Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské Technické univerzity Ostrava Řada hornicko-geologická Volume XLIX (2003), No.1, p. 1-22, ISSN

Transkript

1 Sbrník vědeckých prací Vyské škly báňské Technické univerzity Ostrava Řada hrnick-gelgická Vlume XLIX (3, N., p. -, ISSN Petr KUBÍČEK *, Jarmír DRÁPALA **, Alis ADAMUS *** DIAGNOSTIKA TEPLOTNÍCH POLÍ ODVALŮ SE ZÁPAREM I. STACIONÁRNÍ TEPLOTNÍ POLE DIAGNOSTICS OF TEMPERATURE FIELDS OF DUMPS WITH SPONTANEOUS FIRE I. STATIONARY TEMPERATURE FIELD Abstrakt Diagnstika tepltních plí dvalů se záparem umžňuje stanvit základní tepltní a tepelné charakteristiky těcht plí. Vychází se z naměřených hdnt teplt na pvrchu dvalu a ve vrtech. Cílem diagnstiky je pdstatně snížit pčet a velikst malprůměrvých vrtů a dsáhnut maximální přesnsti při určení kvalifikvaných dhadů parametrů tepltníh a tepelnéh ple. Získané údaje služí jak nutný pdklad pr prjekty sanace neb likvidace dvalu se záparem. V tét práci je řešen základní, nejjedndušší případ stacinárníh tepltníh ple dvalu, který předpkládá, že rzlžení tepelných zřídel v hnisku záparu je sféricky symetrické a hustta těcht zřídel je ppsána Gaussvu funkcí. Přesně byl vypčten tepltní prfil na hlavní vertikální se, prcházející středem hniska. Pr výpčet teplt mim tut su byl dvzen přibližný vztah. Jedná se řešení Pissnvy rvnice pmcí bjemvéh ptenciálu. Řešení stacinárníh tepltníh ple dvalu nám umžní získat kvalifikvané dhady základních parametrů tht ple v prvé aprximaci. Tyt dhady pak budu využity při řešení pdstatně slžitějších případů nestacinárních tepltních plí dvalů. Abstract Diagnstics f temperature fields f dumps with spntaneus fire enables t determine basic temperature and thermal characteristics f these fields. It is based n the measured temperature values n the dump surface as well as in brehles. The diagnstics bjective is t reduce cnsiderably the number and size f small diameter bres and t achieve a maximum accuracy when giving qualified estimatins f parameters f temperature and heat fields. The btained data serve as a necessary basis fr prjects f maintenance r dispsal f dumps with spntaneus fire. In the present paper a basic and the simplest case f the dump statinary temperature field is slved which assumes that the distributin f heat surces in the spntaneus fire centre is spherically symmetrical and the density f these surces can be described by Gauss functin. The temperature prfile n the majr vertical axis running thrugh the centre pint f spntaneus fire centre was calculated accurately. An apprximate relatin was derived fr the calculatin f temperatures past this axis. It is a case f the Pissn equatin slutin by means f the vlume ptential. The slutin f the dump statinary temperature field will enable t btain qualified assessments f basic parameters f this field in the first apprximatin. These estimatins will be utilized when slving cnsiderably mre cmplicated cases f nnstatinary temperature fields f dumps. Key wrds: thermal parameters f spntaneus fire, spntaneus fire centre, Pissn and Laplace equatins, vlume ptential, temperature prfiles. * ** *** Prf. Ing., DrSc., Na čtvrti 4, 75 Ostrava - Hrabůvka - terie Prf. Ing., CSc., katedra neželezných kvů, rafinace a recyklace, VŠB - TU Ostrava, Ostrava - Pruba, Jarmir.Drapala@vsb.cz - numerické výpčty pčítačem Dc. Ing., Dr., Institut hrnickéh inženýrství a bezpečnsti, VŠB - TU Ostrava, Ostrava - Pruba, Alis.Adamus@vsb.cz - hlavní řešitel prjektu, prevence samvznícení uhlí

2 . Úvd Účelem diagnstiky tepltních plí dvalů se záparem je stanvení základních parametrů tepltníh a tepelnéh ple dvalu. Tat diagnstika vychází z tepltníh mapvání terénu, tj. z prměření pvrchvých teplt a teplt ve vrtech, cž je první průzkumná etapa, pmcí které se vypracuje prjekt sanace dvalu. Cílem racinální diagnstiky je pdstatně snížit pracnst a nákladnst tepltníh mapvání terénu snížením pčtu a veliksti vrtů, ve kterých je nutn měřit teplty dvalu a prvádění výhradně vrtů s menšími průměry než se dsud prvádí. Naměřené teplty v terénu je pak nutn zpracvat zcela nvým způsbem, který bude vycházet z terie tepltních plí dvalů a umžní pmcí kvalifikvaných dhadů určit např. průběh tepltních prfilů, maximální teplty v dvalu, tepelný výkn hniska záparu, mnžství tepla v dvalu atd. Na základě těcht pznatků je pak mžné určit mnžství tepla, které je nutn dval chladit, sptřebu vdy na chlazvání a jiné parametry, které jsu nutné k prjektu sanace neb likvidace dvalu. Terie tepltních plí dvalů se záparem vychází z rvnic matematické fyziky, tj. z parciálních diferenciálních rvnic eliptickéh a parablickéh typu a představuje řešení rvnice vedení tepla pr stacinární a nestacinární tepltní ple pr knkrétní pdmínky na dvalech. Základem k vypracvání diagnstiky těcht plí budu fyzikálně - matematické mdely tvaru hnisek záparu, které budu charakterizvány různým rzlžením hustty tepelných zřídel. Tyt mdely musí s velku pravděpdbnstí dpvídat charakteru hnisek v dvalvých depniích a pr další analýzu je vhdné, aby drážely určité mezní případy. Na druhé straně je nutn tyt mdely vlit tak, aby jejich matematický ppis byl pměrně jednduchý a výsledné teretické vztahy nebyly příliš kmplikvané, cž usnadní jejich praktické využití. V tét a dalších pracích budeme předpkládat, že rzlžení hustty tepelných zřídel v hnisku záparu je ppsán Gaussvu funkcí. Plchy, na kterých je stejná hustta tepelných zřídel, jsu sustředné kulvé plchy neb pvrchy rtačních elipsidů. Je zřejmé, že v tét matematické aprximaci bude mít hnisk záparu z hlediska tepelných zřídel nestru hranici. Druhým prtipólem těcht mdelů je hnisk ve tvaru válce a uvnitř tht válce bude knstantní hustta tepelných zřídel. Tt hnisk má stru hranici. Uvedené mdely tedy představují dva mezní případy, které mhu nastat v terénu. Jiný charakter mhu mít např. hniska u hrany dvalu. Vzhledem k slžitsti vzniku a šíření záparů v dvalech, jejich nehmgenitě ve slžení a v dalších vlastnstech, mhu výše uvedené mdely hnisek puze aprximvat s větší či menší přesnstí skutečnu situaci in situ". Příčiny dchylek vyplývají zejména ze skutečnstí: a nehmgenita zrnitsti v tělese dvalu a s ní suvisející vytváření transprtních cest pr prnikání vzduchu k hnisku záparu, b nehmgenní slžení dvalu z hlediska bsahu uhelné hmty, c rzdíly v hdntách keficientů tepltní a tepelné vdivsti a dalších faktrech. V případě, že se vyskytuje více samstatných hnisek záparu, jejichž tepltní ple se významně nepřekrývají, analyzují se příslušná tepltní ple u každéh hniska samstatně. Z těcht důvdů může terie pskytnut puze kvalifikvané dhady hdnt parametrů tepltníh a tepelnéh ple dvalu. V praxi nastávají čast případy, kdy tepltní ple dvalu se jeví p dluhu dbu jak ustálené, kvazistacinární. Z matematickéh hlediska budeme tut situaci přibližně ppisvat jak stacinární tepltní ple. Řešení těcht případů je nejjedndušší. Dále budeme předpkládat, že rzlžení tepelných zřídel v hnisku je ppsán Gaussvu funkcí a hnisk je sféricky symetrické. Za těcht předpkladů budeme řešit základní, nejjedndušší případ tepltníh ple dvalu a vyřešení tht případu nám umžní získat dhady hdnt tepltních a tepelných charakteristik dvalu v prvé aprximaci. Tyt dhady pak mhu být využity při analýze pdstatně slžitějších situací nestacinárníh tepltníh ple dvalů. Pznámka: Vzhledem k tmu, že práce bude mít něklik dílů, budu matematické vztahy pr větší přehlednst číslvány zvlášť pr každu kapitlu.. Teretické základy řešení stacinárních úlh Budeme předpkládat, že v určitém časvém bdbí, např. jednh rku, které služí k prvedení průzkumu neb určité etapy sanace, se tepltní pměry v dvalu mál mění. Dále předpkládáme, že hnisk záparu je aktivní p dbu, která je řádvě delší než trvání sanačních prací. Následné teretické

3 analýzy předpkládají, že tent kvazistacinární stav budeme pvažvat za stacinární. V tét kapitle uvedeme základní výchzí vztahy, které budeme dále pužívat pr výpčet parametrů stacinárníh tepltníh ple []. Teplta T(x,y,z,t nestacinárníh tepltníh ple vyhvuje rvnici vedení tepla, tj. parciální diferenciální rvnici parablickéh typu: T q = a T +, t cρ x y z = + +, q = q(x,y,z,t, (. kde je Laplaceův perátr, a je keficient tepltní vdivsti, funkce q charakterizuje tepelná zřídla, c je měrné tepl dvalu, ρ je bjemvá hmtnst dvalu a t je čas. Při stacinárním ději, kdy T/ t =, bdržíme v blasti, kde se nevyskytují tepelná zřídla rvnici Laplacevu V přítmnsti tepelných zřídel platí rvnice Pissnva T =. (. T = - q / λ, λ = c ρ a, (.3 kde λ je keficient tepelné vdivsti. Rvnice (., (.3 jsu parciální diferenciální rvnice eliptickéh typu. Rvnice (., (.3 je mžn řešit v mezených tělesech, pkud je zadána jedna z krajvých pdmínek. Při prvé krajvé úlze je zadána teplta T Σ na pvrchu tělesa, při druhé krajvé úlze je zadána derivace T / nve směru vnější nrmály k plše Σ a pr třetí krajvu úlhu platí Σ TΣ n ( Σ TV + kt =, (.4 kde k je keficient výměny tepla a T V je teplta vnějšíh prstředí. Třetí krajvá úlha (.4 bude hrát důležitu rli v našem případě řešení tepltníh ple dvalu. Tat krajvá pdmínka vychází ze skutečnsti, že hustta tepelnéh tku J k pvrchu tělesa je rvna husttě tepelnéh tku J V v bklpujícím prstředí a dpvídá výměně tepla pdle Newtnva zákna na pvrchu tělesa s bklpujícím prstředím, jehž teplta T V je známá. TΣ J = λ, J V = b (T Σ - T V, k = b / λ, (.5 n kde b je knstanta. Řešení Pissnvy rvnice (.3 v prstru lze vyjádřit pmcí bjemvéh ptenciálu, který je definván vztahem []: T ( x, y, z = q( ξη,, ζ ( x + ( y + ( z dξdηdζ λ (.6 ξ η ζ 4 V Objemvý ptenciál (.6 vyjadřuje tepltu v bdě M(x,y,z, jestliže v tělese bjemu V jsu rzlžena tepelná zřídla husttě q a vyhvuje Pissnvě rvnici (.3 uvnitř tělesa a Laplacevě rvnici (. vně tělesa. Obrátíme nyní pzrnst k řešení prvé krajvé úlhy pr Laplacevu rvnici (., kdy na pvrchu tělesa je známá teplta T Σ. Řešení krajvých úlh se prvádí pmcí zřídlvé funkce a k jejímu sestrjení se nejčastěji pužívá metda elektrstatických brazů []. Pr naše účely řešení tepltníh ple dvalu bude důležitá znalst zřídlvé funkce pr plprstr z >, pmcí které lze napsat řešení prvé krajvé úlhy [] pr Laplacevu rvnici (.: z T ( x, y, z = T ( ξ, η dξ dη Σ (.7 3/ ( ξ x + ( η y + z Vztah (.7 udává tepltu v libvlném bdě M(x,y,z v plprstru z >, jestliže v rvině z = je rzlžení teplty ppsán funkcí T Σ. Funkce T (x,y,z vyhvuje Laplacevě rvnici (. v plprstru. 3

4 Vztahy (.6, (.7 jsu základní vztahy, pmcí kterých budeme přibližně analyticky řešit stacinární tepltní ple dvalu. V dalších výpčtech se bude velice čast vyskytvat integrál Laplaceův - Gaussův, tj. funkce erf z a funkce erfc z, které jsu definvány vztahy: z ξ = ξ, ( z erf z e d erf (.8 erfc z = - erf z. (.9 Funkce erf z je tabelvána [] a pr velké hdnty z ji lze přibližně vyjádřit pmcí asympttickéh rzvje, tj. pmcí semidivergentní řady a platí []: z e.3 n ( n 3 erfc z +... ( Rn n z z ( z ( z + (. Pr velikst zbytku R n p n-tém členu byl dvzen vztah: R n ( z ( n z e <. (. n z Pr numerický výpčet hdnt funkce erfc z pčítačem se tabelvané hdnty lgaritmvaly a pak byly pmcí metdy nejmenších čtverců aprximvány plynmem čtvrtéh stupně, tj. kde lg(erfc z a z + a z + a 3 z 3 + a 4 z 4, z < 3,9, (. a = -,484; a = -,95; a 3 = -,74; a 4 = +,35. (.3 Tat aprximace se ukázala jak velice přesná. Maximální rzdíly max v % d tabelvaných hdnt jsu uvedeny v tab.. Funkci erfc z pak vypčteme pdle vztahu (.. Tabulka. Přesnst vypčtených hdnt erfc z aprximvaných pdle rvnice (. a (.3. z,5,5,5, ,9 max ( %,5,8,,6,4,34 Pznámka: Některé pčítačvé prgramy bsahují výpčet funkce erfc z s přesnstí větší než uvádí tab.. 3. Stacinární tepltní ple 3. Průběh teplty v dvalu v se hniska bez krajvé pdmínky Pr výpčet rzlžení teplty v dvalu bez krajvé pdmínky, tj. v nemezeném prstředí, pužijeme vztah (.6 v kap. pr bjemvý ptenciál. K tmut účelu je nutné si explicitně vyjádřit funkci q(x,y,z, ppisující rzlžení hustty tepelných zřídel v hnisku záparu. Uvažujme dále situaci pdle br. 3., kde střed hniska se nachází v hlubce L pd pvrchem a r je vzdálenst d sy, r = x + y. Rzlžení hustty tepelných zřídel v dvalu ppíšeme pmcí Gaussvy funkce r z =, (3. q q e α β kde q je maximální hustta tepelných zřídel ve středu hniska, α, β jsu keficienty, charakterizující rzlžení zřídel. Čím větší jsu hdnty keficientů α, β, tím více jsu tepelná zřídla lkalizvána v blízksti středu hniska. Z definice funkce q viz (3. je zřejmé, že v tmt přiblížení nemá hnisk, tj. blast bsahující tepelné zřídl, stré hranice. V případě, že α = β jsu plchy se stejnými hdntami q sustředné kulvé plchy, tj. hnisk je symetrické. Pr α < β klesá ve směru sy z hustta tepelných zřídel rychleji než ve směru plměru r, tj. v hrizntálním směru a hnisk lze přirvnat k zplštělému rtačnímu elipsidu, tj. připmíná svým tvarem disk. Jestliže α > β lze přirvnat hnisk k prtáhlému rtačnímu 4

5 elipsidu, kde sa z je su rtace, pr α > β se jedná zplštělý rtační elipsid. Vlba funkce (3. dráží se značnu pravděpdbnstí mžné tvary hniska záparu v dvalu i skutečnst, že hranice tht hniska nejsu v reálných případech stře vymezeny. Dále je tvar funkce (3. velice výhdný z hlediska jednduché integrace, která je nutná k výpčtu bjemvéh ptenciálu a tedy k stanvení funkce T (x,y,z viz (.6. Dále je nutn si uvědmit, že pkud bychm chtěli stanvit rientační "rzměry" hniska ze vztahu (3., tj. parametry z, r, musel by pr tyt parametry platit q(z,r q. Pr větší hdnty z, r je příspěvek z těcht tepelných zřídel k výsledné tepltě dvalu již malý neb zanedbatelný. Pdle (.6 a značení na br. 3. vypčteme část bjemvéh ptenciálu, který přísluší plprstru z > nad středem hniska pr bd na pvrchu v se hniska ve vzdálensti L d středu hniska a dsadíme za q ze vztahu (3.. u r, L L L β z α r β z α u q re q e T = dr dz du dz 4 λ = = 4 L z + r L z + u ( λ ( z z L L - z z r střed hniska pvrch ( L z + r Obr. 3. Označení parametrů pr výpčet kmpnent stacinárníh tepltníh ple T i, i =,. L L q + L q e α e e α η + = d dz = e α e erfc L z d λ 4λ β ( β α z α L z L ( β α z α Lz η α ( z L z ( = η = L z + u V prvém integrálu ve vztahu (3. jsme vyjádřili bjemvý element dv = r dr dz. V tét kapitle budeme řešit symetrický případ, kdy stejné hustty tepelných zřídel jsu rzlženy na sustředných kulvých plchách, tj. platí α = β a další výpčet je pak velice jednduchý. Při pužití substitucí:, (3. bdržíme ξ = β ( L z, γ = β L, (3.3 q 4 γ γ γ ξ + T = e e erfcξ dξ λβ, (3.4 Integrál ve vztahu (3.4 vypčteme pmcí metdy per partes. γ ( ( γ + γ ξ + γ + γ ξ ξ + γ + γ e erfc d e erfc e d e erfc e erf (3.5 ξ ξ = γ + ξ = γ + γ γ γ γ q + γ = ( γ + γ γ T e erfc erf e. (3.6 8 λβγ Vztah (3.6 udává tedy příspěvek k bjemvému ptenciálu z prstru, mezenéh rvinu z =, prcházející středem hniska a pvrchem dvalu. Příspěvek T z dlníh plprstru, tj. z <, který budeme pvažvat za nemezený, se vypčte zcela bdbně. Budeme-li uvažvat abslutní hdntu z, pak platí ( L z u, z, ξ ( L z η= + + = β + (3.7 5

6 a pdle vztahů (3., (3.4, (3.5 lze psát γ ( γ + γ ξ + T e e erfc d e erfc q q = ξ ξ γ 8λ =. (3.8 8λβγ γ Hdntu teplty na pvrchu v se z, tj. ve vzdálensti L d středu hniska, lze ppsat pmcí funkce T = T + T, tj. pmcí vztahu (3.6 a (3.8 a tat výsledná funkce nepředstavuje skutečnu tepltu pvrchu dvalu, prtže d řešení nebyla zahrnuta 3. krajvá pdmínka, která bere v úvahu chlazvání pvrchu vnějším prstředím. T q γ = ( + erfγ 8λβγ e. (3.9 Dále budeme uvažvat důležitý případ, kdy vzhledem k veliksti keficientu β je střed hniska v dstatečné hlubce L pd pvrchem a platí γ, erf γ, e γ,8.. (3. Za předpkladů (3. lze vztah (3.9 pdstatně zjedndušit q T, γ β L 4λβ γ = (3. a velikst teplty je nepřím úměrná vzdálensti L. Vypčteme nyní tepltu ve středu hniska, tj. maximální tepltu T max, která pět nezahrnuje vliv krajvé pdmínky na pvrchu. Pstup bude zcela bdbný jak v předchzích případech a budeme pět dděleně uvažvat hrní a dlní plprstr. L β( z + r γ q re q T max = dr dz erfcξ dξ erfcξ dξ, ξ z. 4λ = + z r 4λβ = + β (3. Integrál na pravé straně vztahu (3. se vypčte metdu per partes. γ γ γ η γ erfcξ dξ= ξ erfcξ + e dη= γ erfcγ + e, η= ξ. (3.3 Dsadíme vztah (3.3 d rvnice (3. a upravíme T max q γ e = + erfcγ λβ γ (3.4 Pr γ lze vztah (3.4 zjedndušit přibližným vyjádřením funkce erfc γ pmcí asympttickéh rzvje viz vztah (. a platí q T max (3.5 λβ Teplta T max udaná vztahem (3.5 nezahrnuje vliv 3. krajvé pdmínky na pvrchu dvalu, tj. jeh chlazvání, a prt pr skutečnu maximální tepltu T max ve středu hniska platí: T max < T max. Dsud jsme vypčetli řešení Pissnvy rvnice T v se na pvrchu dvalu a ve středu hniska. V dalším textu vypčteme funkci T v libvlném bdě z na se z. Budeme uvažvat značení pdle br. 3.. Abychm vypčetli v tmt případě bjemvý ptenciál, je nutn uvažvat příspěvek T k tmut ptenciálu z dlníh plprstru, tj. z <, který je dán vztahem (3.8. Dále musíme brát v úvahu prstr 6

7 mezi rvinami z = a z = L z a tent příspěvek T (z je vyjádřen vztahem (3.6, d kteréh dsadíme míst parametru γ prměnnu γ z r pvrch z (, γ = β L z = γ γ γ = βz.(3.6 L ( L z z + r Knečně musíme brát v úvahu prstr mezi rvinami z = L z a z = L, který je na br. 3. vyznačen šrafvaně. Vypčteme tent příspěvek T 3 (z i zcela bdbným způsbem jak funkci T viz (3., (3.4, (3.6. z Obr. 3. Označení parametrů pr výpčet funkce teplty T v libvlném bdě z na se z. r z β ( L z z' r + + γ q re q γ γ ξ T3 ( z = drdz = e e erfcξ d 4 λ z' + r 4λβ ξ = γ γγ { } q = e e erfcγ erfγ + erf γ, ξ= βz'. 8λβ γ (3.7 Průběh teplty v se z v hrním plprstru dvalu je zřejmě dán funkcí T (z = T (z + T + T 3 (z a na základě vztahů (3.6, (3.6, (3.8, (3.7 lze p úpravě psát q ( ( γ γ γ = + γ γ γ T z erf erf e erfc 8λβ γ ( γ = βl, γ = β L z, γ = βz (3.8 Přesný finální vztah (3.8 lze pr ppis průběhu teplty v krátkých vrtech zjedndušit. Pr γ > je funkce erf γ a dále platí Za předpkladu, že je splněna nervnst + =. (3.9 γ γγ γ γ ( γ γ e erfcγ <<, (3. lze získat jednduchý finální vztah, pužitelný v blízksti pvrchu dvalu v se hniska ( T z Pužijeme-li vztah (3.5 pr T max, lze psát q erf γ, γ >. (3. 4λβ γ ( T z T max γ erf γ. (3. Z přesnéh vztahu (3.8 lze pmcí limitníh přechdu vypčíst tepltu ve středu hniska, tj. pr z = L γ =, γ = γ a p výpčtu bdržíme vztah (3.5. Zde je nutné znvu upzrnit, že teplta 7

8 L z z zr z r r pvrch Oblast Oblast Oblast 3 Obr. 3.3 Knfigurace pr výpčet funkce T (z v dlním plprstru. T (z, udaná vztahem (3.8, je vyšší než skutečná teplta v se hniska v hrním plprstru, prtže zde není zahrnut chlazvání dvalu pvrchem, tj. 3. krajvá pdmínka. Pr úplnst je nutn ještě vypčíst funkci T (z, která bude ppisvat průběh teplty v dlním plprstru viz br. 3.3, ve kterém jsu vyznačeny tři blasti, které přispívají k celkvému bjemvému ptenciálu. Pdle br. 3.3 bude v tmt případě z vzdálenst libvlnéh bdu na se z v dlním plprstru d středu hniska. Výpčty budu bdbné jak pr hrní plprstr v předchzím textu. Příspěvek k bjemvému ptenciálu T (z zahrnuje blast mezi středem hniska a pvrchem, tj. < z < L. Pak platí L β ( z + r γ+ γ q re q γ + γ ξ T ( z = drdz e e erfcξdξ, 4λ = 4 z z r λβ + + γ ( (3.3 ( z z ξ= β +. Výpčet integrálu na pravé straně vztahu (3.3 byl prveden v rvnici (3.5, pstup výpčtu je stejný, puze prměnná ξ je rzdílně definvána prti vztahu (3.3. P výpčtu bdržíme q + γγ + γ + γ T ( z = e erfc( γ + γ e erfcγ + erf γ 8λβ γ (3.4 Pr γ > lze vztah (3.4 zjedndušit. Vyjádříme si přibližně funkci erfc(γ+γ pmcí asympttickéh rzvje viz (.. Pak platí e + γ γ+ γ Za předpkladu, že je splněna nervnst (3.5, lze psát γ e erfc( γ + γ <<, γ >. (3.5 γ ( + γ q ( ( + γ γ T z e erfc. (3.6 8λβ γ V blízksti hniska, tj. pr γ <<, lze pmcí přibližnéh vyjádření funkce erfc γ Mac'Laurinvu řadu vypčíst q T ( z, γ <<. (3.7 4λβ Dále se budeme zabývat příspěvky k bjemvému ptenciálu z dlníh plprstru. Pr další výpčty budeme rientvat v br. 3.3 su z směrem dlů a nejdříve vypčteme příspěvek T (z z prstru mezi hrizntálními rvinami, z nichž jedna prchází středem hniska a druhá bdem z. Pak platí 8

9 z β ( z + r q re q + γ γ T ( z = drdz e erfcγ 4 e erf γ λ = + 8 z z r λβ γ + (. (3.8 Knečně vypčteme pslední příspěvek T 3 (z k bjemvému ptenciálu, který zahrnuje blast pd rvinu prcházející bdem z a tut blast ve směru sy z budeme pvažvat za nehraničenu. Obdbně jak v předchzích případech lze psát pdle br β ( z + r q re q γ T3 ( z = drdz e erfcγ 4 λ = + 8 z z z r λβ γ + (. (3.9 Pr γ << ze vztahu (3.9 plyne T 3 (z = q /(4λβ. Průběh teplty T (z v dlním plprstru 3 je zřejmě dán sučtem T ( ( pužitím relací (3.4, (3.8, (3.9 bdržíme z = T i z a i= q + γ γ+ γ T ( z = e erfc( γ + γ + erf γ + erf γ (3.3 8λβ γ Vztah (3.3 vyjadřuje tedy exaktní průběh teplty T (z v se v dlním plprstru. Vzhledem k tmu, že řešení Pissnvy rvnice T (z nezahrnuje krajvu pdmínku chlazvání dvalu pvrchem, bude tat teplta vyšší nežli skutečná teplta. Rzdíl teplt však bude menší než případ T (z pr hrní plprstr viz (3.8. Uvedeme nyní pdmínky, které musí být splněny, aby byl mžné vztah (3.3 zjedndušit. Pr γ > si vyjádříme přibližně pmcí asympttickéh rzvje viz vztah (. prvý člen v hranaté závrce rvnice (3.3. Pak platí Dále lze aprximvat e + γγ+ γ erfc ( γ γ γ e + << γ ( + γ. (3.3 erf γ -, γ >. (3.3 S hledem na vztahy (3.3 a (3.3 lze psát ( T z q erfγ, γ >. (3.33 4λβ γ Přibližný vztah (3.33 je frmálně shdný se vztahem (3. resp. (3.. Prvnáme-li exaktní vztahy (3.8 a (3.3 pr průběh teplty v hrním a dlním plprstru, vidíme, že bsahují rzdílné členy γ γγ + e erfcγ a e γ γ ( + γ erfc γ + γ. Teplta v hrním plprstru je tedy pněkud menší než v dlním. Pr tepltu ve středu hniska, tj. pr γ = β, z =, bdržíme ze vztahu (3.3 hdntu T max, udanu vztahem (3.5. Závěrem lze tedy knstatvat, že jsme v tét kapitle dvdili řešení T (z Pissnvy rvnice ve vertikální se hniska pr hrní a dlní plprstr za předpkladu, že rzlžení tepelných zřídel je udán vztahem (3. pr sféricku symetrii, tj. α = β. V tmt případě představují sustředné kulvé plchy místa, kde je stejná hustta tepelných zřídel. Tent mdel hniska představuje určitu mezní situaci prti reálnému případu hniska v dvalu a uvažvané hnisk nemá stré hranice. Řešení Pissnvy rvnice byl dvzen pmcí bjemvéh ptenciálu a vypčtený průběh teplty v se nezahrnuje krajvu pdmínku, tj. chlazvání dvalu pvrchem. Skutečné teplty jsu prt nižší prti tepltám, které udává funkce T (z, definvaná vztahem (3.8 pr hrní plprstr, vztahem (3.3 pr dlní plprstr. Tyt vztahy jsu exaktní. Pr γ = β L >, tj. za předpkladu, že střed hniska je v dstatečné hlubce, lze pužít zjedndušené vztahy (3. neb (3. a (3.3. Zahrnutí krajvé pdmínky bude předmětem další 9

10 kapitly. Dále je nutn uvést, že ke všem finálním dvzeným řešením je nutn připčíst knstantu T v, která představuje dluhdbý průměr teplty vzduší. 3. Zahrnutí krajvé pdmínky na pvrchu dvalu V předchzí kapitle jsme řešili Pissnvu rvnici bez krajvé pdmínky. V tét kapitle budeme řešit Laplacevu rvnici pr plprstr, kde krajvá úlha bude zvlena tak, aby sučet bu řešení splňval 3. krajvu pdmínku na pvrchu dvalu, tj. jeh chlazvání vnějším prstředím. Řešení pět prvedeme ve vertikální se hniska. Budeme uvažvat vztah (.7 v kap., který r udává řešení Laplacevy rvnice pr plprstr, kde pvrch v rvině z = je zadána pvrchvá teplta T Σ (x,y. Vzhledem k tmu, že hledáme řešení v se z viz br. 3.4, je x = y =, z = z, ξ + η = r. Střed hniska se nachází v hlubce L pd pvrchem a na vertikální se v bdě z = z = bude maximální pvrchvá teplta T Σ max. Rzlžení teplty pvrchu dvalu T Σ (r získáme L z měření pvrchvé teplty dvalu a tut funkci budeme aprximvat Gaussvu křivku z Obr. 3.4 Knfigurace k výpčtu funkce T (z. ( ( max ( ( κ r Σ Σ + T r T T e T T r T r T Σ Σ T T T Σmax Σmax.,, (3.34 kde κ je keficient, který určíme např. metdu nejmenších čtverců z naměřených hdnt, T je teplta pvrchu ve velké vzdálensti r. Dsadíme T Σ r ze vztahu (3.34 d relace (.7. Pak platí ( + + κ r κ r ze r e T T ( z = dξ dη z T dr 3/ 3/ = = ξ η ( ( + + z r + z / z + κ z κ / η + κ z κ z / ξ = Tz e e dη= Te e dξ, ξ η ξ η η ξ η r = +, d d = rdr, u = r, =, = z u+ z (3.35 kde T je neznámý parametr, který jsme dsadili míst T Σ max, který určíme z 3. krajvé úlhy a vyjádřili jsme element plchy dξ dη = r dr. Pslední integrál v pravé straně vztahu (3.35 se vypčte pmcí substituce u = /ξ, metdy per partes a substituce v = u a platí κ z / ξ κ z e dξ = e κ z erfc κ z (3.36 Dsadíme relaci (3.35 d vztahu (3.36 a bdržíme ( ( ( + ω T z = Tf ω, f ω = ωe erfcω, ω = κ z. (3.37 Vztah (3.37 je finálním řešením Laplacevy rvnice pr plprstr na vertikální se hniska v případě, že pvrchvá teplta je ppsána funkcí (3.34. T je neznámý parametr, který určíme v následujícím textu z prcesu chlazvání pvrchu dvalu vzduším, tj. z 3. krajvé úlhy - viz vztah (.4. Výsledné řešení Pissnvy rvnice T(z na vertikální se, které bude respektvat 3. krajvu úlhu, je dán rzdílem řešení

11 ( ( ( T z = T z T z. (3.38 Vyjádříme si explicitně řešení T(z v blízksti pvrchu dvalu, tj. pr ( γ = β L z γ, z << L, γ. Z exaktníh vztahu (3.8 pr T (z bdržíme rvnici (3.9, d které dsadíme ze vztahu (3.5. S hledem na vztah (3.37 pr T (z bude v blízksti pvrchu platit T max γ + ω ( ( γ ( ω ω T z + erf e T e erfc + T 4γ γ = βl, ω = κz., (3.39 V dalších finálních vztazích nebudeme pr jednduchst stále uvádět knstantu T = T, kde v T v je průměrná rční teplta vzduší. Uvažujme nyní vztah (.4 pr 3. krajvu úlhu. Abychm vypčetli derivaci T / nve směru vnější nrmály, je nutn vypčíst Σ ( ( γ ( ( ( dt z dt z dt z =. (3.4 dz dz dz γ ( γ e γ ( γ dt z dt T = γ e erf e dz dl 4γ + + γ β max γ β Tmax β Tmax, γ >. γ γ (3.4 Pslední přibližné výrazy v pravé straně (3.4 platí za předpkladu, že střed hniska je v dstatečné hlubce L pd pvrchem, kdy γ = βl > a lze je pužít jen při splnění tht předpkladu. Funkce T (γ je dána vztahem (3.9. Ze vztahu (3.37 vypčteme dt ( z ( + ω dz = κ T + ω e erfcω ω, (3.4 dt ( z = κ T. (3.43 dz Při výpčtu derivace ve směru vnější nrmály k pvrchu T Σ / nje nutn si uvědmit, že směr vzrůstu L je pačný vzhledem k směru vzrůstu z. Vliv krajvé pdmínky v tmt případě zvětšuje výsledný tepltní gradient u pvrchu a platí - viz (3.4, (3.43 T Σ max T β Σ + > n γ T max κ T, γ. (3.44 Uvažujme pět 3. krajvu pdmínku (.4. Z měření v terénu známe maximální tepltu pvrchu, tj. tepltu v bdě z = na vertikální se, prcházející středem hniska. Dále známe tepltu vnějšíh prstředí, tj. tepltu vzduší T v a keficient výměny tepla k. Zavedeme značení T max max S hledem na vztahy (3.44 a (3.45 lze přepsat 3. krajvu pdmínku T = T Σ T (3.45 max v

12 β γ T max κ T k Tmax, γ + = >, (3.46 kde T max udává vztah (3.5. Vztah (3.46 je finální rvnicí pr 3. krajvu pdmínku s neznámým parametrem T. Pravu stranu vztahu (3.5 určíme z měření v terénu. Napíšeme nyní výsledné řešení Pissnvy rvnice, které zahrnuje 3. krajvu pdmínku, tj. funkci T(z ppisující průběh teplty ve vertikální se v plprstru nad středem hniska. Vyjdeme ze vztahů (3.38, (3.8 a (3.37. Vzhledem k tmu, že tt řešení budeme pužívat pr ppis průběhu teplty v krátkých vrtech, lze pužít míst vztahu (3.8 přibližné řešení T (z, udané vztahem (3.. Pak platí T max + ω T ( z erf γ T( ωe erfcω, γ (3.47 ( γ = β L z, ω = κz, γ = βl. Pr experimentálně zjištěnu pvrchvu tepltu pr γ >, tj. erf γ T Σ max musí pdle vztahu (3.47 pr z = platit TΣ max T max T, γ, (3.48 γ TΣmax = TΣmax T.... viz (3.34. Rvnice (3.48 je druhu finální rvnicí. Z rvnic (3.46 a (3.48 lze eliminvat neznámý parametr T a p výpčtu bdržíme výslednu rvnici, která zahrnuje splnění 3. krajvé pdmínky Tmax + κ κ TΣ max k Tmax, γ β L. (3.49 γ L V rvnici (3.49 jsu parametry κ, k, Neznámé parametry jsu T max, β, L. T Σ max, T max známé, prtže je lze určit z měření v terénu. Závěrem tét kapitly lze knstatvat, že byla dvzena funkce T(z, udaná vztahem (3.47, která ppisuje průběh teplty ve vertikální se nad středem hniska pr γ > a zahrnuje v parametru T 3. krajvu pdmínku. Pr tent parametr T byly dvzeny rvnice (3.46 a (3.48. Známe-li z měření v terénu teplty T exp (z i v krátkých vrtech, lze z rvnic (3.46 až (3.48 určit základní parametry hniska, tj. maximální husttu tepelných zřídel q - viz vztah (3.5 pr T max, rzlžení tepelných zřídel, charakterizvané parametrem β, a hlubku L hniska pd pvrchem. Knkrétní pstup pr jejich určení bude uveden v druhém dílu práce. Jestliže není splněna pdmínka γ >, je nutn pr T (z pužít přesný vztah (3.8 a pstup výpčtu bude stejný jak v tét kapitle, ale výsledné vztahy budu kmplikvanější. Průběh teplty T(z v se v dlním plprstru, tj. pd středem hniska, udává pět relace (3.38, d které dsadíme za T (z přesný vztah (3.3 neb přibližné výrazy (3.3 resp. (3.33. Vztahy (3.46 a (3.48, bsahující T, zůstávají v platnsti. 3.3 Průběh teplty mim su hniska

13 Uvažujme pět vertikální su z, která prchází středem hniska a d průsečíku tét sy s pvrchem umístíme pčátek suřadnic. Na pvrchu dvalu, ve vzdálensti x d tét sy, pvedeme rvnběžku s su z, která je pět klmá k pvrchu. V tét kapitle vypčteme přibližně průběh teplty v dvalu na tét rvnběžce, tj. průběh teplty mim vertikální su hniska. y l(ρ ρ ρ l(ρ x x Obr. 3.5 Knfigurace k výpčtu průběhu teplty mim su hniska. Uvažujme dále značení pdle br. 3.5, který ilustruje značení s x, y na pvrchu neb v rvině rvnběžné s pvrchem v hlubce z pd pvrchem. V dalším textu prvedeme pět výpčet bjemvéh ptenciálu bdbným způsbem jak v kap. 3. a zřídlvé funkce pr plprstr pdle kap. 3.. Abychm mhli tyt výpčty prvést stejným způsbem, je nutn nejdříve dvdit vztah pr střední hdntu kvadrátu průvdiče l ( ρ. Pdle br. 3.5 platí pr bdy x, y na kružnici plměru ρ a pr l(ρ. Vztah (3.5 pr l ( ( ( x x + y = ρ, l ρ = x + y = ρ + xx x, (3.5 x + ρ ( ( l ρ = ρ x + xx dx= ρ + x. (3.5 ρ x ρ ρ je základním vztahem, který umžňuje velmi přibližné výpčty průběhů teplt mim vertikální su z, která prchází středem hniska záparu. sa prcházející hniskem x pvrch r L l(ρ ρ střed hniska Obr. 3.6 Knfigurace k přibližnému výpčtu funkce T (z mim su hniska. 3

14 Budeme uvažvat br. 3.6 a vypčteme bdbně jak ve vztahu (3. část bjemvéh ptenciálu, který přísluší bjemu mezi středem hniska a pvrchem. V našem mimsvém případě je však nutné dsadit míst r funkci l ( ρ d expnentu a dále míst r plměr ρ. ( L z β β ( ρ L z l q ρe q ρ 4λ 8 ( γ γ β x + γ γ T ( x = d dz = e e erfc + erf e. (3.5 + ρ λβγ Hdntu teplty T (x na pvrchu ve vzdálensti x d vertikální sy, prcházející středem hniska, vypčteme bdbně jak vztah (3.9 a s hledem na (3.5, (3.5 lze psát q β x ( ( γ T x = e + erfγ e. (3.53 8λβγ Prvnáme-li vztahy (3.5, (3.53 se vztahy (3.6, (3.9, je zřejmé, že průběh teplty ve vzdálensti x d sy hniska se liší d průběhu teplty v se hniska faktrem e Stejné výsledky bychm bdrželi i pr T(z,x - viz (3.8, (3.3. β x, statní výrazy zůstávají stejné. Obrátíme nyní pzrnst k výpčtu zřídlvé funkce pr plprstr ve vzdálensti x d sy, prcházející hniskem. Výpčet prvedeme pdle vztahu (3.35, kde pět dsadíme míst r plměr ρ a d expnentu míst r funkci l ( ρ. Pak lze psát ( ρ ( ρ + z ω ( κ l ρe κ x + (, = ρ = ω ω, ω = 3/ T z x z T d Te e erfc κ z. (3.54 Prvnáme-li vztah (3.54 se vztahem (3.37 je zřejmé, že se liší puze expnenciálním faktrem x e κ, který zahrnuje vliv vzdálensti x d sy, prcházející středem hniska. Vyšetříme nyní krajvé pdmínky na pvrchu dvalu ve vzdálensti x d sy, prcházející středem hniska. Pdle vztahu (3.34 platí pr tepltu na pvrchu ( x T x T max e κ Σ = Σ. (3.55 S hledem na předchzí výpčty přepíšeme vztah (3.48, d kteréh zahrneme faktry e β x κ x, e T e = e T e γ κ x β x κ x Σ max. (3.56 Aby byl splněn vztah (3.56 pr tepltu na pvrchu ve vzdálensti x d sy je nutné, aby platil β = κ. (3.57 Dále přepíšeme vztah (3.46, respektující 3. krajvu pdmínku, d kteréh dsadíme za T max ze vztahu (3.45 a vztah (3.57 kde pr stacinární stav platí T v = T - viz (3.34. β βx βx T max e + β Te = k TΣ maxe γ β x (3.58 S hledem na vztah (3.47 a na vypčtený faktr e teplty ve vzdálensti x d sy, prcházející středem hniska: ( β x γ ( T max + β T ( z, x x erf γ T γ e erfcγ e, γ můžeme napsat finální vztah pr průběh γ = β L z, γ = β z = ω, γ = βl, β = κ. (3.59 4

15 Vztah (3.59 lze výhdně využít v praxi pr přibližné stanvení parametru β, který charakterizuje rzlžení hustt tepelných zřídel v hnisku - viz (3.. Změříme-li teplty na pvrchu a v pdpvrchvých vrtech v blasti maxima teplty na pvrchu, tj. v se hniska a mim su hniska ve vzdálensti x, bude platit - viz (3.59 T( z, x (, x = T z β x = e (3.6 Vzhledem k tmu, že z měření v terénu známe levu stranu rvnice (3.6, lze z tét rvnice stanvit hdntu β. Zde je nutn si uvědmit, že k výpčtu průběhu teplty v bdě x, tj. mim su hniska, jsme pužili střední hdnty l ( ρ - viz (3.5. Výsledný vztah T(z,x - (3.59 je prt vzhledem k závislsti na x jednduchý, ale puze přibližný a lze h pužít pr hdnty β x <. Pdrbněji se budeme zabývat tut prblematiku při řešení nestacinárníh ple. 3.4 Výpčet tepelnéh výknu hniska Pr přibližný výpčet tepelnéh výknu P hniska pužijeme vztah (3. pr α = β, d kteréh dsadíme s hledem na vztah (3.6 r = x. Výpčet rzdělíme na hrní plprstr a dlní plprstr. Tyt plprstry jsu vymezeny hrizntální rvinu, prcházející středem hniska. Pr bjemvý element dv platí dv = x dx. dz. Pak lze pr tepelný výkn P hniska psát 3/ 3/ L P q x e β e β dz e β dz dx q erf q = + = + β β x z z ( γ, γ. (3.6 Vzdálenst z je ve vztahu (3.6 rientvána d středu hniska a dval ve směru hrizntálním i v dlním plprstru pvažujeme za neknečné prstředí. Pdmínka γ ve vztahu (3.6 dkumentuje případ, kdy je střed hniska v dstatečné hlubce a výsledný vztah byl mžn zjedndušit. Uvažvané hnisk záparu, ve kterém je rzlžení hustty tepelných zřídel ppsán funkcí (3., nemá stré hranice a jak již byl uveden, ppisuje tent mdel mezní případ. Vypčteme nyní pr názrnst tepelný výkn v kuli plměru R se středem v hnisku. Pr příslušný tepelný výkn P(R zřejmě platí: R 3/ R β = = ρ β ρ, (3.6 P( R 4 q R e dr q ( erf e ρ R = r +z, ρ = β R, kde z je vzdálenst d středu hniska ve vertikálním směru. Budeme nyní vlit hdntu ρ a ze vztahu (3.6 bdržíme: ρ = βr = P( R =,74q β ρ = βr = 3 P( R =,888q β 3/ 3/, (3.63. (3.64 Prvnáme-li vztah (3.63 se vztahem (3.6 pr γ je zřejmé, že v kuli plměru R je sustředěn 74% tepelnéh výknu celéh hniska, v kuli plměru R viz (3.64, je sustředěn 89% tepelnéh výknu P hniska. Vyjádříme nyní tepltu T max ze vztahu (3.5 pmcí tepelnéh výknu P viz (3.6 a pr γ platí: T β P T P = γ. (3.65 λ γ λ L max max, 3/ 3/ 5

16 Pr tepltu T (z ze vztahu (3. lze pak psát { β ( } ( P erf L z T z 4λ L z, γ = βl. (3.66 Ve vztazích (3.65, (3.66 jsme tedy vyjádřili T max a tepltní průběh T (z pmcí tepelnéh výknu hniska. Ze vztahu (3.65 pr T max plyne, že při P = knst. rste T max s růstem β, tj. rste se zmenšváním zóny, ve které jsu ulžena tepelná zřídla, cž dpvídá fyzikální pdstatě jevu. Dále je ze vztahu (3.66 zřejmé, že v případě, kdy určíme z měření teplt na pvrchu a v krátkých vrtech parametry L, T viz např. (3.48, lze pak vypčíst T max / γ a tím přím určíme tepelný výkn P hniska. 3.5 Výpčet mnžství tepla v dvalu Prvedeme nejjedndušší přibližný výpčet mnžství tepla Q v dvalu, které byl vyprdukván hniskem tepelném výknu P. Odval budeme pvažvat v hrizntálním směru za nemezený, ve vertikálním směru je v hrním plprstru mezen pvrchem, tj. vzdálenstí L d středu hniska a v dlním plprstru vzdálenstí z h d hniska. Omezení vzdálensti z h bude prveden v kap Pr výpčet pužijeme vztah (3. pr funkci T (z, ve kterém pr zjedndušení zápisů nahradíme γ prměnnu η = β z, kde vzdálenst z je rientvána d středu hniska. Mnžství tepla, které dpvídá tepltě T (z, značíme Q. Znvu připmeneme, že funkce T (z byla vypčtena pmcí bjemvéh ptenciálu a nezahrnuje krajvu pdmínku. Dále je nutn vzít v úvahu průběh teplty T (z viz (3.37, (3.38, který zahrnuje krajvu pdmínku a dpvídající mnžství tepla značíme Q. Budeme brát v úvahu vztah (3., resp. (3.33, dále vztah (3.6 a bjemvý element dv = x dx dz. Pr mnžství tepla Q bude pak platit L zh T max β x erf η erf η Q = cρ xe dz dz dx η η + = T erf erf η d η η 3/ β L β z h max η = cρ dη + β η (3.67 Abychm mhli vypčíst integrál na pravé straně vztahu (3.67, je vhdné si vyjádřit funkci erf η pmcí plynmu erf η 4 n anη η η m. (3.68 ń= a =,75; a = -,45; a 3 = -,7; a 4=,869 (3.69 Plynm (3.68, (3.69 aprximuje funkci erf η s přesnstí p, která je uvedena v tab.. Tab.. Přesnst p pr různé hdnty η v plynmu funkce (3.68. η,,,,,4,4,7 p [%] < 3,7 3,7,9,9 < Pr integrál ve vztahu (3.67 pak platí: β z 4 erf η an n dη η... η= βz ηm, (3.7 n η n= 6

17 kde budeme uvažvat η m =,7 a dtud plyne erf η m, ln η m =,536. Pr η > η m lze psát β z erf η d η,53 + ln η ln η m. (3.7 η Hdntu,53 ve vztahu (3.7 bdržíme ze vztahu (3.7 pr η =,7. Výsledný vztah pr tepl Q získáme z relací (3.67, (3.7 a (3.7. 3/ 4 T max an n n ( h h β n= n Q cρ γ + η, γ = β L<,7; η = βzh,7 < (3.7 3/ T max n Q cρ ( + ln γ + ln ηh, γ >, 7;, 7 β η h > (3.73 3/ 4 T max an n n h β n= n Q cρ γ + + ln η, γ <, 7; η h >, 7. (3.74 Index h v (3.7 až (3.74 u η h, z h značuje hraniční hdntu, kteru bude definvat relace (3.89. Pslední případ nastává čast v praktických aplikacích. Vypčteme nyní mnžství tepla Q, které přísluší tepltnímu průběhu T (z viz (3.37 ve válci plměru x m a výšce L+z h. Vyjdeme ze vztahu (3.54 pr T (z,x a pr Q lze psát ω ( L+ zh xm κ x + = Q = cρ T x e ωe erfcω dx dz κ ( L+ zh κ xm + ω = cρ T 3/ ( e ( ωe erfcω dz, ω = κ z. (3.75 κ Prměnná z je rientvána d pvrchu směrem k hnisku. Výpčet integrálu ve vztahu (3.75 uvedeme pdrbněji. Pužijeme metdy per partes a a a + ω + ω, ωe erfcωdω = e erfcω + dω a a a a + ω + ω u' = ωe ; v= erfcω; u = e (3.76 a Dsadíme-li vztah (3.76 d vztahu (3.75 bdržíme 3/ + κ + Q = cρ T e erfc L z + e κ h. (3.77 ( L zh κ xm κ ( ( Zjedndušíme vztah (3.77. Pr dval, který je nemezený v hrizntálním směru, platí x m. Pužijeme-li dále asympttický rzvj viz (., lze psát ( L z h κ ( h ( L+ zh ( h + κ + e erfc L+ z, κ L+ z >>. (3.78 κ Platí-li také κ ( L+ z h <<, (3.79 bdržíme přibližný, jednduchý vztah pr Q 7

18 Q cρ T κ 3/. (3.8 Výsledné mnžství tepla Q v dvalu bude dán, s hledem na vztah (3.38, rzdílem Q = Q - Q, (3.8 kde za Q a Q dsadíme z relací (3.7 až (3.74 a ( Odhad tepla dvedenéh vzduším Abychm mhli psudit správnst některých pstupů a hdnt vypčtených parametrů, prvnáme mnžství tepla Q, které dpvídá vlivu krajvé pdmínky, s tepelným tkem z pvrchu dvalu u příslušnéh hniska a s dpvídajícím mnžstvím takt dvedenéh tepla Q Σ d vzduší během dby existence hniska t ex. Z terénních měření lze určit tepltní gradient u pvrchu ve vertikální se hniska T Σ max / z, tj. v místě s maximální pvrchvu tepltu, pdle (3.55 a (3.57 přibližně platí T z ( x T max z e β x, (3.8 kde x je vzdálenst d vertikální sy prcházející středem hniska (tj. x = r. Pr výpčet mnžství tepla, které přejde z pvrchu dvalu d vzduší je nutná znalst střední hdnty gradientu, tj. T / max z během celé dby půsbení hniska. Pr náš dhad předpkládáme, že během celé dby t ex půsbení hniska je q = knst., tj. mhutnst tepelných zřídel se s časem nemění. Hdnta tepelnéh gradientu se mění s časem d nuly d T Σ max / z a v prvé aprximaci plžíme T max z T max z. (3.83 Pr mnžství tepla Q Σ, které je dveden za dbu t ex z celéh pvrchu části dvalu, který přísluší danému hnisku s hledem na vztahy (3.8 a (3.83, platí T max β r λtex T Q λtex re dr = z β z max. (3.84 Hdnta Q Σ ze vztahu (3.84 musí krespndvat s hdntu Q pdle vztahu (3.77 resp. (3.8, tzn., že tat tepla musí být srvnatelná Q ~ Q Σ. ( Odhad dby existence hniska záparu V kap. 3.5 jsme za předpkladu stacinarity tepltníh ple dvalu prvedli dhad mnžství tepla Q v dvalu. Pdle (3.8 je Q = Q - Q, kde hdnta Q zahrnuje vliv krajvé pdmínky na pvrchu dvalu. V důsledku tét krajvé pdmínky byl tepl Q viz (3.77, (3.8 dveden za dbu činnsti t ex d vzduší a musí platit vztah (3.85. Dbu existence hniska dhadneme z hdnt tepla Q a tepelnéh výknu hniska P. Nejdříve je však nutné pdrbněji analyzvat mnžství tepla Q, které dpvídá stacinárnímu tepltnímu pli. Obrátíme prt pzrnst k průběhu teplty v dlním plprstru a k teplu Q pr velké hdnty z h, tj. pr ηh β z h >>. Pdle vztahů (3.33, (3.67, (3.73, (3.74 platí 3/ γ,7 ηh T max T max erf η erf η dη T( zh ; Q = cρ dη dη η + + h β η η η (3.86,7 Ve vztahu (3.86 pr T(z h je mžn pr η h >> zanedbat vliv krajvé pdmínky. Uvážíme-li vztahy (3.73, (3.74 lze pr Q psát 8

19 3/ T max Q = cρ ( Ai + ln ηh, β i =, (3.87 A = + ln γ γ >,7 ; η h >,7; γ = β L, ( an n A = n γ + γ <,7; η h <,7. n= Ze vztahu (3.87 je zřejmé, že platí Q (η h. T znamená, že mnžství tepla v nemezeném prstru ve stacinárním tepltním pli je nemezené. Tepltní ple se stává stacinárním za dbu t. Z th plyne, že tepelná zřídla půsbí během dby t. V reálných případech se však u dvalů vždy jedná nestacinární stavy, prtže tepelná zřídla půsbí během knečné dby t ex. V těcht nestacinárních plích klesá teplta T(z h se vzrůstem z h rychleji, než udává stacinární případ, pr který platí T(z h / z h viz (3.86 pr velké hdnty z h. Prt i mnžství tepla Q v nestacinárním tepltním pli je knečné. Chceme-li tedy dhadnut mnžství tepla Q ve stacinárním tepltním pli, které by byl srvnatelné s reálným případem nestacinárníh ple, musíme mezit vzdálenst z h d středu hniska d dlníh plprstru a na základě úmluvy plžíme η = βz. (3.89 h S mezením η h pdle vztahu (3.89 budeme tedy prvádět výpčty Q ve stacinárním tepltním pli. Dále je nutn si pvšimnut vztahu (3.59, který ppisuje tepltní ple T(z,x s hledem na závislst tét teplty na vzdálensti x d vertikální sy, prcházející středem hniska. Tent vztah lze frmálně přepsat ( ( h x = =. (3.9 T z, x T z, x e β Odvzení závislsti T(x byl prveden v kap. 3.3 a při tmt dvzení byl pužit zjedndušení, které využíval střední hdntu l ( ρ - viz (3.5. Prt i výsledný výraz (3.9 vzhledem k prměnné x je přibližný. V kapitlách, které se budu zabývat tereticku analýzu a praktickými příklady výpčtu nestacinárníh tepltníh ple ukážeme, že tepltní závislst T(x z (3.9 se vzrůstajícím x klesá pr větší hdnty x střeji, nežli skutečné tepltní ple a uvedenu aprximaci lze přibližně pužít puze pr nepříliš velké hdnty β x, např. β x,5. Tut prblematiku se budeme zabývat v dalších pracích. Tam také ukážeme, že tepltní prfily v hrizntálním směru závisí ve skutečnsti také na hlubce z p pvrchem. Omezené pužití vztahu T(z,x pdle (3.9 resp. (3.59, vzhledem k veliksti β, rvněž mezuje prvádění diagnstiky stacinárníh tepltníh ple, prtže k určení parametru můžeme využít s vyhvující přesnsti puze vrty, jejichž vzdálenst x d centrálníh vrtu, jehž sa prchází středem hniska, není příliš velká. Při výpčtu Q jsme prváděli integraci vztahu (3.9 s příslušným bjemvým elementem přes parametr x viz (3.67, a prt i mnžství tepla v hrizntálním směru je mezené. Z výše uvedených skutečnstí tedy vyplývá, že závislst prezentvaná funkcí (3.9 s hledem na x a pdmínku (3.89 pr z h při výpčtu Q mají za následek, že takt stanvená hdnta tepla Q bude srvnatelná s hdntu Q, která přísluší nestacinárnímu tepltnímu pli, kde budu v následujících publikacích prvedeny příslušné numerické výpčty. x β 9

20 Na základě výše uvedených pznámek lze pr dhad dby činnsti hniska psát: t Q P [ s] ex, rk = 3,54. 7 s, (3.9 kde pr tepelný výkn v hnisku P platí vztah (3.6 a tepl Q udávají vztahy (3.73 a (3.74 pr η h viz (3.89. Výpčet t ex pdle vztahu (3.9 předpkládá, že maximální hustta, resp. mhutnst tepelných zřídel q viz (3., (3.6, je vlastně střední hdntu q během celé dby půsbení hniska záparu. Dále je nutn si uvědmit, že t ex je vlastně dhad minimální dby činnsti hniska, prtže hnisk samvznícení dsáhne v inkubační fázi kritické teplty a následně jinéh charakteru záparvých chemických reakcí. Pté djde k prstrvému šíření samvzněcvacíh prcesu, až nabude plně sférickéh tvaru, který je ppsán rvnicí (3. pr α = β a teprve pak h můžeme charakterizvat parametrem β. 3.8 Psuzení kvazistacinarity tepltníh ple Tepltní ple v dvalu může být nestacinární neb kvazistacinární, tzn. že se může u dluhdbých hnisek záparu přibližvat idealizvanému stacinárnímu stavu, který nastane pr t. V následné práci budu řešeny praktické příklady určvání tepltních a tepelných charakteristik v dvalu, tj. jeh diagnstika a k těmt charakteristikám přísluší i psuzení, zdali je analyzvané tepltní ple kvazistacinární neb nestacinární. Tt hdncení lze prvést ze znalsti dhadu dby t ex činnsti hniska a ze znalsti teretickéh řešení prblematiky nestacinárníh tepltníh ple, které bude publikván pzději. Abychm zachvali kntinuitu výkladu vzhledem k numerickým řešením v další práci, uvedeme již zde kritérium k psuzení nestacinarity tepltníh ple. Ple je nestacinární v případě, že platí ϕ ( t = <,75 atβ <,94; t = t ex. ( atβ 3.9 Závěr V tét práci byl prveden přibližné analytické řešení stacinárníh tepltníh ple dvalu se záparem. Předpkládali jsme mdel hniska záparu s nestru hranicí, kdy rzlžení tepelných zřídel je ppsán Gaussvu funkcí viz (3. a hnisk je sféricky symetrické, tj. α = β ve vztahu (3.. P výpčtu průběhu teplty na základní vertikální se, prcházející středem hniska, byl prveden přibližný výpčet průběhu teplty na vertikále ve vzdálensti x d základní sy tj. mimsvý případ a dvzenu funkci lze pužít pr nepříliš velké hdnty β x.v další části práce byl d výpčtů zahrnut respektvání 3. krajvé pdmínky na pvrchu dvalu, které prezentuje chlazvání tht pvrchu vzduším. P výpčtu stacinárníh tepltníh ple byly dvzeny vztahy pr dhady tepelných charakteristik dvalu, tj. maximální mhutnsti tepelných zřídel q, tepelnéh výknu hniska P, mnžství tepla v dvalu Q, mnžství tepla, které je dveden z pvrchu dvalu vzduším Q Σ resp. Q a knečně dhad dby půsbení hniska t ex. Terie dvzená v tét části tvří základ pr diagnstiku tepltníh a tepelnéh ple dvalu za předpkladu stacinarity tht ple a sféricky symetrickéh hniska. V druhém dílu práce ukážeme, že pmcí tét diagnstiky lze ze znalsti pvrchvých teplt a teplt v krátkých vrtech na dvalu určit základní parametry, které charakterizují hnisk záparu a příslušné tepltní ple. Mezi tyt parametry patří dhad hlubky L hniska pd pvrchem, maximální teplta v hnisku, rzlžení tepelných zřídel, které je charakterizván parametrem β a dále již výše uvedené veličiny q, P, Q, Q Σ, t ex. Hlubka krátkých vrtů se předpkládá většinu d 5 m s mžnstí dplnění údajů v minimálně jednm vrtu d hlubky 6 m až 8 m. Teretické základy pr diagnstiku byly vypracvány pr sféricky symetrické hnisk a stacinární tepltní ple. V praxi tvar hniska nemusí splňvat pžadavky symetrie a tepltní ple jsu většinu nestacinární. U nestacinárníh ple klesá teplta s rstucí vzdálensti d hniska rychleji než u stacinárníh ple. Prt tepltní gradient u pvrchu u nestacinárníh ple je většinu menší v prvnání se stacinárním plem. V případě, že hnisk je v nevelké hlubce, djde pměrně brzy mezi pvrchem a hniskem k ustálenému stavu a rzdíl v tepltním prfilu na vertikální se prcházející středem a pvrchem u bu druhů tepltních plí není příliš velký. V reálném dvalu se mhu vyskytvat také anmálie v hdntách keficientů tepltní a tepelné vdivsti a terie pracuje puze se středními hdntami

21 těcht veličin. Z těcht důvdů může terie, předlžená v tét práci, dát pdklady pr prvedení prvé aprximace kvalifikvaných dhadů základních parametrů tepltníh a tepelnéh ple a z nich budu vycházet pstupy při diagnstice dvalu v následující práci. Další upřesnění dhadů umžní teprve terie nestacinárníh tepltníh ple. Vzhledem k tmu, c byl řečen nehmgenitě dvalů v úvdu tét práce znvu zdůrazňujeme, že se jedná puze dhady hdnt výše uvedených parametrů. Tat práce vznikla v rámci řešení grantvéh prjektu a s finanční pdpru Grantvé agentury ČR reg. č. 5/3/658 Teretické základy řešení některých prblémů sanace a likvidace dvalů se záparem a jejich využití v praxi. Literatura [] Tichnv A.N., Samarskij A.A.: Rvnice matematické fyziky. Praha, ČSAV, 955, 765 s. [] Rektrys K. et all.: Přehled užité matematiky. Praha, SNTL, 968, 36 s. Summary In this wrk an apprximate analytical slutin f the statinary temperature field f dump with spntaneus fire was carried ut. We assumed a mdel f the spntaneus fire fcus with a fuzzy bundary when the distributin f heat surces can be described by Gauss functin see (3. and the centre is spherically symmetrical. Having calculated the temperature prfile n the main vertical axis running thrugh centre pint f spntaneus fire fcus, an apprximate calculatin f the temperature prfile n the vertical line in a distance x frm the main axis i.e. an extra-axial case, was perfrmed. In the further part f the wrk the calculatins respected the third bundary cnditin n dump surface, which presents the surface cling by the air. The statinary temperature field calculatin was fllwed by the derivatin f relatins fr assessing f the dump heat characteristics, i.e. the maximum capacity f heat surces, the heat utput f the spntaneus fire fcus, the heat amunt within the dump, the heat amunt remved frm dump surface by air and the assessment f fcus activity time. Such diagnstic theretical fundamentals were elabrated fr a spherically symmetrical fcus and a statinary temperature field. In reality, hwever, the shape f fcus usually des nt meet the requirement f symmetry and the temperature fields are mstly nn-statinary. In nn-statinary temperature fields, the temperature decreases with the distance frm the fcus faster than in statinary fields. Therefre the temperature gradient at nn-statinary field surface is mstly smaller in cmparisn with the statinary field. If the fcus is nt very deep, a statinary state is established between the surface and spntaneus fire fcus relatively sn and the difference f temperatures n the vertical axis thrugh the fcus and the surface is nt very imprtant fr bth types f temperature fields. In real dumps, anmalies f the temperature and thermal cnductivity cefficients values may ccur and the thery wrks with the mean values f these quantities. These are the reasns why the thery presented in this wrk may serve as fundamentals fr perfrming the first apprximatin f qualified estimatins f basic parameters f the temperature and heat fields and these will represent the basis fr prcedures f the dump diagnstics included in the fllwing wrk. A thery f nn-statinary temperature field will enable t specify the estimatins mre precisely. Recenzenti: Prf. RNDr. Zdeněk Dstál, CSc., VŠB-TU Ostrava Ing. Jarslav Němec, DrSc., Energie Kladn

22