Barbora Zavadilová. Logaritmicko-konkávní rozd lení pravd podobnosti a jejich aplikace DIPLOMOVÁ PRÁCE

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Barbora Zavadilová Logaritmicko-konkávní rozd lení pravd podobnosti a jejich aplikace Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Studijní program: Studijní obor: prof. RNDr. Jitka Dupa ová, DrSc. Matematika Pravd podobnost, matematická statistika a ekonometrie Praha 2014

2 Na tomto míst bych ráda pod kovala prof. RNDr. Jitce Dupa ové, DrSc. za laskavou pomoc, ochotu a as, který mi p i vypracování této diplomové práce v novala.

3 Prohla²uji, ºe jsem tuto diplomovou práci vypracovala samostatn a výhradn s pouºitím citovaných pramen, literatury a dal²ích odborných zdroj. Beru na v domí, ºe se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném zn ní, zejména skute nost, ºe Univerzita Karlova v Praze má právo na uzav ení licen ní smlouvy o uºití této práce jako ²kolního díla podle Ÿ60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne 10. dubna 2014 Barbora Zavadilová

4 Název práce: Logaritmicko-konkávní rozd lení pravd podobnosti a jejich aplikace Autor: Barbora Zavadilová Katedra: Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Jitka Dupa ová, DrSc., Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V p edloºené práci studujeme vlastnosti log-konkávních pravd podobnostních rozd lení. Shrneme základní denice a v ty v jedno- i vícerozm rném p ípad a aplikujeme je na p íklady konkrétních rozd lení. Mezi log-konkávní rozd lení pat í ada známých a hojn pouºívaných rozd lení, nap íklad normální, exponenciální, pro ur ité hodnoty parametr také Gamma, Beta a spousta dal²ích. Log-konkávní rozd lení mají adu aplikací v ekonomii, teorii spolehlivosti, stochastickém programování i optimalizaci. Zam íme se na neparametrický odhad log-konkávní hustoty metodou maximální v rohodnosti s vyuºitím softwaru R. Klí ová slova: log-konkávní rozd lení, teorie spolehlivosti, maximáln v rohodný odhad log-konkávní hustoty Title: Logarithmic-concave probability distributions and their applications Author: Barbora Zavadilová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: prof. RNDr. Jitka Dupa ová, DrSc., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: In present work we study properties of log-concave probability distributions. We summarize basic denitions and theorems in one and also multidimensional space and apply them to the specic distributions. The class of log-concave densities includes most of well-known and frequently used probability distributions, examples include normal, exponential, for certain values of parameters also Gamma, Beta and many others. The assumption about the log-concavity of a probability distribution appears in various applications, e.g. in econometrics, reliability theory, stochastic programming or optimization. We are interested in the nonparametric maximum likelihood estimation of log-concave probability densities using the software R. Keywords: log-concave distributions, reliability theory, maximum likelihood estimation of log-concave density

5 Obsah Úvod 2 Seznam pouºitých symbol 3 1 Jednorozm rný p ípad Log-konkávní hustota a distribu ní funkce Teorie spolehlivosti Transformace, krácení a zrcadlový obraz P íklady rozd lení Mocninné rozd lení Gamma rozd lení Paretovo rozd lení Zrcadlové Paretovo rozd lení Diskrétní rozd lení Vícerozm rný p ípad Log-konkávní pravd podobnostní míra a hustota P íklady rozd lení Normální rozd lení Wishartovo rozd lení Beta rozd lení Dirichletovo rozd lení Nerovnosti Aplikace Stochastické programování Maximáln v rohodný odhad log-konkávní hustoty a distribu ní funkce Unimodální funkce Existence a jednozna nost odhadu P íklad Vícerozm rný p ípad Záv r 47 Seznam pouºité literatury 48 Seznam tabulek 50 P ílohy 51 A Pouºití funkce logcondens

6 Úvod Cílem práce je shrnout teorii log-konkávních pravd podobnostních rozd lení a seznámit se s jejich aplikacemi. Práce je rozd lena do t í kapitol. V první kapitole práce jsou vyloºeny základy teorie log-konkávních rozd lení v jednorozm rném p ípad. Za neme vztahem monotónnosti a log-konkávnosti. Podkapitola 1.2 je v nována teorii spolehlivosti. Zde se zam íme na spolehlivostní funkce, intenzitu poruch a o ekávanou dobu do poruchy stroje. Mezi log-konkávní rozd lení pat í ada známých a hojn pouºívaných rozd lení, nap íklad normální, exponenciální, pro ur ité hodnoty parametr také Gamma, Beta a spousta dal- ²ích. V sekci 1.4 na n kolika konkrétních p íkladech podrobn ilustrujeme teorii první kapitoly. Vlastnosti uvedených funkcí p iblíºíme obrázky. Jsou zde uvedeny tabulky, které p ehledn shrnují log-konkávní rozd lení (viz Tabulka 1.1), rozd lení, které nemají log-konkávní hustotu (viz Tabulka 1.2) a jejich vlastnosti (Tabulka 1.3). V ásti 1.5 uvedeme pár poznámek o diskrétních rozd leních, binomické, i Poissonovo rozd lení jsou také log-konkávní. Cílem kapitoly druhé je seznámení s log-konkávními funkcemi ve vícerozm rném prostoru. Zajímavou vlastností, která je odvozena v D sledku 2.1.5, je, ºe sou et dvou nezávislých náhodných vektor s log-konkávním rozd lením je náhodný vektor, který má op t log-konkávní rozd lení. ƒást 2.2 je v nována n kolika konkrétním p íklad m rozd lení. Dále v podkapitole 2.3 dokáºeme zajímavé nerovnosti, pomocí kterých dojdeme k záv ru, ºe v²echny log-konkávní funkce jsou nutn subexponenciální a unimodální. Log-konkávní rozd lení mají adu aplikací v ekonomii, teorii spolehlivosti a teorii her. My se ve t etí kapitole zam íme na aplikaci ve stochastickém programování (podkapitola 3.1), dále v ásti 3.2 budeme hledat neparametrický odhad log-konkávní hustoty metodou maximální v rohodnosti v jedno- i vícerozm rném p ípad. Log-konkávní funkce jsou podt ídou unimodálních funkcí. Pro unimodální hustoty s neznámým modem odhad metodou maximální v rohodnosti neexistuje, ale pro funkci log-konkávní odhad existuje a je ur en jednozna n. Toto tvrzení je pro jednorozm rné hustoty dokázáno ve V t 3.2.8, pro vícerozm rná rozd lení uvedeme tuto vlastnost bez d kazu ve V t S pouºitím softwaru R odhady ilustrujeme n kolika obrázky a ukáºeme srovnání s jádrovým odhadem. Výklad v první kapitole je zaloºen p edev²ím na práci [1]. Mnohorozm rný p ípad v kapitole druhé vychází z knihy [12], ást týkající se nerovností je inspirována lánkem [13]. Aplikace log-konkávních rozd lení ve stochastickém programování je zpracována podle [4]. Maximáln v rohodný odhad jednorozm rné log-konkávní hustoty je odvozen z prací [11], [6] a [5], odhad vícerozm rné hustoty je inspirován [2]. K výpo t m a generování obrázk pouºíváme statistický software R. Zdrojový kód je sou ástí P ílohy A. 2

7 Seznam pouºitých symbol Dom( ) deni ní obor funkce f hustota rozd lení F distribu ní funkce F zrcadlová distribu ní funkce F spolehlivostní funkce r intenzita poruch (hazardní funkce) M RL st ední zbytkový as P pravd podobnostní míra na R n mnoºina v²ech rozd lení na R n, která mají log-konkávní hustotu empirická distribu ní funkce náhodného výb ru X 1,..., X n logaritmická v rohodnost modikovaná logaritmická v rohodnost ˆf n maximáln v rohodný odhad hustoty f P n F n L n Ψ n Euklidovská norma vektoru Lebesgueova míra mnoºiny conv( ) konvexní obal mnoºiny 3

8 1. Jednorozm rný p ípad V první kapitole se budeme v novat vlastnostem log-konkávních funkcí v jednorozm rném p ípad, budeme vycházet z práce [1]. V celém textu budeme p edpokládat existenci v²ech pot ebných derivací. Za n me denicí: Denice Funkce f : R R je log-konkávní (nebo také logaritmickokonkávní), jestliºe f(x) 0 a pro v²echna x, y Dom(f), 0 < λ < 1 platí f(λx + (1 λ)y) f(x) λ f(y) (1 λ). (1.1) ekneme, ºe f je log-konvexní (logaritmicko-konvexní), jestliºe v (1.1) platí obrácená nerovnost. Jestliºe f(x) > 0 pro v²echna x Dom(f), pak f je log-konkávní, pokud log f je konkávní funkce a log-konvexní, pokud log f je konvexní. Tedy f je log-konkávní práv tehdy, kdyº 1 je log-konvexní. Jestliºe p ipustíme nulovou hodnotu funkce f f a v takovém p ípad poloºíme log f(x) =, m ºeme íkat, ºe f je log-konkávní, jestliºe roz²í ená funkce log f je konkávní. V²imn me si, ºe nerovnost (1.1) pro log-konkávní funkci íká, ºe hodnota funkce v bod, který je aritmetickým pr m rem dvou hodnot, je v t²í nebo rovna geometrickému pr m ru funk ních hodnot v t chto bodech. Kaºdou log-konvexní funkci f m ºeme zapsat ve tvaru f = e g, kde g = log f je konvexní. Pro kaºdou konvexní funkci g je e g také konvexní, proto kaºdá logkonvexní funkce je také konvexní. Podobn platí, ºe kaºdá nezáporná log-konkávní funkce je konkávní. Poznamenejme je²t, ºe spojitá náhodná veli ina má log-konkávní rozd lení jestliºe její hustota je log-konkávní. 1.1 Log-konkávní hustota a distribu ní funkce Budeme zkoumat log-konkávnost a log-konvexitu jednorozm rné hustoty, distribu ní funkce a jejich integrál. Nejprve uvedeme n kolik poznámek a lemmat, které dále vyuºijeme v d kazech d leºitých tvrzení. Poznámka Spojit diferencovatelná funkce f je log-konkávní na (a, b) práv tehdy, kdyº pro v²echna x (a, b) je f (x) f(x) (1.2) nerostoucí funkce. Na intervalu (a, b) je f log-konvexní práv tehdy, kdyº (1.2) je neklesající pro v²echna x (a, b). D kaz. ln f(x) je konkávní práv tehdy, kdyº ( ) f (ln f(x)) (x) = 0. f(x) 4

9 Poznámka F (x) = x f(t)dt je log-konkávní (log-konvexní) na (a, b) práv tehdy, kdyº pro v²echna x (a, b) je f (x)f (x) f(x) 2 nekladná (nezáporná) a funkce. D kaz. Funkce ln F (x) je konkávní práv tehdy, kdyº ( ) f(x) (ln F (x)) = = f (x)f (x) f(x) 2 0. F (x) F (x) 2 Lemma Nech f je spojit diferencovatelná funkce na (a, b), poloºme F (x) = x f(t)dt pro v²echna x (a, b). Ozna me f(a) = lim a x a+ f(x), potom platí: (i) Jestliºe f(x) je log-konkávní na (a, b), potom F (x) je také log-konkávní na (a, b). (ii) Jestliºe F (x) je log-konvexní na (a, b) a f(a) = 0, potom F (x) je také logkonvexní na (a, b). D kaz. (i) Jestliºe f je log-konkávní, potom pro v²echna x (a, b) platí f (x) f(x) F (x) = f (x) f(x) x a f(t)dt nerovnost plyne z toho, ºe f (x) f(x) nezáporná, je f(a) 0, a tedy x a f (t) f(t) f(t)dt = x a f (t)dt = f(x) f(a), je nerostoucí podle Poznámky Protoºe f je f (x) F (x) f(x) f(a) f(x). f(x) Z nerovnosti f (x)f (x) f(x) 2 0 plyne log-konkávnost funkce F podle Poznámky (ii) Podobnou úvahou za p edpokladu, ºe f je log-konvexní a f(a) = 0, dostaneme f (x) F (x) f(x) f(a) = f(x), f(x) odkud plyne, ºe f (x)f (x) f(x) 2 0, podle Poznámky je F log-konvexní. Ov it log-konkávnost funkce m ºeme i tehdy, kdyº nevíme jak vypadá její logaritmus. Mnoho b ºných rozd lení nemá uzav ený tvar pro distribu ní funkci, ale jejich hustota má jednoduchý p edpis. Jedním z trik, jak rozeznat logkonkávnost, je, ºe rozd lení s log-konkávní hustotu má log-konkávní i distribu ní funkci. Navíc log-konkávnost distribu ní funkce je posta ující podmínkou pro logkonkávnost jejího integrálu. Distribu ní funkci normálního rozd lení nelze vyjád it elementárními funkcemi a p ímé ov ení log-konkávnosti je obtíºné. Ale hustota normálního rozd lení je log-konkávní, protoºe její logaritmus je kvadratická funkce. Tvrzení, ºe integrál z log-konkávní funkce je log-konkávní uvedeme v ásti 2.1. Zatím si vysta íme s p ípadem jednorozm rné diferencovatelné hustoty. 5

10 V ta Nech f je hustota na (a, b) a F je odpovídající distribu ní funkce. Potom platí: (i) Jestliºe f je spojit diferencovatelná a log-konkávní na (a, b), potom F je také log-konkávní na (a, b). (ii) Jestliºe F je log-konkávní na (a, b), potom G(x) = x F (t)dt je také logkonkávní funkce na (a, a b). D kaz. Tvrzení (i) je speciálním p ípadem Lemmatu (i). Protoºe F je distribu ní funkce rozd lení s hustotou f, je absolutn spojitá (tedy i spojitá) a diferencovatelná (F = f). Tvrzení (ii) op t plyne z Lemmatu (i). D sledek Jestliºe hustota f je klesající, potom distribu ní funkce F i její integrál G je log-konkávní. D kaz. F je distribu ní funkce, je tedy rostoucí. Jestliºe f je klesající, potom f(x) je klesající. Protoºe F (x) ( ) f(x) = (ln F (x)) 0, F (x) je F log-konkávní. G je log-konkávní podle V ty Distribu ní funkce m ºe být log-konvexní i log-konkávní, p estoºe hustota p íslu²ného rozd lení tuto vlastnost nemá. V Tabulce 1.3 jsou uvedeny p íklady rozd lení s log-konvexní hustotou a logkonkávní distribu ní funkcí. Mnoºinu v²ech rozd lení s log-konvexní hustotou, které mají log-konvexní i distribu ní funkci, rozeznáme snadno: V ta Nech f je hustota na (a, b) a F je odpovídající distribu ní funkce. Potom platí: (i) Jestliºe f je spojit diferencovatelná a log-konvexní na (a, b) a f(a) = 0, potom F je také log-konvexní na (a, b). (ii) Jestliºe F je log-konvexní na (a, b), potom G(x) = x F (t)dt je také logkonvexní na (a, a b). D kaz. Tvrzení (i) plyne ihned z Lemmatu (ii). Protoºe F je distribu ní funkce rozd lení s hustotou f, je tedy spojitá, diferencovatelná a platí lim F (x) = 0. x a+ Tvrzení (ii) spl uje p edpoklady Lemmatu (ii), proto je funkce G logkonvexní. 6

11 1.2 Teorie spolehlivosti Log-konkávní funkce mají adu aplikací v teorii spolehlivosti, která se zabývá ºivotností a poruchovostí n jakého stroje i organismu. Nech a je as uvedení stroje do provozu a b je okamºik, o kterém bu víme, ºe se ho stroj nedoºije, anebo ve kterém stroj bude vy azen z provozu (nap íklad jiº bude zastaralý). P edpokládejme, ºe se stroj porouchá v n jakém asovém okamºiku b hem intervalu (a, b). Hustota poruch f(x) je denována jako pravd podobnost, ºe se stroj v ase x porouchá. Pravd podobnost, ºe porucha nastane d íve neº v ase x, je dána distribu ní funkcí F (x) = x a f(t)dt, x (a, b). Denice Spolehlivostní funkce je denována jako F (x) = 1 F (x), x (a, b) a udává pravd podobnost, ºe v intervalu (a, x) nedojde k poru²e. Integrál ze spolehlivostní funkce budeme zna it jako H(x) = b x F (t)dt. Denice Pom r hustoty poruch a p íslu²né spolehlivosti r(x) = f(x) F (x) se nazývá intenzita poruch nebo také hazardní funkce. Intenzita poruch udává pravd podobnost, ºe stroj, který p eºil do asu x, se porouchá práv v tomto okamºiku. Poznámka Spolehlivostní funkce F (x) = b x f(t)dt je log-konkávní (log-konvexní) na intervalu (a, b) práv tehdy, kdyº pro v²echna x (a, b) je f (x) F (x) + f(x) 2 nezáporná (nekladná) funkce. D kaz. Protoºe F (x) = f(x), kde f je hustota, je tedy diferencovatelná. Podobn jako v Poznámce je funkce ln F (x) je konkávní práv tehdy, kdyº ( ) (ln F f(x) (x)) = = f (x) F (x) + f(x) 2 0. F (x) F (x) 2 7

12 Lemma Nech f je spojit diferencovatelná funkce na (a, b), poloºme F (x) = b x f(t)dt pro v²echna x (a, b). Ozna me f(b) = lim x b f(x), potom platí: (i) Jestliºe f(x) je log-konkávní na (a, b), potom F (x) je také log-konkávní na (a, b). (ii) Jestliºe F (x) je log-konvexní na (a, b) a f(b) = 0, potom F (x) je také logkonvexní na (a, b). D kaz. (i) Jestliºe f je log-konkávní, potom pro v²echna x (a, b) platí f (x) f(x) F (x) = f (x) f(x) b x f(t)dt nerovnost plyne z toho, ºe f (x) f(x) nezáporná, je f(b) 0, a tedy b x f (t) f(t) f(t)dt = b x f (t)dt = f(b) f(x), je nerostoucí podle Poznámky Protoºe f je f (x) f(x) F (x) f(b) f(x) f(x). Z nerovnosti f (x)f (x)+f(x) 2 0 plyne log-konkávnost F podle Poznámky (ii) Podobnou úvahou za p edpokladu, ºe f je log-konvexní a f(b) = 0, dostaneme f (x) f(x) F (x) f(b) f(x) = f(x), odkud plyne, ºe f (x) F (x) + f(x) 2 0, podle Poznámky je F log-konvexní. V ta Nech f je hustota na intervalu (a, b) a F je odpovídající spolehlivostní funkce. Potom platí: (i) Jestliºe f je spojit diferencovatelná a log-konkávní na (a, b), potom F je také log-konkávní na (a, b). (ii) Jestliºe F je log-konkávní na (a, b), potom H(x) = b F (t)dt je také logkonkávní na (a, x b). D kaz. Tvrzení (i) plyne ihned z Lemmatu (i). Spolehlivostní funkce F je spojitá (nebo F je absolutn spojitá), je diferencovatelná ( F = f). Podle Lemma (i) je funkce H v ásti (ii) log-konkávní. D sledek Jestliºe hustota f je log-konkávní na (a, b), potom intenzita poruch r je rostoucí na (a, b). D kaz. Platí r(x) = f(x) F (x) = F (x) F (x). Z V ty plyne, ºe pokud f je log-konkávní, potom také F je log-konkávní. Tudíº (ln F (x)) = F (x) F (x) = r(x) je klesající v x, proto r je rostoucí v x. 8

13 Poznámka Obrácené tvrzení D sledku neplatí. Existuje rozd lení s rostoucí intenzitou poruch, jehoº hustota není log-konkávní. Takovým rozd lením je nap íklad zrcadlové Paretovo, ke kterému se dostaneme v p íkladu D sledek Jestliºe hustota f je rostoucí, potom spolehlivostní funkce F je log-konkávní a intenzita poruch r rostoucí. D kaz. Protoºe F je spolehlivostní funkce, podle denice musí být klesající. Jestliºe f je rostoucí, intenzita poruch f F musí být také rostoucí. Ale rostoucí intenzita poruch je ekvivalentní s log-konkávností spolehlivostní funkce. V ta Nech f je hustota na intervalu (a, b) a F odpovídající spolehlivostní funkce. Potom platí: (i) Jestliºe f je spojit diferencovatelná a log-konvexní na (a, b) a f(b) = 0, potom F je také log-konvexní na (a, b). (ii) Jestliºe F je log-konvexní na (a, b), potom H(x) = b F (t)dt je také logkonvexní na (a, x b). D kaz. Tvrzení (i) plyne ihned z Lemmatu (ii). Protoºe F je spolehlivostní funkce rozd lení s hustotou f, je tedy spojitá, diferencovatelná a navíc platí lim x b F (x) = 1 lim F (x) = 0. x b Tvrzení (ii) spl uje p edpoklady Lemma (ii), proto je funkce H log-konvexní. Denice Nech f je hustota poruch denovaná na (a, b) a F je odpovídající spolehlivostní funkce, potom f(t) je hustota podmín né pravd podobnosti, F (x) ºe stroj v ase x p eºije do asu t > x. Funkce denovaná p edpisem MRL(x) = b x t f(t) F (x) dt x udává o ekávanou dobu do poruchy stroje, který je nyní ve v ku x, a nazývá se st ední zbytkový as. Jestliºe st ední zbytkový as M RL je klesající funkce, znamená to, ºe se o ekávaná zbývající ºivotnost stroje sniºuje, kdyº stroj stárne. Jedním z d vod, pro se zajímáme o log-konkávnost integrálu ze spolehlivostní funkce H(x), je ten, ºe tato vlastnost je ekvivalentní s monotónností M RL(x). Lemma M RL je klesající práv tehdy, kdyº H je log-konkávní. D kaz. V²imn me si, ºe f(t) = F (t). Integrací per partes dostaneme MRL(x) = b F (t)dt x F (x) = H(x) H (x). Odtud vidíme, ºe MRL(x) je rostoucí práv tehdy, kdyº H (x) H(x) H(x) log-konkávní podle Poznámky je klesající, tedy 9

14 V ta Jestliºe hustota f(x) anebo spolehlivostní funkce F (x) je log-konkávní, potom M RL(x) je klesající. D kaz. Z V ty (ii) plyne, ºe log-konkávnost F implikuje log-konkávnost H, potom je podle Lemmatu funkce MRL rostoucí. Z V ty (i) také plyne, ºe log-konkávnost hustoty f implikuje log-konkávnost spolehlivostní funkce F, tím je tvrzení dokázáno. Spolehlivostní funkce F je log-konkávní práv tehdy, kdyº intenzita poruch r je neklesající. Musí tedy platit: D sledek Jestliºe je intenzita poruch r rostoucí, potom st ední zbytkový as MRL je klesající. 1.3 Transformace, krácení a zrcadlový obraz N která pravd podobnostní rozd lení vycházejí z jednodu²²ího rozd lení aplikací na transformovanou prom nnou. Nap íklad lognormální rozd lení je denováno na (0, + ) a distribu ní funkce je F (x) = Φ(ln x), kde Φ je distribu ní funkce normálního rozd lení. Normální rozd lení má log-konkávní distribu ní funkci a funkce ln(x) je konkávní rostoucí, proto distribu ní funkce lognormálního rozd lení je log-konkávní, av²ak hustota lognormálního rozd lení log-konkávní není. K lognormálnímu rozd lení se je²t vrátíme v ásti 3.1. V ta Nech F je funkce denovaná na (a, b) a t je monotónní funkce z (a, b ) do (a, b) = (t(a ), t(b )). Denujme funkci ˆF p edpisem ˆF (x) = F (t(x)), x (a, b ). (i) Jestliºe F je rostoucí log-konkávní a t je konkávní funkce, potom ˆF je logkonkávní. (ii) Jestliºe F je klesající log-konvexní a t je konvexní funkce, potom ˆF je logkonvexní. D kaz. (i) Protoºe t je konkávní, platí pro v²echna x, y (a, b ), λ (0, 1) t(λx + (1 λ)y) λt(x) + (1 λ)t(y). F je rostoucí, proto pro v²echna x, y (a, b ), λ (0, 1) musí platit F (t(λx + (1 λ)y)) F (λt(x) + (1 λ)t(y)) F (t(x)) λ F (t(y)) (1 λ), druhá nerovnost plyne z toho, ºe F je log-konkávní. Podle Denice je funkce ˆF = F (t(x)) log-konkávní. (ii) Podobn jako v (i) dostaneme pro v²echna x, y (a, b ), λ (0, 1) F (t(λx + (1 λ)y)) F (λt(x) + (1 λ)t(y)) F (t(x)) λ F (t(y)) (1 λ). První nerovnost plyne z toho, ºe t je konvexní a F rostoucí, druhá nerovnost plyne z log-konkávnosti F. Podle denice je ˆF = F (t(x)) log-konvexní funkce. 10

15 D sledek Nech t je lineární transformace z R do R a F je funkce na (t(a), t(b)). Denujme funkci ˆF na (a, b) p edpisem ˆF (x) = F (t(x)). (i) Jestliºe F je log-konkávní, potom ˆF je log-konkávní. (ii) Jestliºe F je log-konvexní, potom ˆF je log-konvexní. D kaz. t je lineární transformace, m ºeme ji zapsat jako Potom pro v²echna x (a, b) platí t(x) = ax + b, kde a, b R. (ln ˆF (x)) = a 2 (ln F (ax + b)). Máme distribu ní funkci F libovolného rozd lení na intervalu (a, b). Tuto distribu ní funkci m ºeme pouºít ke konstrukci distribu ní funkce F jiného rozd lení na intervalu ( b, a). Poloºme F (x) = F ( x) = 1 F ( x). Funkci F nazveme zrcadlovým obrazem F, nebo grafy jejich hustot jsou symetrické kolem p ímky x = 0. V ta Nech F a F jsou zrcadlové distribu ní funkce. P íslu²né hustoty ozna me f a f. (i) Jestliºe hustota f je log-konkávní (nebo log-konvexní), pak je log-konkávní (log-konvexní) i hustota f a naopak. (ii) Distribu ní funkce F je log-konkávní práv tehdy, kdyº je spolehlivostní funkce F log-konkávní, a naopak. D kaz. (i) Protoºe F (x) = 1 F ( x) = F ( x), (1.3) musí platit F (x) = F (x). Pro hustoty platí f (x) = f( x) pro v²echna x. Funkce f vznikne z f lineární transformací, proto záv r plyne z D sledku (ii) Z (1.3) a D sledku také plyne, ºe F je log-konkávní (log-konvexní) práv tehdy, kdyº F je log-konkávní (log-konvexní). Jestliºe rozd lení má hustotu symetrickou kolem nuly, je distribu ní funkce sama svým zrcadlovým obrazem. D sledek Jestliºe rozd lení má hustotu symetrickou kolem bodu 0, pak distribu ní funkce je log-konkávní (log-konvexní) práv tehdy, kdyº spolehlivostní funkce je log-konkávní (log-konvexní). 11

16 Pomocí libovolné distribu ní funkce F na intervalu (a, b) lze také zkonstruovat novou distribu ní funkci zkrácením na podinterval (a, b ) intervalu (a, b) tak, ºe relativní vzdálenost dvou bod z stane nezm n na. Nech F je p vodní distribu ní funkce a F je zkrácená distribu ní funkce, potom F (x) = F (x) F (a ) F (b ) F (a ). Distribu ní funkce F je tedy lineární transformací funkce F. Odpovídající hustoty jsou také lineární transformací jedna druhé a z D sledku dostaneme následující tvrzení: V ta Jestliºe rozd lení má log-konkávní (log-konvexní) hustotu (p íp. distribu ní funkci), potom jakékoli zkrácení tohoto rozd lení má také log-konkávní (log-konvexní) hustotu (p íp. distribu ní funkci). 1.4 P íklady rozd lení Jestliºe hustota rozd lení f je log-konkávní, potom z V ty víme, ºe distribu ní funkce F i její integrál G jsou také log-konkávní. Z V ty a jejího d sledku plyne, ºe spolehlivostní funkce F i její integrál H jsou log-konkávní a intenzita poruch r je rostoucí. Z V ty víme, ºe MRL je klesající. V Tabulce 1.1 jsou uvedeny p íklady spojitých jednorozm rných rozd lení s log-konkávní hustotou. Jestliºe hustota rozd lení f není log-konkávní, rozhodnout o vlastnostech funkcí F, F a MRL není v bec jednozna né, jak vidíme v Tabulce 1.3. P íklady rozd lení, jejichº hustota není log-konkávní, jsou uvedeny v Tabulce 1.2. Na n kolika rozd leních si ukáºeme aplikaci vý²e dokázaných tvrzení Mocninné rozd lení Mocninné rozd lení je denováno na intervalu (0, 1], hustota je rovna a distribu ní funkce F (x) = x c. Protoºe f(x) = cx c 1 (ln f(x)) = 1 c x 2, vidíme, ºe f je striktn log-konkávní pro c > 1, striktn log-konvexní pro 0 < c < 1 a log-lineární (tj. log-konkávní i log-konvexní) pro c = 1. Pro 0 < c < 1 je f(0) = a f(1) = c, proto k rozhodnutí, zda F a F je log-konvexní, nem ºeme pouºít V tu ani V tu V tomto p ípad logkonkávnost F m ºeme ov it p ímo (ln F (x)) = c x < 0. 12

17 Nosi Distribu ní Rozd lení Hustota f(x) (ln f(x)) rozd lení funkce F (x) Rovnom rné [0,1] 1 x 0 1 Normální (, ) 2π e x2 /2 * 1 Exponenciální (0, ) λe λx 1 e λx 0 e Logistické (, ) x 1 2f(x) (1+e x ) 2 (1+e x ) 2 Extrémních hodnot (, ) e x exp{ e x } exp{ e x } e x 1 Laplaceovo (, ) 2 e x sgn(x)(1 2 2 e) x 0 pro x 0 Mocninné (c 1) (0, 1] cx c 1 x c 1 c x 2 Weibullovo (c 1) [0, ) cx c 1 e xc 1 e xc 1 c (1 + cx c ) x 2 x Gamma (c 1) [0, ) c 1 e x 1 c * Γ(c) x 2 χ 2 x (c 2) [0, ) (c 2)/2 e x/2 2 c * 2 c/2 Γ(c/2) 2x 2 χ (c 1) [0, ) x c 1 e x2 /2 1 c * 1 2 (c 2)/2 Γ(c/2) x 2 x ν 1 (1 x) ω 1 1 ν * + 1 ω B(ν,ω) x 2 (1 x) 2 Beta (ν 1 & ω 1) [0, 1] Maxwellovo Jedná se o χ rozd lení pro c=3. Rayleighovo Jedná se o χ rozd lení pro c=2. Tabulka 1.1: Rozd lení s log-konkávní hustotou, tabulka p evzata z [1] znamená, ºe distribu ní funkci nelze vyjád it pomocí elementárních funkcí 13

18 Rozd lení Nosi Distribu ní Hustota f(x) rozd lení funkce F (x) (ln f(x)) Mocninné (0 < c < 1) (0,1] cx c 1 x c 1 c x 2 Weibullovo (0 < c < 1) (0, ) cx c 1 e xc 1 e xc 1 c (1 + cx c ) x 2 x Gamma (0 < c < 1) (0, ) c 1 e x 1 c * Γ(c) x 2 Beta (ν < 1 ω < 1) [0, 1] x ν 1 (1 x) ω 1 Arcsin [0, 1] 1 π x(x 1) 1 ν * + 1 ω B(ν,ω) x 2 (1 x) x π 2x 2 (1 x 2 ) Paretovo [1, ) βx β 1 1 x β ( β+1 x )2 1 Logaritmicko normální (0, ) x 2π e (ln x)2 /2 ln x * x 2 Studentovo t (, ) 1 Cauchyho (, ) π(1+x 2 ) (1+ x2 n ) (n+1)/2 nb(1/2,n/2) * (1 n) n x2 (n+x 2 ) arctan(x) 2 x2 1 2 π (x 2 +1) 2 Zrcadlové Paretovo (, 1) βx β 1 ( x) β ( β+1 x )2 Tabulka 1.2: Rozd lení, která nemají log-konkávní hustotu, tabulka p evzata z [1] znamená, ºe distribu ní funkci nelze vyjád it pomocí elementárních funkcí 14

19 Rozd lení f(x) F(x) r(x) MRL(x) Mocninné (0 < c < 1) log-konvexní log-konkávní - nemonotónní Weibullovo (0 < c < 1) log-konvexní log-konkávní log-konvexní klesající Gamma (0 < c < 1) log-konvexní log-konkávní log-konvexní rostoucí Arcsin log-konvexní - - nemonotónní Paretovo log-konvexní log-konkávní log-konvexní rostoucí Logaritmicko normální - log-konkávní - nemonotónní Studentovo t nemonotónní Cauchyho nemonotónní Zrcadlové Paretovo log-konvexní log-konvexní log-konkávní klesající Tabulka 1.3: Vlastnosti rozd lení, která nemají log-konkávní hustotu, tabulka p evzata z [ 1] znamená, ºe funkce není ani log-konkávní ani log-konvexní 15

20 Platí F = 1 x c a spo teme, ºe (ln F (x)) = cxc 2 (1 c x c ) (1 x c ) 2. Výraz (ln F (x)) je záporný pro x blízko 1 a kladný pro x blízké 0, proto F není ani log-konkávní ani log-konvexní. Integrál ze spolehlivostní funkce H(x) = c + xc c také není ani log-konkávní ani log-konvexní. Proto také M RL není klesající ani rostoucí Gamma rozd lení x Gamma rozd lení je denováno na intervalu (0, ), hustota je rovna f(x) = xc 1 e x. Γ(c) Znaménko (ln f(x)) = 1 c x 2 je záporné, nula nebo kladné pro c > 1, c = 1 nebo pro c < 1. Proto Gamma rozd lení je log-konkávní pro c > 1, log-lineární pro c = 1 a log-konvexní pro c < 1. Pro c < 1 máme f(0) = a f( ) = 0. M ºeme pouºít V tu 1.2.9, podle které je F i její integrál H log-konvexní. Odtud plyne, ºe r(x) je klesající a MRL(x) rostoucí v x. Protoºe f(0) 0, nem ºeme podle V ty rozhodnout, zda F je logkonvexní. Ale pro 0 < c < 1 je (ln f(x)) < 0 pro x > 0, takºe f je klesající na (0, ). Z D sledku plyne, ºe F je log-konkávní a z V ty plyne log-konkávnost G. Tyto vlastnosti jsou pro c = 0.5 zobrazeny na Obrázku 1.1. Vlastnosti t chto funkcí pro rozd lení Gamma(2) ilustruje Obrázek 1.2: f i F jsou log-konkávní, intenzita poruch r a st ední zbytkový as M RL klesající Paretovo rozd lení Hustota Paretova rozd lení je denována na [1, ), platí f(x) = βx β 1 (ln f(x)) = β + 1 x a (ln f(x)) = β + 1 > 0. x 2 Proto je hustota pro v²echna x [1, ) klesající a log-kovexní. Z D sledku plyne, ºe F je log-konkávní. 16

21 hustota log hustota distribucni funkce log distribucni funkce spolehlivostni funkce log spolehlivostni funkce intenzita poruch stredni zbytkovy cas Obrázek 1.1: Vlastnosti funkcí f, F, F, r, MRL rozd lení Gamma(0.5) 17

22 hustota log hustota distribucni funkce log distribucni funkce spolehlivostni funkce log spolehlivostni funkce intenzita poruch stredni zbytkovy cas Obrázek 1.2: Vlastnosti funkcí f, F, F, r, MRL rozd lení Gamma(2) 18

23 Spolehlivostní funkce má tvar F (x) = x β. Protoºe (ln F (x)) = β x 2 > 0, je spolehlivostní funkce log-konvexní. Integrál ze spolehlivostní funkce konverguje jen pro β > 1 a je roven H(x) = x F (t)dt = 1 β 1 x1 β. Protoºe (ln H(x)) = β 1 > 0, x 2 je H(x) log-konvexní a MRL je klesající v x Zrcadlové Paretovo rozd lení Zrcadlové Paretovo rozd lení je denováno na intervalu (, 1) a pro distribu ní funkci platí F (x) = ( x) β, kde β > 0. Pro β > 1 integrál G konverguje a je roven G(x) = x F (t)dt = (β 1) 1 ( x) 1 β. Podle V ty musí mít Paretovo rozd lení rostoucí M RL. 1.5 Diskrétní rozd lení Z Denice plyne, ºe pro log-konkávní funkci f platí ( ) x + y f f(x)f(y), 2 log-konkávní posloupnost denujeme podle knihy [12] zcela analogicky. Denice Posloupnost {p n, n Z} nezáporných reálných ísel je logkonkávní, jestliºe platí p 2 n p n 1 p n+1, n = 0, ±1,... Denice Náhodná veli ina s diskrétním rozd lením {p n, n Z} je logkonkávní, jestliºe {p n } je log-konkávní posloupnost. 19

24 Rozd lení Parametry p ( k Binomické (n, p) n 1, p [0, 1] n ) k p k (1 p) n k 0 k n λ Poissonovo (λ) λ > 0 k ( k! e λ k 0 Negativn binomické (n, p) n 1, p [0, 1] n+k 1 ) n 1 (1 p) k p n k 0 Geometrické (p) p (0, 1] (1 p) k p k 0 p Logaritmická ada (p) p (0, 1) k k 1 log(1 p)k! 1 Trojúhelníkové (a, b) a, b N, a b a k b b a+1 Tabulka 1.4: Diskrétní log-konkávní rozd lení, tabulka p evzata z [3] Analogicky jako pro spojitá rozd lení platí, ºe sou et dvou nezávislých diskrétních náhodných veli in s log-konkávním rozd lením je náhodná veli ina, která má také log-konkávní rozd lení. Toto tvrzení bude dokázáno v ásti 2.1 jako Tvrzení P íklady diskrétních log-konkávních rozd lení najdeme v Tabulce 1.4. Následující denicí se pomalu p esuneme k vícerozm rným rozd lením. Denice Mnohorozm rné diskrétní rozd lení p(k) je log-konkávní, jestliºe existuje log-konkávní funkce f(x), x R n tak, ºe p(k) = f(k) pro kaºdý bod k R n. V Tvrzení je²t dokáºeme, ºe konvoluce dvou log-konkávních posloupností je op t log-konkávní. 20

25 2. Vícerozm rný p ípad Nyní se budeme v novat vlastnostem log-konkávních funkcí ve vícerozm rném prostoru. Za n me jejich denicí podle knihy [12], která je zcela analogická Denici pro jednorozm rný p ípad. Denice Funkce f : R n R je log-konkávní (nebo také logaritmickokonkávní), jestliºe f(x) 0 a pro v²echna x, y Dom(f), 0 < λ < 1 platí f(λx + (1 λ)y) f(x) λ f(y) (1 λ). (2.1) ekneme, ºe f je log-konvexní (logaritmicko-konvexní), jestliºe v (2.1) platí obrácená nerovnost. Pro f > 0 denice íká, ºe log f je konkávní funkce v R n. 2.1 Log-konkávní pravd podobnostní míra a hustota Zadenujeme, kdy je pravd podobnostní míra log-konkávní, a uvedeme tvrzení, které ji dává do souvislosti s log-konkávní hustotou: Denice Pravd podobností míra denovaná na Borelovských podmnoºinách R n je log-konkávní, jestliºe pro A, B libovolné konvexní Borelovské podmno- ºiny R n a 0 < λ < 1 platí P (λa + (1 λ)b) [P (A)] λ [P (B)] (1 λ), (2.2) kde λa + (1 λ)b = {λx + (1 λ)y x A, y B}. V ta Nech P je pravd podobnostní míra na R n generovaná hustotou f, která je tvaru f(x) = exp( Q(x)), x R n, kde Q je konvexní funkce (f je log-konkávní). Potom P je log-konkávní pravd podobnostní míra. D kaz. D kaz je uveden v [9]. Uvedeme nerovnost, pomocí které dokáºeme, ºe je-li sdruºené rozd lení náhodného vektoru log-konkávní, pak v²echna jeho marginální rozd lení jsou také log-konkávní. 21

26 Tvrzení Nech f 1,..., f k jsou nezáporné Borelovsky m itelné funkce v R n, denujme r(t) = sup {f 1 (x)... f k (x) : λ 1 x λ k x k = t}, kde λ 1,..., λ k 0 dané konstanty spl ující k i=1 λ i = 1. Pak r(t) je Borelovsky m itelná a platí ( r(t)dt R n R n f D kaz. D kaz je uveden v [10]. 1 λ1 ( λ 1 1 (x 1 )dx) R n f 1 λ k k (x k)dx) λk. V ta Nech f(x, y) je log-konkávní hustota rozd lení náhodného vektoru (ξ, η) na R n R m. Pak hustota marginálního rozd lení náhodného vektoru ξ g(x) = f(x, y)dy R m a hustota podmín ného rozd lení ξ za podmínky η = y jsou log-konkávní. D kaz. Podle p edpokladu pro libovolné (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R n R m a λ [0, 1] platí f(λx 1 + (1 λ)x 2, λy 1 + (1 λ)y 2 ) f(x 1, y 1 ) λ f(x 2, y 2 ) 1 λ. Hustota marginálního rozd lení g(λx 1 + (1 λ)x 2 ) = f(λx 1 + (1 λ)x 2, y)dy R m sup{f(x 1, y 1 ) λ f(x 2, y 2 ) 1 λ }dy R [ m ] λ [ f(x 1, y)dy R m f(x 2, y)dy R m = g(x 1 ) λ g(x 2 ) 1 λ ] 1 λ je podle Tvrzení log-konkávní. Hustota podmín ného rozd lení ξ za podmínky η = y je dána vztahem f(x y) = f(x, y), pokud g(y) > 0, g(y) jinak f(x y) = 0. Protoºe f(x, y) je log-konkávní, pro libovolné x 1, x 2 R n a λ (0, 1) podle Denice platí f(λx 1 + (1 λ)x 2 y) = f(λx 1 + (1 λ)x 2, y) g(y) f(x 1, y) λ f(x 2, y) 1 λ g(y) = f(x 1 y) λ f(x 2 y) 1 λ. Jestliºe g(y) = 0, poloºíme log f(x y) = a proto je f(x y) log-konkávní na R n. 22

27 D sledek Sou et dvou nezávislých náhodných vektor s log-konkávním rozd lením je náhodný vektor, který má také log-konkávní rozd lení. D kaz. Nech g(x), h(x), x R n, jsou log-konkávní hustoty, potom jejich konvoluce g(x y)h(y)dy, x R n R m je také log-konkávní. V p edchozí V t poloºíme potom je R m f(x, y)dy log-konkávní. f(x, y) = g(x y)h(y), Podobné tvrzení platí i pro diskrétní rozd lení. Tvrzení Jestliºe {p n, n Z} a {q n, n Z} jsou dv log-konkávní posloupnosti, potom jejich konvoluce je také log-konkávní. r n = k= p n k q k, n = 0, ±1,... D kaz. D kaz plyne z D sledku 2.1.5, který íká, ºe konvoluce dvou log-konkávních funkcí je log-konkávní. Opravdu máme dv log-konkávní funkce p : Z R a q : Z R, místo Lebesgueovy míry pracujeme s aritmetickou mírou na Z. D sledek Jestliºe {p n, n Z} je log-konkávní posloupnost, potom ob posloupnosti n F (n) = p k, 1 F (n) = jsou také log-konkávní. k= k=n+1 D kaz. Sta í v Tvrzení za druhou posloupnost zvolit { 0 pro k =,..., 1, q k = 1 pro k = 0,..., +, p ípadn r k = { 1 pro k =,..., 1, 0 pro k = 0,..., +, potom je konvoluce {p n } {q n } a {p n } {r n } log-konkávní, nebo ob posloupnosti {q n } i {r n } jsou z ejm log-konkávní podle Denice Konvexní kombinace log-konkávních hustot m ºe být log-konkávní, ale obecn toto tvrzení neplatí ani pro normální rozd lení. Hustota jednorozm rného normovaného normálního rozd lení je rovna ϕ(x) = 1 2π e x2 2, x R. p k 23

28 Zvolme λ = 1, potom pro µ = 1 je funkce 2 f(x) = 1 2 ϕ(x) + 1 ϕ(x 1) 2 log-konkávní, jak m ºeme vid t na Obrázku 2.2. Jestliºe µ = 4, funkce f(x) = 1 2 ϕ(x) + 1 ϕ(x 4) 2 log-konkávní není, jak se m ºeme p esv d it z Obrázku 2.4. f(x) x Obrázek 2.1: Funkce f(x) pro λ = 0.5, µ = P íklady rozd lení Nyní uvedeme n kolik p íklad vícerozm rných log-konkávních rozd lení. K ov - ení log-konkávnosti se nám bude hodit následující tvrzení o pozitivn denitních maticích. Tvrzení Pro libovolné X, Y pozitivn denitní matice typu (n n), 0 < λ < 1 platí λx + (1 λ)y X λ Y (1 λ). (2.3) D kaz. D kaz tohoho tvrzení je uveden v knize [7] jako Corollary

29 log(f(x)) x Obrázek 2.2: Funkce log(f(x)) pro λ = 0.5, µ = 1 f(x) x Obrázek 2.3: Funkce f(x) pro λ = 0.5, µ = 4 25

30 log(f(x)) x Obrázek 2.4: Funkce log(f(x)) pro λ = 0.5, µ = Normální rozd lení Nejd leºit j²ím mnohorozm rným rozd lením je normální rozd lení. Jeho hustota je dána p edpisem f(x) = 1 n e 1 2 (X µ) C 1 (X µ), X R n, C (2π) 2 kde µ R n je st ední hodnota a C je pozitivn denitní rozptylová matice. Potom C 1 je také pozitivn denitní, a proto je kvadratická forma (x µ) C 1 (x µ) konvexní, hustota f(x) je z ejm log-konvexní Wishartovo rozd lení Hustota vypadá následovn f(x) = X N p 2 2 e 1 2 SpC 1 X 2 N 1 2 p π p(p 1) 4 C N 1 2 p N i i=1 Γ( ), 2 jestliºe X je pozitivn denitní matice (n n), v ostatních p ípadech je f(x) = 0. C (n n) je matice konstant. Protoºe X je symetrická, máme n = 1 p(p + 1) 2 nezávislých prom nných. P edpokládáme, ºe N p + 2. Protoºe X je pozitivn denitní matice, sta í aplikovat Tvrzení a zjistíme, ºe rozd lení je log-konkávní. 26

31 2.2.3 Beta rozd lení Hustota je ve tvaru f(x) = c(n 1, p)c(n 2, p) c(n 1 + n 2, p) X 1 2 (n 1 p 1) I X 1 2 (n 2 p 1), jestliºe X, I X jsou pozitivn denitní (n n) matice, jinak je f(x) = 0, kde 1 c(k, p) = 2 pk p(p 1) 2 π 2 p ( ) k i + 1 Γ. 2 P edpokládáme, ºe n 1 p + 1, n 2 p + 1, nezávislých prom nných máme n = 1 p(p + 1). 2 Log-konkávnost hustoty plyne podobn jako v p edchozím p ípad ihned z Tvrzení 2.2.1, ov íme denici: f( λx +(1 λ)y ) = C λx + (1 λ)y 1 2 (n 1 p 1) I λx (1 λ)y 1 2 (n 2 p 1) = = C λx + (1 λ)y 1 2 (n 1 p 1) λ(i X) + (1 λ)(i Y ) 1 2 (n 2 p 1) (2.3) C X λ 1 2 (n 1 p 1) Y (1 λ) 1 2 (n 1 p 1) I X λ 1 2 (n 2 p 1) I Y (1 λ) 1 2 (n 2 p 1) = = f(x) λ f(y ) 1 λ. i= Dirichletovo rozd lení Ozna me X = (x 1,..., x n ) R n. Hustota Dirichletova rozd lení je f(x) = kx p x p n 1 n (1 x 1 x n ) p n+1 1, pro x i > 0, i = 1,..., n a n i=1 x i < 1, jinak je f(x) = 0, kde k = Γ(p p n+1 ) Γ(p 1 ) Γ(p n+1 ) a p 1,..., p n+1 jsou kladné konstanty. Pro X R n taková, ºe x i > 0, i = 1,..., n a n i=1 x i < 1 je log f(x) = log k + n (p i 1) log x i + (p n+1 1) log(1 x i x n ) i=1 konkávní funkce, pokud p i 1, i = 1,..., n + 1. Jestliºe f(x) = 0, poloºíme log f(x) =. Hustota f(x) je log-konkávní na celém R n pro p i 1, i = 1,..., n + 1. Pro p i < 1, i = 1,..., n je f(x) log-konvexní, pro X R n : x i > 0, i = 1,..., n a n i=1 x i < 1. 27

32 2.3 Nerovnosti Tato podkapitola je zaloºena na práci [13]. Ozna me P n mnoºinu v²ech rozd lení na R n, která mají log-konkávní hustotu, to znamená, ºe Lebesgueova hustota f je tvaru f(x) = exp(φ(x)), pro n jakou konkávní funkci φ : R n [, ). Nech S R n je neprázdná konvexní mnoºina, její konvexní obal zna íme conv(s), Lebesgueovu míru této mnoºiny budeme ozna ovat S, dále zna í Euklidovskou normu vektoru. V následujícím textu budeme pouºívat mnoºiny a 0, které denujeme následovn : = conv{x 0, x 1,..., x n }, { } 0 = u [0, 1] n n u i 1. i=1 V ta Nech P P n s hustotou f. Nech x 0, x 1,..., x n jsou pevné body v R n takové, ºe = conv{x 0, x 1,..., x n } je neprázdná. (i) Platí n f(x j ) j=0 ( ) n+1 P ( ). (ii) Jestliºe f(x i ) > 0, i = 1,..., n a poloºíme-li ( n 1/n f(x 1,..., x n ) = f(x i )), i=1 potom ( ) n+1 f(x 0 ) f(x 1,..., x n )) P ( ). (2.4) f(x 1,..., x n ) (iii) Pokud je levá strana nerovnosti (2.4) men²í nebo rovna 1, potom ( f(x 0 ) f(x 1,..., x n )) exp n n f(x ) 1,..., x n ). P ( ) D kaz. D kaz je uveden v [13]. Z této v ty plynou d sledky týkající se mezí pro log-konkávní hustoty. Pomocí následujícího lemmatu najdeme horní odhad pro hustotu f na mnoºin. Dolní odhad získáme z poznatku, ºe konkávní funkce na simplexu nabývá minima v jednom z krajních bod. 28

33 Lemma Nech x 0, x 1,..., x n R n a jsou jako ve V t Potom pro kaºdé P P n s hustotou f takovou, ºe f(x i ) > 0, i = 1,..., n a pro libovolné y platí min f(x i) f(y) i=0,...,n ( ) n+1 ( P ( ) D kaz. D kaz lze nalézt v [13] jako Lemma 3.2. min f(x i) i=0,...,n ) n. Lemma Nech x 0, x 1,..., x n R n jsou jako ve V t Potom existuje konstanta C = C(x 0,..., x n ) > 0 s následující vlastností: Pro libovolné rozd lení P P n s hustotou f takovou, ºe f(x i ) > 0, i = 1,..., n a libovolné y R n platí f(y) max i=0,...,n f(x i)h ( ) C min f(x i)(1 + y 2 ) 1/2, i=1,...,n kde H(t) = { t (n+1) pro t [0, 1], exp(n nt) pro t 1. D kaz. D kaz je uveden v [13] jako Lemma 3.3. D sledek Pro P P n s hustotou f existuje konstanta C 1 = C 1 (P ) > 0 a C 2 = C 2 (P ) > 0 taková, ºe platí f(x) C 1 exp( C 2 x ), pro v²echna x R n. Z tohoto d sledku plyne, ºe v²echny log-konkávní funkce jsou nutn subexponenciální a unimodální. Unimodálním funkcím se budeme podrobn ji v novat v ásti 3.2.1, kde dokáºeme, ºe kaºdá log-konkávní funkce je unimodální, ale opak neplatí. 29

34 3. Aplikace Log-konkávní rozd lení mají adu aplikací nap íklad v ekonomii, teorii spolehlivosti (viz odstavec 1.2), teorii her nebo ve stochastickém programování. 3.1 Stochastické programování Budeme se zabývat otázkou, kdy je mnoºina p ípustných e²ení úlohy stochastického programování konvexní. Tuto podkapitolu zpracujeme podle [4]. M jme obecnou úlohu stochastického programování s pravd podobnostními omezeními min f(x) za podmínek P (g 1 (x, ω) 0,..., g r (x, ω) 0) p, h 1 (x) 0,..., h s (x) 0, kde ω je náhodný vektor v R m, p (0, 1) je p edepsaná pravd podobnost, funkce g 1 (x, ω),..., g r (x, ω) jsou konvexní funkce v R n+m, h 1 (x),..., h s (x) a f(x) jsou konvexní v R n. V ta Nech g 1 (x, y),..., g r (x, y) jsou konvexní funkce na R n R m. Nech ω je náhodný vektor, jehoº rozd lení je log-konkávní na R m. Potom funkce je log-konkávní na R n. D kaz. Ozna me h(x) = P (g 1 (x, ω) 0,..., g r (x, ω) 0) H(x) = {y g i (x, y) 0, i = 1,..., r}, kde x R n je parametr, dále L = {x R n : H(x) }. Nejprve ukáºeme, ºe L je konvexní mnoºina. Zvolíme x 1, x 2 L, λ [0, 1] libovoln. Potom existují y 1 H(x 1 ) a y 2 H(x 2 ) takové, ºe g i (x 1, y 1 ) 0, i = 1,..., r, g i (x 2, y 2 ) 0, i = 1,..., r. Podle p edpokladu jsou funkce g i, i = 1,..., r konvexní, proto g i (λx 1 +(1 λ)x 2, λy 1 + (1 λ)y 2 ) λg i (x 1, y 1 ) + (1 λ)g i (x 2, y 2 ) 0, i = 1,..., r, 30

35 tedy a tedy V²imn me si, ºe λy 1 + (1 λ)y 2 H(λx 1 + (1 λ)x 2 ), λx 1 + (1 λ)x 2 L. H(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λh(x 1 ) + (1 λ)h(x 2 ). (3.1) Jestliºe L =, je h(x) 0 a tvrzení platí triviáln. Jestliºe L, existuje x L a m ºeme psát h(x) = P {g i (x, ω) 0, i = 1,..., r} = P (ω H(x)), x R n. Protoºe P je log-konkávní pravd podobnostní míra, pro libovolné x 1, x 2 L, λ [0, 1] platí h(λx 1 + (1 λ)x 2 ) = P (ω H(λx 1 + (1 λ)x 2 )) (3.1) P (ω λh(x 1 ) + (1 λ)h(x 2 )) (2.2) [P (ω H(x 1 ))] λ [P (ω H(x 2 ))] (1 λ) = h(x 1 ) λ h(x 2 ) 1 λ. Funkce h je podle (2.1) log-konkávní na konvexní mnoºin L. Protoºe pro x L je h(x) = 0, je funkce h log-konkávní na celém prostoru R n. Tato v ta má aplikace v teorii i v praktických p íkladech. Uvaºujme funkci h(x 1, x 2 ) = P (x 1 ξ x 2 ), x 1, x 2 R, (3.2) kde ξ je náhodná veli ina. Jestliºe ξ má log-konkávní rozd lení, funkce h denovaná p edpisem (3.2) je podle p edchozí v ty log-konkávní: Denujme funkce kde x = (x 1, x 2 ) R 2. Potom je podle V ty log-konkávní. g 1 (x, y) = x 1 y, g 1 (x, y) = y x 2, P (x 1 ξ x 2 ) = P (g 1 (x, ξ) 0, g 2 (x, ξ) 0) Náhodná veli ina X má log-normální rozd lení, pokud log(x) je náhodná veli ina s normálním rozd lením. Hustota je dána f(x) = 1 ) ( x 2π exp (log x)2, x >

36 Na rozdíl od normálního rozd lení, hustota log-normálního rozd lení není logkonkávní. Protoºe druhá derivace je rovna (log f(x)) = = = ( log ( log 1 ( x 2π exp )) (log x) log 1 (log x)2 2π x 2 ( 1 x log x x ) = log(x) x 2, je hustota na intervalu (0, 1) log-konkávní, na (1, + ) log-konvexní. Náhodný vektor Z = (Z 1,..., Z n ) má n-rozm rné log-normální rozd lení, pokud vektor Y = (log(z 1 ),..., log(z n )) má mnohorozm rné normální rozd lení. Distribu ní funkci vektoru Z v bod z = (z 1,..., z n ) R n, z i > 0 m ºeme napsat jako F Z (z) = P (Z 1 z 1,..., Z n z n ) = P (e Y 1 z 1 0,..., e Yn z n 0), kde Y i = log(x i ), i = 1,..., n. Protoºe mnohorozm rné normální rozd lení je podle odstavce log-konkávní a pro y R n, z R n jsou funkce ) g i (z, y) = e y i z i, i = 1,..., n konvexní, jsou spln ny p edpoklady V ty a distribu ní funkce log-normálního rozd lení je log-konkávní. 3.2 Maximáln v rohodný odhad log-konkávní hustoty a distribu ní funkce V této kapitole budeme hledat neparametrický odhad log-konkávní hustoty f metodou maximální v rohodnosti. Omezíme se na jednorozm rný p ípad Unimodální funkce Platí, ºe kaºdá log-konkávní hustota je automaticky i unimodální. Maximáln v rohodný odhad spojité unimodální hustoty s neznámým modem obecn neexistuje (viz [6]), ale maximáln v rohodný odhad log-konkávní hustoty existuje. Denice Hustota f : R R je unimodální na [a, b], jestliºe existuje íslo m [a, b] takové, ºe pro v²echna a x y m a m y x b platí ƒíslo m nazýváme modus. f(x) f(y). 32

37 Tvrzení Log-konkávní funkce je unimodální. D kaz. Dokáºeme sporem. Nech funkce f je log-konkávní na [a, b], ale není unimodální. Protoºe není unimodální, existují body a x c y b takové, ºe f(x) > f(c) < f(y). Najdeme λ (0, 1), takové ºe λx + (1 λ)y = c. Potom platí coº je spor s tím, ºe f je log-konkávní. f(λx + (1 λ)y) < f(x) λ f(y) 1 λ, Poznámka Obrácené tvrzení z ejm neplatí. Nap íklad hustota Paretova rozd lení (viz p íklad 1.4.3) je unimodální a log-konvexní. Log-konkávní hustotu m ºeme charakterizovat jako striktn unimodální: Denice Hustota f : R R je striktn unimodální, pokud f je unimodální a pro libovolnou unimodální funkcí g jejich konvoluce f g je op t unimodální. V ta Hustota f na R je log-konkávní práv tehdy, kdyº je striktn unimodální. D kaz. D kaz najdeme v [8]. Pomocí této v ty m ºeme alternativn dokázat, ºe sou et dvou nezávislých náhodných veli in s log-konkávním rozd lením je náhodná veli ina, která má také log-konkávní rozd lení. Toto tvrzení je uvedeno v D sledku Existence a jednozna nost odhadu M jme uspo ádaný náhodný výb r X 1,..., X n, n > 1 z rozd lení, které má distribu ní funkci F. P edpokládáme, ºe hustota f je log-konkávní, tedy ve tvaru f(x) = exp φ(x), x R, pro n jakou konkávní funkci φ : R [, ). Logaritmická v rohodnost je denována jako L n (f) = n log f(x)df n (x) = n log f(x i ), (3.3) kde F n zna í empirickou distribu ní funkci výb ru X 1,..., X n, která je rovna i=1 F n (x) = 1 n n 1 [Xi x], x R. i=1 Maximáln v rohodný odhad hustoty je minimum funkcionálu L n (f) p es v²echny log-konkávní hustoty. Následující v ta z [14] nám pom ºe zbavit se omezení, ºe f musí být hustota. 33

38 V ta Nech g je reálná funkce, poloºme a A(g) = 1 n A 0 (g) = 1 n n g(x i ) i=1 n g(x i ) + i=1 e g(x) dx. Funkce ĝ minimalizuje A 0 (g) za podmínky, ºe e g(x) dx = 1 práv tehdy, kdyº ĝ minimalizuje A(g). D kaz. Denujme g (x) = g(x) log e g(x) dx, platí e g (x) dx = 1. A(g ) = 1 n n i=1 n = 1 n i=1 = A(g) A(g), ( g(x i ) log g(x i ) + log e g(x) dx + log ) e g(x) dx + e g(x) dx + e g(x) dx + 1 ( exp g(x) log ( exp g(x) log ) e g(x) dx dx ) e g(x) dx dx protoºe t log t 1 pro v²echna t > 0, rovnost A(g ) = A(g) nastává v p ípad, kdy e g(x) dx = 1. Poznámka Tato v ta nezaru uje existenci funkce ĝ, která minimalizuje A 0 (g), p ípadn A(g). Podle V ty m ºeme v rohodnost (3.3) modikovat Ψ n (φ) = n φ(x)df n (x) + n exp φ(x)dx. a p evést na úlohu bez omezení. Maximáln v rohodný odhad ˆφ n funkce φ získáme minimalizací funkcionálu Ψ n (φ) p es v²echny reálné funkce Odhad hustoty získáme jako ˆφ n = argmin Ψ n (φ). ˆf n (x) = { exp( ˆφn (x)) pro x [X 1, X n ], 0 jinak. 34 R

39 Podobn pro distribu ní funkci platí ˆF n (x) = x ˆf n (u)du. Pomocí hustoty a distribu ní funkce m ºeme odhadnout nap íklad intenzitu poruch (hazardní funkci) následovn ˆr n (x) = ˆf n (x) 1 ˆF n (x) pro x < X n. Následující v ta íká, ºe minimum funkcionálu Ψ n (φ) skute n existuje a udává jeho vlastnosti. Toto tvrzení je uvedeno v [11]. V ta Existuje jednozna n ur ená konkávní funkce ˆφ n minimalizující Ψ n (φ). ˆφ n je po ástech lineární, body zlomu se nacházejí v pozorovaných hodnotách X 1,..., X n, je spojitá na intervalu [X 1, X n ] a ˆφ n =, x [X 1, X n ]. D kaz. Nech φ je libovolná konkávní funkce, pro niº Ψ n (φ) < +. Denujme funkci φ následovn : φ(x i ) = φ(x i ), i = 1,..., n, φ je lineární mezi jednotlivými pozorováními, φ(x) =, x [X 1, X n ]. Protoºe φ je konkávní, je φ φ a proto exp φ(x)dx exp φ(x)dx. Musí tedy platit R Ψ n ( φ) = n n i=1 R n φ(x i ) + n exp φ(x)dx R n φ(x i ) + n exp φ(x)dx i=1 = Ψ n (φ), rovnost nastává pouze v p ípad φ = φ. Minimum Ψ n je ve tvaru φ. Pro φ = φ 0 + t, t 0, kde exp(φ 0 ) je hustota a tedy exp(φ 0 (x))dx = 1, R 35

40 platí Ψ n (φ) = n = n = n (φ 0 (x) + t)df n (x) + n exp(φ 0 (x) + t)dx (φ 0 (x) + t)df n (x) + n exp(φ 0 (x) + t)dx ( ) + n exp(φ 0 (x))dx 1 φ 0 (x)df n (x) n tdf n (x) + n e t exp φ 0 (x)dx + n exp(φ 0 (x))dx n = Ψ n (φ 0 ) + n (exp(t) t 1) > Ψ n (φ 0 ). Protoºe hledáme minimum Ψ n, m ºeme se omezit na p ípad kdy exp(φ(x))dx = 1. Ozna íme vektor φ = (φ(x i )) n i=1 Rn. Protoºe funkcionál φ Ψ n (φ) je spojitý, k d kazu existence bodu minima zbývá ukázat, ºe Ψ n (φ), pro φ 2 = n φ(x i ) 2. Nech (φ (k) ) k=1 je posloupnost vektor spl ující i=1 φ (k) 2 k, ozna íme-li i-tou sloºku vektoru φ (k) jako φ (k) i φ (k) i = φ (k) (X i ), platí k γ i [, ], i = 1,..., n. Jestliºe γ i < pro v²echna i, potom existuje alespo jeden index i takový, ºe γ i =, a platí n Ψ n (φ (k) ) = + n k. i=1 φ (k) i Jestliºe existuje j > 1 takové, ºe γ j =, pak 1 = Xj exp ( φ (k) (x) ) dx X j 1 1 ( ) exp(φ (k) j ) exp(φ (k) j 1 ) φ (k) j φ (k) j 1 X j X j 1 = (X j X j 1 ) exp(φ (k) j ) 1 exp( δ k) δ k (X j X j 1 ) exp(φ (k) j )(1 + δ k ) 1, 36