Binomické a Poissonovo rozdělení

Transkript

1 Biomicé a Poissoovo rozdělí Dfiic Řm ž áhodá vličia má altrativí rozdělí ravděodobostí s aramtrm d ) jstliž abývá ouz dvou hodot a a to hodoty s ravděodobostí a hodoty s ravděodobostí Tvrzí Vyštřujm výsyt jistého áhodého jvu A v sérii áhodých ousů Přdoládjm ž jv A astává s ravděodobostí závislou a výsldcích ostatích ousů v sérii a ozačm čtost výsytu jvu A v sérii Pa j áhodá vličia abývající hodot s ravděodobostmi *) d P ) Dfiujm dál oslouost vliči řdism i jstliž v jstliž v i - tém ousu asta jv A i - tém ousu asta jv A Pa jsou vzájmě závislé áhodé vličiy s altrativím rozdělím s aramtrm řičmž Dfiic Nchť j řirozé číslo ) a Rozdělí ravděodobostí osaé formulí *) s azývá biomicé rozdělí s aramtry ) Sutčost ž vličia má biomicé rozdělí s aramtry budm vyjadřovat záism ~ Bi ) Pozáma Povšimět si ž biomicé ravděodobosti *) jsou čly biomicého rozvoj ) Odtud ly ž součt všch biomicých ravděodobostí j rov jdé čímž j ověřo ž formulí *) j sutčě dfiováo disrétí rozdělí ravděodobostí Pozáma Nchť ) Biomicé rozdělí Bi ) j totožé s altrativím rozdělím s aramtrm Tvrzí lz řformulovat ásldujícím zůsobm Tvrzí Nchť jsou vzájmě závislé áhodé vličiy s altrativím rozdě- má rozdělí Bi ) lím s aramtrm Pa vličia Přílady ) Mějm hrací ostu a íž adá šsta s ravděodobostí Uvažm sérii hodů a ozačm očt šst v sérii Pa ~ Bi ) Séri hodů jdou ostou můž být řitom ahraza jdím simultáím hodm ostami za řdoladu ž šsta adá a všch ostách s stjou ravděodobostí ) Klíčivost sm dfiujm jao ravděodobost ž smo vylíčí Vybrm áhodě sm s líčivostí a ozačm očt těch z ich trá vylíčí Pa ~ Bi )

2 3) Průzum vřjého míěí) Djm tomu ž v daé oulaci suiě lidí) s % jdiců hlásí ázoru ž by mělo být lgalizováo ouří marihuay Vybrm áhodě jdiců a ozačm očt těch z ich tří jsou ro lgalizaci Pa ~ Bi ) 4) Djm tomu ž v orostu j % stromů aadých črvou hilobou Vybrm áhodě stromů a ozačm očt těch z ich tré jsou aadé Pa ~ Bi ) 5) Pěstujm hrách s bílými a fialovými věty Přdoládám řitom v souladu s druhým Mdlovým záom ž rostlia vyvt fialově s ravděodobostí 3 4 Vybrm áhodě jště vyvtlých rostli a ozačm očt těch z ich tré aoc vyvtou fialově Možost ž rostlia vyvt řitom řiouštím) Pa ~ Bi ) 6) Střlc střílí do trč řičmž má disozici ra Přdoládjm ž ravděodobost s íž střlc zasahuj trč j stál stjá a závislá a řdchozím růběhu střlby) Ozačm očt úsěšých zásahů Pa ~ Bi ) Vyčíslí biomicého rozdělí Pro vyčíslí biomicého rozdělí lz s výhodou oužít dál osaou rurtí formuli Ozačm Pa **) d ro Přílad Hodím dvactrát ravidlou hrací ostou Ozačm očt šst v taové sérii hodů Úolm j vyčíslit rozdělí ravděodobostí áhodé vličiy Řší Vličia má rozdělí Bi 6) tj biomicé rozdělí s aramtry a 6 Ozačm P ) Jdotlivé ravděodobosti lz vyočítat římým dosazím do formul *) chcm-li vša určit clé rozdělí j z hldisa složitosti výočtu mohm výhodější oužít formuli **) Graficé zázorěí rozdělí ravděodobostí očtu šst v sérii dvacti hodů ravidlou hrací ostou a umricé vyčíslí jdotlivých ravděodobostí s řsostí a čtyři dstiá místa) j zachyco v ásldujícím tyčovém diagramu a tabulc: 3 5 Pravděodobost Počt šst

3 P ) P ) Vidím ž jdotlivé ravděodobosti jrv mootóě rostou a osléz zas mootóě lsají Obrat astává ro 3 ; tto očt šst v sérii dvacti hodů ravidlou hrací ostou j jravděodobější j modm) Z rurtí formul **) vylývá ž biomicé rozdělí má vždy rávě jd loálí modus říadě mohou xistovat dvě o sobě ásldující jravděodobější hodoty Vzdalujm-li s řitom od modu dolva či dorava jdotlivé biomicé ravděodobosti lsají J tomu ta roto ž součiitl v rurtí formuli **) s rostoucím lsá J-li řitom tto součiitl větší ž jda a j-li aoa mší ž jda a Njvětší záoré clé číslo vyhovující rovosti j tdy hodotou řdcházjící modu Sado ahlédm ž řdchozí rovost j vivaltí s rovostí Modus j roto jmším clým číslm tré j větší bo rovo číslu Jia řčo modus j clým číslm acházjícím s v uzavřém itrvalu boli Tto itrval má délu jda a roto v ěm lží buď rávě jdié clé číslo abo dvě o sobě jdoucí clá čísla Shrutím a mírým rozšířím řdcho - zích úvah dosívám ásldujícímu tvrzí: Tvrzí 3 Nchť ~ Bi ) a Pro modus xˆ vličiy latí: ) xˆ ) xˆ 3) Jstliž j clé číslo a xˆ 4) Číslo xˆ obdržím z čísla zaorouhlím ahoru bo dolů) Při vhodé volbě aramtrů můž být modm rozdělí Bi ) i hodota ; v taovém říadě s rostoucí hodotou roměé biomicé ravděodobosti stál lsají Korétě latí: a) Jstliž a b) Jstliž a Podobě můž být modm i jvětší hodota rozdělí Bi ) totiž Vraťm s jště říladu Zd j 5 7 a tto itrval obsahuj jdié clé číslo totiž 3 Určili jsm ta modus rozdělí Bi 6) bz zalosti ravděodobostí jdotlivých hodot Přímým výočtm dál ověřím ž střdí hodota rozdělí Bi ) j Tto výsld řvauj boť v sérii hodů hrací ostou ad v růměru v aždém šstém hodu šsta což zamá ž a dvact hodů řiadá růměrě / šst Obcě lz 3

4 a uázat ž střdí hodota rozdělí ) Bi j rova To al v sojí s tvrzím 3 bod ) zamá ž střdí hodota biomicého rozdělí s raticy shoduj s jho modm J dobré si uvědomit ž toto j scificá vlastost biomicého rozdělí trá ro obcé disrétí rozdělí ravděodobostí latí Tvrzí 4 Nchť ) ~ Bi Pa ři ozačí j E ) a D ) Důaz J E ) ) ) Posldí suma j totiž součtm ravděodobostí všch hodot rozdělí ) Bi Podobě ) ) ) ) ) ) ) E Kočě E E D ) ) ) ) ) Tím j důaz rovd Dfiic 3 Nchť j ladé rálé číslo Řm ž áhodá vličia má Poissoovo rozdělí s aramtrm jstliž abývá hodot s ravděodobostmi )! ) P Sutčost ž vličia má Poissoovo rozdělí s aramtrm budm vyjadřovat záism ) ~ Po Pozáma Jliož!! j formulí ) j sutčě dfiováo disrétí rozdělí ravděodobostí Poissoovo rozdělí bývá často oužíváo jao aroximac rozdělí biomicého Jstliž totiž j říliš vlié a aoa říliš malé číslo a výočt biomicých ravděodobostí *) j umricy obtížý boť ombiačí číslo můž být xtrémě vlié a aoa číslo xtrémě malé V taovém říadě lz výraz *) ahradit jho limitou ro a ři ozačí Uazuj s ž touto limitou j tý - čl rozdělí Poissoova To j obsahm ásldujícího tvrzí 4

5 Tvrzí 5 Jstliž a taovým zůsobm ž d j ladá ostata a - tý čl biomicého rozdělí ovrguj - tému člu Poissoova rozdělí )! Důaz Nchť j vě zvolé číslo Pa ) ) )! ) ) ) Jliož tdy ) a ovrguj výraz číslu! Dál a čímž j důaz rovd ) ) )! ) ) Praticé ritérium Dl řdchozího tvrzí lz ro vlié a malé ahradit biomicé rozdělí Bi ) Poissoovým rozdělím Po ) d Toto rozdělí má ouz jd zámý aramtr a j oroti rozdělí biomicému mohm sáz vyčíslitlé Praticé ritérium ro dobrou shodu biomicého rozdělí s rozdělím Poisoovým) j řitom ásldující: j řádově alsoň či alsoň ěoli dsít) a Pozáma Povšimět si ž výš osaá aroximac biomicého rozdělí Poissoovým j ralizováa ta ž s shodují střdí hodoty obou rozdělí Podobě jao v říadě rozdělí biomicého sočívá ftiví zůsob vyčíslí Poissoova rozdělí ioliv v oužití formul ) ýbrž v oužití formul rurtí Ta má v říadě Poissoova rozdělí s aramtrm ásldující odobu Položm Pa )! ro Z formul ) lz vyvodit obdobé závěry o tvaru a modu Poissoova rozdělí jao v říadě rozdělí biomicého Korétě Poissoovo rozdělí má vždy rávě jd loálí modus trý můž být říadě zdvojý Vzdalujm-li s řitom od modu dolva či dorava jdotlivé oissoovsé ravděodobosti lsají Korétí hodotu modu a tvar Poissoova rozdělí s aramtrm můžm řitom oamžitě určit a záladě ásldujících tvrzí 5

6 Tvrzí 6 Nchť ~ Po ) Pro modus xˆ vličiy latí: ) xˆ ) xˆ 3) Jstliž j clé číslo a xistují rávě dvě jravděodobější hodoty vličiy totiž a 4) Jstliž í clé číslo a modus xˆ j urč jdozačě a obdržím jj zaorouhlím čísla dolů Tvrzí 7 Nchť ~ Po ) Ozačm P ) ) Jstliž a ) Jstliž a 3) lim Tvrzí 6 ) ám říá ž střdí hodota Poissoova rozdělí s rlativě téměř liší od jho modu Platí totiž ásldující tvrzí Tvrzí 8 Nchť ~ Po ) Pa E ) D ) Důaz J E )!! )! Posldí suma j totiž součtm ravděodobostí všch hodot rozdělí Po ) Podobě E )! )!! )! )! Kočě D ) E ) E ) Tím j důaz rovd Přílad Na ásldujících obrázcích jsou zázorěy tyčové diagramy tří biomicých rozdělí Bi ) solu s diagramy odovídajícího Poissoova rozdělí Po ) d Korétě byly zvoly hodoty 5 ; 6 a Zatímco v rvém říadě j shoda biomicého rozdělí s Poissoovým vlmi těsá v druhém říadě už to říci lz V osldím říadě a o žádé dobré aroximaci biomicého rozdělí Poissoovým můž být ai řči 6

7 Pravděodobost 5 5 Biomicé rozdělí Poissoovo rozdělí λ Hodota Pravděodobost 5 5 Biomicé rozdělí Poissoovo rozdělí λ Hodota Pravděodobost Biomicé rozdělí Poissoovo rozdělí λ Hodota 7

8 ÚLOHY Klíčivost sm j 8 Zasjm dst sm a) Jaá j ravděodobost ž vylíčí rávě sdm sm? b) Jaá j ravděodobost ž vylíčí alsoň sdm sm? c) Jaý očt vylíčých sm j jvíc ravděodobý? Řší Nchť j očt sm trá vylíčí Vličia má biomicé rozdělí ravděodobostí s aramtry a 8 Tdy Szam ravděodobostí P ) d ro j obsaž v ásldující tabulc: P ) Při výočtu ravděodobostí j řitom výhodé oužít rurtí formuli trá staoví ja a záladě zalosti ravděodobosti Dostam určit ravděodobost Sciálě latí ž a) 7) ravděodobý očt vylíčých sm j rov osmi P b) P 7) 88 c) jvíc Ja určít modus rozdělí Bi ; 8) z řdchozí úlohy chct-li roočítávat clé toto rozdělí? Řší Modus rozdělí Bi ) j clým číslm z itrvalu d V tomto itrvalu lží vždy též číslo tj střdí hodota rozdělí Bi ) Jliož v daém říadě j číslo clé orétě 8 j toto číslo též jdiou hodotou modu Tudíž x ˆ 8 3 Pěstujm hrách s bílými a fialovými věty Věřím v latost Mdlových záoů a řdoládám tudíž ž rostlia vyvt fialově s ravděodobostí 4 Jaá j ravděodobost ž z d- 3 sti rostli jich rávě vyvt fialově? Řší Nchť j očt rostli tré vyvtou fialově Vličia má biomicé rozdělí ravděodobostí s aramtry a 3 4 Tdy P ) Graficé zázorěí tohoto rozdělí omocí tyčového diagramu j a ásldujícím obrázu 8

9 35 3 Pravděodobost Počt rostli tré vyvtou fialově 4 Určt modus rozdělí Bi ) aiž byst roočítávali clé toto rozdělí 6 5 Pěstujm hrách Přstož s o rostliy dobř starám občas ětrá z ich uhy Pravděodobost ž tomu dojd j vša vlmi malá; orétě řdoládjm ž j rova a) Jaá j ravděodobost ž z jdoho tisíc rostli žádá uhy uhyou jvýš čtyři? b) Jstliž budm tvrdit ž z jdoho tisíc rostli jich uhy jvýš sdm jaá j ravděodobost ž ám aš řdověď vyjd? Řší Nchť j očt rostli tré uhyou Vličia má rozdělí Bi ; ) Toto rozdělí lz s začou řsostí aroximovat Poissoovým rozdělím s aramtrm ; aramtr vyjadřuj řitom v daém otxtu střdí očt rostli tré uhyou Užitčost aroximac sočívá v tom ž Poissoovo rozdělí s sáz vyčíslí Dostam řitom lz užít rurtí formuli P )! trá výočt ravděodobostí jště víc zjdoduší Povšimět si ž od již vyočté ravděodobosti řjdm ravděodobosti ta ž ravděodobost zásobím hodotou aramtru a oté odělím idxm rávě očítaé ravděodobosti Pro 7 jsou ravděodobosti zazamáy v ásldující tabulc: P ) P P 4) 95 b) 7) 999 Sciálě tdy: a) ) 35 P Zázorím-li rozdělí ravděodobostí očtu uhyulých rostli tyčovým diagramm j sutčost ž j s vlmi malou ravděodobostí můž uhyout víc ž sdm rostli ihd atrá Korétě j tato ravděodobost rova ) Chcm-li být oatrější můžm ařílad tvrdit ž uhy víc ž dst rostli Pravděodobost ž ám tato řdověď vy- 9

10 jd j už jom Pravděodobost Počt uhyulých rostli 6 Ja určít modus rozdělí Po ) z řdchozí úlohy chct-li roočítávat clé toto rozdělí? Řší Modus rozdělí Po ) j clým číslm z itrvalu V daém říadě s jdá o itrval xistují roto rávě dvě jravděodobější hodoty rozdělí Po ) totiž a 7 Při řijímacích zoušách a lsicou faultu sali studti tst z biologi s adsáti otázami U aždé otázy byly uvdy tři možé odovědi z toho rávě jda srává Za aždou srávou odověď zísal studt jd bod bylo tdy možo zísat jvýš adsát bodů) Jstliž studt zísal méě ž dst bodů byl dooruč studiu Přdoládjm ž studt s a zoušu vůbc řiravil a volil roto odovědi zcla áhodě a) Jaý očt zísaých bodů j ři tomto ostuu jvíc ravděodobý? b) Jaá j ravděodobost ž studt ři saí tstu usěl tj zísal alsoň dst bodů)? Výsld: a) 6 a 7 b) asi 99 4 Pravděodobost Počt bodů

11 Bodové rocsy a rostorová usořádáí Dfiic 4 Prostorm rozumím libovolý Eulidovsý rostor bo jho část; můž jít tdy o rostor třírozměrý al též dvojrozměrý roviu) bo jdorozměrý římu) Dfiic 5 Prostorový bodový rocs stručěji bodový rocs) j áhodý rocs vybírající body v rostoru Prostorová bodová strutura stručěji bodová strutura) j výsld ůsobí ějaého bodového rocsu Body řitom zravidla rrztují ozic určitých hmotých objtů jdiců) či místa výsytu jistých áhodých událostí Bodový rocs ta ja byl výš adfiová j rocs sojitý v tom smyslu ž ozic jdiců či místa výsytů událostí s mohou acházt v jaéoliv části rostoru Tto rocs můž vša robíhat též v disrétím rostřdí dy výsyt jdiců či událostí j omz ouz a určitá vzájmě oddělá místa Dfiic 6 Bodový rocs s azývá homogí jstliž umisťuj jdic s stjou ravděodobostí rs gruj události s stjou itzitou) v všch místch rostoru Dfiic 7 Bodový rocs s azývá čistě áhodý též zcla áhodý) jstliž místa výsytu jdiců rs událostí) závisjí a tom d jsou umístěi ostatí jdici rs v trých místch rostoru astaly ostatí události) Jstliž výsyt jdic či události v bodě x sižuj ravděodobost výsytu dalších jdiců či událostí oblíž tohoto bodu mluvím o ihibici Naoa jstliž výsyt jdic či události v bodě x zvyšuj ravděodobost výsytu dalších jdiců či událostí oblíž tohoto bodu mluvím o atraci Přílady ologicé) ) Za výsld čistě áhodého bodového rocsu ovažujm ař rostorové rozmístěí otmíů zroazů moučých molů aod ) Silá ihibic bývá výsldm silé ourc a lz ji zazamat síš u rostli u živočichů j výjimčě) Výsldm ihibic j vytváří ravidlých rostorových strutur ař u ouštích řů či oloiálě hízdících táů zd j vzdálost mzi jdici urča tím am až můž daý tá dolovout svým zobám) Výsldm atrac bývá aoa vytváří shluů a agrgovaých rostorových strutur Přílad 3 Na ásldujícím obrázu j zázorěo rozmístěí dvaašdsáti smáčů svojí vždyzlých a čtvrcové loš; body zachycují ozic jdotlivých stromů a řdstavují dvojrozměrou bodovou struturu Tato strutura j výsldm bodového rocsu jhož mchaismus j v daém říadě zám Korétě všchy stromy jsou soustřděy olm starých rodičovsých stromů ty vša jsou v strutuř zarsly) Shluy otomů rodičovsých stromů jsou oměrě dobř atré a výsldá strutura s roto jví jao agrgovaá Obr Prostorové rozmístěí svojí

12 Přílad 4 Na ásldujícím obrázu j zázorěo rostorové rozmístěí smrů Toto rozmístěí j vícméě ravidlé tj s řádově srovatlými rozstuy mzi jdici což j třba řisat jsíš a vrub ihibic mzi jdotlivými jdici Tato ihibic j zabudovaá do bodového rocsu jhož výsldm j zazamaá bodová strutura Obr Prostorové rozmístěí smrů Přílad 5 Na ásldujícím obrázu j zachyc výsld homogího čistě áhodého bodového rocsu Korétě jd o výsld ostuého vybíráí bodů v jdotovém čtvrci rostřdictvím grátoru áhodých čísl Pozic žádého z bodů í a ovlivěa umístěím bodů ostatích což zamá ž jd o čistě áhodý rocs Body jsou řitom grováy vybíráy) v všch místch rostoru s stjou itzitou ravděodobostí) což zamá ž jd o rocs homogí Obr 3 Čistě áhodé rozmístěí bodů v čtvrci Ozačí Djm tomu ž ozorujm výsld ůsobí jistého bodového rocsu v ějaé omzé možiě loalitě) B ) Ozačm m B) vliost možiy B Tudíž m B) j déla možiy B v říadě bodového rocsu a římc řivc) obsah možiy B v říadě bodového rocsu v roviě a loš) a objm možiy B v říadě trojrozměrého bodového rocsu ) Ozačm Β) očt jdiců rs událostí) umístěých rs vygrovaých) rocsm v možiě B Pa Β) j áhodá vličia a současě j to míra V torii áhodých rocsů bývá azýváa áhodou aritmticou mírou Pozáma Nchť j homogí bodový rocs Pa střdí očt jdiců rs událostí) umístěých rs vygrovaých) rocsm v možiě B tj střdí hodota áhodé vličiy Β) závisí ouz a objmu možiy B a ioliv a jjím umístěí či oritaci v rostoru

13 Biomicý bodový rocs Dfiic 8 Nchť j určitá omzá část rostoru Homogí čistě áhodý bodový rocs rozmisťující určitý řdm daý očt jdiců v možiě s azývá biomicý bodový rocs v možiě ) Věta Nchť j biomicý bodový rocs rozmisťující čistě áhodě) jdiců v možiě a chť B j jistá část možiy Pa d m B) m ) Β) ~ Bi ) Důaz Očíslujm jdotlivé jdic řirozými čísly řdism i a dfiujm oslouost vliči jstliž i - tý jdic s achází v možiě B jstliž i - tý jdic s achází v možiě B Vzhldm tomu ž rocs j homogí mají všchy vličiy altrativí rozdělí s týmž aramtrm m B) m ) Sutčost ž rocs j čistě áhodý a zaručuj ž tyto vličiy jsou vzájmě závislé Přitom stačí tdy aliovat tvrzí Β) Přílad 6 rozmístěí rozi v bochácích) Do jdoho sta ilogramů těsta vsym dst tisíc rozi ačž těsto s roziami vlmi důladě romísím Z těsta oté vytvářím adsátigramové bocháy Ozačm očt rozi v bocháu a) Poišt rozdělí ravděodobostí áhodé vličiy b) Vyočítjt ravděodobost ž v áhodě vybraém bocháu í žádá rozia jsou alsoň tři roziy Řší a) Těsto lz ovažovat za část třírozměrého Eulidovsého rostoru a mchaismus rozmisťováí rozi v těstě za trojrozměrý bodový rocs V aší úloz jd o rocs homogí dy roziy jsou umisťováy s stjou ravděodobostí v libovolém místě rostoru; to j ovšm slěo až thdy dyž roziy v těstě vlmi důladě zamíchám Dál jd o rocs čistě áhodý boť j řirozé řdoládat ž mzi jdotlivými roziami jsou žádé rostorové itrac zd j ovšm důlžité ž vliost rozi j v srováí s objmm těsta v odstatě zadbatlá ročž lz roziy v úvahách o jjich rostorovém rozmístěí ovažovat za body) Jia řčo výsldá oloha žádé z rozi závisí a oloz ostatích rozi v těstě Počt rozmisťovaých rozi j řitom vě dá; ozačm jj Ozačm dál N očt bocháů Těsto řdstavuj možiu áhodě vybraý avša v dalších úvahách vě daý) bochá j odmožiou B možiy Vličia j totožá s vličiou Β) z věty a má tudíž dl této věty rozdělí Bi ) d m B) m ) N Shruto ~ Bi N V ašm říadě j N a tdy ~ Bi; 5) Rozdělí Bi ; 5) lz řitom s vlou řsostí aroximovat Poissoovým rozdělím s aramtrm 5 vyjadřujícím růměrý očt rozi řiadajících a jd bochá) b) P ) 7 P 3) 875 3

14 Pravděodobost Počt rozi v bocháu Poissoův bodový rocs Dfiic 9 Homogí čistě áhodý bodový rocs grující v rostoru áhodé události s azývá Poissoův bodový rocs Střdí očt událostí řiadajících a jdotu objmu lochy dély ) azývám itzitou tohoto rocsu Pozáma Rozdíl mzi biomicým a Poissoovým bodovým rocsm sočívá v tom ž biomicý rocs rozmisťuj v jisté omzé části rostoru řdm daé možství jdiců zatímco Poissoův rocs rostě gruj události s řdm daou itzitou) Nědy s ojm Poissoův rocs oužívá v obcějším slova smyslu ro jaýoliv čistě áhodý bodový rocs grující v rostoru áhodé události a homogí čistě áhodý rocs s a azývá homogí Poissoův rocs bo též Poissoův rocs s ostatí itzitou Věta Nchť j Poissoův bodový rocs a B j určitá omzá část rostoru Pa d j itzita rocsu Β) ~ Po m B) Důaz Přdstavm si možiu B rozdělou a vlmi malých vzájmě disjutích částí Budou-li tyto části očě malé což asta ro ) lz si j řdstavit jao místa v rostoru v ichž ásldm bodového rocsu dojd buď výsytu rávě jdié události bo dojd výsytu žádé události řiouštím tdy výsyt víc ja jdé události v jdom a řsě tom samém místě) Vzhldm tomu ž rocs j homogí j ravděodobost výsytu události ro všcha tato dfiovaá místa v rostoru stjá; ozačm tuto ravděodobost Pravděodobost j zřjmě římo úměrá vliosti daého místa tj m B) Jsou-li řitom místa očě malá lz zavést ostatu úměrosti stjou ro všcha místa v rostoru) a sát m B) Paramtr má zřjmě výzam itzity s íž s události v rostoru vysytují zatím ovšm jště í zjvé ž jd o itzitu v smyslu dfiic 9 Náhodou aritmticou míru Β) lz yí dfiovat jao očt těch míst v možiě B v ichž asta událost Jliož vša rocs j čistě áhodý závisí ravděodobost výsytu události v daém místě a tom v jaých dalších místch 4

15 možiy B události astaly či astaly) Dl tvrzí má tdy vličia Β) rozdělí Bi ) Přitom vša a mb) Dl tvrzí 5 j tdy Β) vličia s rozdělím Po mb) což bylo doázat Odtud dál vylývá ž střdí očt událostí vygrovaých rocsm v možiě B j rov mb) a tdy střdí očt událostí vygrovaých rocsm v možiě s jdotovým objmm j rov Paramtr má tdy sutčě výzam itzity v smyslu dfiic 9 Tyicá aliac Nchť rostliy a louc tj v roviě) jsou rozmístěy a záladě ůsobí ásldujícího mchaismu: ) Itzita výsytu rostli j všud stjá ) Náhodý jv sočívající v tom ž a daém místě vyrost či vyrost) rostlia závisí a tom oli dalších rostli vyrostlo v oolí tohoto místa Budiž B omzá možia řdstavující xrimtálí lochu tj jistou část louy ař čtvrcového či ruhového tvaru Ozačm Β) očt rostli tré s objví rs achází) v možiě B Pojm objví j advátí thdy jstliž xrimtálí locha j řdm zvola a oté čám až rostliy vyrostou ojm achází odovídá situaci dy všchy rostliy již vyrostly a oté j a louc áhodě umístěa xrimtálí locha daé vliosti a tvaru) Úolm j určit rozdělí ravděodobostí vličiy Β) Řší Mchaismus výsytu rostli a louc slňující ožadavy ) a ) řdstavuj Poissoův rocs Vličia Β) má tudíž Poissoovo rozdělí s aramtrm mb) d j itzita výsytu rostli a louc tj střdí očt rostli řiadající a jdotu lochy Přílad 7 Přdoládjm ž bodláy jsou a louc rozmístěy zcla áhodě řičmž střdí očt rostli řiadajících a jd mtr čtvrčí j rov dvěma Při rocházc o louc si áhodě vybrm místo odočiu Jaá j ravděodobost ž v oruhu jdoho mtru olm ás s acházjí jvýš dva bodláy? Řší Rozmístěí bodláů a louc j dl řdoladů úlohy výsldm dvojrozměrého homogího Poissoova rocsu s itzitou dzitou) dvě rostliy a mtr čtvrčí Počt rostli v ruhu o oloměru jd mtr s tdy řídí Poissoovým záom rozdělí ravděodobostí s aramtrm Pravděodobost ž s v tomto ruhu acházjí jvýš dvě rostliy j asi 5 Jdorozměrý Poissoův rocs Jdorozměrý Poissoův rocs zravidla itrrtujm jao rocs výsytu áhodých událostí v čas Často s ojm Poissoův rocs oužívá v užším slova smyslu ouz ro tto ty áhodého rocsu Dfiic j otom ásldující Dfiic Procs výsytu áhodých událostí v čas s azývá Poissoovým rocsm s ostatí itzitou) jstliž latí: ) K událostm dochází stál s stjou itzitou ) Budoucí růběh rocsu závisí a miulém růběhu rocsu Přílady Poissoovým rocsm jsou ařílad ) výsyty hod v jistém úsu dálic oruch ějaého stroj racovích úrazů v určitém rovozu ) říchody hovorů a tlfoí ústřdu 5

16 3) rozad atomů radioativí láty v časovém úsu zadbatlém v orováí s oločasm rozadu) 4) úmrtí jdiců v oulaci s ostatí mortalitou v časovém úsu zadbatlém v orováí s střdí délou života) Věta abývá yí ásldující formy Věta 3 Nchť N T j očt událostí tré jaožto výsld Poissoova rocsu s ostatí itzitou astaou v časovém itrvalu dély T Pa N T ~ Po T ) Itzita má řitom výzam střdího očtu událostí řiadajících a jdotu času Přílad 8 Přdoládjm ž a tlfoí ústřdu řicházjí v určité dí době hovory s měou itzitou tři hovory za jdu miutu a) Jaá j ravděodobost ž za jdu miutu dojd a ústřdu méě ž ět hovorů? b) Odhadět s 95% ravděodobostí maximálí očt hovorů tré dojdou a ústřdu běhm jdé miuty c) Určt střdí délu itrvalu mzi dvěma o sobě ásldujícími říchody hovorů d) Jaá j ravděodobost ž déla itrvalu mzi dvěma o sobě ásldujícími říchody hovorů j dlší ž jda miuta? Výsld: Nchť j očt hovorů tré dojdou a ústřdu běhm jdé miuty Příchody hovorů a tlfoí ústřdu jsou tyicým říladm Poissoova rocsu tudíž Odtud ly ž: a) b) c) střdí déla itrvalu mzi dvěma o sobě ásldujícími říchody hovorů j rova dvacti vtřiám d) P ) 3 5 ÚLOHY Dvě stě ašich soluobčaů bzdomovců s čistě áhodě rozmístilo a oté usadilo) a homogím staovišti o rozloz dst čtvrčích ilomtrů Uvitř tohoto staoviště j dstihtarový ozm atřící jié aší soluobčac Zuzc H S jaou ravděodobostí osídlili Zuzčio úzmí alsoň tři bzdomovci? Řší Ozačm očt bzdomovců osídlivších Zuzčio úzmí Vzhldm řdoladu čistě áhodého rozmístěí bzdomovců a daém staovišti má vličia rozdělí Bi ; řitom lz oužít aroximaci Odtud ly ž P 3) 3 Tisíc turistů vyrazilo a dvact ilomtrů dlouhou túru Každý z ich dostal a cstu od ořadatlů o jdom jogurtu Běhm túry odhodili turisté všchy límy od jogurtů odél csty Sto mtrů dlouhý ús csty vd úzmím m Aačů Každého turistu trý a jjich úzmí odhodí lím Aačové salují Jstliž řdoládám ž turisté odhazují límy v růběhu túry zcla áhodě jaá j ravděodobost ž alsoň dva z ich řijdou o sal? Výsld: Rozmístěí límů odél csty j dl řdoladů úlohy výsldm jdorozměrého biomicého bodového rocsu Hldaá ravděodobost j Dst tisíc brouů s čistě áhodě rozmístí a dvou a ůl tisíci rostli Poišt rozdělí ravděodobostí očtu brouů a rostliě a zázorět j graficy Řší Náhodý rocs grující rozmístěí brouů a rostliách lz ovažovat za bodový rocs v disrétím rostřdí tvořém rostliami Přdoládjm ž rostřdí tvořé rostliami) 6

17 j z hldisa životích odmí brouů homogí a ž rostliy jsou stjě vlié Počt brouů a rostliě j otom áhodou vličiou s rozdělím Bi 5 Z výočtího hldisa j řitom výhodé aroximovat toto rozdělí Poissoovým rozdělím s aramtrm 4 Sciálě latí ž a rostliě j s ravděodobostí 99 jvýš dvět brouů 5 Pravděodobost Počt brouů a rostliě 4 Brouci jsou čistě áhodě rozmístěi a rostliách s itzitou dzitou) 4 broua a jdu rostliu Jaý očt brouů a rostliě j a jvíc ravděodobý? Určt tuto ravděodobost Přdoládám ž rostliy jsou stjě vlié) 5 Rostliy jsou a daé loalitě rozmístěy čistě áhodě s itzitou jda rostlia a mtr čtvrčí Jaý očt rostli v áhodě vybraém ruhu o růměru jd mtr j a jvíc ravděodobý? Výsld: 6 Loua j rozdělá a dvět st stjě vlých čtvrců Dvě stě dvact jd z těchto čtvrců řitom obsahuj žádou sdmirásu Přdoládjt ž sdmirásy jsou a louc rozmístěy čistě áhodě a oírajíc s o tto řdolad odhadět očt sdmirás a louc Výsld: 64 7 Brouci jsou rozmístěi zcla áhodě a stjě vliých) rostliách s itzitou čtyři brouci a rostliu Jaá j ravděodobost ž s a rostliě achází lichý rs sudý) očt brouů? Řší Nchť brouci jsou a rostliách rozmístěy čistě áhodě s ostatí itzitou vyjádřou v očtu brouů řiadajících a jdu rostliu) Pa P a rostliě j lichý očt brouů)! 3 3! 5 5! sih 4 sih P a rostliě j sudý očt brouů)! 4 4! cosh 4 cosh Přdoládjm ž běhm léta uhyou z daé věové třídy určité oulac v růměru tři jdici dě řičmž úmrtost j běhm clého léta stjá Ozačm očt jdiců tří uhyou běhm jdoho d a) Poišt rozdělí ravděodobostí áhodé vličiy a určt jho modus b) Jaá j ravděodobost ž běhm jdoho d uhy jvýš jd jdic? Řší a) Přdoládjm ž zvolá časová jdota d) j vlmi malá v srováí s střdí délou života jdic Rozdělí ravděodobostí vličiy j otom Poissoovo s aramt- 7

18 rm 3 Paramtr má v daém otxtu výzam itzity umíráí boli mortality) Njvíc ravděodobý j řitom úhy dvou bo tří jdiců za d 3 b) P ) 4 8