7 DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA

Transkript

1 3 7 DYNAMIKA UHÉHO ĚLESA Phybvé rvnice při translačním phybu tělesa Při translačním phybu tělesa jsu phybvé rvnice dány vztahy F = ma M = 0 (7.1) F 1 M 1 F F 3.. =.. ma M F g Obr. 7.1 První rvnice nám umžňuje zjistit translační zrychlení tělesa a při phybu vyvlaném výslednicí půsbících sil F. Druhá rvnice je vlastně mmentvu pdmínku statické rvnváhy tj. umžňuje nám vyřešit veliksti reakcí ppř. nám umžní prvést diskusi mžných phybů V některých případech ttiž u tuhéh tělesa phyb čistě translační jen předpkládáme. Např. u psuvajícíh se hranlu půsbící vnější síla, síla tření a síla setrvačná vytvářejí klpný mment, takže krmě translačníh phybu může dcházet i ke klpení klem přední neb zadní hrany hranlu. 3

2 4 Příklad 7. 1 Zjistěte zrychlení bedny tvaru krychle hmtnsti m=50 kg phybujícíh se půsbením síly P=600 N p hrizntální rvině, sučinitel smykvéh tření f=0,- br. 7.. Obr. 7. Řešení: Vykreslíme schéma uvlněnéh tělesa s vyznačením zvlené rientace s suřadnéh systému, směru zrychlení a směru setrvačné síly. Síla P může způsbit jak smýkání krychle tak i její překlápění. Pkud by na bednu nepůsbila síla P, bedna by se nephybvala a půsbiště reakce N C by byl pd těžištěm. Pkud nemá djít ke klpení bedny, musí reakce N C mířit d tělesa tj. její půsbiště musí být v intervalu 0,5 < x < 0,5 m d středu krychle. Jak neznámé jsu N C, x, a a. Pr třecí sílu platí, že její velikst F =0, N C. F a Phybvé rvnice ve slžkách : x: 600-0,N C = 50a y: N C 50. 9,81=0 z: -0,3.600+x. N C - 0,. 0,5N C =0 Řešením dstáváme hdnty: N C =490 N, x=0,467 m, a =10,0 m/s. Plha výslednice nrmálvé slžky reakce nám vyšla d tělesa tj. ke klpení krychle tedy nedchází. Pznámka 1: Pkud by plha reakce N C vyšla mim hranl byl by t příznak, že dchází k jeh klpení. Přitm pkud je plha nrmálvé výslednice před přední hranu, tak se pchpitelně jedná klpení klem přední hrany, pkud je za zadní hranu, tak se jedná klpení klem zadní hrany. Ke klpení klem zadní hrany by zřejmě mhl dcházet puze při plze nsitelky hrizntální síly P pd těžištěm. Pznámka : Plha reakční síly N C před bednu je ekvivalentní tmu, že p uvlnění psuvné vazby pmcí reakce umístěné na přední hraně a reakčníh mmentu mířícíh d tělesa by hdnta reakčníh mmentu vyšla záprná. by všem znamenal, že reakční mment uvlněné psuvné vazby míří d tělesa d pdlžky, cž nelze. 4

3 5 V některých případech je vhdné při přímčarém phybu tělesa pužít mmentvu pdmínku k jinému vztažnému bdu A než je těžiště. Pak musíme k mmentu d půsbících vnějších sil přičíst i mment d setrvačné síly půsbící v těžišti. D schématu uvlněnéh tělesa je prt vhdné zakreslvat d těžiště i směr setrvačné síly, cž usnadňuje aplikaci mmentvé pdmínky k becnému vztažnému bdu. Pr suřadnu sustavu s pčátkem O A pak platí (7.) x: Fix = max i y: Fiy = may i (7.3) z: ( M Ai ) = ( xi Fyi yifxi ) m( x ay y a ) = 0 z (7.4) i i Příklad 7. Aut dle brázku má hmtnst m= 000kg a těžiště v bdě (br. 7.3). Určete zrychlení auta, jestliže hnaná zadní kla se neustále prtáčí a přední se vlně dvalují. Hmtnsti kl m k zanedbejte. Keficient smykvéh tření kl je f=0,5. Řešení: Jsu-li hmtnsti kl nulvé, pak jsu nulvé i jejich mmenty setrvačnsti a kla nekladu dpr prti rztáčení (). Z th všem vyplývá, že u nepháněných kl jsu tečné slžky reakcí nulvé a ve schématu uvlněnéh tělesa je nezakreslujeme 1 A r = I k α, Ik = mk r = 0 A = 0. U hnacích kl však při uvlnění tečné slžky reakcí nenulvé jsu a pkud by nedcházel k prkluzu, pak by platil M h M h B r = Ik α = 0 B = 0. r Vzhledem k prkluzu však platí B = FB = NB f. a Pr vztažný bd phybvé rvnice: x: 0,5N B =-000a y: N A +N B ,81=0 z: 1,5N A +0,5.0,3N B 0,75N B =0 Neznámé jsu N A,, N B,, a. P dsazení dstáváme numerické hdnty: a =1,59m/s, N A =6,88kN, N B =1,7kN Pznámka 1:Pkud mmentvu pdmínku zvlíme vzhledem k bdu A, pak v ní nebude neznámá N A a řešení se zjednduší, prtže pr nalezení a pstačuje systém rvnic: Obr x: 0,5N B =000a z:, 0N B 1, , 81 = 0, a Pznámka : Pkud by hdnta N A vyšla záprná, akcelerace vzidla by byla takvá, že dchází ke zvedání předních kl. Pznámka 3: Při smýkání hnacích kl hdnta zrychlení vzidla nezávisí na hdntě hnacíh mmentu! 5

4 6 6

5 7 Dm. Cv. 7

6 8 Phybvé rvnice při rtačním phybu tělesa Pr rvinný případ rtačníh phybu jsu phybvé rvnice ve vektrvém tvaru dány vztahy F = ma (7.5) M = Iα (7.6) Zttžníme-li su rtace s su z tj. z, pak ve slžkách tyt vektrvé rvnice mají tvar Fix = my α mx ω, Fiy = mx α my ω, M iz = I α z (7.81a) Pznámka: V dynamice pr rvinný případ musí mít těles rvinu symetrie klmu na su rtace a zatížení vnějšími silami musí být klem tét rviny také symetrické-např. rtující disk pháněný mmentem klmým na rvinu disku Veličina I I = dm (7.7) ( m) ρ je mment setrvačnsti tělesa vzhledem k stálé se rtace a ρ je klmá vzdálenst elementu dm d sy rtace. Při rtačním phybu tělesa je kinetická energie tělesa dána vztahem E 1 I ω kr = (7.8) Platí Steinerva věta, která umžňuje výpčet mmentu setrvačnsti tělesa I vzhledem k libvlné se, jestliže známe mment setrvačnsti tělesa I vzhledem k se rvnběžné jducí těžištěm a klmu vzdálenst e bu s: I I me = +, (7.9) kde e je klmá vzdálenst bu s. Sučásti strjů jsu zpravidla tvřeny jednduchými gemetrickými tělesy. Vzhledem k aditivnsti integrálu celkvý svý mment setrvačnsti slženéh tělesa můžeme určit jak algebraický sučet mmentů setrvačnsti jejich vhdně zvlených částí (samzřejmě uvažvaných vzhledem k téže se neb rvině. Např. pr těles na br pčítáme I = I + I + I + I Obr

7 9 Příklad 7. 3 Kyvadl na br se skládá ze dvu tyčí, každá z nich váží 4,5kg. Vypčtěte mment setrvačnsti k se jducí bdem O a k se prcházející těžištěm, je-li l=0,3m. Řešení: Nejprve vypčítáme mment setrvačnsti první tyče OA : I 1 ( ) l 4,5 0,6 m = = = 3 3 0,54 kg.m. Mment setrvačnsti tyče BC pmcí Steinervy věty ( l) m 4,5 0,6 Obr I = + m ( l) = + 4,5 0,6 = 1,76 kg.m. 1 1 Mment setrvačnsti celéh tělesa k O je pdle (5.5): I = I1 + I = 0,54 + 1, 76=, 3 kg.m Vypčítáme plhu těžiště: y1 m1 + y m m ( y1 + y ) ( y1 + y ) 0, 3 + 0, 6 y = = = = = 0, 45m. m + m m 1 Mment setrvačnsti celéh tělesa k se prcházející těžištěm pak určíme pmcí Steinervy věty: I = I m y =, 3 4, 5 0, 45 = 1, 4 kg.m 9

8 30 Statické vyvažvání Staticky vyvažujeme krátké rtační sučásti (setrvačníky, řemenice), u kterých kvůli nepřesnsti výrby sa táčení neprchází. Staticku nevyváženst dstraníme tak, že na prtilehlé straně d těžiště přidáme hmtu, neb na stejné straně d sy rtace hmtu ubereme tak, aby se těžiště dstal d sy rtace. Staticku nevyváženst dstraníme tak, že na prtilehlé straně d těžiště přidáme hmtu, neb na stejné straně d sy rtace hmtu ubereme tak, aby se těžiště dstal d sy rtace. ut hmtu je nutné přidat v takvé vzdálensti d sy rtace, aby platila rvnváha dstředivých sil e ω = ω = (7.10) me mpr mp m r kde m je hmtnst rtru, e je vzdálenst těžiště d sy rtace, m p je přídavná neb debraná hmtnst, r vzdálenst umístění hmtnsti m p d sy táčení. Statické vyvážení rtru lze prvést jedinu hmtu. Dynamické vyvažvání I když je rtující těles staticky vyvážen (tj. jeh těžiště leží na se rtace), může rtující těles způsbvat namáhání lžisek. Např. rtující deska skládající se ze dvu stejných trjúhelníků má těžiště desky sice leží na se, zárveň je však zřejmé, že za rtace vznikají dvě dstředivé síly vytvářející silvu dvjici, která namáhá lžiska. Pněvadž dvjici sil je mžné uvést d rvnváhy zase jen dvjicí, znamená t, že dynamické vyvážení je v tmt případě mžné jen dvěma vývažky ležícími v různých rvinách. Vlba těcht rvin zpravidla bývá pdmíněna knstrukčními mžnstmi umístění vývažků. 30

9 31 31

10 3 Příklad 7. 8 Setrvačník S mmentu setrvačnsti I se rzbíhá z klidu půsbením třecí spjky mající stálu rychlst ω k. Spjka je přitlačvána k setrvačníku stálu silu P, sučinitel smykvéh tření je f. Určete dbu t k, za kteru se setrvačník rzběhne na úhlvu rychlst ω k hnacíh hřídele, celkvé ptčení setrvačníku φ k (Obr. 7.15). Řešení: lak na spjce je p = π P ( r r1 ) Infinitezimální nrmálvá tlakvá síla na spjku půsbící na mezikruží ds = π rdr je df = p ds = pπ rdr p Infinitezimální mment třecích sil dm = rdfp = π pfr dr Celkvý mment třecích sil spjky je tedy rven M ( ) ( r r1 ) ( ) π π Pf r r Pf r + r r + r π r = r fpdr = = 3 3 r ( r ) 1 + r1 Vlastní phybvá rvnice pr rtační phyb rztáčenéh setrvačníku je Pf ( r + r r1 + r1 ) M = = Iα 3 r + r ( ) 1 Jedná se tedy phyb s knstantním úhlvým zrychlením. Aplikací vztahu integrací tedy dstáváme pr dbu rztčení setrvačníku hdntu Iω k 3( r + r1 ) tk = P r + r r + r f ( 1 1 ) Celkvé ptčení setrvačníku ϕ k pak získáme integrací vztahu ωk ϕk ϕk M dω = α dϕ = dϕ I ( ) Obr ( ) 4Pf r + r r + r 3 I r + r ω ϕ ϕ 1 1 ωk 1 k = k k = I 3( r + r1 ) 4 f P r + r1 r + r1 ( ) ( ω ) d α = : dϕ dω α = a dt 3

11 33 Hmgenní tyč délky L, tčná klem sy klmé na tyč a jducí jejím kncem, padá ze svislé plhy na vdrvnu rvinu (br. 3.9). Vyjádřete závislst rychlsti kncvéh bdu tyče na úhlu dklnu d svisléh směru. [ v = 3gL( 1 csϕ )] 33

12 34 Phybvé rvnice při becném rvinném phybu F = ma M = I α (7.11) Dynamiku becnéh rvinnéh phybu tělesa můžeme řešit jak dynamiku translačníh phybu hmty sustředěné v těžišti (na kteru půsbí výslednice vnějších sil) a rtačníh phybu tělesa klem těžiště (pd půsbením výslednéh mmentu vnějších sil). Pznámka: V případě, že translační a rtační slžka phybu tělesa jsu vázány (např. při dvalvání ktuče), pak je nutné d schématu uvlněnéh tělesa zakreslit rientace translačníh a úhlvéh zrychlení tak, aby si navzájem dpvídaly -viz br V případě přímčaréh phybu těžiště pr slžkvý zápis rvnic (7.11) budeme pužívat suřadnice kartézské tj. Fx = ma x; Fy = ma y ;M = Iα (7.1) Jestliže dráha phybu těžiště bude křivčará, pak pr zápis slžkvých phybvých rvnic pužijeme přirzené suřadnice kamžité tečny a nrmály dráhy těžiště Ft = ma t ;Fn = ma n ;M = Iα, Pr kineticku energii tělesa knajícíh becný rvinný phyb vztah 1 1 Ek = mv + I ω (7.13) Slvy: Kinetická energie tělesa, knajícíh becný rvinný phyb je dána sučtem kinetické energie hmtnsti sustředěné v těžišti a kinetické energie rtačníh phybu klem těžiště. 34

13 35 Příklad 7. 6 Určete maximální úhel sklnu βmax naklněné rviny, při kterém ještě nedchází ke smýkání plnéh válce plměru r (br. 7.0). Z hdnty tht úhlu určete sučinitel smykvéh tření f mezi válcem a naklněnu rvinu. Schéma uvlněnéh tělesa: S α a y P x F t F g F n Řešení: Nejprve zjistíme hdntu zrychlení středu válce při za předpkladu, že dchází k jeh dvalvání při becném sklnu skln naklněné rviny. Zvlíme-li jak vztažný bd těžiště, pak pr zvlený suřadný systém phybvé rvnice jsu vektrvé phybvé rvnice F + F + F = ma g n t M = Iα Ve slžkách: x:... mg sin β Ft = ma y:... F mg cs β = 0 n z:... Ft r = Iα Pr mment setrvačnsti válce k se ttžné s jeh gemetricku su pužijeme známý 1 vztah I = mr Má-li dcházet k dvalvání válce, musí být dále splněna pdmínka valení a = αr. V rvnicích máme 4 neznámé a,f n,f t,α. Pr hdntu zrychlení středu válce dstáváme výsledek a = g sin β, 3 Při maximálním úhlu sklnu β = β kdy ještě dchází k dvalvání je tečná slžka max reakce F t rvna třecí síle tj. Ft = Fn f = mg cs βmax. Pak můžeme kmbinací pdmínky valení a vztahu pr zrychlení středu ktuče a = g sin βmax určit z první rvnice hdntu 3 1 sučinitele smykvéh tření f = tgβmax. 3 V případě, že bychm jak vztažný bd pužili pól rychlsti P, pak phybvé rvnice ve slžkách by měly tvar: x:... mg sin β Ft = ma y:... F mg cs β = 0 n Obr z:... mg sin β r = I Pα 3 Hdntu I P určíme za pmci Steinervy věty tj. I P = I + mr = mr. Výpčet neznámých F t, a,, α je při pužití druhéh systému rvnic je jedndušší. 35

14 36 U některých úlh je někdy účelné kmbinvat phybvé rvnice pr jedntlivé slžky phybu tělesa se zákny zachvání energie neb hybnsti neb mmentu hybnsti: Příklad 7.7. Kule je vržena pčáteční rychlstí v 0 téměř tečně na pdlžku, keficient smykvéh tření je f. Určete čas t p který se kule smýká, na jaké dráze x se smýká a jaká je její knečná rychlst v k p uknčení smýkání. Řešení: Hdnta třecí síly je při smýkání knstantní, můžeme tedy pužít vztah pr impuls mmentu I a zjistit dbu trvání smýkání: t I = M dt = M t = r F t = r m f g t = B B, tř 1 0 kde B,B 1 jsu mmenty hybnsti na začátku a na knci smýkání. Pr mment hybnsti dvalující se kule platí vztah B = Iω = mr ω. Na začátku smýkání se kule 5 nedvalvala tj. B 1 = 0. Na knci smýkání už začíná dvalvání, tedy můžeme pužít pdmínku valení vk = ωk ( v k je rychlst středu kule a ωk je úhlvá rychlst rtační slžky phybu kule na knci smýkání). Změna mmentu hybnsti je tedy rvna B B 1 = mrvk 5 Dsazením d 1. rvnice pak dstáváme vztah pr dbu trvání smýkání tj. v t = k 5 fg Využitím phybvé rvnice pr translační slžku phybu dstaneme zrychlení a středu kule při smýkání Ftř Ftř = ma a = = fg m Z hdnty tht zrychlení pak můžeme pmcí vztahu pr rvnměrně zpžděný phyb zjistit rychlst v k při uknčení smýkání 5 vk = v 0 a t = v 0 7 Ze zákna zachvání energie dstaneme vztah pr dráhu x na které třecí síla půsbila v0 mvk + Iωk + Ftř x = mv0 x = 49 fg 36

15 37 37

16 38 Dynamika sférickéh phybu tělesa Sférický phyb kná těles, jehž jeden bd je nephyblivý. ěžký (nedchází ke změně veliksti hdnty vlastní úhlvé frekvence) symetrický setrvačník - jedná se těles táčející se knstantní úhlvu rychlstí ϕɺ klem své gemetrické sy, knstantní precesní úhlvu rychlstí ψɺ a knstantní hdntu nutačníh úhlu ϑ. Jedná se tedy sučasné různběžné rtace, reakcí na takvý phyb je vznik setrvačnéh π gyrskpickéh mmentu M G. Pr úhel ϑ = přesně neb pr vyské hdnty úhlvé rychlsti vlastní rtace tj. ɺ ϕ ψ ɺ přibližně můžeme pr gyrskpický mment psát vztah M ( ψ ) G = I0 x ϕɺ ɺ, kde I je mment setrvačnsti vzhledem ke gemetrické se. Neb také kde je Résalv zrychlení αr =ϕɺ xψɺ. G 0 R (7.11a) M = I α (7.11b) Gyrskpický mment je klmý na vektry úhlvých rychlstí rtace a precese a jeh smysl je takvý, že se snaží zttžnit nejkratší cestu su vlastní rtace s su precese. Kmpenzací vznikajícíh gyrskpickéh mmentu můžeme stabilizvat phyb těles. Např. při hrizntálním ulžení těžkéh setrvačníku klm na pdélnu su ldě při kývání ldě pdél její sy vzniká gyrskpický mment, který se snaží lď tčit klem svislé sy. ent phyb je však kmpenzván velku hdntu dprvéh mmentu vdy půsbícím na bky ldě při jejím phybu v příčném směru a je tím zabráněn vznikající precesní rychlsti ψɺ kývání ldi. 38

17 39 39