Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března Abstrakt

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt"

Transkript

1 Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých prvočísl. Txt po čtáři vyžaduj prakticky žádé zalosti, můž být proto použit jako doplňkový matriál i v kursu Paradigmata programováí I. Autor můž být kotaktová prostřdictvím lktroické pošty a adrs Základí pojmy V dalších úvahách vycházím z jdé algbraická struktury okruhu clých čísl (Z, +, ). Zvolím-li pvé číslo m N, pak můžm a možiě Z dfiovat biárí rlaci θ m přdpism θ m = { a, b ; a = b + t m, pro ějaké t Z}. (1) Sado lz ukázat, ž rlac θ m j kvivalc a Z. Podrobě, θ m j zcla jistě rflxiví, platí a = a + 0 m, odtud ply a, a θ m. Pokud a, b θ m, pak lz psát a = b + t m pro ějaké t Z. Tto výraz lz upravit a a t m = b. Odtud již z komutativity a z vlastostí opačého prvku ply b = a + ( t) m, to jst b, a θ m rlac j symtrická. Nyí stačí ověřit trasitivitu. Uvažujm a, b θ m, b, c θ m. Existují tdy vyjádří a = b + s m, b = c + t m. Dosazím za b dostávám a = c + t m + s m, to jst a = c + (t + s) m. Rlac θ m j vskutku kvivalc a Z. Rlac θ m dfiovaá vztahm (1) j kogruc a Z, to jst splňuj substitučí podmíky vzhldm k opracím okruhu (Z, +, ). To zamá, ž pro libovolé a, b θ m, c, d θ m platí a + c, b + d θ m a a c, b d θ m. Platost lz opět sado ověřit, vyjdm-li z vztahů a = b + t m, c = d + s m, pak lz vyjádřit a + c = b + d + (t + s) m. Odtud ply a + c, b + d θ m. Dál a c = b d + (b s + d t + t s m) m, to jst i a c, b d θ m. Pozámka. V litratuř bývá kogruc θ m azýváa obvykl kogruc modulo m. Fakt a, b θ m j obvykl zač a b (mod m). Toto začí by však v dalším txtu bylo přhldé, proto jj budm používat. Dál j dobré uvědomit si, co zamá přdpis (1). Čísla a a b jsou kogrutí modulo m, právě když m (a b), to ply rovou z dfiičího vztahu. Vzhldm k tomu, ž kogruc θ m j rlací kvivalc, lz dl í rozložit Z právě a m tříd rozkladu. Každá třída rozkladu rprstuj možiu čísl z Z, ktré dávají po vydělí číslm m stjý zbytk. Rozkladm okruhu (Z, +, ) j vytvoř faktorový okruh Z/θ m. Oprac pro třídy rozkladu lz dfiovat přirozě pomocí oprací okruhu (Z, +, ), díky substitučí podmíc avíc jsou výsldky oprací ovlivěy výběrm prvku z třídy rozkladu. 1

2 Dfiic 1. Nchť m N a θ m Z Z ozačuj kogruci dfiovaou vztahm (1). Ozačm a] m = {b; a, b θ m } třídu rozkladu do íž pad prvk a Z. Dál chť možia Z/θ m ozačuj systém všch tříd rozkladu dl θ m, to jst Z/θ m = {a] m ; a Z}. Na Z/θ m zavdm oprac ásldujícími přdpisy, Struktura (Z/θ m, +, ) s azývá faktorový okruh modulo m. a] m + b] m = a + b] m, (2) a] m b] m = a b] m. (3) Pozámka. Nulou okruhu (Z/θ m, +, ) j prvk 0] m. Opačým prvkm k a] m j m a] m, boť a] m + m a] m = a + m a] m = m] m = 0] m. Jdičkou okruhu j 1] m. V litratuř s můž začí opět odlišovat. Okruh (Z/θ m, +, ) j obvykl azývá okruh zbytkových tříd modulo m a zač (Z m, +, ), jho prvky bývají začy C 0 až C m 1. V ašm případě toto začí korspoduj s třídami 0] m až m 1] m. Dfiic 2. (Eulrova ϕ-fukc) Zobrazí ϕ: N N, ktré každé N zobrazuj a počt mších s ím soudělých čísl, to jst s azývá Eulrova ϕ-fukc. ϕ() = Card {k; k N, k <, sd (k, ) = 1}, (4) V ěktrých případch lz hodotu Eulrovy ϕ-fukc staovit vlmi rychl. Mtoda šifrováí RSA j založa právě a vhodých vlastostch Eulrovy ϕ-fukc. J-li prvočíslo, bo j v tvaru součiu dvou prvočísl, pak lz hodotu ϕ() staovit ihd. Lmma 1. Nchť p, q N jsou prvočísla. Pak platí ϕ(p) = p 1 a ϕ(pq) = (p 1)(q 1). Důkaz. J-li p prvočíslo, potom j každé číslo k N, k < s číslm soudělé. Těchto čísl j právě p 1. Nyí uvažujm číslo v tvaru = pq, kd p, q jsou prvočísla. Všcha čísla soudělá s jsou buďto v tvaru s p, bo t q. Soudělých čísl v tvaru s p mších jak j al právě q 1. Stjě tak soudělých čísl v tvaru t q mších jak j právě p 1. Dohromady dostávám ϕ(pq) = (pq 1) (p 1) (q 1) = pq p q + 1 = (p 1)(q 1). Lmma 2. Nchť a Z, N jsou soudělá čísla. Pak platí, (i) Všcha čísla p a] jsou s soudělá. (ii) J-li avíc q Z soudělé s, pak j i číslo q a soudělé s. (iii) Všcha čísla soudělá s tvoří právě ϕ() tříd rozkladu podl θ. Důkaz. (i) Uvažujm třídu rozkladu a] a libovolé číslo p a]. Platí p = a + t. Přdpokládjm, ž m, m p. Z přdpokladu platí m (a + t). Jlikož m, platí i m t. Rověž platí i m (p t). Podroběji, z t = m s 1, p = m s 2 ply p t = m(s 2 s 1 ), to jst m (p t). Z přdchozích zjištěí dál ply m a. Odtud dostávám m = 1. (ii) Uvažujm dvě čísla q, a Z soudělá s. To jst platí sd (q, ) = 1, sd (a, ) = 1. Chcm ukázat, ž i sd (a q, ) = 1. K úplě přsému důkazu by bylo třba dfiovat pojm asociovaé prvky, my s však pro zjdoduší omzím pouz a přirozé jvětší spolčé dělitl. Bz újmy lz vyjádřit sd (a q, ) = sd (a q, sd (, q)), z asociativity 2

3 dál ply sd (a q, ) = sd (sd (a q, q), ). Platí sd (a q, q) = q sd (a, ). Odtud dostávám sd (a q, ) = sd (q sd (a, ), ) = sd (q, ) = 1, což bylo dokázat. Důkaz bodu (ii) by správě potřbovat dtailější rozbor vlastostí dělitlosti v oboru itgrity, to al í cílm tohoto txtu. (iii) Existuj právě ϕ() vzájmě růzých přirozých čísl ostř mších ž a zárovň soudělých s. Ozačm tato čísla a 1,..., a ϕ(). Všchy prvky tříd a 1 ],..., a ϕ() ] jsou čísla s soudělá, to jst {a i ] ; 1 i ϕ()} j možiou všch čísl soudělých s. Navíc pro dvě třídy rozkladu a i ] = a j ] lz p a i ] vyjádřit jako p = a i + t = a j + s. Odtud dostávám a i a j = (s t). Jiak řčo a i a j, al a i, a j 1, tdy platí a i = a j. Třídy rozkladu jsou vzájmě růzé a j jich právě ϕ(). Věta 1. (Frmatova-Eulrova) Nchť q Z, N jsou soudělá čísla. Pak platí q ϕ()] = 1]. (5) Důkaz. Ozačm a 1,..., a ϕ() všcha růzá čísla soudělá s, pro ktrá platí a i < pro libovolé i = 1,..., ϕ(). Podl přdchozí lmmy jsou a 1 ],..., a ϕ() právě všchy ] třídy čísl soudělých s. J-li q číslo soudělé s, pak jsou rověž i qa 1,..., qa ϕ() čísla soudělá s, to opět ply z přdcházjící lmmy. Třídy qa i ], qa j ] jsou pro libovolá 1 i, j ϕ(), i j vzájmě růzé. Přdpokládám-li qa i ] = qa j ], pak lz libovolý p qa i ] vyjádřit v tvarch p = qa i + s a p = qa j + t. To jst platí qa i + s = qa j + t, odtud q(a i a j ) = (t s). Odtud dostávám, ž (a i a j ), protož q j s soudělé. Al čísla a i, a j 1, to jst a i = a j. Z přdchozího faktu ply, ž třídy a 1 ],..., ] a ϕ() a qa 1],..., ] qa ϕ() jsou až a pořadí totožé. Ozačm a] = a 1 ] a 2 ] a ] ϕ() = ] a 1 a 2 a ϕ(). Pak platí, a] = a 1 ] a 2 ] a ] ϕ() = qa 1] qa 2 ] qa ] ϕ() = q ϕ() a ] = q ϕ()] a]. Jlikož j a soudělé s, platí a] 0]. Tík pádm lz přdchozí vztah vykrátit a] a dostávám požadovaé tvrzí q ϕ()] = 1]. Z přdcházjícího tvrzí mimo jié ply, ž pro soudělá čísla q Z, N dělí číslo q ϕ() 1 bz zbytku, to jst q ϕ() 1. Další části txtu s věují využití vlastosti Eulrovy ϕ-fukc při asymtrickém šifrováí mtodou RSA. Pricip algoritmu RSA Algoritmus RSA j asi jzámějším rprstatm asymtrických mtod šifrováí. V roc 1977 jj avrhli Ro Rivst, Adi Shamir a Loard Adlma, algoritmus s jméo právě podl ich. Asymtrická kryptografi j založa a dvou od sb růzých klíčích. Jd z klíčů j používá výhradě k šifrováí a lz jj použít k dšifrováí. Druhý klíč j využívá výlučě pro dšifrováí a aopak jj lz použít k šifrováí. V praxi j pouz jd z dvojic klíčů vřjě dostupý, druhý j utaj. Aby byla asymtrická kryptografi skutčě robustí, musí být zaruča praktická možost výpočtu jdoho klíč z druhého. Asymtrické šifrovací algoritmy jsou aplikací tori složitosti, jdé z stěžjích disciplí iformatiky. Dvojic klíčů j vola tak, aby výpočt jdoho klíč z druhého byl sic algoritmicky řšitlý, al úosý z hldiska výpočtího výkou soudobých i budoucích počítačů. 3

4 Clý algoritmus j zhruba ásldující. Njprv jsou zvola dvě prvočísla p, q, jjich souči ozačm = pq. Jlikož j v tvaru součiu prvočísl platí ϕ() = (p 1)(q 1). Dál zvolím čísla, d aby platilo d] ϕ(). Dvojic čísl,, d, tvoří vřjý a soukromý klíč. Ozačm zdrojovou zprávu v a zakódovaou zprávu w. Pokud chc odsílatl zakódovat zdrojovou zprávu v, vychází z vztahu w] = v ]. Příjmc zprávy obdrží w a rozkóduj jj pomocí vztahu v] = w d]. Při použití algoritmu j uté vyřšit ěkolik zásadích problémů. Njprv j uté dokázat správost mtody uvdé v přdchozím odstavci. Navíc j potřba z vhodě zvolých a pomocí vztahu d] ϕ() vypočítat číslo d. Dál j potřba mít k disposici jdoduchý algoritmus grováí vlkých prvočísl s přijatlou časovou složitostí. Dalším problémm j fktiví implmtac mocěí modulo m, ktré s používá při šifrováí a dšifrováí. V posldí řadě hraj roli i volba kódováí zprávy. Slova v, w uvdá v přdchozím odstavci rprstují čísla 0 v, w 1. Přášé zprávy však mívají většiou charaktr skvc zaků. Na jdotlivé problémy s pokusím odpovědět v dalším txtu. Násldující tvrzí ukazuj správost algoritmu. Věta 2. (Správost algoritmu RSA) Nchť p, q jsou prvočísla, = pq. A chť, d jsou libovolá čísla splňující podmíku d] ϕ(). Dál ozačm v, w čísla 0 v 1 a chť platí w] = v ]. Potom platí v] = w d]. Důkaz. V důkazu správosti algoritmu vycházím z d] ϕ() a w] = v ]. Dokazujm platost v] = w d]. Z vztahu d] ϕ() ply, ž d, 1 θ ϕ(). Jiak řčo souči d dává po dělí ϕ() zbytk jda, to jst platí d = 1 + rϕ(). Pokud dál umocím vztah w] = v ] do tvaru w d] = v d], lz místo dokazovaého vztahu v] = w d] psát v] = v d]. Pro důkaz správosti algoritmu tdy stačí ověřit platost v] = v 1+rϕ()]. (6) Důkaz j dál vd rozborm případů. Kokrétě uvažujm číslo v buďto soudělé s, bo soudělé. V případě, ž v j soudělé s lz psát v 1+rϕ()] = v] v rϕ()], to jst stačí ověřit v rϕ()] = 1]. Dál z Frmatovy-Eulrovy věty ply v ϕ()] = 1]. Umocěím tohoto vztahu a z vlastostí kogruc dostávám v rϕ()] v = ϕ()] r = 1]r = 1r ] = 1]. (7) V případě, ž ž v j soudělé s = pq musí být v buďto v tvaru v = ap, bo v tvaru v = bq. Bz újmy lz přdpokládat, ž v = ap. V tomto případě j al v soudělé s q, jlikož q j prvočíslo. V okruhu (Z/θ q, +, ) můžm vyjádřit v rϕ()] v = ϕ()] r = v (p 1)(q 1)] r = v (q 1)] (p 1)r = 1] q. (8) q q q q Posldí rovost ply z faktu, ž q j prvočíslo a proto ϕ(q) = q 1. Navíc podl Frmatovy- Eulrovy věty j v (q 1)] q = v ϕ(q)] q = 1] q. Jlikož platí i v rϕ(q)] q = 1] q, lz tto fakt vyjádřit v tvaru v rϕ() = 1 r + tq, po vyásobí této rovosti v obdržím v 1+rϕ() = v + vtq, to jst v 1+rϕ() = v + atpq. Zárovň platí = pq, tdy v 1+rϕ() = v + (at), jiými slovy v] = v 1+rϕ()], což bylo dokázat. 4

5 Síla algoritmu RSA j patrá právě z tohoto důkazu. Odsílatl pošty můž z zalosti v, w, a jdoduš staovit hodotu d. K tomu by musl vyřšit kogruci d] ϕ(). Pro správé řší j jprv uté zát hodotu ϕ(). Pro vlké číslo lz hodotu ϕ() v dohldé době vypočítat. Rověž prvočíslý rozklad vlkého čísla trvá úosou dobu. Dosud í zám fktiví algoritmus rozkladu a prvočiitl. Příklad 1. Zvolm apříklad prvočísla p = 5437, q = Dál staovím, = pq = , ϕ() = (p 1)(q 1) = , = , d = Dvojic,, d, tvoří vřjý a tajý klíč. Nyí můžm zakódovat apříklad v = 1234 pomocí vztahu w] = v ], dostávám w = Naopak při rozkódováí vycházím z vztahu v] = w d], kd w = a obdržím v = Pozámka. Na přdchozím příkladu jsou dobř vidět dvě úskalí. V prví řadě í jasé, jak byla čísla, d staova. Tato čísla vskutku splňují podmíku d] ϕ(). V případě malých čísl lz jjich volbu provést ad hoc. V případě vlkých čísl j uté vypočítat jd klíč pomocí druhého a čísla ϕ(). To jst a počátku j vhodě zvol apříklad pouz klíč a pomocí hodoty ϕ() j vypočt příslušý klíč d. Dalším, spíš tchickým problémm, j samotý výpočt w z v a obrácě. Na prví pohld s abízí umocit apříklad v a zjistit zbytk po dělí číslm. To by v přdchozím případě al zamalo vypočítat jprv číslo o log 10 (v ) = log 10 (v). = cifrách, což j aprosto úosé. Navíc tto fakt j jště umocě vlmi prozřtlou volbou prvočísl p, q. Čísla byla z dmostračích důvodů zvola vlmi malá zlomí klíč by v jjich případě bylo příliš časově áročé. Věta 3. Nchť p, q jsou prvočísla, = pq. Dál zvolm prvočíslo 2 1 soudělé s číslm ϕ(). Přdpokládjm, ž pro čísla, d platí d] ϕ(). Potom d j v tvaru d = 1 + rϕ(), kd r] = ( 1)ϕ() 2]. (9) Důkaz. Pozamjm, ž d] ϕ() platí právě když platí d = 1 + rϕ(). To jst fakticky stačí ověřit, zdali j číslo r volo tak, aby platilo 1 + rϕ(). Pak lz staovit d a platost vztahů j tím dokázáa. Pro číslo platí 1 + rϕ() právě když 1 + rϕ(), 0 θ, to jst právě když zbytk po dělí výrazu 1 + rϕ() číslm j ula. Tuto podmíku lz kvivaltě vyjádřit v tvaru 1 + rϕ()] = 0], bo jiak 1] + r] ϕ()] = 0], dál jako r] ϕ()] = 1]. Opačý prvk k 1] má tvar 1]. Pomocí ivrs lz vyjádřit r] = 1] ϕ()] 1 Vztah (9) j tdy platý právě když j ϕ()] 1 rov ϕ() 2]. Platí, ϕ()] ϕ()] 1 = ϕ()] ϕ() 2] ϕ() = 1] = ϕ() ϕ()] = 1]. (10) Posldí vztah ply z přdpokladu soudělosti ϕ() s a užitím Frmatovy-Eulrovy věty. Samozřjmě platí ϕ() = 1, protož bylo volo jako prvočíslo. Tím j al důkaz hotov. Volba čísla r implikuj platost 1 + rϕ() a podmíka d = 1 + rϕ() j splěa.. 5

6 Příklad 2. Přdchozí tvrzí dává ávod, jak jdoduš staovit klíč. Uvažujm hodoty p, q z miulého příkladu. Dál přdpokládjm, ž jsm zvolili číslo. Číslo j v ašm případě prvočíslo a vidtě dělí ϕ(), to jst má požadovaé vlastosti. Z vztahů (9) vypočítám pomocé číslo r = , a potom i d = Staovím klíčů s opět otvírá problém fktivího výpočtu zbytku po dělí umocěého čísla. Tímto problémm s budm zabývat yí. Ozačm pro přhldost Rs (a, m) zbytk po dělí čísla a číslm m, to jst pro a = bm + r j Rs (a, m) = r. Pro mocěí přirozých čísl a, j zám algoritmus s logaritmickou časovou složitostí. Platí totiž, a 2 a 2 pro sudé, > 1, a = a a 1 pro liché, > 1, (11) a pro = 1. Pokud bychom vyšli z tohoto algoritmu a počítali Rs (a, m), při mocěí vlkých čísl vlkými čísly bychom s záhy dostali do potíží. Například výsldkm umocěí dvou stocifrých čísl j víc jak ( )-cifré číslo. Výpočt takové mociy j hluboko za hraicmi možostí jakéhokoliv byť i hypottického výpočtího systému. Díky vlastostm kogruc však můžm provádět opraci Rs (a, m) v každém kroku výpočtu. Ituitivě řčo, při výpočtu j využito vlastosti a ] m = a] m a v paměti počítač jsou udržováa čísla s stál stjým počtm cifr. Násldující kód v jazyku Schm dmostruj implmtaci fukc xpmod využívající tohoto pricipu. (dfi (xpmod x m) (dfi (v? ) (= (modulo 2) 0)) (dfi (sqr x) (* x x)) (cod ((= 0) 1) ((v? ) (modulo (sqr (xpmod x (/ 2) m)) m)) (ls (modulo (* x (xpmod x (- 1) m)) m)))) Výš uvdou procdurou lz fktivě kódovat, dkódovat i vypočítat klíč. Při výpočtu klíč j opět uté využít fukci xpmod při staoví pomocé hodoty r. Přdpokládjm, ž mám dfiováy hodoty pro p, q, a staovu hodoty ϕ() a rověž klíč. Klíč d lz fktivě vypočítat ásldujícím kódm. (dfi r (modulo (* (- 1) (xpmod phi- (- 2) )) )) (dfi d (/ (+ 1 (* r phi-)) )) (= (xpmod (xpmod 1234 ) d ) 1234) Symbol phi- rprstuj hodotu ϕ() = (p 1)(q 1). Výsldkm vyhodocí výrazu a třtím řádku j #t začící pravdu, to jst zkušbí zakódovaé slovo 1234 bylo správě dkódováo. Pozámka. Obrácou tchikou k šifrováí s vřjým klíčm j lktroický podpis. V podstatě s jdá o modifikaci problému. Pouz jd účastík můž zprávu zašifrovat, ostatí ji mohou pouz rozšifrovat tím s přsvědčí o pravosti zprávy. Vzhldm k tomu, ž dvojic klíčů,, d, j komplmtárí, lz ji vzájmě použít j k šifrováí v smyslu utají dat, al právě i k lktroickému podpisu šifrováí v smyslu ověří pravosti. Navíc j použit týž šifrovací a dšifrovací algoritmus, pouz s zaměěými klíči. 6

7 Probabilistické tstováí prvočíslosti Při implmtaci mtody j potřba vhodě volit počátčí prvočísla p, q. Složitost zlomí klíč j úměrá jjich vlikosti. Otázkou j, jak fktivě grovat vlká prvočísla s řádově stovkami cifr. Jlikož j xaktí tstováí prvočíslosti pro vlká čísla úosé, v aplikacích často stačí mít k disposici číslo, ktré j téměř jistě prvočíslm. Zcla dostačující pravděpodobost prvočíslosti j apříklad Mzi základí probabilistické mtody tstováí prvočíslosti patří mtoda založá a platosti Frmatovy-Eulrovy 1 věty. J-li prvočíslo, pak pro každé a soudělé s platí a 1] = 1]. Čísla soudělá s mohou být pouz v tvaru t, pro t Z. Odtud dostávám, ž pro 1 a 1 j za přdpokladu prvočíslosti podmíka a 1] = 1] vždy splěa. Pokud í podmíka a 1 ] = 1] pro ějaké 1 a 1 splěa, číslo můž být prvočíslo. U vlkých čísl í možé tstovat všcha čísla splňující 1 a 1. Tst j provádě j kostatě moha pokusy při ichž j vola hodota a áhodě. Pokud j pokusů dostatčě moho a podmíka j při ich splěa, j vysoc pravděpodobé, ž j prvočíslo. Existují však čísla, pro ktré huristický tst založý a přdchozích úvahách částčě slhává. Dfiic 3. (Carmichalovo číslo) Nchť m j složé číslo a chť pro libovolé a Z soudělé s m platí a m 1] m = 1] m. Složé číslo m s azývá Carmichalovo číslo. To jst pokud j provdo k áhodých volb čísla a a ai v jdom případě dělí Carmichalovo číslo m, potom huristický tst prohlásí číslo m za prvočíslo, což í pravda. Njmším Carmichalovým číslm j 561, dál 1105, 1729,... Pouz šstáct Carmichalových čísl j mších ž 10 5 a pouz 2163 j mších ž To j vzhldm k počtu 10 7 prvočísl mších ž zadbatlé možství. Ačkoliv jsou Carmichalova čísla mzi ostatími přirozými čísly rozloža vlmi řídc, v roc 1994 bylo dokázáo, ž j jich kočě moho, viz 1]. Naštěstí při tstováí dostatčě vlkých kadidátů a prvočíslo lz zásah Carmichalova čísla prakticky vyloučit. Pozámka. Algoritmus grováí vlkých prvočísl j přímočarý. Njprv j vygrováo vlké číslo. V dalším kroku j číslo zpracováo huristickým tstm. Pokud tst slž, j vygrováo ové vlké číslo a tstovací procdura s opakuj. Grováí ových čísl probíhá dokud í alzo číslo, pro ktré j huristický tst splě. V většiě programovacích jazyků lz grovat vlká čísla přímo a j uté vytvářt j po jdotlivých cifrách. Násldující fukc gruj vlké číslo po cifrách. (dfi (slct-umbr digits) (dfi (itr i accum) (if (>= i (- digits 1)) accum (itr (+ i 1) (+ (* accum 10) (radom 10))))) (itr 0 (+ (radom 9) 1))) Fukc slct-umbr vrací áhodě vygrovaé číslo o zvolém počtu cifr. Při grováí j uté vhodě volit hodotu prví cifry. Prví cifra můž být ulová, jiak by byl zachová počt požadovaých platých cifr. Pro tstováí prvočíslosti a grováí vlkých prvočísl lz vytvořit další dvě fukc. 1 V litratuř j možé stkat s s ozačím Malá Frmatova věta. Pirr d Frmat ji vyslovil poprvé v roc 1640, avšak k tvrzí podal důkaz. Důkaz byl sstav až Lohardm Eulrm v roc

8 (dfi (fast-prim? tims digits) (dfi (frmat-tst ) (dfi a (+ 2 (slct-umbr (+ (radom digits) 1)))) (= (xpmod a (- 1) ) 1)) (cod ((= tims 0) #t) ((frmat-tst ) (fast-prim? (- tims 1) digits)) (ls #f))) (dfi (slct-prim digits) (dfi (itr cadidat) (if (fast-prim? cadidat 50 (- digits 2)) cadidat (itr (slct-umbr digits)))) (itr (slct-umbr digits))) Prdikát fast-prim? j pravdivý právě když vstupí číslo o digit cifrách splňuj podmíku huristického tstu. Počt opakováí tstu j dá argumtm tims. Fukc slct-prim postupě gruj vlká čísla a požadovaém počtu cifr dokud í alzo číslo splňující podmíku huristického tstu. Kódováí vstupí abcdy Až doposud byly kódovaé zprávy uvažováy jako čísla. V praxi s však kódují přdvším zprávy složé z zaků. Jdotlivé zaky jsou v počítači rprstováy rověž čísly zpravidla s osmibitovým rozsahm, to jst čísly 0,..., 255. Algoritmus RSA šifruj čísla s rozsahm 0 v 1. Obvykl bývá výrazě větším číslm ž 255, bylo by tdy úsporé kódovat vstupí zprávu po zacích. Z hldiska bzpčostího j to rověž vyhovující obsah zprávy by bylo možé dkódovat pomocí frkvčí aalýzy. Jdím z možých řší j kódovat vždy skupiu zaků. Zdrojová zpráva j jprv rozděla do bloků o kostatí délc l. Každý blok j samostatě zakódová. Uvažujm ji zaky kódovaé osmi bity, můžm jdotlivé zaky chápat jako cifry čísla zapsaého v číslé soustavě o základu 256. Problém kódováí bloku j tdy problémm přvdí l-cifrého čísla z soustavy o základu 256 do dkadické soustavy. Číslo v tomto tvaru již í problém zašifrovat pomocí algoritmu RSA. Po dšifrováí j potřba provést zpěté dkódováí, to jst přvod do soustavy o základu 256 a přvod a zaky. Otázkou zůstává, jak volit délku bloku l. Délka bloku musí rspktovat vlikost čísla 1. Pokud by ěktré l-cifré číslo zapsaé v soustavě o základu 256 mělo dkadické vyjádří větší jako 1, dkódováí zprávy po rozšifrováí by bylo jdozačé. Maximálí možá délka j cločíslá hodota l = log 256 ( 1). Například pro = j log 256 ( 1) = 3.612, to jst bzpčá vlikost bloku j l = 3. Násldující fukc provádějí kódováí a dkódováí vstupí a výstupí zprávy. (dfi (cod-block block bas) (dfi (itr block aux) (if (ull? block) aux (itr (cdr block) (+ (* bas aux) (car block))))) (itr (map char->itgr (strig->list block)) 0)) 8

9 (dfi (dcod-block umbr bas) (dfi (dcod umbr) (if (< umbr bas) (list umbr) (appd (dcod (quotit umbr bas)) (list (modulo umbr bas))))) (list->strig (map itgr->char (dcod umbr)))) Argumty block, umbr rprstují vstupí řtězc zaků a vstupí číslo. Argumt bas j číslý základ. V drtivé většiě případů by měl být rov 256. Pokud by al uživatl chtěl kódovat apříklad pouz sdmibitové txty, můž použít hodotu 128. J-li ku příkladu zakódová řtězc Ahoj s základm 128, jho kódm j číslo a = , to jst kvivaltí zápis v dsítkové soustavě. Naopak přvdím čísla a zpět do soustavy o základu 256 a přvodm čísl a zaky obdržím řtězc Ahoj. Pozámka. Zvolé řší j spíš dmostrativí. Při fktiví implmtaci s používají odlišé mtody kódováí. Přdvším šifrovat lz přímo v dvojkové soustavě, a klíč mají zpravidla délku dělitlou osmi kódováí s tak výrazě zjdodušuj. Přd samotým šifrováím jsou obvykl data komprimováa ějakým slovíkovým komprsím algoritmm, apříklad algoritmm LZW. Rfrc 1] Alford, W. R. Gravill, A. Pomrac, C. Thr ar ifiitly may Carmichal umbrs. A. Math., 140 (1994) ] Gravill, A. Pomrac, C. Two cotradictory cojcturs cocrig Carmichal umbrs. Math. Comp., (2001) to appar i prit. 3] Pich, R. Th Carmichal umbrs up to Math. Comp., 61:203 (1993) ] Rivst, R. L. Shamir, A. Adlma, L. A mthod for obtaiig digital sigaturs ad public-ky cryptosystms. Commuicatios of th ACM, 21(2): , Fbruary

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme DERIVACE FUNKCE Má zásadí výzam při vyštřováí fukčích závislostí j v matmatic, al také v aplikacích, apř v chmii, fyzic, koomii a jiých vědích oborch Pricip drivováí formulovali v 7 stoltí závisl a sobě

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Kapitola 2. Bohrova teorie atomu vodíku

Kapitola 2. Bohrova teorie atomu vodíku Kapitola - - Kapitola Bohrova tori atomu vodíku Obsah:. Klasické modly atomu. Spktrum atomu vodíku.3 Bohrův modl atomu vodíku. Frack-Hrtzův pokus Litratura: [] BEISER A. Úvod do modrí fyziky [] HORÁK Z.,

Více

Variabilita měření a statistická regulace procesu

Variabilita měření a statistická regulace procesu Variabilita měří a statistická rgulac procsu Ig. Darja Noskivičová, CSc. Katdra kotroly a řízí jakosti, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Efktivost využití statistických mtod pro aalýzu a řízí procsů j odvislá

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

Fotometrie a radiometrie Důležitou částí kvantitativního popisu optického záření je určování jeho mohutnosti

Fotometrie a radiometrie Důležitou částí kvantitativního popisu optického záření je určování jeho mohutnosti Učbí txt k přášc UFY1 Fotomtri a raiomtri Fotomtri a raiomtri Důlžitou částí kvatitativího popisu optického září j určováí jho mohutosti B, jsou přímo měřitlé, a proto rgtických charaktristik. Samoté vktory

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Zpracování a prezentace výsledků měření (KFY/ZPM)

Zpracování a prezentace výsledků měření (KFY/ZPM) Jihočká uivrzita Pdagogická fakulta katdra fyziky Zpracováí a prztac výldků měří (KFY/ZPM) tručý učbí tt Pavl Kříž Čké Budějovic 005 Úvod Přdmět Zpracováí a prztac výldků měří (ZPM) volě avazuj a přdmět

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

VLIV MODIFIKACE MATICE HMOTNOSTI NA VÝSLEDKY MODÁLNÍ ANALÝZY

VLIV MODIFIKACE MATICE HMOTNOSTI NA VÝSLEDKY MODÁLNÍ ANALÝZY VLIV MODIFIKACE MAICE HMONOSI NA VÝSLEDKY MODÁLNÍ ANALÝZY omáš Brzobohatý, Alxadros Markopoulos Fakulta strojí, katdra mchaiky VŠB-U Ostrava, řída 7. listopadu, 78 Abstrakt Při řší dyamických úloh mtodou

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

TECHNIKY A CASE NÁSTROJE VÝVOJE IS

TECHNIKY A CASE NÁSTROJE VÝVOJE IS TECHNIKY A CASE NÁSTROJE VÝVOJE IS Doc. I. B. Miibrr, CSc., Bakoví titut VŠ (2009) Doc. Miibrr, BIVŠ Cíl přdmětu Számí s s problmatikou vývoj iformačích systémů pomocí CASE ástrojů (Computr Aidd Systm

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Vyhledávání v tabulkách

Vyhledávání v tabulkách Vyhledáváí v tabulkách Tabulkou azveme možiu položek idetifikovatelých hodotou přístupového (idetifikačího) klíče (key, ID idetificator). Ve vodorovém směru se jedá o heterogeí pole, tz. že každá položka

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

L HOSPITALOVO PRAVIDLO

L HOSPITALOVO PRAVIDLO Difrnciální počt funkcí jdné rálné proměnné - 7 - L HOSPITALOVO PRAVIDLO LIMITY TYPU 0/0 PŘÍKLAD Pomocí L Hospitalova pravidla určt sin 0 Ověřní přdpokladů L Hospitalovy věty Přímočarým použitím věty o

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Trivium z optiky 37. 6. Fotometrie

Trivium z optiky 37. 6. Fotometrie Trivium z optiky 37 6. Fotomtri V přdcházjící kapitol jsm uvdli, ž lktromagntické zářní (a tdy i světlo) přnáší nrgii. V této kapitol si ukážm, jakými vličinami j možno tnto přnos popsat a jak zohldnit

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více