7-Dynamika tuhého tělesa

Transkript

1 54 7. Dynaika tuhéh tělea uhé těle budee dále chápat jak vláštní případ utavy htných bdů, pr kteru platí, že be hledu na phyb a půbící íly e vdálenti ei jedntlivýi bdy neění. uhé těle je dele reálnéh tělea, prtže reálná tělea defrvatelná ju. Jak byl uveden v kineatice, hledika echaniky ju ákladníi typy phybů tranlační phyby a phyby rtační kle tálé y táčen. Jejich výna je v t, že lžitější případy phybů ůžee na tyt ákladní phyby rlžit. Řada vlatntí becných phybů je přit dána prtý hrnutí pnatků puvné a rtační phybu. Phybvé rvnice tuhéh tělea pr tyt phyby ůžee pdbně jak u htnéh bdu íkat buď pdle. Newtnva ákna neb pdle d Alebertva principu tj. rvnváhy vnějších půbících il a il etrvačných. Při d Alebertvě půbu pužíváe utavu pjenu phybující e tělee a etrvačné íly jedntlivých eleentů tělea rep. jejich etrvačné enty lučíe d výledné etrvačné íly rep. d výlednéh etrvačnéh entu. 7. Phybvé rvnice při tranlační phybu tělea Pdbně jak v kapitle utavě htných bdů i avedee třed htnti S tělea jak bd, jehž plhvý vektr r S plňuje rvnici rd rρdv ( ) ( V ) r S, (7.) kde je celkvá htnt tělea. Vhlede k tu, že na všechny htntní eleenty těle v technické praxi půbí tejné gravitační rychlení, třed htnti ůžee ttžnit těžiště (těžiště někdy budee dále také někdy načvat píene G). Z kineatiky bdů tělea knajícíh tranlační phyb (všechny rychlti bdů tělea ju tejné) pak vyplývá pr hybnt tělea vtah ( ) H vd v (7.) Nechť e těle phybuje vůči nehybnéu prvateli tranlačně e rychlení aa, každý. Vycháíe-li. Newtnva ákn, pak a předpkladu že htnt neávií na čae platí dh F a (7.3) dt Zvlíe-li a pčátek nephyblivé vtažné utavy těžiště tělea, pak pr yšlené rdělení tělea na htné eleenty d pr ent hybnti tělea B platí B r x v d r d x v 0, (7.4) Prtže pdle definice těžiště platí r d d 0. Jetliže budee uvažvat vtah ei ente půbících il a čavu ěnu entu hybnti dtáváe d d i x B i d x d x dt r r F v dt + r a 0. (7.5) 54

2 55 Při pdrbnější půbu vyšetřvání tranlačníh phybu vláště váanéh tělea, při jišťvání jeh naáhání a reakcí vaeb, je pr dvení phybvých rvnic vhdnější pužití D Alebertva principu tj. pr utavu pjenu tělee hledat rvnváhu vnějších a etrvačných il rep. rvnváhu entu vnějších a etrvačných il F F 0 0 (7.6) +, + Setrvačné íly půbící na jedntlivé eleenty d tvří utavu rvnběžných il. Pr jejich nahraení výlednu etrvačnu ilu a výledný etrvačný ente platí F ad a (7.7) Pr výledný etrvačný ent vhlede k těžišti při tranlační phybu platí ( ) d d r x a d r d x a 0 (7.8) V bu případech tedy dtáváe pr phybvé rvnice při tranlační phybu vtahy F a 0 (7.9) F F F a F g Obr. 7. Pvní rvnice ná užňuje jitit tranlační rychlení tělea a při phybu vyvlané výlednicí půbících il F. Druhá rvnice je vlatně entvu pdínku tatické rvnváhy tj. užňuje ná vyřešit velikti reakcí ppř. ná užní prvét dikui žných phybů V některých případech ttiž u tuhéh tělea phyb čitě tranlační jen předpkládáe. Např. u puvajícíh e hranlu půbící vnější íla, íla tření a íla etrvačná vytváří klpný ent, takže krě tranlačníh phybu ůže dcháet i ke klpení kle přední neb adní hrany hranlu (vi příklad 7.). V některých případech ju rvnice (7.9) váané. ak je tu např. v případě, že akcelerace vidla je určena půbení třecí íly prkluujících hnacích kl. Hnací íla je pak ávilá na hdntě nrálvéh tlaku tj. na velikti reakce a ta je ae ávilá na hdntě rychlení. Pdbně jak ve tatice (vi rvnice tatické rvnváhy) vektrvé rvnice (7.9) by ěly v prtru být repreentvány 6 rvnicei kalárníi, v rvině pak 3 rvnicei kalárníi. V kineatice becný rvinný phyb byl definván jak phyb tělea, jehž bdy piují při phybu křivky v rvnběžných rvinách. Abych při dynaických úlhách hli vektrvé phybvé rvnice ppat 3 rvnicei kalárníi, uí být 3 rvnice 55

3 56 prtrvéh případu být plněny triviálně. u však bude jen v t případě, jetliže krě pdínky phybu jedntlivých bdů v rvnběžných rvinách vyšetřvaná tělea budu ít rvinu yetrie rvnběžnu rvinai phybu bdů tělea a atížení vnějšíi ilai buď v tét rvině yetrie neb pdle rviny uěrnti rlžení vnějších il yetrické. akvé případy však ju hledika trjírenké praxe pěrně čaté (např. ktuče, hřídele, karerie trvých videl apd.). V těcht případech pr příčaré phyby vlíe kartéku utavu uřadnic pčátke O a vektrvé rvnice (7.9) ppiující dynaiku při rvinné tranlační phybu repiujee d 3 rvnic lžkvých Fix ax, Fiy ay i i, ( i ) ( xi Fyi yifxi ) 0 (7.0) i V případě puvnéh rvinnéh phybu, při které e těžiště tělea phybuje p křivce je vhdné lžkvé rvnice repat d (kažité) tečny a nrály. Pr ápi lžkvých phybvých rvnic tedy pužijee uřadnice přirené tj. Fin an, Fit at i i, ( i ) 0 b i i (7.) kde ěr binrály b je dán vektrvý učine b τ xn. Pr entvu pdínku je žné v bu případech vít i libvlný jiný vtažný bd B. K tut becnéu bdu však již ent etrvačných il nulvý a ít pdínek ( i ) 0 rep. ( ) 0 i b i uíe pát i ( Bi ) y a x x a y rep. ( ) i Bi n a b t t a n, (7.) i kde x, y ju kartéké uřadnice rep. t,n ju přirené uřadnice těžiště v lkálních uřadných ytéech pčátke v bdě B. Příklad 7. Zjitěte rychlení bedny tvaru krychle htnti 50 kg phybujícíh e půbení íly P600 N p hrintální rvině, učinitel ykvéh tření f0, - br. 7.. Rhdněte da nedjde ke klpení bedny. F g a Obr. 7.a Obr 7.b 56

4 57 Řešení: Vykrelíe chéa uvlněnéh tělea (puvnu kineaticku dvjici přit nahradíe ilu N C v ítě půbiště x) vynačení rientace vlenéh uřadnéh ytéu, ěru rychlení a případně ěru etrvačné íly. Síla P ůže půbit jak ýkání krychle tak i její překlápění. Pkud by na bednu nepůbila íla P, bedna by e nephybvala a půbiště reakce N C by byl pd těžiště. Pkud neá djít ke klpení bedny, uí reakce N C ířit d tělea tj. její půbiště uí být v intervalu 0,5 < x < 0,5 d tředu krychle. Jak nenáé ju N C, x, a a. Pr třecí ílu platí, že její velikt F 0, N C. Phybvé rvnice ve lžkách: x: 600-0,N C 50a y: N C 50. 9,80 : -0,3.600+x. N C - 0,. 0,5N C 0 Řešení dtáváe hdnty: N C 490 N, x0,467, a 0,0 /. Plha výlednice nrálvé lžky reakce ná vyšla d tělea tj. ke klpení krychle tedy nedcháí. Pnáka : Pkud by plha reakce N C vyšla i hranl byl by t přínak, že dcháí k jeh klpení. Přit pkud je plha nrálvé výlednice před přední hranu, tak e pchpitelně jedná klpení kle přední hrany, pkud je a adní hranu, tak e jedná klpení kle adní hrany. Ke klpení kle adní hrany by řejě hl dcháet pue při ple nitelky hrintální íly P pd těžiště-dkažte! Pnáka : Plha reakční íly N C před bednu je ekvivalentní tu, že p uvlnění puvné vaby pcí reakce uítěné na přední hraně a reakčníh entu ířícíh d tělea by hdnta reakčníh entu vyšla áprná. by vše naenal,. že reakční ent uvlněné puvné vaby íří d tělea d pdlžky, cž nele. Pnáka 3: Pdbnu dikui bych hli prvádět v případě phybu vidla. Přínake vedání předních kl při prudké akceleraci by byla áprná hdnta nrálvé reakce d předních kl, přínake překlpení vidla dpředu při prudké brždění by byla áprná hdnta nrálvé reakce adních kl. Při puvné phybu je výledná etrvačná íla dána (jakžt vektr, tj. c d velikti, půbiště i ěru) učte eleentárních, rvnběžných etrvačných il a její velikt je rvna etrvačné íle bdvéh tělea htnti rvné htnti celéh tělea F ad a (7.3) Jak vyplývá definice těžiště, půbiště tét výledné etrvačné íly je přit v těžišti. Pdbně jak ve tatice, v některých případech je vhdné pr entvu rvnici pužít jak vtažný bd A, jiný bd než je těžiště (např. průečík nitelek nenáých lžek reakcí). V tt případě pak uíe k entu půbících vnějších il přičít i ent d výledné etrvačné íly. D chéatu uvlněnéh tělea je prt vhdné akrelvat d těžiště i ěr etrvačné íly, cž unadňuje aplikaci entvé pdínky k becnéu vtažnéu bdu. Pr uřadnu utavu pčátke O A pak platí (7.4) x: Fix ax i y: Fiy ay i (7.5) : ( Ai ) ( xi Fyi yifxi ) ( x ay y a ) 0 (7.6) i i 57

5 58 Příklad 7. Aut dle bráku á htnt 000kg a těžiště v bdě (br. 7.3). Určete rychlení auta, jetliže hnaná adní kla e neutále prtáčí a přední e vlně dvalují. Htnti kl k anedbejte. Keficient ykvéh tření kl je f0,5. Řešení: Ju-li htnti kl nulvé, pak ju nulvé i jejich enty etrvačnti a kla nekladu dpr prti rtáčení (). Z th vše vyplývá, že u nepháněných kl ju tečné lžky reakcí nulvé a ve chéatu uvlněnéh tělea je neakrelujee A r k α, k k r 0 A 0. U hnacích kl však při uvlnění tečné lžky reakcí nenulvé ju a pkud by nedcháel k prkluu, pak by platil h h B r k α 0 B 0. r Vhlede k prkluu však platí B FB NB f. a Pr vtažný bd phybvé rvnice: x: 0,5N B -000a y: N A +N B ,80 :,5N A +0,5.0,3N B 0,75N B 0 Nenáé ju N A,, N B,, a. P daení dtáváe nuerické hdnty: a,59/, N A 6,88kN, N B.7 kn Obr Pnáka :Pkud entvu pdínku vlíe vhlede k bdu A, pak v ní nebude nenáá N A a řešení e jednduší, prtže pr naleení a ptačuje yté rvnic: x: 0,5N B 000a :, 0N B, , 8 0, a Pnáka : Pkud by hdnta N A vyšla áprná, akcelerace vidla by byla takvá, že dcháí ke vedání předních kl. Phyb auta je pak nikliv čitě tranlační, ale becný rvinný Pnáka 3: Při ýkání hnacích kl hdnta rychlení vidla neávií na hdntě hnacíh entu! 58

6 59 Příklad 7. 3 Vypčtěte dbu kyvu aylrva kyvadla dle bráku 7.4a. Dále určete naáhání avěšenéh tráce ve vynačené řeu a napětí v lanech, která pvažujee a nehtná. Pčáteční výchylka je α, hta tráce je, vdálent ei ávěy l, celkvá délka tráce je l, délka ávěů je r. F t F g F n Řešení: Zavěšený tráec kná kruhvý puvný phyb, a phybu tedy na tráec půbí v těžišti výledná íla etrvačná tečná velikti F a rϕɺɺ a výledná etrvačná íla nrálvá Fn rϕɺɺ. Z rvnváhy il akčních a il etrvačných tedy dtáváe: t... rɺɺ ϕ g inϕ 0 n... g cϕ rɺ ϕ + S + S 0 t Obr. 7. 4a b... Sl cϕ + Sl cϕ 0 Z prvé rvnice pak dtáváe vlatní phybvu rvnici g ɺɺ ϕ + in ϕ 0, cž je rvnice ateatickéh kyvadla. r r Pr alé kyvy platí π. g F t Jak vyplývá 3.rvnice, íly v ávěných lanech ju F tejné a platí n S S S ( g cϕ + rɺ ϕ ) Úhlvu rychlt ůžee určit e ákna achvání echanické energie r gr ( c c ) ɺ ϕ ϕ α Obr. 7.4b Naáhání v řeu C-C je dán ilai p jedné traně řeu- vi br. 7.4b). 59

7 60 Pr tahvu ílu N, puvající ílu a hybvý ent, jakžt účinky čáti na čát platí, že N rɺɺ ϕ cϕ + rɺ ϕ inϕ S inϕ rɺɺ in + rɺ c S c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ' ( rɺɺ ϕ inϕ + rɺ ϕ cϕ + g )( l x) + S ( l x) cϕ Pnáka: Síly etrvačné i tíhvé předtavují ve kutečnti pjitá ilvá atížení. V dynaice tuhéh tělea však pravidla pracujee e ilai přílušejícíi výlednicí těcht pjitých atížení. Z uvedenéh vyplývá, že těle knající tranlační phyb ůžee hledika jeh dynaických vlatntí (tj. při výpčtu kinetické energie, hybnti, entu hybnti, výledné etrvačné íly) i při vyšetřvání jeh phybu (pkud ná nejde jištění vaeb apd.) pvažvat a bdvé těle uítěné v těžišti, htnt tht bdvéh tělea je přit rvna celkvé htnti tělea. Jak byl íněn v kapitle dynaice bdvéh tělea, hledika hybnti tělea při tranlační phybu platí ákn achvání hybnti ppř. je plněna relace ei ipule půbících il a ěnu hybnti tělea tj. platí t H H F dt (7.7) at rvnice vyjadřuje ákn ěně hybnti při tranlační phybu tělea. Prtže všechny bdy tělea knajícíh tranlační phyb ají tejnu rychlt, jeh kinetická energie je dána vtahe Ek v d v 0 (7.8) 7. Dynaika rtačníh phybu - prtrvý případ Při rtační phybu je jedna jeh příka (a táčení ) nehybná a je ttžná nitelku vektru úhlvé rychlti. Bdy tělea piují v rvinách klých k e rtace utředné kružnice e tředy na e rtace. Odvdíe phybvé rvnice táčejícíh e tělea, všinee i výpčtu reakcí ulžení, naáhání a veli důležitéh prbléu vyvažvání. Pr ent hybnti B O vhlede k pevnéu bdu O ležícíu na e rtace platí vtah ( ) B O d r x r x ω (7.9) Vhlede k tu, že vektry r ju klé na vektry (r x ω), pr lžku entu hybnti B O vhlede k pevné e rtace bude platit kde veličina je ( ) B B ω, (7.0) O d (7.) ( ) ρ ent etrvačnti tělea vhlede k tálé e rtace a ρ je klá vdálent eleentu d d y rtace. 60

8 6 Pdle věty entu hybnti utavy htných bdů platí, že výledný ent hybnti vhlede k pevnéu bdu O ůžee vyjádřit pcí entu hybnti bdvéh tělea htnti a entu hybnti utavy htných bdů vhlede k těžišti tj. v případě tuhéh tělea platí ( ) ( ) B O r x v + r x d v r x ( r x ω ) + d r x r x ω (7.) Pr lžku B O d ěru y rtace tedy bude platit B ρ ω + ω ω, (7.3) kde je ent etrvačnti k e prcháející těžiště rtace a rvnběžné, ρ e je klá vdálent bu. Ze rvnání vtahu (7.0) tedy vyplývá Steinerva věta, která užňuje výpčet entu etrvačnti tělea vhlede k libvlné e, jetliže náe ent etrvačnti tělea vhlede k e rvnběžné jducí těžiště a klu vdálent e bu e +. (7.4) Uvažuje nyní těle atížené vnějšíi ilai F i ulžené tak, že rtuje kle y rtace. Pčátek O kartéké uřadné utavy ttžníe radiálně-axiální lžike A (Obr.7.5). F i α Obr B Reakci v A je pak žné rlžit d lžek F Ax, F Ay, F A., reakci v ítě B (radiální lžik) rlžíe d lžek F Bx, F By.. Uvažujee-li těle jak utavu bdvých těle, pak integrací pře celé rtující těle dtáváe dvě vektrvé phybvé rvnice: a) rvnici ilvu ( ) ( ) F + F + F a d α x r d + ω x v d, (7.5) A kde F je výlednice vnějších akčních půbících il b) a pr vtažný bd A rvnici entvu O B B ( ) ( ) + r x F r xa d r x α xr d + r x ω x v d, (7.6) 6

9 6 kde O je výledný ent d akčních átěžvých il, r je plhvý vektr k eleentu d, a je rychlení rtačníh phybu eleentu d. Pr vtažnu uřadnu utavu dle br. 7.5 dtáváe pr rychlt rtačníh phybu jedntlivých htntních eleentů vtah i j k v ω xr 0 0 ω iyω + j xω (7.7) x y Pr rychlení rtačníh phybu eleentu ůžee p prvedení vektrvých učinů pát a i( yα x ω ) + j ( α x y ω ) (7.8) Dadíe-li rvnici (7.8) d rvnice (7.6) a uvážíe-li, že pr všechny eleenty je ω a α tejné, bdržíe ilvé phybvé rvnice lžkvé Fx + FAx + FBx yd xd Fy + FAy + FBy xd yd F + F 0 A α ω α ω (7.9) Pdbně p prvedení vektrvých učinů a repání d lžek dtáváe pr lžky entvých phybvých rvnic vtahy x FByl α xd ω yd y FBxl yd xd + α + ω ( ) α x + y d (7.30) kde x, y, ju lžky entů akčních vnějších il. Jetliže avedee deviační enty k e vtahy x y (7.3) D xd, D yd a uvážení definičních vtahů uřadnice těžiště pak ůžee lžkvé a entvé rvnice rtačníh phybu pát ve tvaru F + F + F α y ω x x Ax Bx F + F + F α x ω y y Ay By F + F 0 A F l α D ω D x By x y + F l α D + ω D y Bx y x α (7.3) V případě becnéh tvaru tělea (kdy deviační enty ju nenulvé) ppř. při becné rlžení půbících vnějších il je tedy nutné vyšetřvat rtační phyb kle tálé y 6

10 63 táčení jak prtrvý případ. Zárveň je řejé, prč e uvedený entů říká deviační-naží e vychýlit u rtace i při nulvé vnější atížení. Ke tejnéu ytéu rvnic bych řejě dpěli, jetliže bych pužili vtažnu uřadnu utavu O x y pjenu tělee ( )a pr jedntlivé eleenty avedli pdle d Alebertva principu přílušné etrvačné íly. V tt případě je pr každý eleent nulvá etrvačná íla unášivá pčátku uřadnic (pčátek leží na e rtace) a etrvačná íla Criliva (eleenty e vůči Ox y nephybují). Jetliže bych v ytéu O vyjádřili uřadnice úhlvé rychlti a úhlvéh rychlení (bě tyt kineatické x y veličiny by přit ěly výna rtační rychlti a rtačníh rychlení tělea vůči nehybnéu ytéu), pak převedení pravých tran rvnic (7.5) rep. (7.6) bych hlednili půbení etrvačných il tečných a etrvačných il nrálvých rep. jejich entů, rvnice by tedy ůtaly cela tejné. 7.. Phybvé rvnice při prtrvé rtační phybu Syté rvnic (7.3) je žné apat aticvě ve tvaru D D x x y x Dx y y Dy ( ) f A + Ω r α + Ω ω O (7.33) kde je tv. atice etrvačnti tělea, Dx Dy 0 α 0 0 ω 0 A α 0 0, ω 0 0 Ω ju atice úhlvéh rychlení a atice úhlvé rychlti při rtaci kle y ; f, O,ω,α ju lupcvé atice ající jak prvky uřadnice přílušných vektrů F,, ω, α. Stejný půbe bych hly djít repání rvnice (7.9) d lžek k aticvéu ápiu entu hybnti ve tvaru b R Ω r + ω (7.34) O Výhdu pužití ytéu Ox y uhlaícíh plhu tělea je v t, že plha těžiště a atice etrvačnti neávií na ple tělea tj. neávií na čae. Přit jeh pužití je cela frální, etrvačné účinky pjené phybe tělea ju v rvnicích ahrnuty. V další index () už prt budee pravidla vynechávat. Z dvených rvnic pr prtrvý rtační phyb je řejé, že reakce v lžikách ju becně ávilé nejen na vnějších ilách, ale i na kineatických veličinách α a ω. Je nahu, aby reakce nebyly ávilé na úhlvé rychlti a úhlvé rychlení. bude pue tehdy, pkud bude x y 0 (tj. pkud bude těžiště ležet na e rtace- těle bude taticky vyvážen) a bude platit D D 0 (těle bude vhlede k e dynaicky vyvážen). x y Z rvnic (7.3) je řejé,že při ple těžiště na e rtace budu pravé trany prvních tří rvnic (7.3) rvny nule a távají e nich pue lžkvé rvnice tatické rvnváhy. V tt případě tedy platí 63

11 64 F F F ix iy i (7.35) Rvnice (7.35) vyjadřuje kutečnt, že při rtaci tělea kle y prcháející těžiště nedcháí k naáhání lžiek d výlednice etrvačných il a jištěné naáhání lžiek dpvídá půbení jen vnějších il (např. při brábění). 7.. Vyvažvání rtujících ht K důležitý úklů ve tavbě trjů patří vyvažvání etrvačných ilvých účinků, které hu vnikat při rtačních phybech těle. V rvinné případě je výledná etrvačná íla F a výledný etrvačný ent pr pčátek O na ležící na e rtace ju dány F r xα + ω r α r x F + r x F + ( α ) r x( r x α ) + ( α ) eα α t n (7.36) kde e je klá vdálent těžiště d y rtace. Jak vyplývá e vtahu (7.36), při ple těžiště na e rtace a při kntantních táčkách celkvý ju výledné dynaické účinky půbící na lžika ju nulvé (eleentární dtředivé íly však exitují a naáhají těle vnitřníi ilai). Při excentrické ple těžiště i u rtace u rtujících ht tedy vnikají dtředivé íly, jejichž účinky e přenášejí na lžika. Navíc tí, že dynaické účinky nepůbí jen tatický půbení v jedn ěru ale rtují, půbují i chvění, vyšší hladinu hlučnti a nižují živtnt lžiek. Jak vyplývá e 4. a 5. rvnice ytéu (7.3), pr tělea která neají rvinu yetrie, dcháí k naáhání lžiek i v případě, že táčky ju kntantní a těžiště leží na e rtace. Obecně tedy pr dtranění atížení lžiek rtrů pcí vyvažvání je nutn nížit jak ilvé naáhání d výledné dtředivé etrvačné íly (vnikající v důledku excentricity těžiště) tak i entvé deviační účinky (vnikající při rtaci rtačně neyetrických těle). Excentricitu těžiště je přit žné dtraňvat a klidu (tatické vyvažvání), ptlačení entvéh naáhání je žné prvádět pue a phybu (dynaické vyvažvání) Statické vyvažvání Staticky vyvažujee krátké rtační učáti (etrvačníky, řeenice), u kterých kvůli nepřenti výrby a táčení neprcháí těžiště a je rvnběžná geetricku u tělea a vdálent těžiště d y e je alá. Vhlede k tu, že e jedná krátké učáti, ůžee pvažvat plhu těžiště na e rtace a náu. Staticku nevyvážent dtraníe tak, že na prtilehlé traně d těžiště přidáe htu, neb na tejné traně d y rtace htu uberee tak, aby e těžiště dtal d y rtace. ut htu je nutné přidat v takvé vdálenti d y rtace, aby platila rvnváha dtředivých il e ω ω (7.37) e pr p r kde je htnt rtru, e je vdálent těžiště d y rtace, p je přídavná neb debraná htnt, r vdálent uítění htnti p d y táčení. Jak je tedy patrn, le tatické vyvážení rtru prvét jedinu htu. 64

12 65 Obr Při tatické vyvažvání plžíe rtační vyvažvané těle hřídele na vdrvné břity neb na tjan valivýi lžiky (br.7.6). Je-li hřídel takt ulžen je tření veli alé. Ptčíe-li rtační těle nějaký úhel, ůtane tát v libvlné ple, jen je-li přeně taticky vyvážen. Nevyvážené těle e utálí vždy těžší čátí dlů. Na těžší traně htu ubíráe neb na prtější traně přidáváe, až je těžiště tělea v e táčení. V učané dbě e i tatické vyvažvání prvádí na vyvažvacích trjích (vyvažvání kl autbilů apd.), u nichž velikt nevývažku při rtaci vynikne, prtže vniklá dtředivý íla bývá nhe větší než íla tíže, číž e eliinují nepřenti vniklé v lžicích ěřicíh aříení. U lených hřídelů není žné uítit prtiávaží v rvině phybu, ve které leží těžiště táčející e hty. Pužijee dvu prtiávaží, která uítíe d rvin rvnběžných rvinu phybu hty (br.7.7). á-li být hřídel vyvážen, uí být v rvnváe ilvé účinky dtředivých il vyvažvané hty a d prtiávaží, tn. ni 0 a 0, Fni F F F ω r ω r ω r 0, n n n3 3 3 F F a F b r a r b n n3 3 3 kde a 3 ju htnti prtiávaží. U lených hřídelů čat bývá a b, r r3. Pak předchí rvnice plníe pr hdnty r 3 r 3 Obr

13 66 Příklad 7. 4 Ocelvý ktuč tejné tlušťky e táčí kle vé y a ju v ně vyvrtány dvě díry (br.7.8). Jaký bude průěr třetí díry a v jaké bude ple, á-li být ktuč vyvážen vrtání díry ve vdálenti r 3 500? Úbytek dtředivých il v důledku vyvrtání prvních dvu tvrů áe kpenvat vyvrtání třetíh tvru. Úbytek dtředivých il je přit vždy úěrný debrané htnti (která je úěrná kvadrátu průěru díry d i ) a vdálenti d y rtace r i. V rvnváe ají tedy být tři íly, nichž dvě náe. Vhlede k tu, že prvé dvě díry ju na ebe klé,nadn djdee k výledku Obr d r + d r 5900 d r d 08, 8, tg ɺ α3 α 3 r3 5 d r 7... Dynaické vyvažvání když je rtující těle taticky vyvážen (tj. jeh těžiště leží na e rtace), přet hu být a phybu lžika naáhána. natává tehdy, jetliže ju nenulvé hdnty deviačních entů. Pak ju nenulvé pravé trany rvnic (7.3) a hdnty reakcí F By a F Bx v lžicích. akvý případ i ůžee předtavit u rtující deky kládající e e dvu tejných trjúhelníků (br. 7.8a). Celkvé těžiště deky ice leží na e, árveň je však řejé, že a rtace vnikají dvě dtředivé íly vytvářející ilvu dvjici, která naáhá lžika. Pněvadž dvjici il je žné uvét d rvnváhy ae jen dvjicí, naená t, že dynaické vyvážení jev tt případě žné jen dvěa vývažky ležícíi v růných rvinách. Vlba těcht rvin pravidla bývá pdíněna kntrukčníi žnti uítění vývažků. Obr. 7. 8a Obr. 7. 8b 66

14 67 K dynaickéu vyvažvání e pužívá vyvažvacích trjů připůbených tvare a veliktí vyvažvaný předětů. Např. rtr na hřídeli e ulží d dvu lžiek vdrvně puvných a držených ve třední ple pružinai (7.8b). Při táčení dvjice dtředivých il vytváří ent, který vychyluje u rtace úhel φ. Svilé lžky nevyvážených dtředivých il e achycují lžiky a vdrvné lžky půbují ent který je v rvnváe ente pružin. Z velikti výchylky pružin a velikti výchylky y rtace pak ůžee určit htnt a plhu přívažků, které uiťujee ve dvu rvinách. V nejbecnější případě plha těžiště rtru neleží na e táčení. takvé nevyvážení le dtranit připjení dvu vývažků v růných rvinách. Každý e vývažků je přit určen 3 uřadnicei a htntí tj. exituje 8 nenáých. Přit ju pužitelné 4 rvnice dynaických účinků vyjadřujících naáhání y ve ěrech klých na rtaci ( ilvé a entvé ve ěrech x a y-vi yté rvnic (.8). Vlba plhy vyvažvacích rvin je ve kutečnti pdíněna žnti uítění vývažků -vé uřadnice a vdálenti vývažků d y rtace ju předepány. Celkvý pčet neávilých uřadnic vývažků je rven a celkvý pčet nenáých je tedy 4. Přit pkud je chcee určit rvnic (7.3), je nutné předpkládat, že hdnty deviačních entů a plhy těžiště ju náé. Při řešení vyvažvání je nutn i uvědit, že každý rtr je pružný a vlive prtrvých dtředivých il e defruje, číž dcháí ke ěně knfigurace rlžení ht. Prt je nutn vyvažvat rtry při těch úhlvých rychltech, jakýi budu pužity v prvních pdínkách. Z důvdů dažení vyšší přenti je vhdné rtry vyvažvat ne pue ve dvu, ale i ve třech i čtyřech rvinách Výpčet vých a deviačních entů etrvačnti Pr ppi geetrick-htntních charakteritik těle ve frě atic je nutné vhlede ke 3 uřadný á vlenéh pravúhléh ytéu nát hdnty 3 vých entů a hdnty 3 entů deviačních ( ) ( ) ( ) (7.38) y + d, x + d, x + y d x y (7.39) D xyd ;D xd;d yd; xy x y kde x,y, ju uřadnice eleentární htnti d. Např. pr htný bd htnti e uřadnicei x,y, je k e jeh hdnta entu etrvačnti rvna ( x + y ) r a jeh deviační ent etrvačnti k á x, y je rven xy. Jak je definičních vtahů řejé, enty etrvačnti k á ju vždy kladné, enty deviační hu být kladné neb áprné v ávilti na vlbě vtažné uřadné utavy. Le tedy nalét takvu uřadnu utavu, k jejíž á budu deviační enty nulvé. Suřadnicvé y k niž ju deviační enty nulvé e naývají hlavní y etrvačnti. Např. pkud á těle rvinu yetrie xy, pak platí D D 0 a hlavní u etrvačnti je a. Vtažný uřadný yté pčátke v těžišti budee naývat centrální uřadnicvý yté, y a rviny prcháející těžiště budee naývat centrálníi ai etrvačnti a centrálníi rvinai etrvačnti. Při výpčtech entů etrvačnti pravidla předpkládáe, že ěrná htnt ρ je v prtru tělea kntantní, takže integrace pře htnt přejde k integraci pře bje tj. d ρdv. V kartékých uřadnicích pr infiniteiální eleent bjeu přit platí dv Dxy dx dy d. (7.40) x y 67

15 68 Jetliže těle á rtační yetrii, pak je pr výpčet vhdné pužití válcvých uřadnic pr které platí dv r dr dϕ d (7.4) Pr tělea kulvu yetrii je vhdné pužití uřadnic férických dv r inϑ dϑ dϕ (7.4) Obecně trjnábný integrál při výpčtu vých entů etrvačnti ůže být jedndušen na dvjnábný či jednduchý jetliže vyberee eleentární bje tak, aby e ěnil jen v jedn ěru. Hledání vhdnéh eleentu e nažíe jedndušit výpčet entu etrvačnti, nížit trjnábný integrál. Kritériu právnti (vhdnti) při výběru eleentu d je t, aby d ěl kntantní vdálent k e. V některých případech je vhdné vybrat eleent ve tvaru jednduchéh tělea, jehž ent etrvačnti náe. Např. při výpčtu entů rtačně yetrických těle veee jak ákladní eleent dik, u těle tvaru deky těle pužijee jak eleent tyč apd. Z nuerických důvdů je někdy vhdné prvét výpčet vhlede k uřadnéu ytéu punutéu (ve které ju funkční vtahy ei uřadnicei jednduché funkce) a k entů etrvačnti k á pžadvanéh ytéu přejít pcí Steinervy věty. Pdle tvaru tělea vlíe vhdný yté uřadnic. Zpravidla nejdříve vypčtee enty etrvačnti a deviační enty k hlavní neb centrální á etrvačnti a pak pužijee vrců pr jejich tranfraci při punutých neb ptčených ách. enty etrvačnti ůžee jišťvat též experientálně a t např. kývání (prtý, trní) neb klébání, páde v utavě těle apd. Určitu předtavu jejich velikti vhlede ke knkrétní e táčení užňuje plěr etrvačnti (gyrační plěr) i, který je definván jak vdálent, kteru by uel ít třed htnti d y rtace, aby ent etrvačnti kutečnéh tělea byl tejný tj. i i (7.43) Sučáti trjů ju pravidla tvřeny jednduchýi geetrickýi těley. Vhlede Obr k aditivnti integrálu celkvý vý ent etrvačnti lženéh tělea ůžee určit jak algebraický učet entů etrvačnti jejich vhdně vlených čátí (ařejě uvažvaných vhlede k téže e neb rvině. Např. pr těle na br. 7.0 platí (7.44)

16 69 Z hledika dynaiky rtačních phybů ají ákladní výna vé enty etrvačnti. Při jejich výpčtu pr y klé na geetricku u je účelné avét rvinné enty etrvačnti. (7.45) d; y d; x d xy x V těcht výraech x,y, předtavují vdálenti jedntlivých eleentů tělea d rvin y, x, xy. Jak vyplývá definice, ei rvinnýi a výi enty etrvačnti platí vtahy + x xy x + y xy y + x y (7.46) Jetliže a je ttžná geetricku u tělea, pak platí x y, pak pr výpčet ůžee pužít vtah x. Pdbně pr výpčet vých entů vých entů etrvačnti kule neb tenkých deek je účelné pužití plárníh entu etrvačnti ( ) ( ) x y (7.47) plar + + xy + x + y x + y Hdnty vý entů etrvačnti některých ákladních těle enktěnný prtenec: Pr rtační u prtence je R, (7.48a) pr u ležící v rvině prtence a jducí jeh třede je x y R (7.48b) Plná hřídel, válec y K rtační e vhlede k á jducí těžiště válce kl k rtační e válce ( 3 y x l + r ), r, (7.49a) l xy x (7.49b) 69

17 70 enká hřídel, tyč Pr platí r, (7.50a) vhlede k e x jducí těžiště tenké hřídele kl k rtační e ( 6 x y l + r ) (7.50b) Ktuč, dik: Pr rtační u pr y x, y ležící v rvině plnéh ktuče a jducí jeh třede R, (7.5a) R 4 x y (7.5b) luttěnná trubka: Vhlede k rtační e vhlede k á jducí kl k rtační e enktěná trubka: Vhlede k rtační e ( R + r ), (7.5a) l x y r + R Pr y x, y jducí vrchle kl na rtační u (7.5b) R (7.5c) l R x y + (7.5d) Kule: 5 R (7.53) 70

18 7 yč délky l upevněná ve tředu: l (7.54) Hranl, kvádr: y O x x ( l + h ), y ( b + h ), ( b + l ) (7.55) Plný kužel : Pr geetricku u plnéh kužele je 3 0 R (7.56a) Pr y x, y jducí vrchle kl na rtační u Kuželvá křepina: Pr geetricku u platí 3 l x y R (7.56b) R (7.56c) Příklad 7. 5 Kyvadl na br. 7. e kládá e dvu tyčí, každá nich váží 4,5kg. Vypčtěte ent etrvačnti k e jducí bde O a k e prcháející těžiště, je-li l0,3. Řešení: Nejprve vypčítáe ent etrvačnti první tyče OA : ( ) l 4,5 0, ,54 kg.. Obr. 7. 7

19 7 ent etrvačnti tyče BC pcí Steinervy věty ( l) 4,5 0,6 + ( l) + 4,5 0,6,76 kg.. ent etrvačnti celéh tělea k O je pdle (5.5): + 0,54 +, 76, 3 kg. Vypčítáe plhu těžiště: y + y ( y + y ) ( y + y ) 0, 3 + 0, 6 y 0, ent etrvačnti celéh tělea k e prcháející těžiště pak určíe pcí Steinervy věty: y, 3 4, 5 0, 45, 4 kg. Příklad 7.6 Určete vý ent etrvačnti válce x pr uřadný yté u kteréh je pdtava ttžná rvinu xy. Řešení: Předtavíe i válec lžený eleentárních diků, nichž každý á eleentární ent etrvačnti d R d, kde d ρ π R d, ρ je hutta válce. Pak platí L ρ π (a) R R d R Platí x. ůžee tedy pát: y R 4 x + y x x (b) L (c) xy d ρπ R d L 3 0 L R 3 4 x y xy + x + (d) Příklad 7.7 Rvinná deka ležící v rvině y á vé enty etrvačnti y,. Určete ent etrvačnti x vhlede k e x. x + y x y d + y y yx yx d Pt však ůžee pr ent etrvačnti k e x pužít vtah (a) 7

20 73 ( ) (b) y + d y d + d + x y 7..5 atice etrvačnti V kineatice e becný prtrvý phyb tělea řeší rklade na phyb bdu referenčníh a férický phyb kle bdu referenčníh. Přit e důvdu přehlednti pr ppi vtahů ei kineatickýi veličinai pužívá aticvý ápi. Stejný půbe budee ptupvat i při ppiu dynaiky tělea knajícíh prtrvé phyby. Přit abych však hli ppat i dynaiku prtrvých phybů pcí aticvéh fraliu, je nutné vyjádřit ve frě atic i geetrick-htntní charakteritiky těle. Prvky těcht atic charakteriují rlžení ht v těleech neávile na jejich phybech Základní vlatnti atice etrvačnti Jak již byl řečen, pr ápi phybvých rvnic těle je účelné avedení čtvercvé atice etrvačnti definvané jak D D x xy x Dxy y Dy (7.57) Dx Dy Jak je definice tét atice řejé, jedná e atici yetricku, vhlede ke vý tranfrační vlatnte plňuje pdínky pr tenr.řádu. Pr tělea růný tupně yetrie platí náledující věty: á-li těle rvinu yetrie, je každá a k ní klá hlavní u etrvačnti. Další hlavní y leží v rvině yetrie. á-li těle dvě rviny uěrnti, je jejich průečnice hlavní centrální u etrvačnti. á-li těle u uěrnti, je tat a pr každý pčátek na tét e hlavní centrální u etrvačnti. Pr rtačně yetrické těle je a yetrie hlavní u a exitují ještě dvě další hlavní y etrvačnti, které leží v rvině klé na u yetrie. V technické praxi e určení hlavních etrvačnti a hlavních entů jednduší, pněvadž pravidla á technické těle alepň jednu rvinu uěrnti. Např. jetliže rvina y je rvinu uěrnti (br. 7.). Pt je D D 0 a a x je hlavní u etrvačnti a pr atici etrvačnti bude platit xy x Obr

21 74 x y Dy (7.58) 0 Dy Plhu hlavních etrvačnti ůžee určit na ákladě geetrické interpretace. Le dkáat, že kncvé bdy vektrů r uřadnicích cα c β cγ x, y,, kde kde je ent etrvačnti k e vírající e uřadnýi ai úhly α, β a g, vytváří tv. elipid etrvačnti x + y + + D xy + D y + D x (7.59) x y xy y x Úlha naleení hlavních etrvačnti tedy ůže být frulvána jak převedení tét kvadratické fry na kannický tvar, cž le prvét řešení ytéu rvnic ( λ) x + D x + D y 0 x xy x D x + ( λ) y + D 0 xy y y D x + D y + ( λ) 0 x y (7.60a) Aby tent yté lineárních diferenciálních rvnic ěl netriviální řešení, uí deterinant utavy nenáých být rven nule: ( λ) D D x xy x D ( λ) D 0 xy y y D D ( λ) x y (7.60b) je vhlede k λ kubická rvnice. Ptupný daení tří reálných křenů λ, λ, λ 3 d ytéu (7.60a) pak ůžee vypčítat hdnty vektrů r ( x, y, ), r ( x, y, ) a r 3 ( x3, y3, 3). yt vektry určují velikt a ěr hlavních pl elipidu etrvačnti ranfrace atice etrvačnti při punutých uřadnicvéh ytéu Výpčet integrálů určujících enty etrvačnti vhlede k á, které ju ttžné ai yetrie ppř. které v rvinách yetrie leží, je pěrně nadný. Pr určení entů etrvačnti a deviačních entů vhlede k becně plžený á je pak vhdné pužití tranfračních vtahů ei aticei etrvačnti vtažený vhlede k růný uřadnicvý utavá. Pěrně jednduchý je případ dvu vtažných utav, jejichž y ju naváje rvnběžné tj. dlišujícíi e jen punutí pčátku. V tt případě (na ákladě aplikace Steinervy věty a využití definičních vtahů pr deviační enty), ei aticí etrvačnti určenu v centrální uřadné ytéu O x y a aticí etrvačnti v ytéu O x y pčátke punutý vůči půvdníu centrálníu ytéu x 0,, y 0, 0 platí vtah + (7.6a) kde je atice etrvačnti tředu htnti uítěnéh v pčátku utavy O x y, pr kteru platí 74

22 75 ( y0 + 0 ) x0 y0 x0 0 x0 y0 ( x0 + 0 ) y0 0 (7.6b) x0 0 y0 0 ( x0 + y0 ) ranfrace atice etrvačnti při ptčení uřadnéh ytéu Pěrně čatý je případ, že těle á geetricku yetrii, která užňuje pěrně nadný výpčet jedntlivých prvků atice etrvačnti v uřadné utavě, jejíž y uhlaí ai yetrie ppř. v rvinách yetrie leží. Pr phybvé rvnice však čat ptřebujee nát atici etrvačnti v ytéu natčenéu becně (např. ve ěru tálé y táčení). V tt případě ůžee pužít atici rtgnální tranfraei ei utavai e plečný pčátke (vi K. Přikryl: Kineatika). Pr vektr r vyjádřený v utavě O y a v utavě ptčené Ox y platí při aticvé ápiu r C r (7.6a) kde C je atice ěrvých cinů, která převádí vektry e utavy Ox yd utavy O x y. Prvky tét atice ju přit kiny ěrvých úhlů (prt také říkáe atice ěrvých kinů) a le je vyjádřit pcí kalárních učinů jedntkvých vektrů přílušejících uřadnicvý utavá i. i i. j i. k C... j i j j j k (7.6b) k. i k. j k. k Pdbně bdržíe pr tranfraci e utavy d utavy r C r (7.6c) Pr tranfrační atici přit platí vtahy C C C ; C C E (7.6d) Např. pr rtaci kl y úhel φ (br. 7.3) platí 75

23 76 Obr cϕ inϕ 0 C inϕ cϕ 0 (7.6e) 0 0 a pr tranfraci e utavy () d utavy () pak platí cϕ inϕ 0 C inϕ cϕ 0 (7.6f) 0 0 Jetliže utava () rtuje kle utavy () úhlvu rychltí ω ( ωx, ωy, ω ) pak pr čavu derivaci tranfrační atice platí kde atice Ω je atice úhlvých rychltí Cɺ Ω C (7.6g) 0 ω ωy Ω ω 0 ωx (7.6h) ω y ωx 0 Jetliže vtahy ei vektrvýi veličinai ju vyjádřeny pcí nábení tenre, pak atici rtgnální tranfrace ůžee využít i pr tranfraci přílušnéh tenru. Např. jetliže uvážíe vtah pr ent hybnti Pak dtáváe relaci C C C C (7.63a) b ω b ω ω O O C C (7.63b) 76

24 77 Aplikací tht vtahu pak ůžee vypčítat vý ent etrvačnti vhlede k e prcháející pčátke uřadné utavy O xy, vůči kteréu atici etrvačnti náe. Obr Jetliže a vírá e uřadnýi ai ytéu O xy ěrvé úhly α, β, γ (br.7.4) pak platí α + β + γ + D α β + D β γ + D α γ (7.44) x c y c c xy c c y c c x c c Přit pr každý bd tělea platí, že jí le prlžit nejéně jeden yté tří vájeně klých ξ, η, ς, k niž ju hdnty deviačních entů nulvé. Znáe-li enty etrvačnti k tět hlavní á ξ, η, ς, pak ůžee určit ent etrvačnti k libvlné ptčené e pdle jednduchéh vtahu c α + c β + c γ (7.64) ξ η ς Při ptčení uřadnéh ytéu le najít vtahy ei deviačníi enty k ptčený á a deviačníi enty a výi enty etrvačnti půvdníh uřadnéh ytéu. Např. při ptčení rvin x a y kle y úhel ψ platí vtah Dξη Dxy c ψ + ( x y ) in ψ (7.65) yt vtahy le využít pr účely jištění ěru hlavních. Např. pkud chcee dáhnut D ξη 0, uí pr úhel ptčení ψ kle y platit tgψ D y xy x (7.66) 7. 3 Dynaika rtačníh phybu-rvinný případ Jak vyplývá definičních integrálních vtahů pr deviační enty, v případě, že těle á rvinu yetrie klu na u rtace, pak deviační enty k e ju nulvé tj. platí D x D y 0. naená, že pkud je vhlede k tét rvině yetrické i ilvé atížení, pr ppi dynaiky tělea ná ptačí jen yte 3 lžkvých rvnic. 77

25 Phybvé rvnice pr rvinný případ rtačníh phybu Rvnicei tatické rvnváhy e pak távají i 4. a 5.rvnice ytéu (7.3). Vlatní phybvu rvnicí je tedy jen plední rvnice e ytéu (7.3), kteru již píšee pravidla be indexů tj. d ( ω) α (7.67) dt je hlavní phybvá rvnicí rtačníh phybu tělea při rtační phybu kle tálé y táčení, v níž načí:... ent etrvačnti ke tálé e táčení, α...kažité úhlvé rychlení tělea,...učet entů vnějších il k e táčení. i Je-li žné anedbat čepvé tření v lžikách, je rvnice Chyba! Nenaleen drj dkaů. vlatní phybvu rvnicí (tj. nebahuje nenáé reakce), která aa bě řeší vlatní rtační phyb tělea a užňuje vypčítat ptřebné vnější íly či enty pr dcílení předepanéh rtačníh rychlení. Pr jištění naáhání lžiek při půbení vnějších il yetricky rlžených vhlede k rvině yetrie tělea je pak žné pužít první dvě rvnice ytéu (7.3). Pr rvinný případ rtačníh phybu tedy ůžee phybvé rvnice pát ve vektrvé tvaru F a (7.68) α (7.69) Zttžníe-li u rtace u tj., pak ve lžkách tyt vektrvé rvnice ají tvar Fix y α x ω, Fiy x α y ω, i α (7.7a) Plhu těžiště a jeh vdálent e d y rtace většinu náe, prt uřadný yté rientujee tak, aby x e, y 0. í e rvnice jednduší na tvar Fix e ω, Fiy e α, i α (7.7b) Jetliže je těžiště na e rtace tj. e0, pak e rvnice ještě více jednduší a platí F ix 0, F iy 0, α i (7.7c) Z hlavní phybvé rvnice rtačníh phybu pak pr ipul entu vnějších il vyplývá relace t ( ω) d ω ω dt (7.7d) dt t at rvnice vyjadřuje ákn ěně entu hybnti rtačníh phybu tělea: 78

26 79 Zěna entu hybnti rtujícíh tělea je půbena ipule entu vnějších il k e táčení. Dadíe-li a úhlvé rychlení α v rvnici Chyba! Nenaleen drj dkaů. vtah d ( ω ) α pak ůžee práci entu vyjádřit pcí vtahu dϕ da dϕ α d ω de kr (7.7) Rvnice (7.7) vyjadřuje ákn ěně kinetické energie při rtační phybu tělea. Pr kineticku energii rtačníh phybu tělea tedy platí E ω kr (7.73a) ent vtah platí i pr u neprcháející těžiště. Uvážíe-li, že při rtační phybu je rychlt těžiště v eω, pak uvážení Steinervy věty vyplývá pr kineticku energii vtah Ek v + ω (7.73b) V případě rtace kle y pevné y neprcháející těžiště je kinetická energie tělea rvna učtu kinetické energie bdvéh tělea uítěnéh v těžišti a energie rtačníh phybu kle těžiště. Příklad 7. 8 Setrvačník S entu etrvačnti e rbíhá klidu půbení třecí pjky ající tálu rychlt ω k. Spjka je přitlačvána k etrvačníku tálu ilu P, učinitel ykvéh tření je f. Určete dbu t k, a kteru e etrvačník rběhne na úhlvu rychlt ω k hnacíh hřídele, celkvé ptčení etrvačníku φ k a tracenu práci (Obr. 7.5). Obr Řešení: lak na pjce je p π P ( r r ) 79

27 80 nfiniteiální nrálvá tlakvá íla na pjku půbící na eikruží ds π rdr je df p ds pπ rdr p nfiniteiální ent třecích il d rdfp π pfr dr Celkvý ent třecích il pjky je tedy rven ( ) ( r r ) ( ) π π Pf r r Pf r + r r + r π r 3 3 r fpdr 3 3 r ( r ) + r Vlatní phybvá rvnice pr rtační phyb rtáčenéh etrvačníku je Pf ( r + r r + r ) α 3 r + r ( ) Jedná e tedy phyb kntantní úhlvý rychlení. Aplikací vtahu integrací tedy dtáváe pr dbu rtčení etrvačníku hdntu ω k 3( r + r ) tk P r + r r + r f ( ) Celkvé ptčení etrvačníku ϕ k pak íkáe integrací vtahu ωk ϕk ϕk dω α dϕ dϕ ( ) ( ) 4Pf r + r r + r 3 r + r ω ϕ ϕ ωk k k k 3( r + r ) 4 f P r + r r + r a pčet tček n k ( r + ) ϕ 3ω k r k π 8Pf π r r r r ( + + ) ( ) ( ω ) d α : dϕ dω α a dt Ztracená práce je dána prací entu třecích il při relativní ptáčení pjky vůči etrvačníku tj. ω k A dψ, kde relativní ptčení pjky dψ ávií na kažité úhlvé ω 0 0 frekvenci etrvačníku pdle vtahu dψ ( ω ω) ψ ψ ω ω dt. Pr celkvu tracenu práci tedy platí: dω A d d dt d k k k k ψ α ψ ( ωk ω) ( k ) k dt ω ω ω ω ψ ψ ω ω k Práce tření tedy neávií na velikti kntantníh entu pjky. Z ptupů je přit řejé, že tent výledek platí i pr čavě prěnný ent třecí pjky. Pf Pnáka: Pr r r je žné pužít r r. ( ) 7.3. Setrvačné ilvé účinky v případě rvinnéh rtačníh phybu Pr dikui naáhání lžiek rtujících učátí je vhdné prvét vyšetření rtačníh phybu i půbe d Alebertvý. V tt případě pužijee utavu pjenu rtující tělee a phybvé rvnice kntruujee na ákladě rvnváhy půbících a etrvačných ilvých účinků. V případě rtujícíh tělea tvří eleentární etrvačné íly prtrvu utavu il. Ze tatiky je ná, že pr vlený pčátek le takvu utavu il 80

28 8 nahradit výlednu ilu a výlednu ilvu dvjicí. Nejprve i reberee případ, kdy těle á vůči e táčení rvinu uěrnti klu k tét e. Pr utavu O xy ai x, y ležícíi v rvině yetrie v tt rvinné případě e uěrnti tělea vyplývá, že ke každéu bdu (x,y,) exituje i bd (x,y,-). Pak deviační enty k e nulvé tj. D D 0. Výlednice eleentárních etrvačných il i těžiště tedy leží v rvině yetrie. x y Jak vyplývá dynaiky utav htných bdů, při rtaci ůžee výledné etrvačné ilvé účinky tělea ůžee vyjádřit pcí výlednicvé utavy, která je tvřena výlednu etrvačnu ilu F F + F a ente etrvačné dvjice α. Výledná etrvačná íla v tečnu ( x ) t v t t F α r a výlednu ílu nrálvu F á přit dvě lžky, výlednu ílu etrvačnu F n ω r, bě tyt lžky půbí v těžišti a c d velikti dpvídají tečné a nrálvé íle d bdvéh tělea htntí uítěnéh v těžišti. Vhlede k tu, že etrvačné enty v rvinné případě ju vektry klé na nákrenu, budee je dále ve chéatech vynačvat blučke e šipku, rientvanu prti vlenéu kladnéu ěru úhlu ptčení ϕ,k blučku budee připivat jeh velikt tj. α (br. 7.6). V případě rvinnéh případu rtujícíh tělea tedy ůžee výledné etrvačné účinky vhlede k těžišti uhrnně vyjádřit rvnicei F t eα, (7.74a) F n eω, (7.74b) α, (7.74c) kde e je vdálent těžiště d y rtace. Přit jak je náé e tatiky, v rvině je žné pužít i jiných půbů nahraení výlednicvé utavy tj. je žné přenášet výlednici na rvnběžnu nitelku prcháející jiný bde tí, že přit však aby tyt utavy byly ekvivalentní uíe přílušně upravit entvu výlednici. Pr entvu phybvu rvnici (7.74c) tedy ůžee pužít i jiný vtažný bd. Např. přeneee-li výlednu etrvačnu ílu F d y rtace (br. 7.7), pak pr achvání tejných ilvých účinků v uíe půvdní entvu výlednici dplnit ent ilvé dvjice velikti Ft e. Pr vtažný bd na e rtace le tedy výledné etrvačné účinky vyjádřit vtahy F t eα (7.74d) F n eω (7.74e) α e F + α e α + α, (7.74f) t cž je v uhlau e Steinervu větu + e. Výlednicvé etrvačné účinky rtujícíh tělea le tedy také vyjádřit pcí tečné etrvačné íly půbící na e rtace, dtředivé íly půbící na e rtace a etrvačnéh entu vhlede k e rtace. Nejjedndušší nahraení rvinné utavy etrvačných ilvých účinků je při takvé ple výlednice etrvačných il, kdy výledný etrvačný ent je rven nule (nahraení rvinné ilvé utavy jen výlednicí) - br V tt případě je plha výlednice v bdě P (tv. třed perkue) ležící na pjnici těžiště e třede táčení, vdálent p bdu P d y táčení je přit rvna 8

29 8 p F t e (7.75) Pr vtažný bd ve tředu perkue P je výlednicvá utava etrvačných ilvých účinků dána vtahy F t eα (7.76) F n eω (7.77) 0 (7.78) P F n α α F t α Obr Obr Obr Pnáka: Při uítění y rtace d bdu P ju ice lžika naáhána dtředivu ilu, ale při prudké rběhu neb atavení nedcháí k hybvéu naáhání tělea. Uchycení d tředu perkue je tedy vhdné v případech, kdy ju tělea vytavena náhlý ěná úhlvéh rychlení v důledku náhlých ěn hdnt půbících ilvých účinků (např. ráů). Příklad 7. 9 Zjitěte hdntu dtředivé íly a velikt reakcí u etrvačníku htnti 0kg výtředntí těžiště e při táčkách n600t/in, vdálenti etrvačníku d lžiek ju a600, b00. Řešení: Odtředivá íla π 600 Fn e ω 0 0, 00 57, 9 N. 30 Obr Při vdálenti etrvačníku d lžiek a600, b00 pak vnikají v lžikách dtředivu ilu reakce 8

30 83 b 00 RA F n 57, 9 39, 5 N, a + b 800 a 600 RB F n 57, 9 8, 4 N. a + b 800 Vektr dtředivé íly přit rtuje frekvencí danu táčkai. jednak půbuje hýbání hřídele rtací tht hybu a jednak v dané ítě uchycení dcháí k peridickéu naáhání, cž ůže vyvlat chvění ráu trje Phybvé rvnice při becné rvinné phybu tělea Obecný rvinný phyb byl v kineatice definván jak phyb tělea, jehž bdy piují při phybu křivky v rvnběžných rvinách. Při dynaických úlhách pžadujee navíc, aby vyšetřvané těle ěl rvinu yetrie rvnběžnu rvinu phybu a yetrické atížení vnějšíi ilai pdle tét rviny yetrie. ěle á při rvinné phybu 3 tupně vlnti, t naená, že k vyšetření phybu je becně nutn napat tři phybvé rvnice. Uvažuje v rvině O xy phyb tělea ající rvinu yetrie xy a htnt a půbení výlednice vnějších il F F a půbení výlednéh vnějšíh entu i i vhlede k e prcháející bde O. Spjíe-li utavu O xy phybující e tělee, pak ůžee pdle d Alebertva principu íkat phybvé rvnice e tatické rvnváhy půbících a etrvačných ilvých účinků tj. F + F (7.79) Pdle vtahů pr utavu htných bdů ůžee pr etrvačné ilvé účinky ve vektrvé tvaru platí F a d r xa, (7.80) d kde r je průvdič ke každéu htntníu eleentu d uítěnéh v bdě, a je rychlení eleentu d vhlede k ráu. Z kineatiky víe, že becný rvinný phyb le rlžit na tranlační phyb daný phybe bdu referenčníh Ω a na rtační phyb kle tht bdu. Pr rychlení bdu le tedy pát a a + a (7.8a) Ω kde a Ω je rychlení tranlačníh phybu bdu Ω a a Ω je rychlení rtačníh phybu eleentu d kl bdu Ω. Pr rychlení bdu knajícíh rtační phyb platí: Ω a α r r (7.8b) Ω x Ω Ω ω Pužití těcht vtahů le rvnice (7.80) přepat na tvar F a + α r ω r Ω d x Ω d Ω d r Ω d xaω + r Ω x( α xr Ω ) d ω ( r Ω xr Ω ) d (7.8c) 83

31 84 Pdle pravidel pr vektrvý učin ůžee upravit druhý výra na pravé traně druhé rvnice ( ) ( ) ( ) r x α xr d α r. r d r α. r d (7.8d) Ω Ω Ω Ω Ω Ω Pněvadž vektr úhlvéh rychlení je klý na průvdič r, bude kalární učin rven nule. Dále platí α. r α r d α, (7.8e) Ω kde Ω je ent etrvačnti k e jducí referenční bde Ω kl na rvinu phybu. S využití vtahu pr těžiště tj. r r d pak rvnice (7.79) le přepat d tvaru F a + ( α x r ) ω r a Ω Ω Ω ( r x a ) + α Ω Ω Ω Ω (7.8) kde r Ω je plhvý vektr d referenčníh bdu Ω vhlede k těžišti tělea. Obdrželi je vektrvé phybvé rvnice becnéh rvinnéh phybu. Zttžníe-li referenční bd těžiště tj. Ω, pak r 0 a rvnice (7.8) přejdu na tvar Ω F a α (7.83) ent tvar je pdtatně jedndušší než yté rvnic (7.8) a prt jej pravidla při řešení knkrétních úlh budee pužívat. Rvnice (7.83) ůžee lvně interpretvat: Dynaiku becnéh rvinnéh phybu tělea ůžee řešit jak dynaiku tranlačníh phybu hty utředěné v těžišti (na kteru půbí výlednice vnějších il) a rtačníh phybu tělea kle těžiště (pd půbení výlednéh entu vnějších il). Pnáka: V případě, že tranlační a rtační lžka phybu tělea ju váány (např. při dvalvání ktuče), pak je nutné d chéatu uvlněnéh tělea akrelit rientace tranlačníh a úhlvéh rychlení tak, aby i naváje dpvídaly -vi br V případě příčaréh phybu těžiště pr lžkvý ápi rvnic Chyba! Nenaleen drj dkaů. budee pužívat uřadnice kartéké tj. Fx a x; Fy a y ; α (7.84) Jetliže dráha phybu těžiště bude křivčará, pak pr ápi lžkvých phybvých rvnic pužijee přirené uřadnice kažité tečny a nrály dráhy těžiště Ft a t ;Fn a n ; α, (7.85) Pr kineticku energii tělea knajícíh becný rvinný phyb vtah dkud p ucnění a úpravě dtáváe E ( ) k v + x d v ω r (7.86) 84

32 85 Ek v + ω (7.87) Kinetická energie tělea, knajícíh becný rvinný phyb je dána učte kinetické energie htnti utředěné v těžišti a kinetické energie rtačníh phybu kle těžiště. Jetliže jakéhkliv důvdu vlíe a referenční bd jiný bd než těžiště (např. u entvé phybvé rvnice chcee eliinvat členy bahující nenáé lžky reakcí), je nutn pužívat k řešení becnéh rvinnéh phybu rvnice (7.8). Nevýhdu v tt případě je t, že phybvé rvnice rtační a tranlační lžky phybu neju eparvány. však nenatává v t případě, že vtažný bd P je pevný (tj. však případ rtace kle tálé y táčení) neb vektr jeh rychlení leží na pjnici P. Např. jetliže u dvalujícíh e ktuče a vtažný bd P vlíe pól rychlti pak platí F a + α xr r P α P P P Vhlede k tu, že však při dvalvání ktuče platí P ω (7.87) ap a + ap a α x rp + r Pω (7.89) dtáváe pr phybvé rvnice dvalujícíh e ktuče jednduché vtahy analgické rvnicí (7.83) tj. F a P α P (7.90) V phybvé rvnici pr rtační lžku phybu e v tt případě nevykytuje nenáá tečná lžka tykvé íly (jejíž hdnta ná pravidla neajíá) a phybvé rvnice rtační lžky phybu ůžee ihned jitit hdntu úhlvéh rychlení α: Příklad 7. 6 Určete axiální úhel klnu βax naklněné rviny, při které ještě nedcháí ke ýkání plnéh válce plěru r (br. 7.0). Z hdnty tht úhlu určete učinitel ykvéh tření f ei válce a naklněnu rvinu. Schéa uvlněnéh tělea: S α a y P x F t F g F n Řešení: Nejprve jitíe hdntu rychlení tředu válce při a předpkladu, že dcháí k jeh dvalvání při becné klnu kln naklněné rviny. Zvlíe-li jak vtažný bd těžiště, pak pr vlený uřadný yté phybvé rvnice ju vektrvé phybvé rvnice F + F + F a g n t α Ve lžkách: Obr

33 86 x:... g in β Ft a y:... F g c β 0 n :... Ft r α Pr ent etrvačnti válce k e ttžné jeh geetricku u pužijee náý vtah r á-li dcháet k dvalvání válce, uí být dále plněna pdínka valení a αr. V rvnicích áe 4 nenáé a,f n,f t,α. Pr hdntu rychlení tředu válce dtáváe výledek a g in β, 3 Při axiální úhlu klnu β β kdy ještě dcháí k dvalvání je tečná lžka ax reakce F t rvna třecí íle tj. Ft Fn f g c βax. Pak ůžee kbinací pdínky valení a vtahu pr rychlení tředu ktuče a g in βax určit první rvnice hdntu 3 učinitele ykvéh tření f tgβax. 3 V případě, že bych jak vtažný bd pužili pól rychlti P, pak phybvé rvnice ve lžkách by ěly tvar: x:... g in β Ft a y:... F g c β 0 n :... g in β r Pα 3 Hdntu P určíe a pci Steinervy věty tj. P + r r. Výpčet nenáých F t, a,, α je při pužití druhéh ytéu rvnic je jedndušší. U některých úlh je někdy účelné kbinvat phybvé rvnice pr jedntlivé lžky phybu tělea e ákny achvání energie neb hybnti neb entu hybnti: Příklad 7.7. Kule je vržena pčáteční rychltí v 0 téěř tečně na pdlžku, keficient ykvéh tření je f. Určete ča t p který e kule ýká, na jaké dráe x e ýká a jaká je její knečná rychlt v k p uknčení ýkání. Řešení: Hdnta třecí íly je při ýkání kntantní, ůžee tedy pužít vtah pr ipul entu a jitit dbu trvání ýkání: t dt t r F t r f g t B B, tř 0 kde B,B ju enty hybnti na ačátku a na knci ýkání. Pr ent hybnti dvalující e kule platí vtah B ω r ω. Na ačátku ýkání e kule 5 nedvalvala tj. B 0. Na knci ýkání už ačíná dvalvání, tedy ůžee pužít pdínku valení vk ωk ( v k je rychlt tředu kule a ωk je úhlvá rychlt rtační lžky phybu kule na knci ýkání). Zěna entu hybnti je tedy rvna B B rvk 5 Daení d. rvnice pak dtáváe vtah pr dbu trvání ýkání tj. 86

34 87 v t k 5 fg Využití phybvé rvnice pr tranlační lžku phybu dtanee rychlení a tředu kule při ýkání Ftř Ftř a a fg Z hdnty tht rychlení pak ůžee pcí vtahu pr rvněrně pžděný phyb jitit rychlt v k při uknčení ýkání 5 vk v 0 a t v 0 7 Ze ákna achvání energie dtanee vtah pr dráhu x na které třecí íla půbila v0 vk + ωk + Ftř x v0 x 49 fg Kntrlní táky: )Phybvé rvnice při tranlační phybu tělea, k čeu využíváe phybvu rvnici pr rtační lžky phybu? ) Phybvé rvnice při rtační phybu tělea 3) Jak ůžee nahradit rtující těle hledika etrvačných účinků? 4) C je pdtatu tatickéh vyvažvání? 5) C je pdtatu dynaickéh vyvažvání, prč u říkáe dynaické? 4) C je t deviační ent, prč e u říká deviační? 7. 5 Dynaika férickéh phybu tělea Sférický phyb kná těle, jehž jeden bd je nephyblivý. Realiace takvvéh ulžení ůže být růná: kulvý čep, hrt v lůžku, Cardanův ávě, tčná vidlice (br.7.). ěleů knající férický phyb e říká etrvačníky, v některých případech gyrkpy. y budee náev gyrkp pužívat pr tělea rtačně yetrická vyku úhlvu rychltí vlatní rtace. Obr

35 88 ěle knající férický phyb á tři tupně vlnti, příluší u tedy tři vlatní phybvé rvnice entvé (Eulervy dynaické rvnice), v nichž jak neávilé uřadnice pravidla pužíváe Eulervy úhly. Vhlede k tu, že e jedná phyb prtrvý (který je becně ppán šeti rvnicei), při výpčtů reakcí ulžení, při uvažvání paivních dprů ppř. při řešení phybu dráhy těžiště připjujee další tři phybvé rvnice ilvé. V aplikacích je těle čat pdrben další vabá a jeh phyblivt a tí i pčet vlatních phybvých rvnic e pak nižuje. Při řešení dynaiky férickéh phybu vhlede k libvlnéu pevnéu bdu pravidla ptupujee pdbně jak při řešení phybu becnéh rvinnéh phybu tj. řešíe ji jak phyb tředu htnti na pevný bd a férický phyb na těžiště. Přit jak víe kineatiky, férický phyb le rlžit na tři učané rtace (vi Eulervy kineatické rvnice). Pr dynaické veličiny férickéh phybu vtahy budu tedy platit pdbné vtahy jak pr rtační phyb tělea kle tálé y rtace. Vycháíe přit věty entu hybnti pr utavu htných bdů tj. ent hybnti tělea uvažujee jak učet entu hybnti tředu htnti. vhlede k tut bdu a entů hybnti všech bdů tělea k těžišti. S tělee pjíe uřadný yté O x y jehž pčátek ttžníe nehybný bde tělea. (br.7.). Nvu plhu tělea určujee plupnti tří krků:a) ptčíe kle y precení úhel ψ,a x e přeítí d ulvé příky u; b) tčíe kle ulvé příky u úhel nutace ϑ, e přeítí d ; c) kle ptčíe vlatní rtaci ϕ. Výlednu úhlvu rychlt ω při férické phybu le tedy lžit e tří rtací tj. úhlvé rychlti precee ψɺ, rtace ϕɺ a nutaceψɺ ω ψ ɺ + ϕ ɺ + ϑ ɺ (7.9) ω k ψ ɺ + ϕ + ϑ k ɺ u ɺ (7.9) Obr