Matematika II: Řešené příklady

Transkript

1 Matematika II: Řešené příklady Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Řešené příklady Integrální počet funkcí jedné proměnné

3 5. Řy 66 - Přímá metoda Zadání Vypočtěte integrál ( 7 + sin ) + d. Řešení Video Teorie:,, Příklady: 5, 54, 55 Integrand je složen ze součtu tří funkcí, proto využijeme vlastnosti o integraci součtu funkcí (.), dostaneme součet tří integrálů: 7 d + sin d + d, ve všech integrálech je funkce ve tvaru konstanta krát funkce, využijeme tedy druhé vlastnosti (4.) a konstanty vytkneme před integrál: 7 d + funkci si napíšeme ve tvaru mocninné funkce. sin d + d, S využitím vlastností jsme získali základní integrály, které již podle vzorců (.), (6.) a (.) integrujeme. Výsledek: ( 7 + sin ) + d = cos arctan + c = 5 5 cos arctan + c. Základní integrály. d = c n d = n+ n + + c e d = e + c a d = a ln a + c d = ln + c sin d = cos + c cos d = sin + c cos d = tan + c sin d = cot + c d = arcsin + c d = arctan + c + f () d = ln f () + c f (). 4. f = f () g = g() ( f ± g)d = f d ± gd (k f )d = k f d, k R

4 5. Řy 67 - Přímá metoda Zadání Vypočtěte integrál ( e ) e cos d. Řešení Video Teorie:,, Příklady: 5, 54, 55, 56 Integrand je složen ze součtu funkcí, proto opět využijeme vlastnosti o integraci součtu funkcí (.), dostaneme součet dvou integrálů: e e + d + Výpočet prvního integrálu: s využitím vzorce a b = (a b)(a + b) upravíme čitatel (e )(e + ) e d = + 4 cos d. (e )d, rozdělíme na integrály a pomocí vzorců pro integrování (.), (.) vypočítáme (e )d = e + c. Výpočet druhého integrálu: využijeme vlastnosti (4.), konstantu vytkneme před integrál, jmenovatel si upravíme (cos + sin = ) a podle (9.) integrujeme 4 cos d = 4 sin d = 4 cot + c. Výsledek: ( e ) e cos d = e 4 cot + c. Základní integrály. d = c n d = n+ n + + c e d = e + c a d = a ln a + c d = ln + c sin d = cos + c cos d = sin + c cos d = tan + c sin d = cot + c d = arcsin + c d = arctan + c + f () d = ln f () + c f () f = f () g = g() ( f ± g)d = f d ± gd (k f )d = k f d, k R

5 54. Řy Zadání Vypočtěte integrál 68 - Přímá metoda tan cos d. Řešení Video Teorie:,, Příklady: 5, 54, 55, 56 Vidíme integrand ve tvaru zlomku, proto nejdříve kontrolujeme, zda nelze využít vzorec (.). Víme, že (tan ) = cos. Po úpravě integrandu dostáváme: tan cos d = cos tan d. Tedy platí, že derivace jmenovatele je v čitateli a lze využít vzorec (.). Výsledek: tan cos d = ln tan + c. Základní integrály. d = c n d = n+ n + + c e d = e + c a d = a ln a + c d = ln + c sin d = cos + c cos d = sin + c cos d = tan + c sin d = cot + c d = arcsin + c d = arctan + c + f () d = ln f () + c f (). 4. f = f () g = g() ( f ± g)d = f d ± gd (k f )d = k f d, k R

6 55. Řy Zadání Vypočtěte integrály: 69 - Lineární substituce, obecné vzorce e + d, 4 ( ) d. Řešení Video Teorie: 7 Příklady: 57, 58 Výpočet integrálu e + d. Integrand je ve tvaru e a+b, proto k nalezení primitivní funkce využijeme lineární substituce vzorec (.), varianta (.), kde a =, b =. Výsledek: Výpočet integrálu 4 ( ) d. e + d = e + + c. Integrand je ve tvaru, proto k nalezení primitivní funkce využijeme opět lineární substituci vzorec (.) varianta (7.), kde a =, b =, d = d (a + b). Lineární substituce, obecné vzorce f (a + b)d = F(a + b) + c a (a + b) n d = (a + b) n+ + c a n + e a+b d = a ea+b + c a + b d = ln a + b + c a sin(a + b)d = cos(a + b) + c a cos(a + b)d = sin(a + b) + c a d d = arcsin d + c d + d = d arctan d + c Výsledek: d = arcsin + c. 4 ( )

7 56. Řy Zadání Vypočtěte integrál 7 - Metoda per partes ( + ) cos d. Metoda per partes Řešení Video Teorie: 4, 5 Příklady: 59, 6, 6 Integrál je ve tvaru P() cos ad, což je integrál typický pro výpočet metodou per partes, kde polynom P() derivujeme a funkci cos a integrujeme. u = u() v = v () u = u () v = v() (u v )d = u v (u v)d u = + u = v = cos v = sin Po aplikaci PP : ( + ) cos d = + + sin sin d = sin + Dostali jsme jednodušší integrál sin d, který již umíme vyřešit pomocí vzorců, sin d = cos + c. sin d. Výsledek: ( + ) cos d = + sin cos + c. 9

8 57. Řy Zadání Vypočtěte integrál 7 - Metoda per partes ln d. Metoda per partes Řešení Video Teorie: 4, 5 Příklady: 59, 6, 6 Funkci ln integrovat neumíme, proto musíme k výpočtu využít metodu per partes, kde si integrand napíšeme ve tvaru součinu funkce s jedničkou : ln d. Volíme u = u() v = v () u = u () v = v() (u v )d = u v (u v)d Po aplikaci PP : Dostali jsme jednodušší integrál ln d = ln u = ln v = u = ln v = ln d = ln ln d, který řešíme opět metodou PP ln d. u = ln v = u = v = Po aplikaci PP : ln d = ln d = ln d = ln + c. Výsledek: ln d = ln ( ln ) + c.

9 58. Řy Zadání Vypočtěte integrál 7 - Substituční metoda tan( )d. Řešení Video Teorie: 6, 7 Příklady: 6, 6, 64 Substituce typu ϕ() = t f (ϕ())ϕ ()d = f (t)dt Derivace vnitřní funkce je rovna (až na násobek) druhé funkci v součinu, ( ) =, využijeme tedy substituce: Po aplikaci: Dostali jsme integrál = t d = dt d = dt tan( )d = tan tdt. sin t tan tdt, který si napíšeme ve tvaru cos t dt. Všimneme si, že derivace jmenovatele je v čitateli (liší se pouze konstantou), proto tento integrál řešíme f () přímou metodou s využitím vzorce f () d = ln f () + c. Do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci. Postup. označíme substituci ϕ() = t. rovnost diferencujeme: ϕ ()d = dt. v integrálu f (ϕ())ϕ ()d nahradíme za ϕ() proměnnou t a za výraz ϕ ()d diferenciál dt 4. řešíme integrál f (t)dt proměnné t 5. do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci F(t) + c = F(ϕ()) + c Výsledek: tan( )d = ln cos( ) + c.

10 59. Řy Zadání Vypočtěte integrál 7 - Substituční metoda arcsin d. Řešení Video Teorie: 6, 7 Příklady: 6, 6, 64 Integrand je ve tvaru součinu dvou funkcí: funkci v součinu, (arcsin ) = Po aplikaci: arcsin d. Derivace jedné funkce je rovna druhé, využijeme tedy substituci: arcsin = t d = dt arcsin d = Získali jsme tabulkový integrál, který již umíme pomocí vzorce vypočítat. Do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci. tdt = t + c. tdt. Substituce typu ϕ() = t f (ϕ())ϕ ()d = f (t)dt Postup. označíme substituci ϕ() = t. rovnost diferencujeme: ϕ ()d = dt. v integrálu f (ϕ())ϕ ()d nahradíme za ϕ() proměnnou t a za výraz ϕ ()d diferenciál dt 4. řešíme integrál f (t)dt proměnné t 5. do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci F(t) + c = F(ϕ()) + c Výsledek: arcsin d = arcsin + c.

11 6. Řy Zadání Vypočtěte integrál 74 - Substituční metoda sin + d. Řešení Video Teorie: 8 Příklady: 65 Substituce typu = ϕ(t) f ()d = f (ϕ(t))ϕ (t)dt V prvním kroku potřebujeme odstranit odmocninu z argumentu funkce sinus. Po nahrazení novou proměnnou: Nový integrál proměnné t je ve tvaru + = t sin + d = = t d = tdt t sin t dt = t sin tdt. P(t) sin atdt, který řešíme pomocí metody per partes. u = t u = v = sin t v = cos t Postup. označíme substituci = ϕ(t). rovnost diferencujeme: d = ϕ (t)dt. v integrálu f ()d nahradíme proměnnou funkcí ϕ(t) a diferenciál d výrazem ϕ (t)dt 4. řešíme integrál f (ϕ(t))ϕ (t)dt proměnné t 5. do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci F(t) + c = F(ϕ ()) + c Po aplikaci PP a přímé metody: t sin tdt = t cos t + cos tdt = t cos t + sin t + c. Do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci t = +. Výsledek: sin + d = + cos + + sin + + c.

12 6. Řy 75 - Integrace racionální lomené funkce Zadání Vypočtěte integrál 4 + d. Řešení Video Teorie: 9 Příklady: 67, 68, 69 Racionální lomená funkce R() = P n() Q m () V čitateli funkce je stupeň polynomu roven čtyřem, a polynom ve jmenovateli je. stupně. Stupeň ve jmenovateli je menší, polynomy tedy lze dělit. Dělíme tak, že vždy vezmeme v čitateli člen s nejvyšší mocninou a vydělíme členem s nejvyšší mocninou ve jmenovateli. Dalším krokem je vynásobení výsledku získaného dělení se jmenovatelem a odečtení od původního polynomu v čitateli (snížíme stupeň čitatele). Provedeme kontrolu, zda získaný polynom je již nižšího stupně než polynom, kterým dělíme. Pokud ano, jedná se o zbytek (ryze lomená funkce), pokud ne, musíme dělit dále. Po dělení ( 4 + ) : ( ) = ( 4 ) + ( ) + ( ) + ( ) 4 ( + d = ) d. Využitím vlastností a vzorců řešíme 5 tabulkových integrálů. Ryze lomená racionální funkce R() = P n() Q m (), n < m Neryze lomená racionální funkce R() = P n() Q m (), n m každou neryze lomenou racionální funkci lze dělením upravit na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce Výsledek: d = ln + c.

13 6. Řy Zadání Vypočtěte integrál 76 - Integrace racionální lomené funkce d. Řešení Video Teorie: Příklady: 7, 7, 7 Postup. najdeme kořeny polynomu ve jmenovateli Funkce je ryze lomená, rozložíme ji na parciální zlomky. Jmenovatel rozložíme na kořenové činitele, Tvar rozkladu : + ( )( + ) = A + Vynásobíme výrazem ( )( + ), Využijeme dosazovací metodu: + 6 = ( )( + ). B +. + = A( + ) + B( ). = : 4 = 5A A = 4 5 = : = 5B B = 5 Řešíme tedy integrály dle prvního vzorce v Poznámkách. Výsledek: d = 4 5 d d d = 4 5 ln + ln + + c. 5. napíšeme předpokládaný tvar rozkladu. celou rovnici rozkladu vynásobíme polynomem ve jmenovateli 4. nalezneme koeficienty rozkladu: srovnávací metodou, dosazovací metodou nebo kombinací těchto metod Integrace parciálních zlomků A d = A ln α + c α A ( α) k d = A + c, ( k)( α) k k a = B( + p) + p + q d = B ln + p + q + c C + p + q d = C a q p 4 arctan + p/ a + c,

14 6. Řy Zadání Vypočtěte integrál 77 - Integrace racionální lomené funkce d. Řešení Video Teorie: Příklady: 7, 7, 7 Postup. najdeme kořeny polynomu ve jmenovateli Funkce je ryze lomená, rozložíme ji na parciální zlomky. Jmenovatel rozložíme na kořenové činitele, Tvar rozkladu : + ( + ) = A + + B ( + ). Vynásobíme výrazem ( + ), = ( + ). + = A( + ) + B. Využijeme kombinaci dosazovací a srovnávací metody: = : 7 = B : = A + B 6 = A A = Řešíme tedy integrály dle prvního a druhého vzorce v Poznámkách, Výsledek: d = + d + 7 ( + ) d. + 7 d = ln c.. napíšeme předpokládaný tvar rozkladu. celou rovnici rozkladu vynásobíme polynomem ve jmenovateli 4. nalezneme koeficienty rozkladu: srovnávací metodou, dosazovací metodou nebo kombinací těchto metod Integrace parciálních zlomků A d = A ln α + c α A ( α) k d = A + c, ( k)( α) k k a = B( + p) + p + q d = B ln + p + q + c C + p + q d = C a q p 4 arctan + p/ a + c,

15 64. Řy Zadání Vypočtěte integrál 78 - Integrace racionální lomené funkce d. Řešení Video Teorie: Příklady: 7, 7, 7 Postup. najdeme kořeny polynomu ve jmenovateli Funkce je ryze lomená, rozložíme ji na parciální zlomky. Jmenovatel má dva kompleně sdružené kořeny. Tvar rozkladu : Vynásobíme výrazem ( + + 4), Využijeme srovnávací metody: = B( + ) C = B( + ) + C. : = B B = : = B + C C = Počítáme tedy dva integrály dle třetího a čtvrtého vzorce v Poznámkách, d = Jmenovatel druhého integrandu si upravíme na tvar Výsledek: d ( + ) d d = ln( + + 4) arctan ( + ) + c napíšeme předpokládaný tvar rozkladu. celou rovnici rozkladu vynásobíme polynomem ve jmenovateli 4. nalezneme koeficienty rozkladu: srovnávací metodou, dosazovací metodou nebo kombinací těchto metod Integrace parciálních zlomků A d = A ln α + c α A ( α) k d = A + c, ( k)( α) k k a = B( + p) + p + q d = B ln + p + q + c C + p + q d = C a q p 4 arctan + p/ a + c,

16 65. Řy Zadání Vypočtěte integrál 79 - Integrace goniometrických funkcí cos sin 5 d. Řešení Video Teorie: Příklady: 7, 74 Integrand je typu sin m cos n d, kde u funkce kosinus je sudá mocnina a u funkce sinus lichá, tudíž využijeme substituci (viz.): Výpočet integrálů typu kde m, n Z sin m cos n d,. m je liché substituce cos = t. n je liché substituce sin = t cos = t sin d = dt Musíme si integrand upravit tak, aby byl složen pouze z funkce cos a jedné funkce sin : cos sin 4 sin d = cos ( cos ) sin d. Po aplikaci substituce: t ( t ) dt = (t t 4 + t 6 )dt = t + t5 5 t7 7 + c.. m i n sudé, alespoň jedno záporné substituce tan = t, pak t sin =, cos = + t + t 4. m i n sudé nezáporné využití vzorců na dvojnásobný úhel: sin cos = cos + cos = Do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci. Výsledek: cos sin 5 d = cos + cos5 5 cos7 7 + c.

17 66. Řy Zadání Vypočtěte integrál 8 - Integrace goniometrických funkcí sin cos d. Řešení Video Teorie: Příklady: 7, 74 Integrand je typu sin m cos n d, kde u funkce kosinus je lichá mocnina a u funkce sinus sudá, tudíž využijeme substituci (viz.): Výpočet integrálů typu kde m, n Z sin m cos n d,. m je liché substituce cos = t. n je liché substituce sin = t Po aplikaci substituce: Do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci. Výsledek: sin = t cos d = dt t dt = t + c. sin cos d = sin + c.. m i n sudé, alespoň jedno záporné substituce tan = t, pak t sin =, cos = + t + t 4. m i n sudé nezáporné využití vzorců na dvojnásobný úhel: sin cos = cos + cos =

18 67. Řy Zadání Vypočtěte integrál 8 - Integrace goniometrických funkcí sin 4 cos 8 d. Řešení Video Teorie: Příklady: 7, 74 Integrand je typu sin m cos n d, kde u obou funkcí jsou sudé mocniny a jedna je záporná, tudíž využijeme substituci (viz.): Výpočet integrálů typu kde m, n Z sin m cos n d,. m je liché substituce cos = t. n je liché substituce sin = t tan = t cos d = dt. m i n sudé, alespoň jedno záporné substituce tan = t, pak t sin =, cos = + t + t Integrad si upravíme: Po aplikaci substituce: sin 4 cos 8 d = tan 4 cos cos d. t 4 ( + t )dt = t5 5 + t7 7 + c. 4. m i n sudé nezáporné využití vzorců na dvojnásobný úhel: sin cos = cos + cos = Do nalezené primitivní funkce vrátíme substituci. Výsledek: sin 4 cos 8 d = tan5 + tan7 + c. 5 7

19 68. Řy Zadání Vypočtěte integrál 8 - Integrace goniometrických funkcí sin cos d. Řešení Video Teorie: Příklady: 7, 74 Integrand je typu sin m cos n d, kde u obou funkcí jsou sudé nezáporné mocniny, tudíž využijeme goniometrických vzorců (viz 4.): ( ) ( ) cos + cos sin cos d = d = 4 Opět využijeme stejného vzorce: 4 ( cos )d = 4 Využitím základních integračních vzorců spočítáme. Výsledek: sin cos d = 8 ( sin 4 ) + cos 4 d. + c. ( cos )d. Výpočet integrálů typu kde m, n Z sin m cos n d,. m je liché substituce cos = t. n je liché substituce sin = t. m i n sudé, alespoň jedno záporné substituce tan = t, pak t sin =, cos = + t + t 4. m i n sudé nezáporné využití vzorců na dvojnásobný úhel: sin cos = cos + cos =

20 69. Řy Zadání Vypočtěte integrál 8 - Integrace goniometrických funkcí + cos d. Řešení Video Teorie: Příklady: 75 Integrandem je racionální funkce obsahující goniometrické funkce, využijeme tedy univerzální substituci: + cos d = + t +t + t dt = 6 + t dt. Výpočet integrálů typu R(sin, cos )d, kde R(u, v) představuje racionální funkci dvou proměnných u = sin a v = cos Univerzální substituce tan = t, ( π, π) Využitím obecného vzorce Vrátíme substituci a dostáváme výsledek: a + d = a arctan a + c spočítáme: 6 6 dt = arctan + t + cos d = arctan t + c. tan + c. sin = t + t cos = t + t = arctan t d = + t dt

21 7. Řy Zadání Vypočtěte integrál 84 - Integrace goniometrických funkcí sin d. Řešení Video Teorie: Příklady: 75. způsob řešení: Výpočet integrálů typu R(sin, cos )d, kde R(u, v) představuje racionální funkci dvou proměnných u = sin a v = cos Integrandem je racionální funkce obsahující goniometrickou funkci, využijeme univerzální substituci: + t sin d = t + t dt = t dt. Využitím základního integračního vzorce spočítáme a vrátíme substituci:. způsob řešení: Integrand je typu cos = t. Integrand si upravíme: t dt = ln t + c = tan ln + c. sin m cos n d, kde u funkce sinus je lichá mocnina, tudíž využijeme substituci sin d = sin sin d = sin cos d = dt t. Univerzální substituce tan sin = = t, ( π, π) t + t cos = t + t = arctan t d = + t dt Rozložíme na parciální zlomky a po nalezení primitivní funkce vrátíme substituci: ( ) (t ) dt = (t + ) ln cos ln cos + + c.

22 7. Řy Zadání Vypočtěte integrál 85 - Integrace iracionálních funkcí + d. Řešení Video Teorie: 8 Příklady: 65, 76 Integrand obsahuje výraz n a + b, využijeme substituci: Dostáváme: = t d = t dt d = + 9t (t + ) dt. Iracionální funkce integrujeme většinou substituční metodou. a) integrand obsahuje výraz n a + b substituce a + b = t n b) integrand obsahuje více odmocnin s různými odmocniteli n n a + b, a + b,... substituce a + b = t n, kde n je nejmenší společný násobek čísel n, n,... c) integrand obsahuje výraz a b goniometrická substituce b = a sin t nebo b = a cos t Získali jsme racionální lomenou funkci, kde v čitateli je stupeň větší než ve jmenovateli, musíme dělit: 9t (t + ) dt = 9 ( t + 4 ) dt = 9 ( t ) t + 4 ln t + + c. t + Vrátíme substituci a dostáváme výsledek: ( d = 9 ( ) ln + ) + c.

23 7. Řy Zadání Vypočtěte integrál 86 - Integrace iracionálních funkcí 4 + d. Iracionální funkce integrujeme většinou substituční metodou. Řešení Video Teorie: 8 Příklady: 65, 76 Integrand obsahuje více odmocnin s různými odmocniteli, využijeme substituci (viz. b)): Dostáváme: = t 4 d = 4t dt 4 d = 4 + t t + t dt. a) integrand obsahuje výraz n a + b substituce a + b = t n b) integrand obsahuje více odmocnin s různými odmocniteli n n a + b, a + b,... substituce a + b = t n, kde n je nejmenší společný násobek čísel n, n,... c) integrand obsahuje výraz a b goniometrická substituce b = a sin t nebo b = a cos t Získali jsme racionální lomenou funkci, kde v čitateli je stupeň větší než ve jmenovateli, musíme dělit: ( 4 t 4 t + 4t 8t + 6 ) ( t 5 ) dt = 4 t + 5 t4 + 4t 4t + 6t ln t + + c. Vrátíme substituci a dostáváme výsledek: ( d = ln 4 + ) + c.

24 7. Řy 87 - Integrace iracionálních funkcí Zadání Vypočtěte integrál 9 6 d. Řešení Video Teorie: 8 Příklady: 65, 77 Integrand obsahuje a b, využijeme substituci (viz. c)): Iracionální funkce integrujeme většinou substituční metodou. a) integrand obsahuje výraz n a + b substituce a + b = t n Dostáváme: 4 = sin t 4d = cos tdt 9 6 d = 9 9 sin t cos tdt = 9( sin t) cos tdt = cos tdt. b) integrand obsahuje více odmocnin s různými odmocniteli n n a + b, a + b,... substituce a + b = t n, kde n je nejmenší společný násobek čísel n, n,... c) integrand obsahuje výraz a b goniometrická substituce b = a sin t nebo b = a cos t Získali jsme integrál gonimetrické funkce se sudou mocninou, musíme využít vzorce pro dvojnásobný úhel: 9 cos tdt = 9 ( + cos t)dt = 9 ( ) sin t t + + c = 9 ( ) sin t cos t t + + c = 9 ( ) t + sin t ( sin t) + c. 8 Vrátíme substituci a dostáváme výsledek: ( 9 6 d = 9 arcsin ) + c = arcsin c.

25 74. Řy 88 - Určitý integrál,výpočet a vlastnosti Zadání Vypočtěte integrál π ((4 ) + cos )d. Řešení Video Teorie: 4 Příklady: 8 Newton-Leibnizova formule b a f ()d = [F()] b a = F(b) F(a) Integrand upravíme a s využitím vlastností dostaneme součet 4 integrálů: π π ( cos )d = 6 π d 8 d + π d + π cos d. Všechny integrály jsou tabulkové, tzn. umíme nalézt primitivní funkci. Využijeme tedy N-L formuli. π 6 π d 8 d + π d + π cos d = 6[] π 4[ ] π + [ ( π = 6(π ) 4(π ) ) + + ( ) = 6π 4π + π. ] π [ sin + ] π Vlastnosti f = f () a) b) b a b a g = g() ( f + g)d = b c f d = c a b a f d f d + b a gd Výsledek: π ((4 ) + cos )d = 6π 4π + π.

26 75. Řy 89 - Určitý integrál sudé a liché funkce Zadání Vypočtěte integrály: π 4 π 4 tan d, 4 d. Řešení Video Teorie: 5 Příklady: 8 Výpočet integrálu π 4 π 4 tan d: Funkce tangens je na intervalu π 4, π 4 lichá, tudíž využijeme vlastnosti určitého integrálu pro lichou funkci (viz. b)) a víme tedy, že integrál je roven. Ověříme: π 4 π 4 Výpočet integrálu tan d = 4 d: π 4 π 4 sin cos d = [ln cos ] π 4 π 4 = ( ln ln ) =. Funkce 4 je na intervalu, sudá, tudíž využijeme vlastnosti určitého integrálu pro sudou funkci (viz. a)): 4 d = 4 d = 5 [5 ] = 5 ( ) = 5. Výpočet integrálu sudé a liché funkce a) sudá funkce: b) lichá funkce: a a a a = π a f ()d = f ()d = = π 4 = π 4 f ()d = π y = tan y = 4 = =

27 76. Řy 9 - Metoda per partes pro určité integrály Zadání Vypočtěte integrál ln d. Řešení Video Teorie: 6 Příklady: 84 Integrand je složená funkce, zkusíme využít metody per partes: Metoda per partes pro určitý integrál u = u() v = v () u = u () v = v() b a (u v )d = [u v] b a b a (u v)d u = ln v = u = v = Po aplikaci PP : ln d = [ ln ] d = ln 4 ln [] = ln 4 ( ). Výsledek: ln d = (ln 4 ).

28 77. Řy 9 - Substituční metoda pro určité integrály Zadání Vypočtěte integrál π cos d. Řešení Video Teorie: 6 Příklady: 85, 86 Integrand je ve tvaru součinu dvou funkcí, kde derivace vnitřní funkce je přímo druhá funkce součinu (lišící se pouze konstantou), využijeme tedy substituci: Substituční metoda β α f (ϕ())ϕ ()d = ϕ(β) ϕ(α) f (t)dt Po zavedení vhodné substituce musíme určit nové meze. = t d = dt Musíme přepočítat meze pro novou proměnnou t: dolní mez: = horní mez: π π Po aplikaci: π cos d = π cos tdt = [sin t]π = (sin π ). Výsledek: π cos d = sin π.

29 78. Řy 9 - Substituční metoda pro určité integrály Zadání Vypočtěte integrál d. Řešení Video Teorie: 6 Příklady: 85, 86 Jedná se o integrál obsahující odmocninu. Využijeme substituci: + = t d = tdt Substituce typu = ϕ(t) β α f ()d = ϕ (β) ϕ (α) f (ϕ(t))ϕ (t)dt Po zavedení vhodné substituce musíme určit nové meze. Musíme přepočítat meze pro novou proměnnou t: dolní mez: + = horní mez: = Po aplikaci: 8 d = + t t t + dt = [ t ] ( t(t )dt = t 7 = 9 ( 8 4 )). Výsledek: 8 + d =.

30 79. Řy 9 - Určitý integrál, racionální lomená funkce Zadání Vypočtěte integrál + 6 ( + + 6) d. Řešení Video Příklady: 87 Integrace parciálních zlomků b a A α d = A [ln α ]b a Funkce je ryze lomená, rozložíme ji na parciální zlomky. Jmenovatel má dva kompleně sdružené kořeny a jeden dvojnásobný reálný kořen roven. Tvar rozkladu : Vynásobíme ( + + 6) Využijeme srovnávací metody: + 6 ( + + 6) = A + B C( + ) ( + + 6) d = [ ] 6 ( D = A( + + 6) + B( + + 6) + C( + ) + D : =A + C C = A C = : =A + B + C + D D = : =6A + 6B A = : 6 =6B B = d + d [ ] ln( + + 6) 6 arctan arctan 7 arctan ) d ( ) d = [ln ] = ln + (ln 6 ln 8) b a [ A ( α) k d = A ( k)( α) k k b a b a m = ] b B( + p) + p + q d = B [ln + p + q ] b a C + p + q d = C [ m arctan + p/ ] b, m a q p 4, a

31 8. Řy 94 - Užití určitého integrálu, obsah rovinného obrazce Zadání Znázorněte graf funkce y = a vypočítejte obsah plochy ohraničené touto funkcí, osou a přímkami = a =. Obsah křivočarého lichoběžníka pro nezápornou funkci f () na a, b Řešení Video Teorie: 7 Příklady: 88 Znázorníme si plochu, jejíž obsah máme určit: P = b a f ()d y = Obsah křivočarého lichoběžníka pro zápornou funkci f () na a, b b P = a f ()d 4 = = Z grafu vidíme, že funkce je na intervalu, záporná: P = ( )d = [ ( 4 5 )d = 4 5 ] = ( 4 5 ) + (4 + 4) = 7 4.

32 8. Řy 95 - Užití určitého integrálu, obsah rovinného obrazce Zadání Znázorněte graf funkce y = a vypočítejte obsah plochy ohraničené touto funkcí, osou a přímkami = a =. Obsah křivočarého lichoběžníka pro nezápornou funkci f () na a, b Řešení Video Teorie: 7 Příklady: 88 Znázorníme si plochu, jejíž obsah máme určit: P = b a f ()d = = Obsah křivočarého lichoběžníka pro zápornou funkci f () na a, b b P = a f ()d 4 y = Z grafu vidíme, že funkce je na intervalu, nezáporná: P = ( )d = ] ( [ = ( )) + = 4.

33 8. Řy 96 - Užití určitého integrálu, obsah rovinného obrazce Zadání Znázorněte graf funkce y = + + a vypočítejte obsah plochy ohraničené touto funkcí, osou a přímkami = a =. Řešení Video Teorie: 7 Příklady: 89 Znázorníme si plochu, jejíž obsah máme určit: y = + + Pokud funkce mění znaménko, je nutno brát části nad osou kladně a části pod osou záporně. Obsah křivočarého lichoběžníka P = b a f () d 4 = = 5 Z grafu vidíme, že funkce na intervalu, mění znaménko, musíme proto určit zvlášt obsah části pod osou a nad osou, určíme si průsečík s osou na intervalu, :, = ± + 8 hledaný průsečík je =. ( ) ( ) [ P = + + d + ] + + d = + = ( ( + 8 )) ( + ( + + )) ] [ + + = 6 + = 6

34 8. Řy 97 - Užití určitého integrálu, obsah rovinného obrazce Zadání Vypočtěte obsah rovinného obrazce (danou plochu znázorněte) ohraničeného křivkami y =, y = +. Řešení Video Teorie: 8 Příklady: 9, 9 Znázorníme si plochu, jejíž obsah máme určit: 4 y = + Obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného dvěma funkcemi pokud platí: f () g() na intervalu a, b P = b a ( f () g())d, kde a, b jsou průsečíky funkcí, tzn. řešíme rovnici f () = g() y = Z grafu vidíme, že plocha je ohraničená shora funkcí y = + a zdola kvadratickou funkcí y =, potřebujeme určit interval omezující daný útvar, tzn. určíme si průsečíky funkcí: + = řešíme tedy kvadratickou rovnici 4 =, hledané průsečíky jsou =, =. P = ( + ( ))d = ( + 4)d = ] [ + 4 = 8 ( ) =.

35 84. Řy 98 - Užití určitého integrálu, obsah rovinného obrazce Zadání Vypočtěte obsah rovinného obrazce (danou plochu znázorněte) ohraničeného křivkami = a sin t cos t, y = a sin t, t, π. Řešení Video Teorie: 8 Příklady: 9 Znázorníme si plochu, jejíž obsah máme určit: = a sin t cos t, y = a sin t, t, π a = Obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného funkcí danou parametrickými rovnicemi = ϕ(t) a y = ψ(t), kde t α; β β P = ψ(t) ϕ(t)dt α a = a = 4 Pro výpočet obsahu rovinné plochy ohraničené parametrickými rovnicemi potřebujeme znát derivaci funkce = a sin t cos t: ϕ(t) = a(cos t sin t) = a( sin t). Dosadíme do vzorečku: π P = a (sin t sin t)dt = π a [cos t] π 4a ( cos t) sin tdt [ ] π = 4a + 4a cos t cos t ( = 4a + 4a + ( )) = 4 a.

36 85. Řy 99 - Užití určitého integrálu, délka rovinné křivky Zadání Vypočtěte velikost dráhy, kterou urazí bod od t = do t = při pohybu po křivce dané parametrickými rovnicemi = t, y = t (t ). Řešení Video Teorie: 9 Příklady: 95 Znázorníme si křivku, jejíž délku máme spočítat: Délka oblouku křivky dané parametrickými rovnicemi = ϕ(t) a y = ψ(t), kde t α; β l = β α ( ϕ(t)) + ( ψ(t)) dt = t, y = t (t ), t, Pro výpočet délky křivky dané parametrickými rovnicemi potřebujeme znát derivace funkcí: Dosadíme do vzorečku: ϕ(t) = t ψ(t) = t + t = t l = 4t + t 4 t + dt = t 4 + t + dt = (t + ) dt = [ t + t ] =.

37 86. Řy - Užití určitého integrálu, délka rovinné křivky Zadání Vypočtěte délku křivky y = arcsin + pro. Délka oblouku křivky na a; b Řešení Video Teorie: 9 Příklady: 94 Znázorníme si křivku, jejíž délku máme spočítat: l = b a + ( f ()) d y = arcsin() +,, Pro výpočet délky křivky potřebujeme znát druhou mocninu derivace funkce: Dosadíme do vzorečku: l = + + d = ( ) ( f ()) = = d = + d = t t dt = [t] = 4.

38 87. Řy - Užití určitého integrálu, objem rotačního tělesa Zadání Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací (kolem osy ) oblasti ohraničené funkcí y = ln, osou v, e. Řešení Video Teorie: Příklady: 96, 97, 98 Znázorníme si oblast, která bude rotovat: y = ln,, e = = e y z Objem rotačního tělesa V = π b a f ()d Oblast je ohraničena pouze jednou funkcí, tzn. budeme počítat integrál z druhé mocniny dané funkce. Dosadíme do vzorečku: V = π e e ln d = (PP) = π[ ln ] e π = πe πe + π[] e = π(e ). e ln d = (PP) = πe π [ ln ] e d

39 88. Řy - Užití určitého integrálu, objem rotačního tělesa Zadání Vypočtěte objem tělesa, vzniklého rotací oblasti (oblast načrtněte) ohraničené funkcemi y = e, y = e + kolem osy. Řešení Video Teorie: Příklady: 99 Znázorníme si oblast, která bude rotovat: y = e = y = e + y Objem rotačního tělesa V = π b a f () g () d, kde a, b jsou průsečíky funkcí, tzn. řešíme rovnici f () = g() = ln z Z grafu vidíme, že oblast je ohraničená shora funkcí y = e + a zdola funkcí y = e, potřebujeme určit interval omezující daný útvar, tzn. určíme si průsečíky funkcí: e + = e e + e = e + e e = e + e =, zavedeme substituci e = t a řešíme kvadratickou rovnici t t + = =, = ln. ln V = π = π ( e + ) e ln d = π (4e e + 9 e )d [ e + e + 9 e ] ln = π(9 ln 6).

40 89. Řy - Užití určitého integrálu, objem rotačního tělesa π Zadání Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací parametricky zadané funkce = cos t, y = sin t, kde t, π kolem osy. Řešení Video Teorie: Příklady: Znázorníme si oblast, která bude rotovat: π = cos t, y = sin t, t, π Objem rotačního tělesa V = π β α ψ (t) ϕ(t) dt Potřebujeme znát derivaci funkce = cos t: ϕ(t) = cos t sin t..5 y.5.5 z Dosadíme do vzorečku: V = π π cos t sin 5 tdt = (substituce: sin t = u) = π u 5 du = π[u6 ] = π. π

41 9. Řy 4 - Užití určitého integrálu, obsah rotační plochy Zadání Vypočtěte povrch rotačního tělesa vzniklého rotací křivky y = pro ; kolem osy. Obsah rotační plochy Řešení Video Teorie: Příklady:, Znázorníme si oblast, která bude rotovat: S = π b a f () + ( f ()) d y =, t, y 4 4 z f () Potřebujeme znát druhou mocninu derivace funkce: (y ) =. Dosadíme do vzorečku: S = 4π + d = 4π + 8 [ ] d = 4π + d = π ( + ) = 8 π( 7 ).

42 9. Řy 5 - Užití určitého integrálu, obsah rotační plochy Zadání Vypočtěte obsah rotačního tělesa vzniklého rotací parametricky zadané funkce = cos t, y = sin t kolem osy, kde t, π. Řešení Video Teorie: Příklady:, Znázorníme si oblast, která bude rotovat: = cos t, y = sin t, t, π Obsah rotační plochy S = π β α ψ(t) ψ(t) ( ϕ(t)) + ( ψ(t)) dt Potřebujeme určit druhé mocniny derivací obou funkcí:.5 y.5.5 z ( ϕ(t)) = 4 cos t sin t ( ψ(t)) = 4 cos t sin t Dosadíme do vzorečku: S = π π sin t 8 cos t sin tdt = π π 8 cos t sin tdt = subst. : sin t = u = π 8 u du = π [u 4] = π.

43 Řešené příklady Funkce dvou proměnných

44 9. Řy 7 - Definiční obor Zadání Určete a graficky znázornětě definiční obor funkce z = ln( ) 6 y. Zlomek jmenovatel je různý od Řešení Video Teorie: Příklady: 4- Sestavíme omezující podmínky na definiční obor. Podmínka > zaručí eistenci logaritmu <. Jedná se o polorovinu s hraniční přímkou o rovnici =, která ovšem do definičního oboru nepatří, bude vyznačena čárkovaně. Podmínka 6 y zajistí eistenci druhé odmocniny, podmínka 6 y = vyloučí možnost dělení nulou. Tyto dvě podmínky se dají sloučit do jediné podmínky, 6 y > + y < 4. Jedná se o kruh se středem v počátku a poloměrem 4. Hraniční kružnice do definičního oboru patřit nebude, bude vyznačena čárkovaně. Definičním oborem je pak průnik obou ploch, na obrázku žlutě vyznačená plocha. Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z 4 = + y = 6 Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu, 4 5

45 9. Řy 8 - Definiční obor Zadání Určete a graficky znázornětě definiční obor funkce z = sin. Řešení Video Teorie: Příklady: 4- Sestavíme omezující podmínky na definiční obor. Podmínka y sin zaručí eistenci odmocniny. Součin y sin je nezáporný, když jsou oba činitelé nezáporní, nebo jsou oba nekladní, tedy (y sin ) (y sin ). Ještě je nutné vyřešit nerovnici sin resp. sin, ptáme se, kdy je funkce sinus nezáporná a kdy je nekladná. sin + kπ, π + kπ k Z π 5π/ π π/ π π/ π/ π π/ π 5π/ π sin π + kπ, + kπ k Z π 5π/ π π/ π π/ π/ π π/ π 5π/ π Zlomek jmenovatel je různý od Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu, π 5π/ π π/ π π/ π/ π π/ π 5π/ π

46 94. Řy 9 - Vrstevnicový graf Zadání Nalezněte vrstevnicový graf funkce z = 5 + y +. Řešení Video Teorie: 4, 5 Příklady: 4, 5 Dosadíme do zadané funkce z = k, kde k R, tedy k = 5 + y + + y + = 5 k Výraz 5 k jsme doplnili na úplný čtverec, 5 k = Nyní je třeba diskutovat konkrétní hodnoty k.. Pro k = dostáváme 5 k + y + = ( 5 ) 5 k 4k.. Pro k = (řez grafu funkce z s půdorysnou rovinou) dostáváme = ( 5 k bude větší než, 5 + y + ( 5 ) + y 5 k 4k + =. =, vrstevnicí je osa y. ) + y = 5. Vrstevnicemi budou kružnice pouze v případě, kdy pravá strana rovnice 4k 5 4k > 5 4k > 5 > 4k k < k = ± 5 6 k = ± 5 8 k < 5 4 k ( 5 ), (, 5 ). Pro k = ± 5 platí ( ) + y =. Jedná se o dvě singulární kružnice (body). Vrstevnicemi jsou dva body, [, ] a [, ]..5 k = k = ± k = ± 5 z y Hledáme průniky grafu funkce s rovinami rovnoběžnými s půdorysnou rovinou, tj. dosazujeme z = k, k R. Číslo k je možné volit libovolně. Ovšem může se stát, že při nevhodné volbě se plochy neprotnou. Seznam příkazů pro Gnuplot: set view 6,; set view equal y set iso 5; set samp 5 set range [-4:4]; set yrange [-4:4] set ztics ; set pmd set contour both set cntrparam levels discrete,.485, -.485,.5, -.5,.8, -.8,.65, -.65 set style increment user set style line lc rgb black lw set style line lc rgb red set style line lc rgb red set style line 4 lc rgb yellow set style line 5 lc rgb yellow set style line 6 lc rgb green set style line 7 lc rgb green set style line 8 lc rgb cyan set style line 9 lc rgb cyan set style line lc rgb magenta set grid; unset surf; unset key set label "" set ylabel "y" set zlabel "z" splot 5*/(**+y**+)

47 95. Řy - Limita funkce Zadání Vypočítejte limitu funkce z = y( + ) + v bodě [, ] a dokažte, že limita funkce z = + v bodě [, ] neeistuje. y + y Řešení Video Teorie: 6 Příklady: 6 Limity funkcí dvou proměnných řešíme většinou přímým dosazením, nebo se pokusíme limitu upravit. Řešíme první část úlohy, y + y lim [,y] [,] + = = lim [,y] [,] y( + ) ( + )( + ) = lim [,y] [,] y + =. Ve druhé části úlohy musíme dokázat, že limita neeistuje. Na rozdíl od funkcí jedné proměnné, kdy se k limitnímu bodu můžerme blížit pouze ze dvou stran (zleva a zprava), v případě funkcí dvou i více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby. Limita neeistuje v případě, že její hodnota závisí na volbě přibližování, či se pro různé volby přibližování mění. Pokud ovšem limita na konkrétní volbě přibližování nezávisí, pak to ještě neznamená, že eistuje. V případě limit funkcí dvou proměnných se spíše řeší jiný typ úlohy. Dokazuje se, že daná limita neeistuje. Zkusme se k limitnímu bodu blížit po přímkách prochazejících počátkem, tj. volíme y = k, k R. Dosadíme y = k do funkce z = + y + y, + lim [,y] [,] y + y = y=k = lim + k + k = lim + k( + ) = lim k, limita závisí na parametru k, pro různé volby parametru k vyjde různě. Tzn. limita funkce z = + v bodě [, ] neeistuje. y + y z R \{[, ]} y - z = y + y + [, ] z z = + y + y y = 4 R - y =

48 96. Řy - Parciální derivace Zadání Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = sin (y ) v bodě [π, ]. Řešení Video Teorie: 7, 8 Příklady: 7-. (c) =. ( n ) = n n. (e ) = e Parciální derivace prvního řádu počítáme vzhledem k jednotlivým proměnným funkce z. Funkce z je funkcí dvou nezávislých proměnných, proměnné a y. Parciální derivace tedy budeme počítat jak podle proměnné, tak i podle proměnné y. Vzhledem k definici parciální derivace budeme postupovat tak, že s proměnnou, podle které se nederivuje, budeme pracovat jako s konstantou. To ale v konečném důsledku znamená, že ve funkci z zůstane pouze jedna nezávislá proměnná. Funkce z se stává funkcí jedné proměnné. Ale takovou funkci již umíme snadno zderivovat s využitím formulí. až 9. Parciální derivace z funkce z podle proměnné : jelikož funkci z derivujeme podle, pak s proměnnou y budeme pracovat jako s konstantou, naším úkolem je tedy derivovat součin dvou funkcí proměnné, funkce a složené funkce sin (y ), kterou derivujeme po jednotlivých složkách v pořadí: druhá mocnina, sinus, y ; ve výrazu y je y konstanta v součinu a proto se derivuje pouze, z = ( ) sin (y ) + (sin (y )) = sin (y ) + sin(y ) cos(y ) y = sin (y ) + y sin(y ) cos(y ). Parciální derivace z funkce z podle proměnné y: y derivujeme zcela analogicky, v tomto případě budeme jako s konstantou pracovat s proměnnou, derivujeme tedy složenou funkci; je konstanta v součinu, proto se derivuje podle y pouze druhý činitel jako složená funkce v pořadí: druhá mocnina, sinus, y ; ve výrazu y je konstanta v součinu a proto se derivuje pouze y, z y = z y (sin (y )) = sin(y ) cos(y ) y = 4 y sin(y ) cos(y ). Poznamenejme, že jestliže derivujeme podle y, tak samozřejmě lze použít formule uvedené v sekci, stačí formálně místo psát y. Parciální derivace jsou opět funkce dvou proměnných a snadno je vyčíslíme na zadaném bodě přímým dosazením: z z (π, ) =, (π, ) =. y 4. (a ) = a ln a 5. (ln ) = 6. (log a ) = ln a 7. (sin ) = cos 8. (cos ) = sin 9. (tan ) = cos. (cot ) = sin. (arcsin ) =. (arccos ) =. (arctan ) = + 4. (arccot ) = + u = u() v = v() 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

49 97. Řy - Parciální derivace Zadání Určete parciální derivace druhého řádu funkce z = y v bodě [, ]. Řešení Video Teorie: 7, 8 Příklady: 7-. (c) =. ( n ) = n n. (e ) = e Nejdříve určíme parciální derivace prvního řádu, derivace podle, derivujeme mocninou funkci podle vzorce č.. derivace podle y, derivujeme eponenciální funkci podle vzorce č. 4. z z y = y y = y ln K určení parciálních derivací druhého řádu je třeba parciální derivace prvního řádu jako funkce dvou proměnných opět derivovat jak podle, tak i podle y, z = ( ) z = (yy ) = y(y ) y, z y = y z y = z y = y ( ) z ( ) z y ( ) z y = y (yy ) = y + y y ln, = (y ln ) = y y ln + y, = y (y ln ) = y ln ln = y ln. Zdůrazněme, že v případě spojitých funkcí se spojitými parciálními derivacemi se smíšené parciální derivace podle Schwarzovy věty rovnají. Vskutku: z y = yy ln + y = yy ln + y = y y ln + y = y + y y ln = z y. Opět zbývá jednoduché vyčíslení parciálních derivací druhého řádu přímým dosazením zadaného bodu [, ], 4. (a ) = a ln a 5. (ln ) = 6. (log a ) = ln a 7. (sin ) = cos 8. (cos ) = sin 9. (tan ) = cos. (cot ) = sin. (arcsin ) =. (arccos ) =. (arctan ) = + 4. (arccot ) = + u = u() v = v() 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v z (, ) =, z (, ) =, y z (, ) =, y z (, ) =. y 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

50 98. Řy - Parciální derivace Zadání Určete parciální derivaci 4 z y funkce z = e y + sin(y ). Řešení Video Teorie: 7, 8 Příklady: 7- Derivujeme funkci z postupně podle jednotlivých proměnných. Nejdříve derivujeme podle, poté ještě jednou podle a pak postupně dvakrát podle y. z = 4ey + cos(y ) y = 4e y + y cos(y ) z = 4ey + y ( sin(y ) y ) = 4e y y 4 sin(y ). (c) =. ( n ) = n n. (e ) = e 4. (a ) = a ln a 5. (ln ) = 6. (log a ) = ln a 7. (sin ) = cos 8. (cos ) = sin 9. (tan ) = cos. (cot ) = sin. (arcsin ) = z y = 4ey [4y sin(y ) + y 4 cos(y ) y] = 4e y 4y sin(y ) y 5 cos(y ) 4 z y = 4ey [y sin(y ) + 4y cos(y ) y] [y 4 cos(y ) + y 5 ( sin(y ) y)] = 4e y y sin(y ) 8y 4 cos(y ) y 4 cos(y ) + 4 y 6 sin(y ) = 4e y y sin(y ) 8y 4 cos(y ) + 4 y 6 sin(y ). (arccos ) =. (arctan ) = + 4. (arccot ) = + u = u() v = v() 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

51 99. Řy 4 - Diferenciál funkce Zadání Vypočítejte diferenciál funkce z = f (, y) = y v bodě A = [, ]. Určete přibližně hodnotu f (, 4;, 99). Řešení Video Teorie: 9 Příklady:,, 4, 5 Diferenciál funkce z = f (, y) dz = f d + f y dy Nejdříve určíme parciální derivace prvního řádu podle proměnných a y, Sestavíme diferenciál funkce z, dz = Dosadíme do diferenciálu dz bod A, f = y y, f y = y. y y d + y dy = (yd + dy). y dz(a) = dz(, ) = (( ) + (y )) = Všimněme si, že diferenciál v bodě je lineární funkce dvou proměnných. ( + y 4). 4 Pro přibližný vypočet funkčních hodnot použijeme poslední vztah v sekci. Určíme přírustky od bodu A = [, ] k bodu [, 4;, 99], d = =, 4 =, 4; dy = y y =, 99 =,. Určíme funkční hodnotu f (A) = f (, ) =. Určíme hodnotu diferenciálu dz(a)(d, dy) při známých přírustcích, Diferenciál funkce z v bodě A = [, y ] dz(a) = f (A) ( ) + f y (A) (y y ) Diferenciál funkce z v bodě A = [, y ] při známých přírůstcích d, dy dz(a)(d, dy) = f f (A) d + (A) dy R y Diferenciál druhého řádu funkce z = f (, y) d z = f d + f y ddy + f y dy Přibližný výpočet funkčních hodnot f (, y) f (, y ) + d f (, y )(d, dy) dz(a)(d, dy) = dz(, )(, 4;, ) = Přibližná hodnota funkce f (, 4;, 99) pak bude f (, 4;, 99) f (A) + d f (A)(d, dy) = + (, 4, ) =, = = ( + ). =.

52 . Řy 5 - Diferenciál funkce Zadání Vypočítejte diferenciál druhého řádu funkce z = f (, y) = + y y. Řešení Video Teorie: 9 Příklady:,, 4, 5 Nejdříve určíme parciální derivace prvního řádu podle proměnných a y, f f y Určíme parciální derivace druhého řádu = ( y) ( + y) ( y) = y ( y), = ( y) ( + y) ( ) ( y) = ( y). f = ( ) f = ( y( y) ) = y( )( y) = 4y ( y), f y = ( ) f = ( ) y y y ( y) = ( y) ( y)( y) ( ) ( y) 4 = f y = ( ) f = ( ) y ( y) = ( y) ( y) ( y) 4 = ( + y) ( y), ( + y) ( y), Diferenciál funkce z = f (, y) dz = f d + f y dy Diferenciál funkce z v bodě A = [, y ] dz(a) = f (A) ( ) + f y (A) (y y ) Diferenciál funkce z v bodě A = [, y ] při známých přírůstcích d, dy dz(a)(d, dy) = f f (A) d + (A) dy R y Diferenciál druhého řádu funkce z = f (, y) d z = f d + f y ddy + f y dy Přibližný výpočet funkčních hodnot f (, y) f (, y ) + d f (, y )(d, dy) f y = ( ) f = y y y (( y) ) = ( )( y) ( ) = 4 ( y). Sestavíme diferenciál druhého řádu d z = 4y ( y) d 4 + y 4 ddy + ( y) ( y) dy = 4 ( y) (yd ( + y)ddy + dy ).

53 . Řy 6 - Tečná rovina, normála Zadání Nalezněte tečnou rovinu a normálu ke grafu funkce z = f (, y) = y v bodě A = [,,?]. Tečná rovina τ ke grafu funkce z = f (, y) v bodě A = [, y, z = f (, y )], A = [, y ] Řešení Video Teorie: 4 Příklady: 6, 7 Bod A je bod dotyku, =, y =, určíme jeho z-ovou složku, z = f (, y ) = f (, ) =. Vypočítáme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A = [, ], f = f, y =, y a tyto funkce dvou proměnných vyčíslíme na bodě A = [, ], f (A) =, f y =. τ : z z = f (A)( ) + f y (A)(y y ) Normála n grafu funkce z = f (, y) v bodě A = [, y, z = f (, y )], A = [, y ] n : = + f (A)t y = y + f y (A)t, z = z t t R Sestavíme rovnici tečné roviny τ : z + = ( ) (y ), rovnici převedeme na obecný tvar τ : + y + z + =. Pro parametrické rovnice normály dostáváme = t n : y = t, t R z = t

54 . Řy 7 - Taylorův polynom Zadání Nalezněte Taylorův polynom druhého řádu funkce z = f (, y) = y + y + y + v bodě A = [, ]. Taylorův polynom m-tého řádu funkce z = f (, y) v bodě A = [, y ] Řešení Video Teorie: 4 Příklady: 8, 9 Určíme hodnoty f (A), d f (A) a d f (A). Poté dosadíme do formule pro Taylorův polynom druhého řádu. Bod A = [, y ] = [, ]. f (A) = 5 d f (A) = (4 y + ) [,] ( ) + ( + 6y ) [,] (y ) = 4( ) + 4(y ) = 4 + 4y 8 d f (A) = 4 [,] ( ) + ( ) [,] ( )(y ) + 6 [,] (y ) = y + + y + 6y y + 6 = 4 y + 6y 6 y y 8 T (A) = y + 6y 6 y + 8!! = y 8 + y + y 5y + 4 = y + y + y + T m (A) = f (A) + d f (A)! + + dm f (A) m! Taylorův polynom druhého řádu funkce z = f (, y) v bodě A = [, y ] T (A) = f (A) + d f (A)! + d f (A)! resp. T (A) = f (A) + ( f! (A)( ) + f ) y (A)(y y ) + ( f! (A)( ) + f y (A)( )(y y ) + f y (A)(y y ) ) Zdůrazněme, že Taylorův polynom funkce je polynom. Pokud počítáme např. Taylorův polynom druhého řádu z polynomu dvou proměnných druhého stupně (viz. řešená úloha), výsledkem je ten samý polynom druhého řádu. Každý polynom stupně n je sám sobě Taylorovým polynomem stupně m pro každé m n.

55 . Řy 8 - Derivace implicitní funkce Zadání Oběma způsoby nalezněte derivaci implicitní funkce dané rovnicí + y + y y = v bodě A = [, ]. Řešení Video Teorie: 4, 4 Příklady:,, V našem případě platí Určíme parciální derivace Jedná se o spojité funkce, navíc F(, y) = + y + y y. F = y, F y = + y. F y (A) = + y A=[, ] = =. Derivace implicitní funkce tedy eistuje a je jediná. Dosadíme do formule pro derivaci implicitní funkce v bodě A = [, y ] = [, ], f () = y [, ] + y [, ] = 5 = 5. Druhý způsob spočívá v předpokladu, že v rovnici F(, y) = budeme předpokládat závislost y = y(). Tzn., že v této rovnici zústává pouze jediná nezávislá proměnná, a to. Rovnici poté derivujeme podle, zvlášt pravou i levou stranu rovnice, d d ( + y + y y = ) + y + yy y y =. Z rovnice vyjádříme y y + yy y = + y y ( + y ) = + y y = + y + y = y + y. Kde se v rovnici po derivaci vzalo y? Musíme si uvědomit, že y závisí na, y = y(). Nevíme ale, jak konkrétně ta závislost vypadá. Derivujeme tedy pouze formálně, tj. nad y napíšeme čárku. Funkci y musíme ovšem derivovat jako složenou funkci, máme obecnou závislost y na, na kterou působí druhá mocnina. Derivujeme nejdříve vnější složku (druhou mocninu) v tom samém bodě (v y) a poté násobíme derivací vnitřní funkce, derivací y podle, což je formálně y. Výraz y musíme derivovat jako součin dvou funkcí proměnné. Derivace implicitní funkce y = f () dané rovnicí F(, y) = y = F F y Derivace implicitní funkce y = f () dané rovnicí F(, y) = v bodě A = [, y ] f ( ) = F (A) F y (A) Alternativní způsob výpočtu: v rovnici F(, y) = předpokládáme závislost y na, y = y(), rovnice F(, y) = přejde na rovnici F(, y()) = G() =, derivujeme funkci jedné proměnné G podle, vyjádříme y.

56 4. Řy 9 - Tečna a normála k implicitní funkci Zadání Nalezněte tečnu a normálu k implicitní funkci y = f () dané rovnicí e y = + y v bodě A = [, ]. Řešení Video Teorie: 4, 4 Příklady:, 4 V našem případě je funkce F dána F(, y) = e y y. Určíme parciální derivace funkce F v bodě A = [, y ] = [, ], Sestavíme rovnici tečny t ke grafu implicitní funkce, Sestavíme rovnici normály n ke grafu implicitní funkce, F (A) = yey [,] =, F y (A) = ey [,] =. t : ( ) y = y = +. n : ( ) + y = y =. Tečna k implicitní funkci y = f () dané rovnicí F(, y) = v bodě A = [, y ] t : F (A)( ) + F y (A)(y y ) = Normála k implicitní funkci y = f () dané rovnicí F(, y) = v bodě A = [, y ] n : F y (A)( ) F (A)(y y ) = t F(, y) = n

57 5. Řy - Lokální etrémy - první část Zadání Nalezněte lokální etrémy funkce z = e y (y + ). určíme definiční obor funkce z = f (, y) Řešení Video Teorie: 44, 45 Příklady: 5, 6, 7, 8 Definičním oborem funkce z je množina R. Určíme parciální derivace prvního řádu a sestavíme rovnice pro stacionární body, f = e y ( )(y + ) + e y = e y (y + ) =, f y = e y ( y)(y + ) + e y 4y = ye y (y + ) =. Eponenciální funkce e y je kladná, tedy nikdy nemůže nabýt nulové hodnoty a lze ji z rovnic pro stacionární body vykrátit. Rovnice přejdou na tvar (y + ) =, y(y + ) =. Předpokládejme nejdříve, že =. Ze druhé rovnice y(y ) = dostaneme řešení y = a y = ±. Obdržíme tři různé stacionární body, A = [, ], A = [, ] a A = [, ]. Ve druhé rovnici předpokládejme, že y =. Z první rovnice ( ) = dostaneme řešení = a = ±. Bod [, ] již máme vypočítaný, přibyly další dva nové stacionární body, bod A 4 = [, ] a A 5 = [, ]. Pokud = i y =, řešíme následující soustavu rovnic, y + =, y + =. Pokud obě rovnice od sebe odečteme, dostaneme rovnici =, ale se nikdy nerovná. Soustava nemá žádné řešení. Určili jsme celkem pět stacionárních bodů: A = [, ], A = [, ], A = [, ], A 4 = [, ], A 5 = [, ]. vypočítáme parciální derivace prvního řádu f, f y nalezneme stacionární body A jako řešení soustavy rovnic f =, f y = sestavíme matici Q(A) parciálních derivací druhého řádu ve stacionárních bodech A f Q(A) = (A) f y (A) f y (A) f y (A) označme ( D = f f (A) y (A) ) f y (A) D = f (A) klasifikujeme lokální etrém A není etrém, je-li D < A je ostrý lokální etrém, je-li D > A je ostré lok. minimum, je-li navíc D > A je ostré lok. maimum, je-li navíc D <

58 6. Řy - Lokální etrémy - druhá část Zadání Nalezněte lokální etrémy funkce z = e y (y + ). určíme definiční obor funkce z = f (, y) Řešení Pokračujeme v hledání lokálních etrémů funkce z předchozího listu. Nalezli jsme celkem pět stacionárních bodů. Určíme matici druhých parciálních derivací a vyhodnotíme ji na jednotlivých stacionárních bodech A i, i =,,, 4, 5, ( ) (( + 4 )(y + ) 4 )e y 4ye y (y + ) Q = 4ye y (y + ) (( + 4y )(y + ) 8y, )e y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q(A ) =, Q(A ) = e 4 8, Q(A ) = e 4 e 8, Q(A 4 ) = e 4, Q(A 5 ) = e. e e e V následující tabulce uvádíme souhrnný přehled klasifikace etrémů v jednotlivých bodech: A = [,, ] e Stacionární bod A i D D etrém o hodnotě z = f (A i ) A = [, ] > 8 > ostré lokální minimum z = A = [, ] e < 6 e > ostré lokální maimum z = e A = [, ] e < 6 e > ostré lokální maimum z = e A 4 = [, ] 4 e < 8 < e etrém neeistuje A 5 = [, ] 4 e < 8 e < etrém neeistuje A = [,, ] e A = [,, ] vypočítáme parciální derivace prvního řádu f, f y nalezneme stacionární body A jako řešení soustavy rovnic f =, f y = sestavíme matici Q(A) parciálních derivací druhého řádu ve stacionárních bodech A f Q(A) = (A) f y (A) f y (A) f y (A) označme ( D = f f (A) y (A) ) f y (A) D = f (A) klasifikujeme lokální etrém A není etrém, je-li D < A je ostrý lokální etrém, je-li D > A je ostré lok. minimum, je-li navíc D > A je ostré lok. maimum, je-li navíc D <

59 7. Řy - Lokální etrémy - první část Zadání Nalezněte lokální etrémy funkce z = f (, y) = sin + cos y + cos( y),, y π. určíme definiční obor funkce z = f (, y) Řešení Video Teorie: 44, 45 Příklady: 5, 6, 7, 8 Určíme parciální derivace prvního řádu a sestavíme rovnice pro stacionární body, f Ze druhé rovnice dostáváme = cos sin( y) =, f y sin( y) = sin y. = sin y + sin( y) =. Protože jak, tak y patří do intervalu, π, bude rozdíl y patřit do intervalu π, π. Nicméně funkce sinus je jak na intervalu, π, tak i na intervalu π, π prostá, to ale znamená, že eistuje funkce inverzní, arkussinus, kterou lze aplikovat na druhou rovnici, arcsin(sin( y) = sin y) arcsin(sin( y)) = arcsin(sin y) y = y y =. Tuto rovnici dosadíme do první rovnice, cos sin( y) = cos sin ( ) = cos sin =. Využijeme goniometrické identity cos = cos sin a cos = sin, cos sin sin = sin sin sin = sin + sin =. Použijeme substituci sin = t, sin + sin = t + t = t =, t =. Vzhledem k omezení na interval, π záporné řešení neuvažujeme, sin = k =, sin k = k = π 6 = π y = π 6 stacionární bod A = [ π, π 6 ]. vypočítáme parciální derivace prvního řádu f, f y nalezneme stacionární body A jako řešení soustavy rovnic f =, f y = sestavíme matici Q(A) parciálních derivací druhého řádu ve stacionárních bodech A f Q(A) = (A) f y (A) f y (A) f y (A) označme ( D = f f (A) y (A) ) f y (A) D = f (A) klasifikujeme lokální etrém A není etrém, je-li D < A je ostrý lokální etrém, je-li D > A je ostré lok. minimum, je-li navíc D > A je ostré lok. maimum, je-li navíc D <

60 8. Řy - Lokální etrémy - druhá část Zadání Nalezněte lokální etrémy funkce z = f (, y) = sin + cos y + cos( y),, y π. určíme definiční obor funkce z = f (, y) Řešení Pokračujeme v hledání lokálních etrémů funkce z předchozího listu. Nalezli jsme jeden stacionární bod. Určíme matici druhých parciálních derivací a vyhodnotíme ji na bodě A, ( ) ( ) sin cos( y) A cos( y) A Q(A) = = cos( y) A cos y cos( y) A. Určíme determinanty D a D, D =, D = 9 4. Protože D >, v bodě A = [ π, π ] 6 etrém eistuje. Protože D <, má funkce z = f (, y) = sin + cos y + cos( y) v bodě A = [ π, π ] 6 ostré lokální maimum z =. z.5 y.5 π 6 A = [ π, π 6, ] A.5 π vypočítáme parciální derivace prvního řádu f, f y nalezneme stacionární body A jako řešení soustavy rovnic f =, f y = sestavíme matici Q(A) parciálních derivací druhého řádu ve stacionárních bodech A f Q(A) = (A) f y (A) f y (A) f y (A) označme ( D = f f (A) y (A) ) f y (A) D = f (A) klasifikujeme lokální etrém A není etrém, je-li D < A je ostrý lokální etrém, je-li D > A je ostré lok. minimum, je-li navíc D > A je ostré lok. maimum, je-li navíc D <