Náhodné jevy a pravděpodobnost
|
|
- Roman Kadlec
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých pokusů) a o áhodých veličiách (výsledcích áhodých pokusů vyjádřeých číselě) Tato prví lekce zůstává a úrovi áhodých jevů Vedle áhodých jevů operujeme rověž s jevy jistými a emožými a také s jevy, které se svými vlastostmi těmto jevům maximálě blíží (jev prakticky jistý, jev prakticky emožý) Náhodé jevy se evyskytují jedotlivě, ale miimálě ve dvojicích ebo i větších skupiách Objevuje se tedy problém vztahů mezi jevy, který přiáší možství pojmů, jako apř sjedoceí jevů, průik jevů, eslučitelost, opačé jevy a jié Klíčovým pojmem prví lekce bude pojem pravděpodobosti, jako matematické veličiy, která kvatifikuje áhodu Sezámíme se s ěkolika speciálími případy pravděpodobosti a jejími vlastostmi Uiverzálě ovšem pojem pravděpodobost zavádět ebudeme Pozáme, že vedle obyčejé pravděpodobosti, která se vztahuje k jedomu áhodému jevu, existují i komplikovaější případy podmíěé a úplé pravděpodobosti, stejě jako pravděpodobosti apriorí a aposteriorí Pozáme jede z klíčových vztahů ve dvojici ebo větší skupiě áhodých jevů ezávislost jevů Vzhledem k tomu, že áhodé pokusy ejsou uikátí, eopakovatelé (sériová výroba, hromadá obsluha), budeme hovořit také o sériích za stejých podmíek vykoávaých pokusů opakovaých pokusech V této souvislosti se zmííme také o výběru s opakováím a výběru bez opakováí, které mají řadu praktických aplikací aposteriorí pravděpodobost; apriorí pravděpodobost; Bayesova pravděpodobost; Beroulliův vzorec; čtyřpolí tabulka; důsledek; elemetárí jev; jistý jev; klasická pravděpodobost; áhodý jev; áhodý pokus; emožý jev; eslučitelost; ezávislé pokusy; ezávislost; opačé jevy; opakovaé pokusy; podmíěá pravděpodobost; prakticky jistý jev; prakticky emožý jev; průik; sjedoceí; statistická pravděpodobost; úplá pravděpodobost; úplá skupia; Veův diagram; závislé pokusy Náhodé jevy Každý děj, jehož výsledek elze bezezbytku předpovědět (vyrobe může být dobrý ebo vadý výrobek, techické měřeí může ale emusí být zatížeo hrubou chybou, v určitém časovém itervalu může ale emusí dojít k poruše zařízeí atd), azýváme áhodý pokus Slově vyjádřeé výsledky áhodých pokusů azýváme áhodé jevy a pro jejich začeí využíváme velká písmea ze začátku abecedy, tj, A, B, C, Vedle áhodých jevů je vhodé zavést pojmy jistý jev (začíme I) a emožý jev (začíme V) Výzam těchto jevů je zřejmý z jejich ázvů Najděte příklady áhodých pokusů, áhodých, jistých a emožých jevů z vašeho dosavadího studia či praxe Je-li výsledkem áhodého pokusu astoupeí jevu A, jde o případ přízivý jevu A Každému áhodém pokusu přísluší možia možých případů elemetárích jevů Možé případy mají tyto vlastosti 6
2 jsou eslučitelé (disjuktí) astae-li jede, emůže současě astat jiý, tvoří úplou skupiu emůže astat žádý jiý případ, jsou erozložitelé každý z ich může astat právě jedím způsobem Každý áhodý jev je buď elemetárím jevem ebo jevem složeým z elemetárích jevů Ukažte elemetárí jevy a případu hodu hrací kostkou! Pojmeujte jevy padutí sudého čísla, padutí ejméě trojky apod Příklad házeí kostkou volíme proto, že jde o ázorý a všeobecé zámý případ áhodého pokusu Pro dvojici jevů A, B můžeme formulovat tyto vztahy Platí-li, že astae-li jev A, astae vždy současě i jev B, říkáme, že jev A je částí jevu B (ebo že jev B je důsledkem jevu a píšeme A B Pokud současě platí A B, B A, jsou jevy A, B totožé Existuje jev, spočívající v tom, že astae alespoň jede z jevů A, B Teto jev je sjedoceím jevů A, B Píšeme A B Platí A B = B A, A A = A, A I = I, A V = A Existuje-li jev, spočívající ve společém astoupeí jevů A, B, je teto jev průikem jevů A, B Píšeme A B Jsou-li jevy A, B eslučitelé, je jejich průik jevem emožým, a tedy A B = V Platí A B = B A, A A = A, A I = A, A V = V Jev, spočívající v eastoupeí jevu A, se azývá jevem opačým k jevu A Opačý jev k jevu A ozačíme A Platí A A = I, A A = V Ukažte výše uvedeé vztahy mezi jevy a případu házeí hrací kostkou! Operace sjedoceí a průiku lze zobecit pro -tici jevů Příklad Pomocí výše uvedeých vztahů zapíšeme, že jevy jevů To, že jevy tvoří úplou skupiu U i j i= A,,, A2 A : U, I i= i= A,, A i A i, A2 A tvoří úplou skupiu eslučitelých A i = I, to, že jevy jsou po dvou eslučitelé A A V pro i j = Příklad 2 Vyjádříme astoupeí jevu A při eastoupeí jevu B (jde o rozdíl jevů A : A B = A B Jak vyjádříme, že astal právě jede (libovolý) z jevů A, B? ( ) Pro grafickou prezetaci vztahů mezi jevy se využívají všeobecě zámé možiové Veovy diagramy Pomáhejte si jimi vždy, když si evetuálě s úlohou evíte rady, apř pro úkol ( ) hledáme vybarveou část diagramu 7
3 2 Klasická pravděpodobost Předpokládáme áhodý pokus s koečým počtem stejě možých případů Počet případů přízivých jevu A ozačíme m Klasická pravděpodobost jevu A je dáa jako P ( = = p Vzhle- m dem k vlastostem m, je 0 p Počet možých a přízivých případů je často začý Proto k jejich vyčísleí využíváme kombiatorických výpočtů Příklad 3 V krabici je 20 žárovek, z ichž tři jsou vadé Z krabice je odebráo pět žárovek Jaká je pravděpodobost, že dvě z ich jsou vadé? 20 20! Počet způsobů, kterými lze vybrat pět žárovek z 20: = = (20 5)!5! Počet způsobů, kterými lze ze 7 dobrých žárovek odebrat tři a současě ze zbývajících tří vadých 7 3 7! 3! vybrat dvě: = = = (7 3)!3! (3 2)!2! 2040 Pravděpodobost jevu je tedy P ( = = 0, Jakou pravděpodobost mají v příkladu 3 jevy, že (a) výběr bude obsahovat všechy tři vadé žárovky, (b) žádá žárovka ve výběru ebude vadá ( 2) Klasická pravděpodobost je založea a logickém rozboru možých výsledků pokusu (který eí třeba vykoávat) a vyžaduje koečý počet stejě možých případů 3 Statistická pravděpodobost Za stejých podmíek vykoáváme určitý áhodý pokus a zazameáváme jeho výsledky Vždy po vykoáí určitého počtu pokusů vyčíslíme relativí četost přízivých případů (apř hodíme-li 20krát micí, přičemž padlo 2 líců a 8 rubů a přízivým případem je padutí líce, je relativí četost padutí líce 2 = 0, 6 ) Pozorujeme-li, že relativí četost se po vykoáí určitého počtu pokusů stabilizovala a další vykoaé pokusy její hodotu prakticky eměí, vyhlásíme tuto stabilizovaou rela- 20 tiví četost za statistickou pravděpodobost Z vlastostí relativí četosti opět plye 0 p Příklad 4 Při kotrole jakosti byla po vyšetřeí 0 výrobků zjištěa ulová relativí četost vadých výrobků Po vyšetřeí 50 výrobků byla zjištěa relativí četost vadých výrobků 0,04 Po vyšetřeí 00 výrobků byla zjištěa relativí četost vadých výrobků 0,03 Po vyšetřeí 200 a 300 výrobků byla shodě určea relativí četost vadých výrobků 0,02 Pokus ukočíme s tím, že relativí četost považujeme za stabilizovaou a hodotě pravděpodobosti P ( = 0, 02 Zázorěte průběh pokusu graficky Na vodorovou osu vyeste počet pokusů a a svislou osu relativí četost Statistická pravděpodobost je založea a vykoáí atolik početé série áhodých pokusů, která umoží stabilizovaou relativí četost přízivých případů prohlásit za pravděpodobost jevu 8
4 Vlastosti pravděpodobosti formulujeme zobecěím vlastostí klasické a statistické pravděpodobosti Pravděpodobost je ezáporá a abývá maximálí hodoty jeda, 0 P ( Pravděpodobost jistého jevu je rova jedé, P ( I ) = Pravděpodobost emožého jevu je rova ule, P ( V ) = 0 Pravděpodobost astoupeí alespoň jedoho z tice eslučitelých jevů je rova součtu jejich pravděpodobostí (aditivita): P (U A ) A ) i= i = i= Jestliže jev B je důsledkem jevu A, platí Pravděpodobost opačého jevu je doplňkem pravděpodobosti původího jevu do jedé, = Vedle uvedeé klasické a statistické pravděpodobosti existují další kocepty pravděpodobosti pravděpodobost geometrická pravděpodobost je prezetováa jako míra (délka, plocha, objem) geometrického útvaru (hodí se apř při grafické prezetaci jevů pomocí Veových diagramů) ebo pravděpodobost subjektiví (odborě ebo laicky odhadovaá, apř pravděpodobost vziku poruchy v závislosti a opotřebeí zařízeí) Nejdůležitějším případem pravděpodobosti bude pro ás rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy v dalších lekcích Všechy tyto kocepty jsou zvláštími případy tzv axiomatické defiice pravděpodobosti, která je společě zastřešuje 4 Počítáí s pravděpodobostmi Jsou dáy obecé (slučitelé) jevy A, B se zámými pravděpodobostmi P (, Pak pravděpodobost jejich sjedoceí je rova A = +, přičemž pravděpodobost jejich průiku elze z pouhé zalosti pravděpodobostí P (, dovodit Pravděpodobost průiku vyplye z rekapitulace pravděpodobostí všech možých kombiací astoupeí jevů A, A, B, B ve čtyřpolí tabulce Jev B B Součet A P ( A P ( Součet P ( P ( P (I ) Všiměme si v této chvíli, že apř platí = + a podobě i pro P (, P (, Tyto vztahy za chvíli využijeme Příklad 5 Při přejímací kotrole bylo alezeo 5 % výrobků s fukčí vadou (jev a 8 % výrobků se vzhledovou vadou (jev Obě vady současě mělo 2 % výrobků Považujme tyto podíly za stabilizovaé a sestavme čtyřpolí tabulku pravděpodobostí Jev B B Součet A 0,02 0,03 0,05 A 0,06 0,89 0,95 Součet 0,08 0,92,00 i 9
5 Vyjádřete slově jev, který má v tabulce pravděpodobost 0,89 Najděte pravděpodobost alezeí výrobku, který má je vzhledovou vadu Příklad 6 Najdeme yí pravděpodobosti alezeí výrobku se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají/emají fukčí vadu (víme, že tato pravděpodobost mezi všemi výrobky je rova 0,08) Hledaé pravděpodobosti ozačíme P ( B, B a staovíme jako 0,02 P ( B = = = 0,40 (hodoty bereme z prvího řádku tabulky), 0,05 0,06 P ( B = = = 0,0632 (hodoty bereme z druhého řádku tabulky) 0,95 Z výsledků vyplývá, že je mohem pravděpodobější (0,40) ajít výrobek se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají fukčí vadu, ež mezi výrobky, které fukčí vadu emají (0,0632) Jaký vztah je mezi všemi třemi pravděpodobostmi? = + = B + B = = 0,02 + 0,06 = 0,40 0,05 + 0,0632 0,95 = 0,08 Podmíěá, úplá a aposteriorí pravděpodobost, ezávislost A H ) Jsou dáy jevy A, H ( H V ) Pravděpodobost A H ) = se azývá podmíěá pravděpodobost jevu A za podmíky H H ) Pravděpodobost P ( = A H ) H ) + A H ) H ) se azývá úplá pravděpodobost jevu A Pravděpodobost průiku jevů A, H staovíme jako P ( A H ) = A H ) H ) Podmíěá pravděpodobost A H ) se rová úplé pravděpodobosti P (, pokud P ( A H ) = H ) Vztah mezi jevy A, H v tomto posledím případě se azývá ezávislost A H ) Pravděpodobost H = se azývá aposteriorí (Bayesovskou) pravděpodobostí jevu H Všechy uvedeé pravděpodobosti využijeme v ásledujícím příkladu Příklad 7 Odběratel odebírá součástky od dvou výrobců Prví výrobce dodává 2 % vadých součástek a druhý 8 % Od prvího dodavatele pochází 60 % dodaých součástek Ozačíme jev H, H ) = 0, 6, že součástka pochází od prvího a H, H ) = 0, 4, že součástka pochází od druhého výrobce Podmíěá pravděpodobost alezeí vadé součástky mezi součástkami od prvího výrobce je P ( A H ) = 0, 02, mezi součástkami druhého výrobce P ( A H ) = 0, 08 Vidíme, že zadáy jsou podmíěé pravděpodobosti Vypočteme úplou pravděpodobost alezeí vadé součástky bez ohledu a to, od kterého výrobce pochází P ( = 0,02 0,6 + 0,08 0,4 = 0, 044 0
6 Vypočteme pravděpodobost, že alezeá vadá součástka (mezi všemi) pochází od prvího výrobce P ( A H ) = 0,02 0,6 = 0,02 Vypočteme, jaká by byla tato pravděpodobost, pokud by pravděpodobost alezeí vadé součástky ezávisela a výrobci P ( A H ) = 0,044 0,6 = 0, 0264 Koečě vypočteme pravděpodobost, že součástka pochází od prvího výrobce, pokud je vadá 0,02 P ( H = = 0,273 Vidíme, že po zjištěí, že součástka je vadá, se původí pravděpodobost, že pochází od prvího výrobce (0,60) sížila a 0,273 0,044 Jaká by v příkladu 5 byla pravděpodobost, že výrobek emá žádou vadu/má současě obě vady, pokud by výskyt vzhledové a fukčí vady byly ezávislé jevy? ( 3) Z výše uvedeých vztahů upozoríme a to, že jsme ašli metodu staoveí pravděpodobosti průiku dvojice jevů ve zcela obecém případě a kromě toho jsme zavedli pojem ezávislé jevy K ezávislosti dvojice jevů stačí, aby pravděpodobost jejich průiku byla rova součiu jejich pravděpodobostí Aposteriorí pravděpodobost předpokládá, že původí (apriorí) pravděpodobost jevu lze korigovat a základě zámého výsledku áhodého pokusu Nezávislost můžeme zobecit a tici jevů A A,, A 2 Pokud jsou tyto jevy vzájemě ezávislé, musí (ovšem kromě jiého!) splňovat i I Ai ) = Ai ) Při tom 5 Opakovaé pokusy i= i= je symbol součiu Nezávislé opakovaé pokusy Jsou-li výsledky opakovaých pokusů ezávislé jevy, využijeme pozatky o ezávislosti z předešlého odstavce Jev, jehož pravděpodobost v jediém pokusu je p, má pravděpodobost, že 2 3 astae ve dvou ezávislých pokusech p p = p, ve třech p atd Pricipem je staovit pravděpodobost, že bude dosažeo určitého počtu (x) úspěchů (tj astoupeí jevu v sérii ( x) pokusů, je-li záma pravděpodobost astoupeí jevu A v jediém pokusu P ( = p Pravděpodobost, že jev astae právě x krát, je rova x p, pravděpodobost, že ve zbývajících x pokusech eastae, je rova x x x ( p) Mají-li oba jevy astoupit společě, musí být p ( p) Nejde však o úspěch v určitých x pokusech, ýbrž v libovolých pokusech, bez ohledu a pořadí Je tedy třeba ještě zjistit, kolika možými způsoby se úspěchy a eúspěchy mohou v daém případě prostřídat Teto počet je dá kombiačím číslem x Pravděpodobost, že mezi ezávislými opakovaými pokusy se vyskyte právě x úspěchů, je x x ; p; x) = p ( p) Teto vzorec je zámý pod ozačeím Beroulliův vzorec x Příklad 8 Kotrola vrací k opravě ebo doplěí 5 techických výkresů ze sta Určíme pravděpodobost, že z pěti výkresů (a) ebude vráce žádý, (b) budou vrácey dva, (c) budou vrácey všechy 5 Vráceí výkresu je jev A s pravděpodobostí P ( = = 0,5; = 5; x = 0;2; 5 00
7 a) P ( 5; 0, 5; 0) = 0, 5 0, 85 = 0, 444, b) P (5;0,5;2) = 0,5 0,85 = 0, 38, c) P ( 5; 0, 5; 5) = 0, 5 0, 85 = Vypočtěte Zvláští pozorost věujme yí výsledku c) pravděpodobosti pro všechy zbývající v úvahu přicházející hodoty počtu vráceých z pěti výkresů Tyto pravděpodobosti budete později potřebovat Jevy, které sice ejsou (absolutě) emožé/jisté, ale jejich pravděpodobost je extrémě blízká ule/jedé, ozačujeme jako jevy prakticky emožé/prakticky jisté Kalkulujeme s tím, že v jedom pokuse jev prakticky jistý astae, zatímco jev prakticky emožý eastae Pravděpodobost, že očekávaý výsledek eastae, je ízká a azývá se riziko Výzam právě takových jevů s očekávatelým chováím už v jediém pokusu, je v moha úvahách zcela zásadí Závislé opakovaé pokusy Formulujme tuto situaci: Z koečého souboru N jedotek, z ichž M (M < N) má ějakou vlastost, je současě (jedím tahem) odebráo ( < N) jedotek, z ichž u předem ezámého počtu x ( max{ 0; M N + } x mi{ ; M }) se rověž objeví daá vlastost Úkolem je určit pravděpodobost x pro zadaá N, M,, kterou ozačíme jako N;M;;x) Při tom M N M x x P ( N; M ; ; x) = N Pokud jde o příklad, odkazujeme zcela a příklad 3 v odstavci 2 Vzhledem k tomu, že v techických aplikacích opakovaé pokusy často souvisí s vybíráím, je třeba uvést, že zatímco výsledky výběru s opakováím (vraceím) představují ezávislé opakovaé pokusy, jde u výběru bez opakováí (vraceí) o závislé opakovaé pokusy Rozdíl mezi oběma výběry se stírá tím více, čím meší je podíl vybíraých jedotek z jejich celkového počtu Při výběru s opakováím se každá prošetřeá jedotka před dalším tahem vrací mezi ostatí Odpovězte a otázky kolikrát se určitá jedotka může objevit ve výběru, jak se změí možia ze které vybíráme po provedeí apř k tahů, jaký je maximálí počet tahů, který lze provést a jak rozsáhlý výběr (alespoň teoreticky) lze tudíž pořídit ( 4) Na stejé otázky odpovězte, pokud vybraou jedotku evracíme 2
8 Σ ( ) Moho dějů růzého charakteru, které můžeme kolem sebe pozorovat, má charakter áhodých pokusů Jejich slově vyjádřeé výsledky se azývají áhodé jevy 2 Každý áhodý pokus má svoji možiu možých případů elemetárích jevů 3 Pro dvojici (ěkdy i pro větší skupiu) jevů můžeme formulovat vztahy jako důsledek, sjedoceí, průik, rozdíl 4 Dva jevy, které tvoří úplou skupiu eslučitelých jevů, se azývají jevy opačé 5 Koečý počet stejě možých případů vede ke klasické pravděpodobosti 6 Stabilizace relativích četostí s rostoucím počtem pokusů vede ke statistické pravděpodobosti 7 Pravděpodobost jako matematická veličia má řadu vlastostí 8 Saha o staoveí pravděpodobosti sjedoceí a průiku jevů ás dovede k podmíěé a úplé pravděpodobosti 9 Speciálí vlastostí pro dvojici ebo větší skupiu jevů je jejich (vzájemá) ezávislost 0 Aposteriorí pravděpodobost předpokládá, že apriorí pravděpodobost jevu lze korigovat a základě zámého výsledku vykoaého pokusu Beroulliův vzorec popisuje pravděpodobost, že v řadě ezávislých pokusů zazameáme právě určitý počet úspěchů 2 Tuto pravděpodobost lze rověž staovit pro řadu závislých pokusů 3 Modelovým případem ezávislých pokusů je výběr s opakováím Modelovým případem závislých pokusů je výběr bez opakováí 4 Ve výkladu jsme arazili a pojmy prakticky jistý a prakticky emožý jev Tyto jevy společě s pojmem riziko mají v řadě aplikací klíčový výzam Jde o sjedoceí ( A ( B = A B A B ( 2) Pro x = 0 to bude 6 5 0, pro = 5 x to bude 0, 399 ( 3) P ( = = 0, 874; = 0, 004 ( 4) Libovolěkrát, možia je idetická, eí omezeý, ekoečě rozsáhlý Nakreslete Veovy diagramy pro A B; A B; A B; A B; A, A 2 Odběratel provádí při přejímce suroviy kotrolu, která ozačí produkt jako kvalití, pokud skutečě takový je, s pravděpodobostí 0,995 Naopak za ekvalití ozačí produkt (pokud skutečě ekvalití je) s pravděpodobostí 0,98 (žádá kotrolí metoda eí 00% spolehlivá!) Dodavatel je schope dodávat produkt, který splňuje pod- 3
9 míky kvality, s pravděpodobostí 0,97 (žádý produkt eí 00% kvalití!) Uvozovkami rozlišujeme skutečý stav produktu (kvalití, ekvalití) a výsledek kotroly ( kvalití, ekvalití ), což jsou dvě růzé kategorie Ozačíme-li jako jev H to, že produkt je kvalití, je P ( H ) = 0,97( H ) = 0,03), ozačíme-li jev A, že produkt prošel kotrolou jako kvalití, za podmíky, že takový skutečě byl, je P ( A H ) = 0, 995 a že ekvalití produkt byl ozače jako ekvalití P ( A H ) = 0, 98 Naproti tomu pravděpodobost, že výrobek projde kotrolou jako kvalití (ať už kvalití je ebo eí) je úplá pravděpodobost P ( a aopak, že výrobek bez ohledu a kvalitu eprojde kotrolou, je P ( Je zřejmé, že výsledek kotroly eí stoprocetě v souladu se skutečostí a existují dva druhy chybých výsledků kotroly: Nekvalití produkt je ozače jako kvalití Tímto výsledkem je poškoze odběratel Pravděpodobost, že tato situace astae, se azývá riziko odběratele Kvalití výrobek je ozače jako ekvalití a je odběratelem odmítut Tímto výsledkem je poškoze dodavatel Pravděpodobost této situace se azývá riziko dodavatele Staovíme obě rizika a současě pravděpodobosti správých rozhodutí a sestavíme je do čtyřpolí tabulky Skutečost kvalití ekvalití Součet (jev H) (jev H ) kvalití Výsledek (jev kotroly ekvalití (jev A ) Součet 0, ,03000, Ve stejé tabulce jako v předchozím příkladě vyplňte pravděpodobosti za předpokladu, že výsledek kotroly by byl ezávislý a skutečé kvalitě produktu 4 Pro příklad 7 vypočtete pravděpodobost, že součástka pochází od prvího výrobce, pokud eí vadá 5 Kolik ezávislých pokusů je třeba vykoat, aby jev, jehož pravděpodobost v jedom pokusu je rova p, astal s pravděpodobostí π alespoň jedou Nápověda: Hledáme P ( X > 0 ) = X = 0) = ( p) = π 6 Vypočtěte úlohu 5 pro π = 0,99; p = 0, 5 7 Pro závislé opakovaé pokusy je N = 20, = 2, M = 4( M = 7) Určete iterval možých hodot x pro obě variaty čísla M 4
1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceCvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.
Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceKvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)
Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.
VíceZákladní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
Víceb c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d
Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceVzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN
Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceNáhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.
Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
VíceIntervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním
Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VícePRAVDĚPODOBNOST ... m n
RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
Více3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
Více23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
Více1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.
ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více6. P o p i s n á s t a t i s t i k a
6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
Více3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI
3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI Po úspěšém a aktivím absolvováí této KAPITOLY Budete umět: rozpozat průběh a vlastosti, uvést základí vztahy charakteristik rozděleí spojité áhodé
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceNáhodný výběr, statistiky a bodový odhad
Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky
VíceOVMT Přesnost měření a teorie chyb
Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.
VíceDIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.
DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Více4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 2
4EK311 Operačí výzkum 4. Distribučí úlohy LP část 2 4.1 Dopraví problém obecý model miimalizovat za podmíek: m z = c ij x ij i=1 j=1 j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, x ij 0, i
VíceP(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:
PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více