UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík"

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008

2 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot Jedovýběrový t-test Dvouvýběrový t-test Párový t-test Aalýza rozptylu - jedoduché tříděí... 4 Základy leárí regrese Neparametrcké metody Testy dobré shody Kotgečí tabulky - test ezávslost Zamékový test Jedovýběrový Wlcoxoův test Dvouvýběrový Wlcoxoův test Kruskalův-Wallsův test Spearmaův koefcet pořadové korelace Programové prostředky pro statstcké výpočty Tabulkový procesor Excel Statstcké programové systémy Programový paket NCSS Prezetace výsledků aalýzy dat Prezetace tabulek a užtí vhodých grafů Některé chyby prezetace ve studetských pracích Lteratura - kometovaý sezam Iteraktví učebce pro základí kurs statstky: Statstcké tabulky Dstrbučí fukce ormovaého ormálího rozděleí Vybraé kvatly rozděleí Chí-kvadrát Vybraé kvatly Studetova t-rozděleí Vybraé kvatly Fsherova Sedecorova F-rozděleí Krtcké hodoty pro jedovýběrový Wlcoxoův test... 8 Krtcké hodoty pro dvouvýběrový Wlcoxoův (Maův-Whteyův) test... 8 Krtcké hodoty Spearmaova korelačího koefcetu... 83

3 Úvod Teto text slouží jako opora pro předmět Aalýza dat. Navazuje a kurs Základy matematcké statstky. Cílem kursu je aplkovat základí statstcké zalost v relatvě jedoduchých úlohách, s mž se velm často setkáváme př aalýze dat. I když je text apsá s co ejvětší sahou vysvětlovat uté pojmy jejch aplkac jedoduše bez zbytečých a z pohledu využtí statstckých metod okrajových podrobostí, počítejte s tím, že text ebude oddechová četba a že spoustu věcí bude potřeba důkladě promýšlet a opakovaě se k m vracet, ěkdy s opakováím pojmů z předmětu Základy matematcké statstky. Časovou áročost zvládutí tohoto textu a vyřešeí zadaých příkladů lze odhadout a přblžě 80 až 00 hod. V ěkterých příkladech, jejchž řešeí je uvedeo v učebím textu, se užívají data ze souborů BI97.ASC. Pokud s chcete uvedeá řešeí sam ověřt a zopakovat, tato data s můžete stáhout z webových stráek autora textu, Hlaví úlohou, kterou byste měl osvědčt pozatky získaé v tomto kursu, je aalýza vám vybraého souboru dat z vašeho okolí. Proto se poohléděte po datech, které byste chtěl statstcky zpracovat, a kde jste zvědav a výsledky této aalýzy. Případé ejasost včas kozultujte s vyučujícím. Výsledky aalýzy bude pak potřeba předložt formou vytštěé stručé a přehledé zprávy, pokud možo v rozsahu max. 3 stray. Před přípravou zprávy s prostudujte kap. 7 o prezetac výsledků. Ostatí korespodečí úlohy budou zadáy a začátku semestru. 3

4 Parametrcké testy o shodě středích hodot. Jedovýběrový t-test Jedovýběrový oboustraý t-test byl podrobě vysvětle v učebím textu Základy matematcké statstky. Doporučujeme se k tomu vrátt a základy testováí hypotéz s zovu přpomeout. Máme áhodý výběr ( X, X,, ) rozděleých, tj. X ezávslých áhodých velč ormálě ~ ( µ, σ ), =,,,. Testujeme hypotézu, že středí X N hodota rozděleí populace, z íž máme výběr, tj. µ je rova ějaké daé hodotě µ 0. prot alteratvě, že µ µ 0 Za platost ulové hypotézy má statstka T rozděleí podle ásledujícího vztahu X µ 0 T = ~ t s/ a př oboustraé alteratvě µ µ 0 je krtcký obor W (, t ( /) [ ( /), α t α + ) Pokud hodota T patří do krtckého oboru, tak ulovou hypotézu µ = µ 0 pro daé α zamítáme. Oboustraá alteratva H : µ µ 0 však eí jedá možá formulace alteratví hypotézy. Máme-l k dspozc ějakou aprorí formac o středí hodotě populace, ze které je realzová výběr, můžeme zformulovat alteratvu jedostraě: H 0 : µ = µ 0 H : µ > µ 0 (tzv. pravostraá alteratva) Další postup testu bude zcela aalogcký jako u oboustraého testu, pouze W t ( α), +. Nulovou hypotézu můžeme krtcký obor bude jý, totž [ ) zamítout ve prospěch této alteratvy tehdy, když výběrový průměr X je o hodě větší ež µ 0, přesěj vyjádřeo, když pro hodotu testového krtéra platí X µ 0 t ( ) α. s/ Vdíme, že pravděpodobost eoprávěého zamítutí ulové hypotézy je opět rova hladě výzamost α. Tím, že jsme alteratvu formuloval s využtím ějaké aprorí formace, stačí k zamítutí ulové hypotézy, aby hodota testového krtera T byla alespoň t ( ) α. U oboustraé alteratvy by to bylo t ( α/). Zcela aalogcky, pokud bychom měl k tomu důvod, můžeme formulovat levostraou alteratvu H : µ < µ 0. Pak krtcký obor je W (, t ( α). 4

5 Obecě př užíváí testů, zejméa jedostraých, je vhodé ejdříve formulovat alteratvu ve tvaru obsahujícím tvrzeí, které bychom chtěl prokázat. Pak pokud ulovou hypotézu zamíteme, máme téměř jstotu (s rzkem rovým α ), že tvrzeí vyjádřeé alteratví hypotézou je pravdvé.. Dvouvýběrový t-test Předpokládáme, že máme dva ezávslé výběry o rozsahu, resp., ze dvou ormálě rozděleých populací, prví populace má rozděleí N ( µ, σ ), druhá N ( µ, σ ). Z kaptoly 4. v textu pro Základy matematcké statstky víme (vz rov. 4.-0), že když ezámé parametry σ, σ můžeme považovat za shodé, tedy σ = σ = σ (rozptyl v obou populacích je shodý), pak pro áhodou velču T platí X X ( µ µ ) T = ~ t +. ( ) s + ( ) s + + Chceme-l testovat hypotézu, že středí hodoty v obou populacích jsou shodé, tj. H 0 : µ = µ prot ěkteré z alteratv H : µ µ (oboustraá alteratva) H : µ < µ (levostraá alteratva) H : µ > µ (pravostraá alteratva) užjeme testovou statstku X X Teq =, () ( ) s + ( ) s + + která má za platost ulové hypotézy Studetovo t-rozděleí s + stup volost. Pokud rozptyly v obou populacích shodé ejsou, tj. σ σ, užívá se pro test hypotézy o shodě středích hodot statstka x x T = oeq, () s s + která má přblžě t-rozděleí s ν stup volost, kde počet stupňů volost ν se určí podle vztahu 5

6 ν = s s + s + s Zameá to tedy, že př testováí ulové hypotézy o shodě středích hodot se musíme rozhodout, zda je ebo eí splě předpoklad o shodě rozptylů, tj. σ = σ = σ a podle toho volt testové krterum daé výrazem () ebo (). Toto rozhodutí provedeme testem hypotézy H 0 : σ σ σ. = σ prot alteratvě H : Pokud aše výběry o rozsazích, jsou z ormálě rozděleých populací, N ( µ, σ ), N ( µ, σ ), platí (vz vztah 4.-5, Základy matematcké statstky) s ~ σ ( ) a tedy také platí s / σ s / σ χ a ~ F, ( ) s ~ χ σ Za platost ulové hypotézy σ = σ má testová statstka Sedecorovo rozděleí s parametry,, s = ~ F, s F = s / s Fsher- F (3) Lze se dohodout, že dexováí výběrů zvolíme tak, aby platlo s s. Praktcky to zameá. ve jmeovatel bude meší z obou výběrových rozptylů. Pak krtckým oborem bude W = F ), ( α), +, (4) jým slovy, hypotézu o shodě rozptylů σ = σ zamíteme, když poměr výběrových rozptylů ásledující obrázek, F 59, 6 ( 0, 95) =, 804. s / s bude podstatě větší ež jeda. Stuac lustruje 6

7 hustota F-rozděleí f(x) =59 = α = 0, x Př testováí hypotéz obvykle používáme statstcký software. Př dvouvýběrovém t-testu prováděém v Excelu ejdříve otestujeme hypotézu o shodě rozptylů (v doplňku Aalýza dat fukce s ázvem Dvouvýběrový F-test pro rozptyl) a podle jeho výsledku se rozhodeme, zda máme užít fukc Dvouvýběrový t-test s rovostí rozptylů ebo Dvouvýběrový t-test s erovostí rozptylů. V NCSS je ve výsledcích vyhodocea jak testová statstka () pro rovost rozptylů, tak krtérum () pro eshodu rozptylů. Je a ás, abychom s vybral správou část výsledku pro terpretac. Postup s ukážeme a příkladu. Příklad : Máme posoudt, zda středí hodota velčy K (data BI97) jsou stejé v populac odrůdy odrůdy. Použjeme program NCSS, z meu Aalyss vybereme T-Tests, z ch Twosample. Zadáme k jako Respose varable a velču Odruda jako Group varable (tato velča rozděluje pozorováí do dvou skup) a dostaeme výstup, který zde uvedeme ve zkráceé podobě. Varable k Descrptve Statstcs Secto Stadard 95% LCL 95% UCL Varable Cout Mea Devato of Mea of Mea odruda= odruda= Equal-Varace T-Test Secto Alteratve Prob Decso Power Power Hypothess T-Value Level (5%) (Alpha=.05) (Alpha=.0) Dfferece <> Reject Ho Dfferece < Accept Ho Dfferece > Reject Ho Dfferece: (odruda=)-(odruda=) 7

8 Asp-Welch Uequal-Varace Test Secto Alteratve Prob Decso Power Power Hypothess T-Value Level (5%) (Alpha=.05) (Alpha=.0) Dfferece <> Reject Ho Dfferece < Accept Ho Dfferece > Reject Ho Dfferece: (odruda=)-(odruda=) Tests of Assumptos Secto Assumpto Value Probablty Decso(5%) Skewess Normalty (odruda=) Caot reject ormalty Skewess Normalty (odruda=) Caot reject ormalty Varace-Rato Equal-Varace Test Caot reject equal varaces 0.00 Box Plot 7.00 k G Groups G I zkráceý výstup je dost obsažý a apoprvé ám dá trochu práce se v ěm oretovat a správě terpretovat výsledky. Naším úkolem je testovat ulovou hypotézu o shodě středích hodot prot oboustraé alteratvě, tj. H 0 : µ = µ H : µ µ Stejou ulovou alteratví hypotézu můžeme formulovat takto: H 0 : µ µ = 0 H : µ µ 0 Této formulac odpovídá forma výsledků, kde se objevuje rozdíl středích hodot (dfferece). Ještě se musíme rozhodout, zda máme pro aše rozhodováí užít statstku T eq defovaou rov. () ebo statstku T oeq defovaou rov. (), čl který odstavec z výsledků se ás týká, zda Equal varaces secto ebo Uequal varaces secto. Musíme rozhodout, zda můžeme považovat za splěý předpoklad o shodě rozptylů v obou populacích č kolv. K tomuto rozhodutí ám poslouží test hypotézy H 0 : σ = σ prot alteratvě H : σ σ. Jeho výsledky alezeme v odstavc testů předpokladů (Tests of Assumptos) a řádku Varace-Rato Equal-Varace Test. Tam alezeme hodotu testové statstky spočteé podle vztahu (3) a kromě toho také tzv. dosažeou úroveň výzamost této hodoty, která je uvedea ve sloupc Probablty. Tato výzamost (probablty, ěkdy ozačovaá také p-value, prob-level ebo krátce p) je často užívaou charakterstkou, která usadňuje terpretac výsledků. V případě jedostraého testu, a to teto test je, vz krtcký obor daý vztahem (4), p udává pravděpodobost, že za platost ulové hypotézy bude mít testová 8

9 statstka hodotu větší ež hodotu spočítaou z výběru, tedy v ašem příkladu p = P( X, 5556) 0, 9. Smysl p v tomto příkladu v jých jedostraých testech vysvětluje ásledující obrázek. h u sto ta F -ro zděleí f(x) =59 = ,5556 p = 0, Je zřejmé, že pokud platí p α, ulovou hypotézu zamítáme, jak ezamítáme. Jelkož v ašem příkladu vyšlo p 0, 9, tedy větší ež obvykle voleá hlada výzamost α = 0, 05, přjímáme představu o shodě rozptylů v obou populacích, σ = σ. Proto statstka pro test hypotézy o rovost středích hodot obou populací je statstka T eq defovaá rovcí (). Její hodotu alezeme ve výsledcích v odstavc Equal-Varace T-Test. Její hodota je,7 a u í je uvedea odpovídající hodota p. Jelkož ale v tomto případě se jedá o oboustraý test, p udává pravděpodobost, že za platost ulové hypotézy bude absolutí hodota testové statstky větší ebo rova absolutí hodotě statstky spočítaé z výběru, tedy v ašem příkladu p = P( X, 7) 0, 03. Jedoduše řečeo, u oboustraých testů zamítáme ulovou hypotézu, je-l hodota testové statstky buď velm velká ebo velm malá. Opět pokud platí, že p α, ulovou hypotézu zamítáme. Názorě stuac vdíme a ásledujícím obrázku. x f (x ) p / p / 0 x 9

10 Jelkož v uvedeém příkladu je p 0, 03, hypotézu o shodě středích hodot, tedy µ µ = 0, a hladě výzamost α = 0, 05 zamítáme. Pokud bychom předem z ějakých důvodů zvoll hladu výzamost α = 0, 0, aše výběrová data by ám eposkytovala důvod ulovou hypotézu zamítout. Obecě můžeme říc, že počítačové výstupy výsledků statstckých testů s uvedeým hodotam p usadňují terpretac v tom, že epotřebujeme pro určováí krtckého oboru statstcké tabulky. To, zda vypočteá statstka je č eí v krtckém oboru, pozáme bezprostředě z hodoty p: Je-l p α, víme, že hodota testového krtera je v krtckém oboru, pokud p > α, hodota testového krtera v krtckém oboru eí. V uvedeém dvouvýběrovém t-testu se vychází z předpokladu, že oba výběry jsou z ormálě rozděleých populací. Splěí tohoto předpokladu eí tak důležté, pokud rozsahy obou výběrů jsou dost velké. Jak víme z odstavce o cetrálí lmtí větě, př dostatečě velkém počtu pozorováí má testové krterum X X U = (5) s s + ormovaé ormálí rozděleí N(0,) a př velkém počtu stupňů volost se tvar t - rozděleí přblžuje rozděleí N(0,). Pro velké rozsahy výběrů hodoty testových statstk () a () se přblžují hodotě daé rov. (5) a statstku U můžeme pak použít pro test hypotézy o shodě středích hodot dvou populací lbovolého rozděleí..3 Párový t-test Dalším často užívaým t-testem je tzv. párový t-test. Obecě o párových testech hovoříme tehdy, když máme pro vybraé objekty změřey dvojce hodot, apř. délka levé a pravé kočety, kreví tlak před a po podáí léku, stupeň opotřebeí pravé a levé peumatky atd. Ve statstce je tato stuace ozačováa jako dva závslé výběry stejého rozsahu. Máme-l tedy dva závslé áhodé výběry ( X, X,, X ), ( Y, Y,, Y ), můžeme zjstt rozdíly těchto hodot: D = X Y.a spočítat výběrové statstky, průměr D a rozptyl s D. Př testu hypotézy o shodě středích hodot velč X a Y, tedy H 0 : µ µ = 0 vlastě testujeme, zda středí hodota velčy D je ulová. To je stuace, kterou už záme z jedovýběrového t-testu. Testovým krterem pro test této hypotézy je D Tp =, (6) sd/ která má rozděleí t -. Podobě jako u jedovýběrového testu může být alteratví hypotéza formulováa jako oboustraá ebo jedostraá. 0

11 Př párovém testu můžeme ulovou hypotézu formulovat eje tak, že středí hodoty obou velč jsou shodé, ale tak, že jejch rozdíl je rove hodotě a, H 0 : µ µ = a. Pak testovou statstkou je D a Tp =, (7) sd/ která opět za platost ulové hypotézy má rozděleí t -. Souhr: Statstcký test hypotézy se užívá k rozhodováí za ejstoty. Rozhodujeme mez ulovou hypotézou a alteratvou. Jsou dva druhy chybého rozhodutí. Pravděpodobost chyby I. druhu př testu volíme předem (hlada výzamost). Test hypotézy je aalogcký rozhodováí soudu, ale rozdíl je v tom, že pravděpodobost chyby prvího druhu je u statstckých testů záma, dokoce j zvolíme. Krtcký obor test závsí a tom, jak je zformulováa alteratva. Kotrolí otázky:. Proč testy o parametrech jsou rozhodováí v ejstotě?. Vysvětlete rozdíl mez chybou prvího a druhého druhu. 3. Proč je zamítutí ulové hypotézy pro praktcké rozhodováí užtečější výsledek ež ezamítutí ulové hypotézy? 4. Kdy můžeme formulovat jedostraou alteratvu? Jakou ám to pak přáší výhodu? 5. Čím se lší párový t-test od jedovýběrového t-testu? Pojmy k zapamatováí: statstcké testováí hypotéz ulová hypotéza, alteratva chyby prvího a druhého druhu hlada výzamost síla testu testová statstka (krterum) krtcký obor jedovýběrový t-test dvouvýběrový t-test párové testy, párový t-test hodota testové statstky a odpovídající p-value Korespodečí úlohy č. a Budou zadáy a začátku semestru.

12 3 Aalýza rozptylu - jedoduché tříděí Jako aalýza rozptylu (ANOVA) je ozačová soubor postupů duktví statstky užívaých př testováí hypotéz o středích hodotách př růzém, často velm komplkovaém uspořádáí expermetu. Aalýzou rozptylu se podrobě zabývají specalzovaé statstcké moografe. Zde s ukážeme je základí myšleky aalýzy rozptylu a úloze, která se azývá aalýza rozptylu s jedoduchým tříděím (oe-way ANOVA). K prostudováí této kaptoly by mělo stačt as až 3 hody. Na aalýzu rozptylu s jedoduchým tříděím můžeme pohlížet jako a zobecěí dvouvýběrového t-testu pro stuac, kdy máme testovat shodu středích hodot ve více ež dvou populacích. V takových úlohách emůžeme použít opakovaě dvouvýběrový t-test pro všechy dvojce výběru, pokud chceme, aby pravděpodobost chyby prvího druhu byla rova zvoleé hladě výzamost. Předpokládejme, že máme I ( I ) ezávslých výběrů (tj. pozorovaá data jsou z I růzých skup). Náhodé velčy ( jejch pozorovaé hodoty) v -tém výběru ozačíme Y, Y,, Y, >, =,,, I. Výběry jsou z populací, které mají rozděleí N (, σ ), tedy rozptyly ve všech populacích jsou shodé. µ Celkem tedy máme k dspozc = I = ezávslých áhodých velč. Nulovou hypotézu, kterou chceme testovat, můžeme zapsat jako H 0 : µ = µ = = µ I () Každou tuto áhodou velču můžeme tedy vyjádřt jako součet Y = µ + α + ε, j =,,, ; =,,, I, () j j kde áhodé velčy e j jsou ezávslé a mají stejé rozděleí N (0, σ ), σ > 0. Tím jsme formuloval statstcký model: Každou pozorovaou hodotu Y j považujeme za součet hodoty µ společé pro všechy skupy, hodoty α vyjadřující vlv -té skupy a ormálě rozděleé áhodé složky ε j s ulovou středí hodotou. Hodoty µ, σ, α, α,, α I jsou ezámé parametry modelu. Pokud přdáme tzv. reparametrzačí podmíku I α = 0 =, (3) jsou hodoty parametrů µ, α, α,, α I určey jedozačě a ulovou hypotézu () můžeme zapsat jako H 0 : α = α = = α I = 0 (4) Tato formulace je ekvvaletí formulac (). Parametr α pak můžeme chápat jako výsledek (efekt) charakterzující -tou skupu, v aalýze rozptylu se ěkdy říká efekt -tého ošetřeí (treatmet). Testovaá hypotéza vyjadřuje, že skupy se elší, vlv ošetřeí je ulový.

13 Úkolem aalýzy rozptylu je vlastě vysvětlt varabltu všech vyšetřovaých áhodých velč, čl vysvětlt varabltu jejch pozorovaých hodot. Pro zkráceí dalšího zápsu zavedeme ozačeí Y Y = j= Y j Y = = Y I (skupové součty), j= Y = Y = Y Y I j = = j= I Y = j = (skupové průměry) j (celkový součet), = = Yj (celkový průměr) (5) V těchto zkratkách je vždy dex, přes který se sčítá, vyzače tečkou. Vdíme, že Y je výběrový průměr -tého výběru (skupový průměr), Y je výběrový průměr ze všech pozorováí (celkový průměr, grad mea). Celkovou varabltu pozorovaých hodot charakterzuje součet čtverců odchylek od celkového průměru S T I = j = ( Y ) j Y = (6) Teto tzv. celkový součet čtverců můžeme rozložt I ( ) I S = Y Y = ( Y Y ) + ( Y Y ) = T j j = j = = j = I I I ( Yj Y ) ( Yj Y )( Y Y ) ( Y Y ) = + + = = j = = j = = j = (7) = + + = I I I ( Yj Y ) ( Y Y ) ( Yj Y ) ( Y Y ) = j = = j = = I I ( Yj Y ) ( Y Y ) = j = = = + Prostředí čle v součtu, eboť j = rove ule). I ( Y Y ) ( Y Y ) = 0 j = j =, ( Y Y ) = 0, =,,, I (součet odchylek od průměru je vždy j 3

14 Dva čley v posledím řádku (7) jsou charakterstkam varablty uvtř skup S = ( ) I Y Y (8) e j = j = (součet čtverců odchylek pozorovaých hodot od skupových průměrů), mez skupam = ( ) A I (9) = S Y Y (vážeý součet čtverců odchylek skupových průměrů od celkového průměru). Vztah (7) tedy můžeme přepsat jako ST = Se + S A (0) Jak víme, celkový součet čtverců S T má ( - ) stupňů volost. Mezskupový součet čtverců S A má ( I ) stupňů volost a součet čtverců uvtř skup (také se říká resduálí ebo chybový, Error Sum of Squares) S e má zbylé stupě volost, tj. ( - I). Pokud platí ulová hypotéza (4), je jak statstka S / ( A I ), tak statstka S / ( e I ) estraým odhadem téhož rozptylu σ a jejch podíl má tedy za platost ulové hypotézy F-rozděleí F = SA/( I ) ~ F S /( I) e I, I () Pokud ulová hypotéza eplatí, je statstka S / ( A I ) výrazě větší. Krtckým oborem pro zamítutí ulové hypotézy (4) je W = FI, I( α), + ). Výsledky aalýzy rozptylu jsou obvykle prezetováy v tabulkové formě, v počítačových výstupech se sloupcem s hodotou dosažeé úrově výzamost p, což je pravděpodobost, že áhodá velča mající rozděleí FI, I je větší ebo rova hodotě statstky F. Výzam hodoty p vysvětluje ásledující obrázek. Je zřejmé, že pokud platí, p α, ulovou hypotézu zamítáme, jak ezamítáme. 4

15 hustota F-rozděleí f(x) F p x Tabulka výsledků aalýzy rozptylu s jedoduchým tříděím má ásledující tvar: zdroj varablty mez skupam suma čtverců stupě volost středí čtverec (mea square) S A I S A / (I ) F p S A ( I ) hodota p S ( I ) e uvtř skup S e I S e / ( - I) celkový S T S T / ( - ) U složtějších ávrhů expermetu má tabulka výsledků aalýzy rozptylu více řádků. Zamíteme-l ulovou hypotézu o shodě všech středích hodot H 0 : µ = µ = = µ I, obvykle ás zajímá, která dvojce středích hodot se lší. K tomu slouží testy azývaé mohoásobé porováí (multple comparso). Těch je ěkolk druhů, pops a základí formace k jejch užtí alezeeme v ole mauálu NCSS, zájemce o podrobější formace odkazujeme a lteraturu, apř. Aděl 978, 993, Havráek 993 atd., podobě jako zájemce o složtější modely aalýzy rozptylu. 5

16 Pozámka: Pokud bychom užl aalýzu rozptylu s jedoduchým tříděím a data pocházející je ze dvou výběrů, bude mít statstka F z rov. () tvar S A / F = ~ F, Se /( ) a hodota statstky F bude rova druhé mocě statstky t ze dvouvýběrového oboustraého t-testu pro shodé rozptyly. Tyto dva testy jsou tedy ekvvaletí. Rozkladu celkového rozptylu (0) můžeme užít pro výpočet směrodaté odchylky, máme-l k dspozc pouze skupové charakterstky - průměry x, počty pozorováí a směrodaté odchylky s, =,,, I. Směrodatá odchylka je odmoca z celkového rozptylu, tj. I I ST Se + SA s = = = s + x x = = kde celkový průměr spočítáme jako vážeý průměr skupových průměrů, I x = x =. ( ) ( ), () 6

17 Aplkac aalýzy rozptylu s jedoduchým tříděím ukážeme a ásledujícím příkladu. Příklad: Máme posoudt, zda středí hodota velčy Delka (data BI97) jsou stejé ve všech čtyřech lokaltách. Pro test hypotézy o shodě středích hodot H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 užjeme aalýzu rozptylu s jedoduchým tříděím. Výpočet provedeme s pomocí programu NCSS. V ěm z meu Aalyss vybereme ANOVA, dále Oe-way ANOVA. Zadáme velču Delka jako Depedet varable a velču Lokatta jako Factor varable (tato velča rozděluje pozorováí do čtyřech skup) a dostaeme výstup, který zda uvedeme ve zkráceé podobě: Aalyss of Varace Report Respose delka Box Plot delka lokal Aalyss of Varace Table Source Sum of Mea Prob Term DF Squares Square F-Rato Level A (lokal) S(A) Total (Adjusted) Z tabulky aalýzy rozptylu vdíme, že p = 0,77. Tedy ulovou hypotézu emůžeme zamítout a žádé rozumě zvoleé hladě výzamost. Rozdíly v poloze pozorovaých hodot velčy Delka v jedotlvých skupách (vz krabcové dagramy a obrázku) emůžeme přčítat ějakým systematckým rozdílům mez skupam, ale pouze důsledku ahodlého kolísáí. 7

18 Kotrolí otázky:. Jaká hypotéza se testuje v aalýze rozptylu s jedoduchým tříděím?. Jaké jsou předpoklady pro užtí aalýzy rozptylu s jedoduchým tříděím? 3. Co je celkový průměr a skupové průměry? 4. Čemu se říká celkový součet čtverců a jak jej lze rozložt? 5. Co je v aalýze rozptylu s jedoduchým tříděím testovou statstkou, jaké má rozděleí za platost ulové hypotézy? 6. Kdy zamítáme ulovou hypotézu? Pojmy k zapamatováí: skupové průměry a celkový průměr celkový součet čtverců a jeho rozklad mport a export dat varablta uvtř skup a mez skupam tabulka výsledků aalýzy rozptylu 8

19 4 Základy leárí regrese Regrese je sad ejčastěj užívaá statstcká metoda. Odhaduje se, že 80 až 90 % aplkací statstky je ějakou z varat regresí aalýzy. Prcpy regresí aalýzy se pokusíme vysvětlt a ejjedodušším tzv. klasckém leárím regresím modelu. K prostudováí této kaptoly s vyhraďte as 4 hody. Leárí regrese se zabývá problémem vysvětleí změ hodot jedé velčy leárí závslostí a jedé ebo více jých velčách. Uvažujme ejjedodušší případ, kdy vysvětlujeme velču Y lárí závslostí a jedé vysvětlující velčě x. Data mají tvar, který je uvede v ásledující tabulce: x Y x Y x Y x Y Předpokládáme, že hodoty velčy x umíme astavt přesě (apř. teplotu v termostatu), hodoty Y jsou zatížey áhodým kolísáím, způsobeým třeba epřesostm měřící metody (apř. objem plyu). K dspozc tedy máme dvojc pozorovaých hodot. Grafcké zázorěí takových dat ukazuje ásledující obrázek. Y 0 0 x Na obrázku vdíme, že s rostoucí hodotou velčy x se zhruba leárě měí hodota Y, body a obrázku kolísají kolem myšleé přímky, kterou bychom mohl aměřeým body proložt. 9

20 Hodoty velčy Y můžeme vyjádřt jako součet dvou složek: Y = β0 + β x + ε, =,,, () kde β 0, β jsou ezámé koefcety určující leárí závslost a ε áhodá kolísáí. Pokud středí hodoty áhodého kolísáí jsou ulové, E( ε ) = 0, =,,,, rov. () můžeme přepsat EY ( x = x) = EY ( ) = β + βx () 0 čl středí hodoty áhodých velč Y za podmíky, že velča x má hodotu x, leží a přímce daé rov. (). Rovce () a () formulují regresí model, v tomto případě leárí regresí model s jedou vysvětlující proměou (regresorem) x a vysvětlovaou proměou Y. Nezámé koefcety β 0, β jsou parametry regresího modelu, také se jm říká regresí koefcety. Regresí model je vlastě vyjádřeím aší představy o závslost velčy Y a velčě x. Jedou ze základích úloh regresí aalýzy je odhad parametrů regresího modelu z pozorovaých dat. V případě ašeho leárího modelu je potřeba odhadout regresí koefcety β 0, β z dat, tz. alézt takové hodoty b 0, b, které by určovaly přímku Yˆ = b0 + bx co ejlépe prokládající aměřeá data. Hodoty b 0, b, jsou pak odhady regresích koefcetů β 0, β, Y ɵ je odhadem E( Y x = x ). Co ejlepší proložeí může být formulováo růzým způsoby, ejčastěj se užívá metoda ejmeších čtverců (MNČ), tj. hledáme takové hodoty b 0 (úsek, který vytíá přímka a ose Y), b (směrce přímky), aby součet čtverců odchylek pozorovaých hodot Y od hodot Y ɵ byl co ejmeší: ( ˆ ) ( 0 ) e = = m (3) = = S Y Y Y b bx Metodu ejmeších čtverců vysvětluje ásledující obrázek. Řešíme úlohu, jak volt hodoty b 0 a b, aby součet ploch vyzačeých čtverců byl co ejmeší. 0

21 Y b b x Hodoty b 0, b mmalzující S e alezeme tak, že parcálí dervace S e podle b 0, b položíme rovy ule: S e S e = 0, = 0. b b 0 Tím dostaeme soustavu tzv. ormálích rovc (v tomto případě dvou rovc), v obecém případě, kdy regresí model má více parametrů ež model s jedím regresorem, je počet ormálích rovc rove počtu parametrů. Jsou-l ormálí rovce leárí jako v tomto regresím modelu, říkáme, že regresí model je leárí v parametrech. Sado alezeme, že parcálí dervace jsou rovy ásledujícím výrazům S b e 0 S b e = ( Y b0 b x ) = Y b0 b x, = = = [ ( 0 ) ] 0 = Y b b x x = x Y b x b x. (4) = = = = V mmu jsou parcálí dervace rovy ule, takže po jedoduchých úpravách dostaeme soustavu dvou ormálích rovc 0 b + b x = Y b0 x + b x = xy (5) Řešeí této soustavy rovc můžeme vyjádřt explctě takto:

22 b b = = ( Y b x ) Y bx (6) 0 = x Y x ( x )( Y ) ( x ) ( )( ) ( ) xy x Y = x x. (7) Z rov. (6) vdíme, že přímka proložeá metodou ejmeších čtverců, tj. splňující podmíku (3), prochází bodem xy,. Dosadíme-l z rov. (7) do (6), dostaeme b 0 = = ( xy ) ( x )( Y ) Y ( ) x x ( Y )( x ) ( xy )( x ) x ( ) x x = (8) Nyí přpomeeme ěkteré rovost, které využjeme př dalším výkladu o statstckých vlastostech odhadů b 0, b. ( ) ( ) ( x ) = x x + x = x x = x x x = x xx + x = x x x + x = (9) ( x ) ( ) ( ) x x = x xx x x x x x = = (0) ( x x )( Y Y ) ( xy Yx xy xy ) = xy x Y Y x + xy = = xy xy xy + xy = ( x ) ( Y ) = xy xy = xy = + = ( ) x x Y = xy x Y = x Y = xy = ( x x )( Y Y ) () ()

23 Z rov. (7), (9) a () pak dostaeme ( x )( Y ) [ ] xy b ( ) ( x x)( Y Y ) sxy = = =, ( x ) x x s x ( ) ( ) x kde s x je výběrový rozptyl velčy x a s xy je výběrová kovarace. Jelkož r xy sxy =, vdíme, že b s s x y sxy sy = = rxy. s s x Tz., že směrc regresí přímky můžeme vypočítat z hodoty korelačího koefcetu. Jak vdíme, směrce korelačí koefcet musí mít stejé zaméko. x S využtím () a () můžeme rov. (7) přepsat ( x x ) Y b = x x ( ) (3) Odtud b x x = x x Y ( ) ( ) Pak pro středí hodoty áhodých velč v předchozí rovc platí ( x xx ) β ( x x ) ( ) ( ) ( ) Eb ( ) x x = x x EY ( ) = x x ( β + βx) = 0 = β = Když tuto rovost dělíme výrazem ( x x ) je estraým odhadem parametru β. Podobě pro b 0 můžeme dosadt do (6) Y ( x x) Y x x x ( ) x = ( x x) ( x x), dostaeme E( b ) = β, takže b b0 = Y b x = Y = cy. Můžeme ukázat, že ( x x x x x x ) c = ( x x) ( x x) = ( ) = 0 = a také, že ( x x x x x x x ) ( ) c x = x = x x x ( x x) = = 0 ( x x) Pak pro středí hodotu b 0 platí E( b0 ) = c E( Y ) = c ( β 0 + β) x = β 0 c + β c x = β 0. Tedy b 0 je estraým odhadem parametru β 0. 3

24 Chceme-l určt rozptyly odhadů b 0, b, potřebujeme ještě další předpoklady o áhodé složce e v rov. (): a) E( ε ) = 0, =,,, b) (teto předpoklad už byl vyslove dříve); var( ε) = ( ε) = σ, =,,, E (rozptyl e je kostatí, tzv. homoskedascta); c) cov( ε, ε) = E( ε, ε) = 0, j, j, =,,, j j ( ε, ε j jsou ekorelovaé). Z rov. () vdíme, že var( Y ) = var( e ) = σ. Pak z rov. (3) dostaeme var( b ) = x x var( Y ) = [ ( x x) ] ( ) σ ( x x). (4) Z rov. (4) vdíme, že rozptyl odhadu směrce regresí přímky můžeme sížt vhodou volbou hodot regresoru tak, aby ( x x ) byla co ejvětší. Z rov. (6) dostaeme x var( b0 ) = var( Y ) + x var( b ) = σ + ( x x ) (5) Podobě tedy rozptyl odhadu úseku regresí přímky můžeme sížt zvětšeím x x byla co ejvětší. rozsahu výběru a volbou hodot regresoru tak, aby ( ) Přdáme-l k předpokladům (a), (b), (c) ještě předpoklad (d) d) ε σ = N(0, ),,, (odchylky hodot Y od leárí závslost mají ormálí rozděleí), pak b j βj N j = var( b ) ~ ( 0, ), 0, (6) j Pokud bychom zal var( b j ), mohla by statstka defovaá rov. (6) sloužt jako testové krtérum pro testy hypotéz o parametrech regresího modelu. Obyčejě však var( b j ) ezáme, eboť ezáme σ - vz rov. (4) a (5). Hodotu σ (tzv. rezduálí rozptyl) však můžeme odhadout: ( Y ˆ Y ) ( Y b bx ) S = s = = = 0 e = = ˆ σ. (7) 4

25 Charakterstka s defovaá rov. (7) - výběrový resduálí rozptyl - je estraým odhadem hodoty σ. Dosadíme-l teto odhad do rov. (4) a (5) místo σ, získáme odhady rozptylů regresích parametrů. Ozačme odmocy z těchto odhadů rozptylů sb ( j), j = 0, (směrodatá odchylka ebo také stadardí chyba odhadu regresího parametru). Pak áhodá velča bj βj ~ t, j = 0,, (8) sb ( ) j bj a pro testováí hypotéz β j = 0 můžeme užít statstku ~ t sb ( ) j. Pozámka: Leárí regresí model () můžeme celkem sado zobect, může obsahovat více ež jede regresor. Máme-l k regresorů, k >, leárí regresí model má tvar: Y = β0 + βx + βx + + βkxk + e, =,,, Pak resduálí rozptyl se odhaduje jako ˆ σ e = ( Y ˆ ) Y S = s = = k k tj. součet resduálích čtverců se dělí rozsahem výběru zmešeým o počet parametrů regresího modelu, což je k+. bj βj Pak platí ~ t k, j = 0,,, k, sb ( ) j tedy tyto áhodé velčy mají Studetovo t-rozděleí s -k- stup volost. Příklad: Uvažujme data ze souboru BI97. Naším úkolem je odhad regresích parametrů leárího modelu závslost velčy VAHA a velčě DELKA. V řešeí využjeme statstcký program NCSS. Volbou Fle/Ope otevřeme soubor BI97.S0 (tzv. savefle vytvořeý dříve programem NCSS) a v meu Aalyss vybereme Multple Regresso.. V šabloě regrese zvolíme jako vysvětlovaou velču (Depedet varable) VAHA, jako regresory (Idepedet varables) zvolíme jedou velču, a to DELKA. Po spuštěí výpočtu dostaeme ásledující výstup (zde je uvede v trochu zkráceé podobě): 5

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu. Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určté předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.)

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.) Aktvta Semář základů tattky a workhop (Prof. Ig. Mla Palát, CSc., Ig. Krta Somerlíková, Ph.D.) Stattcké tříděí Základí metoda tattckého zpracováí. Sekupováí hodot proměé, které jou z hledka klafkačího

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK VŠB Techcká uverzta Ostrava Fakulta elektrotechky a formatky DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK Dzertačí práce Studjí obor: Školtel: Doktoradka: Výpočetí a aplkovaá matematka

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní Uverzta Pardubce Fakulta ekoomcko-správí Regresí aalýza vývoje mě Vsegrádské čtyřky vůč euru od roku 993 Pavel Šálek Bakalářská práce 00 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatě. Veškeré lterárí

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více