Navier Stokesovy rovnice. Doc. Mgr. Milan Pokorný Ph.D.

Transkript

1 Navier Stokesovy rovnice Doc. Mgr. Milan Pokorný Ph.D. 8. února 8

2 ... v budoucnosti se bude umění s technikou tak nějak harmonicky doplňovat lyrickoepické verše pomohou při chemizaci likvidační praxe periodická soustava pomůže rozvoji impresionismu na každém technickém výrobku bude zvláštní ploška, vyhrazená pro účinný estetický vjem komíny atomových elektráren budou pomalovány našimi nejlepšími krajináři dvacet tisíc mil pod mořem budou čítárny přístupné všem diferenciální rovnice se budou psát ve verších na střechách cyklotronů budou divadla malých forem a v nich se budou recitovat diferenciální rovnice tak nějak lidsky... Václav Havel, Zahradní slavnost

3 Obsah Předmluva 4 Základní prostory funkcí 7. Sobolevovy a Lebesgueovy prostory Bochnerovy prostory Prostory L p (I; X Prostory s časovou derivací Prostory s nulovou divergencí Temamovy prostory Sobolevovy prostory Rozklad funkcí z (L ( N. Existence tlaku Stokesův problém Slabé řešení evolučních rovnic 9 3. Existence slabého řešení Rekonstrukce tlaku Regularita (N = Jednoznačnost (N = Globální podmíněná regularita (N = Lokální regularita (N = Appendix 6 4. Integrální operátory Bogovského operátor v omezených oblastech Homogenní okrajová podmínka Nehomogenní okrajová podmínka Neomezené oblasti Celý prostor Vnější oblasti Oblasti s nekompaktní hranicí Aplikace

4 Kapitola Pánové Navier, Stokes, jeden systém PDR, několik dalších pánů, jedna dáma a milion dolarů S tekutinami se setkáváme stále. Země je obklopena atmosférou, voda tvoří 8% lidského těla, přenáší základní živiny. Každé pondělí si dáváme matematický čaj a bez vína či piva bychom byli o něco ochuzeni. Je tedy zřejmé, že lidstvo se snažilo studovat tekutiny od samého prvopočátku, kdy si začalo uvědomovat svou existenci. Staří Řekové pokládali vodu za jeden ze čtyř živlů. Ale až poměrně pozdě se přistoupilo k matematickému chápání popisu tekutin. V roce 8 navrhl francouzský inženýr C.M.L.H. Navier jistou soustavu parciálních diferenciálních rovnic jako model popisující viskózní nestlačitelné tekutiny. Když se na jeho odvození rovnic podívali fyzikové, okamžitě jej smetli ze stolu fyzikální předpoklady byly naprosto nerealistické. Později, v roce 845, G.H. Stokes odvodil mnohem rigoróznějším způsobem, takovým, jaký znáte z přednášky z mechaniky kontinua, model lineárně viskózní tekutiny. A dostal tytéž rovnice co o 3 let dříve Navier. Tedy co vlastně zkoumáme. Hledáme tak, že u :, T R N, p :, T R, } u + u u ν u + p = f v (, T Q T, R N, N. div u = v (, T (. Je třeba dodat počáteční podmínku pro rychlost u(, x = u (x a okrajové podmínky. My budeme uvažovat pouze u = na (, T, ale nesnažíme se vůbec tvrdit, že je to ten jediný správný model. Koneckonců, mohli bychom 4

5 5 klidně uvažovat řešení Cauchyovy úlohy a potíží bude stále dost a dost. Na první pohled je to docela kultivovaný systém PDR. Jediná nelinearita je kvadratická a navíc má ještě pěknou vlastnost, která umožňuje odvodit základní apriorní odhady, což uvidíme později. Ale přesto, je to nelinearita záludná. Z hlediska charakterizace nelinearit je to pro N = případ kritický, totiž s jistou námahou zvládnutelný, zatímco pro N = 3 (a ten bychom asi vyřešili nejraději problém superkritický. Tedy bez dodatečných triků nezvládnutelný. Prvním, kdo se pokusil tento systém seriózně matematicky studovat, byl C.W. Oseen []. Na jeho práce pak navázal J. Leray v sérii dalších článků z let ([3], [4], které obsahovaly výsledky jeho doktorské práce. Zatímco pro případ = R dokázal existenci a jednoznačnost klasického řešení, pro = R 3 neuspěl. Dokázal pouze existenci tzv. turbulentního řešení (věřil, že právě turbulence je zodpovědná za případné singularity, což je v moderním jazyce de facto slabé řešení splňující silnou energetickou nerovnost. Navrhl též jistou možnost kterak ukázat, že klasické řešení nemusí obecně existovat. To, že tato metoda nefunguje, bylo ukázáno až relativně nedávno v článcích J. Nečas, M. Růžička, V. Šverák []; J. Málek, J. Nečas, M. Pokorný, M. Schonbek [7] a T. Tsai [7]. Pak přišla druhá světová válka. Po ní německý matematik E. Hopf [9] rozšířil výsledky J. Leraye i do omezených oblastí. Zhruba o desetiletí později se objevuje O.A. Ladyženská [], která se až do své smrti intenzívně Navier Stokesovým rovnicím věnovala. Po ní potom celá řada vynikajících matematiků: J.-L. Lions [5], L. Cafferelli, R. Kohn, L. Nirenberg [], P.-L. Lions [6],... Fundamentální otázka, zda existuje ve třech prostorových dimenzích hladké (tj. klasické řešení pro libovolně velká data úlohy a libovolně dlouhý časový interval, zůstává stále nezodpovězena. To, spolu se snahou napodobit D. Hilberta ve formulaci otevřených problémů pro další století, vedlo Clayův institut v Massachusetts k vyhlášení sedmi otevřených problémů a odměny dolarů za jejich vyřešení. A tak se Navier Stokesovy rovnice objevily vedle takových problémů, jako je dnes již dokázaná Poincarého hypotéza, Riemannova hypotéza atd. Co to je slabé řešení? Vezměme φ, hladkou funkci s kompaktním nosičem a nulovou divergencí, a přenásobme jí rovnici (.. Jelikož (připomeňme, že budeme používat sumační konvenci dostáváme T u i φ i T dx dt+ (u u j = u i u j x i = p φ i dx = x i p φ n }{{} = φ T i u i u j dx dt+ν x j x i (u i u j u i x i dx }{{} = u j, p div φ dx, }{{} = T u i φ i dx dt = f i φ i dx dt. (My si později ukážeme mírně analogickou formulaci, ale myšlenka je tato. Stačí nám tedy předpokládat, že u (L loc (Q T N a f (L loc (Q T N ; pak mají

6 6 KAPITOLA. PŘEDMLUVA všechny členy smysl. Budou nás zajímat následující otázky:. Existence slabého řešení. (N =, 3. Zda je slabé řešení jednoznačné v rozumné třídě řešení. (N = 3. Pokud máme řešení hladší, zda už je to nutně jediné řešení ( weak strong uniqueness je-li slabé řešení silné, potom je již jediné na třídě slabých řešení. (N = 3 4. Zda je každé slabé řešení s hladkými daty nutně hladké. (N = ano, N = 3 není známo. Právě tato otázka je oním problémem za dolarů: (C. Fefferman: f : hladká funkce s kompaktním nosičem u : hladká funkce s kompaktním nosičem Existuje klasické řešení Navier Stokesových rovnic na R 3 pro libovolně dlouhý čas? (Buď dokázat, nebo najít protipříklad.

7 Kapitola Základní prostory funkcí. Sobolevovy a Lebesgueovy prostory Používáme standardní značení pro Sobolevův prostor: W k,p (, k N, p Lebesgueův prostor: L q (, q S těmito prostory se lze podrobněji seznámit například ve skriptech z moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic [8]. Uveďme jen jednu poznámku o interpolacích: a Lebesgue: Tvrzeníčko... Nechť f L p ( L q (, p < q, R N. Potom f L r (, p r q a f r f α p f α q, r = α p + α, α [, ]. (. q Důkaz. Je přenechán čtenáři jako elementární rozcvička na úvod. b Lebesgue, Sobolev: Máme f L q ( W,s (, q <. Je možno odvodit nerovnost typu f r C f α q f α,s, pro jisté hodnoty r, q a s? Odpověď je pozitivní. Věta... Nechť C, je omezená oblast v R N, f W,s ( L q (, q <. a Je-li s < N, potom f L r (, r Ns C = C(, N, s, q, r: N s a pro q r Ns N s existuje f r C f α,s f α q, α [, ], ( r = α s + ( α N q. (. b Je-li s = N, potom lze brát v (. q r < a r pro s > N. 7

8 8 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ Důkaz. Idea důkazu je založena na následujících dvou krocích: a ukážeme, že (. platí pro f C (R N, b kombinací věty o prodloužení (proto C,! a hustoty hladkých funkcí (popř. regularizátor se převede situace na omezenou oblast. Poznámka: Je-li = R N nebo f W,s (, lze v (. místo f,s psát f s. Poznámka: Ukážeme si dvě speciální situace (.: N =, r = 4, s = q = : 4 = α ( + ( α α =, N = 3, r = 4, s = q = : 4 = α ( 3 + ( α α = 3 4, tj. C = C(N : u W, ( : u 4 C u /, u /, R, u 4 C u 3/4, u /4, R 3. Proveďme důkaz: a N = : Nechť u C (R. Potom u 4 u / u /. Důkaz. Z Gagliardo-Nirenbergovy nerovnosti víme, že pro v C (R v v. Vezmeme v = u a dostáváme u 4 (u dx R tj. R u u dx u u, u 4 u u. (Konstanta není optimální viz R. Temam [5]: C = 4. b N = 3: Nechť u C (R 3. Potom u 4 ( u 3/4 u /4. Důkaz. Analogicky jako výše máme Zvolme v = u 8 3. Potom = 8 3 u 8/3 4 v 3 v. R 3 (u 8 3 dx 8 3 R 3 u u 5 3 dx R 3 u u 5 3 α u ( α 5 3 dx 8 3 u u 4/3 4 u /3. (Neboť + 5α + 5( α 6 = α = 4 5 u 4 ( 8 3 (Optimálně lze získat C =, viz [5].. Tedy celkem 3/4 u 3/4 u /4. Speciálně, je-li u W, (, pak platí nerovnosti výše se stejnou konstantou, stačí použít větu o hustotě hladkých funkcí. V obecném případě se použije věta o prodloužení a místo normy gradientu se objeví celá W, -norma.

9 .. BOCHNEROVY PROSTORY 9. Bochnerovy prostory Budou nás zajímat prostory funkcí u : I R X, kde X je Banachův prostor. Důkazy následujících tvrzení je možno nalézt např. v []. Definice... a f: I X se nazývá jednoduchá funkce, jestliže existují c..., c k X a O,..., O k I, O i O j = i j, O i měřitelné tak, že f(t = k c i χ Oi (t. i= b f: I X se nazývá silně měřitelná, existuje-li posloupnost jednoduchých funkcí f n tak, že lim n f n(t f(t X = pro s.v. t I. Lemma... Nechť f je silně měřitelná. Potom f( X : I R je měřitelná v Lebesgueově smyslu. Definice... Funkce f: I X je bochnerovsky integrovatelná, jestliže existuje posloupnost {f n } n= jednoduchých funkcí tak, že lim n f n(t f(t X = pro s.v. t I (tj. f je silně měřitelná, lim n I f n ( f( X dt =. Je-li J I a f je bochnerovsky integrovatelná přes I, pak J f dt = lim n I χ J (tf n (t dt = lim k n n i= c n i O n i J, kde f n splňuje předpoklady uvedené výše. Věta.. (Bochner. Silně měřitelná funkce f: I X je bochnerovsky integrovatelná f( X má konečný Lebesgueův integrál přes I. Důsledek... Je-li f C ( I; X, pak je bochnerovsky integrovatelná f( X má konečný Lebesgueův integrál přes I. Lemma... Je-li f bochnerovsky integrovatelná přes I, pak a I fdt X I f X dt, b lim J +, J I J f dt = X (nulový prvek. Poznámka. Z definice plyne, že pro η X, φ bochnerovsky integrovatelná přes I platí η, φ(tdt = η, φ(t X X,X dt., X I I

10 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ.. Prostory L p (I; X Definice..3. Nechť X je Banachův prostor, p, I R. Potom L p (I; X je množina všech silně měřitelných f: I X takových, že a p < I f(t p Xdt <, b p = ess sup f(t X <. I Věta... Prostory L p (I; X jsou lineární prostory. Pokud položíme f = f jestliže f (t = f (t pro s.v. t I (ve smyslu prostoru X, pak L p (I; X jsou Banachovy prostory s normou ( /p, f Lp (I;X = f(t p X dt p <, f L (I;X = ess sup I I f( X, p =. Poznamenejme, že je-li I omezený interval, pak L p (I; X L q (I; X, q p, f(t dt X f(t X dt f L p (I;X I p ( I I f( X L (I f je bochnerovsky integrovatelná. Věta..3. Nechť X je reflexivní Banachův prostor, X jeho duál, p <. Potom každý spojitý lineární funkcionál na L p (I; X lze reprezentovat jako Φ, f (Lp (I;X,L p (I;X = φ(t, f(t X,X dt, f Lp (I; X, φ L p (I; X. I Je-li < p <, X reflexivní Banachův prostor, potom L p (I; X je reflexivní Banachův prostor. Mějme I = (, T, T < a položme pro f L p (I; X, f prodloužené nulou vně I. Nechť ω je standardní regularizační jádro. Označme f h (t = ( t s ω f(s ds. h h Potom R f h C ([, T ] ; X. Jestliže f L p (I; X pro p <, pak a pro libovolné p Jako důsledek dostáváme f h f v L p (, T ; X, f h Lp (,T ;X f Lp (,T ;X.

11 .. BOCHNEROVY PROSTORY Věta..4. Nechť p <, X separabilní Banachův prostor. Potom též L p (I; X je separabilní Banachův prostor. Důkaz. Je analogický situaci, kdy X = R, a je ponechán na rozmyšlení čtenáři. Speciálně, pro p < jsou v L p (, T ; X husté funkce z C ((, T ; X... Prostory s časovou derivací Nyní se pokusme definovat časovou derivaci. Situace je analogická jako u slabé derivace funkcí z L p (. Definice..4. Nechť u L loc (, T ; X, g L loc (, T ; X. Potom g = u (= u, jestliže T T u(tφ (t dt = g(tφ(t dt φ D(, T. Lemma..3. Nechť X je Banachův prostor, X jeho duál. Nechť u, g L (, T ; X. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní: t u(t = ξ + φ D(, T : η X : g(s ds, pro s.v. t [, T ], ξ X, (.3 T T u(tφ (t dt = g(tφ(tdt, (.4 d dt η, u X,X = η, g X,X v D (, T. (.5 Je-li (.3 (.5 splněno, pak u = ũ s.v. na [, T ], přičemž ũ C ([, T ] ; X. Důkaz. Nejprve poznamenejme, že zobrazení t t g(sds je absolutně spojité na [, T ] s hodnotami v X. Proto: (.3 (.4: násobme (.3 φ (t D(, T a výsledek plyne integrací per partes. (.3 (.5: nejprve aplikujme na (.3 η X a pak stejně jako výše. (.5 (.4: víme, že φ D(, T T T η, u X,X φ dt = η, g X,X φ dt, η X. Protože η nezávisí na t, díky linearitě integrálu T η, T uφ dt + gφ dt X,X = η X,

12 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ což je (.4. (.4 (.3: můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že g =. Položme totiž u (t = t s.v. na I. Tedy nechť g(s ds a v = u(t u (t. Zřejmě u AC ([, T ]; X, u = g T vφ dt = φ D(, T. Dokažme, že potom v = const X. Každou funkci φ D(, T lze psát jako φ = λφ + ψ, λ = kde φ D(, T je pevná funkce, pro níž T φ ds = T φ(s ds, a ψ D(, T je primitivní funkce k φ λφ taková, že ψ( =. Máme tedy T (v(t ξ φ(t dt = φ D(, T, ξ = T v(sφ (s ds. Nyní standardní regularizací v čase plyne, že v(t ξ = s.v. na (, T. Uvažujme dva Hilbertovy prostory, V (např. W, ( a H (např. L (. Pomocí Rieszovy věty proveďme ztotožnění H = H. Potom nechť V hustě H = H hustě V (.6 (husté vnoření duálů dokážeme později, viz Tvrzeníčko... Uvažujme naše prostory V = W, ( a H = L (. Vnoření prostoru V do H reprezentuje operátor identity I : W, ( L (. Nyní se podívejme na ztotožnění H a H. K libovolnému Φ ( L (!g L (: Φ g, φ H,H = gφ dx, Φ (L ( = g L (. Tento funkcionál patří do (W, ( ve smyslu Φ g, ψ (W, (,W, ( = gψ dx ψ W, (. Proto pro g W, ( g, ψ (W, (,W, ( = Φ g, ψ (W, (,W, ( = V obecném případě máme pro u V H gψ dx ψ W, (. (Iu, v H = Φ Iu, v H,H,

13 .. BOCHNEROVY PROSTORY 3 kde I: V H je operátor identity reprezentující vnoření a Φ ( hraje jako výše roli zobrazení z Rieszovy věty o reprezentaci. Potom u, v V,V def = Φ Iu, Iv H,H, v V. V tomto smyslu chápeme, že V V. Vše projde analogicky i pro případ, kdy V je pouze reflexivní Banachův prostor. Poznámka. V terminologii prostorů V a H lze definovat časovou derivaci funkce u L p (, T ; V ležící v prostoru L q (, T ; V tak, že platí T u, v V,V ψdt = T (u, v H ψ dt v V, ψ C (, T. Navíc, jsou-li u, v L p (, T ; V, u, v L p (, T ; V a ψ C (, T, p <, pak T ( u, v V,V + v, u V,V ψdt = Důkaz je analogický lemmatu níže. T (u, v H ψ dt. Lemma..4. Nechť V je reflexivní Banachův prostor, H je Hilbertův prostor, V a H jsou příslušné duální prostory. Nechť V hustě H = H hustě V. Nechť u L p (, T ; V, u L p (, T ; V, < p <. Potom je u rovno s.v. na (, T spojité funkci z [, T ] do H. Navíc d dt u H = u, u V,V v D (, T. (.7 Důkaz. Důkaz provedeme ve třech krocích. Krok. Dokažme platnost rovnosti (.7. Z lemmatu..3 víme, že u C ([, T ] ; V, neboť V V, tj. u, u L (, T ; V. Dále u H = (u, u H = u, u H,H = }{{} u, }{{} u V,V L (, T, L (,T ;V L p (,T ;V tj. u L (, T ; H. Nyní nechť u m je regularizace ũ (ũ = u na [, T ], jinak ũ = V, u m C ([, T ] ; V, u m u v L p (, T ; V, u m u v L p (, T ; V, u m u v L (, T ; H. Tedy tj. d dt u m H = (u m, u m H = u m, u m V,V m N, T T u m H φ dt = u m, u m V,V φ dt φ D(, T }{{} L (,T

14 4 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ a tedy limitním přechodem m T T u H φ dt = u, u V,V φ dt φ D(, T, což je rovnost (.7, kde jsme použili, že funkce: t u, u V,V (t L (, T, neboť díky tomu, že u L p (, T ; V a u L p (, T ; V, T T u, u V,V dt u V u V dt < + ; tedy u L (, T ; H. Navíc u C ([, T ] ; V (po změně na množině míry a u H C[, T ]. Krok. Platí: Lemma..5. Nechť X, Y jsou Banachovy prostory, X je reflexivní a platí X hustě Y. Nechť φ L (, T ; X a současně φ C ([, T ] ; Y w. Potom φ C ([, T ] ; X w. Důkaz Lemmatu..5 uvedeme níže. Jen připomenutí: φ C ([, T ] ; Y lim φ(t φ(t t t Y = t [, T ], φ C ([, T ] ; Y w lim η, φ(t η, φ(t t t = lim η, φ(t φ(t = t t η Y, t [, T ]. Zřejmě φ C ([, T ] ; Y φ C ([, T ] ; Y w, obrácená implikace platí jen pro Y konečně dimenzionální. Proto máme, že u C([, T ]; V, což implikuje u C([, T ]; V w, a proto díky lemmatu..5 a ztotožnění H = H víme, že u C ([, T ] ; H w. Krok 3. Dokažme nyní, že u C ([, T ] ; H. Nechť t I. Počítejme u(t u(t H = u(t H (u(t, u(t H + u(t H. Tedy, díky tomu, že u( H C[, T ] a u(t u(t pro t t, = lim u(t t t H }{{} u(t H lim u(t u(t t t H (u(t, u(t }{{ H + u(t H } (u(t,u(t H díky kroku lim t t = u(t H u(t H + u(t H =. Zbývá dokázat Lemma..5. Uvědomme si nejprve, že Tvrzeníčko... Nechť X je reflexivní Banachův prostor. Nechť X hustě Y. Potom Y hustě X.

15 .. BOCHNEROVY PROSTORY 5 Důkaz. Označme i : X Y zobrazení realizující vnoření X Y, tj. spojité prosté zobrazení z X do Y, definované na celém X. Dle předpokladu dále víme, že i(x je husté v Y. Definujme i : Y X tak, že i (y, x X,X := y, i(x Y,Y. Ukažme, že i realizuje vnoření Y do X, tj. je prosté spojité zobrazení definované na celém Y, takové, že i (Y je husté v X. Nechť i (y =, tj. y, i(x Y,Y = pro všechna x X. Protože i(x je husté v Y, je nutně y =. Nyní, nechť X je reflexivní Banachův prostor. Předpokládejme, že Y X. Potom x X : y Y je x, i (y X,X =, ale x. Díky reflexivitě existuje x X: x = J(x (J(x je kanonické zobrazení tak, že i (y, x X,X = y Y = y, i(x Y,Y = y Y = i(x =, tedy díky prostotě zobrazení i je x =, což je spor s tím, že Y X. Nyní můžeme přistoupit k důkazu Lemmatu..5, které má samostatný význam. Důkaz (Lemmatu..5. Protože X víme, že η, φ(t Y,Y Cílem je ukázat, že Definujme φ(t X tak, že hustě Y, je Y hustě t t η, φ(t Y,Y η Y. µ, φ(t X,X t t µ, φ(t X,X µ X. J( φ(t, µ X,X = lim inf h h t+h I t+h t µ, φ(s X,X ds. X. Dle předpokladu Zřejmě pravá stana je omezena φ L (,T ;X µ X a tudíž J( φ(t X. Protože X je reflexivní, je φ(t X jednoznačně definovaný. Navíc φ(t X = sup µ, φ(t sup φ L (,T ;X µ X φ L (,T ;X. µ X µ X Speciálně pro µ Y ( hustě X vidíme, že φ(t = φ(t na [, T ]. Platí tedy φ(t X φ L (,T ;X t [, T ]. Nyní, protože Y je husté v X, µ X a ε > µ ε Y : µ ε µ X < ε. Zvolme pevně ε >. Tedy µ, φ(t φ(t X,X = µ µ ε, φ(t φ(t X,X + µ ε, φ(t φ(t X,X.

16 6 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ Nyní, pro ε vhodně zvolené, je první člen µ µ ε, φ(t φ(t X,X µ µ ε X φ(t φ(t X φ L (,T ;X ε < ε. Druhý člen je malý pro t dosti blízko t, neboť µ ε Y a µ ε, φ(t φ(t X,X = µ ε, φ(t φ(t Y,Y < ε. Tedy k libovolnému číslu ε > δ > t U δ (t : µ, φ(t φ(t X,X < ε. Důležité bude pro nás kompaktní vnoření z prostoru W = W α,α X,X = {v L α (, T ; X ; v L α (, T ; X } do vhodného prostoru L α (, T ; X. Položme Platí v W = v L α (,T ;X + v L α (,T ;X. Věta..5 (Aubin Lions. Nechť X, X, X jsou tři Banachovy prostory splňující X X X. Nechť X, X jsou navíc prostory reflexivní. Dále nechť < α i <, i =,. Potom pro < T < je W L α (, T ; X. Poznámka. Je možno brát α =, pak je ovšem důkaz komplikovanější a my nepotřebujeme ani komplikace, ani sílu tohoto tvrzení. Nejprve dokažme: Lemma..6. Nechť X, X, X jsou Banachovy prostory splňující: X X X. Potom η > c η tak, že v X v X η v X + c η v X. (.8 Důkaz. Lemma budeme dokazovat sporem. Nechť (.8 neplatí, tj. η > : m N w m X, že Položme tedy w m X > η w m X + m w m X. v m = w m w m X, v m X > η + m v m X. Protože v m X =, v m je omezená v X (díky vnoření a tedy v m X pro m. Dále existuje podposloupnost v mk silně konvergentní v X (X X a tedy v mk v X. Ale v mk X > η >, což dává spor.

17 .. BOCHNEROVY PROSTORY 7 Důkaz (Aubin Lions. Důkaz provedeme ve čtyřech krocích. Krok. Nechť u m je omezená posloupnost prvků z W. Chceme dokázat, že existuje u mk, silně konvergentní podposloupnost v L α (, T ; X. Protože X, X jsou reflexivní, < α i <, je i W reflexivní a tudíž existuje u W tak, že tedy u mk u ve W, u mk u v L α (, T ; X, u m k u v L α (, T ; X. Je třeba dokázat, že v mk = u mk u v L α (, T ; X. Krok. Stačí dokázat, že v mk v L α (, T ; X. Pak totiž v mk L α (,T ;X η v mk L α (,T ;X + c η v mk L α (,T ;X, a díky omezenosti v m k ve W máme v mk L α (,T ;X Cη + c η v mk L α (,T ;X. K libovolnému ε > existuje η > : Cη < ε a existuje n : m k > n je c η v m k L α (,T ;X < ε. Proto v mk L α (,T ;X < ε a ε > bylo libovolné, tvrzení je proto dokázáno. Krok 3. Ukažme, že W C ([, T ] ; X. Víme, že každý prvek z W patří do C ([, T ] ; X díky Lemmatu..3. Spojitost je zřejmá, neboť díky Lemmatu..3 víme, že t u(t = u( + u (s ds a tedy u(t X u( X + u L (,T ;X. Dále, integrováním rovnosti výše přes (, T T u( X u L (,T ;X + T u L (,T ;X C u L (,T ;X + T u L (,T ;X = max u(t X t [,T ] C u W. Krok 4. Víme, že v mk (t X C t [, T ] a tedy díky Lebesgueově větě o limitním přechodu nám stačí dokázat, že Zvolme např. t =. Potom v mk (t silně v X. t v mk ( = v mk (t v m k (τ dτ.

18 8 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ Integrujme tuto rovnost od nuly do s: v mk ( = s = s { s s s v mk (t dt v mk (t dt s Zvolme ε >. Zjevně b mk X s s ( t } v m k (τ dτ dt (s τv m k (τ dτ := a mk + b mk. v m k (τ X dτ ε pro s vhodně malé (α >!. Víme, že v mk v L α (, T ; X a tedy a mk = s s v mk (t dt v X. Protože s je pevné, je pro n dosti velké a mk X < ε m k > n..3 Prostory s nulovou divergencí.3. Temamovy prostory Definujme Definice.3.. Nechť R N je omezená oblast. Položme pro p < E p ( = {g (L p ( N ; div g L p (}, g Ep ( = g p + div g p, E p ( = (C (N E p (. Zřejmě jsou oba prostory Banachovými prostory, které jsou pro p > reflexivní. Cílem bude dokázat, že v prostoru E p ( jsou husté funkce hladké až do hranice. K tomu budeme potřebovat pojem hvězdicovité oblasti. Definice.3.. Oblast R N se nazývá hvězdicovitá vzhledem k bodu x, jestliže existuje spojitá kladná funkce h: B R taková, že { ( x = x R N x } ; x x < h. x x Oblast R N se nazývá hvězdicovitá vzhledem ke kouli B, je-li hvězdicovitá vzhledem ke všem bodům x B. Oblasti s lipschitzovskou hranicí lze rozložit na hvězdicovité oblasti. Platí (viz [6]: Lemma.3.. Nechť R N je omezená oblast s lipschitzovskou hranicí. Potom existuje třída otevřených oblastí G = {G, G,..., G r, G r+,..., G r+m }, r, m N takových, že (i r+m i= G i

19 .3. PROSTORY S NULOVOU DIVERGENCÍ 9 (ii r i= G i (iii existuje třída koulí takových, že každá oblast B = {B, B,..., B r+m } i = G i, i =,..., r + m je hvězdicovitá vzhledem ke kouli B i. Nechť dále f C ( a f dx =. Potom existuje třída funkcí takových, že (i f i C ( i, i f i dx = (ii f(x = r+m i= f i(x (iii < q <, k =,,.... Platí: F = {f,..., f r, f r+,..., f r+m } f i k,q,i C(m, q,,..., r+m, f k,q,, Věta.3.. Nechť C,, p <. Potom E p ( = (C ( N E p (. Důkaz. Nebudeme dělat, pouze naznačíme jeho ideu: a = R N výsledek plyne přímo regularizací b = C,, omezená oblast použijeme lokální popis hranice a rozklad jednotky m V i= na V použijeme regularizaci V i na V i vhodnou translací a opětovným použitím rozkladu jednotky lze převést oblast V + i (tj. V i na oblasti, které jsou hvězdicovité vzhledem k počátku, viz lemma.3. (zde se použije toho, že C,!. Na hvězdicovité oblasti si nejprve funkci vysuneme ven pomocí ( x u λ (x = u, λ > λ a tato vysunutá funkce se zregularizuje. Limitou λ + a h + (regularizační faktor se ukáže, že u h u v E p (, u h (C ( N, kde u h (x = (u λn hh. Přesný důkaz je možno nalézt např. v knize [6].

20 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ.3. Sobolevovy prostory Speciálně nás budou zajímat prostory typu { } W,p,div ( = u (W,p ( N ; div u =, resp. W,p,div ( = {u (C (N ; div u = },p. Ukažme, že pro C, jsou oba prostory totožné. To je založeno na následujícím výsledku Lemma.3. (Bogovskii, Solonnikov, Ladyženská, Borchers-Sohr aj.. Nechť C, je omezená oblast v R N. Nechť f W m,q (, m, < q <, f dx =. Potom v (W m+,q ( N, které je řešením takové, že div v = f v, v =, v m,q C f m,q, kde C nezávisí na f. Speciálně, je-li f C (, pak též v (C ( N. Je-li f = div g, g E q (, pak také v q C g q. Důkaz. Důkaz je uveden v appendixu k tomuto textu, viz Věta 4.., popř. je ho možno nalézt i v [7] či []. Lemma.3.3. Nechť C,. Potom W,p,p,div ( = W,div (. Důkaz. Zřejmě W,p,p,div ( W,div (. Ukažme druhou inkluzi. Nechť u W,p,div (. Nechť u n (C ( N jsou takové, že u n u,p máme ale div u n. Nicméně div u n že úloha L p ( div v n = div u n, v n =, n. Obecně div u =. Z Lemmatu.3. plyne, v n p C div u n p (.9 (a díky podmínce na hranici i v n p C( v n p má řešení (podmínka kompatibility = div u n dx = u n n ds je triviálně splněna takové, že v n (C ( N. Navíc, protože div u n v L p (, je nutně pro nekonečně mnoho n N u n v n. Položme w n = u n v n. Potom a div w n = div u n div v n =, b w n u,p u n u,p + v n,p, c w n (C ( N, tj. u W,p,div (.

21 .3. PROSTORY S NULOVOU DIVERGENCÍ Poznámka. S jistou modifikací by výsledek prošel i např. pro vnější oblast nebo = R N, viz Appendix. Existují ale oblasti, kde rovnost prostorů nenastává, např. oblasti s více exity do nekonečna..3.3 Rozklad funkcí z (L ( N. Existence tlaku. Budeme uvažovat prostory typu L,div ( = {u (C (N ; div u = }. Cílem bude jednak charakterizovat tento prostor a jednak ukázat, že prostor (L ( N = L,div ( P, kde budeme doplněk P charakterizovat. Nechť < p <. Označme W p,p ( obor hodnot operátoru stop z W,p (. Připomeňme, že náš prostor W p,p ( neceločíselná derivace je něco jako interpolační prostor mezi L p ( a W,p (, přesněji u W p,p ( = u L p ( + ( Označme W p,p ( = (W p,p (, p = v C (, C,. Potom u v dx + u(x u(y p x y N+p ds p xds y. v div u dx = (u n v ds. p p. Nechť u ( C ( N, Protože C,, normála n existuje s.v. na. Levá strana má smysl i pro u E p (, v W,p (. Napravo je v W p,p ( ; v jistém smyslu budeme moci tuto Stokesovu formuli rozšířit i pro tyto funkce. Věta.3.. Nechť C,, < p <. Potom existuje spojitý lineární operátor γ n z E p ( do W p,p ( = (W p,p ( takový, že Pro u E p (, v W,p ( platí u v dx + γ n u = u n pro u (C ( N. kde T v je stopa funkce v (T v W p,p (. v div u dx = γ n u, T v W p,p (,W p,p (, Důkaz. Nechť φ W p,p (, v W,p ( tak, že φ = T v. Pro u E p ( položme X u (φ = (v div u + u v dx. Ve skutečnosti stačí mít div u (W,p (, pokud nahradíme druhý integrál odpovídající dualitou. S touto modifikací pak zůstává výsledek Věty.3. v platnosti.

22 g(u = u n pro u ( C ( N. KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ Hodnota X u (φ nezávisí na v, ale pouze na její stopě T v = φ. Totiž, nechť v, v W,p ( jsou takové, že platí T v = T v = φ. Položme v = v v. Ukažme, že (v div u + u v dx =. Pro v W,p ( existuje v m C (, že platí v m v v W,p (, pro u E p (, existuje u m (C ( N, že platí u m u v E p (. Zřejmě = (v m div u m + u m v m dx m (v div u + u v dx. Tedy díky inverzní větě o stopách máme pro vhodné v (můžeme brát libovolné v, tedy speciálně vezmeme to, které získáme z inverzní věty o stopách X u (φ u Ep ( v W,p ( C u Ep ( φ W p,p (. Pro pevné u E p ( je X u ( (W p,p (, a tedy existuje g = g(u W p,p ( tak, že X u (φ = g, φ W p,p (,W p,p ( φ W p.p (. Zřejmě zobrazení: u g(u je lineární, g W p,p ( C u Ep (. Zbývá dokázat, že pro u (C ( N je g(u = u n. Nechť tedy u ( C ( N, v C (. Potom X u (T v = div (vu dx = v u n ds = (T vu n ds = u n, T v. Protože T ( C ( je hustý v W p,p ( (neboť máme W p,p ( = T ( W,p ( a C ( je husté v W,p (, platí rovnost X u (φ = u n, φ W p,p (,W p,p ( φ W p,p (. Potom Než se nám podaří charakterizovat L,div (, budeme potřebovat lemma o existenci tlaku. Platí následující Lemma.3.4. Nechť C,, < q < a nechť G (( W,q ( N (= ( W,q ( N je takový, že G, φ ((W,q ( N,(W,q ( N = G, φ = φ W,q,div (. Potom! p L q ( = {u L q (; udx = } takové, že G, φ = p div φ dx φ ( W,q ( N.

23 .3. PROSTORY S NULOVOU DIVERGENCÍ 3 K důkazu budeme potřebovat jedno lemma z funkcionální analýzy, viz např. [, Theorème II.8]. Lemma.3.5. Nechť A: X Y je spojitý lineární operátor, D(A = X, A existuje a je spojitý. Nechť X, Y jsou reflexivní Banachovy prostory. Potom R (A = (ker A = { f X ; f, u = u ker A }. Důkaz (Lemmatu.3.4. Uvažujme A : (W,q ( N L q (, Av = div v. Vezmeme speciální větev A, tzv. Bogovského operátor, tj. řešící operátor úlohy div w = div v v, w =, w,q C div v q, viz Lemma.3.. Tento operátor je lineární a omezený, tedy spojitý. Víme proto, že (ker A = R (A. Zřejmě ker A = { u ( W,q ( N ; div u = }, tedy G (ker A = R (A. Protože Y = L q (, je Y = {L q ( R } 3. Vzhledem k tomu, že A v, u X,X = v, Au Y,Y, platí G, φ = p }{{} p L q ( Aφ dx = p div φ dx. Nyní je vše připraveno k charakterizaci L,div (: Věta.3.3. Nechť C,. Potom L,div {u ( = ( L ( } N ( ; div u = v D (; γ n (u = L,div ( ( { L,div ( 4 = v ( L ( } N ; v = p, p W, ( ( P. tady tzv. anihilátor 3 faktorprostor (a lze jej speciálně reprezentovat pomocí L q ( 4 zde ortogonální doplněk

24 4 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ Důkaz. Krok. Nechť v P. Potom w { w (C ( N ; div w = } tj. v v w dx = w p dx = p div w dx =, (L,div (. Obráceně, nechť v ( L,div (. Tedy v w dx = w L,div (, speciálně i w { w (C ( N ; div w = }, L,div (. Díky Lemmatu }{{} =W,,div (.3.4 tedy existuje p L (, pro něž platí v w dx = p div w dx w (C ( N. Odtud plyne, že v = p v D ( tj. p W, (, tedy ( dohromady L,div ( = P. ( L,div ( P a Krok. Nechť u L,div (. Potom existuje u m (C ( N, div u m = : u m u v (L ( N. Dále = tedy pro m div u m φ dx = = u φ dx u m φ dx φ C (, φ C (, a proto div u = v D (. Máme u E( a tedy (připomeňme, že u m u v E( = γ n (u m γ n (u = = u L,div(. Obráceně, nechť L,div ( L,div (. Nechť u H, kde H označuje ortogonální doplněk L,div ( do L,div ( (oba prostory jsou uzavřené!. Tedy dle kroku p W, ( tak, že u = p. Potom ale div u = div( p = p = v D (, u n = p n = ve smyslu operátoru γ n(u, ( γn (u H (. V prostoru W, ( existuje řešení této úlohy, jednoznačné až na aditivní konstantu, toto řešení je p = const, tj. u = a H = {}. Tedy L,div ( = L,div (.

25 .4. STOKESŮV PROBLÉM 5.4 Stokesův problém Uvažujme problém: Hledáme u (C ( N (C( N, p C (: u + p = f v, div u = v, u =. Pro slabou formulaci máme dvě možnosti: a u W,,div (, p L (, f (L ( N (popřípadě f (W, ( N : spolu s u : φ dx ( popř. φ (W, ( N, p div φ dx = f φ dx u ψ dx = }{{} popř. f,φ ψ W, (. φ (C ( N b u W,,div (, f (L ( N (popřípadě f (W, ( N : u : φ dx = f φ dx }{{} popř. f,φ ( popř. φ W,,div (. φ V = {w (C ( N ; div w = } Otázkou je, zda formulace b nějak nezničí informaci o tlaku. Ukazuje se, že ne. Máme totiž z Lemmatu.3.4 pro že G (W, ( N, G, φ = φ W,,div (, a tedy!p L (, p dx = : G, φ = ( u : φ f φ dx, ( u : φ f φ dx = p div φ dx φ W, (, což je přesně to, co je uvedeno výše. Proto je výhodnější formulace b, neboť

26 6 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ Věta.4.. Nechť f (W, ( N. Potom existuje právě jedno slabé řešení Stokesova problému ve smyslu b výše. Navíc u C f,, p C f,, kde tlak p je zkontruován výše tak, aby byla splněna slabá formulace a. Důkaz. Existence jediného u, včetně odhadu, plyne z Lax Milgramova lemmatu, existence tlaku z Lemmatu.3.4. Navíc, pokud použijeme ve slabé formulaci ve tvaru b výše (uvědomme si, že to již teď můžeme jako testovací funkci φ, řešení úlohy div φ = p, φ =, máme p dx = f, φ + u : φ dx = p C ( f, + u. Poznámka. Pokud bereme f ( W,,div (, pak existence slabého řešení u projde, ale není jasná existence tlaku proto pozor! Obecně pak (důkaz viz kniha [6]: Věta.4.. Nechť m, < q <. Nechť f (W m,q ( N, C max{m+,}, u (W m+ q,q ( N, u n ds =. Potom existuje právě jedno slabé řešení Stokesova problému s nehomogenní okrajovou podmínkou takové, že u (W m+,q ( N, p W m+,q (, p dx = (. a C = C(, N, q, že u m+,q + p m+,q C( f m,q + u m+ q,q,. Poznámka. Slabým řešením nazýváme u (W,q ( N, u u (W,q ( N u : φ dx = f, φ φ V = { w (C ( N ; div w = }.

27 .4. STOKESŮV PROBLÉM 7 Vraťme se k situaci q =. Označme Λ řešící operátor Stokesova problému s homogenní okrajovou podmínkou, tedy tak, že Λ : L,div( W,,,div ( (W ( N, Λf = u, kde u je slabé řešení Stokesova problému. (Uvědomme si, že obecné f (L ( N můžeme rozložit následovně: f = f + π, kde f L,div ( a π můžeme přidat do tlaku, a proto uvažovat pravé strany rovnou z L,div ( je v pořádku. Lemma.4.. Operátor Λ je jakožto operátor z L,div ( do L,div ( samoadjungovaný a kompaktní. Důkaz. Operátor je zřejmě lineární, omezený, D(Λ = L,div (, dále R(Λ W,,div ( L,div (, a proto je kompaktní. Nechť u, v L,div (. Potom pro Λu = f, Λv = g platí Λu v dx = f v dx = f : g dx = u g dx = u Λv dx. Proto máme u, v L,div ( = D(Λ, že (Λu, v L,div ( = (u, Λv L,div (, tj. D(Λ D(Λ. Potřebujeme ukázat, že D(Λ D(Λ. Nechť u D(Λ. Potom existuje f = Λ u L,div ( tak, že v D(Λ (Λv, u L,div ( = (v, f L,div (. Protože Λ je bijekce na L,div (, existuje ũ D(Λ tak, že f = Λũ. Ukažme, že ũ = u. Nechť w L,div ( je libovolné a nechť w D(Λ tak, že Λ w = w. Máme (w, u ũ L,div ( = (Λ w, u L,div ( (Λ w, ũ L,div (. Díky definici adjungovaného operátoru a protože ũ, w D(Λ, (Λ w, u L,div ( = ( w, Λ u L,div ( = ( w, f L,div (, (Λ w, ũ L,div ( = ( w, Λũ L,div ( = ( w, f L,div (. Proto pro všechna w L,div ( (w, u ũ L,div ( =, což dává u = ũ, speciálně tedy u D(Λ. Tedy Λ je samoadjungovaný.

28 8 KAPITOLA. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ Poznámka. Vlastní funkce operátoru Λ tvoří ortonormální bázi na prostoru L,div (, Λw j = w j j N, λ j pro j. λ j Zřejmě a a tudíž { w j} j= w j : v dx = λ j w j v dx v W,,div ( w j w i dx = δ ij w j : w i dx = λ j δ ij,, je ortogonální systém ve W,div (. Zřejmě je též bází ve W,,div ( ( w n : φ dx = n w n φ = n φ =. Dále, díky regularitě řešení Stokesova problému, je-li C m+, pak w j (W m+, ( N, m (a zřejmě w j (C ( N.

29 Kapitola 3 Slabé řešení evolučních Navier Stokesových rovnic 3. Existence slabého řešení Připomeňme klasickou formulaci u + u u ν u + p = f v (, T, div u = v (, T, u = na (, T, u(, x = u (x v. Slabá formulace se získá tak, že násobíme rovnici φ (C ( N, div φ = a integrujeme per partes : u φ dx + (u u φ dx + ν u : φ dx + p div φ dx = f φ dx. Nejprve si uvědomme, že člen s tlakem je nulový. Dále nebudeme schopni ukázat, že u L loc (Q T, proto místo skalárního součinu budeme uvažovat dualitu a navíc budeme pak moct brát obecnější pravou stranu. Máme Definice 3... Nechť R N, N =, 3. Nechť f L (, T ; (W,,div (, u L,div (. Potom funkce u L (, T ; W,,div ( L (, T ; (L ( N s u L (, T ; (W,,div ( se nazývá slabým řešením Navier Stokesových rovnic od- Také můžeme uvažovat časové závislou testovací funkci, nulovou v t = T, integrovat horní rovnici přes čas a časovou derivaci nahradit výrazem T u φ dx dt u( φ( dx. 9

30 3 KAPITOLA 3. SLABÉ ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH ROVNIC povídající datům f a u, jestliže u, φ (W,,div (,W, +,div ( (u u φ dx + ν u : φ dx = f, φ, (W,div,W,,div ( φ W,,div ( a s.v. t (, T, u(t, φ dx = u φ dx φ L,div(. lim t + Poznámka. Případ N > 3 je možno řešit analogicky; to zde nebudeme dělat. Je třeba brát φ hladké, aby se dal smysl konvektivnímu členu a uvažovat časovou derivaci v jiných prostorech. Poznámka. Položme V = W,,div (, H = L,div (. Protože dle dříve dokázaného je u C ([, T ] ; V L (, T ; H, máme u C ([, T ] ; H w díky Lemmatu..5 a v tomto smyslu chápeme počáteční podmínku, za předpokladu, že funkce u byla případně změněna na množině míry nula. Díky Větě.3.3 dokonce máme, že u C([, T ]; ((L ( N w. Uvidíme později, že de facto dokážeme silnější výsledek: lim u(t u =. t + Poznámka. Uvažujme dostatečně hladké řešení Navier Stokesových rovnic. Násobme rovnici (klasická formulace u a integrujme přes (respektive položme φ := u ve slabé formulaci u u dx +. člen:. člen: Pokud integrujeme přes čas, t u(t dx + ν (u u u dx + ν u : u dx = f, u, d dt u (u u u dx = u u dx = (div u }{{} u dx + u }{{} n u ds. = = u dx dτ = t u dx + f, u dτ, což je tzv. energetická rovnost. My ale pro N = 3 dokážeme pouze slabší tvrzení, energetickou nerovnost: t u(t dx + ν pro s.v. t (, T. u dx dτ t u dx + f, u dτ (3.

31 3.. EXISTENCE SLABÉHO ŘEŠENÍ 3 Definice 3... Řešení budeme nazývat Leray Hopfovým slabým řešením Navier Stokesových rovnic, je-li u řešením slabým a navíc splňuje pro s.v. t (, T nerovnost (3.. Cílem je dokázat následující výsledek: Věta 3.. (slabé řešení, N =. Nechť R je omezená oblast a nechť f a u splňují předpoklady Definice 3... Potom existuje právě jedno slabé řešení Navier Stokesových rovnic. Toto řešení je současně Leray Hopfovým řešením a splňuje počáteční podmínku ve smyslu lim u(t u t + =. Navíc, u C([, T ]; L,div (. Věta 3.. (slabé řešení, N = 3. Nechť R 3 je omezená oblast a nechť f a u splňují předpoklady Definice 3... Potom existuje alespoň jedno Leray Hopfovo slabé řešení Navier Stokesových rovnic. Toto řešení splňuje počáteční podmínku ve smyslu lim t + u(t u =. Důkaz obou vět budeme provádět paralelně a rozdělíme jej až na úplný závěr. Postup bude následující: a Galerkinovské aproximace formulace b řešitelnost Galerkinovských aproximací + apriorní odhady pro u n c apriorní odhady pro časovou derivaci d limitní přechod e energetická nerovnost f nabývání počáteční podmínky g jednoznačnost pro N = Ad a Vezměme { w i}, ortogonální bázi prostoru W i=,div ( tvořenou vlastními funkcemi Stokesova problému. Definice Funkci u n (t, x = Galerkinovskou aproximací, jestliže u n w j dx + n i= (u n u n w j dx + ν = f, w j j =,.., n, n u n (, x = a i w i (x, i= c n i (twi (x budeme nazývat n-tou ( u n : ( w j dx (3. kde a i = u (x w i (x dx (tj. u n (, x je projekce u (x do Lin { w i} n i= v L,div (. a tedy díky Větě.3.3 také u C([, T ]; (L (

32 3 KAPITOLA 3. SLABÉ ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH ROVNIC Rovnost (3. můžeme přepsat na systém obyčejných diferenciálních rovnic pro {c n i }n i=. Připomeňme, že w i w j dx = δ ij. ċ n j (t + c n k(tc n l (t ( wk w l w j dx + ν λ j c n j (t = f, w j, j =,.., n, }{{} nesčítá se (3.3 c n j ( = a j. Kvůli lepší čitelnosti budeme nadále horní index n vynechávat. Ad b Na systém (3.3 můžeme použít Caratheodóryho teorii ODR (a kdyby f C([, T ], ((W, ( N, pak dokonce teorii klasickou. Existuje tedy (lokálně v čase právě jedno zobecněné řešení c j AC [, Tn systému (3.3 n N. Je-li časový interval [, Tn, na kterém toto řešení existuje, takový, že Tn < T, pak nutně max c j (t t (Tn +. Ukážeme, že toto nenastane, a tudíž řešení bude existovat na celém intervalu (, T. Násobme (3.3 j c j (t a sečtěme přes j =,.., n. Integrujme přes (, t (formálně je to totéž, jako vzít za testovací funkci v (3. u n. Máme tedy t +ν t n j= nebo ekvivalentně d t dt c j dτ + n c j λ j dτ = j= t c k c l c j n f, c j w j dτ, j= ( wk w l w j dx dτ t d dt un (t dτ + t +ν t u n dx dτ = (u n u n u n dx } {{ } = t f, u n dτ dτ a tedy t un (t + ν u n dτ f L (,t;(w,,div ( un L (,t;w,,div ( + un (. První člen na pravé straně můžeme pomocí Friedrichsovy a Youngovy nerovnosti odhadnout C(ν f L (,t;(w,,div ( + ν un L (,t;l (,

33 3.. EXISTENCE SLABÉHO ŘEŠENÍ 33 tedy máme neboť u n ( = t u n (t + ν u n dτ C (f, u, (3.4 n a j j= u. Odtud plyne, že c j( jsou omezené funkce v čase, a proto T n = T n N. Máme tedy T sup u n (t + ν u n dτ C (f, u. (3.5 t [,T Ad c (Posloupnost u n je proto omezená v prostorech L (, T ; (L ( N a L (, T ; (W, ( N. Odhad (3.5 nám na limitní přechod nestačí, neboť řešíme nelineární evoluční úlohu. Máme k dispozici Aubin Lionsovo lemma, ale k němu potřebujeme odhad časové derivace. Ten nám vyjde různě pro různé dimenze, a proto nejprve počítejme lehčí dvoudimenzionální situaci, pro N = 3 jen ukážeme, kde je změna. Nechť φ L (, T ; W,,div (. Potom je možno psát φ(t, x = a k (tw k (x, a k (t = φ(t, xwk (x dx. Označme φ n (t, x = Tedy u n n k= k= a k (tw k (x. Zřejmě (proveďte podrobně! φ n L (,T ;W,,div ( φ L (,T ;W,,div (. L (,T ;(W,,div ( = sup φ L (,T ;W,,div ( φ = sup φ L (,T ;W,,div ( φ T ν T T u n : φ n dx dt sup φ L (,T ;W,,div ( φ = sup φ L (,T ;W,,div ( φ u n T u n φ n dx dt = T f, φ n dt [ ( f L (,T ;(W,,div ( φ dx dt }{{} můžeme použít definici 3..3 (u n u n φ n dx dt +ν u n L (,T ;(L ( N φ n L (,T ;W,,div ( + K.Č. ].

34 34 KAPITOLA 3. SLABÉ ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH ROVNIC Odhadujme konvektivní člen (K.Č. T T (u n u n φ n dx dt = T u n (u n φ n dx dt T φ n u n 4 dt C φ n u n u n dt C u n L (,T ;(L ( un L (,T ;(L ( 4 φn L (,T ;(L ( 4. Celkem tedy máme sup φ L (,T ;W,,div ( φ T u n φ n dx dt sup C ( f L (,T ;(W, φ L (,T ;W,,div (,div ( + ν un L (,T ;(L ( 4 φ + u n L (,T ;(L ( 4 un L (,T ;(L ( φ n L (,T ;W,,div ( C (f, u a tedy N = u n L (,T ;(W,,div ( C (f, u. (3.6 Ve třech dimenzích je jediná změna v konvektivním členu: T C T u n φ n dx dt T φ n u n u n 3 φ n u n 4 dt dt C u n L (,T ;(L ( 3 un 3 L (,T ;(L ( 9 φn L4 (,T ;(L ( 9 a tedy u výše uvedeného odhadu máme sup φ L 4 (,T ;W,,div ( φ N = 3 u n T u n φ dx dt C (f, u, L 4 3 (,T ;(W,,div ( C (f, u. (3.7 Jak uvidíme později, horší integrovatelnost časové derivace bude mít dalekosáhlé důsledky.

35 3.. EXISTENCE SLABÉHO ŘEŠENÍ 35 Ad d Nyní už máme vše připravené pro limitní přechod. Díky apriorním odhadům víme, že existuje u L (, T ; W,,div ( L (, T ; (L ( N s u L q (, T ; (W, (,div ( q = pro N =, q = 4 3 pro N = 3 takové, že pro vhodnou podposloupnost n k : u n k u v L (, T ; (L ( N, u n k u v L (, T ; W,,div (, u n k u v L q (, T ; (W,,div (. Vezmeme-li v Aubin Lionsově lemmatu za prostory X = W,,div (, X = L,div ( a X = (W,,div (, pak pro omezenou zřejmě X X X, a tedy (obecně pro další podposloupnost u n k u v L (, T ; (L ( N. Navíc díky omezenosti u n k v L (, T ; (L ( N a v L (, T ; W,,div ( máme, že u n k u v L q (, T ; (L ( N q < u n k u v L (, T ; (L p ( N, p < pro N =, p < 6 pro N = 3. Vezměme tedy rovnost (3. pro pevnou funkci w j. Násobme ji ψ C (, T a integrujme přes (, T. Máme (místo n k pišme opět n přičemž T +ν u n T, wj ψ dt + T u n : w j dx ψ dt = (u n u n w j dx ψ dt T f, w j ψ dt, u n u n, wj =, wj = (W,,div (,W,,div ( u n w j dx n N. Nyní proveďme přechod n. V lineárních členech není problém, tam vystačíme se slabou konvergencí. Proto se podívejme na konvektivní člen. Máme díky silné konvergenci (odhady provádíme pro N = 3, pro N =

36 36 KAPITOLA 3. SLABÉ ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH ROVNIC je situace jednodušší T = + + T T [ (un u n w j (u u w j] dx ψ dt T u n w j k i T T [ (u w j u ( u n w j u n] dx ψ dt (u i u n i wj k u k ψ dx dt x i (u k u n x k ψ dx dt i u u n 3 u 6 w j ψ dt u u n 3 u n 6 w j ψ dt u u n L (,T ;(L 3 ( N w j ψ (L ( N L (,T ( u L (,T ;(L 6 ( N + un L (,T ;(L 6 ( N. Limitní funkce u tedy splňuje T +ν T u, wj ψ dt + T ( u : w j dxψ dt = j N, ψ C (, T. (u u w j dxψ dt T f, w j ψ dt (3.8 Nyní nechť φ W,,div (, tedy φ Lin {wj } j= a tudíž (formálně limita w n, n je rovnost (3.8 splněna pro všechny testovací funkce z W,,div (. Nyní si stačí uvědomit, že díky splnění rovnosti ψ C (, T platí ve skutečnosti u, φ + (u u φ dx + ν u : φ dx = f, φ Ad e Vezměme rovnost φ W,,div ( pro s.v. t (, T. t un (t + ν t u n dx dτ f, u n dτ un ( =,

37 3.. EXISTENCE SLABÉHO ŘEŠENÍ 37 násobme ji ψ C (, T, ψ na [, T ] a integrujme přes [, T ]. Máme T [ t un (t ψ + ν t u n dx dτψ f, u n dτψ un ( ψ ] dt = a pošleme n. První člen jde díky silné konvergenci u n u T v L (, T ; (L ( N k u ψ dt. Ve druhém použijeme slabou zdola polospojitost normy a Fatouovo lemma. Protože a ψ, máme t lim inf n u n dx dτ t u dx dτ T t lim inf u n dx dτψ dt n T ( t T lim inf u n dx dτ ψ dt n t u dx dτψ dt. Třetí člen je jednoduchý stačí slabá konvergence a poslední člen jde T k u( ψ dt, díky úplnosti systému { w i} v i= L,div (. Celkem máme T [ t u(t + ν u t u dx dτ f, u dτ ] ψ(t dt ψ C (, T ; ψ na [, T ]. Vhodnou volbou ψ = ω ε regularizační jádro díky limitě ε + dostáváme, že t u(t + ν u dx dτ t u + f, u dτ pro s.v. t (, T, což je hledaná energetická nerovnost. Ad f Vyšetřeme nyní v jakém smyslu se nabývá počáteční podmínka. Postupujeme jako v limitním přechodě, pouze v členu s časovou derivací s ψ

38 38 KAPITOLA 3. SLABÉ ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH ROVNIC C [, T ], ψ(t = integrujeme per partes přes čas. Máme T + +ν T T u n w j ψ dx dt (u n u n w j ψ dx dt u n : w j ψ dx dt = u n ( w j ψ( dx T f, w j ψ dt a limitním přechodem n s využitím úplnosti systému {w j } j= máme (ve skutečnosti jde o dva limitní přechody, stejně jako v části d T +ν T u φ ψ Nyní si uvědomme, že dx dt u : φψ dx dt = T u φψ( dx + T f, φ ψ dt. (u u φψ dx dt T u T, φ ψ dt = T = ( d u, φ ψ dt } dt {{} = d dt u φ dx ψ u φ dx dt u( φ dxψ(. }{{} u C([,T ];(L w (N Volbou ψ( máme u( φ dx = tedy u φ dx, u(t u v (L ( N pro t +. Speciálně lim inf t + u(t u. Na druhou stranu ale z energetické nerovnosti plyne lim sup u(t u = lim t + t u(t + = u.

39 3.. EXISTENCE SLABÉHO ŘEŠENÍ 39 Tedy, díky stejnoměrné konvexitě L ( (popř. lze dokázat i přímo díky hilbertovské struktuře je lim u(t u t + =. Poznamenejme, že ve dvou dimenzích máme díky Lemmatu..4 u C([, T ]; L,div (, a silná konvergence k počáteční podmínce plyne přímo. Ad g Nechť u, u jsou dvě různá řešení Navier Stokesových rovnic ve dvou dimenzích, příslušná počáteční podmínce u a pravé straně f. Potom ui, φ + ν i =,. Odečtením máme (u u + u i : φ dx +, φ + ν (u i u i φ dx = f, φ (u u : φ dx (u u u u φ dx =. Nyní si připomeňme, že rozdíl řešení u u L (, T ; (W,,div (N L (, T ; (L ( N. Analogicky jako v důkazu výše je možno ukázat, že též (u u L (, T ; (W,,div (, a tudíž u u C([, T ]; L,div( d dt u u = (u u, u u, viz Lemma..4. Funkce u u je dobrou testovací funkcí, po dosazení máme d dt u u + ν Přepišme pravou stranu a (u u dx = (u u u u (u u dx. (P.S. = ( u (u u (u u dx + } {{ } = (u u u (u u dx u u 4 u C u u (u u u.

40 4 KAPITOLA 3. SLABÉ ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH ROVNIC Máme tedy d dt u u + ν +C(ν u u u, (u u dx ν (u u což dává d dt u u + ν (u u dx C(ν u u u. Protože u nerovnosti L (, T a (u u ( =, plyne z Gronwallovy u u (t = s.v. na (, T, tj. u = u s.v. na (, T. 3. Rekonstrukce tlaku Cílem je zjistit, zda slabá formulace nezničila informaci o tlaku, tj. zda p D ((, T (popř. hladší tak, že u, φ + (u u φ dx + ν u : φ dx + p, φ = f, φ φ (C ( N a s.v. t (, T. (3.9 Obecně, pokud pouze f L (, T ; (W,,div, to není zřejmé a tlak nemusí existovat, viz např. článek [3]. Můžeme se pokusit použít pro f L (, T ; (W, ( N dříve dokázanou větu o existenci tlaku. Tedy uvažujme funkcionál u F, φ = f, φ + (u u φ dx + ν u : φ dx. Ale obecně není zřejmé, že F je distribuce! Důvodem je, že časová derivace u Lq (, T ; (W,,div (, ale nemáme žádnou informaci o tom, zda patří do L q (, T ; ((W, ( N. Poznámka. Při jiných okrajových podmínkách, např. pouze u n = (spolu s např. podmínkou smyku na hranici bychom měli φ (W, ( N = φ = φ }{{} + π, (W, ( N, div φ =, φ n= na u, π =, a teď je nutno ověřit, že φ je dobrá testovací funkce; při podmínkách u n = je to v pořádku a vše projde. Proto u je distribuce a můžeme použít lemma

41 3.. REKONSTRUKCE TLAKU 4 o existenci tlaku. Pro Cauchyův problém nebo periodické okrajové podmínky můžeme postupovat jinak. Použijeme-li na bilanci hybnosti operátor divergence (ve smyslu distribucí, získáme následující rovnici p = div f div div(u u. Ve výše zmíněných případech je tento problém v odpovídajících prostorech jednoznačně řešitelný. Na druhou stranu, pro např. Dirichletovy podmínky na rychlost, nám chybí okrajová podmínka pro výše uvedenou rovnici a postup tedy selže. Vidíme, že problém existence tlaku se v důsledku homogenních Dirichletových podmínek komplikuje. Platí nicméně Věta 3... Nechť u je slabé řešení Navier Stokesových rovnic zkonstruované Galerkinovou metodou, C,, N =, 3. Potom existuje P : (, T R tak, že P (t L ( t (, T a splňuje t ( ν u : χ dx = P (t div χ dx + u(t χ dx (u u χ dx + f, χ dτ u χ dx χ (W, ( N. Důkaz. Vezměme vztah pro Galerkinovu aproximaci, integrujme přes čas, časovou derivaci integrujme per partes: t Máme tedy t u m ( ν w i dx dτ = u m : w i dx u m (t w i dx u m ( w i dx. (u m u m w i dx + f, w i dτ = u m (t w i dx u m ( w i dx w i, i =,.., m. ( Limitním přechodem m připomeňme, že u patří do prostoru V = { v L (, T ; (W, ( N L (, T ; (L ( N ; v Lq (, T ; (W,,div } C([, T ]; (L,div w a dále w i χ máme F (χ = t { ν u(t χ dx + u : χ } (u u χ + f, χ dτ u χ dx = χ W,,div (.

42 4 KAPITOLA 3. SLABÉ ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH ROVNIC Navíc F (χ má smysl pro χ (W, ( N, t (, T, tedy díky Lemmatu.3.4 t (, T P (t L ( : F (χ = P (t div χ dx χ (W, ( N, N =, 3. Poznámka. Obecně není ale pravda, že P (t = t p(τ dτ, není zřejmé, že náš tlak je skutečně primitivní funkcí k hledanému tlaku. Tedy získaný výsledek není příliš uspokojivý. Pro případ, kdy je oblast hladká, je možné předchozí výsledek zesílit: 3 Věta 3... Nechť C, u L q (, T ; (L s ( N, div u = ve slabém smyslu, H i L q i (, T ; (L s i ( N, i =, jsou takové, že T u φ T dx dt = (H + H : φ dx dt (3. pro všechna φ (C ((, T N s div φ =. Potom existují skalární funkce p i L qi (, T ; L si (, i =, a skalární harmonická funkce p h L q (, T ; L s ( s p h L q (, T ; (L s ( N, s = Ns N s pro s < N, s [, pro s = N a s [, ] pro s > N taková, že T u φ T dx dt = (H + H : φ dx dt T T + (p + p div φ dx dt + p h φ (3. dx dt pro všechna φ (C ((, T N. Navíc p i L q i (,T ;L s i ( C H i L q i (,T ;(L s i ( N, i =,, p h Lq (,T ;(L s ( N C u Lq (,T ;(L s ( N. Poznámka. Tuto větu lze použít tak, že za H vezmeme u u a za H funkci ν u F, f = div F. Význam této věty spočívá v tom, že umožňuje uvažovat poměrně obecnou pravou stranu, na druhou stranu ale ukazuje, že tlak se obecně nechová tak, jak bychom mohli naivně očekávat. Důkaz. Zvolme t (, T libovolné takové, že t je Lebesgueův bod, tj. lim r + r v (L s ( N. Definujme pro i =, t +r t r H i (t = t u(τ dτ = u(t t H i (τ dτ. 3 Část věty lze dokázat i pro méně hladké oblasti, to ale vyžaduje poměrně hluboké výsledky z teorie regularity pro stacionární Stokesův problém pro oblasti s lipschitzovskou hranicí.

43 3.. REKONSTRUKCE TLAKU 43 Uvažujme následující Stokesovy problémy v i = π i div H i (t v, div v i = v, v i =. Díky regularitě Stokesova problému máme pro s.v. t a s.v. h (, T t h π i(t + h π i (t si C h H i (t + h H i (t si. Proto π i W,qi (, T ; L si ( a platí π i C H L q i (,T ;L s i L q i (,T ;L s i (. i ( Dále uvažujme Stokesův problém v h = π h + u(t u(t v, div v h = v, v h =. Opět, použitím regularity Stokesova problému a integrací přes čas máme π h Lq (,T ;L s ( C u Lq (,T ;L s (. Zřejmě též π h = na (, T. Sečtením úloh výše máme (v + v + v h = (π + π + π h div( H + H + u(t u(t. (3. Pokud ve (3. vezmeme φ n C ((, T N tak, že φ n φ, kde { ψ(x (C φ(τ, x = ( N τ (t, t τ (, T \ (t, t, máme (u(t u(t ψ dx = ( H + H : ψ dx pro všechna ψ (C ( N, div ψ = a tedy díky Lemmatu.3.4 existuje π L r (, r > tak, že u(t u(t = div( H + H + π v D (. (3.3 Proto z (3. a (3.3 plyne (v + v + v h = (π + π + π h π v, div(v + v + v h = v, v + v + v h = a z jednoznačnosti řešení stacionárního Stokesova problému (pro tlak až na aditivní konstantu máme, že Proto v D (, T kde p i = π i. v + v + v h = π + π + π h = π. p = π = p + p + p h,