14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

Transkript

1 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto dat je možo vyšetřovat samostatě metodam předchozích kaptol, ztrácíme však vazbu mez m. Právě metodam zobrazováí dat, jejch účelému seskupováí do tabulek č jých pomocých ástrojů se bude zabývat tato kaptola. Navíc s vymezíme metody pro aalýzu vazeb mez složkam vybraých dat. 4.3 Dvourozměrá rozděleí četostí Předpokládejme, že v provedeém výběru je obsažeo jedotek, u chž sledujeme dva kvattatví zaky x a y. Jejch kokrétím aplěím jsou tedy dvojce hodot (x, y j ), kde,,p a j=,,r. Obecě eí možé předpokládat, že čísla p a r jsou totožá, eboť každý ze zaků x a y může mít růzý počet varat. Dohromady však tvoří čleý výběr. Ozačme absolutí četost jedotlvých kombací varat x a y j symbolem j. Seřaďme uspořádaé dvojce (x, y j ) uvedeé ve výběru podle ějakého pravdla ( apř. podle velkost x a poté podle velkost y j ). Potom v případě dvou zaků x a y budeme rozumět pod pojmem dvourozměrého rozděleí absolutích četostí zobrazeí, které přřazuje jedotlvým uspořádaým dvojcím (x, y j ), pro,,p a j=,,r, hodoty absolutích četostí j. Podobě bychom mohl provést takovéto přřazeí u hodot relatvích četostí, kdy jedotlvé hodoty j budeme dělt součtem všech absolutích četostí. Velm podobě můžeme uvést pojem dvourozměrých tervalových rozděleí četostí. Nejdříve data vhodě uspořádáme ( půjde o vhodé uspořádáí kartézského souču tervalů ) a potom provedeme stejý postup jako v předchozím odstavc s tím, že místo uspořádaých dvojc budeme pracovat s uspořádaým dvojcem tervalů. Podobě můžeme zobect předchozí defce a případ, kdy u áhodého výběru sledujeme k kvattatvích zaků z,,z k. Potom hovoříme o k rozměrém rozděleí četostí ( absolutích ebo relatvích ) resp. o k rozměrém rozděleí tervalových četostí. Dvourozměré rozděleí četostí dvou kvattatvích zaků x a y lze velm přehledě uvést v tabulce, která se obecě azývá korelačí tabulka. Popšme s dále tuto tabulku: V prvím řádku, v ěmž je uvede postupě obsah jedotlvých sloupců se uvedou seřazeé vzestupě všechy varaty jedoho ze zaků alezeé ve výběru; v prvím sloupc se postupě uvedou seřazeé vzestupě všechy varaty druhého zaku alezeé ve výběru. Na průsečících takto popsaých sloupců a řádků se uvedou postupě absolutí ( relatví ) četost daých dvojc hodot. Posledí sloupec ( resp. posledí řádek ) korelačí tabulky obsahuje tzv. podmíěé rozděleí absolutích ( relatví ) četostí druhého zaku ( v případě posledího řádku prvího zaku ). Jestlže se vyšetřuje závslost dvou zaků, které abývají velké možství hodot, ebo předpokládáme, že jsou spojté, potom jedotlvé varaty zaků účelě seskupujeme do tervalů. Výsledá korelačí tabulka je potom tabulkou dvourozměrého tervalového rozděleí absolutích ( relatvích ) četostí.

2 Tabulka 4. Korelačí tabulka absolutích četostí y j x y y y r. x r. x r. x p p p pr p..j...r V této tabulce tedy vždy platí:.. j r j j= p j p r p r.. j j j= j= = (4.) = (4.) (4.3) = = = Hodoty j se ěkdy azývají také epodmíěé četost a hodoty. a.j se azývají epodmíěé margálí četost. Grafcky můžeme zobrazovat takováto dvourozměrá data apříklad sloupcovým grafem, v případě, že budeme dodržovat pravdla pro tvorbu hstogramů, můžeme vytvořt také hstogram pro dva zaky ( ěkdy se azývá stereogram ). Exstují jé způsoby zobrazeí dvourozměrých dat, ale ty aráží především a komplkace s jejch kostrukcí, proto je uvádět ebudeme. Jestlže chceme zobrazt dvourozměré ( ebo vícerozměré ) rozděleí četostí v případě kvaltatvích zaků, můžeme využít pro zazameáí údajů tabulku, která se shoduje s korelačí tabulkou. Sledujeme l vztahy mez dvěma alteratvím zaky azýváme korelačí tabulku v tomto případě asocačí tabulkou. Jestlže alespoň jede kvaltatví zak abývá více ež dvou varat azýváme korelačí tabulku kotgečí. Uveďme dále ěkolk příkladů korelačích tabulek. Příklad 4. Výsledky písemých prací z matematky a fyzky studetů jedé třídy jsou uvedey dále v tabulce: žák M F Uveďte odpovídající korelačí tabulku! Řešeí:

3 FYZIK A MATEMATIKA j FYZIKA Uveďme pro úplost stejou tabulku pro relatví četost: MATEMATIKA ,,,, ,,,, ,,,, ,,,,, ,,,, j,,,3,, Nepřesost v daé tabulce jsou zavěy zaokrouhlováím jedotlvých hodot. Příklad 4. U áhodě vybraých součástek se proměřovala jejch délka a výška. Pro každý z těchto rozměrů se určlo, zda je vyhovující ( v ormě ) č e. 39 součástek mělo oba rozměry správé, 4 mělo správě výšku a esprávě délku, 6 mělo správě délku a esprávě výšku a 7 mělo oba rozměry esprávě. Převeďte tyto hodoty do korelačí tabulky. Délka Řešeí: výška správá esprává celkem správá esprává 4 7 celkem Jde o případ asocačí tabulky. Příklad4.3 Sledovala se souvslost mez rodým stavem žechů a evěst v souboru českosloveských soubeeckých párů v roce 966. Upravte tuto tabulku a tabulku s relatvím četostm.

4 rodý stav evěst svobodé ovdovělé rozvedeé celkem rodý stav žechů svobodý ovdovělý rozvedeý Řešeí: celkem rodý stav žechů rodý stav evěst svobodé ovdovělé rozvedeé svobodý 8,7%,779% 3,789% celkem 86,786 % ovdovělý,794%,944%,97%,645% rozvedeý 5,78%,94% 4,55%,569% celkem 88,89%,665% 9,46%,% Jak jsme vděl v předchozích případech je možo zobrazovat pomocí růzých varat korelačí tabulky data, která ejsou kvattatvího charakteru. Je možo provádět srováváí dat ordálích ( záleží ám a pořadí ) apř. pořadí př vyhodoceí otázky, pořadí subjektvích poctů atd. Dále je možo zobrazovat také omálě měřeé zaky v kotgečích tabulkách. Slovo asocace zameá v ašch pojmech sloučeí, složeí. Slovo kotgece zameá vazba. Kromě popsu dat je prostou korelačí tabulkou, je aš sahou většou získat doplňující formace o vazbách mez jedotlvým zaky ( korelačí aalýza ) a o způsobu vyjádřeí těchto vazeb ( regresí aalýza ).Těmto pojmy se budeme yí u dvou zaků dále zabývat. Z pohledu vztahu dvou zaků jž záme z prostředí apř. středoškolské matematky fukčí závslost dvou velč. Záme l strau čtverce, je možo určt jedozačě jeho obvod, záme l vklad, počet období, úrokovou míru, je možo určt výš vkladu včetě úroků. V prostředí statstky se však setkáváme a vyšetřujeme jé typy vztahů. Defce 4. Řekeme, že zak y ( áhodá velča Y ) je statstcky závslý a zaku x ( áhodé velčě X ), jestlže změa hodoty zaku x má za ásledek změu podmíěého rozděleí zaku y ( áhodé velčy Y ). V prax eí většou podmíěé rozděleí zaku y zámo, proto se sažíme získat o ěm představu pomocí ástrojů regresí aalýzy.

5 Defce 4. Řekeme, že zak y ( áhodá velča Y ) je korelačě závslý a zaku x ( áhodé velčě X ), jestlže změa hodoty zaku x má za ásledek změu podmíěé středí hodoty rozděleí zaku y ( áhodé velčy Y ). Zůstávají l podmíěé průměry závsle proměé kostatí, když se hodoty ezávsle proměé měí jakkol, považuje se závsle proměá za korelačě ezávslou a příslušých ezávsle proměých. Podle příslušých defc je zřejmé, že pojem korelačí závslost je slabší ež pojem statstcké závslost. Korelačí závslost je vždy statstckou závslostí, protože změa podmíěého průměru zameá změu podmíěého rozděleí. Na druhou strau korelačí ezávslost ještě emusí zameat statstckou ezávslost. To že se eměí podmíěý průměr emusí zameat, že se eměí podmíěé rozděleí. Statstcká závslost může být korelačí ezávslostí, jestlže se změy podmíěého rozděleí projeví ve změách jých popsých hodot ež v podmíěém průměru. Statstcká ezávslost je v každém případě také korelačí ezávslostí, eboť eměost podmíěého rozděleí zameá současě kostatost podmíěého průměru. Korelací áhodých velč chápeme vzájemou korelačí závslost uvažovaých áhodých velč. Přtom rozlšujeme :. Jedoduchou korelac korelac dvou áhodých velč;. Mohoásobou regres korelac jedé áhodé velčy a skupy dvou a více áhodých velč. Důležté je pochopt jaký je vztah mez korelačí závslostí a jedé straě a kauzálí závslostí a straě druhé. Jestlže jsou dvě áhodé velčy korelačě závslé, pak to zameá, že mez těmto áhodým velčam může exstovat kauzálí závslost. Nelze ale rozlšt zda jde o kauzálí závslost bezprostředí, kdy změy jedé velčy podmňují změy druhé, ebo o kauzálí závslost zprostředkovaou. Exstece korelačí závslost dvou áhodých velč emůže být důkazem toho, že mez m exstuje kauzálí závslost. Na dalších obrázcích jsou uvedey růzé modelové stuace korelace dvou áhodých velč ( dvou zaků ). Obr. 4. Extrémě kladá korelace Obr. 4. Slá kladá korelace,5,5,5,5,5,

6 Obr 4.3. Slabá kladá korelace Obr 4.4 Korelace blízká ule ,5 3,5,5, Obr 4.5 Extrémě záporá korelace Obr 4.6 Slá záporá korelace Obr 4.7 Neleárí korelace Obr 4.8. Neleárí korelace Z jedotlvých obrázků je patro, že ěkterá vyjádřeí vztahu mez áhodým velčam X a Y ( resp. zaky x a y ) mohou mít podobu skoro fukčí, dokoce tehdy když daé hodoty spolu přílš ekorelují ( apř. Obr 4.7 ), ale mohou mít podobu leárího vztahu ( Obr. 4. ), když spolu korelují velm. 4.4 Míry korelace dvourozměrých statstckých souborů Jak jsme jž uvedl v předchozí část je jedou z ejdůležtějších charakterstk vícerozměrých statstckých souborů charakterstka vazby mez jedotlvým zaky Podstaté pro aše další šetřeí bude to, zda jsou data kvattatví povahy, ebo jsou ordálí ebo omálí. V ásledující tabulce jsou uvedey jedotlvé typy charakterstk míry korelace pro růzé druhy dat.

7 Tabulka 4. Míry korelace Proměá X kvattatví ordálí omálí Proměá Y kvattatví ordálí omálí korelačí koefcet r bserálí koefcet r bs koefcet pořadové korelace r S koefcet F asocačí koefcet Q kotgečí koefcet C 4.4. Výběrový korelačí koefcet V dalším textu se budeme sažt osvětlt pojmy uvedeé v předchozí tabulce 4..Jestlže jsou obě velčy povahově kvattatvího charakteru používáme k měřeí výběrový korelačí Pearsoův koefcet r. Jde o bezrozměrou velču, která může abývat hodot mez - a. Pomocí toho koefcetu měříme většou sílu leárí vztahu mez zaky x a y. Jestlže abývá krajích mezích hodot - ebo můžeme vztah mez zaky vyjádřt pomocí fukčího leárího vztahu. Pro hodotu r=- př rostoucích hodotách x hodoty y klesá a př hodotě r= př rostoucích hodotách x hodota y klesá. Pro hodotu r= můžeme vyloučt leárí vztah mez zaky x a y, ale to ezameá, že mez m emůže vztah být vz apř. Obr. 4.8 ebo Obr Př užíváí tohoto koefcetu je zapotřebí mít a zřetel klascké předpoklady leárího modelu, tedy především ormaltu a to, že pro lbovolou hodotu x má áhodá hodota Y středí hodotu, která je dáa příslušou hodotou a regresí přímce. Více o těchto předpokladech se dozvíme v kaptole 3. o statstcké regresy. Mějme dále a pamět, že skutečou hodotu korelačího koefcetu r ezáme a můžeme j odhadovat právě pomocí r. Př výpočtu korelačího koefcetu r se používají hodoty odhadu směrodaté odchylky s x a s y, ( x x)( y y) r = (4.4), ( ). sx. sy teto způsob výpočtu využívá hodoty počítaé přímo z korelačí tabulky. Pro ěkteré výpočty je ale jedodušší používat ásledující vzorec x. y x. y r = (4.5), σ X. σ Y kde výše uvedeé hodoty jsou počítáy podle těchto prcpů: xy. = x = X X Y a y = Y (4.6), (4.7),

8 σ X =. ( ) X X (4.8), σ Y =. ( ) Y Y (4.9). Příklad 4.3 Byly zjšťováy reakčí doby řdčů v určté stuac před stresem a po stresu. Zjštěé údaje jsou uvedey v tabulce íže. Zjstěte hodotu korelačího koefcetu! Tabulka 4.3 Čas x y x. Po stresu Před stresem y A B C D E Řešeí: x = 5 y = 3 x = 6 x = y = 6 x = y = xy = 34 y = 4 xy=. 68 Nejdříve určíme hodotu r podle vztahu (5.4), potřebujeme ještě určt hodoty s x a s y. Tabulka 4.4 Čas Po stresu Před x x y y ( x x).( y y) stresem A B C 7 D E x = 5 x = y = 6 s x = 5 a s y = 5 y = 3 ( x x) = ( y y) = ( x x).( y y) = 4 r = 4. 5, = 5 = 5 Počítejme yí podle vzorce (4.5). Musíme ejdříve určt hodoty s x a s y. Tyto hodoty jsou s x = =. 5 a s y = r = = =,

9 Příklad 4.4 Vypočítejte hodotu korelačího koefcetu z údajů uvedeých v ásledující korelačí tabulce: y Tabulka 4.4 x x. x j y j. j y j. j Řešeí: Počítáme hodotu výběrového korelačího koefcetu r podle (5.5). Potřebé hodoty určíme z předchozí tabulky. Tedy x= = 7,39; y = = 5,398; σ X =, 776; σy =, 489. Z těchto hodot jž můžeme spočítat výběrový korelačí koefcet r : r = -,44 Výsledá hodota je velm ízká, emůžeme tedy hovořt o leárím vztahu mez X a Y. Pro vyšetřováí statstckých hypotéz o ulovost korelačího koefcetu je důležtá ásledující věta. Věta 4. Nechť ( X, Y),, ( X, Y) je výběr z dvojrozměrého ormálího rozděleí, které má kladé rozptyly a korelačí koefcet r =. Potom áhodá velča r T =. r je typu studetovo rozděleí s - stup volost t. Důkaz : Vz []. Pomocí tohoto tvrzeí můžeme testovat hypotézu H : r = prot alteratví hypotéze H : r. Vypočteme totž ejdříve hodotu výběrového korelačího koefcetu r, dále staovíme výše uvedeou hodotu T, v případě, kdy T t ( α ), zamítáme H a hladě výzamost a. Jestlže použjeme toto tvrzeí a aše data získáme hodotu T = -,349466, a hladě výzamost,5 je rove kvatt t 86 číslu,98, protože T <, 98, emůžeme zamítout tvrzeí o ezávslost hodot X a Y.

10 4.4. Koefcet determace V případě leárí regrese ( ale eje v tomto případě ) můžeme vyjádřt těsost vztahu pomocí mez áhodou velčou Y a velčou x také pomocí poměru varablty podmíěé leárí regresí a varabltou způsobeou áhodým vlvy. Sxx. SYY SxY Podle vztahu (3.3) je Sr =. Sxx Měříme l odhad varablty Y máme ( ) ( (. ) (. )) (.( )) S = Y Y = Y a bx a bx + Y = S + b x x YY r S xy r xx r xx. Tedy Sxx ( ) ( ). Y a bx.. a bx. + Y = S + b. S = S +. S SxY Sr SxY Sr = SYY R = =. Hodota R se azývá koefcet Sxx SYY Sxx. SYY determace, jeho hodota se pohybuje mez a hodotou. Koefcet determace vyjadřuje poměr mez varabltou skutečou ( S YY ) a varabltou vypočítávaou ( S r ). Je zřejmé, že v leárím případě je koefcet determace rove druhé mocě korelačího koefcetu Idex determace V případě jých ež leárích regresí ebo mohoásobých regresí je zapotřebí zabezpečt také míru těsost vazby mez áhodou velčou Y a hodotam x. Stejě jako v předchozí část je celková varablta áhodé velčy Y rova součtu varablty vyjádřeé regresím vztahem a varablty áhodého chováí. Defujeme proto podobě jako v předchozím čláku S Yˆ I xy =, SYY kde S Y ˆ zameá hodotu rozptylu emprcké regresí fukce a S YY hodotu rozptylu závsle proměé Y. Častěj se k vystžeí závslost používá odmoca z dexu korelace, tato hodota se azývá dex determace. Z obou předchozích hodot vyplývá, že ejsou symetrcké, platí totž I I. xy Yx Spearmaův korelačí koefcet V případě dvourozměrého souboru kvaltatvích údajů, které jsou po složkách ordálího typu, je možo zjstt stupeň závslost těchto dvou zaků. K měřeí takovýchto závslostí se používá Spearmaův korelačí koefcet ( ěkdy azývaý též koefcetem pořadové korelace ), který je založeý a pořadích jedců uspořádaých podle velkost vzhledem k oběma vyšetřovaým zakům. Každému jedc tedy přřadíme dvojc pořadí Q ( pořadí podle prvího zaku X ) a R ( pořadí podle druhého zaku Y ). Jestlže budou hodoty pořadí Y vzrůstat stejě jako hodoty X, budou pořadí R a Q stejá. Jestlže bude hodota pořadí zaku Y s rostoucím pořadím zaku X klesat, budou pořadí obou zaků opačá, tedy

11 R = Q+. (4.) Jestlže však budou hodoty pořadí R a Q obou zaků lbovolá potom očekáváme, že oba zaky budou ezávslé. Pro pozorovaých dvojc ve výběru určíme Spearmaův korelačí koefcet pomocí dferecí pořadí d = Q R takto r S d ( ) 6. =. (4.). Př shodém pořadí jsou hodoty všech d =, tedy r S =. Je l pořadí opačé, použjeme výraz (5.) a d = Q + Q -=. Q -, hodota Q postupě abývá všech hodot od do. Zjstěme jaké hodoty potom abývá výraz (4.). Dosaďme přímo do (4.) a získáváme 3 6. (. ) rs = = = =.. ( ).( ) Př ostatích případech abývá r S hodoty ležící mez těmto mezím hodotam tedy - < r S < (4.) Pro hodoty r S blízké ule můžeme usuzovat, že pořadí R a Q jsou áhodě zpřeházea a mez zaky X a Y eí závslost. Pro hodoty 3 je možé využít vztahu mez rozděleím N(,) a Spearmaovým koefcetem Z = r. S (4.3). Teto vztah využjeme v část věovaé statstckým hypotézám. Příklad 4.5 Př přjímacím řízeí se provádělo hodoceí komsí a hodoceí specálím programem. Na základě údajů o deset studetech rozhoděte o tom, zda jsou obě hodoceí závslá. Tabulka 4.5 Studet A B C D E F G H I J Hodoceí komsí Hodoceí programem Dferece pořadí Čtverec dferece

12 Dostáváme Řešeí: Sečteme hodoty čtverců dferecí r S = = = U, ( ) d = 5 a dosadíme do vztahu (5.). Hodota korelačího koefcetu r S ukazuje a určtou míru závslost mez hodoceím komsí a hodottelským programem Míra asocace V tomto čláku budeme vyšetřovat závslost dvou áhodých velč X a Y, které jsou abývají alteratví ( dvouhodotové). Předpokládáme, že ba zaky X a Y jsou kvaltatví povahy. Defce 4.3 Řekeme, že áhodé velčy X a Y jsou asocačě závslé, jestlže v část výběru, který se skládá z jedotek s určtou hodotou jedé áhodé velčy, je relatvě více ebo méě jedotek s určtou varatou druhé áhodé velčy. Z této defce je možo odvodt dva mezí případy: a) Případ, kdy všechy jedotky výběru, které mají určtou varatu jedé áhodé velčy, mají určtou varatu druhé áhodé velčy. Tomuto říkáme úplá asocačí závslost. b) Jestlže v část výběru, která se skládá z jedotek s určtou varatou jedé áhodé velčy, je relatvě stejý počet jedotek s určtou druhé áhodé velčy jako v část výběru, který se skládá z jedotek emajících uvažovaou varatu prví áhodé velčy pak azveme obě velčy jako asocačě ezávslé. Asocací tedy rozumíme oboustraou závslost mez alteratvím áhodým velčam kvaltatví povahy. Z hledska obecého se zkoumá asocace je dvou zaků ( párová ) ebo asocace více zaků ( mohoásobá ). V tomto textu se budeme zabývat je jedoduchou asocací. V ásledující tabulce s uvedeme obecý příklad tzv. asocačí tabulky: Tabulka 4.6 Hodoty X Hodoty Y Celkem.. Celkem Základí mírou závslost jedoduché asocace je koefcet asocace r.... A = (4.4) Podobě jako u ostatích koefcetů, kterým se sažíme měřt závslost áhodých velč abývá hodot z tervalu od <- ; >. Vyšetřeme s krají případy.

13 a) Jestlže jsou hodoty = =, potom r A =. jde o případ úplé asocačí závslost. b) Jestlže jsou hodoty = =, potom r A = -. V tomto případě jde opět o úplou asocačí závslost c) Jestlže výraz D =.. =, potom je hodota r A = a daé áhodé velčy jsou asocačě ezávslé. Příklad 4.6 Byly vyšetřováy vztahy mez vlastctvím automoblu a ochotou jezdt hromadou dopravou do zaměstáí. Výsledé hodoty šetřeí jsou uvedey v ásledující tabulce 4.7. Zjstěte míru asocace těchto velč. Tabulka 4.7 Ochota jezdt Vlastctví automoblu hromadou dopravou ao e ao e Celkem Celkem Řešeí: Použjeme vzorec (4.4). Po dosazeí příslušých hodot získáme r A =-, Uvedeé vztahy ukazují a středí míru závslost mez vlastctvím automoblu a ochotou jezdt hromadou dopravou Míra kotgece Pokud vyšetřujeme dvě áhodé velčy kvaltatvího typu, které ejsou alteratví ( eabývají je dvou hodot ), emůžeme samozřejmě použít předchozí míru asocace. Pro oboustraou kvaltatví závslost áhodých velč, které mají více ež dvě varaty, se užívá pojem kotgece. Pro měřeí těsost kotgece dvou áhodých velč se používá celá řada měr. Předpokládejme, že áhodá velča X abývá s varat a áhodá velča Y abývá r varat. K ejzámějším patří Pearsoův koefcet kotgece c = χ + χ, (4.5) kde.... j r s j χ = (4.6). j=.. j Výše uvedeé symboly jsou defováy stejě jako v předchozí část. Př úplé ezávslost je hodota Pearsoova koefcetu kotgece ulová, určtým edostatkem je to, že a př úplé závslost sledovaých áhodých velč eabývá hodoty. Užíváme proto ěkdy tzv. Čuprovův koefcet kotgece

14 χ K =,. ( r ).( s ) (4.7) v ěmž má c stejý výzam jako v (5.5).

15 Příklad 4.7 V jsté aketě odpovídal respodet a dvě otázky, každá z ch měla celkem tř možost odpovědí a,b,c. Zjstěte, zda mez oběma otázkam exstuje souvslost. Zjštěá data jsou uvedea v tabulce Tabulka 4.8 Odpověď a Odpověď a otázku č. otázku č. a b c Celkem a b c Celkem Řešeí: Podle vzorce (4.6) převedeme tabulku 4.8 a tvar, kdy v jedotlvých buňkách tabulky budou hodoty vypočteé ze vztahu (4.6).,543639,74339,33745,888974,78,59 9,6593,6676,386 Takovéto hodoty sečteme a získáme hodotu výrazu c = 4,8385. Tuto hodotu dosadíme ejdříve do vztahu (5.5) a získáváme c =,47. Hodota Pearsoova koefcetu je velm malá, můžeme proto předpokládat, že se daé odpověd velm odlšují. Čuprovův koefcet kotgece dává hodotu K =,35. Podle ěho můžeme zamítout vztah mez jedotlvým odpověďm.