Učební text k přednášce UFY102

Transkript

1 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla ifrakc (ohyb) světla Christia Huygs ukázal, ž přímočaré šíří vloplochy lz vysvětlit jako suprpozici skudárích sférických vl vyzářých z všch částí vloplochy. Jstliž ějaká přkážka bráí vyzáří skudárích vl v ějakých částch vloplochy, měí s tvar čla vly v ásldujícím okamžiku. ifrakc ozačuj ty itrfrčí jvy, ktré jsou způsoby přítomostí štěrbiy bo přkážky jiého tvaru v směru postupu vly. V takových případch mohou být skudárí vly vyzářy j z ěktrých částí vloplochy a v důsldku toho dochází k odchylkám od přímočarého šíří. Hovoří s též o ohybu vl a přkážkách. Podl Frsla lz difrakčí obrazc vysvětlit vzájmou itrfrcí Huygsových lmtárích vl vyzářých z všch částí vloplochy, ktré jsou zastavy přkážkou. Huygs-Frslův pricip lz tdy zformulovat takto: každý zacloěý bod vloplochy v daém časovém okamžiku j zdrojm sférických skudárích vl (s stjou frkvcí jako j frkvc primárí vly). Amplituda optického pol v libovolém bodě za přkážkou j výsldkm suprpozic těchto lmtárích vl (s uvážím jjich amplitudy a rlativí fáz). Obr. F-. Šíří vloplochy podl Huygsova pricipu. opadá-li a štěrbiu svazk rovoběžých paprsků, dává po průchodu ostrý obraz a stíítku za přdpokladu, ž stíítko j dostatčě blízko. Při jho vzdalováí od štěrbiy s a okrajích obrazu začíají objvovat proužky bz výrazějšího zkrslí obrazu. Tto jv s azývá Frslova difrakc (v sbíhavém svazku, v blízkém poli - malé vzdálosti od přkážky vziká obraz přkážky lmovaý světlými a tmavými proužky). Při dalším vzdalováí stíítka až do vzdálostí, kdy paprsky a ěj dopadající jsou prakticky rovoběžé, dostávám Frauhofrovu difrakci (v rovoběžém svazku, v vzdálém poli - tvar ohybového jvu s určuj z tvaru a rozměrů přkážky a již připomíá tvar přkážky, s dalším vzdalováím stíítka s již jho tvar měí, měí s pouz jho vlikost). Mzi Frslovou a Frauhofrovou difrakcí xistuj ostrá hraic, při vzdalováí stíítka postupě jda přchází v druhou. difrakčí jvy kladou jistá absolutí omzí a

2 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla rozlišovací schopost optických přístrojů v důsldku jjich kočé aprtury, tj. kočého průřzu svazku paprsků. Takové systémy jsou totiž schopé přijmout pouz část dopadající vloplochy. ifrakčí jvy spojé s kočou aprturou potom vdou k dgradaci obrazu vytvořého optickým systémm. aprtura aprtura S k zdroji P k stíítku (a) (b) Obr. F-. ifrakc a štěrbiě. (a) Frauhofrova; (b) Frslova. Uvažujm bodový zdroj S a bod pozorováí P. Jsou-li oba dostatčě vzdály od přkážky s malou aprturou Σ, můžm jak vly dopadající a přkážku tak vly přicházjící po průchodu přkážkou do bodu P považovat za rovié. V tomto případě astává Frauhofrova difrakc. J třba si uvědomit, ž fáz každého příspěvku v bodě P, díky dráhovým rozdílům, bud pro staoví výsldého pol určující. Lz-li al vly dopadající a přkážku a přicházjící do bodu P považovat za rovié, potom tyto dráhové rozdíly budou liárí fukcí aprturí proměé (proměých). Liárí závislost a aprturí proměé j rozhodujícím matmatickým kritérim Frauhofrovy difrakc. a aprtura S r h h r P Obr. F-3. Gomtrické paramtry určující klasifikaci difrakčích jvů.

3 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla r vzdálost zdroj S od přkážky Σ, r - vzdálost bodu P přkážky Σ, h, h - příčé vzdálosti bodů S a P, a šířka štěrbiy (rozměr aprtury) Potom lz změu vličiy (r + r ) od jdoho okraj štěrbiy a druhý vyjádřit jako h h r + ( h + a) + r + ( h + a) r + h r + h ( + ) a + ( + ) a +... r r r r Vlu lz považovat za plaárí (přs rozměr aprtury), jstliž kvadratický čl v rozvoji výš j zadbatlě malý vzhldm k vlové délc září, tj. pokud j splěa podmíka ( + ) d r r << a Obvykl s tato podmíka vyjadřuj v tvaru << r r j mší z vzdálostí zdroj-přkážka, přkážka-stíítko., kd a j jvětší rozměr aprtury a Frauhofrova difrakc a štěrbiě Uvažujm roviou vlu dopadající a horizotálí štěrbiu výšky a kočé délky v směru kolmém k ákrsě. Obr. F-4. Frauhofrova difrakc a štěrbiě. Štěrbiu rozdělím a horizotálí pásy ifiitzimálí šířky ds. Podl Frsla přdpokládám, ž amplituda skudárí vly j úměrá ploš vloplochy, z íž j vyzářa. Jli tdy amplituda pol dopadající vly, potom můžm skudárí vlě vyzářé z pásku šířky ds přisoudit amplitudu d ds Uvažujm skudárí vlu vyzářou z střdu štěrbiy, ktrou zvolím jako rfrci. Jjí faktor šíří bud i( ωt kr), kd r j optická dráha od střdu štěrbiy do bodu P. Vla přicházjící do P z bodu vzdálém s x od střdu štěrbiy bud potom mít fázi ωt k( r x siϑ) Výsldá amplituda pol světlé vly v bodě P bud 3

4 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla Obr. F-5. Frauhofrova difrakc a štěrbiě i( ωt k ( r xsiϑ ) i( ωt kr) dx i( ωt kr) si( k siϑ) k siϑ ikxsiϑ dx i( ωt kr) ikxsiϑ ik siϑ i( ωt kr) ifrakčí obrazc v libovolém bodě P stíítka (v směru ϑ) bud urč itzitou Fukc * I ~ I si ( ( ksiϑ) ksiϑ) si x si x f ( x) má limitu lim x x x miima astávají pro si( k siϑ) ik siϑ ik siϑ ik siϑ tdy k siϑ mπ, kd m ±, ±, π a odtud k siϑ siϑ mπ si ϑ m, m ±, ±, Všimět si, ž podmíka pro miima závisí a vlové délc j přímo úměrá - čili úhlová šířka hlavího maxima (vymzá hodotami -/ a /) s bud pro světlo růzých vlových délk lišit. Ctrálí maximum difrakčího obrazc lží u ϑ, prví miimum při siϑ /. Pro >> j úhlová pološířka ctrálího maxima ϑ si ϑ 4

5 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla Npřímá úměrost vůči šířc štěrbiy zamá, ž při zužováí štěrbiy úhlová šířka hlavího π maxima vzrůstá. J-li, potom siϑ ϑ V tomto případě j šířka hlavího maxima ohraičá a hlaví maximum pokrývá clé stíítko I/I.4.. 3π π π π π 3π x 3/ / / / / 3/ si θ Obr. F-6. ozloží itzity světla v případě Frauhofrovy difrakc a štěrbiě šířky Srováí s mohasvazkovou itrfrcí si ( ksiϑ) difrakc I I, kd j šířka štěrbiy ( ksiϑ) si ( Nkd siϑ) itrfrc N stjých kohrtích zdrojů I I, si ( kd siϑ) kd d j vzdálost zdrojů (štěrbi). Itrfrčí obrazc závisí a vzdálosti zdrojů (štěrbi), ikoli a šířc štěrbiy, zatímco difrakčí obrazc j urč šířkou jdié štěrbiy. Hlaví maxima itrfrčího obrazc s pravidlě opakují a jjich itzita závisí a řádu m. ifrakčí obrazc má jdo ctrálí maximum, skudárí maxima lží v polohách daých podmíkou d du si u u u si u.cosu u si 4 u u u si u( u cosu si u) 4 u u ta u grafické řší (viz obr. F-7). 5

6 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla f(u) f (u) tg u f (u) u π π π u Obr. F-7. Průsčíky fukcí f ( u) u a ( ) tg f u u jsou řším rovic u ta u. přibližé řší: si ( ) π k ϑ m + siϑ ( m + ), m ±, ±, Itzita v skudárích maximch s rostoucím m klsá, jak j vidět z I I [ π ( m + ) ] [ ( m + ) ] si π I [( m + ) π ] si π ( m + ) I π ( m + ) Frauhofrův ohyb a pravoúhlém otvoru Obcě pro dvoudimzioálí aprturu d r A i( ωt kr) ds vzdálost od ds k P(X,Y,Z) r X + ( Y y) + ( Z z ) (kd yz, jsou souřadic v roviě aprtury a X, Y, Z jsou souřadic bodu a stíítku) vzdálost OP potom X + Y + Z (bod O j v střdu pravoúhlého otvoru) r X ( Yz + Zz) y + z ( Yz + Zz) + Y + Z Yy Zz + y + z + když jsm zadbali kvadratický čl pod odmociou (Frauhofrova difrakc) a s použitím biomického rozvoj ( + x + x ) bud 6

7 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla Yy + Zz r a tdy výsldá amplituda pol světlé vly v bodě P bud A i(ωt k) aprtura ik ( Yy+ Zz) / Kokrétě pro obdélíkovou aprturu o rozměrch A x B ds A i(ωt k) A B ikyy A / dy B ikzz / dz kd ds dx.dz A ikay / ikay / ikbz / ikbz / AB A i( ωt. iky / ikz / i( ωt k) k) si u si v u v kay kbz kd jsm ozačili u kasiϑ ; v kb siϑ, což j tvar aalogický jdodimzioálímu případu kočě dlouhé štěrbiě (viz výš). ozloží itzity světla a stíítku j potom dáo vztahm si u si v I ( Y, Z) I(), kd I() j itzita v bodě P, tj. kd Y a Z. u v Úhlová pološířka hlavího maxima bud ϑ A ; ϑ B Obr. F-8. ozloží zářivosti (vlvo) a itzity lktrického pol (vpravo) při Frauhofrově difrakci a čtvrcovém otvoru. Frauhofrův ohyb a kruhovém otvoru Kruhovou aprturu rozdělím a proužky o šířc dy a délc a y, kd a j poloměr aprtury (viz Obr. F-9). Potom amplituda pol bud a i( ωt k) ikysiϑ A a y dy π a a 7

8 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla Zavdm vličiy u a ρ dfiovaé jako u y/a a. du dy ; ρ kasiϑ a y dy y a ϑ a y d A dy π a Obr. F-9. Gomtri Frauhofrova ohybu a kruhovém otvoru. potom a a ikysiϑ iρu a y dy u du Toto j stadardí itgrál, jhož hodota j π J ρ) / ρ, kd J j Bsslova fukc prvího druhu, prvího řádu Tdy J( ρ) I I, kd ρ ka siϑ ksiϑ ρ ( ( a j průměr kruhové aprtury) Prví miimum pro si ϑ,, další pro si ϑ, 3, 3,4, Obr. F-. Frauhofrův ohyb kruhovém otvoru. Střdí světlý kruh tzv. Airyho disk (Sir Gorg Biddll Airy byl astroom) Vztah 8

9 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla ϑ si ϑ, má mimořádou důlžitost v torii optických přístrojů. Kočý poloměr ctrálího ohybového maxima totiž určuj miimálí rozměr "obrazu" bodového zdroj vytvořého přístrojm s aprturou o průměru. Větší aprtura potom zamá větší rozliší. Kruhový okraj čočky tlskopu (bo okraj zrcadla) působí jako aprtura a jsou to právě rozměry soustavy ohybových kroužků dvou blízkých hvězd, ktré určují zda mohou či mohou být rozlišy. Obr. F-. ozloží zářivosti (vlvo) a itzity lktrického pol (vpravo) při Frauhofrově difrakci a kruhovém otvoru. Obr. F-. Vliv kočé aprtury čočky a zobrazí. 9

10 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla aylighovo kritérium V gomtrické optic přdpokládám, ž idálí čočka (tj. čočka bz abrací) fokusuj svazk parallích paprsků do ohiska. Tak tomu v skutčosti í, protož kočý průměr čočky působí jako aprtura omzující vloplochu. V důsldku ohybu pozorujm v ohiskové roviě čočky místo bodu Airyho disk, jhož vlikost j závisí a ohiskové dálc čočky f a a jjím průměru. opadá-li a štěrbiu roviá vla z dalšího zdroj s vlovým vktorm pod úhlm ϑ / vůči prví vlě, bud jjí ctrálí maximum lžt v poloz prvího miima prví vly. Průběh itzity a stíítku j a obr. F-3 dol. Na tom j založo aylighovo kritérium dva obrazy jsou právě rozlišitlé, jstliž ctrálí maximum difrakčího obrazc prvího lží v poloz prvího miima druhého. V případě kruhové aprtury, ktrá j v optických přístrojích jběžější, j miimálí rozlišitlá úhlová vzdálost čili úhlový limit rozliší dá výrazm ( ϕ ) mi ϑ, Šířka w Airyho disku v ohisku čočky j potom dáa vztahm w, f V případě, ž zobrazovací vady optického systému jsou kompzováy takovým způsobm, ž všchy paprsky vycházjící z daého přdmětového bodu dopadou dovitř Airyho disku odpovídajícího obrazového bodu, potom takové zobrazí azývám difrakčě omzé a j to to jlpší zobrazí, jhož lz pro čočku kočého průměru dosáhout.

11 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla.6.4. /. I/I / / / / / 3/ si θ.6.4 4/5.. I/I / / / / / 3/ si θ.6.4. /. I/I / / / / / 3/ si θ Obr. F-3. Ilustrac aylighova kritéria rozlišovací schoposti pro ohyb a štěrbiě.

12 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla Frauhofrův ohyb a dvojštěrbiě j šířka štěrbi, a j vzdálost střdů štrbi i( ωt kr) ikxsiϑ dx + a+ ikxsiϑ a dx i( ωt kr) ik siϑ ik siϑ ik siϑ ik siϑ ik siϑ i( ωt kr) ikasiϑ i( ωt kr) si( ksiϑ) ( + ) ik siϑ k siϑ + ikasiϑ ( + ) ik ( a+ )siϑ ik siϑ ik ( a )siϑ a si u I 4I cos α, kd u siϑ k a α kasiϑ u si u čl u j difrakčí čl, cos α j itrfrčí čl ϑ I 4I si u k (vlmi úzká štěrbia) u xprimt) I 4I cos α (výsldk odvozý pro Yougův itrfrčí čl j modulová difrakčím člm Optická mřížka mřížková kostata d (vzdálost střdů sousdích vrypů) šířka vrypu ( šířka štěrbiy) potom ϑ ϑ si ( k si ϑ) si ( Nkd si ϑ) si u si( Nud/ ) I I I k si si ( kd si ) u ud / u ksiϑ kd jsm ozačili u ksiϑ a dráhový rozdíl: dsiϑ fázový rozdíl: ϕ kdsiϑ čili itrfrčí čl má zámý tvar si Nϕ si ϕ hlaví maxima (itrfrčí) astávají pro ϕ mπ π d siϑ mπ d si ϑ m což j tak zvaá mřížková rovic udávající podmíku pro hlaví maxima m řád difrakc, m,,, Čím mší j mřížková kostata, tím mší bud počt pozorovaých řádů, boť

13 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla ϑ 9 siϑ a tdy itrfrčí miima d m max d π q ϕ u q + mπ d siϑ ( m + ) q,,, N N N ohybová miima u mπ b si ϑ m m,, difrcujm mřížkovou rovici d si ϑ m d cos ϑdϑ md dϑ m a odtud ϑ d d cosϑ Vličia ϑ j tzv. úhlová disprz udávající úhlovou vzdálost dvou maxim lišících s o jdotkovou vlovou délku. Úhlová disprz charaktrizuj mřížku. Pro charaktrizaci spktrálích zařízí s jště zavádí liárí disprz L dfiovaá jako dy L f d ϑ kd f j ohisková dálka spktrografu. Liárí disprz udává liárí vzdálost spktrálích čar v ohiskové roviě spktrografu lišící s o jdotkovou vlovou délku (apř. L mm/m). V praxi s al častěji používá rciproká liárí disprz / L L d dy udávající, jak široký spktrálí itrval připadá a jdotkovou délku (apř. / L, m/mm) rozlišovací schopost (rsolvig powr) j dfiováa jako P ( ) mi kd ( ) mi udává miimálí rozlišitlý itrval vlových délk. Mějm vlové délky a m-té maximum vzik v směru d siϑ m. miimum vlové délky vzik v směru d siϑm, ( m + ) (N počt vrypů) N aylighovo kritérium m ( m + ) N ( ) mn N m čili P mn ( ) mi U mřížky j vlmi vysoký počt vrypů i v ízkých řádch difrakc lz dosáhout vysoké rozlišovací schoposti oblast disprz G určuj maximálí itrval vlových délk, ktrý j možo aalyzovat daým spktrálím zařízím. U mřížky j oblast disprz omza přkrýváím řádů. 3

14 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla Hldám takové, pro ktré jště přkrytí řádů asta pro + d siϑm m( + ) m-tý řád difrakc pro d siϑ m + ( m + ) m+ řád difrakc přkryv ϑ + ϑ m ( + ) ( m + ) m m G Protož d siϑ m m 3m, j zřjmé, ž maximum v. řádu difrakc pro 3 daou vlovou délku (apříklad 6 m) asta v stjém směru jako maximum v. řádu difrakc pro polovičí vlovou délku (3 m) bo maximum v 3. řádu difrakc pro třtiovou vlovou délku ( m) atd. Pro šikmý dopad rovié vly a mřížku pod úhlm ϑ i abývá mřížková rovic tvaru. d ( si ϑ siϑ ) m m i m Frslova difrakc Jak jsm již uvdli k Frauhofrově difrakci dochází v případě, kdy jsou rozměry difraktující aprtury mohm mší, ž j vzdálost stíítka. Skudárí vly lz potom pokládat za rovié a paprsky vycházjící z růzých bodů aprtury za parallí. V případě, ž vzdálost stíítka od aprtury í dostatčě vlká (rlativě k rozměru aprtury), musím skudárí vly pokládat za sférické a paprsky přicházjí do ějakého bodu stíítka P už budou rovoběžé. To j případ Frslovy difrakc. Lz jj řšit mtodou avržou Frslm, při íž j dopadající vloplocha rozděla a tak zvaé Frslovy bo / zóy. Každou z těchto zó pokládám za zdroj skudárích sférických vl, z ichž kostruujm vloplochu postupující za aprturou. Přdpokládám, ž vzdálost stíítka od střdu aprtury OP >> r r +/ +(/) P Obr. F-4. K dfiici Frslových zó viděých z osového bodu P. 4

15 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla V Frslově mtodě zakrslím paprsk a roviu kostatí fáz vycházjící z bodu O (střd soustřdých zó) do P. Vější poloměry zó jsou zvoly tak, aby paprsky vystupující z vější hraic zóy byly fázově posuuty o π vůči paprskům vystupujícím z vější hraic zóy přdcházjící. Jiými slovy, vzdálost k P po sobě jsoucích zó s liší o / +,, () a tdy pro poloměry zó bud platit (obr. F-4) r + () (zadbávám čl s boť << a zóy, pro ěž jsou tak dalko od O, ž jjich vliv j vůči zóám blízkým O zadbatlý). J-li amplituda lktrického pol vly v bodě P od -té zóy, bud clková amplituda v P +... () (střídající s zaméka jsou důsldkm fázového posuvu mzi sousdími zóami o π) Výš jsm vyslovili přdpoklad, ž amplituda skudárí vly j úměrá ploš, z íž j vyzařováa. Navíc amplituda sférické vly klsá s vzdálostí jako /r. Poměr plochy A -té + Frslovy zóy k jjí střdí vzdálosti ( )/ ( r r ) od P zůstává kostatí A π << π π ( + ) + ( ) π Mohlo by s zdát, ž amplitudy skudárích vl přicházjících do P jsou od všch zó stjé. Tak tomu al í. Frsl zjistil, ž s musí uvážit tak zvaý ikliačí faktor, ktrý rdukuj amplitudu v závislosti a úhlu ϑ mzi a ormálou k primárí vloploš. Úplou matmatickou torii později zpracoval Kirchhoff, ktrý vyjádřil tto faktor výrazm K ( ϑ ) ( + cosϑ) Oprávěost tohoto faktoru j zřjmá z xistc zpěté vly, ktrá jiak z Huyghs- Frslova pricipu vyplývá. Zřjmě K() (maximum amplitudy skudárí vly v přímém směru) a K(π) (ulová amplituda skudárí vly v zpětém směru). Připojím tdy ikliačí faktor s ϑ ϑ - (úhl ϑ - svírá paprsk vycházjící z vitřího poloměru -té zóy). + Tdy ( + ) cosϑ, spcilě ( cos) + osazím za, - a - z vztahu () s dá ukázat, ž při zadbáí člů s 5

16 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla ( ) + + Nově můžm uspořádat () takto + ( + 3) + ( ) + Čly v závorc vymizí a pro amplitudu omzovaé rovié vly v P dostávám () (j rova poloviě amplitudy prví Frslovy zóy) Frslův ohyb a kruhové aprtuř Budm s zabývat pouz zářivostí v bodch a os. Při vyštřováí Frauhofrovy difrakc jsm používali souřadý systém s počátkm v střdu štěrbiy. U Frslovy difrakc volím systém s počátkm v bodě pozorováí P. Aprturu potom můžm pokládat za jakési oko, ktré odkrývá bo zakrývá růzé plochy rozdělé a zóy. Přdpokládjm, ž szor v bodě P "vidí" clistvý počt zó, m, vyplňujících kruhovou aprturu. Bud-li m sudé, potom P ( ) + ( 3 4) ( m m Protož příspěvky od dvou sousdích zó jsou přibližě stjé, výsldá amplituda v P bud a tdy i zářivost I. P Naopak, pokud bud m liché, potom P P ( 3) ( 4 5)... ( m m a výsldá amplituda v P bud P což j přibližě dvojásobk amplitudy od omzovaé vly (a zářivost I P bud čtyřásobkm zářivosti od omzovaé vly). Amplituda v osovém bodě P j tdy dáa výsldým polm aprturou blokovaých Frslových zó. Obcě platí, ž pokud kruhový otvor obsahuj lichý počt zó, bud v osovém bodě P jasá skvra a při sudém počtu skvra tmá. Pokud j poloměr aprtury rov poloměru prví Frslovy zóy r r, bud P, pokud j poloměr aprtury rov poloměru druhé Frslovy zóy r r, bud P ( ) << ) ) a v případě tří zó r r 3 P + ( + ) + ( + )

17 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla Frslův ohyb a kruhové přkážc V roc 88 Frsl přdložil do soutěž vyhlášé Fracouzskou akadmií práci věovaé torii ohybu světla a zvítězil. Porota s skládala z zámých fyziků (Laplac, Biot, Poisso, Arago, Gay-Lussac. Frsl v své torii ukázal, ž v střdu stíu kruhové přkážky bud vidět světlá skvra, což Poisso považoval za absurdí přdpověď zasazující smrtlou ráu vlové torii světla. Brzy poté však byla xistc skvry potvrza xprimtálě a dods j skvra azývaá skvrou Poissoovou (Poisso spot). Paradoxě tato skvra byla pozorováa již dřív v roc 73 Maraldim, al jho prác upadla v zapoměí Jstliž kruhová přkážka zacloí prvích l zó, potom... + P l+ l+ + l+ 3 l a zářivost v bodě P bud j o málo mší ž zářivost od omzovaé vly ( ). Pouz v těsé blízkosti přkážky, kdy vzrůstá úhl ϑ a s ím ikliačí faktor K ( ), zářivost klsá k ul. l+ ϑ Frslova zóová dstička V přdchozích úvahách jsm využívali fakt, ž příspěvky od sousdích Frslových zó s přibližě vyruší. To azačuj, ž bychom měli pozorovat obrovský árůst zářivosti v osovém bodě P, jstliž odstraím buď všchy liché a bo všchy sudé zóy. Přsě tomuto účlu slouží tzv. zóová dstička. Zóová dstička j soustava ostř ohraičých propustých a propustých mzikruží, ktrá systmaticky zakrývají sudé (liché) a odkrývají liché(sudé) Frslovy zóy. A r ρ S ρ O P Obr. F-5. Gomtri zóové dstičky. 7

18 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla Poloměry zó jsou dáy vztahm () r + z dfiic ply, ž vla probíhající dráhu SA P musí přijít fázově posuuta o / vůči vlě probíhající dráhu SOP, tdy + (5) ( ρ ) ( ρ + ) z obrázku j zřjmé, ž ρ r r ρ + r ρ + ρ + ρ ρ + r + + r r boť r << ρ, osazím do (5) dostávám r r r ρ ρ ρ + ρ a tdy + (6) ρ r ovic (6) má tvar zobrazovací rovic tké čočky, což í áhoda, boť zóová dstička r působí (pokud s týká bodů a os) jako čočka o primárí ohiskové vzdálosti f (al čočka s výrazou chromatickou vadou, protož f ~ ) zobrazující bod S sbíhavým difraktovaým světlm do bodu P. Uvažujm zóovou dstičku propouštějící prvích lichých Frslových zó a blokující sudé zóy. Potom P Všchy příspěvky jsou přibližě stjé a v fázi (proto mají stjé zaméko). Bz zóové dstičky bud výsldé pol v bodě P P S zóovou dstičkou bud výsldé pol v bodě P P čili zářivost bud 6x vyšší ( / 4 vrsus 4 )! Stjý výsldk získám, zakryjm-li liché zóy a odkryjm zóy sudé. alší body s výrazou zářivostí ajdm v polohách f / 3, f / 5, atd. 8

19 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla stičky s vlkým počtm zó s připravují buď fotografickým zmším zvětšé vrz a bo přímo fotografováím Nwtoových kroužků v kolimovaém kvazimoochromatickém světl. Pro jjich poloměr totiž platí vztah aalogický rovici (). Fourirova trasformac a Frauhofrova difrakc Vraťm s k vztahu pro rozdělí itzity pol v roviě stíítka při Frauhofrově difrakci a aprtuř libovolého tvaru A ( Y, Z) i( ωt k) aprtura ik ( Yy+ Zz) / kd j vzdálost bodu P( X, Y, Z ) a stíítku od střdu aprtury O, k j vlové číslo a A j amplituda pol vztažá a jdotku plochy aprtury (přdpokládali jsm, ž A j přs rozměry aprtury kostatí). Tto omzující přdpoklad můžm zobcit zavdím tak zvaé aprturí fukc g(y,z) g( y, z) g iφ ( y, z) ( y, z) kd rozloží amplitudy popisuj fukc g ( ), dydz y z, zatímco xpociálí faktor přdstavuj změy fáz přs aprturu. Potom g( y, z) dydzj úměré difraktovaému poli vycházjícímu z lmtu plochy aprtury dydz a tdy výsldé pol v bodě ( Y, Z ) stíítka bud ( Y, Z) ik ( Yy+ Zz) / g x y dydz (, ) Limity itgrálu j možé rozšířit do ±, boť aprturí fukc j ulová pouz v oblasti aprtury. Y Z fiujm prostorové frkvc ky k ksiϑ a kz k ksiϑ kd ϑ přdstavuj úhl v roviě xy a ϑ úhl v roviě xz. y ϑ Y x 9

20 Učbí txt k přdášc UFY ifrakc světla K každému bodu ( yz, ) obrazové roviy (rovia stíítka) xistují odpovídající prostorové frkvc (, ) k k. ifraktovaé pol yí můžm vyjádřit jako Y Z i( kyy+ kzz) ( ky, kz) g( y, z) dydz a tak s dostávám k klíčovému bodu: rozloží pol a stíítku při Frauhofrově difrakci j Fourirovým obrazm rozloží pol přs aprturu (aprturí fukc), tdy vyjádřo symbolicky { } k (, k) F gyz (, ) Y Z Jiak řčo distribuc pol v obrazové roviě j spktrm prostorových frkvcí aprturí fukc. Ivrzí trasformac potom bud g( y, z) ( k, k ) dk dk ( π ) i ( k Y y + k Z z ) Y Z Y Z a tdy symbolicky g( y, z) { ( µ, ν )} F. Jak jsm již viděli, čím víc j lokalizová sigál, tím rozšířější j jho trasformac to platí i pro dvojdimzioálí trasformaci. Čím mší bud difraktující aprtura, tím větší bud úhlová šířka difrakčího svazku, bo jiak - tím širší bud odpovídající pásmo prostorových frkvcí.