Jak na nejistoty metodou Monte Carlo jednoduše a bez drahých programů

Transkript

1 Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: Jak na nejistoty metodou Monte Carlo jednoduše a bez drahých rogramů How to calculate uncertainties by means of Monte Carlo method in an easy manner and without any exensive software Martin Šíra msira@cmi.cz Český Metrologický Insitut, Brno Abstrakt: Dokument se zabývá výočtem nejistoty měřené veličiny metodou Monte Carlo z raktického ohledu. Jsou řešeny hlavně roblémy výběru vhodného rogramu, generování náhodných čísel ožadovaných rozdělení a zracování výsledků. Součástí článku jsou dva řešené říklady. Článek ředokládá alesoň základní znalosti v oblasti metrologie a výočtu nejistot. Abstract: A calculation of uncertainties by means of Monte Carlo method is exlained in the resented aer. Selection of the comuter software, generation of random numbers of required robability distributions and evaluation of results is discussed. A basic knowledge of metrology and uncertainty calculation is required.

2 VOL.16, NO.2, APRIL 214 Jak na nejistoty metodou Monte Carlo jednoduše a bez drahých rogramů Martin Šíra Český Metrologický Insitut, Brno msira@cmi.cz Abstrakt Dokument se zabývá výočtem nejistoty měřené veličiny metodou Monte Carlo z raktického ohledu. Jsou řešeny hlavně roblémy výběru vhodného rogramu, generování náhodných čísel ožadovaných rozdělení a zracování výsledků. Součástí článku jsou dva řešené říklady. Článek ředokládá alesoň základní znalosti v oblasti metrologie a výočtu nejistot. 1 Úvod Ve známém dokumentu Guide to The Exression of Uncertainty In Measurement (GUM) [1] je osána metoda na výočet nejistot, často nazývaná Gum Uncertainty Framework (GUF). Bohužel tato metoda má mnoho omezení, a roto byl vydán rvní dodatek [2], ve kterém je uveden výočet nejistot omocí metody Monte Carlo (MMC). Postu byl dále rozšířen na více výstuních veličin v druhém dodatku [3]. MMC je velmi jednoduchý numerický algoritmus, jehož nevýhodou je, že už nestačí tužka a aír. Je otřeba vhodný rogram s kvalitním generátorem čísel, který dokáže zracovat desítky tisíc až milióny čísel. Oroti tomu omocí MMC lze numericky vyřešit i nejistoty, které nejsou řešitelné analyticky nebo metodou GUF. Není třeba očítat arciální derivace a řešit stuně volnosti. Metoda GUF je založena na mnoha aroximacích, jejichž vhodnost se obvykle kontroluje rávě omocí MMC. Naříklad již v tak základním říadu, jako je výočet nejistoty oměru dvou veličin [4], může ři oužití GUF dojít k říliš velkým aroximacím, a je třeba oužít MMC (nebo jinou metodu). Požadavky na rogramové vybavení odradí od MMC soustu metrologů. Proto jsem se snažil sesat velmi jednoduchý návod, jak na MMC omocí snadno dostuných rogramů. V článku budu ředokládat základní znalosti z oblasti nejistot a ráce s očítačem. Snažil jsem se nasat článek řístunou formou, roto není metoda MMC osána exaktně a úlně a doouštím se mnoha zjednodušení. Pro řesný ois a definice je nejleší rostudovat výše zmíněné dodatky. V článku jsou různým ísmem rozlišeny veličiny matematických vzorců a roměnné rogramů. Tedy veličina je zasána takto: X, ale roměnná takto: X. 2 Výběr rogramu Nejrve je třeba zvolit si vhodný rogram. Většina by jako rvní zkusila Microsoft Excel. Bohužel do verze 27 měl generátor seudonáhodných čísel oužitý v Excelu vady, které jej diskreditují [5]. Poté již byly chyby z větší části odstraněny, ale stále generátor nedosahuje kvalit secializovaných rogramů. Také limit očtu řádků starších verzí Excelu na je ro MMC omezující, a je vhodné oužít vyšší verze, kde je limit řibližně 1 6 řádků. Přesto bych ani nejnovější verze Excelu nedooručil, neboť ráce s ním je těžkoádná. Naříklad vytvořit dynamicky očítaný histogram není jednoduchý úkol. Vyočítat interval nejmenšího okrytí ravděodobnostní funkce výstuní veličiny je již komlikované. Excel lze tedy oužít ro vyzkoušení MMC, obtížnější ale bude alikovat ho ro smyslulný výočet z raxe. Přesto z důvodu rozšířenosti rogramu v článku oíšu, jak oužít Excel 21. Obdoba výočtu bude oužitelná i v rogramech LibreOffice nebo OenOffice. Velmi vhodný rogram ro MMC je naříklad Matlab [6]. Pro svou jednoduchou syntaxi, velký výočetní výkon a komlexní grafické uživatelské rostředí je takřka ideálním nástrojem. Jeho nevýhoda je ovšem cena. Základní komerční verze stojí více než 5 Kč. Ale naštěstí existuje celý svět rogramů s otevřeným zdrojovým kódem. Naříklad GNU Octave [7] je rogram zdarma, se syntaxí a oužitím téměř identickým jako Matlab, a výočetní výkon je v mnoha oblastech s Matlabem srovnatelný. Neobsahuje ovšem natolik komfortní uživatelské rostředí jako Matlab. Proto v článku odrobně oíšu i jak nainstalovat a oužít GNU Octave. Veškeré uvedené říklady ale budou lně funkční i v Matlabu. Dále existuje sousta dalších rogramů více či méně vhodných ro výočty MMC. Ty více vhodné budou naříklad statistický rogram R (zdarma), méně vhodný bude celkem oblíbený rogram na zracování dat Origin (lacený). Obdobné rogramy již nechám na zkušenosti čtenáře. Další kaitoly se budou věnovat MMC a výočtům omocí této metody. Pokud si vyberete jen jeden rogram, ve kterém chcete MMC vyzkoušet, můžete řeskočit kaitoly, které se ho netýkají. 86

3 VOL.16, NO.2, APRIL 214 Obrázek 1: Instalace GNU Octave. Dooručuji zvolit rozhraní ro vykreslování grafů Gnulot. Obrázek 2: Instalace GNU Octave. Dooručuji zvolit instalaci do adresáře neobsahující mezery v názvu. 3 Přírava ro oužití MMC: Instalace GNU Octave Program GNU Octave je dostuný na stránkách SourceForge [8]. Jelikož je možné stáhnout mnoho verzí a rogram se neustále vyvíjí, vybral jsem jednu konkrétní verzi a umístil ji na své stránky [9]. Veškerý ois ráce se bude vztahovat k této jediné verzi. Není třeba bát se licencí, rogram je zdarma i ro komerční oužití. Zadejte adresu internetových stránek do internetového rohlížeče a zvolte odkaz instalačního souboru. Proveďte instalaci suštěním staženého souboru. Instalace se rovede obvyklou oakovanou volbou tlačítka Next. Nejrve je třeba zvolit vlastnosti CPU, obvykle není třeba nic měnit a okračujte volbou tlačítka Next. Pak se volí součásti, které budou nainstalovány. Oět není třeba nic měnit. Další volba se týká grafického rozhraní ro vykreslování grafů, dooručuji zvolit oložku Gnulot, viz obr. 1. V dalším kroku se volí, kde budou soubory rogramu nainstalovány. Dooručuji nainstalovat GNU Octave do adresáře bez mezer (mohli byste narazit na omezení dané zětnou komatibilitou latformy Windows), viz obr. 2. Po volbě Next a Install se rovede instalace rogramu. Hned o instalaci se GNU Octave sustí. Pokud ne, susťte jej z nabídky Start oeračního systému. Uvidíte říkazovou řádku (obdobně jako v Matlabu). Zkusit vykreslit graf můžete zadáním následujícího říkazu: lot ([1 2 3]) a otvrďte klávesou Enter. Vykreslení rvního grafu o instalaci může trvat delší dobu. Pokud vidíte graf s jednou čarou (obr. 3), instalace roběhla v ořádku. 4 Krátký úvod do metody Monte Carlo Princi MMC je generování seudonáhodných čísel odle hustoty ravděodobnosti vstuních veličin, jejich zadání do modelu měření a vyočtení ravděodobnostní funkce výstuní veličiny. Podobně jako u metody GUF, je třeba řed samotným výočtem nejistot určit následující: 1. vstuní veličiny X i, 2. výstuní veličinu Y, 3. model měření Y = f(x 1, X 2,..., X i ). U metody GUF dále je třeba znát střední hodnoty vstuních veličin x i, jejich nejistoty u(x i ) a stuně volnosti ν(x i ). Výsledkem GUF je střední hodnota y, nejistota u c (y) a stueň volnosti ν(y). Naroti tomu MMC vyžaduje znalost hustot ravděodobnosti vstuních veličin, a výsledkem je ravděodobnostní funkce výstuní veličiny (viz obr. 4). Algoritmus MMC (viz obr. 5) je následující: 1. Zvolí se dostatečně velký očet oakování N. 2. Pro každou vstuní veličinu X i je vygenerováno seudonáhodné číslo odle její hustoty ravděodobnosti. 3. Vygenerovaná seudonáhodná čísla jsou dosazena do modelu měření. 4. Body 2 a 3 jsou oakovány N krát. 5. Výsledkem MMC je N vyočtených hodnot výstuní veličiny Y tvořící ravděodobnostní funkci výstuní veličiny. 6. Pokud je rozdělení výstuní veličiny Y normální, nejistota u(y) je vyočtena jako výběrová směrodatná odchylka: N i=1 u(y ) = (y i y) 2 (1) N 1 Jinak je nejistota určena hledáním nejkratšího intervalu okrytí dle zvolené ravděodobnosti okrytí. 87

4 VOL.16, NO.2, APRIL 214 Obrázek 3: Příkazová řádka se suštěným rogramem Octave a vykresleným grafem. Obrázek 4: Porovnání vstuních a výstuních údajů metod GUF a MMC. Obrázek 5: Algoritmus výočtu nejistot metodou Monte Carlo. 88

5 VOL.16, NO.2, APRIL Určení hustot ravděodobnosti vstuních veličin Jak zjistíme hustoty ravděodobnosti vstuních veličin? Postuujeme odobně jako v metodě GUF. Někdy se může stát, že jsou římo známy. V oačném říadě jsou nejobvyklejší říady: Normální rozdělení Pokud je vstuní veličina a její nejistota vyčtena naříklad z kalibračního listu a nejsou řítomny dolňující informace, můžeme ředokládat, že hodnoty byly zracovány odle srávných metrologických ostuů, a tedy vstuní veličina má normální rozdělení se střední hodnotou rovnou hodnotě uvedené v kalibračním listu a směrodatnou odchylkou danou standardní nejistotou dle kalibračního listu (ozor, v kalibračních listech se obvykle uvádí nejistota s ravděodobností okrytí 95,45 % (koeficient rozšíření k = 2, tedy standardní nejistota je rovna olovině uvedené nejistoty). Většina běžně měřených veličin má rovnoměrné rozdělení. Studentovo rozdělení Pokud vstuní veličina ochází z oakovaného měření, ředokládáme Studentovo rozdělení se střední hodnotou danou růměrem naměřených hodnot, se stuněm volnosti rovném očtu měření mínus jedna a škálované nejistotou vyočtenou jako nejistota stanovovaná zůsobem A. Také některé kalibrační listy uvádí odrobnější informace, jako je efektivní stueň volnosti a koeficient rozšíření, tedy oět ředokládáme Studentovo rozdělení škálované nejistotou uvedenou v kalibračním listu. Jako stueň volnosti Studentova rozdělení se oužije efektivní stueň volnosti dle kalibračního listu. Rovnoměrné rozdělení Pokud u vstuní veličiny známe ouze maximální a minimální hodnotu, mezi kterými ředokládáme stejnou ravděodobnost veličiny, ředokládáme rovnoměrné rozdělení s mezemi danými minimální a maximální hodnotou. Příkladem je třeba nejistota zůsobená zaokrouhlením na oslední latnou číslici ři zobrazení měřené hodnoty na číslicovém řístroji, aroximace nejistoty odhadem aod. Trojúhelníkové rozdělení Pokud u vstuní veličiny známe nejravděodobnější hodnotu a meze, mimo které je ravděodobnost vstuní veličiny nulová, můžeme ředokládat trojúhelníkové rozdělení. Příkladem z raxe může být regulátor udržující veličinu v daných mezích a nejravděodobněji na zadané hodnotě, stabilita řístrojů mezi kalibracemi aod. Existuje mnoho dalších rozdělení ravděodobnosti oužívaných ro vstuní veličiny, které jsou již mimo rozsah tohoto článku. 4.2 Určení očtu oakování N Jak určit očet oakování N? Jelikož se nejistoty uvádí maximálně na dvě latná místa, ve většině říadů stačí zvolit N 1 4. Dovolím si říct, že i ro nejkomlikovanější výočty nejistot je N = 1 6 narosto dostatečné. Pro komlikované výočty může být účelné snížit N na minimum. V tom říadě lze oužít adativní metodu určení N, kdy se sleduje konvergence nejistoty výstuní veličiny Y. Adativní metoda je osaná v rvním dodatku GUMu [2]. 4.3 Generování seudonáhodných čísel dle ožadovaného rozdělení v Excelu Následuje řehled rovnic buněk ro vygenerování seudonáhodných čísel o očekávané hodnotě X a standardní nejistotě ux, s říadným stuněm volnosti nx, nebo mezemi a, b (řičemž a<b, říadně a<x<b). Proměnné ve vzorcích je třeba nahradit odkazem na buňky obsahující číselnou hodnotu dané roměnné. Naříklad okud číselná hodnota X je v buňce C3, do vzorců je třeba místo X zasat $C$3 ). Normální rozdělení =NORMINV(NÁHČÍSLO();X;uX) Studentovo rozdělení =T.INV(NÁHČÍSLO();nX)*uX+X Rovnoměrné rozdělení =(NÁHČÍSLO())*(b-a)+a Trojúhelníkové rozdělení Do buňky A1 je třeba zadat vzorec: =(X-a)/(b-a) Do slouce B zadat: =NÁHČÍSLO() a do slouce C zadat ($A$1 je odkaz na buňku slouce A, B1 je odkaz na buňky slouce B): =KDYŽ(B1<$A$1;a+ODMOCNINA(B1*(b-a)*(X-a)); b-odmocnina((1-b1)*(b-a)*(b-x))) Ukázkový soubor ro Excel s vygenerovanými náhodnými čísly odle různých rozdělení si můžete stáhnout na mých stránkách [9] 4.4 Generování seudonáhodných čísel dle ožadovaného rozdělení v GNU Octave a Matlabu Následuje řehled říkazů ro vygenerování N seudonáhodných čísel X o očekávané hodnotě X a standardní nejistotě ux, s říadným stuněm volnosti nx, nebo mezemi a, b (řičemž a<b, říadně a<x<b). Normální rozdělení X=normrnd(X,uX,1,N); nebo X=randn(1,N).*uX+X; Studentovo rozdělení X=trnd(nX,1,N).*uX+X; Rovnoměrné rozdělení X=unifrnd(a,b,1,N) nebo X=rand(1,N).*(b-a)+a; 89

6 VOL.16, NO.2, APRIL 214 Trojúhelníkové rozdělení u=rand(1,n); lim=(x-a)/(b-a); X=[a+sqrt(u(u<lim)*(b-a)*(X-a)) b-sqrt((1-u(u>=lim))*(b-a)*(b-x))]; Ověřit výsledné rozdělení lze naříklad vykreslením histogramu omocí říkazu: hist(x,5) 4.5 Určení nejistoty z ravděodobnostní funkce výstuní veličiny Jak se určí nejistota výstuní veličiny ze sady N čísel výstuní veličiny vyočtených omocí MMC? Ve většině říadů výsledná ravděodobnostní funkce odovídá normálnímu rozdělení. V takovém říadě je standardní nejistota ro ravděodobnost okrytí 68,27 % rovna výběrové směrodatné odchylce, neboli: N i=1 u(y) = (y i y) 2. (2) N 1 Pro normální rozdělení také latí, že rozšířená nejistota ro ravděodobnost okrytí 95,45 % (neboli k = 2 v metodě GUF) je dvojnásobkem standardní nejistoty (k = 1 v metodě GUF). V říadě složitějších modelů měření může být rozdělení ravděodobnosti výstuní veličiny rozdílné od normálního rozdělení. V tom říadě je třeba vyočítat nejkratší interval okrytí s ožadovanou ravděodobností okrytí (nař. = 68,27 %, = 95,45 % atd.). Nejrve se z výsledku MMC, tedy vektoru hodnot (y 1,..., y i,..., y N ), určí kumulativní distribuční funkce (KDF) výstuní náhodné veličiny, což je funkce udávající ro každou hodnotu y k ravděodobnost, že náhodná veličina Y je menší nebo rovna y k, neboli: KDF(y k ) = P(Y y k ). (3) Nejrve se zvolí hodnoty y k jako vektor vzestuně seřazených rovnoměrně rozložených čísel v rozsahu výsledku MMC. Pro tyto hodnoty se vyočte KDF. Tedy okud hodnoty výsledku MMC leží nař. v intervalu od 4.5 do 6.92, je vhodné za hodnoty y k zvolit nař. (4.5, 4.51, 4.52,..., 6.91, 6.92). Čím menší bude krok hodnot y k, tím menší bude výsledná numerická chyba, ale výočet bude trvat déle. Poté se hodnoty y i se seřadí vzestuně a ro každou y k se vyočte oměr očtu hodnot y i menších než y k ku očtu všech hodnot y i, tedy: KDF(y k ) = N (y i < y k ), (4) N kde N (y i < y k ) je očet hodnot z výsledku MMC, které jsou menší než y k. Pro říad normálního rozdělení je výsledná kumulativní distribuční funkce zobrazena na obr. 6. Nyní lze snadno ro každou hodnotu y k určit všechny intervaly okrytí odovídající ožadované ravděodobnosti okrytí a z nich zvolit nejkratší interval okrytí, jehož meze odovídají mezím nejistoty výsledné veličiny Y. Graficky je ostu znázorněn na obr. 6 a 7. Zvolí se y k, které nyní slouží jako levá mez intervalu okrytí y Lk. Dle KDF se určí odovídající levostranná ravděodobnost Lk, k ní se řičte a tak se získá ravostranná ravděodobnost Pk. Oět omocí křivky KDF se z Pk určí ravá hodnota intervalu okrytí y Pk. Tento ostu rovedeme ro všechny y k. Tím získáme sadu intervalů okrytí y Lk, y Pk ro ožadovanou ravděodobnost okrytí. Závislost délky intervalů okrytí l k = y Pk y Lk (5) na levostranné ravděodobnosti Lk je ro normální rozdělení zobrazena na obr. 6. Jako výsledný interval okrytí se zvolí zvolí nejkratší interval okrytí. Pokud existuje více nejkratších intervalů, zvolí se ten, který je symetrický vůči očekávané hodnotě. Tímto zůsobem získáme levé a ravé meze nejkratšího intervalu okrytí ro zvolenou ravděodobnost okrytí, které odovídají levé a ravé mezi nejistoty. Pokud jsou meze symetrické, můžeme, jak je běžné, uvádět jen jednu hodnotu. Často ale můžeme narazit na nesymetrická rozdělení, ro které intervaly okrytí a tedy ani nejistoty výstuní veličiny nejsou symetrické. To je třeba říad, kdy výstuní veličina má rozdělení gama, jako na obr První říklad Jako rvní vyzkoušíme nejjednodušší říklad výočtu nejistot. Mějme aditivní model měření, naříklad dva odory zaojené do série (nebo dvě koncové měrky za sebou) a zajímá nás celkový odor (nebo celková délka), tedy součet dvou veličin, a nejistota součtu veličin. U každého odoru známe jeho hodnotu a nejistotu z kalibračního listu. Můžeme tedy ředokládat, že nejistoty mají normální rozdělení (jelikož kalibrační list neuvedl bližší informace). První odor, neboli veličina X 1, má hodnotu 2 Ω a nejistotu udanou v kalibračním listě 5 Ω ro ravděodobnost okrytí 95,45 % (koeficient rozšíření k = 2), tedy standardní nejistota je 25 Ω (koeficient rozšíření k = 1). Druhý odor, neboli veličina X 2, má hodnotu 3 Ω a nejistotu 6 Ω ro ravděodobnost okrytí 95,45 %, tedy standardní nejistota je 3 Ω. Zadání říkladu je shrnuto v tabulce 1. Model měření je tedy: Y = X 1 + X 2. (6) Sočítat výsledek a nejistotu Y metodou GUF je snadné. Očekávaná hodnota y je vyočtena následovně: y = = 5. (7) Citlivostní koeficienty (arciální derivace modelu měření odle vstuních veličin) jsou rovny jedné, tedy výsledná 9

7 VOL.16, NO.2, APRIL 214 Tabulka 1: Hodnoty vstuních veličin ro říklad č. 1 vstuní růměrná nejistota dle standardní rozdělení veličina hodnota kalibračního listu nejistota ravděodobnosti (k = 2) (k = 1) X normální X normální nejistota s ravděodobností okrytí 68,27 % (koeficient rozšíření k = 1) je: u(y) = u(x 1 ) 2 + u(x 2 ) 2 = = 39,1 (8) 5.1 Výočet říkladu 1 metodou MC v Excelu Výočet říkladu 1 v Excelu je ro snažší orientaci v buňkách zobrazen na obr. 8. Soubor se zracovaným říkladem si můžete stáhnout z mých internetových stránek [9]. Nejrve je třeba vygenerovat seudonáhodná čísla. Zvolme si očet oakování metody MC N = 1. Do buněk A2 až A11 zadejte vzorec: =NORMINV(NÁHČÍSLO();2;25) kterým se vygenerují seudonáhodná čísla vstuní veličiny X 1. Obdobně do buněk B2 až B11 zadejte vzorec: =NORMINV(NÁHČÍSLO();3;3) kterým se vygenerují seudonáhodná čísla vstuní veličiny X 2. Funkce NÁHČÍSLO generuje seudonáhodná čísla v intervalu, 1) s rovnoměrným rozdělením. Abychom získali seudonáhodná čísla s normálním rozdělením, oužijeme tato seudonáhodná čísla jako vstuní arametr do inverzní funkce k distribuční funkci normálního rozdělení NORMINV. Druhý a třetí arametr této funkce je ožadovaná střední hodnota normálního rozdělení a směrodatná odchylka. Hodnoty výstuní veličiny y i vyočteme dle modelu, tedy buňka C2 obsahuje vzorec: =A2+B2 Vzorec je třeba zkoírovat ro buňky C3 až C11. Tím jsme získali 1 výsledných hodnot výstuní veličiny y i, které oužijeme ro výočet očekávané hodnoty a nejistoty. Do buňky G3 zadejte vzorec ro výočet růměru: =PRŮMĚR(C2:C11) a do buňky G8 zadejte vzorec ro výočet výběrové směrodatné odchylky: =STDEVA(C2:C11) Buňka G3 tedy obsahuje očekávanou hodnotu y a buňka G8 obsahuje standardní nejistotu u(y) (za ředokladu normálního rozdělení) s ravděodobností okrytí 68,27 %. Pro kontrolu je dobré do buněk E3 a F3 zadat výočet růměrných hodnot veličin X 1 a X 2 a do buněk E8 a F8 vyočítat jejich standardní nejistotu (za ředokladu normálního rozdělení) omocí funkce STDEVA. Tím se ujistíme, že seudonáhodná čísla vygenerovaná odle tabulky 1 mají ožadované arametry. Funkci STDEVA můžeme oužít ro výočet nejistoty výstuní veličiny Y, rotože má normální rozdělení. Pro jiná rozdělení je situace komlikovanější. Normální rozdělení můžeme ověřit zobrazením histogramu vygenerovaných náhodných čísel, což odovídá ravděodobnostní funkci veličiny (srávné by bylo oužít statistický test, ale to je mimo rozsah tohoto článku). Histogram vytvoříme následovně. Zvolíme si šířku třídy, třeba 1, a zaíšeme tuto hodnotu do buňky I3. Poté do buňky J3 zaíšeme dolní mez rvní třídy: 37. Do buňky J4 vyočteme horní mez rvní třídy histogramu zadáním vzorce: =J3+$I$3 Tento vzorec alikujeme ro následující buňky J5 až J29. Tím jsme sestavili řadu čísel od 37 do 63 s krokem 1. Nyní vyočteme četnosti ro jednotlivé třídy. Je třeba označit buňky K3 až K29 a oté do řádku vzorců zadejte vzorec: =ČETNOSTI(C2:C11;J3;J29) a zmáčkněte Ctrl+Shift+Enter (zadání maticové oerace). Vzorec nesmíte zadat saním římo do buňky, a také řed saním vzorce do řádku vzorců musí být označeny všechny buňky K3 až K29, jinak výsledek nebude vyočten srávně. Jako oslední krok vytvořte graf ze slouců J a K. Měli byste získat křivku blízkou Gaussově křivce (což odovídá ravděodobnostní funkci normálního rozdělení), viz obr Výočet říkladu 1 metodou MC v GNU Octave a Matlabu Celý výočet říkladu 1 v GNU Octave nebo Matlabu je na 6 řádků říkazů i s vykreslením histogramu výstuní veličiny, neboli ravděodobnostní funkci výstuní veličiny. Řádky s říkazy můžete zadat do GNU Octave nebo Matlabu ostuně: 1 N =1 e6; X1 =2; ux1 =25; X2 =3; ux2 =3; 2 X1= normrnd (X1,uX1,1,N); 3 X2= normrnd (X2,uX2,1,N); 4 Y=X1+X2; 5 hist (Y,5) 6 uy=std (Y) 91

8 VOL.16, NO.2, APRIL y L y y P y L y y P četnost 6 4 četnost y i 1 y i P(Y yk) P (68,27%) P(Y yk) P (68,27%).2 L y L y k 1 y P L y L 2 4 y P 6 y k lk lk Lk Obrázek 6: Určení nejkratšího intervalu okrytí veličiny Y rerezentované 1 čísly s normálním rozdělením. Nahoře: Histogram. Urostřed: Kumulativní distribuční funkce. Dole: Závislost délky intervalu okrytí na levostranné ravděodobnosti. Čárkovaně je vyznačen růměr dat, čerchovaně jsou vyznačeny meze nejkratšího intervalu okrytí. Hvězdičkou je označen nejkratší interval okrytí Lk Obrázek 7: Určení nejkratšího intervalu okrytí veličiny Y rerezentované 1 čísly s gamma rozdělením. Nahoře: Histogram. Urostřed: Kumulativní distribuční funkce. Dole: Závislost délky intervalu okrytí na levostranné ravděodobnosti. Čárkovaně je vyznačen růměr dat, čerchovaně jsou vyznačeny meze nejkratšího intervalu okrytí. Hvězdičkou je označen nejkratší interval okrytí. 92

9 VOL.16, NO.2, APRIL 214 Obrázek 8: Výočet říkladu 1 v Excelu. Poslední dva řádky nejsou ukončené středníkem, jinak by GNU Octave nebo Matlab nezobrazily výsledek na obrazovku. Také si můžete vytvořit třeba v oznámkovém bloku soubor nazvaný riklad1.m a zaište do něj říkazy. Soubor uložte do vámi zvoleného adresáře (naříklad c:\). V GNU Octave nebo Matlabu ak omocí říkazu cd řejděte do zvoleného adresáře (cd c:\) a susťte soubor říkazem riklad1 (tj. název souboru bez říony.m). Co znamenají jednotlivé říkazy? Příkaz na řádku č. 1 nastaví hodnoty roměnných. N udává očet vygenerovaných seudonáhodných čísel, neboli ve svém důsledku očet oakování metody Monte Carlo. X1 je růměrná hodnota veličiny X 1, ux1 je nejistota veličiny X 1, obdobně ro X2 a ux2. Řádek č. 2 vygeneruje do roměnné X1 matici o velikosti 1 N obsahující seudonáhodná čísla odle normálního rozdělení se střední hodnotou 2 a směrodatnou odchylkou 25. Podobně řádek č. 3 ro roměnnou X2. V řádku č. 4 alikujeme model měření. Jelikož GNU Octave a Matlab cháou všechny roměnné jako matice (vektory), roměnná Y je matice o velikosti 1 N obsahující rvky y i = x 1i + x 2i, kde i = 1... N. Histogram, neboli ravděodobnostní funkce, je vykreslen v řádku č. 5, standardní nejistota je vyočtena v řádku č. 6. Jelikož rozdělení ravděodobnosti výstuní veličiny je dle ohledu na histogram normální, stačí oužít funkci std očítající směrodatnou odchylku. 6 Druhý říklad Druhý říklad je odobný rvnímu, tj. mějme dva odory zaojené do série a zajímá nás celkový odor. Neznáme ale nejistotu oužitých odorů, ouze třídu odorů secifikovanou výrobcem. Výrobce odorů má sériovou výrobní linku. Vyrobené odory mají normální rozdělení hodnot se směrodatnou odchylkou 25 Ω. Ale výrobce rodává řesnější odory za vyšší cenu. To dělá tak, že každý vyrobený odor změří. Pokud se jeho hodnota odchyluje od nominální hodnoty o méně než 3 Ω, zařadí ho do rvní třídy. Zbývající vyrobené odory zařadí do druhé třídy. Tedy rozdělení odorů v jednotlivých třídách řesnosti neodovídají normálnímu rozdělení (viz obr. 9). Mějme dva odory druhé třídy o nominálních hodnotách 2 Ω a 3 Ω. Celkový odor bude oět jako v rvním říkladu roven: y = = 5. (9) Nejistota celkového odoru je ale komlikovanější. Kdybychom racovali ouze v rámci GUF, mohli bychom zvolit řiblížení a uvažovat, že standardní nejistota odorů druhé třídy je stejná jako směrodatná odchylka všech vyrobených odorů, tedy 25 Ω. Výsledná standardní nejistota výstuní veličiny ak vychází 42,4 Ω. Výsledek je ovšem odhodnocen. Tento říklad není řešitelný metodou GUF, jelikož rozdělení ravděodobnosti vstuních i výstuních veličin jsou říliš komlikované. Výočet tohoto říkladu v Excelu omocí MMC je možný, ale je již oměrně složité vše zadat do buněk. Proto je výočet říkladu 2 omocí MMC v Excelu ouze naznačen a celý je vyřešen ouze ro GNU Octave a Matlab. 6.1 Výočet říkladu 2 v Excelu Částečně zracovaný říklad v Excelu lze oět stáhnout na internetových stránkách [9]. Seciální rozdělení ravděodobnosti vstuních veličin X 1 a X 2 je rovedeno výběrem z normálního rozdělení. Všechna vygenerovaná seudonáhodná čísla, která jsou v intervalu X i 3, X i + 3, (1) jsou zahozena. Tím je získáno rozdělení ravděodobnosti odorů druhé třídy. To ale znamená, že očet seudonáhodných čísel výsledného rozdělení ravděodobnosti je také náhodný. Jelikož ráce v Excelu je komlikovaná, říklad je zracovaný jen částečně. Není zajištěn očet oakování MMC, jelikož očet seudonáhodných čísel vstuních veličin je náhodný. Také není zracován algoritmus nalezení nejmenšího intervalu okrytí ravděodobnostní funkce 93

10 VOL.16, NO.2, APRIL 214 výsledné veličiny. Proto není vyočtena výsledná nejistota výstuní veličiny Y. Příklad je komletně zracován jen ro GNU Octave a Matlab, viz následující kaitola. 6.2 Výočet říkladu 2 v GNU Octave a Matlabu Příklad lze vyočítat omocí následujících říkazů: 1 Nrez =1 e6; N=1 e4; X1 =2; X2 =3; ux =25; limx =3; 2 X1= normrnd (X1,uX,1, Nrez ); 3 X1=X1(X1 <X1 - limx X1 > X1 + limx ); 4 X1=X1 (1: N); 5 X2= normrnd (X2,uX,1, Nrez ); 6 X2=X2(X2 <X2 - limx X2 > X2 + limx ); 7 X2=X2 (1: N); 8 Y=X1+X2; 9 hist (Y,5) ; Příkazy v řádku č. 1 určují hodnoty roměnných. N udává očet oakování MMC, tedy očet ožadovaných seudonáhodných čísel. Sice neexistuje funkce, která by římo vygenerovala seudonáhodná čísla dle ožadovaného rozdělení ravděodobnosti, ale lze ostuovat následovně. Nejrve je na řádku č. 2 vygenerováno dostatečné množství (mnohem více než N) seudonáhodných čísel s normálním rozdělením, růměrnou hodnotou 2 a směrodatnou odchylkou 25. Poté jsou na řádku č. 3 vybrána ouze čísla, která jsou větší než 3 nebo menší než 3, tedy větší než růměrná hodnota X1 lus výrobní limit limx a menší než X1 mínus limx. Jelikož otřebujeme jen N seudonáhodných čísel, je na řádku č. 4 vybráno rvních N čísel z roměnné X1. Obdobně jsou vygenerovány hodnoty ro roměnnou X2 na řádcích č Y (Ω) Obrázek 9: Nahoře: Pravděodobnostní funkce všech vyrobených odorů s nominální hodnotou 2 Ω. Urostřed: Pravděodobnostní funkce těchto odorů zařazených do rvní třídy řesnosti. Dole: Pravděodobnostní funkce odorů zařazených do druhé třídy řesnosti X 1 X Y = X 1 + X Y (Ω) 5 6 Obrázek 1: Pravděodobnostní funkce vstuních veličin X 1 a X 2 a výsledné veličiny Y z říkladu 2. Kdybychom v řádcích č. 2 a 5 vygenerovali ouze N čísel, o alikaci výběru na řádcích č. 3 a 6 by nám zbylo méně než N čísel. Navíc, jelikož oužíváme seudonáhodná čísla, roměnné X1 a X2 by nemusely vždy obsahovat stejný očet čísel. Proto je roveden výběr rvních N čísel na řádcích č. 4 a 7. Tento ostu si můžeme dovolit, rotože oužíváme kvalitní generátor seudonáhodných čísel. V řádku č. 8 se alikuje model měření. Řádek č. 9 vykreslí histogram, neboli ravděodobnostní funkci výsledné veličiny Y, viz obr. 1. Z histogramu výstuní veličiny Y je zřejmé, že rozdělení ravděodobnosti neodovídá normálnímu rozdělení, a roto nemůžeme vyočítat nejistotu omocí směrodatné odchylky. Musíme najít nejkratší interval okrytí, který obsahuje 68,27 % vygenerovaných seudonáhodných čísel. Tento interval okrytí ak odovídá standardní nejistotě veličiny Y ro ravděodobnost okrytí 68,27 %. K tomu se hodí funkce scovint, která je v souboru scovint.m. Tuto funkci ro GNU Octave lze stáhnout z internetových stránek [9]. Nejistotu u(y) vyočteme následovně (druhý říkaz není ukončen středníkem): [uy,uly,ury]=scovint(y,.6827) uy=uy./2 První arametr funkce scovint jsou hodnoty výstuní veličiny získane z MMC, druhý arametr je ravděodobnost okrytí. Funkce vrací tři arametry. První je délka nejkratšího intervalu okrytí, druhý arametr je levá mez intervalu okrytí, třetí arametr je ravá mez intervalu okrytí. Existují výstuní veličiny, jejichž ravděodobnostní funkce nejsou symetrické a je třeba uvádět nejistotu ve formě levé i ravé meze. V tomto říkladu je výsledkem symetrická ravděodobnostní funkce, tedy stačí výsledný nejkratší interval odělit dvěma a získáme standardní nejistotu. Výsledná nejistota je 61,3 Ω ro ravděodobnost 94

11 VOL.16, NO.2, APRIL 214 okrytí 68,27 %, nebo 16 Ω ro ravděodobnost okrytí 95,45 %. Je vidět, že na rozdíl od normálního rozdělení druhé číslo není dvojnásobkem rvního. Nejistota vyočtená metodou GUF je tedy odhodnocena o 31 %. Pokud by se neočítal nejkratší interval okrytí, ale jen směrodatná odchylka, došlo by ro říad ravděodobnosti okrytí 95,45 % k nadhodnocení o 14 %. 7 Závěr Z říkladů je vidět, že MMC je oměrně jednoduchý ale velmi účinný nástroj k výočtu i komlikovaných nejistot. Jednoduchost oužití je ale závislé na oužitém rogramovém vybavení. Jak bylo ukázáno na druhém říkladě, komlikovanější zadání je obtížně řešitelné v běžných kancelářských rogramech, ale ři oužití secializovaných matematických rogramů lze snadno získat srávný výsledek, a to i bez očítání arciálních derivací a stuňů volnosti. Doufám, že se mi odařilo sestavit co nejjednodušší návod jak začít s metodou Monte Carlo ro výočet nejistot. Součástí článku nejsou další asekty MMC, jako jsou nař. korelované vstuní veličiny a určování nejistot ro více výstuních veličin. Také nebyly řešeny všechny ředoklady oužití MMC. Literatura [1] JCGM. Evaluation of measurement data - Guide to the exression of uncertainty in measurement ISBN [2] JCGM. Evaluation of measurement data - Sulement 1 to the Guide to the exression of uncertainty in measurement - Proagation of distributions using a Monte Carlo method. 28. [3] JCGM. Evaluation of measurement data Sulement 2 to the Guide to the exression of uncertainty in measurement Extension to any number of outut quantities [4] COX, M. G. Proagation of distributions by a Monte Carlo method, with an alication to ratio models. The Euroean Physical Journal Secial Toics. 29, roč. 172, č. 1, s Dostuné také z: htt://www. sringerlink. com/ index/ / ejst/ e ISSN [5] ROTZ, Wendy; FALK, Eric; JOSHEE, Archana. A Comarison of Random Number Generators Used in Business 24 Udate. In. Proceedings of the Survey Research Methods Section of the American Statistical Association. Č , s [6] Matlab. [online]. [cit ]. Dostuné z: htt: // [7] GNU Octave. [online]. [cit ]. Dostuné z: htt:// [8] Octave-Forge. [online]. [cit ]. Dostuné z: htt://octave.sourceforge.net. [9] Instalační soubor GNU Octave a ukázkové říklady a skrity. [online]. [cit ]. Dostuné z: htt: //kaero.wz.cz/mmcjednoduse.html. 95