1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

Transkript

1 Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti Základí statistické pojmy Fukce áhodých veliči Charakteristiky áhodých veliči Některá rozděleí pravděpodobosti....5 Základy matematické statistiky Základy teorie chyb Náhodé chyby... 3 Příklad Systematické chyby Úplá chyba Chyby epřímo měřeých veliči Výsledek měřeí Nejistoty měřeí Zavedeí ejistot měřeí Staoveí stadardích ejistot při přímém měřeí Staoveí stadardích ejistot při epřímém měřeí Výsledek měřeí Vyrováí fukčí závislosti Metoda ejmeších čtverců (MNČ) Skupiová metoda Měřicí metody a měřicí přístroje Rozděleí měřicích metod Metoda lieárí iterpolace Parametry měřicích přístrojů Literatura Výsledky kotrolích otázek... 6

2

3 Úvod Všechy přírodí vědy mají teoretické a experimetálí discipliy. Mezi těmito discipliami existují těsé vazby experimetálí discipliy potvrzují či vyvracejí závěry teoretických discipli aebo experimety poskytují výsledky, jejichž zdůvoděí a zobecěí je úkolem discipli teoretických. Tyto vazby se realizují kvatitativími výsledky experimetů eboli výsledky určitých měřeí. Je zřejmé, že měřeí realizovaá v rámci růzých vědích oborů (fyziky, chemie, biologie atd.) mají své specifické vlastosti daé odlišostmi jedotlivých oborů, ale současě mají i řadu společých rysů. Úkolem této studijí opory je sezámeí se s těmito společými základy měřeí v přírodích vědách a se zákoitostmi, kterými se řídí. Problematika měřeí abývá stále větší důležitosti a to eje v přírodích vědách, ale i v praktickém životě. Stále častější aplikace elektroických měřících systémů spolu s využíváím počítačů rozšiřují možosti měřeí a výsledkem je možící se objem výsledků. Je však ezbyté umět tyto výsledky posuzovat kriticky a především umět kvatitativě vyhodotit shodu aměřeých výsledků se skutečou hodotou měřeé veličiy, tj. vyhodotit chybu měřeí. Tato zalost je důležitá jak ve vědích discipliách, tak v praktickém životě (apř. shoda či eshoda údajů měřidel spotřeby eergií se skutečostí může mít závažé ekoomické důsledky). Tuto úvodí kapitolu věujeme defiicím a objasěí základích pojmů, které budeme v celé opoře používat: Jako měřeí ozačujeme empirickou (experimetálí) čiost, jejímž výsledkem je určeí hodoty ějaké fyzikálí veličiy. Považujeme za užitečé připomeout, že termí fyzikálí veličia má dvojí výzam: ozačuje jedak abstraktí pojem (apř. hmotost v obecém smyslu), jedak jeho kokrétí realizaci (apř. hmotost určitého tělesa), při íž fyzikálí veličia abývá zcela určité hodoty. Tato vlastost fyzikálích veliči se projevuje tím, že každá veličia se vyjadřuje součiem číselé hodoty její velikosti a její jedotky: { }.[ ] A= A A, (.) kde A je začka veličiy a { A } začka její číselé hodoty vyjádřeé v jedotce [ ] Jedotka fyzikálí veličiy je zvoleá veličia specifikovaá jako referečí veličia. Soubor jedotek vytvořeý tak, že pro zvoleé základí veličiy jsou staoveé jejich základí jedotky a z ich se odvozují jedotky ostatích veliči, se azývá soustava jedotek. V České republice je zákoem staovea poviost používat jedotky soustavy SI s určitými výjimkami, které jsou uvedey v ormě ČSN ISO 000. Skutečá hodota veličiy je hodota, kterou měřeá veličia abývá za podmíek existujících v okamžiku, kdy je měřea. Skutečá hodota je hodota ideálí, protože ve skutečosti emůže být přesě zjištěa. Rozdíl hodoty x zjištěé měřeím fyzikálí veličiy a její skutečé hodoty x 0 se azývá chyba měřeí e A. e = x x 0. (.) 3

4 Takto defiovaá chyba měřeí se azývá také absolutí chyba, absolutí chyby a skutečé hodoty se azývá relativí chyba e r zatímco poměr e er =. (.3) x 0 Chyby měřeí jsou vyvoláváy růzými příčiami, ale ty jsou v podstatě dvojího druhu. Některé působí při daém měřeí soustavě, tz. že při opakováí měřeí za stejých podmíek ovlivňují jeho výsledek pravidelým způsobem, takže způsobují chybu stejého zaméka a přibližě i stejé velikosti. Chyby měřeí vyvolaé těmito vlivy se azývají chyby systematické. Patří mezi ě chyba měřidla, chyba metody, chyby růzých údajů používaých při měřeí atd. Podroběji o chybách systematických pojedáme v odstavci 3.. Výsledek měřeí je zpravidla zatíže také chybami měřeí vyvolaými epravidelými, proměými vlivy, které jsou prakticky ekotrolovatelé a způsobují, že při opakováí téhož měřeí za stejých podmíek edostáváme přesě stejé výsledky. Chyby tohoto druhu tedy mají v podstatě áhodý charakter, pokládáme je za áhodé veličiy a azýváme je áhodé chyby. Náhodými chybami se budeme zabývat v odstavci 3.. Na celkové chybě měřeí se podílejí jak chyby áhodé, tak chyby systematické. Proto chybu měřeí e často ozačujeme jako úplou chybu měřeí. V moha případech však můžeme s ohledem a velikosti jedotlivých chyb jedu z těchto chyb vůči druhé zaedbat a převažující chybu považovat za úplou chybu měřeí. Zvláštím případem chyby měřeí jsou chyby hrubé. Vzikají apř. esprávým postupem při měřeí, esprávým odečteím aměřeé hodoty, áhlým působeím silého vějšího vlivu, poškozeím měřidla apod. Údaj zatížeý hrubou chybou ze souboru měřeí vždy vylučujeme. Zatím jsme se uvažovali taková měřeí, kde hodota aměřeé veličiy je přímo výsledkem měřeí. Nazýváme ji proto přímo měřeou veličiou. Jestliže veličiu elze měřit přímo, ale její hodotu určujeme ze vztahu, ve kterém vystupují dvě ebo více přímo měřeých veliči, hovoříme o určeí epřímo měřeé veličiy. Pro epřímo měřeou veličiu musíme rověž staovit ebo odhadout chybu. Tato chyba bude mít stejé vlastosti jako chyba přímo měřeé veličiy, tj. bude se skládat ze složky systematické a áhodé. Její velikost bude záviset a hodotách chyb jedotlivých přímo měřeých veliči a a tvaru fukce, která vyjadřuje závislost epřímo měřeé veličiy a veličiách měřeých přímo. O chybách epřímo měřeých veliči pojedává odstavec 3.4. Nové požadavky přírodích věd, techiky i ekoomiky si vyžádaly i ový pohled a hodoceí přesosti měřeí. Teto ový přístup se odráží i v ových dokumetech, které jsou od počátku 90. let postupě přijímáy ve všech vyspělých zemích světa. Přesost měřeí se vyjadřuje pomocí ejistoty měřeí. Pojem ejistoty eí omeze je a výsledek měřeí, ale vztahuje se i a měřidla, použité kostaty, korekce apod. Podroběji se o ejistotách zmííme v kapitole 4. 4

5 Hodota fyzikálí veličiy zjištěá měřeím se liší od skutečé hodoty této fyzikálí veličiy. Rozdíl mezi hodotou zjištěou měřeím a skutečou hodotou se azývá absolutí chyba měřeí. Relativí chyba měřeí je poměr absolutí chyby měřeí a skutečé hodoty fyzikálí veličiy. Podle zdroje chyb měřeí rozlišujeme chyby áhodé a chyby systematické. Nový přístup k hodoceí přesosti měřeí vyžaduje vyhodoceí ejistoty měřeí. Doposud jsme se zabývali problematikou měřeí v případě určeí jedé hodoty určité fyzikálí veličiy za daých podmíek. Existuje však daleko širší disciplía související s měřeím, která se azývá regresí aalýza. Zabývá se případy, kdy je třeba vyšetřit určitou závislost mezi fyzikálími veličiami, apříklad ověřit platost určitého fyzikálího zákoa. V jedoduším případě můžeme s dostatečou pravděpodobostí předpokládat, že tuto závislost záme, apř. ve formě obecě uzávaého fyzikálího zákoa. Naše úloha v tomto případě spočívá v určeí kostat, které v tomto zákoě vystupují. Jako příklad uveďme měřeí elektrického odporu z Ohmova zákoa. Jedá-li se o měřeí elektrického odporu kovového rezistoru při běžých proudech a apětích, Ohmův záko staoví lieárí závislost mezi apětím a rezistoru a proudem, který jím protéká. Kostatou úměrosti je ezámá hodota jeho elektrického odporu. Pokud by měřeí ebylo zatížeo chybou, stačila by pro určeí odporu jediá dvojice aměřeých hodot apětí a proudu. Potlačeí chyb měřeí ale vyžaduje měřeí opakovat a pro vyhodoceí souboru aměřeých hodot se používají metody regresí aalýzy, které popíšeme v kapitole 5. V praxi se často setkáváme s případy, kdy kokrétí tvar fukce popisující závislost mezi veličiami ezáme. Jako příklad uveďme závislost termoelektrického apětí a termočláku a rozdílu teplot mezi oběma koci termočláku. Tato závislost je obecě elieárí, ahrazujeme ji polyomem a aší úlohou je určit stupeň tohoto polyomu a kostaty, které v ěm vystupují. Úlohy tohoto typu jsou podstatě áročější a jejich obtížost přesahuje rámec tohoto úvodího textu. Text této opory je uzavře kapitolou stručě pojedávající o metodách měřeí a o obecých vlastostech měřicích přístrojů. Cílem této kapitoly je sezámeí se základí termiologií používaou v oboru měřeí. Soupis použité odboré literatury současě podává poteciálím zájemcům iformaci o zdrojích hlubších pozatků v oboru měřeí. 5

6

7 Základí pojmy počtu pravděpodobosti Jak jsme uvedli v předcházející kapitole, je z experimetálí praxe zámé, že měřeím určité fyzikálí veličiy opakovaým za stálých podmíek a se stejými přístroji získáváme soubor hodot, které se od sebe do určité míry liší. Je to důsledek áhodých vlivů ovlivňujících výsledek měřeí, a takto vziklé odchylky od správé hodoty ozačujeme jako áhodé chyby. Příčiy jejich vziku jsou v ěkterých případech ezámé, v ěkterých případech jsou sice zámé, ale z pricipiálích důvodů je elze odstrait a pro jedotlivá měřeí ai elze předvídat míru jejich uplatěí. Tyto chyby jsou proto charakterizováy áhodým výskytem jejich hodot. To zameá, že tyto hodoty se edají staovit předem, ale dá se předvídat výskyt určitých hodot s příslušou pravděpodobostí. Existece áhodých chyb vyvolává potřebu řešeí dvou problémů: - jakým způsobem určit ze souboru vzájemě odlišých aměřeých hodot výsledek měřeí, který se ejvíce blíží správé hodotě měřeé veličiy, - jakým způsobem charakterizovat odchylku výsledku měřeí od správé hodoty, tj. jak určit velikost áhodé chyby (velikost ejistoty typu A kapitola 5) zjištěého výsledku opakovaých měřeí. K řešeí těchto problémů přistupujeme tak, že a soubory aměřeých hodot pohlížíme jako a soubory áhodých veliči a pro vyhodoceí měřeí a aalýzu áhodých chyb používáme metody počtu pravděpodobosti a metody matematické statistiky. Je třeba si uvědomit, že áhodé chyby se jako áhodé veličiy řídí statistickými zákoitostmi umožňujícími je určité pravděpodobostí výroky o výskytu jejich hodot. Podobě o výsledcích měřeí určovaých z těchto souborů lze vyslovit pouze pravděpodobostí výroky o jejich přiblížeí správé hodotě měřeé veličiy. Je proto uté, abychom se sezámili s ěkterými základími pojmy a zákoy matematické statistiky.. Základí statistické pojmy Údaje o hodotě spojitě proměé veličiy se získávají měřeím (apř. měřeím teploty, hustoty apod.), údaje o hodotě espojité (diskrétí) veličiy se získávají čítáím (apř. určeím počtu částic emitovaých zdrojem ioizujícího zářeí). Soubory takto zjištěých áhodých kvatitativích údajů se azývají statistické soubory. Náhodou veličiu ozačujeme velkým písmeem (apř. X, Y..), jedotlivé hodoty ze statistického souboru malými písmey ( apř. x i, y j ), celkový počet hodot ve statistickém souboru symbolem. Počet případů, v ichž se určitá hodota x i vyskyte 7

8 ve statistickém souboru se azývá absolutí četost i, podíl i / je relativí četost f i.. Fukce áhodých veliči Jak jsme již uvedli, o chováí áhodých veliči lze uvádět pouze pravděpodobostí výroky. To zameá, že apř. četost výskytu určité hodoty áhodé veličiy v daém statistickém souboru emůžeme staovit s jistotou, ale pouze s určitou pravděpodobostí. Možosti výskytu určitých hodot ve statistickém souboru, tj. přiřazeí pravděpodobostí k hodotám áhodé veličiy, proto popisujeme pomocí rozděleí pravděpodobosti. Toto rozděleí lze pro spojité i diskrétí veličiy jedoduše popsat pomocí distribučí fukce F(x), která je pro áhodou veličiu X defiováa tak, že v bodě x 0 je F(x 0 ) rova pravděpodobosti, že áhodá veličia X abude hodoty meší ebo rové x 0. Je tedy ( ) ( ) F x = P x x. (.) 0 0 Je zřejmé, že distribučí fukce je fukce eklesající a platí pro í ( ) F ( x) lim F x = 0 lim = (.) x x Pro spojitě proměé veličiy se chováí áhodé veličiy ejčastěji popisuje pomocí fukce azývaé hustota pravděpodobosti f(x). Ta je defiováa jako derivace distribučí fukce F(x) podle x (pokud tato derivace existuje). Platí ( ) ( ) df x = = ( ). (.3) dx / f x F x Pro objasěí výzamu obou fukcí uvedeme dva příklady. Příklad : prvím případě se jedá o spojitě proměou áhodou veličiu. Uvažujme áhodý pokus realizovaý pomocí zařízeí podobého ruletě. Teto pokus spočívá v mohokrát opakovaém roztočeí kruhu, v jeho otáčeí vlivem setrvačosti a koečě v jeho samovolém zastaveí působeím pasivích odporů. Kruh má a svém obvodu začky dělící obvod v itervalu 0 až π, mimo kruh je pevá začka určující, a kterém místě se kruh zastavil. Protože předpokládáme, že každý úhel při zastaveí je stejě možý (jako by tomu mělo být apř. u rulety), představují aměřeé hodoty tohoto úhlu spojitou áhodou veličiu proměou v itervalu 0, π. Distribučí fukce této áhodé veličiy je pak x F ( x) = pro x ( 0;π π F x = 0 pro x 0 ( ) ( ) F x = pro x > π (.4) 8

9 Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy v tomto příkladu je x d df ( x) π f ( x) = = = pro x ( 0, π d x d x π ( ) f x = 0 pro x 0 a x > π (.5) Průběh distribučí fukce a hustoty pravděpodobosti v tomto kokrétím případě je zobraze v grafech a obr... F (x) f (x) /π 0 0 x π 0 x 0 x π Obrázek. Příklad : Ve druhém příkladu uvažujme áhodý pokus spočívající ve sledováí počtu bodů při hodech vrhací kostkou. Možia možých hodot je,, 3, 4, 5, 6 a proto počet bodů představuje espojitou (diskrétí) áhodou veličiu. Předpokládáme opět ideálí vrhací kostku, tj. všechy hodoty až 6 jsou stejě pravděpodobé. Distribučí fukce je defiovaá vztahem (.) a její průběh pro popisovaý pokus je a obr..a. Obdobou hustoty pravděpodobosti je v případě diskrétích veliči pravděpodobostí fukce p(x). Je to pravděpodobost, že áhodá veličia X abude hodoty x i a proto ji píšeme ve tvaru ( ) ( ) p x = P X = x (.6) i V ašem příkladu je pravděpodobost počtu bodů p(x i ) pro všecha x i stejá a rová se /6. Průběh pravděpodobostí fukce pro výsledek ašeho pokusu je a obr..b. i 9

10 .0 F(x) x Obr..a p (x) / x Obr..b.3 Charakteristiky áhodých veliči Pro posouzeí statistických souborů údajů zjištěých měřeím ebo čítáím mají ejvětší důležitost iformace o poloze údajů ve statistickém souboru a o jejich rozptýleí (variabilitě). V prvím případě jde o určeí vhodé středí úrově, kolem které se hodoty áhodé veličiy soustřeďují, ve druhém případě jde o určeí rozmezí, ve kterém se vyskytují a o způsob jejich rozložeí uvitř tohoto rozmezí. Polohu hodot áhodé veličiy X ejlépe charakterizuje středí hodota, kterou ozačujeme symbolem E(X) a která je pro spojitě proměou veličiu X defiovaá vztahem 0

11 b ( ) ( ) E X = x f x dx. (.7) a Symboly a, b v tomto vztahu jsou meze defiičího oboru veličiy X. Variaci áhodých veliči ejlépe charakterizuje rozptyl D, který určujeme ze vztahu b D X x E X f x dx ( ) = ( ) ( ). (.8) a Rozptýleí hodot áhodé veličiy často vyjadřujeme kladě vzatou druhou odmociou z rozptylu, kterou azýváme směrodatá odchylka σ(x). ( X ) D ( X ) σ = + (.9) V případě diskrétí áhodé veličiy určujeme středí hodotu áhodé veličiy ze vztahu E X = x p x (.0) ( ) ( ) i= a rozptyl, respektive směrodatou odchylku ze vztahů i i D X xi E X p xi i= σ ( ) = ( ) ( ) ( X ) = + D ( X ) (.) Základími charakteristikami statistického souboru jsou středí hodota E a rozptyl D. Středí hodota E určuje polohu statistického souboru, rozptyl D určuje variaci jedotlivých áhodých veliči ve statistickém souboru okolo středí hodoty. Častěji se tato variace vyjadřuje pomocí směrodaté odchylky σ. Pro další použití pojmů středí hodota, rozptyl a směrodatá odchylka jsou důležité jejich obecé vlastosti, z ichž uvedeme: ) Jestliže k ozačuje kostatu, platí E ( k ) = k, σ ( k ) = 0, σ = 0. (.)

12 ) Náhodá veličia Z je součtem ebo rozdílem áhodých veliči X a Y. Pak platí: Z X Y E Z = E X ± E Y, = ±, ( ) ( ) ( ) ( Z ) ( X Y ) ( X ) ( Y ) σ = σ + = σ + σ. (.3) 3) Náhodá veličia Z je k ásobkem áhodé veličiy X. Pak platí: Z k X E Z = E k X = k E X, =, ( ) ( ) ( ) ( Z ) ( k X ) k ( X ) σ = σ = σ. (.4) Kotrolí otázky. Pro spojitě proměou áhodou veličiu X z Příkladu určete středí hodotu E(X), rozptyl D (X) a směrodatou odchylku σ (X).. Pro diskrétí áhodou veličiu X z Příkladu určete středí hodotu E(X), rozptyl D (X) a směrodatou odchylku σ (X). 3. Příklad. budeme realizovat s vrhací kostkou, která oproti obvykle používaé kostce bude mít a stěách trojásobek bodů, tj. postupě 3, 6, 9,, 5 a 8 bodů. Určete středí hodotu E(Y), rozptyl D (Y) a směrodatou odchylku σ (Y) áhodé veličiy Y, kterou získáte sledováím vrhů s takovou kostkou..4 Některá rozděleí pravděpodobosti Náhodé procesy, jejichž výsledkem jsou statistické soubory áhodých veliči, jsou velmi rozmaité a tomu také odpovídá velký počet fukcí, které vyjadřují jejich rozděleí pravděpodobosti. Následující výklad se omezuje a rozděleí pravděpodobosti, se kterými se ejčastěji můžete setkat v oblasti vyhodocováí fyzikálích měřeí. Prví z ich je rovoměré rozděleí pravděpodobosti. Náhodou veličiu X lze popsat rovoměrým rozděleím, jestliže všechy hodoty áhodé veličiy X v daém itervalu mají stejou pravděpodobost výskytu. Pro rozsah hodot áhodé veličiy X vymezeý v itervalu a x b jsou distribučí fukce F(x) a rozděleí hustoty pravděpodobosti f(x) určey vztahy ( ) F X = 0 x < a x a F ( X ) = a x b b a F X = x > b ( ) (.5)

13 f ( X ) = b a (.6) Je zřejmé, že rovoměrým rozděleím se řídí áhodá veličia z Příkladu v odstavci. a vztahy (.5) a (.6) jsou zobecěím vztahů (.4) a (.5). Normálí (Gaussovo) rozděleí pravděpodobosti je ejčastěji používaý model rozděleí spojité áhodé veličiy a moho spojitých áhodých veliči se jím alespoň přibližě řídí. Náhodé veličiy řídící se tímto rozděleím můžeme charakterizovat jako veličiy vziklé složeím vlivů, které jsou ezávislé, kterých je větší počet a z ichž každá ovlivňuje skutečou hodotu áhodé veličiy je malým příspěvkem. Náhodá, + s hustotou pravděpodobosti veličia X abývá hodot x v itervalu ( ) f ( x) e σ π ( x µ ) σ = (.7) a distribučí fukcí ( ) ( y µ ) x σ F x e dy = σ π. (.8) Je patré, že ormálí rozděleí má dva parametry µ, σ. Prví z ich má výzam středí hodoty souboru, druhým je směrodatá odchylka. Lze proto psát E ( x ) = µ (.9) ( x) = σ (.0) σ Hustota pravděpodobosti ormálí áhodé veličiy spolu s její distribučí fukcí jsou zázorěy a obr..3. Obrázek ázorě ukazuje výzam parametrů µ a σ. 3

14 σ f (x) f (x 0 ) F (x 0 ) x 0 µ σ µ x µ+σ.0 F (x) 0.5 F (x 0 ) 0.0 x 0 µ x Obr..3: Hustota pravděpodobosti a distribučí fukce ormálího rozděleí Okolost, že distribučí fukce ormálího rozděleí závisí a dvou parametrech je v moha případech pro práci s touto fukcí epřízivá. Zejméa je obtížé takovou fukci tabelovat pro růzá x a růzé kombiace hodot µ a σ. Této závislosti se lze zbavit lieárí trasformací, která se azývá ormováím: x µ u = (.) σ 4

15 Náhodá veličia abývající hodot u má ormovaé ormálí rozděleí. Distribučí fukce F(u) a hustota pravděpodobosti ormovaého ormálího rozděleí jsou dáy vztahy ( ) u u F ( u) = e du π f u = u e π (.) Pro ormovaé ormálí rozděleí platí ( ) ( ) E u = 0 D u = (.3) Pro diskrétí áhodé veličiy uvedeme dvě rozděleí. Prví z ich biomické rozděleí. Toto rozděleí popisuje situaci, kdy áhodý jev astává s pravděpodobostí p a kdy krát ezávisle opakujeme áhodý pokus, při kterém může áhodý jev astat a zkoumáme počet x výskytů jevu v sérii těchto ezávislých pokusů. Biomická áhodá veličia X abývá hodot 0,,,,. Pravděpodobostí fukce biomického rozděleí je p x p p x x ( ) = ( ) x. (.4) Středí hodota rozděleí a jeho rozptyl abývají hodot ( ) ( ) ( ) E X = p D X = p p. (.5) Druhé rozděleí, se kterým se můžeme při fyzikálích měřeích setkat, je Poissoovo rozděleí. Vztahuje se k áhodé veličiě,. která vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobých (řídkých) jevů za daých podmíek (v určitém časovém itervalu, ve vymezeé oblasti apod.). Jako příklad můžeme uvést přeměu atomových jader, která splňuje tyto podmíky, protože N t = N 0 e λt, kde N(t) je počet dosud přeměa jader se řídí přeměovým zákoem ( ) ( ) epřeměěých jader v čase t, N(0) je počátečí počet jader a λ je přeměová kostata, diferecováím tohoto zákoa dojdeme ke vztahu prokazujícímu, že počet jader dn přeměěých za krátký časový iterval dt je úměrý délce tohoto itervalu, pravděpodobost výskytu přeměy je ezávislá a četosti výskytu přeměy v předcházejícím časovém itervalu stejé délky, pravděpodobost přeměy ezávisí a poloze počátku itervalu. Poissoova áhodá veličia X abývá hodot 0,,, a její pravděpodobostí fukce je 5

16 ( ) p x λ x e λ =. (.6) x! Rozděleí má jediý parametr λ, středí hodota rozděleí a jeho rozptyl jsou ( ) λ ( ) E X = D X = λ. (.7) 0. p(x) x Obr..4: Příklad Poissoova rozděleí Kotrolí otázky. Defiujte rozděleí biomické, Poissoovo, ormálí a ormálí ormovaé.. Zázorěte a obrázku vliv parametrů µ a σ a tvar grafu hustoty pravděpodobosti ormálího rozděleí. 3. Najděte pravděpodobost, že hodota áhodé veličiy s Poissoovým rozděleím ( λ= ) je rova ule. Najděte také pravděpodobost, že dvě za sebou ezávisle získaé hodoty téže áhodé veličiy budou rovy ule..5 Základy matematické statistiky V praxi se vyskytují případy, kdy a základě malého počtu experimetálě získaých hodot určité veličiy áhodého charakteru se mají staovit iformace o chováí této veličiy. Touto problematikou se zabývá matematická statistika. Tato disciplia vychází z teorie pravděpodobosti a postupuje od zvláštích úloh k obecějším závěrům. V této kapitole bude podá stručý výklad základích pojmů a postupů statistického zpracováí empiricky získaých dat. 6

17 Základí soubor je soubor všech možých zjistitelých hodot áhodé veličiy s daým rozděleím pravděpodobosti. Může obsahovat koečý i ekoečý počet hodot. V případě spojitě proměé áhodé veličiy by rozsah základího souboru měl být ekoečý. Z praktického hlediska ale stačí N tak velké, že další zvyšováí N již epřiáší zatelé změy charakteristik. Rozsah základího souboru diskrétí áhodé veličiy je dá celkovým počtem možých hodot této veličiy. Skutečé velikosti charakteristik áhodé veličiy (středí hodota, rozptyl) jsou určey ze základího souboru. Realizace měřeí, při kterém je získá soubor aměřeých hodot odpovídající rozsahu základího souboru je často v praxi z důvodů techických, časových i ekoomických emožá. K dispozici tedy obvykle máme soubor podstatě meší, který představuje určitý výběr ze základího souboru. Aby se charakteristiky takového souboru co ejlépe blížily charakteristikám základího souboru, je třeba aby představoval áhodý výběr. Náhodý výběr ze základího souboru je skupia hodot áhodé veličiy vybraých ezávisle a sobě a takovým způsobem, aby všechy hodoty základího souboru měly stejou možost být do tohoto výběru pojaty. Pro áš další výklad je důležité, že áhodým výběrem může mj. být i souhr hodot získaých při opakováí měřeí téže veličiy za stejých podmíek. Počet hodot áhodého výběru udává rozsah áhodého výběru. Podobě jako má základí soubor své charakteristiky, můžeme aalogickými veličiami charakterizovat i áhodý výběr a to apříklad výběrovým průměrem, výběrovým rozptylem, výběrovou směrodatou odchylkou a výběrovým rozděleím pravděpodobosti. Výběrový průměr x áhodého výběru je dá vztahem xi i = x = (.8) kde x i jsou všechy hodoty áhodé veličiy X v áhodém výběru. Výběrový rozptyl s je vyjádře vztahem s x x x (.9) ( ) = ( i ) i= a výběrová směrodatá odchylka s je defiováa kladou druhou odmociou z výběrového rozptylu s = + s. (.30) I když obvykle pracujeme pouze s jedím výběrovým souborem, musíme si uvědomit, že jde o áhodý výběr a že stejě pravděpodobě bychom mohli pracovat s áhodým výběrem, který by se od původího výběru poěkud lišil. To by se mj. projevilo i tím, že charakteristiky obou souborů by byly odlišé, i když rozdíly by byly relativě malé. Totéž by platilo i pro další áhodé výběry ze stále stejého základího souboru. Lze tedy vyslovit tvrzeí, že výběrové charakteristiky jsou áhodými veličiami. 7

18 Například z áhodého výběru rozsahu odebraého ze základího souboru áhodé veličiy X se vypočítá výběrový průměr x. Odběrem dalšího áhodého výběru z téhož základího souboru a stejého rozsahu se staoví výběrový průměr x, z dalšího áhodého výběru x 3 atd. Hodoty těchto výběrových průměrů ebudou stejé a budou mít áhodý charakter. Výběrový průměr se chová jako áhodá veličia. Stejě se bude chovat výběrový rozptyl s. Výběrové charakteristiky jsou tedy áhodými veličiami a lze je popsat rozděleími pravděpodobosti, která se azývají výběrová rozděleí. Je zřejmé, že pro práci s výběrovými soubory je ezbytá zalost toho, jaká výběrová rozděleí jsou přiřazeá k jedotlivým výběrovým charakteristikám. Nejvýzamější výběrová charakteristika je výběrový průměr. Poěkud komplikovaým postupem lze dokázat, že platí tvrzeí: jestliže áhodá veličia X má ormálí rozděleí s parametry µ(x) a σ(x), potom i hodoty výběrového průměru budou rozděley podle ormálího rozděleí pravděpodobosti s parametry ( ) ( ) ( ) µ = µ x, σ = σ x = σ x / (.3) Pokud se áhodá veličia X eřídí ormálím rozděleím a pokud její rozděleí eí zásadě odlišé od ormálího, pak rozděleí áhodé veličiy u u x µ σ x = (.33) x se blíží ormovaému ormálímu rozděleí tím více, čím větší je rozsah áhodého výběru. V literatuře se uvádí, že rozděleí áhodé veličiy u pravděpodobostě koverguje k ormálímu rozděleí pro větší ež 50. Problém staoveí rozděleí hodot výběrového rozptylu a výběrové směrodaté odchylky je ještě složitější. Lze dokázat, že tyto dvě áhodé veličiy se řídí rozděleím χ. Rozděleí χ má áhodá veličia daá součtem kvadrátů áhodých veliči X, X..X přičemž každá z ich má ormovaé ormálí rozděleí. Parametrem rozděleí χ je počet stupňů volosti ν =. Středí hodota a směrodatá odchylka tohoto rozděleí jsou ( ) ( ) µ χ = ν, σ χ = ν. (.34) Posledím rozděleím, které se při vyčísleí výsledků uplatí, je rozděleí t (Studetovo): Nechť Y a Z jsou ezávislé áhodé veličiy, přičemž veličia Y má rozděleí χ a veličia Z má ormovaé ormálí rozděleí. Pak áhodá veličia t t = z y (.35) ν 8

19 má Studetovo rozděleí. Poměrě složitým postupem popsaým v [] a vycházejícím ze vztahů (.33) a (.34) lze dokázat, že veličia x µ t = σ má Studetovo rozděleí a využít této skutečosti ke staoveí itervalu spolehlivosti (odstavec 3.). Vraťme se yí k problematice vyhodoceí měřeí, přesěji k problému kvatifikováí vlivu áhodých chyb a výsledek měřeí. Soubor výsledků opakovaých měřeí za stejých podmíek představuje áhodý výběr, jehož rozsah je obvykle podstatě ižší ež je rozsah základího souboru. Stojíme proto před problémem, jak určit charakteristiky výběrového souboru malého rozsahu tak, aby se co ejlépe blížily charakteristikám základího souboru a jak vyčíslit odchylky mezi těmito charakteristikami. Výběrové charakteristiky budeme ozačovat jako odhady velikostí charakteristik základího souboru. Protože odhad velikosti ěkteré charakteristiky je vyjádře jediým číslem, je ve statistice obvyklé ozačovat jej jako bodový odhad. Tyto odhady jsou pochopitelě zatížey určitou chybou a určeí itervalu okolo bodového odhadu, v ěmž se s určitou pravděpodobostí alézá charakteristika základího souboru, se azývá itervalový odhad. Odhad charakteristiky budeme volit tak, aby splňoval tyto podmíky: Je estraý (evychýleý): odhad je estraý, je-li středí hodota odhadů vypočítaých z áhodých výběrů rova velikosti příslušé charakteristiky základího souboru, je dostatečě vydatý: má ejlepší rozptyl hodot, je kozistetí: s rostoucím rozsahem výběrového souboru se blíží charakteristice základího souboru. Pro bodový odhad středí hodoty základího souboru vyhovuje těmto podmíkám ejlépe výběrový průměr x (.8). Pro bodový odhad rozptylu základího souboru vyhovuje těmto podmíkám ejlépe výběrový rozptyl vypočítaý ze vztahu s x x x (.36) ( ) = ( i ) i= a ejlepší bodový odhad směrodaté odchylky základího souboru udává výběrová směrodatá odchylka, která se staoví ze vztahu s ( x) = ( xi x). (.37) i= Teto odhad směrodaté odchylky se vztahuje k libovolé hodotě z výběrového souboru. Můžeme ovšem využít vztahu (.3) a staovit výběrový odhad směrodaté odchylky výběrového průměru x 9

20 s ( x ) = ( x ) i x. (.38) = ( ) Zejméa při áhodém výběru malého rozsahu se může bodový odhad středí hodoty i bodový odhad směrodaté odchylky začě lišit od skutečých hodot základího souboru a proto je třeba bodové odhady doplit itervalovým odhadem. Matematická statistika vyviula metody umožňující staovit meze itervalu okolo bodového odhadu tak, že je záma pravděpodobost γ s jakou se skutečá hodota charakteristiky základího souboru alézá v tomto itervalu. Číslo α = γ se azývá riziko, v ěkterých učebicích se pro teto pojem používá ázev hladia výzamosti. V případě výběrového průměru hodotíme přesost tohoto bodového odhadu pomocí veličiy ε azývaou přesost odhadu: i ( x ) ε = x µ. (.39) Předpokládáme-li, že středí hodota µ ( x ) základího souboru leží v itervalu okolo výběrového průměru x s pravděpodobostí γ, je splěa erovost Pak lze dokázat, že platí ( ( x ) ) P x µ < ε = γ. (.40) ( α ( )) ( ) α ( ) ( ) P x t, s x µ x x t, s x < < + = γ = α (.4) kde koeficiet t,α se azývá Studetův koeficiet, určuje se ze Studetova rozděleí a jeho hodoty jsou tabelováy. Aplikace těchto pozatků a kokrétí případy opakovaého měřeí jsou popsáy v kapitole 3. Vraťme se yí k problému vyhodoceí souborů áhodých veliči získaých měřeím fyzikálí veličiy ovlivěé áhodými chybami. Tyto soubory jsou obdobou statistických souborů a mezi jejich základí charakteristiky také patří poloha a rozptyl (variace). Základím ukazatelem polohy statistického souboru (x, x,, x ) je průměr x, který určujeme pomocí vztahu aritmetický xi i = x =. (.4) 0

21 Jestliže se ve statistickém souboru vyskytují ěkteré hodoty vícekrát, tj. je-li v ěm k růzých hodot x, x,, x k přičemž hodota x i se vyskytuje s četostí i, lze pro určeí průměru statistického souboru ze vztahu (.4) použít výraz ve tvaru vážeého aritmetického průměru k i xi i = x = (.43) Základím ukazatelem rozptýleí hodot statistického souboru jsou odchylky těchto hodot od aritmetického průměru. Jako ukazatele rozptýleí ale emůžeme použít pouze součet těchto odchylek, protože z rovice (.4) vyplývá, že je rove ule. Platí ( x x) = xi x = 0. (.44) i i= i= V praxi se ejčastěji používá ukazatel rozptýleí založeý a součtu čtverců odchylek od aritmetického průměru. Aby jeho velikost ebyla ovlivěa rozsahem statistického souboru, používá se jako ukazatel průměrý součet čtverců odchylek od aritmetického průměru, azývá se rozptyl statistického souboru a začí se s. Platí s x x. (.45) = ( i ) i = Častěji se ale rozptýleí souboru charakterizuje kladou druhou odmociou z rozptylu, která se azývá směrodatá odchylka statistického souboru s. Je určeá vztahem ( ) s x i = i= ( x x) i. (.46) Kotrolí otázky. Pro soubor áhodých hodot (4,8; 5,; 4,9; 4,4; 4,8; 4,9; 5,0; 4.5; 4,8) určete: a) výběrový průměr, b) výběrový rozptyl, c) výběrovou směrodatou odchylku.. Určitý soubor áhodých hodot má výběrový průměr x, rozptyl s ( x) a směrodatou odchylku s ( x ). Uveďte hodoty těchto charakteristik, jestliže se každá hodota v tomto souboru a) ásobí dvěma, b) dělí čtyřmi.

22 V praxi obvykle eí k dispozici základí soubor a pracujeme pouze s áhodým výběrem ze základího souboru. Základí charakteristiky áhodého výběru jsou výběrový průměr, výběrový rozptyl a výběrová směrodatá ochylka. Tyto výběrové charakteristiky jsou odhady charakteristik základího souboru. Výběrový průměr (.8) je ejlepším odhadem středí hodoty základího souboru. Nejlepším odhadem rozptylu základího souboru je výběrový rozptyl (.9). Nejlepším odhadem směrodaté odchylky základího souboru je výběrová směrodatá odchylka (.37).

23 3 Základy teorie chyb 3. Náhodé chyby Vzhledem k povaze áhodých chyb můžeme a soubory aměřeých hodot pohlížet jako a soubory áhodých veliči a pro vyhodoceí měřeí a aalýzu áhodých chyb používat metody počtu pravděpodobosti a metody matematické statistiky, tj. používat pozatky, ke kterým jsme dospěli v kapitole. Náhodou chybu hodoty x veličiy X budeme ozačovat k(x), relativí áhodou chybu k r (x). Úkolem tohoto odstavce je staovit postup, kterým ze souboru hodot aměřeých za stejých podmíek určíme ejpravděpodobější hodotu veličiy a velikost áhodé chyby tohoto výsledku. Budeme přitom předpokládat, že aměřeé hodoty představují áhodý výběr ze základího souboru a že rozděleí áhodých hodot v tomto souboru se blíží ormálímu Gaussovu rozděleí. Teto předpoklad je v souhlase s pozatky z praxe o áhodých chybách měřících přístrojů. Mají-li se dobře popisovat a hodotit áhodé chyby, měly by být zámy hodoty charakteristik základího souboru. Obvykle se ovšem v laboratorí praxi pracuje se soubory aměřeých hodot, jejichž rozsah je podstatě meší ež je rozsah základího souboru. Nezbývá tedy ic jiého, ež charakteristiky áhodých chyb odhadovat z áhodého výběru. Tím se získávají je výběrové charakteristiky a podle ich se pak čií závěry o vlastostech áhodých chyb. Při těchto odhadech využijeme pozatky uvedeé v odstavci.5. Předpokládejme, že opakovaým měřeím za stejých podmíek jsme získali soubor hodot x i = x, x,... x. Prvím úkolem je získat ejsprávější odhad skutečé hodoty měřeé veličiy. Za předpokladu, že áš soubor představuje áhodý evychýleý výběr ze základího souboru, abízí se možost považovat za ejsprávější tu hodotu, která se v souboru ejčastěji opakuje. Odpovídá ji maximum v ormálím Gaussově rozděleí. Z matematického vyjádřeí tohoto rozděleí lze dokázat, že ejsprávějším odhadem skutečé hodoty je aritmetický průměr x ze všech aměřeých hodot x i, který jsme v odstavci.5 ozačili jako výběrový průměr (.8): x i x = = i. (3.) Dokázat lze i tvrzeí, že čím větší je počet měřeí, tím více se hodota aritmetického průměru přiblíží ke skutečé hodotě měřeé veličiy. Velikost áhodé chyby zřejmě souvisí s tím, jak jsou jedotlivé aměřeé hodoty x i rozptýley okolo hodoty aritmetického průměru x. Je zřejmé, že čím přesějším měřidlem budeme popisovaé měřeí délky provádět, tím méě budou aměřeé hodoty rozptýley kolem hodoty aritmetického průměru a křivka rozděleí bude štíhlejší. Proto je základem pro kvatitativí vyjádřeí velikosti áhodé chyby ejlepší odhad směrodaté odchylky základího souboru (.37), který v tomto případě azýváme směrodatá odchylka s(x) jedoho měřeí veličiy x, a která je daá vztahem 3

24 ( ) s x = i= ( x xi ). (3.). Z hlediska dosažeí vyšší přesosti odhadu skutečé hodoty měřeé veličiy je výhodější využít skutečosti, že opakovaá měřeí budeme vyhodocovat pomocí aritmetického průměru a proto pro vyčísleí áhodé chyby použijeme ejlepší odhad směrodaté odchylky výběrového průměru (.38), který ozačíme jako směrodatou odchylku aritmetického průměru s ( x ), a kterou počítáme ze vztahu ( ) s x = i= ( x xi ) ( ). (3.3) Pro staoveí velikosti áhodé chyby se jako ejjedodušší možost jeví prohlásit za s x. Abychom posoudili praktický výzam takového kroku, áhodou chybu s(x), resp. ( ) vraťme se k obr..3. Jedoduchou itegrací fukce (.7) lze ukázat, že plocha pod µ σ, µ + σ představuje asi 68% z celkové křivkou ormálího rozděleí v itervalech ( ) plochy pod touto křivkou. Pak pro dostatečě velká platí, že ( i ( )) i ( ) ( ) 0,68 P x s x < x < x + s x =, (3.4) eboli že pravděpodobost, že skutečá hodota x měřeé veličiy leží v itervalu ( xi s ( x), xi s ( x) ) + (3.5) je 68 %, resp. že riziko, že správá hodota leží mimo teto iterval je 3 %. Obdobé tvrzeí platí pro iterval okolo hodoty aritmetického průměru (3.6) ( x s ( x ), x s ( x )) +, který je ovšem užší, protože platí vztah ( ) s x ( ) s x =. (3.7) V řadě případů však je riziko 3% toho, že skutečá hodota měřeé veličiy leží mimo iterval daý (3.5) ebo (3.6) epřijatelě velké a iterval je proto uté ějakým defiovaým způsobem rozšířit. Pokud je splě předpoklad o dostatečě velkém počtu 4

25 měřeí (v praxi stačí 50 ), můžeme k tomu využít vlastostí ormálího rozděleí. Jedoduše lze odvodit, že pro dvakrát rozšířeý iterval okolo aritmetického průměru x přibližě platí ( ( )) ( ) ( ) P x s x x x + s x = 0,95, (3.8) tj. riziko, že skutečá hodota x měřeé veličiy leží vě dvakrát rozšířeého itervalu je 5%. Podobě lze ukázat, že pro třikrát rozšířeý iterval toto riziko klesá a 0,7 %. Závislost pravděpodobosti P a šířce itervalu je zobrazea v grafu obr. 3.. f (x) µ µ 3σ µ σ µ σ µ+σ µ+σ µ+3σ x Obr. 3.: Výzam parametru σ v ormálím rozděleí Ve velké většiě případů ovšem předpoklad o dostatečě velkém počtu měřeí splě eí a avíc se v laboratorí a techické praxi vyžadují jié hodoty rizika, ež poskytují uvedeé příklady. Matematická statistika studovala zákoitosti výběrových charakteristik a s využitím rozděleí χ a Studetova rozděleí byly odvozey koeficiety t, α, které jsou fukcí počtu měřeí a staoveého rizika α. Pomocí koeficietů t, α, které se azývají Studetovy koeficiety, můžeme staovit iterval spolehlivosti (kofidečí iterval): (( x t, α s ( x )),( x t, α s ( x ))) +. (3.9) Jestliže máme k dispozici opakovaých měřeí a vypočítáme jejich aritmetický průměr x podle vztahu (3.) a směrodatou odchylku aritmetického průměru s x podle vztahu (3.3), leží skutečá hodota x s pravděpodobostí P = α ( ) v itervalu (3.9). V tabulce Tab. 3. uvádíme Studetovy koeficiety pro v praxi ejobvyklejší případy, tj. počet měřeí od 3 do 0 a obvykle voleá rizika 5%, resp. %. 5

26 počet měřeí riziko 5% t,5% riziko % t,% Veličia ,30 3,8,78,57,45,37,3,6,5,09 9,9 5,84 4,60 4,03 3,7 3,50 3,36 3,5,98,86 Tab. 3. ( ) ( ) k x = t s x (3.0), α. je áhodá chyba aritmetického průměru x a azýváme ji krají chyba. Jedotka X veličiy X. krají chyby je stejá, jako jedotka [ ] Aalogicky platí, že krají chyba libovolé hodoty x i je dáa vztahem ( ) ( ) k x = t s x. (3.) i, α. Postup při staoveí áhodé chyby opakovaých měřeí. Opakovaým měřeím za stejých podmíek získáme hodot x i.. Ze vztahu (3.) určíme aritmetický průměr x. 3. Ze vztahu (3.3) určíme výběrovou směrodatou odchylku s ( x ) tohoto aritmetického průměru. 4. V tabulce Tab. 3. ajdeme odpovídající hodotu Studetova koeficietu t, α. 5. Určíme hodotu krají chyby aritmetického průměru k ( x ) = t, α. s ( x ). 6. Výsledek zapíšeme ve tvaru x = x ± k ( x ) X. ( ) [ ] Příklad Mikrometrem, a ěmž je možo spolehlivě odečítat údaj a 0,0 mm, bylo za stejých podmíek provedeo 0 měřeí délky tyčky z plexiskla. Byly aměřey tyto hodoty: i ,4 3,7 3,3 3,8 3,5 3,8 3,3 3,9 3,7 3,6 x i [ mm] 6

27 . Aritmetický průměr aměřeých hodot je x = 3,69 mm. s x = 0,086 mm.. Výběrová směrodatá odchylka aritmetického průměru je ( ) 3. Pro počet měřeí = 0 a zvoleé riziko α = 5 % je Studetův koeficiet t 0, 5% =,6. k x = 0,086 mm. 4. Hodota krají chyby je aritmetického průměru je ( ) 5. Výsledek měřeí: x = ( 3,69 ± 0,09 ) mm. Pozámka Hodotu chyby uvádíme aejvýš a dvě platé cifry, tj. do výsledku měřeí zapisujeme hodotu krají chyby vypočítaou ze vztahu (3.0) zaokrouhleou podle tohoto pravidla. Hodotu výsledku měřeí zaokrouhlujeme tak, aby posledí platá cifra výsledku byla a stejém desetiém místě, jako posledí platá cifra chyby. Kotrolí otázky. Pro soubor áhodých hodot z příkladu. a str. 7 určete velikost krají chyby aritmetického průměru pro riziko α = %.. Napětí a rezistoru, kterým protéká proud, kolísá v důsledku áhodých změ jeho odporu. Měřeím byly zjištěy tyto hodoty apětí: i U[ V ] 0,53 0,58 0,533 0,56 0,59 Určete ejpravděpodobější hodotu apětí U a její krají chybu k ( U ) pro riziko a ) α = 5%, b) α = %. 7

28 3. Systematické chyby Systematické chyby souvisejí obvykle s použitou metodu či měřícími přístroji ebo se samotým pozorovatelem. Říkáme, že jsou způsobey kotrolovatelými vlivy. Příklad: V případě vážeí a rovorameých vahách může systematickou chybu způsobovat odchylka od rovorameosti vah, odchylka v hmotosti závaží, ezapočítaá oprava a rozdíl vztlaku závaží a předmětu ve vzduchu apod. Vziklé systematické chyby zkreslují výsledek při opakovaém měřeí koaém za stejých podmíek vždy stejým způsobem, tj. buď výsledek stále zvětšují ebo stále zmešují. Teoreticky lze kotrolovatelé vlivy zjistit a ohodotit pomocí přesějších přístrojů, evetuálě korekčí metody, a proto by v pricipu bylo možé systematické chyby vyloučit. V praxi je teto požadavek těžko uskutečitelý a velikost chyb se sažíme alespoň přibližě odhadout. Systematickou chybu hodoty x ozačujeme m(x). Tato absolutí chyba má často charakter maximálí chyby. Její výzam je takový, že chyba, které se při měřeí m x. V hodoty x skutečě dopustíme, je vždy meší ebo ejvýš rova chybě ( ) ěkterých případech je výhodější pracovat s relativí systematickou chybou m r (x) měřeé hodoty. Hlaví zdroje systematických chyb jsou: a) omezeá přesost přístrojů Její příčiu je třeba hledat v edokoalém a e zcela přesém provedeí měřicích přístrojů. Typickým příkladem může být edokoalost a epřesost stupic. Tyto chyby by bylo možo odstrait ebo alespoň podstatě zmešit použitím dokoalejších zařízeí, ale v praxi by používáí velmi přesých přístrojů bylo často ákladé a těžko realizovatelé. Proto se sažíme v ěkterých případech dosáhout větší přesosti, a tím zmešeí systematické chyby, kalibrací přístroje před měřeím. Kalibrace spočívá v porováí údajů přístroje s údaji podstatě přesějšího měřidla a výsledkem je staoveí hodoty korekčího faktoru či korekčí křivky, pomocí kterých aměřeé hodoty opravujeme. Příklad: Mohrovými vážkami byla při teplotě 0 O C aměřea hustota vody s = 997 kg.m -3. Tabulková hodota hustoty vody při této teplotě, což je hodota aměřeá přesějším měřeím, je s = 998,05 kg.m -3. Opravý koeficiet k, kterým musíme ásobit každou hodotu hustoty aměřeou těmito vážkami, je dá vztahem s k =. s V ašem případě k =,00. Pro ěkteré sériově vyráběé přístroje výrobce udává jejich ejvětší přípustou (maximálí) chybu m(x). Tak zaručuje, že hodota veličiy x aměřeá přístrojem 8

29 bude v celém jeho rozsahu mít chybu zpravidla meší, ale aejvýš rovou maximálí chybě. Maximálí chyba je elektrické ukazovací (ručkové, aalogové) měřicí přístroje výrobcem udáváa pomocí třídy přesosti T p. Údaj o třídě přesosti je obvykle uvede v pravém dolím rohu pod stupicí přístroje a to ve formě číslice umístěé ad začkou udávající, je-li přístroj urče pro střídavý ebo stejosměrý proud. Podle platé ormy je třída přesosti číslo z řady 0,; 0,; 0,5; ;,5;,5; 5. Největší přípustou chybu aměřeé hodoty lze pak staovit ze vztahu =, (3.) 00 p ( ) T xmax m x kde x max je rozsah přístroje. Největší přípustá chyba je stejá, ať měříme v kterékoliv části rozsahu, zatímco relativí chyba je tím větší, čím meší je měřeá hodota vzhledem k maximálí hodotě v rozsahu. Proto se s elektrickými měřicími přístroji sažíme měřit tak, aby výchylka byla pokud možo ve třetí třetiě rozsahu. Měříme-li hodotu právě rovou hodotě rozsahu, je relativí chyba měřeé hodoty ejmeší, a je právě rova třídě přesosti vyjádřeé v procetech. Příklad: Měříme s voltmetrem třídy přesosti T p = 0,5 a rozsahu 0-30 V. Naměřeé hodoty apětí jsou U = 5 V, U = 30 V. Maximálí chyby vyplývající z třídy přesosti jsou pro obě aměřeé hodoty stejé, protože byly měřey a jedom rozsahu a jejich velikosti vypočteme ze vztahu (3.) m( U ) = m( U ) = 0,0. 0,5. 30 = 0,5 V. Relativí chyby r ( ) ( ) m U = 0,5 / 5 = 0,0, m U = 0,5 / 30 = 0,005. r Hodotu apětí 5 V měříme s relativí chybou %, hodotu 30 V, která je maximálí hodotou rozsahu 0-30 V, měříme s relativí chybou 0,5 %, která je číselě rova třídě přesosti. U číslicových (digitálích) elektrických měřicích přístrojů má chyba dvě složky: základí chyba je chyba přístroje při měřeí v referečích podmíkách (obvykle teplota, vlhkost vzduchu apod.) staoveých výrobcem přístroje a přídavá chyba je chyba vzikající při edodržeí referečích podmíek. V laboratorích podmíkách se obvykle uplatňuje je základí chyba. Základí chyba číslicových voltmetrů a číslicových multimetrů se vyjadřuje dvěma způsoby a chyba se skládá ze dvou složek. Prví způsob určeí základí chyby: chybou m r (x) v procetech měřeé hodoty x a chybou m / r(x) v procetech rozsahu (maximálí hodoty rozsahu). Druhý způsob určeí základí chyby: chybou m r (x) v procetech měřeé hodoty x a počtem kvatizačích kroků N, což je počet jediček (digitů) ejižšího místa číslicového zobrazovače a zvoleém rozsahu. Předem je třeba zjistit z rozsahu a počtu míst jeho zobrazovače, jaká hodota měřeé veličiy odpovídá digitu. Teto tvar 9

30 vyjádřeí přesosti se používá zejméa v zahraičí literatuře, kde údaj přesosti má apř. tvar ± 0, 0% rdg. ± digits, kde zkratka rdg.(readig) zameá čteá (měřeá) hodota. Příklad: Dva číslicové voltmetry s maximálím údajem 9999 jsou použity a rozsahu 0-0 V a měřeý údaj je v obou případech 5,000V. Jejich chyby jsou specifikováy ásledově: pro prví voltmetr: 0,0 % čteí + 0,0 % rozsahu, pro druhý voltmetr: 0,0 % čteí + kvatovací kroky (ebo 0,0% rdg.+ digits). Pro prví voltmetr je maximálí chyba měřeé hodoty m(u) = V V =,5 mv. Pro druhý voltmetr je maximálí chyba měřeé hodoty m(u) = V V=,5 mv. Jestliže výrobce eudává iformace o přesosti měřidla, musíme sami chybu měřidla odhadout. Obvykle chybu m x odhadujeme tak, že ji položíme rovu části ejmešího dílku a stupici přístroje, kterou jsme schopi ještě rozlišit. Zpravidla to bývá / ejmešího dílku ebo celý dílek. Teto způsob určeí chyby m(x) souvisí s tím, že optimálí hodota ejmešího dílku stupice by měla být výrobcem staovea tak, abychom mohli a stupici odečítat hodoty aměřeé veličiy v souladu s citlivostí a přesostí daého přístroje ebo měřidla. Takto odhadutou chybu čteí považujeme za ejvětší přípustou chybu m(x) a opět ji používáme k vyjádřeí systematické chyby a eurčitosti. Hodoty maximálích chyb pro ejčastěji užívaá měřidla jsou v Tab.3.. b) použitá metoda Systematická chyba vziká epřesostí, edokoalostí ebo evhodostí použitého způsobu měřeí. Například při vážeí a vzduchu vziká systematická chyba určeé hmotosti jako důsledek ezapočteí růzého vztlaku působícího a závaží a vážeý předmět, jestliže mají rozdílé objemy. Tyto chyby lze odstrait ebo potlačit buď změou metody ebo vyloučeím chyby výpočtem (oprava a vztlak). měřidlo m(x) váhy praktikatské (0,0-0,) g váhy aalytické (0,0-0,00)g měřítko pásové (0,5 - ) mm měřítko posuvé 0, mm mikrometr 0,0 mm stopky mechaické 0,3 s teploměry (0,5 - ) ejmeší dílek Tab. 3. c) osobí chyby Jedotliví pozorovatelé se obvykle dopouštějí chyb, které souvisejí s růzou smyslovou koordiací a jsou pro ě charakteristické. Uplatňují se apř. při měřeí časových itervalů, odečtu při zrcátkové metodě apod. Lze je vyloučit tím, že subjektiví měřeí 30

31 ahradíme objektivím, apř. časový iterval měříme místo stopek pomocí čidla spojeého s počítačem. Chyby z uvedeých zdrojů se skládají do výsledé systematické chyby. Způsob skládáí závisí a kokrétím měřeí a elze jej zcela zobecit. Často chyba z jedoho zdroje svoji velikostí řádově převyšuje chyby z ostatích zdrojů a ty můžeme zaedbat. Pokud jsou velikosti systematických chyb z růzých zdrojů řádově stejé, lze s dobrou přesostí považovat za výsledou systematickou chybu jejich součet. V moha případech, zvláště při složitějších měřeích, elze dostatečě určit a ohodotit zdroje systematických chyb, které se podílejí a epřesosti výsledku, a elze proto provést přesé oceěí systematických chyb. Vždy se však sažíme alespoň o řádový odhad systematické chyby. Systematické chyby mohou mít ěkolik růzých zdrojů: edokoalost měřicího přístroje, chybu metody, osobí chyby, případě chyby způsobeé dalšími vlivy. Chybu způsobeou edokoalostí měřicího přístroje obvykle udává výrobce přístroje. U aalogových (ručkových) přístrojů chybu charakterizuje třída přesosti, u digitálích přístrojů má chyba dvě složky a její základí hodotu určujeme postupem popsaým a str. 5. Chybí-li údaj o přesosti přístroje, určujeme chybu odhadem (z ejmešího dílku stupice apod.). Chybu metody charakterizujeme aditivím ebo multiplikativím faktorem, kterým korigujeme výsledek měřeí. Chybu osobí započítáváme do výsledé systematické chyby. Kotrolí otázky. Voltmetrem s třídou přesosti T p = 0,5 a rozsahem 0 V byl aměřeo apětí U = 80 V. Určete systematickou chybu m(u) a relativí systematickou chybu m r (U) tohoto údaje.. Digitálí ampérmetr s maximálím údajem 9999 byl použit k měřeí a rozsahu,0000 A a měřeý údaj byl I = 0,000 A. Chybu přístroje udává výrobce ve tvaru: 0, % čteí + digity. Určete systematickou chybu toho údaje. 3. Příko cca 400 W má být měře wattmetrem s rozsahem 500 W. Jaká může být maximálě třída přesosti wattmetru, aby relativí chyba údaje epřesáhla,5 %? 3

32 3.3 Úplá chyba Výsledkem hodoceí přesosti určovaé veličiy x by mělo být staoveí úplé chyby měřeí e(x), která, jak jsme zatím kostatovali, je složea ze systematické a áhodé chyby. Systematickou chybu veličiy jsme v odstavci 3. ozačili m(x) a uvedli jsme způsoby jejího staoveí. Náhodou chybu veličiy při opakovaém měřeí jsme s x, v odstavci 3. charakterizovali směrodatou odchylkou aritmetického průměru ( ) obvykle ale krají chybou k ( x ) aritmetického průměru. Úplou chybu e( x ) aritmetického průměru veličiy x měřeé opakovaě určujeme a základě zákoa hromaděí chyb ze vztahu případě z méě přesého vztahu ( ) ( ) ( ) e x = k x + m x, (3.3) e( x ) = k ( x ) + m( x). (3.4) Pro úplou chybu jedé aměřeé hodoty x i ze souboru aměřeých hodot x, x,..x veličiy x platí aalogický vztah e x = k x + m x (3.5) ( ) ( ) ( ) i Při přípravě, realizaci a vyhodoceí měřeí určité veličiy je třeba přihlédout k hlavím zdrojům chyb a posoudit, které budou mít rozhodující výzam. Ve většiě laboratorích i techických měřeí obvykle převažuje systematická chyba ad áhodou, vliv áhodé chyby je tudíž zaedbatelý a měřeí se provádí pouze jedou, ikoli e x m x. opakovaě. V takovém případě je ( ) ( ) V případě, že měříme přesým přístrojem a systematická chyba je proto velice malá, může být velikost áhodé chyby srovatelá s velikostí chyby systematické a její vliv a přesost výsledku ezaedbatelý. Podobá situace může astat i v případě použití málo přesého přístroje, kdy silé rušivé vlivy mohou způsobovat výzamé áhodé kolísáí měřeých hodot. V takových případech je třeba provést opakovaé měřeí. Čím větší s x a tudíž počet měřeí provedeme, tím podle vztahu (3.3) bude směrodatá odchylka ( ) i krají chyba k ( x ) meší. Měřeí opakujeme tolikrát, abychom sížili hodotu k ( x ) a ěkolik deseti hodoty systematické chyby m(x). Dosáheme tak potlačeí vlivu áhodé chyby. Pouze v případech, kdy hodoty systematické a áhodé chyby veličiy jsou řádově stejé, je uté uvažovat součet obou chyb podle (3.3) ebo (3.4). Příklad: Měřeí délky l předmětu bylo prováděo mikrometrem, jehož systematická chyba je m(l) = 0,0 mm. Z dvaceti aměřeých hodot délky byla krají chyba aritmetického průměru k ( l ) = 0,0 mm. Velikosti obou chyb jsou srovatelé a proto 3