Pružnost, pevnost, plasticita

Transkript

1 Pružnost, pevnost, plasticita Pracovní vere výukového skripta 22. února 2018 c Milan Jirásek, Vít Šmilauer, Jan Zeman České vysoké učení technické v Prae Fakulta stavební Katedra mechaniky Thákurova Praha 6

2 Kapitola 3 Ohyb Při ohybu docháí k akřivení původně přímé střednice prutu. 1 Může to být působeno např. příčným atížením nebo nerovnoměrnou měnou teploty. Typickým příkladem je vodorovný nosník atížený vlastní tíhou. Ohyb je pravidla doprováen smykem, jehož popis je náročnější a vyžaduje určité nalosti o přetváření pružných těles a obecné prostorové napjatosti, které ískáme až ve II. dílu. Proto se v této kapitole omeíme na analýu ohybu a účinky smyku probereme až ve III. dílu. Výklad ahájíme koumáním nejjednoduššího možného případu, kdy se celý nosník ohýbá rovnoměrně. Poté provedeme obecnění na nerovnoměrný ohyb kolem jedné hlavních os průřeu. Nakonec uvážíme i obecný případ tv. šikmého nebo složeného ohybu. Kombinované účinky ohybu a tahu nebo tlaku budou popsány až v následující kapitole. 3.1 Rovnoměrný ohyb K rovnoměrnému ohybu dojde, jestliže prut konstantního průřeu atížíme na koncích dvěma stejně velkými, ale opačně orientovanými momenty, které otáčejí kolem osy kolmé na střednici prutu. Pro jednoduchost uvažujme nejprve vodorovný přímý prut obdélníkového průřeu (obr. 3.1a). Osa x jako obvykle procháí střednicí prutu, osa y je vodorovná a osa svislá. Jestliže na konce prutu působí vnější momenty M otáčející kolem vodorovné osy y, střednice prutu se prohne ve svislé rovině x a konce prutu se vůči sobě pootočí o jistý úhel ϕ (obr. 3.1b). Naším nejbližším cílem bude popsat souvislost mei tímto úhlem a působícím momentem. Při rovnoměrném ohybu jsou všechny elementární segmenty prutu namáhány stejně (ohybový moment je po délce prutu konstantní). Proto se dá očekávat, že deformovaná střednice bude mít všude stejnou křivost, a bude tedy ležet na kružnici s jistým poloměrem R, kterému se říká poloměr křivosti (obr. 3.1b). Jak ukážeme poději, při ohybu se délka střednice nemění. Délka kruhového oblouku je obecně součinem poloměru a středového úhlu, takže v našem případě musí platit R ϕ = L (3.1) kde ϕ je středový úhel (který ároveň odpovídá vájemnému pootočení koncových průřeů) a L je délka prutu v nedeformovaném stavu. Pomyslné vlákno materiálu ležící 1 Někdy je již v neatíženém stavu střednice prutu akřivená, např. u oblouků. Při ohybu pak docháí ke měně původní křivosti. 45

3 46 KAPITOLA 3. OHYB (a) (b) (c) L Δφ poloměr křivosti R Δφ R + y x M neměněná délka střednice L = R Δφ M M nová délka vlákna L + ΔL = (R + ) Δφ M Obráek 3.1: (a) Přímý prut o délce L a lokální soustava souřadnic, (b) deformovaný tvat prutu při rovnoměrném ohybu, (c) protažení podélného vlákna. na střednici prutu si při ohybu achová původní délku, a jeho protažení je tedy nulové. Z obr. 3.1c je ale jasné, že obecné vlákno rovnoběžné se střednicí se protáhne nebo krátí, protože se po deformaci ocitne na kruhovém oblouku s větším nebo menším poloměrem než R. Pokud předpokládáme, že příčné roměry prutu se při ohybu nijak výnamně nemění, ocitne se obecné vlákno na oblouku o poloměru R +, kde je svislá souřadnice všech bodů tohoto vlákna v nedeformovaném stavu. Středový úhel ϕ je pro všechna vlákna stejný, takže délku deformovaného vlákna vypočteme jako (R + ) ϕ a s využitím vtahu (3.1) vyjádříme jeho (absolutní) protažení L() = (R + ) ϕ L = ϕ (3.2) Při rovnoměrném ohybu se každé podélné vlákno protáhne rovnoměrně a jeho poměrné protažení spočteme snadno jako ε() = L() L = ϕ R ϕ = R (3.3) Jak je vidět výsledného vtahu, poměrné protažení vlákna je přímo úměrné vdálenosti tohoto vlákna od vodorovné těžišťové osy a nepřímo úměrné poloměru křivosti. Původní nedeformovaný stav odpovídá nekonečnému poloměru křivosti a při rostoucí deformaci prutu poloměr křivosti klesá. Proto je vhodnější jako míru deformace použít místo poloměru křivosti jeho převrácenou hodnotu κ = 1 R (3.4) které se říká křivost prutu a vyjadřuje se v jednotkách m 1, neboli 1/m. Vtah (3.3) pak můžeme přepsat do tvaru ε() = κ (3.5) Protažení vláken ohýbaného prutu je tedy přímo úměrné křivosti. Čím víc se prut křiví, tím víc se jednotlivá vlákna protahují. Kladné naménko křivosti odpovídá případu achycenému na obr. 3.1b, kdy se dolní vlákna protahují a horní kracují. Rovnice (3.4) představuje definici křivosti jakožto převrácené hodnoty poloměru křivosti. S využitím vtahu (3.1) můžeme vorec pro křivost přepsat jako κ = ϕ L (3.6)

4 3.1. ROVNOMĚRNÝ OHYB 47 Křivost prutu se tedy (v případě rovnoměrného ohybu) vypočte jako vájemné pootočení konců prutu dělené jejich vdáleností. Tento vorec je formálně podobný vorci (2.3) pro poměrné protažení při rovnoměrném tahu nebo tlaku, ve kterém se vájemný posun konců prutu dělí jejich vdáleností. Poměrné protažení le interpretovat jako vájemný posun průřeů o jednotkové vdálenosti, atímco křivost představuje vájemné pootočení průřeů o jednotkové vdálenosti. Dalším krokem bude výpočet napětí a následně ohybového momentu jakožto výslednice napětí. Jednotlivá podélná vlákna se rovnoměrně protahují nebo kracují, přičemž v příčném směru na ně žádné napětí nepůsobí. V každém vláknu tedy vniká jednoosá napjatost a napětí ve směru vlákna le vyjádřit pomocí Hookeova ákona (2.5) jako σ = Eε. Po vyjádření poměrného protažení podle rovnice (3.5) dostaneme pro napětí vtah σ() = Eε() = Eκ (3.7) Podobně jako poměrné protažení, i napětí je úměrné vdálenosti vlákna od vodorovné těžišťové osy (tj. osy rovnoběžné s osou y, na níž je souřadnice rovna nule). Na této ose je napětí nulové, pod ní je (při kladné křivosti κ) napětí kladné, tedy tahové, a nad ní je napětí áporné, tedy tlakové. Přímku spojující body s nulovým napětím obecně naýváme neutrální osa. Tato osa dělí průře na taženou a tlačenou část. Podle vorce (3.7) napětí neávisí na souřadnicích x ani y, je tedy konstantní po délce prutu a po šířce průřeu. Roložení napětí po výšce průřeu je lineární a je graficky náorněno na obr Prut je na obráku myšleně rořínut na dvě části a jejich vájemné působení je popsáno právě napětím. M σ() M Obráek 3.2: Lineární roložení napětí po výšce průřeu. Jakmile je námo roložení napětí v rámci daného průřeu, je možné přejít k výpočtu odpovídajících vnitřních sil, které jsou jeho výslednicí. V daném případě je jedinou nenulovou vnitřní silou ohybový moment M, otáčející kolem vodorovné těžišťové osy. 2 Při jeho výpočtu rodělíme obdélníkový průře o šířce b a výšce h na nekonečně mnoho nekonečně tenkých vodorovných proužků. Na každém takovém proužku má souřadnice konstantní hodnotu, a proto je de podle (3.7) konstantní i normálové napětí, vi obr. 3.2c. Výslednicí normálového napětí na proužku o šířce b a výšce d je síla o velikosti σ() b d, náorněná na obr. 3.4b, která k uvažované ose působí na rameni a její příspěvek k ohybovému momentu M je tudíž σ() b d. Posčítáním příspěvků všech proužků ískáme ohybový moment. Jelikož proužků je nekonečně mnoho a jsou nekonečně malé, sčítání příspěvků se apíše pomocí integrálu: M = h/2 h/2 σ()b d (3.8) 2 Přesněji řečeno jde o jeden ohybových momentů, který by se přesněji onačil jako M y, protože v průřeu může obecně vniknout i ohybový moment kolem svislé osy, načený M. V této kapitole se však setkáme poue s momentem M y a pro jednoduchost jej načíme M.

5 48 KAPITOLA 3. OHYB (a) (b) y x h b d σ() y x h b d σ() b d Obráek 3.3: (a) Napětí na nekonečně tenkém vodorovném proužku a (b) jeho výslednice. Odvoený vorec platí pro libovolné roložení normálového napětí po výšce průřeu, popsané funkcí σ(). V našem případě je konkrétní podoba této funkce dána vtahem (3.7) a po dosaení a vyhodnocení integrálu dostaneme M = h/2 h/2 [ h/2 Eκb d = Eκb 2 3 d = Eκb h/2 3 ] h/2 h/2 = Eκb h3 12 = Ebh3 12 κ (3.9) Výsledný vorec ukauje, že ohybový moment je přímo úměrný křivosti. Konstantou úměrnosti je de veličina Ebh 3 /12, která ávisí na modulu pružnosti materiálu a roměrech průřeu. min y b() T d max Obráek 3.4: Průře obecného tvaru, symetrický podle svislé osy. Předchoí odvoení bylo provedeno a předpokladu, že průře má tvar obdélníka. Pro průře obecného tvaru však stačí malá úprava. Opět si představíme průře rodělený na nekonečně tenké vodorovné proužky, ale šířka jednotlivých proužků už není konstantní. Obecně můžeme napsat, že šířka průřeu b() je funkcí svislé souřadnice. Polohu vodorovné osy y volíme opět tak, aby procháela těžištěm průřeu, vi obr Vdálenost horních vláken od této osy nemusí být stejná jako vdálenost dolních vláken. Proto onačíme svislou souřadnici horních vláken jako min a svislou souřadnici dolních vláken jako max. Při sčítání příspěvků jednotlivých proužků integrujeme v meích od min do max a místo konstanty b použijeme funkci b(). Ohybový moment pak bude

6 3.1. ROVNOMĚRNÝ OHYB 49 vyjádřen jako M = max min σ()b() d = max min max Eκb() d = Eκ 2 b() d (3.10) min Abychom vyhodnotili integrál na pravé straně, musíme nát tvar a roměry průřeu, tedy konkrétní podobu funkce b(). Tento integrál popisuje důležitou veličinu, která je jednou e ákladních geometrických charakteristik průřeu (nebo obecně jakéhokoliv rovinného obrace). Jedná se o moment setrvačnosti k ose y, který onačíme I (poději ho budeme načit I y, abychom ho odlišili od momentu setrvačnosti k ose ). Platí tedy I = a rovnici (3.10) můžeme přepsat jako max min 2 b() d (3.11) M = EI κ (3.12) Odvoený vorec ukauje, že pro průře obecného tvaru je konstantou úměrnosti mei ohybovým momentem a křivostí veličina EI, která představuje ohybovou tuhost průřeu. Tato veličina je součinem modulu pružnosti E a momentu setrvačnosti I. Závisí jak na materiálu, tak i na tvaru a roměrech průřeu. Pro obdélníkový průře o šířce b a výšce h byl moment setrvačnosti I = bh 3 /12 vyhodnocen při výpočtu integrálu v (3.9). Ukažme si odvoení vorců platných pro některé další obrace. PŘÍKLAD 3.1 Vypočtěte moment setrvačnosti rovnoramenného trojúhelníka o ákladně a a výšce h na obr. 3.5a. Řešení: Pro rovnoramenný trojúhelník na obr. 3.5a se šířka průřeu mění lineárně od nulové hodnoty pro min = 2h/3 do hodnoty a pro max = h/3, což le popsat funkcí b() = min a = max min Po dosaení do (3.11) a integraci dostaneme I = = a h h/3 2 a 2h/3 h [ h3 9 ( 2 3 h ) h ( + 2h ) d = a h/3 3 h ] h/3 2h/3 = ah3 36 2h/3 a = a h ( ( + 2h ) h2 3 ) (3.13) d = (3.14) (3.15) PŘÍKLAD 3.2 Vypočtěte moment setrvačnosti kruhu o poloměru R na obr. 3.5b. Řešení: Poloviční šířka průřeu ve vodorovném řeu o souřadnici je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka, jehož druhou odvěsnou je a přeponou R. Podle Pythagorovy věty je tedy ( ) b() = R 2 (3.16) 2 a šířku průřeu můžeme vyjádřit jako b() = 2 R 2 2 (3.17)

7 50 KAPITOLA 3. OHYB a) b) y T y T R a Obráek 3.5: (a) Průře ve tvaru rovnoramenného trojúhelníka, (b) kruhový průře. Po dosaení do (3.11) dostaneme R I = 2 2 R 2 2 d (3.18) R Při výpočtu integrálu použijeme substituci = R sin α, d = R cos α dα: π/2 I = 2 = R4 2 = πr4 4 π/2 π/2 π/2 R 2 sin 2 α π/2 R 2 R 2 sin 2 α R cos α dα = 2R 4 sin 2 α cos 2 α dα = sin 2 2α dα = R4 4 π/2 π/2 (1 cos 4α) dα = R4 4 π/2 [α 1 4 sin 4α ] π/2 π/2 = (3.19) Všimněte si, že moment setrvačnosti roměrově odpovídá čtvrté mocnině délky (vyjadřuje se například v m 4 nebo mm 4 ). Tabulka vorců pro výpočet momentů setrvačnosti i dalších průřeových charakteristik ákladních rovinných obraců je uvedena v Dodatku A. Ukáali jsme, že při rovnoměrném ohybu prutu le míru jeho křivení charakteriovat veličinou vanou křivost, která je podle vtahu (3.6) dána poměrem vájemného pootočení konců prutu a délky prutu. K rovnoměrnému ohybu dojde, pokud na protilehlé konce prutu působíme stejně velkými, ale opačně orientovanými osamělými momenty M, které otáčejí kolem osy y kolmé na střednici prutu. Ohybový moment M je pak konstantní po délce prutu a je roven M. Za předpokladu lineárně pružného chování materiálu je přímo úměrný křivosti podle vtahu (3.12). Z těchto úvah vyplývá, že abychom konce prutu vájemně pootočili o ϕ, musíme na jeho konce působit momenty o velikosti M = M = EIκ = EI ϕ L = EI ϕ (3.20) L Ve výsledném vtahu se objevil lomek EI/L, představující konstantu úměrnosti mei vájemným pootočení konců prutu ϕ a momentem M, který toto pootočení působil. Tato veličina hraje při ohybu podobnou roli jako normálová tuhost prutu EA/L při

8 3.1. ROVNOMĚRNÝ OHYB 51 tahu nebo tlaku. Proto je logické ji onačit a ohybovou tuhost prutu. 3 V tab. 3.1 je uveden přehled dosud probraných veličin, které charakteriují tuhost na úrovni materiálu, průřeu a prutu. Tabulka 3.1: Veličiny charakteriující růné typy tuhosti. tuhost normálová ohybová materiálu E E průřeu EA EI prutu EA/L EI/L PŘÍKLAD 3.3 Pan Kutil si vyrobil vyhlídkovou věž: lešenářskou trubku o vnějším průměru D = 48,3 mm a tloušťce stěny t = 3,2 mm abudoval do betonového ákladu a ve výšce 3 m na ni navařil vodorovnou plošinu. Jak se s ním tato plošina pootočí, jestliže si na ni stoupne tak, že jeho těžiště bude vdáleno o 0,5 m od osy trubky? 0,5m 1,2 kn M φ 3 m 0,6 knm Obráek 3.6: Geometrie Kutilovy věže, průběh ohybového momentu a pootočení plošiny. Řešení: Předpokládejme, že pan Kutil je úctyhodné těleso o hmotnosti m = 120 kg. Pokud na plošině příliš neposkakuje, působí na ni svislou silou F = mg = 1,2 kn a při excentricitě e = 0,5 m vnikne v trubce po celé její délce ohybový moment M = F e = 0,6 knm. Docháí tedy k rovnoměrnému ohybu, vi obr Trubka má průře ve tvaru meikruží s vnějším poloměrem R 1 = D/2 = 24,15 mm a vnitřním poloměrem R 2 = D/2 t = 20,95 mm. Odpovídající moment setrvačnosti k těžišťové ose vypočteme s využitím vorce (3.19) tak, že od momentu setrvačnosti kruhu s poloměrem R 1 odečteme moment setrvačnosti kruhu s poloměrem R 2 : I = πr4 1 4 πr4 2 4 = π 4 [ (24,15) 4 (20,95) 4] mm 4 = 115, mm 4 (3.21) Trubka je řejmě ocelová, takže a Youngův modul pružnosti dosadíme E = 210 GPa. Ohybová tuhost uvažovaného průřeu je EI = , Nm 2 = 24,33 knm 2 (3.22) 3 Při analýe prutových konstrukcí deformační metodou se historických důvodů a ohybovou tuhost považuje dvojnásobek poměru EI/L, protože se tak mírně jednoduší ápis vtahů mei momenty působícími na konce prutů a pootočením konců. V tomto skriptu však budeme ohybovou tuhost chápat jako poměr EI/L.

9 52 KAPITOLA 3. OHYB a proto ohybový moment M = 0,6 knm vede ke křivosti κ = M EI = 0,6 24,33 m 1 = 24, m 1 (3.23) Pokud křivost vynásobíme délkou prutu, dostaneme vájemné pootočení jeho konců ϕ = Lκ = 3 24, = 73, (3.24) Jelikož dolní konec prutu se neotáčí (je vetknutý), výsledek ároveň odpovídá pootočení horního konce, tedy i vyhlídkové plošiny s panem Kutilem. Hodnota pootočení je beroměrná a odpovídá úhlu vyjádřenému v radiánech. Plošina se pootočí o 74 mrad (miliradiánů), tedy hruba o 4 úhlové stupně. Vraťme se ještě k rovnicím (3.5) a (3.7), které popisují lineární roložení poměrného protažení a napětí po výšce průřeu. Při jejich použití je třeba dosadit hodnotu křivosti. Často je místo křivosti nám ohybový moment, e kterého je samořejmě možno křivost vypočítat na ákladě vtahu (3.12). Pro větší pohodlí je užitečné odvodit vorce pro přímý výpočet poměrného protažení a napětí ohybového momentu. Jestliže e (3.12) vyjádříme křivost jako κ = M EI a pak dosadíme do (3.5) a (3.7), dostaneme po jednoduché úpravě vorce (3.25) ε() = M EI (3.26) σ() = M I (3.27) Všimněte si, že při výpočtu napětí ohybového momentu stačí nát moment setrvačnosti průřeu, ale na modulu pružnosti (tedy na použitém materiálu) výsledná hodnota napětí neávisí. Pokud nás ajímá maximální tahové napětí a ohybový moment je kladný, dosadíme a souřadnici její maximální hodnotu max, neboli vdálenost dolního okraje průřeu od těžišťové osy y. Extrémní napětí pak můžeme vyjádřit jako kde σ max = M I max = M W e (3.28) W e = I max (3.29) je pružný průřeový modul. Tato veličina je ávislá poue na geometrii průřeu, protože se určí momentu setrvačnosti I a vdálenosti max. Pro obdélníkový průře o šířce b a výšce h je I = bh 3 /12 a max = h/2, takže W e = bh3 /12 h/2 = bh2 6 (3.30) PŘÍKLAD 3.4 Zjistěte, při jaké volbě stran b a h ískáme vyřínutím kruhu o průměru d obdélníkový průře s největším pružným průřeovým modulem W e.

10 3.1. ROVNOMĚRNÝ OHYB 53 d y h b Obráek 3.7: Obdélníkový průře vepsaný do kruhu. Řešení: Pro obdélník vepsaný do kruhu podle obr. 3.7 platí, že jeho úhlopříčka b 2 + h 2 je rovna průměru kruhu d. Pro libovolnou šířku obdélníka b (mei 0 a d) tedy můžeme vyjádřit výšku jako h 2 = d 2 b 2 (3.31) a odpovídající průřeový modul obdélníkového průřeu pak je W e = bh2 6 = 1 ( bd 2 b 3) (3.32) 6 Průměr d je pevně dán, ale šířku b můžeme volit, takže považujeme W e a funkci b a hledáme její maximum. Z podmínky nulové první derivace dw e db = 1 ( d 2 3b 2) = 0 (3.33) 6 dostaneme optimální šířku 4 b = 1 3 d d (3.34) Odpovídající výška je h = d 2 b 2 = d 2 d2 3 = 2 d d (3.35) 3 Optimální poměr stran vycháí jako b/h = 1/ 2 0,707, tedy přibližně 5:7. Je ajímavé, že při maximaliaci průřeového modulu nevyjde jako optimální tvar čtverec (ten by měl největší plochu), ale obdélník protáhlý ve svislém směru. Souvisí to s tím, že průřeový modul W e je úměrný druhé mocnině výšky h, ale jen první mocnině šířky b. Dřevěné průřey na krokve a vanice mají často právě tento poměr stran, například 100/140 či 120/160. Na ávěr našeho prvního senámení s ohýbaným prutem je užitečné shrnout nejdůležitější odvoené vtahy a ukáat, jaké souvislosti mei jednotlivými veličinami popisují. To je náorně provedeno na obr Šipky de nanačují, jak se jedné veličiny dá vypočítat druhá. Takový diagram poskytuje ucelenou představu o struktuře rovnic 4 Podmínka nulové derivace může být obecně splněna i jinde než v bodě, kde funkce dosahuje maxima, a navíc hledáme váaný extrém na intervalu [0,d]. Při čistě formálním matematickém přístupu bychom proto měli provést podrobnější analýu. Z náorného výnamu úlohy je ale řejmé, že maxima musí být dosaženo někde uvnitř intervalu [0,d], takže naleené řešení je cela jistě správné.

11 54 KAPITOLA 3. OHYB Δφ M M = M M = E I κ M Obráek 3.8: Struktura rovnic popisujících rovnoměrně ohýbaný prut. platných v rámci dané teorie. Vždy je ale třeba mít na paměti, a jakých předpokladů byly ty které rovnice odvoeny. Vtahy na obr. 3.8 jsou platné pro rovnoměrně ohýbaný prut. 3.2 Jednoduchý ohyb Zachování rovinnosti průřeu a jeho důsledky Pokud se po délce prutu mění ohybový moment nebo ohybová tuhost, není ohyb rovnoměrný a vtahy odvoené v předchoím článku je třeba vhodně obecnit. Proatím předpokládejme, že vodorovný nosník se střednicí na ose x má průře symetrický podle svislé osy a je atížen svislými silami působícími v rovině x. Vhledem k symetrii se prut bude prohýbat poue svisle a dojde k tv. jednoduchému ohybu. 5 Základním předpokladem obvyklé teorie ohýbaných prutů je hypotéa o achování rovinnosti průřeu. Průřeem roumíme rovinný obraec, který vnikne jako průnik nedeformovaného prutu (chápaného jako trojroměrné těleso) s libovolnou rovinou kolmou na jeho střednici. Při deformaci se jednotlivé body prutu posouvají a jejich vdálenosti se obecně mění. Na ákladě poorování, měření a podrobnějších výpočtů le v řadě případů předpokládat, že všechny body prutu ležící před deformací v jednom rovinném průřeu se po deformaci ocitnou opět v jedné rovině (která samořejmě není totožná s původní rovinou, ale může být vůči ní posunutá a pootočená). Jednoduše le tento předpoklad formulovat tak, že průře ůstává i po deformaci rovinný, vi obr Jde o přibližný předpoklad, který jednodušuje výpočty, ale vnáší do nich určitou chybu. Pro štíhlé ohýbané pruty je vniklá chyba obvykle velmi malá, tudíž anedbatelná. V některých jiných případech ale může docháet k výrané trátě rovinnosti průřeu a hypotéu o achování rovinnosti průřeu nele použít. Taková situace může nastat např. při smykovém namáhání prutů s malým poměrem ropětí ku průřeovým roměrům, nebo při kroucení prutů s průřeem, který není rotačně symetrický (tj. s průřeem jiného tvaru než kruh a meikruží). V této kapitole a několika následujících budeme hypotéu o achování rovinnosti používat. Podle hypotéy o achování rovinnosti ůstanou krajní průřey každého elementárního segmentu po deformaci rovinné, ale obecně se vůči sobě posunou a pootočí. 5 Přesná definice jednoduchého ohybu bude podána poději, až se senámíme s pojmem šikmého nebo složeného ohybu.

12 3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 55 Výchoí tvar Δx φ Deformovaný tvar Obráek 3.9: Zachování rovinnosti průřeů při ohybu. Komentář: Ještě by se hodil obráek jednoho vyjmutého segmentu před deformací a po deformaci, s okotováním počáteční délky x a vájemného pootočení konců δϕ. Při ohybu ve svislé rovině se tyto průřey vájemně pootočí kolem osy y (vodorovné osy kolmé na střednici). Pro segment o konečné délce x bychom vájemné pootočení jeho okrajů mohli onačit ϕ, jak je vynačeno v pravé části obr Podobně jako jsme pro rovnoměrně ohýbaný prut definovali křivost κ podle (3.6) jako poměr vájemného pootočení konců prutu a délky prutu, pro elementární segment ji definujeme jako vájemné pootočení koncových průřeů segmentu dělené délkou tohoto segmentu, tedy jako ϕ/ x. Jestliže se délka segmentu limitně blíží nule, přejde tento poměr v derivaci funkce ϕ(x) (popisující pootočení jednotlivých průřeů) podle souřadnice x (měřené podél střednice prutu): ϕ κ(x) = lim x 0 x = dϕ(x) dx (3.36) Výsledný vtah mei funkcí ϕ(x) popisující pootočení jednotlivých průřeu a funkcí κ(x) popisující křivosti jednotlivých elementárních segmentů tedy můžeme stručně apsat jako κ(x) = ϕ (x) (3.37) Tento vtah je obecněním rovnice (3.6), platné v případě rovnoměrného ohybu. Při nerovnoměrném ohybu se křivost mění po délce prutu. Pro rovnoměrný ohyb jsme ukáali, že křivosti le určit poměrné protažení libovolného vlákna rovnoběžného se střednicí prutu, vi (3.5). Obdobný vtah ε(x,) = κ(x) (3.38) platí i při nerovnoměrném ohybu ve svislé rovině x, ale jelikož se křivost obecně mění po délce prutu, je poměrné protažení funkcí nejen souřadnice, ale i souřadnice x. Po výšce průřeu je poměrné protažení stále roloženo lineárně a totéž platí i pro napětí, které ískáme po přenásobení modulem pružnosti: σ(x,) = Eε(x,) = Eκ(x) (3.39) Výslednicí napětí v pevně voleném průřeu je opět ohybový moment, který ale už obecně není konstantní po délce prutu. Nicméně vtah (3.12) mei ohybovým momentem a křivostí ůstává v platnosti, jen je třeba M i κ uvažovat jako funkce souřadnice x. Stejně tak i moment setrvačnosti může být funkcí souřadnice x, pokud se roměry či tvar průřeu mění po délce prutu. Vtah (3.12) tedy přepíšeme jako M(x) = EI(x)κ(x) (3.40)

13 56 KAPITOLA 3. OHYB Modul pružnosti materiálu E de uvažujeme pro jednoduchost jako konstantní, ale v případě proměny materiálových vlastností podél prutu by nebyl problém nahradit konstantu E funkcí E(x). Na ákladě rovnice (3.40) le vypočítat ohybový moment, který vede k dané křivosti. Jestliže je naopak moment již určen na ákladě jiných vtahů (např. úvah o rovnováe), můžeme této rovnice snadno vyjádřit křivost κ(x) = M(x) EI(x) (3.41) a tu dosadit do vtahů (3.38) a (3.39). Získáme tak vorce ε(x,) = κ(x) = M(x) EI(x) (3.42) σ(x,) = Eκ(x) = M(x) I(x) (3.43) které ukaují, jak vypočítat hodnoty poměrného protažení a napětí v libovolném bodu prutu na ákladě námého průběhu ohybového momentu. Jde o jednoduché obecnění vtahů (3.26) a (3.27) na případ, kdy se ohybový moment mění po délce prutu. Hodnoty poměrného protažení a napětí pak ávisejí na souřadnicích x a, tj. mění se po délce prutu i po výšce průřeu. Jejich proměna po délce prutu ávisí na průběhu ohybového momentu a případné proměně průřeu. V každém pevně voleném průřeu je roložení poměrného protažení a napětí po výšce lineární. Podobně le obecnit i vorec (3.28) pro výpočet největšího napětí v jednotlivých průřeech. V případě proměnného průřeu se může i vdálenost krajních vláken od těžištové osy po délce prutu měnit a je obecně funkcí souřadnice x. Při namáhání kladným ohybovým momentem se největší tahové napětí v jednotlivých průřeech vyjádří jako kde σ max (x) = M(x) I(x) max(x) = W e,d (x) = I(x) max (x) M W e,d (x) (3.44) (3.45) je pružný průřeový modul pro výpočet napětí v dolních vláknech. Podobně bychom mohli avést i pružný průřeový modul pro výpočet napětí v horních vláknech, W e,h (x) = I(x) min (x) (3.46) a vyjádřit extrémní tlakové napětí jako σ min (x) = M(x) I(x) min(x) = M W e,d (x) (3.47) Záporné naménko jsme do (3.46) ařadili proto, že souřadnice horních vláken min je áporná a průřeový modul W e,h chceme uvažovat jako kladnou veličinu. Zjišťujeme-li, kde v prutu vniká největší tahové napětí, je třeba maximaliovat podíl M(x)/W e,d (x) po délce prutu. Pokud je ovšem v části prutu ohybový moment áporný, musíme de podíl M(x)/W e,d (x) nahradit podílem M(x)/W e,h (x). Pro prut

14 3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 57 konstantního průřeu se postup jednodušuje na vyhledání průřeu s maximálním ohybovým momentem (a předpokladu, že moment je všude neáporný). PŘÍKLAD 3.5 Konola o vyložení 3 metry je vyrobena válcovaného ocelového profilu IPE 300. Jaké největší tahové napětí v ní vnikne od vlastní tíhy? f L=3 m Obráek 3.10: Konola atížená vlastní tíhou. Řešení: Zatížení vlastní tíhou odpovídá rovnoměrnému spojitému atížení, jehož intenita f vyjadřuje vlastní tíhu na jednotku délky a spočítá se jako měrná objemová tíha materiálu vynásobená obsahem průřeové plochy A. Měrná objemová tíha je přitom součinem hustoty ρ (tedy měrné hmotnosti) a gravitačního rychlení g. Při obecném řešení dané úlohy vyjádříme intenitu atížení jako f = ρga (3.48) Na konole atížené rovnoměrně vniká extrémní ohybový moment ve vetknutí. Při důsledném použití naménkové konvence námé e stavební mechaniky je tento moment áporný, protože jsou tažena horní vlákna. Velikost momentu vypočteme jako součin výslednice atížení f L a ramene L/2. Jestliže umístíme počátek souřadnic do těžiště vetknutého průřeu, odpovídá tomuto průřeu souřadnice x = 0 a odpovídající ohybový moment apíšeme jako M(0) = f L L 2 = 1 2 f L 2 (3.49) Při áporném momentu vniká extrémní tahové (tedy kladné) napětí v tom místě průřeu, které má nejvíce ápornou hodnotu souřadnice. Jedná se tedy o horní vlákna, která jsou pro daný (symetrický) průře ve vdálenosti poloviny výšky od vodorovné těžišťové osy. Za extrémní hodnotu souřadnice proto dosadíme Odpovídající maximální napětí se pak vyjádří jako Po dosaení e (3.48) (3.50) ískáme výsledný vorec min = h/2 (3.50) σ max = M(0) min (3.51) I σ max = ρgal2 h 4I (3.52) Takovéto obecné řešení umožňuje popsat, na jakých vstupních údajích ávisí výsledek. To je užitečné při úvahách o tom, jakým působem le ovlivnit koumanou veličinu, v našem případě extrémní tahové napětí. Vidíme například, že při dvojnásobném ropětí nosníku bude napětí čtyřnásobné. Kdybychom nosník umístili na povrch Měsíce, bylo by v důsledku nižšího gravitačního rychlení napětí asi šestkrát menší než na Zemi. Pokud nás místo takových obecných úvah ajímá konkrétní výsledek, je vhodné průběžně dosaovat do jednotlivých vorců, abychom kromě extrémního napětí ískali

15 58 KAPITOLA 3. OHYB představu i o dalších veličinách, např. extrémním momentu. Pro případ specifikovaný v adání dosadíme hustotu oceli jako ρ = 7850 kg/m 3, gravitační rychlení stačí uvažovat přibližnou hodnotou g = 10 m/s 2 a pro válcovaný průře IPE 300 o výšce h = 300 mm najdeme v tabulkách (např. na obsah A = 5380 mm 2 a moment setrvačnosti I = 83, mm 4. Vyložení konoly bylo adáno jako L = 3 m. Po postupném dosaení do (3.48) (3.51) vyjde f = ρga = N/m = 422 N/m (3.53) M(0) = 1 2 f L 2 = Nm = 1900 Nm = 1,9 knm (3.54) min = h/2 = 300/2 mm = 150 mm = 0,15 m (3.55) σ max = M(0) I min = , ( 0,15) Pa = 3, Pa = 3,41 MPa (3.56) Pro konolu uvažovanou v právě vyřešeném příkladu můžeme podle vorců (3.42) a (3.43) snadno vypočítat poměrné přetvoření a napětí v libovolném bodu. S využitím vtahu (3.37) mei křivostí a pootočením můžeme určit také pootočení libovolného průřeu. PŘÍKLAD 3.6 Pro konolu příkladu 3.5 vypočtěte pootočení volného konce. L=3 m f φ(l) Obráek 3.11: Pootočení konce konoly. Řešení: Popišme nejprve hlavní kroky výpočtu. Pro konolu le průběh ohybových momentů stanovit elementárními metodami statiky (vi Stavební mechanika 1 a 2) a dosaením do (3.41) najít odpovídající průběh křivosti po délce prutu. Podle vtahu (3.37) je křivost rovna derivaci pootočení. Integrací této funkce přes volený interval můžeme ískat rodíl mei hodnotami pootočení na konci a na ačátku tohoto intervalu. Jestliže integrujeme křivost po celé délce prutu, ískáme vájemné pootočení jeho konců. Jelikož na konole je pootočení vetknutého konce nulové, odpovídá výsledek přímo hledanému pootočení volného konce. Nyní můžeme popsaný postup aplikovat na konkrétní adání. Umístíme-li (stejně jako v předchoím příkladu) počátek souřadnic do vetknutého průřeu, je průběh ohybového momentu od vlastní tíhy popsán kvadratickou funkcí M(x) = f L 2 + f Lx f x a odpovídající křivost je podle (3.41) = f 2 ( L2 + 2Lx x 2 ) = f 2 (L x)2 (3.57) κ(x) = M(x) EI(x) = f 2EI (L x)2 (3.58)

16 3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 59 Po dosaení do (3.37) dostaneme a po integraci ϕ(l) ϕ(0) = L 0 = f 2EI ϕ (x) = f 2EI (L x)2 (3.59) f 2EI (L2 2Lx + x 2 ) dx = f [ 2EI ( ) L 3 = f L 3 3 6EI L 2 x Lx 2 + x3 3 ] L 0 = (3.60) Pro vetknutý průře x = 0 je pootočení ϕ(0) nulové, takže výsledný výra na pravé straně (3.60) představuje hledané pootočení pravého konce ϕ(l) = f L 3 6EI (3.61) Záporné naménko svědčí o tom, že při vetknutí levého konce a atížení vlastní tíhou se volný pravý konec konoly pootočí v áporném smyslu, tedy po ručičkách. To je v souladu s náornou představou o deformovaném tvaru konoly. Při dosaování konkrétních hodnot nejprve vyčíslíme ohybovou tuhost průřeu EI = , Nm 2 = 17, Nm 2 = 17,556 MNm 2 (3.62) Použili jsme přitom modul pružnosti oceli E = 210 GPa a moment setrvačnosti I = 83, mm 4 podle tabulek. Dále dosadíme f = 422 N/m a L = 3 m a podle (3.61) vyhodnotíme ϕ(l) = 6 17, = 0, (3.63) Volný konec konoly se pootočí v áporném smyslu o 0,108 mrad. Jde skutečně o velmi malý úhel, takže předpoklad malých rotací je cela oprávněný. PŘÍKLAD 3.7 Vypočtěte extrémní hodnoty normálového napětí na dřevěném nosníku obr Nosník je atížen spojitým atížením a dvěma osamělými silami, průře je obdélník o roměrech mm. Posuďte únosnost nosníku pro adanou pevnost dřeva v tahu f t = 12 MPa a v tlaku f c = 14 MPa.Komentář: Je v pořádku počítat únosnost podle pružnosti? Nepoužívají se pro dřevo mení stavy? Řešení: Jelikož je daný nosník staticky určitý, reakce a průběhy vnitřních sil na obr snadno ískáme postupem námým předmětů Stavební mechanika 1 a 2. Nosník má konstantní průře, takže největší normálové napětí vnikne v průřeu s největším ohybovým momentem M max =14,05 knm. Podle (3.30) se průřeový modul obdélníkového průřeu vypočte jako W e = bh2 6 = 0,16 0,242 m 3 6 = 1, m 3 (3.64) Tahové napětí vniká v dolních vláknech a jeho maximální hodnota vypočtená podle vorce (3.28) je σ max = 14, Nm 1, m = 9, Pa = 9,15 MPa (3.65)

17 60 KAPITOLA 3. OHYB a 0 7,9 kn 2 m 0,9 kn 0,9 kn 2 kn/m 3 m 7 m 2 m b 7,9 kn mm 7,9 V [kn] M [knm] + 3,9 3,0 11,8 + 14,05-3,0-3,9 11,8-7,9 σ -9,15 MPa N.O. + 9,15 MPa 14,05 knm Obráek 3.12: Prostý nosník a jeho atížení. Vnitřní síly na nosníku (posouvající síla V a ohybový moment M) a roložení normálového napětí v nejvíce namáhaném průřeu. Extrémní tlakové napětí vniká v horních vláknech a jeho absolutní hodnota je vhledem k symetrii průřeu podle vodorovné osy stejná jako hodnota extrémního tahové napětí (všimněte si, že neutrální osa procháí při ohybu těžištěm). Vypočtené napětí nepřekračuje adanou pevnost dřeva v tahu ani v tlaku, nosník tedy vyhoví. PŘÍKLAD 3.8 Symetrický nosník s převislými konci na obr má ropětí hlavního pole L = 6 m. Navrhněte délky převislých konců D tak, aby extrémní momenty vniklé při rovnoměrném příčném atížení měly stejnou velikost a došlo k efektivnímu využití nosníku (a předpokladu stejného chování materiálu v tahu i v tlaku). Poté stanovte maximální atížení nosníku q tak, aby napětí v ocelovém válcovaném průřeu IPN 200 vypočtené a předpokladu lineárně pružného chování nepřekročilo f Y = 200 MPa. Řešení: Pro rovnoměrné příčné atížení o intenitě q se moment nad podporou (což je největší áporný moment) vyjádří jako M a = 1 2 qd2 (3.66) Největší kladný moment vnikne uprostřed hlavního pole, kde je při symetrickém atížení na symetrickém nosníku posouvající síla nulová. S využitím reakce ( ) L R a = q 2 + D (3.67) vyjádříme maximální kladný moment M b = R a L q ( L 2 + D ) 2 = q 8 (L2 4D 2 ) (3.68) Z rovnosti absolutních hodnot momentů, M a = M b, dostaneme podmínku 1 2 qd2 = q 8 (L2 4D 2 ) (3.69)

18 3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 61 D 0 a R a q c L=6 m b R b D IPN mm Řešení M [knm] q=19,028 kn/m M a =-42,8 M b =-42,8 + D= 2,121 m M c =42,8 knm L=6 m D= 2,121 m Obráek 3.13: Prostý nosník s převislým koncem a spojitým atížením. e které při daném L vypočteme D = L 8 = 6 m 8 = 2,121 m (3.70) Podle ocelářských tabulek má profil IPN 200 průřeový modul W e = 2, m 3 a pro danou me kluu f Y = 200 MPa je odpovídající mení pružný moment M el = f Y W e = 42,8 knm. Aby maximální moment M max = M b = M a = qd 2 /2 nepřekročil mení hodnotu M el, nesmí být atížení větší než q max = 2 D 2 M el = 2 2, ,8 knm = 19,028 kn/m (3.71) m2

19 62 KAPITOLA 3. OHYB Navierova-Bernoulliho hypotéa V předchoím článku jsme vyslovili hypotéu o achování rovinnosti průřeu, která umožnila pracovat s představou pootočení průřeu a definovat křivost elementárního segmentu. Důsledkem hypotéy o achování rovinnosti bylo lineární roložení poměrného protažení po průřeu, které pro lineárně pružný materiál vede k lineárnímu roložení napětí. Odvodili jsme také vtah mei křivostí a ohybovým momentem a ukáali, jak pro daný moment spočítat napětí. Diferenciální vtah mei pootočením a křivostí jsme využili k výpočtu pootočení integrací křivosti. K úplnému popisu ohýbaného prutu jsou ale nebytné ještě další rovnice, které umožní výpočet průhybu nebo řešení staticky neurčitých případů podepření (pro něž atím neumíme stanovit průběh ohybových momentů). V tomto článku představíme jednu těchto rovnic a ukážeme, jak na staticky určité konstrukci spočítat průhyb. V následujícím článku doplníme ještě rovnice rovnováhy a poté všechny odvoené rovnice spojíme do tv. diferenciální rovnice ohybové čáry, která je univerálním nástrojem pro popis nosníků be ohledu na jejich statickou určitost. Zaměřme se nyní na otáku, jak se pod vlivem atížení nosník prohýbá a jak to souvisí s jeho deformací, např. se křivením jednotlivých segmentů. Z původně přímé střednice prutu se při ohybu ve svislé rovině stane křivka. Její tvar le popsat pomocí funkce w(x), která souřadnici x přiřauje hodnotu svislého posunu (neboli průhybu) odpovídajícího průřeu. Přesněji řečeno se jedná o svislý posun těžiště tohoto průřeu, tj. posun toho bodu, který leží na střednici prutu. Již dříve jsme mínili obvyklý předpoklad, že tvar a roměry průřeu se při deformaci prutu nijak výnamně nemění (např. obdélníkový průře si i po deformaci achová obdélníkový tvar se stejnými délkami stran). Každý průře se tedy při ohybu prutu posouvá a otáčí jako tuhý útvar, přičemž posun se odehrává ve svislém směru (směru souřadnicové osy ) a je popsán funkcí w(x), atímco otáčení průřeu se odehrává kolem vodorovné osy kolmé na střednici prutu (tj. kolem osy rovnoběžné se souřadnicovou osou y) a je popsáno již dříve avedenou funkcí ϕ(x). x φ Obráek 3.14: Zachování kolmosti průřeu na deformovanou střednici a jeho důsledky. φ Obecně by bylo možno svislý posun průřeu a jeho pootočení považovat a dvě neávislé funkce. 6 Pro dostatečně štíhlé pruty je však možné avést předpoklad onačovaný jako Navierova-Bernoulliho hypotéa, podle které průřey po deformaci ůstávají kolmé na deformovanou střednici. Tento předpoklad byl formulován na ákladě intuice, poorování a měření a jeho oprávněnost le ověřit i moderními numerickými 6 Skutečně existuje teorie prutů, která pracuje s neávislými funkcemi průhybu a pootočení a bere v úvahu smykové kosení elementárních segmentů. Bývá onačována a Mindlinovu nebo Timošenkovu teorii a je vhodná pro přesněný popis prutů s níkou štíhlostí, například krátkých konol.

20 3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 63 metodami, které umožňují přesnější modelování prutů chápaných jako trojroměrná tělesa. Jakmile je Navierova-Bernoulliho hypotéa přijata, stačí k jednonačnému určení polohy všech bodů ohýbaného prutu po deformaci průhybová funkce w(x). Na ákladě nalosti tvaru střednice po deformaci (tedy grafu funkce w(x)) le totiž sestrojit v každém bodě deformované střednice její normálu. Přitom odchylka normály od svislice přímo odpovídá pootočení průřeu ϕ(x). Graficky je to náorněno na obr Jak je vidět, úhel mei normálou ke střednici a svislou přímkou je stejný jako úhel mei tečnou ke střednici a vodorovnou přímkou. Z matematiky je námo, že tangenta tohoto úhlu odpovídá derivaci funkce w(x), jejímž grafem je deformovaná střednice. Vtah mei průhybem a pootočením bychom tedy mohli apsat ve tvaru tan ϕ(x) = w (x) (3.72) Záporné naménko souvisí s tím, že průhyby jsou chápany jako kladné, pokud směřují dolů, atímco pootočení průřeu je kladné, pokud při pohledu proti kladné poloose y docháí k rotaci v kladném smyslu (tj. proti hodinovým ručičkám). Jestliže je funkce w(x) rostoucí, je její derivace w (x) kladná, ale průřey se otáčejí v áporném smyslu a pootočení ϕ(x) je áporné. Vtah (3.72) sice umožňuje dané průhybové funkce vypočítat pootočení libovolného průřeu, nevýhodou je však přítomnost goniometrické funkce tangens, která dává tomuto vtahu nelineární charakter. Na většině prutových konstrukcí používaných ve stavební praxi se průřey otáčejí jen o velmi malé úhly a rodíl mei samotným pootočením (vyjádřeným v obloukové míře) a jeho tangentou je pak anedbatelný. Díky tomu můžeme nelineární vtah (3.72) s dostatečnou přesností nahradit lineárním vtahem ϕ(x) = w (x) (3.73) a linearita všech ákladních rovnic pak ůstane achována, což výnamně usnadňuje následné výpočty. Pro danou průhybovou funkci w(x) le odpovídající pootočení vypočítat pouhým vyhodnocením derivace (a měnou naménka). Jestliže je naopak náma funkce pootočení ϕ(x), je při výpočtu odpovídajícího průhybu potřeba integrovat. PŘÍKLAD 3.9 Pro konolu obr vypočtěte průhyb jejího volného konce. L=3 m f w(l) Obráek 3.15: Průhyb konce konoly. Řešení: Podobně jako jsme v příkladu 3.6 určili pootočení konce integrací křivosti, můžeme nyní určit průhyb konce integrací pootočení. K tomu však potřebujeme kompletní popis funkce ϕ(x) popisující pootočení, nikoli jen její hodnotu ϕ(l) pro x = L. Proto se musíme vrátit k příkladu 3.6 a provést výpočet pootočení v obecném průřeu o souřadnici x. Ukážeme dva postupy, které jsou matematického hlediska cela rovnocenné, ale jeden nich může být pro čtenáře sroumitelnější. První postup je aložen na určitém integrálu, druhý na neurčitém.

21 64 KAPITOLA 3. OHYB Postup aložený na určitém integrálu: Podle ákladní věty integrálního počtu (námé matematiky) je určitý integrál funkce f od a do b roven rodílu hodnot její primitivní funkce F v těchto bodech: b a f(x) dx = F (b) F (a) (3.74) Přitom funkce F je primitivní funkcí funkce f, pokud platí F = f. Uvedený vtah tedy můžeme přepsat jako b F (x) dx = F (b) F (a) (3.75) a V našem případě roli funkce F hraje pootočení ϕ. Podle (3.37) je jeho derivace rovna křivosti κ. Můžeme tedy psát b a κ(x) dx = ϕ(b) ϕ(a) (3.76) Tento vtah jsme vlastně již využili v příkladu 3.6 s volbou meí a = 0 a b = L, vi (3.60). Nyní můžeme horní me nastavit jako souřadnici obecného průřeu x, ve kterém chceme vypočítat pootočení ϕ(x). Bylo by však chybou do (3.76) dosadit místo b symbol x a jinak nic neměnit, protože proměnná x je de již přítomna jako integrační proměnná. Pokud chceme tento symbol použít pro horní me, musíme integrační proměnnou onačit jinak. To je přípustné, protože se jedná jen o formální symbol. Podstatné je, v jakých meích se integrační proměnná mění a jak na ní ávisí integrovaná funkce, ale konkrétní onačení integrační proměnné je cela libovolné (pokud nekoliduje s jiným symbolem použitým ve stejné rovnici). Proto je nejprve potřeba místo x napsat ve (3.76) například ξ a teprve pak le horní me onačit jako x: x κ(ξ) dξ = ϕ(x) ϕ(0) (3.77) 0 Po dosaení konkrétního tvaru funkce κ(ξ) podle (3.58) a nulové hodnoty ϕ(0) odtud plyne x ϕ(x) = f 0 2EI (ξ L)2 dξ = f [ ] ξ 3 ξ=x 2EI 3 Lξ2 + L 2 ξ = ξ=0 = f ( ) (3.78) x 3 2EI 3 Lx2 + L 2 x Získali jsme tedy kompletní vyjádření funkce ϕ(x), která popisuje pootočení jednotlivých průřeů. Pro kontrolu můžeme dosadit x = L a ověřit, že hodnota ϕ(l) = f L 3 /6EI souhlasí s výsledkem příkladu 3.6, vi (3.61). Celý postup nyní opakujeme ještě jednou při přechodu od pootočení ϕ(x) k průhybu w(x). Integrací rovnice (3.73) a dosaením w(0) = 0 dostaneme x w(x) = w(0) + 0 x w (ξ) dξ = = f [ ξ 4 2EI 12 Lξ3 ξ2 + L ] ξ=x ξ=0 ϕ(ξ) dξ = x 0 f 2EI ( ξ 3 3 Lξ2 + L 2 ξ = f (x 4 4Lx 3 + 6L 2 x 2) 24EI ) dξ = (3.79)

22 3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 65 Odvoená funkce popisuje deformovanou střednici a její hodnota v bodě x = L přestavuje průhyb volného konce konoly: w(l) = 1 f L 4 8 EI (3.80) Postup aložený na neurčitém integrálu: Podstata výpočtu ůstává stejná, ale matematický ápis je aložen na neurčitém integrálu, ve kterém se objeví integrační konstanta. Jestliže podle (3.37) je derivace funkce ϕ(x) rovna funkci κ(x), pak samotnou funkci ϕ(x) můžeme apsat jako neurčitý integrál funkce κ(x). Po dosaení konkrétního tvaru funkce κ(x) podle (3.58) provedeme integraci a neapomeneme na integrační konstantu: ϕ(x) = κ(x) dx = f 2EI (x L)2 dx = f ( ) x 3 2EI 3 Lx2 + L 2 x + C 1 (3.81) Konkrétní hodnotu konstanty C 1 pak určíme podmínky ϕ(0) = 0, která popisuje skutečnost, že na levém konci konoly je vaba abraňující jeho otáčení. Po dosaení vyjde C 1 = 0. Obdobný postup pak aplikujeme ještě jednou na rovnici (3.81), e které dostaneme w(x) = ϕ(x) dx = ( ) f x 3 2EI 3 Lx2 + L 2 x dx = = f (3.82) ( x 4 4Lx 3 + 6L 2 x 2) + C 2 24EI Z podmínky w(0) = 0 pak plyne, že i integrační konstanta C 2 je nulová. Výsledný tvar funkce w(x) tedy souhlasí s předchoím řešením (3.79) Podmínky rovnováhy elementárního segmentu prutu K úplnému popisu ohýbaného prutu bývá odvodit statické rovnice, které ajišťují rovnováhu mei vnitřními a vnějšími silami. Podobně jako pro osově namáhaný prut vyjdeme rovnováhy elementárního segmentu prutu, ale tentokrát použijeme silovou podmínku v příčném směru a momentovou podmínku. Vnitřní a vnější síly, které se v těchto podmínkách uplatní, jsou náorněny na obr V průřeu na levém okraji segmentu působí posouvající síla V (x) a ohybový moment M(x), atímco v průřeu na pravém okraji je to posouvající síla V (x + x) a ohybový moment M(x + x). Pokud je posouvající síla kladná, působí na levém okraji nahoru a na pravém dolů. Kladný ohybový moment působí na levém okraji v áporném smyslu (po ručičkách) a na pravém okraji v kladném smyslu (proti ručičkám). Kromě toho může být prut atížen spojitě roloženými vnějšími příčnými silami o intenitě f (x). Na segmentu o délce x je výslednicí takového atížení elementární síla f (x + x/2) x, jejíž kladná orientace je souhlasná s kladnou poloosou, tedy dolů. Nejprve apíšeme silovou podmínku rovnováhy v příčném směru, tedy ve směru osy. Objeví se v ní posouvající síly a výslednice příčného atížení: V (x) + V (x + x) + f (x + x/2) x = 0 (3.83)

23 66 KAPITOLA 3. OHYB V(x) f (x+δx/2) Δx M(x) M(x+Δx) V(x+Δx) x Δx Obráek 3.16: Síly a momenty působící na elementární segment prutu při ohybu. Po vydělení délkou segmentu x a limitním přechodu x 0 dostaneme diferenciální podmínku rovnováhy V (x) + f (x) = 0 (3.84) která má stejný tvar jako obdobná podmínka (2.74) pro osově namáhaný prut, jen s tím rodílem, že normálová síla je nahraena posouvající silou a podélné atížení příčným. Není divu, vždyť obě rovnice byly odvoeny obdobným působem, jedna podmínky rovnováhy ve směru osy x a druhá ve směru osy. Při ohybu je ale třeba vít v úvahu i momentovou podmínku rovnováhy elementárního segmentu, ve které se uplatní posouvající síly a ohybové momenty. Příčné atížení ní vypadne, takže odvoená rovnice bude popisovat vtah mei vnitřními silami. Momentovou podmínku apíšeme například vhledem k vodorovné těžišťové ose průřeu o souřadnici x + x/2 (tedy průřeu uprostřed uvažovaného segmentu). Tato přímka se v průmětu do roviny x jeví jako bod ve středu elementárního segmentu a můžeme si představit, že v rovině x apisujeme moment k tomuto bodu. Výslednice vnějšího atížení působí ke volenému bodu na nulovém rameni a v momentové podmínce rovnováhy se proto neobjeví. Obě posouvající síly působí na rameni x/2 a pokud jsou kladné, je jejich moment k tomuto bodu áporný. Po přidání účinků ohybových momentů výslednou podmínku apíšeme jako M(x) + M(x + x) V (x) x 2 a po vydělení délkou segmentu x ji upravíme na tvar M(x + x) M(x) x V (x + x) x 2 = 0 (3.85) 1 2 V (x) 1 V (x + x) = 0 (3.86) 2 První člen v limitě pro x 0 přejde v derivaci M (x) a bývající dva členy dají v limitě dohromady V (x). Výsledná diferenciální podmínka se dá přepsat jako M (x) V (x) = 0 (3.87) M (x) = V (x) (3.88) a slovně vyjádřit tvrením, že derivace ohybového momentu je rovna posouvající síle. Rovnice (3.84) a (3.88) jsou námy e stavební mechaniky jako tv. Schwedlerovy věty. Do stejné skupiny patří i rovnice (2.74) odvoená e silové podmínky rovnováhy v podélném směru. Tyto diferenciální podmínky rovnováhy hrají při analýe prutů výnamnou úlohu a pro výranění jsou shrnuty v tab. 3.2.

24 3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 67 Tabulka 3.2: Schwedlerovy věty. podélná příčná momentová N + f x = 0 V + f = 0 M = V Podobně jako (2.74), i rovnice (3.84) a (3.88) byly odvoeny a (nevysloveného) předpokladu, že silové atížení je spojitě roloženo po délce prutu. Pokud na prut působí i osamělé síly nebo osamělé momenty, je třeba v odpovídajících průřeech apsat podmínky pro skoky příslušné vnitřní síly. Postup při jejich odvoení je cela analogický jako v článku při odvoení rovnice (2.76) pro podélné atížení. Jestliže na prut v průřeu x i působí příčná osamělá síla F i (kladná směrem dolů, souhlasně s kladnou poloosou ), pak vnikne nespojitost v průběhu posouvající síly a pro její hodnoty Vi těsně vlevo od průřeu a V i + těsně vpravo od průřeu bude platit V i V + i = F i (3.89) Podobně pokud na prut v průřeu x i působí osamělý moment M i (kladný proti hodinovým ručičkám), pak vnikne nespojitost v průběhu ohybového momentu a pro jeho hodnoty M i těsně vlevo od průřeu a M + i těsně vpravo od průřeu bude platit M i M + i = M i (3.90) Při pohybu po prutu leva doprava má skok při přechodu přes atížený průře stejnou velikost, ale opačné naménko, než působící vnější síla nebo moment. Schwedlerovy věty umožňují e námého průběhu ohybového momentu odvodit odpovídající průběh posouvající síly a také určit atížení, které tyto vnitřní síly vyvolalo. Jestliže je naopak dáno silové atížení a jsou námy reakce (např. jsou vypočteny podmínek rovnováhy celé konstrukce), le vnitřní síly ískat integrací rovnic (3.84) a (3.88), s případným uvážením podmínek nespojitosti (3.89) a (3.90) v průřeech atížených osamělými silami a momenty. PŘÍKLAD 3.10 Na prostý nosník o ropětí L působí spojité atížení, jehož intenita se lineárně mění od hodnoty f a na levém konci do hodnoty f b na pravém konci. Určete průběh ohybového momentu. f a f b L Obráek 3.17: Prostý nosník s lineárně proměnným atížením. Řešení: Zadané atížení le popsat lineární funkcí f (x) = f a (L x) + f b x L ( = f a 1 x ) x + f b L L (3.91) Po dosaení této námé funkce do diferenciální podmínky rovnováhy (3.84) dostaneme rovnici V (x) = f a (L x) + f b x (3.92) L

25 68 KAPITOLA 3. OHYB a po integraci fa (L x) + f b x V (x) = dx = 1 L L [ f a ( Lx x2 2 ) x 2 ] + f b + C 1 = 2 = f a 2L (x2 2Lx) f b 2L x2 + C 1 (3.93) kde C 1 je integrační konstanta, která odpovídá hodnotě posouvající síly na levém konci prutu, V (0). Mohli bychom ji určit e nalosti silové reakce v levé podpoře, kterou le vhledem ke statické určitosti daného nosníku vypočítat podmínek rovnováhy celku (nejpohodlněji momentové podmínky rovnováhy k pravému konci prutu). Místo toho můžeme určení integrační konstanty odložit a dosadit (3.93) do (3.88). Další integrace vede k funkci popisující průběh ohybového momentu ve tvaru [ fa M(x) = V (x) dx = 2L (x2 2Lx) f ] b 2L x2 + C 1 dx = = f a 6L (x3 3Lx 2 ) f b 6L x3 + C 1 x + C 2 (3.94) kde C 2 je další integrační konstanta, která odpovídá hodnotě ohybového momentu na levém konci prutu, M(0). Jelikož na levý konec nepůsobí žádný osamělý moment (ani předepsané momentové atížení, ani momentová reakce), musí být M(0) = 0 a tedy C 2 = 0. I na pravém konci nosníku je ohybový moment nulový a podmínky M(L) = 0 dostaneme po dosaení x = L a C 2 = 0 do (3.94) rovnici 1 L f a 6L (L3 3L 3 ) f b 6L L3 + C 1 L = 0 (3.95) [f a ( L L2 2 L3 6 e které ískáme integrační konstantu ) L C 1 = f a 3 + f L b 6 L 3 ] + f b + C 1 L = 0 (3.96) 6 (3.97) Stojí a mínku, že stejný výsledek bychom dostali při výpočtu reakce v levé podpoře podmínky rovnováhy celého nosníku. Po dosaení vypočtených integračních konstant do (3.93) a (3.94) apíšeme funkce popisující průběhy posouvající síly a ohybového momentu jako V (x) = f a 6L (3x2 6Lx + 2L 2 ) + f b 6L ( 3x2 + L 2 ) (3.98) M(x) = f a 6L (x3 3Lx 2 + 2L 2 x) + f b 6L ( x3 + L 2 x) (3.99) Všimněte si, že příčné atížení bylo popsáno lineární funkcí proměnné x, pro posouvající sílu jsme dostali kvadratickou funkci a pro ohybový moment kubickou funkci. To je přímým důsledkem Schwedlerových vět. V předchoím příkladu hrála důležitou roli skutečnost, že na koncích nosníku byly námy dvě hodnoty vnitřních sil, konkrétně hodnoty M(0) = 0 a M(L) = 0 ohybového momentu, takže bylo možné jednonačně určit integrační konstanty C 1 a C 2. To souvisí

26 3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 69 se skutečností, že jsme řešili staticky určitou úlohu. Kdyby byl nosník vlevo vetknut a pravý konec měl volný, použili bychom podmínky M(L) = 0 a V (L) = 0 a opět by bylo možné integrační konstanty určit. Naopak pro oboustranně vetknutý nosník není předem náma hodnota ohybového momentu ani posouvající síly v žádném průřeu a integrační konstanty tímto působem určit nele. Při výpočtu vnitřních sil na staticky neurčitém nosníku nevystačíme s podmínkami rovnováhy a musíme vít v úvahu i další ákladní rovnice. To bude podrobně roebráno v následujícím článku Diferenciální rovnice ohybové čáry Pokud přijmeme Navierovu-Bernoulliho hypotéu, je přemístění ohýbaného prutu jednonačně popsáno průhybovou funkcí w(x). Funkci ϕ(x) popisující pootočení totiž ískáme podle (3.73) jako áporně vatou derivaci průhybové funkce. Jakmile víme, kam se posune těžiště průřeu a jak se průře pootočí, můžeme snadno určit novou polohu libovolného bodu tohoto průřeu. Do schématu ákladních veličin a rovnic na obr tedy apíšeme w(x) jako funkci charakteriující přemístění, atímco ϕ(x) považujeme a pomocnou veličinu. Přetvoření elementárního segmentu je při ohybu popsáno pomocí křivosti κ, e které le podle (3.38) odvodit poměrné protažení libovolného podélného vlákna. Proto a ákladní veličinu popisující přetvoření považujeme funkci κ(x). Spojením vtahů (3.37) a (3.73) odvodíme rovnici κ(x) = ϕ (x) = ( w (x)) = w (x) (3.100) která popisuje vtah mei přemístěním a přetvořením a představuje geometrickou rovnici ohýbaného prutu. Vnitřní silou související s ohybem je ohybový moment M(x), který je při lineárně pružném chování materiálu přímo úměrný křivosti podle průřeové rovnice (3.40). Vtahy mei vnitřními a vnějšími silami jsou popsány Schwedlerovými větami (3.84) a (3.88), ve kterých se objevuje také posouvající síla V (x). Jelikož posouvající sílu le podle (3.88) jednonačně odvodit daného průběhu ohybového momentu, považujeme ji a pomocnou veličinu a do schématu ákladních veličin a rovnic na obr ařadíme poue ohybový moment. Spojením Schwedlerových vět (3.84) a (3.88) ískáme rovnici M (x) = f (x) (3.101) která popisuje přímý vtah mei ohybovým momentem a příčným atížením a představuje tak statickou rovnici ohýbaného prutu. Tím je schéma ákladních rovnic úplné. Ve třech ákladních rovnicích na obr se objevují tři nenámé funkce w(x), κ(x) a M(x). Geometrická a statická rovnice mají diferenciální charakter (objevují se v nich derivace), atímco průřeová rovnice je algebraická. Při řešení diferenciálních rovnic jsou apotřebí i okrajové podmínky. Ve staticky určitém případě jsou k dispoici dvě okrajové podmínky apsané pomocí vnitřních sil a statickou rovnici s těmito okrajovými podmínkami le jednonačně vyřešit neávisle na ostatních rovnicích. Ve staticky neurčitém případě je pro vnitřní síly k dispoici jen jedna nebo dokonce žádná okrajová podmínka a statickou rovnici pak nele řešit samostatně (resp. le, ale řešení není jednonačné). Proto je výhodné ákladní rovnice kombinovat a sestavit rovnici, ke které bude vždy k dispoici dostatečný počet okrajových podmínek. K tomu stačí na ákladě