Průřezové charakteristiky

Transkript

1 Stavení statka, ročník komnovanéo stua Průřeové carakterstky ěžště složenýc oraců omogenníc průřeů Kvaratcké momenty áklaníc průřeů Kvaratcké momenty složenýc průřeů Kvaratcké momenty k pootočeným osám ěžště složenýc oraců neomogenníc průřeů Katera stavení mecanky Fakulta stavení, VŠB - ecncká unverta Ostrava

2 Průřey prutovýc konstrukčníc prvků Návr a posuek eformovatelnýc prutů vyžauje tv geometrcké (průřeové) carakterstky průřeu: Ploca průřeu Statcké momenty S a S průřeu k momentovým osám a Souřance, těžště průřeu Momenty setrvačnost, k osám, -Centrální momenty setrvačnost -Hlavní centrální momenty setrvačnost Devační moment D k osám, Poloměr setrvačnost, k osám, Přepokla: průře omogenní (stejnoroý), fktvní měrná tía g = (e fykálnío roměru)

3 Geometrcký pops prutu, ealace F F =F F F Osa prutu (přímý prut), přípaně střence prutu (přímý akřvený prut) Průře prutu o ploše a +y + + l ěžště průřeu Statcké scéma: statcký moel nosné konstrukce P P a R a R a l R

4 ěžště Fykální výnam těžště: a) motný o se soustřeěnou motností útvaru ) o, ve kterém le motný útvar vystavený tíe poepřít prot posunutí anž y ocáelo k rotac ěžště je cápáno jako statcký stře soustavy rovnoěžnýc sl v prostoru č rovně, které tvoří vlastní tíy elementů motnéo útvaru ěžnce osa procáející těžštěm

5 ěžště rovnnéo omogennío složenéo orace Složený rovnný oraec ( lomená čára neo složený plošný oraec) vnká spojením několka (oecně n, =,, n) jenoucýc rovnnýc oraců (prvků) v téže rovně, u kterýc umíme určt polou těžště a áklaní geometrcké carakterstky (úsečka, kru ) Postup: a) Složený oraec umístt o pravoúlé souřancové soustavy (výoný je počátek v levém orním rou orace) ) Roělt složený oraec na ílčí jenoucé orace c) Pro kažý oraec určt souřance a jeo těžště ) Pro kažý oraec spočítat tíovou fktvní sílu P Honota P opovíá élce ílčí čáry l neo velkost ílčí plocy e) Zavést fktvní síly P o těžště nejprve rovnoěžně s osou, poté s osou f) Určt výslenc tíovýc sl: R= l, R= g) Určt statcký stře soustavy těcto rovnoěžnýc sl (Vargnonova věta) Souřance statckéo střeu této soustavy = souřance těžště složenéo orace Např: -ovou souřanc těžště určíme rovnost statckéo momentu tíové síly k ose - S S R ( P ) P S neol S P P 5

6 Příkla ěžště rovnné lomené čáry Lomená čára může přestavovat např ealovaný lomený nosník konstantnío průřeu [0;] [;0] =[,5;] + =[,5;,5] Délky ílčíc čar (prutů) a jejc těžště Prut F = l = m + =[0;,5] [0;5] [;0] =[,5;,5] [6;] Prut F = l = Prut F = l = =,606 m =, m Celkem F = l = +,606 +, = 0,85 m [6;] 6

7 Příkla ěžště rovnné lomené čáry -ová souřance těžště: [;0] + Z Vargnonovy věty: [0;] l =[,5;] [6;] l l l l l =[0;,5] [0;5] l l P R l l + Délky l = m l =,606 m l =, m l = l = 0,85 m 0,606,5,,5,6m,606, ěžště je cápáno jako statcký stře soustavy rovnoěžnýc sl v prostoru č rovně, které tvoří vlastní tíy elementů motnéo útvaru 7

8 Příkla ěžště rovnné lomené čáry [0;] + [0;5] l =[0;,5] Délky =[,5;] l = m l l =,606 m l =, m [;0] l = l = 0,85 m l + l [6;] =[,6 ;,89] -ová souřance těžště: Z Vargnonovy věty: l l l P R,5,606,,5,606, l ěžště je cápáno jako statcký stře soustavy rovnoěžnýc sl v prostoru č rovně, které tvoří vlastní tíy elementů motnéo útvaru l l,89 m 8

9 ěžště složenýc oraců s otvory a výřey Zvláštní přípa složenýc oraců s otvory (s oslaením) neo s výřey (otvory souseící s orysem orace) Výpočet: Jenotlvé orace považovat a samostatné prvky e otvorů, otvory považovat a alší prvky se ápornou plocou (tíové síly opačně orentované) 9

10 ěžště oecnéo rovnnéo orace íu rovnnéo orace P le narat plocou Ploca elementárnío ílku: Celková ploca orace: P ~ Souřance těžště: Z Vargnonovy věty: S (a) S Příkla aplkace v přemětu Matematka ěžště rovnnéo orace jako statcký stře rovnné soustavy rovnoěžnýc sl 0

11 Statcké momenty rovnnýc oraců S S S S Roměr (jenotka) [élka ], pravla m neo mm K výklau statckýc momentů

12 Kvaratcké momenty rovnnýc oraců Moment setrvačnost (vžy klaný) kvaratcký moment plocy, vtažený k jené ose Defnuje tuost prutu k ané ose Devační moment (klaný č áporný) kvaratcký moment plocy vtažený ke věma vájemně kolmým osám Součn vou souřanc, ávsí na jejc naménkác D Ponámka: pro přípay jenoose neo vouose symetrckýc průřeů je D = 0 (ůka v ále) Polární moment (vžy klaný) kvaratcký moment plocy vtažený k jenomu ou pólu (v ále) Osy setrvačnost: Osy (tay, ), ke kterým jsou kvaratcké momenty vtaženy K výklau kvaratckýc momentů Roměr (jenotka) [élka ], pravla m neo mm

13 Centrální kvaratcké momenty rovnnýc oraců a centrální osy setrvačnost Momenty setrvačnost a evační moment možno počítat k lovolným vájemně kolmým osám - posunutým neo natočeným vleem k počátku Ve stavení mecance jsou ůležté kvaratcké momenty anéo orace (průřeu), které jsou vtaženy k jeo těžštním osám Jená se o centrální kvaratcké momenty (centrální momenty setrvačnost a centrální evační momenty) ěžštní osy se tuíž naývají centrální osy setrvačnost t t D, t Centrální moment setrvačnost rovnnéo orace je nejmenší momentů setrvačnost anéo orace vtaženýc k rovnoěžně posunutým osám

14 Centrální kvaratcké momenty oélníku, 0 t t D Zvoleno: O Výpočet centrálníc momentů setrvačnost: 8 8 t t Ooně: 0 D Důka nulovéo evačnío momentu symetrckéo průřeu: Poor: tyto vtay platí pro oélník uloženéo le oráku (tv nastojato) t

15 5 Centrální kvaratcké momenty oélníku, 0 t t D Zvoleno: O Výpočet centrálníc momentů setrvačnost: 8 8 t t Ooně: 0 D / t o t Důka nulovéo evačnío momentu symetrckéo průřeu : Oélník otočený o 90 : Pomůcka: ve vtaíc pro výpočet centrálníc momentů setrvačnost oélníku je mocněn na třetí vžy roměr, který je kolmý k příslušné centrální ose setrvačnost t

16 Kvaratcké momenty oélníku k rovnoěžně posunutým osám Zvoleno: O, c, o c t D D t c t t c c vertkální rameno těžště válenost posunuté osy o osy těžštní t orontální rameno těžště válenost posunuté osy o osy těžštní t Stenerova věta Moment setrvačnost rovnnéo orace k lovolné (momotěžštní) ose je roven momentu setrvačnost k rovnoěžné těžštní ose, většenému o součn plošnéo osau a čtverce válenost oou os 6

17 7 Kvaratcké momenty oélníku k rovnoěžně posunutým osám,, c O Zvoleno: c t 0 c D D t t Stenerova věta t c vertkální rameno těžště - válenost posunuté osy o osy těžštní orontální rameno těžště - válenost posunuté osy o osy těžštní Důka: > t stejným půsoem okažte pro t > t > t Využtí: kvaratcké momenty složenýc průřeů t t o c

18 8 Zvoleno: O ve vrcolu trojúelníku Kvaratcké momenty pravoúléo trojúelníku Pravoúlý trojúelník (a) () Výpočet nejprve kvaratckýc momentů k voorovné ose a svslé ose : D 0 0 0,, c O ay osy, nejsou těžštní osy!!!

19 Centrální kvaratcké momenty áklaníc oraců (v taulky) D 0 D 0 a a a a D D 7 r r r 6 D 0 9

20 Centrální kvaratcké momenty válcovánýc proflů Nepočítají se - v taulky V taulkác jsou uveeny: motnost průřeu na jenotku élky, potřené geometrcké roměry a průřeové carakterstky průřeů Honoty jsou vtaženy k osám y- (v rovně y- více v přemětu Pružnost a plastcta) 0

21 Centrální kvaratcké momenty válcovánýc U proflů Poku uete v přemětu Stavení statka počítat průřeové carakterstky složenýc válcovanýc průřeů, uou áklaní taulkové onoty aané

22 Centrální kvaratcké momenty složenýc průřeů Postup výpočtu: Využtí kvaratckýc momentů k rovnoěžně posunutým osám a) volt pomocnou souřancovou soustavu, (výoné volt počátek v levém orním rou neo na ose symetre) ) roělt složený oraec na n áklaníc prvků =,, n c) pro kažý prvek určt a souřance jeo těžště [ ; ] v pomocné souřancové soustavě ) určt souřance těžště [ ; ] celéo orace, kterým proložt centrální osy setrvačnost průřeu t, t rovnoěžné s osam, e) pro kažý prvek určt ramena těžště : c, f) s využtím Stenerovy věty vypočítat centrální kvaratcké momenty celéo orace: n c n n D D c (Otvory mají plocy momenty setrvačnost se naménkem mínus, evační momenty s opačným naménkem než plné prvky)

23 Příkla ěžště složenéo orace íová síla ~ Ploca P = = =,0 m P = = = 8,0 m Celková ploca P = = m P = = 5 =0,0 m

24 Příkla -ěžště složenéo orace : -ová souřance,5 m 0,5 8 P P P P

25 Příkla -ěžště složenéo orace : -ová souřance P P P P 0,5 8 06,9 m 5

26 Příkla Centrální moment setrvačnost Ramena ílčíc těžšť c = = 0,5 -,9 = -, m c = =,0 -,9= -0,9 m c = = 6,0 -,9 =, m Momenty setrvačnost ílčíc oraců, = / = 0 m, = / = 0667 m, = 5 / = m Centrální moment setrvačnost = ( + c ) = 0 +,0 (-,) ,0 (-0,9) + + 0,0, =, m 6

27 Příkla Centrální moment setrvačnost Ramena ílčíc těžšť = =,0 -,5 = -,5 m = - =,0 -,5 = -0,5 m = - =,5-,5=,0 m Momenty setrvačnost ílčíc oraců, = / = 5 m, = / = 667 m, = 5 / = 08 m Centrální moment setrvačnost = ( + ) = 5 +,0 (-,5) ,0 (-0,5) ,0,0 = 9,8 m 7

28 Příkla Devační moment D Devační moment ílčíc průřeů D = D = D = 0 m (-ose symetrcký průře) Devační moment D celéo průřeu D = (D + c ) = =,0 (-,) (-,5) + + 8,0 (-0,9) (-0,5) + + 0,0,,0 = 5,0 m = =,0 -,5 = -,5 m = - =,0 -,5 = -0,5 m = - =,5-,5=,0 m c = = 0,5 -,9 = -, m c = - =,0 -,9= -0,9 m c = = 6,0 -,9 =, 8 m

29 Kvaratcké momenty k pootočeným osám Jsou-l námy kvaratcké momenty rovnnéo orace pro pravoúlou vojc os, s počátkem o, je možno určt onoty kvaratckýc momentů pro jnou vojc pravoúlýc os,, pootočenou o půvoníc os o úel α: cos sn sn D sn cos D sn D sn Dcos Změnou úlu, se mění onoty kvaratckýc momentů k pootočeným osám Estuje úel pootočení os 0, př kterém naývají momenty setrvačnost k těmto osám etrémníc onot a evační moment je nulový Osy pootočené o úel 0 lavní osy setrvačnost Momenty setrvačnost vtažené k lavním osám (etrémní momenty setrvačnost) lavní momenty setrvačnost, o tg 0 D V přípaě symetrckéo průřeu (stačí jenoose symetrcký), je D =0, α 0 =0 Potom momenty setrvačnost a vtažené osám, jsou ároveň lavní momenty setrvačnost Větší nc je, menší Osy, jsou pak ároveň lavní osy setrvačnost (v níže) 9

30 Hlavní momenty setrvačnost Úpravou přeešlýc vtaů pro nesymetrcký průře: D, Znaménko pře omocnnou: + - Hlavní osy setrvačnost:, tg, D ma mn ma mn 0 90 Poučka: Součet momentů setrvačnost ke věma vájemně kolmým osám setrvačnost se př otáčení oou os kolem počátku nemění, ůstává konstantní (neměnný, nvarantní) 0

31 Hlavní centrální momenty setrvačnost Ve stavení mecance jsou ůležté lavní momenty setrvačnost vtažené k lavním osám procáejícíc těžštěm orace Jená se o: Hlavní centrální momenty setrvačnost, Moment setrvačnost vtažený k lavním osám procáejícíc těžštěm (lavní centrální osy setrvačnost) U symetrckýc průřeů to jsou momenty setrvačnost vtažené k těžštním osám t, t Hlavní centrální osy setrvačnost, Dvě vájemně kolmé osy procáející těžštěm, které jsou o souřanéo systému pootočeny o úel, Momenty setrvačnost vtažené k těmto osám jsou lavní centrální momenty setrvačnost průřeu

32 Hlavní centrální momenty setrvačnost Symetrcké průřey: centrální momenty setrvačnost a (vtažené k centrálním (těžštním) osám t, t ) jsou ároveň lavní centrální momenty setrvačnost Větší nc je, menší Osy t, t jsou lavní centrální osy setrvačnost Nesymetrcké průřey: D, Znaménko pře omocnnou: + - ma mn Hlavní centrální osy setrvačnost s počátkem v těžšt průřeu : tg,, D ma mn 0 90

33 Příkla : pokračování Hlavní centrální momenty setrvačnost, Hl centrální momenty setrvačnost,, 9,8, 9,8,9 m 6,0 m D 5 Natočení l centrální momentů, tg tg 7,9 tg tg D D 6,,9, 5 6,0, 5

34 Příkla : pokračování natočení lavníc centrálníc os setrvačnost V této poloe má průře největší tuost

35 Poloměr setrvačnost Geometrcká carakterstka průřeu: Hlavní centrální poloměry setrvačnost: ma ma mn mn Hlavní centrální poloměry setrvačnost pro oélníkový průře : (šířka, výška ) ma 0,887 mn 0,887 Hlavní centrální poloměry setrvačnost pro čtvercový průře (strana a): 0,887 a ma mn Hlavní centrální poloměry setrvačnost pro kruový průře: ma mn π r π r r r Roměr [élka], pravla m neo mm 5

36 Polární moment setrvačnost Polární moment setrvačnost vtažený k ou (pólu): (p je válenost o pólu) p p p Ve stavařské pra: pólem je výraně těžště průřeu, centrální polární moment setrvačnost, využtí u rotačně symetrckýc průřeů Kvaratcký moment, roměr [élka ], pravla m neo mm p Poučka: Polární moment setrvačnost k pólu (ou) O je roven součtu momentů setrvačnost ; vtaženýc k jakýmkol věma vájemně kolmým osám setrvačnost, které tímto oem (pólem) procáejí Roměr [élka ], pravla m neo mm K výklau polárnío momentu setrvačnost 6

37 Neomogenní složený oraec Dílčí prvky nemají stejnou měrnou tíu (např želeoetonový sloup), neo přestavují ealované ojemy o růnýc průřeec (např příraová konstrukce s růným průřey prutů v násleující snímek) íová síla neomogennío složenéo orace nepřestavuje poue élku ílčí čáry l neo velkost ílčí plocy Do tíové síly nutno arnout také vlv skutečné tíy ílčío prvku Další postup výpočtu je pak soný jako u omogennío orace Vlastní tía (tíová síla) tělesa: P=V g = l g = l g [N] Vlastní tía (tíová síla) úsečky P = l m g [N] V ojem [m ] - ustota [kg / m ] g - tíové ryclení 98 [m / s ] ploca [m ] l élka [m] g - měrná tía [N / m ] m měrná motnost [kg / m] P ěžště úsečky 7

38 ěžště neomogenní rovnné prutové konstrukce Příraová konstrukce s n pruty (=,, n ) stejnéo materálu (γ = konst) o růnýc průřeec pruty o stejnýc élkác mají roílné tíové síly Konstrukce přestavuje složený rovnný oraec několk spojenýc úseček o íová síla prutu: P V g l g l + Řešení výpočet : V těžštíc jenotlvýc prutů aveeme ílčí tíové síly těžště [ ; ] přestavuje statcký stře soustavy rovnoěžnýc sl R P R P R P P P + 8

39 ěžště neomogenní rovnné prutové konstrukce Řešení výpočet : íová síla prutu: V těžštíc jenotlvýc prutů aveeme ílčí tíové síly o P V g l g l + těžště [ ; ] přestavuje statcký stře soustavy rovnoěžnýc sl P R R R P P P P + 9

40 Průřeové carakterstky orace složenéo válcovanýc tyčí o UPN 60 PN 0 Příkla č k procvčení (uete potřeovat): Dle postupu u příklau spočítejte všecny průřeové carakterstky, které jsme na této přenášce proíral Průře je složen válcovanýc U60 a 0 proflů Zaané onoty konkrétně pro tento průře: 0:,0,60 6 mm mm,,,0 mm 06mm, 6 0mm Ponámka (pro vaš přípanou kontrolu taulkovýc onot): Poor na uložení válcovanéo U proflu Osy jsou oprot osám v taulkác vájemně přeoené U 60: 8500,0 mm mm, mm, 65mm, 60mm e 8,mm poloa těžště U proflu kóty, v snímky,na kterýc jsou taulky průřeů 9,50 6 0

41 Průřeové carakterstky orace složenéo válcovanýc tyčí P U R [, ] P U c U c t t c c D D c,, o Nápověa: = 7,80-5 m Průře je symetrcký k ose D =0, centrální osy setrvačnost = lavní centrální osy setrvačnost

42 Průřeové carakterstky orace s otvorem Příkla č k procvčení (uete potřeovat): Dle postupu u příklau spočítejte všecny průřeové carakterstky, které jsme proíral Průře tvoří oélníková ploca s otvorem Nápověa: = [,86 ;,] = 6,7 m =,07 m

43 Srnutí áklaníc pojmů Statcké momenty plocy [m ] : k ose : k ose : k ou o: S S S o Kvaratcké momenty plocy [m ] : setrvačnost k ose : setrvačnost k ose : evační k osám : D polární k ou (pólu) p : p Momenty setrvačnost (MS) včetně evačnío: k lovolným osám, : oecně MS -,, D, k těžštním osám t, t : centrální MS, je-l symetre alespoň k jené ose D =0 k pootočeným vájemně kolmým osám : oecně -,, D k pootočeným vájemně kolmým osám - osy neprocáejí těžštěm etrémní onoty MS (, ) : lavní MS, = ma, = mn D =0 k pootočeným vájemně kolmým osám - osy procáejí těžštěm etrémní onoty MS (, ) : lavní centrální MS, = ma, = mn D =0 p