dvojice těchto prvků. Takto si můžeme například i znázorňovat možnosti jak cestovat z

Transkript

1 Grfy V této kpitole e enámíme e ákldními pojmy teorie grfů, ukážeme i možnoti jejih použití tké e enámíme některými lgoritmy, které řeší úlohy teorie grfů. Grfy louží čto jko protředek k lepšímu poroumění vthů mei nějkými dvojiemi prvků. Čto i tk vypomáháme i při řešení úloh v ěžném životě. Prvky náorňujeme jko tečky, kolečk či čtverečky vthy mei nimi náorňujeme črmi pojujíími dvojie těhto prvků. Tkto i můžeme npříkld i náorňovt možnoti jk etovt jednoho mět do druhého vyírt tu možnot, která je pro ná výhodnější nějkého hledik. Cet Prhy do Otrvy může vét po dálnii do Olomoue pře Brno poté do Otrvy. Do Olomoue je možné e dott tké pře Hrde Králové Svitvy. Dále je tké možnot ety Prhy pře Hrde Králové, Vmerk, Šumperk, Opvu do Otrvy. Polední uvedená et je nejkrtší, et po dálnii pře Brno, Olomou Fulnek e čově nejkrtší et pře Hrde Králové do Olomoue dále do Otrvy může ýt nejvýhodnější pokud kominujeme vdálenot čovou náročnot ety. Ottně počátek teorie grfů je ovykle povžováno řešení prolému motů pře řeku Pregel ve mětě Královi, poději Königergu dne Kliningrdu. Měto e rokládá po oou trnáh řeky n dvou otroveh uprotřed řeky. Mei oěm řehy otrovy je elkem edm motů, tk jk je to hemtiky náorněno v levé polovině or.. Řek je náorněn šrfovně. Úloh, kterou e v 8. toletí vili oyvtelé mět ní: je možno nějkého mít vyjít, projít všemi moty žádným motem dvkrát vrátit e do výhoího mět? Tuto úlohu vyřešil v roe 76 námý mtemtik Euler, který ukál, že to není možné. Pro jednodušení i řehy otrovy náornil jko ody moty jko pojnie těhto odů. Tím dotl mnohem přehlednější náčrtek prolému. Tento náčrtek je náorněn v prvé polovině or.. Poté poměrně jednoduše ukál nemožnot nlét poždovnou etu. Toto i ukážeme poději. trn A A otrov B otrov C B C Pregel trn D Or. : Prolém edmi motů v královi D Dlší úloh, kterou i ukážeme, ptří do ktegorie ávné či rekreční mtemtiky. Je to námá úloh o vlku, koe elí. Převoník má úkol převét vlk, kou hlávku elí jednoho řehu řeky n druhý přitom mí vét poue nejvýše jednu vě. Přitom nemí e dooru převoník ůtt mi vlk ko neo ko elí. Ukžme i, jk je možno úlohu řešit. Ončme i pímenem P převoník, pímenem K kou, pímenem V vlk pímenem Z elí. V tule i uvedeme všehny možnoti, jk le rodělit P,K,V,Z n dvě podmnožiny, které repreentují tv n oou řeíh řeky. Tyto možnoti i očílujeme. Možnoti, které odporují dání úlohy nečílujeme, le ončíme je. Dotneme:

2 možnot. řeh. řeh možnot. řeh. řeh P KV Z 6 P KZV P KZ V 7 V P KZ P V K Z 8 Z P V K P V Z K 9 K P V Z KV Z P P KV Z P K V Z 0 V Z P K P V KZ KZ P V P Z KV KV P Z Máme 0 možnotí, které mohou teoretiky ntt. Pokume e pojit črou ty dvojie možnotí, kdy e le jedné dott do druhé. Můžeme dott růné přehledné či méně přehledné oráky. Dv tkové jou uvedeny n náledujíím or Or. : Prolém ko, vlk, elí Z oráků není n první pohled vidět řešení, le je možno ho poměrně ndno nlét. Řešením úlohy je dott e možnoti do možnoti 6. Pokud i le oráek nkrelíme ve vhodnějším tvru, npříkld tk, jk je to uděláno n or., vidíme n první pohled, že úloh má dvě růná řešení. Jou to řešení: neo Or. : Prolém ko, vlk, elí Zkume řešit ještě jednu velmi podonou úlohu, tv. úlohu o dvou miionáříh dvou knileh. Úloh ní: je možno jk přeprvit dv miionáře dv knily (e převoník) pře řeku použití jediné loďky, která je hopn uvét nejvýše dvě ooy? Přitom n žádném řehu nele poneht jednoho miionáře e dvěm knily. Předpokládejme, že roli převoník (hopnot převét loďku jednoho řehu n druhý)

3 může távt kždý miionář i kždý knil. Uvědomme i, že úloh připouští itue, při kterýh e n jednom řehu oitnou loďk, jeden miionář dv knilové. Toto možnot je povolen poue dočně při vytupování ntupování do loďky. Ončme i pímenem L loďku, pímenem K knil pímenem M miionáře. Loďku muíme uvžovt, yhom mohli rohodovt, které možnoti do které e le dott (loďk muí měnit řeh). Utvořme opět tulku všeh možnotí, jk rodělit kupinu L,M,M,K,K n dvě čáti, které odpovídjí itui n oou řeíh řeky. Příputné možnoti očílujeme, nepříputné možnoti ončíme ymolem. Mei nepříputné možnoti ptří i možnot, že je loďk n jednom řehu ottní jou n druhém. možnot. řeh. řeh možnot. řeh. řeh LMMKK 8 LMMKK LMMK K 9 K MMKL LM KK M 0 M M KKL MMKK L L MMKK LM M KK KK LM M LKK MM MM LKK 6 LKM KM KM LKM 7 KMM LK LK MMK MKK LM LM MKK Nyní i vytvoříme opět oráek, kde jou pojeny črou ty dvojie možnotí, kdy e le jedné dott do druhé. Grfiké náornění nší úlohy je n or Or. : Prolém dvou miionářů dvou knilů Vidíme, že úloh má víe řešení. Jitě yhom některá nih íkli metodou koušení, určitě yhom tkto nšli lepoň jedno řešení. Těžko yhom e nějkého ytemtikého přítupu mohli íkt víe. Náhledem n or. všk můžeme íkt i dlší informe. Npříkld, že je potřeí nejméně pět přejedů řeky že exituje 6 růnýh tkovýhto řešení úlohy. Nejnáročnější řešení vyžduje devět přejedů řeky exitují čtyři růná tková řešení. V oou přípdeh mořejme nepředpokládáme opkování itue. Ponámk. Úlohu je možno formulovt i příněji poždvkem, že e n žádném řehu nemí ni n okmžik oitnout knilové v početní převe. Při této modifiki e távjí nepříputnými dlší dvě možnoti, to možnoti 0. Grfiké náornění této modifikovné úlohy je n or.. Vidíme, že modifikovná úloh má čtyři růná řešení kždé nih vyžduje pět přejedů řeky.

4 Or. : Modifikovný prolém dvou miionárů dvou knilů Výše uvedené úlohy ná převědčují, že je i vhodné vét do podonýh úvh nějký řád, kde ude dottečně oeně peifikováno, o je itue, o čár pojujíí vhodné itue o nmená íkný oráek. V nših úvodníh úvháh jme e mohli při přehodu od jedné itue k druhé vrátit i pět od druhé itue k první. Toto může ýt le v některýh úvháh nepřijtelné, npříkld průjed jednoměrnou ulií je touto ulií nemožné opkovt pět. Budeme proto rolišovt orientovné neorientovné grfy. Neorientovné grfy Definie. Neorientovným grfem G roumíme trojii G = (V, H, p), kde V je neprádná množin, jejíž prvky udeme nývt vrholy, H je množin (může ýt i prádná), jejíž prvky nýváme hrny p je orení H do množiny všeh mximálně dvouprvkovýh podmnožin množiny V, tj. do {{, };, V }, které určuje, které vrholy dná hrn pojuje. Je li p(h) = {, }, říkáme, že vrholy, jou konovými (neo krjními) vrholy hrny h, neo že hrn h končí neo číná ve vrholu či vrholu. Též říkáme, že vrholy jou konovými vrholy hrny h. Ponámk. Definie umožňuje itui, kdy je p(h) = {, }. V tomto přípdě udeme říkt, že hrn h je myčk (u vrholu ). Je tké možné, že pro růné h, h ntne p(h ) = p(h ) = {, }; de muí le ýt. V tomto přípdě e říká, že hrny h, h jou rovnoěžné grf tkovouto ituí e nývá multigrf. Příkld multigrfu je n or. vprvo. Exitují dvě extrémní itue, to, že grf nemá žádnou hrnu, pk tento grf nýváme dikrétním grfem, neo že kždé dv vrholy grfu jou pojeny právě jednou hrnou, pk tento grf nýváme úplným grfem nd dnou množinou vrholů. Úplné grfy nd dvou, tří, čtyř pětiprvkovou množinou vrholů jou oreny n or.. Or. : Úplné grfy

5 Je mořejmě prolém odhdnout jk romítit vrholy grfů y jejih orení ylo o nejpřehlednější. Pro oráky grfů můžeme opět používt termín digrm grfu vedený v ouviloti e orováním upořádnýh množin. V přípdě Booleovýh lgeer, které le tké orovt pomoí digrmů, e jevil jko užitečný pojem iomorfimu, který nám říkl, kdy jou dvě Booleovy lgery vltně tejné, i když n digrmeh mohou vypdt jink. Proto i pojem iomorfimu vedeme i při tudiu grfů. Ponámk. Skutečnot, že dv grfy jou iomorfní nmená, že mei nimi exituje vájemně jednončné orení vrholů hrn tkové, že dv vrholy jou pojeny hrnou v jednom grfu právě tehdy, když ve druhém grfu jou odpovídjíí vrholy pojeny odpovídjíí hrnou. Tedy řekneme, že dv grfy G = (V, H, p ) G = (V, H, p ) jou iomorfní, jetliže exitují dvě vájemně jednončná orení f : V V g : H H tková že pro kždou hrnu h H pltí: p (h) = {x, y} právě tehdy, když je p (g(h)) = {f(x), f(y)}. Příkldem jou grfy n or. or., které orují prolém ko, vlk, elí. N náledujíím oráku (or. 6) jou příkldy dvou dvoji nvájem iomorfníh grfů. Smořejmě ihned ponáme, o které dvojie jde. Jou li totiž dv grfy iomorfní, pk nutně mjí tejný počet vrholů tejný počet hrn. Or. 6: Dvojie iomorfníh grfů Odoně je účelné vét pojem podgrfu dného grfu. Definie. Budeme říkt, že neorientovný grf G = (V, H, p ) je podgrfem grfu G = (V, H, p ), jetliže je V V, H H pltí: kdykoliv je p (h) = {, }, pk je p (h) = {, }. Ponámk. To, že je grf G = (V, H, p ) podgrfem grfu G = (V, H, p ) tedy nmená, že je V V, H H kdykoliv jou dv vrholy pojeny v grfu G, pk jou tké pojeny v grfu G. Grf G tedy vniká grfu G vyneháním některýh (neo žádnýh) vrholů vyneháním některýh (neo žádnýh) hrn. Přitom odtrněním vrholů muí ýt odtrněny i ty hrny, pro které jou odtrněné vrholy konové. Plnární grfy Prolém jk romítit jk mlovt digrmy grfů ouvií i velmi námým prolémem teorie grfů, totiž hrkteriovt ty grfy, kde je možno nlét jejih digrmy tk, že e růné hrny neprotínjí, tj. nemjí polečné ody, mořejmě mimo konovýh vrholů hrn. Tkovýmto grfům e říká plnární (neo rovinné) grfy, ottním grfům e říká neplnární grfy.

6 6 Teorie grfů ná velmi pěkné řešení tohoto prolému. Exitují dv ákldní neplnární grfy. Jou to úplný grf n pětiprvkové množině, který je oren n or.. Dlším je jitý grf e šetiprvkovou množinou vrholů. O ákldní neplnární grfy jou oreny n or. 7. Zákldní neplnární grf e šetiprvkovou množinou vrholů je i orením námé úlohy rekreční mtemtiky, to úlohy o třeh hrdníh domíh třeh říeníh, která ní: propojte tři hrdní domky e třemi říeními (WC, koupeln, kůln) tk, y kždého hrdního domku do kždého říení vedl přímá et ety e nekřížily. My tedy už víme, že poždvky úlohy nele plnit. Or. 7: Zákldní neplnární grfy N plnritu grfu nemá vliv odtrníme li grfu liovolný vrhol, který je tupně dv ty dvě hrny, jejihž konovým vrholem je právě vrhol nhrdíme jedinou novou hrnou. Tkovéto měny nýváme elování hrn. Dv grfy nýváme homeomorfní, jetliže je možno jejih úprvmi (oou grfů) metodou elování hrn dott dv iomorfní grfy. Pro ilutri jou n or. 8 oreny digrmy dvou grfů, které jou e ákldními neplnárními grfy homeomorfní. Kždý nih má dv odtrnitelné vrholy. Or. 8: Grfy homeomorfní e ákldními neplnárními grfy Již míněná kráná hrkteritik neplnárníh grfů je uveden v náledujíí větě. Vět. Neorientovný grf je plnární, právě tehdy, když neohuje žádný podgrf, který y yl jedním e ákldníh neplnárníh grfů iomorfní neo homeomorfní. Tto hrkteritik plnárníh grfů je důležitá nejen hledik mtemtikého řešení prolému. Plnrit grfu má i důležitá použití v prxi, npříkld v elektrotehnie při nvrhování integrovnýh ovodů tištěnýh pojů. Sledy v grfeh

7 V této čáti e vrátíme k prolému edmi motů v Královi. Ayhom e mohli vyjdřovt exktněji, vedeme i několik pojmů. Definie. Poloupnot = (v, h, v, h,..., h n, v n+ ) vrholů hrn (pojujííh tyto vrholy) v grfu G = (V, H, p), tj. v, v,..., v n+ V, h, h,..., h n p(h i ) = {v i, v i+ }, kde v = v w = v n+ udeme nývt ledem grfu G mei vrholy v w. Vrhol v je počáteční vrhol w konový vrhol ledu. Počet hrn v poloupnoti, tj. n, nýváme délkou ledu udeme ji nčit d(). Pokud jou počáteční konový vrhol ledu totožné, tj. v = w, nýváme led uvřený jou li počáteční konový vrhol ledu růné, tj. v w, hovoříme o otevřeném ledu. 7 Ponámk. Protože kždé hrně příluší jednončně dvojie konovýh vrholů, můžeme led popiovt poue pomoí hrn. Tk led = (v, h, v, h,..., h n, v n+ ) je možno popt i poloupnotí = (h, h,..., h n ). V přípdě protýh grfů, tj. grfů, které nemjí žádné dvě rovnoěžné hrny, e níí i dlší možnot popiu ledu. Totiž jou li dv vrholy protého grfu pojeny hrnou, pk tto hrn je určen jednončně, proto můžeme led = (v, h, v, h,..., h n, v n+ ) popt i jko poloupnot vrholů, tj. = (v, v,..., v n+ ). V prktikýh úloháh ná udou ejmén jímt ejmén ledy, ve kterýh e neopkují hrny neo ve kterýh e neopkují vrholy. Toto je npříkld nutnou podmínkou při hledání nejkrtšíh ledů. V grfeh mohou exitovt ledy, ve kterýh e neopkují hrny, le opkují e vrholy. Pokud e neopkují vrholy, nemůže e ve ledu žádná hrn vykytnout dvkrát. Definie. Sled mei vrholy v w v grfu G udeme nývt them, jetliže e v něm neopkuje žádná hrn (tj. je h i h j pro i j). Je li v w, hovoříme o otevřeném thu je li v = w, hovoříme o uvřeném thu. Sled, ve kterém e neopkuje žádný vrhol, výjímkou mximálně v = w, nýváme etou. Je li v w, hovoříme o otevřené etě je li v = w, hovoříme o uvřené etě. Uvřená et e tké nývá kružnií. Grf G e nývá ouvilý grf, jetliže exituje led mei jeho kždými dvěm vrholy. Ponámk. Je velmi ndné ukát, že pokud exituje v grfu G led mei vrholy v w, pk tké exituje et mei v w. Toho doáhneme tk, že pokud njdeme ve ledu nějký vrhol dvkrát, odtrníme všehny hrny mei prvním druhým výkytem vrholu. Tím dotneme led mei vrholy v w, který je krtší. Po konečně mnoh kroíh již tkováto itue nemůže ntt nám ůtne et mei vrholy v w. Proto v ouvilém grfu exituje mei liovolnými dvěm vrholy et. Je tké jné, že kždá et v grfu G je tké them ( ledem). Nemohou li e totiž ve ledu opkovt hrny, nemohou e v něm opkovt ni vrholy. Toto y ovšem nepltilo v přípdě multigrfů. Th v grfu mořejmě nemuí ýt etou. N or. 9 jitě nlenete příkldy thů, ve kterýh e nutně některé vrholy opkují. Již dříve jme mínili, že kždé dv nvájem iomorfní konečné neorientovné grfy mjí tejný počet vrholů tejný počet hrn. Tto podmínk je poue nutnou podmínkou dlek ne potčujíí. Exitují grfy, které nejou iomorfní i když mjí tejné počty vrholů hrn. N or. 9 jou oreny digrmy pěti grfů. Kždý grf má pět vrholů šet hrn žádné dv těhto grfů nejou iomorfní.

8 8 Or. 9: Neiomorfní grfy pěti vrholy šeti hrnmi Iomorfní grfy muí mít i dlší vltnoti tejné, npříkld počet hrn, které vrholu odháejí, muí ýt pro odpovídjíí i vrholy tejný. Tuto hrkteritiku vrholu i pojmenujeme jko tupeň vrholu. Definie. Počet hrn v konečném neorientovném grfu G, pro které je vrhol v grfu G konovým vrholem, nveme tupněm vrholu v udeme ho ončovt t(v). Jetliže vrhol v grfu G není konovým vrholem žádné hrny, je t(v) = 0. Ponámk. Pokud v grfu G exituje myčk kolem vrholu, pk je od povžován počáteční i konový od hrny myčk tk vyšuje tupeň vrholu o dv. Z toho, že dv grfy mjí tený počet vrholů tejnýh tupňů tejný počet hrn, ještě dlek neplyne, že muí ýt iomorfní. Vidíme to npříkld n or. 9, kde první i druhý grf mjí dv vrholy tupně tři tři vrholy tupně dv o mjí šet hrn přeto nejou iomorfní. Je řejmé, že kždá hrn grfu připívá do oučtu tupňů všeh vrholů právě čílem dv. Z tohoto fktu ihned plyne náledujíí tvrení. Vět. V konečném neorientovném grfu G = (V, H, p) je oučet tupňů všeh vrholů roven dvojnáoku počtu hrn, tj. t(v) = H, kde H ončuje počet prvků v V množiny H. Proto grf G uďto nemá žádný vrhol lihého tupně neo jih má udý počet. Nyní i ukážeme řešení prolému edmi motů v Královi. Pltí náledujíí vět. Vět. Nehť G je konečný ouvilý neorientovný grf. Potom exituje uvřený th, který ohuje všehny hrny grfu (tv. Eulerův th) právě tehdy, když kždý vrhol grfu G má udý tupeň. Je jné, že pokud v grfu G exituje Eulerův th, pk nutně kždý vrhol je udého tupně. To vidíme npříkld tk, že i tento th projdeme. Jitě pltí, že kolikrát do nějkého vrholu přijdeme, tolikrát něho muíme odejít, tedy tupeň vrholu je udý. Oráeně je důk věty komplikovnější. Mějme tedy grf G, jehož kždý vrhol je udého tupně. Vyerme nějký jeho vrhol, npříkld vrhol. Vrhol je udého tupně, proto exituje hrn h, jejíž konové vrholy jou, ( ). Vrhol je udého tupně, proto exituje hrn h, jejíž konové vrholy jou, ( ). Tkto vytváříme th t = (, h,, h,... ) tk dlouho, ž e opět dotneme do odu. Tm e dott muíme díky tomu, že kždý vrhol je udého tupně že jme použili poue jednu hrnu vyháejíí vrholu. Pokud jou v tomto thu oženy všehny hrny grfu G, jme hotovi. Předpokládejme nopk, že v tomto thu t nejou oženy všehny

9 hrny grfu G. Potom exituje vrhol x, který je ožen v nšem thu t který je konovým odem hrny (ončme ji g), která v thu t není ožen. Nehť y je druhý konový od této hrny g. Podgrf H grfu G, který je tvořen všemi hrnmi grfu ( jejih konovými vrholy), které nejou oženy v thu t plňuje opět podmínku, že kždý vrhol grfu H má udý tupeň (počítjí e de hrny ptříí do H). Potup proto můžeme opkovt v grfu H, tím, že vytváříme uvřený th h = (x, g, y,..., x) v grfu H, který číná končí ve vrholu x. Nyní vytvoříme th t v grfu G, který vnikne pojením thů t h. Bude to th t = (, h,, h,..., x, g, y,..., x..., ). Nyní jou opět dvě možnoti: uďto je th t hledným them, neo exituje vrhol, který je ožen v thu t který je konovým odem hrny, která v thu t není ožen. Nyní nleneme th m = (,..., ), který náledně pojíme them t. Tento potup muí končit po konečném počtu kroků nleením Eulerov thu. Potup uvedený v důku věty i můžeme ilutrovt n prvním grfu n or. 0. Vyjděme odu 0. Th udeme vyjdřovt pomoí vrholů. První uvřený th může ýt t = (0,,,, 0), přidáním dlšího thu dotneme th t = (0,,,, 0, d,,, 0) ve třetím kole dotneme Eulerův th t = (0,,,, 0, d,, e, 0, f,,, 0). Dlší grfy, jejihž digrmy jou n or. 0, jou tké tv. Eulerovy grfy, tj. grfy, ve kterýh exituje Eulerův th. V řeči rekreční mtemtiky je možno jejih digrm nmlovt jedním them při mlování čít končit ve tejném vrholu. U těhto grfů je nproto jedno, ve kterém vrholu grfu čneme vytvářet Eulerův th. Eulerovým grfem je tké kždý úplný grf, který má lihý počet vrholů. Dv tkové le nlét n or.. 9 Or. 0: Eulerovy grfy Jednoduše minulé věty dotneme hrkterii těh grfů, ve kterýh exituje otevřený th, který v oě ohuje všehny hrny dného grfu. Předpokládejme, že v ouvilém konečném grfu G = (V, H, p) exituje otevřený th (ohujíí všehny jeho hrny), který číná v nějkém vrholu končí v jiném vrholu (tj. ). Vytvořme nový grf G = (V, H, p ) tk že ke grfu G přidáme právě jeden nový vrhol (tj. V = V {}) dvě nové hrny h h (tj. H = H {h, h }), které pojují vrholy,, (tj. p (h ) = {, }, p (h ) = {, }) vše ottní je neměněno (tj. p (h) = p(h) pro h H). Nyní v tomto grfu G exituje uvřený th, který ohuje všehny hrny grfu G. Stčí totiž k otevřenému thu grfu G přidt hrny h h dotáváme Eulerův th v grfu G. Stupně vrholů grfu G jou tedy udá číl. Protože e v grfu G většily tupně oou vrholů, o jednotku, muely ýt v grfu G tupně vrholů, lihá číl.

10 0 Nformulujme i to jko větu. Vět. Nehť G je konečný ouvilý neorientovný grf. Potom exituje otevřený th, který ohuje všehny hrny grfu právě tehdy, když má grf G dv vrholy lihého tupně ottní vrholy jou udého tupně. Tento th muí čínt v jednom vrholů lihého tupně končí ve druhém vrholu lihého tupně. N or. jou oreny digrmy čtyř grfů, ve kterýh exituje otevřený th ohujíí všehny hrny, tj. jejih digrm je možno nmlovt jedním them. Ke kždému grfu přidejte jeden vrhol dvě hrny tk, y vnikl Eulerův grf. Kždý grf tké ohuje Eulerův podgrf, který dného grfu vniká odtrněním jedné hrny. Or. : Grfy otevřeným them ohujíím všehny jeho hrny Stromy Velmi důležitými typy grfů jou ty grfy, jejihž truktur je nějkým půoem přehledně poptelná. Extrémní grfy, jko jou úplné grfy neo dikrétní grfy, jou příkldem jednoduše poptelnýh grfů. Dlší velmi důležitou třídou grfů jou grfy, které nemjí kružnie. Připomeňme, že kružnii povžujeme kždou uvřenou etu. Délkou kružnie roumíme počet jejíh hrn. Je mořejmé, že minimální délk kružnie je. Definie. Grf G, který neohuje žádnou kružnii, udeme nývt le. Grf G, který je ouvilý neohuje žádnou kružnii, udeme nývt trom. Stromy mjí velký výnm v teorii grfů plikíh teorie grfů. K popiu vthů je používjí i lidé, kteří ni netuší, že exituje něo jko teorie grfů. Sem ptří npříkld i rodokmeny lidí či průky původu u pů pod. Grf, který ohuje kružnie, řejmě ohuje i hrny, které jou ytečné pro dodržení poždvku ouviloti grfu, tj. pro dodržení exitene et pojujííh liovolné dvojie vrholů. Stromy tkto ytečné hrny neohují, ož je velmi důležité v prktikýh plikíh. Z čitě mtemtikého hledik jou tromy velmi doře hrkteriovtelnou třídou grfů. To uvidíme v náledujííh větáh. Le je dijunktní jednoení jednoho či víe tromů. N or. je oren le, který e kládá e čtyř tromů. Vět. Nehť G je konečný ouvilý neorientovný grf e kružni, tj. trom. Má li G lepoň dv vrholy, pk má G lepoň dv vrholy tupně. Dokžme to. V konečném grfu el jitě exituje et, která má e všeh možnýh et největší délku. Nehť tto et pojuje vrholy. Nehť x je vrhol n této etě

11 Or. : Le, který je jednoením čtyř tromů nehť h je hrn pojujíí vrholy, x. Předpokládejme dále, že je tupeň vrholu lepoň. Potom exitují vrhol y hrn h, tkové že hrn h pojuje vrholy, y vrhol y neleží n nší etě (jink y v grfu exitovl kružnie). Pk ovšem můžeme nejdelší možnou etu prodloužit o vrhol y ( hrnu h ), ož je ve poru mximlitou ety. Stupeň vrholu muí tedy ýt. Odoně muí ýt t() =. Je ndné ukát, že přidání jedné hrny ke tromu (při hování tromu) muí ýt doprováeno přidáním jednoho vrholu. N ákldě tohoto fktu e již dá dokát náledujíí hrkterie tromů. Vět. Nehť G je konečný ouvilý neorientovný grf n vrholy. Grf G je tromem, právě tehdy, když má n hrn. Důledkem je, že kždý konečný ouvilý neorientovný grf n vrholy muí mít lepoň n hrn. Je víe vltnotí, které jednončně hrkteriují tromy. Některé nih i uvedeme v náledujíí větě. Vět. Nehť G je konečný neorientovný grf n vrholy, kde n. Náledujíí tvrení jou ekvivlentní:. G je trom;. G neohuje kružnii má právě n hrn;. G je ouvilý má právě n hrn;. G je ouvilý oderáním kterékoliv hrny přetne ýt ouvilý;. kždá dvojie vrholů G je pojen právě jednou neorientovnou etou. Důležitými podgrfy grfu G jou ty podgrfy, které vnikjí grfu G vyneháním některýh hrn žádnýh vrholů. Tkovéto podgrfy e nývjí fktory grfu G. Definie. Podgrf grfu G, který ohuje všehny jeho vrholy, udeme nývt fktor grfu G. Fktor grfu G, který je nví tromem udeme nývt kotrou grfu G. Ponámk. Fktor grfu G je tedy podgrf, který vnikl grfu G = (V, H, p) poneháním všeh jeho vrholů přípdným vyneháním některýh jeho hrn. Extrémními přípdy fktorů grfu G jou elý grf G (nevynehán žádná hrn) dikrétní grf (vynehány všehny hrny) dný množinou vrholů V. Ponámk. Kždý konečný ouvilý grf má el jitě nějkou kotru, kterou íkáme přípdným vyneháváním nějkýh hrn. Je řejmé, že kotr grfu nemuí ýt určen jednončně kotry grfu nemuí ýt ni iomorfní. Pokud ouvilý grf není tromem, pk ohuje kružnii, která má lepoň tři hrny. Odeíráním hrn kružnie dotáváme růné grfy náledně íkáme, že tkový grf má lepoň dvě růné kotry. Npříkld

12 úplný grf U() e třemi vrholy ohuje právě jednu kružnii (trojúhelník) tři růné kotry, které vnikjí grfu vyneháním právě jedné hrny kružnie. Tyto tři růné kotry jou nvájem iomorfní. Příkld grfu, který má růné neiomorfní kotry je oren n or.. Zde je oren grf jeho tři nvájem neiomorfní kotry. Or. : Grf jeho tři neiomorfní kotry Příkld. Nleněme všehny kotry úplného grfu U() e čtyřmi vrholy. Kolik nih je neiomorfníh? Všehny kotry úplného grfu U() jou oreny n náledujíím oráku. Z oráku vidíme, že grf U() má 6 růnýh koter. Neiomorfní kotry jou poue dvě. Or. -: Kotry úplného grfu U() Příkld. N náledujíím oráku je náorněn grf T (n). Určeme kolik má grf T (n) růnýh koter. Dále určeme mximální možný počet neiomorfníh koter.... n Or. -: Grf T (n) Grf T () má tři růné kotry, všehny jou nvájem iomorfní. Grf T () má = 9 růnýh koter. Grf T () ohuje jediný vrhol tupně. V kotře grfu T () může tento vrhol mít tupeň, neo. Ve čtyřeh kotráh má vrhol tupeň všehny tyto kotry jou iomorfní, ve čtyřeh kotráh má vrhol tupeň opět jou všehny tyto kotry jou iomorfní. V jedné jediné kotře má tento vrhol tupeň. Grf T () má

13 neiomorfní kotry. Kotr grfu T () může ýt rošířen n kotru grfu T () třemi půoy, toho jou dvě rošíření iomorfní. Grf T () má tedy elkem 9 = 7 růnýh koter mximálně = 6 neiomorfníh koter. V této úve můžeme pokrčovt dále dotneme, že grf T (n) má elkem n růnýh koter mximálně n neiomorfníh koter. Ukžte, že neiomorfníh koter je ve kutečnoti méně než n. Příkld. N náledujíím oráku je náorněn grf V (n). Určeme kolik má grf V (n) růnýh koter. Grf V () má růné kotry. Grf V () muí mít 9 růnýh koter protože kždou kotru grfu V () le rošířit třemi růnými půoy n kotru grfu V (). Zel oeně pltí: má-li grf V (n) prřeně k(n) koter, pk kždou nih le rošířit třemi růnými půoy n kotru grfu V (n + ). Proto pltí k(n + ) = k(n). Jelikož je k() =, je počet růnýh koter grfu V (n) roven čílu k(n) = n.... n Or. -: Grf V (n) Hledání kotry grfu Njít kotru ouvilého grfu, který má mlý počet vrholů hrn není otížné, to po hvíli vždy nějkou kotru nleneme. V přípdeh grfů velkým počtem vrholů hrn je potře potup hledání kotry grfu fomulovt nějk preiněji, nejlépe tk, y úloh mohl ýt řešen lgoritmiky. Jednu tkovou možnot i ukážeme. Algoritmu hledání kotry grfu Mějme konečný ouvilý ohodnoený grf G = (V, H, p) o n vrholeh, který nemá rovnoěžné hrny (jink poneháme poue jednu). Hrny grfu i nějkým liovolným půoem očílujeme. Dotneme, že je H = {h, h,..., h k }. Pro lepší poroumění lgoritmikého potupu uvedeme iniilii lgoritmu, první krok poté oený krok ukážeme, kdy lgoritmu končí.. (iniilie lgoritmu) Vyjdeme dikrétního grfu (H = ) množinou vrholů V. Tento fktor grfu G ončme F 0 = (V, ).. (první krok) Veměme první hrnu v poloupnoti hrn (h, h,..., h k ). Nehť jou vrholy, konovými vrholy hrny h. Ončme H = {h } ymolem V = {, } ončíme vrholy grfu, které jou konovými vrholy hrn H. Fktor grfu G, který ohuje poue hrny H, ončíme F = (V, H ).. (k tý krok) Mějme fktor F k = (V, H k ) množinu V k. Nyní vememe první hrnu h poloupnoti hrn (h, h,..., h k ), která plňuje tyto dvě podmínky: ( ) h H k, ( ) jeden konovýh vrholů hrny h ptří do V k druhý neptří do V k. Tuto hrnu přidáme do vytvářeného fktoru. Nehť x je konový vrhol hrny h, x V k. Ončme H k = H k {h}, V k = V k {x} F k = (V, H k ).

14 . (kone lgoritmu) Algoritmu končí jkmile je V k = V, ož le ntává právě tehdy, když je k = n. Čili lgoritmu končí po provedení n kroků.. (ložitot lgoritmu) Vhledem k tomu, že v průěhu tvory kotry grfu tetujeme kždou hrnu, je čová ložitot lgoritmu O(m), kde m je počet vrholů grfu. Cheme li vyjádřit čovou ložitot lgoritmu n ákldě počtu vrholů grfu, jitíme, že je čová ložitot kvdrtiká (tj. O(n )), protože grf mjíí n vrholů může mít ž n (n ) hrn. Ponámk. Exitene hrny h v k tém kroku je dán tím, že grf G je ouvilý. Pokud tedy nejou ve vytvářené kotře grfu oženy všehny vrholy grfu, exituje lepoň jeden, který tm není ožen. Jelikož le exituje et pojujíí tento vrhol vrholem, muí exitovt i hrn, která má jeden vrhol v množině V k druhý mimo tuto množinu. Podmínk ( ) v k tém kroku ručuje, že při potupu tvory kotry grfu nevniknou kružnie. Potup popný v tomto lgoritmu je ilutrován n or.. Potupně vnikjí fktory grfu, jejihž množiny hrn jou množiny H = {h }, H = {h, h }, H = {h, h, h }, H = {h, h, h, h 6 }, H = {h, h, h, h 6, h 7 }, H 6 = {h, h, h, h 6, h 7, h 0 } v poledním kroku to je kotr H 7 = {h, h, h, h 6, h 7, h 0, h }. Zkute i hrny grfu očílovt jink můžete dott jinou kotru grfu. h h 6 h 0 h h 6 h 0 h h h h 7 h 9 h h h h h 7 h h h 8 h Or. : Grf jeho kotr Ponámk. Pokud nleneme kotru neorientovného ouvilého grfu G, pk již e prolémů můžeme určit etu mei liovolnými dvěm vrholy grfu. Kotru grfu je ouvilý podgrf et mei liovolnými dvěm vrholy grfu je n kotře určen jednončně. Smořejmě tto et nemuí ýt nejkrtší etou, jk ottně vidíte n or.. Prolém njít nejkrtší etu mei dvěm vrholy konečného ouvilého neorientovného grfu je mnohem ložitější prolém muí e řešit pro kždou dvojii vrholů vlášť. S řešením míněného prolému e enámíme poději. Ohodnoené grfy Z předhoíh čátí víme, že mnohé úlohy teorie grfů, npříkld nlét etu mei vrholy neo nlét kotru grfu, mohou mít víe řešení. V reálnýh plikíh, je možné nih vyírt nějkým půoem optimální. Přitom tyto optimální podmínky nemuí vůe ouviet počtem hrn či vrholů. Proto e jeví pro prktiká použití tudovt i grfy, ve kterýh má kždá hrn nějkou hodnotu, npř. délku v kilometreh, čovou či finnční náročnot pro průhod hrnou. Proto i uvedeme několik ákldníh informí o tv. ohodnoenýh grfeh. Definie. Ohodnoeným neorientovným grfem G roumíme trojii G = (V, H, p, ), kde G = (V, H, p) je neorientovný grf je orení množiny H do množiny všeh reálnýh číel R, které udeme nývt ohodnoení hrn (rep. enou hrn).

15 Ponámk. Přiroené je předpokládt, že ohodnoení hrn ude neáporné. Toto ude el jitě pltit ve většině reálnýh úloh. V některýh přípdeh všk i áporné ohodnoení hrny má vůj výnm. Budeme li npříkld ledovt finnční výnonot vloženýh protředků (n účteh, v růnýh fondeh pod.), mohou některé opere (npříkld říení účtu, nákldy vedením účtu či vtupní popltky), nývt i ápornýh hodnot. Proto e v definii neomeujeme poue n neáporná ohodnoení. Ve kutečnýh plikíh mohou ýt grfy ohodnoeny i víenáoně. Je přiroené npříkld ledovt při etě utomoilem Prhy do Otrvy nejen kilometrovou válenot (. ohodnoení), le též čovou náročnot (. ohodnoení) jitě i finnční náročnot (. ohodnoení). A njít v tkovémto přípdě optimální etu je velmi ložité ávií n exktně vyjádřenýh prioritáh důležitoti jednotlivýh ohodnoení. V předháejíí čáti jme i ukáli lgoritmu pro nleení kotry dného konečného neorientovného grfu. Kotr tkového grfu nám ručuje exiteni ety pojujíí liovolné dv vrholy grfu. V reálnýh ituíh, npř. při nutnoti jitit pojení mei liovolnými dvěm měty nějkého regionu, může hrát i velmi výnmnou úlohu en tohoto jištění (tře en údržy ilni v imníh měííh). Je proto velmi prktikou úlohou nlét nějkou kotru grfu, kde oučet ohodnoení všeh hrn n kotře je minimální. Proto ude nutné lgoritmu předhoí čáti trohu poměnit. Ve míněném lgoritmu jme důledně kovli exiteni kružni. V ohodnoeném grfu nemí mořejmě kotr ohovt kružnie, le při vytváření kotry e může tát, že přidáním nějké hrny (při kterém y vnikl kružnie, ož ylo nemylitelné) y mohlo při oučném oderání jiné hrny dojít ke levnění eny kotry. V tomto mylu je proto nutno lgoritmu hledání kotry v ohodnoeném grfu modifikovt. Exituje několik růnýh řešení, jk tento poždvek plnit. Ukážeme i nyní lgoritmu, který poždvek plňuje je přitom velmi jednoduhou modifikí již uvedeného lgoritmu hledání kotry v neohodnoeném grfu. Algoritmu hledání kotry neáporně ohodnoeného grfu Mějme konečný ouvilý ohodnoený grf G = (V, H, p, ) o n vrholeh. Hrny grfu i očílujeme tk, že je H = {h, h,..., h k } (h ) (h ) (h k ). Při popiu lgoritmikého potupu uvedeme poue iniilii lgoritmu poté oený krok ukážeme, kdy lgoritmu končí.. (iniilie lgoritmu) Vyjdeme dikrétního grfu (H = ) množinou vrholů V. Tento fktor grfu G ončme F 0 = (V, ).. (k tý krok) Mějme fktor F k = (V, H k ) množinu V k. Nyní vememe první hrnu h poloupnoti hrn (h, h,..., h k ), která plňuje tyto dvě podmínky: ( ) h H k, ( ) jeden konovýh vrholů hrny h ptří do V k druhý neptří do V k. Tuto hrnu přidáme do vytvářeného fktoru. Nehť x je konový vrhol hrny h, x V k. Ončme H k = H k {h}, V k = V k {x} F k = (V, H k ).. (kone lgoritmu) Algoritmu končí jkmile je V k = V, ož le ntává právě tehdy, když je k = n. Čili lgoritmu končí po provedení n kroků.. (ložitot lgoritmu) Čová ložitot lgoritmu pro grf n vrholy je O(n ), čová ložitot etřídění m hrn do neklejíí poloupnoti dle jejih en má při jednoduhýh třídííh progrmeh čovou ložitot O(m ), při lepšíh progrmeh je nejlepší možná čová ložitot O(m log m). Celkově e vždy jedná o lgoritmu polynomiální čovou ložitotí. Správnot lgoritmu je tře dokát. Nejjednoduší i ude ukát mtemtikou

16 6 indukí tvrení: pro kždé přiroené čílo k {0,,... n } exituje minimální kotr grfu G, která ohuje fktor F k jko podgrf.. krok (pltot tvrení pro F = (V, H )) Nehť K = (V, H K ) je nějká minimální kotr grfu G. Předpokládejme, že kotr K neohuje hrnu h, která pojuje vrholy. Kotr K (tejně jko kždá jiná kotr) v oě ohuje etu mei vrholy,. Přidáním hrny h k podgrfu F = (V, H ) v něm vnikne kružnie. Odtrňme nyní liovolnou hrnu této kružnie, ončme ji g. Kotr ohujíí hrny (H K h ) \ g je opět kotr grfu G její en nemůže ýt větší, protože je (h ) (g). Exituje tedy minimální kotr grfu G, která v oě ohuje hrnu h.. krok (indukční) Předpokládejme, že tvrení pltí pro fktor F i = (V, H i ) pro nějké i < n. Nehť K = (V, H K ) je nějká minimální kotr grfu G, která ohuje jko vůj podgrf fktor F i = (V, H i ) nehť h je první hrn v poloupnoti hrn (h, h,..., h k ), která plňuje podmínky ( ) ( ), nehť její konové vrholy jou x V i y V i. Předpokládejme, že hrn h není ožen v kotře K. Kotr K v oě ohuje etu mei vrholy x, y. Přidáním hrny h ke kotře K tk vnikne kružnie lepoň jedn hrn této kružnie, ončme ji w, má jeden konový vrhol ve V i druhý mimo V i. Odtrňme nyní hrnu w této kružnie. Fktor grfu G ohujíí hrny (H i h) \ w je opět kotr grfu G její en nemůže ýt větší, protože je (h) (w) (h je první hrn v poloupnoti hrn, která má jeden konový vrhol ve V i druhý mimo V i ). Exituje tedy minimální kotr grfu G, která v oě ohuje hrnu h. Potup lgoritmu je ilutrován n or.. Zde i hrny ončíme pomoí jejih konovýh vrholů. Hrny i ároveň očílujeme podle jejih eny tk, y en hrn neklel. Dotneme h = {, d}, h = {d, f}, h = {e, g}, h = {, d}, h = {, }, h 6 = {, f}, h 7 = {g, h}, h 8 = {e, h}, h 9 = {, }, h 0 = {, d}, h = {f, h}, h = {, e} h = {e, f}. Prováděním lgoritmu íkáváme: H = {h }, H = {h, h }, H = {h, h, h }, H = {h, h, h, h }, H = {h, h, h, h, h }, H 6 = {h, h, h, h, h, h 7 } nkone H 7 = {h, h, h, h, h, h 7, h }, ož je minimální kotr. Cen minimální kotry je. Ponámk. Pokud yhom n čátku lgoritmu hrny eřdili v jiném pořdí při dodržení podmínky nekleání en, mohli yhom íkt i jiné kotry. Kdyyhom v nšem příkldě měnili pořdí hrn h 7 = {g, h} h 8 = {e, h} n h 7 = {e, h}, h 8 = {g, h}, minimální kotr y míto hrny {g, h} ohovl hrnu h 7 = {e, h}. Je řejmé, že při vytváření minimální kotry grfu nejou ni tk důležité kutečné eny hrn, důležité jou enové rele mei hrnmi. Pokud y žádné dvě hrny neměly tejnou enu, pk je minimální kotr grfu určen el jednončně. e g e g d f h d f h Or. : Grf jeho minimální kotr Ponámk. V předhoím lgoritmu jme při hledání kotry potupně vytvářely podgrf, který yl ouvilý e kružni (tedy trom). Kdyyhom oputili poždvek ou-

17 viloti ožený v podmíne, tuto podmínku nhrdili oenější podmínkou nemožnot vniku kružnie, ož je tké oženo v podmíne, dotli yhom poněkud jiný lgoritmu, který je nýván hldovým lgoritmem. Je možno ho tručně formulovt náledujíím půoem. Hldový lgoritmu hledání minimální kotry neáporně ohodnoeného grfu Hrny grfu upořádáme (očílujeme) tk, y jejih en neklel. Poté hrny v tomto pořdí proíráme v uvedeném pořdí do vytvářeného fktoru přidáváme ty hrny, jejihž přidáním nevniká kružnie. Algoritmu můžeme ukončit po prorání všeh hrn neo tehdy, je li počet hrn ve vytvářeném fktoru o jedno menší než počet vrholů výhoího grfu. Při použití tv. hldového lgoritmu yhom v nšem příkldě ( or. ) dotávli potupně tyto fktory: H = {h }, H = {h, h }, H = {h, h, h }, H = {h, h, h, h }, H = {h, h, h, h, h }, H 6 = {h, h, h, h, h, h } H 7 = {h, h, h, h, h, h, h 7 }, ož je hledná minimální kotr. Ponámk. Je velmi jednoduhé ukát, že je možno tké lgoritmiky nlét mximální kotru grfu (tj. kotru mximálním oučtem ohodnoení hrn). Stčí modifikovt tv. hldový lgoritmu. Hrny grfu upořádáme (očílujeme) tk, y jejih en nerotl poté udeme hrny v tomto pořdí proírt do vytvářeného fktoru přidávli poue ty hrny, jejihž přidáním nevniká kružnie. Algoritmu končí, je li počet hrn ve vytvářeném fktoru o jedno menší než počet vrholů výhoího grfu. N or. 6 je nleen tímto potupem mximální kotr dného grfu. Hrny grfu i očílujeme, tk y jejih en nerotl. Můžeme to udělt npříkld tkto: h = {, e}, h = {e, f}, h = {, }, h = {, d}, h = {f, h}, h 6 = {, }, h 7 = {, d}, h 8 = {, f}, h 9 = {e, h}, h 0 = {g, h}, h = {, d}, h = {d, f} h = {e, g}. Ověřte, že při tomto očílování hrn je (h ) = (h ) =, (h ) = (h ) = (h ) =, (h 6 ) = (h 7 ) = (h 8 ) = (h 9 ) = (h 0 ) = (h ) = (h ) = (h ) =. Mximální kotru grfu íkáme potupným přidáváním hrn v pořdí h, h, h, h, h, h 6, h 0. Cen mximální kotry grfu je. 7 e g e g d f h d f h Or. 6: Grf jeho mximální kotr Hledání minimálníh et Je mořejmé, že pokud náme minimální kotru v konečném ouvilém ohodnoeném grfu, tk jme hopni nlét i etu, která pojuje liovolné předem určené vrholy grfu. Tyto ety le nemuí ýt ni dlek minimální (vhledem k oučtu en všeh hrn n etě), ož můžeme npříkld velmi doře vidět v přípdě ety mei vrholy e v grfu n or.. Protože v konečném ouvilém ohodnoeném grfu je jen konečně mnoho et mei dnými vrholy, určitě muí exitovt i minimální ety mei liovolnými dvěm vrholy. Hledáním tkovýh et e udeme nyní ývt. Zároveň i

18 8 uvědomme, že i oučně ukážeme i hledání minimálníh et (vhledem k počtu všeh hrn n etě) pojujííh dné vrholy konečného ouvilého ( neohodnoeného) grfu. Stčí totiž kždou hrnu ohodnotit tejně, npř. enou, máme ohodnoený grf, kde minimální en ety je totéž jko minimální počet hrn n etě. Při hledání minimálníh et pojujííh dv vrholy u v grfu G udeme htít nát nejen enu ety, le tké i etu motnou, tj. pořdí vrholů, pře které minimální et vede. Vyjdeme jednoho vrholů, npř. vrholu u jitíme jedním potupem minimální ety do všeh ottníh vrholů. V průěhu provávání úlohy i udeme u kždého vrholu x uhovávt dočně nejlepší etu od vrholu u do x, která e potupně ude távt trvle nejlepší etou od vrholu u do x. Algoritmu, který i uvedeme, je kliký lgoritmu v litertuře je nýván Dijktrův lgoritmu. Dijktrův lgoritmu hledání minimální ety Mějme konečný ouvilý grf (G, V, H), jehož hrny jou ohodnoeny neápornými číly, tj. orením h : H 0, ). Můžeme předpokládt, že grf neohuje rovnoěžné hrny. V opčném přípdě vždy poneháme mei dvěm vrholy poue jednu hrnu, to hrnu nejmenší enou. Nehť u je vrhol grfu G. Pro kždý vrhol v, v u, nehť C = (u,..., P (v), v) je minimální et mei vrholy u v, nehť H(v) je en této minimální ety nehť P (v) ončuje vrhol, který n této etě předháí vrholu v. Symoly dh(v) dp (v) udeme ončovt dočně nejmenší délku ety do vrholu v dočného předhůde vrholu v (v průěhu provávání lgoritmu e mohou i několikrát měnit). Symolem T udeme nčit tu množinu vrholů x grfu G, kde již pltí dh(x) = H(x) dp (x) = P (x), tj. kde jou již údje H(x) P (x) íkány. Cenu hrny, která pojuje vrholy x y udeme nčit h(x, y). Při popiu lgoritmu popíšeme pro větší náornot tké první krok lgoritmu, i když to není nutné. První krok je peiálním přípdem oeného kroku.. (iniilie lgoritmu) Definujeme T = T 0 = {u} H(u) = 0. Pro kždý vrhol x, který je pojen hrnou vrholem u, definujeme dh(x) = h(u, x) dp (x) = u. Pro ottní vrholy grfu definujeme dh(x) = (neo nějké dottečně velké čílo) dp (x) ončíme nějkým nemylným ymolem, tře.. (první krok) Vyereme ten vrhol, pro který je dh(x) minimální. Nehť je to vrhol w. Ončme T = T = T 0 {w} H(w) = h(u, w), P (w) = u. U kždého vrholu x, který je pojen hrnou vrholem w, porovnáme hodnoty dh(x) H(w) + h(w, x). Jetliže je dh(x) H(w) + h(w, x), poneháme hodnoty dh(x) dp (x) = u ee měn. Je li le H(w) + h(w, x) < dh(x), pk měníme hodnoty dh(x) dp (x). Dovdní hodnotu dh(x) nhrdíme hodnotou H(w)+h(w, x) dovdní hodnotu předhůde dp (x) = u nhrdíme novým předhůdem w. Dále tedy ude dh(x) = H(w)+h(w, x) dp (x) = w.. (oený k tý krok). Máme již množinu T = T k pro kždé x T k i H(x) P (x). Vyereme ten vrhol m grfu, který neptří do T jehož dočná hodnot dh(m) je minimální. Vrhol m přidáme do množiny T, ude tedy T = T k = T k {m}, dále hodnotu dh(m) prohláíme trvlou hodnotu, tj. definujeme H(m) = dh(m) dočného předhůde prohláíme e trvlého, tj. definujeme P (m) = dp (m). U kždého vrholu x, který je pojen hrnou vrholem m, porovnáme hodnoty dh(x) H(m) + h(m, x). Jetliže je dh(x) H(m) + h(m, x), poneháme hodnoty dh(x) dp (x) ee měn. Je li le H(m) + h(m, x) < dh(x), pk měníme hodnoty dh(x) dp (x). Dovdní hodnotu dh(x) nhrdíme hodnotou H(m) + h(m, x) dovdní hodnotu předhůde dp (x) nhrdíme novým předhůdem m. V dlšíh kroíh tedy ude dh(x) = H(m) + h(m, x) dp (x) = m.

19 . (kone lgoritmu) Algoritmu končí v okmžiku, kdy je T n = V. Tedy lgoritmu končí jkmile všem vrholům x grfu jou přiřeny trvlé hodnoty H(x) P (x). Při kždém kroku e množin T většuje přeně o jeden vrhol. Proto, má li grf n vrholů, lgoritmu končí po (n ) kroíh. V přípdě, že yhom hledli výhrdně poue nejkrtší etu mei vrholy u v, pk lgoritmu končí po k tém kroku, je li v T k.. (čová ložitot) Protože v průěhu provádění lgoritmu n grfu n vrholy, tetujeme u kždého vrholu všehny jeho náledníky, kterýh může ýt ž n, je čová ložitot tohoto lgoritmu O(n ). Ukžme i právnoti lgoritmu, tj. že pro kždý vrhol x, x u, je H(x) kutečně nejmenší možná en ety vrholu u do vrholu x. Tvrení evidentně pltí po provedení. kroku. Předpokládejme, že tvrení pltí pro všehny vrholy x T k nepltí v přípdě vrholu m dodného do množiny T v kroku k +. Předpokládejme tedy, že exituje et C = (u, x,..., x r, m), jejíž en je menší než H(m). Nehť vrhol x i+ je první vrhol této ety, který neptří do množiny T. Evidentně vrhol x i T proto je H(x i ) nejmenší možná en ety vrholu u do vrholu x i. V i tém kroku lgoritmu je vrholu x i+ přidělen dočná hodnot dh(x i + ) = H(x i ) + h(x i, x i+ ), která nemohl ýt poději menšen, protože o vrholy x i x i+ jou podle předpokldu náledníky v nějké minimální etě. Tto hodnot le yl v kždém dlším kroku uvžován. V k tém kroku lgoritmu je do množiny T přidán nějký vrhol t vrholu m je přidělen dočná hodnot dh(m) = H(t) + h(t, m), to n ákldě jištění, že je hodnot dh(m) minimální e všeh hodnot dh(x), které jou námy. Speiálně ylo dh(m) dh(x i + ). Protože jou hrny grfu ohodnoeny neápornými číly, je H(m) d(c) = dh(x i+ ) + d(d), kde d(c) je en ety C d(d) je en ety D = (x i+,..., x r, m). Ponámk. Uvědomme i, že nleením minimální ety mei vrholy u v grfu G, jme ároveň nleli i minimální ety mei vrholy x y grfu G, které n této etě leží. Zároveň jme íkli kotru grfu G, která e čto nývá kořenový trom minimálníh et kořenem ve vrholu v. Úloh nlét minimální ety dného vrholu nemuí mít jednončné řešení, to i v přípdě, že žádné dvě hrny nejou ohodnoeny tejně (npř. trojúhelník o trnáh,. Algoritmu nám le nlene vždy nějké řešení. Dále i uvědomme, že tento lgoritmu je tké možno použít n hledání nejkrtšíh et v konečném ouvilém neohodnoeném grfu, kde mírou eny ety je počet jejíh hrn. Stčí tedy kždou hrnu ohodnotit tejným čílem, npř. čílem, máme prolém převeden n prolém hledání minimálníh et v ohodnoenýh grfeh. Uvžujte neohodnoený grf or.7 všimněte i, že exitují tři růné nejkrtší ety mei vrholy g. Potup Dijktrov lgoritmu i ukážeme n ohodnoeném grfu, jehož digrm je n or. 7. Ukážeme i, jk e tvoří množin T jk e vytvářejí hodnoty H(x), P (x), dh(x) dp (x) pro jednotlivé vrholy grfu. Výhoím vrholem ude vrhol. iniilie lgoritmu T 0 = {}, H() = 0, dh() =, dh() =, dh(d) =, dh(e) = dh(f) = dh(g) = dh(h) =, dp () = dp () = dp (d) =, dp (e) = dp (f) = dp (g) = dp (h) =.. krok T = {, }, 9

20 0 H() = 0, H() =, P () =, dh() =, dh(d) =, dh(e) =, dh(f) =, dh(g) = dh(h) =, dp () =, dp (d) =, dp (e) =, dp (f) =, dp (g) = dp (h) =.. krok T = {,, d}, H() = 0, H() =, H(d) =, P () =, P (d) =, dh() =, dh(e) =, dh(f) =, dh(g) = dh(h) =, dp () = d, dp (e) =, dp (f) =, dp (g) = dp (h) =.. krok T = {,, d, f}, H() = 0, H() =, H(d) =, H(f) =, P () =, P (d) =, P (f) =, dh() =, dh(e) =, dh(g) =, dh(h) =, dp () = d, dp (e) = f, dp (h) = f, dp (g) =.. krok T = {,, d, f, }, H() = 0, H() =, H() =, H(d) =, H(f) =, P () = d, P () =, P (d) =, P (f) =, dh(e) =, dh(g) =, dh(h) =, dp (e) = f, dp (h) = f, dp (g) =.. krok T = {,, d, f,, e}, H() = 0, H() =, H() =, H(d) =, H(e) =, H(f) =, P () = d, P () =, P (d) =, P (e) = f, P (f) =, dh(g) = 6, dh(h) =, dp (g) = e, dp (h) = f. 6. krok T 6 = {,, d, f,, e, h}, H() = 0, H() =, H() =, H(d) =, H(e) =, H(f) =, H(h) =, P () = d, P () =, P (d) =, P (e) = f, P (f) =, P (h) = f, dh(g) = 6, dp (g) = e. 7. krok T 6 = {,, d, f,, e, h, g}, H() = 0, H() =, H() =, H(d) =, H(e) =, H(f) =, H(g) = 6, H(h) =, P () = d, P () =, P (d) =, P (e) = f, P (f) =, P (f) =, P (g) = e. Tdy lgoritmu končí, kořenový trom (kořenem je vrhol ) minimálníh et je oren n or. 7. Npříkld minimální etou mei vrholy g je et C = (,, f, e, g) minimální etou mei vrholy g (o leží n etě C) je et D = (, f, e, g). Vrhol h n etě C neleží proto minimální et mei vrholy h g může ýt jiná, tké je. Všimněte i, že v průěhu výpočtu došlo ke měně hodnot dh(), dh(d), dh(e) ouviejíím měnám hodnot dp (), dp (d), dp (e).

21 e g e g d f h d f h Or. 7: Grf jeho trom minimálníh et Víenáoně ohodnoené grfy Hrny grfů je možno jitě ohodnotit víe než jedním ohodnoením při řešení prktikýh úloh to není ni neovyklého. Předtvme i, že máme íť utouovýh linek mei jednotlivými měty. Máme li e dott jednoho mět do druhého, může ná jímt nejen en, kterou pltíme, le i č, který je n etu potře. Odoně v ěžné ilniční íti ná nejímá poue vdálenot, le tké tře předpokládná potře pohonnýh hmot č, který je možno etu olvovt. Proto má výnm tudovt i grfy, n kterýh je dáno víe než jedno ohodnoení hrn. Ay tková úloh yl řešitelná muí ýt dán i kriteri, podle kterýh je jné, jkou váhu mjí jednotlivá ohodnoení. Nejjednodušším vthem dvou ohodnoení je olutní preferene jednoho ohodnoení před druhým. V tomto přípdě používáme druhé ohodnoení poue tehdy, kdy máme možnot výěru n ákldě prvního kriteri. Ukžme i n příkldě hledání minimálníh et v grfeh, jejihž hrny jou ohodnoeny dvěm neápornými funkemi. Hledání minimálníh et v grfeh dvojím ohodnoením Mějme konečný ouvilý grf G = (V, H, p) dvě orení f g množiny H do 0, ). Předpokládejme, že orení f je vždy preferováno před g. Nším úkolem je nlét minimální etu (vhledem k f g) vrholu grfu G do jeho vrholu. K lgoritmikému řešení použijeme mírně modifikovný Dijktrův lgoritmu. Pro kždý vrhol x V ončíme ymoly df (x), F (x), dg(x), G(x), dp (x) P (x) potupně dočnou hodnotu ety vrholu do vrholu x dle ohodnoení f, trvlou hodnotu ety vrholu do vrholu x dle ohodnoení f, dočnou hodnotu ety vrholu do vrholu x dle ohodnoení g, trvlou hodnotu ety vrholu do vrholu x dle ohodnoení g, dočného předhůde vrholu x dočného předhůde vrholu x. Symolem T udeme nčit tu množinu vrholů x grfu G, kde již pltí df (x) = F (x), dg(x) = G(x) dp (x) = P (x), tj. množinu vrholů, u kterýh jou již íkány definitivně údje F (x), g(x) P (x). Dále udeme potupovt nlogiky jko v přípdě jednoho ohodnoení hrn. N rodíl od již popného lgoritmu de neudeme popiovt první krok, pokojíme e oeným krokem.. (iniilie lgoritmu) Definujeme T = T 0 = {} F () = G() = 0. Pro kždý vrhol x, který je pojen hrnou vrholem, definujeme df (x) = f(, x), dg(x) = g(, x) dp (x) =. Pro ottní vrholy grfu definujeme df (x) = dg(x) = (neo nějké dottečně velké čílo) dp (x) ončíme ymolem.. (oený k tý krok). Máme již množinu T = T k pro kždé x T k i F (x), G(x) P (x). Vyereme ten vrhol m grfu, který neptří do T jehož dočná hodnot df (m) je minimální. Je li tkovýh vrholů víe, vyereme nih ten vrhol, jehož dočná hodnot dg(m) je minimální mei dočnými hodnotmi dg(x) těhto vrholů. Vrhol m přidáme do množiny T, ude tedy T = T k = T k {m}, dále

22 hodnoty df (m), dg(m) dp (m) prohláíme již neměnné trvlé hodnoty, tj. definujeme F (m) = df (m), G(m) = dg(m) P (m) = dp (m). U kždého vrholu x, který je pojen hrnou vrholem m, porovnáme hodnoty df (x) F (m) + f(m, x). Jetliže je df (x) < F (m) + F (m, x), poneháme hodnoty df (x), dg(x) dp (x) ee měn. Je li le F (m) + f(m, x) < df (x), pk měníme hodnoty df (x), dg(x) dp (x). Dovdní hodnotu df (x) nhrdíme hodnotou F (m) + f(m, x), dovdní hodnotu dg(x) nhrdíme hodnotou G(m)+g(m, x) dovdní hodnotu předhůde dp (x) nhrdíme novým předhůdem m. Dále tedy ude df (x) = F (m) + f(m, x), dg(x) = F (m)+g(m, x) dp (x) = m. Je li df (x) = F (m)+f(m, x), pk porovnáme hodnotu dg(x) hodnotou G(m) + g(m, x). Jetliže je dg(x) G(m) + g(m, x) poneháme údje df (x), dg(x) dp (x) ee měn. Je li le dg(x) > G(m) + g(m, x), pk měníme údje dg(x) dp (x). Novou hodnotou dg(x) ude G(m) + g(m, x) novou hodnotou pro dp (x) ude m. V dlším tedy ude df (x) ee měny ude dg(x) = G(m) + g(m, x), dp (x) = m.. (kone lgoritmu) Algoritmu končí v okmžiku, kdy je T n = V. Tedy lgoritmu končí jkmile všem vrholům x grfu jou přiřeny trvlé hodnoty F (x), G(x) P (x). Při kždém kroku e množin T většuje přeně o jeden vrhol. Proto, má li grf n vrholů, lgoritmu končí po provedení n kroků. V přípdě, že yhom hledli výhrdně poue nejkrtší etu mei vrholy u v, pk lgoritmu končí po k tém kroku, je li v T k.. (čová ložitot) V průěhu provádění lgoritmu n grfu n vrholy, tetujeme u kždého vrholu všehny jeho náledníky (přípdně e dvou hlediek), kterýh může ýt ž n, je čová ložitot tohoto lgoritmu O(n ). Důk právnoti tohoto modifikovného Dijktrov lgoritmu plyne jeho kontruke je nlogiký již uvedenému důku právnoti originálního Dijktrov lgoritmu. Tuto úlohu i ukžme jenom n jednom jednoduhém příkldě. Mějme ohodnoený grf, který je oren n or 7. Zorené ohodnoení hrn ončme f. Je tedy f({, }) =, f({, e}) =, td. Nehť pro ohodnoení g pltí g(h) = f (h). Je tedy g({, }) =, g({, e}) = 6, td. Ohodnoení hrn f má olutní prefereni před ohodnoením g. Pro konečné eny et do vrholu x použijeme nčení F (x) G(x). Algorimiké řešení hledání dvojitě ohodnoeného grfu or. 7 ude proíht úplně tejně jko v přípdě jedním ohodnoením ž do tého kroku. V pátém kroku yl do množiny T přidán vrhol e yly porovnávány hodnoty dh(h) H(e) + h({e, h}. Protože oě hodnoty yly rovny, nedoháelo ke měně dh(h) dp (h). V nšem přípdě opět při tejném porovnávání hodnot df (h) F (e) + f({e, h} jitíme, že je df (h) = F (e) + f({e, h}. Muíme proto porovnt hodnoty dg(h) = G(e) + g({e, h}. Protože je dg(h) = + + = 9, G(e) = + + = 6 g({e, h} =, je dg(h) > G(e) + g({e, h} = +++ = 7. Muí proto dojít ke měně hodnot dg(h) = 9 dp (h) = {f} n dg(h) = 7 dp (h) = {e}. Dále doěhne lgoritmu tejně jko v přípdě grfu jedním ohodnoením. Podgrf minimálníh et vrholu vhledem k ohodnoení f g je vlevo n or. 8. Proveďte i podroně jednotlivé kroky lgoritmu. Kdyyhom druhé ohodnoení vli kontntní funki g(h) =, dotli yhom podgrf, který je tejný jko kdyyhom druhé ohodnoení neuvžovli. Tento podgrf je oren vprvo n or. 8.

23 e g e g d f h d f g(h) = f (h) g(h) = Or. 8: Stromy minimálníh et vhledem k f g h Příkldy k provičení ) Zjitěte, d má řešení úloh o miionáříh knileh. Úloh ní: jk přeprvit miionáře knily (e převoník) pře řeku použití jediné loďky, která je hopn uvét nejvýše dvě ooy? Přitom nemí ůtt n žádném řehu větší počet knilů než miionářů. Předpokládejme, že roli převoník (hopnot převét loďku jednoho řehu n druhý) může távt kdokoliv. Pokud má úloh řešení, uveďte minimální počet přejedů řeky. ) Zjitěte, d má řešení modifikovná úloh o miionáříh knileh. Úloh ní: jk přeprvit miionáře knily (e převoník) pře řeku použití jediné loďky, která je hopn uvét nejvýše dvě ooy? Přitom e nemí ni n okmžik oitnout n žádném řehu větší počet knilů než miionářů. Předpokládejme, že roli převoník (hopnot převét loďku jednoho řehu n druhý) může távt kdokoliv. Pokud má úloh řešení, uveďte minimální počet přejedů řeky. ) Zjitěte, d má řešení modifikovná úloh o vlku, koe elí, kdy má převoník úkol převét nví ještě jednu vě (elí,vlk neo kou). ) Máme k dipoii tři klenie o ojemeh l, l l. V první lenii jou l vody. Cheme pouhým přeléváním vody e použití dlšíh odměrek doáhnout tvu ) v první klenii jou l, ve druhé třetí l; ) v některé klenii jou l, v dlšíh po l. Je to možné? V přípdě že no určete minimální počet nutnýh kroků, tj. přelévání vody jedné klenie do jiné. ) Nehť U(n) je úplný grf mjíí právě n vrholů. Kolik thy le pokrýt grf U(n)? 6) Nehť U(n) je úplný grf mjíí právě n vrholů. Určete ) počet hrn grfu U(0); ) počet růnýh kružni délky v grfu U(0); ) počet růnýh kružni délky 6 v grfu U(0); d) počet všeh růnýh kružni v grfu U(0); e) počet růnýh et délky n v grfu U(0); 7) Nehť U() je úplný grf mjíí právě vrholy. Určete ) počet růnýh koter grfu U(); ) počet růnýh neiomorfníh koter grfu U(). 8) N náledujíím oráku jou digrmy grfů R(n). Určete počet k(r(n)) všeh možnýh koter grfu R(n). 9) N náledujíím oráku jou digrmy grfu S(n). Určete počet k(s(n)) všeh možnýh koter grfu S(n) 0) N náledujíím oráku jou digrmy grfů Z(n) C(n).