MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ

2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých fukcí a ekoečé součiy Bakalářská práce Pavla Stará Vedoucí práce: doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. Bro 202

3 Bibliografický zázam Autor: Název práce: Studijí program: Studijí obor: Vedoucí práce: Pavla Stará Přírodovědecká fakulta, Masarykova uiverzita Ústav matematiky a statistiky Rozklady celých fukcí a ekoečé součiy Aplikovaá matematika Fiačí a pojistá matematika doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. Akademický rok: 20/2 Počet stra: x + 35 Klíčová slova: holomorfí fukce; kovergece; celá fukce; ekoečé součiy; rozklady celých fukcí

4 Bibliographic Etry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Pavla Stará Faculty of Sciece, Masaryk Uiversity Departmet of Mathematics ad Statistics Factorizatio of etire fuctios Applied Mathematics Fiacial ad Isured Mathematics doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. Academic Year: 20/2 Number of Pages: x + 35 Keywords: holomorphic fuctios; covergece; etire fuctios; ifiite products; factorizatios of etire fuctios

5 Abstrakt Tématem bakalářské práce jsou rozklady celých fukcí a ekoečé součiy. Práce je rozdělea do pěti kapitol. Prví kapitola se věuje základím pozatkům týkajících se komplexích čísel. Druhá kapitola popisuje ěkteré důležité vztahy a pojmy fukcí komplexí proměé využívaé v dalších částech práce. Třetí kapitola pojedává o ekoečých součiech a rozkladech celých fukcí a ekoečé součiy. Ve čtvrté kapitole jsou uvedey řešeé příklady, a kterých je ukázaa probraá teorie. V závěru práce čteář ajde sbírku eřešeých příkladů s výsledky. Abstract The theme of the bachelor thesis is the factorizatio of etire fuctios. The paper is divided ito five chapters. The first chapter deals with basic kowledge cocerig the complex umbers. The secod chapter describes some importat cocepts ad relatioships of fuctios of complex variables used i the followig sectios of the thesis. The third chapter deals with the ifiite products ad factorizatios of etire fuctios to ifiite products. Solved examples are itroduced i the fourth chapter, where the discussed theory is demostrated. The last part of the thesis cotais the collectio of usolved exercises with results.

6

7 Poděkováí Na tomto místě bych ráda poděkovala doc. RNDr. Josefovi Kalasovi, CSc. za jeho ochotu, odborou pomoc, poskytutí ceých rad, vstřícý přístup a čas, který mi věoval při zpracováí mé bakalářské práce. Prohlášeí Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatě s využitím iformačích zdrojů, které jsou v práci citováy. Bro 28. květa Pavla Stará

8 Obsah Kapitola. Komplexí čísla Kapitola 2. Fukce komplexí proměé Derivace fukce komplexí proměé Holomorfí fukce Elemetárí fukce Kapitola 3. Celé fukce Nekoečé součiy Nekoečé součiy fukcí Rozklady celých fukcí a ekoečé součiy Kapitola 4. Řešeé příklady Řešeé příklady a ekoečé součiy Řešeé příklady a rozklady celých fukcí a ekoečé součiy Kapitola 5. Neřešeé příklady Sezam použité literatury Rejstřík vii

9 Úvod Tato bakalářská práce byla vypracováa jako završeí tříletého studia bakalářského studijího programu Aplikovaá matematika. Práce pojedává o ekoečých součiech a rozkladech celých fukcí a ekoečé součiy. Jedá se o vybraé téma z aalýzy v komplexím oboru. Cílem práce je uvést přehled teorie ekoečých součiů a poté samotých rozkladů celých fukcí a ekoečé součiy. Sestavit sbírku řešeých příkladů, a kterých je příslušá teorie aplikováa, a a závěr uvést sbírku eřešeých příkladů, která má čteáři sloužit k procvičeí uvedeé teorie. V prví kapitole jsou shruty jedoduché pozatky o komplexích číslech. Tato kapitola je opakováím zámých pojmů a eí čleěa do vět a defiic. Je uvedea hlavě pro sjedoceí termiologie a začeí. Obsah druhé kapitoly pojedává o fukcích komplexí proměé. I tato kapitola by měla sloužit spíše jako opakováí a jsou zde shruty ejdůležitější věty a defiice, jejichž zalost je pak využíváa v další části této práce. U vět ejsou uváděy důkazy. Zmííme se o derivaci fukce komplexí proměé, která stejě tak jako v reálé aalýze patří k ejdůležitějším pojmům komplexí aalýzy a její defiice je zcela obdobá jako pro reálé fukce. Holomorfí fukce jsou důležité pro studium celých fukcí, proto jsou také připomeuty. A v posledí řadě se v této kapitole zmííme o elemetárích fukcích, u kterých si zopakujeme ěkteré vzorce, které ásledě využijeme. Třetí kapitola je zaměřea a celé fukce. Nejprve si přiblížíme a stručě popíšeme, co jsou celé fukce. Pak se dostaeme k defiici samotého ekoečého součiu a k defiici ekoečého součiu fukcí. Posledím bodem této kapitoly jsou rozklady celých fukcí, u kterých je uvedea příslušá teorie a ta ásledě vysvětlea a řešeých příkladech. Ve čtvrté kapitole je předložea sbírka řešeých příkladů. Tato sbírka má čteáři sloužit k uceleí a osvojeí uvedeé teorie a zárověň jako vodítko pro samostaté řešeí příkladů, uvedeých v páté kapitole. Posledí kapitola, kapitola pátá obsahuje eřešeé příklady. Práce je psáa za předpokladu, že čteář je dobře sezáme s problematikou aalýzy v reálém oboru a ásledě i aalýzy v komplexím oboru. Práce je sázea v programu LATEX. viii

10 Přehled použitého začeí Pro sažší orietaci v textu zde čteáři předkládáme přehled základího začeí, které se v celé práci vyskytuje. C R Z N C i Re z Im z z z Arg z arg z lim z z0 f z možia všech komplexích čísel možia všech reálých čísel možia všech celých čísel možia všech přirozeých čísel := C {}, rozšířeá možia komplexích čísel, uzavřeá Gaussova rovia imagiárí jedotka reálá část komplexího čísla z imagiárí část komplexího čísla z číslo komplexě sdružeé k číslu z velikost absolutí hodota komplexího čísla z argumet komplexího čísla z hodota argumetu čísla z, která leží v π,π ekoečo kovergece limita fukce f f z 0, d f dz z 0 derivace fukce komplexí proměé v bodě z 0 z -tá odmocia cos z si z cosh z sih z exp, e z l x Log z log z w fukce kosius z fukce sius z fukce hyperbolický kosius fukce hyperbolický sius expoeciálí fukce přirozeý logaritmus := {ς C : z = expς} pro z C\{0}, logaritmus komplexího čísla z := l z + i arg z, hlaví hodota Log z ekoečá řada ix

11 Přehled použitého začeí x =0 a z z 0 mociá řada =0 f z 0! z z 0 Taylorův rozvoj fukce f z, z, > z, z ekoečý souči

12 Kapitola Komplexí čísla V této kapitole se budeme věovat základím pojmům týkajících se komplexích čísel. Připomeeme si ejdůležitější fakta, která budeme využívat v další části práce. Tato kapitola je hlavě uvedea pro sjedoceí termiologie a začeí. Proto ji ebudeme čleit do vět a defiic. Komplexími čísly z azýváme uspořádaé dvojice [x, y] reálých čísel x, y píšeme z = [x,y]. Každé komplexí číslo z lze apsat právě jedím způsobem ve tvaru z = x + iy, kde x,y C jsou reálá čísla, i je tzv. imagiárí jedotka, pro kterou platí i 2 =. Reálé číslo x se azývá reálá část komplexího čísla z, píšeme x = Re z; reálé číslo y se azývá imagiárí část komplexího čísla z, píšeme y = Im z. Pro každé komplexí číslo z tedy platí z = Re z + i Im z, kde Re z, Im z jsou jedozačě určeá reálá čísla. Komplexí číslo je reálé právě tehdy, když má ulovou imagiárí část; komplexí číslo s eulovou imagiárí částí se azývá imagiárí; komplexí číslo s ulovou reálou částí ryze imagiárí. Pro komplexí čísla defiujeme operaci sčítáí a operaci ásobeí Platí z + z 2 = [x,y ] + [x 2,y 2 ] = [x + x 2,y + y 2 ] z z 2 = [x,y ] [x 2,y 2 ] = [x x 2 y y 2,x y 2 + x 2 y ]. [x,y] + [0,0] = [0,0] + [x,y] = [x,y], [x,y] [0,0] = [0,0] [x,y] = [0,0], [x,y] [,0] = [,0] [x,y] = [x,y]. Sčítáí a ásobeí komplexích čísel jsou komutativí operace. Násobeí komplexích čísel je distributiví operací vzhledem ke sčítáí.

13 Kapitola. Komplexí čísla 2 Možia všech komplexích čísel z = [x,y] se azývá obor komplexích čísel a začí se C. Možia všech komplexích čísel C je těleso. Jelikož platí [x,0] [y,0] = [xy,0], [x,0] + [y,0] = [x + y,0], je možia R = {z C : z = x,0,x R} podtělesem tělesa C izomorfím s tělesem R všech reálých čísel. Zápis komplexího čísla z ve tvaru x + iy se azývá algebraický tvar komplexího čísla z ebo též kartézský tvar. Číslem komplexě sdružeým kojugovaým ke komplexímu číslu z = x + iy, kde x,y C, azýváme komplexí číslo z = x iy. Absolutí hodotou modulem komplexího čísla z = x + iy x,y R azýváme reálé číslo z = x 2 + y 2. Pro z = x R platí z = x 2 = x. Pro součet a souči komplexích čísel z, z dostáváme: z + z = x + yi + x yi = 2x = 2Re z, z z = x + yix yi = x 2 + y 2 = Re z 2 + Im z 2. Pojem argumetu v oboru C \ {0} zavádíme takto: z C \ {0}. Pak argumetem čísla z rozumíme každé reálé číslo α, pro které platí cosα = Re z Im z z, siα = z. Takové číslo α existuje, ebot platí Re z 2 z + Im z 2 z =. Možiu všech čísel α ozačujeme argz. Je zřejmé, že je-li z C\{0}, α 0 argz, je argz = {α 0 + 2kπ,k Z}. Je-li z C\{0}, pak existuje jedié α argz, pro ěž platí π < α < π. Tuto jedozačě určeou hodotu α azýváme hlaví hodotou argumetu čísla z a začíme α = Arg z. Platí Arg z : C\{0} π, π]. Goiometrický trigoometrický, polárí tvar komplexího čísla z je zápis komplexího čísla z 0 ve tvaru z = rcosϕ + isiϕ, kde r = z. Je-li z C \ {0}, α argz, je cosα = Re z Im z z,siα = z a tedy z = Re z + i Im z = = z cos α + i si α; toto vyjádřeí azýváme kaoický tvar čísla z. Obdobě jako se v reálé aalýze rozšiřuje obor reálých čísel R o evlastí prvky +, a získá se tak rozšířeý obor reálých čísel R, rozšiřuje se také obor komplexích čísel o evlastí prvek, jehož obrazem je v Gaussově roviě ekoečě vzdáleý bod. Obor komplexích čísel C doplěý o prvek, tj. možia C = C {} je obor rozšířeých komplexích čísel. Příklad.0.. Vypočítejte součet, rozdíl, souči a podíl komplexích čísel v algebraickém tvaru z = 2 + 3i, z 2 = 3 i v uvedeém pořadí.

14 Kapitola. Komplexí čísla 3 Řešeí. a z + z 2 = 2 + 3i + 3 i = i, b z z 2 = z + z 2 = 2 + 3i i = i, c z z 2 = 2 + 3i 3 i = i, d z = 2 + 3i = 2 + 3i 3 + i z 2 3 i 3 i 3 + i = i. 4 Příklad.0.2. Vyjádřete komplexí číslo v goiometrickém tvaru 2 + 2i. Řešeí. Využijeme výše uvedeou teorii. Nejprve si určíme z : z = = = 8 = 2 2. Poté dostáváme 2 + 2i = 2 2 cos π 4 + isi π. 4

15 Kapitola 2 Fukce komplexí proměé 2. Derivace fukce komplexí proměé Derivace fukce patří stejě tak jako v reálé aalýze k ejdůležitějším pojmům komplexí aalýzy. Defiuje se zcela obdobě jako pro reálé fukce. Důkazy jsou též obdobé reálé aalýze a ebudeme je uvádět. Defiice 2... Necht G C je otevřeá možia, f : G C. Říkáme, že fukce f má v bodě z 0 derivaci eboli, že existuje derivace fukce f v bodě z 0 právě tehdy, když existuje vlastí koečá limita lim 0 +h f z 0 f z h 0 h, kde h C. Tato limita se potom azývá derivace fukce f v bodě z 0 a začí se f f z 0 + h f z 0 z 0 = lim. h 0 h Ozačíme-li h = z z 0, můžeme defiici 2.. přepsat do tvaru f z 0 = lim z z0 f z f z 0 z z 0. Pozámka 2... K ozačeí derivace fukce f v bodě z 0 se stejě jako v reálém oboru používá symbolů f z 0 ebo d f dz z 0. Příklad 2... Pomocí defiice 2.. určete derivaci fukce f : w = iz v bodě z 0 C. Řešeí. Pro každé z 0 C je podle defiice 2..: f iz 0 + h iz 0 ih z 0 = lim = lim h 0 h h 0 h = i lim = i. h 0 Věta 2.. o vztahu mezi existecí derivace a spojitostí fukce v bodě. Má-li fukce f v bodě z 0 C derivaci, pak je v bodě z 0 spojitá a koečá. Věta 2..2 vlastosti derivace.. Necht fukce f, g komplexí proměé z mají v bodě z 0 C derivaci f z 0, g z 0. Potom v ěm mají derivaci také fukce f + g, 4

16 Kapitola 2. Fukce komplexí proměé 5 f g, f g a pokud je gz 0 0 též fukce f g a platí: f + g z 0 = f z 0 + g z 0, f g z 0 = f z 0 g z 0, f g z 0 = f z 0 gz 0 + f z 0 g z 0, 2. f z 0 = f z 0 gz 0 f z 0 g z 0 g g 2. z 0 Speciálě, je-li gz = c, kde c C kostata, pak vztah 2. abývá tvaru c f z 0 = c f z Má-li fukce f derivaci v bodě z 0 a fukce g derivaci v bodě f z 0, má složeá fukce g f derivaci v bodě z 0 a platí g f z 0 = g f z 0 f z Něcht f má eulovou derivaci v bodě z 0, f z 0 = w 0 C a echt existují Oz 0, Ow 0 tak, že je f : Oz 0 Ow 0 homeomorfismus. Pak iverzí zobrazeí f má derivaci v bodě w 0 a platí f w 0 = f z 0. Důkaz. Důkaz viz Vítězslav Novák, Aalýza v komplexím oboru, [2, straa 46]. Pozámka Fukce f je defiovaá a koečá v ějakém Oz 0, kde z 0 C. Fukci f azveme diferecovatelou v tomto bodě, právě když existuje a C tak, že f z 0 + h f z 0 a h lim = 0. h 0 h Lieárí formu ϕ : h a h azýváme difereciálem f v bodě z 0 a ozačíme d f z 0. Vidíme, že f je diferecovatelá v bodě z 0 právě tehdy, když existuje f z 0. Věta Pro derivace jedorozměrých elemetárích fukcí platí podobé vzorce jako pro elemetárí fukce v reálé aalýze. Platí: Příklad Vypočtěte derivaci fukce: c = 0 pro každé c C, z = z pro každé Z,z C, e z = e z pro každé z C. a f : f z = + iz 3 2z 2 + iz + i v bodě z 0 = i, b f : f z = 2z z 2 + v bodě z 0 = 2i.

17 Kapitola 2. Fukce komplexí proměé 6 Řešeí. Užitím věty 2..2 a věty 2..3 dostáváme ásledující výsledky: a f z = 3 + iz 2 4z + i pro každé z C, a tedy f i = 3 + i 4i + i = = 3 6i = 3 + 2i, b f z = 2z z 2 + 2zz 2 + z = 2z2 + 4z 2 z = 2z2 +2 z = 2 z2 z pro každé z C\{±i}, a tedy f 2i = = 0 9. Věta Fukce f = u+iv má v bodě z 0 = x 0 +iy 0 derivaci právě tehdy, když platí tyto dvě podmíky: i u a v jsou diferecovatelé v bodě x 0,y 0, ii u a v splňují v bodě x 0,y 0 tzv. Cauchy-Riemaovy podmíky: Navíc, pokud f z 0 existuje, platí u x x 0,y 0 = v y x 0,y 0, u y x 0,y 0 = v x x 0,y 0. f z 0 = u x x 0,y 0 + i v x x 0,y 0 = v y x 0,y 0 i u y x 0,y 0. Příklad Zjistěte, ve kterých bodech má fukce f z = e z derivaci, a vyjádřete ji. Řešeí. Pro každé x + iy C platí: f x + iy = e x+iy = e x cosy + ie x siy = ux,y + ivx,y, kde ux,y = e x cosy, vx,y = e x siy, u x x,y = ex cosy = v y x,y, u y x,y = ex siy = v x x,y. Protože fukce u a v jsou avíc zřejmě diferecovatelé v každém bodě x,y R 2, platí pro každé z = x + iy C: f z = f x + iy = u x,y + i v x x x,y = ex cosy + ie x siy = e x+iy = f x + iy = f z. Připomeňme si důležité tvrzeí - postačující podmíku diferecovatelosti: Bud ϕ : R 2 R. Jsou-li fukce ϕ x a ϕ y spojité v bodě x 0,y 0, je fukce ϕ diferecovatelá v bodě x 0,y 0.

18 Kapitola 2. Fukce komplexí proměé Holomorfí fukce Defiice Řekeme, že fukce f je holomorfí v bodě z 0, právě když existuje okolí bodu z 0, v jehož každém bodě má fukce f derivaci. Řekeme, že fukce f je holomorfí a možiě M C, je-li holomorfí v každém bodě z M. Věta Fukce f je holomorfí a otevřeé možiě G C právě tehdy, když obě fukce ux,y = Re f z, vx,y = Im f z jsou diferecovatelé a G a splňují zde Cauchy- Riemaovy podmíky. Důkaz. Důkaz plye přímo z defiice 2.2. a věty Věta Necht G C je souvislá otevřeá možia. Fukce f : G C je kostatí v G právě tehdy, když je holomorfí v G a f z = 0 pro z G. Důkaz. Důkaz viz Josef Kalas, Aalýza v komplexím oboru, [, straa 33]. Defiice Necht f je komplexí fukce proměé z. Bod z 0 C se azývá regulárí bod fukce f, právě když fukce f je holomorfí v bodě z 0. Bod z 0 C se azývá sigulárí bod f, právě když fukce f eí holomorfí v bodě z 0, avšak je holomorfí v jistém ryzím okolí bodu z 0. Pozámka Výraz holomorfí fukce je ěkdy zaměňová s výrazem regulárí fukce ebo také aalytická fukce. V literatuře se lze též setkat s ázvem moogeí fukce, a to bud ve výzamu holomorfí regulárí fukce, a ebo diferecovatelá fukce. Důsledek Necht fukce f = f + i f 2, kde f = Re f, f 2 = Im f, je holomorfí a otevřeé možiě G. Potom jsou fukce f, f 2 harmoické 2 a G. Předchozí důsledek má i ásledující částečé obráceé tvrzeí. Důsledek Necht f je harmoická reálá fukce dvou proměých v jedoduše souvislé oblasti G. Pak existují až a aditiví kostaty jedié reálé fukce g, h dvou proměých tak, že f + ig a h + i f jsou holomorfí v G. Příklad Zjistěte, zda je fukce f z = z 2 3z + 5 holomorfí a ějaké oblasti v komplexí roviě. Pokud ao, spočítejte její derivaci. Řešeí. Ozačme z = x + iy, f = u + iv, kde x, y jsou reálá čísla a u, v jsou reálé fukce. Přímým dosazeím sado zjistíme, že ux,y = x 2 y 2 3x + 5, vx,y = 2xy 3y. 2 Připoměňme si pojem harmoické fukce dvou reálých proměých x, y. Reálá fukce ϕ dvou reálých proměých x, y se azývá harmoická fukce a oblasti Ω R 2, jestliže pro i platí: a fukce ϕ má v oblasti Ω spojité všechy parciálí derivace 2. řádu b fukce ϕ splňuje Laplaceovu rovici 2 ϕ x ϕ = 0 v každém bodě [x,y] Ω, zkráceě ϕ = 0. y2

19 Kapitola 2. Fukce komplexí proměé 8 Dále budeme ověřovat Cauchy-Riemaovy podmíky. Tedy počítáme ásledující parciálí derivace u u = 2x 3, x y = 2y, v x = 2y, v = 2x 3. y Vidíme tedy, že u x = v y, u y = v x. Jelikož jsou Cauchy-Riemaovy podmíky splěy a fukce u, v mají spojité vlastí parciálí derivace všech řádů, je fukce f holomorfí a C. A derivace fukce f z je f z = f x = 2x 3 + i2y. Příklad Zjistěte, zda fukce f z = 2 + z + 3 z 2 je v ějaké oblasti O C holomorfí. Řešeí. Podle Cauchy-Riemaových podmíek každá fukce, která je reálá a holomorfí v ějaké oblasti O C, je v O kostatí. Fukce f je reálá v C, ale eí kostatí v žádé oblasti. Proto eí v žádé oblasti holomorfí. 2.3 Elemetárí fukce V této podkapitole si uvedeme pro připomeutí ejdůležitější věty a vzorce ěkterých elemetárích fukcí, které ásledě využijeme ve studiu celých fukcí. Důkazy ebudeme uvádět. Expoeciálí fukce Věta Platí. e z = právě tehdy, když z = 2kπi, k Z. 2. e z = právě tehdy, když z = 2k + πi, k Z. 3. e z = e z 2 právě tekdy, když z = z 2 + 2kπi, k Z. 4. e z = e z. 5. Re e z = e Re z cosim z, Im e z = e Re z siim z. Důkaz. Důkaz viz Josef Kalas, Aalýza v komplexím oboru, [, straa 48]. Důsledek Fukce e z je periodická s periodou 2πi. Možia všech period je 2πiZ. Důkaz. Důkaz viz Josef Kalas, Aalýza v komplexím oboru, [, straa 48].

20 Kapitola 2. Fukce komplexí proměé 9 Goiometrické a hyperbolické fukce Z defiice goiometrických a hyperbolických fukcí plyou ásledující vzorce: cosz = eiz + e iz, coshz = ez + e z, 2 2 siz = eiz e iz, sihz = ez e z, 2i 2 cosiz = coshz, coshiz = cosz, siiz = isihz, sihiz = isiz. Geometrické a hyperbolické fukce mají ásledující vlastosti: si z = si z, cos z = cosz, sih z = sihz, cosh z = coshz, siz = siz, sihz = sihz, Sius je fukce lichá. Kosius je fukce sudá. Hyperbolický sius je fukce lichá. Hyperbolický kosius je fukce sudá. cosz = cosz, coshz = coshz. Věta Fukce sius a kosius jsou periodické s periodou 2π. Důkaz. Důkaz viz Josef Kalas, Aalýza v komplexím oboru, [, straa 50]. Věta Platí. siz = 0 právě tehdy, když z = kπ, kde k Z. 2. cosz = 0 právě tehdy, když z = 2k + π 2, kde k Z. 3. sihz = 0 právě tehdy, když z = kπi, kde k Z. 4. coshz = 0 právě tehdy, když z = i2k + π 2, kde k Z. 5. si 2 z + cos 2 z = pro všecha z C. 6. cosh 2 z sih 2 z = pro všecha z C. Důkaz. Důkaz viz Josef Kalas, Aalýza v komplexím oboru, [, straa 50]. Logaritmus v komplexím oboru Logaritmus logaritmická fukce je defiovaý jako iverzí fukce k fukce w = e z. Je to mohozačá fukce, která se začí Log z. Hlaví větví logaritmu rozumíe jedozačou větev logz takovou, že platí Im log z π,π. Můžeme volit jié obory prostoty fukce e z a poté dostaeme jié jedozačé větve logaritmu.

21 Kapitola 2. Fukce komplexí proměé 0 Poěvadž rovost w = e z je ekvivaletí rovostem w = e Re z, Arg w = Im z + 2kπ, k Z, dostáváme Pro hlaví větev logaritmu platí Log z = l z + i Arg z = l z + i argz + 2kπi, k Z. logz = l z + i argz. Platí Log e z = z + 2kπi k Z pro z C, e Log z = z pro z C\{0}.

22 Kapitola 3 Celé fukce Než si vysvětlíme, co je to ekoečý souči, a ež se začeme věovat samotým rozkladům celých fukcí a ekoečé součiy, tak si přiblížíme a stručě popíšeme, co vlastě jsou celé fukce. Komplexí fukci komplexí proměé azveme celou fukcí tehdy, když je holomorfí v Gaussově roviě C. Celá fukce je každý polyom a i kostatí fukce. Celá trascedetí fukce je každá celá fukce, která eí polyomem. Tedy můžeme uvést apříklad fukci exp, si, cos, což jsou celé trascedetí fukce. S využitím zámých vět o holomorfích fukcích ty ejdůležitější jsme si připoměli ve druhé kapitole dostáváme ásledující tvrzeí. Tvrzeí Součet, souči a složeá fukce dvou celých fukcí je celá fukce. Podíl dvou celých fukcí je též celá fukce, pokud dělitel je v C růzý od uly. Potom apříklad fukce f z = Pz/expz, kde P je polyom, je celá fukce. Celé fukce lze také charakterizovat pomocí Taylorových polyomů. Věta Bud z 0 C libovolé. Fukce f je celá fukce právě tehdy, když platí f z = a z z 0 3. =0 pro všecha z C a řada 3. koverguje pro všecha z C. Jestliže je teto předpoklad splě, pak výše uvedeá řada 3. je Taylorův rozvoj fukce f v bodě z 0. Důkaz. Necht f je celá fukce, tj. fukce holomorfí a C, pak podle věty o rozvoji holomorfí fukce v mociou řadu pro každý bod z 0 C koverguje Taylorův rozvoj fukce f f z = =0 f z 0 z z 0! pro všechy body z C. Tím dostáváme vyjádřeí 3. fukce f, kde a = f z 0! = 0,,2,...

23 Kapitola 3. Celé fukce 2 Naopak je-li fukce f C součtem kovergetí mocié řady 3., je f holomorí fukce a C, tj. f je celá fukce. Z jedozačosti rozvoje fukce do mocié řady je řada 3. Taylorovým rozvojem fukce f v bodě z 0. Věta Necht f je celá fukce a N. Pak fukce f je polyom stupě mešího ež právě tehdy, když platí f z lim z z = 0. Důkaz. Důkaz viz Josef Kalas, Aalýza v komplexím oboru, [, straa 90]. Následující věta ám uvádí pojem ohraičeá fukce. Věta Liouvilleova věta. Je-li fukce f celá a ohraičeá v C tzv. existuje kladé a koečé reálé číslo K takové, že f z K pro každé z C, pak fukce f je kostatí fukce. Důkaz. Je-li fukce f celá a ohraičeá fukce, potom existuje kostata K > 0 taková, že f z k pro z C. Platí f z z k 0 pro z. z Z věty plye, že fukce f je polyom stupě mešího ež, a tedy kostata. Důsledkem Liouvilleovy věty je tato ásledující věta. Věta Základí věta algebry. Každý polyom s komplexími koeficiety stupě alespoň prvího má v C ejméě jede koře. Důkaz. Důkaz základí věty algebry se provede sporem. Necht f z = a 0 z + a z + + a je polyom s komplexími koeficiety stupě a a 0 0. Pro z 0 je f z = z a 0 + a z + + a z, je ohraičeá v ě- odkud dostáváme lim z f z =, takže lim z f z = 0. Tedy jakém okolí bodu, tj. existují kostaty k > 0, r > 0 tak, že f z k pro z > r. f z Předpokládáme, že f z emá koře v C. Pak má f z derivaci v C, tedy je celá fukce. Proto je f z spojitá v C, a tudíž existuje kostata k 2 > 0 taková, že f z k 2 pro z r. Fukce f je tedy ohraičeá celá fukce a podle Liouvilleovy věty platí pro všecha z C vztah f z = c, kde c je kostata. Odtud plye, že polyom f je kostatí, tj. má stupeň rove 0, což je spor.

24 Kapitola 3. Celé fukce 3 3. Nekoečé součiy V této podkapitole se už dostáváme k defiici ekoečého součiu. Necht z,z 2... jsou koečá komplexí čísla. Pak symbol z z 2...z... = z 3.2 azýváme ekoečým součiem čísel. Číslo z je tzv. -tý čiitel faktor ekoečého součiu 3.2. Ozačme p = k= z k = z...z, kde z...z C. Číslo p je tzv. -tý částečý souči součiu 3.2 a posloupost {p } se azývá posloupost -tých částečých součtů ekoečého součiu 3.2. Nekoečý souči můžeme začit těmito způsoby: z, z, > z ebo z. Můžeme defiovat z = lim p, tj. defiovat hodotu kovergetího ekoečého součiu, pokud tato limita existuje. Tato defiice kovergece by však měla ěkteré edostatky. Například ekoečý souči by vždy kovergoval k 0, kdykoliv by jeho jediý čle byl ulový, ale po vyecháí tohoto čleu by mohl divergovat. Dále by eplatilo, že hodota kovergetího součiu je ula právě tehdy, když aspoň jede čiitel faktor je ulový. Takovým příkladem je ekoečý souči. Proto si uvedeme ásledující defiici. Defiice 3... Řekeme, že ekoečý souči 3.2 koverguje ebo je kovergetí právě tehdy, když astae jede z těchto dvou případů: Existuje koečá limita a je růzá od uly 0 lim p. 2 Posloupost {z } obsahuje koečý počet čleů rových ule tj. existuje číslo 0 N takové, že z 0 pro všecha čísla > 0 a ekoečý souči = 0 + z koverguje podle, tj. existuje limita k= lim z k. V případě píšeme a v případě 2 píšeme z = z...z 0 z = lim p = p = 0 + z = p = 0.

25 Kapitola 3. Celé fukce 4 V obou případech se číslo p azývá hodota kovergetího ekoečého součiu 3.2. Nekoečý souči 3.2 diverguje právě tehdy, když eastává ai jede z případů, 2. Nyí si uvedeme jedu důležitou pozámku. Pozámka 3... Kovergetí ekoečý souči z = 0 právě tehdy, když existuje 0 C tak, že z 0 = 0. 2 Kovergece ebo divergece ekoečého součiu se ezměí, jestliže koečý počet jeho čleů přidáme, změíme ebo vyecháme. Příklad 3... Určete hodotu ekoečého součiu 2 4 =3 2. Řešeí. Nekoečý souči si upravíme a vhodý tvar a určíme p. p = 2 4 =3 2 = =3 +, [ = = Hodota ekoečého součiu je defiováa jako lim p : lim p + 2 = lim 4 = 4. Daý ekoečý souči koverguje podle defiice 3.. a 2 4 =3 2 = 4. ] Věta 3.. Cauchy-Bolzaova podmíka kovergece ekoečého součiu. Nekoečý souči z koverguje právě tehdy, když je splěa tato podmíka: K libovolě malému číslu ε > 0 existuje číslo 0 N takové, že pro každé číslo k N a každé přirozeé číslo 0 platí z + z +2...z +k < ε. Důkaz. Důkaz viz Josef Kalas, Aalýza v komplexím oboru, [, straa 39]. Z Cauchy-Bolzaovy podmíky kovergece vyplývá teto důležitý důsledek. Důsledek 3.. Nutá podmíka kovergece. Necht ekoečý souči z koverguje. Pak je lim z =.

26 Kapitola 3. Celé fukce 5 Důkaz. Necht ε > 0 je libovolé. Pak podle Cauchy-Bolzaovy podmíky kovergece ekoečého součiu, kde pokládáme k =, existuje 0 N tak, že pro 0 platí z + < ε. Tedy lim z =. Pozámka Je-li ekoečý souči apsá ve tvaru + w, pak podle předchozího důsledku je utou podmíkou jeho kovergece splěí podmíky lim w = 0. Věta Je-li w 0 pro =,2,..., pak platí + w koverguje právě tehdy, když w koverguje. Důkaz. Důkaz této užitečé věty eí ijak zvlášt obtížý. Řada w s ezáporými čley koverguje právě tehdy, když eklesající posloupost jejích částečých součtů je omezeá. Použitím erovosti + x e x pro každé x R; sado ověříme erovosti + w + + w + w... + w expw + + w. Dále již je uvedeá věta zřejmá. Defiice Řekeme, že ekoečý souči z je absolutě kovergetí koverguje absolutě právě tehdy, když koverguje ekoečý souči + z. Každý ekoečý souči, který koverguje, ale e absolutě, se azývá eabsolutě relativě kovergetí. Pozámka Z předešlé defiice je zřejmé, že ekoečý souči + w absolutě koverguje právě tehdy, když koverguje ekoečý souči + w. Z defiice absolutí kovergece ekoečého součiu a věty 3..2 plye, že ekoečý souči z, respektive + w koverguje absolutě právě tehdy, když koverguje řada z, respektive w. Je vidět, že vyšetřováí absolutí kovergece ekoečých součiů lze sado převést a vyšetřováí kovergece číselých řad s ezáporými čley.

27 Kapitola 3. Celé fukce 6 Věta Absolutě kovergetí ekoečý souči je kovergetí. 2 Kovergece a hodota absolutě kovergetího ekoečého součiu ezávisí a pořadí jeho faktorů čiitelů. Faktory absolutě kovergetího ekoečého součiu můžeme libovolě přerovat, aiž by se tím porušila jeho absolutí kovergece a ebo změila hodota. Důkaz. Důkaz viz Mila Šulista, Aalýza v komplexím oboru, [5, straa 29]. Věta Necht w 0 pro =,2,... Pak platí w koverguje právě tehdy, když w koverguje. Důkaz. Koverguje-li w, koverguje podle věty w, takže w koverguje absolutě. Necht w koverguje. Lze předpokládat, že w > 0 pro všecha N jiak vyecháme koečý počet čleů. Je tedy 0 < w pro všecha, takže {p } je erostoucí p p > 0 a p p pro všecha. Z erovosti + x e x, která platí pro všecha x R plye p = w w e w + +w, kde s je částečý součet řady w. Je tedy e s p, tj. s l p pro všecha N je ohraičeá a w koverguje. Věta Jestliže z C\{0}, pak platí z koverguje právě tehdy, když logz koverguje, přičemž logz začí hlaví větev logaritmu tj. π argz < π. Důkaz. Bez újmy a obecosti lze předpokládat, že lim z =, z < 2 pro N. Položme p = z k a s = logz k. k= k= Pro N platí log p = log k= z k = logz k + χ 2πi, kde χ Z. k= Nejprve dokážeme implikaci zprava. Jestliže logz koverguje, pak ze vztahu p = e k= logz k+χ 2πi = e k= logz k plye, že koverguje z. Dále dokážeme implikaci zleva. Necht z koverguje. Položme p = p. Pak s = logz k = log p χ 2πi. k= Odtud s s = logz = log p p + χ χ 2πi.

28 Kapitola 3. Celé fukce 7 p Protože logz log = 0, p, dostáváme odtud χ χ 0 pro. Protože χ, χ Z, platí pro velká, že χ = χ, takže existuje χ Z tak, že χ = χ pro všecha dostatečě velká. Tedy pro velká platí, že s = log p χ2πi log p χ2πi při a řada logz koverguje. Příklad Určete hodotu ekoečého součiu a rozhoděte o jeho absolutí kovergeci Řešeí. Nekoečý souči si upravíme a vhodý tvar = = Určíme p : p = [ = = Hodota ekoečého součiu je defiováa jako lim p : lim p 2 + = lim + 2 = 2. Daý ekoečý souči koverguje podle defiice 3.. a + = ] + + = Dále ám ještě zbývá vyšetřit absolutí kovergeci. Podle věty 3..2 a defiice 3..2 platí z koverguje absolutě právě tehdy, když koverguje ekoečý souči + z eboli + w, kde w začí z. Přímo ze zadáí je zřejmé, že tedy ekoečý souči + +2 koverguje absolutě. 3.2 Nekoečé součiy fukcí Nejprve si uvedeme defiici ekoečého součiu fukcí, která je obdobá defiici ekoečého součiu. Defiice Necht každá z fukcí f =,2,... je defiovaá a koečá a eprázdé možiě M C. Pak výraz f z f 2 z... f z... = f z 3.3

29 Kapitola 3. Celé fukce 8 azýváme ekoečým součiem fukcí, který je defiovaý a možiě M. Fukce f se azývá -tý čiitel faktor ekoečého součiu. Fukce p z = f k z =,2,... k= se azývá -tý částečý souči ekoečého součiu 3.3 a posloupost {p z} je tzv. posloupost -tých částečých součiů ekoečého součiu 3.3. Následující defiice popisuje bodovou a stejoměrou kovergeci ekoečého součiu. Defiice Necht {w } je posloupost fukcí, které jsou koečé a w : M C, kde M C. Řekeme, že ekoečý souči +w bodově koverguje a možiě M M k fukci f právě tehdy, když pro každé z M koverguje ekoečý souči čísel + w z k číslu f z. Řekeme, že ekoečý souči +w koverguje stejoměrě respektive skoro stejoměrě a možiě M k fukci f právě tehdy, když posloupost {p } částečých součiů koverguje a M stejoměrě respektive skoro stejoměrě k fukci f. Dále si uvedeme ásledující velmi důležitou větu o derivacích skoro stejoměrě kovergetí poslouposti holomorfích fukcí. Věta 3.2. o derivacích skoro stejoměrě kovergetí poslouposti holomorfích fukcí. Necht fukce f =,2,... jsou holomorfí a otevřeé možiě D C a echt f z f z je skoro stejoměrě kovergetí a možiě D. Pak je fukce f holomorí a otevřeé možiě D a pro každé přirozeé číslo platí f k z f k z pro skoro stejoměrě a D. Důkaz. Důkaz viz Mila Šulista, Aalýza v komplexím oboru, [5, straa 32]. Pro posloupost holomorfích fukcí platí i tato důležitá věta. Věta Necht {w } je posloupost fukcí, které jsou holomorfí v oblasti Ω. Dále echt řada w koverguje stejoměrě v oblasti Ω a její součet je ohraičeá fukce v oblasti Ω. Pak ekoečý souči + w koverguje v oblasti Ω absolutě a stejoměrě a je-li ekoečý souči + w = f, fukce f je holomorfí v oblasti Ω, přičemž pro z Ω platí, že f z = 0 právě tehdy, když existuje takové N, že + w z = 0. Důkaz. Řada w z koverguje pro každé z Ω. Z věty 3..2 vyplývá, že ekoečý souči + w z koverguje pro každé z Ω, což je bodová a absolutí kovergece tohoto součiu a možiě Ω. Necht w z h pro z Ω. Je-li p -tý částečý souči, potom platí p z = + w z... + w z + w z... + w z e w z + + w z e w z e h

30 Kapitola 3. Celé fukce 9 pro všecha z Ω. Pro k N, k > a z Ω dále platí takže platí i Platí p k z p k z = p k z + w k z = p k zw k z, p k z p k z = p k z w k z e h w k z. p = p + k=2 p k p k. k=2 p k p k je mioratou k řadě e h k=2 w, která je stejoměrě kovergetí. Proto i řada k=2 p k p k stejoměrě koverguje a oblasti Ω. Tedy posloupost {p } stejoměrě koverguje a oblasti Ω. Protože každá fukce p, jako souči koečého počtu holomorfích fukcí, je holomorfí a oblasti Ω, je i lim p = +w = f holomorfí a oblasti Ω. Tvrzeí o ulových bodech fukce f je pak důsledkem defiice kovergece ekoečého součiu. 3.3 Rozklady celých fukcí a ekoečé součiy V této podkapitole se budeme zabývat samotými rozklady celých fukcí a ekoečé součiy. Nejprve si připomeeme ěkolik základích iformací a ásledě si uvedeme ejdůležitější věty a defiice potřebé při řešeí příkladů. Celou teorii si poté vysvětlíme a řešeém příkladu. Fukce f se azývá celá právě tehdy, když je holomorfí v C. Celé fukce jsou bud polyomy ebo trascedetí celé fukce. Polyomy mají pól v, pokud jsou stupě ejméě jeda a trascedetí fukce mají v podstatou sigularitu. Každý ekostatí polyom lze rozložit a souči kořeových čiitelů. Je-li P polyom -tého stupě, který má k ásobý koře 0 a jsou-li z,...,z jeho eulové kořey, pak můžeme apsat P z = c 0 z k z... z, z z kde c 0 C je kostata. Každá celá fukce, která eí ideticky rova 0, má podobé vyjádřeí, je u ěkterých fukcí je situace poměrě složitá a musí se zkoumat kovergece ekoečých součiů. Jsou to všechy celé fukce, které ejsou polyomy eboli trascedetí fukce. Jestliže fukce f je celá fukce, pak možia jejích ulových bodů emůže mít hromadý bod v C, pokud fukce f eí ideticky ulová. Má-li fukce f ekoečě moho ulových bodů, je možia těchto ulových bodů spočetá. To zameá, že ji můžeme psát jako posloupost {z }, přičemž z. Ale i aopak ke každé posloupost {z }, kde z C, z existuje celá fukce f, která má ulové body právě v bodech z. Dříve ež uvedeme Weierstrassovu větu o rozkladu ebo rozvoji či faktorizaci celé fukce v ekoečý souči, která ám zobecňuje rozklad polyomu a souči kořeových čiitelů pro případ celých trascedetích fukcí, uvedeme si ásledující pomocé lemma.

31 Kapitola 3. Celé fukce 20 Lemma Necht posloupost koečých a eulových komplexích čísel {z } je taková, že pro i platí z pro. Pak existují celá čísla λ 0 taková, že řada koverguje skoro stejoměrě v C. z z λ + Důkaz. Stačí, abychom položili λ = pro každé. Je-li libovolé r R, r > 0, pak existuje 0 N takové, že z > 2r pro 0. Takže tedy platí z z λ + = z z < 3.4 pro a z r. Odtud vyplývá stejoměrá kovergece řady z z λ + v kruhu z r. Protože platí 3.5 pro libovolé r > 0, pak koverguje řada 3.4 skoro stejoměrě a oboru C. Nyí si uvedeme velmi důležitou větu - Weierstrassovu větu o rozkladu celé fukce a ekoečý souči. Věta Weierstrassova věta o rozkladu celé fukce a ekoečý souči. Necht posloupost {z } koečých a eulových komplexích čísel je taková, že z pro, a echt k je celé ezáporé číslo. Jsou-li λ 0, =,2,..., celá čísla taková, že řada z λ + koverguje skoro stejoměrě v C, pak ekoečý souči f z = z k z z koverguje absolutě a skoro stejoměrě v C. z e z z + 2 z z λ z z λ 3.6 Fukce f z má ásledující vlastosti: Je celá, 2 pro k > 0 je z = 0 jejím k-ásobým ulovým bodem, 3 bod z =,2,... je jejím ulovým bodem takové ásobosti, kolikrát se vyskytuje v poslouposti {z }, 4 emá žádé jié ulové body v C. Důkaz. Důkaz viz Mila Šulista, Aalýza v komplexím oboru, [5, straa 49]. Pozámka Jestliže λ = 0, pak příslušá expoeciálí fukce v součiu 3.6 evystupuje. 2. Popsaou kostrukci ve Weierstassově větě lze provést i v případě, kdy posloupost {z } je koečá. Pak lze volit λ = 0 a fukce f se redukuje a polyom.

32 Kapitola 3. Celé fukce 2 3. Jestliže existuje λ N {0} tak, že řada koverguje, pak lze položit λ z λ+ = λ pro každé N, ebot při libovolém r 0, a z r je pak z z λ + = z z λ+ r λ+ z λ+. Lemma Necht f, g jsou celé fukce, které mají tytéž ulové body se stejou ásobostí. Pak existuje celá fukce h taková, že platí gz = e hz f z pro z C. Důkaz. Důkaz viz Josef Kalas, Aalýza v komplexím oboru, [, straa 48]. Věta Weierstrassova věta. Necht f je celá fukce, která má k-ásobý ulový bod v bodě 0 a echt {z } je posloupost jejích ulových bodů růzých od 0. Pak existuje taková celá fukce h a taková posloupost {λ } celých ezáporých čísel, pro která platí, že z z λ+ koverguje skoro stejoměrě v oboru C a f z = e hz z k z e z z + 2 z z λ z z λ. z Přitom ekoečý souči a pravé straě koverguje absolutě a skoro stejoměrě v oboru C. Důkaz. Důkaz plye z lemmatu a věty V ásledující pozámce si ukážeme, jak určíme celou fukci h. Pozámka Jestliže je splěa podmíka lim sup llmax z =r f z µ, r lr kde µ 0,, tak o fukci h lze předpokládat, že je polyomem stupě ejvýše µ, že existuje ejmeší celé ezáporé číslo λ µ, pro které řada koverguje, z λ+ a že fukce f může být psáa ve tvaru f z = e hz z k z e z z + 2 z z λ z z λ. z Číslo ρ f = limsup r llmax z =r f z lr se azývá řád celé fukce f. Příklad Rozložte fukci cosz a ekoečý souči. Řešeí. Fukce cosz je celá fukce, která má ulové body 2 + π 2 ulové body ±2 π 2 C\{0}, N. pro Z. Má tedy

33 Kapitola 3. Celé fukce 22 Platí lim sup llmax z =r cosz = lim sup r lr r [ llmax z =r 2 eiz + e iz lim sup r [ lr ] ll lim sup r 2 er + e r lr llmax z =r e iz +e iz 2 ] = lim r sup ller lr lr [ llmax z =r 2 eim z + e Im z lim sup r lr lr = lim r lr =. Z pozámky můžeme tedy za číslo µ zvolit číslo µ =. Nejmeší celé ezáporé číslo λ, pro které řada [2 π koverguje, je číslo λ =. Podle pozámky ]λ+ je h polyom stupě ejvýše a fukci cosz můžeme psát ve tvaru cosz = e az+b z z 2 π 2 e π z 2 + e z 2 2 π 2 π 2 = 2 = e az+b z 2 = e az+b 4z 2 2 π π 2, kde a,b C jsou kostaty. Zbývá ám určit tyto dvě kostaty. Máme tedy výraz cosz = e az+b 4z π 2. Dosazeím za z = 0 dostáváme rovost = e b, ze které vyplývá, že b = 0. Tudíž cosz = e az 4z π 2. Fukce cosz je sudá fukce a platí cos z = cosz. S využitím sudosti fukce cosz dostáváme idetitu e az 4z π 2 = e az 4z π 2. Odtud plye = e 2az pro každé z, které eí kořeem fukce cosz, takže a = 0. Hledaý rozvoj tedy je 4z 2 cosz = 2 2 π 2. ]

34 Kapitola 4 Řešeé příklady 4. Řešeé příklady a ekoečé součiy Příklad 4... Určete hodotu ekoečého součiu 2 +. Řešeí. Nekoečý souči vhodě upravíme a určíme p = = , + [ 0 3 p = ] = 2 + = = Hodota ekoečého součiu je defiováa jako lim p : lim p = lim = 0. Podle defiice 3.. daý ekoečý souči koverguje, protože posloupost {z } obsahuje koečý počet čleů rových ule a jestliže je vyecháme, vzike ekoečý souči, který má vlastost z defiice 3... Tedy 2 + = 0. Příklad Určete hodotu ekoečého součiu a rozhoděte o jeho absolutí kovergeci 2. + =2 23

35 Kapitola 4. Řešeé příklady 24 Řešeí. Nekoečý souči si upravíme a vhodý tvar a učíme p. 2 = + p = = =2 + = =2 + 2, + [ = = Hodota ekoečého součiu je defiováa jako lim p : lim p + 2 = lim 3 = 3. Daý ekoečý souči koverguje podle defiice 3.. a 2 = + 3. =2 ] + 2 = + Dále ám ještě zbývá vyšetřit absolutí kovergeci. Podle věty 3..3, věty 3..4 a defiice 3..2 platí z koverguje absolutě právě tehdy, když koverguje ekoečý souči w. Přímo ze zadáí je zřejmé, že tedy ekoečý souči =2 2 + koverguje absolutě. Příklad Určete hodotu ekoečého součiu a rozhoděte o jeho kovergeci. a =2 Řešeí. Nekoečý souči si vhodě upravíme a určíme p. = =2 =2, [ p = ] Určíme hodotu ekoečého součiu lim p = lim = 0. =. Řada diverguje, proto ekoečý souči =2 diverguje. b a /, kde a C\{0}

36 Kapitola 4. Řešeé příklady 25 Řešeí. Určíme p : p = a a 2 a 3 a = a = l 2, určíme hodotu ekoeč- Využitím toho, že pro Leibizovu řadu platí ého součiu lim p = lim a l2 = a l2. Tedy ekoečý souči koverguje podle defiice 3... c Řešeí. Nekoečý souči už máme ve vhodém tvaru. Tedy určíme p. [ 3 9 p = ] = = = Hodota ekoečého součiu je lim p = lim = 6 7 = 3 7. Podle defiice 3.. ekoečý souči koverguje. Příklad Rozhoděte o kovergeci ekoečého součiu +. Řešeí. Podle věty 3..5 daý ekoečý souči koverguje právě tehdy, když koverguje ekoečá řada log + = l +. Pomocí limitího srovávacího kritéria porováme řadu l + s řadou 2, o které víme, že je kovergetí: lim l + = lim l + 2 = lim + 2 = lim 2 + = <. Řada l + koverguje a tedy i ekoečý souči + koverguje. Příklad Rozhoděte o absolutí kovergeci ekoečého součiu. a + p, p R

37 Kapitola 4. Řešeé příklady 26 Řešeí. Podle defiice 3..2 a pozámky 3..3 ekoečý souči + w koverguje absolutě právě tehdy, když koverguje řada w. Můžeme psát w = p = p. Tato řada p koverguje pro p >. Tedy ekoečý souči + p, kde p R, koverguje absolutě pro p >. b + + p, p R Řešeí. Podle defiice 3..2 a pozámky 3..3 ekoečý souči + w koverguje absolutě právě tehdy, když koverguje řada w. V tomto případě budeme postupě vyšetřovat kovergeci a příklad si rozdělíme a ěkolik případů. Platí w = + p = p. Z předchozíko příkladu víme, že řada p koverguje pro p >, tedy ekoečý souči + + p, kde p R, koverguje absolutě pro p >. Pro p 0 eí ekoečý souči + + p, kde p R, kovergetí, ebot eí splěa utá podmíka kovergece. Dále pro p 0, pokračujeme tak, že si ekoečý souči rozepíšeme a rozdělíme a dva případy, které upravíme pomocí ekoečých řad: + + [ p = + 2 p ] 2 p [ + ] 2 p Nekoečý souči. log + 2 p + 2 p + 2 p + 2 p = = + 2 p + 2 p + 2 p 2 2p 2 2p. koverguje právě tehdy, když koverguje řada Nekoečý souči koverguje právě tehdy, když koverguje řada 2 2p 2 2p. Tyto dvě řady vyšetříme 2 2p koverguje pro 2p >, tj. p > 2,

38 Kapitola 4. Řešeé příklady 27 = + 2 log p + 2 p = + log + p koverguje podle Leibizova kritéria pro p > 0. [ log + 2 p log + ] 2 p = Nekoečý souči tedy koverguje absolutě pro p >, koverguje eabsolutě pro p 2, a diverguje pro p, 2. Příklad Najděte obor kovergece ekoečého součiu. a z2 Řešeí. Vyšetřujeme kovergeci řady z 2 2 = z Je zřejmé, že řada 2 koverguje pro každé z C a tedy i ekoečý souči z2 koverguje. 2 Obor kovergece je celá rovia. b Řešeí. Vyšetřujeme kovergeci řady + [ + 2 z = + ] 2z + 2 z. S využitím odmociového kritéria dostáváme + 2 z = z + = z e. Dostáváme e z <, tedy z < e a poloměr kovergece řady + 2 z je e. Dále ještě musíme vyšetřit kovergeci a hraici kovergečího kruhu z = e. Je-li z = e, pak ekoečý souči diverguje, ebot + 2 e = e l + e = e l+ = e a eí splěa utá podmíka kovergece. Obor kovergece daého ekoečého součiu tedy je z < e. [ ] e 2 > 0 pro

39 Kapitola 4. Řešeé příklady 28 c + z e z/ Řešeí. Uvažujme o kovergeci řady + z e z. Využijeme vztahu e z = k z k k=0 k! a provádíme úpravy + z e z = k z k k=0 k! = = k= k= + z e z k z k k=2 k! = z e z. Podle limitího srovávacího kritéria lim z k=0 k z + k+ = k! k k! z k = k! k z k k, k! z k=2 e z 2 z 2 < pro každé z C. Proto řada z z e koverguje pro každé z C. Obor kovergece tedy je celá rovia. z k k! = 4.2 Řešeé příklady a rozklady celých fukcí a ekoečé součiy Příklad Najděte rozklad celé fukce sihz a ekoečý souči. Řešeí. Fukce sihz je celá fukce, která má ulové body πi, Z. Má tedy jedoásobý ulový bod 0 a ulové body ±πi C\{0}, N.

40 Kapitola 4. Řešeé příklady 29 Platí lim sup llmax z =r sihz = lim r lr r sup [ llmax z =r 2 ez + e z lim sup r [ lr] ll lim sup r 2 er + e r lr llmax z =r e z e z 2 ] = lim r sup ller lr lr [ llmax z =r 2 ere z + e Re z lim sup r lr lr = lim r lr =. Podle pozámky můžeme za číslo µ zvolit číslo µ =. Nejmeší celé ezáporé číslo λ, pro které řada koverguje, je číslo λ =. Podle pozámky je πi λ+ h polyom stupě ejvýše a fukci sihz můžeme psát ve tvaru sihz = e az+b z z e πi z + z e πi z = πi πi = e az+b z + z2 2 π 2, kde a,b C jsou kostaty. Zbývá ám určit tyto kostaty. Můžeme apsat sihz = e az+b z + z2 2 π 2. Limitím přechodem z 0 dostáváme rovost = e b, ze které vyplývá, že b = 0. Tudíž sihz = e az z + z2 2 π 2. Hyperbolický sius je fukce lichá, pro kterou platí sih z = sihz. S využitím její lichosti dostáváme idetitu e az z + z2 2 π 2 = e az z + z2 2 π 2. Odtud plye e 2az = pro každé z, které eí kořeem fukce sihz, takže a = 0. Hledaý rozvoj tedy je sihz = z + z2 2 π 2. Příklad Dokažte vzorec siz = z z2 2 π 2. ]

41 Kapitola 4. Řešeé příklady 30 Řešeí. Postupujeme aalogickým způsobem jako při hledáí rozvoje a ekoečý souči. Fukce siz je celá fukce, která má ulové body π, Z. Má tedy jedoásobý ulový bod 0 a ulové body ±π C\{0}, N. Platí lim sup llmax z =r siz = lim sup r lr r [ llmax z =r 2 eiz + e iz lim sup r [ lr ] ll lim sup r 2 er + e r lr llmax z =r e iz e iz 2i ] = lim r sup ller lr lr [ llmax z =r 2 e Im z + e Im z lim sup r lr lr = lim r lr =. Podle pozámky můžeme za číslo µ zvolit číslo µ =. Nejmeší celé ezáporé číslo λ, pro které řada koverguje, je číslo λ =. Podle pozámky je h π λ+ polyom stupě ejvýše a fukci siz můžeme psát ve tvaru siz = e az+b z z e π z + z e π z = π π = e az+b z z2 2 π 2, kde a,b C jsou kostaty, které musíme určit. Můžeme apsat siz = e az+b z z2 2 π 2. Limitím přechodem z 0 dostáváme rovost = e b, ze které vyplývá, že b = 0. Tudíž siz = e az+b z2 2 π 2. Fukce siz je lichá fukce a tedy s využitím její lichosti obdržíme idetitu e az z z2 2 π 2 = e az z z2 2 π 2. Odtud plye e 2az = pro každé z, které eí kořeem fukce siz, takže a = 0. Rozvoj fuce siz je siz = z z2 2 π 2, čímž jsme zadaý vzorec dokázali. ]

42 Kapitola 5 Neřešeé příklady Cvičeí. Určete hodotu ekoečého součiu a rozhoděte o jeho absolutí kovergeci: Určete hodotu ekoečého součiu a rozhoděte o jeho kovergeci: a +, b + = Najděte obor kovergece ekoečého součiu: z. 4. Rozložte celou fukci a ekoečý souči: Výsledky a coshz, b coshz cosz, c e z, d e az e bz, e siz 2, f sih2z.. koverguje eabsolutě 2. a diverguje b 0 diverguje 3. z < 3

43 Kapitola 5. Neřešeé příklady a + 4z2, π b z 2 + z4, 4 4 π 4 c e z/2 z + z2, 4 2 π 2 d a be a+bz/2 z + a b2 z 2, 4 2 π 2 e z 2 z4, 2 π 2 f 2z + 4z2. 2 π 2

44 Závěr V úvodu práce jsme se věovali základím pojmům týkajících se komplexích čísel, které ám měly připomeout jedoduché pozatky z aalýzy v komplexím oboru. Poté jsme se zabývali fukcí komplexí proměé, kde jsme shruli ěkteré věty a defiice využívaé v další části práce. Zmíili jsme se o derivaci fukcí komplexí proměé, o holomorfích fukcích a o elemetárích fukcích. U elemetárích fukcí jsme uvedli ejdůležitější vzorce. Defiovali jsme si pojem ekoečého součiu a ekoečého součiu fukcí. Zavedli jsme si příslušou teorii využívaou při rozkladech celých fukcí a ekoečé součiy. Nakoec jsme vyřešili ěkolik příkladů, a kterých jsme ilustrovali probíraou teorii a poechali jsme čteáři i prostor k samostatému procvičeí. Práce může posloužit jako učebí text studetům, kteří mají základí pozatky z aalýzy v komplexím oboru a kteří si chtějí prostudovat téma o celých fukcích. Kapitola o celých fukcích je důsledě čleěa do vět a defiic, aby se čteář saději orietoval v textu. Po astudováí práce čteář může osvojeou teorii aplikovat a řešeí příkladů. 33

45 Sezam použité literatury [] KALAS, Josef.: Aalýza v komplexím oboru,. vydáí, Bro: Masarykova uiverzita, 2006, 202 stra ISBN [2] NOVÁK, Vítězslav.: Aalýza v komplexím oboru,. vydáí, Praha: Státí pedagogické akladatelství, 984, 03 stra. [3] LANG, Serge.: Complex aalysis, 3. vydáí, New York: Spriger-Verlag, 993, 458 stra ISBN [4] JEVGRAFOV, Marat Adrejevič a kol.: Sbírka úloh z teorie fukcí komplexí proměé,. vydáí, Praha: SNTL, 976, 542 stra. [5] ŠULISTA, Mila:. Aalýza v komplexím oboru, 2. ezměěé vydáí, Praha: SNTL, 985, 8 stra. [6] POLÁK, Josef.: Matematická aalýza v komplexím oboru,. vydáí, V Plzi: Západočeská uiverzita, , 76 stra ISBN [7] RUDIN, Walter:. Aalýza v reálém a komplexím oboru,. vydáí, Praha: Academia, 977, 463 stra. [8] VESELÝ, Jiří.: Komplexí aalýza pro učitele,. vydáí, Praha: Karlova uiverzita, [9] LOMTATIDZE, Leka a Roma PLCH.: Sázíme v LaTeXu diplomovou práci z matematiky,. vydáí, Bro: Masarykova uiverzita, 2003, 22 stra ISBN

46 Rejstřík čiitel, 8 Cauchy-Bolzaova podmíka, 4 Cauchy-Riemaovy podmíky, 6 celá fukce, derivace, 4, 5 difereciál, 5 fukce, 4 limita, 4 v bodě, 5 vlastosti, 4 elemetárí fukce, 5, 8, 9 expoeciálí fukce, 8 goiometrá fukce, 9 hyperbolická fukce, 9 částečý souči, 3 posloupost, 3 Nutá podmíka kovergece, 4 regulárí bod, 7 rozklady celých fukcí, 9 sigulárí bod, 7 Taylorův rozvoj, trascedetí fukce, 9 Weierstrassova věta, 20 Základí věta algebry, 2 harmoická fukce, 7 hodota součiu, 3 holomorfí fukce, 7 komplexí číslo,, 2 absolutí hodota, 2 algebraický tvar, 2 argumet, 2 goiometrický tvar, 2 imagiárí jedotka, kaoický tvar, 2 kovergece, 3, 5, 8 absolutí, 5 bodová, 8 eabsolutí, 5 stejoměrá, 8 Liouvilleova věta, 2 Logaritmus, 9 ekoečé součiy fukcí, 7 ekoečý souči, 3 35

47