- M matice hmotností - K matice tlumení - C matice tuhostí. Buzení harmonické. Buzení periodické

Transkript

1 Maticvý zápis phybvých rvnic pr případ vynucenéh kmitání dynamickéh systému s více stupni vlnsti. Pr systém autnmní netlumený naznačte pstup výpčtu vlastních frekvencí a tvarů kmitání s využitím pznatků vlastních číslech a vlastních vektrech matice. Phybvá rvnice - M matice hmtnstí - K matice tlumení - C matice tuhstí Mq + Kq + Cq = Q(t) Buzení harmnické Buzení peridické f(t) = f(t + T) = a 0 + c k sin(kω + t) = a 0 + [a k cs ( kωt) + b k sin (kωt)] k=1 k=1 c k = a k 2 + b k 2 ; φ k = arctan ( a k b k ) ; κω = Ω i T perida κ řád harmnické slžky ω frekvence harmnické slžky Pstup výpčtu Mq + Cq = 0 vlné netlumené kmitání (K=0), autnmní systém (Q=0) Řešení q = ae ιωt matice suřadnic, a vektr amplitud, Ω úhlvá frekvence, dsadím d Mq + Cq = 0 q i = a i e ιωt jedna suřadnice q i z matice q jen tak na kraj Dstanu (C Ω 2 M)a = 0, kde C Ω 2 M je čtvercvá matice. Aby tat sustava rvnic měla nenulvé řešení, musí platit det(c Ω 2 M) = 0 (frekvenční determinant) Ω 1, Ω 2 Ω n úhlvé frekvence

2 Když (C Ω 2 M)a = 0 vynásbím inverzní maticí M 1, získám rvnici (M 1 C Ω 2 I)a = 0 Ω 2 jsu vlastní čísla matice M 1 C Prvedu Jacbih metdu rtací a dstanu výslednu rvnici CA M = Ω 2 MA M A M = a 1, a 2 a n mdální matice (matice vlastních tvarů) 2 Ω 1 0 Ω 2 = spektrální matice, Ω 2 1, Ω 2 2 Ω 2 n - hledané vlastní frekvence 2 0 Ω n Uveďte maticvý zápis phybvých rvnice pr případ vynucenéh kmitání dynamickéh systému s více stupni vlnsti. Naznačte pstup výpčtu amplitud ustálenéh vynucenéh harmnickéh kmitání v reálné prměnné. Phybvá rvnice - M matice hmtnstí - K matice tlumení - C matice tuhstí Mq + Kq + Cq = Q(t) Buzení harmnické Buzení peridické f(t) = f(t + T) = a 0 + c k sin(kω + t) = a 0 + [a k cs ( kωt) + b k sin (kωt)] k=1 k=1 c k = a k 2 + b k 2 ; φ k = arctan ( a k b k ) ; κω = Ω i T perida κ řád harmnické slžky ω frekvence harmnické slžky Pstup výpčtu Q(t) = p c cs(ωt) + p s sin(ωt)

3 Q k (t) = d k sin (ωt + γ k ) γ, fázvý psuv; d k amplituda d k = p 2 ck + p 2 sk ; γ k = arctan ( p ck ) vztahy mezi d p k, γ k a slžkami vektrů p s a p c sk Mq + Kq + Cq = p c cs(ωt) + p s sin(ωt) výsledná rvnice ustálenéh vynucenéh harmnickéh kmitání v reálné prměnné Naznačte pstup výpčtu amplitud ustálenéh vynucenéh harmnickéh kmitání v kmplexní prměnné. Q(t) = Im(Qe jωt ) vektr zatížení q(t) = Im(qe jωt ) vektr výchylek Q = jp c + p s q = jx c + x s P dsazení Q(t) = Im[(jp c + p s )(cs(ωt) + j sin(ωt))] d k = p 2 ck + p 2 sk ; γ k = arctan ( p ck ) vztahy mezi d p k, γ k a slžkami vektrů p s a p c sk P rznásbení Q(t) = Im[p s cs(ωt) p c sin(ωt) + j(p s sin(ωt) + p c cs(ωt))] Výsledná rvnice p dsazení d phybvé rvnice a vykrácení členu e jωt ( ω 2 M + jωk + C)q = Q C jsu t hlavní suřadnice a jakým pstupem se získávají Hlavní suřadnice jsu Suřadnice, pr které jsu příslušné matice hmtnsti a tuhsti diagnální. Hlavní suřadnice se získávají pmcí mdální transfrmace. Ta vede k rzpadu sustavy u rvnic na m nezávislých rvnic systému, které lze řešit lehce. A M = a 1, a 2 a n mdální matice q 1, q 2... q n půvdní suřadnice

4 z 1 z 2 q = A M Z, Z =, Z - hlavní suřadnice z n Mq + Kq + Cq = Q(t) P aplikvání hlavních suřadnic Zjedndušeně Harmnický budící mment je dán zápisem v kmplexní prměnné M = (150 + j230)e j65t. Uveďte ekvivalentní zápis v reálné prměnné M = (150 + j230)e j65t = (150 + j230)[cs(65t) + jsin (65t)] = 150 sin(65t) + 230cs (65t) Harmnický budící mment je dán zápisem M(t)=150cs(250t)+350sin(250t). Uveďte ekvivalentní zápis v kmplexní prměnné. M(t) = 150 cs(250t) sin(250t) = (350 + j150)(cs(250t) + j sin(250t)) = (350 + j150)e j250t

5 Pr pdélné kmity spjité tenké tyče naznačte pstup dvzení phybvých rvnic Předpkládá se rvnměrné rzlžení napětí ρ p průřezu tyče a lineárně elastický (Hkvský) materiál. Psunutí - ξ = ξ(x, t) σ = Eε = E l l P = Sσ = SE ξ x = E (ξ+ ξ x dx) ξ = E ξ dx x dm = ρsdx hmtnst elementu plchy x ξ (SE ) = ρs 2 ξ x t 2 napětí síla P(x, t) + P(x, t) + becné řešení P(x, t) dx = dm 2 ξ x t 2 ξ(x, t) = u(x)sin (Ωt + γ) partikulární řešení. Z fyzikálníh hlediska znamená, že jedntlivé průřezy mhu harmnicky kmitat se zatím neznámu amplitudu u(x) a s neznámu vlastní frekvencí Ω. Okrajvé pdmínky pr tyč s jedním kncem vetknutým a druhým vlným jsu ξ(0, t) = 0 u(0) = 0 P(l, t) = 0 u (l) = 0

6 U klikvéh hřídele řadvéh šestiválce byla měřením trzních kmitů zjištěna reznance harmnické slžky řádu 9 při t /min. Stanvte hdntu vlastní úhlvé frekvence. κ = 9 řád harmnické slžky n = /min táčky klikvé hřídele Ω 9 =? vlastní úhlvá frekvence κω = Ω 9 Ω 9 = κ πn π 1650 = 9 = 1555 rad s Výpčtem byla stanvena první vlastní úhlvá frekvence trzních kmitů klikvéh hřídele řadvéh šestiválce Ω = 1476,54 rad/s. Určete táčky v 1/min harmnické slžky budících mmentů řádu κ = 6. κω = Ω 6 κ πn 30 = Ω 6 n = 30Ω ,54 = = 2350 min 1 κπ 6 π Které řády harmnických slžek budících mmentů jsu hlavními řády v případě trzních kmitů KH 2D řadvéh pětiválce? Které řády nazýváme hlavními? z = 5 pčet válců κ 2D = 5; 10; 15; 20 - hlavní řády pr 5V 2D κ 4D = 2,5; 5; 7,5; 10 - hlavní řády pr 5V 4D Hlavní řády jsu ty pr, které je vydatnst reznancí maximální. Směrvá hvězdice přestane být pravidelnu hvězdicí. První hlavní řád V16 (pčítá se jak R8) je řád 4.

7 Naznačte pstup stanvení redukvaných hdnt mmentu setrvačnsti a trzních tuhstí členů trzníh systému s zubeným převdem. (pzn. Redukcí samtnéh pružnéh převdu se nezabývejte, jde puze další členy za převdem) p = r 1 r 2 - převd Pdmínka valení r 1 φ 1 = r 2 φ 2 + y 1 + y 2 y i průhyby zubů Kinetická energie Princip redukce mmentů setrvačnsti -,,Kinetická energie neredukvané phnné sustavy je rvna kinetické energii redukvané phnné sustavy.. J mment setrvačnsti K = 1 J 2 i ( r 1 ) 2 φ r i 2 = 1 J 2 2 i φ i 2 Ptenciální energie Analgicky (zřejmě) platí princip redukce trzních tuhstí -,,Ptenciální energie neredukvané phnné sustavy je rvna ptenciální energii redukvané phnné sustavy.. c - tuhst V = 1 2 c ij ( r 1 r 2 ) 2 (φ i φ j ) 2 = 1 2 c ij (φ i φ j ) 2 Uveďte pstup výpčtu vlastních frekvencí a tvarů kmitání nevětvenéh diskrétníh trzníh systému Hlzervu iterační metdu a nakreslete 1. tvar kmitání KH víceválcvéh mtru s řemenicí a setrvačníkem Rvnice ppisující vlné netlumené kmity systému. Ω 2 J n a n + c i (a n a n 1 ) = 0 Ω 2 některá z vlastních frekvencí systému, a n prvky vlastníh vektru, J n mment setrvačnsti členu, c n tuhsti Sečtením prvních i rvnic dstaneme (3.34)

8 i Ω 2 J j a j + c i (a i a i 1 ) = 0 j=1 Z th vztahu lze vyjádřit vztah pr pměrné amplitudy (rzdíly susedních amplitud) (3.35) a i+1 = a i 1 c i Ω 2 J j a j i j=1 Sečtením všech n rvnic sustavy dstaneme vztah (3.36) n Ω 2 J j a j = 0 j=1 1. Zvlíme Ω (dhadem) 2. Vypčteme pměrné amplitudy a 2, a 3, a n. Hdntu a 1 zvlíme Výraz na levé straně rvnice (3.36) a vztah (3.35), lze pvažvat za funkci prměnné Ω, které máme jen dhadnut. Stačí vhdnu metdu najít její křeny (průsečíky s su x), např. metdu půlení intervalu. Rvnice energií, nějaké kyvadl a c je t řád harmnické slžky Kinetická energie systému ktuče s kyvadlem K = 1 2 J(φ + ω) m dz 2 dt Ptenciální energie systému je vlastně energie napjatsti defrmvanéh hřídele. Vliv změny plhy kyvadla je mžn zanedbat

9 V = 1 2 cφ2 K čemu služí kyvadlvý eliminátr Kyvadlvý eliminátr lze přiřadit k systémům dynamických tlumičů s jedním stupněm vlnsti. Základní trzní systém tvří v tmt případě ktuč s mmentem setrvačnsti J, jenž je ulžen na jednstranně vetknutém hřídeli s trzní tuhstí c. Průřez hřídele ve vetknutí se táčí knstantní úhlvu rychlstí ω. Na ktuč půsbí harmnický budicí mment řádu r. Na ktuči je dále umístěn matematické kyvadl délce závěsu ρ a hmtnsti m. Tlumení v základním trzím systému a v závěsu kyvadla předpkládáme malé a při dvzení se zanedbávají. C je t řád harmnické slžky Pčet perid na táčku kliky. Obrázek 1 - knstrukční řešení eliminátru

10 Vibeh mdel hření Vibeh mdel hření ppisuje průběh hření. Vhdnu vlbu parametru m lze vystihnut různé průběhy hření. Bezrzměrný vztah pr výpčet průběhu hření, kteru dvdil Vibe x = 1 e aym+1 m parametr charakteristiky hření a pdíl nespálenéh paliva ve válci y pměrný čas hření Obr 6.3 udává pdíl paliva spálený za pměrný čas hření y. Obr 6.4 znázrňuje intenzitu hření v daném kamžiku (v daném pměrném čase y)