {S, A, B, C}, {,, }, P, S ) 1: S ABC 2: A 3: A B 4: B B 5: B 6: C Vytvořte z G LL tulku. Je G LL grmtik? Příkld 7.3. Uvžujte grmtiku G vytvořenou tulku z příkldu 7.2. Určete levý rozor pro řetěze. Příkld 7.4. Uvžujte grmtiku kde P oshuje následujííh šest prvidel: G = ( {S, A, B, C}, {,, }, P, S ) 1: S AB 2: A BC 3: A ε 4: B B 5: B ε 6: C ε Vytvořte z G LL tulku. Je G LL grmtik? Příkld 7.5. Uvžujte grmtiku G z příkldu 7.4. Určete levý rozor pro řetěze. Příkld 7.6. Uvžujte grmtiku G = ( {X, Y, Z}, {,, }, P, X ) kde P oshuje následujíí čtyři prvidl: 13

16 X Y X Y Z Z Použitím fktorize (vytýkání) trnsformujte G n ekvivlentní LL grmtiku H. Příkld 7.7. Uvžujte grmtiku G = ( {X, Y, Z}, {,, }, P, X ) kde P oshuje následujíí čtyři prvidl: X XZ X Z Y Y Y ε Trnsformujte G n ekvivlentní grmtiku H ez levé rekurze. 14

17 Kpitol 8 Syntktiká nlýz zdol nhoru Příkld 8.1. Podle grmtiky pro výrzy preedenční tulky z přednášek [3] proveďte syntktikou nlýzu řetěze i (i + i). Jké dvě informe jsou výsledkem preedenční syntktiké nlýzy? Jk je tomu v tomto příkldu? Příkld 8.2. Mějme ezkontextovou grmtiku kde P oshuje následujííh pět prvidel: G = ( {S}, {,,, i, (, )}, S, P ) 1: S S S 2: S S S 3: S S S 4: S (S) 5: S i Operátor má vyšší prioritu než operátory. Operátor má vyšší prioritu než. Operátory jsou levě soitivní, operátor je prvě soitivní. Vytvořte pro tuto grmtiku preedenční tulku. Příkld 8.3. Uvžujte grmtiku G preedenční tulku z příkldu 8.2. Určete prvý rozor pro řetěze i i (i i). Příkld 8.4. Uvžujte grmtiku pro ritmetiké výrzy G expr1 LR tulku z přednášek [3]. Proveďte podle ní LR syntktikou nlýzu řetěze i + i. Jký je jeho prvý rozor? 15

18 Kpitol 9 Syntxí řízený překld Příkld 9.1. Vysvětlete hlvní myšlenku syntxí řízeného překldu. Příkld 9.2. Vyjmenujte tři zákldní metody generování třídresného kódu (3AK). 16

19 Kpitol 10 Optimlize, generování ílového kódu Příkld Rozdělte následujíí kód n zákldní loky. L1: L2: L3: L4: int = 0; += 1; printf("%d", ); if ( < 5) goto L1; = rnd(); if ( > 10) goto L2; printf("%d", ); Příkld Uvžujte následujíí kód. swith () { se 1: = * * ; rek; se 2: = * + ; rek; se 3: = - * ; rek; se 4: = / * ; rek; defult: = 2 * * ; rek; } N tento kód yl plikován optimlize snížení velikosti progrmu (došlo k nhrzení výrzu * z konstntu), jejíž výsledkem je následujíí kód. onst int AB = * ; swith () { se 1: = AB * ; rek; se 2: = AB + ; rek; se 3: = - AB; rek; se 4: = / AB; rek; defult: = 2 * AB; rek; } Je tto optimlize v tomto přípdě korektní? Zdůvodněte. 17

20 Příkld Mějme následujíí posloupnost instrukí. 1: v = / 2: w = v - 3: u = w * 4: d = u + w Proměnné,, d jsou progrmátorské, zylé proměnné jsou pomoné. Vytvořte vyplňte pro tuto posloupnost tulku zákldního loku. 18

21 Kpitol 11 Vlstnosti regulárníh jzyků Příkld Npište znění pumping lemm pro regulární jzyky. Příkld Vysvětlete, proč pomoí pumping lemm pro regulární jzyky nelze dokázt, že dný jzyk je regulární. Příkld 11.3 ( ). Pomoí pumping lemm dokžte, že jzyk není regulární. L = { ww w {, } } Příkld 11.4 ( ). Konstrukčně dokžte, že pro kždé dv konečné utomty M 1 M 2 pltí, že K = L(M 1 ) L(M 2 ) je regulární. Konstrukčně znmená, že sestrojíte konečný utomt, který přijímá K. Příkld 11.5 ( ). Konstrukčně dokžte, že pro kždé dv konečné utomty M 1 M 2 pltí, že K = L(M 1 )L(M 2 ) je regulární. Konstrukčně znmená, že sestrojíte konečný utomt, který přijímá K. Příkld 11.6 ( ). Konstrukčně dokžte, že pro kždé dv konečné utomty M 1 M 2 pltí, že K = L(M 1 ) L(M 2 ) je regulární. Konstrukčně znmená, že sestrojíte konečný utomt, který přijímá K. Příkld 11.7 ( ). Dokžte, že tříd regulárníh jzyků je uzvřen vůči reverzi. Nápověd: Ukžte, že pro kždý konečný utomt M lze sestrojit tkový konečný utomt, který přijímá reversl ( L(M) ) 19

22 Kpitol 12 Vlstnosti ezkontextovýh grmtik Příkld 12.1 ( ). Převeďte následujíí grmtiku n ekvivlentní grmtiku v Chomského normální formě. G = ( {S, B, C}, {,, }, P, S ) kde P oshuje prvidl S CB B CCCC C Příkld 12.2 ( ). Převeďte následujíí grmtiku n ekvivlentní grmtiku v Greihové normální formě. G = ( {S, A, B}, {, }, P, S ) kde P oshuje prvidl S BA A B B Příkld Npište znění pumping lemm pro ezkontextové jzyky. Příkld 12.4 ( ). Vysvětlete, proč pomoí pumping lemm pro ezkontextové jzyky nelze dokázt, že dný jzyk je ezkontextový. Příkld 12.5 ( ). Dokžte, že tříd ezkontextovýh jzyků je uzvřen vůči reverzi. Nápověd: Ukžte, že pro kždou ezkontextovou grmtiku G lze sestrojit tkovou ezkontextovou grmtiku, která generuje reversl ( L(G) ) 20

23 Kpitol 13 Turingovy stroje Chomského hierrhie Příkld 13.1 ( ). Neformálně popište Turingův stroj, který přijímá jzyk { n n n n 0} (Stčí popst prinip, n jkém stroj přijímjíí tento jzyk funguje.) Příkld 13.2 ( ). Vytvořte neomezenou grmtiku, která generuje jzyk { ww w {, } } Příkld 13.3 ( ). Vytvořte neomezenou grmtiku, která generuje jzyk { n n n 1 } Příkld 13.4 ( ). Vytvořte prvou lineární grmtiku, která generuje jzyk { }{ } {, } Příkld 13.5 ( ). Vymyslete příkld jzyk, který () ptří do třídy jzyků typu 3; () ptří do třídy jzyků typu 2, le neptří do třídy jzyků typu 3; () ptří do třídy jzyků typu 1, le neptří do třídy jzyků typu 2. Příkld 13.6 ( ). Vytvořte kontextovou grmtiku, která generuje nenulová Fioniho čísl [6] v unárním zkódování (tzn. 1 = 0, 2 = 00, 3 = 000, 5 = td.). 21

24 Řešení příkldů Kpitol 1 Řešení příkldu 1.1. = 5, = 1 ε = 0 Řešení příkldu 1.2. reversl() =, reversl() = reversl(ε) = ε Řešení příkldu 1.3. Prefixy jsou ε,,,. Vlstní prefixy jsou. Řešení příkldu 1.4. Sufixy jsou,,, ε. Vlstní sufixy jsou. Řešení příkldu 1.5. Podřetěze jsou ε,,,,,,,,,,,,,,,. Vlstní podřetěze jsou,,,,,,,,,,,,,. Řešení příkldu 1.6. () () 3 = () ε 4 = ε () εε = ε (d) ε = (e) {}{, }{} = {, } (f) {} = (g) {} + {ε} = {} (h) Σ {,, } = (i) {,, } {} = {,, } (j) {, } 2 = {,,, } (k) {,, } 3 = {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } (l) {,,, } {, } = {} (m) Σ = Řešení příkldu 1.7. () = {ε} () + = () 3 = (d) = (e) = (f) {} = (g) {} = {} (h) {ε} = {ε} (i) {ε} + = {ε} (j) {ε} = {ε} (k) {ε} = (l) {ε} 5 = {ε} 22

25 Řešení příkldu 1.8. () L 1 L 2 = {x x L 1 zároveň x / L 2, neo x L 2 zároveň x / L 1 } () L 1 L 2 = (L 1 L 2 ) (L 2 L 1 ) Řešení příkldu 1.9. Ano, L je končený. Dokone pltí, že L =. Vyplývá to ze slvné Velké Fermtovy věty [5]. Kpitol 2 Řešení příkldu 2.1. lexikální nlýz, syntktiká nlýz, sémentiká nlýz, generování vnitřního kódu, optimlize, generování ílového kódu Kpitol 3 Řešení příkldu 3.1. () pltný () 3 nepltný (monin není v definii regulárníh výrzů) () pltný (d) d nepltný (d / Σ) (e) + pltný (f) ε pltný (g) nepltný (rozdíl není v definii regulárníh výrzů) (h) ε pltný (i) ε ε nepltný ( ε není v definii regulárníh výrzů) (j) pltný (k) Σ nepltný (Σ / Σ) Řešení příkldu 3.2. () + + = {,, } () + + ε = {} () ( + + ) = {,, } (d) = {} (e) ( + ε) = {ε} (f) ( + ) = {, } {} Řešení příkldu S L Řešení příkldu q ,

26 Řešení příkldu 3.5. ( + ) ( + ) Řešení příkldu 3.6. ( + ) ( + ε) Řešení příkldu q0 1 0 q1 Řešení příkldu 3.8. q0 Řešení příkldu ,1 0 q Řešení příkldu ( + ) Řešení příkldu ε 1 ε ε ε 7 ε ε 4 ε 5 ε 8 ε 9 ε Řešení příkldu q0 0 L 0 0 S Řešení příkldu Tkový konečný utomt neexistuje (potřeovli yhom nekonečný počet stvů). Řešení příkldu ( + ) Kpitol 4 Řešení příkldu

27 {1} {2,3} {1,3} {4} {3,4} Řešení příkldu 4.2. {0,2,3} {0} {2,3} Řešení příkldu Řešení příkldu ,, 2,,, 1, Řešení příkldu ,,, 3 Řešení příkldu 4.6. Zdný utomt je již doře speifikovný konečný utomt. 25

28 Řešení příkldu 4.7.,,, {1}, {2,5} {4} {3} Kpitol 5 Řešení příkldu 5.1. Lexém je lexikální jednotk dného progrmovího jzyk, npř. identifikátor, eločíselná konstnt, operátor sčítání, pod. Token je konkrétní reprezente lexémy, npř. identifikátor fox či eločíselná konstnt 6. Dá se řít, že token je lexém s přípdnými triuty. Kpitol 6 Řešení příkldu 6.1. G = ( {S}, {, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S S S. Řešení příkldu 6.2. G = ( {S}, {, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S S, S S S ε. Řešení příkldu 6.3. Automt přijímá konovým stvem (nví má v konovém stvu vždy prázdný zásoník). 1/ε,0 0/ε,1 1/11,1 0/00,0 S/S1,1 S/S0,0 q0 S/S0,0 S/S1,1 q1 S/ε,ε qf Řešení příkldu 6.4. G = ( {S, X, Y, Z, W }, {,, }, P, S ), kde P oshuje následujíí prvidl: S XY ZW X X ε Y Y ε Z Z ε W W ε Řešení příkldu 6.5. Automt přijímá konovým stvem (nví má v konovém stvu vždy prázdný zásoník). 26

29 S/S, S/S, /ε, /ε, S/SS,ε 0 1 S/ε,ε 2 S/ε,S qf Řešení příkldu 6.6. Zásoníkový utomt přijímjíí vyprázdněním zásoníku M = ( {s}, {,, }, {S, A, B, C, D,,, }, R, s, S, ) kde R oshuje následujíí prvidl: s s s s s s Ss CBAs As CBs Bs s Cs Ds Ds s Řetěze je přijt následujíí posloupností přehodů: Ss CBAs [Ss CBAs] CBCBs [As CBs] CBCs [Bs s] CBDs [Cs Ds] CBDs [s s] CBDs [s s] CBs [Ds s] CBs [s s] CBs [s s] Cs [Bs s] Cs [s s] Ds [Cs Ds] Ds [s s] Ds [s s] s [Ds s] s [s s] s [s s] Řešení příkldu 6.7. Rozšířený zásoníkový utomt přijímjíí konovým stvem M = ( {s, f}, {,, }, {S, A, B, C, D,,,, #}, R, s, #, f ) kde R oshuje následujíí prvidl: #Ss f s s s s s s ABCs Ss BCs As s Bs Ds Cs s Ds 27

30 Řetěze je přijt následujíí posloupností přehodů: #s #Bs [s Bs] #Bs [s s] #Bs [s s] #Bs [s s] #BDs [s Ds] #BCs [Ds Cs] #As [BCs As] #As [s s] #ABs [s Bs] #ABs [s s] #ABs [s s] #ABs [s s] #ABs [s s] #ABDs [s Ds] #ABCs [Ds Cs] #ABCs [s s] #Ss [ABCs Ss] f [#Ss f] Řešení příkldu 6.8. Stčí zručit, že se ude lišit počet neo počet. Grmtik proto n zčátku provede rozdvojení do dvou větví, kde v první se zručí, že počet ude různý, ve druhé se zručí, že počet ude různý. Dále se v kždé větvi provede dlší rozdvojení, kde v prvním ude počet jednoho symolu menší než počet druhého, ve druhé větvi nopk (npř. v první větvi se zručí, že počet ude menší než počet, ve druhé větvi se zručí, že počet ude větší než počet ). Řešením je kde P oshuje následujíí prvidl: G = ( {S 1, S 1, S 2, S 2, ā,,, A 1, A 1, B 1, B 1, A, C}, {,, }, P, S ) S S 1 S 1 S 2 S 2 ā ε ε ε A A ε C C ε S 1 A 1 C A 1 āa 1 ε S 1 A 1C A 1 A 1 ε S 2 AB 1 B 1 B 1 ε S 2 AB 1 B 1 B 1 ε Řešení příkldu 6.9. Tkový deterministiký zásoníkový utomt neexistuje. Řešení příkldu Tkový zásoníkový utomt neexistuje. Kpitol 7 Řešení příkldu

31 Zásoník Vstup Prvidlo $E i + i$ 1: E T E $E T i + i$ $E T F i + i$ 4: T F T $E T F i + i$ 8: F i $E T i i + i$ $E T +i$ 6: T ε $E +i$ 2: E +T E $E T + +i$ $E T i$ 4: T F T $E T F i$ 8: F i $E T i i$ $E T $ 6: T ε $E $ 3: E ε $ $ Výsledkem prediktivní syntktiké nlýzy je (1) informe, zd yl nlýz úspěšná, čili zd lze vstupní řetěze vygenerovt dnou grmtikou, (2) levý rozor. V tomto příkldu syntktiká nlýz proěhl úspěšně levý rozor je Řešení příkldu 7.2. Ano, G je LL grmtik. Řešení příkldu Řešení příkldu 7.4. Ne, G není LL grmtik. Řešení příkldu $ S 1 A B 4 5 C 6 $ S 1 1 A 2 2, 3 B C 6 Řešení příkldu 7.6. H = ( {X, X, Y, Z}, {,, }, P, X ), kde P oshuje následujíí prvidl: X X X Y X ε Y Z Z Řešení příkldu 7.7. H = ( {X, X, Y, Z}, {,, }, P, X ), kde P oshuje následujíí prvidl: 29

32 X X X ZX X ε Z Y Y Y ε Kpitol 8 Řešení příkldu 8.1. Zásoník Opere Vstup Prvidlo $ < i (i + i)$ $ < i > (i + i)$ 4: E i $E < (i + i)$ $ < E < (i + i)$ $ < E < ( < i + i)$ $ < E < (< i > +i)$ 4: E i $ < E < (E < +i)$ $ < E < (< E+ < i)$ $ < E < (< E+ < i > )$ 4: E i $ < E < (< E + E > )$ 1: E E + E $ < E < (E = )$ $ < E < (E) > $ 3: E (E) $ < E E > $ 2: E E E $E $ Výsledkem preedenční nlýzy je (1) informe, zd yl nlýz úspěšná, čili zd lze vstupní řetěze vygenerovt dnou grmtikou, (2) prvý rozor. V tomto příkldu syntktiká nlýz proěhl úspěšně prvý rozor je Řešení příkldu 8.2. ( ) i $ > < < < > < > > > < < > < > > > < < > < > ( < < < < = < ) > > > > > i > > > > > $ < < < < < Řešení příkldu Řešení příkldu 8.4. Zásoník Stv Vstup Ake Prvidlo $, 0 0 i + i$ α[0, i] = s5 $, 0 i, 5 5 +i$ α[5, +] = r6, β[0, F ] = 3 6: F i $, 0 F, 3 3 +i$ α[3, +] = r4, β[0, T ] = 2 4: T F $, 0 T, 2 2 +i$ α[2, +] = r2, β[0, E] = 1 2: E T $, 0 E, 1 1 +i$ α[1, +] = s6 $, 0 E, 1 +, 6 6 i$ α[6, i] = s5 $, 0 E, 1 +, 6 i, 5 5 $ α[5, $] = r6, β[6, F ] = 3 6: F i $, 0 E, 1 +, 6 F, 3 3 $ α[3, $] = r4, β[6, T ] = 9 4: T F $, 0 E, 1 +, 6 T, 9 9 $ α[9, $] = r1, β[0, E] = 1 1: E E + T $, 0 E, 1 1 $ α[1, $] = 30

33 Prvý rozor řetěze i + i je Kpitol 9 Řešení příkldu 9.1. K prvidlům v grmtie jsou přiřzeny tzv. sémntiké ke, které jsou vykonávány při pliki dného prvidl při syntktiké nlýze. Mezi tyto ke ptří npř. generování vnitřního kódu, práe s tulkou symolů či jkákoliv jiná ke, která je potře. Smotný překld je tudíž řízen syntxí progrmu, která udává ke, které se provedou. Řešení příkldu 9.2. (1) Syntktiký nlyzátor vytvoří strktní syntktiký strom, který je převeden n (3AK). (2) Syntktiký nlyzátor vytvoří postfixovou reprezenti progrmu, která je převeden n 3AK. (3) Syntktiký nlyzátor vytvoří 3AK přímo. Kpitol 10 Řešení příkldu První zákldní lok: int = 0; Druhý zákldní lok: L1: += 1; printf("%d", ); Třetí zákldní lok: L2: if ( < 5) goto L1; Čtvrtý zákldní lok: = rnd(); Pátý zákldní lok: L3: if ( > 10) goto L2; Šestý zákldní lok: L4: printf("%d", ); Řešení příkldu Není, protože výsledný kód není funkčně ekvivlentní původnímu (výsledek výrzu = / * se oeně může lišit od výsledku výrzu = / AB;, protože v prvním přípdě se provede nejdříve dělení pk ž násoení, le ve druhém přípdě se dělí vynásoená hodnot). 31

34 Řešení příkldu Řádek Instruke Stv Dlší použití 1 v = /,,v:l :N; :3; v:2 2 w = v -,w:l; v:d,v:n; w:3 3 u = w *,u,w:l :N; u,w:4 4 d = u + w d:l; u,w:d d,u,w:n Kpitol 11 Řešení příkldu Nehť L je regulární jzyk. Pk existuje k 1 tkové, že pokud z L z k, pk existují u, v w tkové, že z = uvw jsou splněny následujíí tři vlstnosti: (1) v ε, (2) uv k, (3) pro kždé i 0 pltí, že uv i w L. Řešení příkldu Protože pumping lemm předstvuje pouze nutnou podmínku pro to, y dný jzyk yl regulární. Jinými slovy, kždý regulární jzyk tuto podmínku splňuje, le existují i některé ne-regulární jzyky, které ji tktéž splňují. Řešení příkldu Postupujte odoně jko v řešeníh příkldů v mteriáleh ke třetímu demonstrčnímu vičení [3]. Řešení příkldu Nehť M 1 = (Q 1, Σ 1, R 1, s 1, F 1 ) M 2 = (Q 2, Σ 2, R 2, s 2, F 2 ) jsou dv konečné utomty. Bez újmy n oenosti můžeme předpokládt, že Q 1 Q 2 = (množiny stvů oou utomtů jsou disjunktní) že o utomty jsou úplné. Sestrojme konečný utomt M = ( Q, Σ, R, s, F ) kde Q = Q 1 Q 2 {s}, kde s je nový stv, Σ = Σ 1 Σ 2, R = R 1 R 2 {s s 1, s s 2 }, F = F 1 F 2. Zřejmě L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ). Rigorózní důkz identity L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Řešení příkldu Nehť M 1 = (Q 1, Σ 1, R 1, s 1, F 1 ) M 2 = (Q 2, Σ 2, R 2, s 2, F 2 ) jsou dv konečné utomty. Bez újmy n oenosti můžeme předpokládt, že Q 1 Q 2 = (množiny stvů oou utomtů jsou disjunktní) že o utomty jsou úplné. Sestrojme konečný utomt M = ( Q, Σ, R, s 1, F 2 ) kde Q = Q 1 Q 2, Σ = Σ 1 Σ 2, 32

35 R = R 1 R 2 {f s 2 f F 1 }. Zřejmě L(M) = L(M 1 )L(M 2 ). Rigorózní důkz identity L(M) = L(M 1 )L(M 2 ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Řešení příkldu Nehť M 1 = (Q 1, Σ 1, R 1, s 1, F 1 ) M 2 = (Q 2, Σ 2, R 2, s 2, F 2 ) jsou dv konečné utomty. Bez újmy n oenosti můžeme předpokládt, že Q 1 Q 2 = (množiny stvů oou utomtů jsou disjunktní) že o utomty jsou úplné. Ide důkzu je tková, že udeme zároveň simulovt o utomty, řetěze přijmeme, pokud y jej přijl jk M 1, tk M 2. Sestrojme konečný utomt M = ( Q, Σ, R, s, F ) kde Q = Q 1 Q 2 ( oznčuje krtézský součin [4]), Σ = Σ 1 Σ 2, R = { (p 1, p 2 ) (q 1, q 2 ) p 1 q 1 R 1, p 2 q 2 R 2 }, s = (s 1, s 2 ) F = { (f 1, f 2 ) f 1 F 1, f 2 F 2 }. Zřejmě L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ). Rigorózní důkz identity L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Řešení příkldu Nehť M = (Q, Σ, R, s, F ) je konečný utomt. Bez újmy n oenosti můžeme předpokládt, že M je úplný. Sestrojme konečný utomt kde Q = Q {s }, kde s je nový stv, R = {q p p q R}, F = {s}. N = ( Q, Σ, R, s, F ) Zřejmě L(N) = reversl ( L(M) ). Rigorózní důkz identity L(N) = reversl ( L(M) ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Kpitol 12 Řešení příkldu G = ( {S, B, C, ā, C, CC }, {,, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S C B C Cā ā B CC CC CC CC C Řešení příkldu G = ( {S, A, B, ā, }, {, }, P, S ), kde P oshuje prvidl 33

36 S āba ā A B B Řešení příkldu Nehť L je ezkontextový jzyk. Pk existuje k 1 tkové, že pokud z L z k, pk existují u, v, w, x y tkové, že z = uvwxy jsou splněny následujíí tři vlstnosti: (1) vx ε, (2) vwx k, (3) pro kždé i 0 pltí, že uv i wx i y L. Řešení příkldu Protože pumping lemm předstvuje pouze nutnou podmínku pro to, y dný jzyk yl ezkontextový. Jinými slovy, kždý ezkontextový jzyk tuto podmínku splňuje, le existují i některé ne-ezkontextové jzyky, které ji tktéž splňují. Řešení příkldu Nehť G = (N, T, P, S) je ezkontextová grmtik. Sestrojme ezkontextovou grmtiku H = (N, T, P, S), kde P = {A reversl(x) A x P } Zřejmě L(H) = reversl ( L(G) ). Rigorózní důkz identity L(H) = reversl ( L(G) ) y se prováděl indukí je nd ráme předmětu IFJ. Kpitol 13 Řešení příkldu Turingův stroj nejdříve zkontroluje, zd je vstup tvořen posloupností následovnou posloupností končíí posloupností. Pokud tomu tk není, pk vstup zmítne. Po kontrole se přesune zpět n zčátek vstupu. Nyní přepíše nejlevější n A, poté nejlevější n B, nkone nejlevější n C. Pokud některý z těhto přepisů nelze provést (npř. hyí ), pk vstup zmítne. Toto se opkuje tk dlouho, dokud se n vstupu nevyskytují žádné symoly,, ož znmená, že vstup yl korektní, stroj vstupní řetěze přijme. V opčném přípdě vstup zmítne (npř. přeývjí symoly ). Řešení příkldu G = ( {S, A, A, X, X, X, X ε }, {, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S AXA AX AX AX X ε X A XA X A XA X ε A ε X X X X X X X X X X X X X ε X ε X ε X ε Neformálně, G funguje tk, že po kždém vygenerovném symolu vlevo od A se pomoí X vygeneruje příslušný symol vlevo od A. Pokud se npř. vygeneruje, pk se X změní n X. Toto X se pk přesune od A ž k A. Po vygenerování před A se X změní zpět n X, přesune se zpátky k A, může ýt vygenerován dlší symol. Po ukončení generování dojde ke zrušení všeh tří neterminálů A, X A. Řetěze lze vygenerovt následovně: 34

37 S AXA AX A AXA AX A AX A AXA AXA AX A AX A AX A AXA AXA AXA X ε A X ε A X ε A X ε A Řešení příkldu Jelikož je kždá ezkontextová grmtik zároveň neomezenou grmtikou, tk řešením je grmtik G = ( {S}, {, }, P, S ) kde P oshuje prvidl S S S. Řešení příkldu G = ( {S, X}, {,, }, P, S ), kde P oshuje prvidl S X X X Řešení příkldu () Npř. { n n 0} neo {,, }. () Npř. { n n n 0} neo { w reversl(w) w {, } }. () Npř. { n n n n 0} neo { ww w {, } }. Řešení příkldu G = ( {S, A, B, B r, C}, {0}, P, S ), kde P oshuje následujíí prvidl: S CS B r CA BC CB ABC CB r AB r A 0 B 0 B r 0 Řešení je převzto z [1] (v tomto článku je tktéž vysvětleno, jk G funguje). 35

38 Litertur [1] Holzer, M.; Rossmnith, P.: A simpler grmmr for Fioni numers. The Fioni Qurterly, ročník 35, č. 5, 1996: s Dostupné n URL: [2] Medun, A.: Automt nd Lnguges: Theory nd Applitions. Springer, Londýn, 2000, ISBN [3] Medun, A.; Lukáš, R.: Přednášky z předmětu Formální jzyky překldče [online]. 2011, [it ]. Dostupné n URL: [4] Wikipedi: Crtesin produt [online]. 2011, [it ]. Dostupné n URL: [5] Wikipedi: Fermt s Lst Theorem [online]. 2011, [it ]. Dostupné n URL: [6] Wikipedi: Fioni numer [online]. 2011, [it ]. Dostupné n URL: 36

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111.

Je regulární? Pokud ne, na regulární ji upravte. V původní a nové gramatice odvod te řetěz 1111. Grmtiky. Vytvořte grmtiku generující množinu řetězů { n m } pro n, m N {} tková, že n m. Pomocí této grmtiky derivujte řetezy,. 2. Grmtik je dán prvidly S ɛ S A A S B B A B. Je regulární? Pokud ne, n regulární

Více

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí

Více

Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka

Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Tehniká dokumente ng Lukáš Proházk Tém: hlvní část dokumentu, orázky, tulky grfy 1) Osh hlvní části dokumentu ) Orázky, tulky grfy ) Vzore rovnie Hlvní část dokumentu Hlvní část dokumentu je řzen v následujíím

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Teorie jazyků a automatů I

Teorie jazyků a automatů I Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen

Více

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku? Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí 3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I .4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Sírk příkldů pro cvičení II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv 24. listopdu 2016 Anotce:

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II 1.7.4 Výšky v trojúhelníku II Předpokldy: 010703 Opkování z minulé hodiny Výšk trojúhelníku: úsečk, která spojuje vrhol trojúhelníku s ptou kolmie n protější strnu. 0 0 v v 0 Př. 1: Nrýsuj trojúhelník

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení...

Úvod 1. 3 Regulární jazyky Konečné jazyky Pumping Lemma pro regulární jazyky a nekonečné jazyky Sjednocení... Osh Úvod 1 1 Teoretická informtik 2 1.1 Vznik vývoj teoretické informtiky................... 2 1.1.1 Mtemtik............................. 2 1.1.2 Jzykověd............................. 5 1.1.3 Biologie...............................

Více

H - Řízení technologického procesu logickými obvody

H - Řízení technologického procesu logickými obvody H - Řízní tchnologického procsu logickými ovody (Logické řízní) Tortický úvod Součástí řízní tchnologických procsů j i zjištění správné posloupnosti úkonů tchnologických oprcí rozhodování o dlším postupu

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308 731 Vzdálenost odu od římky I Předokldy: 7308 Pedgogiká oznámk: Pokud máte málo čsu, můžete odvodit vzore ez smosttné ráe studentů oužít některý z říkldů z dlší hodiny Tím jednu ze dvou hodin ro vzdálenost

Více

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23

10. Suffixové stromy 1 2014-01-23 10. Suffixové stromy V této kpitole popíšeme jednu pozoruhodnou dtovou strukturu, pomocí níž dokážeme prolémy týkjící se řetězců převádět n grfové prolémy řešit je tk v lineárním čse. Řetězce, trie suffixové

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ

Více

4.3.9 Sinus ostrého úhlu I. α Předpoklady: Správně vyplněné hodnoty funkce a c. z minulé hodiny.

4.3.9 Sinus ostrého úhlu I. α Předpoklady: Správně vyplněné hodnoty funkce a c. z minulé hodiny. 4.3.9 Sinus ostrého úhlu I Předpokldy: 040308 Správně vyplněné hodnoty funke z minulé hodiny. α 10 20 30 40 50 60 70 80 poměr 0,17 0,34 0,50 0,64 0,77 0,87 0,94 0,98 Funke poměr se nzývá sinus x (zkráeně

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. / TROJÚHELNÍK Trojúhelník, vlstnosti trojúhelníků Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; přitom ody A, B, C jsou různé neleží v jedné příme. Trojúhelník ABC zpisujeme symoliky ABC. Symoliky píšeme:

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Prostorové nároky... 35. Zatížení... 37 Velikost zatížení... 37 Směr zatížení... 37. Nesouosost... 40. Přesnost... 40. Otáčky... 42. Tichý chod...

Prostorové nároky... 35. Zatížení... 37 Velikost zatížení... 37 Směr zatížení... 37. Nesouosost... 40. Přesnost... 40. Otáčky... 42. Tichý chod... Vol typu ložisk Prostorové nároky... 35 Ztížení... 37 Velikost ztížení... 37 Směr ztížení... 37 Nesouosost... 40 Přesnost... 40 Otáčky... 42 Tichý chod... 42 Tuhost... 42 Axiální posuvnost... 43 Montáž

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu:

Více

písemná a ústní část porozumění látce + schopnost formalizace

písemná a ústní část porozumění látce + schopnost formalizace Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Orgnizční záležitosti Přednášk: n weu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk/utomty) Proč chodit n přednášku? Cvičení: dozvíte

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Projekt: Digitální učení mteriály e škole registrční číslo projektu CZ.1.07/1..00/4.07 Příjeme: Střední zdrotniká škol Vyšší odorná škol zdrotniká Huso 71 60 České Budějoie Náze

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Výfučtení: Goniometrické funkce

Výfučtení: Goniometrické funkce Výfučtení: Goniometriké funke Tentokrát se seriál ude zývt spíše mtemtikým než fyzikálním témtem. Pokud počítáte nějkou úlohu, ve které vystupují síly, tk je potřeujete dost čsto rozložit n součet dopočítt

Více

LOGOMANUÁL. informace a doporučení k užití logotypu Singing Rock. Verze 1.5 Česky. Lukáš Matěja +420 775 282 064 lukas.mateja@singingrock.

LOGOMANUÁL. informace a doporučení k užití logotypu Singing Rock. Verze 1.5 Česky. Lukáš Matěja +420 775 282 064 lukas.mateja@singingrock. LOGOMANUÁL informce doporučení k užití logotypu Singing Rock V přípdě dotzů kontktujte nšeho grfického designer. Lukáš Mtěj +420 775 282 064 luks.mtej@singingrock.cz Verze 1.5 Česky ZAKLADNÍ LOGOTYP Zákldní

Více

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže H r í ř á d pro čjovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g n i z e soutěže I-1. Vymezení soutěže Soutěž je pořádán pro družstv složená z hráčů, kteří hrjí go pro zpestření svého volného čsu htějí změřit

Více

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu Studijní informční systém Elektronický zápis předmětů rozvrhu V odoí elektronického zápisu předmětů proíhá tzv. předěžný zápis. Student má předměty zpsné ztím pouze předěžně může je po celé odoí elektronického

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.)

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.) Lomené výrz (čítání, odčítání, náoení, dělení, rozšiřování, kráení, ) Lomené výrz jo výrz ve tvr zlomk, v jehož jmenovteli je proměnná, npříkld r ( ) ( ) 9 Počítání lomenými výrz má podoné vltnoti jko

Více

Tangens a kotangens

Tangens a kotangens 4.3.12 Tngens kotngens Předpokldy: 040311 Př. 1: Úhel, pod kterým je možné ze pozorovt vrhol věže ze vzdálenosti 19 m od její pty, yl změřen n 53 od vodorovné roviny. Jk je věž vysoká? h 53 19 m Z orázku

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor Dtmining AA (Above Averge) kvntifikátor Jn Burin Lbortory of Intelligent Systems, Fculty of Informtics nd Sttistics, University of Economics, W. Churchill Sq. 4, 13067 Prgue, Czech Republic, burinj@vse.cz

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

Evropská unie Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropská unie Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropská unie Evropský soiální fon Prh & EU: Investujeme o vší uounosti ávrh čítče jko utomtu Osh ÁVRH ČÍAČE JAKO AUOMAU.... SYCHROÍ A ASYCHROÍ AUOMA..... Výstupy utomtu mohou ýt přímo ity pměti stvu.....

Více

ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU. Vladimír VANĚK- Bohumil NOVÁK

ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU. Vladimír VANĚK- Bohumil NOVÁK The Mthemtis Edution into the 1 st Century Projet Proeedings of the Interntionl Conferene The Deidle nd the Undeidle in Mthemtis Edution Brno, Czeh Repuli, Septemer 3 ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

1.3.8 Množiny - shrnutí

1.3.8 Množiny - shrnutí 1.3.8 Množiny - shrnutí Předpokldy: 010307 Pedgogická poznámk: Kpitol o množinách spolu s následujícími dvěm kpitolmi (výroky dělitelnost) slouží k nácviku učení. Součástí učení je tké příprv n písemky

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Maturitní příklady 2011/2012

Maturitní příklady 2011/2012 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

Stavební mechanika 2 (K132SM02)

Stavební mechanika 2 (K132SM02) Stvení mecnik 2 (K132SM02) Přednáší: Jn Sýkor Ktedr mecniky K132 místnost D2016 e-mil: jn.sykor.1@fsv.cvut.cz konzultční odiny: Po 12-14 Kldné směry vnitřníc sil: Kldný průřez vnitřní síly jsou kldné ve

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více