ROZLOŽENÍ HMOTNOSTI TĚLESA VZHLEDEM K SOUŘADNICOVÉMU SYSTÉMU

Transkript

1 ROZLOŽENÍ HMONOS ĚLESA VZHLEDEM K SOUŘADNCOVÉMU SYSÉMU Zatímc hmtu hmtnéh bdu chaakteivala jediná fikální veličina a sice hmtnst m u tělesa je nutn kmě tht paametu nát plhu středu hmtnsti a paamet definující lžení hmtnsti vůči vlenému suřadnicvému sstému s pevným pčátkem Z mechanik náme vtah p plhvý vekt středu hmtnsti jak m dm (1) Plhvý vekt je pměnný pdle plh hmtvéh elementu dm (vi b) ntegujeme přes celý bjem tělesa (becně tjný integál) Jestliže těles je hmgenní (s knstantní husttu ρ ) dstáváme (1) p kácení husttu V d d d kde V je celkvý bjem tělesa P suřadnici vektu (becně u) a suřadnici vektu (becně u ) dtud dstáváme V u u d d d () Rlžení hmtnsti vůči suřadnicvému sstému ppisujeme šesti veličinami kteé uspřádáváme d tv matice setvačnsti příslušející k sustavě tvau D D D D (3) D D Jedná se smeticku čtvecvu matici řádu 3 kteá na hlavní diagnále bsahuje tv své mment setvačnsti k sám p řadě a mim diagnálu bsahuje ápně vaté deviační mment k vinám (dvjicím s) p řadě a Jedntku (měem) všech těcht veličin je ( + ) kg m a jejich definiční výa mají tva ( + ) ( ) dm ; dm ; + dm ; dm D dm D D ; ; dm (4) P hmgenní tělesa hustt ρ le definiční vtah přepsat jak ρ ( + ) d d d ; ρ ( + ) d d d ; ρ ( + ) d d d ;

2 D ρ d d d; D ρ d d d ; D ρ d d d Všechn integál jsu becně bjemvé (tjné) Pnámk: 1) Z předchích definic ihned plne že hmtný bd hmtnsti m umístěný v suřadnicvém sstému v ple dané suřadnicemi má matici setvačnsti m ) P tenké desk (vinné útva) umístěné v vině řejmě platí (ptže ) d d d d ρ ; ρ ; ρ ( + ) d d + ( A) ( A) ( A) Zde ρ je měná plšná hmtnst desk v přes plchu A desk ( A) D d d; D D kg m nteguje se pue dvjným integálem 3) Jak u tříměných těles tak u dvuměných desek le čast u jednduchých útvaů vhdnu vlbu integačníh elementu fikální cestu převést tjný esp dvjný integál na integál jednměný 4) Je-li těles slžen více dílčích útvaů jsu pvk matice setvačnsti dán algebaickými sučt příslušných pvků p tt dílčí útva Jestliže se hmta debee (dvtá) nahauje se sučet dílem Matice setvačnsti ávisí nejen na tělese samtném nýbž i na suřadnicvém sstému Při jeh měně se matice setvačnsti mění (tansfmuje) Všimneme si nejpve tansfmace psunutím Nechť suřadnicvá sustava má pčátek ve středu hmtnsti tělesa a sustava vnběžně psunutých s s pčátkem P (vi b) Střed hmtnsti nechť má v suřadnicvém sstému suřadnice Ptm řejmě pdle definice platí ; ( + ) ( + ) dm dm + [( + ) + ( + ) ] dm + dm + dm ( ) ( + ) dm dm

3 V tmt výae je pvní sčítanec pdle definice integál ve duhém a třetím sčítanci jsu pdle () nulvé (ptže u ) a dm m (celkvá hmtnst tělesa) Celkem ted ( ) + m + Cklicku áměnu ískáme a cela analgick dkážeme ( ) ( ) + m + + m + Dkážeme analgické výa i p deviační mment Pdle definice je např D dm ( + )( + ) dm ( ) dm + dm + dm + dm D dm + m ptže vhledem k () jsu integál v pstředních dvu sčítancích vhledem k pčátku sstému v těžišti nulvé Cklicku áměnu ískáme D D + m D D + m Dáme-li všechn ískané výa dhmad d matic setvačnsti bdžíme vtah + + m + (5) + Odvenému výau (5) říkáme Steineva věta Její důležitý předpklad je že pčátek sstému je ve středu hmtnsti tělesa Pnámk: 1) Ptže pdle Pthagv vět vžd sučet kvadátů suřadnic na diagnále matic ve vtahu (5) je kvadát vnběžnéh přesunutí s pč e středu hmtnsti dstáváme specielně p své mment setvačnsti tt tvení: Nechť sa pcháí středem hmtnsti tělesa a sa je s ní vnběžná ve vdálensti s Pak platí (vi b) + m s (6) kde m je hmtnst tělesa Osvý mment setvačnsti k se pcháející těžištěm je ted minimální (výa ms je kladný)

4 ) Máme-li dvě vnběžné s 1 a nichž žádná nepcháí středem hmtnsti (vi b) ávisí přepčet jejich mmentů setvačnsti nejen na jejich vnběžném přesunutí dkud ale i na jejich ple vůči středu hmtnsti tělesa Je-li situace např jak na b avedeme s sami 1 a vnběžnu su pcháející středem hmtnsti Mei a 1 stejně jak mei a platí Stejneva věta (6) Platí ted + m s 1 ( ) m s s + Odečtením těcht vnic ( ) 1 m s m s s 1 ( s s) + m s Analgick bchm dvdili vtah p případ že s 1 b bě ležel v jedné plvině vťaté dplněnu s nimi vnběžnu su Platí ttiž + m s 1 ( s s) + m + Odečtením a úpavu dtud ( s s ) + m s 1 Be důkau uvedeme vtah p tansfmaci matice setvačnsti při natčení suřadnicvéh sstému Nechť k půvdní suřadnicvé sustavě (vi b) vkauje těles matici setvačnsti Natčme klem pevnéh pčátku sustavu d plh tak že náme suřadnice nvých jedntkvých vektů i j k směů suřadnicvých s ve staé suřadnicvé sustavě Pak k nvé sustavě vkauje těles matici setvačnsti a platí

5 (7) kde tansfmační matice (tnmální smetická čtvecvá matice řádu 3) má a slupce suřadnice jedntkvých vektů s (p řadě) i j k v sstému Jestliže např u µ načím úhel mei kladně ientvanými sami u ( ) a µ ( ) je matice slžena e směvých ksinů těcht úhlů Je ttiž ( ) cs ( ) cs ( ) ( ) cs ( ) cs ( ) ( ) ( ) ( ) cs cs cs cs (8) cs nde ve vtahu (7) načí tanspici matice (tj áměnu řádků a slupce a napak) Častým případem bývá natčení klem s (v vině ) úhel ϕ Pak je (vi b) i cs ϕ sin ϕ ; j sin ϕcsϕ ; k 1 [ ] [ ] [ ] Matice má pt tva csϕ sin ϕ sin ϕ csϕ (9) 1 Z pavidel p násbení matic je řejmé že pvek na místě (m n) levé stan (7) ískáme násbením m-té řádk matice (ted m-téh slupce matice apsanéh d řádk) celé matice a n-téh slupce matice Vhledem k uspřádání pvků v matici setvačnsti ted platí i i D i j; D i k ; j j ; (1) D j k ; k k kde i j k jsu suřadnice vektů i j k ve staém sstému všem psán jak slupcvé matice (tpu 3 1) Jsu-li ba deviační mment k vinám bsahujícím danu su nulvé naýváme tut su hlavní su setvačnsti Osa je ted hlavní pávě kdž D D sa je hlavní pávě kdž D D Pdbně p su Platí velmi užitečná pstačující pdmínka hlavnsti s: Nechť těles má vinu smetie Ptm jakákliv sa na tut vinu klmá je hlavní t tvení je řejmé ptže je-li vina smetie tělesa pak s jakýmkliv elementem suřadnicích těles bsahuje i element suřadnicích - Pt dm dm a sa je pdle definice hlavní Důsledek předchíh tvení: Jsu-li sučasně dvě suřadnicvé vin vinami smetie tělesa jsu všechn tři suřadnicvé s hlavními sami (a matice setvačnsti je pak diagnální)

6 Ověření: Nechť např vin a jsu vinami smetie tělesa Pdle předchíh tvení t namená že sa a sa jsu hlavní s pdle definice namená že D D a D ( D ) diagnální Všechn tři deviační mment jsu nulvé a matice setvačnsti je Závěem tét kapitl dkážeme že každá deska v vině p libvlný pčátek má tjici hlavních s setvačnsti (vi b) Zřejmě sa je (vhledem k tmu že vina je vinu smetie desk) hlavní su setvačnsti Pt jest D D Najdeme takvé natčení ϕ ab D Pdle (1) a (9) je D i Ovšem může být D Matice má ted tva D D + [ csϕsin ϕ ] [ csϕ D sin ϕ D csϕ + sin ϕ ] sin ϕ csϕ + D j sin sin ϕ csϕ D D D ϕ D cs ( cs ϕ sin ϕ) ϕ + Pdle sučtvých vtahů p gnimetické funkce je sin ϕ csϕ sin ϕ ; cs ϕ sin ϕ csϕ Je ted sin ϕ csϕ D dkud a D tgϕ sin ϕ csϕ sin ϕ csϕ sin ϕ csϕ

7 Známe-li a 1 D ϕ actg (11) D najdeme ϕ tak že D Ptže sa se neměnila je D D a sstém je sstém hlavních s setvačnsti desk Pnámk: 1) Eistence hlavních s setvačnsti le dkáat i p becné těles v libvlném bdě ) Pcháí-li sa středem hmtnsti tělesa naývá se centální su Je-li navíc hlavní naývá se hlavní centální su setvačnsti