POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZENÍ PROJEKTŮ

Transkript

1 5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno 003 POUŽITÍ METODY PERT PŘI ŘÍZEÍ PROJEKTŮ A USAGE OF PERT METHOD I PROJECT MAAGEMET Vladslav Grycz 1 Abstract PERT Method and Graph theory are methods that could be well used n project management. Each project s defned as a set of smple tasks that attach to each other. Approprate fnancal and tme requrements are assgned to each task. Then the stochastc theory can be used to estmate rsks that the project won t be fnshed n tme or that the project s budget wll be exceeded. Key words Řízení projektů Project Management, teore grafů Graph Theory, PERT - PERT 1 ÚVOD Řízení projektů se poslední dobou často stává rozhodující součástí řízení frem. Čím dále větší část fremních aktvt se provádí formou projektů. Organzace používají projekty k dosažení takových cílů, jakým jsou například nstalace nového zařízení, reorganzace prostor a vybavení, dodávka stavby pro jnou organzac č úspěšné dokončení jných časově omezených čnností[1]. Řízení projektu se skládá z několka základních manažerských čnností: defnce projektových cílů, plánování, vedení ldských zdrojů cílem je zajstt včasné a efektvní provedení naplánovaných čnností, montorování sledování aktuálního stavu projektu a odhalení odchylek od aktuálního stavu (př odhalení odchylek je třeba aktualzovat plán, případně změnt styl vedení), ukončení projektu ověření, že zadání projektu bylo splněno; předání výsledků projektu (například předání stavby a dokumentace). Plánování projektu se skládá ze specfkace kvalty provedení, časového plánu a rozpočtu (vyjádřeného v penězích č pracovních dnech). Tyto tř dmenze však obvykle stojí prot sobě. Termíny projektu lze zkrátt, ale jen pokud vyšší rozpočet umožní využít efektvnější zdroje. Kvaltnějšího provedení lze dosáhnout jen za cenu zpoždění projektu č navýšení rozpočtu. Proto je třeba provést plánování pro všechny tř dmenze. 1 Mgr. Vladslav Grycz, VUT, Fakulta stavební, Brno,. ročník doktorského studa, e-mal: vladslav@gry.cz

2 5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno 003 Každý projekt je třeba nejprve rozdělt do pracovních balíků, úkolu nebo čnností. Je třeba zajstt, aby všechny požadované čnnost byly logcky dentfkovány a propojeny [1]. Výsledkem je herarchcká struktura čnností (HSČ). Každé z čnností HSČ je třeba přřadt množství nákladů a času souvsejícího s jejím provedením. Vytvořený plán projektu lze analyzovat pomocí teore grafů a metody PERT, které mohou pomoc odpovědět na takové otázky, jako například s jakou pravděpodobností lze projekt dokončt ve stanoveném termínu č s jakou pravděpodobností nebude překročen rozpočet projektu. TEORIE GRAFŮ V PM Jak jž bylo uvedeno v úvodu, každý projekt je třeba nejprve rozdělt na jednotlvé čnnost, které na sebe jednotlvě navazují a které mají určtý nárok na čas a prostředky. Obr. 1) Hranově orentovaný síťový graf Zkušenost ukázala, že nejnázornějším zobrazením jednotlvých čnností a vazeb mez nm je hranově orentovaný síťový graf [4]. a Obr. 1 je příklad grafu projektu skládajícího se z čnností A až J. Časové okamžky, ve kterých čnnost začínají (resp. končí) se nazývají kontrolní body (1-8). Každý graf projektu je specfcký tím, že: mez lbovolnou dvojcí kontrolních bodů vede maxmálně jedna čnnost. Pokud tomu tak v prax není, lze pomocí tzv. fktvních čnností (čnností s nulovou dobou trvání a s nulovým náklady) přejít na nový síťový graf projektu, pro který je jž tento předpoklad splněn. má právě jeden počáteční bod kontrolní bod, ve kterém čnnost pouze začínají (bod 1) má právě jeden koncový bod kontrolní bod, ve kterém čnnost pouze končí (bod - na Obr. 1 je =8). každá hrana grafu je ohodnocena ke každé hraně (čnnost) je přřazena její časová a fnanční náročnost (jedná o hranově ohodnocený síťový graf). apříklad čnnost A, která propojuje kontrolní body 1 a (čnnost (1,) ), je ohodnocena dobou trvání T 1 a náklady C 1.

3 5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno Metoda krtcké cesty Často studovaným problémem bývá nalezení krtcké cesty. Krtcká cesta je defnována jako (časově) nejdelší možná cesta z počátečního bodu grafu do koncového bodu grafu. V jednodušších úlohách je každá hrana grafu (čnnost) (,j) ohodnocena právě jedním časovým údajem (očekávanou dobou trvání čnnost) T j. Když jsou známé veškeré očekávané doby trvání (T j ), lze vypočítat nejdříve možný začátek doby čnností začínajících v -tém kontrolním bodě (T ). V kontrolním bodě 1 je trválně T 1 = 0. Čnnost v -tém bodě mohou začít až poté, co jsou dokončeny všechny čnnost, které v -tém bodě končí. ebol: T = max( T + T ) pro k<, =,3,, (1) k k k ejdříve možný konec celé projektu je určen hodnotou T. V dalším kroku je třeba vypočítat nejpozděj přípustný konec čnností končících v -tém bodě ( T ). V -tém bodě se stanoví T = T. Čnnost v -tém bodě končící musí skončt nejpozděj do té doby, než jsou zahájeny čnnost v -tém začínající. ebol: T = mn( T T ) pro <j, = 1,,, -1 () j j j Krtcká cesta je tvořena nepřetržtým sledem čnností z bodu 1 do bodu po takových kontrolních bodech, pro které platí T = T. Každý projekt má mnmálně jednu krtckou cestu. Každá krtcká cesta se skládá ze seznamu čnností, na které by se měl manager projektu nejvíce zaměřt, pokud chce zabezpečt včasné dokončení projektu. Každé zpoždění těchto čnností má za následek zpoždění celého projektu. 3 METODA PERT V kaptole.1 byla každá hrana grafu (čnnost) (,j) ohodnocena právě jedním časovým údajem (očekávanou dobou trvání čnnost) T j. Př odhadování jedného parametru je rzko, že plán bude přílš ambcosní nebo naopak přílš pesmstcký. avíc pro řadu úkolů může být obtížné získat přesné odhady. V takovém případě je vhodné použít metodu PERT (Program Evaluaton and Revew Technque). V metodě PERT je každé hraně (čnnost) (,j) přřazena náhodná velčna reprezentující dobu trvání této čnnost. [4]. Předpokládá se, že doby trvání jednotlvých čnností jsou na sobě nezávslé. a Obr. je znázorněn obvyklý tvar hustoty pravdě- podobnost rozdělení doby trvání.

4 5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno 003 Obr. ) Hustota pravděpodobnost rozdělení áhodná velčna X (T j ) je charakterzována svojí střední hodnotou EX (ET j ) a rozptylem VarX (VarT j ). V původní metodě PERT dobu trvání reprezentuje β rozdělení. Hustota tohoto rozdělení je nenulová jen na ntervalu a, b. Pro každou čnnost je třeba zadat tř parametry: VarX a - odpovídá optmstckému odhadu, b - odpovídá pesmstckému odhadu, m - odpovídá nejpravděpodobnější hodnotě. Střední hodnota β rozdělení EX ( a, b, m) ( a, b, m) ( b a) =. 36 a + 4m + b = a rozptyl 6 V modfkované metodě PERT lze použít logartmckonormální rozdělení. Hustota má podobný tvar jako u β rozdělení. Pro každou čnnost je třeba zadat jen dva parametry m, b. m - odpovídá nejpravděpodobnější hodnotě, b - odpovídá pesmstckému odhadu. Střední hodnota logartmckonormálního rozdělení EY = exp( µ + σ / ) a rozptyl VarY = exp(µ + σ ) + (exp( σ ) 1), kde σ 1 ln m 1 a µ lnb σ. b Jsou-l známy (č odhadnuty) parametry pro všechny čnnost projektu, lze zjstt pomocí algortmu z kap..1 krtckou cestu projektu. Stačí místo hodnot očekávaných dob trvání (T j ) dosadt střední hodnoty ET j vypočítané z výše uvedených vztahů. Z předpokladu nezávslost plyne, že střední hodnota celého projektu je rovna součtu středních hodnot čnností ležících na krtcké cestě grafu. To samé platí pro rozptyl projektu. Exstuje-l více krtckých cest, je třeba vybrat tu s největším rozptylem. 4 VÝPOČET RIZIK Celková doba projektu se dá vypočítat jako součet dob trvání čnností ležících na krtcké cestě. Doby trvání jsou nezávslé náhodné velčny. Centrální lmtní věta

5 5. Odborná konference doktorského studa s meznárodní účastí Brno 003 (Ljupunovova) [3] říká, že normalzovaný součet nezávslých náhodných velčn lze pro dostatečně velký počet sčítanců aproxmovat standardním normálním rozdělením: T ET T ET T ET P( T < T ) = P( < ) Φ( ), kde: (3) VarT VarT VarT Φ je dstrbuční funkce (0,1) rozdělení, ET a VarT se vypočítají dle postupu uvedeného v 3. kaptole. Podobně celkové náklady projektu se dají vypočítat jako součet nákladů všech čnností projektu. áklady pro každou čnnost (, j) se dají aproxmovat výrazem Cj = Oj PjTj, kde O j a P j jsou kladné konstanty, T j je doba trvání čnnost (,j). Snadno lze odvodt výrazy ECj = Oj Pj ETj, VarC j = Pj VarTj. Součtem přes všechny čnnost se vypočítají hodnoty EC a VarC. Podobně k (3) platí, že C EC C EC C EC P( C < C) = P( < ) Φ( ), (4) VarC VarC VarC 5 ZÁVĚR Původní modfkovaná metoda PERT mohou managerům projektů velm pomoc odhadnout rzka a pravděpodobnost, zda lze projekt dokončt ve stanoveném termínu č s jakou pravděpodobností bude překročen rozpočet projektu. Výhodou původní metody (používající β rozdělení) je přesnější odhad střední hodnoty projektu, ncméně za cenu náročnějšího odhadu časových parametrů. Oprot tomu modfkovaná metoda PERT (používající logartmckonormální rozdělení) umožňuje přesnější výpočet rozptylů a odtud též přesnější výpočet rzk projektu. Lteratura [9] ROSEAU, MILTO D. Řízení projektů. Praha: Computer Press, s. ISB [10] CIHELSKÝ, L.-KAHOUOVÁ, J.-HIDLS, R. Elementární statstcká analýza.. doplněné vydání, Praha: Management Press, s. ISB [11] ADĚL, J. Statstcké metody.. přepracované vydání, Praha: MATFYZPRESS, s. ISB [1] SEKERKA, B. Matematcké metody v ekonom. Praha: Státní pedagogcké nakladatelství, s. Číslo publkace ,