Jakub Vojtík. Kurzové sázky a reálné kurzy. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Transkript

1 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jakub Vojtík Kurzové sázky a reálné kurzy Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí bakalářské práce: Studjní program: Studjní obor: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. Matematka Obecná matematka Praha 2017

2 Prohlašuj, že jsem tuto bakalářskou prác vypracoval samostatně a výhradně s použtím ctovaných pramenů, lteratury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moj prác vztahují práva a povnnost vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Unverzta Karlova má právo na uzavření lcenční smlouvy o užtí této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne Podps autora

3 Na tomto místě bych rád poděkoval svému vedoucímu práce, doc. RNDr. Petru Lachoutov CSc., za čas, který s vždy našel pro mou prác, za ochotu, s jakou se jí věnoval, a za pomoc a cenné rády, které m poskytl př výběru jejího tématu v průběhu zpracování.

4 Název práce: Kurzové sázky a reálné kurzy Autor: Jakub Vojtík Katedra: Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc., Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Abstrakt: Kurzové sázení je v dnešní době velm populární. Sázkové kanceláře vypsují kurzy na výsledky sportovních utkání, které představují možnou výhru za každou vsazenou jednotku. Cílem této práce je zkoumat, jestl mohou kurzy nějakým způsobem odrážet pravděpodobnost výsledků sportovních utkání, a na základě toho se pak pokust říc, zda totéž platí pro sázkaře a jejch sázky. Nejprve je odvozeno několk modelů, na základě nchž mohou být kurzy nastaveny. Poté je sestaven test hypotézy testující platnost jednoho z modelů. Tu nelze zamítnout, díky čemuž je pak sestaven odhad závslost skutečné pravděpodobnost na vypsaných kurzech. Ukazuje se, že s výjmkou pravděpodobností blížící se 0 a 1 by tento odhad mohl odpovídat. Závěrem práce je zjštění, že kurzy by mohly být dobrým ndkátorem skutečné pravděpodobnost a v takovém případě by pravděpodobnostem odpovídaly sázky sázkařů. Klíčová slova: Kurzové sázení, Vývoj kurzu, Tensové zápasy, Metoda nejmenších čtverců Ttle: Fxed-odds bettng and real odds Author: Jakub Vojtík Department: Department of Probablty and Mathematcal Statstcs Supervsor: Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc., Department of Probablty and Mathematcal Statstcs Abstract: The fxed-odds bettng s currently very popular. Bookmakers set the odds on sport events, whch represent an amount possble to wn per each unt bet. The am of ths thess s to study whether the odds can reflect the probabltes of the outcomes of sport matches, based on whch then try to tell f the same can go for the bettors and ther bets. Frst, there are derved several models for settng the odds. Then there s constructed a hypothess test to test a valdty of one of these models. Ths cannot be rejected, thanks to whch there s estmated the dependence of the real probabltes on the odds. It turns out that wth the excepton of probabltes close to 0 and 1 the estmaton mght work. The concluson of the thess s the statement that odds could a be a good ndcator of the probabltes and n such case also the bets of the bettors would correspond to them. Keywords: Fxed-odds bettng, Behavor of odds, Tenns matches Least squares method

5 Obsah Úvod 2 1 Základní defnce a tvrzení Kurzové sázky Význam kurzů Reálné kurzy jako ukazatele pravděpodobnost Testování hypotéz Odhad pravděpodobnost úspěchu jako funkce mplkovaných pravděpodobností Interpretace výsledků 26 Závěr 28 Seznam použté lteratury 29 Seznam obrázků 30 Seznam tabulek 31 Přílohy 32 1

6 Úvod V této prác se budeme věnovat kurzovým sázkám. Ty mohou být mez sázkař oblíbené v případě, že jm nepřnáší zsk, mohou s jm například zpestřt sledování sportovního přenosu. Nejprve zjstíme, jak je kurzové sázení vysvětleno zákonem, a poté pro jednotlvé pojmy zavedeme vlastní matematcké defnce. Odvodíme několk tvrzení, která kladou podmínky na to, jaké sázky mohou být zskové. Těmto tvrzením také podpoříme myšlenku, že jednotlvé kurzy, nebol výplata za každou vsazenou jednotku v případě výhry, by mohly sloužt jako ukazatele pravděpodobností výsledků sportovních utkání. Navrhneme několk modelů, jakým by kurzy mohly být určovány, a odvodíme, proč by tyto modely mohly dávat smysl. Jedním z cílů práce bude ověřt, zda lze skutečnou pravděpodobnost výsledků pro jednotlvé zápasy vyjádřt jako funkc vypsaných kurzů. Budeme př tom pracovat s reálným daty z odehraných tensových utkání. Navržený model, kdy jsou skutečné pravděpodobnost výsledků čstě funkcem kurzů, budeme dále zkoumat. Nejprve se jej budeme snažt vyvrátt, poté se pokusíme za předpokladu jeho platnost odhadnout funkc této závslost pravděpodobnost na kurzech. Nakonec se s využtím všech poznatků získaných během práce budeme snažt odpovědět na otázku, zda samotní sázkař svým sázkam odpovídajícím způsobem odrážejí pravděpodobnost výsledků tensových utkání. 2

7 1. Základní defnce a tvrzení 1.1 Kurzové sázky Kurzové sázky jsou dle zákona klasfkovány jako hazardní hra, která je v něm defnovaná následovně (vz Česko, 2016): Hazardní hrou se rozumí hra, sázka nebo los, do nchž sázející vloží sázku, jejíž návratnost se nezaručuje, a v nchž o výhře nebo prohře rozhoduje zcela nebo zčást náhoda nebo neznámá okolnost. Dle tohoto zákona o hazardních hrách je pak samotná kurzová sázka defnována takto: (1) Kursová sázka je hazardní hra, u níž je výhra podmíněna uhodnutím sázkové příležtost. (2) Sázkovou příležtostí se rozumí zejména sportovní výsledek nebo událost veřejné pozornost. (3) Výše výhry je přímo úměrná výhernímu poměru (dále jen kurs ), ve kterém byla sázka přjata, a výš sázky. K této defnc doplňme, že jednotlvé sázkové příležtost jsou dsjunktní pro každou událost a vždy nastává právě jedna. Dále exstuje žvá kurzová sázka, jakožto druh kurzové sázky, na kterou jsou sázky přjímány v průběhu konání sázkové příležtost. Přestože by bylo možné některé z defnc a tvrzení uvedených v tomto textu zobecnt na jné případy, než uvádí bod (2), např. na loterjní č kasnové hry, zavedeme vlastní defnc kurzové sázky a sázkové příležtost, v níž navíc pomneme případy žvých kurzových sázek. Defnce (Multnomcké rozdělení, vz Kulch, 2017, Defnce 6.2). Nechť K 2 a n 1 jsou přrozená čísla a p = (p 1,..., p K ) je vektor konstant splňující p k > 0 k a K k=1 p k = 1. Náhodný vektor X = (X 1,..., X K ) má multnomcké rozdělení Mult K (n, p), právě když jeho hustota vzhledem k součnové čítací míře na Z K je n! x 1! x K! px 1 1 p x 2 2 p x K K K k=1 x k = n, P[X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X K = x K ] = x k 0 k, 0 jnak. Defnce 1.1 (Událost, sázková příležtost). Nechť má náhodný vektor X = (X 1,..., X n ) multnomcké rozdělení Mult n (1, p), kde n N \ {1}, p = (p 1 X,..., pn X ) není přesně známé. Pak X nazýváme událostí a složky X 1,..., X n jeho sázkovým příležtostm. Poznámka. Máme X Alt(p ) {1,..., n}. Defnce 1.2 (Desetnný kurz). Nechť je dána událost X Mult n (1, p). Pro každé {1,..., n} defnujme (desetnný) kurz kx, kde k X = c, pro nějaké 100 c N [100, ). 3

8 Poznámka. V tomto textu tedy budeme uvažovat dskrétní množnu kurzů, jenž jsou navíc zaokrouhlené na setny. Desetnný kurz je ustálený pojem v oblast kurzového sázení, kromě něj exstuje několk dalších defnc kurzů, označovaných jnak amercký, anglcký, hongkongský, malajský, ndonéský atd. Defnce 1.3 (Kurzová sázka). Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p) s kurzy kx 1,..., kn X. Kurzovou sázkou na příležtost X, {1,..., n} rozumíme číslo ωx R+. Defnce 1.4 (Výhra). Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), kurzy kx 1,..., kn X a sázky ω1 X,..., ωn X. Pro příležtost X, {1,..., n} pak výhru, značíme V, defnujeme jako { kx V = ω X, pokud X = 1, 0, pokud X = 0. Poznámka. Pro událost X s výhru př sázce na příležtost X můžeme představt jako náhodnou velčnu V = k X ω X X. To, co tedy odlšuje kurzovou sázku od ostatních hazardních her, pro příklad uveďme zmňované loterjní hry č ruletu, je neznalost skutečných pravděpodobností jednotlvých výsledků. Zavedené pojmy lustrujeme na následujících dvou příkladech. Příklad. Na událost fnále fotbalového Eura 2016 mez Portugalskem a Francí byly vypsány tyto kurzy: 4,22 na vítězství Portugalska v základní hrací době, 3,05 na remízu v základní hrací době a 2,17 na vítězství France v základní hrací době (jedná se o průměrné kurzy 17 různých sázkových kanceláří). Označme tyto příležtost po řadě X 1, X 2 a X 3 v odpovídajícím pořadí. Pokud by sázející uskutečnl sázku v hodnotě 100 korun na příležtost X 1, v případě výhry Portugalska by mu bylo vyplaceno 422 korun, jeho čstý zsk by tedy čnl 322 korun. Pokud by Portugalsko v základní době nevyhrálo (skutečně, výsledek byl po základních 90 mnutách hry 0:0), hráč by bylo vyplaceno 0 korun, tudíž by jeho zsk byl -100 korun. Podobně pro příležtost X 2 a X 3. Typcky však v prax bývá příležtost výhry domácího týmu označována jako 1, remíza jako 0 č X a výhra hostujícího týmu jako 2. Příklad. Na Velké pardubcké 2016 byl na největšího favorta koně Charme Look s žokejem Janem Faltejskem vypsán kurz 3:1. Jedná se o kurz anglcký, typcký pro dosthové závody. Výraz 3:1 = 3/1 = 3 chápeme jako reálné číslo a kurz desetnný z něj lze získat pomocí vzorce c 1 = 3, odkud c = 4,00 je tedy desetnný kurz na vítězství koně Charme Look. Anglcký kurz vyjadřuje čstý zsk počtu jednotek za každou vsazenou jednotku, zatímco desetnný kurz určuje celkovou výhru z každé vsazené jednotky. Podobně jednoduchým transformacem je možné (prostě) převádět mez ostatním druhy kurzů, my s v našem textu však vystačíme pouze s desetnným kurzy a těmto transformacem se tedy nebudeme zabývat. 4

9 1.2 Význam kurzů Celý mechansmus sázení můžeme chápat jako hru 2 hráčů. Hráč A představuje sázkovou kancelář. Bude určovat kurzy ve snaze maxmalzovat svůj zsk, pod nímž budeme rozumět následující: Defnce 1.5 (Zsk sázkové kanceláře). Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ), X Mult n (1, p) s kurzy k 1 X,..., kn X a sázkam ω1 X,..., ωn X. Pak zsk sázkové kanceláře, označujeme Z A, defnujeme jako Z A = ωx (1 kx X ). Hráč B bude představovat všechny sázkaře. Je jednoduchým pozorováním, že veškeré jejch sázky na příležtost X v kurzu kx lze reprezentovat jednou sázkou ωx na tento kurz k X jakožto součet jejch sázek. Sázky hráče B na jednotlvé výsledky budou tedy součty sázek veškerých sázkařů. Defnce 1.6 (Zsk sázkaře). Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ), X Mult n (1, p) s kurzy kx 1,..., kn X a sázkam ω1 X,..., ωn X provedené sázkařem. Pak zsk sázkaře, označujeme Z B, defnujeme jako Z B = Z A = ωx (kx X 1). V této kaptole se na problém podíváme z pohledu hráče A. Ten vybírá událost s n příležtostm, n N \ {1}, z nchž pro každou vypíše kurz. Odvodíme některá tvrzení, díky nmž především zjstíme, že můžeme kurzy chápat jako odhady pravděpodobností jednotlvých příležtostí. Na základě těchto zjštění pak budeme pozděj zkoumat, zda takové odhady odpovídají skutečnost. Tvrzení 1.1. Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p) s kurzy kx 1,..., kn X. Pak exstují sázky ω1 X,..., ωn X takové, že P(Z B > 0) = 1, právě tehdy, když (kx) 1 < 1. Důkaz. = Mějme sázky ω 1 X,..., ωn X takové, že P(Z B > 0) = 1. Pak pro každou příležtost musí výhra převyšovat celkovou vsazenou částku, nebol j {1,...,n} : ω j X kj X ωx > 0 j {1,...,n} : ω j X n ω X > (k j X ) 1. Platí-l tento vztah pro každé j {1,...,n}, pak jstě můžeme obě strany přes všechna j sečíst: n j=1 ωj X > (k j X ) 1, n ω X 5 j=1

10 nebol (k j X ) 1 < 1. j=1 Pak = = Zvolme ω j X = Z B = c k j X n, c (0, ), j {1,..., n}. (k X ) 1 (ωx kx X ωx) = c X n c (k X ) 1 s.j. n n = j=1 (kj X ) 1 j=1 (kj X ) 1 ωx kx X c n j=1 (kj X ) 1 ( 1 ωx = ) (kx) 1 > 0. Poznámka. Z pohledu sázkové kanceláře můžeme ekvvalentně tvrdt, že exstují sázky ω 1 X,..., ωn X takové, že P(Z A < 0) = 1. Tvrzení 1.2. Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), p = (p 1 X,..., pn X ). Pak E(Z A ) 0 pro všechny kurzové sázky ωx 1,..., ωn X právě tehdy, když exstují desetnné kurzy kx 1,..., kn X takové, že: (k X ) 1 p X pro každé {1,...,n}, přčemž rovnost nastává právě tehdy, když pro každé {1,...,n} : (kx ) 1 = p X. Důkaz. E(Z A ) = E ωx (1 kx X ) = ωx (1 kx p X) Tento výraz je nezáporný pro jakékolv kurzové sázky ωx 1,..., ωn X právě tehdy, když 1 kx p X 0 {1,..., n}, odkud úpravou (k X) 1 p X. Vztah pro rovnost získáváme analogcky. Poznámka. Je snadným pozorováním, že E(Z A ) 0 pro jakékolv sázky právě tehdy, když E(Z B ) 0 pro jakékolv sázky. Tvrzení můžeme tedy ekvvalentně přepsat následovně: Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), p = (p 1 X,..., pn X ). Pak exstují kurzové sázky ω 1 X,..., ωn X takové, že E(Z B) > 0 právě tehdy, když exstuje {1,..., n}: (k X ) 1 < p X. 6

11 Pro událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), p = (p 1 X,..., pn X ), by tedy snahou sázkové kanceláře mělo být nastavt desetnné kurzy kx 1,..., kn X tak, že p X < (k X ) 1 {1,...,n}. Snahou sázkaře je naopak nalézt takový kurz kx, že p X > (k X ) 1, {1,...,n}. Pokud se mu navíc (např. u různých sázkových kanceláří) podaří vybrat kurzy kx 1,..., kn X tak, že n (k X ) 1 < 1, může uskutečnt sázky ωx 1,..., ωn X, že bude jeho kladný zsk zaručen bez jakékolv znalost p 1 X,..., pn X. Příklad. Mějme událost X, kdy je krajíc chleba upuštěn na zem se dvěma příležtostm, buď dopadne na stranu X 1, č na stranu X 2. První sázková kancelář použla odhad ˆp = 0,5 parametru p = P(X 1 = 1) = 1 P(X 2 = 1). Je (0,5) 1 = 2. Rozhodla se tedy zvolt kurzy kx 1 = k2 X = 1,9, aby za platnost jejího odhadu byl její očekávaný zsk kladný př jakýchkolv sázkách ωx 1, ω2 X. První sázkař se však dozvěděl, že strana A bude namazaná máslem, na základě čehož použl odhad p = 0,8. Za platnost jeho odhadu platí: E(Z B ) = ωx(k X p X 1) = ωx(1,9 1 0,8 1) + ωx(1,9 2 0,2 1) Zvolí-l tento sázkař ωx 1 (0, ), ω2 X = 0, pak pokud byl jeho odhad správný, ční jeho očekávaný zsk ωx 1 (1,9 0,8 1) = 0,52 ω1 X > 0. Druhá sázková kancelář rovněž měla nformac, že bude strana A krajíce namazána máslem a použla stejný odhad p = 0,8. Platí 0,8 1 = 1,2 a 0,2 1 = 5. Na základě toho vypsala kancelář kurzy kx 1 = 1,15 a k2 X = 4,5. Druhý sázkař neměl ponětí, jak by pravděpodobnost odhadl, místo toho s však všml příležtost jstého zsku. Z B = V ωx = ωx(k X X 1) = ωx(1,9 1 X 1 1) + ωx(4,5 2 X 2 1) = c ω 1,9 X 1 + (1 c) ω 4,5 X 2 ω = ω(c 1,9 X 1 + (1 c) 4,5 X 2 1) pro nějaké c (0, 1), kde ω = ω 1 X + ω2 X. Zvolíme-l jej, aby platlo 1,9 c = 4,5 4,5 c, nebol c = 4,5 4,5 1,9 Z B = ( 1) ω = 2,15 6,4 6,4 6,4, pak ω > 0, ať už krajíc dopadne na jakoukolv stranu. Předpokládejme, že sázková kancelář zná pravděpodobnost jednotlvých příležtostí. Jakým způsobem je pak pro n nejvýhodnější rozdělt kurzy? Tvrzení 1.3. Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), p = (p 1 X,..., pn X ). Očekáváný zsk sázkové kanceláře je kladný a závslý pouze na celkovém součtu sázek ω = ωx, tedy nezávslý na rozdělení sázek ω1 X,..., ωn X, právě tehdy, exstují-l kurzy kx 1,..., kn X a s (mn p X, 1) takové, že kx = s {1,...,n}. p X 7

12 Důkaz. E(Z A ) = E( ωx (1 kx X 1 )) = což je nezávslé na jednotlvých ω X ωx (1 kx p X) = ω právě tehdy, je-l ωx kx p X, k X p X = s R. Máme zde však omezující podmínky, že desetnný kurz je z defnce větší než 1, odkud s > p X, a aby byl očekávaný zsk kladný, tak dle Tvrzení 1.2 má být p X < 1, tedy kx s < 1. Z důkazu vdíme, že za platnost předpokladů předchozí věty platí E(Z A ) = ω(1 s), ω := ω X. Tento výraz nám pomůže lépe pochopt následující lemma. Lemma 1.4. Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), p = (p 1 X,..., pn X ) a kurzy kx 1,..., kn X. Nechť exstuje s R takové, že kx = s {1,...,n}. Pak p X s = 1 (k X ) 1 a p X = (k X ) 1 (k X ) 1 {1,..., n}. Důkaz. Mějme s R takové, že k X = s platí odkud Vdíme tedy, že 1 k X = p X s 1 k X s = = p X {1,...,n}, p X s 1 (k X ) 1. {1,...,n}. Pak ekvvalentně = 1 s. Pro každé {1,..., n} pak tento výsledek už pouze dosadíme do rovnce p X = (k X ) 1 s. 8

13 Nechť jsou splněny předpoklady předchozího lemmatu. Pokud by E(Z A ) = E(Z B ) = 0, pak v souladu s Tvrzením 1.2 s = 1, nebol (kx ) 1 = 1. Má-l však být E(Z A ) > 0, pak s < 1 a ekvvalentně (kx ) 1 > 1. Vztah E(Z A ) = ω(1 s), kde ω = ωx, můžeme tedy přepsat jako ( ) ( 1 (k E(Z A ) = ω 1 = ω X ) 1 1 ). (k X ) 1 (k X ) 1 Rozhodně nelze říct, že bychom mohl platnost takových předpokladů obecně očekávat, přesto však zavedeme následující defnce. Defnce 1.7 (Marže sázkové kanceláře, mplkovaná pravděpodobnost). Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), p = (p 1 X,..., pn X ) a kurzy (k kx 1,..., kn X. Pak výraz X ) 1 1 nazýváme marží sázkové kanceláře, což značíme m. (k X ) 1 Pro každé {1,..., n} navíc defnujeme mplkovanou pravděpodobnost (kx ) 1 (k X ), kterou značíme 1 π X. K marž bývá zvykem přstupovat jako ke konstantě. Je však jsté, že nemůže být pro všechny kombnace desetnných kurzů konstantní kvůl jejch zaokrouhlení. Ve zbytku této kaptoly budeme na marž pohlížet jako na konstantu, která je sázkovou kanceláří pevně dána pro jednotlvé soutěže nebo turnaje. Pro konkrétní událost jsou pak na základě toho určeny nejprve reálné kurzy, aby byla marže přesně dodržena, a ty jsou následně zaokrouhleny na kurzy desetnné. Navíc budeme od marže požadovat, aby nebyla přílš vysoká, tedy že za jakýchkolv okolností je alespoň jeden z kurzů větší než jedna. V tvrzení 1.3 jsme odvodl nejvýhodnější rozdělení kurzů, pokud sázková kancelář zná jednotlvé pravděpodobnost a nezná rozložení sázek. Dále určíme nejvýhodnější rozdělení za předpokladu znalost pravděpodobností sázek, č pouze sázek. V praktcké část pak ověříme, zda tyto modely odpovídají skutečnost. Tvrzení 1.5. Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), p = (p 1 X,..., pn X ), rozdělení sázek ωx 1,..., ωn X a marže m (0,1). Nechť navíc ω X > 0 pro každé {1,..., n}. Pak očekávaný zsk sázkové kanceláře je maxmální, pokud pro každé {1,..., n} platí: { } k X = max 1, (1 m) n j=1 ω j X pj X ω X p X. Důkaz. ( ) E(Z A ) = E ωx (1 kx X 1 ) = ωx (1 kx p X) = ω ωx kx p X. Označme k := (k 1 X,..., k n X), f(k) := ω 1 X p 1 X k 1 X + + ω n X p n X k n X. 9

14 Pak E(Z A ) je maxmální pro takové k, pro které je f(k) mnmální. Hledejme toto mnmum. Máme omezující podmínku m = (k X ) 1 1 (k X ) 1 = 1 1 (k X ) 1, odkud Volbou k ˆ X = n (1 m) (k X) 1 = 1 1 m. {1,..., n} dostáváme Nyní vdíme, že mn f(k) k 1,...,k n ω X p X ˆ k X = n (1 m) ωx p X. k j X < n (1 m) n ω X p X mn ω X p X j {1,..., n}, neboť pokud j {1,..., n} : k j X n (1 m) n mn ωx p X ω X p X, pak f(kx, 1..., k j X,..., kn X) > ω j X pj X k j X n (1 m) ωx p X mn f(k 1,..., k n ). Mnmum tedy budeme hledat na uzavřené omezené, nebol kompaktní množně M := {k R n, 1 k n (1 m) n mn ωx p X ω X p X, j=1 (k j ) 1 = 1 }, 1 m na které víme, že se nabývá. Nejprve vyšetřeme metodou Lagrangeových multplkátorů (vz Pck a kol., 2017, Věta ) množnu M 1 := {k R n, 1 < k < n (1 m) n mn ωx p X ω X p X, j=1 (k j ) 1 = 1 }. 1 m g(k) = (k j ) m j=1 ( ) 1 g(k) = (k,..., 1 (0,..., 0) X 1 )2 (kx n )2 k M 10

15 Hledáme tedy λ R, takové, že f(k) + λ g(k) = 0. {1,..., n} : ωx p X λ (k = 0 λ X k )2 X = ωx, p X Odtud 1 1 m = (k j ) 1 = 1 ω j X λ pj X λ = (1 m) ω j X pj X j=1 k X = (1 m) ω j X pj X ω X p X {1,..., n}, a tedy ( 2. f(k) = (1 m) ω j X X) pj j=1 Nyní ověříme, že pokud by některé z kurzů byly rovny jedné, nebyla by funkční hodnota menší. Nejprve s uvědomíme, že všechny nemohou být rovny jedné, tedy že alespoň jeden je větší než jedna. Nechť je mnma nabýváno pro kurzy k ˆ X 1,..., k ˆ X n, z nchž je l {1,..., n 1}. BÚNO kx 1 = = kl X = 1. Pak { M = k R n, k 1 = = k l = 1, 1 < k < n (1 m) n ω X p X mn ω X p X Máme {l + 1,..., }, (k j ) 1 = 1 } 1 m l. j=l+1 g (k) := k 1, = 1,... l, g l+1 (k) := (k j ) m l, j=l+1 jejchž gradenty jsou vždy lneárně nezávslé. Je tedy splněna podmínka f(k) + λ g l+1 (k) = 0 pro nějaké λ R. Analogcky: {1,..., n} : ωx p X λ (k = 0 k ˆ X )2 X = λ ωx, p X Tedy 1 1 l (1 m) l = 1 m 1 m ˆ k X = λ = = j=l+1 1 m 1 l (1 m) n 1 m j=l+1 1 l (1 m) (kˆ j ) 1 = 1 λ j=l+1 j=l+1 ω j X pj X. ω j X pj X ω j X pj X, {l + 1,..., n}. ω X p X 11

16 Ovšem zvolíme-l a pak neboť: k X = f( k ˆ X 1,..., k ˆ l 1 X n ) = f( k 1 X,..., označíme-l pak A 2 k X = 1, = 1,..., l 1 n 1 m j=l 1 (l 1) (1 m) j=1 l 1 kx n ) = ω j X pj X, = l,..., n, ω X p X f( k 1 X,..., k n X ) f( ˆ k 1 X,..., ˆ k n X ), (ω j X pj X ) + ωl X p l X + j=1 (ω j X pj X ) + 1 m 1 (l 1) (1 m) A := ωx l pl X, B := ω j X pj X, j=l+1 C := 1 l (1 m), D := 1 m, f( ˆ k 1 X,..., ˆ k n X ) f( k 1 X,..., k n X ) = A2 + D C B2 1 m ( 2, ω j X 1 l (1 m) X) pj j=l+1 ( j=l ω j X pj X) 2, D C + D (A2 + 2AB + B 2 ) = ) ( A 2 1 D ) 2AB D ( D C + D C + D + B2 C D = C + D C C + D 2AB D ( ) C + D + D 2 2 C B2 C(C + D) = A C + D B D 0. C(C + D) Tedy mnma se pro kurzy k ˆ X 1,..., k ˆ X n nenabývá. Jelkož je M kompaktní množna, na níž víme, že mnmum exstuje, a zároveň jsme vyloučl všechny body kromě (kx 1,..., kn X ), jedná se o mnmum právě v tomto bodě. Jedná výjmka by nastala, pokud by marže m byla přílš vysoká a kurzy by tím pádem vycházely menší než 1. V takovém případě budeme předpokládat, že sázková kancelář takové kurzy dodatečně zvýší na 1. Poznámka. Po manuálním nastavení některých kurzů na 1 by sázková kancelář dále mohla upravt podmínku pro celkový součet zbylých kurzů a určt jejch hodnotu stejným postupem pomocí Lagrangeových multplkátorů, jako jsme to dělal ve druhé část důkazu. Tuto možnost však nebudeme brát v úvahu vzhledem k tomu, že jakmle hodnota kurzu dosáhne 1, ztrácí pro nás taková událost význam. Nemohl bychom s totž u takové událost být jstí tím, jak z kurzu 1 zrekonstruovat hodnotu, jíž nabýval před manuální úpravou. 12

17 Nyní odvodíme poslední tvrzení pro případ, že by sázková kancelář neznala jednotlvé pravděpodobnost, ovšem znala by rozdělení jednotlvých sázek. Bude se jednat o analog ke Tvrzení 1.3. Tvrzení 1.6. Nechť je dána událost X = (X 1,..., X n ) Mult n (1, p), p = (p 1 X,..., pn X ). Očekáváný zsk sázkové kanceláře je kladný a nezávslý na parametru p právě tehdy, exstují-l kurzy kx 1,..., kn X a s (0, m ω X ) takové, že kx = s {1,...,n}. ω X Důkaz. ( ) E(Z A ) = E ωx (1 kx X 1 ) = ωx (1 kx p X) = m ωx ωx k X p X, což je nezávslé na jednotlvých p X právě tehdy, je-l k X ω X = s R. Pak E(Z A ) = m ω X s, což je kladné pro s < m ω X. Navíc musí být s vhodně zvoleno, aby se skutečně jednalo o desetnný kurz. Poznámka. Nechť jsou kurzy skutečně určeny dle Tvrzení 1.6. Pak je-l přjímána další sázka ωx na příležtost X, zůstává zsk sázkové kanceláře kladný s pravděpodobností 1, pokud ωx k X < ω s, kde ω je součet všech předešlých sázek. Můžeme tedy věřt, že by takový systém mohl být používán například př tzv. žvých sázkách, kdy je sázka každého sázkaře buď přjata po určtém čase, nebo je zamítnuta a je změněn kurz. Pak sázková kancelář zná rozdělení sázek v každém momentu a může tedy tento model aplkovat. Použít ho však lze až v případě dostatečného množství jž uskutečněných sázek, které zajstí, že nterval pro nové sázky bude alespoň rozumně velký. 13

18 2. Reálné kurzy jako ukazatele pravděpodobnost V této část budeme ověřovat platnost modelů navržených v předchozí kaptole na reálných datech. Omezíme se pouze na událost tensových zápasů, pro které jsou vypsány vždy dvě sázkové příležtost - vítězství prvního č druhého hráče. Budeme uvažovat výběr nezávslých náhodných velčn - událostí X 1,..., X n, kde X = (X 1, X 2), {1,..., n} má mutlnomcké rozdělení Mult 2 (1, p ), p = (p 1, p 2 ). Poznámka. Místo používání výrazů typu X ve spodním ndexu, omezíme se v takových případech pouze na ndex. Naším cílem bude zjstt, zda je čstě podle kurzů možné odhadnout pravděpodobnost výsledků jednotlvých zápasů. Pokud by sázkové kanceláře kurzy určovaly podle modelu popsaného v Tvrzení 1.3, pak by kurzy dokonale odrážely pravděpodobnost úspěchu. To by ovšem podle Tvrzení 1.2 neexstovaly sázky s kladným zskem pro sázkaře. Jestlže by se ale do určování kurzů promítaly sázky ostatních sázkařů, ať už v kombnac se znalostí pravděpodobností podle Tvrzení 1.5, nebo čstě pouze v závslost na rozdělení sázek, jak popsuje Tvrzení 1.6, pak by jž pravděpodobnost nebylo možné přesně odhadnout, na druhou stranu by však mohly exstovat sázky s kladným očekávaným zskem. 2.1 Testování hypotéz V první část budeme testovat platnost modelu navrženého v Tvrzení 1.3, což podle Lemma 1.4 znamená ověřt, zda se skutečné pravděpodobnost sázkových příležtostí rovnají mplkovaným pravděpodobnostem. Odvoďme nyní tento statstcký test. Původní výběr X1, 1 X2, 1..., X1 n, X2 n rozdělíme na k skupn tak, že v každé budou příležtost se stejnou mplkovanou pravděpodobností π, {1,..., k}. Uvažujme nyní jednu takovou skupnu {1,..., k}. Náhodné velčny nacházející se v ní nově označme jako X 1,..., X n. Máme X j Alt(p j ) j {1,..., n }, a tedy model F = {Alt(p), p (0,1)}. Vyslovíme hypotézu, že průměrná pravděpodobnost úspěchu příležtostí z této skupny je rovna mplkované pravděpodobnost π, tu budeme testovat prot alternatvě, že jí není rovna. Tedy 1 n 1 n H 0 : p j = π, H 1 : p j π. n j=1 Rád bychom použl Feller-Lndebergovu centrální lmtní větu pro nestejně rozdělené náhodné velčny (vz Lachout, Věta 17.3). Uvažujme: n j=1 Y k := X k p k k p (1 p ) k N. Pak: 14

19 EY k = E(X k p k ) k p (1 p ) = k p k p k p (1 p ) = 0, k var Y = k var X k p (1 p ) = k p (1 p ) k p (1 p ) = 1. Nechť ε > 0. Pak { } { 1{Y k > ε} = 1 X k p k > ε k } p (1 p ) 1 1 > ε k p (1 p ) skoro jstě. Odtud 1{Y k > ε} = 0 skoro jstě, pro k dostatečně velké, pokud p k 0, an p k 1, což můžeme předpokládat. A tedy pro každé ε > 0 k E(Y 2 k 1{Y k > ε}) k + 0. Ověřl jsme podmínky Feller-Lndebergovy centrální lmtní věty, která nám dává k Y k = k X k p k p (1 p ) D k + N (0,1). Avšak těžko se nám podaří odhadnout výraz k p (1 p ) = k (p p 2 ) ve jmenovatel. Pomůžeme s proto takto: pro každé k N budeme uvažovat rozklad k = a k b k +c k d k, takový, že a k, b k, c k, d k N, a k, b k, c k, d k > 5 k. Budeme předpokládat, že takový rozklad vždy exstuje. Pokud by neexstoval, můžeme vzít rozklad k = a k b k +c k d k +e k f k, nebo náhodně vybrat k < k dat, pro nějž tento k k rozklad jž nalezneme. To jstě lze např. pro k = 2 k + 2 k. Tedy a k, b k, c k, d k. Dále vezmeme náhodné velčny Z 1,..., Z ak, Z ak +1,, Z ck, kde Z j := 1 b k Z j := 1 d k j b k =(j 1) b k +1 j d k =(j 1) d k +1 X, j {1,..., a k }, X, j {a k + 1,..., c k }. Navíc budeme předpokládat, že parametry p 1,..., p k jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny z nějakého rozdělení, splňující Ep 1 = µ, Ep 2 1 = ν 2. Dle 15

20 Chnčnova slabého zákona velkých čísel (vz Kulch, 2016, Tvrzení 7.9) máme 1 a k b k a k b k p (1 p ) = 1 a k a k 1 j d k b j=1 k =(j 1) d k +1 p 1 b k j d k =(j 1) d k +1 p 2 P k + µ ν2. A pro j {1,..., a k } : EZ j = 1 b k var Z j = 1 b 2 k j b k =(j 1) b k +1 j b k =(j 1) b k +1 p P k + µ, p (1 p ) 1. Tedy pro k jsou náhodné velčny Z 1,..., Z ak nezávslé se stejnou střední hodnotou a konečným rozptylem. Dále E(Z 2 j ) = 1 b 2 k ( j b k E =(j 1) b k +1 X ) 2 = 1 b 2 k ( E(X 2 ) + l EX X l ) = 1 [ p + b 2 k Vdíme, že ( ) 2 ] p p 2 = 1 p p 2 + b k b k E(Z 4 j ) = 1 b 4 k E( E(Z 2 ) E(Z 2 j ) j b k =(j 1) b k +1 X ) 4 1. P k + 0 pro, j {1,..., a k}. ( ) 2 p, Tudíž pro k jsou náhodné velčny Z1, 2..., Za 2 k nezávslé se stejnou střední hodnotou a konečným rozptylem. Neboť b k [E(Z 2 1) (EZ 1 ) 2 ] = 1 b k b k p 1 b k b k p 2 b k P k + µ ν2, tak podle Čebyševova slabého zákona velkých čísel a větě o spojté transformac (vz Kulch, 2016, Věta 7.8, resp. Tvrzení 7.3) b k [ a k 1 a k 1 a k a k j=1 (Z j ) 2 ( ak j=1 Z ) 2 ] j P a µ k k + ν2. Čímž získáváme a k b 2 k a k a k 1 [ 1 a k ak j=1 (Z j) 2 ak b k p (1 p ) ( ak j=1 Z ) 2 ] j a k = 16

21 a k ak ( j bk j=1 =(j 1) b k +1 X ) 2 ( ak b k X ) 2 (a k 1) a k b k p (1 p ) odkud analogcky c ck ( ak b k +j d k k j=1 =a k b k +(j 1) d k +1 X 2 ( ) k =a k b k +1 X (c k 1) k =a k b k +1 p (1 p ) Dále s pomůžeme následujícím lemmatem. P k + 1, ) 2 P k + 1. Lemma 2.1. Nechť pro každé n N jsou A n, B n náhodné velčny, navíc B n nezáporné, takové, že A n P B 1. Nechť obdobně jsou C n, D n pro každé n N n k + náhodné velčny, navíc D n nezáporné, takové, že C n D n A n + C n B n + D n P k + 1. P 1. Pak k + Důkaz. Dle defnce konvergence v pravděpodobnost (vz Kulch, 2016, Defnce 7.1) máme ( ) ( ) A n P 1 B n > ε A n B n = P B n > ε 0, ( ) ( ) C n P 1 D n > ε C n D n = P > ε 0. Pak ( ) ( ) A n + C n P 1 B n + D n > ε A n + C n B n D n = P B n + D n > ε = ( ) ( A n + C n B n D n P B n + D n > ε A n B n = P + C ) n D n B n + D n B n + D n > ε ( ) A n B n P + C n D n > ε 0. B n D n D n Označíme-l tedy pro větší přehlednost pak C k := c k A k := a k ak j=1 ( j bk =(j 1) b k +1 X a k 1 ) 2 ( ak b k X ) 2 ck ( ak b k +j d k j=1 =a k b k +(j 1) d k +1 X 2 ( ) k =a k b k +1 X ) 2, c k 1 A k + C k k p (1 p ) P k + 1, a tedy dle Sluckého věty (Kulch, 2016, Tvrzení 7.6) k X k p D Ak + C N (0,1). k k + 17,

22 Nyní, když máme základ pro testovou statstku, se vraťme k našm datům. Celkem máme k dspozc volně dostupné údaje ze tensových zápasů z let 2006 až 2016 (tennsdata.csv). Jednotlvé zápasy jsou tedy událostm, sázkovým příležtostm je vítězství prvního nebo vítězství druhého hráče. U každého zápasu nás zajímají kurzy na obě příležtost, nebol na vítězství každého z hráčů, a také nformace, který z hráčů nakonec zvítězl. Mez těmto kurzy s můžeme všmnout, že se některé vyskytují velm často, zatímco jné se objevují jen zřídka, nebo se dokonce neobjevují vůbec. Lze tomu nahlédnout, budeme-l zkoumat všechny kurzy a jejch četnost, kdy navíc příležtost, u kterých nebyl žádný kurz vypsán, doplníme kurzem 1 (vz Graf 2.1). Nebo můžeme ještě podrobněj brát v úvahu vždy pouze nžší z každé dvojce kurzů, tedy kurz na vítězství favorta zápasu, přčemž všechny kurzy s hodnotou 1 vynecháme (vz Graf 2.2). V takovém případě můžeme očekávat, že četnost kurzů na druhého z hráčů se chovají podobným způsobem. Cetnost kurzu ,1 1,28 1,57 1,8 2,1 2,63 3,4 4, Desetnny kurz Obrázek 2.1: Četnost všech kurzů ze zápasů. 18

23 Cetnost kurzu ,01 1,07 1,13 1,19 1,3 1,4 1,53 1,66 1,74 Kurz favorta Obrázek 2.2: Četnost menších z každé dvojce kurzů. 19

24 Kurz na soupeře Četnost kombnace 1,36 1 1,38 1 1, , , ,50 2 Tabulka 2.1: Kurzy objevující se v kombnac s kurzem 2,75 s jejch četnostm. Dále s můžeme všmnout, že se každý kurz vyskytuje převážně v jedné konkrétní dvojc, případně ve dvou. Toto dobře lustruje příklad nejčastějšího kurzu 2,75 a kurzů, které se v kombnac s ním objevují (Tabulka 2.1). Ze všech exstujících kombnací kurzů vybereme ty, které se objevují rozumně často. Hranc pro toto krtérum stanovíme na mnmálně 300 výskytů. Pro j-tou takovou kombnac kurzů, kj 1, kj 2, budeme uvažovat nově označený výběr X 1,..., X n, kde na každou z příležtostí je vypsán kurz k 1, a Y 1..., Y n s kurzy k 2. Přpomeňme, že pro událost se dvěma příležtostm jsou mplkované pravděpodobnost defnovány jako π 1 = (k 1 ) 1 (k 1 ) 1 + (k 2 ) 1, π2 = (k 2 ) 1 (k 1 ) 1 + (k 2 ) 1, odkud vdíme π 1 = 1 π 2. Máme-l tedy výběry X j Alt(p j ), Y j Alt(1 p j ), j = 1,..., n, a budeme-l prot oboustranné alternatvě testovat hypotézu H 1 0 : 1 n n j=1 p j = π 1, bude to také ekvvalentní test hypotézy H 2 0 : 1 n n j=1 (1 p j ) = π 2 = 1 π 1. Testová statstka T n = n j=1 X j n π An + C n má za platnost nulové hypotézy asymptotcky normované normální rozdělení. Pro každou dvojc kurzů s četností alespoň 300 jž tedy můžeme vypočítat p-hodnotu. Jelkož bude testů několk, řekněme k 300, hladnu každého z nch upravíme podle Bonferronho metody na 0,05 k 300. Navíc ještě poznamenejme, že se výsledek každého z testů může lšt dle zvoleného rozkladu n = a n b n + c n d n. Tento rozklad zvolíme dle jednotného algortmu, který nalezne čtveřc s mnmálním rozdílem max(a n, b n, c n, d n ) mn(a n, b n, c n, d n ). 20

25 Z výsledků testů vdíme, že mez dvojcem kurzů s takto častým výskytem není žádný prokazatelný rozdíl mez průměrnou a mplkovanou pravděpodobnost úspěchu (Tabulka 2.2, hyptest.txt). P-hodnota klesla pod 0,05 pouze jednkrát, a to nkterak výrazně. Poznamenejme ještě, že jsme v tomto testu využl data z zápasů z celkových Nemůžeme tedy vyloučt, že předzápasové kurzy odpovídajícím způsobem odrážejí skutečnou pravděpodobnost. Jsou-l př určování kurzů brány v potaz sázky sázkařů, znamenalo by to, že se př jejch podávání řídí vztahem mez kurzem a reálným pravděpodobnostm. Veškeré doposud získané nformace nasvědčují tomu, že by pravděpodobnost úspěchu každé z příležtostí mohla být dána jako lneární funkce mplkovaných pravděpodobností. k 1 k 2 n a n b n c n d n p n a π p-hodnota 1,08 7, ,872 0,866 0,755 1,08 8, ,878 0,881 0,851 1,10 6, ,879 0,855 0,174 1,10 7, ,882 0,864 0,342 1,11 6, ,853 0,844 0,619 1,12 5, ,844 0,831 0,347 1,12 6, ,860 0,843 0,324 1,14 5, ,804 0,814 0,497 1,14 5, ,827 0,828 0,943 1,16 4, ,809 0,795 0,263 1,16 5, ,840 0,812 0,156 1,18 4, ,808 0,792 0,316 1,20 4, ,796 0,783 0,346 1,22 4, ,785 0,766 0,0729 1,25 3, ,763 0,750 0,220 1,28 3, ,753 0,732 0,0409 1,30 3, ,749 0,723 0,0923 1,33 3, ,719 0,710 0,454 1,36 3, ,697 0,688 0,348 1,38 2, ,716 0,675 0,0988 1,39 2, ,658 0,664 0,784 1,40 2, ,673 0,663 0,291 1,44 2, ,641 0,645 0,676 1,50 2, ,623 0,625 0,819 1,53 2, ,613 0,608 0,680 1,57 2, ,588 0,589 0,952 1,61 2, ,561 0,577 0,248 1,66 2, ,557 0,559 0,878 1,72 2, ,516 0,538 0,103 1,80 1, ,533 0,514 0,189 Pozn: a p n := 1/n p j Tabulka 2.2: Informace k testům pro jednotlvé dvojce kurzů včetně výsledné p-hodnoty. 21

26 2.2 Odhad pravděpodobnost úspěchu jako funkce mplkovaných pravděpodobností Uvažujme událost X = (X 1, X 2 ), X 1 Alt(p 1 ), X 2 Alt(p 2 ), p 1 = 1 p 2. Doposud jsme nenarazl na nc, co by nám bránlo předpokládat, že exstuje zobrazení f, že f(p 1, p 2 ) = (k 1, k 2 ). My bychom však rád nalezl f 1, že f 1 (k 1, k 2 ) = (p 1, p 2 ). V této podkaptole se budeme věnovat hledání odhadu takového zobrazení, označovat jej budeme ϕ. Na základě provedených testů věříme, že nějaké lneární zobrazení mplkovaných pravděpodobností by mohlo posloužt jako dobrý odhad. Díky tomu, že uvažujeme pouze dvě sázkové příležtost, máme p 1 = 1 p 2 π 1 = 1 π 2. Místo zobrazení tudíž můžeme uvažovat přímo funkc. K dspozc máme vektor X = (X 1,..., X ), v jehož každé složce je uložena vždy vyšší z obou mplkovaných pravděpodobností, nebol mplkovaná pravděpodobnost vítězství favorta v daném zápase, budeme jej chápat jako vektor nezávslých náhodných velčn. Složky vektoru Y = (Y 1,..., Y ), dle předpokladů závslého na velčnách X 1,..., X 37150, jsou rovny jedné v případě vítězství favorta, a v opačném případě rovny nule. Problémem je, jak se vypořádat se zápasy, kdy je na oba hráče stejný kurz, tudíž obě mplkované pravděpodobnost se rovnají. V takovém případě musíme po naší funkc ϕ požadovat, aby byla rovna 1/2. V našem dalším postupu nebude vadt, když za tímto účelem zvolíme hodnoty vektoru Y rovny také 1/2. Budeme předpokládat, že naše data vyhovují modelu lneární regrese, díky čemuž budeme moc př hledání odhadu využít metody nejmenších čtverců. Defnce 2.1 (Model lneární regrese, vz Zchová). Nechť Y 1,..., Y n jsou náhodné velčny závslé na nezávslých náhodných velčnách X 1,..., X n. Nechť ε 1,..., ε n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny nezávslé na X 1,..., X n, pocházející z rozdělení s nulovou střední hodnotou a konečným rozptylem. Nechť α, β R. Pak Y = (Y 1,..., Y n ), X = (X 1,..., X n ), vyhovují modelu lneární regrese, pokud Y = α + βx + ε {1,..., n}. Defnce 2.2 (Metoda nejmenších čtverců, vz Zchová). Nechť Y = (Y 1,..., Y n ), X = (X 1,..., X n ), vyhovují modelu lneární regrese. Pak ˆα, ˆβ jsou odhady parametrů α, β metodou nejmenších čtverců, jestlže ˆα, ˆβ mnmalzují výraz (Y α βx ) 2. Nejprve stanovíme několk podmínek pro chování našeho ϕ. Budeme požadovat ϕ(π 1 ) + ϕ(π 2 ) = 1 π 1 + π 2 = 1. Tudíž s zřejmě vystačíme s odhadem ϕ pouze na ntervalu [ 1,1], navíc odtud 2 také plyne ϕ( 1) = Přestože π 0 a také π 1 π, zdá se rozumné, aby platlo lm ϕ(π) = 0, π 0 + lm ϕ(π) = 1. π 1 22

27 Defnujeme tedy ϕ(0) := 0, ϕ(1) := 1. Nyní přejděme k detalům procesu odhadování. Interval [ 1,1] rozdělíme rovnoměrně na k úseků, čímž získáme k + 1 dělících bodů. Označme je x 1,..., x k+1, 2 kde x 1 = 1, x 2 k+1 = 1. Pro každé x j, j {2,..., k} se pak omezíme na mplkované pravděpodobnost v ntervalu (x j 1,x j+1 ) a jm odpovídající výsledky zápasů, tedy na nové vektory X j, Y j. Metodou nejmenších čtverců pak získáme odhady ˆα j, ˆβ j koefcentů α j, β j. Podotkněme ještě, že se spoléháme na výsledky zápasů jakožto ukazatele pravděpodobnost. Nyní určíme ϕ(x j ) := ˆβ j x j + ˆα j, ϕ (x j ) := ˆβ j j 2,..., k. Funkc ϕ vytvoříme po částech lneární tak, aby byla dodržena hodnota dervace v každém bodě. Budeme věřt, že skutečná funkce f 1 je na okolí každého z dělících bodů podobná lneární, a že naše aproxmace dervací její chování dostatečně zachytí. Pokud dervace vyjdou podle představ, bude naším úkolem nalézt na každém z ntervalů (x j, x j+1 ), j {1,..., k} průsečík r j přímek y j (x) = ˆβ j x + ˆα j, y j+1 (x) = ˆβ j+1 x + ˆα j+1. Hodnotu dervací v bodech 1/2 a 1 zvolíme tak, aby průsečík na krajních ntervalech exstoval. Z nch dopočítáme ˆβ 1, ˆα 1, ˆβ k+1, ˆα k+1, odkud y 1 (x) := ϕ ( 1 2 ) x + 1 ( ( 1 )) 1 ϕ 2 2 y k+1 (x) := ϕ (1)x + 1 ϕ (1) Navíc s ještě vyhradíme právo zvolt délku ntervalu pro dělení tak, aby dervace lépe vycházely. Po dokončení celého procesu můžeme dopočítat všechny hodnoty pro nterval [0, 1 ]. Po přečíslování ndexů budeme mít celý nterval [0,1] 2 rozdělen na 2k úseků s 2k + 1 dělícím body označeným x 1,..., x 2k+1, kde x 1 = 0, x k+1 = 1, x 2 2k+1 = 1. Navíc budeme mít průsečíky r 1,..., r 2k a pokud vezmeme r 0 := 0, r 2k+1 := 1, pak na každém ntervalu [r j 1, r j ], j {1,...,2k + 1}, bude naše funkce ϕ dána předpsem ϕ(π) = ˆβ j π + ˆα j, Pro k = 10 můžeme nalézt předps funkce ϕ po jednotlvých ntervalech v tabulce 2.3, graf této funkce je znázorněn na obrázcích 2.3 a 2.4, jednou bez vyznačených průsečíků a podruhé s nm (pro kód vz leastsqrs.txt). Vdíme, že k jednému radkálnímu zlomu ve sklonu funkce dochází u krajních bodů, jnak je ϕ na celém ntervalu téměř lneární. Naše odhadování je tímto dokončeno. 23

28 r j 1 r j x j ϕ(x j ) ϕ(π) 0,000 0,034 0,00 0,000 0,300 π + 0,000 0,034 0,086 0,05 0,025 0,926 π 0,021 0,086 0,129 0,10 0,073 1,075 π 0,034 0,129 0,172 0,15 0,133 1,342 π 0,069 0,172 0,226 0,20 0,186 0,843 π 0,017 0,226 0,288 0,25 0,232 0,995 π 0,017 0,288 0,330 0,30 0,285 1,248 π 0,090 0,330 0,388 0,35 0,345 1,168 π 0,063 0,388 0,437 0,40 0,403 1,068 π 0,025 0,437 0,474 0,45 0,453 0,864 π + 0,064 0,474 0,526 0,50 0, π + 0,000 0,526 0,563 0,55 0,547 0,864 π + 0,072 0,563 0,612 0,60 0,597 1,068 π 0,043 0,612 0,670 0,65 0,655 1,168 π 0,105 0,670 0,712 0,70 0,715 1,248 π 0,158 0,712 0,774 0,75 0,768 0,995 π + 0,022 0,774 0,828 0,80 0,814 0,843 π + 0,139 0,828 0,871 0,85 0,867 1,342 π 0,274 0,871 0,914 0,90 0,927 1,075 π 0,041 0,914 0,966 0,95 0,975 0,926 π + 0,096 0,966 1,000 1,00 1,000 0,300 π + 0,700 Tabulka 2.3: Intervaly a předps, který na nch funkce ϕ má, včetně dělících bodů a funkčních hodnot. 24

29 x ph(x) Obrázek 2.3: Graf funkce ϕ bez vyznačených průsečíků x ph(x) Obrázek 2.4: Graf funkce ϕ s vyznačeným průsečíky. 25

30 3. Interpretace výsledků V první řadě poznamenejme, že veškeré naše zkoumání bylo zaměřeno jen na událost tensových zápasů. Díky exstenc pouze dvou příležtostí pro každou událost bylo testování snazší, nejedná se však o sport, který by u sázkařů převažoval. Výsledky rozhodně není možné vztahovat například na fotbalová utkání, kde pro každou událost navíc exstuje příležtost remízy. Př testování hypotéz jsme nevyvrátl možnost, že by mplkované pravděpodobnost odpovídaly skutečné pravděpodobnost výsledků. Naopak jsme na základě toho přšl s myšlenkou, že bychom závslost mez nm mohl lneárně aproxmovat. Pouze v jednostranném okolí krajních bodů ntervalu [0,1] nám vycházelo, že četnost vítězství favortů přesahuje očekávání. Podobně jako se nám nepodařlo pravděpodobnost odhadnout pro 1/2, tak pro krajní body je to velm složté. Zaprvé s musíme uvědomt, že dervac funkce ϕ, která je naším odhadem závslost skutečné na mplkované pravděpodobnost, jsme v bodech 0 a 1 určl ručně. Nemůžeme tím pádem nc soudt o přesném chování. Navíc taková data nejsou přílš vhodná pro testy hypotéz podobné našm z předchozí kaptoly. Například předpokládejme, že máme 50 zápasů, kde u všech favort zvítězí s pravděpodobností přblžně 0,97. Pravděpodobnost, že všech 50 zápasů skončlo vítězstvím favorta určíme přblžně jako 0, = 0,22, což je poměrně vysoká pravděpodobnost. Rozptyl bychom však pro takový výběr neuměl odhadnout jnak než jako 0. Na jednu stranu by se mohlo zdát rozumné, kdyby tyto kurzy byly skutečně podhodnoceny. Mohl bychom totž předpokládat, že pro průměrného sázkaře, který se orentuje podle výše své výhry a neohlíží se na skutečnou pravděpodobnost, nemají takové sázky velkou hodnotu. Přesto se v tuto chvíl smíříme s tím, že náš odhad pravděpodobnost úspěchů pro takové kurzy odpovídá příslušné hodnotě funkce ϕ, a nc dalšího na takových kurzech jž nebudeme zkoumat. Každopádně pro mplkované pravděpodobnost, které se neblíží krajním hodnotám, máme celkem dobrou představu o jejch vztahu ke skutečné pravděpodobnost. Jestlže tomu tak opravdu je, tedy pokud se tyto dvě hodnoty v průměru přílš nelší, můžeme na základě tvrzení odvozených v první kaptole tvrdt, že sázky sázkařů rovněž reflektují tuto skutečnou pravděpodobnost. Předpokládejme, že př určování kurzů nejsou sázky vůbec brány v potaz, tedy že se sázkové kanceláře řídí pouze skutečným pravděpodobnostm. Pak ovšem musejí znát skutečné pravděpodobnost úspěchu pro jednotlvé příležtost a můžeme tedy očekávat platnost modelu navrženého v Tvrzení 1.3. Pokud by ale v takovém případě sázky sázkařů neodrážely skutečnou pravděpodobnost, bylo by logcké, kdyby se kanceláře snažly přejít na model dle Tvrzení 1.5, neboť by pro ně byl zskovější. V opačném případě, pokud by př tvorbě kurzů hrály rol sázky, ať už samostatně č v kombnac se znalostí pravděpodobností, a přtom by sázky sázkařů neodrážely skutečnou pravděpodobnost, pak by byla porušena naše domněnka, že mplkovaná pravděpodobnost se od té skutečné v průměru přílš nelší. Nemůžeme tedy vyvrátt, že by kurzy, respektve z nch odvozená mplkovaná pravděpodobnost, mohla sloužt jako rozumný odhad skutečné pravděpodobnost úspěchu pro jednotlvé příležtost. Naopak, vše tomu nasvědčuje. Odtud by ply- 26

31 nulo, že sázkař svým sázkam dobře odráží poměr jednotlvých pravděpodobností. Pokud tomu však skutečně je tak, že sázkař pokládají své sázky tím způsobem, že se mplkovaná pravděpodobnost udržuje v průměru kolem skutečné pravděpodobnost, pak můžeme předpokládat, že pro většnu sázek bude sázkařův zsk záporný. Dle Poznámky u Tvrzení 1.2 totž pro událost X platí, že exstují kurzové sázky ωx 1,..., ωn X takové, že E(Z B) > 0 právě tehdy, když exstuje {1,..., n}: (kx ) 1 < p X. Pokud by však průměrně platlo, že p X. = π X = (k X ) 1 (k X ) 1, kde navíc n j=1 (kj X ) 1 < 1 dle Tvrzení 1.1, máme (k X ) 1 > p X {1,..., n}. 27

32 Závěr V úvodní kaptole jsme nejprve uvedl defnc kurzových sázek dle zákona. Dále jsme zavedl vlastní defnce potřebné pro matematcké uchopení problematky. Na jejch základě jsme pak odvodl tvrzení, která popsují nutné vlastnost kurzů pro to, aby sázkové kanceláře generovaly zsk. Nemohl jsme předpokládat, jakým nformacem dsponuje sázková kancelář pro každou sportovní událost. Navrhl jsme a odůvodnl modely, jak by mohly být kurzy vytvářeny pro případy, kdy sázková kancelář zná skutečné pravděpodobnost nebo zná rozložení sázek. V případě, že se jedná o kombnac obojího, má sázková kancelář znalost všech složek jejího zsku, jak jej zavádí naše defnce. Potom může vypsat takové kurzy, aby její zsk byl maxmální. Také jsme zavedl klíčovou defnc mplkované pravděpodobnost, kterou dále využíváme ve zbytku práce. Ve druhé část jsme měl k dspozc výsledky a kurzy ze reálných tensových zápasů, na kterých jsme se pokoušel ověřt, zda by kurzy na výsledky zápasů mohly být ukazatel skutečné pravděpodobnost. Nejprve jsme za tímto účelem zkonstruoval test hypotézy, že průměrná pravděpodobnost odpovídá mplkované pravděpodobnost, kterou se nám nepodařlo vyvrátt. Př testu jsme se potýkal s problémem, kdy naše data nebyla stejně rozdělená, navíc po odvození asymptotckého rozdělení bylo stále těžké odhadnout jeho rozptyl. Dokázal jsme však náš výběr rozložt tak, aby jeho složky asymptotcky splňovaly důležté podmínky, díky nmž jsme poté odvodl testovou statstku, která by za platnost hypotézy měla asymptotcky normované normální rozdělení. Výsledek testu nás povzbudl v myšlence odhadnout skutečné pravděpodobnost jako po částech lneární funkc mplkovaných pravděpodobností. Nejprve jsme na naš funkc položl požadavky některých základních vlastností. Následně jsme vybral několk bodů, na jejchž okolí jsme předps funkce určl z koefcentů získaných metodou nejmenších čtverců. Body jsme vybral tak, abychom tímto způsobem propojl celý nterval [0, 1], avšak v okolí krajních bodů jsme musel chování funkce určt uměle. Př pokusu o nterpretac jsme se rozhodl vynechat z výsledků pozorování okolí bodů 0 a 1, neboť nám použté metody zde nemusely fungovat přílš dobře. Na zbytku ntervalu se zdá, že by mplkované pravděpodobnost mohly rozumným způsobem odpovídat reálným pravděpodobnostem, alespoň nc nehovoří prot tomu. Pokud by tomu tak bylo, mohl bychom předpokládat, že sázkař poměrem svých sázek odrážejí skutečné pravděpodobnost. Kdyby totž ne, pak by buď mplkované pravděpodobnost těm opravdovým neodpovídaly, nebo by to znamenalo, že sázkové kanceláře využívají model pro vytváření kurzů, který pro ně není optmální. Pokud však ano, zároveň to pro sázkaře znamená, že velká část jejch sázek má nejspíš záporný očekávaný zsk. 28

33 Seznam použté lteratury Česko (2016). Zákon č. 186/2016 Sb., ze dne 26. května 2016 o hazardních hrách. In: Sbírka zákonů České republky. ISSN Kulch, M. ( ). NMSA331 Matematcká statstka 1, Poznámky k přednášce [onlne, ct ]. Dostupné z: kulch/vyuka/ms1/doc/ms pdf Pck, L., Hencl, S., Spurný, J., Zelený, M. ( ). Matematcká analýza 1 (velm předběžná verze) [onlne, ct ]. Dostupné z: pck/analyza-pro-studenty.pdf Lachout, P. (2004). Teore pravděpodobnost. 2. vydání. Karolnum, Praha. ISBN Kulch, M. ( ). Základy teore pravděpodobnost pro předmět Matematcká statstka 1 [onlne, ct ]. Dostupné z: kulch/vyuka/ms1/doc/ pravdepodobnost ms1.pdf Zchová, J. ( ). Lneární regresní model [onlne, ct ]. Dostupné z: zchova/prfuk/matstat/ LINE%C3%81RN%C3%8D%20REGRESN%C3%8D%20MODEL.pdf Tenns-Data (2016). Data Fles: All Compettons [onlne, ct ]. Dostupné z: 29

34 Seznam obrázků 2.1 Četnost všech kurzů ze zápasů Četnost menších z každé dvojce kurzů Graf funkce ϕ bez vyznačených průsečíků Graf funkce ϕ s vyznačeným průsečíky

35 Seznam tabulek 2.1 Kurzy objevující se v kombnac s kurzem 2,75 s jejch četnostm Informace k testům pro jednotlvé dvojce kurzů včetně výsledné p-hodnoty Intervaly a předps, který na nch funkce ϕ má, včetně dělících bodů a funkčních hodnot

36 Přílohy tennsdata.csv Data s výsledky zápasů a jednotlvým kurzy používaná př testech a odhadech. Získaná z Tenns-Data, hyptest.txt leastsqrs.txt Kód programu R pro sestavení testu hypotézy. Kód programu R k získání lneárního odhadu. 32