ČVUT SBÍRKA PŘÍKLADŮ STAVEBNÍ MECHANIKY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ČVUT SBÍRKA PŘÍKLADŮ STAVEBNÍ MECHANIKY"

Transkript

1 SBÍRKA PŘÍKLADŮ STAVEBNÍ MECHANIKY Ing. ALEŠ JÍRA, Ph.D. Ing. DAGMAR JANDEKOVÁ, Ph.D. Ing. ADÉLA HLOBILOVÁ Ing. ELIŠKA JANOUCHOVÁ Ing. LUKÁŠ ZRŮBEK ČVUT FAKULTA STAVEBNÍ ČVUT V PRAZE

2

3 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fkult stvební Sbírk příkldů stvební mechniky Určeno pro studenty prvních ročníků bklářských studijních progrmů předmětů SM01, SM0, SMA1 SMR1 UPOZORNĚNÍ: přes veškerou péči, kterou jsme příprvě sbírky věnovli, se v ní prvděpodobně objevují drobné chyby nebo nejsnosti. Proto vám budeme moc vděčni, když všechny chyby, které ve sbírce objevíte, ohlásíte milem n dresu ISBN: Vydání: 1. Dtum poslední revize: 3. prosince 018 Vydvtel: České vysoké učení technické v Prze, Zikov 1903/4, Prh 6 Zprcovl: Fkult stvební - ktedr mechniky, Thákurov 6, Prh 6 Editoři: Aleš Jír, Dgmr Jndeková, Adél Hlobilová, Elišk Jnouchová Lukáš Zrůbek Poděkování: sbírk příkldů vznikl z podpory RPMT 017 č A006

4 OBSAH Obsh 1 Soustvy svzky sil Svzky sil v rovině Příkld Výslednice svzku sil v rovině Příkld 1.1. Rovnováh svzku sil v rovině Příkld Rovnováh břemen n nkloněné rovině Svzky sil v prostoru Příkld 1..1 Výslednice svzku sil v prostoru Příkld 1.. Rovnováh svzku sil v prostoru Soustvy sil v rovině Příkld Redukce soustvy sil k počátku Příkld 1.3. Uvedení soustvy sil do rovnováhy Soustvy sil v prostoru Příkld Redukce prostorové soustvy sil k počátku Příkld 1.4. Soustv silových dvojic Podporové rekce 18.1 Rekce hmotného bodu Příkld.1.1 Výpočet rekcí hmotného bodu Příkld.1. Výpočet rekcí dvojice hmotných bodů Rekce tuhé desky v rovině Příkld..1 Rekce tuhé desky Příkld.. Prostý nosník s převislými konci Příkld..3 Rovinný lomený nosník Rekce tuhé desky v prostoru Příkld.3.1 Rekce n prostorové konzole Příkld.3. Rekce tuhého těles Rekce n konstrukcích se zkřiveným prutem Příkld.4.1 Konstrukce se zkřiveným šikmým prutem I Příkld.4. Konstrukce se zkřiveným šikmým prutem II Rekce složené soustvy Příkld.5.1 Složená soustv desky + táhlo Příkld.5. Složená soustv trojkloubový rám Příkld.5.3 Složená soustv 3 desky + trojný kloub Výpočet rekcí tuhé desky pomocí PVP Příkld.6.1 Jednoduchá tuhá desk Příkld.6. Složená soustv - desky Příkld.6.3 Složená soustv - 3 desky Vnitřní síly Vnitřní síly n příhrdových konstrukcích Příkld Příhrdová konstrukce styčníková metod Příkld 3.1. Příhrdová konstrukce průsečná metod Příkld Příhrdová konstrukce vně stticky neurčitá Vnitřní síly n přímých nosnících Příkld 3..1 Prostý nosník osmělá břemen Příkld 3.. Prostý nosník s převislým koncem I Příkld 3..3 Prostý nosník s převislým koncem II Příkld 3..4 Prostý nosník trojúhelníkové ztížení

5 OBSAH 3.3 Vnitřní síly n lomených nosnících Příkld Lomený nosník I Příkld 3.3. Lomený nosník II Příkld Lomený nosník III Vnitřní síly n nosnících se šikmým prutem Příkld Šikmý nosník s převislým koncem I Příkld 3.4. Lomený nosník s šikmým prutem Příkld Šikmý nosník s převislým koncem II Vnitřní síly n konstrukcích se zkřiveným prutem Příkld Kružnicový oblouk Příkld 3.5. Prbolický oblouk Vnitřní síly n složených soustvách Příkld Složená soustv Příkld 3.6. Trojkloubový rám Příkld Gerberův nosník Vnitřní síly n prostorově ztížených konstrukcích Příkld Prostorová konzol Příkld 3.7. Prostorový sloup Průřezové chrkteristiky Těžiště, centrální/hlvní momenty setrvčnosti elips setrvčnosti Příkld Složený průřez ze zákldních obrzců Příkld 4.1. Složený průřez z válcovných profilů Pomůcky Pomůck pro vykreslování vnitřních sil Pomůck pro odhd centrální elipsy setrvčnosti

6 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL 1 Soustvy svzky sil 1.1 Svzky sil v rovině Příkld Pro zdný svzek sil určete ekvivlentní sílu F R výsledek zkreslete do obrázku. F = 8 kn F 1 = 10 kn F 4 = 5 kn 30 F 3 = 1 kn z Řešení pomocí podmínky ekvivlence: Fi = F R F 1 + F + F 3 + F 4 = F R Z předpokldu, že F R působí do I. kvdrntu, budou kldné směry složek F R (F R F Rz ) ve směru kldných poloos. F R F Rz = Fi = F 1 + F + F 3 + F 4 = Fiz = F 1z + F z + F 3z + F 4z : F R = F 1 cos 40 F cos 50 F 3 sin 30 + F 4 F R = 10 cos 40 8 cos 50 1 sin = 1, 518 kn : F Rz = F 1 sin 40 F sin 50 + F 3 cos 30 F Rz = 10 sin 40 8 sin cos 30 =, 164 kn F R = F R + F Rz F R = 1, (, 164) =, 643 kn 4

7 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL F FRz =, 164 kn F 4 F 1 F R =, 643 kn F R = 1, 518 kn F 3 z Příkld 1.1. Zdný svzek sil uveďte do rovnováhy rovnovážnou sílu R zkreslete do obrázku. F 4 = 1 kn F 3 = 10 kn F = 10 kn 60 0 F 1 = 10 kn F 5 = 15 kn z Řešení pomocí podmínky rovnováhy: Fi + R = 0 Předpokládáme kldný směr složek rekce ve směru kldných poloos. Fi + R = 0 Fiz + R z = 0 : F 1 + F cos 0 + F 3 cos 60 + F 4 cos F 5 cos 50 + R = 0 R = 11, 553 kn : F sin 0 + F 3 sin 60 + F 4 sin F 5 sin 50 R z = 0 R z = 7, 178 kn R = R + R z = 13, 601 kn 5

8 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL F 4 F 3 R = 11, 553 kn R = 13, 601 kn F F 1 R z = 7, 178 kn F 5 z Příkld Břemeno o hmotnosti m = 1500 kg je drženo v klidu n nkloněné rovině dvěm tžnými lny. Vypočtěte velikost sil F 1 F, které v lnech vznikjí. Tíhové zrychlení uvžujte g = 9, 81 m/s. F 1 F m Řešení: ze zdání vytvoříme soustvu sil budeme řešit podmínky rovnováhy. F 1 F F m = , 81 = N z : F 1 cos 60 + F sin 50 = 0 : F 1 sin 60 + F cos = 0 0, 5 F 1 + 0, 766 F = 0 0, 866 F 1 + 0, 643 F = F 1 F = 11445, 013 N = 7470, 635 N 6

9 i 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL 1. Svzky sil v prostoru Příkld 1..1 Určete výslednici F R prostorového svzku sil. Síly procházejí počátkem O jsou definovány velikostí F i bodem A i, n který působí. F 1 = 16 kn A 1 = [3; 4; 5] F = 30 kn A = [ 4; 5; 3] F 3 = 10 kn A 3 = [; 3; 1] Řešení: sestvení podmínek ekvivlence ve směru os, y, z. z α O γ A i β z i F i y y i Složky F i, F iy F iz vytvoříme pomocí směrových cosinů vypočtených ze souřdnic bodu A i vzdálenosti počátku O bodu A i. A i = i + y i + z i cos α i = i A i ; cos β i = y i A i ; cos γ i = z i A i Podmínky ekvivlence: : F R = F i = F 1 + F + F 3 F R = F 1 cos α 1 + F cos α + F 3 cos α 3 = F 1 1 A 1 + F A + F 3 3 A 3 F R = F R = , , ,74 F R = 4, 856 kn 4 ( 4) ( 3) +1 y : F Ry = F iy = F 1y + F y + F 3y F Ry = F 1 cos β 1 + F cos β + F 3 cos β 3 = F 1 F Ry = , , ,74 F Ry =, 46 kn y 1 A 1 + F y A + F 3 y 3 A 3 z : F Rz = F iz = F 1z + F z + F 3z F Rz = F 1 cos γ 1 + F cos γ + F 3 cos γ 3 = F 1 z 1 A 1 + F z A + F 3 z 3 A 3 F Rz = , , ,74 F Rz = 6, 70 kn 7

10 Celková velikost výslednice úhly, které svírá s osmi, y, z: F R = F R + F Ry + F Rz = ( 4, 856) +, , 70 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL F R = 35, 09 kn cos α R = F R F R = 4,856 35,09 α R = 97, 954 cos β R = F Ry F R =,46 35,09 β R = 50, 659 cos γ R = F Rz F R = 6,70 35,09 γ R = 40, 455 z F R F F 1 A A 1 A 3 F 3 O y Příkld 1.. Soustvu sil F 1 = 15 kn F = 0 kn uveďte do rovnováhy pomocí sil R 1, R R 3, které jsou zdány svými pprsky. Výsledné kldné směry rekcí zkreslete do obrázku. R 3 R F A 3 m A 1 R 1 F 1 7 m 4 m Řešení: počátek souřdného systému umístíme do průsečíku všech sil určíme směrové cosiny sil F 1, F, R 1, R R 3. U sil R i si zvolíme předpokládný kldný směr. 8

11 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL S 3 S z R 3 S 1 R R 1 y N pprsku kždé ze sil zvolíme pomocný bod A i, resp. S i. Souřdnice bodů odvodíme z rozměrů kvádru směru síly. S jejich pomocí určíme velikosti vektorů OA i OS i. F 1 = 15 kn A 1 = [ 4; 7; 0] OA 1 = ( 4) + ( 7) + 0 = 8, 06 m F = 0 kn A = [0; 0; 3] OA = 3 m R 1 =? kn S 1 = [ 4; 0; 0] OS 1 = 4 m R =? kn S = [0; 7; 3] OS = 7, 616 m R 3 =? kn S 3 = [ 4; 0; 3] OS 3 = 5 m Sestvíme podmínky rovnováhy: : R 1 cos α R1 + R cos α R + R 3 cos α R3 + F 1 cos α 1 + F cos α = 0 R R 0 7,616 + R , = 0 R 1 0, 8 R 3 7, 44 = 0 dvě neznámé y : R 1 cos β R1 + R cos β R + R 3 cos β R3 + F 1 cos β 1 + F cos β = 0 R R 7 7,616 + R , = 0 0, 919 R 13, 04 = 0 R. = 14, 17 kn z : R 1 cos γ R1 + R cos γ R + R 3 cos γ R3 + F 1 cos γ 1 + F cos γ = 0 R ( 14, 17) 3 7,616 + R , = 0 0, 6 R , 416 = 0 R 3. = 4, 09 kn Doszením R 3 do podmínky rovnováhy ve směru získáme R 1. = 11, 781 kn. 9

12 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL R 1 = 11, 781 kn R = 14, 17 kn R 3 = 4, 09 kn 10

13 o 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL 1.3 Soustvy sil v rovině Příkld Zdnou soustvu sil zredukujte k počátku souřdného systému. y [3; 1] F 3 = 8 kn F = 10 kn 0 [0; -1] [1; 3] 30 F 1 = 15 kn M = 0 knm [; -] Řešení: máme-li provést redukci soustvy sil k zdnému bodu, budeme hledt ekvivlentní sílu moment působící v zdném bodě. F R = Fi = F 1 + F + F 3 M R = Fi r i = F 1 r 1 + F r + F 3 r 3 Podmínky ekvivlence rozepíšeme do směrů jednotlivých os zvedeme předpokld, že kldné složky ekvivlentní síly působí ve směru kldných poloos. : F R = F 1 + F + F 3 = F 1 cos 30 + F sin F R = 15 cos sin F R = 9, 570 kn : F Ry = F 1y + F y + F 3y = F 1 sin 30 + F cos 0 F 3 F Ry = 15 sin cos 0 8 F Ry = 6, 103 kn F R = F R + F Ry F R = ( 9, 570) + ( 6, 103) = 11, 350 kn : M R = M + F 1 cos 30 1 F 1 sin F sin 0 0 F cos 0 1 F 3 1 M R = cos sin sin cos M R = 46, 907 knm 11

14 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL y F R = 9, 57 kn F F R = 11, 35 kn F 3 F Ry = 6, 103 kn M F 1 M R = 8, 113 knm Příkld 1.3. Zdnou sílu uveďte do rovnováhy pomocí sil R 1 (zdnou pprskem) R (zdnou působištěm). y [3; 5] [4; 3] R [-3; ] 60 R 1 F = 0 kn [m] [8; -1] Řešení: obecné řešení povede n soustvu tří rovnic o třech neznámých. Působiště rekce R 1 zvolíme do známého bodu zvolíme její předpokládnou orientci. Rekci R zvolíme pomocí složek R R y nebo pomocí velikosti síly R úhlu α. 1

15 R R 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL y R y α R R 1 F α 1 [m] Sestvením momentové podmínky rovnováhy kolem bodu působení síly R dostneme jednu rovnici s jednou neznámou. tg α 1 = 6 /5 α 1 = 50, 194 : R 1 cos α 1 (1 + ) R 1 sin α 1 (8 + 3) + F sin 60 (4 + 3) F cos 60 (3 ) = 0 R 1 = 17, 036 kn : R 1 cos α 1 + R F cos 60 = 0 R = 0, 906 kn : R 1 sin α 1 + R y F sin 60 = 0 R y = 4, 33 kn R = R + R y R = 0, , 33 = 1, 33 kn tg α = R y R = 4,33 0,906 = 0, 0477 α = 11,

16 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL 1.4 Soustvy sil v prostoru Příkld Proveďte redukci zdné soustvy sil k počátku z F 1 = 8 kn F = 10 kn 5 3 y 4 F 3 = 5 kn Obecně se jedná o podmínky ekvivlence: Fi = F R M F i = M R Řešení po složkách: Fi = F R MFi = M R Fiy = F Ry MFiy = M Ry Fiz = F Rz MFiz = M Rz Pro rozložení jednotlivých sil do složek, y z zvedeme směrové cosiny úhlů α, β γ. z A α γ β O y z y cos α = cos β = cos γ = OA y OA z OA cos α 1 = = 0, 44; cos β 1 = 4 50 = 0, 566; cos γ 1 = 5 50 = 0, 707 cos α = 3 3 = 0, 514; cos β = 0 34 = 0; cos γ = 5 34 = 0, 857 cos α 3 = = 0; cos β 3 = 4 16 = 1; cos γ 3 = 0 16 = 0 14

17 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL Silové podmínky ekvivlence: F R = F i cos α i = F R = F 1 cos α 1 + F cos α + F 3 cos α 3 = 8 0, ( 0, 514) = 1, 748 kn F Ry = F i cos β i = F Ry = F 1 cos β 1 + F cos β + F 3 cos β 3 = 8 ( 0, 566) ( 1) = 9, 58 kn F Rz = F i cos γ i = F Rz = F 1 cos γ 1 + F cos γ + F 3 cos γ 3 = 8 0, , = 14, 6 kn Výsledná ekvivlentní síl: F R = F R + F Ry + F Rz = 17, 19 kn Momentové podmínky ekvivlence k počátku: M R = (F iz r iy F iy r iz ) = M R = (F 1 cos γ 1 4 F 1 cos β 1 0) + (F cos γ 4 F cos β 0) + + (F 3 cos γ 3 4 F 3 cos β 3 0) = = (8 0, ( 0, 566) 0) + (10 0, ) + + ( ( 1) 0) = 56, 904 knm M Ry = (F i r iz F iz r i ) = M Ry = (8 cos α cos γ 1 0) + (10 cos α 0 10 cos γ 3) + + (5 cos α cos γ 3 3) = 5, 71 knm M Rz = (F iy r i F i r iy ) = M Rz = (8 cos β cos α 1 4) + (10 cos β 3 10 cos α 4) + + (5 cos β cos α 3 4) = 8, 008 knm Výsledný ekvivlentní moment: M R = M R + M Ry + M Rz = 6, 954 knm 15

18 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL z F 1 F Rz = 14, 6 kn F M Ry F Ry = 9, 58 kn = 5, 71 knm M R = 56, 904 knm M Rz F 3 F R = 1, 748 kn = 8, 008 knm y Příkld 1.4. Nhrďte účinek dných silových dvojic jedinou dvojicí sil. Určete směrové cosiny normály, která je kolmá k rovině, v níž leží výsledná silová dvojice. Rmeno výsledné silové dvojice uvžujte, 5 m. z F 3 F 3 F F 1 F y F 1 = 10 kn F = 15 kn F 3 = 1 kn r 1 = 4 m r = m r 3 = 3 m F 1 Řešení: výsledný účinek silové dvojice nebo více silových dvojic je vždy pouze moment působící kolmo n rovinu, v níž silová dvojice působí. Fi = 0 M R M Ry M Rz = F 1 r 1 = 10 4 = 40 knm = F r = 15 = 30 knm = F 3 r 3 = 1 3 = 36 knm Pozn.: znménk určíme podle prvidl prvé ruky, kdy plec prvé ruky jde ve směru kldné poloosy prsty ukzují kldný směr otáčení kolem příslušné osy. 16

19 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL M R = M R + M Ry + M Rz = 61, 61 knm M R = F R r R 61, 61 = F R, 5 F R = 4, 645 knm Výpočet směrových cosinů: cos α R = M R M R cos β R = M Ry M R cos γ R = M Rz M R = 40 61,61 = 30 61,61 = 36 61,61 = 0, 649 = 0, 487 = 0,

20 PODPOROVÉ REAKCE Podporové rekce.1 Rekce hmotného bodu Příkld.1.1 Určete rekce hmotného bodu. 19 kn 33 kn kn 1 3 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 ( 1 ) = 0 SUK (SUK = stticky určitá konstrukce) zvedeme rekce R 1 R n hmotný bod. 19 kn R 19 kn 33 kn kn 1 33 kn 60 R 1 R α 17 kn 3 [m] R 1 tg α = 1 /3 α = 18, 435 Úlohu dále řešíme jko rovnováhu svzku sil pomocí silových podmínek rovnováhy. : R cos α sin 60 = 0 R = 50, 304 kn : R 1 R sin α cos 60 = 0 R 1 = 5, 408 kn 19 kn 50, 304 kn 33 kn 17 kn 5, 408 kn Do obrázku můžeme zkreslit skutečné směry rekcí (červeně). POZOR: pokud měníme znménko síly, musíme tké změnit orientci šipky! 18

21 PODPOROVÉ REAKCE Příkld.1. Určete rekce dvou hmotných bodů doplňte, který z prutů je nmáhán them který tlkem. 0 kn 15 kn [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = (4 1 ) = 0 SUK dále budeme sestvovt podmínky rovnováhy pro kždý hmotný bod smosttně. V kždém prutu vznikne právě jedn rekce její kldný směr si můžeme zvolit. V tomto přípdě si kldné směry rekcí zvolíme tk, by kldné rekce vyvozovly v prutech th. 0 kn α R R 1 tg α = 4 /3 α = 53, 130 : R 1 sin α 0 = 0 R 1 = 5 kn prut je tlčený : R 1 cos α + R = 0 R = 15 kn prut je tlčený R 4 R β α 15 kn R 3 19

22 PODPOROVÉ REAKCE tg β = 3 /3 β = 45 : R 3 sin α + R 4 sin β = 0 : R + R 3 cos α + R 4 cos β + 15 = 0 0, 8 R 3 + 0, 707 R 4 = 0 0, 6 R 3 + 0, 707 R 4 = 30 R 3 R 4 = 1, 49 kn prut je tlčený = 4, 47 kn prut je tlčený 0

23 e PODPOROVÉ REAKCE. Rekce tuhé desky v rovině Příkld kn Vypočtěte všechny podporové rekce tuhé desky 15 kn 18 knm 6 8 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 3 ( ) = 0 SUK. Zvedeme dvě svislé rekce v posuvných kloubech jednu ve směru osy kyvného prutu. 15 kn 15 kn z 10 kn e d 10 kn C α 18 knm 18 knm C z C b α c C A B A B tg α = 6 /8 α = 36, 87 Výpočet rekcí provedeme ze silových momentové podmínky rovnováhy. : 10 C = 0 10 C cos α = 0 C = 1, 5 kn d : A 4 + B 0 + C = 0 A = 3 kn : A + B + C z 15 = B + 1, 5 sin α 15 = 0 B = 4, 5 kn Kontrol: pomocí momentové podmínky rovnováhy kolem bodu e. : A B C z + 18 = , 5 1, 5 sin α + 18 = 0 splněno 1

24 PODPOROVÉ REAKCE Příkld.. Vypočtěte podporové rekce zdné konstrukce. 6 kn/m 10 kn 0 knm [m] Řešení: 6 3 Q 1 = kn/m 10 kn 0 knm b c d e f B B z E z Výpočet rekcí z podmínek rovnováhy: : B = 0 kn e : B z = 0 B z = 1, 143 kn : B z E = 0 E = 6, 857 kn Kontrol pomocí momentové podmínky rovnováhy: 1 : , , = 0 splněno Příkld..3 Vypočtěte podporové rekce zdné konstrukce. 5 kn/m 0 kn 1 6 kn/m 5 4 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 3 ( ) = 0 SUK. Zvedeme dvě vzájemně kolmé rekce v pevném kloubu jednu svislou v posuvném kloubu.

25 c PODPOROVÉ REAKCE 5 Q 1 = kn/m A A z 0 kn b Q = kn/m c d D z [m] Výpočet rekcí z podmínek rovnováhy: : A + 0 = 0 A = 0 kn : ( ) D z 9 = 0 D z = 14, 944 kn : A z D z = 0 A z =, 056 kn Kontrol: pomocí momentové podmínky rovnováhy kolem bodu c. : A 3 + A z D z 4 = , , = 0 splněno 3 3

26 PODPOROVÉ REAKCE.3 Rekce tuhé desky v prostoru Příkld.3.1 Určete podporové rekce n prostorové konzole, která je n levém konci vetknutá po celém svém obvodu. Doplňte souřdný systém tk, by byl prvotočivý. z f 1 = 4 kn/m 1, 0,8 f = 6 kn/m 4 F = 30 kn [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 6 (1 6 ) = 0 SUK ve vetknutí zvedeme tři silové tři momentové rekce. V přípdě vetknutí celého průřezu, se rekce zvádějí do osy konstrukce, která je spojnicí těžišť průřezů. Protože rekce budou působit v jednom bodě jsou n sebe nvzájem kolmé, můžeme z kždé podmínky rovnováhy (3 silová 3 momentová) vypočítt právě jednu z rekcí. Prvotočivý souřdný systém doplníme pomocí prstů prvé ruky: plec prvé ruky symbolizuje osu, ukzováček osu y prostředníček ukzuje směr kldné poloosy z. y z Q 1 = 4 0, 8 M R R y M y R z F = 30 kn M z Q = 6 4 4

27 PODPOROVÉ REAKCE : R 30 = 0 y : R y + 4 f = 0 R = 30 kn R y = 4 kn z : R z 0, 8 f 1 = 0 R z = 6, 4 kn : M , + Q 1 0 = 0 M = 14, 4 kn y : M y , + 4 0, 8 (4 + ) = 0 M y = 50 kn z : M z ,8 = 0 M z = 36 kn Příkld.3. Určete podporové rekce zdného tuhého těles. y z 0,4 3 kn/m 30 knm 0,8 1,5 15 kn 10 kn 0,5 0 kn 8 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 6 ( ) = 0 SUK. Zvedeme tři silové rekce v pevném kloubu, jednu silovou rekci v posuvném kloubu (kolmo n smykovou plochu podpory) dvě silové rekce v kyvných prutech (vždy v ose kyvného prutu). o D o 4 R A o 1 R Ay R Az o 5 o 3 B C Pro řešení máme k dispozici šest nezávislých podmínek rovnováhy snžíme se postupovt tk, bychom z kždé podmínky vypočítli jednu z rekcí. Pokud se nám nepodří sestvit podmínky, ze kterých půjde spočítt přímo některá z rekcí, řešení povede n soustvu rovnic o více neznámých. 5

28 PODPOROVÉ REAKCE První podmínkou, ze které jsme schopni spočítt jednu z rekcí, je silová podmínk rovnováhy ve směru osy y. y : R Ay + 15 = 0 R Ay = 15 kn V dlších silových podmínkách rovnováhy (ve směru osy z) je vždy více než jedn neznámá využijeme momentových podmínek rovnováhy kolem vhodně zvolených os. o 1 : C , = 0 C = 9, 4 kn o : D 0 = 0 D = 0 kn o 3 : R Az 8 D + 0 0, = 0 R Az = 14, 5 kn Zbývjící rekce je možné spočítt opět pomocí momentových podmínek rovnováhy nebo jednodušším způsobem pomocí silových podmínek rovnováhy. : R A + 0 D = 0 R A = 0 kn z : R Az + B + C = 0 B = 9, 9 kn Kontrol: Pro kontrolu můžeme zvolit obecnou osu tk, by se v momentové podmínce rovnováhy projevily všechny rekce, nebo uděláme více podmínek rovnováhy kolem os rovnoběžných s osmi souřdného systému. o 4 : R Ay 0, 5 R Az 1, B 1, + C 0, , 15 1, 5 = 0 splněno o 5 : R A 0, 5 + R Az 8 D 1, = 0 splněno 6

29 PODPOROVÉ REAKCE.4 Rekce n konstrukcích se zkřiveným prutem Příkld.4.1 Vypočtěte podporové rekce zdné konstrukce. 8 kn/m kn 15 kn 1,5 1, [m] Řešení: 60 8 kn/m Q V = 8 sin d Q H = 8 cos kn c C β 10 kn α b B A tg α = 3 /4 α = 36, 87 tg β = 3 / β = 56, 31 Příslušné podmínky rovnováhy: : A 8 sin B sin α C sin β = 0 : 8 cos B cos α C cos β = 0 : 8 sin cos , 5 B sin α C sin β 10 C cos β 3 = 0 7

30 PODPOROVÉ REAKCE Ze silové vodorovné momentové podmínky rovnováhy vytvoříme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých: 0, 8 B 0, 555 C = 15 6 B + 6, 656 C = 413, 91 B = 38, 078 kn C = 7, 861 kn Doszením do svislé silové podmínky rovnováhy dostneme: A 69, , 078 0, 6 ( 7, 861) 0, 83 = 0 A = 3, 55 kn Kontrol: d : 3, ( 7, 861) sin β , 5 38, 078 sin α , 078 cos α 3. = 0 splněno Příkld.4. Vypočtěte podporové rekce zdné konstrukce. 18 kn kn/m 4 kn/m 6 3 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 3 (1 + 1 ) = 0 SUK zvedeme podporové rekce. A z Q 1 = = 7 kn 9 kn/m A α 18 kn β 5 5 = 4, kn/m Q = 4 5 = 0 kn,5,5 c b 4 B 8

31 c PODPOROVÉ REAKCE tg α = 3 /6 α = 6, 565 tg β = /5 β = 3, 578 V pevném kloubu si rozložíme rekce do svislého vodorovného směru dle následujícího obrázku, tk bychom mohli následně pohodlně sestvit podmínky rovnováhy. α Az sin α A z cos α α A z A cos α α α A A sin α Příslušné podmínky rovnováhy: : B 11 + Q cos β 8 18 sin β [3 (5 4, 583)] Q (3, 5) = 0 B = 14, 307 kn Ze svislé vodorovné podmínky rovnováhy dostneme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých: : A cos α + A z sin α Q 1 18 cos β + B = 0 : A sin α + A z cos α 18 sin β Q = 0 Kontrol: 0, 894 A + 0, 447 A z = 9, 19 0, 447 A + 0, 894 A z = 7, 0 A A z = 13, 951 kn = 37, 400 kn : A cos α 6 A sin α + A z sin α 6 + A z cos α Q 1 4 Q, B 5 = 0 splněno 9

32 PODPOROVÉ REAKCE.5 Rekce složené soustvy Příkld.5.1 Vypočtěte všechny vnitřní vnější rekce n zdné konstrukci. 5 kn/m 18 knm 0 kn 3 6 [m] Řešení: výpočet sttické určitosti je možné udělt dvěm následujícími způsoby. s = 3 ( ) = 0 SUK (dvě desky + kyvný prut) nebo s = 3 3 ( ) = 0 SUK (tři desky) Zvedeme vnější rekce do pevného posuvného kloubu přemýšlíme, zd je možné některou z rekcí vypočítt z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. d 5 kn/m 6 = 3 Q = 5 6 = 30 kn c 0 kn 18 knm b A z A B : A 0 = 0 A = 0 kn : B 6 = 0 B = 8 kn : A z + B 5 6 = 0 A z = kn 30

33 PODPOROVÉ REAKCE Pro výpočet vnitřních rekcí k-ci rozdělíme n jednotlivé desky, ve vnitřních kloubech zvedeme vnitřní rekce kždou z desek řešíme smosttně (pro kždou z desek jsme schopni sestvit tři nezávislé podmínky rovnováhy). 18 knm d 5 kn/m Q = 30 kn I C z S S S S c C C C z c II 0 kn b A z A B Pro výpočet si vybereme tu desku, n které jsou mimálně 3 neznámé minimum ztížení, tk bychom si výpočet mimálně ulehčili. V tomto přípdě zčneme s deskou č. II. Podmínky rovnováhy n desce II: : B C z = 0 C z = 8 kn c : 0 + S = 0 S = 0 kn : C S 0 = 0 C = 0 kn Kontrol: ke kontrole můžeme využít dosud nepoužité podmínky rovnováhy n desce I. d : A z C z = 0 splněno : A + S + C = 0 splněno : A 5 S C z 6 = 0 splněno 31

34 PODPOROVÉ REAKCE Příkld.5. Vypočtěte všechny vnitřní vnější rekce n zdné konstrukci. 9 kn/m 15 kn 18 kn [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 3 ( +1 ) = 0 SUK. Zvedeme vnější rekce přemýšlíme, zd je možné některou z rekcí spočítt přímo z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. 9 kn/m Q = kn 4 m c 8 m 18 kn 75 A A z b B B z Není-li možné spočítt některou z rekcí z globálních podmínek rovnováhy, je nutné konstrukci rozdělit n jednotlivé desky zvést vnitřní rekce. Osmělou sílu působící do vnitřního kloubu umístíme n jednu z desek. Vzniklé lichoběžníkové ztížení rozdělíme n ztížení trojúhelníkové rovnoměrné. Nesmíme zpomenout spočítt pořdnici (hodnotu) spojitého ztížení ve vnitřním kloubu, která je jiná než ve vrcholu. 3

35 PODPOROVÉ REAKCE 9 I Q 3 = 1 4, 5 6 Q = 4, Q 1 = 1 4, 5 6 c 4 4,5 4,5 C C z C z c II C A A z b B B z N kždé desce můžeme sestvit tři nezávislé podmínky rovnováhy sestvit tk soustvu šesti rovnic o šesti neznámých. Toto je možné zjednodušit zvolením vhodných momentových podmínek bodů kolem, kterých budeme příslušnou podmínku počítt. Vyjádřením momentové podmínky rovnováhy kolem bodu (desk I) bodu b (desk II) dostneme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých. desk I : desk II b : C 3 C z 6 + 4, , = 0 C 5 C z , cos 75 = 0 3 C 6 C z = C z 3 C z = 67, 817 C C z = 18, 741 kn = 8, 69 kn Zbylé rekce dopočítáme z podmínek rovnováhy n jednotlivých deskách. Desk I: : A z + C z Q Q 3 = 0 A z + 8, 69 4, , 5 6 = 0 A z : A + C = 0 Desk II: = 31, 871 kn A + ( 18, 741) = 0 A = 18, 741 kn : C z + B z Q 1 18 sin = 0 8, 69 + B z 1 4, , = 0 B z = 54, 516 kn : C + B 18 cos 75 = 0 ( 18, 741) + B 18 0, 59 = 0 B = 14, 8 kn 33

36 PODPOROVÉ REAKCE Kontrol: pomocí silových podmínek rovnováhy n celé konstrukci. : A z Q 18 sin 75 + B z = 0 31, , , = 0 splněno : A + B 18 cos 75 = 0 18, ( 14, 8) 18 0, 59 = 0 splněno Příkld.5.3 Vypočtěte všechny vnitřní vnější rekce n konstrukci ztížené sněhem větrem. 4 kn/m 3 kn/m 1 kn/m ,5 7,5 15 7,5 7,5 15 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 3 3 ( ) = 0 SUK. Zvedeme vnější rekce přípdně spočítáme náhrdní břemen spojitého ztížení. Přemýšlíme, zd je možné některou z rekcí spočítt z globálních podmínek rovnováhy. 4 kn/m Q 1 = kn/m d 1 Q3 = 1 4 B b c Q = kn/m 3 M b A B z C 34

37 PODPOROVÉ REAKCE : B = 0 B = 60 kn Není-li možné spočítt dlší rekci z globálních podmínek, musíme konstrukci rozdělit n jednotlivé desky řešit podmínky rovnováhy n příslušných deskách smosttně. Po rozdělení musíme ve vnitřním kloubu zvést vnitřní rekce. Ve vnitřním kloubu budou pouze silové rekce, jenž jsou n sebe vzájemně kolmé, jejich počet odpovídá počtu stupňů volnosti, které kloub odebírá. Kloub spojující tři desky bude tedy odebírt 4 volnosti budou v něm 4 silové rekce. (Vypočteno podle vzorce s = (n 1), kde n je počet prutů, které kloub spojuje.) 1 kn/m Q L 1 = 4 15 Q P 1 = kn/m 4 kn/m Q 3 I d D I D I z D I z D II z D II D II z d III 3 kn/m Q D I D II A II c C B b M b B z Řešení podmínek rovnováhy n jednotlivých deskách zčínáme s deskou, n kterou působí co nejnižší počet neznámých rekcí minimum ztížení. Desk I: d : D I = 0 D I = 4 kn : A , 5 = 0 A = 10, 8 kn : A + D I z 4 15 = 0 D I z = 49, kn Desk III: d : D II = 0 DII = 36 kn : C , = 0 C = 49, kn 3 : C + D II z 4 15 = 0 D II z 35 = 10, 8 kn

38 PODPOROVÉ REAKCE Desk II: d : B z D I z D II z = 0 B z = 60 kn : M b B 4 = 0 M b = 1440 knm Kontrol: pomocí globálních podmínek rovnováhy n celé konstrukci. d : A + B z + C 4 30 = 0 splněno : A 15 B 4 M b C = 0 splněno 3 36

39 PODPOROVÉ REAKCE.6 Výpočet rekcí tuhé desky pomocí PVP Příkld.6.1 Pomocí PVP vypočtěte podporové rekce tuhé desky v rovině. F 1 = 15 kn F = 10 kn M = 8 knm 3 4 F 3 = 10 kn [m] Řešení: zvedeme kldné směry rekcí. A F 1 = 15 kn C F = 10 kn M = 8 knm F 3 = 10 kn B Myšlenk: uvolníme 1 volnosti odpovídjící řešené rekci (odstrníme podporu způsobující hlednou rekci) konstrukce se může pohybovt. Podmínk: musíme být schopni určit pohyb konstrukce. Hledáme tedy střed otáčení průsečík dvou pprsků zbylých rekcí (npř. pevný kloub) nebo směr posunutí posun kolmo n dvě zbylé rekce, které jsou rovnoběžné. 37

40 PODPOROVÉ REAKCE A střed otáčení F 1 = 15 kn δϕ A M = 8 knm uvolněná vzb C F = 10 kn F 3 = 10 kn B Pro určení rekce C tedy odebereme kyvný prut budeme hledt způsob pohybu konstrukce: zbylé dvě rekce A B se protínjí v jednom bodě střed otáčení; otočíme konstrukcí kolem středu otáčení oznčíme změnu pootočení konstrukce δϕ A ; npíšeme podmínku rovnováhy práce δw, kde budeme sčítt virtuální práci, kterou musí vykont ztížení hledná rekce C, tk by se konstrukce otočil; ve výsledku víme, že konstrukce se otáčet nemůže (je stticky určitá) δw = 0. δw = 0 δw = 15 δw F δw F + 10 δw F3 + 8 δϕ A + C δw C 0 = 15 δw F δw F + 10 δw F3 + 8 δϕ A + C δw C 0 = 15 3 δϕ A + 10 δϕ A δϕ A + 8 δϕ A + C 7 δϕ A Tto rovnice připomíná momentovou podmínku rovnováhy po vytknutí členu δϕ A je možné vypočítt rekci C. 0 = ( C 7) δϕ A C = 16, 143 kn 38

41 PODPOROVÉ REAKCE A F 1 = 15 kn δϕ C střed otáčení C F = 10 kn M = 8 knm B uvolněná vzb F 3 = 10 kn Podobným postupem vypočteme rekci B: uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; pprsky přípdných rekcí vzniklých ve zbývjících podporách se protínjí v jednom bodě střed otáčení; ntočíme konstrukci kolem středu otáčení oznčíme změnu pootočení konstrukce δϕ C ; sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci B. δw = 0 δw = 15 δw F1 10 δw F 10 δw F3 8 δϕ A B δw B 0 = 15 δw F1 10 δw F 10 δw F3 8 δϕ A B δw B 0 = 15 4 δϕ C 10 δϕ C 10 4 δϕ C 8 δϕ C B 7 δϕ C 0 = ( B 7) δϕ C B = 1, 143 kn 39

42 PODPOROVÉ REAKCE A uvolněná vzb F 1 = 15 kn C F = 10 kn M = 8 knm B δu posunutí F 3 = 10 kn δu Výpočet rekce A: uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; pprsky přípdných rekcí vzniklých ve zbývjících podporách jsou rovnoběžné střed otáčení je v nekonečnu konstrukce se posune; posuneme konstrukci v kolmém směru n pprsky zbývjících rekcí oznčíme změnu posunutí δu; sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci A. δw = 0 δw = A δu 10 δu 10 δu 0 = A δu 10 δu 10 δu 0 = (A 10 10) δu A = 0 kn Rovnice připomíná vodorovnou podmínku rovnováhy. Příkld.6. Pomocí PVP vypočtěte všechny vnější rekce n složené soustvě. F 1 = 10 kn f1 = 10 kn/m f = 6 kn/m [m] 40

43 PODPOROVÉ REAKCE Řešení: zvedeme řešenou rekci uvolníme vzbu, která tuto rekci vyvozuje. δu o 1 I δϕ 1 δϕ II o o 1 B z Budeme hledt bsolutní reltivní středy otáčení. Absolutní střed otáčení O i kždá desk má svůj vlstní bsolutní (hlvní) střed otáčení. Pro nlezení hledáme nejprve bod, který se nemůže posunout v žádném směru pevný kloub n desce I bude hlvní střed otáčení desky I O 1. Reltivní střed otáčení O ij je bod, ve kterém se desky vzájemně otáčejí (kždá se může otáčet o jiný úhel), le jsou spojené, tudíž posun δu nebo obecný δs je pro obě desky stejný vnitřní kloub spojující desky I II je reltivní střed otáčení O 1. Absolutní střed otáčení desky II pk bude ležet n průsečíku spojnice O 1 O 1 s pprskem rekce, která by vznikl ve zbylém posuvném kloubu n desce II bsolutní střed otáčení desky II O. Zvedeme deformci konstrukce tk, že v reltivním středu otáčení O 1 konstrukci posuneme o výchylku δu tím nám vznikne dvojice ntočení δϕ 1 δϕ vycházející z bsolutních středů otáčení příslušné desky. Sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci B z. Ztížení působící n desku I bude ovlivňovt δϕ 1 ztížení působící n desku II ovlivní δϕ. δw = 0 δw = 10 δu F δu f δu f B z δu Bz 0 = 10 δu F δu f δu f B z δu Bz 0 = 10 5 δϕ δϕ δϕ B z 5 δϕ Pro vyřešení rovnice je potřeb vyjádřit vzájemný vzth mezi δϕ 1 δϕ δϕ 1 4 = δu = δϕ 3 δϕ 1 = 3 4 δϕ Po doszení vzthu δϕ 1 δϕ do předchozí rovnice práce, je možné vypočítt rekci B z. 0 = δϕ δϕ δϕ B z 5 δϕ 0 = ( B z 5) δϕ B z = 6, 5 kn 41

44 PODPOROVÉ REAKCE Řešení rekce B : uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; Hledáme bsolutní středy otáčení n desce I je pevný kloub (nemůže se posouvt) pevný kloub n desce jedn bude bsolutní střed otáčení desky I O 1 ; Vnitřní kloub spojující desky I II je reltivní střed otáčení O 1 ; N průsečíku spojnice O 1 O 1 s pprskem rekce, která by vznikl ve zbylém posuvném kloubu n desce II, bude ležet bsolutní střed otáčení desky II. Ale tyto pprsky jsou rovnoběžné (průsečík je v nekonečnu) desk II se nebude otáčet, le posouvt; Zvedeme deformci konstrukce tk, že v reltivním středu otáčení O 1 konstrukci posuneme o výchylku δu tím nám vznikne ntočení δϕ 1 n desce I posunutí δu n desce II; Sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci B. Ztížení působící n desku I bude ovlivňovt δϕ 1 ztížení působící n desku II ovlivní δu. δu δu o 1 I δϕ 1 II B o 1 δw = 0 δw = 10 δu F δu f 1 + B δu 0 = 10 δu F δu f 1 + B δu Pro vyřešení rovnice je potřeb vyjádřit vzájemný vzth mezi δϕ 1 δu. δu = δϕ 1 4 Po doszení vzthu δϕ 1 δu do předchozí rovnice práce, je možné vypočítt rekci B. 0 = 10 5 δϕ δϕ 1 + B 4 δϕ 1 0 = ( B 4) δϕ 1 B = 19, 167 kn 4

45 δs PODPOROVÉ REAKCE Řešení rekce A z : Uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; Hledáme bsolutní středy otáčení n desce II je pevný kloub (nemůže se posouvt) pevný kloub n desce dv bude bsolutní střed otáčení desky II O ; Vnitřní kloub spojující desky I II je reltivní střed otáčení O 1 ; N průsečíku spojnice O O 1 s pprskem rekce, která by vznikl ve zbylém posuvném kloubu n desce I bude ležet bsolutní střed otáčení O 1 desky I; Zvedeme deformci konstrukce tk, že v reltivním středu otáčení O 1 konstrukci posuneme o výchylku δs (výchylku zvádíme kolmo n spojnici O 1 O O 1. Tím nám vznikne ntočení δϕ 1 n desce I ntočení δϕ n desce II. Sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci A z. Ztížení působící n desku I bude ovlivňovt δϕ 1 ztížení působící n desku II ovlivní δϕ. o 1 I II δϕ δϕ 1 o o 1 A z 6,667 (z podobnosti trojúhelníků) δw = 0 δw = 10 δs F δs f δs f + A z δs Az 0 = 10 δs F δs f δs f + A z δs Az 0 = 10 5 δϕ δϕ δϕ + A z 6, 667 δϕ 1 Pro vyřešení rovnice je potřeb vyjádřit vzájemný vzth mezi δϕ 1 δϕ. δs = δϕ = 6, δϕ 1 δϕ = 1, 333 δϕ 1 Po doszení vzthu δϕ do předchozí rovnice práce, je možné vypočítt rekci A z. 0 = ( , A z 6, 667) δϕ 1 A z = 3, 496 kn 43

46 PODPOROVÉ REAKCE Řešení rekce A : Uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; Hledáme bsolutní středy otáčení n desce II je pevný kloub (nemůže se posouvt) pevný kloub n desce II bude bsolutní střed otáčení desky II O ; Vnitřní kloub spojující desky I II je reltivní střed otáčení O 1 ; N průsečíku spojnice O O 1 s pprskem rekce, která by vznikl ve zbylém posuvném kloubu n desce I, bude ležet bsolutní střed otáčení O 1 desky I; Absolutní střed otáčení desky I O 1 je totožný s reltivním bodem otáčení O 1 zároveň je součástí desky II. Desk II tedy obshuje dv pevné body (O 1 O ) nemůže se pohybovt. Jediná možná deformce je otočení desky I o δϕ 1 ; Sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci A. Ztížení působící n desku I bude ovlivňovt δϕ 1 ztížení působící n desku II nebude mít n celkovou práci vliv (díky nulové deformci). δϕ 1 o 1 o 1 I II δϕ o A δs = r δϕ δs = 0 δϕ = 0 δw = 0 δw = 10 δu F δu f 1 A δu A 0 = 10 δu F δu f 1 A δu A 0 = 10 1 δϕ δϕ 1 A 4 δϕ 1 0 = ( A 4) δϕ 1 A = 10, 833 kn 44

47 PODPOROVÉ REAKCE Příkld.6.3 Pomocí PVP vypočtěte rekci B zdné konstrukce. 10 knm 0 kn 10 kn B [m] Řešení: uvolníme vzbu ve směru hledné rekce + oznčíme jednotlivé desky. Následně budeme hledt bsolutní středy otáčení (O 1, O, O 3 ) reltivní (O 1 O 3 ). Absolutní středy otáčení n dekách I III budou v pevných kloubech O 1 O 3. Reltivní středy otáčení budou ve vnitřních kloubech mezi deskmi I II, II III O 1 O 3. Absolutní střed otáčení O desky II pk bude ležet n průsečíku spojnic O 1 O 1 O 3 O 3. Kolmo n spojnici bsolutních reltivních středů otáčení zvedeme výchylky δs 1 δs 1. Tím si určíme ntočení jednotlivých desek δϕ 1, δϕ δϕ 3. Pro lepší předstvu provedeme projekci vybočení do roviny tk, bychom názorně viděli závislosti mezi jednotlivými ntočeními δϕ i posuny δs ij. o v δϕ δϕ δs 3 o 1 I 1 o 3 III δϕ 1 δs 1 II o 1 δϕ 3 o 3 δϕ δϕ 3 o 1 o 1 o o 3 o 3 δϕ 1 δϕ L 1 L 4 45

48 PODPOROVÉ REAKCE Podmínku práce δw = 0 poté sestvíme po jednotlivých deskách. Vždy počítáme ztížení působící n desku krát deformce příslušné desky (síl posun nebo moment pootočení). δw = 0 δw = 10 δs I 10 δϕ 0 δs III + B δs II 0 = 10 δs I 10 δϕ 0 δs III + B δs II 0 = 10 δϕ 1 10 ϕ 0 1 δϕ 3 + B 1 δϕ Nyní musíme vyjádřit vzájemný vzth δϕ 1, δϕ δϕ 3. Nezbytné hodnoty pro toto vyjádření musíme dopočítt ze soustvy rovnic jedná se o l 1, l v. l 1 + l = 5 Z desky I: n vzdálenosti m... stoupne o 3 m n vzdálenosti l 1... stoupne o v v = 3 l 1 Z desky III: n vzdálenosti 4 m... stoupne o 3 m n vzdálenosti l... stoupne o v v = 3 l 4 Soustv rovnic: l 1 + l = 5 3 l 1 = 3 4 l l 1 l = 1, 667 m = 3, 333 m v =, 5 m 1 = l = 1, 333 m δs 1 = + 3 δϕ 1 = 1, 667 +, 5 δϕ δϕ 1 = 0, 833 δϕ δs 3 = 3, 333 +, 5 δϕ = δϕ 3 δϕ 3 = 0, 833 δϕ δw = 0 δw = 10 (0, 833 δϕ ) 10 ϕ 0 1 (0, 833 δϕ ) + B 1, 333 δϕ 0 = 10 (0, 833 δϕ ) 10 ϕ 0 1 (0, 833 δϕ ) + B 1, 333 δϕ 0 = (10 0, , B 1, 333) δϕ B = 7, 50 kn 46

49 3 VNITŘNÍ SÍLY 3 Vnitřní síly 3.1 Vnitřní síly n příhrdových konstrukcích Příkld Vypočtěte podporové rekce osové síly ve všech prutech příhrdové konstrukce s využitím styčníkové metody (metody styčných bodů) kn 0 kn 10 kn kn [m] Řešení: Výpočet sttické určitosti = počet styčníků (hmotné body) počet prutů (kyvné pruty) vnějších podpor. s = 5 ( ) = 0 SUK. Zvolíme kldné směry vnějších rekcí v podporách jejich velikost vypočteme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. A 5 kn 0 kn 10 kn A z B 10 kn : A + 10 = 0 A = 10 kn : B = 0 B = 17, 5 kn : A z + B = 0 A z = 17, 5 kn Kontrolu je možné provést momentovou podmínkou rovnováhy kolem libovolného bodu (ideálně tkového, kterým neprochází ni jedn z vypočtených rekcí). 47

50 3 VNITŘNÍ SÍLY Osové síly budeme řešit ze silových podmínek rovnováhy v jednotlivých styčnících. Vyjmeme styčník do přerušených prutů zvedeme vnitřní (osové = normálové) síly. Směr zvedení MUSÍ BÝT tkový, že kldná síl směřuje ven z prutu kldná osová síl vyvozuje v prutu TAH, záporná TLAK. Postupně řešíme jednotlivé styčníky je snhou brát tkové, ve kterých jsou mimálně dvě neznámé. 5 A N 1 A z α N 3 5 A N 1 A z α N 3 tg α = 3 /4 α = 36, 87 : A z 5 N 3 sin α = 0 N 3 = 0, 833 kn : A + N 1 + N 3 cos α = 0 N 1 = 6, 666 kn N 3 α N 4 β N 7 tg β = 3 / β = 56, 31 : N 3 sin α + N 4 sin β = 0 N 4 = 15, 03 kn : N 3 cos α + N 4 cos β + N 7 = 0 N 7 = 5 kn 0 N N 1 β β N 4 N 5 : 0 N 4 sin β N 5 sin β = 0 N 5 = 9, 014 kn : N 1 + N N 4 cos β + N 5 cos β = 0 N = 10 kn N α N 6 10 B : B 10 N 6 sin α = 0 N 6 = 1, 5 kn kontrol: : N N 6 cos α = 0 splněno Zbývjící styčník, který jsme dosud nepoužili, je možné využít ke kontrole. N 5 N 6 β α : N 5 sin β + N 6 sin α = 0 splněno 10 : N 5 cos β + N 6 cos α N = 0 splněno N 7 48

51 3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.1. Vypočtěte osové síly v oznčených prutech příhrdové konstrukce určete zd jsou nmáhány them nebo tlkem. Řešení: Výpočet sttické určitosti s = 1 ( ) = 0 SUK. K řešení využijeme průsečné metody konstrukci rozdělíme řezem n dvě části, zvedeme vnější rekce v přetnutých prutech zvedeme osové síly. Řez konstrukcí volíme tk, by protínl (ideálně) tři neznámé osové síly. Řez může být libovolně zkřivený. 49

52 3 VNITŘNÍ SÍLY 15 kn 5 kn 10 kn 0 kn β N 3 N N N3 A N 1 N 1 β d 0 kn řez konstrukcí α B C Hledné osové síly vypočteme z podmínek rovnováhy n vybrné části konstrukce. Nší snhou je, si vybrt jednodušší část konstrukce ještě před sestvením podmínek rovnováhy n části konstrukce je nutné dopočítt potřebné podporové rekce. Osové síly budeme tedy počítt z levé části je nutné dopočítt rekci A. Hlednou rekci dopočteme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci: d : A + 15 C cos α = 0 A =? tg α = 4 / α = 63, 435 : 4 C sin α = 0 C = 0, 963 kn A = 5, 65 kn Výpočet osových sil z podmínek rovnováhy n levé části konstrukce: : N 1 3 A = 0 N 1 = 1, 04 kn prut je tlčený : A + N 1 + N 3 cos β + 15 = 0 N 3 = 15, 03 kn prut je tlčený tg β = 3 / β = 56, 31 : N N 3 sin β 5 10 = 0 N =, 5 kn prut je tlčený 50

53 3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld Vypočtěte všechny osové síly v prutech podporové rekce příhrdové konstrukce. 0 kn 10 kn 15 kn 0,6 10 kn 0 kn 1, 0,6 5 kn 0,9 0,9 0,9 [m] Řešení: Výpočet sttické určitosti s = 9 ( ) = 0 SUK. Konstrukce je jko celek stticky určitá, le vně je stticky neurčitá nedokážeme spočítt rekce přímo z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. K řešení tedy musíme využít jednu z následujících možností: můžeme použít kombinci průšečné styčníkové metody npříkld řezem přes pruty 13 6, sestvením momentové podmínky rovnováhy kolem bodu, kde se protínjí pruty 5 8, bychom vypočítli rekci A z zbývjící rekce je pk možné dopočítt z podmínek rovnováhy n celé konstrukci konstrukci dále můžeme řešit klsicky styčníkovou metodou; nebo využijeme toho, že máme k dispozici 9 styčníků v kždém jsme schopni npst dvě silové podmínky rovnováhy obecně to vede n soustvu 18 rovnic o 18 neznámých.vhodným pořdím řešení jednotlivých styčníků můžeme všechny osové síly rekce spočítt postupně, bez nutnosti řešit soustvu rovnic. 51

54 3 VNITŘNÍ SÍLY C A A z B 10 N 8 tg α = 0, 6 /0, 9 α = 33, 69 α : N 8 sin α 10 = 0 N 8 = 18, 08 kn N 5 : N 5 + N 8 cos α = 0 N 5 = 15 kn α 15 N 13 α : N 8 cos α + N 13 cos α = 0 N 13 = 18, 08 kn N 8 N 9 : N 8 sin α N 9 + N 13 sin α 15 = 0 N 9 = 15 kn 5

55 3 VNITŘNÍ SÍLY N 9 N 5 N 6 A A z : A z + N 9 = 0 A z = 15 kn : A N 5 + N 6 = 0 dvě neznámé pokrčovt n dlší styčník N : N 1 10 = 0 N 1 = 10 kn C : C N 14 = 0 dvě neznámé N 1 pokrčovt n dlší styčník N 1 N 4 B : N 1 = 0 kn : B + N 4 = 0 dvě neznámé pokrčovt n dlší styčník 5 N N 3 β tg β = 1, /0, 9 β = 53, 13 : N 1 + N 3 cos β + 5 = 0 N 3 = 8, 333 kn N 1 : N + N 3 sin β = 0 N = 6, 666 kn 53

56 3 VNITŘNÍ SÍLY N 6 N 10 N N 7 : N + N 10 = 0 N 10 = 6, 666 kn : N 6 + N 7 = 0 dvě neznámé pokrčovt n dlší styčník α N 13 0 β N 14 N 11 N 10 : N 10 N 11 sin β N 13 sin α 0 = 0 N 11 = 45, 833 kn : N 11 cos β N 13 cos α + N 14 = 0 N 14 = 4, 5 kn zpětným doszením do : C N 14 = 0 C = 4, 5 kn N 11 N 1 N 7 β β 0 : N 3 sin β N 4 + N 11 sin β + N 1 = 0 N 4 = 40 kn N3 N 4 : N 3 cos β N 7 N 11 cos β 0 = 0 N 7 = 1, 5 kn zpětným doszením do : B + N 4 = 0 B = 40 kn : N 6 + N 7 = 0 N 6 = 1, 5 kn : A N 5 + N 6 = 0 A = 7, 5 kn 54

57 3 VNITŘNÍ SÍLY Kontrol: pomocí globálních podmínek rovnováhy : A z + B = 0 splněno : A C = 0 splněno 55

58 3 VNITŘNÍ SÍLY 3. Vnitřní síly n přímých nosnících Příkld 3..1 N nosníku určete průběhy vnitřních sil. z 5 kn 3 knm 60 d c b 8 kn [m] Řešení: zvedeme rekce, jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci oznčíme n konstrukci spodní vlákn. b : 5 cos A = 0 A = 10, 5 kn : A z 6 5 sin = 0 A z = 8, kn : A z 5 sin 60 + B = 0 B = 3, 89 kn 5 kn 4,33 kn 3 knm A 60 =10,5 kn,5 kn spodní vlákn A z =8, kn B=-3,89 kn 8 kn Při řešení vnitřních sil V, M, N použijeme znménkovou konvenci: N M V M N spodní vlákn V Výpočet vnitřních sil - sestvení nlytického vyjádření výpočet vnitřních sil v počátečních koncových bodech příslušného intervlu: intervl (; c) (řešíme zlev) 56

59 3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = A z = 8, kn = A z = 8, M c = 0 knm M c = 8, = 16, 44 knm = A = 10, 5 kn intervl (c; d) (řešíme zlev) - opíšeme předchozí intervl přidáme členy z intervlu (c; b) V () = A z 5 sin 60 = 8, 4, 33 = 3, 89 kn M () = A z 5 sin 60 ( ) = 8, 4, 33 ( ) = 3, , 66 M cd = 3, , 66 = M c = 16, 44 knm M dc = 3, , 66 = 4, knm N () = A 5 cos 60 = 10, 5, 5 = 8 kn intervl (d; b) (řešíme zprv) V ( ) M ( ) N ( ) = B = ( 3, 89) = 3, 89 kn = B = 3, 89 M bd = 0 knm M db = 3, 89 = 7, 78 knm = 8 kn Finální vykreslení provedeme tk, že vyneseme hodnoty v krjních bodech intervlů ty spojíme příslušnou funkcí. normálová síl: kldné hodnoty kreslíme zprvidl nd osu prutu, záporné pod osu prutu; posouvjící síl: kldné hodnoty kreslíme zprvidl nd osu prutu, záporné pod osu prutu; ohybový moment: kreslíme VŽDY n strnu tžených vláken bez ohledu n znménko. Zároveň pltí, že kldný ohybový moment vyvozuje th n strně spodních vláken kldný moment tedy vyneseme n strnu čárkovné čáry. 57

60 3 VNITŘNÍ SÍLY V 8, 3,89 [kn] -7,78 M [knm] 16,44 4, N 10,5 8,0 [kn] Příkld 3.. N nosníku určete průběhy vnitřních sil 4 kn/m 3 kn z b 6 c [m] Řešení: zvedeme rekce, jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. : A = 0 kn b : A z = 0 A z = 11 kn : B 3 = 0 B = 16 kn 3 m Q = 4 6 A =0 kn b 3 kn c A z =11 kn spodní vlákn B=16 kn Výpočet vnitřních sil intervl (; b) - řešíme zlev 58

61 3 VNITŘNÍ SÍLY V () = 11 4 V b = 11 kn V b = = 13 kn přechodový průřez p : 0 = 11 4 p p = 11 4 =, 75 m M () N () = 11 4 M b = 0 knm M b = = 6 knm mimální moment M m M m = 11, 75 4,75 = 15, 15 knm = 0 kn intervl (b; c) - řešíme zprv V ( ) M ( ) N ( ) = 3 kn = 3 M cb = 0 knm M bc = 6 knm = 0 kn V M 11 p =,75 m -7, [kn] [knm] 15,15 N [kn] 59

62 3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3..3 N nosníku s převislým koncem určete průběhy vnitřních sil kn 4 kn/m 60 b c z 1,5 4 [m] Řešení: zvedeme rekce, jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. c : A 4 cos 60 4 = 0 A = 8 kn : A z 4 5, 5 4 sin = 0 A z = 37, 178 kn : A z 4 sin B = 0 B = 1, 3 kn kn b A =8 kn 4 sin 60 4 = 13, 856 kn 4 4 = 16 kn 60 4 kn/m c 4 cos 60 4 = 8 kn A z =37,178 kn B=-1,3 kn Výpočet vnitřních sil intervl (; b) V () M () N () = kn = M b = 0 knm M b = 1, 5 = 33 knm = 0 kn intervl (b; c) šikmé spojité ztížení rozdělíme n svislou složku f z vodorovnou složku f 60

63 3 VNITŘNÍ SÍLY 4 kn/m 60 f = 4 cos 60 = kn/m f z = 4 sin 60 = 3, 464 kn/m V () = + A z f z ( 1, 5) = 15, 178 3, 464 ( 1, 5) M () V bc = 15, 178 3, 464 (1, 5 1, 5) = 15, 178 kn V cb = 15, 178 3, 464 (5, 5 1, 5) = 1, 3 kn = + A z ( 1, 5) f z ( 1,5) M bc = 1, , 178 (1, 5 1, 5) 3, 464 (1,5 1,5) = 33 knm M cb = 5, , 178 (5, 5 1, 5) 3, 464 (5,5 1,5) = 0 knm N () = A + f ( 1, 5) = 8 + ( 1, 5) N bc = 8 + (1, 5 1, 5) = 8 kn N cb = 8 + (5, 5 1, 5) = 0 kn 15,178 1,3 [kn] [knm] [kn] -8 61

64 3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3..4 N nosníku ztíženém spojitým trojúhelníkovým ztížením určete průběhy vnitřních sil 4 kn/m z b 6 [m] Řešení: zvedeme rekce, jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. Vodorovná rekce v pevném kloubu bude nulová, protože n konstrukci nepůsobí žádné vodorovné ztížení. b : A = 0 A = 4 kn : A + B = 0 B = 8 kn = 1 kn 4 kn/m b A=4 kn B=8 kn A) Řešení vnitřních sil zlev: Nejprve si vyjádříme funkci spojitého ztížení f () Q() kn/m f() 6 6

65 3 VNITŘNÍ SÍLY Z podobnosti trojúhelníků plyne f () = 4 6 f () = 3 Potom náhrdní břemeno Q () určíme jko Q () = 1 f () = 1 = 3 3 Ohybový moment v průřezu určíme podle M () = Q () = Nyní můžeme zpst funkce vnitřních sil vypočítt hodnoty ve význmných průřezech. intervl (; b) V () M () N () = A Q () = 4 3 V b = = 4 kn V b = = 8 kn přechodový průřez p : V p = 0 4 p 3 = 0 p = 1 = 3, 464 m = A Q () = M b = = 0 knm M b = = 0 knm mimální moment M m : M m = 4 p 3 p 9 = 0 kn = 9, 38 knm B) Řešení vnitřních sil zprv: Spojité trojúhelníkové ztížení si vyjádříme jko součet spojitého rovnoměrného ztížení trojúhelníkového ztížení, které působí s opčnou orientcí. Q( ) 4 kn/m 4 kn/m f( ) kn/m 4 kn/m 6 Dále postupujeme podobně jko v řešení vrinty A f ( ) = 4 6 f ( ) = 3 Q ( ) = 1 f ( ) = 3 63

66 3 VNITŘNÍ SÍLY intervl (; b) V ( ) M ( ) N ( ) = V b = = 8 kn V b = = 4 kn přechodový průřez p : V p = p p = 0 p 1 p + 4 = 0 D = = 48 p1, = 1± 48 p1 = 9, 464 m vzdálenost mimo řešený intervl p =, 536 m p =, 536 m = B 4 + Q 3 = M b = = 0 knm M b = = 0 knm mimální moment M m : M m = 8 p 4 p + 3 p 9 = 0 kn = 9, 38 knm 4 [kn] p = 3, 464 m -8 p =, 536 m [knm] 3 9,38 [kn] 64

67 3 VNITŘNÍ SÍLY 3.3 Vnitřní síly n lomených nosnících Příkld N lomeném nosníku určete průběhy vnitřních sil 6 kn c e b 4 3 kn/m d 6 4 [m] Řešení: rekce určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. : 6 A = 0 A = 6 kn : B = 0 B = 7, 8 kn : A z , 8 = 0 A z = 10, kn 6 kn c e b 3 Q = 3 6 = 18 kn B=7,8 kn A = 6 kn 3 kn/m A z =10, kn d Určení vnitřních sil intervl (c; ) 65

68 3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = 6 kn = 6 M c = 0 knm M c = 4 knm = 0 kn intervl (; d) V () M () N () = A z 3 V d = A z = 10, kn V d = A z 3 6 = 7, 8 kn přechodový průřez p : V p = 0 10, 3 p = 0 p = 3, 4 m = A z 3 M d = 4 knm M d = , = 31, knm mimální moment M m : M m = , 3, 4 3 3,4 = 41, 34 knm = = 0 kn intervl (b; e) V () M () N () = B = 7, 8 kn = B M be = 0 knm M eb = 7, 8 4 = 31, knm = 0 kn intervl (e; d) V () M () N () = 0 kn = 7, 8 4= 31, knm = B = 7, 8 kn 66

69 3 VNITŘNÍ SÍLY 6-7,8-7,8 V [kn] 10, 6 p = 3, 4 m -7,8 31, M [knm] N [kn] 7,8-4 31, 4 41,34 7,8 31, 67

70 3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.3. N lomeném nosníku určete průběhy vnitřních sil ve styčníku c zkontrolujte rovnováhu vnitřních sil. 4 kn f 4 kn e 1 kn c d b 1 [m] Velikosti rekcí určíme z podmínek rovnováhy n nosníku. : B = 4 kn : B z = 0 B z = 16 kn : A = 0 A = 0 kn 4 kn f e 4 kn 1 kn c d b B = 4 kn A= 0 B z =16 kn Zvolíme spodní vlákn vykreslíme průběhy vnitřních sil. intervl (; b) 68

71 3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = 0 kn = 0 knm = 0 kn intervl (b; c) - řešíme od spodního konce V () M () N () = B = 4 kn = 4 M bc = 0 knm M cb = 4 = 8 knm = B z = 16 kn intervl (d; c) - řešíme zprv V () M () N () = 1 kn = 1 M dc = 0 knm M cd = 1 = 4 knm = 0 kn intervl (f; e) - řešíme zlev V () M () N () = 4 kn = 4 M fe = 0 knm M ef = 4 = 8 knm = 0 kn intervl (e; c) - řešíme od horního konce V () M () N () = 4 kn = M ec = 8 knm M ce = 16 knm = 4 kn 69

72 3 VNITŘNÍ SÍLY V [kn] M [knm] N [kn] -8 f e-4 f -4 e 8 f -4 1 c d -8 c 16 d e c -4 d b -4 b b -16 Kontrol rovnováhy ve styčníku c : 4 4 = 0 : = = 0 :

73 3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld N lomené konzole vykreslete průběhy vnitřních sil 5 knm b c 10 kn d 4 3 kn/m 1,5,5 [m] 5 knm b c 10 kn d 3 kn/m Vnitřní síly budeme řešit od volných konců, rekce tudíž nepotřebujeme. intervl (b; c) V () M () N () = 0 kn = 5 knm = 0 kn intervl (d; c) 71

74 3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = 10 kn = 10 M dc = 0 knm M cd = 5 knm = 0 kn Vypočtené průběhy vnitřních sil vykreslíme. Z rovnováhy dopočteme hodnoty vnitřních sil pod styčníkem c V c =0 kn M c =-0 knm N c =-10 kn Dopočítáme vnitřní síly n intervlu (c; ). V () = V c = 0 kn, V c = 1 kn M () N () = 0 3 M c = 0 knm M c = = 10 kn = 44 knm b 10 c 10 d -5-5 b -0-5 c d b c -10 d V [kn] M [knm] N [kn]

75 3 VNITŘNÍ SÍLY 3.4 Vnitřní síly n nosnících se šikmým prutem Příkld N šikmém nosníku určete průběhy vnitřních sil. z c s F 1 = 6kN F = 1kN d 3 0,75 b 1 [m] Zvedeme rekce určíme jejich velikost z podmínek rovnováhy n nosníku. : B 6 = 0 B = 6 kn b : A 4 6 3, 75 1 = 0 A = 11, 65 kn : A 1 + B z = 0 B z = 0, 375 kn Pro výpočet V N je třeb rozložit ztížení do směru kolmého ke střednici do směru střednice nosníku: délk nosníku l = 5 + 3, 75 = 6, 5 m cos α = 5 6,5 = 0, 8 sin α = 3,75 6,5 = 0, 6 F 1 cos α = 6 0, 8 = 4, 8 kn F 1 sin α = 6 0, 6 = 3, 6 kn F cos α = 1 0, 8 = 9, 6 kn F sin α = 1 0, 6 = 7, kn 73

76 3 VNITŘNÍ SÍLY 3,6 kn c 4,8 kn A cosα 1,5,5 F 1 = 6kN α F = 1kN α α A sinα A=11,65 kn 7, kn 9,6 kn,5 α B =6 kn b B z =0,375 kn [m] intervl (c; ) V (s) M (s) = 3, 6 kn = 3, 6 s M c = 0 knm M c = 3, 6 1, 5 = 4, 5 knm Ohybový moment lze rovněž vyjdřovt jko funkce proměnných z. M (z) = F 1 z M c = 0 knm, M c = 6 0, 75 = 4, 5 knm Pozor, v tomto přípdě nepltí Schwedlerov vět. N (s) = 4, 8 kn intervl (; d) V (s) = 3, 6 + A cos α = 3, , 65 0, 8 = 5, 7 kn M (s) = 3, 6 s + A cos α (s 1, 5) M d = M c = 4, 5 knm M d = 3, 6 3, , 65 0, 8, 5 = 9, 75 knm Nebo ohybový moment: M (,z) N (s) = F 1 z + A ( 1) M d = 4, 5 knm, M d = 9, 75 knm = 4, 8 + A sin α = 4, , 65 0, 6 = 11, 775 kn intervl (d; b) 74

77 5,7 3 VNITŘNÍ SÍLY V (s) = 3, 6 + A cos α 9, 6 = 3, 9 kn M (s) = 3, 6 s + A cos α (s 1, 5) 9, 6 (s 3, 75) M db = 9, 75 knm M bd = 0 knm Nebo ohybový moment: M (,z) N (s) = F 1 z + A ( 1) F ( 3) M db = 9, 75 knm, M bd = 0 knm = 4, 8 + A sin α 7, = 4, 575 kn -3,6 5,7 V [kn] -3,6-4,5-3,9 M [knm] -3,9 4,8 11,775 9,75 N [kn] 11,775 4,575 75

78 3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.4. N lomeném nosníku určete průběhy vnitřních sil. Zkontrolujte rovnováhu vnitřních sil ve styčníku c 14 knm e 8 kn d c kn/m b 4 1,5 1,5 3 [m] Řešení: Velikost rekcí určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci: b : 8 B = 0 B = 8 kn : A , 5 = 0 A = 3, 5 kn : B z A 3 = 0 B z = 9, 5 kn 8 kn d Q = 3 = 6kN 1,5 m kn/m c b B =8 kn 14 knm e B z =9,5 kn s α α A=3,5 kn Řešení vnitřních sil intervl (; e) 76

79 3 VNITŘNÍ SÍLY l b = = 5, cos α = 3 5, sin α = 4 5 V (s) = A cos α = 3, =, 1 kn Ohybový moment lze řešit buď v závislosti n proměnné s: M (s) = A cos α s =, 1 s M e = 0 knm M e =, 1, 5 = 5, 5 knm nebo lze ohybový moment vyjádřit jko funkci proměnné (v tomto přípdě nepltí Schwedlerov vět): M () = A = 3, 5 M e = 0 knm, M e = 3, 5 1, 5 = 5, 5 knm N (s) = A sin α = 3, intervl (e; c) =, 8 kn V (s) = A cos α = 3, Buď =, 1 kn M (s) = A cos α s + 14 =, 1 s + 14 nebo M ec =, 1, = 8, 75 knm M ce =, = 3, 5 knm M () = A + 14 M ec = 3, 5 1, = 8, 75 knm, M ce = 3, = 3, 5 knm N (s) = A sin α = 3, intervl (d; c) =, 8 kn V () M () N () = 8 kn = 8 M dc = 0 knm M cd = 8 = 16 knm = 0 kn intervl (b; c) 77

80 3 VNITŘNÍ SÍLY V () = B z + V bc = 9, 5 kn V cb = 9, = 3, 5 kn M () N () = B z M bc = 0 knm M cb = 9, = B = 8 kn = 19, 5 knm 8 -,1-3,5 8-9,5-5,5 16 3,5 19,5 V [kn] 8,75 M [knm] -,1, N [kn],8 Kontrol rovnováhy ve styčníku c: 78

81 3 VNITŘNÍ SÍLY c : , 5 19, 5 = 0 : 0 + 3, 5, 1 cos α, 8 sin α? = 0 3, 5, 1 3, ? = 0 0 = 0 : 8 8 +, 1 sin α, 8 cos α? = 0, 1 4, ? = 0 0 = ,5 c 19,5,8 c,1 3,5 8 Styčník je v rovnováze. Příkld N šikmém nosníku určete průběhy vnitřních sil. f =,5 kn/m f 1 =4 kn/m b c,5 0, [m] Řešení: Velikost rekcí určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci: : B = 0 kn : B z , 5 3, 5 +, 5 4 = 0 B z = 1, 5 kn : A + B z, , 5 = 0 A =, 5 kn 79

82 3 VNITŘNÍ SÍLY m Q =, 5 4 = 10kN f =,5 kn/m Q 1 = 4 1, 5 = 5kN c f 1 =4 kn/m B =0 kn b 3,5 m B z =1,5 kn 1,5m A=,5 kn Ztížení zdné n průmět nosníku je nutné přepočítt n délku střednice. f L = f L f = f L L =,5 4 5 = kn/m Q =, 5 4 = 10kN f =,5 kn/m c b f = kn/m Q = 10kN b c L = 5m L = 4m Pro výpočet V N je třeb rozložit ztížení do směru kolmého ke střednici do směru střednice nosníku: cos α = 4 = 0, 8 5 sin α = 3 = 0, 6 5 f 1 cos α = 4 0, 8 = 3, kn/m f 1 sin α = 4 0, 6 =, 4 kn/m f cos α = 0, 8 = 1, 6 kn/m f sin α = 0, 6 = 1, kn/m 80

83 3 VNITŘNÍ SÍLY f 1 cos α = 4 0, 8 = 3, kn/m f 1 sin α = 4 0, 6 =, 4kN/m f cos α = 0, 8 = 1, 6kN/m c f sin α = 0, 6 = 1, kn/m b 1,5 m α s 3,75 m Řešení vnitřních sil intervl (; b) V (s) = A cos α f cos α s V b =, 5 0, 8 = kn V b = 1, 6 3, 75 = 4 kn M (s) = A cos α s f cos α s N (s) M b = 0 knm M b = 3, 75 1, 6 3,75 = 3, 75 knm = A sin α + f sin α s N b =, 5 0, 6 = 1, 5 kn N b = 1, 5 + 1, 3, 75 = 3 kn intervl (b; c) V (s) = V b + B z cos α f 1 cos α (s 3, 75) f cos α (s 3, 75) M (s) V bc = = 6 kn V cb = 6 3, 1, 5 1, 6 1, 5 = 0 kn = M b + (V b + B z cos α) (s 3, 75) f 1 cos α (s 3,75) f cos α (s 3,75) M bc = 3, 75 knm M cb = 3, , 5 3, 1,5 1, 6 1,5 = 0 knm N (s) = N b B sin α + f 1 sin α (s 3, 75) + f sin α (s 3, 75) N bc = 3 7, 5 = 4, 5 kn N cb = 4, 5 +, 4 1, 5 + 1, 1, 5 = 0 kn 81

84 3 VNITŘNÍ SÍLY 6 V [kn] 1,5m -3, m M [knm] 1,5 3-4,5 N [kn] -1,5 8

85 3 VNITŘNÍ SÍLY 3.5 Vnitřní síly n konstrukcích se zkřiveným prutem Příkld N kružnicovém prutu stnovte průběhy vnitřních sil 5 kn/m r=4 m 4 sr r r b 4 [m] Řešení: z podmínek rovnováhy n nosníku určíme podporové rekce. b : B z 5 4 = 0 B z = 0 kn : A = 0 A = 10 kn : A B = 0 B = 10 kn m Q = 5 4 = 0kN 5 kn/m A=10 kn z 4 r s ϕ 4 b B =10 kn z B z =0 kn Dále si zvolíme jednk polární souřdnicový systém s počátkem v bodě s, jednk souřdnicovou soustvu -z s počátkem v podpoře. Mezi oběm systémy můžeme vyjádřit trnsformční vzthy: 83

86 3 VNITŘNÍ SÍLY = r sin ϕ = 4 sin ϕ z = r r cos ϕ = r (1 cos ϕ) = 4 (1 cos ϕ) Vyjádření vnitřních sil: V (ϕ) M (,z) = A sin ϕ Q (ϕ) cos ϕ = 10 sin ϕ 5 cos ϕ = 10 sin ϕ 5 4 sin ϕ cos ϕ V b = 0 kn V b = 10 0 = 0 kn = A z 5 M b = 0 knm M b = = 0 knm Q(ϕ) = 5 = 5 4 sinϕ A z ϕ r V ϕ A A sinϕ Q(ϕ) ϕ Q(ϕ) cosϕ N (ϕ) = A cos ϕ 5 4 sin ϕ sin ϕ = 10 cos ϕ 0 sin ϕ N b = 10 kn N b = 0 kn 84

87 3 VNITŘNÍ SÍLY Q(ϕ) = 5 = 5 4 sinϕ A z r N A cosϕ ϕ A Q(ϕ) sinϕ ϕ Q(ϕ) ϕ Funkci ohybového momentu lze rovněž vyjádřit jko funkci ϕ: M (ϕ) = A r (1 cos ϕ) 5 Výpočet etrému posouvjící síly V: (r sin ϕ) = 40 (1 cos ϕ) 40 sin ϕ poloh V m : V m dv = 10 cos ϕ 0 dϕ cos ϕ + 0 sin ϕ = 0 10 cos ϕ 0 cos ϕ + 0 (1 cos ϕ) = 0 10 cos ϕ 0 cos ϕ cos ϕ = 40 cos ϕ + 10 cos ϕ + 0 = 0 cos ϕ 1 = 0, 593 úhel mimo řešenou konstrukci cos ϕ = 0, 843 ϕ = 3, 54 V m = 10 sin 3, sin 3, 54 cos 3, 54 = 3, 691 kn Výpočet etrému ohybového momentu M: přechodový průřez: V ( ϕ) = 0 10 sin ϕ 5 4 sin ϕ cos ϕ = 0 cos ϕ = 1 ϕ = 60 pozn: (sin ϕ 0) = 4 sin 60 = 3, 464 m z = 4 (1 cos 60 ) = m M m vyjádrřen z M (,z) M m = ,464 = 10 knm M m vyjádrřen z M (ϕ) M m = 40 (1 cos 60 ) 40 sin (60 ) = 10 knm 85

88 3 VNITŘNÍ SÍLY V [kn] V (ϕ = 3, 51 ) = 3, 691kN r ϕ z 10 M [knm] -10 r ϕ = 60 z N [kn] -10 z -0 86

89 3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.5. N prbolickém oblouku vykreslete průběhy vnitřních sil. Středníce oblouku je prbol je dán třemi body 6 kn/m c 8 z b 5 kn [m] Souřdnice bodů prboly [m]: [0; 0] b [0; 0] c [10; 8] Výpočet podporových rekcí z podmínek rovnováhy n celké konstrukci: : A 5 = 0 A = 5 kn : B = 0 B = 15 kn : A z + B 60 = 0 A z = 45 kn 5 m Q = 6 10 = 60kN 6 kn/m c 15 m A = 5kN b 5 kn A z = 45kN B = 15kN Určení rovnice střednice nosníku: Obecnou rovnici prboly můžeme npst ve tvru: z () koeficienty, které je nutné dopočítt. = k 1 + k + k 3 kde k i jsou 87

90 3 VNITŘNÍ SÍLY bod : z (=0) = 0 = k k 0 + k 3 k 3 = 0 bod b : z (=0) = 0 = k k 0 + k 3 k = 0 k 1 bod c : z (=10) = 8 = k k 10 + k 3 8 = k ( 0 k 1 ) 10 8 = k k 1 = 0, 08 k = 0 k 1 = 1, 6 Rovnice střednice prutu: z () = 0, 08 1, 6 Směrnice tečny ke střednici: tg ϕ = dz () d = 0, 16 1, 6 c ϕ tečn z b Hodnoty posouvjící normálové síly v bodě nosníku určíme ze vzthů: V N = F h sin ϕ F v cos ϕ = F h cos ϕ F v sin ϕ F h N ϕ ϕ ϕ V ϕ F v Určíme funkce vnitřních sil v jednotlivých intervlech nosníku Intervl (; c) 88

91 3 VNITŘNÍ SÍLY V (ϕ) N (ϕ) = A sin ϕ + A z cos ϕ 6 cos ϕ = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 cos ϕ = A cos ϕ + A z sin ϕ 6 sin ϕ = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 sin ϕ M (,z) M () = A [( z)] + A z 6 pozn.: (z < 0) M () = A [ (0, 08 1, 6 )] + A z 3 =, po doszení: bod : tg ϕ = 0, , 6 = 1, 6 ϕ = 58 V c N c M c = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 0 cos ϕ = 19, 61 kn = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 0 sin ϕ = 40, 81 kn =, = 0 knm bod c : tg ϕ = 0, , 6 = 1, 6 ϕ = 0 V c = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 10 cos ϕ = 15 kn (= A z Q) N c = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 10 sin ϕ = 5 kn (= A ) M c =, = 110 knm Polohu etrému M m určíme z podmínky: dm () d = V () V (p) = 0 dm () d = 5, = 5, p + 37 p = 7, 115 m M m =, 6 7, , 115 = 131, 635 knm Polohu etrému M m můžeme rovněž určit z podmínky: V (ϕp) = 0 V (ϕp) = A sin ϕ p + A z cos ϕ p 6 p cos ϕ p = 0 / 1 cos ϕ p 0 = A tg ϕ p + A z 6 p tg ϕ p = Az A + 6 p A = p = 9 + 1, p z (tg ϕ p ) dosdíme dříve určený výrz (tg ϕ p ) = 0, 16 p 1, 6 0, 16 p 1, 6 = 9 + 1, p p = 7,4 1,04 Intervl (c; b) = 7, 115 m V (ϕ) N (ϕ) = A sin ϕ + A z cos ϕ Q cos ϕ = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 60 cos ϕ = A cos ϕ + A z sin ϕ Q sin ϕ = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 60 sin ϕ M (,z) = A [( z)] + A z Q ( 5) pozn.: (z < 0) M () = A [ (0, 08 1, 6 )] + A z Q ( 5) po doszení: M () = 0,

92 3 VNITŘNÍ SÍLY bod c : tg ϕ = 0, , 6 = 1, 6 ϕ = 0 V cb N cb M cb = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 10 cos ϕ = V c = 15 kn = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 10 sin ϕ = N c = 5 kn =, = M c = 110 knm bod b : tg ϕ = 0, , 6 = 1, 6 ϕ = 58 V bc N bc M bc = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 10 cos ϕ = 3, 71 kn = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 10 sin ϕ = 15, 37 kn = 0, = 0 knm Pro lepší předstvu o průbězích vnitřních sil je možno vyčíslit jejich hodnoty ve více bodech. bod [m] z [m] ϕ [ ] V [kn] N [kn] M [knm] , , , ,88-5,001 16,376-9,083 63, ,1-43,831 11,686-18, , ,7-3,619 4,885-9,063 18, ,68-17,745-4,381-3,848 19,600 c , 000 5, , ,68 17,745-1,76-9,334 81, ,7 3,619-9,939-1,97 56, ,1 43,831-7,358-13,995 34, ,88 5,001-5,95-14,899 15,600 b , 995 3, ,

93 3 VNITŘNÍ SÍLY V [kn] ,61 7,115 m -3,71 M [knm] ,63 7,115 m N [kn] -5-40,81-15,37 91

94 3 VNITŘNÍ SÍLY 3.6 Vnitřní síly n složených soustvách Příkld N složené soustvě vykreslete průběh vnitřních sil kn/m b c I 4 3 kn/m 5 d II e 5 [m] Nejprve určíme rekci v podpoře vnitřní rekce v kloubu d. Rekce ve vetknutí e počítt nemusíme. N desce I pltí: : D = 0 kn d : A 5 5, 5 = 0 A = 5 kn : D z = 0 D z = 5 kn kn/m Q = 5 =10 kn,5 m b I c A=5 kn D =0 kn D z =5 kn d D =0 kn d Q = 3 5 =15 kn,5 m 3 kn/m D z =5 kn II e Zvolíme spodní vlákn vypočteme vnitřní síly. intervl (; b) 9

95 3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = 0 kn = 0 knm = 5 kn intervl (b; c) V () M () N () = A = 5 V bc = 5 kn V cb = 5 kn přechodový průřez leží uprostřed intervlu = 5 M bc = 0 knm M cb = = 0 knm mimální moment M m : M m = 5, 5,5 = 6, 5 knm (= ) = 0 kn intervl (c; d) V () M () N () = 0 kn = 0 knm = A 5 = 5 kn intervl (d; e) V () = D z 3 = 5 3 V de = 5 kn V ed = 0 kn přechodový průřez n intervlu není M () N () = 5 3 M de = 0 knm M ed = = 0 kn = 6, 5 knm 93

96 3 VNITŘNÍ SÍLY 5 V [kn],5 m -5 M [knm] ,5-6,5 N [kn] Příkld 3.6. N trojkloubovém rámu určete průběhy vnitřních sil Při řešení rekcí i výpočtu vnitřních sil lze využít symetrie konstrukce ztížení. 94

97 c 3 VNITŘNÍ SÍLY 4 kn/m e g c I II d f 1 kn 1 kn 3 1,5 b 3 3 [m] Při výpočtu rekcí nejprve z podmínek rovnováhy n celé konstrukci určíme A z B z. b : A z = 0 A z = 1 kn : A z B z = 0 B z = 1 kn nebo ze symetrie : A z = B z = 4 6 = 1 kn Q = 4 6 = 4kN 4 kn/m e g c I II d f 1 kn 1 kn A B = A b A z =1 kn B z = A z =1 kn V dlším kroku vypočteme vodorovné rekce A rovnováhy n jedné z desek I nebo II. desk I : B. Určíme je z momentové podmínky : A 4, 5 + A z 3 1 1, , 5 = 0 A = 3 kn 95

98 3 VNITŘNÍ SÍLY Q 1 = 4 3 = 1kN 4 kn/m 4 kn/m e I 1,5 m c C C c II g d 1 kn C z =0 kn C z =0 kn f 1 kn A =3 kn B = A =3 kn b A z =1 kn B z = A z =1 kn Výpočet vnitřních sil: intervl (; d) V () M () N () = A = 3 kn = 3 M d = 0 knm M d = 3 3 = 9 knm = A z = 1 kn intervl (d; e) V () = 3 1 = 18 kn M () = 3 1 ( 3) M de = M d = 9 knm M ed = 3 4, 5 1 1, 5 = 18 knm N () intervl (e; c) = A z = 1 kn V () M () N () = A z 4 V ec = 1 kn V ce = 0 kn = M ed + A z 4 M ec = 18 knm M ce = = 0 knm = A 1 = 3 1 = 18 kn 96

99 3 VNITŘNÍ SÍLY N zbývjících intervlech určíme nlogicky. M N vycházejí číselně i znménkově stejně, V má opčná znménk. 1 e -18 c g d -3 f 18 V [kn] 3-3 b e c g -18 d 9 9 f M [knm] b e -1 c -1 g d f N [kn] -1-1 b Příkld N Gerberově nosníku vykreslete průběhy vnitřních sil 60 1 kn 5 kn/m d b c e f 1, [m] Řešení: nejprve řešíme rekce vnitřní sily od svislého ztížení. Od vodorovného ztížení (F = 6 kn) vniká pouze normálová síl N, kterou vyřešíme n závěr příkldu. 97

100 F z = 1 sin60 = 10, 39kN 5 kn/m 60 d b c e f F = 1 cos60 = 6kN cos60 = 0, 5 sin60 = 3 = 0, VNITŘNÍ SÍLY Než zčneme řešit rekce od svislého ztížení, určíme si hierchii nosníku. Rekce určujeme nejprve n horních, to znmená n nesených nosnících. V nšem přípdě to jsou rekce E z F z n nosníku e-f. : E z = F z = 5 3 E z = F z = 7, 5 kn Rekcemi E z, F z ztížíme spodní nesoucí nosníky pokrčujeme ve výpočtu rekcí A, B potřebných pro řešení vnitřních sil. nosník d-e b : A 4 10, 39 5, 5 + E z 1 = 0 A = 1, 414 kn : B 10, 39 + A E z = 0 B = 5, 478 kn 5 kn/m E z =7,5 kn F z =7,5 kn F z = 10, 39kN E z =7,5 kn F z =7,5 kn d b c 1 3 A=1,414 kn B=5,478 kn e Zbývjící svislé momentové rekce pro vykreslení vnitřních sil nepotřebujeme můžeme zčít řešit průběhy M V. intervl (d; ) f V (1 ) = F z = 10, 39 kn M (1 ) = 10, 39 1 M d = 0 knm M d = 10, 39 1, 5 = 15, 588 knm intervl (; b) V (1 ) = F z + A = 10, , 414 =, 0 kn M (1 ) = 10, A ( 1 1, 5) M b = M d = 15, 588 knm M b = 10, 39 5, 5 + 1, 414 (5, 5 1, 5) = 7, 5 knm 98

101 3 VNITŘNÍ SÍLY intervl (b; e) V (1 ) = F z + A + B = 10, , , 478 = 7, 5 kn = E z M (1 ) = 10, A ( 1 1, 5) + B ( 1 5, 5) M be = M b = 7, 5 knm M eb = 10, 39 6, 5 + 1, 414 (6, 5 1, 5) + 5, 478 (6, 5 5, 5) = 0 knm bod e je vnítřní kloub ohybový moment ve vnitřním kloubu = 0 intervl (e; f) V ( ) = E z 5 V ef = 7, = 7, 5 kn V fe = 7, = 7, 5 kn M ( ) = E z 5 intervl (f; c) M ef = M fe = 0 knm vnitřní klouby přechodový průřez leží uprostřed vloženého pole ( p = 1, 5 m) mimální moment M m M m = 1 8 f l = = 5, 65 kn V (3 ) = F z = 7, 5 kn M (3 ) = F z 3 = 7, 5 3 M fc = M fe = 0 knm vnitřní kloub M cf = 7, 5 3 =, 5 knm V [kn] d -10,39 M [knm] d 7,5 7,5,0,0 e b -10,39-15,588-7,5 b e f c -7,5-7,5 -,5 Společná tečn f c 5,65 Nyní můžeme přistoupit k řešení normálové síly N. N stticky určitých spojitých nosnících se veškeré vodorovné ztížení přenese prostřednictvím vnitřních kloubů do jediné neposuvné podpory. V nšem přípdě je to vetknutí. Zde vznikne jediná vnější vodorovná rekce C = 6kN. Můžeme vykreslit průběh N. 99

102 3 VNITŘNÍ SÍLY d F =6 kn b c e f C =6 kn N [kn] d b e f c

103 3 VNITŘNÍ SÍLY 3.7 Vnitřní síly n prostorově ztížených konstrukcích Příkld N prostorově ztížené konzole určete průběhy vnitřních sil z y 3 kn/m b 0 kn 0,3 0, [m] Řešení: N konzole zvedeme prvotočivý souřdný systém. Budeme řešit od volného konce, tj. ze záporné plošky (při pohledu do průřezu směřuje kldná poloos od nás). Podle znménkové konvence směřují kldné směry vektorů vnitřních sil n záporné plošce ve směru záporných poloos. M z V z M y V y N y d M z záporná plošk Řešení vnitřních sil: konstrukci si rozdělíme n jednotlivé intervly ve kterých se budou vnitřní síly skokem měnit (změn tvru průřezu, konstrukce nebo změn ztížení) - tomto přípdě pouze jeden intervl -b. Q = 3 = 6 kn 1 m 3 kn/m b 0 kn 0,3 y z 0, [m] 101

104 3 VNITŘNÍ SÍLY V z() = 3 V z V b z = 0 kn = 3 = 6 kn posouvjící síl V z vyvozuje ohybový moment M y M y() = 3 M y = 0 knm M b y = 3 = 6 knm V y() M z() = 0 kn posouvjící síl V y vyvozuje ohybový moment M z = 0 M z = 0 knm M b z = 0 = 40 knm N () = 0 kn M () = 0 0, , = 3 + 0, 3 M je lineární funkce! M = 3 knm M b = 3 + 0, 3 =, 4 knm Vnitřní síly je nutné vykreslovt ve správných rovinách, ohybové momenty se nvíc musí kreslit n strnu tžených vláken. V z, M y... v rovině z V y, M z... v rovině y N, M... můžeme vykreslovt v libovolné rovině (obvykle v rovině z) 10

105 3 VNITŘNÍ SÍLY V z [kn] -6 V y [kn] -0-6 y -0 z M y [knm] M z [knm] 40 y z M [knm] -,4 N [kn] -3 Příkld 3.7. N prostorově ztíženém sloupu určete průběhy vnitřních sil 100 kn 15 kn b 3 1 c 0,4 0, [m] Řešení: n konzole zvedeme prvotočivý souřdný systém. Vnitřní síly budeme řešit od volného konce, tj. z kldné plošky (při pohledu do průřezu směřuje kldná poloos proti nám). Podle znménkové konvence směřují kldné směry vektorů vnitřních sil n kldné plošce ve směru kldných poloos souřdného systému. 103

106 3 VNITŘNÍ SÍLY M N kldná plošk V y M y V z d M z y z Řešení vnitřních sil: konstrukci si rozdělíme n jednotlivé intervly ve kterých se budou vnitřní síly skokem měnit (změn tvru průřezu, konstrukce nebo změn ztížení) - tomto přípdě dv intervly -b b-c. 100 kn 15 kn b 3 1 y 15 kn 100 kn 0, y c z 0,4 [m] z 0,4 intervl (; b) N () V y() V z() M () = 100 kn = 0 kn = 0 kn = 0 knm M y() = 100 0, = 10 knm vyvozuje posouvjící síl V z M z() = 100 0,4 = 0 knm vyvozuje posouvjícíc síl V y intervl (b; c) 104

107 3 VNITŘNÍ SÍLY N () V y() V z() = 100 kn = 0 kn = 15 kn M () = 15 0,4 = 3 knm M y() = 100 0, + 15 (3 ) vyvozuje posouvjícíc síl V z M b y M c y = 100 0, = 100 0, + 15 (3 3) = 10 knm + 15 (3 0) = 55 knm M z() = 100 0,4 = 0 knm vyvozuje posouvjícíc síl V y Vnitřní síly je nutné vykreslovt ve správných rovinách, ohybové momenty se nvíc musí kreslit n strnu tžených vláken. V z, M y... v rovině z V y, M z... v rovině y N, M... můžeme vykreslovt v libovolné rovině N [kn] V y [kn] V z [kn] M [knm] M y [knm] M z [knm] b 10 y c z -100 y z y z -15 y z -3 y z -0 y z

108 4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY 4 Průřezové chrkteristiky 4.1 Těžiště, centrální/hlvní momenty setrvčnosti elips setrvčnosti Příkld Vypočtěte hlvní centrální momenty setrvčnosti vykreslete elipsu setrvčnosti složeného průřezu s [mm] Řešení: Nejprve určíme polohu těžiště vzhledem k pomocnému souřdnému systému y, z. Souřdnice těžišť k pomocným osám y, z plochy dílčích částí průřezů jsou: 360 y C 1 C C i y i [mm] z i [mm] A i [mm ] ,193 celková ploch Σ A ,807 [mm] Souřdnice těžiště průřezu: y c = z Sz,i Ai = (Ai y i ) Ai = ( 150) ( 360) 0106,193 ( 150) = , , ,807 y c = 05, 4 =. 05 mm Sy,i z c = (Ai z Ai = i ) Ai = , = , , ,807 z c = 199, 981. = 00 mm 106

109 4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY y 00 3 C 3 C y c C 1 C 1 z 05 [mm] z c V dlším kroku vypočteme iální momenty setrvčnosti deviční moment setrvčnosti k těžišťovým osám y c z c. I yc = (I yci + A i z i ) = = (10 00) (140 00) { π , 193 (150 00) } I yc = 18, , , =, mm 4 I zc = (I zci + A i y i ) = = ( 150 ( 05)) ( 360 ( 05)) { π , 193 ( 150 ( 05)) } I zc = 13, , , =, mm 4 D ycz c = (D yci zc i + A i y i z i ) = = ( ) (10 00) ( ) (140 00) { , 193 ( ) (150 00)} D yc z c = 0, , , = 5, mm 4 Pokud vyšel D ycz c > 0, prochází os, k níž je moment setrvčnosti mimální, druhým čtvrtým kvdrntem. Výpočet hlvních centrálních os setrvčnosti hlvních centrálních momentů setrvčnosti: Nejprve určíme úhel pootočení hlvních centrálních os: tg( α 0 ) = Dyczc I zc I yc = 5, , , = 13, 975 α 0 = 85, 91 α 0 = 4,

110 Výpočet hlvních centrálních momentů setrvčnosti: I m,min = Iyc +I zc ± ( Iyc I zc I m,min =, , ± ) + D y cz c I m = 8, mm 4 = I y0 I min = 16, mm 4 = I z0 Výpočet poloměrů setrvčnosti: 4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY (, , ) + (5, ) i m = i y0 = i min = i z0 = Im = 8, = 139, 74 mm A ,807 Imin = 16, = 108, 5 mm A ,807 Vykreslíme elipsu setrvčnosti. Jednotlivé poloměry se vynášejí kolmo n příslušnou osu. y0 y c α 0 i min C i m z0 z c Musí pltit: I yc + I zc = I m + I min, , = 8, , , = 44, Příkld 4.1. Určete momenty setrvčnosti k hlvním centrálním osám průřezu vykreslete elipsu setrvčnosti. L IPN [mm] 108

111 4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY Přehled průřezových chrkteristik jednotlivých profilů: I y = 8, mm 4 = 8, m 4 y z I z = 1, mm 4 = m 4 A = 9700 mm = 9, m 6,4 73,6 y z 6,4 73,6 I y = I z = 1, mm 4 = 1, m 4 D yz = 6, mm 4 = 0, m 4 A = 1179 mm = 1, m Nejprve určíme polohu těžiště celého průřezu vzhledem k pomocným osám y z: , ,6 y = y C1 C 1 y C C 45,1 71,5 71,5 z = z C1 z C 6,4 [mm] y c = Σ S z0,i = (Ai y i ) i>1 A Ai y c = 0, 04 m =, 4 mm z c = Σ S y0,i = (Ai z i ) i>1 A Ai z c = 0, 0049 m = 4, 9 mm = 0+1, ( 0,180 0,064) =, , , , = 0+1, (0,0451) 10, = 5, , y C 66,6 76,4 4,9 C 1,4 C C 40, 33,4 66, z C 100 [mm] 109

112 4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY Dále vypočteme momenty setrvčnosti deviční moment k těžišťovým osám y c, z c : I yc = Σ i>1 (I yc,i + A i z c,i) = = 8, , ( 4, ) + + 1, , (40, 10 3 ) I yc = 1, m 4 I zc = Σ i>1 (I zc,i + A i y c,i) = = , (, ) + + 1, , ( ) I zc = 4, m 4 D ycz c = Σ i>1 (D yc,i z c,i + A i y c,i z c,i ) = = , (, ) ( 4, ) 0, , ( ) (40, 10 3 ) D yc z c = 1, m 4 Úhel ntočení hlvních centrálních os: tg( α 0 ) = Dyczc I zc I yc = ( 1, ) 4, , = 0, 0906 α 0 = 5, 177 α 0 =, 589 Výpočet hlvních centrálních momentů setrvčnosti: Iyc +Izc I m,min = ± 1 (Iyc I zc ) + 4 Dy cz c I m,min = 1, , ± 1 (1, , ) + 4 ( 1, ) I m = 4, m 4 = I y0 I min = 16, m 4 = I z0 Výpočet poloměrů setrvčnosti: i m = i y0 = i min = i z0 = Im A Imin A = 4, , = 0, 149 m = 1, , = 0, 03 m Vykreslení elipsy setrvčnosti: 110

113 4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY y 0 α0 =, 589 i m imin y C C z 0 z C 111

114 5 POMŮCKY 5 Pomůcky 5.1 Pomůck pro vykreslování vnitřních sil Zde uvádíme čtyři zákldní typy ztížení s vykreslením průběhů V M. Při vykreslování vnitřních sil je dobré vědět, že posun křivky mezi ztížením, posouvjící silou ohybovým momentem je vždy o jeden stupeň. Tedy: ztížení osmělou silou nebo momentem V je konstntní M lineární spojité rovnoměrné ztížení V je lineární M prbol spojité lineárně proměnné ztížení V je prbol M prbol 3 F M l l l l R = F R b = F R = M l R b = M l R R R R V V M R b R b M R b l R l R l f f l l R = 1 f l R b = 1 f l R = 1 3 f l R b = 3 f l V R V R l l R b R b M M M m = l 8 f l M m 3 11

115 5 POMŮCKY 5. Pomůck pro odhd centrální elipsy setrvčnosti V následujících obrázcích jsou nkresleny průřezy skládjící se z jednotlivých čtverců. Byl proveden odhd hlvní centrální elipsy setrvčnosti její vykreslení. Dále je možné pozorovt vliv polohy souřdného systému n znménko devičního momentu určeného k osám y 1 z 1. y 1 D y1 z 1 > 0 D y1 z 1 < 0 D y1 z 1 = 0 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 D y1 z 1 > 0 D y1 z 1 < 0 D y1 z 1 = 0 y 1 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 D y1 z 1 > 0 D y1 z 1 < 0 D y1 z 1 = 0 y 1 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 D y1 z 1 > 0 D y1 z 1 < 0 D y1 z 1 = 0 y 1 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 113

116

117 UPOZORNĚNÍ: přes veškerou péči, kterou jsme příprvě sbírky věnovli, se v ní prvděpodobně objevují drobné chyby nebo nejsnosti. Proto vám budeme moc vděčni, když všechny chyby, které ve sbírce objevíte, ohlásíte milem n dresu ISBN: Vydání: 1. Dtum poslední revize: 3. prosince 018 Vydvtel: České vysoké učení technické v Prze, Zikov 1903/4, Prh 6 Zprcovl: Fkult stvební - ktedr mechniky, Thákurov 6, Prh 6 Editoři: Aleš Jír, Dgmr Jndeková, Adél Hlobilová, Elišk Jnouchová Lukáš Zrůbek Poděkování: sbírk příkldů vznikl z podpory RPMT 017 č A006

118 FAKULTA STAVEBNÍ ČVUT V PRAZE

Stavební mechanika 2 (K132SM02)

Stavební mechanika 2 (K132SM02) Stvení mecnik 2 (K132SM02) Přednáší: Jn Sýkor Ktedr mecniky K132 místnost D2016 e-mil: jn.sykor.1@fsv.cvut.cz konzultční odiny: Po 12-14 Kldné směry vnitřníc sil: Kldný průřez vnitřní síly jsou kldné ve

Více

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stvení sttik, 1.ročník klářského studi ýpočet vnitřních sil přímého nosníku nitřní síly přímého vodorovného nosníku prostý nosník konzol nosník s převislým koncem Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, ŠB

Více

Pohybové možnosti volných hmotných objektů v rovině

Pohybové možnosti volných hmotných objektů v rovině REAKCE Pohyové možnosti volných hmotných ojektů v rovině Stupeň volnosti n v : možnost vykont jednu složku posunu v ose souřdného systému neo pootočení. +x volný hmotný od v rovině: n v =2 (posun v oecném

Více

Stavební mechanika 1 (K132SM01)

Stavební mechanika 1 (K132SM01) Stvební mechnik (K32SM0) Přednáší: doc. Ing. Mtěj Lepš, Ph.D. Ktedr mechniky K32 místnost D2034 konzultce Čt 9:30-:00 e-mil: mtej.leps@fsv.cvut.cz http://mech.fsv.cvut.cz/~leps/teching/index.html Řádný

Více

Stavební mechanika, 2.ročník bakalářského studia AST. Téma 4 Rovinný rám

Stavební mechanika, 2.ročník bakalářského studia AST. Téma 4 Rovinný rám Stvební mechnik,.ročník bklářského studi AST Tém 4 Rovinný rám Zákldní vlstnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzvřený rám Ktedr stvební mechniky Fkult stvební, VŠB - Technická univerzit

Více

Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky

Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky Průmyslová střední škola Letohrad Ing. Soňa Chládková Sbírka příkladů ze stavební mechaniky 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Stvení sttik 1.ročník klářského studi Nosné stvení konstrukce Výpočet rekcí Reálné ztížení nosných stveních konstrukcí Prut geometrický popis vnější vzy nehynost silové ztížení složky rekcí Ktedr stvení

Více

Stavební statika. Úvod do studia předmětu na Stavební fakultě VŠB-TU Ostrava. Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia

Stavební statika. Úvod do studia předmětu na Stavební fakultě VŠB-TU Ostrava. Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia Stvební sttik, 1.ročník kombinovného studi Stvební sttik Úvod do studi předmětu n Stvební fkultě VŠB-TU Ostrv Ktedr stvební mechniky Fkult stvební, VŠB - Technická univerzit Ostrv Stvební sttik přednášející

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Rovnováha sil je stav, kdy na těleso působí více sil, ale jejich výslednice

Více

Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí

Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí Síla Základní pojmy Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí vzájemné působení těles, které mění jejich pohybový stav nebo tvar zobrazuje se graficky jako úsečka se šipkou ve zvoleném měřítku m f je vektor,

Více

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku I

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku I Stvení sttik, 1.ročník kominovného studi ýpočet vnitřních sil přímého nosníku I ýpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, ŠB - Technická univerzit Ostrv nitřní

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

SMR 1. Pavel Padevět

SMR 1. Pavel Padevět MR 1 Pvel Pdevět PŘÍHRADOVÉ KONTRUKCE REAKCE A VNITŘNÍ ÍLY PŘÍHRADOVÉ KONTRUKCE jsou prutové soustvy s kloubovým vzbm. Příhrdová konstrukce je tvořen z přímých prutů nvzájem spojených ve styčnících kloubovým

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ

SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ h Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 11. SRPNA 2013 Název zprcovného celku: SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ Ke sloţenému nmáhání dojde tehdy, vyskytnou-li se součsně

Více

Podmínky k získání zápočtu

Podmínky k získání zápočtu Podmínky k získání zápočtu 18 až 35 bodů 7 % aktivní účast, omluvená neúčast Odevzdání programů Testy: 8 nepovinných testů (-2 body nebo -3 body) 3 povinné testy s ohodnocením 5 bodů (povoleny 2 opravné

Více

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám Sttik stvebních konstrukcí I.,.ročník bklářského studi Tém 4 Rovinný rám Zákldní vlstnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzvřený rám Ktedr stvební mechniky Fkult stvební, VŠB - Technická

Více

Styčníkovou metodou vyřešte síly v prutech u soustavy na obrázku.

Styčníkovou metodou vyřešte síly v prutech u soustavy na obrázku. Styčníkovou metodou vyřešte síly v prutech u soustvy n obrázku. Př. 1,, = 3 m, b = 4 m, c = 5, d = m 1) výpočet úhlů b cos = /( + b ) 1/ sin = b/( + b ) 1/ = 0,6 = 0,8 (e) d b c (h) cos = /[e + ] 1/ e

Více

Výpočet vnitřních sil I

Výpočet vnitřních sil I Stvení sttik, 1.ročník klářského studi ýpočet vnitřních sil I přímý nosník, ztížení odové nitřní síly - zákldní pojmy ýpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku Ktedr stvení mechniky Fkult stvení,

Více

Trojkloubový nosník. Rovinné nosníkové soustavy

Trojkloubový nosník. Rovinné nosníkové soustavy Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Rovinné nosníkové soustvy Trojklouový nosník Složené rovinné nosníkové soustvy Sttiká určitost neurčitost rovinnýh soustv Trojklouový nosník Trojklouový nosník Ktedr

Více

Statika 1. Reakce na rovinných staticky určitých konstrukcích. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Statika 1. Reakce na rovinných staticky určitých konstrukcích. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. reálných 3. přednáška Reakce na rovinných staticky určitých konstrukcích Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 21. března 2016 Dřevěný trámový strop - Anežský klášter

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2 3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

6. Statika rovnováha vázaného tělesa

6. Statika rovnováha vázaného tělesa 6. Statika rovnováha vázaného tělesa 6.1 Rovnováha vázaného tělesa Těleso je vystaveno působení vnějších sil akčních, kterými mohou být osamělé síly, spojité zatížení a momenty silových dvojic. Akční síly

Více

Rovinné nosníkové soustavy

Rovinné nosníkové soustavy Stvení sttik,.ročník kominovného studi Rovinné nosníkové soustvy Složené rovinné nosníkové soustvy Sttiká určitost neurčitost rovinnýh soustv Trojklouový rám Trojklouový rám s táhlem Ktedr stvení mehniky

Více

Zjednodušená deformační metoda (2):

Zjednodušená deformační metoda (2): Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy. Prut s kloubově připojeným koncem

Více

F=F r1 +F r2 -Fl 1 = -F r2 (l 1 +l 2 )

F=F r1 +F r2 -Fl 1 = -F r2 (l 1 +l 2 ) Stvbní mchnik A1 K132 SMA1 Přdnášk č. 3 Příhrdové konstrukc Co nás čká v čtvrté přdnášc? Příhrdové konstrukc Zákldní přdpokldy Sttická určitost/nurčitost Mtody výpočtu Obcná mtod styčných bodů Nulové pruty

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky.

Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky. 7. Prutové soustavy Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky. s styčník (ruší 2 stupně volnosti) každý

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5.

1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5. Kapitola 5 Vnitřní síly přímého šikmého nosníku Pojem šikmý nosník je používán dle publikace [1] pro nosník ležící v souřadnicové rovině xz, který je vůči vodorovné ose x pootočen o úhel α. Pro šikmou

Více

5. Prutové soustavy /příhradové nosníky/

5. Prutové soustavy /příhradové nosníky/ PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK. Prutové soustavy /příhradové nosníky/ - nosné konstrukce mostů, jeřábů, stožárů, střech, letadel apod. - skládají se z prutů spojených nýty, šrouby nebo svary v kloubech

Více

HYDROMECHANIKA. Požadavky ke zkoušce: - zápočet Zkouška: písemný test (příklady) + ev. ústní

HYDROMECHANIKA. Požadavky ke zkoušce: - zápočet Zkouška: písemný test (příklady) + ev. ústní HYDROMECHANIKA Rozsh : /1 z, zk, semestr: 3 Ktedr vodního hospodářství environmentálního modelování Grnt předmětu: Rdek Roub FŽP MCEV II, D439 Tel.: 4 38 153, 737 483 840, e-mil: roub@fzp.czu.cz Konzultční

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

Stavební statika. Úvod do studia předmětu na Stavební fakultě VŠB-TU Ostrava. Letní semestr. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Stavební statika. Úvod do studia předmětu na Stavební fakultě VŠB-TU Ostrava. Letní semestr. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Stvení sttik Úvod do studi předmětu n Stvení fkultě VŠB-TU Ostrv Letní semestr Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerzit Ostrv Stvení sttik -

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Vnitřní síly na nosnících Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW:

Více

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici)

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici) Kapitola 8 Vnitřní síly rovinně zakřiveného prutu V této kapitole bude na příkladech vysvětleno řešení vnitřních sil rovinně zakřivených nosníků, jejichž střednici tvoří oblouk ve tvaru kvadratické paraboly[1].

Více

trojkloubový nosník bez táhla a s

trojkloubový nosník bez táhla a s Kapitola 10 Rovinné nosníkové soustavy: trojkloubový nosník bez táhla a s táhlem 10.1 Trojkloubový rám Trojkloubový rám se skládá ze dvou rovinně lomených nosníků v rovinné úloze s kloubovým spojením a

Více

p + m = 2 s = = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá.

p + m = 2 s = = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá. TRIN_STT_P11.doc STTIK - SOUOR PŘNÁŠK 11. Prutové soustavy, základní pojmy, metody řešení. Teoreticky je PRUTOVÁ SOUSTV definována jako soustava složená z tuhých prutů, které jsou navzájem spojeny ideálními

Více

MECHANIKA STATIKA. + y. + x. - x. F 4y F4. - y. FRBy. FRAy. Ing. Radek Šebek 2012 A B C D. I a III 3 5 7 D II. B C a b c F1Z F2Z. a 2. a 3. a 4.

MECHANIKA STATIKA. + y. + x. - x. F 4y F4. - y. FRBy. FRAy. Ing. Radek Šebek 2012 A B C D. I a III 3 5 7 D II. B C a b c F1Z F2Z. a 2. a 3. a 4. h MECHNIK + y 2 F Vy F 2y 1 FV V F 1y F 3y F3 3 - x F 1x F 3x F 4x 0 F 2x F 4y F4 F Vx + x F FRy 4 - y FRy F l FRy C D FRy I 2 III 6 V 1 3 5 7 D II 4 IV C c Z Z Ing. Rdek Šeek 2012 MECHNIK 1. OSH 2. MECHNIK

Více

Příhradové konstrukce

Příhradové konstrukce Příhradové konstrukce Základní předpoklady konstrukce je vytvořena z přímých prutů pruty jsou navzájem pospojovány v bodech =>styčnících vzájemné spojení prutů se ve všech styčnících se předpokládá kloubové

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 adání D PŘÍÉ NOSNÍKY Příklad č. 1 Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 1. Příklad převzat z katedrové wikipedie (originál ke stažení

Více

Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav

Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav 1) Uvolnění jednoho stupně volnosti odpovídající reakci, kterou chceme určit (vytvoření kinematického mechanismu o jednom stupni volnosti). Zavedení

Více

Téma Přetvoření nosníků namáhaných ohybem

Téma Přetvoření nosníků namáhaných ohybem Pružnost plsticit,.ročník bklářského studi Tém Přetvoření nosníků nmáhných ohbem Zákldní vth předpokld řešení Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení etod přímé integrce diferenciální rovnice ohbové

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Přednáška 2 pro kombinované studium Jiří Brožovský Kancelář: LP C 303/1 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

Více

STATIKA. Vyšetřování reakcí soustav. Úloha jednoduchá. Ústav mechaniky a materiálů K618

STATIKA. Vyšetřování reakcí soustav. Úloha jednoduchá. Ústav mechaniky a materiálů K618 STATIKA Vyšetřování reakcí soustav Úloha jednoduchá Ústav mechaniky a materiálů K618 1 Zadání Posuďte statickou určitost a vyšetřete reakce rovinné soustavy zadané dle obrázku: q 0 M Dáno: L = 2 m M =

Více

Podepření - 3 vazby, odebrány 3 volnosti, staticky určitá úloha

Podepření - 3 vazby, odebrány 3 volnosti, staticky určitá úloha nitřní síly Prut v rovině 3 volnosti Podepření - 3 vzy, oderány 3 volnosti, sttiky určitá úloh nější ztížení reke musí ýt v rovnováze, 3 podmínky rovnováhy, z nih 3 neznámé reke nější ztížení reke se nzývjí

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

2. kapitola. Co jsou to vnitřní síly, jakými způsoby se dají určit, to vše jsme se naučili v první kapitole.

2. kapitola. Co jsou to vnitřní síly, jakými způsoby se dají určit, to vše jsme se naučili v první kapitole. 2. kapitola Stavební mechanika 2 Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil Teoretická část: V tomto příkladu máme za úkol vyšetřit průběhy vnitřních sil na rovinné konstrukci zatížené libovolným spojitým

Více

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy:

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy: SPŠ VOŠ KLADO SAIKA - PASIVÍ ODPORY PASIVÍ ODPORY Při vzájemném pohybu těles vznikjí v reálných vzbách psivní odpory, jejichž práce se mění v teplo. Psivní odpory předstvují ztráty, které snižují účinnost

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu

Více

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Příhradové konstrukce a názvosloví

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Příhradové konstrukce a názvosloví 5. přednáška Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 5. května 2014 (prutové ) podle prostoru rozdělujeme na: Rovinné Prostorové Dále se budeme zabývat jen rovinnými

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

Zakřivený nosník. Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Zakřivený nosník. Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Zakřivený nosník Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita

Více

4.6.3 Příhradové konstrukce

4.6.3 Příhradové konstrukce 4.6.3 Příhradové konstrukce Forth Bridge (1890) 2529 m Akashi Kaikyō Bridge (1998) 3911 m "Forth rail bridge head-on-panorama josh-von-staudach" by Josh von Staudach - Own work. "The Forth Bridge seen

Více

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí Prvoúhlý trojúhelník goniometrické funkce V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce úhlu : sin, cos, tg, cotg tkto: sin c cos c tg cot g protilehlá odvěsn ku přeponě přilehlá odvěsn ku přeponě

Více

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17. Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 15. ZÁŘÍ 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY ) NOSNÍKY ZTÍŽENÉ OBECNOU SOUSTVOU SIL Obecný postup při matematickém řešení reakcí

Více

Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB

Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECH Zpracoval: Ing. Jan Vimmr, Ph.D. Prutové soustavy Prutové soustavy představují speciální soustavy těles, které se uplatňují při navrhování velkorozměrových

Více

Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

P řed m lu va 11. P o u žitá sym b o lik a 13. I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y

P řed m lu va 11. P o u žitá sym b o lik a 13. I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y 5 Obsah P řed m lu va 11 P o u žitá sym b o lik a 13 I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y 15 1. Úvodní č á s t 17 I. I. Vědní obor mechanika..... 17 1.2. Stavební mechanika a je

Více

Osové namáhání osová síla N v prutu

Osové namáhání osová síla N v prutu Osové nmáhání osová síl v prutu 3 typy úloh:. Pruty příhrdové konstrukce, táhl Dvě podmínky rovnováhy v kždém styčníku: F ix 0 F iz 0. Táhl podporující pevnou ztíženou desku R z M ib 0 P R R b P 6 6 P

Více

Veronika Drobná VB1STI02 Ing. Michalcová Vladimíra, Ph.D.

Veronika Drobná VB1STI02 Ing. Michalcová Vladimíra, Ph.D. Příklad 1: 3;4 3;4 = =4 9 2;1,78 = = 4 9 4=16 9 =1,78 =2 =2 2 4 9 =16 9 1 = 1+ =0,49 = 1+ =0,872 =0 =10 6+ 2,22=0 =3,7 6+ 2,22=0 =3,7 + =0 3,7+3,7=0 0=0 =60,64 =0 =0 + =0 =3,7 á čá 5+ 2,22=0 =3,7 5+ 2,22+

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím

Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím Sttik stvebních konstrukcí I.,.ročník bkářského studi Tém 3 Úvod ke stticky neurčitým prutovým konstrukcím Ktedr stvební mechniky Fkut stvební, VŠB - Technická univerzit Ostrv Osnov přednášky Stticky neurčité

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83 Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice

Více

VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební, Ludvíka Podéště 1875, Ostrava. Lenka Lausová, Vladimíra Michalcová STAVEBNÍ STATIKA

VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební, Ludvíka Podéště 1875, Ostrava. Lenka Lausová, Vladimíra Michalcová STAVEBNÍ STATIKA VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Anežka Jurčíková, Martin Krejsa, Lenka Lausová, Vladimíra Michalcová STAVEBNÍ STATIKA Vzdělávací pomůcka Ostrava

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit

Více

Stavební mechanika 2 (K132SM02)

Stavební mechanika 2 (K132SM02) Stavební mechanika 2 (K132SM02) Přednáší: doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D. Katedra mechaniky K132 místnost D2034 e-mail: matej.leps@fsv.cvut.cz konzultační hodiny budou upřesněny později https://mech.fsv.cvut.cz/student/

Více

Příklad 1 Osově namáhaný prut průběhy veličin

Příklad 1 Osově namáhaný prut průběhy veličin Příkld 1 Osově nmáhný prut průběhy veličin Zdání Oelový sloup složený ze dvou částí je neposuvně ukotven n obou koníh v tuhém rámu. Dolní část je vysoká, m je z průřezu 1 - HEB 16 (průřezová ploh A b =

Více

Trojkloubový nosník. Rovinné nosníkové soustavy

Trojkloubový nosník. Rovinné nosníkové soustavy Stvení sttik, 1.ročník klářského stui Rovinné nosníkové soustvy Trojklouový nosník Složené rovinné nosníkové soustvy Sttiká určitost neurčitost rovinnýh soustv Trojklouový nosník Kter stvení mehniky Fkult

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

Rovinné nosníkové soustavy Gerberův nosník

Rovinné nosníkové soustavy Gerberův nosník Stvení sttik, 1.ročník klářského stui Rovinné nosníkové soustvy Gererův nosník Spojitý nosník s vloženými klouy - Gererův nosník Kter stvení mehniky Fkult stvení, VŠB - Tehniká univerzit Ostrv Sttiky neurčité

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více