UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ"

Transkript

1 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, Bro, UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková, Ph.D., Ig. Miroslav Sýkora, Ph.D. orgaizace : ČVUT v Praze, Klokerův ústav tel.: , fax: , Aotace Prohlídka může azačit potřebu ověřeí spolehlivosti mostí kostrukce. Příspěvek se zaměřuje a porováí metod statistického hodoceí zkoušek podle evropských i meziárodích orem. V obvyklých případech se doporučuje využít postupy podle ČSN EN 990. Při staoveí materiálové vlastosti lze doporučit provedeí alespoň 6 zkoušek. Úvod Mostí prohlídka může azačit potřebu podrobého ověřeí spolehlivosti mostí kostrukce. Vzhledem k ejistotám o vlastostech materiálů a zatížeích existujících mostů může být důležitou součástí tohoto ověřeí staoveí skutečých hodot základích veliči (apř. pevosti betou) a základě zkoušek. Nedestruktiví i destruktiví zkoušky se při prohlídkách a ověřováí uplatí především při odhadu charakteristických hodot. Statistické postupy hodoceí a základě zkoušek uvádí příloha D ormy ČSN EN 990 [], ČSN ISO 3822 [2], ISO 249 [3] i ČSN ISO 2394 [4]. Vybraé pokyy těchto orem dále podroběji vysvětlují a rozšiřují ové techické podmíky Miisterstva dopravy ČR pro ověřováí existujících betoových mostů pozemích komuikací [5], které se pláují vydat v roce 200. Příspěvek se zaměřuje a porováí metod statistického hodoceí zkoušek podle evropských i meziárodích orem. Uvádí také doporučeí pro miimálí počet vzorků. 2 Obecé zásady statistického hodoceí zkoušek Při hodoceí výsledků zkoušek se má porovat chováí zkušebích vzorků a způsoby porušeí s teoretickými předpoklady. Případou výzamou odchylku od předpokladů je potřebé vysvětlit apř. prostředictvím doplňujících zkoušek ebo změou teoretického modelu. Podle přílohy D ormy ČSN EN 990 [] se výsledky zkoušek mají hodotit a základě statistických metod s využitím dostupých zalostí o typu rozděleí a jeho příslušých parametrech. Metody uvedeé v příloze D se mají použít pouze při splěí ásledujících podmíek: - statistické údaje (včetě apriorích iformací) jsou převzaty ze zámých základích souborů, které jsou dostatečě homogeí, a - je k dispozici dostatečý počet pozorováí. Rozlišují se tři hlaví kategorie hodoceí výsledků zkoušek: - pokud se provádí pouze jeda zkouška (ebo velmi málo zkoušek), eí možé klasické statistické hodoceí. Za předpokladu, že se použijí rozsáhlé apriorí iformace spojeé s hypotézou o relativích stupích důležitosti těchto iformací a výsledků zkoušek, lze hodoceí pojmout jako statistické (hodoceí s využitím tzv. Bayesovských postupů), - pokud se pro odhad vlastosti provádí řada zkoušek, je možé klasické statistické hodoceí. Pro běžé případy uvádí příloha D ČSN EN 990 [] příklady. I v tomto

2 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, Bro, postupu je však možé využít apriorí (předchozí) iformace o vlastosti, v běžých případech to však bude méě potřebé ež v předchozím případu, - pokud se z důvodu kalibrace modelu a s ím spojeým jedím ebo více parametry provádí řada zkoušek, je možé klasické statistické hodoceí. Výsledek hodoceí zkoušky se má považovat za platý pouze pro charakteristiky zatížeí uvažovaé při zkouškách. Pokud se výsledky extrapolují tak, aby se pokryly další ávrhové parametry a zatížeí, mají se použít doplňující iformace z předchozích zkoušek ebo iformace založeé a teoretickém podkladu. 3 Staoveí charakteristické hodoty materiálové vlastosti 3. Předpovědí metoda podle ČSN EN 990 Příloha D ČSN EN 990 [] poskytuje obecé pokyy pro hodoceí jedé ezávislé vlastosti X, která může představovat: - odolost výrobku, - vlastost, která přispívá k odolosti prvku. Příspěvek se zaměřuje a důležitou praktickou úlohu, kdy se hodotí jeda ezávislá vlastost přispívající k odolosti (apř. pevost betou v tlaku, mez kluzu výztuže apod.). Má se staovit její charakteristická hodota defiovaá jako 5% kvatil. Důležitý pojem kvatil áhodé veličiy se podrobě popisuje v příručce [6] ebo ve skriptech [7]. Vztahy uvedeé v příloze D ČSN EN 990 [] vycházejí z předpokladu, že vyšetřovaá veličia má ormálí ebo logormálí rozděleí. Přijetí logormálího rozděleí, viz apř. příručku [6] ebo skripta [7], má tu výhodu, že a rozdíl od ormálího rozděleí se vyloučí výskyt záporých hodot. Dále se předpokládá, že eexistuje apriorí zalost průměru vlastosti X. Výběrový průměr m se staoví z výsledků zkoušek x i podle vztahu: m = x i i= () Pro zjedodušeí začeí se v příspěvku vyechávají idexy X (apř. se používá m místo m X ). Rozlišují se dva případy: - případ V ezámý, kdy eexistuje apriorí zalost variačího koeficietu, - případ V zámý, kdy je variačí koeficiet zám. V případě V ezámý se variačí koeficiet odhade výběrovým variačím koeficietem: V = s / m (2) kde s je výběrová směrodatá odchylka: s= - ( x i m) i= 2 (3) Ukazuje se, že často může být výhodější použít případ V zámý spolu s kozervativím horím odhadem V, ež aplikovat pravidla uvedeá pro případ V ezámý. Pokud je V ezámý a odhaduje se výběrovým variačím koeficietem, emá se uvažovat hodota meší ež 0,0. 2

3 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, Bro, Tab. Hodoty součiitele k pro 5% kvatil V zámý 2,3 2,0,89,83,80,77,74,72,68,67,64 V ezámý 3,37 2,63 2,33 2,8 2,00,92,76,73,64 V souladu s přílohou D ormy ČSN EN 990 [] (viz ale také příručku [8] ebo dokumety ISO 249 [3] a ISO 2394 [4]) může být charakteristická hodota vlastosti x k staovea z výsledků zkoušek předpovědí metodou: x k = m( k V) (4) kde k ozačuje součiitel z Tab. závislý a počtu zkoušek, pravděpodobosti p, které odpovídá hledaý kvatil, a obecě také a šikmosti základího souboru α (pro ormálí rozděleí je však α = 0). Pozameejme, že zatímco orma ISO 249 [3] ozačuje postup podle vztahu (4) s uvážeím součiitelů k v Tab. jako předpovědí metodu, ČSN EN 990 [] používá termí Bayesovský postup s vágím apriorím rozděleím. Charakteristická hodota x k daá vztahem (4) může být podle ČSN EN 990 [] dále ovlivěa ávrhovou hodotou převodího součiitele η d, který se použije apř. pro převod pevosti betou získaé z jádrových vývrtů a pevost z ormových těles. V příspěvku se převodí součiitel pro zjedodušeí euvažuje. Koeficiet k uvedeý v Tab. pro zámý variačí koeficiet V se určí ze vztahu: k = -u 0,05 ( + /) 0,5 (5) kde u 0,05 je kvatil ormovaé ormálí veličiy odpovídající pravděpodobosti 0,05. V případě, že variačí koeficiet V je ezámý, použije se výběrový variačí koeficiet (2) a součiitel k se staoví v souladu s ISO 249 [3] jako: k = -t 0,05 (ν) ( + /) 0,5 (6) kde t 0,05 je kvatil Studetova t-rozděleí pro ν = - stupňů volosti, odpovídající pravděpodobosti 0,05. Studetovo t-rozděleí je popsáo apř. ve skriptech [7]. V příručce [8] se ukazuje, že předpovědí metoda v ČSN EN 990 [] odpovídá přibližě pokryvé metodě s kofidecí 0,75 popsaé v ISO 249 [3]. Vztahy (5) a (6) lze použít i při odhadu kvatilů odpovídajícím pravděpodobostem růzým ež 0,05, apř. pravděpodobosti 0,00 u ávrhové hodoty materiálových vlastostí. Je potřebé zdůrazit, že při hodoceí existujících kostrukcí se obvykle předpokládá statistická ezávislost výsledků zkoušek. 3.2 Bayesovský postup Podle ČSN EN 990 [] je v případě malého možství vzorků možé využít Bayesovské postupy založeé a apriorích zalostech o vyšetřovaé vlastosti. Tyto zalosti mohou být založey apř. a iformacích z předchozích prohlídek příslušého mostu uložeých v databázi, popř. a zkušeostech s chováím obdobých mostích kostrukcí. Použití Bayesovských postupů je podroběji popsáo v ormě ISO 249 [3] ebo v TP [5]. V příspěvku se dále popisuje pouze základí případ, kdy vyšetřovaá vlastost má ormálí rozděleí. Pro použití se předpokládají zalosti ásledujících parametrů: 3

4 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, Bro, - počet zkoušek (), výběrový průměr (m) a výběrová směrodatá odchylka (s), - apriorí průměr (m ), apriorí směrodatá odchylka (s ), apriorí počet měřeí pro staoveí průměru m ( ) a apriorí počet stupňů volosti s (ν ). Uvažuje se, že fukci hustoty pravděpodobosti průměru a směrodaté odchylky vyšetřovaé vlastosti μ a σ lze popsat vztahem: Π 2σ [ ] ( + ν + δ( )) 2 ( μ, σ ) = Cσ exp ν ( s ) + ( μ m ) 2 2 (7) kde C = ormalizačí kostata; δ( = 0) = 0 a δ( > 0) =. Posteriorí fukce Π ( ) je stejá jako apriorí Π ( ), ale s aktualizovaými parametry m, s, a ν podle ásledujících rovic: = + ; ν = ν + ν + δ( ); m = m + m; (8) ν s 2 + m 2 = ν s 2 + m 2 + ν s 2 + m 2 Charakteristická hodota se staoví s použitím aktualizovaých parametrů: x k = m + t 0.05 (ν ) ( + / ) 0.5 s (9) Je však potřeba zdůrazit, že esprávé apriorí iformace mohou vést ke špatým aktualizovaým modelům, a proto se při použití Bayesovských postupů doporučuje zvýšeá obezřetost. 4 Porováí postupů pro odhad pevosti betou 4. Porováí prostředictvím simulací výsledků zkoušek Jedotlivé postupy jsou porováy prostředictvím simulací výsledků zkoušek pevosti betou v tlaku. Předpokládá se, že základí soubor pevosti má ormálí rozděleí s průměrem 30 MPa a směrodatou odchylkou 5 MPa (běžé charakteristiky podle dokumetu JCSS [6]). Apriorí charakteristiky jsou: m = 30 MPa [9], = 0 (kozervativí předpoklad, JCSS [9] uvádí = 3), s = 5 MPa (opět kozervativí hodota v porováí s údaji v [9]), ν = 5 [4]. Provádí se celkem simulací souborů zkoušek každý soubor se skládá z ezávislých hodot výsledků zkoušek. Obr.. ukazuje odhad charakteristické hodoty pevosti betou f ck prostředictvím postupu podle ČSN EN 990 [] a podle Bayesovských postupů. Ukazuje se, že Bayesovské postupy je výhodé uplatit především pro malé počty zkoušek ( = 3 až 8). Pro 3 zkoušky je rozdíl mezi Bayesovskými postupy a ČSN EN 990 [] asi 4 MPa, pro 5 zkoušek asi MPa. Pro 9 a více vzorků jsou odhady prostředictvím Bayesovského postupu a ČSN EN 990 [] téměř shodé. V praxi je potřebé staovit počet zkoušek. Z Obr. je patré, že pro 9 je očekávaý rozdíl mezi odhadem z vzorků a skutečou charakteristickou hodotou meší ebo rove MPa (méě ež 5 %). Je tedy zřejmě dosažea dostatečá přesost pro praktické aplikace. Pokud se dovoluje meší přesost (0 %), je možé provést 7 zkoušek při použití postupu podle ČSN EN 990 [] a pouze 4 zkoušky při použití Bayesovských postupů. Pozameáme, že ČSN EN 990 [] uvažuje = 3 jako miimálí počet zkoušek, pokud ejsou dostupé apriorí zalosti. Obvykle se však doporučuje provést alespoň 6 zkoušek. 4

5 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, Bro, E(f ck ) v MPa EN 990 Bayesovský postup 5% kvatil ormálího rozděleí Obr. Odhady charakteristické pevosti betou v MPa v závislosti a počtu zkoušek. Tab. 2 Krychelé pevosti [MPa] 55,0 59,7 55,4 58, 60, 52, 50,4 46,4 53,5 55,3 4.2 Praktický příklad Postupy podle ČSN EN 990 [] byly využity při vyhodoceí výsledků skutečých zkoušek. Tab. 2 ukazuje krychelé pevosti získaé z 0 zkušebích vzorků. Podle vztahů () až (3) je výběrový průměr 54,60 MPa, směrodatá odchylka 4,244 MPa a variačí koeficiet 0,078. Podle ČSN EN 990 [] se pro ezámý variačí koeficiet a 0 zkoušek ejprve staoví z Tab. součiitel k =,92. Za předpokladu ormálího rozděleí se ásledě odhade charakteristická hodota podle vztahu (4). V tomto případě se uplatí zásada, že ezámý variačí koeficiet odhadovaý výběrovým variačím koeficietem V = 0,078 emá být meší ež 0,: f ck = m( k V) = 54,60 ( -,92 0,) = 44, MPa () 5 Charakteristické hodoty vlastí tíhy staoveé a základě zkoušek Důležitou součástí ověřováí spolehlivosti mostí kostrukce může být také staoveí skutečé hodoty stálého zatížeí. Při určováí zatížeí působících a existující kostrukci se musí podle ČSN ISO 3822 [2] přihlédout ke skutečému provedeí a stavu kostrukce a k jejím zamýšleým změám. V případě, že eí k dispozici původí dokumetace aebo elze z původí dokumetace spolehlivě určit druh, uspořádáí a velikost působících zatížeí, zjišťují se tato zatížeí šetřeím a místě. Charakteristické hodoty stálých zatížeí lze určit experimetálě z výsledků šetřeí a provedeých zkoušek s využitím statistických metod. Z výsledku šetřeí vzorků g, g 2,, g se postupě staoví odhad průměru m G a směrodaté odchylky s G (podle vztahů () a (3)) a charakteristická hodota G k stálého zatížeí: G k = m G ± k s G (2) Součiitel k v Tab. 3 je podobě jako u materiálové vlastosti závislý a počtu odebraých vzorků. Ve vztahu pro G k se uvažuje zaméko "plus", pokud působí stálé zatížeí epřízivě, a zaméko "mius", pokud působí přízivě. 5

6 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, Bro, Tab. 3. Součiitel k pro staoveí charakteristické hodoty stálého zatížeí a základě počtu odebraých vzorků. Počet vzorků Součiitel k Počet vzorků Součiitel k 5 0,69 5 0,35 6 0, ,30 7 0, ,26 8 0, ,24 9 0, ,2 2 0,39 >50 0,8 Pro mezilehlé hodoty počtu vzorků se součiitel k staoví lieárí iterpolací. Součiitel k je urče za předpokladu ormálího rozděleí stálého zatížeí. ČSN ISO 3822 [2] doporučuje odběr alespoň 5 vzorků. Při meším počtu vzorků ež 5 je účelé staoveou směrodatou odchylku s G porovat s předchozími výsledky. V těchto případech však většiou elze přímo použít statistické hodoceí a lze uvažovat, že charakteristická hodota musí být při epřízivém účiku stálého zatížeí ejméě rova ejvyšší zjištěé hodotě (při přízivém účiku stálého zatížeí ejvýše rova zjištěé hodotě). 6 Závěrečé pozámky Odhad charakteristických hodot pevosti materiálů, odolosti ebo zatížeí a základě zkoušek může být důležitou součástí ověřováí spolehlivosti existujících mostů. Doporučuje se využít statistické postupy uvedeé v ČSN EN 990 []; v případě ověřeých apriorích zalostí o vyšetřovaé veličiě je možé také použít Bayesovské postupy. Ukazuje se, že Bayesovské postupy je výhodé uplatit především pro malé počty zkoušek. Při použití Bayesovských postupů se však doporučuje zvýšeá obezřetost, protože esprávé apriorí iformace mohou vést k evhodým posteriorím modelům, a tedy k esprávému staoveí charakteristické hodoty. Pro praktické aplikace lze doporučit při staoveí materiálové vlastosti provedeí alespoň 6 zkoušek, při staoveí stálého zatížeí alespoň 5 zkoušek. Příspěvek byl vypracová v rámci řešeí projektu Rozvoj metod hodoceí spolehlivosti existujících mostů pozemích komuikací č. F82C/072/90 podporovaého MD ČR. Literatura [] ČSN EN 990 Eurokód: Zásady avrhováí kostrukcí, [2] ČSN ISO 3822 Zásady avrhováí kostrukcí Hodoceí existujících kostrukcí, [3] ISO 249 Statistical methods for durability cotrol of buildig materials ad compoets, 997. [4] ČSN ISO 2394 Obecé zásady spolehlivosti kostrukcí, 2003 [5] TP Ověřováí betoových mostů pozemích komuikací, pracoví ávrh říje 2009, pláovaé vydáí v roce 200 [6] HOLICKÝ, M. a další. Příručka pro hodoceí existujících kostrukcí. ČVUT, < [7] HOLICKÝ, M. MARKOVÁ, J. Základy teorie spolehlivost a hodoceí rizik. ČVUT, [8] GULVANESSIAN, H. HOLICKÝ, M. Desigers' Hadbook to Eurocode. Lodo: Thomas Telford, 996. [9] Probabilistic Model Code. JCSS, 200. < 6

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Hooceí vlastostí ateriálů pole ČSN EN 1990, přílohy D Mila Holický Klokerův ústav ČVUT v Praze 1. Úvo 2. Kvatil áhoé veličiy 3. Hooceí jeé veličiy 4. Hooceí oelu 5. Příklay - poůcky ECEL Obecé zásay statistického

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

STATISTICKÉ HODNOCENÍ ZKOUŠEK MATERIÁLOVÝCH VLASTNOSTÍ

STATISTICKÉ HODNOCENÍ ZKOUŠEK MATERIÁLOVÝCH VLASTNOSTÍ STATISTICKÉ HODNOCENÍ ZKOUŠEK MATERIÁLOVÝCH VLASTNOSTÍ Prof. Ing. Milan Holický, PhD., DrSc., Ing. Karel Jung, Ing. Miroslav Sýkora, Ph.D. České vysoké učení technické v Praze, Kloknerův ústav, Šolínova

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Ing. Pavel Hánek, Ph.D. Náčrt

Ing. Pavel Hánek, Ph.D. Náčrt Ig. Pavel Háek, Ph.D. haek00@zf.jcu.cz jedoduché metody pro měřeí polohopisu ortogoálí metoda měří se staičeí a kolmice, pravý úhel se realizuje s využitím petagou, délky se měří pásmem kostrukčí oměré

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

523/2006 Sb. VYHLÁŠKA

523/2006 Sb. VYHLÁŠKA 523/2006 Sb. VYHLÁŠKA ze de 21. listopadu 2006, kterou se staoví mezí hodoty hlukových ukazatelů, jejich výpočet, základí požadavky a obsah strategických hlukových map a akčích pláů a podmíky účasti veřejosti

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Vliv tváření za studena na pevnostní charakteristiky korozivzdorných ocelí Ing. Jan Mařík

Vliv tváření za studena na pevnostní charakteristiky korozivzdorných ocelí Ing. Jan Mařík stavebí obzor 9 10/2014 125 Vliv tvářeí za studea a pevostí charakteristiky korozivzdorých ocelí Ig. Ja Mařík Ig. Michal Jadera, Ph.D. ČVUT v Praze Fakulta stavebí Čláek uvádí výsledky tahových zkoušek

Více

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národí iformačí středisko pro podpor jakosti Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie,

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Miroslav Sýkora Kloknerův ústav, ČVUT v Praze 1. Úvod 2. Kvantil náhodné veličiny 3. Hodnocení jedné veličiny 4. Hodnocení modelu 5. Příklady

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Předmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE

Předmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE Přdmět: SM 0 ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE doc. Ig. Michl POLÁK, CSc. Fkult stvbí, ČVUT v Prz ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE: KOSTRUKCE JE VYTVOŘEA Z PŘÍMÝCH PRUTŮ, PRUTY JSOU AVZÁJEM POSPOJOVÁY V BODECH STYČÍCÍCH,

Více

Aktualizace modelu vlastnosti materiálu. Stanovení vlastností materiálů

Aktualizace modelu vlastnosti materiálu. Stanovení vlastností materiálů podpora zaměstnanosti Aktualizace modelu vlastnosti materiálu Pro. Ing. Milan Holický, DrSc. a Ing. Miroslav Sýkora, Ph.D. ČVUT v Praze, Kloknerův ústav Stanovení vlastností materiálů při hodnocení existujících

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měřeí kvality Služeb Dodavatel a Objedatel se dohodli a ahrazeí Přílohy C - Systém měřeí kvality Služeb Obchodích podmíek Smlouvy o službách touto Přílohou

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

K UTAHOVÁNÍ ŠROUBŮ TŘECÍCH SPOJŮ

K UTAHOVÁNÍ ŠROUBŮ TŘECÍCH SPOJŮ K UTAHOVÁNÍ ŠROUBŮ TŘECÍCH SPOJŮ F. Wald 1, Z. Sokol 1, V. Vrzba 2 a D. Gregor 1 ČVUT, Fakulta stavebí, Katedra ocelových kostrukcí, Thákurova 7, 166 29 Praha, ČR Wald@fsv.cvut.cz Sokol@fsv.cvut.cz Dalibor.Gregor@fsv.cvut.cz

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí Počítačová podpora statických výpočtů Téma: ) Dyamika stavebích kostrukcí Katedra stavebí mechaiky Fakulta stavebí, VŠB V Techická uiverzita Ostrava Rozděleí mechaiky Statika Zabývá se problematikou působeí

Více

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB 6 VĚSTNÍK MZ ČR ČÁSTKA 4 METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB Miisterstvo zdravotictví vydává podle 80 odst., písm. a)

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

Posouzení struktury strojní sestavy pomocí teorie hromadných obsluh

Posouzení struktury strojní sestavy pomocí teorie hromadných obsluh Projekt zpracová s podporou FRVŠ. Posouzeí struktury strojí sestavy pomocí teorie hromadých obsluh 1 Základí údaje Ve stavebí praxi se velmi často vyskytuje požadavek rychle a objektivě posoudit strukturu

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Cyklické namáhání, druhy cyklických namáhání, stanovení meze únavy vzorku Ing. Jaroslav Svoboda

Cyklické namáhání, druhy cyklických namáhání, stanovení meze únavy vzorku Ing. Jaroslav Svoboda Středí průmyslová škola a Vyšší odborá škola tecická Bro, Sokolská 1 Šabloa: Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Aotace: Mecaika, pružost pevost Cyklické amááí, druy

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Obsah. skentest. 1. Úvod. 2. Metoda výpočtu Základní pojmy

Obsah. skentest. 1. Úvod. 2. Metoda výpočtu Základní pojmy Obsah sketest 1. ÚVOD... 1 2. METODA VÝPOČTU... 1 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY... 1 2.2. SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY... 2 2.3. PŘÍPRAVEK... 3 2.4. POSTUP VÝPOČTU... 4 3. PROGRAM SKENTEST... 5 3.1. VSTUPNÍ SOUBOR... 5

Více

Náhodné jevy a pravděpodobnost

Náhodné jevy a pravděpodobnost Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých

Více