ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU. Vladimír VANĚK- Bohumil NOVÁK

Transkript

1 The Mthemtis Edution into the 1 st Century Projet Proeedings of the Interntionl Conferene The Deidle nd the Undeidle in Mthemtis Edution Brno, Czeh Repuli, Septemer 3 ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU Vldimír VANĚK- Bohumil NOVÁK Astrt: Mtemtiké soutěže jsou povžovány z jeden z prostředků rozvoje osonosti žák s ndáním pro mtemtiku. Mtemtiké shopnosti tvořivost řešitelů jsou v příspěvku ilustrovány n nlýze řešení vyrné úlohy z mezinárodní soutěže DUEL pro žáky středníh škol. Klíčová slov: žák s ndáním pro mtemtiku, mtemtiká soutěž, mtemtiká učení úloh, řešení úlohy 1. Úvod V proesu trnsforme mtemtikého vzdělávání, z jejíž hrkteristiký průvodní znk ývá oznčován jeho humnize, je věnován mimořádná pozornost žákovi jko sujektu vzdělávání. Tto teze se ezprostředné promítá tké do edukční relity zákldní střední školy (Novák, 1998). Stl se jednou z hlvníh tezí inspirujííh pokusy o kritikou reflexi mtemtikého vzdělávání v širším evropském kontextu, hledání novýh prdigmt nízení lterntiv (Kriner, 1). Jedním z momentů, které je tře v reálném školním vyučování zohlednit, jsou diferene mezi jednotlivými žáky v řdě olstí (rozdíly v úrovni mtemtikýh shopností včetně oené inteligene, sexové rozdíly, rozdíly v soiálním prostředí rodinném zázemí žáků j.). Nesporným projevem humnize je poždvek vhodně zkomponovt do mtemtikého vzdělávání tké speifik práe s tlentovnými žáky. Z význmný nástroj rozvoje osonosti žák s ndáním pro mtemtiku je povžováno řešení náročnějšíh učeníh úloh v mtemtikýh soutěžíh. Náš příspěvek je jedním z možnýh pohledů n řešení úlohy tlentovnými středoškoláky účstníky mezinárodní mtemtiké soutěže 11 th Interntionl Mthemtil Competition DUEL.. Řešení mtemtiké učení úlohy žákem s ndáním pro mtemtiku K hrkteristie ndného (tlentovného) žák je možno přistoupit z různýh pozi pohledů. Pedgogik ovykle pruje s tříokruhovou konepí ndání. Klhous, Ost () itují Pshe (1998) rozlišují ndprůměrně rozvinuté mtemtiké shopnosti žák, jeho osoní nszení v ooru (mtemtie) tvořivou produktivitu jko shopnost vytvářet nové informe (shopnost produkovt nové nápdy řešení). Ndprůměrné shopnosti jko podmínk úspěšného učení/studi upltňování mtemtiky ývjí u ndnýh žáků doprovázeny tké odpovídjíím učením nszením. Právě různý otížně měřitelný podíl ndání (ve smyslu komplexu hrkteristik osonosti) učeního nszení (učení úsilí, snh pod.) n školní úspěšnosti žák v mtemtie způsouje otížnější identifiki skutečného ndání/tlentu. Upltnění dlší rozvoj ndného žák v mtemtie vyžduje zvýšit podíl tvořivýh činností heuristikýh (ojevitelskýh) postupů v mtemtikém vyučování, npř. vhodně konipovným systémem mtemtikýh učeníh úloh (Semdeni, 199, Novák, Uhlířová, 1997). Jedná se především o řešení učeníh úloh vyšší kognitivní náročnosti - vyždujííh složitější myšlenkové opere s mtemtikými pozntky (trnsforme, interprete

2 The Mthemtis Edution into the 1 st Century Projet Proeedings of the Interntionl Conferene The Deidle nd the Undeidle in Mthemtis Edution Brno, Czeh Repuli, Septemer 3 zdůvodnění, induke, deduke, verifike dokzování) vyždujíí tvořivé myšlení (řešení prolémovýh situí, kldení otázek formule úloh žáky, ojevování n zákldě vlstního pozorování vlstníh úvh žák). Souhlsíme s Kuřinou (1997, s. 3), že mtemtik je řešení úloh. Tto stránk mtemtikého vzdělávání je velmi význmná při vhodně konstruovném souoru úloh může vést nejen k osvojení potřeného souoru mtemtikýh pozntků, le učitel přitom může systemtiky kultivovt i myšlení žáků. 3. Popis experimentu, jeho íle užitá metod V nšem příspěvku jsme se pokusili shrnout některé zkušenosti z výzkumného šetření změřeného n nlýzu úlohy z mtemtiké SOUTĚŽE DUEL. Mtemtiký Duel vznikl původně jko mtemtiká soutěž mezi dvěm školmi GMK v Bílovi Lieum Ogólnoksztlše im. J. Slowkiego Chorzów. První ročník se konl v červnu 1993 n gymnáziu v Bílovi, to pro studenty 1. ročníku pro studenty. ročníku čtyřletého gymnázi z kždé školy. Soutěž proíhl ve dvou formáh 1. se konl soutěž jednotlivů,. den pk soupeřil družstv. V červnu 199 v Chorzówě se poté konl druhý ročník, le s poněkud pozměněnými prvidly. Byly vytvořeny 3 věkové ktegorie: třídy (.-3. ročník osmiletého studi) 1.-. ročník čtyřletého studi 3. ročník čtyřletého studi Dvě formy, soutěž družstev soutěž jednotlivů, všk zůstly zhovány. V červnu roku 1997 se ke studentům z Polsk České repuliky přidli i studenti Bundesrelgymnsi v Grzu. Jedním z dílčíh ílů ylo nlyzovt vyrný souor řešenýh úloh, pokusit se identifikovt interpretovt řešení použité účstníky soutěže.. V nšem šetření jsme využili metody nlýzy písemnýh produktů X žáků - písemnýh záznmů, náčrtků zápisků řešení. Byl tk získán poměrně rozsáhlý informčně ohtý mteriál, z něhož jsme v tomto příspěvku čerpli. Předmětem podronější nlýzy jsme v nšem příspěvku učinili řešení úlohy:. Zdání The funtion f ( x) x x hs property tht f ( ) f () f () holds. Determine ll possile vlues of, nd. Úlohu yh zřdil do ktegorie I, vyjdeme-li z rozdělení složitosti úloh podle Mikové, ituji: (I) Úlohy, které vyřeší ez pomoi ukázkového řešení učitel i studenti pk se rdují (II) z úspěhu. Úlohy, které učitel vyřeší ez pomoi ukázkového řešení (neo nlezne lespoň část řešení) studenti k řešení dojdou po mírné učitelově nápomoi. (A pk se rdují z úspěhu.) (III) Úlohy, jejihž řešení učitel mlhvě tuší s pomoí řešení ukázkového pohopí poté je shopen jej studentům interpretovt. Studenti řešení tktéž pohopí jsou shopni smosttně zznment n ppír. Rdují se z toho, že řešení hápou. (IV) Úlohy nd jejihž ukázkovým řešením stráví učitel několik večerů, poté pohopí lespoň část myšlenkovýh pohodů jejih utor, ty se pokusí vyložit studentům doufá, že udou v řešení úspěšnější než on. Všihni se rdují, že tkovýh úloh není v zdání víe. V mtemtikém Duelu se setkáváme většinou s úlohmi typu (I) neo (II). Úloh yl připrven pro studenty I. II. ročníku gymnázi. Nprosto správně neo s dorou hyou ji vyřešilo % soutěžííh. % řešitelů nezísklo v této úloze jediný od. Přesto tto neyl těžká mnohá řešení yl zjímvá. Do interke se zde dostávjí

3 The Mthemtis Edution into the 1 st Century Projet Proeedings of the Interntionl Conferene The Deidle nd the Undeidle in Mthemtis Edution Brno, Czeh Repuli, Septemer 3 studentovy vědomosti o řešení soustvy rovni řešení rovni s solutní hodnotou. Lze se ovšem n tento prolém dívt i z hledisk geometrikého- viz následujíí ukázk. Porovnáme zde jedno trdiční řešení s méně ovyklou vrintou pro ilustri i řešení hyným krokem.. Ukázky žákovskýh řešení Žák A: Nejprve si uvědomme, že grf funke F(x) ude proházet právě třemi ody z or. 1. N zákldě komintorikýh úvh (vzhledem k definii funke, npř. grf F(x) nesmí proházet ody A D zároveň, protože pk y F(x) neyl funkí) dostáváme osm možností, pro ody, kterými ude F(x) proházet: 1) ABC ) ABF or. 1 3) AEC ) AEF 3 A B C ) DEF 1 6) DEC x ) DBC D - E F -3 8) DBF y Pro kždou z možností je tedy nutné njít koefiienty,,. Hodnoty koefiientu sndno odečteme z grfu, neoť koefiient určuje souřdnie průsečíku s osou y: [,]. Tedy prohází-li grfe funke odem B, resp. E, pk, resp. -. Řešíme tedy soustvu F(x 1 ) ± ± F(x ) ± ± Uvedu výpočet u možností 1) ) 1) Grf prohází ody A, B, C : pk se jedná o konstntní funki F(x) (,, ) ) Grf prohází ody A, B, F : pk řešíme -,, -1 Touto metodou jsem vyřešil všehny možnosti, očs s využitím symetrie možností. 8 řešení: ABC ABF AEC AEF DEF DEC DBC DBF -, 1,, -,

4 The Mthemtis Edution into the 1 st Century Projet Proeedings of the Interntionl Conferene The Deidle nd the Undeidle in Mthemtis Edution Brno, Czeh Repuli, Septemer 3 Žák B: Pltí tedy: () ( ) () 3 1 Z () vyplývá, že 1 () - () 1. Pokud pltí (), dostáváme ( ) ( ) 7 6 Teď dostáváme řešení:, -,, -1 -,, 1-1,. Pokud pltí (), dostáváme Teď dostáváme řešení: 1,,, -1,, 1, Máme tedy 8 řešení: K {[;;],[-,;-1;],[-,;1;],[-1;;],[1;;-],[,;-1;-],[,;1;-],[;;-]} Žák A volou postupu projevil shopnost pojmout prolém v širší souvislosti njít vzthy mezi mtemtikými pojmy jejih vlstnostmi, ož je jeden z rysů, jímž se vyznčují jedini ndní n mtemtiku. Neznmená to ovšem, že y žák B neyl tlentem, pouze v tomto přípdě řešil úlohu ovyklejší metodou, kterou lépe zná z hodin mtemtiky. Tké u žák A lze lépe sledovt úroveň myšlenkovýh operí poznávíh proesů. Shopnost příkld nejen vyřešit, le své řešení i popst vysvětlit je velmi důležitou stránkou žákov mtemtikého ndání. Jk vidíme, je tento rys nápdný opět u žák A. Žák C:

5 The Mthemtis Edution into the 1 st Century Projet Proeedings of the Interntionl Conferene The Deidle nd the Undeidle in Mthemtis Edution Brno, Czeh Repuli, Septemer 3 ± 1) ) - K{[;;],[;;],[;-;],[;-;-],[;;-],[;;-]} Všimněme si formy zápisu příkldu. Žák A ukázkově vyřeší možnosti dlší řešení již počítá n pomoný ppír, čímž šetří čs. Žák B řeší prolém věně, přesně ez vysvětlivek, pomoí lgoritmu známého z hodin mtemtiky. I jeho form zápisu je přehledná jednoznčná. Stejně jko žák B i žák C svůj postup nevysvětluje jeho zápis již není tk přehledný jko u kolegů. To yl nejspíše jedn z příčin, proč v této úloze hyovl. V tomto přípdě se důsledné dodržování formy zápisu, které se studenti učí ve škole, jeví jko výhodnější. 6. Závěr Mtemtiký Duel je jednou z mnoh soutěží typu mtemtiké olympiády. V porovnání s úlohmi Mtemtiké olympiády jsou o do složitosti úlohy Mtemtikého Duelu méně složité, le i přesto se soutěže účstní pouze zjevně tlentovní studenti žái. Mtemtiký duel proto neslouží jko soutěž pro vyhledávání rozpoznávání tlentu, n rozdíl od npř. korespondenčníh seminářů, či velmi populární soutěže Mtemtiký Klokn, le je spíše motivčního hrkteru přispívá k dlšímu růstu již zjevně tlentovného jedine. Výše uvedený příkld předstvuje pouze zlomek možností pro rozvoj mtemtikého tlentu, niméně se může stát vodítkem pro prái mnohýh odorníků prktiků.

6 The Mthemtis Edution into the 1 st Century Projet Proeedings of the Interntionl Conferene The Deidle nd the Undeidle in Mthemtis Edution Brno, Czeh Repuli, Septemer 3 7. Litertur: 1) KALHOUS, Zdeněk, OBST, Otto j. Školní didktik. 1. vyd. Prh: Portál. ISBN X. ) KRAINER, K. Teher Edution s Reserh Trend in Europen Mthemtis Teher Edution ( 3) MIKOVÁ, Mrel. Poznámky k úlohám domáí části I. kol. ročníku MO v ktegoriíh A, B, C. Mtemtik. Fyzik. Informtik., roč. 11, č. 6, s ) PRÍDAVKOVÁ, Alen ŠVEDA, Dušn. Výer žikov. ročník ZŠ do tried s rozšíreným vyučováním mtemtiky. Mtemtik. Fyzik. Informtik., roč. 9, č. 9, s ) NOVÁK, Bohumil. Učitel mtemtiké vzdělávání v podmínkáh humnize. Mtemtik, fyzik informtik, 1998/99, roč. 8, č., s ISSN ) NOVÁK, Bohumil, UHLÍŘOVÁ, Mrtin. Prospetive teher s omments on the level of diffiulty of mthemtil prolems. In: Proeedings Interntionl Symposium Element. Mths Tehing. Prh: Prometheus 1997, s ISBN ) PASCH, M. j. Od vzdělávího progrmu k vyučoví hodině. 1. vyd. Prh: Portál ) SEMADENI, Z. Developing Children s Understnding of Verl Arithmetil Prolems. In: Proeedings Interntionl Symposium Elementry Mths Tehing. Prh: Prometheus, ) VANĚK, Vldimír. Mtemtiký tlent. In: Sorník strkt elektronikýh verzí příspěvků z XXI. mezinárodního kolokvi. Vyškov: VVŠ PV 3. ISBN ) VANĚK, Vldimír. Péče o tlenty v mtemtikýh třídáh gymnázií. Diplomová práe. Olomou,.