Cvičení 2 (Složená namáhání)

Transkript

1 VŠB Technická univerit Ostrv kult strojní Ktedr pružnosti pevnosti (339) Pružnost pevnost v energetice (Návod do cvičení) Cvičení (ložená nmáhání) Autor: Jroslv Rojíček Vere: Ostrv 009

2 ložená nmáhání princip řešení: Úloh, ve kterých se vsktuje více než jeden půso těžování (th-tlk, oh, krut pod), udeme nývt úloh n složené nmáhání Tto úloh udeme řešit roložením n ákldní těžovcí půso superpoicí Je nutné ted vžd vážit, d le principu superpoice použít Principu superpoice nele použít v přípdech s velkými deformcemi (pltí předpokld použité při odvoení ákldních rovnic) či trvlými deformcemi (plstická olst, creep-tečení), (relce, únv) pod Použití superpoice: npř úlohu oshující osovou sílu (th-tlk) ohové moment (oh) roložíme n dvě úloh th oh, které smosttně vřešíme Výsled řešení nkonec sloučíme do jednoho výsledku (vužitím elementární krchle) Postup při řešení le rodělit do následujících kroků: rodělení úloh n ákldní těžovcí půso řešení těchto rodělených úloh, sloučení výsledků řešení (elementární krchle), hledání etrémů pod, nleení hlvních npětí (určení směrů hlvních npětí je-li to nutné) Mohrov kružnice, plikce vrné hpoté pevnosti, pevnostní kontrol, návrh roměrů, tížení td (vhodnocení) První čtři krok popisují oecný postup Může se stát, že některý odů vpdne, neo jej není nutné u dné úloh uvžovt Poslední krok se týká konkrétní řešené úloh - úprv či vjádření rovnic pod Uvedený postup se týká výpočtu npjtosti těles, při výpočtu měn tvru (posunutí, ntočení, prodloužení, kroucení td) le postupovt odoným půsoem Jednotlivé krok jsou vsvětlen ukáán v následujícím příkldu lší ákldní přípd pro složené nmáhání (th-oh, oh krut td) jsou řešen stejným půsoem (vi cvičení, přípdně vkoušejte) Zákldní postup Cv Př_ hřídel vrtule Ø Or B Mk áno: =500 mm, =0 mm (, J P ), =000 N, Mk=00 Nmm, E=00000MP (G), σ =50 MP Urči: Mimální ukovné npětí v hřídeli vrtule Změn poloh koncového odu B Osttní vliv (npř vlstní tíh) jsou nedán / Rodělení úloh n ákldní těžovcí půso řešení těchto rodělených úloh Prvním krokem je rodělení úloh Úlohu rodělíme n dvě části th-tlk kroucení U oou dílčích částí sestvíme všechn poždovné rovnice (neo vpočteme hodnot) Postup je nnčen v T /0

3 T Celá úloh Část Část chém: Část - kroucení Mk φ Část th-tlk B B Δl Vnitřní účink: Npětí v řeu: Mk( ) Mk N( ) Mk( ) Mk ( ) r r J J Mimální npětí: Mk (etrém) J Elementární krchle v místě etrému: p p p N( ) ( ) eformce (od B): Mk=Mk B, = B G J G J P 0 P 0 Mk( ) Mk( ) d Mk Mk Mk d G J B P l l E E 0 0 N( ) N( ) d B d E / loučení výsledků řešení (elementární krchle), hledání etrémů Vcháíme npjtosti v odě (elementární krchle vi T ) Odpovídjící npětí sečteme vhodnotíme etrém U složeného nmáhání je čsto nutné vhodnocovt více odů, ve kterých se vsktují etrém Postup je nnčen v T T Mimální smkové npětí je kdekoliv n povrchu hřídele (Krut) Mimální normálové npětí je kdekoliv v hřídeli (Th) c/ Nleení hlvních npětí (určení směrů hlvních npětí je-li to nutné) Mohrov kružnice Tento od ávisí tké n volené hpotée pevnosti (vi následující krok) Nejprve sestrojíme Mohrovu kružnici pro výslednou npjtost Z výsledné kružnice pk určíme hodnot hlvních npětí (pro kontrolu grfick i početně) Postup je nnčen v T 3 3/0

4 T 3 Grfick τ σ τ τ R σ 0 σ σ σ -τ 0, Početně R, R, 0 R 0 d/ Aplikce vrné hpoté pevnosti le volené hpoté pevnosti spočteme ukovné npětí Rovnice pro výpočet ukovného npětí u tří vrných hpoté jsou uveden v T 4 (v nšem přípdě chom neměli použít Rnkinovu hpotéu, neoť jedno hlvní npětí je větší než nul druhé je menší než nul, vi Mohrovu kružnici) T 4 Hpoté Redukovné npětí Rnkin (pro 0 neo 0 0) 0 Guest (pro 0 neo 0 0) 0 HMH e/ Pevnostní kontrol, návrh roměrů, tížení td (vhodnocení) V tomto kroku porovnáme výsledné ukovné npětí s npětím dovoleným Z výsledné nerovnice pk jistíme, d kontrolovná konstrukce vhoví poždvkům n ni kldeným (což v tomto přípdě repreentuje dovolené npětí), přípdně nvrhneme roměr či tížení (po dosení všech příslušných rovnic) Jednotlivé vrint jsou nnčen v T 5 T 5 Cíl výpočtu Pevnostní kontrol Pltí li - konstrukce vhoví Návrh průměru hřídele Návrh osové síl Návrh krouticího momentu d Mk 3 Řešené příkld n procvičení Cv Př_ - Klik Ø Or áno: =50 mm, =00 mm, =0 mm (J, J P ), =5 mm, =000 N, E=00000 MP (G=80000 MP), σ =50 MP Urči: Mimální ukovné npětí (HMH) Osttní vliv (npř vlstní tíh) jsou nedán 4/0

5 / Rodělení úloh n ákldní těžovcí půso řešení těchto rodělených úloh íl půsoí v jedné části klik poue oh, ve druhé části půsoí oh krut V T 5 je ukáán půso rodělení n jednotlivé úsek dále n ákldní půso těžování T 5 Celé těleso = Část (oh) + Část (oh + krut) M R M R R R Část Část M R R M R R Oh: / Ře: M( ), 0, - /Etrém: Mm M( ) 4 M ( ) / Npjtost: ( ), J J J -/ Etrém: m J 3/ Rekce: M R, R Oh: R / M( ), 0, -/ Mm M( ) M R 4 M ( ) / ( ), J J J 64 -/ m J Krut: / Mk( ) M R, 0, -/ Mkm Mk( ) M R M ( ) M R / ( ) r r, J J -/ m P M J P R P J P 4 3 / loučení výsledků řešení (elementární krchle), hledání etrémů Vcháíme npjtosti v odě (elementární krchle vi T 5) Odpovídjící npětí sečteme vhodnotíme etrém vžd smosttně v části části V části se vsktuje poue jednoosá npjtost poue oh, od c/ d/ můžeme shrnout do rovnice m Pro část je postup nnčen v T 6 5/0

6 T6 Mimální smkové npětí je kdekoliv n povrchu hřídele (Krut) Mimální normálové npětí je v horní (po dosení nmének Th) ve spodní (po dosení nmének Tlk) části hřídele / / c/ Nleení hlvních npětí (určení směrů hlvních npětí je-li to nutné) Mohrov kružnice Tento od ávisí tké n volené hpotée pevnosti (vi následující krok) Pro část tento od nemá smsl, pro část postup odpovídá předchoímu příkldu Postup je nnčen v T 3 (výsledné vorce:, ) d/ Aplikce vrné hpoté pevnosti le volené hpoté pevnosti spočteme ukovné npětí Rovnice pro výpočet ukovného npětí u HMH hpoté jsou uveden v T 7 T 7 Hpoté Redukovné npětí Část Část spočteme vrintu / i vrintu /, v nšem přípdě ude v oou přípdech stejný výsledek m e/ Pevnostní kontrol, návrh roměrů, tížení td (vhodnocení) V tomto kroku porovnáme výsledné ukovné npětí s npětím dovoleným Z výsledné nerovnice pk jistíme, d kontrolovná konstrukce vhoví poždvkům n ni kldeným (což v tomto přípdě repreentuje dovolené npětí), přípdně nvrhneme roměr či tížení (po dosení všech příslušných rovnic) Tento od je shodný s předchoím příkldem, v tomto přípdě již vniknou složitější rovnice, k jejichž řešení se čsto používá numerická mtemtik (npř iterční metod) Jednotlivé vrint jsou nnčen v T 8 Návrh roměrů se používá při konstrukci nového říení, určení mimální átěžné síl můžeme použít npř při tpickém těžování (konstrukce nel pro toto tížení dimenován), pro odhd epečnosti T 8 Cíl výpočtu Pevnostní kontrol Pltí li ároveň - konstrukce vhoví Návrh roměru části Návrh průměru části Mimální těžující síl neo 6/0

7 4 Řešené příkld n procvičení Cv Př_3 Or 3 e e áno: =3000 mm, =300 mm, =50 mm (, J), =000 N, E=00000 MP, σ =50 MP Urči: (předpokládejme e 0, e 0 dle Or 3) / Rodělení úloh n ákldní těžovcí půso řešení těchto rodělených úloh íl půsoí tlk oh ílu přesuneme do os (tlk) A ůstlo tížení stejné, musíme přidt dv moment - okolo os okolo os (oh) V T 9 je ukáán půso rodělení n ákldní půso těžování (moment dvojice sil) T 9 Celá úloh = Část + Část + Část 3 M Určete epečnou olst (hrnici), ve které může ležet půsoiště síl (m tlkové npětí σ ) Určete epečnou olst (hrnici) tk, l celá ploch průřeu nmáhná poue tlkem Osttní vliv (npř vlstní tíh) jsou nedán M M M M M Oh: / Ře: M( ) M e, 0, M ( ) e / Npjtost: ( ), J J Oh: / Ře: M( ) M e, 0, M ( ) e / Npjtost: ( ), J J Tlk: / Ře: N( ), 0, 3 N( ) / Npjtost: ( ), J J 3 3 / loučení výsledků řešení (elementární krchle), hledání etrémů Z T 9 je řejmé, že ve všech třech částech roložené úloh vniká shodná npjtost (normálové npětí ve shodném směru) V této úloe máme ted jednoosou npjtost, výsledná hodnot npětí odpovídá součtu jednotlivých npětí Npjtost popíšeme rovnicí (): e e,, J J 7/0

8 e/ Pevnostní kontrol, návrh roměrů, tížení td (vhodnocení) Při ohu jsou (vhledem k průěhu npětí v řeu) etrém n povrchu osením do rovnice () ískáme dvě hodnot pro mimální tlkové npětí mimální thové npětí (velikost ude áviset n e e e e velikosti e e ) (): min, m J J J J Poloh etrémů je ptrná Or 4 e e σ min σ m Or 4 V prvním odu máme určit epečnou olst dnou prmetr e e, ve které může ležet síl - npětí nesmí překročit dovolenou hodnotu U jednoosé npjtosti pro náš příkld pltí (3): e e min J J Z rovnice nvrhujeme dvě nenámé hodnot e e jednu hodnotu musíme vhodně volit, druhou dopočteme dle rovnice (3) Ve druhém odu máme určit olst dnou prmetr e e, ve které může ležet síl - npětí může ýt poue tlkové (nul) Postup je nnčen v T 0 T 0 e e =0 σ m =0 e e Vjdeme této rovnice: m, J J pltí e =0 σ m =0 Po dosení ískáme rovnici: e 0, e které určíme hodnotu e : J e J e J (rovnici le ještě uprvit) σ m =0 e e =0 e e Vjdeme této rovnice: m, J J pltí e =0 σ m =0 Po dosení ískáme rovnici: e 0, e které určíme hodnotu e : J e J e J (rovnici le ještě uprvit) 8/0

9 e σ m =0 e Z předchoích kroků jsme ískli dv od, které odpovídjí nulovému npětí v hrně Pokud se pohujeme (se silou) po přímce spojující tto dv od, nulové npětí ude v odu n protilehlé strně ploch Podoným půsoem lo možno stnovit od pro kždou hrnu průřeu Vniklá ploch se nývá jádro průřeu (síl půsoící kdekoli v ploše ončené jko jádro průřeu vvolá npětí tlkové po celém průřeu, síl ležící n hrně jádr průřeu pk vvolá npětí nulové n opčné strně průřeu) 5 Příkld n procvičení Cv Př_4 áno:,, E, σ Urči: Určete roměr Uvžujte th+oh Or 5 6 Příkld n procvičení Cv Př_5 Or 6 áno:, (, J),, E, σ Urči: Njděte míst s mimálním ukovným npětím (Guest) proveďte pevnostní kontrolu 7 Příkld n procvičení Cv Př_6 áno:, (, J),, E, σ Urči: Určete minimální hodnotu úhlu α ( 0, / α kontrol) Or 7 ) (pevnostní 9/0

10 8 Příkld n procvičení Cv Př_7 Or 8 áno:,, E, σ Urči: Nvrhněte průměr 9 itertur Odvoení dlší příkld n procvičení le nlét ve většině skript či učenic pružnosti pevnosti 0/0