Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března Abstrakt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt"

Transkript

1 Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých prvočísl. Txt po čtáři vyžaduj prakticky žádé zalosti, můž být proto použit jako doplňkový matriál i v kursu Paradigmata programováí I. Autor můž být kotaktová prostřdictvím lktroické pošty a adrs Základí pojmy V dalších úvahách vycházím z jdé algbraická struktury okruhu clých čísl (Z, +, ). Zvolím-li pvé číslo m N, pak můžm a možiě Z dfiovat biárí rlaci θ m přdpism θ m = { a, b ; a = b + t m, pro ějaké t Z}. (1) Sado lz ukázat, ž rlac θ m j kvivalc a Z. Podrobě, θ m j zcla jistě rflxiví, platí a = a + 0 m, odtud ply a, a θ m. Pokud a, b θ m, pak lz psát a = b + t m pro ějaké t Z. Tto výraz lz upravit a a t m = b. Odtud již z komutativity a z vlastostí opačého prvku ply b = a + ( t) m, to jst b, a θ m rlac j symtrická. Nyí stačí ověřit trasitivitu. Uvažujm a, b θ m, b, c θ m. Existují tdy vyjádří a = b + s m, b = c + t m. Dosazím za b dostávám a = c + t m + s m, to jst a = c + (t + s) m. Rlac θ m j vskutku kvivalc a Z. Rlac θ m dfiovaá vztahm (1) j kogruc a Z, to jst splňuj substitučí podmíky vzhldm k opracím okruhu (Z, +, ). To zamá, ž pro libovolé a, b θ m, c, d θ m platí a + c, b + d θ m a a c, b d θ m. Platost lz opět sado ověřit, vyjdm-li z vztahů a = b + t m, c = d + s m, pak lz vyjádřit a + c = b + d + (t + s) m. Odtud ply a + c, b + d θ m. Dál a c = b d + (b s + d t + t s m) m, to jst i a c, b d θ m. Pozámka. V litratuř bývá kogruc θ m azýváa obvykl kogruc modulo m. Fakt a, b θ m j obvykl zač a b (mod m). Toto začí by však v dalším txtu bylo přhldé, proto jj budm používat. Dál j dobré uvědomit si, co zamá přdpis (1). Čísla a a b jsou kogrutí modulo m, právě když m (a b), to ply rovou z dfiičího vztahu. Vzhldm k tomu, ž kogruc θ m j rlací kvivalc, lz dl í rozložit Z právě a m tříd rozkladu. Každá třída rozkladu rprstuj možiu čísl z Z, ktré dávají po vydělí číslm m stjý zbytk. Rozkladm okruhu (Z, +, ) j vytvoř faktorový okruh Z/θ m. Oprac pro třídy rozkladu lz dfiovat přirozě pomocí oprací okruhu (Z, +, ), díky substitučí podmíc avíc jsou výsldky oprací ovlivěy výběrm prvku z třídy rozkladu. 1

2 Dfiic 1. Nchť m N a θ m Z Z ozačuj kogruci dfiovaou vztahm (1). Ozačm a] m = {b; a, b θ m } třídu rozkladu do íž pad prvk a Z. Dál chť možia Z/θ m ozačuj systém všch tříd rozkladu dl θ m, to jst Z/θ m = {a] m ; a Z}. Na Z/θ m zavdm oprac ásldujícími přdpisy, Struktura (Z/θ m, +, ) s azývá faktorový okruh modulo m. a] m + b] m = a + b] m, (2) a] m b] m = a b] m. (3) Pozámka. Nulou okruhu (Z/θ m, +, ) j prvk 0] m. Opačým prvkm k a] m j m a] m, boť a] m + m a] m = a + m a] m = m] m = 0] m. Jdičkou okruhu j 1] m. V litratuř s můž začí opět odlišovat. Okruh (Z/θ m, +, ) j obvykl azývá okruh zbytkových tříd modulo m a zač (Z m, +, ), jho prvky bývají začy C 0 až C m 1. V ašm případě toto začí korspoduj s třídami 0] m až m 1] m. Dfiic 2. (Eulrova ϕ-fukc) Zobrazí ϕ: N N, ktré každé N zobrazuj a počt mších s ím soudělých čísl, to jst s azývá Eulrova ϕ-fukc. ϕ() = Card {k; k N, k <, sd (k, ) = 1}, (4) V ěktrých případch lz hodotu Eulrovy ϕ-fukc staovit vlmi rychl. Mtoda šifrováí RSA j založa právě a vhodých vlastostch Eulrovy ϕ-fukc. J-li prvočíslo, bo j v tvaru součiu dvou prvočísl, pak lz hodotu ϕ() staovit ihd. Lmma 1. Nchť p, q N jsou prvočísla. Pak platí ϕ(p) = p 1 a ϕ(pq) = (p 1)(q 1). Důkaz. J-li p prvočíslo, potom j každé číslo k N, k < s číslm soudělé. Těchto čísl j právě p 1. Nyí uvažujm číslo v tvaru = pq, kd p, q jsou prvočísla. Všcha čísla soudělá s jsou buďto v tvaru s p, bo t q. Soudělých čísl v tvaru s p mších jak j al právě q 1. Stjě tak soudělých čísl v tvaru t q mších jak j právě p 1. Dohromady dostávám ϕ(pq) = (pq 1) (p 1) (q 1) = pq p q + 1 = (p 1)(q 1). Lmma 2. Nchť a Z, N jsou soudělá čísla. Pak platí, (i) Všcha čísla p a] jsou s soudělá. (ii) J-li avíc q Z soudělé s, pak j i číslo q a soudělé s. (iii) Všcha čísla soudělá s tvoří právě ϕ() tříd rozkladu podl θ. Důkaz. (i) Uvažujm třídu rozkladu a] a libovolé číslo p a]. Platí p = a + t. Přdpokládjm, ž m, m p. Z přdpokladu platí m (a + t). Jlikož m, platí i m t. Rověž platí i m (p t). Podroběji, z t = m s 1, p = m s 2 ply p t = m(s 2 s 1 ), to jst m (p t). Z přdchozích zjištěí dál ply m a. Odtud dostávám m = 1. (ii) Uvažujm dvě čísla q, a Z soudělá s. To jst platí sd (q, ) = 1, sd (a, ) = 1. Chcm ukázat, ž i sd (a q, ) = 1. K úplě přsému důkazu by bylo třba dfiovat pojm asociovaé prvky, my s však pro zjdoduší omzím pouz a přirozé jvětší spolčé dělitl. Bz újmy lz vyjádřit sd (a q, ) = sd (a q, sd (, q)), z asociativity 2

3 dál ply sd (a q, ) = sd (sd (a q, q), ). Platí sd (a q, q) = q sd (a, ). Odtud dostávám sd (a q, ) = sd (q sd (a, ), ) = sd (q, ) = 1, což bylo dokázat. Důkaz bodu (ii) by správě potřbovat dtailější rozbor vlastostí dělitlosti v oboru itgrity, to al í cílm tohoto txtu. (iii) Existuj právě ϕ() vzájmě růzých přirozých čísl ostř mších ž a zárovň soudělých s. Ozačm tato čísla a 1,..., a ϕ(). Všchy prvky tříd a 1 ],..., a ϕ() ] jsou čísla s soudělá, to jst {a i ] ; 1 i ϕ()} j možiou všch čísl soudělých s. Navíc pro dvě třídy rozkladu a i ] = a j ] lz p a i ] vyjádřit jako p = a i + t = a j + s. Odtud dostávám a i a j = (s t). Jiak řčo a i a j, al a i, a j 1, tdy platí a i = a j. Třídy rozkladu jsou vzájmě růzé a j jich právě ϕ(). Věta 1. (Frmatova-Eulrova) Nchť q Z, N jsou soudělá čísla. Pak platí q ϕ()] = 1]. (5) Důkaz. Ozačm a 1,..., a ϕ() všcha růzá čísla soudělá s, pro ktrá platí a i < pro libovolé i = 1,..., ϕ(). Podl přdchozí lmmy jsou a 1 ],..., a ϕ() právě všchy ] třídy čísl soudělých s. J-li q číslo soudělé s, pak jsou rověž i qa 1,..., qa ϕ() čísla soudělá s, to opět ply z přdcházjící lmmy. Třídy qa i ], qa j ] jsou pro libovolá 1 i, j ϕ(), i j vzájmě růzé. Přdpokládám-li qa i ] = qa j ], pak lz libovolý p qa i ] vyjádřit v tvarch p = qa i + s a p = qa j + t. To jst platí qa i + s = qa j + t, odtud q(a i a j ) = (t s). Odtud dostávám, ž (a i a j ), protož q j s soudělé. Al čísla a i, a j 1, to jst a i = a j. Z přdchozího faktu ply, ž třídy a 1 ],..., ] a ϕ() a qa 1],..., ] qa ϕ() jsou až a pořadí totožé. Ozačm a] = a 1 ] a 2 ] a ] ϕ() = ] a 1 a 2 a ϕ(). Pak platí, a] = a 1 ] a 2 ] a ] ϕ() = qa 1] qa 2 ] qa ] ϕ() = q ϕ() a ] = q ϕ()] a]. Jlikož j a soudělé s, platí a] 0]. Tík pádm lz přdchozí vztah vykrátit a] a dostávám požadovaé tvrzí q ϕ()] = 1]. Z přdcházjícího tvrzí mimo jié ply, ž pro soudělá čísla q Z, N dělí číslo q ϕ() 1 bz zbytku, to jst q ϕ() 1. Další části txtu s věují využití vlastosti Eulrovy ϕ-fukc při asymtrickém šifrováí mtodou RSA. Pricip algoritmu RSA Algoritmus RSA j asi jzámějším rprstatm asymtrických mtod šifrováí. V roc 1977 jj avrhli Ro Rivst, Adi Shamir a Loard Adlma, algoritmus s jméo právě podl ich. Asymtrická kryptografi j založa a dvou od sb růzých klíčích. Jd z klíčů j používá výhradě k šifrováí a lz jj použít k dšifrováí. Druhý klíč j využívá výlučě pro dšifrováí a aopak jj lz použít k šifrováí. V praxi j pouz jd z dvojic klíčů vřjě dostupý, druhý j utaj. Aby byla asymtrická kryptografi skutčě robustí, musí být zaruča praktická možost výpočtu jdoho klíč z druhého. Asymtrické šifrovací algoritmy jsou aplikací tori složitosti, jdé z stěžjích disciplí iformatiky. Dvojic klíčů j vola tak, aby výpočt jdoho klíč z druhého byl sic algoritmicky řšitlý, al úosý z hldiska výpočtího výkou soudobých i budoucích počítačů. 3

4 Clý algoritmus j zhruba ásldující. Njprv jsou zvola dvě prvočísla p, q, jjich souči ozačm = pq. Jlikož j v tvaru součiu prvočísl platí ϕ() = (p 1)(q 1). Dál zvolím čísla, d aby platilo d] ϕ(). Dvojic čísl,, d, tvoří vřjý a soukromý klíč. Ozačm zdrojovou zprávu v a zakódovaou zprávu w. Pokud chc odsílatl zakódovat zdrojovou zprávu v, vychází z vztahu w] = v ]. Příjmc zprávy obdrží w a rozkóduj jj pomocí vztahu v] = w d]. Při použití algoritmu j uté vyřšit ěkolik zásadích problémů. Njprv j uté dokázat správost mtody uvdé v přdchozím odstavci. Navíc j potřba z vhodě zvolých a pomocí vztahu d] ϕ() vypočítat číslo d. Dál j potřba mít k disposici jdoduchý algoritmus grováí vlkých prvočísl s přijatlou časovou složitostí. Dalším problémm j fktiví implmtac mocěí modulo m, ktré s používá při šifrováí a dšifrováí. V posldí řadě hraj roli i volba kódováí zprávy. Slova v, w uvdá v přdchozím odstavci rprstují čísla 0 v, w 1. Přášé zprávy však mívají většiou charaktr skvc zaků. Na jdotlivé problémy s pokusím odpovědět v dalším txtu. Násldující tvrzí ukazuj správost algoritmu. Věta 2. (Správost algoritmu RSA) Nchť p, q jsou prvočísla, = pq. A chť, d jsou libovolá čísla splňující podmíku d] ϕ(). Dál ozačm v, w čísla 0 v 1 a chť platí w] = v ]. Potom platí v] = w d]. Důkaz. V důkazu správosti algoritmu vycházím z d] ϕ() a w] = v ]. Dokazujm platost v] = w d]. Z vztahu d] ϕ() ply, ž d, 1 θ ϕ(). Jiak řčo souči d dává po dělí ϕ() zbytk jda, to jst platí d = 1 + rϕ(). Pokud dál umocím vztah w] = v ] do tvaru w d] = v d], lz místo dokazovaého vztahu v] = w d] psát v] = v d]. Pro důkaz správosti algoritmu tdy stačí ověřit platost v] = v 1+rϕ()]. (6) Důkaz j dál vd rozborm případů. Kokrétě uvažujm číslo v buďto soudělé s, bo soudělé. V případě, ž v j soudělé s lz psát v 1+rϕ()] = v] v rϕ()], to jst stačí ověřit v rϕ()] = 1]. Dál z Frmatovy-Eulrovy věty ply v ϕ()] = 1]. Umocěím tohoto vztahu a z vlastostí kogruc dostávám v rϕ()] v = ϕ()] r = 1]r = 1r ] = 1]. (7) V případě, ž ž v j soudělé s = pq musí být v buďto v tvaru v = ap, bo v tvaru v = bq. Bz újmy lz přdpokládat, ž v = ap. V tomto případě j al v soudělé s q, jlikož q j prvočíslo. V okruhu (Z/θ q, +, ) můžm vyjádřit v rϕ()] v = ϕ()] r = v (p 1)(q 1)] r = v (q 1)] (p 1)r = 1] q. (8) q q q q Posldí rovost ply z faktu, ž q j prvočíslo a proto ϕ(q) = q 1. Navíc podl Frmatovy- Eulrovy věty j v (q 1)] q = v ϕ(q)] q = 1] q. Jlikož platí i v rϕ(q)] q = 1] q, lz tto fakt vyjádřit v tvaru v rϕ() = 1 r + tq, po vyásobí této rovosti v obdržím v 1+rϕ() = v + vtq, to jst v 1+rϕ() = v + atpq. Zárovň platí = pq, tdy v 1+rϕ() = v + (at), jiými slovy v] = v 1+rϕ()], což bylo dokázat. 4

5 Síla algoritmu RSA j patrá právě z tohoto důkazu. Odsílatl pošty můž z zalosti v, w, a jdoduš staovit hodotu d. K tomu by musl vyřšit kogruci d] ϕ(). Pro správé řší j jprv uté zát hodotu ϕ(). Pro vlké číslo lz hodotu ϕ() v dohldé době vypočítat. Rověž prvočíslý rozklad vlkého čísla trvá úosou dobu. Dosud í zám fktiví algoritmus rozkladu a prvočiitl. Příklad 1. Zvolm apříklad prvočísla p = 5437, q = Dál staovím, = pq = , ϕ() = (p 1)(q 1) = , = , d = Dvojic,, d, tvoří vřjý a tajý klíč. Nyí můžm zakódovat apříklad v = 1234 pomocí vztahu w] = v ], dostávám w = Naopak při rozkódováí vycházím z vztahu v] = w d], kd w = a obdržím v = Pozámka. Na přdchozím příkladu jsou dobř vidět dvě úskalí. V prví řadě í jasé, jak byla čísla, d staova. Tato čísla vskutku splňují podmíku d] ϕ(). V případě malých čísl lz jjich volbu provést ad hoc. V případě vlkých čísl j uté vypočítat jd klíč pomocí druhého a čísla ϕ(). To jst a počátku j vhodě zvol apříklad pouz klíč a pomocí hodoty ϕ() j vypočt příslušý klíč d. Dalším, spíš tchickým problémm, j samotý výpočt w z v a obrácě. Na prví pohld s abízí umocit apříklad v a zjistit zbytk po dělí číslm. To by v přdchozím případě al zamalo vypočítat jprv číslo o log 10 (v ) = log 10 (v). = cifrách, což j aprosto úosé. Navíc tto fakt j jště umocě vlmi prozřtlou volbou prvočísl p, q. Čísla byla z dmostračích důvodů zvola vlmi malá zlomí klíč by v jjich případě bylo příliš časově áročé. Věta 3. Nchť p, q jsou prvočísla, = pq. Dál zvolm prvočíslo 2 1 soudělé s číslm ϕ(). Přdpokládjm, ž pro čísla, d platí d] ϕ(). Potom d j v tvaru d = 1 + rϕ(), kd r] = ( 1)ϕ() 2]. (9) Důkaz. Pozamjm, ž d] ϕ() platí právě když platí d = 1 + rϕ(). To jst fakticky stačí ověřit, zdali j číslo r volo tak, aby platilo 1 + rϕ(). Pak lz staovit d a platost vztahů j tím dokázáa. Pro číslo platí 1 + rϕ() právě když 1 + rϕ(), 0 θ, to jst právě když zbytk po dělí výrazu 1 + rϕ() číslm j ula. Tuto podmíku lz kvivaltě vyjádřit v tvaru 1 + rϕ()] = 0], bo jiak 1] + r] ϕ()] = 0], dál jako r] ϕ()] = 1]. Opačý prvk k 1] má tvar 1]. Pomocí ivrs lz vyjádřit r] = 1] ϕ()] 1 Vztah (9) j tdy platý právě když j ϕ()] 1 rov ϕ() 2]. Platí, ϕ()] ϕ()] 1 = ϕ()] ϕ() 2] ϕ() = 1] = ϕ() ϕ()] = 1]. (10) Posldí vztah ply z přdpokladu soudělosti ϕ() s a užitím Frmatovy-Eulrovy věty. Samozřjmě platí ϕ() = 1, protož bylo volo jako prvočíslo. Tím j al důkaz hotov. Volba čísla r implikuj platost 1 + rϕ() a podmíka d = 1 + rϕ() j splěa.. 5

6 Příklad 2. Přdchozí tvrzí dává ávod, jak jdoduš staovit klíč. Uvažujm hodoty p, q z miulého příkladu. Dál přdpokládjm, ž jsm zvolili číslo. Číslo j v ašm případě prvočíslo a vidtě dělí ϕ(), to jst má požadovaé vlastosti. Z vztahů (9) vypočítám pomocé číslo r = , a potom i d = Staovím klíčů s opět otvírá problém fktivího výpočtu zbytku po dělí umocěého čísla. Tímto problémm s budm zabývat yí. Ozačm pro přhldost Rs (a, m) zbytk po dělí čísla a číslm m, to jst pro a = bm + r j Rs (a, m) = r. Pro mocěí přirozých čísl a, j zám algoritmus s logaritmickou časovou složitostí. Platí totiž, a 2 a 2 pro sudé, > 1, a = a a 1 pro liché, > 1, (11) a pro = 1. Pokud bychom vyšli z tohoto algoritmu a počítali Rs (a, m), při mocěí vlkých čísl vlkými čísly bychom s záhy dostali do potíží. Například výsldkm umocěí dvou stocifrých čísl j víc jak ( )-cifré číslo. Výpočt takové mociy j hluboko za hraicmi možostí jakéhokoliv byť i hypottického výpočtího systému. Díky vlastostm kogruc však můžm provádět opraci Rs (a, m) v každém kroku výpočtu. Ituitivě řčo, při výpočtu j využito vlastosti a ] m = a] m a v paměti počítač jsou udržováa čísla s stál stjým počtm cifr. Násldující kód v jazyku Schm dmostruj implmtaci fukc xpmod využívající tohoto pricipu. (dfi (xpmod x m) (dfi (v? ) (= (modulo 2) 0)) (dfi (sqr x) (* x x)) (cod ((= 0) 1) ((v? ) (modulo (sqr (xpmod x (/ 2) m)) m)) (ls (modulo (* x (xpmod x (- 1) m)) m)))) Výš uvdou procdurou lz fktivě kódovat, dkódovat i vypočítat klíč. Při výpočtu klíč j opět uté využít fukci xpmod při staoví pomocé hodoty r. Přdpokládjm, ž mám dfiováy hodoty pro p, q, a staovu hodoty ϕ() a rověž klíč. Klíč d lz fktivě vypočítat ásldujícím kódm. (dfi r (modulo (* (- 1) (xpmod phi- (- 2) )) )) (dfi d (/ (+ 1 (* r phi-)) )) (= (xpmod (xpmod 1234 ) d ) 1234) Symbol phi- rprstuj hodotu ϕ() = (p 1)(q 1). Výsldkm vyhodocí výrazu a třtím řádku j #t začící pravdu, to jst zkušbí zakódovaé slovo 1234 bylo správě dkódováo. Pozámka. Obrácou tchikou k šifrováí s vřjým klíčm j lktroický podpis. V podstatě s jdá o modifikaci problému. Pouz jd účastík můž zprávu zašifrovat, ostatí ji mohou pouz rozšifrovat tím s přsvědčí o pravosti zprávy. Vzhldm k tomu, ž dvojic klíčů,, d, j komplmtárí, lz ji vzájmě použít j k šifrováí v smyslu utají dat, al právě i k lktroickému podpisu šifrováí v smyslu ověří pravosti. Navíc j použit týž šifrovací a dšifrovací algoritmus, pouz s zaměěými klíči. 6

7 Probabilistické tstováí prvočíslosti Při implmtaci mtody j potřba vhodě volit počátčí prvočísla p, q. Složitost zlomí klíč j úměrá jjich vlikosti. Otázkou j, jak fktivě grovat vlká prvočísla s řádově stovkami cifr. Jlikož j xaktí tstováí prvočíslosti pro vlká čísla úosé, v aplikacích často stačí mít k disposici číslo, ktré j téměř jistě prvočíslm. Zcla dostačující pravděpodobost prvočíslosti j apříklad Mzi základí probabilistické mtody tstováí prvočíslosti patří mtoda založá a platosti Frmatovy-Eulrovy 1 věty. J-li prvočíslo, pak pro každé a soudělé s platí a 1] = 1]. Čísla soudělá s mohou být pouz v tvaru t, pro t Z. Odtud dostávám, ž pro 1 a 1 j za přdpokladu prvočíslosti podmíka a 1] = 1] vždy splěa. Pokud í podmíka a 1 ] = 1] pro ějaké 1 a 1 splěa, číslo můž být prvočíslo. U vlkých čísl í možé tstovat všcha čísla splňující 1 a 1. Tst j provádě j kostatě moha pokusy při ichž j vola hodota a áhodě. Pokud j pokusů dostatčě moho a podmíka j při ich splěa, j vysoc pravděpodobé, ž j prvočíslo. Existují však čísla, pro ktré huristický tst založý a přdchozích úvahách částčě slhává. Dfiic 3. (Carmichalovo číslo) Nchť m j složé číslo a chť pro libovolé a Z soudělé s m platí a m 1] m = 1] m. Složé číslo m s azývá Carmichalovo číslo. To jst pokud j provdo k áhodých volb čísla a a ai v jdom případě dělí Carmichalovo číslo m, potom huristický tst prohlásí číslo m za prvočíslo, což í pravda. Njmším Carmichalovým číslm j 561, dál 1105, 1729,... Pouz šstáct Carmichalových čísl j mších ž 10 5 a pouz 2163 j mších ž To j vzhldm k počtu 10 7 prvočísl mších ž zadbatlé možství. Ačkoliv jsou Carmichalova čísla mzi ostatími přirozými čísly rozloža vlmi řídc, v roc 1994 bylo dokázáo, ž j jich kočě moho, viz 1]. Naštěstí při tstováí dostatčě vlkých kadidátů a prvočíslo lz zásah Carmichalova čísla prakticky vyloučit. Pozámka. Algoritmus grováí vlkých prvočísl j přímočarý. Njprv j vygrováo vlké číslo. V dalším kroku j číslo zpracováo huristickým tstm. Pokud tst slž, j vygrováo ové vlké číslo a tstovací procdura s opakuj. Grováí ových čísl probíhá dokud í alzo číslo, pro ktré j huristický tst splě. V většiě programovacích jazyků lz grovat vlká čísla přímo a j uté vytvářt j po jdotlivých cifrách. Násldující fukc gruj vlké číslo po cifrách. (dfi (slct-umbr digits) (dfi (itr i accum) (if (>= i (- digits 1)) accum (itr (+ i 1) (+ (* accum 10) (radom 10))))) (itr 0 (+ (radom 9) 1))) Fukc slct-umbr vrací áhodě vygrovaé číslo o zvolém počtu cifr. Při grováí j uté vhodě volit hodotu prví cifry. Prví cifra můž být ulová, jiak by byl zachová počt požadovaých platých cifr. Pro tstováí prvočíslosti a grováí vlkých prvočísl lz vytvořit další dvě fukc. 1 V litratuř j možé stkat s s ozačím Malá Frmatova věta. Pirr d Frmat ji vyslovil poprvé v roc 1640, avšak k tvrzí podal důkaz. Důkaz byl sstav až Lohardm Eulrm v roc

8 (dfi (fast-prim? tims digits) (dfi (frmat-tst ) (dfi a (+ 2 (slct-umbr (+ (radom digits) 1)))) (= (xpmod a (- 1) ) 1)) (cod ((= tims 0) #t) ((frmat-tst ) (fast-prim? (- tims 1) digits)) (ls #f))) (dfi (slct-prim digits) (dfi (itr cadidat) (if (fast-prim? cadidat 50 (- digits 2)) cadidat (itr (slct-umbr digits)))) (itr (slct-umbr digits))) Prdikát fast-prim? j pravdivý právě když vstupí číslo o digit cifrách splňuj podmíku huristického tstu. Počt opakováí tstu j dá argumtm tims. Fukc slct-prim postupě gruj vlká čísla a požadovaém počtu cifr dokud í alzo číslo splňující podmíku huristického tstu. Kódováí vstupí abcdy Až doposud byly kódovaé zprávy uvažováy jako čísla. V praxi s však kódují přdvším zprávy složé z zaků. Jdotlivé zaky jsou v počítači rprstováy rověž čísly zpravidla s osmibitovým rozsahm, to jst čísly 0,..., 255. Algoritmus RSA šifruj čísla s rozsahm 0 v 1. Obvykl bývá výrazě větším číslm ž 255, bylo by tdy úsporé kódovat vstupí zprávu po zacích. Z hldiska bzpčostího j to rověž vyhovující obsah zprávy by bylo možé dkódovat pomocí frkvčí aalýzy. Jdím z možých řší j kódovat vždy skupiu zaků. Zdrojová zpráva j jprv rozděla do bloků o kostatí délc l. Každý blok j samostatě zakódová. Uvažujm ji zaky kódovaé osmi bity, můžm jdotlivé zaky chápat jako cifry čísla zapsaého v číslé soustavě o základu 256. Problém kódováí bloku j tdy problémm přvdí l-cifrého čísla z soustavy o základu 256 do dkadické soustavy. Číslo v tomto tvaru již í problém zašifrovat pomocí algoritmu RSA. Po dšifrováí j potřba provést zpěté dkódováí, to jst přvod do soustavy o základu 256 a přvod a zaky. Otázkou zůstává, jak volit délku bloku l. Délka bloku musí rspktovat vlikost čísla 1. Pokud by ěktré l-cifré číslo zapsaé v soustavě o základu 256 mělo dkadické vyjádří větší jako 1, dkódováí zprávy po rozšifrováí by bylo jdozačé. Maximálí možá délka j cločíslá hodota l = log 256 ( 1). Například pro = j log 256 ( 1) = 3.612, to jst bzpčá vlikost bloku j l = 3. Násldující fukc provádějí kódováí a dkódováí vstupí a výstupí zprávy. (dfi (cod-block block bas) (dfi (itr block aux) (if (ull? block) aux (itr (cdr block) (+ (* bas aux) (car block))))) (itr (map char->itgr (strig->list block)) 0)) 8

9 (dfi (dcod-block umbr bas) (dfi (dcod umbr) (if (< umbr bas) (list umbr) (appd (dcod (quotit umbr bas)) (list (modulo umbr bas))))) (list->strig (map itgr->char (dcod umbr)))) Argumty block, umbr rprstují vstupí řtězc zaků a vstupí číslo. Argumt bas j číslý základ. V drtivé většiě případů by měl být rov 256. Pokud by al uživatl chtěl kódovat apříklad pouz sdmibitové txty, můž použít hodotu 128. J-li ku příkladu zakódová řtězc Ahoj s základm 128, jho kódm j číslo a = , to jst kvivaltí zápis v dsítkové soustavě. Naopak přvdím čísla a zpět do soustavy o základu 256 a přvodm čísl a zaky obdržím řtězc Ahoj. Pozámka. Zvolé řší j spíš dmostrativí. Při fktiví implmtaci s používají odlišé mtody kódováí. Přdvším šifrovat lz přímo v dvojkové soustavě, a klíč mají zpravidla délku dělitlou osmi kódováí s tak výrazě zjdodušuj. Přd samotým šifrováím jsou obvykl data komprimováa ějakým slovíkovým komprsím algoritmm, apříklad algoritmm LZW. Rfrc 1] Alford, W. R. Gravill, A. Pomrac, C. Thr ar ifiitly may Carmichal umbrs. A. Math., 140 (1994) ] Gravill, A. Pomrac, C. Two cotradictory cojcturs cocrig Carmichal umbrs. Math. Comp., (2001) to appar i prit. 3] Pich, R. Th Carmichal umbrs up to Math. Comp., 61:203 (1993) ] Rivst, R. L. Shamir, A. Adlma, L. A mthod for obtaiig digital sigaturs ad public-ky cryptosystms. Commuicatios of th ACM, 21(2): , Fbruary

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Zpracování a prezentace výsledků měření (KFY/ZPM)

Zpracování a prezentace výsledků měření (KFY/ZPM) Jihočká uivrzita Pdagogická fakulta katdra fyziky Zpracováí a prztac výldků měří (KFY/ZPM) tručý učbí tt Pavl Kříž Čké Budějovic 005 Úvod Přdmět Zpracováí a prztac výldků měří (ZPM) volě avazuj a přdmět

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

VÝVOJ NÁSTROJE PRO POSUZOVÁNÍ RECYKLAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ASFALTOVÝCH VOZOVEK S DŮRAZEM NA UHLÍKOVOU STOPU

VÝVOJ NÁSTROJE PRO POSUZOVÁNÍ RECYKLAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ASFALTOVÝCH VOZOVEK S DŮRAZEM NA UHLÍKOVOU STOPU 6. KONFERENCE PROJEKTOVÁNÍ POZEMNÍCH KOMUNIKACÍ Praha, 19.5.2015 VÝVOJ NÁSTROJE PRO POSUZOVÁNÍ RECYKLAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ASFALTOVÝCH VOZOVEK S DŮRAZEM NA UHLÍKOVOU STOPU Václav Sížk Fakulta stavbí ČVUT

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Úvod RSA Aplikace, související témata RSA. Ing. Štěpán Sem Festival Fantazie, 2013. Štěpán Sem

Úvod RSA Aplikace, související témata RSA. Ing. Štěpán Sem <stepan.sem@gmail.com> Festival Fantazie, 2013. Štěpán Sem Ing. Festival Fantazie, 2013 Osnova 1 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie 2 Základní princip Matematické souvislosti Historie 3 Vymezení pojmů Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

4.3.2 Vlastní a příměsové polovodiče

4.3.2 Vlastní a příměsové polovodiče 4.3.2 Vlastní a příměsové polovodič Přdpoklady: 4204, 4207, 4301 Pdagogická poznámka: Pokud budt postupovat normální rychlostí, skončít u ngativní vodivosti. Nní to žádný problém, pozitivní vodivost si

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Složitost a moderní kryptografie

Složitost a moderní kryptografie Složitost a moderní kryptografie Radek Pelánek Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Složitost a moderní kryptografie

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Univrzita omáš Bati v Zlíně LABORAORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Názv úlohy: Voltampérová charaktristika polovodičové diody a žárovky Jméno: Ptr Luzar Skupina: I II/1 Datum měřní: 14.listopadu 7 Obor: Informační

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Vyvážené nastavení PI regulátorù

Vyvážené nastavení PI regulátorù Vyvážné nastavní PI rgulátorù doc. Ptr Klán, Ústav informatiky AV ÈR Praha a Univrzita Pardubic, Prof. Raymond Gorz, Cntr for Systms Enginring and Applid Mchanics, Univrsity d Louvain PI nbo PID rgulátory

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS VI. Odpor a lktrický proud Obsah 6 ODPOR A ELEKTRICKÝ PROUD 6.1 ELEKTRICKÝ PROUD 6.1.1 HUSTOTA PROUDU 3 6. OHMŮV ZÁKON 4 6.3 ELEKTRICKÁ ENERGIE A VÝKON 6 6.4 SHRNUTÍ 7 6.5 ŘEŠENÉ

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Postup tvorby studijní opory

Postup tvorby studijní opory Postup tvorby studijní opory RNDr. Jindřich Vaněk, Ph.D. Klíčová slova: Studijní opora, distanční studium, kurz, modl řízní vztahů dat, fáz tvorby kurzu, modl modulu Anotac: Při přípravě a vlastní tvorbě

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

2 e W/(m2 K) (2 e) = 0.74 0.85 0.2 1 (1 0.85)(1 0.2) = 0.193. Pro jednu emisivitu 0.85 a druhou 0.1 je koeficient daný emisivitami

2 e W/(m2 K) (2 e) = 0.74 0.85 0.2 1 (1 0.85)(1 0.2) = 0.193. Pro jednu emisivitu 0.85 a druhou 0.1 je koeficient daný emisivitami Tplo skrz okna pracovní poznámky Jana Hollana Přnos okny s skládá z přnosu zářním, vdním a prouděním. Zářivý přnos Zářivý výkon E plochy S j dl Stfanova-Boltzmannova vyzařovacího zákona kd j misivita plochy

Více

Asymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.

Asymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3. Asymetrické šifry Pavla Henzlová FJFI ČVUT v Praze 28.3.2011 Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.2011 1 / 16 Obsah 1 Asymetrická kryptografie 2 Diskrétní logaritmus 3 Baby step -

Více

(1) Známe-li u vyšetřovaného zdroje závislost spektrální emisivity M λ

(1) Známe-li u vyšetřovaného zdroje závislost spektrální emisivity M λ Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa Tplotní zářní a Plankův vyzařovaí zákon Intnzita vyzařování (misivita) v daném místě na povrhu zdroj j dfinována jako podíl zářivého toku

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24

TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24 TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24 Obsah 1. Pois formátu výisu MT940 ro BUSINESS 24...2 1.1. Obecé odmíky... 2 1.2. Záhlaví souboru... 2 1.3. Struktura zázamu... 2 1.4.

Více

Demonstrace skládání barev

Demonstrace skládání barev Vltrh nápadů učitlů fyziky I Dmonstrac skládání barv DENĚK NAVRÁTIL Přírodovědcká fakulta MU Brno Úvod Studnti střdních škol si často stěžují na nzáživnost nzajímavost a matmatickou obtížnost výuky fyziky.

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Čínská věta o zbytcích RSA

Čínská věta o zbytcích RSA Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 5. přednáška 11MAG pondělí 10. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:52 Obsah 1 Čínská věta o zbytcích 2 1.1 Vlastní tvrzení.....................................

Více

Vliv prostupů tepla mezi byty na spravedlivost rozúčtování nákladů na vytápění

Vliv prostupů tepla mezi byty na spravedlivost rozúčtování nákladů na vytápění Vlv prostupů tpla mz byty na spravdlvost rozúčtování nákladů na vytápění Anotac Fnanční částky úhrady za vytápění mz srovnatlným byty rozpočítané frmam používajícím poměrové ndkátory crtfkované podl norm

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Algoritmy okolo teorie čísel

Algoritmy okolo teorie čísel Algoritmy okolo teorie čísel Martin Mareš mj@ucw.cz, 22. 1. 2011 Úvodem Tento textík rozebírá několik základních algoritmických problémů souvisících s teorií čísel: počítání největších společných dělitelů

Více

C5 Bezpečnost dat v PC

C5 Bezpečnost dat v PC C5 T1 Vybrané kapitoly počíta tačových s sítí Bezpečnost dat v PC 1. Počíta tačová bezpečnost 2. Symetrické šifrování 3. Asymetrické šifrování 4. Velikost klíče 5. Šifrování a dešifrov ifrování 6. Steganografie

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Algoritmy okolo teorie čísel

Algoritmy okolo teorie čísel Úvodem Algoritmy okolo teorie čísel Martin Mareš mj@ucw.cz Tento textík rozebírá několik základních algoritmických problémů souvisících s teorií čísel: Notace. počítání největších společných dělitelů řešení

Více

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů M ě ř n í o d p o r u r z s t o r ů Ú k o l : Proměřt sadu rzstorů s nznámým odporm různým mtodam a porovnat přsnost jdnotlvých měřní P o t ř b y : Vz sznam v dskách u úlohy na pracovním stol Obcná část:

Více

Informatika Ochrana dat

Informatika Ochrana dat Informatika Ochrana dat Radim Farana Podklady předmětu Informatika pro akademický rok 2007/2008 Obsah Kryptografické systémy s veřejným klíčem, výměna tajných klíčů veřejným kanálem, systémy s veřejným

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

Teorie a praxe dluhopisů. Ing. B.Stádník Ph.D.

Teorie a praxe dluhopisů. Ing. B.Stádník Ph.D. Tor a prax dluhopsů Ig. B.Stádík h.d. Obsah Úvod do matmatky dluhopsů Spojté úročí Tor Řšé příklady Vtří výosové proto a vst Tor Souvslost s složým úročím Vyjádří vtřího výosového prota Vtří výosové proto

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

CO JE KRYPTOGRAFIE Šifrovací algoritmy Kódovací algoritmus Prolomení algoritmu

CO JE KRYPTOGRAFIE Šifrovací algoritmy Kódovací algoritmus Prolomení algoritmu KRYPTOGRAFIE CO JE KRYPTOGRAFIE Kryptografie je matematický vědní obor, který se zabývá šifrovacími a kódovacími algoritmy. Dělí se na dvě skupiny návrh kryptografických algoritmů a kryptoanalýzu, která

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Středoškolská technika 2015. Encryption Protection System

Středoškolská technika 2015. Encryption Protection System Středoškolská technika 2015 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT Encryption Protection System Jaroslav Vondrák Vyšší odborná a Střední škola Varnsdorf Mariánská 1100, Varnsdorf 1

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

GRAFEN. Zázračný. materiál. Žádný materiál na světě není tak lehký, pevný a propustný,

GRAFEN. Zázračný. materiál. Žádný materiál na světě není tak lehký, pevný a propustný, VLASTNOSTI GRAFENU TLOUŠŤKA: Při tloušťc 0,34 nanomtru j grafn milionkrát tnčí nž list papíru. HMOTNOST: Grafn j xtrémně lhký. Kilomtr čtvrčný tohoto matriálu váží jn 757 gramů. PEVNOST: V směru vrstvy

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Vlastní hodnocení školy

Vlastní hodnocení školy Vlastí hodoceí školy dle vyhlášky 15/2005 Sb., v platém zěí, kterou se staoví áležitosti dlouhodobých záměrů, výročích zpráv a vlastí hodoceí školy. Škola: Základí umělecká škola Plzeň, Sokolovská 30,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

Měrná vnitřní práce tepelné turbíny při adiabatické expanzi v T-s diagramu

Měrná vnitřní práce tepelné turbíny při adiabatické expanzi v T-s diagramu - 1 - Tato Příloha 307 j součástí článku: ŠKORPÍK, Jří. Enrgtcké blanc lopatkových strojů, Transformační tchnolog, 2009-10. Brno: Jří Škorpík, [onln] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z http://www.transformacn-tchnolog.cz/nrgtckblanc-lopatkovych-stroju.html.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Interface ke sledování kvality sítí středního a vysokého napětí Typ PQI-D

Interface ke sledování kvality sítí středního a vysokého napětí Typ PQI-D Tchicé údaj TD00- přdběžé vydáí 0/00 Itrfac sdováí vaity sítí střdího a vysoého apětí Typ v pouzdru pro motáž a stěu v pouzdru pro motáž do rozváděčů jao zásuvá jdota 9 Rst COM Použití Nový itrfac sdováí

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Zjednodušený výpočet tranzistorového zesilovače

Zjednodušený výpočet tranzistorového zesilovače Přsný výpočt tranzistorového zsilovač vychází z urční dvojbranových paramtrů tranzistoru a pokračuj sstavním matic obvodu a řšním této matic. Při použití vybraných rovnic z matmatických modlů pro programy

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více