Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad"

Transkript

1 Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky statistiky. Z kokrétího provedeého áhodého výběru eí obtížé výběrové charakteristiky přímo vypočítat. Jsou to (s drobými odchylkami) ty, kterými jsme se učili popisovat datový soubor. Určitým problémem, ale současě i východiskem, je to, že růzých áhodých výběrů můžeme z rozděleí pravděpodobosti pořídit ekoečé možství. Každý z ich je současě jediečý a eopakovatelý, ale každý z ich v sobě současě obsahuje kousek iformace o ezámých parametrech rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy. Výběrové charakteristiky jsou áhodé veličiy a smyslem této lekce je co ejlépe pozat jejich pravděpodobostí chováí. Při tom evystačíme je s ormálím rozděleím, ale v zájmu věci musíme zavést ještě ěkolik dalších zákoů rozděleí pravděpodobosti. bodový odhad; Fisherovo edecorovo rozděleí; kozistece; kritéria výztižosti; áhodý výběr; ejlepší estraý odhad; estraost; parametr; Pearsoovo rozděleí; realizace statistiky; směrodatá chyba; statistika; tudetovo rozděleí; stupě volosti; výběrová charakteristika; výběrová relativí četost; výběrová směrodatá odchylka; výběrový protějšek; výběrový průměr; výběrový rozptyl; vydatost. Náhodý výběr a statistiky Posloupost ezávislých a stejě rozděleých áhodých veliči X,...,, X X je áhodým výběrem z rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy X o (koečém) rozsahu výběru. Při splěí podmíek výběru s opakováím jsou prvky áhodého výběru ezávislé áhodé veličiy. Náhodost výběru je zajištěa pomocí ěkteré z výběrových techik, kterým se podroběji ebudeme zabývat. Jako výběrovou techiku, zajišťující áhodost výběru, si můžeme představit apř. losováí. To, že veličiy X, X,..., X pocházejí z téhož rozděleí pravděpodobosti, má za ásledek, že všechy mají stejou středí hodotu i rozptyl E ( X ), D ( X ) (to se týká i dalších charakteristik, které ás však v tomto okamžiku ezajímají). Od charakteristik áhodé veličiy musíme striktě rozlišit charakteristiky áhodého výběru, kterým se souhrě říká statistiky (další výzam pojmu statistika!). Nejdůležitější výběrovou charakteristikou je pochopitelě výběrový průměr X. Jde o áhodou veličiu (proto ozačeí velkým písmeem), jejíž vlastosti závisí a rozsahu výběru (proto idex ). Od výběrového průměru jako áhodé veličiy musíme odlišit kokrétí číslo, hodotu realizaci, kterou tato veličia abyla pro určitý kokrétí áhodý výběr, kterou ozačíme x (tj. jako kostatu malým písmeem a bez idexu ). Podobě jako s výběrovým průměrem zacházíme i s dalšími statistikami, apř. výběrovým mediáem, výběrovým rozptylem apod. Pro účely zobecěí ozačujeme libovolou statistiku, jejíž vlastosti souvisí s rozsahem výběru, symbolem T. Ilustrativí příklad sčítáí áhodých veliči Teto příklad uvádíme proto, že při výpočtu výběrového průměru operujeme se součtem X i Na obr.. je pravděpodobostí chováí součtu ezávislých áhodých veliči demostrováo pomocí součtu rovoměrě rozděleé spojité áhodé veličiy, podobý výsledek bychom ovšem obdrželi i při sčítái jiak rozděleých áhodých veliči (dokoce i při růzém rozděleí jedotlivých sčítaců, což však eí pro áhodý výběr typické).. 6

2 Obr.. Kovergece součtu ezávislých áhodých veliči k ormálímu rozděleí f(x), p i f(x), p i f(x), p i x x x Jeda áhodá veličia má rovoměré rozděleí. oučet dvou ezávislých veliči má již tzv. trojúhelíkové rozděleí. oučet pouhých pěti veliči má již rozděleí, které je blízké ormálímu. Histogramy byly získáy tříděím 500 realizací áhodých veliči a proložey odpovídajícím rozděleím. Původí rovoměré rozděleí bylo vytvořeo počítačovou simulací. Zajímáme se o charakteristiky áhodé veličiy, vziklé jako součet jiých áhodých veliči, přičemž budeme předpokládat, že výsledá veličia koverguje k ormálímu rozděleí. Mají-li všechy sčítace stejé středí hodoty i rozptyly E ( X ), D ( X ) (což je případ áhodého výběru), pak ( X ) E( X ), D ( X ) = D ( X ). Při dostatečém počtu sčítaců můžeme psát také E i = ( X i ) = E( X ) = µ a D E X i i má tedy rozděleí [ µ ; ] N. i ) = D ( X ) = ( X. Přemýšlejte o tom, jak se chová průměrý výsledek, který hodíme při hodu rostoucím počtem hracích kostek. Při tom víme, že při hodu jedou kostkou je výsledkem hodota x :,,..., 6 s kostatí pravděpodobostí fukcí ( x) = 6 P (tzv. diskrétí rovoměré rozděleí). i. Rozděleí výběrových charakteristik tředí hodota výběrového průměru (který je součtem za těchto okolostí E( X ) = X i = E( X ) = E( X ) = µ X i., děleým rozsahem výběru ) je tředí hodota výběrového průměru (bez ohledu a ) je tedy rova středí hodotě áhodé veličiy, z jejíhož rozděleí byl výběr poříze. Variabilita výběrového průměru vyjádřeá jeho rozptylem je 7

3 D ( X D X D X i D X ) ( ) = ( ( ) ) = = = i = D( X ) a směrodatá odchylka je dáa jako D( X ) = =. měrodatá odchylka výběrové charakteristiky se azývá směrodatá chyba. rostoucím rozsahem výběru klesá směrodatá chyba výběrového průměru, čímž se zvyšuje jeho stabilita. taovte jak se musí změit rozsah výběru pokud se má směrodatá odchylka výběrového průměru (a) zdvojásobit, (b) sížit a poloviu, (c) sížit a desetiu původí hodoty. ( ) Obr.. Rozděleí výběrového průměru f(x) x Tečkovaou čarou je zázorěa hustota pravděpodobosti rozděleí, ze kterého byl výběr poříze. Přesto, že toto rozděleí se od ormálího rozděleí liší, výběrové průměry mají rozděleí, jehož hustota pravděpodobosti je symetrická zvoovitá křivka. rostoucím rozsahem výběru se poloha středí hodoty výběrového průměru eměí, zatímco jeho variabilita klesá (rozděleí se stabilizuje). Jedotlivé křivky jsou zázorěy pro rovo postupě 3, 5 a 0. Rozděleí výběrového průměru je tedy ormovaé ormálí rozděleí N [ 0; ] N µ ;( ) a ormovaá veličia. Pro veličiu U můžeme apř. apsat X µ U = má X µ P uα u α = α. Je-liα dostatečě blízké ule, je jev, že veličia pade do itervalu vymezeého oběma kvatily ormovaého ormálího rozděleí, jevem prakticky jistým. Vztah obsahuje jako ezámé µ,, všechy ostatí veličiy jsou zámé: rozsah výběru, výběrový průměr a dále kvatily, mezi imiž platí u = u, ajdeme v tabulkách. Problémem, který α budeme muset v ásledujících odstavcích vyřešit, jsou dvě ezámé v tomto výrazu a tudíž eexistece jedozačého řešeí. Náhodá veličia X má N [ 000;5 ]. jakou pravděpodobostí (přibližě) vybočí z itervalu ( 990;00)? jakou pravděpodobostí vybočí aritmetický průměr z 5 hodot této veličiy z itervalu ( 998;00)? ( ) α X µ U =, má-li U rozděleí [ 0; ] Náhodá veličia N (viz tečkovaá křivka a obr..3), má U 0 rozděleí pravděpodobosti, jehož hustota je klesající fukce (rověž a obr..3). 8

4 Obr..3 Rozděleí veličiy f(x) U a jejích součtů Při výpočtu rozptylu se setkáváme se součtem čtverců odchylek, z ichž ale je je ezávislých. Posledí ( tou) odchylku můžeme vždy vypočítat ze součtu zbývajících odchylek při využití toho, že součet všech odchylek je rove ule. Na obr..3 je tedy ještě zázorěa hustota pravděpodobosti tohoto součtu čtverců odchylek pro = 6. Takovéto rozděleí, které elze dobře aproximovat rozděleím ormálím, se azývá Pearsoovým rozděleím (rozděleím chí kvadrát); začíme ν (ý) je jediým parametrem to- χ [ ν ], kde = hoto rozděleí. Klesající hustota a obr..3 je tedy Pearsoovým rozděleím χ [ ]. Kvatily Pearsoova rozděleí jsou rověž tabelováy. Náhodá veličia ( X i X ) ( ) = má rozděleí [ ] χ. = ( Xi X ) je výběrový rozptyl. Te se od popisé formy rozptylu liší tím, že pro děleí součtu čtverců se používá místo rozsahu výběru hodota, která se azývá počet stupňů volosti. I pro výběrový rozptyl můžeme apsat χ ( ) α P χ α = α. Teto výraz obsahuje jediou ezámou veličiu, kterou je rozptyl. Vzhledem k asymetrii hustoty pravděpodobosti jsou i kvatily umístěy asymetricky (avíc mohou abýt pouze kladých hodot, protože χ 0 ) viz obr..3. zatímco apř. Vzájemý přepočet popisé a výběrové formy rozptylu je sadý, eboť = χ [ ] χ [ 5] x. =, Odhaděte, jak (apř. o kolik %) se od sebe liší popisá a výběrová forma rozptylu (směrodaté odchylky) pro = 5, 0, 30,00, 000! Nezámý parametr ve vztahu X µ U = ahradíme výběrovou směrodatou odchylkou, tj. statistikou získaou z áhodého výběru (ezámou kostatu ahrazujeme áhodou veličiou!). X µ Pak áhodá veličia, popisující rozděleí výběrového průměru t = (veličiu t i její realizace je zvykem výjimečě začit malým písmeem), má rozděleí, které se azývá tudetovo, s jediým parametrem, kterým je opět počet stupňů volosti. Toto rozděleí budeme ozačovat 9

5 [ ν ] t. Hustota pravděpodobosti tudetova rozděleí je symetrická zvoovitá křivka, která se s rostoucí hodotou parametru blíží ke Gaussově křivce pro ormovaé ormálí rozděleí. Tou se běžě ahrazuje pro > 30. Pro ízké hodoty parametru je při porováí s Gaussovou křivkou patrá ižší Obr..4 tudetovo rozděleí N [ 0;] t [ 0] t [ 5] výška vrcholu křivky v kombiaci s delšími koci rozděleí (pomalejším přibližováím obou větví křivky k ose áhodé veličiy). Hodoty odpovídajících si kvatilů jsou proto u tudetova rozděleí vzdáleější od počátku, ež je tomu u ormovaého ormálího rozděleí. tudetovo rozděleí umožňuje práci s výběry již od rozsahu > (aby bylo možo vypočítat rozptyl). Také pro tudetovu veličiu můžeme psát X µ P tα t α = α, kde α je prav- děpodobost prakticky jistého jevu. Teto výraz již obsahuje jediou ezámou µ a může tedy být využit k jejímu staoveí. Kvatily, pro které vzhledem k symetrii platí t α = t α, jsou tabelováy. Pro dva ezávislé výběry zavedeme ormovaé veličiy rozdíl, obsahující rozdíl dvou výběrových průměrů, rozděleí N [ 0;]. Náhrada ezámých parametrů U U, X µ X µ = U =. Jejich ( X X ) ( µ µ ) U = má opět +, výběrovými rozptyly, (vypočteými postupě z, stupňů volosti) evede k utosti ahradit ormovaé ormálí rozděleí tudetovým rozděleím je při extrémě velkých rozsazích výběrů,. U meších rozsahů výběrů rozlišujeme dvě možosti: () mají-li výběrové průměry sice ezámou, ale stejou variabilitu, má jejich rozdíl tudetovo rozděleí t s + stupi volosti. () mají-li výběrové průměry ezámou a avíc estejou variabilitu, má jejich rozdíl rověž tudetovo rozděleí t s vypočteým (tzv. redukovaým) počtem stupňů volosti. Pro dva ezávislé výběry můžeme zkostruovat áhodou veličiu F =, obsahující podíl dvou rozptylů. Podíl ( F > 0 slouží jak pro ozačeí áhodé veličiy, tak i jejích hodot) je áhodou veličiou s tzv. Fisherovým edecorovým rozděleím. Toto rozděleí závisí a dvojici parametrů ν = ; ν =, což jsou postupě stupě volosti pro rozptyl čitatele a jmeovatele zlomku, a vykazuje ve většiě případů silě levostraou asymetrii. Aalogicky jako v předešlých případech 0

6 můžeme pomocí dvou asymetricky položeých kvatilů F F vymezit iterval, do kterého α, α áhodá veličia padá s vysokou pravděpodobostí, blízkou jedé. Obr..5 Fisherovo edecorovo rozděleí f(f) F [ 0;5] χ [ 5] χ [ 0] tručý výtah z tabulek kvatilů ormovaého ormálího rozděleí, tudetova rozděleí t, Pearsoova rozděleí χ a Fisherova edecorova rozděleí F viz příloha tohoto modulu F Výběrová relativí četost p je áhodou veličiou se středí hodotou E ( p) = θ a rozptylem D ( p) = θ ( θ ), kde θ je jediý parametr a současě charakteristika polohy alterativího rozděleí. Při splěí podmíky p ( p) > 9 lze rozděleí výběrové relativí četosti ahradit θ ( θ ) ormálím rozděleím N θ ;, přičemž ve vzorci rozptylu ahradíme ezámý parametr θ p θ výběrovou relativí četostí p. Veličia U = má rozděleí N [ 0; ]. p( p) Další úvahy jsou pak zcela aalogické jako u rozděleí výběrového průměru. Určete, od jakého počtu micí lze relativí četost padlých líců přibližě vyjádřit pomocí ormálího rozděleí! Tutéž úvahu proveďte v případě počtu smě, je-li pravděpodobost vziku poruchy během směy p = 0,..3 Pricip bodového odhadu Nejprve formalizujeme pojem statistiky jako áhodé veličiy, která je fukcí áhodého výběru T = g( X, X,..., X ). Realizaci statistiky T její kokrétí hodotu příslušející určitému kokrétímu áhodému výběru ozačíme symbolem t. tatistika je áhodou veličiou, má svůj záko rozděleí pravděpodobosti, který je charakterizová středí hodotou E T ), rozptylem a směrodatou odchylkou (směrodatou chybou) D ( T ), D( T ). Vlastosti rozděleí statistiky T často souvisí s rozsahem výběru. měrodatá odchylka sigalizuje, jak statistika výběr od výběru kolísá a ozačujeme ji proto jako její směrodatou chybu. měrodatá chyba měří velikost áhodé chyby, které se dopustíme, pokud statistikou vypočteou z áhodého výběru ahradíme ezámý parametr rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy (apř. parametr statistikou ). Nechť X, X,..., X je áhodým výběrem o rozsahu z rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy, která má distribučí fukci F( Θ ; x), kde Θ (velké theta) je ezámý parametr (

7 tohoto rozděleí. tatistiku T azveme bodovým odhadem eboli estimátorem ezámého parametru Θ a píšeme T = estθ. Požadujeme, aby statistika byla výstižým odhadem a přiměřeě splňovala tyto vlastosti kritéria výstižosti bodového odhadu. tatistika je kozistetím odhadem ezámého parametru, pokud s rostoucím rozsahem výběru klesá pravděpodobost, že se při odhadu dopustíme velké chyby. Kozistetí odhad splňuje lim P ( T Θ > ε ) = 0 pro libovolé ε > 0. Populárě lze říci, že kozistece odhadu zameá zhodoceí většího rozsahu výběru tím, že pravděpodobost hrubé chyby při odhadu klesá (říkáme, že koverguje podle pravděpodobosti k ule). tatistika je estraým odhadem ezámého parametru, platí-li E ( T ) = Θ. Populárě řečeo, estraým odhadem se edopustíme systematické chyby. U ěkterých statistik můžeme ovšem pozorovat pouze tzv. asymptotickou estraost, kdy teprve lim E ( T ) = Θ. Opakem estraého odhadu je zkresleý (vychýleý) odhad. E ( T ) Θ. Měřítkem vychýleí odhadu je rozdíl Nestraý odhad s ejmeším rozptylem azýváme maximálě vydatý (ejvydatější) odhad. Pro ejvydatější odhad T T platí D ( T ) D ( ), kde T je libovolý estraý odhad. U ěkterých statistik se hovoří o asymptoticky ejvydatějším odhadu, což zameá, že vydatost odhadu roste se zvyšujícím se rozsahem výběru. Opět populárě řečeo, ejvydatější odhad je takový estraý odhad, jehož použitím se při daém rozsahu výběru dopouštíme ejmeší áhodé chyby. Nejlepším estraým odhadem je odhad, splňující výše uvedeé vlastosti ejdokoalejším možým způsobem (lepší odhad eexistuje). Základím problémem bodového odhadu ovšem je, že se při jeho použití dopouštíme chyby s pravděpodobostí jeda (bezchybý bodový odhad eexistuje), přičemž velikost kokrétí chyby, které jsme se dopustili, eumíme staovit. Obr..6 Růzé případy bodového odhadu Θ. Nestraý odhad s malou vydatostí.. Nestraý odhad s velkou vydatosti. 3. Vychýleý odhad s velkou vydatostí. 4. Vychýleý odhad s malou vydatostí. rováí případů vyvolává otázky, co je vlastě lepší zda apř. vydatý a epříliš vychýleý odhad 3 eí lepší ež sice estraý, ale málo vydatý odhad. Favoritem je samozřejmě odhad a zcela zavrheme zřejmě odhad 4. Naštěstí však takové problémy ebudeme muset řešit..4 Bodové odhady parametrů rozděleí áhodých veliči V rámci tohoto textu použijeme ejprimitivější metodu kostrukce bodového odhadu pomocí tzv. výběrových protějšků. Některé ejlepší estraé odhady: X = estµ, 3 4

8 = est a est, = X X = est µ µ ), (, = est p = estθ, p p = est θ ). ( θ Všiměme si, že pomocí bodového odhadu řešíme eje odhady samotých parametrů, ale i ěkterých jejich fukcí, z ichž upozorňujeme a rozdíl středích hodot ormálího rozděleí µ µ a alterativího rozděleí θ θ a podíl rozptylů ormálího rozděleí. pektrum možostí ovšem eí eomezeé. Např. elze bodově odhadout ai podíl středích hodot rozdíl rozptylů. µ ai µ Metoda výběrových protějšků obecě evede k bodovým odhadům s dobrými vlastostmi. Lze říci, že právě zde uvedeé případy tvoří u této metody spíše výjimku. Σ. Náhodý výběr z rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy je základím ástrojem, jak pozat zákoitosti jejího pravděpodobostího chováí.. Z rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy lze v pricipu pořídit ekoečě moho růzých áhodých výběrů. 3. Charakteristiky těchto áhodých výběrů statistiky se případ od případu měí a jsou to tedy áhodé veličiy. 4. Nejběžějšími charakteristikami rozděleí pravděpodobosti statistik jsou jejich středí hodoty a směrodaté chyby. 5. Existují vztahy mezi charakteristikami statistik a parametry rozděleí, z ichž byl příslušý výběr poříze. Tyto vztahy umožňují provádět bodové odhady ezámých parametrů původího rozděleí. 6. Bodový odhad, který ejlépe splňuje kritéria kozistece, estraosti a vydatosti odhadu se azývá ejlepší estraý odhad. 7. Uvedli jsme ěkolik estimátorů, které mají při odhadu parametrů a jejich jedoduchých fukcí vlastosti ejlepších estraých odhadů. 8. Základími vlastostmi bodového odhadu je eexistece bezchybého odhadu a emožost staovit velikost chyby, které jsme se v kokrétím případě dopustili. 9. V této lekci bylo evyhutelé zavést ěkolik spojitých áhodých veliči, jejichž rozděleí pravděpodobosti je tudetovo t, Pearsoovo χ ebo Fisherovo edecorovo F. Tato rozděleí budeme systematicky využívat v dalších lekcích. 3

9 ( ) (a) 0,5, (b) 4, (c) 00. ( ) V obou případech jde (přibližě) o pravděpodobost 0,05.. Pravděpodobost, že áhodá veličia s ormovaým ormálím rozděleím přesáhe hodotu 0,5 je rova 0,309. Pro aritmetický průměr áhodého výběru při ezámém rozsahu je tato pravděpodobost rova 0,006. Určete rozsah výběru.. Čemu je rova pravděpodobost překročeí hodoty 0,5 pro rozsah áhodého výběru = 6? 3. u 0,975 =, 96. Pozorujte chováí t 0, 975 při rozsahu výběru, který je postupě = 5,0,5, 0,30,. 4. Klasifikujte ormovaé ormálí rozděleí, tudetovo rozděleí t, Pearsoovo rozděleí parametrů. χ a Fisherovo edecorovo rozděleí F (a) podle symetrie, (b) podle počtu 5. Při zavedeí rozděleí uvedeých v úloze 4 jsme dvakrát použili bodový odhad k ahrazeí ezámého parametru jeho výběrovým protějškem. Které dva případy to byly? 6. Čemu je rova středí hodota a rozptyl áhodé veličiy X X? 7. E( p p ) = θ θ D ( p veličiy, která má rozděleí [ 0;] N, jsou-li splěy podmíky ormálí aproximace. θ( θ) θ( θ ) p ) = + 8. Ověřte si v tabulkách kvatilů, že [ ν ] = F [ ν ]. Napište vzorec t. α α ; 4

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Náhodné jevy a pravděpodobnost

Náhodné jevy a pravděpodobnost Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3 Př 7: S 95% polehlivotí odhaděte variabilitu (protředictvím odhadu měrodaté odchylky) a tředí hodotu obahu vitamíu C u rajčat. Záte-li výledky rozboru 0-ti vzorků rajčat: 3 4 5 6 7 8 9 0 9,6 3,4 30 3,6

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více