1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
|
|
- Veronika Kubíčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Spojitost a limity Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost Defiice Nechť je fukce f defiováa a ějakém okolí bodu a Řekeme že fukce f je v bodě a spojitá právě když 0 0 : D f platí a f( ) f( a) Dále řekeme že fukce f je spojitá a otevřeém itervalu ( ab ) v každém bodě uvedeého itervalu D f pokud je spojitá Defiice spojité fukce popisuje matematicky přesě to co máme a mysli když říkáme že graf fukce je reprezetová epřerušovaou (spojitou) křivkou To jest takovou křivkou kterou můžeme akreslit aiž zvedeme tužku z papíru ebo křídu z tabule Limity Defiice (vlastí limita ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a ějakém redukovaém okolí bodu a Řekeme že fukce f má v bodě a vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem A lim f( ) Všiměte si že fukce f emusí být v bodě a v ěmž vyšetřujeme její limitu vůbec defiováa Výše uvedeá defiice totiž popisuje pouze kam směřují fukčí hodoty f když se s ezávislou proměou blížíme eomezeě blízko bodu a (aiž jej ovšem dosáheme) Pokud je fukce f v bodě a defiováa emusejí být obecě její fukčí hodota a její limita v tomto bodě totožé a Všiměte si že spojitost fukce f v bodě a můžeme vyjádřit zkráceě vztahem lim f ( ) f( a) a Symbolem ozačujeme možiu všech reálých čísel
2 - 8 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Defiice (evlastí limity ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a ějakém redukovaém okolí bodu a Řekeme že fukce f má v bodě a evlastí limitu právě když K 0 0 : D f platí 0 a f( ) K Zkráceě teto fakt vyjadřujeme symbolem lim f( ) a Řekeme že fukce f má v bodě a evlastí limitu právě když K 0 0 : D f platí 0 a f( ) K Zkráceě teto fakt vyjadřujeme symbolem lim f( ) a Defiice evlastích limit popisuje situaci kdy fukčí hodoty fukce f rostou ade všechy meze ebo pod všechy meze klesají pokud se její ezávislá proměá blíží k hodotě a Zatím jsme v defiicích limity předpokládali že se ezávislá proměá blíží k zadaé hodotě z obou stra současě - zleva i zprava Často bývá užitečé umět popsat situaci kdy je toto přibližováí jedostraé tj buď zleva ebo zprava Pak hovoříme o jedostraých limitách Uveďme si jejich přesé defiice a příkladu vlastí limity Zobecěí a případ limit evlastích je pak přímočaré Defiice (jedostraé vlastí limity ve vlastím bodě) Nechť je fukce f defiováa a otevřeém itervalu a a kde a je reálé číslo Řekeme že fukce f má v bodě a zleva vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem lim f ( ) A a Nechť je fukce f defiováa a otevřeém itervalu aa kde a je reálé číslo Řekeme že fukce f má v bodě a zprava vlastí limitu A A právě když 0 0 : D f platí 0 a f( ) A Zkráceě teto fakt zapisujeme symbolem lim f ( ) A a Má-li fukce f v bodě a limitu (vlastí či evlastí) má v tomto bodě zřejmě obě jedostraé limity které jsou avíc této limitě rovy Naopak pokud eistují obě jedostraé limity a jsou si avzájem rovy má utě fukce f v bodě a limitu Pokud si ale rovy ejsou limita fukce v daém bodě eeistuje
3 Spojitost a limity Podobě jako jedostraé limity můžeme defiovat i spojitost fukce zleva a zprava Stačí se omezit ve výše uvedeé defiici spojitosti a hodoty ezávislé proměé splňující 0 a (resp 0 a ) Pokuste se obě defiice zformulovat sami! Kromě chováí fukcí v blízkosti reálého bodu a ás často zajímá chováí fukce v případě že se ezávislá proměá blíží k ekoeču Pro teto účel defiujeme limity v evlastích bodech reálé osy tj v a Defiice (vlastí limity v evlastích bodech) Nechť je fukce f defiováa a itervalu ( b ) Řekeme že má v vlastí limitu A právě když 0M 0 : D f platí M f( ) A Používáme též zkráceý zápis lim f ( ) A Nechť je fukce f defiováa a itervalu ( b) Řekeme že má v vlastí limitu A právě když 0M 0 : D f platí M f( ) A Používáme též zkráceý zápis lim f ( ) A Zcela aalogickým způsobem se defiují i evlastí limity v evlastích bodech Pokuste se tyto defiice (celkem čtyři) zformulovat sami! Věty o limitách (erovost mezi limitami) Nechť fukce f a g defiovaé a ějakém redukovaém okolí bodu a splňují pro všecha z tohoto okolí erovost f ( ) g( ) Eistují-li limity těchto fukcí v bodě a (vlastí či evlastí) platí lim f ( ) lim g( ) a a Speciálě tedy můžeme psát lim f( ) lim g( ) a a lim g ( ) lim f( ) a a Nechť fukce f g a h defiovaé a ějakém redukovaém okolí bodu a splňují pro všecha z tohoto okolí erovost f ( ) g( ) h( ) Eistují-li vlastí limity fukcí f a h v bodě a které jsou si avíc rovy eistuje v tomto bodě i limita fukce g a platí lim f ( ) lim g( ) lim h( ) a a a
4 - 0 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Právě uvedeé věty o erovostech mezi limitami je možo přeformulovat i pro jedostraé limity a limity v evlastích bodech ( a ) Proveďte sami! (algebra limit) Limity v této větě mohou být vlastí i evlastí (tj koečé i ekoečé) ve vlastích i evlastích bodech (tj a může abývat koečých i ekoečých hodot) Pokud mají výrazy a pravé straě rovostí smysl platí lim f ( ) g( ) lim f( ) lim g( ) a a a lim f ( ) g( ) lim f( ) lim g( ) a a a lim f ( ) g( ) lim f( )lim g( ) a a a lim f ( ) / g( ) lim f( ) / lim g( ) a a a se velmi sado pamatuje: Limita součtu je rova součtu limit atd Důležitou součástí věty je předpoklad že pravé stray mají smysl To především zameá že limity a pravých straách eistují a avíc limita ve jmeovateli v posledím vztahu je eulová Vzhledem k tomu že tyto limity mohou být obecě evlastí musíme respektovat ěkterá speciálí pravidla pro počítáí s ekoečy: c c ( ) ( ) c c (0 ) c c ( 0) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c /( ) 0 Výrazy ( )0 ( ) /( ) a 0/0 ejsou defiováy emají tudíž smysl! Jejich výsledkem může být v závislosti a charakteru fukcí vyskytujících se v počítaých limitách jakékoliv reálé číslo i ebo prostě výsledek emusí eistovat Podobě eí defiová výraz A/0 kde A je eulové reálé číslo ai výraz ( ) / 0 Možých výsledků je však v těchto případech přece je trochu méě K uvedeým eurčitým výrazům vedou totiž limity (často jedostraé) lim f ( ) / g( ) kde lim f ( ) A (resp lim f( ) ) a lim g ( ) 0 a výsledky k imž a a a a můžeme dospět závisejí pouze a zaméku A (či evetuálí evlastí limity fukce f) a a zaméku fukce g abývaému a ějakém redukovaém okolí (popř jedostraém redukovaém okolí) bodu a Shruje je ásledující tabulka A > 0 popř lim f( ) A < 0 popř lim f( ) a g ( ) 0 g ( ) 0 a Měí-li fukce g své zaméko a libovolě malém redukovaém okolí (jedostraém redukovaém okolí) bodu a příslušá limita (jedostraá limita) eeistuje A také pouze jedostraé
5 Spojitost a limity - - Počítáí limit je obvykle poměrě obtížou záležitostí U ěkterých fukcí vycházíme přímo z defiice Jidy můžeme použít pravidla pro základí algebraické operace s limitami Často však musíme použít pokročilejší metody (apř L Hospitalovo pravidlo) o ěkterých se zmííme později Některé důležité a často používaé výsledky které můžeme získat přímým použitím defiic a vět uvedeých v této kapitole jsou kostatí fukce lieárí fukce kvadratická fukce a obecě polyomy jsou spojité a možiě všech reálých čísel celočíselé mociy a odmociy jsou spojité a svých defiičích oborech epoeciálí a logaritmické fukce jsou spojité a svých defiičích oborech goiometrické a cyklometrické fukce jsou spojité a svých defiičích oborech lim lim pro přirozeá lim pro sudá pro lichá lim pro přirozeá lim pro lichá lim 0 pro přirozeá lim 0 pro reálá > 0 lim 0 pro všecha přirozeá lim 0 pro sudá lim 0 pro lichá lim pro reálá > 0 0 lim a pro reálá a > lim a 0 pro reálá a < lim a 0 pro reálá a < lim a pro reálá a < limity goiometrických fukcí v evlastích bodech eeistují lim tg /2 lim tg /2 lim cotg lim cotg Jejich limity jsou tedy v každém bodě defiičího oboru rovy fukčím hodotám
6 - 2 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé 2 Derivace Zavedeí pojmu derivace bylo ispirováo potřebou řešit ěkteré kokrétími a avýsost praktické problémy jako apř určeí směrice tečy ke grafu zadaé fukce v zadaém bodě určeí okamžitých hodot rychlosti a zrychleí Derivace Defiice Nechť je fukce f () defiováa a ějakém okolí bodu a Řekeme že tato fukce má v bodě a vlastí derivaci pokud eistuje vlastí limita lim a f ( ) f( a) a Tuto limitu pak azýváme vlastí derivací fukce f v bodě a a užíváme pro i obvykle df ozačeí f ( a) ebo též ( a) Je-li uvedeá limita evlastí hovoříme o evlastí derivaci fukce f v bodě d a Jedostraou limitu lim a f ( ) f( a) a resp lim a f ( ) f( a) a azýváme derivací fukce f v bodě a zleva resp zprava V moha učebicích je derivace fukce f v bodě a defiováa zcela ekvivaletím způsobem jako f ( a) f( a) lim 0 Defiice O fukcích které mají v bodě a vlastí derivaci se často hovoří jako o fukcích (jedekrát) diferecovatelých v zadaém bodě Fukce které mají vlastí derivaci v každém bodě ějakého otevřeého itervalu se azývají (jedekrát) diferecovatelé a itervalu Derivaci df v libovolém bodě zadaého itervalu pak obvykle začíme f ( ) ebo též ( ) d Fukce diferecovatelá v zadaém bodě je v tomto bodě spojitá Fukce diferecovatelá a ějakém otevřeém itervalu je spojitá a tomto itervalu Fukce f která je diferecovatelá a ějakém otevřeém itervalu má vlastí derivaci v každém jeho bodě Derivováím získáme tedy z fukce f fukci ovou f ( ) Tu se můžeme pokusit opět derivovat v každém bodě zmíěého itervalu Ve všech bodech v ichž bude teto pokus úspěšý získáme tzv druhou derivaci Graf diferecovatelé fukce je a zadaém itervalu hladký a evyskytují se a ěm žádé "rohy"
7 Derivace fukce f f ( ) Dalším derivováím můžeme získat derivaci třetí f ( ) čtvrtou f (4) ( ) a obecě ( až derivaci řádu f ) ( ) O těchto derivacích hovoříme obvykle jako o derivacích vyšších Používáme pro d f( ) ě kromě právě uvedeého také ozačeí d Věty o derivacích (algebra derivací) Pokud mají pravé stray rovostí smysl platí f g ( a) f( a) g( a) f g ( a) f( a) g( a) kf ( a) kf ( a) f g ( a) f( a) g( a) f( a) g( a) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a g a a f a g a 2 g g( a) (derivace iverzí fukce) Nechť má fukce f fukci iverzí a v bodě a eistuje její prví derivace f ( a) která je eulová Pak eistuje prví derivace fukce f v bodě b f( a) a platí f ( b) f a f f b ( ) ( ( )) Větu o derivováí iverzí fukce (tetokrát v obecém bodě ) můžeme zapsat i ve tvaru f ( ) f( y) y f ( ) a číst: Iverzí fukci derivuj tak že derivuješ fukci k íž je tato fukce iverzí podle její ezávislé proměé (zde ji začíme y) z výsledku udělej reciprokou hodotu a za proměou y akoec dosaď f ( ) (derivace složeé fukce) Nechť fukce g a f mají prví derivace g ( b) a f ( a) kde b f( a) Pak eistuje i a platí derivace složeé fukce f g ( a) ( a ) g ( b ) f ( a ) g ( f ( a )) f ( a ) d f g d Větu o derivováí složeé fukce (v obecém bodě ) můžeme zapsat i ve tvaru f ( g ( )) f ( y) g ( ) yg( )
8 - 4 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé a číst: Složeou fukci derivuj tak že ejdříve derivuješ vější fukci podle její ezávislé proměé (zde ji začíme y) a za proměou y dosadíš g( ) a pak vše vyásob derivací vitří fukce podle její ezávislé proměé () Derivace všech základích fukcí je možo získat ať již přímo pomocí defiice ebo pomocí výše uvedeých vět Shruje je ásledující tabulka Derivace elemetárích fukcí f() f () f() f () c (= kost) 0 cos si si cos tg 2 cos cotg 2 si e e arcsi 2 a a 0 a l a arccos 2 l arctg 2 log a l a arccotg 2 3 Lokálí a globálí etrémy V ásledující kapitole si ukážeme jak je možo difereciálího počtu použít při vyšetřováí průběhu zadaé fukce jedé reálé proměé V této kapitole věujeme pozorost jedomu dílčímu v aplikacích však velmi výzamému problému - alezeí etrémů reálé fukce jedé reálé proměé Lokálí etrémy Defiice Nechť je fukce f defiováa a okolí bodu a Řekeme že tato fukce má v bodě a lokálí maimum 0 ( a a): f( ) f( a) ostré lokálí maimum 0 ( a a) ( a a): f( ) f( a)
9 Lokálí a globálí etrémy lokálí miimum 0 ( a a): f( ) f( a) ostré lokálí miimum 0 ( a a) ( a a): f( ) f( a) Lokálí maimum a lokálí miimum azýváme souhrě lokálími etrémy ostré lokálí maimum a ostré lokálí miimum ostrými lokálími etrémy Nechť má fukce f v bodě a prví derivaci Má-li f v bodě a lokálí etrém je utě tato derivace ulová Nechť má fukce f v bodě a prví a druhou derivaci Je-li prví derivace ulová a druhá derivace eulová má fukce f v bodě a ostrý lokálí etrém Je-li f( a) 0 jedá se o lokálí maimum je-li f( a) 0 jedá se o lokálí miimum Předcházející dvě věty ám poskytují ávod jak lokálí etrémy reálých fukcí jedé reálé proměé hledat Nejdříve alezeme body možého výskytu lokálích etrémů řešeím rovice f( ) 0 V každém z takto alezeých bodů určíme dále zaméko druhé derivace Je-li druhá derivace kladá abývá studovaá fukce v tomto bodě svého lokálího miima v opačém případě se jedá o lokálí maimum Pokud je však současě ulová prví i druhá derivace emůžeme o chováí fukce poblíž takového bodu a základě výše uvedeých vět říci ic určitého a musíme užít věty obecější: Platí-li ( ) f( a) f( a) f ( a) 0 a ( f ) ( a) 0 kde je liché abývá fukce f v bodě a lokálího etrému: pro ( f ) ( a) 0 lokálího miima a pro ( f ) ( a) 0 lokálího maima Je-li aopak sudé emá fukce f v bodě a žádý lokálí etrém Globálí etrémy Defiice Nechť je fukce f defiováa a ějaké podmožiě reálých čísel A Řekeme že fukce f abývá v bodě a A maima a A A: f( ) f( a) ostrého maima a A A\ a : f( ) f( a) miima a A A: f( ) f( a) ostrého miima a A A\ a : f( ) f( a) Maima a miima fukce f a možiě A obvykle ozačujeme souhrým ázvem globálí etrémy Etrémy zadaé fukce vyšetřujme zpravidla a ějakém itervalu reálé osy Obecě však emusí fukce ai jede z etrémů a daém itervalu mít Pro uzavřeé itervaly je však eistece globálích etrémů jak azačuje ásledující důležitá věta zaručea
10 - 6 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Spojitá fukce abývá a uzavřeém itervalu svého maima i miima Pokud hledáme etrémy fukce f a uzavřeém itervalu ab je zřejmé že je musíme hledat buď v krajích bodech a b ebo uvitř tohoto itervalu tj v bodech otevřeého itervalu ab V druhém případě se bude ovšem utě jedat o etrémy lokálí Ve všech bodech ab v ichž má f prví derivaci je utou podmíkou pro eisteci lokálího etrému její ulovost Kromě toho se mohou lokálí etrémy vyskytovat v bodech v ichž fukce derivaci emá ebo je dokoce espojitá Jaká je tedy strategie kterou musíme zvolit při hledáí etrémů fukce f a uzavřeém itervalu? Především alezeme body v ichž by fukce mohla etrému abývat Mezi ě patří krají body itervalu body v ichž má studovaá fukce ulovou derivaci body v ichž fukce derivaci emá ebo je dokoce espojitá Takových bodů je zpravidla koečě moho obvykle je ěkolik málo Dále sestavíme tabulku fukčích hodot studovaé fukce v alezeých bodech Pomocí této tabulky již můžeme učiit koečé rozhodutí V bodech odpovídajících ejvětší fukčí hodotě abývá fukce svého maima v bodech s ejmeší fukčí hodotou pak svého miima Podle počtu těchto bodů již sado rozhodeme zda se jedá o etrémy ostré Uvedeý postup můžeme zobecit i a vyšetřováí etrémů spojité fukce a koečém sjedoceí uzavřeých itervalů Hledáme-li etrémy fukce f a itervalu polouzavřeém či otevřeém dozá výše astíěý postup ěkterých změ Především musíme z možiy bodů v ichž můžeme výskyt etrému očekávat vyloučit krají body itervalu které do ěj epatří Ostatí body zachováme Podobě jako výše alezeme v těchto bodech odpovídající fukčí hodoty a porováme je Navíc je ale musíme porovat i s odpovídajícími jedostraými limitami fukce v krajích bodech které do vyšetřovaého itervalu epatří (pokud ovšem tyto limity eistují) Budeli ejvětší z těchto limit větší ež ejvětší fukčí hodota abývaá v ostatích vyšetřovaých bodech fukce svého maima a studovaém itervalu eabývá Naopak bude-li ejvětší z těchto limit meší ež ejvětší fukčí hodota abývaá v ostatích bodech fukce svého maima a studovaém itervalu v ěkterém z těchto bodů abývá Podobé závěry můžeme formulovat i pro eisteci či eeisteci miima Proveďte sami! Mohem obtížější je aalýza v případě že v ěkterém z krajích bodů které epatří do vyšetřovaého itervalu odpovídající jedostraá limita vůbec eeistuje Pak musíme velmi podrobě vyšetřit chováí studovaé fukce poblíž takového bodu Jak - a to odpovídá ásledující kapitola 4 Průběh fukce Často potřebujeme získat celkovou představu jak zadaá fukce závisí a své ezávislé proměé - vyšetřit její průběh Koečým cílem takového sažeí pak obvykle bývá áčrt grafu zkoumaé fukce Systematické zkoumáí fukce zahruje ěkolik kroků které v koečém důsledku umožňují cíle dosáhout Jedá se zejméa o alezeí: maimálího defiičího oboru fukce průsečíků s osou a y itervalů a ichž je fukce spojitá jakož i bodů espojitosti limit (i jedostraých) v krajích bodech defiičího oboru a v bodech v ichž eí fukce spojitá
11 Průběh fukce itervalů mootoie tj itervalů a ichž je fukce klesající rostoucí či kostatí lokálích etrémů fukce itervalů a ichž je fukce kokáví či koveí a ifleích bodů asymptot Splěí ěkterých bodů tohoto programu by emělo čiit žádé potíže Nezbytá vysvětleí defiice a věty byly podáy v předcházejících kapitolách ebo jsou zámy ze středí školy V této kapitole si vysvětlíme obsah bodů zbývajících Itervaly mootoie Nechť je fukce f spojitá a itervalu ab a má a itervalu ab prví derivaci Pak platí a a f ( ) 0 f ( ) 0 ab je f a ab rostoucí ab je f a ab klesající f je a ab eklesající f ( ) 0 f je a ab erostoucí f ( ) 0 a a ab ab Nalezeí itervalů mootoie tedy v prai zameá řešit erovice f( ) 0 a f( ) 0 Záme-li itervaly mootoie zadaé fukce umíme určit body v ichž tato fukce abývá svých lokálích etrémů popř charakter těchto etrémů aiž počítáme její vyšší derivace - tedy tak jak uvádíme v předcházející kapitole Je-li fukce v zadaém bodě spojitá vlevo od ěj rostoucí a vpravo klesající abývá v ěm svého ostrého lokálího maima Je-li aopak tato fukce vlevo od zadaého bodu klesající a vpravo od ěj rostoucí abývá v ěm ostrého lokálího miima V případě fukce vlevo eklesající a vpravo erostoucí můžeme v zadaém bodě zaručit pouze eisteci (eostrého) lokálího maima a pro fukci vlevo erostoucí a vpravo eklesající eisteci (eostrého) lokálího miima V ostatích případech fukce v daém bodě etrém emá Koveost a kokávost fukce ifleí bod Defiice Nechť je fukce f defiováa a itervalu ab Řekeme že fukce f je a tomto itervalu f( 2) f( ) f ( 3) f( ) koveí 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) ryze koveí 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) kokáví 2 3 a b 2 3: 2 3 f( 2) f( ) f ( 3) f( ) ryze kokáví 2 3 a b 2 3: 2 3
12 - 8 - Difereciálí počet fukcí jedé proměé Geometricky zameá koveost fukce f a itervalu ab že pro libovolou volbu 3 a b 3 ( ) 3 f( 3) a itervalu 3 ad grafem fukce f Kokávost aopak zameá že tatáž úsečka leží pod grafem fukce f leží úsečka s kocovými body f a S mešími ároky a přesost můžeme též říci že koveí fukce zatáčí a zadaém itervalu proti směru hodiových ručiček kokáví pak ve směru hodiových ručiček Nechť je fukce f spojitá a itervalu ab a má a ab druhou derivaci Pak platí a a f ( ) 0 f ( ) 0 ab je f a ab ryze koveí ab je f a ab ryze kokáví f je a ab koveí f ( ) 0 f je a ab kokáví f ( ) 0 a a ab ab Nalezeí itervalů koveosti (kokávosti) fukce f v prai zameá utost řešit erovice f( ) 0 ( f( ) 0) Defiice Nechť má fukce f v bodě a vlastí derivaci Řekeme že fukce f má v a ifleí bod pokud eistuje 0 takové že platí jeda z ásledujících podmíek f( ) f( a) f( a)( a) ( a a) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a ) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a) f( ) f( a) f( a)( a) ( a a ) V ifleím bodě prochází teča ke grafu studovaé fukce z jedé jeho stray a strau druhou Je-li v hraičím bodě mezi itervalem a ěmž je fukce ryze koveí a itervalem a ěmž je fukce ryze kokáví studovaá fukce současě diferecovatelá je teto bod jejím ifleím bodem Ifleí body tedy od sebe oddělují koveí a kokáví oblouky grafu diferecovatelé fukce Má-li fukce v zadaém bodě ulovou druhou derivaci a eulovou derivaci třetí má v ěm ifleí bod Obecěji - má-li fukce v zadaém bodě ulové všechy derivace od derivace druhé až do derivace řádu kde je sudé a eulovou derivaci řádu má v ěm ifleí bod Asymptoty Defiice Fukce má v bodě a vertikálí asymptotu má-li v ěm alespoň jedu jedostraou limitu evlastí Vertikálí asymptota v bodě je svislá přímka a k íž se graf fukce eomezeě blíží když se ezávislá proměá blíží k a zleva ebo zprava
13 Průběh fukce Defiice Asymptotou fukce v rozumíme přímku y k q která splňuje lim f( ) kq 0 Asymptotou fukce v rozumíme přímku y k q která splňuje lim f( ) kq 0 Asymptoty v ekoeču se eomezeě blíží ke grafu fukce pokud ezávislá proměá roste ade všechy meze ebo klesá pod všechy meze Přímka y k q je asymptotou fukce f v právě když její parametry splňují k f ( ) lim q lim f( ) k 5 Prví difereciál Taylorův rozvoj V této kapitole si ukážeme jak je možo obecou dostatečě diferecovatelou fukci ahradit přibližě fukcí jedodušší - polyomem Teto postup je velmi užitečý v praktických aplikacích a je základem velmi rozšířeé metody přibližého řešeí obecých často velmi komplikovaých úloh tzv poruchového počtu Defiice Symbolem o ( ) ozačujeme libovolou fukci která splňuje podmíku lim o ( ) / 0 0 Jedá se tedy o takovou fukci která se blíží k ule pokud se ezávislá proměá blíží k ule rychleji ež Prví difereciál Nechť je fukce f ( ) defiováa a ějakém okolí bodu a a má v ěm prví derivaci Pak je možo a tomto okolí psát f ( ) f( a) f( a) a o( a) Podle této věty je možo obecou fukci f ahradit a ějakém malém okolí bodu a tj pro ta která se od a příliš eliší jedodušší fukcí lieárí Můžeme tedy pro taková psát s přibližou platostí ( ) ( ) ( ) f f a f a a Chyby kterých se při této přibližé áhradě dopustíme budou až druhého řádu tj úměré a 2 odhady velikosti těchto chyb je možo ajít v každé pokročilé učebici matematické aalýzy 2 Kokrétí Sado můžeme ahlédout že tato áhrada odpovídá v grafickém vyjádřeí áhradě grafu fukce f a okolí bodu a jeho tečou v tomto bodě 2 Viz apř Jarík [3]
14 Difereciálí počet fukcí jedé proměé Defiice df ( ; a) f ( a) a se azývá prvím difereciálem fukce f v bodě a Výraz o prvím difereciálu umožňuje ahradit ěkteré komplikovaé výrazy výrazy sice přibližými leč začě jedoduššími které se s úspěchem využívají jak při rychlých umerických výpočtech tak i v rámci poruchového počtu při zjedodušováí komplikovaých teoretických schémat Hovoříme pak vzhledem k řádu chyb kterých se těmito úpravami dopouštíme o přiblížeí prvího řádu ebo též o lieárím přiblížeí Uveďme si pro ilustraci ěkteré z přibližých výrazů pro počítáí s čísly blízkými ule : 2 2 si e cos tg l( ) Taylorův rozvoj (Taylorova) Nechť je fukce f defiováa a ějakém okolí bodu a a má v tomto bodě derivace až do řádu včetě Pak je možo a tomto okolí psát k f f a a o a ( k) ( ) ( ) k 0 k! ( ) Podle této věty je možo a ějakém malém okolí bodu a tj pro ta která se od a příliš eliší ahradit obecou fukci f jedodušším polyomem Můžeme tedy pro taková psát s přibližou platostí f ( ) f ( a) a k! ( k ) k k 0 Chyby kterých se při této přibližé áhradě dopustíme budou až řádu tj úměré a Hovoříme proto o přiblížeí -tého řádu Kokrétí odhady velikosti těchto chyb je možo ajít v každé pokročilejší učebici matematické aalýzy 2 Všiměte si že pro přechází Taylorova věta ve větu o prvím difereciálu Taylorova věta je tedy zobecěím věty o prvím difereciálu Defiice Pro výraz ( k T ( ; f a) / k! f ) ( a) a k 0 používáme obvykle ázev Taylorův poly- k om stupě fukce f v bodě a Výraz ( k d f( ; a) f ) ( a) a k se ěkdy též azý- k! vá difereciálem k-tého řádu fukce f v bodě a Další užitečé vzorce může čteář ajít v libovolé příručce vyšší matematiky viz apř Rektorys [5] 2 Viz apř již zmíěý Jarík [3]
15 Prví difereciál Taylorův rozvoj Taylorovy rozvoje fukcí výzamých pro aplikace jsou shruty ve všech učebicích matematické aalýzy a souhrých příručkách a moografiích Zde uveďme je ěkteré z ich: k k ( ) o( ) k 0 k o( ) k 0 k o( ) kde a k 0 k ( )( k ) k k! k e o( ) k! k 0 k k l( ) ( ) o( ) k k 3! 5! 7! (2 )! si ( ) o( ) 2! 4! 6! (2 )! cos ( ) o( ) 6 L Hospitalovo pravidlo V této kapitole si ukážeme jak počítat limity které po bezprostředím použití věty o limitě podílu (viz kapitola ) přecházejí a eurčité výrazy 0 / 0 a / Zmííme se i o ěkterých dalších typech limit u ichž rověž eí přímá aplikace algebraických pravidel možá Nechť f ( ) a g( ) jsou fukce diferecovatelé a ějakém okolí bodu a (a může být vlastí i evlastí) které avíc splňují ebo lim f( ) lim g( ) 0 a a lim g ( ) a Eistuje-li lim f ( ) / g ( ) pak eistuje i lim f ( ) / g( ) a a a platí f ( ) f( ) lim lim a g( ) a g( ) Uvedeé limity mohou být i jedostraé Viz apř již zmíěá učebice Jaríkova [3] ebo příručka Rektorysova [5]
16 Difereciálí počet fukcí jedé proměé Předcházející věta dává ávod jak si poradit s eurčitými limitami typu 0 / 0 a v případě druhé podmíky zejméa s eurčitými limitami typu / Při jejím použití však musíme být obezřetí Vždy totiž musí být splěy uvedeé předpoklady Především obě fukce musí mít v zadaém bodě buď současě ulovou limitu ebo limita absolutí hodoty fukce ve jmeovateli musí být ekoečá Jiak větu použít elze! Větu je možo stručě formulovat tak že při splěí výše uvedeých podmíek je limita podílu rova limitě podílu derivací Všiměte si že ve vzorci se skutečě vyskytuje podíl derivací ikoliv derivace podílu! Často se stává že po aplikaci L Hospitalova pravidla dospějeme opět k eurčité limitě typu 0 / 0 a / Při jejím výpočtu můžeme uvedeého pravidla použít zovu a teto postup opakovat tak dlouho dokud ezískáme hledaý výsledek L Hospitalovo pravidlo můžeme použít i při výpočtu jedostraých limit typu 0 / 0 a / Kromě uvedeých typů eurčitých výrazů eistuje celá řada dalších limit k jejichž výpočtu elze větu o algebře limit (viz kapitola ) rověž bezprostředě použít V ásledujících příkladech si ěkteré takové limity uvedeme a ukážeme si jak je možo tyto limity počítat pomocí L Hospitalova pravidla Příklad Limity typu 0 Nechť lim f( ) 0 a lim g ( ) a a g( ) lim f( ) g( ) lim a a f ( ) limity typu 00 popř / L Hospitalovo pravidla Pak úprava f g převádí eurčitou limitu f g f ( ) lim ( ) ( ) lim popř a a g ( ) lim ( ) ( ) 0 a eurčitou a K výpočtu obou ových limit již ale můžeme použít Příklad 2 Limity typu Nechť lim f( ) a lim g ( ) Pak úprava lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí a a eurčitou limitu a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu a Příklad 3 Limity typu 0 0 Nechť lim f( ) lim g( ) 0 Pak úprava 2 lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí eurčitou a a a limitu 0 0 a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu Příklad 4 Limity typu 0 Nechť lim f( ) a lim g ( ) 0 Pak úprava 3 lim g ( )l f ( ) g( ) a lim f( ) e převádí a a eurčitou limitu 0 a eurčitou limitu 0 kterou počítáme podle příkladu Zde využíváme spojitosti fukce e 2 Zde využíváme spojitosti fukce e a faktu že lim l 0 3 Zde využíváme spojitosti fukce e a faktu že lim l a
17 L'Hospitalovo pravidlo Příklad 5 Limity typu Limita typu se dá obvykle zapsat ve tvaru lim a f ( ) g ( ) kde lim f( ) lim g( ) 0 úprava a a tak že lim/ f( ) lim/ g( ) a a g( ) f( ) f ( ) g( ) f( ) g( ) Pak ovšem převádí výpočet eurčité limity typu a výpočet eurčité limity 0/0 a kterou můžeme aplikovat L Hospitalovo pravidlo přímo 7 Vektorové fukce Defiice Pod reálou vektorovou fukcí jedé reálé proměé (stručě - vektorová fukce) rozumíme zobrazeí f : kde je ějaké přirozeé číslo Vektorová fukce f je zadaá uspořádaou -ticí reálých fukcí f f2 f Těmto fukcím budeme říkat ve shodě s obvyklou termiologií složky vektorové fukce f V přírodovědých a techických aplikacích volíme obvykle 2 ebo 3 V těchto případech je grafem zadaé vektorové fukce křivka v roviě či v prostoru Typickým představitelem vektorové fukce může být apř trajektorie hmotého bodu v roviě či prostoru Defiice Nechť je vektorová fukce f defiováa a okolí bodu 0 Řekeme že je spojitá v tomto bodě právě když 2 0 0: D f platí 0 f( ) f ( 0) Vektorová fukce f je spojitá v bodě 0 právě když jsou v tomto bodě spojité všechy její složky Defiice Řekeme že vektorová fukce f má v bodě 0 a jehož redukovaém okolí je defiováa 3 vlastí limitu A právě když 0 0: D f platí 0 0 f( ) A Vektorové veličiy začíme v tomto tetu tučým tiskem 2 Symbolem a ozačujeme eukleidovskou ormu vektoru a 3 V samotém bodě 0 tedy být defiováa emusí 2 a k k a Viz též Apedi 4
18 Difereciálí počet fukcí jedé proměé Obdobým způsobem můžeme defiovat i limity jedostraé a vlastí limity v evlastích bodech Nevlastí limity ejsou ale pro vektorové fukce defiováy Vektorová fukce f f f2 f má v bodě 0 má v tomto bodě limitu každá její složka Navíc platí limitu A A A A 2 právě když lim f ( ) A k 0 k k Defiice Nechť je vektorová fukce f defiováa a okolí bodu 0 Pod prví derivací fukce f v bodě 0 rozumíme f( ) f( ) 0 f ( 0) lim 0 0 df Pro derivaci vektorové fukce f v bodě 0 budeme též používat ozačeí ( 0) d Vektorová fukce f má v bodě 0 prví derivaci právě když mají v tomto bodě prví derivaci všechy její složky Navíc platí f ( 0) f ( 0) f ( 0) Vektorové fukce můžeme tedy derivovat po složkách V kokrétích výpočtech můžeme proto využít všech pozatků které jsme získali pro reálé fukce jedé reálé proměé (algebra derivací pro vektorové fukce) Nechť f a g jsou vektorové fukce defiovaé a ějakém okolí bodu 0 Mají-li smysl pravé stray platí ásledující rovosti f g ( ) f( ) g ( ) fg ( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) Jsou-li avíc f a g trojrozměré vektorové fukce f g ( ) f( ) g( ) f( ) g ( ) f : můžeme dále psát 2 Obdobě jako v případě reálých fukcí můžeme i pro fukce vektorové zavést pojem vyšších derivací Ty opět můžeme počítat po složkách Tečkou ozačujeme skalárí souči fg fg f2g2 fg fg f g f g f g f g f g f g 2 Symbolem ozačujeme vektorový souči
19 Kompleí fukce Kompleí fukce Defiice Pod kompleí fukcí jedé reálé proměé rozumíme zobrazeí f : Kompleí fukce f je jedozačě defiováa svou reálou a imagiárí částí f f if2 Na kompleí 2 fukci je možo též pohlížet jako a vektorovou fukci : f f f f Spojitost limitu (ve vlastím i evlastím bodě oboustraou i jedostraou) i derivaci kompleí fukce jedé reálé proměé defiujeme bezezbytku stejě jako v případě fukcí reálých 2 Pouze tam kde se vyskytou kompleí čísla a kompleí fukčí hodoty musíme použít azačeých operací (sčítáí odečítáí ásobeí děleí či absolutí hodoty) tak jak jsou defiováy a možiě všech kompleích čísel 2 Kompleí fukce f imagiárí část je spojitá v bodě a právě když je v tomto bodě spojitá její reálá i Kompleí fukce f f if2 má v bodě a limitu A A ia2 právě když platí lim f ( ) A lim f ( ) A 2 2 a a Kompleí fukce f f if2 má v bodě a prví derivaci právě když má v tomto bodě prví derivaci její reálá i imagiárí část Navíc platí f ( a) f ( a) if 2 ( a) Derivace kompleí fukce jedé reálé proměé je tedy jedozačě dáa derivacemi její reálé a imagiárí části V kokrétích výpočtech můžeme proto bezezbytku využít všech pozatků které jsme získali pro reálé fukce jedé reálé proměé Obdobě jako v případě reálých fukcí můžeme i pro fukce kompleí zavést pojem vyšších derivací Jistě epřekvapí že platí ( ) ( ) ( ) f ( a) f ( a) if ( a) 2 Je vlastí! Nevlastí limity ejsou pro kompleí fukce defiováy 2 Pokuste se sestavit všechy ezbyté defiice sami
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
Více5 Křivkové a plošné integrály
- 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných
- 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceDerivace funkcí jedné reálné proměnné
Derivace fukcí jedé reálé proměé Pozámka Derivaci fukce v zadaém bodě můžeme počítat přímo pomocí defiice, použitím vět o algebře derivací, použitím vět o derivaci iverzí fukce, použitím vět o derivaci
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B
MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceOSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Více8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceAplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus
Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
Více3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceDerivace součinu a podílu
5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
VíceZákladní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
Více1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
Více2,3 ČTYŘI STANDARDNÍ METODY I, ČTYŘI STANDARDNÍ METODY II
2,3 ČTYŘI STADARDÍ METODY I, ČTYŘI STADARDÍ METODY II 1.1.1 Statické metody a) ARR - Average Rate of Retur průměrý ročí čistý zisk (po zdaěí) ARR *100 % ( 20 ) ivestic do projektu V čitateli výrazu ( 20
Více