UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík"

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008

2 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot Jedovýběrový t-test Dvouvýběrový t-test Párový t-test Aalýza rozptylu - jedoduché tříděí... 4 Základy leárí regrese Neparametrcké metody Testy dobré shody Kotgečí tabulky - test ezávslost Zamékový test Jedovýběrový Wlcoxoův test Dvouvýběrový Wlcoxoův test Kruskalův-Wallsův test Spearmaův koefcet pořadové korelace Programové prostředky pro statstcké výpočty Tabulkový procesor Excel Statstcké programové systémy Programový paket NCSS Prezetace výsledků aalýzy dat Prezetace tabulek a užtí vhodých grafů Některé chyby prezetace ve studetských pracích Lteratura - kometovaý sezam Iteraktví učebce pro základí kurs statstky: Statstcké tabulky Dstrbučí fukce ormovaého ormálího rozděleí Vybraé kvatly rozděleí Chí-kvadrát Vybraé kvatly Studetova t-rozděleí Vybraé kvatly Fsherova Sedecorova F-rozděleí Krtcké hodoty pro jedovýběrový Wlcoxoův test... 8 Krtcké hodoty pro dvouvýběrový Wlcoxoův (Maův-Whteyův) test... 8 Krtcké hodoty Spearmaova korelačího koefcetu... 83

3 Úvod Teto text slouží jako opora pro předmět Aalýza dat. Navazuje a kurs Základy matematcké statstky. Cílem kursu je aplkovat základí statstcké zalost v relatvě jedoduchých úlohách, s mž se velm často setkáváme př aalýze dat. I když je text apsá s co ejvětší sahou vysvětlovat uté pojmy jejch aplkac jedoduše bez zbytečých a z pohledu využtí statstckých metod okrajových podrobostí, počítejte s tím, že text ebude oddechová četba a že spoustu věcí bude potřeba důkladě promýšlet a opakovaě se k m vracet, ěkdy s opakováím pojmů z předmětu Základy matematcké statstky. Časovou áročost zvládutí tohoto textu a vyřešeí zadaých příkladů lze odhadout a přblžě 80 až 00 hod. V ěkterých příkladech, jejchž řešeí je uvedeo v učebím textu, se užívají data ze souborů BI97.ASC. Pokud s chcete uvedeá řešeí sam ověřt a zopakovat, tato data s můžete stáhout z webových stráek autora textu, Hlaví úlohou, kterou byste měl osvědčt pozatky získaé v tomto kursu, je aalýza vám vybraého souboru dat z vašeho okolí. Proto se poohléděte po datech, které byste chtěl statstcky zpracovat, a kde jste zvědav a výsledky této aalýzy. Případé ejasost včas kozultujte s vyučujícím. Výsledky aalýzy bude pak potřeba předložt formou vytštěé stručé a přehledé zprávy, pokud možo v rozsahu max. 3 stray. Před přípravou zprávy s prostudujte kap. 7 o prezetac výsledků. Ostatí korespodečí úlohy budou zadáy a začátku semestru. 3

4 Parametrcké testy o shodě středích hodot. Jedovýběrový t-test Jedovýběrový oboustraý t-test byl podrobě vysvětle v učebím textu Základy matematcké statstky. Doporučujeme se k tomu vrátt a základy testováí hypotéz s zovu přpomeout. Máme áhodý výběr ( X, X,, ) rozděleých, tj. X ezávslých áhodých velč ormálě ~ ( µ, σ ), =,,,. Testujeme hypotézu, že středí X N hodota rozděleí populace, z íž máme výběr, tj. µ je rova ějaké daé hodotě µ 0. prot alteratvě, že µ µ 0 Za platost ulové hypotézy má statstka T rozděleí podle ásledujícího vztahu X µ 0 T = ~ t s/ a př oboustraé alteratvě µ µ 0 je krtcký obor W (, t ( /) [ ( /), α t α + ) Pokud hodota T patří do krtckého oboru, tak ulovou hypotézu µ = µ 0 pro daé α zamítáme. Oboustraá alteratva H : µ µ 0 však eí jedá možá formulace alteratví hypotézy. Máme-l k dspozc ějakou aprorí formac o středí hodotě populace, ze které je realzová výběr, můžeme zformulovat alteratvu jedostraě: H 0 : µ = µ 0 H : µ > µ 0 (tzv. pravostraá alteratva) Další postup testu bude zcela aalogcký jako u oboustraého testu, pouze W t ( α), +. Nulovou hypotézu můžeme krtcký obor bude jý, totž [ ) zamítout ve prospěch této alteratvy tehdy, když výběrový průměr X je o hodě větší ež µ 0, přesěj vyjádřeo, když pro hodotu testového krtéra platí X µ 0 t ( ) α. s/ Vdíme, že pravděpodobost eoprávěého zamítutí ulové hypotézy je opět rova hladě výzamost α. Tím, že jsme alteratvu formuloval s využtím ějaké aprorí formace, stačí k zamítutí ulové hypotézy, aby hodota testového krtera T byla alespoň t ( ) α. U oboustraé alteratvy by to bylo t ( α/). Zcela aalogcky, pokud bychom měl k tomu důvod, můžeme formulovat levostraou alteratvu H : µ < µ 0. Pak krtcký obor je W (, t ( α). 4

5 Obecě př užíváí testů, zejméa jedostraých, je vhodé ejdříve formulovat alteratvu ve tvaru obsahujícím tvrzeí, které bychom chtěl prokázat. Pak pokud ulovou hypotézu zamíteme, máme téměř jstotu (s rzkem rovým α ), že tvrzeí vyjádřeé alteratví hypotézou je pravdvé.. Dvouvýběrový t-test Předpokládáme, že máme dva ezávslé výběry o rozsahu, resp., ze dvou ormálě rozděleých populací, prví populace má rozděleí N ( µ, σ ), druhá N ( µ, σ ). Z kaptoly 4. v textu pro Základy matematcké statstky víme (vz rov. 4.-0), že když ezámé parametry σ, σ můžeme považovat za shodé, tedy σ = σ = σ (rozptyl v obou populacích je shodý), pak pro áhodou velču T platí X X ( µ µ ) T = ~ t +. ( ) s + ( ) s + + Chceme-l testovat hypotézu, že středí hodoty v obou populacích jsou shodé, tj. H 0 : µ = µ prot ěkteré z alteratv H : µ µ (oboustraá alteratva) H : µ < µ (levostraá alteratva) H : µ > µ (pravostraá alteratva) užjeme testovou statstku X X Teq =, () ( ) s + ( ) s + + která má za platost ulové hypotézy Studetovo t-rozděleí s + stup volost. Pokud rozptyly v obou populacích shodé ejsou, tj. σ σ, užívá se pro test hypotézy o shodě středích hodot statstka x x T = oeq, () s s + která má přblžě t-rozděleí s ν stup volost, kde počet stupňů volost ν se určí podle vztahu 5

6 ν = s s + s + s Zameá to tedy, že př testováí ulové hypotézy o shodě středích hodot se musíme rozhodout, zda je ebo eí splě předpoklad o shodě rozptylů, tj. σ = σ = σ a podle toho volt testové krterum daé výrazem () ebo (). Toto rozhodutí provedeme testem hypotézy H 0 : σ σ σ. = σ prot alteratvě H : Pokud aše výběry o rozsazích, jsou z ormálě rozděleých populací, N ( µ, σ ), N ( µ, σ ), platí (vz vztah 4.-5, Základy matematcké statstky) s ~ σ ( ) a tedy také platí s / σ s / σ χ a ~ F, ( ) s ~ χ σ Za platost ulové hypotézy σ = σ má testová statstka Sedecorovo rozděleí s parametry,, s = ~ F, s F = s / s Fsher- F (3) Lze se dohodout, že dexováí výběrů zvolíme tak, aby platlo s s. Praktcky to zameá. ve jmeovatel bude meší z obou výběrových rozptylů. Pak krtckým oborem bude W = F ), ( α), +, (4) jým slovy, hypotézu o shodě rozptylů σ = σ zamíteme, když poměr výběrových rozptylů ásledující obrázek, F 59, 6 ( 0, 95) =, 804. s / s bude podstatě větší ež jeda. Stuac lustruje 6

7 hustota F-rozděleí f(x) =59 = α = 0, x Př testováí hypotéz obvykle používáme statstcký software. Př dvouvýběrovém t-testu prováděém v Excelu ejdříve otestujeme hypotézu o shodě rozptylů (v doplňku Aalýza dat fukce s ázvem Dvouvýběrový F-test pro rozptyl) a podle jeho výsledku se rozhodeme, zda máme užít fukc Dvouvýběrový t-test s rovostí rozptylů ebo Dvouvýběrový t-test s erovostí rozptylů. V NCSS je ve výsledcích vyhodocea jak testová statstka () pro rovost rozptylů, tak krtérum () pro eshodu rozptylů. Je a ás, abychom s vybral správou část výsledku pro terpretac. Postup s ukážeme a příkladu. Příklad : Máme posoudt, zda středí hodota velčy K (data BI97) jsou stejé v populac odrůdy odrůdy. Použjeme program NCSS, z meu Aalyss vybereme T-Tests, z ch Twosample. Zadáme k jako Respose varable a velču Odruda jako Group varable (tato velča rozděluje pozorováí do dvou skup) a dostaeme výstup, který zde uvedeme ve zkráceé podobě. Varable k Descrptve Statstcs Secto Stadard 95% LCL 95% UCL Varable Cout Mea Devato of Mea of Mea odruda= odruda= Equal-Varace T-Test Secto Alteratve Prob Decso Power Power Hypothess T-Value Level (5%) (Alpha=.05) (Alpha=.0) Dfferece <> Reject Ho Dfferece < Accept Ho Dfferece > Reject Ho Dfferece: (odruda=)-(odruda=) 7

8 Asp-Welch Uequal-Varace Test Secto Alteratve Prob Decso Power Power Hypothess T-Value Level (5%) (Alpha=.05) (Alpha=.0) Dfferece <> Reject Ho Dfferece < Accept Ho Dfferece > Reject Ho Dfferece: (odruda=)-(odruda=) Tests of Assumptos Secto Assumpto Value Probablty Decso(5%) Skewess Normalty (odruda=) Caot reject ormalty Skewess Normalty (odruda=) Caot reject ormalty Varace-Rato Equal-Varace Test Caot reject equal varaces 0.00 Box Plot 7.00 k G Groups G I zkráceý výstup je dost obsažý a apoprvé ám dá trochu práce se v ěm oretovat a správě terpretovat výsledky. Naším úkolem je testovat ulovou hypotézu o shodě středích hodot prot oboustraé alteratvě, tj. H 0 : µ = µ H : µ µ Stejou ulovou alteratví hypotézu můžeme formulovat takto: H 0 : µ µ = 0 H : µ µ 0 Této formulac odpovídá forma výsledků, kde se objevuje rozdíl středích hodot (dfferece). Ještě se musíme rozhodout, zda máme pro aše rozhodováí užít statstku T eq defovaou rov. () ebo statstku T oeq defovaou rov. (), čl který odstavec z výsledků se ás týká, zda Equal varaces secto ebo Uequal varaces secto. Musíme rozhodout, zda můžeme považovat za splěý předpoklad o shodě rozptylů v obou populacích č kolv. K tomuto rozhodutí ám poslouží test hypotézy H 0 : σ = σ prot alteratvě H : σ σ. Jeho výsledky alezeme v odstavc testů předpokladů (Tests of Assumptos) a řádku Varace-Rato Equal-Varace Test. Tam alezeme hodotu testové statstky spočteé podle vztahu (3) a kromě toho také tzv. dosažeou úroveň výzamost této hodoty, která je uvedea ve sloupc Probablty. Tato výzamost (probablty, ěkdy ozačovaá také p-value, prob-level ebo krátce p) je často užívaou charakterstkou, která usadňuje terpretac výsledků. V případě jedostraého testu, a to teto test je, vz krtcký obor daý vztahem (4), p udává pravděpodobost, že za platost ulové hypotézy bude mít testová 8

9 statstka hodotu větší ež hodotu spočítaou z výběru, tedy v ašem příkladu p = P( X, 5556) 0, 9. Smysl p v tomto příkladu v jých jedostraých testech vysvětluje ásledující obrázek. h u sto ta F -ro zděleí f(x) =59 = ,5556 p = 0, Je zřejmé, že pokud platí p α, ulovou hypotézu zamítáme, jak ezamítáme. Jelkož v ašem příkladu vyšlo p 0, 9, tedy větší ež obvykle voleá hlada výzamost α = 0, 05, přjímáme představu o shodě rozptylů v obou populacích, σ = σ. Proto statstka pro test hypotézy o rovost středích hodot obou populací je statstka T eq defovaá rovcí (). Její hodotu alezeme ve výsledcích v odstavc Equal-Varace T-Test. Její hodota je,7 a u í je uvedea odpovídající hodota p. Jelkož ale v tomto případě se jedá o oboustraý test, p udává pravděpodobost, že za platost ulové hypotézy bude absolutí hodota testové statstky větší ebo rova absolutí hodotě statstky spočítaé z výběru, tedy v ašem příkladu p = P( X, 7) 0, 03. Jedoduše řečeo, u oboustraých testů zamítáme ulovou hypotézu, je-l hodota testové statstky buď velm velká ebo velm malá. Opět pokud platí, že p α, ulovou hypotézu zamítáme. Názorě stuac vdíme a ásledujícím obrázku. x f (x ) p / p / 0 x 9

10 Jelkož v uvedeém příkladu je p 0, 03, hypotézu o shodě středích hodot, tedy µ µ = 0, a hladě výzamost α = 0, 05 zamítáme. Pokud bychom předem z ějakých důvodů zvoll hladu výzamost α = 0, 0, aše výběrová data by ám eposkytovala důvod ulovou hypotézu zamítout. Obecě můžeme říc, že počítačové výstupy výsledků statstckých testů s uvedeým hodotam p usadňují terpretac v tom, že epotřebujeme pro určováí krtckého oboru statstcké tabulky. To, zda vypočteá statstka je č eí v krtckém oboru, pozáme bezprostředě z hodoty p: Je-l p α, víme, že hodota testového krtera je v krtckém oboru, pokud p > α, hodota testového krtera v krtckém oboru eí. V uvedeém dvouvýběrovém t-testu se vychází z předpokladu, že oba výběry jsou z ormálě rozděleých populací. Splěí tohoto předpokladu eí tak důležté, pokud rozsahy obou výběrů jsou dost velké. Jak víme z odstavce o cetrálí lmtí větě, př dostatečě velkém počtu pozorováí má testové krterum X X U = (5) s s + ormovaé ormálí rozděleí N(0,) a př velkém počtu stupňů volost se tvar t - rozděleí přblžuje rozděleí N(0,). Pro velké rozsahy výběrů hodoty testových statstk () a () se přblžují hodotě daé rov. (5) a statstku U můžeme pak použít pro test hypotézy o shodě středích hodot dvou populací lbovolého rozděleí..3 Párový t-test Dalším často užívaým t-testem je tzv. párový t-test. Obecě o párových testech hovoříme tehdy, když máme pro vybraé objekty změřey dvojce hodot, apř. délka levé a pravé kočety, kreví tlak před a po podáí léku, stupeň opotřebeí pravé a levé peumatky atd. Ve statstce je tato stuace ozačováa jako dva závslé výběry stejého rozsahu. Máme-l tedy dva závslé áhodé výběry ( X, X,, X ), ( Y, Y,, Y ), můžeme zjstt rozdíly těchto hodot: D = X Y.a spočítat výběrové statstky, průměr D a rozptyl s D. Př testu hypotézy o shodě středích hodot velč X a Y, tedy H 0 : µ µ = 0 vlastě testujeme, zda středí hodota velčy D je ulová. To je stuace, kterou už záme z jedovýběrového t-testu. Testovým krterem pro test této hypotézy je D Tp =, (6) sd/ která má rozděleí t -. Podobě jako u jedovýběrového testu může být alteratví hypotéza formulováa jako oboustraá ebo jedostraá. 0

11 Př párovém testu můžeme ulovou hypotézu formulovat eje tak, že středí hodoty obou velč jsou shodé, ale tak, že jejch rozdíl je rove hodotě a, H 0 : µ µ = a. Pak testovou statstkou je D a Tp =, (7) sd/ která opět za platost ulové hypotézy má rozděleí t -. Souhr: Statstcký test hypotézy se užívá k rozhodováí za ejstoty. Rozhodujeme mez ulovou hypotézou a alteratvou. Jsou dva druhy chybého rozhodutí. Pravděpodobost chyby I. druhu př testu volíme předem (hlada výzamost). Test hypotézy je aalogcký rozhodováí soudu, ale rozdíl je v tom, že pravděpodobost chyby prvího druhu je u statstckých testů záma, dokoce j zvolíme. Krtcký obor test závsí a tom, jak je zformulováa alteratva. Kotrolí otázky:. Proč testy o parametrech jsou rozhodováí v ejstotě?. Vysvětlete rozdíl mez chybou prvího a druhého druhu. 3. Proč je zamítutí ulové hypotézy pro praktcké rozhodováí užtečější výsledek ež ezamítutí ulové hypotézy? 4. Kdy můžeme formulovat jedostraou alteratvu? Jakou ám to pak přáší výhodu? 5. Čím se lší párový t-test od jedovýběrového t-testu? Pojmy k zapamatováí: statstcké testováí hypotéz ulová hypotéza, alteratva chyby prvího a druhého druhu hlada výzamost síla testu testová statstka (krterum) krtcký obor jedovýběrový t-test dvouvýběrový t-test párové testy, párový t-test hodota testové statstky a odpovídající p-value Korespodečí úlohy č. a Budou zadáy a začátku semestru.

12 3 Aalýza rozptylu - jedoduché tříděí Jako aalýza rozptylu (ANOVA) je ozačová soubor postupů duktví statstky užívaých př testováí hypotéz o středích hodotách př růzém, často velm komplkovaém uspořádáí expermetu. Aalýzou rozptylu se podrobě zabývají specalzovaé statstcké moografe. Zde s ukážeme je základí myšleky aalýzy rozptylu a úloze, která se azývá aalýza rozptylu s jedoduchým tříděím (oe-way ANOVA). K prostudováí této kaptoly by mělo stačt as až 3 hody. Na aalýzu rozptylu s jedoduchým tříděím můžeme pohlížet jako a zobecěí dvouvýběrového t-testu pro stuac, kdy máme testovat shodu středích hodot ve více ež dvou populacích. V takových úlohách emůžeme použít opakovaě dvouvýběrový t-test pro všechy dvojce výběru, pokud chceme, aby pravděpodobost chyby prvího druhu byla rova zvoleé hladě výzamost. Předpokládejme, že máme I ( I ) ezávslých výběrů (tj. pozorovaá data jsou z I růzých skup). Náhodé velčy ( jejch pozorovaé hodoty) v -tém výběru ozačíme Y, Y,, Y, >, =,,, I. Výběry jsou z populací, které mají rozděleí N (, σ ), tedy rozptyly ve všech populacích jsou shodé. µ Celkem tedy máme k dspozc = I = ezávslých áhodých velč. Nulovou hypotézu, kterou chceme testovat, můžeme zapsat jako H 0 : µ = µ = = µ I () Každou tuto áhodou velču můžeme tedy vyjádřt jako součet Y = µ + α + ε, j =,,, ; =,,, I, () j j kde áhodé velčy e j jsou ezávslé a mají stejé rozděleí N (0, σ ), σ > 0. Tím jsme formuloval statstcký model: Každou pozorovaou hodotu Y j považujeme za součet hodoty µ společé pro všechy skupy, hodoty α vyjadřující vlv -té skupy a ormálě rozděleé áhodé složky ε j s ulovou středí hodotou. Hodoty µ, σ, α, α,, α I jsou ezámé parametry modelu. Pokud přdáme tzv. reparametrzačí podmíku I α = 0 =, (3) jsou hodoty parametrů µ, α, α,, α I určey jedozačě a ulovou hypotézu () můžeme zapsat jako H 0 : α = α = = α I = 0 (4) Tato formulace je ekvvaletí formulac (). Parametr α pak můžeme chápat jako výsledek (efekt) charakterzující -tou skupu, v aalýze rozptylu se ěkdy říká efekt -tého ošetřeí (treatmet). Testovaá hypotéza vyjadřuje, že skupy se elší, vlv ošetřeí je ulový.

13 Úkolem aalýzy rozptylu je vlastě vysvětlt varabltu všech vyšetřovaých áhodých velč, čl vysvětlt varabltu jejch pozorovaých hodot. Pro zkráceí dalšího zápsu zavedeme ozačeí Y Y = j= Y j Y = = Y I (skupové součty), j= Y = Y = Y Y I j = = j= I Y = j = (skupové průměry) j (celkový součet), = = Yj (celkový průměr) (5) V těchto zkratkách je vždy dex, přes který se sčítá, vyzače tečkou. Vdíme, že Y je výběrový průměr -tého výběru (skupový průměr), Y je výběrový průměr ze všech pozorováí (celkový průměr, grad mea). Celkovou varabltu pozorovaých hodot charakterzuje součet čtverců odchylek od celkového průměru S T I = j = ( Y ) j Y = (6) Teto tzv. celkový součet čtverců můžeme rozložt I ( ) I S = Y Y = ( Y Y ) + ( Y Y ) = T j j = j = = j = I I I ( Yj Y ) ( Yj Y )( Y Y ) ( Y Y ) = + + = = j = = j = = j = (7) = + + = I I I ( Yj Y ) ( Y Y ) ( Yj Y ) ( Y Y ) = j = = j = = I I ( Yj Y ) ( Y Y ) = j = = = + Prostředí čle v součtu, eboť j = rove ule). I ( Y Y ) ( Y Y ) = 0 j = j =, ( Y Y ) = 0, =,,, I (součet odchylek od průměru je vždy j 3

14 Dva čley v posledím řádku (7) jsou charakterstkam varablty uvtř skup S = ( ) I Y Y (8) e j = j = (součet čtverců odchylek pozorovaých hodot od skupových průměrů), mez skupam = ( ) A I (9) = S Y Y (vážeý součet čtverců odchylek skupových průměrů od celkového průměru). Vztah (7) tedy můžeme přepsat jako ST = Se + S A (0) Jak víme, celkový součet čtverců S T má ( - ) stupňů volost. Mezskupový součet čtverců S A má ( I ) stupňů volost a součet čtverců uvtř skup (také se říká resduálí ebo chybový, Error Sum of Squares) S e má zbylé stupě volost, tj. ( - I). Pokud platí ulová hypotéza (4), je jak statstka S / ( A I ), tak statstka S / ( e I ) estraým odhadem téhož rozptylu σ a jejch podíl má tedy za platost ulové hypotézy F-rozděleí F = SA/( I ) ~ F S /( I) e I, I () Pokud ulová hypotéza eplatí, je statstka S / ( A I ) výrazě větší. Krtckým oborem pro zamítutí ulové hypotézy (4) je W = FI, I( α), + ). Výsledky aalýzy rozptylu jsou obvykle prezetováy v tabulkové formě, v počítačových výstupech se sloupcem s hodotou dosažeé úrově výzamost p, což je pravděpodobost, že áhodá velča mající rozděleí FI, I je větší ebo rova hodotě statstky F. Výzam hodoty p vysvětluje ásledující obrázek. Je zřejmé, že pokud platí, p α, ulovou hypotézu zamítáme, jak ezamítáme. 4

15 hustota F-rozděleí f(x) F p x Tabulka výsledků aalýzy rozptylu s jedoduchým tříděím má ásledující tvar: zdroj varablty mez skupam suma čtverců stupě volost středí čtverec (mea square) S A I S A / (I ) F p S A ( I ) hodota p S ( I ) e uvtř skup S e I S e / ( - I) celkový S T S T / ( - ) U složtějších ávrhů expermetu má tabulka výsledků aalýzy rozptylu více řádků. Zamíteme-l ulovou hypotézu o shodě všech středích hodot H 0 : µ = µ = = µ I, obvykle ás zajímá, která dvojce středích hodot se lší. K tomu slouží testy azývaé mohoásobé porováí (multple comparso). Těch je ěkolk druhů, pops a základí formace k jejch užtí alezeeme v ole mauálu NCSS, zájemce o podrobější formace odkazujeme a lteraturu, apř. Aděl 978, 993, Havráek 993 atd., podobě jako zájemce o složtější modely aalýzy rozptylu. 5

16 Pozámka: Pokud bychom užl aalýzu rozptylu s jedoduchým tříděím a data pocházející je ze dvou výběrů, bude mít statstka F z rov. () tvar S A / F = ~ F, Se /( ) a hodota statstky F bude rova druhé mocě statstky t ze dvouvýběrového oboustraého t-testu pro shodé rozptyly. Tyto dva testy jsou tedy ekvvaletí. Rozkladu celkového rozptylu (0) můžeme užít pro výpočet směrodaté odchylky, máme-l k dspozc pouze skupové charakterstky - průměry x, počty pozorováí a směrodaté odchylky s, =,,, I. Směrodatá odchylka je odmoca z celkového rozptylu, tj. I I ST Se + SA s = = = s + x x = = kde celkový průměr spočítáme jako vážeý průměr skupových průměrů, I x = x =. ( ) ( ), () 6

17 Aplkac aalýzy rozptylu s jedoduchým tříděím ukážeme a ásledujícím příkladu. Příklad: Máme posoudt, zda středí hodota velčy Delka (data BI97) jsou stejé ve všech čtyřech lokaltách. Pro test hypotézy o shodě středích hodot H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 užjeme aalýzu rozptylu s jedoduchým tříděím. Výpočet provedeme s pomocí programu NCSS. V ěm z meu Aalyss vybereme ANOVA, dále Oe-way ANOVA. Zadáme velču Delka jako Depedet varable a velču Lokatta jako Factor varable (tato velča rozděluje pozorováí do čtyřech skup) a dostaeme výstup, který zda uvedeme ve zkráceé podobě: Aalyss of Varace Report Respose delka Box Plot delka lokal Aalyss of Varace Table Source Sum of Mea Prob Term DF Squares Square F-Rato Level A (lokal) S(A) Total (Adjusted) Z tabulky aalýzy rozptylu vdíme, že p = 0,77. Tedy ulovou hypotézu emůžeme zamítout a žádé rozumě zvoleé hladě výzamost. Rozdíly v poloze pozorovaých hodot velčy Delka v jedotlvých skupách (vz krabcové dagramy a obrázku) emůžeme přčítat ějakým systematckým rozdílům mez skupam, ale pouze důsledku ahodlého kolísáí. 7

18 Kotrolí otázky:. Jaká hypotéza se testuje v aalýze rozptylu s jedoduchým tříděím?. Jaké jsou předpoklady pro užtí aalýzy rozptylu s jedoduchým tříděím? 3. Co je celkový průměr a skupové průměry? 4. Čemu se říká celkový součet čtverců a jak jej lze rozložt? 5. Co je v aalýze rozptylu s jedoduchým tříděím testovou statstkou, jaké má rozděleí za platost ulové hypotézy? 6. Kdy zamítáme ulovou hypotézu? Pojmy k zapamatováí: skupové průměry a celkový průměr celkový součet čtverců a jeho rozklad mport a export dat varablta uvtř skup a mez skupam tabulka výsledků aalýzy rozptylu 8

19 4 Základy leárí regrese Regrese je sad ejčastěj užívaá statstcká metoda. Odhaduje se, že 80 až 90 % aplkací statstky je ějakou z varat regresí aalýzy. Prcpy regresí aalýzy se pokusíme vysvětlt a ejjedodušším tzv. klasckém leárím regresím modelu. K prostudováí této kaptoly s vyhraďte as 4 hody. Leárí regrese se zabývá problémem vysvětleí změ hodot jedé velčy leárí závslostí a jedé ebo více jých velčách. Uvažujme ejjedodušší případ, kdy vysvětlujeme velču Y lárí závslostí a jedé vysvětlující velčě x. Data mají tvar, který je uvede v ásledující tabulce: x Y x Y x Y x Y Předpokládáme, že hodoty velčy x umíme astavt přesě (apř. teplotu v termostatu), hodoty Y jsou zatížey áhodým kolísáím, způsobeým třeba epřesostm měřící metody (apř. objem plyu). K dspozc tedy máme dvojc pozorovaých hodot. Grafcké zázorěí takových dat ukazuje ásledující obrázek. Y 0 0 x Na obrázku vdíme, že s rostoucí hodotou velčy x se zhruba leárě měí hodota Y, body a obrázku kolísají kolem myšleé přímky, kterou bychom mohl aměřeým body proložt. 9

20 Hodoty velčy Y můžeme vyjádřt jako součet dvou složek: Y = β0 + β x + ε, =,,, () kde β 0, β jsou ezámé koefcety určující leárí závslost a ε áhodá kolísáí. Pokud středí hodoty áhodého kolísáí jsou ulové, E( ε ) = 0, =,,,, rov. () můžeme přepsat EY ( x = x) = EY ( ) = β + βx () 0 čl středí hodoty áhodých velč Y za podmíky, že velča x má hodotu x, leží a přímce daé rov. (). Rovce () a () formulují regresí model, v tomto případě leárí regresí model s jedou vysvětlující proměou (regresorem) x a vysvětlovaou proměou Y. Nezámé koefcety β 0, β jsou parametry regresího modelu, také se jm říká regresí koefcety. Regresí model je vlastě vyjádřeím aší představy o závslost velčy Y a velčě x. Jedou ze základích úloh regresí aalýzy je odhad parametrů regresího modelu z pozorovaých dat. V případě ašeho leárího modelu je potřeba odhadout regresí koefcety β 0, β z dat, tz. alézt takové hodoty b 0, b, které by určovaly přímku Yˆ = b0 + bx co ejlépe prokládající aměřeá data. Hodoty b 0, b, jsou pak odhady regresích koefcetů β 0, β, Y ɵ je odhadem E( Y x = x ). Co ejlepší proložeí může být formulováo růzým způsoby, ejčastěj se užívá metoda ejmeších čtverců (MNČ), tj. hledáme takové hodoty b 0 (úsek, který vytíá přímka a ose Y), b (směrce přímky), aby součet čtverců odchylek pozorovaých hodot Y od hodot Y ɵ byl co ejmeší: ( ˆ ) ( 0 ) e = = m (3) = = S Y Y Y b bx Metodu ejmeších čtverců vysvětluje ásledující obrázek. Řešíme úlohu, jak volt hodoty b 0 a b, aby součet ploch vyzačeých čtverců byl co ejmeší. 0

21 Y b b x Hodoty b 0, b mmalzující S e alezeme tak, že parcálí dervace S e podle b 0, b položíme rovy ule: S e S e = 0, = 0. b b 0 Tím dostaeme soustavu tzv. ormálích rovc (v tomto případě dvou rovc), v obecém případě, kdy regresí model má více parametrů ež model s jedím regresorem, je počet ormálích rovc rove počtu parametrů. Jsou-l ormálí rovce leárí jako v tomto regresím modelu, říkáme, že regresí model je leárí v parametrech. Sado alezeme, že parcálí dervace jsou rovy ásledujícím výrazům S b e 0 S b e = ( Y b0 b x ) = Y b0 b x, = = = [ ( 0 ) ] 0 = Y b b x x = x Y b x b x. (4) = = = = V mmu jsou parcálí dervace rovy ule, takže po jedoduchých úpravách dostaeme soustavu dvou ormálích rovc 0 b + b x = Y b0 x + b x = xy (5) Řešeí této soustavy rovc můžeme vyjádřt explctě takto:

22 b b = = ( Y b x ) Y bx (6) 0 = x Y x ( x )( Y ) ( x ) ( )( ) ( ) xy x Y = x x. (7) Z rov. (6) vdíme, že přímka proložeá metodou ejmeších čtverců, tj. splňující podmíku (3), prochází bodem xy,. Dosadíme-l z rov. (7) do (6), dostaeme b 0 = = ( xy ) ( x )( Y ) Y ( ) x x ( Y )( x ) ( xy )( x ) x ( ) x x = (8) Nyí přpomeeme ěkteré rovost, které využjeme př dalším výkladu o statstckých vlastostech odhadů b 0, b. ( ) ( ) ( x ) = x x + x = x x = x x x = x xx + x = x x x + x = (9) ( x ) ( ) ( ) x x = x xx x x x x x = = (0) ( x x )( Y Y ) ( xy Yx xy xy ) = xy x Y Y x + xy = = xy xy xy + xy = ( x ) ( Y ) = xy xy = xy = + = ( ) x x Y = xy x Y = x Y = xy = ( x x )( Y Y ) () ()

23 Z rov. (7), (9) a () pak dostaeme ( x )( Y ) [ ] xy b ( ) ( x x)( Y Y ) sxy = = =, ( x ) x x s x ( ) ( ) x kde s x je výběrový rozptyl velčy x a s xy je výběrová kovarace. Jelkož r xy sxy =, vdíme, že b s s x y sxy sy = = rxy. s s x Tz., že směrc regresí přímky můžeme vypočítat z hodoty korelačího koefcetu. Jak vdíme, směrce korelačí koefcet musí mít stejé zaméko. x S využtím () a () můžeme rov. (7) přepsat ( x x ) Y b = x x ( ) (3) Odtud b x x = x x Y ( ) ( ) Pak pro středí hodoty áhodých velč v předchozí rovc platí ( x xx ) β ( x x ) ( ) ( ) ( ) Eb ( ) x x = x x EY ( ) = x x ( β + βx) = 0 = β = Když tuto rovost dělíme výrazem ( x x ) je estraým odhadem parametru β. Podobě pro b 0 můžeme dosadt do (6) Y ( x x) Y x x x ( ) x = ( x x) ( x x), dostaeme E( b ) = β, takže b b0 = Y b x = Y = cy. Můžeme ukázat, že ( x x x x x x ) c = ( x x) ( x x) = ( ) = 0 = a také, že ( x x x x x x x ) ( ) c x = x = x x x ( x x) = = 0 ( x x) Pak pro středí hodotu b 0 platí E( b0 ) = c E( Y ) = c ( β 0 + β) x = β 0 c + β c x = β 0. Tedy b 0 je estraým odhadem parametru β 0. 3

24 Chceme-l určt rozptyly odhadů b 0, b, potřebujeme ještě další předpoklady o áhodé složce e v rov. (): a) E( ε ) = 0, =,,, b) (teto předpoklad už byl vyslove dříve); var( ε) = ( ε) = σ, =,,, E (rozptyl e je kostatí, tzv. homoskedascta); c) cov( ε, ε) = E( ε, ε) = 0, j, j, =,,, j j ( ε, ε j jsou ekorelovaé). Z rov. () vdíme, že var( Y ) = var( e ) = σ. Pak z rov. (3) dostaeme var( b ) = x x var( Y ) = [ ( x x) ] ( ) σ ( x x). (4) Z rov. (4) vdíme, že rozptyl odhadu směrce regresí přímky můžeme sížt vhodou volbou hodot regresoru tak, aby ( x x ) byla co ejvětší. Z rov. (6) dostaeme x var( b0 ) = var( Y ) + x var( b ) = σ + ( x x ) (5) Podobě tedy rozptyl odhadu úseku regresí přímky můžeme sížt zvětšeím x x byla co ejvětší. rozsahu výběru a volbou hodot regresoru tak, aby ( ) Přdáme-l k předpokladům (a), (b), (c) ještě předpoklad (d) d) ε σ = N(0, ),,, (odchylky hodot Y od leárí závslost mají ormálí rozděleí), pak b j βj N j = var( b ) ~ ( 0, ), 0, (6) j Pokud bychom zal var( b j ), mohla by statstka defovaá rov. (6) sloužt jako testové krtérum pro testy hypotéz o parametrech regresího modelu. Obyčejě však var( b j ) ezáme, eboť ezáme σ - vz rov. (4) a (5). Hodotu σ (tzv. rezduálí rozptyl) však můžeme odhadout: ( Y ˆ Y ) ( Y b bx ) S = s = = = 0 e = = ˆ σ. (7) 4

25 Charakterstka s defovaá rov. (7) - výběrový resduálí rozptyl - je estraým odhadem hodoty σ. Dosadíme-l teto odhad do rov. (4) a (5) místo σ, získáme odhady rozptylů regresích parametrů. Ozačme odmocy z těchto odhadů rozptylů sb ( j), j = 0, (směrodatá odchylka ebo také stadardí chyba odhadu regresího parametru). Pak áhodá velča bj βj ~ t, j = 0,, (8) sb ( ) j bj a pro testováí hypotéz β j = 0 můžeme užít statstku ~ t sb ( ) j. Pozámka: Leárí regresí model () můžeme celkem sado zobect, může obsahovat více ež jede regresor. Máme-l k regresorů, k >, leárí regresí model má tvar: Y = β0 + βx + βx + + βkxk + e, =,,, Pak resduálí rozptyl se odhaduje jako ˆ σ e = ( Y ˆ ) Y S = s = = k k tj. součet resduálích čtverců se dělí rozsahem výběru zmešeým o počet parametrů regresího modelu, což je k+. bj βj Pak platí ~ t k, j = 0,,, k, sb ( ) j tedy tyto áhodé velčy mají Studetovo t-rozděleí s -k- stup volost. Příklad: Uvažujme data ze souboru BI97. Naším úkolem je odhad regresích parametrů leárího modelu závslost velčy VAHA a velčě DELKA. V řešeí využjeme statstcký program NCSS. Volbou Fle/Ope otevřeme soubor BI97.S0 (tzv. savefle vytvořeý dříve programem NCSS) a v meu Aalyss vybereme Multple Regresso.. V šabloě regrese zvolíme jako vysvětlovaou velču (Depedet varable) VAHA, jako regresory (Idepedet varables) zvolíme jedou velču, a to DELKA. Po spuštěí výpočtu dostaeme ásledující výstup (zde je uvede v trochu zkráceé podobě): 5

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Fraktálová komprese. Historie

Fraktálová komprese. Historie Fraktálová komprese Hstore Prví zmíky o tzv. fraktálové kompres jsem ašel kdys v bezvadé a dodes aktuálí kížce!! Grafcké formáty (Braslav Sobota, Já Mlá, akl. Kopp), kde však šlo spíše o adšeý úvod a pak

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech)

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech) Pozámk k tématu Koelace a jedoduchá leáí egee (Téma eí ve kptech) Mějme data, ),...,(, ), kteá jou áhodým výběem z ějaké populace. Data ted pokládáme za ezávlé ealzace dvojce áhodých velč ( X, Y ). Půmě

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Téma 5: Analýza závislostí

Téma 5: Analýza závislostí Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

1 STATISTICKÁ ŠETŘENÍ

1 STATISTICKÁ ŠETŘENÍ STATISTICKÁ ŠETŘENÍ Záladem aždého tattcého zoumáí jou údaje (data). Lze je zíat v záadě dvěma způoby. Buď je převzít z ějaého zdroje ebo je am zjtt. Seudárí data údaje, teré převezmeme z růzých zdrojů;

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY

VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY Záklaí pom Rozhoutí výběr eé ebo více varat z mož všech přípustých varat. Rozhoovatel subekt, který má za úkol učt rozhoutí. V úlohách vícekrterálí aalýz varat

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost

Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost Beta fakto a ekvtí péme z czího thu: přeostelost a statstcká spolehlvost Veze 15. 4. 014 chal Dvořák Abstakt Cílem textu je lustovat že český buzoví th eobsahuje dostatečý počet ttulů ke koektímu staoveí

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze. Lukáš Kleňha

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze. Lukáš Kleňha Vysoká škola ekoomcká v Praze Fakulta formatky a statstky Vyšší odborá škola formačích služeb v Praze Lukáš Kleňha egresí aalýza acetovy rogrese o rví hostalzac s CHOPN 0 Prohlášeí Prohlašuj, že jsem

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Jednoduchá lineární závislost

Jednoduchá lineární závislost Jedoduchá leárí závlot Regreí fuce: ),...,, ( 0 m f Předpolad: Fuce je leárí v parametrech: ) (... ) 0 ( 0 f f m m f 0 ()... f m () regreor 0... m regreí parametr určujeme METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Regreí

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

SPOŘENÍ. Spoření krátkodobé

SPOŘENÍ. Spoření krátkodobé SPOŘENÍ Krátkodobé- doba spořeí epřesáhe jedo úrokové období (obvykle 1 rok). Úroky jsou přpsováy a koc doby spořeí. Jedotlvé složky jsou úročey a základě jedoduchého úročeí. Dlouhodobé doba spořeí bude

Více

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí Chb měřeí Druh chb

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více