1. Dynamika rotačního pohybu

Transkript

1 1 ynamika rtačníh phybu Na br 11 je znázrněn rtující těles Pevný suřadnicvý systém je značen x, y, z, zatímc suřadnicvý systém pevně spjený s rtujícím tělesem je značen,, Obr 11 Osa, která je ttžná s pevnu su x, je su rtace, se kteru jsu klineární vektry úhlvé rychlsti ω a úhlvéh zrychlení α Zavedeme-li knstantní matici setrvačnsti tělesa, musí být tat matice vyjádřena v suřadnicvém systému pevně spjeném s tímt tělesem V jiných suřadnicvých systémech by matice setrvačnsti byla becně funkcí času V systému,, má tat matice tvar I,, J,, I (11),, I Z dynamiky sustavy hmtných bdů a ze základní dynamiky tělesa víme, že mment hybnsti můžeme vyjádřit ve tvaru L Jω, (1) kde,, T ω je vektr výsledné úhlvé rychlsti Zde je třeba si uvědmit, že ba činitele na pravé straně (1) jsu vyjádřeny v suřadnicvém systému,,, i když vektr ω má v bu systémech stejné suřadnice Hybnst tělesa můžeme vyjádřit ve tvaru H mvs mωrs, (13) kde v S je vektr rychlsti středu hmtnsti tělesa Z br 11 je zřejmé, že vektr hybnsti s rtací stále mění svůj směr Kineticku energii můžeme vyjádřit pdle známéh vztahu

2 1 E ω T k L, (14) cž ještě s hledem na (1) můžeme přepsat d tvaru 1 E ω T k Jω (15) Setrvačné účinky půsbící na rtující těles jsu tvřeny jednak setrvačnými silami n a t a jednak setrvačným mmentem M viz br 11 Pr získání těcht veličin si připmeňme některé důležité základní vztahy z dynamiky sustav hmtných bdů První vztah je charakterizván 1 integrální větu změně hybnsti v integrální resp v diferenciální frmě t H H Fdt resp H F, (16) kde H je celkvá hybnst sustavy hmtných bdů (v našem případě tělesa viz (13)) a F je výslednice vnějších sil půsbící na těles ruhý vztah je charakterizván integrální větu změně mmentu hybnsti v integrální resp v diferenciální frmě L L t M Mdt, resp L, (17) kde L je celkvý mment hybnsti sustavy hmtných bdů (v našem případě tělesa viz (1)) a M je výsledný mment vnějších sil a mmentů (Pkud přesuváme vnější síly d jedinéh půsbiště, je třeba připjit příslušné mmenty pdle základních vět statiky) ále si připmeňme d'alembertův princip, pdle kteréh jsu v rvnváze vnější a setrvačné účinky T můžeme vyjádřit dvěma vztahy F, M M, (18) kde je výsledná setrvačná síla a M je výsledná setrvačná dvjice (mment) S hledem na (18) můžeme přepsat druhé vztahy v (16) a (17) d tvarů H, M L, (19) pr tyt veličiny chápané jak náhrada ve středu hmtnsti neb v pevném bdě (v našem případě pčátku suřadnicvéh systému) Výslednu setrvačnu sílu dstaneme pdle (19) s hledem na (13) ve tvaru (hmtnst předkládáme knstantní) mv ma a, (11) kde S n t n t an an e, ω, (111) resp a a t t e, α jsu nrmálné resp tečné zrychlení středu hmtnsti tělesa a n ma n, resp ma (11) t t je příslušná nrmálná resp tečná setrvačná síla Znvu připmeňme, že bě setrvačné síly půsbí v pčátku suřadnicvéh systému Směr setrvačných sil je zřejmý z br 11 Nyní se

3 vraťme k druhému ze vztahů (19), pdle kteréh vyjádříme setrvačný mment Pdle tht vztahu dstaneme vektr setrvačnéh mmentu derivací mmentu hybnsti pdle času Je však třeba si uvědmit, že tat derivace musí prběhnut ve stacinárním suřadnicvém systému Vzhledem k faktu, že mment hybnsti (1) je vyjádřen v suřadnicvém systému pevně spjeném s rtujícím tělesem, přepíšeme druhý ze vztahů (19) d tvaru M L L ω L, (113) L vyjadřuje derivaci mmentu hybnsti vyjádřenéh v rtujícím suřadnicvém systému pdle času Tent vztah vysvětlíme nejjedndušším způsbem asi takt: Vektr a vyjádříme pmcí suřadnic pevnéh suřadnicvéh systému xyz ppsanéh bází i, j, k a pmcí suřadnic rtujícíh suřadnicvéh systému ppsanéh bází e e, 1, e3 a axi ayj azk a1e 1 ae a3e3 (114) Jestliže bě strany pslední rvnice derivujeme pdle času a uvědmíme-li si, že bázvé vektry i, j, k jsu knstantní, dstaneme a i a j a k a 1e1 a1e 1 a e ae a3e3 a3e x y z 3 (115) Časvu derivaci jedntkvých vektrů e 1, e, e3 dstaneme vzhledem k jejich knstantní veliksti pdle jednduchých vztahů e ω, i 1,, 3, (116) i e i z nichž p dsazení d (115) plyne a xi ayj azk a e1 ae a3e3 ω a1e 1 ae a3 3 1 e (117) Vztah (117) pak snadn přepíšeme d maticvéh tvaru a a ωa, (118) který dkazuje platnst (113) sadíme-li d (113) z (1) dstaneme I I I L, M (119) a Příklady na rtační phyb Příklad 11 Na br 1 je znázrněna bruč ve tvaru kružnice plměru r, která má hmtnst m Tat bruč je spjena se základem čtyřmi pružnými luktěmi, které jsu na jedné straně vetknuty d základu a druhý knec mají vetknutý d bruče Určete vlastní frekvenci trzníh kmitání bruče s malými výchylkami, je-li zanedbána hmtnst luktí a tlušťka bruče án: m, r, E-mdul pružnsti luktí, J-mment setrvačnsti příčnéh průřezu luktí k se prcházející těžištěm průřezu luktě a klmé na nákresnu

4 Řešení: Obr 1 Vzhledem k faktu, že bruč rtuje klem hlavní centrální sy setrvačnsti, vymizí setrvačné síly a e Ze setrvačnéh mmentu (119) zůstane nenulvá jen slžka n dpvídající se rtace t I Pr stručnst zápisu vynecháme index Prvním úklem je určit tuhst k jedné luktě Zatížíme-li nsník, jehž kncům je zabráněn v natčení pdle br 1, dstaneme vztah pr průhyb a příslušnu tuhst ve tvaru 3 Fr 1EJ w k (1) 3 1EJ r Pr malé výchylky je mžné průhyb luktě na knci vyjádřit pmcí úhlu natčení celé bruče ve tvaru w r Mment vratných sil můžeme vyjádřit ve tvaru M V 4kwr 4kr (11) sadíme-li d psledníh vztahu za tuhst (1), máme 48EJ M V (1) r Mment setrvačnsti bruče je vzhledem k zanedbání její tlušťky mžné vyjádřir ve tvaru I mr (13) Z mmentvé pdmínky dynamické rvnváhy a ze vztahu dstáváme phybvu rvnici trzníh kmitání bruče 48EJ mr (14) r Vydělme celu rvnici 48EJ mr 3, mr a dstaneme (15)

5 z čehž plyne vztah pr vlastní frekvenci trzníh kmitání bruče ve tvaru 48EJ (16) 3 mr Příklad 1 Na br 13 je znázrněn tuhý prut 3 rtující knstantní úhlvu rychlstí klem sy Jeden jeh knec je spjen sféricku vazbu s členem a druhý knec je spjen nehmtným vláknem délky b se základním rámem Naším úklem je určit úhel vykývnutí a v případě dsažení maximální hdnty max určit sílu ve vlákně Obr 13 Řešení: Ze setrvačných sil (11) je nenulvá jen dstředivá síla ml n sin (17) a ze slžek setrvačnéh mmentu (119) je nenulvá jen slžka M (18) Oba tyt setrvačné účinky jsu v br 13 vyznačeny červenu barvu Pr výpčet setrvačnéh mmentu (18) je třeba určit deviační mment Z br 14 snadn djdeme ke vztahu (předpkládáme, že tyč je hmgenní a prismatická)

6 l Obr 14 m ml u sin cs du sin cs (19) l 3 Nejdříve budeme předpkládat, že úhel vykývnutí leží v intervalu b, max, max arcsin (13) l Pdmínky dynamické rvnváhy mají tvar A mg, B A ml sin, ml l sin cs mg sin B l b 3 (131) Z první rvnice (131) plyne, že svislá reakce zůstává knstantní a má hdntu A mg Z druhé rvnice je mžné vypčítat reakci A avšak až na základě znalsti úhlu Prt je třeba nejdříve řešit třetí rvnici, která p úpravě dstane tvar sin l cs g (13) 3 Takže mhu (ale nemusí) existvat tat řešení: a) sin,, (133) kde řešení sin dpvídá nestabilní rvnváze a navíc neleží v pžadvaném intervalu daném délku vlákna, takže jej nebudeme brát v úvahu alší řešení má tvar l g 3g b) cs cs, (134) 3 l

7 3g avšak tt řešení nemusí existvat, vyjde-li hdnta mim interval 1, 1 (zlmek je l však nezáprný, takže nás zajímá jen tázka, zda není větší než jedna) Pakliže tat hdnta padne d jmenvanéh intervalu, můžeme psát 3g arccs l (135) Ze vztahu (134) plyne zajímavý závěr Je-li úhlvá rychlst táčení malá, avšak nenulvá, úhel vykývnutí zůstává nulvý až d kritické hdnty úhlvé rychlsti ( cs 1) 3g, krit (136) l b V případě, že úhel by vyšel větší než arcsin max, je třeba v rvnicích (131) l respektvat nenulvu neznámu hdntu reakce B a za dpsud neznámu hdntu dsadit max Řešením sustavy (131) pak jsu vazební reakce A, A a B

8 ynamika sférickéh phybu tělesa Sférický phyb je definván tak, že jeden bd zmíněnéh tělesa je trvale v klidu Pdívejme se nejdříve na prblém z hlediska kinematickéh Těles v prstru má 6 vlnsti-3 nezávislé psuvy a 3 nezávislá natčení Jestliže jeden bd znehybníme, dpadnu 3 psuvy (debereme 3 vlnsti) a tělesu zbývají 3 nezávislé rtace Tyt rtace mhu být ppsány různými způsby Jedním z nejpužívanějších způsbů jsu Eulervy úhly [1] Využití Eulervých úhlů Na br 1 jsu znázrněny tyt úhly, pmcí nichž ppíšeme sférický phyb tělesa becnéh tvaru Obr 1 Předpkládejme, že těles je pevně spjen se suřadnicvým systémem, který byl nejdříve ttžný se pevným suřadnicvým systémem xyz a d své aktuální plhy se dstal pstupně: a) ptčením kl sy z úhel (úhel precese) \ \\ b) ptčením kl sy x x úhel (úhel nutace) \\\ \\ c) ptčením kl sy z z úhel (úhel vlastní rtace) Časvé derivace těcht úhlů (příslušné úhlvé rychlsti) dpvídají jedntlivým rtacím z nichž je sférický phyb slžen Budeme-li chtít vyjádřit mment hybnsti a kineticku energii tělesa becnéh tvaru knajícíh sférický phyb, je vhdné vyjádřit tyt veličiny v systému, prtže matice setrvačnsti tělesa je v tmt systému časvě nezávislá

9 (Kinetická energie je prstrvý invariant-skalár, takže nezávisí na prstru, ve kterém ji vyjadřujeme) Vektr výsledné úhlvé rychlsti vyjádřený v suřadnicvém systému resp xyz má tvar cs sin sin cs sin sin ω sin cs sin, resp ω xyz sin sin cs (1) cs cs Matice setrvačnsti tělesa J již byla vyjádřena v první kapitle ve tvaru (11) Mment hybnsti vyjádříme ve tvaru analgickém (1) L J ω () a hybnst ve tvaru analgickém (13) H m vs mω rs (3) Na tmt místě je třeba připmenut, že bě pslední vektrvé veličiny jsu vyjádřeny pmcí slžek v suřadnicvém systému Pdbně jak v první kapitle můžeme vyjádřit kineticku energii ve tvaru E k 1 T 1 T ω L ω J ω (3) Setrvačné účinky určíme pět pdle vztahu (19) a (113) H, M L, (4) M L L ω L (5) Tyt vztahy nebudeme pr jejich kmplikvanst dpčítávat a mezíme se zde na rtačně symetrická tělesa, čímž se celá metdika trchu zjednduší Využití mdifikvaných Eulervých úhlů [] Vzhledem k tmu, že těles kná vlastní rtaci klem sy symetrie, jsu si rvny mmenty setrvačnsti I I I (6) Všechny deviační mmenty jsu rvněž nulvé, takže matice setrvačnsti je diagnální a má tvar I,, \\ J,, J I, (7),, I kde jsme symblem I značili svý mment setrvačnsti tělesa k se symetrie V takvém případě není nutné zavádět matici setrvačnsti dpvídající suřadnicvému systému, \\ \\ \\ ale pstačí tut matici vyjádřit v "dvučárkvaném" systému x, y, z, prtže ptčením úhel se matice setrvačnsti nezmění Pak příslušné úhly nazýváme tzv mdifikvanými Eulervými úhly, které jsu znázrněny na br

10 Obr Vektr výsledné úhlvé rychlsti může být pak vyjádřen v "dvučárkvaném" suřadnicvém systému ve tvaru ω sin (8) cs Budeme-li chtít vyjádřit setrvačný mment pdle vztahu (5), je třeba si uvědmit, že phyb "dvučárkvanéh" suřadnicvéh systém vůči základnímu rámu není ppsán vektrem úhlvé rychlsti ω, ale \ \ Ω sin (9) cs Tent systém se netáčí rychlstí vůči nehybnému základnímu rámu Vyjádříme tedy mment hybnsti v dvučárkvaném systému L \\ \\ J ω J ω (1) Pr výpčet setrvačnéh mmentu je třeba derivaci mmentu hybnsti prvést pdle vztahu \\ \\ \\ M L L Ω L (11) Hybnst vyjádříme ve tvaru \\ H m v mω r, (1) S S

11 zatímc kineticku energii ve tvaru Ek 1 T \\ 1 T 1 T ω L ω J ω ω \\ J ω (13) Všechny vektrvé a tenzrvé veličiny (matice setrvačnsti je vlastně tenzr) jsu vyjádřeny pmcí slžek v "dvučárkvaném" suřadnicvém systému Pznámka: Tenzr je matematické vyjádření jisté veličiny, jež pdléhá transfrmaci suřadnic v závislsti na suřadnicvém systému Tenzr nultéh řádu je skalár, který je invariantní vůči změně suřadnicvéh systému Tenzrem prvníh řádu je vektr, který pdléhá tenzrvé (vektrvé) transfrmaci (transfrmace se prvede prnásbením danéh vektru transfrmační maticí) Tenzr druhéh řádu můžeme vyjádřit jak sustavu suřadnic ve tvaru matice Transfrmaci lze prvést prnásbením transfrmační maticí zleva a maticí k ní transpnvanu zprava Pr tenzry vyšších řádu již transfrmaci nelze ppsat pmcí maticvéh pčtu, ale je třeba využít indexvu symbliku [3] P prvedení naznačených perací dstaneme I \ \ \ \ L J ω I sin, I cs (14) 1 E sin cs k I I I, (15) I I sin sin cs I I M G1 \\ \ \ \\ M sin cs L Ω L I I I cs I M G cs sin I (16) Využití Cardanvých úhlů Jak alternativu k ppisu sférickéh phybu pmcí Eulervých (nemdifikvaných) úhlů si budeme prezentvat ppis pmcí Cardanvých úhlů Představme si, že suřadnicvý systém x, y, z na br 3 se dstane d becné plhy pmcí tří nezávislých rtací a) rtace klem sy z úhel \ b) rtace klem sy x úhel \\ c) rtace klem sy y úhel

12 Obr 3 Mdifikvané Cardanvy úhly pr rtačně symetrická tělesa zde speciálně zavádět nebudeme Jen je mžné knstatvat, že by se shdvaly s mdifikvanými Eulervými úhly, avšak sa vlastní rtace by byla ttžná s su symetrie tělesa y \\ Pdle br 3 nyní můžeme napsat vektr výsledné úhlvé rychlsti vyjádřený v suřadnicvém systému,, pevně spjeném s phybujícím se tělesem ve tvaru cs cs sin ω sin (17) cs cs sin Matice setrvačnsti má tvar 11 Speciálně pr rtačně symetrické těles s su symetrie \\ y má tat matice tvar I,, \ \ J,, J I, (18),, I kde význam uvedených symblů byl vysvětlen v suvislsti se vztahy (6) a (7) Mment hybnsti má v případě symetrickéh tělesa tvar

13 I cs cs sin \\ \ \ L J ω J ω I sin (19) I cs cs sin Setrvačný mment můžeme vyjádřit pdle vztahu (16), tj \\ \\ \\ M L Ω L () P dsazení dstaneme I I cs cs sin cs cs sin sin sin cs cs sin sin sin sin cs cs I sin cs M (1) I cs sin cs cs sin sin cs sin I cs cs sin cs sin cs sin sin \\ V tmt případě, kdy se jedná rtačně symetrické těles s su symetrie y, můžeme dsadit d (1) a všechny setrvačné účinky pak jsu vyjádřeny v "dvučárkvaném" suřadnicvém systému viz br 3 T dpvídá zavedení mdifikvaných Cardanvých úhlů Příklady na sférický phyb Příklad 1 Valení kuželvéh pastrku 3 p nehybném kuželvém kle (viz br 4) je kinematicky vynucen rtací unášeče klem vertikální sy 1 knstantní úhlvu rychlstí 1 Stanvte kineticku energii a setrvačné účinky půsbící na kmlý kužel hmtnsti m Vrchlvý úhel pastrku je án: m, r,, I, I, 1 knst S Využijte vztahu M L Řešení: \ \ Ω \ \ L \\ I I sin I I sin cs I sin I cs I cs I cs sin Pvrchvá přímka, na které dchází k dtyku řídících kuželů, je vlastně kamžitu su výsledné rtace, prtže ve všech jejích bdech má kužel 3 nulvu rychlst S hledem na skutečnst, že je zadána úhlvá rychlst 1, můžeme dpčítat i druhtnu úhlvu rychlst tg () 3 1

14 Prtže 9 knst, 3 knst a knst, dstane setrvačný mment tvar I sin M (3) Obr 4 Tent výraz se nazývá gyrskpickým mmentem, který také můžeme vyjádřit pmcí vektrvéh vztahu (setrvačný mment v tmt knkrétním případě nebsahuje jiné členy) M M G I ψ (4) Odstředivu sílu můžeme vyjádřit ve skalárním resp ve vektrvém tvaru (suřadnice jsu vztaženy k dvučárkvanému suřadnicvému systému ) n mrs 1, resp n (5) mrs 1 Příklad [4] Řešte phyb bezsilvéh setrvačníku viz br 5, tj setrvačníku, na který nepůsbí žádné vnější silvé účinky Tzn, že vlastní tíha je v rvnváze s reakcí v pdpře, která je umístěna ve středu hmtnsti setrvačníku Setrvačníku byla v čase t udělena úhlvá rychlst ω ω Pdle věty změně mmentu hybnsti v diferenciální frmě ( L M) plyne, že L L knst T znamená, že vektr mmentu hybnsti má knstantní směr i velikst Ani jedn však zatím neznáme Zaveďme nejdříve suřadnicvý systém,, tak, aby sa

15 byla ttžná s su symetrie setrvačníku, sa aby ležela v rvině dané su a nsitelku úhlvé rychlsti ω a sučasně klmá na su a aby sa byla na bě sy klmá a sučasně tyt tři sy tvřily pravtčivý suřadnicvý systém Obr 5 Výchdiskem řešení je rzklad vektru úhlvé rychlsti ω d dvu slžek, tj d sy a sy precese dané nsitelku L Opět je třeba připmenut, že tent rzklad je jenm myšlený, prtže su precese (nsitelku L) zatím neznáme Prt je nejdříve třeba dkázat, že vektr L leží také v rvině V suřadnicvém systému,, vyjádříme matici setrvačnsti resp vektr úhlvé rychlsti ve tvaru I,, \\ J,,, J I ω (6),, I Vektr mmentu hybnsti vyjádříme pdle známéh vztahu \ \ \\ L J ω I, (7) I ze kteréh je zřejmé, že vektr mmentu hybnsti má skutečně slžku ve směru sy nulvu, takže leží v rvině Nyní si připmeňme vztah (14), který má tvar I \\ \\ L J ω I sin I cs Srvnáním bu psledních vztahů plyne, že L I knst (8) Z br 5 a ze vztahu (14) je také zřejmé, že

16 L I sin Lsin L I (9) Ze srvnání (14) a (17) a s hledem na (8) také plyne sin, cs (3) \\ Prtže L knst L knst, kde L je velikst vektru mmentu hybnsti psát L I Srvnáním -vých slžek vektru dstaneme \\ L a můžeme (31) \\ L vyjádřenéh pmcí vztahů (7) a (14) L Lcs I cs (3) z čehž plyne s hledem na (31) Lcs I cs cs I I cs I (33) 1 cs I I I Z psledníh vztahu je zřejmé, že bsažená závrka bude rzhdvat vzájemném smyslu mezi vlastní rtací a precesí Bude-li hdnta závrky záprná ( I I ), pak je znaménk vlastní rtace rzdílné d znaménka precese a hvříme prtiběžné precesi (za předpkladu, že je strý úhel) V pačném případě se jedná suběžnu precesi Shrneme-li získané pznatky dstaneme,, Prtže je známý úhel (plha a vektru úhlvé rychlsti ω je známá), můžeme ze vztahů (3) a vyjádřit úhel Pměr slžek a je dán známým úhlem a tent pměr je funkcí hledanéh úhlu Takže můžeme p dsazení (33) za psát sin I tg cs I tg tg tg I I (34) Jak je zřejmé, úhel zůstává také knstantní Z psledníh vztahu vypčítáme úhel Ze sinvé věty a z br 6 vypčítáme pdle vztahu Obr 6

17 sin sin sin sin Pslední vztah ještě můžeme přepsat s hledem na vztah sin d tvaru tg (35) (36) 1 tg sin I cs sin (37) sin I P dsazení (34) d vztahu (33) pr, dstaneme sin I sin I sin I 1 cs 1 1 cs I 1 sin I tg I I tg I I I (38) Budeme-li respektvat pčáteční pdmínky,,, pak snadn dstaneme závislst jedntlivých úhlů na čase I cs sin, cs I 1 t t t t (39) I I Z psledních vztahů je zřejmé, že bezsilvý setrvačník je schpen se phybvat rvnměrnu rtací a precesí při knstantním úhlu nutace Příklad 3 Určete setrvačné účinky půsbící na hlaveň kanónu hmtnsti m a délky l, která sučasně vyknává unášivu precesi dpvídající úhlu azimutu (dměru) a nutaci (náměru) ppsanu úhlem elevace Hlaveň pkládáme za štíhlu prismaticku tyč Prveďte výpčet pmcí Cardanvých úhlů Na br 7 je znázrněn mdel hlavně kanónu a jeh ppis pmcí Cardanvých úhlů Úhlvá rychlst vlastní rtace, která leží na se je nulvá ( ) a dpvídající úhel rtace plžíme také rvný nule tzn, že Plžíme-li ve vztahu (1),, dstaneme pr setrvačný mment vztah I sin cs I I M sin I cs (4) I I sin I cs Pr určení výsledné setrvačné síly je třeba určit zrychlení středu hmtnsti Je-li tyč prismatická a hmgenní, leží její střed hmtnsti v plvině délky Prtže jde suběžné rtace klem různběžných s, můžeme vektrvě sčítat úhlvé rychlsti T dkážeme pdle br 8

18 Obr 7 Obr 8 Pdle Pythagrvy věty platí rd r d r d (41) Celu rvnici když vydělíme rdt, dstaneme

19 d dt d dt (4) Z psledníh vztahu plyne, že výslednu úhlvu rychlst získáme vektrvým sučtem dílčích úhlvých rychlstí Akcelerační pměry budu trchu kmplikvanější Abychm zachvali becnst příkladu, budeme předpkládat nenulvá úhlvá zrychlení a Pr stručnst značme r l / Obr 9 Označíme-li radiusvektr středu hmtnsti r S, můžeme pdle br 9 psát r cs sin r sin sin r cs cs r cs cs, sin cs S r vs rs r r cs sin, (43) r sin r cs a S r sin sin r cs sin r sin cs r cs cs r cs sin r sin cs r cs cs r sin sin r cs sin r cs cs r cs r sin (44) K tmut výsledku můžeme přijít také rzkladem výslednéh sférickéh phybu na unášivu precesi 1 reprezentvanu úhlem a druhtnu nutaci 3 reprezentvanu úhlem Pak píšeme , v v v v r, v r cs,, a31 a3 a1 a c, (45) kde

20 a 3, 1 an 3 at3, a1 an1 at1, ac ω1 v3 ω k (46) Jedntlivé veličiny mají velikst a r cs, a 1 r cs, a 3 r, a 3 r, a r t n r c sin, (47) n1 a směr, který je zřejmý z br 1 Obr 1 Vektrvě tyt veličiny můžeme zapsat ve tvaru a n1 r cs sin r cs cs, a t 1 r cs cs r cs sin, a n3 r cs sin r cs cs, (48) r sin r sin sin r sin cs a 3 sin cs, t r a c r sin sin (49) r cs Vektrvým sučtem těcht pěti zrychlení dstaneme zrychlení středu hmtnsti hlavně kanónu ve tvaru (44) Výsledná setrvačná síla, která půsbí ve středu sférickéh phybu bude rvna ma n1 at1 an3 at ac (5) mas 3 Pznámka: Směr Crilisva zrychlení je dán vektrvým sučinem ac ω1 v3, kde v r 3, jak už byl uveden 1 a

21 Obr 11 Ještě je třeba připmenut, že prsty pravé ruky při vektrvém násbení ukazují směr násbení, tj d ω 1 d v 3 a palec ukazuje směr výsledku tzn vektrvéh sučinu Příklad 4 Jak další příklad si uveďme rtující tyčku, jejíž ustálenu rtaci jsme řešili v příkladu 1 Nyní budeme řešit její phyb jak neustálený, takže se bude jednat sférický phyb Na br 1 je znázrněna tyčka 3, která je přes rtační vazbu spjena s nehmtným členem, na který půsbí knstantní mment M Z br 1 je zřejmé, že,, tzn, dpadá vlastní rtace tyčky kl své sy Naším úklem je sestavit phybvé rvnice, pmcí nichž by se numericky phyb řešil án: I I, M,,, (malý),, Suřadnicvý systém zvlíme tak, že su symetrie tyčky zttžníme s su, su umístíme tak, aby nutace, pmcí níž přejde sa precese d sy vlastní rtace, ležela na se Třetí su dplníme tak, aby suřadnicvý systém,, byl pravtčivý Phybvé rvnice budu mmentvé pdmínky k sám a, cž můžeme vektrvě zapsat ve tvaru (Slžkvé pdmínky rvnváhy by služily k výpčtu reakcí v závěsu, takže je vynecháme) M M (51) P rzepsání dstaneme l mg sin I I I sin cs, M sin I sin I I cs (5)

22 Obr 1 Rvnice (5) můžeme přepsat d maticvéh tvaru Mqq t pq,q, (53) kde I l sin ( ) sin cs,,, mg I sin I M q q p q q (54) I sin M I I Tut sustavu nelineárních diferenciálních rvnic neumíme řešit analyticky, prt jediný způsb vhdný pr řešení tét sustavy je numerická integrace Pkud budeme chtít využít standardní prceduru v MATLABu -de3 neb de45, je třeba prvést jistu úpravu Uvedené prcedury jsu vhdné pr řešení maticvé diferenciální rvnice s pčáteční pdmínku ve tvaru x t fx, t, x x (55) Pr dsažení tvaru (55) přidáme k rvnici (53) triviální identitu Mqq t Mqq t (56) a bě rvnice můžeme zapsat v kmpaktním maticvém tvaru Mqq t qt pq, q, M q q t M q q t (57)

23 [rad] který přepíšeme d tvaru Ax x t Bx xt cx, (58) význam symblů A x, Bx, cx je zřejmý z předchzích dvu vztahů Všechny tyt veličiny jsu funkcí stavvéh vektru qt xt q t rvnici (58) převedeme d tvaru (55) jednduše tak, že ji vynásbíme dstaneme M 1 q (59) zleva a 1 x t A xb xxt c x, x x (6) f x, t Pkud dsadíme knkrétní hdnty ml m 1kg, l 5 m, I, I I /, 1, M 1 Nm 3 dstaneme výsledky, které jsu znázrněny na br Nejdříve jsu znázrněny zbecněné výchylky t a t a následují zbecněné rychlsti t a t Theta (t) Cas [t] Obr 13

24 [rad/s] [rad] Psi (t) Cas [t] Obr Thetadt (t) Cas [t] Obr 15

25 [rad/s] Psidt (t) Cas [t] Obr 16 Prtže je tyčka nebrzděná a dpr prstředí je zanedbán, je zřejmé, že limitní hdnta vykývnutí (úhel ) musí být / 1 578, cž br 13 jasně ukazuje Také rychlst nutace se s ustálením úhlu na knstantní hdntě blíží k nule, cž ukazuje br 15 Příklad 5 Při brušení ptrubních svarů kná brusný ktuč sférický phyb viz br 17 Úhlvá rychlst vlastní rtace je dána táčkami ruční brusky n 7t/ min, zatímc úhlvá rychlst precese je dána knstantní rychlstí středu brusnéh ktuče p bvdu ptrubí v m/ s Úhel nutace je trvale 9, takže úhlvá rychlst a zrychlení nutace jsu nulvé Určete setrvačné účinky půsbící na brusný ktuč a účinky na ruku dělníka, který s brusku pracuje Průměr ptrubí je R 75 m Řešení Zavedeme sy pdle br 17 Rychlst precese určíme pdle vztahu v v 5333 rad/s (61) R ále určíme rychlst vlastní rtace ktuče n rad / s (6) 3

26 Obr 17 Setrvačné síly zanedbáme, prtže v je malá a knstantní, takže dstředivá síla bude také malá a tečná setrvačná síla bude nulvá Z kmpnent setrvačnéh mmentu je nenulvý jen gyrskpický mment, který vyjádříme ve tvaru M G I 977Nm (63) Příklad 6 Řešte phyb těžkéh setrvačníku pmcí a) Eulervých mdifikvaných úhlů b) Cardanvých úhlů Předpkládejme, že úhlvá rychlst vlastní rtace setrvačníku je knstantní a mnhkrát vyšší, než úhlvé rychlsti precese a nutace, ále budeme předpkládat, že změna úhlu nutace je malá, takže úhel nutace můžeme vyjádřit jak sučet knstantní slžky a malé perturbace, 1, sin sin (64) a) Na br 18 je znázrněn těžký setrvačník, jehž plha je ppsána pmcí mdifikvaných Eulervých úhlů

27 Odpvídající pčáteční pdmínky jsu: t 3,,,,,,, (65) Obr 18 Mmentvé pdmínky k sám ve tvaru: M M mgr S, \ \ x a \ \ y, které pr zkrácení zápisu značíme a zapíšeme (66) Mmentvu pdmínku rvnváhy k se nepíšeme, prtže zde je zadána kinematická pdmínka knst Tyt pdmínky přepíšeme ve světle vztahu (16) a za předpkladu sin sin 1, dstanu tvar I I mgrs, I I (67) b) Na br 19 je znázrněn stejný setrvačník, jehž plha je tentkrát ppsána pmcí Cardanvých úhlů

28 Obr 19 Odpvídající pčáteční pdmínky jsu: t,,,,,,, (68) Označíme-li pr stručnst zápisu x pdmínky k sám a, které mají tvar M M mgr S, \\ \\ \\, y, z, budeme psát mmentvé (69) P dsazení za slžky setrvačnéh mmentu z (1) kam z důvdů své symetrie můžeme plžit, dstaneme I I mgrs, I I (7) Srvnáme-li pslední dvě rvnice s (67) vidíme, že jsme dspěli ke stejnému výsledku K řešení pužijeme metdu Laplacevy transfrmace Označíme nejdříve Laplacevy brazy T L, P L (71) a aplikujeme na sustavu (7) Laplacevu transfrmaci Ptm píšeme

29 Ip T I pp mgr Ip P I pt S 1, p (7) Na pravé straně první rvnice výraz 1 / p je brazem jedntkvéh skku, který vyjadřuje, že tíhvý mment začal půsbit v čase t Řešením sustavy dvu algebraických v brazech dstaneme mgrs T Ip p ImgrS P I, p 1 p Ve vztazích (73) jsme značili I (73) (74) I Řešení rvnic (7) získáme zpětnu Laplacevu transfrmací vztahů (73) ve tvaru mgrs 1 cst, I mgrs 1 sin t t I (75) Příklad 7 Obr

30 Na br je znázrněn čelní phled na gyrskpický stabilizátr, který se pužívá v ldní dpravě a byl pužit spíše jak kurizita i v železniční dpravě (Na světvé výstavě v Ósace jezdil vlak p jednklejné trati) Naším úklem bude vysvětlit tent stabilizační jev Řešení Gyrskpický setrvačník má vyské táčky (řádvě až desítky tisíc za minutu) reprezentvané úhlvu rychlstí vlastní rtace, kteru pvažujeme za knstantní Představme si nejprve situaci, která na br je vyznačena červenu barvu Vagón se naklápí na pravu stranu, v důsledku čehž vzniká unášivá precese ve směru hdinvých ručiček Z vektrvéh sučinu ψ určíme gyrskpický mment M G1, který způsbí vykývnutí vnitřníh rámečku úhlvu rychlstí (vše je značen červeně) Z vektrvéh sučinu určíme gyrskpický mment M G ( M G1 a MG jsu vyznačeny ve vztahu (16)), který půsbí prti směru úhlvé rychlsti, takže brání pádu vagnu d strany Situace při naklápění vagónu na druhu stranu je bdbná a všechny dpvídající veličiny jsu značeny mdru barvu